水文学 第3章水文统计基本原理与方法

( x)
1
2
e
1 x x 2 ( ) 2
三、抽样误差 水文计算中的误差来源有两方面，一方面是观测 记录整编资料等引起的误差，另一种误差是由 有限的样本资料代替总体所引起的抽样误差。 从总体中随机抽样，可以得到许多个随机样本， 这些样本的统计参数也属于随机变量，它们也 具有一定的频率分布，这种分布称为抽样误差 分布。抽样误差分布大多认为属正态分布。
二、权函数法 当样本容量较小时，用矩法估计的参数将 产生误差，其中尤以Cs的计算误差最大，为了 提高Cs的计算精度，马秀峰（1984）提出了权 函数法。
E C s 4 G
1 n E ( xi x) ( xi ) n i 1 1 n G ( xi x ) 2 ( xi ) n i 1
第3章 水文统计基本原理与方法
频率分析 相关分析
数理统计法对水文资料的要求
对频率分析计算，水文资料必须满足可
靠性、一致性、代表性。
第3章 水文统计基本原理与方法
第一节
水文统计的意义及基本概念
一、事件（随机试验的结果） 必然事件、不可能事件、随机事件 二、概率（某随机事件在客观上出现的可能性） 随机事件出现的可能性大小 三、频率（在具体重复的试验中，某随机事件出 现的次数与试验总次数的比值） 对于水文现象，用频率作为概率的近似值

第二节 随机变量及其概率分布 一、随机变量（随机试验中测量到的数量） 水文特征值：年径流、洪峰流量 离散型随机变量 连续型随机变量：水位、流量 二、随机变量的概率分布 随机变量的取值与其概率的对应关系，称 为随机变量的概率分布。 对于水文变量，研究大于等于某一取值x的 概率，即F(x)
F ( x ) P( X x )

Cs 的抽样误差太大，一般不计算Cs，而是根据经 验假定 Cs为 Cv的某一倍数（如 Cs=2Cv）。 （4）根据假定的 x 、Cv、Cs，查附录3或附录4， 计算xp值，以xp为纵坐标，p为横坐标，即可得
到频率曲线。将此线画在绘有经验点据的图上， 看与经验点据配合的情况，若不理想，则修改参 数（主要调整 Cv、Cs）再次进行计算。 （5）最后根据频率曲线与经验点据的配合情况， 从中选择一条与经验点据配合较好的曲线作为采 用曲线。相应于该曲线的参数便看作是总体参数 的估值。 （6）求指定频率的水文变量设计值。

水文计算中的应用：资料的展延、水文预报等。 必须注意的问题：必须先分析变量在成因上是否 有联系，不能在两个毫不相关的变量之间硬凑 出相关关系。
两变量之间关系的三种情况：
简单相关：研究两个变量之间的相关关系，在水 文计算中应用较多。 复相关：研究3个或3个以上变量的相关关系，在 水文预报中应用较多 此外还可分为：直线相关和非直线相关。 特例：水平直线为零相关
1 ( x a0 ) p p( x x p ) dx x p ( x a0 ) e ( )
令
xx x CV Φ是均值为零，标准差为1的标准化变量
（离均系数）
则有 X X (1 cV )
dx xCv d
p ( p )
r E X E( X )r



(r 1,2,...,n)
r=1时，一阶中心矩为0
r=2时， r=3时，
2 E X E ( X ) s
2

2
s Cv x
3 E X E( X )

3

3 Cs
s3
四、重现期与频率的关系 水文上常用“重现期”来代替“频率” 1 1. 当研究暴雨或洪水时（一般p≤50%） T P 例如，当某一洪水的频率为p=1%时，则T=100年，称此 洪水为百年一遇洪水，表示大于等于这样的洪水平均 100年会遇到一次。 T 1 2. 当研究枯水或年径流时（一般p≥50%） 1 P 例如，对于p=90%的枯水流量，则T=10年，称此为十年 一遇枯水流量，表示小于等于这样的流量平均10年会 遇到一次。 在频率p≥50%时，工程上习惯于把设计频率叫做设计保 证率，即来水的可靠程度。十年一遇的枯水意思是平 均十年中可能有一年来水小于此枯水年的水量，说明 具有90%的可靠性。
Cs Φ 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 -1.26 -1.24 -1.23 -1.22 -1.20
解：Cv=s /R=162.5/650=0.25，∴Cs=2Cv=0.5 查表得Ф=-1.22，代入 X X (1 cV ) R90%=650×(1-0.25×1.22) =650×0.695=541.8mm
五、设计标准 1.主管部门根据工程的规模、工程在国民经济中的地位以 及工程失事后果等因素，在各种行业标准或工程设计 规范中规定各种水文特征值的设计频率（或重现期） 作为工程设计标准。 2.各地工程业务部门，根据当地实测的水文资料，通过水 文分析计算，求出对应于设计频率的水文特征值，作 为工程设计的依据。 课本44页。

第五节 频率曲线参数估计 用有限的样本观测资料估计总体分布线型 中的参数，如P—Ⅲ型的 x 、Cv、 Cs。
一、矩法 用样本矩估计总体矩，并通过矩与参数之 间的关系，来估计频率曲线的参数。
1 n 均值 x 的无偏估计： x xi n i 1
Cv的无偏估计量：
Cv
n n 1
( K i 1)
水文上通常称概率分布曲线为频率曲线（累积频 率曲线） 概率分布函数导数负值，称为概率密度函数
f ( x) F ' ( x) dF ( x) dx
三、随机变量的统计参数 描述水文现象基本特性和分布特点的某些 数字特征，例如平均降雨量、年平均流量等， 称为统计参数。 总体统计参数、样本统计参数 总体：随机变量所有取值的全体， 样本：从总体中抽取的一部分， 样本容量：样本包括的项数，样本大小。 水文系列都是有限长度，是样本，其统计参数 就是样本统计参数，有均值、均方差、变差系 数、偏态系数等。
第六节 水文频率计算适线法 适线法（或称配线法）是以经验频率点据为基 础，在一定的适线准则下，求解与经验点据拟合最 优的频率曲线参数，得到一条理论频率曲线。 目估适线法、优化适线法 一、目估适线法 （1）将实测资料由大到小排列，计算各项的经验频 率，在频率格纸上点绘经验点据（纵坐标为变量取 值，横坐标为对应的经验频率）。 （2）选定水文频率分布线型（一般选用PⅢ型）。 （3）假定一组参数 x 、Cv、 Cs。为了使假定值大致 接近实际，可用矩法或权函数法求出3个参数，作 为3个参数第一次的假定值。当用矩法估计时，因
第三节 经验频率曲线 一、经验频率曲线 经验频率曲线由实测资料绘制而成，它是 水文频率计算的基础，具有一定的实用性。 设某水文要素（如年径流量）的实测系列 共n项，按由大到小的次序排列为x1、x2、...、 xm、...、xn。经验频率就是在系列中大于及等 于样本xi的出现次数与样本容量之比值，即 P=m/n 当m=n时，p=100%，即样本的末项 xn是 总体中的最小值，显然不符合实际，因为随着 观测年数的增多，总会出现更小的数值。
离差平方和最小准则（OLS）（最小二乘法）： 使经验点据和同频率的频率曲线纵坐标之 差的平方和达到最小。即使目标函数：
S (Q) [ xi f ( Pi , Q)]2
i 1 n
取极小值，即：
S (Q) min S (Q)
S (Q ) 0 Q
^
^
欲使S(Q)为最小，则要使
第七节 相关分析 一、相关关系的概念 从频率分析引出相关分析（n小时的情况） 目的：研究两个或多个随机变量之间的联系。例 如：降雨与径流之间、上下游洪水之间、水位 与流量之间等。
二、简单直线相关关系 （一）相关图解法（目估定线）（通过均值点）
统计参数对频率曲线的影响： （1）均值 x 对频率曲线的影响
（2）Cv对频率曲线的影响
（3）Cs对频率曲线的影响
二、优化适线法
在一定的适线准则（即目标函数）下，求解 与经验点据拟合最优的频率曲线的统计参数的方 法。
优化适线法准则： 离差平方和最小准则（OLS）（最小二乘法） 离差绝对值和最小准则（ABS） 相对离差平方和最小准则（WLS）
（一）均值
x1 x2 ... xn 1 n x xi n n i 1
模比系数：
xi x
K1 K 2 ... K n 1 n K Ki 1 n n i 1
（二）均方差
反映系列中各变量值集中或离散的程度
s
x
n i 1
i
x

2
n
5，10，15 1，10，19
n i 1 i
3
Cs
n s3

( K i 1) 3
i 1
n
nCv3
（五）矩
（1）原点矩 随机变量X对原点离差的r次幂的数学期望 ，称为随机变量X的r阶原点矩。
mr E( X r ) (r 1,2,...,n)
r=1时，就是算术平均数
（2）中心矩 随机变量X对分布中心E(X)离差的r次幂的 数学期望，称为随机变量X的r阶中心矩。
第四节 水文频率曲线线型 一、正态分布

f ( x)
1
x x 2
e
2 2
2
( x )
二、PⅢ型分布
1 ( x a0 ) x a0 e f ( x) ( )
水文计算中，一般需求出指定频率p所对 应的随机变量取值，例如，频率为1%（百年一 遇）的设计洪峰流量。这需要对密度曲线进行 积分，求出等于及大于xp的累积频率p值。

p
f , C s d
该式包含 Cs、P与Φp的关系，查附录3， 由已知的Cs值，查表可得不同P的 Φp值，然 后利用已知的 和Cv值，通过下式即可求出 x 与各种P相应的xp值，从而可绘出理论频率曲 线。
X X (1 cV )
如何求
x
Cv Cs，在以后介绍。
例：某站年径流系列符合pⅢ型分布，已知该系 列的R=650mm，s=162.5mm，Cs =2Cv，试结合 下表计算设计保证率p=90%的设计年径流量。
i 1
n
2
n

( K i 1) 2
i 1
n
n 1
Cs 的无偏估计量：C
Ki xi x
s
Baidu Nhomakorabea

n (n 1)(n 2)
2
( K i 1)
i 1
n
2
nCv3

( K i 1) 3
i 1
n
(n 3)C v3
模比系数
由有限的样本资料算出的统计参数，去估 计总体的统计参数总会出现一定的误差，称为 抽样误差。

对上式进行修正，有：
数学期望公式
m p 100 % n 1
切哥达也夫公式
p
m 0.3 100 % n 0.4
海森公式
m 0.5 p 100 % n
二、概率格纸（海森概率格纸） 绘在一般坐标纸上的频率曲线，其两端坡度较陡 ，即上部急剧上升，下部急剧下降，而两端正 是工程设计频率所用的部位。为了比较方便和 精确地绘制频率曲线，人们采用频率计算专用 的概率格纸。 常用的概率格纸的横坐标是按正态曲线的概率分 布分格制成的，所以，正态概率分布曲线绘在 这种格纸上呈直线，非正态概率分布曲线绘在 这种格纸上，其两端曲线坡度也会大大变缓， 有利于曲线外延。
三、经验频率曲线的外延 由于实测资料年数不多，用其绘制的经验频率曲 线位于概率格纸的中间部分，而工程上往往需 要推求稀遇频率的水文数据，对经验频率曲线 需要进行外延。 目估对曲线外延有相当大的主观成分，另外，由 于水文现象的随机性，有时点绘的经验频率点 分布比较散乱，使得经验频率曲线的定线比较 困难。 为了解决定线和外延上的困难，人们提出用数学 模型来表示频率曲线，这就是所谓的理论频率 曲线。
s= 4.08 s=7.35
（三）变差系数（Cv）
5，10，15 995，1000，1005 x=10 x=1000 s=4.08 Cv=0.48 s=4.08 Cv=0.0048
s Cv x
K i 12
i 1
n
n
（四）偏态系数（Cs） 反映系列在均值两边的对称程度。
x x