第六章 插值计算与插值多项式模型
插值法及拉格朗日插值多项式
x0 )( x − x2 ) x0 )( x1 − x2 )
+
f
(
x2
)
(
(x
x2
− −
x0 x0
) )
( (
x − x1)
x2 − x1
)
以类似的方法教师可以推导三次多项式。为了学生的
兴趣，教师也可以引入「拉格朗日乘数函数」。
最后教师可帮助学生引出 pn (x) , n = 1, 2, 3 的次数是 n 及在 n + 1 个表列点到 xi 上， pn (xi ) = f (xi ) 的结论， 但不须要将其引伸至一般情况。
作为进一步的说明，一些常用函数如正弦及余弦函数 是值得作为课堂上示范的。教师可要求学生将利用拉格朗 日插值多项式估计的中间函数值与由计算器算得的数值 作一比较。教师亦可举出一些实际例子如经济走势图表及 人口数据表并要求学生估计其中缺掉的一些数据。
3.4 插值各项式的误差估计
3
在此阶段，教师应提醒学生拉格朗日插值多项式只是
学生应知道多项式逼近函数是数值法最常用的一种。 利用多项式 p(x) 替代函数 f(x) 是因为多项式容易计算， 它只涉及整数幂；而其导数及积分本身又为多项式，并不 难求得；况且多项式方程的根亦很容易确定。
3.2 拉格朗日播值多项式的 构造
3
作为引入，教师可展示拉格朗日插值多项式 pn(x) 在
n = 1 的情形。以下的图解可帮助学生了解插值法的实际
3.3 拉格朗日插值多项式的 2
教师应展示拉格朗日插值多项式的应用例子。
应用
例一
下表列出在 0, 1, 2, 4 点上的四个函数值。
xk
012源自4yk11
2
计算机第06讲 插值模型
4
S'(a) N 'a (a), S'(b) N 'b (b). 由这种边界条件建立的三次样条称为 f ( x) 的 Lagrange 三次样条插值函数。
（ii） S' ' (a) y' '0 , S' ' (b) y' 'n 。特别地 y' '0 y' 'n 0 时，称为自然边界条件。 （iii） S' (a 0) S' (b 0), S' '(a 0) S' '(b 0) ，此条件称为周期条件。
'cubic' 立方插值，函数是一次光滑的。
extrapolation 是外插策略。
在未来版本中，下面调用格式
interp1(...,'cubic') pp=interp1(...'pp')
可能会被移去。
6.2.2 griddedInterpolant 函数
才有
lim
n
Ln
(
x
)
f (x) ，而在此区间外， Ln (x) 是发散的。
2
例 6-1（Runge 现象）
在区间 [5,5] 上分别等间距地取
f
(x)
1 1 x2
的
11
个点和
16
个点，做出对应的 10 次和 15 次拉格朗日插值多项式，比较插值多项式与原来函数曲线的差
异。
求插值函数及画图的 Matlab 程序如下：
下面，我们介绍三种一维插值方法：多项式插值，分段线性插值，三次样条插值。
Matlab 工具箱要求 xi（ i 0,1,, n ）是单调的，不失一般性，不妨设 x0 x1 xn 。
第六章 插值计算与插值多项式模型
ω 3 ( x) =
( x − x1 )( x − x 2 ) 1 = ( x − 1)( x − 3) ( x3 − x1 )( x3 − x 2 ) 8
Ln-1（x）模型为 当X=4℃时
拉格朗日多项式形式简单、对称，便于计算机编程计算；但计算工作量较大，而且 当全部点作插值时，舍人误差也大，多项式次数较高，曲线的波动较大，一般计算时，取 距插值点j较近的几个点进行插值计算。
拉氏插值模型的余项估计
用拉氏插值多项式模型表示函数f(x)时，引起的误差由 Rn-1(x) = f(x) - Ln-1(x)给出。 或写成如下形式
线 性 插 值
线性插值是最简单的插值方法，设已知函数y=f(x)，在x0、x1处的值分别 为y0，y1，则过点（x0，y0），(xl，y1)的连线方程为
y1 − y0 y = y0 + ( x1 − x0 ) x1 − x0
[x。,x1]内任一点的插值为
y1 − y0 y = y0 + ( x − x0 ) x1 − x0
∆f 0 ∆2 f 0 y = y0 + ( x − x0 ) + ( x − x0 )( x − x1 ) h 2h 2
例：6.2某流体实测温度与粘度的关系如下表所示；试求出t=25℃时的粘度值。 解：用牛顿插值计算首先求一阶差分，二阶差分…并列入表中：
T℃ 20 22 24 26 28 30 μ 1.0051 0.9579 0.91442 0.8737 0.8360 0.8007 △ -0.0472 -0.0437 -0.0405 -0.0337 -0.0353 △2 0.0035 0.0032 0.0028 0.0024 △3 -0.0003 -0.0004 -0.004
多项式的插值多项式与Newton插值知识点
多项式的插值多项式与Newton插值知识点多项式的插值多项式是数值分析中的一个重要概念，它用于将给定的一组数据点拟合为一个多项式函数。
在多项式的插值问题中，给定n + 1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ... , (xn, yn)，其中xi不相等，yi可以是任意实数，要求找到一个n次多项式P(x)，使得P(xi) = yi，i = 0, 1, ..., n。
插值多项式的目的是通过已知的数据点，找到一个多项式函数，从而能够在这些数据点上精确地插值。
Newton插值是一种常用的插值方法，它采用了差商的概念。
差商是一种用于表示多项式系数的方法，通过递推关系可以快速计算出插值多项式的系数。
为了使用Newton插值，首先需要计算出差商表。
差商表的第一列是给定的数据点的纵坐标值，第二列是相邻数据点的差商，第三列是相邻差商的差商，以此类推。
差商表的对角线上的元素即为插值多项式的系数。
插值多项式的计算过程可以通过以下步骤来完成：1. 根据给定的数据点，构建差商表。
2. 根据差商表的对角线上的元素，计算插值多项式的系数。
3. 根据插值多项式的系数，构建插值多项式。
在实际应用中，多项式的插值多项式可以用于数据的拟合和插值计算。
通过插值多项式，我们可以通过已知数据点推断出未知数据点的值，从而实现对数据的预测和估计。
总结起来，多项式的插值多项式与Newton插值是数值分析中常用的方法。
它们通过利用已知的数据点，构建插值多项式来拟合数据，从而实现数据的预测和插值计算。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题和数据特点选择适合的插值方法，并利用插值多项式进行数据的分析和处理。
插值与拟合模型
插值与拟合§1多项式插值问题已知函数)(x f y =在n+1个互异结点处的函数值，如下表所示：求一个n 次多项式P n (x )，使得P n (x i )=y i ，i =1,2,……,n 。
并利用P n (x )近似未知函数f (x )。
从几何上看就是寻找一条n 次多项式曲线y = P n (x )，使其通过平面上已知的n+1个点：y 1y一、Lagrange 插值)()()()(1100x l y x l y x l y x P n n n +++=其中，ni x x x x x l j i nij j j ni j j i ,,2,1,)()()(00 =-∏-∏=≠=≠=二、Newton 插值)())(](,,,[))(](,,[)](,[)(11010102100100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f y x P 其中，10110)()(],[x x x f x f x x f --=nk x x x x x f x x x f x x x f k k k k ,,2,1,],,,[],,,[],,,[01102110 =--=-随着插值结点的增多，插值多项式的次数也增加。
然而多项式次数越高，近似效果未必越好，反而容易出现高次插值的Runge现象，为此需要考虑下面的分段插值问题。
三、分段插值1、分段线性插值在相邻两个结点[x k,x k+1]内，求一条线段近似函数f(x)，x∈[x k,x k+1]。
2、分段抛物插值在相邻三个结点之间用抛物线近似未知函数。
四、样条插值分段线性插值虽然避免了高次多项式插值的Runge 现象，然而在插值结点处又产生了新问题：不光滑。
为了克服这一现象，引入三次样条插值：在相邻两个结点之间用三次多项式函数s i (x )近似未知未知函数，并保证在插值结点处满足衔接条件：)1,,1()()(),()(),()(111-=''='''='=+++n i x s x s x s x s x s x s i i i i i i i i i i i i五、Matlab插值命令yi=interp1(x，y，xi，'method')(x，y)：插值节点；xi：被插值点；yi：xi处的插值结果；method：插值方法；‘nearest’最邻近插值；‘linear’线性插值；‘spline’三次样条插值；‘cubic’立方插值。
数值分析第六章_数值插值方法
M n1 (n 1)!
n1 ( x)
说明：
n=1时，
R1 ( x)
1 2
f
( )2 (x)
1 2
f
( )(x
x0 )(x
x1)
n=2时，
( [x0 , x1])
R2 (x)
1 6
f
( )(x
x0 )(x
x1)(x
x2 )
( [x0 , x2 ])
,
x1,
Hale Waihona Puke xn)1
x1
x12
x1n
n
( xi
ni j1
xj)
1 xn xn2 xnn
因 xi x j (i j) 故上式不为0。
据Cramer法则，方程组解存在且唯一。 故Pn (x)存在且唯一。虽然直接求解上述方程组 可求得插值多项式，但繁琐复杂，一般不用。
得关于a0,a1,…,an的n+1阶线性方程组
a0 a1x0 a0 a1x1
an x0n an x1n
y0 y1
a0 a1xn an xnn yn
其系数行列式是Vandermonde行列式
1 x0 x02 x0n
V
( x0
jk jk
(j,k=0,1)
称l0 (x)及l1 (x)为线性插值基函数。
2. 抛物插值：n=2情形
假定插值节点为x0, x1, x2 ，求二次插值多项式 L2 (x)，使 L2(xj)=yj (j=0,1,2) y= L2 (x)的几何意义就是过 (x0, y0)，(x1, y1) ， (x2, y2)三点的抛物线。 采用基函数方法，设
插值计算与插值多项式共37页文档
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
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7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
数值分析中的(插值法)
插值法可以与其他数值分析方法结合使用，以获得更准确和可靠的估计结果。例如，可以 考虑将插值法与回归分析、时间序列分析等方法结合，以提高数据分析的效率和精度。
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多项式的阶数
根据数据点的数量和分布情况，选择适当的多项式阶数，以确保多 项式能够更好地逼近真实数据。
计算多项式的系数
通过已知的数据点和多项式阶数，计算出多项式的系数，从而得到 完整的插值多项式。
计算插值多项式的导数
导数的计算
在某些应用中，需要计算插值多项式的导数，例如在 曲线拟合、数值微分等场景中。
总结词
牛顿插值法是一种基于差商的插值方法，通过构造差商表来逼近未知点的数值。
详细描述
牛顿插值法的基本思想是通过构造差商表来逼近未知点的数值，差商表中的每一 项都是根据前一项和后一项的差来计算的。该方法在数值分析中广泛应用于数据 拟合、函数逼近等领域。
样条插值法
总结词
样条插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个样条函 数，用于估计未知点的数值的方法。
常见的插值法
拉格朗日插值法
总结词
拉格朗日插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个多项式，用于估计未 知点的数值的方法。
详细描述
拉格朗日插值法的基本思想是通过构造一个多项式来逼近已知数据点，使得该 多项式在每个数据点的取值与实际值相等。该方法在数值分析中广泛应用于数 据拟合、函数逼近等领域。
牛顿插值法
增加采样点的数量可以减小离散化误差，提高插值结果的稳定
性。
选择合适的插值方法
02
根据具体情况选择适合的插值方法，如多项式插值、样条插值
等，以获得更好的逼近效果和稳定性。
引入阻尼项
多项式插值计算方法
多项式插值计算方法引言：在数学和计算机科学中，插值是一种常见的数值计算方法，用于通过已知的数据点来估计未知的数据点。
多项式插值是插值方法中的一种，通过构造一个多项式函数来逼近数据点，从而实现插值的目的。
本文将介绍多项式插值的基本概念、计算方法和应用领域。
一、多项式插值的基本概念多项式插值是指通过已知的n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，构造一个n次多项式函数P(x)来逼近这些数据点。
通过将P(x)代入已知的数据点，可以满足P(xi) = yi，即多项式函数经过已知数据点。
二、多项式插值的计算方法1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种常用的多项式插值计算方法。
通过构造一个满足已知数据点的n次多项式函数P(x)，可以使用拉格朗日插值公式来计算多项式的系数。
具体步骤如下：- 构造插值多项式P(x) = L1(x)y1 + L2(x)y2 + ... + Ln(x)yn，其中Li(x)为拉格朗日基函数。
- 拉格朗日基函数的计算公式为Li(x) = Π(j=1 to n, j ≠ i)(x-xj)/(xi-xj)，即除了第i个数据点外，其他数据点的插值基函数的乘积。
- 将已知数据点代入插值多项式，可以得到相应的系数，进而得到插值多项式P(x)。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是另一种常用的多项式插值计算方法。
通过构造一个满足已知数据点的n次多项式函数P(x)，可以使用牛顿插值公式来计算多项式的系数。
具体步骤如下：- 构造插值多项式P(x) = c0 + c1(x-x0) + c2(x-x0)(x-x1) + ... + cn(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)，其中ci为差商。
- 差商的计算公式为ci = f[x0, x1, ..., xi]/(xi-x0)(xi-x1)...(xi-xi-1)，即已知数据点的函数值的差商。
- 使用差商递推公式可以计算出所有的差商，进而得到插值多项式P(x)。
数学建模插值算法
数学建模插值算法插值算法是数学建模中一种常用的技术，用于在已知数据点处的估计和未知数据点之间的预测。
插值算法可以帮助我们充分利用已知数据点的信息，获得更完整和连续的数据。
在数学建模中，插值算法有多种方法可选，常见的包括拉格朗日插值、牛顿插值、样条插值等。
拉格朗日插值是最常见和简单的插值方法之一、它的基本思想是通过构造一个n次多项式来近似通过已知数据点的曲线。
具体地说，我们可以根据已知数据点的横纵坐标，构造出n个满足这些坐标的插值基函数。
然后，将这些插值基函数分别与相应基函数在未知数据点处取值的乘积相加，得到插值多项式。
最后，利用这个多项式来估计未知数据点的纵坐标。
牛顿插值是另一种常用的插值方法。
它的基本思想是使用差商的概念来创建一个n次多项式。
差商是一个递归定义的概念，其基本思想是通过逐步添加一个已知数据点来计算多项式的高次项系数。
具体地说，我们可以根据已知数据点的横纵坐标，构造出n个差商。
然后，将这些差商与相应基函数在未知数据点处取值的乘积相加，得到插值多项式。
最后，利用这个多项式来估计未知数据点的纵坐标。
样条插值是一种更加复杂但更精确的插值方法。
它的基本思想是通过构造一组n次多项式的集合，使得每个多项式在相应数据点处完全符合已知数据。
具体地说，我们可以根据已知数据点的横纵坐标，构造出n个多项式，并设置它们在数据点处的约束条件。
然后，通过求解一个线性方程组来计算每个多项式的系数。
最后，利用这组多项式来估计未知数据点的纵坐标。
以上是数学建模中常用的几种插值算法，它们各有优缺点，在不同情景下有着不同的适用性。
插值算法在实际应用中具有广泛的用途，例如地图绘制、图像处理、信号处理等领域。
在进行插值计算时，要根据实际情况选择适当的算法，并合理处理计算误差，以提高插值结果的准确性和稳定性。
数值分析模型§插值法
由实验或测量得到的某一函数在一系列点处的值要构造一个简单函数作为函数的近似表达式：，使得(6-1> 插值问题。
称为被插值函数，称为插值函数，称为插值条件取次多项式作为插值函数其系数行列式为的解存在而且是唯一的。
<6-4次多项式点以外，其他所有的节点都是次多项式为待定常数。
由就是满足插值条件，特别地，当时称为线性插值，其插值多项式为：从几何上看，为过两点的直线。
当时，称为抛物线插值，其插值多项式为：从几何上看为过点和插值的误差估计见书中138上，要求插值多项式）式给出了个条件，因此可以唯一确定一个次数不超过，其形式为。
）式来确定仿照拉格朗日插值多项式的基函数方法，可先求插值基函数个，每一个基函数都是次多项式，且满足条件）的插值多项式可写成利用拉格朗日插值基函数，令整理得：两边取对数求导可得同理仿照拉格朗日插值余项的证明方法，若内的余项为，三次样条函数记作，①在每个小区间②在每个内节点上具有二次连续导数。
由三次样条函数中的条件①知，有个待定系数。
由条件②知，在内节点上具有二阶连续导数，即满足条件：个条件。
由条件③，知，共有定一个三次样条，还需要外加个条件，最常用的三次样条函数第一类边界条件：第二类边界条件：特别地，，称为自然边界条件。
第三类边界条件：称为周期边界条件。
三次样条插值不仅光滑性好，而且稳定性和收敛性都有保证，具有良好的逼近性质。
构造满足条件的三次样条插值函数的表达式可以有多种方法。
下面我们利用表达，由于在区间上是三次多项式，故在其中积分两次并利用数，于是得三次样条表达式<6-12上式中是未知的，为确定，对求导得由此可得在区间上的表达式，从而得可得<6-14）对第一类边界条件如果令。
对于第二类边界条件，直接得端点方程如果令）的形式。
，求解上述矩阵可得通过实验等方法观测到反映某个函数的数据，要求利用这些数据构造出，上面介绍的插值法就是寻求近似函数的方法之一。
但由于实验观测数据不可避免地带有误差，甚至是较大的误差，所以使用插值法满足，而只要求偏差按某种标准最小，以反映所给数据的总体趋势，消除局部波动的影响，这就是曲线拟合问题。
插值法计算方法举例
插值法计算方法举例插值法是一种用来通过已知数据点的近似值来推测未知数据点的方法。
它通常用于数据的平滑和预测，尤其在缺少数据或数据不完整的情况下。
以下是一些插值法的具体计算方法举例：1. 线性插值法（Linear Interpolation）：线性插值法是最简单的插值方法之一、假设我们有两个已知数据点(x1, y1)和(x2, y2)，要推测处于两个数据点之间的未知点(x, y)。
线性插值法通过使用已知点之间的线性关系来计算未知点的值。
具体公式为：y=y1+(x-x1)*((y2-y1)/(x2-x1))2. 多项式插值法（Polynomial Interpolation）：多项式插值法通过使用一个低次数的多项式函数来逼近已知数据点，并预测未知数据点。
常见的多项式插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。
其中，拉格朗日插值使用一个n次多项式来逼近n个已知点，而牛顿插值使用差商（divided differences）和差商表来逼近已知点。
具体公式为：P(x) = a0 + a1 * (x - x1) + a2 * (x - x1) * (x - x2) + ... + an * (x - x1) * (x - x2) * ... * (x - xn-1)3. 样条插值法（Spline Interpolation）：样条插值法是一种更复杂的插值方法，它通过拟合已知数据点之间的线段和曲线，来推测未知数据点。
常见的样条插值方法包括线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值。
样条插值法具有良好的平滑性和曲线性质，通常在连续数据的插值和平滑方面效果更好。
具体公式为：S(x) = Si(x)，其中x属于[xi, xi+1]，Si(x)是第i段（i = 1, 2, ..., n-1）中的插值函数。
4. 逆距离加权插值法（Inverse Distance Weighting, IDW）：逆距离加权插值法是一种基于距离的插值方法，通过使用已知数据点的权重来推测未知数据点。
第六章 函数插值
第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数y = f (x )在一系列点x 0, x 1,…, x n 处的值y 0, y i ,…, y n ，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数P (x )作为y = f (x )的近似表达式；或者y = f (x )虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一个比较简单且易于计算的函数P (x )去近似代替它；本章所介绍的插值法就是建立这种近似公式的基本方法。
§1 代数插值 设已知某个函数关系y = f (x )在某些离散点上的函数值：nn y y y y yx x x x x 21210 （6.1）插值问题就是根据这些已知数据来构造函数y = f (x )的一种简单的近似表达式，以便于计算点i x x 的函数值)(x f ，或计算函数的一阶、二阶导数值。
一种常用的方法就是从多项式中选一个P n (x )，使得n i y x P i i n ,,2,1,0,)(（6.2）作为f (x )的近似。
因为多项式求值方便，且还有直到n 阶的导数。
我们称满足关系（6.2）的函数P n (x )为f (x )的一个插值函数，称x 0, x 1,…, x n 为插值节点，并称关系（6.2）为插值原则。
这种用代数多项式作为工具来研究插值的方法叫做代数插值。
设 x 0 < x 1< …< x n记a = x 0, b = x n ，则 [a, b] 为插值区间。
插值多项式存在的唯一性： 设所要构造的插值多项式为：n n n x a x a x a a x P 2210)(由插值条件n i y x P ii n ,,1,0)(得到如下线性代数方程组：n n n n n n nn nya x a x a y a x a x a y a x a x a101111000100111 此方程组的系数行列式为ni j j in nnnnn x xx x x x x x x x x D 021211020)(111此为范得蒙行列式，在线性代数课中，已经证明当j i x x ，;,2,1n i n j ,2,1 时，D 0，因此，P n (x )由a 0, a 1,…, a n 唯一确定。
多项式插值计算方法
多项式插值计算方法一、引言多项式插值是数值分析中常用的一种方法，它可以通过已知的数据点来构造一个多项式函数，从而在数据点之间进行插值。
多项式插值方法在实际应用中具有广泛的用途，例如图像处理、数据拟合、信号处理等领域。
本文将介绍多项式插值的基本原理和几种常用的计算方法。
二、基本原理多项式插值的基本原理是通过已知的数据点来构造一个多项式函数，使得该函数经过这些数据点。
假设已知的数据点为(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，其中xi和yi分别表示自变量和因变量的取值。
我们希望找到一个多项式函数P(x)，使得P(xi) = yi。
根据插值定理，只要选取足够多的数据点，就可以找到一个唯一的多项式函数满足插值条件。
三、拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种常用的多项式插值方法。
它基于拉格朗日插值多项式的思想，通过构造一个n次多项式来实现插值。
具体步骤如下：1. 根据已知的n+1个数据点，构造拉格朗日插值多项式的基函数Li(x)，其中i表示第i个数据点。
2. 将基函数Li(x)与对应的因变量yi相乘，得到Li(x)*yi。
3. 将所有的Li(x)*yi相加，得到最终的插值多项式P(x)。
4. 将自变量x代入插值多项式P(x)中，即可得到对应的插值结果。
拉格朗日插值法的优点是简单易懂，计算量较小。
但当数据点较多时，计算复杂度会增加，同时在边界处的插值结果可能会出现较大误差。
四、牛顿插值法牛顿插值法是另一种常用的多项式插值方法。
它基于差商的概念，通过构造一个n次多项式来实现插值。
具体步骤如下：1. 根据已知的n+1个数据点，计算差商表。
2. 根据差商表的值，构造牛顿插值多项式。
3. 将自变量x代入插值多项式中，即可得到对应的插值结果。
牛顿插值法的优点是计算效率高，尤其适用于数据点较多的情况。
但在插值区间较大时，插值结果可能会出现振荡现象。
五、埃尔米特插值法埃尔米特插值法是一种基于导数信息的多项式插值方法。
多项式插值计算方法
多项式插值计算方法引言：多项式插值是数值分析中常用的一种方法，用于通过已知数据点构造一个多项式函数，以逼近或插值这些数据点。
本文将介绍多项式插值的基本概念、插值多项式的计算方法以及应用场景。
一、多项式插值的基本概念在实际问题中，我们经常需要通过有限个数据点来近似或还原一个函数。
多项式插值是一种常见的数值方法，通过构造一个多项式函数来逼近或插值已知的数据点。
多项式插值的基本思想是：假设我们有n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，其中xi为已知的节点，yi为对应的函数值。
我们希望找到一个次数不超过n的多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
这个多项式P(x)就是我们要求解的插值多项式。
二、拉格朗日插值多项式的计算方法拉格朗日插值多项式是多项式插值的一种常用方法。
它的基本思想是构造n次多项式，使得多项式在每个节点上都满足插值条件。
具体计算步骤如下：1. 根据已知的n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，构造n 次拉格朗日基函数：Li(x) = Π[j=0, j≠i]^(n) (x-xj) / (xi-xj)，其中i=0,1,...,n。
2. 构造拉格朗日插值多项式：P(x) = Σ[i=0]^(n) yi * Li(x)，其中i=0,1,...,n。
三、牛顿插值多项式的计算方法牛顿插值多项式是另一种常用的多项式插值方法。
它的基本思想是通过差商来递推计算插值多项式的系数。
具体计算步骤如下：1. 根据已知的n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，计算差商表：f[x0] = y0，f[x1] = (y1-y0) / (x1-x0)，f[x2] = (f[x2]-f[x1]) / (x2-x1)，...f[xn] = (f[xn]-f[xn-1]) / (xn-xn-1)。
2. 构造牛顿插值多项式：P(x) = f[x0] + Σ[i=1]^(n) f[x0, x1, ..., xi] * Π[j=0]^(i-1) (x-xj)，其中i=1,2,...,n。
插值多项式简介
在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。
插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。
早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。
17世纪之后，I.牛顿，J.-L.拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。
在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。
插值问题的提法是：假定区间[a，b］上的实值函数f（x）在该区间上n＋1个互不相同点x0，x1……xn 处的值是f [x0］，……f（xn），要求估算f（x）在[a，b］中某点的值。
其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数C0，C1，……Cn的函数类Φ(C0，C1，……Cn)中求出满足条件P（xi）＝f（xi）（i＝0，1，…… n）的函数P(x)，并以P()作为f()的估值。
此处f（x）称为被插值函数，c0，x1，……xn 称为插值结(节)点，Φ(C0，C1，……Cn)称为插值函数类，上面等式称为插值条件，Φ（C0，……Cn）中满足上式的函数称为插值函数，R（x）＝ f（x）－P（x）称为插值余项。
当估算点属于包含x0，x1……xn 的最小闭区间时，相应的插值称为内插，否则称为外插。
多项式插值这是最常见的一种函数插值。
在一般插值问题中，若选取Φ为n次多项式类，由插值条件可以唯一确定一个n次插值多项式满足上述条件。
从几何上看可以理解为：已知平面上n＋1个不同点，要寻找一条n次多项式曲线通过这些点。
插值多项式一般有两种常见的表达形式，一个是拉格朗日插值多项式，另一个是牛顿插值多项式。
埃尔米特插值对于函数f（x），常常不仅知道它在一些点的函数值，而且还知道它在这些点的导数值。
这时的插值函数P（x），自然不仅要求在这些点等于f(x）的函数值，而且要求P（x）的导数在这些点也等于f（x)的导数值。
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m f 0 f ( x0 , x1 , x m ) m hm
注意：等式右边为常数！ 若各数据点m阶差商为常数，则说明已不用再计算更高一阶差商 值。
牛顿插值多项式为
f 0 2 f 0 n f 0 f y0 ( x x0 ) ( x x0 )(x x1 ) ( x x0 )(x x1 ) ( x xn 1 ) 2 n 1h 2h nh
K值由微分中值定理导出
Rn 1 ( x) K ( x x1 )(x x2 ) ( x xn ) K ( x xi )
i 1
n
K
f
n
( ) n
( ) n ( x x i ) i 1 n
式中ξ满足：min（x1，x2，…xn）≤ξ≤max （x1，x2，…xn） 故余项可表达为
由表可以看出，△3已接近常数，故代人牛顿插值公式 y0＝μ0=1.0051；x0＝20，x1＝22; … y＝μ；x=25，h＝x1-x0＝2 所以
f 0 2 f 0 y y0 ( x x0 ) ( x x0 )(x x1 ) 2 h 2h
25 1.0051
25 20 5(25 22) (0.0472 ) 0.0035 2 4 2 1
展开化简得到：C=-0.0024十2.017x十0.965x2十3.021x3 对于内在数学规律复杂的数据，要使插值函数P（xi）尽量接近真实函数f(xi)，减小在 插值点上的误差，插值多项式的次数则应高一些为好。但插值多项式的次数高了又会造成 误差积累过大。 为解决这一矛盾，可以将原始数据分段，分布采用次数较低的多项式插值。但在不同 数据段接点上，由于插值函数不同，会造成曲线不光滑。在很多实际应用场合，这又是不 允许的。如时间设备的外形尺寸放样等问题。 因此又出现了新的插值方法。如能保证P（xi）=f(xi)=yi， P‘（xi）=f’(xi)=y‘i的Hemit 插值，保证P（xi）=f(xi)=yi， P‘（xi）=f’(xi)=y‘i， P‘’（xi）=f’‘(xi)=y‘’i的样条函数插值等。
5 O.2774
1 ( x)
2 ( x)
( x x2 )(x x3 ) ( x 3)(x 5) ( x 3)(x 5) ( x1 x2 )(x1 x3 ) (1 3)(1 5) 8
( x x1 )(x x3 ) 1 ( x 1)(x 5) ( x2 x1 )(x2 x3 ) 4
(x x j ) ( xi x j )
j 1
( j i)
这是一组n—1次多项式、其分母是n—1个一次式之积，分子每一个因子都是（x-xi） 形式，且缺少（x-xi；）因子；分母是xi代替分子中的x而得到，不包含x在内，且xl， x2，…xn是互不相同的，所以分母不为零。 数学上可以证明这种多项式可以满足Ln-1（x）= y的要求，而且是唯一的。 当n=2，拉格朗多项式即为线性插值。
2 f1 f 2 f1
2 f n2 f n1 f n2
3 f n3 2 f n2 2 f n3
3 f1 2 f 2 2 f1
i阶差分为
i f 0 i 1 f1 i 1 f 0
m
i f1 i 1 f 2 i 1 f1
当n=3，上述多项式即为典型的抛物线插值多项式，为常用公式之一。
y y1 ( x x2 )(x x3 ) ( x x1 )(x x3 ) ( x x1 )(x x2 ) y2 y3 ( x1 x2 )(x1 x 3 ) ( x2 x1 )(x2 x3 ) ( x3 x1 )(x3 x2 )
f ( xi , x j ) f ( x j , x k ) xi xk
(i j )
f ( xi , x j , xk )
其余类推。
(i k )
如果x0，x1，x2，…xn是等步长的，且步长为h，即x1=x0十h；x2=x0＋2h，… xn=x0十 nh；则 m阶差商与差分的关系为
f1 f 0 , f 2 f1 , f 3 f 2 , f n f n1
f1 f 2 f1
简记为
f 0 f1 f 0
f n1 f n f n1
上述各式称为一阶差分；类似地，二阶差分
2 f 0 f1 f 0 3 f 0 2 f1 2 f 0
当n=3点计算时；上式可写成：
f 0 2 f 0 y y0 ( x x0 ) ( x x0 )(x x1 ) h 2h 2
例：6.2某流体实测温度与粘度的关系如下表所示；试求出t=25℃时的粘度值。 解：用牛顿插值计算首先求一阶差分，二阶差分…并列入表中：
T℃
20 22
例6.3某二元物质，溶质在溶剂中的溶解度C与溶剂组成X的关系如下表。试用差分法确定 两者之间的模型关系。
X 0.1 0.2 0.3 0.4 C 0.212 0.463 0.722 1.153 C△ 0.251 0.309 0.381 0.472 △2C 0.58 0.72 0.91 0.110 △3C 0.14 0.19 0.19 0.18 C 计算 0.211
6.3.1 插值多项式模型 已知函数y=f(x)在n个点xi上的值f(xi)（记作yi＝f（xi），i=l，2，…n），求一 个 低于n的插值多项式Ln-1（x），使 Ln-1（xi）＝yi （i＝1,2，…n） 拉格朗日插值法求多项式 Ln-1（xi）模型为
Ln1 ( x) 1 ( x) y1 2 ( x) y 2 n ( x) y n i ( x) yi
或简记为
j m f 0 (1) j cm f m1 j 0
差商是设函数f(x)以及自变量的一系列互不相等的值为： x0， x1，…xn，所谓不相等，即在f≠j时，有xi≠xj， 此时称
f ( xi , x j )
为一阶差商。同样二阶差商：
f ( x j ) f ( xi ) x j xi
xi 1 x xi
也可以推广为
yi yi 1 y yi 1 ( x xi 1 ) xi xi 1
这样处理实际上是将n十1个点（x。，y。），（xl，y1…（x。，yn）顺序连接成折线
近似代替原来的曲线y=f(x)。只有当线性关系非常好的时候，计算才较准确。
6．3拉格朗日插值
i ( x)
( x x1 )(x x2 ) ( x x j 1 )(x x j 1 ) ( x xn )
n
n
i 1
( xi x1 )(xi x2 ) ( xi xi 1 )(xi xi 1 ) ( xi xn )
L2 (4) 0.3213
0.3213 3 3 0.2978 0.2774 0.2872 8 4 8
例题6．l的Excel解法 依次将原始数据输人表格的前面两列；然后输人插值点；按照公式依次输人Wi和Wj： 乘 Yl的计算公式。由于 Excel具有输人公式，自动显示计算结果的能力，所以可以直接在 屏幕上看到相应的计算结果，最后在最下面的一行中输人求和计算公式：=SUM（E3： E5）得到预料中的计算结果数值0.287213。
μ
1.0051 0.9579
△
-0.0472 -0.0437
△2
0.0035 0.0032
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ△3
-0.0003 -0.0004
△4
-0.0001 -0.0000
24
26 28
0.91442
0.8737 0.8360
-0.0405
-0.0337 -0.0353
0.0028
0.0024
-0.004
30
0.8007
Rn 1 ( x)
f
(n)
如果f（x）的n阶导数f(n)(x)在区间[xl，xn]的绝对值最大值或上界为Mn（常数），则导 出
Mn n Rn 1 ( x) ( x x i ) n i 1
由此可知，余项大小不仅与f(x）的n阶导数有关，而且还与插值点的位置密切有关。
例6．l已知一氧化碳在溶液中的溶解度为： t（℃） 0 1 3 溶解度xi 0.3346 0.3213 0.2978 求4℃时溶解度为多少？ 解：取二次拉格朗日模型进行插值计算。
温度t
溶解度x
插值点
ω
ω *y
0
1 3 5
0.3346
0.3213 0.2978 0.2774 4 -0.125 0.75 0.375 -0.04016 0.22335 0.104025 0.287213
牛顿插值 牛顿插值多项式的数学模型
如果将函数f(x)在诸点x0，x1，…xn满足：xi=xi-1十h上的函数值f(x0)，f(x0 ＋h)，f（x0十2h），f（x0十3h）…f（x0＋nh）简记为f0，f1，f2…fn 将相邻两数相减得
1.0
6.001
/
6.001
解：设所求的多次式模型为
C a0 a1x a2 x2 a3 x3
此时h=0.1，并将求得的
C0 , 2C0 , 3C0
代人式中，即有
0.0014 0.25100 0.058 ( x 0.1)( x 0.2)( x 0.3) C 0.212 ( x 0.1) ( x 0.1)( x 0.2) 3 2 3 2 0 . 1 0.1 2 0.1
0.463 0.771 1.152
0.5
0.6 0.7 0.8 0.9
1.625
2.207 2.917 3.776 4.798