传递函数
传递函数
2-6 传递函数求解控制系统的微分方程，可以得到在确定的初始条件及外作用下系统输出响应的表达式，并可画出时间响应曲线，因而可直观地反映出系统的动态过程。
如果系统的参数发生变化，则微分方程及其解均会随之而变。
为了分析参数的变化对系统输出响应的影响，就需要进行多次重复的计算。
微分方程的阶次愈高，这种计算愈复杂。
因此，仅仅从系统分析的角度来看，就会发现采用微分方程这种数学模型，当系统阶次较高时，是相当不方便的。
以后将会看到，对于系统的综合校正及设计，采用微分方程这一种数学模型将会遇到更大的困难。
目前在经典控制理论中广泛使用的分析设计方法——频率法和根轨迹法，不是直接求解微分方程，而是采用与微分方程有关的另一种数学模型——传递函数，间接地分析系统结构参数对响应的影响。
所以传递函数是一个极其重要的基本概念。
一、传递函数的概念及定义在[例2-7]中，曾建立了RC 网络微分方程，并用拉氏变换法对微分方程进行了求解。
其微分方程（2-44）为)()(t u t u dtdu RC r c c =+ 假定初始值0)0(=c u ，对微分方程进行拉氏变换，则有)()()1(s U s U RCs r c =+网络输出的拉氏变换式为)(11)(s U RCs s U r c += （2-48）这是一个以s 为变量的代数方程，方程右端是两部分的乘积；一部分是)(s U r ，这是外作用（输入量）的拉氏变换式，随)(t u r 的形式而改变；另一部分是11+RCs ，完全由网络的结构参数确定。
将上式（2-48）改写成如下形式 11)()(+=RCs s U s U r c 令11)(+=RCs s G ，则输出的拉氏变换式可写成 )()()(s U s G s U r c =可见，如果)(s U r 给定，则输出)(s U c 的特性完全由)(s G 决定。
)(s G 反映了系统（网络）自身的动态本质。
这很显然，因为)(s G 是由微分方程经拉氏变换得到的，而拉氏变换又是一种线性变换，只是将变量从实数t 域变换（映射）到复数s 域，所得结果不会改变原方程所反映的系统本质，对照)(s G 与原微分方程（2-44）的形式，也可看出二者的联系。
第2章(3) 系统传递函数
特点：输出滞后于输入，但不失真。
例 4：
U o ( s) RCs Ts G( s) U i (s) 1 RCs Ts 1
5．一阶超前环节 （一阶微分环节）
i (t ) xi (t ) xo (t ) 微分方程： Tx
传递函数： G( s) Ts 1 时间响应：
单位阶跃响应 1 0
单位斜坡响应 t
（3）一切物理系统都有n≥m 3．传递函数的物理意义 传递函数是系统单位脉冲响应的象函数
xi (t ) (t ) ， X i (s) 1
X o ( s) G( s) X i ( s) G( s)
1 1
xo (t ) L1 [ X o ( s)] L1[G( s)] w(t ) G( s ) L[ w(t )]
§2.2 系统的传递函数
一、传递函数
( n) ( n 1) an xo (t ) an1 xo (t ) a1 x o (t ) a0 xo (t )
( m) ( m1) bm xi (t ) bm1xi (t ) b1x i (t ) b0 xi (t )
(n m) 作拉氏变换（在零初始条件下） n m (an s a1s a0 ) X o ( s) (bm s b1s b0 ) X i ( s) (n m) 1.定义：
m b s b1s b0 (n m) L[ xo (t )] X o ( s) m G( s) n a s a1s a0 L[ xi (t )] X i ( s) n
2
特征量——
时间常数： T
固有振荡频率： n 1T
阻尼比：
0 1 : 欠阻尼（振荡） 1： 临界阻尼 1 : 过阻尼
第二章 传递函数-梅逊公式
2.3 传递函数与系统动态结构图
2.3.1 传递函数的定义
设系统的标准微分方程为
an
dnc(t) dt n
a n1
dn1c(t) dt n 1
……
a1
dc(t) dt
a0c(t)
bm
dmr(t) dt m
bm1
d m 1r ( t ) dt m1
……
b1
dr(t) dt
点
上图所示的是
G(s)
(s
(s 1)(s 2) 3)(s 2 2s
2)
的零、极点分布图。
2.2 传递函数
比
比例环节（无惯性环节）： c(t)=kr(t)
例
传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=k
c(t)
环
阶跃响应：R(S)=1/S
r(t)
节
C(S)=kR(S)=k/S C(t)=k
0
方框图： R(S) k/s C(S)
3
传
递
积分调节器：
C
在A点列方程可得：
函 数
Ur(t)
R
i2
i1
A
Uc(t) i2=i1, i1=Uc(t)/R Uc(t)=1/C∫i2(t)dt=1/(RC)∫Uc(t)dt
设RC＝T（积分时间常数），则有：Uc(t)=1/T∫Uc(t)dt
拉氏变换后为：Uc(S)=1/(TS)Uc(S)
5）传递函数具有正、负号（输入量和输出量的变化方向）。
6）传递函数的单位是输出量的单位与输入量的单位之比。
m
(s z j )
7）传递函数可以写成
G(s)
Kg
j1 n
自控理论 2-2传递函数
当 ui ( t ) = 1( t )时,
− t 1 −1 τs 则u0 ( t ) = L ⋅ =e τ τs + 1 s 1
图2-8 RC电路 电路
当 τ << 1 时，可近似认为 G ( s ) ≈ τs
5. 振荡环节
d 2 c( t ) dc( t ) 2 T + 2ζT + c( t ) = Kr ( t ) 2 dt dt
运放 2
U 2 ( s ) τs + 1 G2 ( s) = = U 1 ( s) Ts
( 2 − 38)
式中
τ = R3C
T = R2C
功放
U a ( s) G3 ( s) = = K2 U 2 ( s)
( 2 − 39)
附:电枢控制直流电动机的微分方程 电枢控制直流电动机的微分方程
dmc d 2n dn TaTm 2 + Tm + n = K u ua − K m (Ta + mc ) dt dt dt La ; 电磁时间常数 Ta = Ra 传递系数 1 Ku = Ce 机电时间常数 Tm Km = J ( 2 − 10)
m m −1
∏ (s − z
j =1 n i =1
m
j
)
∏ (s − p )
i
式中
z j ( j = 1 , 2 L m )为传递函数的零点； 为传递函数的零点； p i ( i = 1 , 2 L n )为传递函数的极点； 为传递函数的极点； K 1 = b0 为传递系数或根轨迹增 益。
② 时间常数表达式
n≥m
当初始条件均为零时，两边取拉氏变换 当初始条件均为零时，
(s
自动控制原理传递函数
y(t) y kt
S平面 j
x(t) 1(t)
0
t
0 Re
有一个0值极点。在图中极点用“ ”表示，零点用“ ”
表示。K表示比例系数，T称为时间常数。
3/18/2024 2:47:29 AM
20
积分环节实例
积分环节实例：
①
C
R
ui
ui (s) uo (s)
R
1 Cs
uo
uo (s) 1
LCs 2
1 RCs
1
3/18/2024 2:47:28 AM
2
传递函数的定义： 系统初始条件为零时，输出变量的拉普拉
斯变换与输入变量的拉普拉斯变换之比，称为 系统的传递函数。 记做： Y (s) G(s) 或 Y (s) G(s)U (s)
U (s)
U(s)
Y(s)
G(s)
3/18/2024 2:47:28 AM
R2 I2 (s) UO (s)
G(s) U0 (s) 1 1 Ts Ui (s) 1 Ts
T R1R2C R1 R2
R1 R2
R2
3/18/2024 2:47:28 AM
7
复习拉氏变换
②性质：
⑴线性性质：L[f1(t) f2 (t)] F1(s) F2 (s)
⑵微分定理：L[ f (t)] sF (s) f (0)
L[ f(t)] s2F (s) sf (0) f (0)
L[ f (n) (t)] sn F (s) sn1 f (0) sn2 f (0) ... f (n1) (0)
⑶积分定理：（设初值为零）
L[
f
(t)dt]
F (s) s
⑷时滞定理：L[ f (t T )] est f (t T )dt esT f (s) 0
2.12传递函数
都不是线性模型（即系统并非是线性系统），不能用 线性方程表示。事实上，任何一个元件总是存在一定 程度的非线性。即使假设具有线性的特性，也是局限 在一定的范围内。
例：下图为铁磁材料的饱和特性。当激磁电流I较 小时，磁场密度B随着I线性增加。但当I较大时，B的 增长率越来越小，呈现明显的饱和非线性。
F (t) ky
f
•
y
经拉氏变换 整理成
mY (s)s2 F (s) kY (s)fY (s)s
Y (s)
1
F (s) G(s) ms 2 fs k
例 RLC电路
ur
uC
利用电路基本知识有：
L
di dt
Ri
1 C
idi
ur
1 C
idi
uC
进行拉氏变换得：
LsI(s)
RI
(s)
电网络的传递函数可以方便地利用线性元件的 复数阻抗来求得。
电阻
uR
iR R
uR (t) R iR (t) UR(s) R IR(s)
ZR
(s)
UR(s) IR(s)源自R电容 iCuc C
uC
(t)
1 C
ic (t)dt
1 UC (s) Cs IC (s)
ZC
(s)
UC (s) IC (s)
1、传递函数是在变换域中描述系统的一 种数学模型。它是以参数来表示系统结构的， 故又称为系统的参数模型。
2、传递函数是基于拉氏变换得到的，可以 简化计算。
2.1.1 传递函数的定义
n阶线性定常系统的一般表达式（n>m）
a0
dn dt n
传递函数
极点和零点
系统传递函数G(s)的特征可由其极点和零点在 s复数平面上的分布来完全决定。用D(s)代表G(s)的分母多项 式，M(s)代表G(s)的分子多项式，则传递函数G(s)的极点规定为特征方程D(s)=0的根，传递函数G(s)的零点规 定为方程M(s)=0的根。极点（零点）的值可以是实数和复数，而当它们为复数时必以共轭对的形式出现，所以它 们在s复数平面上的分布必定是对称于实数轴（横轴）的。系统过渡过程的形态与其传递函数极点、零点（尤其是 极点）的分布位置有密切的关系。
传递函数
数学函数
01 基本释义
03 性质 05 应用
目录
02 常识 04 极点和零点 06 局限性
传递函数是指零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z变换）与激励（即输入）量的拉 普拉斯变换之比。记作G（s）=Y（s）/U（s），其中Y（s）、U（s)分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。传 递函数是描述线性系统动态特性的基本数学工具之一，经典控制理论的主要研究方法——频率响应法和根轨迹 法——都是建立在传递函数的基础之上。传递函数是研究经典控制理论的主要工具之一。
感谢观看
5.如果不知道系统的传递函数，则可通过引入已知输入量并研究系统输出量的实验方法，确定系统的传递函 数.系统的传递函数一旦被确定，就能对系统的动态特性进行充分描述，它不同于对系统的物理描述；
6.用传递函数表示的常用连续系统有两种比较常用的数学模型。
性质
1、传递函数是一种数学模型，与系统的微分方程相对应。 2、是系统本身的一种属性，与输入量的大小和性质无关。 3、只适用于线性定常系统。 4、传递函数是单变量系统描述，外部描述。 5、传递函数是在零初始条件下定义的，不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。 6、一般为复变量 S的有理分式，即 n ≧ m。且所有的系数均为实数。 7、如果传递函数已知，则可针对各种不同形式的输入量研究系统的输出或响应。 8、如果传递函数未知，则可通过引入已知输入量并研究系统输出量的实验方法，确定系统的传递函数。 9、传递函数与脉冲响应函数一一对应，脉冲响应函数是指系统在单位脉冲输入量作用下的输出。
第六章 传递函数
第六章 传递函数对于线性定常系统，传递函数是常用的一种数学模型，它是在拉氏变换的基础上建立的。
用传递函数描述系统可以免去求解微分方程的麻烦，间接地分析系统结构及参数与系统性能的关系，并且可以根据传递函数在复平面上的形状直接判断系统的动态性能，找出改善系统品质的方法。
因此，传递函数是经典控制理论的基础，是一个极其重要的基本概念。
第一节 传递函数的定义一、传递函数的定义1、定义对于线性定常系统，在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉()()C s R s ==零初始条件输出信号的拉氏变换传递函数输入信号的拉氏变换2、推导设线性定常系统的微分方程的一般形式为1011110111()()()()()()()()n n n n nn m m m m mm d d d a c t a c t a c t a c t dtdtdtd d d b r t b r t b r t b r t dtdtdt------++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++◆ 式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，r(t)、c(t)及其各阶导数在t=0时的值均为零，即零初始条件。
◆a ， 1a ，…，na 及b ， 1b ，…，mb 均为系统结构参数所决定的实常数。
对上式中各项分别求拉氏变换，并令C(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s 的代数方程为：11011011[]()[]()nn mm n n m m a s a sa s a C sb sb sb s b R s ----++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++于是，由定义得到系统的传递函数为：10111011()()()()()m m m m nn n nb s b sb s b C s M s G s R s a s a sa s a N s ----++⋅⋅⋅++===++⋅⋅⋅++其中，1011()m m m m M s b s b s b s b --=++⋅⋅⋅++ 1011()n n n n N s a s a s a s a --=++⋅⋅⋅++ N(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系统特征根。
第四章系统传递函数模型
H(s) 1
s1
3 微分环节 凡是系统的输出正比例于系统输入的微分，即：
y(t)Tdu(t)Tu(t) dt
系统的传递函数为 H(s)Y(s) Ts
U(s)
其中T称为微分环节的时间常数，一般情况下微分环节 在实际中不可能单独存在。 在实际应用中，常将微分环节与其他环节联合使用。
4 积分环节
该环节的输出等于系统的输入量对时间的积分成正比
方次大于等于分母方次的时候，通常要转换成余项研 究）
例4-1 设系统的动力学方程为： m y c y k y u (t) ， 计算单自由度弹簧质量的传递函数的零极点模型。
解：
H ( s ) u y ( ( s s ) ) m s 2 1 c s k s 2 2 1 /p m s p 2 ( s p 1 1 ) /( m s p 2 )
可以证明：各个留数可以通过下式求出：
ki sl iim H(s)(si)
i1,2, n
例4-3 某系统的传递函数为： H(s) 5s3
s36s21s16
将系统模型写成零极点增益模型。 解： H(s)5 s0.6
(s3)s(2)s(1)
系统的零点：z0.6 极点： (3,2,1) 增益： k 5 写成留数形式，则有：
k3sl im 2H(s)(s3)
5(ss3 )(0s.6 2)5(ss3)(0s.6 2)|s151 20.61
则系统的留数为： k1 6 k2 7
k3 1
传递函数的留数形式为： H(s)6 7 1
s3 s2 s1
例4-4 已知系统的传递函数为:
H(s)s3s22s23s5s110
将系统模型写成零极点增益模型：
dt
在机械系统中，如图所示不考虑AB杆的质量情况下，
典型环节的传递函数
21
一、典型输入信号
1. 阶跃函数：
r(t)
a t 0
a
r(t) 0 t 0
t
单位阶跃函数：
1 t 0 r(t) 1(t) 0 t 0
单位阶跃函数的拉氏变换
R(s) L[1(t)] 1 s
22
2. 速度函数(斜坡函数)：
r(t)
at t 0
r(t)
0
t0
at
t
单位速度函数(斜坡函数)：
传递函数为： G(s)
1
s
积分环节原理图为：
U2(s) 1/ Cf s 1 1 U1(s) R1 R1C f s Tis
4
空载油缸
流量：
Q
f
(t)
A
dx(t) dt
X (s) 1/ A K Q f (s) s s
小惯性电动机
m(s) Km
Ua(s) s
三、理想微分环节 微分方程为：c(t) dr(t)
4. 调节时间ts:整个过渡过程所经历的时间，有时也叫过渡过 程时间。
30
5. 超调量σ%: 响应过程中，输出量
超出稳态值的最大偏差值， 一般用它与稳态值的比值 的百分数表示，即
% h(t p ) h() 100%
h()
6. 振荡次数N:单位阶跃响应曲线在0→ts时间内，穿越稳态 值次数的一半称为振荡次数。
31
7.稳态误差ess:对单位 负反馈系统，当时间t 趋于无穷时，系统单 位阶跃响应的期望值 [即输入量1(t)] 与实际值 (即稳态值)之差，定义为 稳态误差:
ess =1 - h(∞)
当h(∞) =1时，系统的稳态误差为零。
32
注意： σ%
2.2 传递函数
(3)其它微分环节
一阶微分环节
微分方程：
y(t)
Td
dr(t) dt
r(t)
传递函数： G(s) Td s 1
G(s) Uo(s)
Ui (s)
R1
R2 // 1
Cs
R2 R1
(R1Cs
1)
K
(Td
s
1)
其中， K R2 R1
Td R1c
二阶微分环节
微分方程：
(s) Gu (s)Ua (s) Gm (s)Mc (s) Gu (s) Gm(s)UMac((ss))
四、传递函数的一般表达式
1、定义的形式
说明：
G(s)
bm s m an s n
bm1sm1 ... b1s b0 an1sn1 ... a1s a0
(1) 理想微分环节
纯微分环节
微分方程： 传递函数：
dr(t)
y(t) Td dt
t0
G(s) Td s 式中，Td 为微分时间常数
纯微分电路
G(s) Uo(s) R
Ui (s)
1
RCs Ts
(T =RC)
Cs
特点：输出反映了输入的变化率，即输入变化 的激烈程度
(2)实际微分环节 微分方程：
n
(n为自然角频率，为阻尼比，0 1表示振荡环节)
方框图：
R(s)
n2
Y (s)
s2 2n s n2
【例2.2.6】弹簧—质量—阻尼系统 由【例2.1.1】可得出其微分方程为
振荡环节阶跃响应
传递函数
拉氏反变换
传递函数的定义
输入
设一控制系统
输入拉氏 变换
传递函数的定义：
r(t)
R(S)
系统 G(S)
c(t)
C(S)
输出 输出拉氏 变换
线性定常系统在零初始条件下，系统输
出量拉氏变换与系统输入量拉氏变换之比。
C(s) 将微分方程拉氏变换便 表示为： G(s) = R(s) 可求得传递函数。
设c(t)、r(t)及其各阶导数的初始值为零，对微分方程
R
ur
C
∞ - +
uc
x(t) y(t) y(t)
+
G(s) =RC s
T = RC 为电路时间常 数。当T足够小时，可
近似为纯微分环节。
Δ
x(t)
0
理想微分环节 单位阶跃响应曲线
t
理想微分环节实际中是难以实现的，实际中常用 含有惯性的实用微分环节。
+
ui
-
RC电路构成的实用微分环节 C + G(s)= u R
4。阶跃响应 当输入信号x(t)为单位阶跃信号1(t)时，输出为 y(t)=1(1-τ） 阶跃响应曲线
x(t) y(t)
1 0
y(t) x(t)
τ
t
U 2 ( s) 1 U1 ( s ) RCs 1
U o (s)
1 LS R Cs
1 Cs
U i (s)
1 U i (s) LCs RCs 1
2
• 用复阻抗的概念求RLC电路的传递函数。 • 解：根据基尔霍夫定律，有
U o (s) 1 Cs LS R 1 Cs U i (s) 1 U i (s) LCs 2 RCs 1
控制工程基础第三章系统的传递函数
如图所示为机械转动系统，由惯性负载和粘性摩擦阻 尼器构成，以转矩Ti为输入量，以角速度w为输出量
机械转动系统
dw ( t) 其运动方程式为：J + Bw ( t )= Ti ( t) dt W (s ) 1 K 其传递函数为：G ( s)= = = Ti (s ) Js + B Ts + 1 J 1 式中 T= , K = 。 B B
B
i(t)
C
uo (t)
x
机械平移系统
d 2x dx m 2 B k x f t dt dt
RLC电路
X s 1 1 2n Gs ＝ 2 F s ms Bs k k s 2 2n s 2 n
n
k m
B 2 km
C
uo (t )
其微分方程为：Ri( t)+ u0 () t = ui () t du0 () t i( t)= C dt 消去中间变量后，得 du0 () t RC + u0 () t = ui () t dt 通过拉氏变换求得电路的传递函数为： U0 (s) 1 G( s)= = Ui (s) Ts+1 式中 T=RC
4. 微分环节
输出量与输入量的微分成比例的环节，称为微分环节 dxi ( t) 其运动方程式为：x0 ( t )= TD dt 其传递函数为： G ( s)= TD s
式中 TD ─ 微分环节的时 间常数 。
当输入量为单位阶跃信号时，输出量就是脉冲函数，这 在实际中是不可能的。因此，理想的微分环节不能实现，在 实际中用来执行微分作用的都是近似的，称为实际微分环节， 其传递函数具有如下形式：
一阶微分环节和二阶微分环节的微分方程分别为：
传递函数
线性微分方程可以归纳其一般的表达式为：1011110111()()()...........()()()()...........()n n n n n n m m m m m m d c t d c t d c t a a a a c t dt dt dtd r t d r t d r t b b b b r t dt dt dt------++++=++++ （7.1）式子中，()c t 是输出量，()r t 是输入量。
0a ，1a ，1n a -…….. n a 和0b ，1b ，…….. 1m b -，m b 都是由系统结构决定的常数。
微分方程建立以后，便可以由此为基础分析控制系统的性能。
最直接的办法就是求解微分方程得到系统的输出响应，但是微分方程特别是高阶微分方程的求解以及参数性能分析是十分困难的，可以利用拉普拉斯变换来简化对微分方程的求解，并利用拉氏变换将微分方程这种时间域中的数学模型转化成复数s 域内的数学模型——传递函数。
传递函数不仅可以表征系统的动态特征，而且还可以用来研究系统的结构或参数变化对系统的影响。
在后面的章节中将要介绍的频率法和轨迹法，都是以传递函数为基础建立起来的，传递函数是经典控制理论中最主要和最基本的概念。
7.1传递函数的定义一般线性定常系统的微分方程课用式7.1表示，对于实际的控制系统，n 不小于m ，即n ≥m 。
设r(t)以及其各阶导数在t=0时刻的值均为0，则对式（7.1）中的各项分别求拉氏变换，可得： 10111011(......)()(..........)()n n n n m m m m a s a s a s a c s b s b s b s b r s ----++++=+++（7.2） 式子中，C(s)=L[c(t)],R(S)=L[R(t)]。
由式（2.1）可得： 10111011..........()()()......m m m m n n n n b s b s b s b C s G s R s a s a s a s a ----+++==++++ (7.3)2.2 传递函数的性质1）传递函数是复变量s 的有理真分式，具有复变函数的所有性质，只适用于线性定常系统，其分母多项式中s 的最高幂称为系统的阶次，一般分母多项式中s 的最高次方总大于或等于分钟多项式中的s 的最高次方。
2.3传递函数
20
三、传递函数的物理意义
如果系统输入为 r (t ) (t ) ，那么R(s)=1, 此时的输出即为脉冲响应，用g(t)表示。 那么
g (t ) L [C(s)] L [G(s) R(s)] L [G(s)]
由此可知系统的传递函数就是该系统脉 冲响应的拉氏变换。因此说传递函数可 以表征系统的动态性能。
8
四、正弦函数
正弦函数也称谐波函数，表达式为
r (t )
0
0 ASint
t 0 t 0
用正弦函数作输入信号，可求得系统对不同频率的 正弦输入的稳态响应。正弦输入的拉氏变换为
R ( s ) L[r (t )]
ASinte
st
dt
0
A (e jt e jt )e st dt 2j
15
根据传递函数的定义，描述该线性定常系统的传 递函数为
C ( s ) bm s m bm 1s m 1 b1s b0 N ( s ) G(s) n n 1 R ( s ) a n s a n 1s D( s) a1s a0 (2 15)
19
3.在同一系统中，当选取不同的物理量作为输入、输 出时，其传递函数一般也不相同。传递函数不反映 系统的物理结构，物理性质不同的系统，可以具有 相同的传递函数。若传递函数已知，针对不同的输 入，可以求出系统的输出响应： C (s) G(s) R(s) 再通过反拉氏变换求出 c(t ) 4.传递函数的定义只适用于线性定常系统。 5.传递函数有一定的零、极点分布图与之对应，因此 传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性 能。
传递函数的定义,零点,极点,特征方程
传递函数的定义,零点,极点,特征方程【引言】在探讨传递函数的定义、零点、极点和特征方程之前，我们首先要了解传递函数的基本概念。
传递函数是描述线性时不变系统输入与输出之间关系的一种数学函数。
它是控制工程中最为常用的理论工具之一，对于分析和设计控制系统具有重要意义。
通过对传递函数的分析，我们可以全面了解系统的动态特性，从而帮助我们实现恰当的控制和优化。
【传递函数的定义】传递函数是描述线性时不变系统输入与输出之间关系的函数。
在控制工程中，一般使用 Laplace 变换来表示传递函数。
传递函数可以用来描述系统对输入信号的响应情况，其数学表达式通常具有分子和分母的形式，形如 H(s)=Y(s)/X(s)，其中 H(s) 为传递函数，Y(s) 为系统的输出信号的 Laplace 变换，X(s) 为系统的输入信号的 Laplace 变换。
通过传递函数，我们可以了解系统对各种输入信号的响应情况，从而为控制系统的设计和分析提供依据。
【零点和极点】传递函数的分子和分母多项式的根分别称为传递函数的零点和极点。
零点和极点决定了传递函数的动态特性，对于系统的稳定性和动态响应具有重要影响。
零点是使传递函数等于零的值，其位置可以直接影响系统的传递特性。
当传递函数的零点位于频域图中的某一点时，系统对该频率的输入信号会受到抑制；当零点位于实轴上时，系统会产生共振现象，从而导致系统的不稳定性。
极点是使传递函数的分母多项式等于零的值，其位置决定了系统的稳定性和动态响应。
当极点全部位于左半平面时，系统为稳定系统；当存在极点位于右半平面时，系统为不稳定系统；若存在虚轴上的极点，则会影响系统的频率响应特性。
【特征方程】特征方程可以由传递函数的分母多项式推导得出，是描述系统的稳定性及动态响应的重要方程之一。
特征方程的根即为传递函数的极点，通过解特征方程可以得到系统的固有频率和阻尼比，从而帮助我们全面了解系统的动态特性。
【个人观点】对于控制工程领域的从业者来说，深入理解传递函数的定义、零点、极点和特征方程对于系统分析和控制设计至关重要。
五、传递函数
Uo ( s) 1 G( s) U i ( s ) LCs 2 RCs 1
3
几点结论
传递函数是复数s域中的系统数学模型， 其参数仅取决于系统本身的结构及参数， 与系统的输入形式无关。 若输入给定，则系统输出特性完全由传递函 数G(s) 决定，即传递函数表征了系统内在的 固有动态特性。 传递函数通过系统输入量与输出量之间的关 系来描述系统的固有特性。即以系统外部的 输入－输出特性来描述系统的内部特性。
10
惯性环节
凡运动方程为一阶微分方程：
d T xo (t ) xo (t ) Kxi (t ) dt
形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：
X o ( s) K G( s) X i ( s ) Ts 1
式中，K—环节增益（放大系数）； T—时间常数，表征环节的惯性，和 环节结构参数有关
式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi (i=1, 2, …, m)，称为传递函数的零点； 影响瞬态响应曲线的形状，不影响系统稳定性 N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj (j=1, 2, …, n)，称为传递函数的极点； 决定系统瞬态响应曲线的收敛性，即稳定性
传递函数为：
G( s)
式中，T—积分环节的时间常数。
15
积分环节特点： 输出量取决于输入量对时间的积累过程。 且具有记忆功能； 具有明显的滞后作用。
如当输入量为常值 A 时，由于：
1 t 1 xo (t ) 0 Adt At T T
输出量须经过时间T才能达到输入量在t = 0 时的值A。 积分环节常用来改善系统的稳态性能。
传 递 函 数
（1）传递函数只适用于线性定常系统。由于传递函数是基于拉氏变换将原来的线 性常系数微分方程从时域变换至复频域而得到的，故仅用于描述线性定常系统。
（2）传递函数是在零初始条件下定义的，因此它表示了在系统内部没有任何能量 储存条件下的系统描述。如果系统内部有能量储存，传递函数中将会出现系统在
1.1 传递函数的定义
传递函数的概念是在用拉氏变换求解线性微分方程的基础上提出的，它是
经典控制理论中应用最广泛的一种动态数学模型。
设描述n阶线性定常系统的微分方程为
dnc(t) dn1c(t)
dc(t)
a0 dtn a1 dtn1 an1 dt anc(t)
b0
d m r (t ) dt m
记作
G(s)
C(s) R(s)
b0 s m a0 s n
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
(n
m)
G(s) 反映了系统输出与输入之间的关系，描述了系统的特性，即为线性定
常系统的传递函数。
【定义 2-1】 线性定常系统中，在零初始条件下，系统输出量拉氏变换与输入
R(s) L (t) 1
所以，系统在单位脉冲输入信号 (t)作用下输出量的拉氏变换为 C(s) G(s)
故有：
g(t) L1 C(s) L1 G(s)
可见，传递函数 G(s) 的拉氏反变换是系统在单位脉冲输入信号 (t) 作
用下的输出量，它完全描述了系统的动态特性，所以是系统的数学模型，通常 也称为脉冲响应函数。
b1
d m 1r (t ) dt m1
bm1
dr(t) dt
bm r (t )
式中 c(t) ——系统输出量；
传递函数 频响函数 -回复
传递函数频响函数-回复什么是传递函数和频响函数？传递函数（Transfer Function）是用来描述线性时不变（LTI）系统的输出和输入之间的关系的一种数学方法。
通过传递函数，我们可以了解系统对不同频率信号的响应。
传递函数通常以H(s)的形式表示，其中s是复变量。
频响函数（Frequency Response Function）是指系统对各个不同频率的输入信号所产生的响应。
频响函数描述了系统对输入信号频率的衰减或增益，以及相位的改变。
通常用H(jω)表示，其中j是虚数单位，ω代表角频率。
传递函数和频响函数都是用来描述系统的性质和特性的数学工具。
传递函数描述了系统对任意输入信号的输出情况，而频响函数描述了系统对不同频率输入信号的响应情况。
那么，如何通过传递函数来得到频响函数呢？步骤一：将传递函数H(s)进行拉普拉斯变换，得到系统的微分方程。
对于LTI系统，微分方程通常可以表示为一个关于输入信号x(t)和输出信号y(t)的差分方程。
步骤二：将微分方程转化为频域方程。
通过将微分方程中的所有导数操作替换为对频率的复变换，我们得到一个关于H(jω)的方程。
步骤三：计算频响函数模和相位。
将频域方程写成幅度和相位的形式，可以得到频响函数的模H(jω)和相位φ(jω)。
步骤四：绘制频响曲线。
根据频响函数的模和相位，可以绘制系统的频响曲线。
通常采用dB为单位的对数坐标来表示频率增益，相位则用角度来表示。
通过以上步骤，我们可以获得系统的频响函数，从而了解系统对不同频率的输入信号的响应情况。
频响函数可以告诉我们系统对信号的增益或衰减情况，同时也可以告诉我们系统对信号的相位改变情况。
频响函数在信号处理、控制系统设计等领域有着广泛的应用。
例如，在音频系统中，我们可以通过频响函数来判断音箱是否能够准确地重现不同频率的声音；在控制系统中，我们可以通过频响函数来分析系统的稳定性和性能。
总结起来，传递函数和频响函数是描述系统特性的数学工具，通过传递函数可以得到系统的频响函数，进一步了解系统对不同频率信号的响应。
传递函数 传递率
传递函数传递率传递函数是一种数学概念，用于描述输入和输出之间的关系。
在工程和科学领域中，传递函数被广泛应用于系统建模和控制设计。
它能够帮助我们了解系统的特性和行为，并提供一种分析和设计系统的方法。
在控制系统中，传递函数通常用于描述输入信号和输出信号之间的关系。
它将输入信号转换为输出信号的方式取决于系统的特性和参数。
传递函数可以是线性或非线性的，它们可以是时变或时不变的，具体取决于系统的性质。
传递函数可以通过多种方式表示，其中一种常见的表示形式是使用拉普拉斯变换。
通过应用拉普拉斯变换，我们可以将微分方程转化为代数方程，从而更容易分析系统的特性。
传递函数通常表示为H(s)，其中s是复变量。
通过传递函数，我们可以分析系统的稳定性、频率响应和时域响应。
稳定性是指系统在输入变化时是否能保持稳定的性质，它可以通过传递函数的极点来判断。
频率响应描述了系统对不同频率输入信号的响应情况，它可以通过传递函数的幅频特性和相频特性来表示。
时域响应描述了系统对时间变化的输入信号的响应情况，它可以通过传递函数的阶跃响应、脉冲响应和频率响应来表示。
传递函数的传递率是指系统对输入信号的放大或衰减程度。
传递率可以通过传递函数的幅频特性来表示，它描述了系统对不同频率输入信号的放大或衰减程度。
传递率可以是常数，也可以是频率的函数，具体取决于系统的特性和参数。
传递函数的传递率在系统分析和设计中起着重要的作用。
通过分析传递函数的传递率，我们可以了解系统对不同频率输入信号的响应情况，并根据需要进行调整和优化。
在控制系统设计中，传递率的稳定性和性能是重要考虑因素，我们需要确保系统的传递率在所需范围内，并满足设计要求。
传递函数的传递率是描述系统对输入信号的放大或衰减程度的重要概念。
通过分析传递函数的传递率，我们可以了解系统的特性和行为，并进行系统的分析和设计。
在工程和科学领域中，传递函数的传递率被广泛应用于系统建模和控制设计，它帮助我们理解和优化系统的性能。
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这些微分环节的传递函数没有极 点，只有零点。由于n<m,一般
一阶: G(s)Tds1
不会单独存在,实际微分环节是 加入惯性环节的实现.
二阶: G (s)Td2s22Tds1
实际:
G(s)
Td s Td s 1
G(s)
T2s2
1
2Ts1
两种形式的能量转换过程中使输 出产生振荡。
G(s) es
输出和输入相同仅延迟时间τ； 不失真
原因：延时效应。信号输入环节后，由于环节传递信号的速 度有限。输出响应要延迟一段时间τ才能产生。
典型环节
比例环节 惯性环节 积分环节 微分环节
振荡环节 延迟环节
传递函数
特点
G(s) K
同步变化,不失真,不延时
G(s) 1 Ts 1
跟随输入,存在时间上的延迟
G(s)
1 s
输出随时间无限的增加
理想: G(s) Tds
i
1 zi
1 Tj pj
m
K ──时间常数形式传递函数的增益；
zi
通常称为传递系数。
K Kg
i1 n
pj
j1
2.2.2 典型环节及其传递函数
一个系统可看成由一些环节组成的，可能是电气的，机械的，液压 的，气动的等等。尽管这些系统的物理本质差别很大，但是描述他们的 动态性能的传递函数可能是相同的。如果我们从数学的表达式出发，一 般可将一个复杂的系统分为有限的一些典型环节所组成，并求出这些典 型环节的传递函数来，以便于分析及研究复杂的系统。
数微分方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。
➢传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理性质和学
科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。而研究某传递函 数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。
➢传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。只反映了
输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。
2、零极点形式
m
G(s)Kg(sz1)L(szm) (sp1)L(spn)
K g (s zi)
i1 n
(s p j)
M N
(s) (s)
j1
上式中
Kg ──零极点形式传递函数的根轨迹增益 ；
-zi ──分子多项式M(s)=0的根，称为零点；
K
g
bm an
-pj ──分母多项式N(s)的根，称为极点。
令
G(s)b am nssm n a bm n 11ssn m 11 ...... ab11ss a b0 0
可得出输出量的拉氏变换
Y(s)G(s)R(s)
当传递函数和输入已知时，通过拉氏反变换可求出时域表达式 y(t)。
三、传递函数的性质
➢传递函数只适用于零初始条件下的线性定常系统。它与线性常系
控制系统中常用的典型环节有，比例环节、惯性环节、 微分环节、 积分环节和振荡环节等。以下介绍这些环节的传递函数及其推导。
一、比例环节
微分方程： y(t)Kr(t)
传递函数： G (s ) K (增 益 、 放 大 系 数 ）
方框图：
R (s)
Y (s)
K
特点：输出量与输入量成正比，并且同步变化，不失真也不延时。 举例：这种类型的环节很多，机械系统中略去弹性的杠杆、作为测 量元件的测速发电机(输入为角速度，输出为电压时)以及电子放大器等， 在一定条件下都可以认为是比例环节。
【例2.2.3】如图a所示的电压分压器即为一典型比例环节，当输入 量r(t)为阶跃变化信号时，输出量y(t)的变化如图b所示。
二、 惯性环节
一阶微分方程： Tdy(t) y(t)r(t) dt
传递函数：G (s)Y(s) 1 (T是 时 间 常 数 ） R(s) Ts1
方框图：
R ( s ) 1/(Ts+1) Y ( s )
ansnY (s)
an1sn1Y(s)
a1sY (s) a0Y (s)
bm s m R (s) andndytn(t)an1dndt1ny(1t)...a1dyd(tt)a0y(t)
bmddmtrm (t)bm1ddm t1mr(1t)...b1drd(tt)b0r(t)
b0R (s)
y ( 0 ) 0 ,y '( 0 ) 0 L y n 1 ( 0 ) 0
y(t)1etT t0
r(t)
y(t)
0.95 0.98 0.99
0.87
0.63
T 2T 3T 4T 5T
1 s
s
1
1
T
在单位阶跃输入
信号的作用下，
惯性环节的输出
信号是指数函数。
当 时 间 t=(3~4)T
时，输出量才接
t
近其稳态值。
三、 积分环节
微分方程： 传递函数：
方框图：
y(t) r(t)dt
2.2 传递函数
2.2.1 传递函数的定义和性质
一个控制系统性能的好坏，取决于系统的内在因素，即系统的结构参 数，而与外部施加的信号无关。因而，对于一个控制系统品质好坏的评价 可以通过对系统结构参数的分析来达到，而不需要直接对系统输出响应进 行分析。
传递函数 是在拉氏变换基础之上引入的描述线性定常系统或 元件输入、输出关系的函数。它是和微分方程一一对应的一种 数学模型，它能方便地分析系统或元件结构参数变化对系统响 应的影响。
零初始条件下,输入量r(t)的拉普拉斯变换为R(s)=L[r(t)]、输出量y(t)的拉 普拉斯变换为Y(s)=L[y(t)]。对上式两边同时进行拉普拉斯变换,可得
[ansnan1sn1...a1sa0]Y(s)
[bmsmbm1sm1...b1sb0]R(s)
则有
Y(s)b am nssm n a bm n 1 1 ssn m 11 ...... a b 1 1 ss a b0 0R(s)
/
m
s2 2ns n2
特点：
1、含有两种形式的储能元件，并能将储存的能量相互转换。
如动能与位能、电能与磁能间转换。
2、能量转换过程中使输出产生振荡。
五、 微分环节
(1) 理想微分环节
纯微分环节
微分方程： 传递函数：
dr(t) y(t)Td dt
t0
G(s) Tds 式中，T d 为微分时间常数
纯微分电路
方框图：
R (s)
n2
Y (s)
s2 2ns n2
【例2.2.6】弹簧—质量—阻尼系统 由【例2.1.1】可得出其微分方程为
振荡环节阶跃响应
mddt22xf
dxkxF(t) dt
它的传递函数为
G(s)F(s) 1 1 X(s) ms2fsk
T 2s2 2Ts 1
n2
s2
1/ m fs/ mk
（3）典型环节的概念只适用于能够用线性定常数学模 型描述的系统。
1 Cs
R2 R1
(R1Cs 1) K(Tds1)
其中， KR2 R1
Td R1c
二阶微分环节
微分方程： 传递函数：
y(t)T2dd 2rt(2t)2Tdrd(tt)r(t)
G (s)T2s22Ts1
这些微分环节的传递函数没有极点，只有零点。纯微
分环节的零点为零，一阶微分环节和二阶微分环节的零点 分别为实数和一对共轭复数。
六、 延迟环节
r (t)
微分方程：
y(t)r(t)
0
t 传递函数： G(s) es
y (t)
0
方框图： t
e R ( s )
Y (s)
s
将延迟环节的传递函数展开为泰勒级数：
G(s)ese1s 1s112s2L
2!
当延迟时间很小时，可近似为惯性环节：
G(s)es 1
1s
特点：
1、输出和输入相同仅延迟时间τ；不失真 2、与其他环节同时存在。人体、计算机系统、液压机械 传动、气动传动。
说明: （1）对应同一元件（或系统），可以取不同的量作为输
出量和输入量，所得到的传递函数是不同的。 （2）对于复杂的控制系统，在建立系统或被控对象的数
学模型时，将其与典型环节的数学模型对比，即可知其由 什么样的典型环节组成。由于典型环节的动态性能和响应 是已知的，因而给分析、研究系统性能提供很大的方便。
特点：惯性环节的特点是其输出量不能立即跟随输入量变化， 存在时间上的延迟。其中时间常数越大，环节的惯性越大，则延迟 的时间也越长。
【例2.2.4】一阶惯性环节的输入信号为单位阶跃信号，其拉普拉斯变
换 R(s) 1 s ，求输出量 y ( t ) 。
解：
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
Y(s)G （ s)R （ s) 1 1 Ts 1 s
G(s) Uo(s) U i (s)
R
R
1
Cs
RCs s RCs1 s1
RC 时 间 常 数
实际微分电路
当τ<<1时，才近似为纯微分环节。
(3)其它微分环节
一阶微分环节
微分方程：
y(t)Td
dr(t)r(t) dt
传递函数： G(s)Tds1
G(s) Uo(s)
U
i
(
s
) R
2
R1
//
y(t) t
输出量随时间成正比地无限增加
四、 振荡环节
微分方程： 传递函数：
T2d2 dy t2 (t)2Tdy d(tt)y(t)r(t)
G(s)
T2s2
1
2Ts1
2 n
s2
2
ns
2 n
(T 1 为 时 间 常 数 )
n
( n 为 自 然 角 频 率 ， 为 阻 尼 比 ， 0 1 表 示 振 荡 环 节 )