高二精选题库数学 课堂训练5-3北师大版
高二精选题库数学 课堂训练_2-1北师大版
第2章 第1节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·浙江嘉兴一中模拟]设集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是( )答案：B解析：利用函数的定义，要求定义域内的任一变量都有唯一的函数值与之对应，A 中(0,2]没有函数值，C 中函数值不唯一，D 中的值域不是N ，所以选B.2. 已知f ：x →－sin x 是集合A (A ⊆[0,2π])到集合B ＝{0，12}的一个映射，则集合A 中的元素个数最多有( )A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个答案：B解析：A ⊆[0,2π]，由－sin x ＝0得x ＝0，π，2π；由－sin x ＝12得x ＝7π6，11π6，∴A 中最多有5个元素.3. 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )， x ≤0f (x －1)－f (x －2)， x >0，则f (3)的值为( )A. －1B. －2C. 1D. 2答案：B解析：f (3)＝f (3－1)－f (3－2)＝f (2)－f (1) ＝f (2－1)－f (2－2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)＝－log 24＝－2.4. [2012·天津模拟]若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为f (x )＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”共有 ( )A. 7个B. 8个C. 9个D. 10个答案：C解析：先确定定义域的构成元素，再分类计数得到满足条件的定义域. 由已知x 2＝1，得x ＝±1； x 2＝4，得x ＝±2.∴“同族函数”的定义域必须是由±1，±2两组数中至少各取一个构成的集合. 当定义域中有两个元素时有{－1，－2}，{－1,2}，{1，－2}，{1,2}共4个. 有三个元素时有{－1，－2,2}，{－1，－2,1}，{－1,2,1}，{－2,2,1}共4个. 有四个元素时有{－2，－1,1,2}1个. 综上共有：4＋4＋1＝9个.5. [2012·福建省宁德市模拟]若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A. (0，34]B. (0，34)C. [0，34]D. [0，34)答案：D解析：∵y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，当m ＝0，∴mx 2＋4mx ＋3＝3满足题意. 当m >0时，Δ＝16m 2－12m <0， 解得0<m <34，当m <0时，Δ＝16m 2－12m <0，无解. 综上，0≤m <34，即m ∈[0，34).6. [2012·宁波市“十校联考”]设集合A ＝[0，12)，B ＝[12，1]，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A 2(1－x )，x ∈B ，若x 0∈A ，且f [f (x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是( )A. (0，14]B. (14，12)C. (14，12]D. [0，38]答案：B解析：因为f [f (x 0)]＝f (x 0＋12)＝2(1－x 0－12)＝1－2x 0，所以0≤1－2x 0<12，故14<x 0≤12，又x 0∈A ，所以14<x 0<12.二、填空题(每小题7分，共21分)7. 如图，函数f (x )的图像是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f [1f (3)]的值等于__________.答案：2解析：f [1f (3)]＝f (1)＝2.8. (1)若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，则f (x )＝__________；(2)若函数f (x )＝xax ＋b ，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，则f (x )＝__________.答案：(1)x 3＋1 (2)2xx ＋2解析：(1)∵2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换式子中的x ， 得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1，即有⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )－f (－x )＝x ＋12f (－x )－f (x )＝－x ＋1，解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x3＋1.(2)由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x (1ax ＋b－1)＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－b a ，又∵方程有唯一解，∴1－b a ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，∴f (x )＝2xx ＋2.9. [2012·南通六校联考(一)]定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]，则函数f (x )的值域为__________.答案：[－4,6]解析：由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]x 3－2，x ∈(1，2]，当x ∈[－2,1]时，f (x )∈[－4，－1]，当x∈(1,2]时，f (x )∈(－1,6]，故当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－4,6].三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. (1)已知f (x )的定义域为[0,1)，求函数f (x ＋1)及f (x 2)的定义域； (2)已知f (x 2－3)＝lg x 2x 2－6，求f (x )的定义域.解：(1)依题意，0≤x ＋1<1，∴－1≤x <0， ∴f (x ＋1)的定义域为[－1,0).由0≤x 2<1得－1<x <1，∴f (x 2)的定义域为(－1，1). (2)令u ＝x 2－3，则f (x )的定义域就是u 的值域. 要使lg x 2x 2－6有意义，只需x 2>6，即x 2－3>3，∴u >3， 即f (x )的定义域是(3，＋∞).11.如图，在△AOB 中，点A (2,1)，B (3,0)，点E 在射线OB 上自O 开始移动.设OE ＝x ，过E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，试写出S 与x 的函数关系式，并画出大致的图像.解：当0≤x ≤2时，△OEF 的高EF ＝12x ，∴S ＝12x ·12x ＝14x 2；当2<x ≤3时，△BEF 的高EF ＝3－x ，∴S ＝12×3×1－12(3－x )·(3－x )＝－12x 2＋3x －3；当x >3时，S ＝32.所以S ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 24(0≤x ≤2)－12x 2＋3x －3(2<x ≤3).32(x >3)函数图像如图所示.12. 定义在正整数集上的函数f (x )对任意m ，n ∈N *，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )＋4(m ＋n )－2，且f (1)＝1.(1)求函数f (x )的表达式；(2)若m 2－tm －1≤f (x )对于任意的m ∈[－1,1]，x ∈N *恒成立，求实数t 的取值范围. 解：(1)取m ＝1，则有f (n ＋1)－f (n )＝f (1)＋4(1＋n )－2＝4n ＋3，当n ≥2时，f (n )＝f (1)＋[f (2)－f (1)]＋[f (3)－f (2)]＋…＋[f (n )－f (n －1)]＝2n 2＋n －2， 又f (1)＝1，∴f (x )＝2x 2＋x －2(x ∈N *). (2)f (x )＝2(x ＋14)2－178，∴x ＝1时f (x )min ＝1，由条件得m 2－tm －1≤1在m ∈[－1,1]上恒成立，即m 2－tm －2≤0， 若m ＝0，则t ∈R ，若0<m ≤1，则t ≥m －2m ，即t ≥－1，若－1≤m <0，则t ≤m －2m ，即t ≤1，综上－1≤t ≤1.。
2018年高二数学北师大版必修5同步精练：2.3解三角形的实际应用举例 Word版含答案
第一课时基础巩固1有一长为10 m 的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长( )A ．5 mB ．10 mC ．10 mD ．10 m 232在△ABC 中，a ＝5，sin A ＝，sin B ＝，则b ＝______.13143在△ABC 中，a ＝3，b ＝4，C ＝60°，则c ＝______.4如图所示，海平面上的甲船位于中心O 的南偏西30°，与O 相距10海里的C 处．现甲船以30海里/小时的速度沿直线CB 去营救位于中心O 正东方向20海里的B 处的乙船，甲船需要______小时到达B 处．5如图，A 、B 是海平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的射影，求山高CD .6如图A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km ，试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点距离相等，然后求B ，D 的距离(计算结果精确到0.01 km ，≈1.414，≈2.449)．26综合过关7甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船正向3北行驶，若甲船速度是乙船速度的倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船，此时乙船行驶了多少海里？8某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．能力提升9如图，有两条相交成60°角的直路EF、MN，交点是O，起初，甲在OE上距O点3 km的点A处；乙在OM上距O点1 km的点B处．现在他们同时以4 km/h 的速度行走，甲沿EF的方向，乙沿NM的方向．(1)求起初两人的距离．(2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离．(3)什么时候他们两人的距离最短？参考答案1解析：如下图，设将坡底加长到B ′时，倾斜角为30°，在△ABB ′中，B ′＝30°，∠BAB ′＝75°－30°＝45°，AB ＝10 m ．在△BAB ′中，由正弦定理，得BB ′＝＝AB sin45°sin30°＝10.10×22122∴坡底要延伸10 m 时，斜坡的倾斜角将变为30°.2答案：C2答案：1543答案：134解析：在△OBC 中，由余弦定理得CB 2＝CO 2＋OB 2－2|CO ||OB |cos120°＝100＋400＋200＝700，所以|CB |＝10，因此甲7船需要的时间为＝小时．1073073答案：735解：在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°，由＝，ABsin15°ADsin45°得AD ＝＝AB ·sin45°sin15°800×226－24＝800(＋1) (m)．3∵CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，∴CD ＝AD ＝800(＋1)(m)．3∴山高CD 为800(＋1)(m)．36分析：由题图可直观感知BD ＝BA ，且BC ⊥AD ，这可以通过证明CB 是△CAD 底边AD 的中垂线来验证；通过解△ABC 可求得AB ，从而求得B ，D 间的距离．解：在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，所以CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA .即图中B ，D 间距离与A ，B 间的距离相等．在△ABC 中，由正弦定理得＝，ABsin ∠BCA ACsin ∠ABC 所以AB ＝＝.AC sin60°sin15°32＋620所以BD ＝≈0.33 km.32＋620故B ，D 的距离约为0.33 km.7分析：如图，甲、乙两船到达相遇点C 时，所用时间相等，通过解△ABC 来解决．解：设甲船取北偏东θ角去追赶乙船，在C 点处追上，若乙船行驶的速度是v ，则甲船行驶的速度是v ，由于甲、乙两船到C 点的时间相等，都设为t ，则3BC ＝v t ，AC ＝v t ，∠ABC ＝120°.3由余弦定理可知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos120°，即3v 2t 2＝a 2＋v 2t 2＋v at ，∴2v 2t 2－v at －a 2＝0.∴t 1＝，t 2＝－(舍去)．av a2v ∴BC ＝a .∴∠CAB ＝30°.∴甲船应取北偏东30°的方向去追乙船，在乙船行驶a 海里处相遇．8分析：首先根据题意画出图形，如图，由题意可知AC ＝10，∠ACB ′为120°，再利用舰艇靠近渔轮所需的时间与渔轮用的时间相同，若设相遇点为B ′，这样解△AB ′C 即可．解：设所需时间为t 小时，则AB ′＝21t ，CB ′＝9t ，在△AB ′C 中，根据余弦定理，则有AB ′2＝AC 2＋B ′C 2－2AC ·B ′C cos120°，可得212t 2＝102＋81t 2＋2·10·9t ·，12整理得360t 2－90t －100＝0，36t 2－9t －10＝0，(12t ＋5)(3t －2)＝0，t ＝或t ＝－(舍去)．舰艇需小时靠近渔轮．2351223此时AB ′＝14，B ′C ＝6.由正弦定理：＝，B ′Csin ∠CAB ′AB ′sin120°sin ∠CAB ′＝＝，∴∠CAB ′≈21.8°.6×32143314∴舰艇航行的方位角约为66.8°.9分析：设t 小时后两人距离最短，在构造三角形时，要分两种情况讨论，即甲过O 点前后，因为这两种情况所得的三角形不同．解：(1)由题意，知OA ＝3，OB ＝1，∠AOB ＝60°，∴在△AOB 中，由余弦定理，得AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos60°，则AB ＝＝(km)．32＋12－2×3×1×cos60°7∴起初两人的距离是 km.7(2)设t 小时后他们两人的距离最短，此时的位置分别是P ，Q ，则AP ＝4t ，BQ ＝4t .当0≤t ≤时，PQ 2＝(3－4t )2＋(1＋4t )2－2(3－4t )(1＋4t )cos60°；①34当t ＞时，PQ 2＝(4t －3)2＋(1＋4t )2－2(4t －3)(1＋4t )cos120°. ②34由①②，得PQ 2＝48t 2－24t ＋7，即PQ ＝.48t 2－24t ＋7(3)由(2)，知PQ ＝＝.48t 2－24t ＋748(t －14)2＋4∴当t ＝，即在第15分钟时，他们两人的距离最短．14第二课时基础巩固1在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝7，则cos C 等于( )A ．－ B. C. D.151579452从地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为 ( )A ．α＋βB ．α－βC ．β－αD ．α3已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°4在200 m 的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( )A. mB.m400340033C.mD. m2003320035如下图，某炮兵阵地位于A 点，两观察所分别位于C ，D 两点．已知△ACD 为正三角形，且DC ＝ km ，当目标出现在B 点时，测得∠CDB ＝45°，∠BCD ＝75°，求炮兵阵3地与目标的距离是多少？(精确到0.01 km)62003年，伊拉克战争初期，美英联军为了准确分析战场的形势，由分别位于科威特和沙特的两个相距a 的军事基地C 和D ，测得伊拉克两支精锐部队分别在A 处和B 处，32且∠ADB ＝30°，∠BDC ＝30°，∠DCA ＝60°，∠ACB ＝45°，如图所示，求伊军这两支精锐部队间的距离．7某渔船在A 处测得在北偏东45°的C 处有一鱼群，离该渔船9 n mile ，并发现该鱼群正沿南偏东75°的方向以10 n mile/h 的速度前进，渔船立即以14 n mile/h 的速度沿直线追捕，问：渔船应以什么方向，需多长时间才能追上该鱼群？综合过关8如图，在海岸A 处，发现北偏东45°方向距A 为(－1)海里的B 处有一走私船，在3A 处北偏西75°方向距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船，3此时走私船正以10海里/时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间．9如图所示，沿一条小路前进，从A 到B ，方位角是50°，距离是470 m ，从B 到C ，方位角是80°，距离是860 m ，从C 到D ，方位角是150°，距离是640 m ，试计算从A 到D 的方位角和距离．能力提升10平面内三个力F 1、F 2、F 3作用于同一个点且处于平衡状态，已知F 1、F 2的大小分别为1 N 、N ，F 1与F 2的夹角为45°，求F 3的大小及与F 1的夹角．6＋22参考答案1答案：A 2答案：C 3答案：B4解析：如图，设塔高AB 为h ，在Rt △CDB 中，CD ＝200，∠BCD ＝90°－60°＝30°，∴BC ＝＝.200cos30°40033在△ABC 中， ∠ABC ＝∠BCD ＝30°，∠ACB ＝60°－30°＝30°，∴∠BAC ＝120°.在△ABC 中，由正弦定理，得＝.BCsin120°ABsin30°∴AB ＝＝(m)．BC ·sin30°sin120°4003答案：A5分析：要求AB 的长，可转化为解△ABD ，AB 边所对的角∠ADB 是确定的，且AC ＝AD ＝CD ＝，在△BCD 中，求出BD ，结合余弦定理求解．3解：∠CBD ＝180°－∠BCD －∠CDB ＝60°.在△BCD 中，由正弦定理，得BD ＝＝(＋)．CD sin75°sin60°1262在△ABD 中，∠ADB ＝45°＋60°＝105°，由余弦定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos105°＝3＋(＋)2＋2××(＋)×(－)＝5＋2.14623126214623∴AB ＝≈2.91(km)．5＋23∴炮兵阵地与目标的距离是2.91 km.6解：在△ADC 中，∵∠ADC ＝30°＋30°＝60°，∠ACD ＝60°，故△ADC 为等边三角形，∴AC ＝a .在△BCD 中，∠DBC ＝180°－30°－60°－45°＝45°，由正弦定理，得32＝，∴BC ＝＝＝a ，在△ABC 中，由余弦定理，得DCsin ∠DBC BCsin ∠BDC DC ·sin ∠BDCsin ∠DBC 32a ·122264AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝(a )2＋(a )2－2·a ·a ·＝a 2，∴AB ＝a .3264326422616647分析：画出图形，利用追及所用时间与鱼群前进的时间相等这一等量关系，并结合余弦定理，求解本题．解：如图，∠ACB ＝120°，AC ＝9，设在B 处追上鱼群，所用时间为t ，则BC ＝10t ，AB ＝14t.在△ABC 中，由余弦定理得(14t )2＝92＋(10t )2－2×9×10t ·cos120°，即32t 2－30t －27＝0，解得t ＝或t ＝－(舍去)，故追上鱼群需h ，此时3291632BC ＝15，AB ＝21，在△ABC 中，cos ∠CAB ＝≈0.785 7，92＋212－1522×9×21∴∠CAB ≈38.21°.∴渔船应按北偏东83.21°的航向追捕，并需1.5 h 后才能追上鱼群．8分析：设经过t 小时后，缉私船能最快追上走私船，即在图中的D 处恰好两船相遇，CD 方向即是缉私船的追截方向，利用正、余弦定理根据条件解三角形．解：设缉私船追上走私船所需的时间为t 小时，则CD ＝10t ，BD ＝10t .3在△ABC 中，∵AB ＝－1，AC ＝2，∠BAC ＝45°＋75°＝120°，3由余弦定理，得BC ＝＝(海里)．(3－1)2＋22－2×2×(3－1)cos120°6由正弦定理，得sin ∠ABC ＝＝＝.AC sin120°BC2×32622∴∠ABC ＝45°.易知CB 方向与正北方向垂直，则∠CBD ＝90°＋30°＝120°.在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝＝＝.BD sin ∠CBDCD10t sin120°103t12∴∠BCD ＝30°，∠BDC ＝30°.∴BD ＝BC ＝(海里)．6∴10t ＝，即t ＝.6610∴缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船，需要小时才能追上．6109分析：从A 到D 的方位角，需构造三角形，连接AC ，在△ABC 中，用余弦定理求出AC ，进而求出∠BAC ，再在△ACD 中，求出AD 和∠CAD .解：连接AC ，在△ABC 中，∠ABC ＝50°＋(180°－80°)＝150°，由余弦定理得AC ＝≈1 289，AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos150°由正弦定理得sin ∠BAC ＝BC sin ∠ABCAC ＝≈0.333 6，860sin150°1 289∴∠BAC ≈19.5°，∠ACB ＝10.5°.在△ACD 中，∠ACD ＝80°－10.5°＋30°＝99.5°，由余弦定理得AD ＝ ≈1 531.AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos ∠ACD cos ∠CAD ＝≈0.911 1，AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ∴∠CAD ≈24.3°.∴从A 到D 的方位角为50°＋19.5°＋24.3°＝93.8°，即A 到D 的方位角为93.9°，距离为1 531 m.10分析：根据物理知识并结合向量加法的三角形法则及解三角形的知识求解．解：如图，设三力作用于点O ，F 1与F 2的合力为F ，由共点力平衡，得|F |＝|F 3|，令＝F 1，＝F 2，＝F ，＝F 3.OA → OB → OC → OD →∵∠AOB ＝45°，∴∠CAO ＝135°，在△OCA 中，由余弦定理得OC 2＝OA 2＋AC 2－2OA ·AC ·cos135°＝4＋2，3∴OC ＝＋1，即|F 3|＝＋1.33又由正弦定理，得sin ∠AOC ＝＝，AC ·sin ∠CAOOC 12∴AOC ＝30°.∴∠AOD ＝150°.∴F 3的大小为(＋1) N ，与F 1的夹角为150°.3。
5-3-4找因数(教案)2023-2024学年数学五年级上册-北师大版
534找因数（教案）20232024学年数学五年级上册北师大版当我站在讲台上，看着下面一双双渴望知识的眼睛，我知道，今天我要讲授的内容，将会打开他们数学世界的新篇章。
我手中的教材，是北师大版五年级上册的数学，我们要学习的，是第五章的第三节——534找因数。
这一节的内容，主要是让学生掌握找一个数的因数的方法，理解因数与倍数的概念，并能够运用这个概念解决一些实际问题。
这就是我今天的教学目标。
在教学过程中，我将会遇到一些难点和重点。
难点在于让学生理解因数与倍数的概念，以及如何快速准确地找到一个数的因数。
重点则是让学生能够自主地去探索、发现找一个数因数的方法，并能够运用到实际问题中。
为了更好地讲解这个知识点，我准备了一些教具和学具。
教具主要是黑板和粉笔，学具则是每个学生一本数学书和一支笔。
讲解完找一个数的因数的方法后，我会让学生进行一些实际问题的练习，让他们能够将所学知识运用到实际问题中。
我会根据今天的教学内容，设计一些作业，让学生课后巩固所学知识。
对于板书设计，我会将找一个数的因数的方法和步骤清晰地展示在黑板上，以便学生能够直观地理解和记忆。
在课后，我会进行反思和拓展延伸。
我会思考今天的教学是否达到了预期的效果，学生们是否掌握了找一个数的因数的方法，并在下一节课中根据学生的掌握情况，进行适当的调整和补充。
同时，我也会给学生提供一些拓展延伸的材料，让他们能够进一步深入学习这个知识点。
这就是我今天的教学计划，我相信，通过我的努力，学生们一定能够掌握找一个数的因数的方法，理解因数与倍数的概念，并能够运用这个概念解决一些实际问题。
重点和难点解析在我准备教学534找因数这一节时，我明确了教学的重点和难点。
重点是让学生掌握找一个数的因数的方法，难点则是让学生理解因数与倍数的概念，并能够运用这个概念解决一些实际问题。
在教学过程中，我将以学生为主体，注重引导他们自主探索和发现找一个数因数的方法。
我将通过实践情景引入，让学生直观地理解因数与倍数的概念，并通过例题讲解和随堂练习，让学生掌握找一个数的因数的方法。
5-3《身高的情况》 课件-北师大版数学六年级上册
淘气所在班学生身高分段情况统计表
身高段/cm 140以下 140～144 145～149 150～154 155～159 160～164 165～169 169以上
人数
2
3
8
4
7
4
5
3
淘气所在班学生身分段情况统计表
身高段/cm 140以下 140～144 145～149 150～154 155～159 160～164 165～169 169以上
人数
2
3
8
4
7
4
5
3
根据淘气所在班学生身高统计表完成下面的统计图。
人数
( 12 ) ( 10 ) (8) (6) (4) (2) (0)
淘气所在班学生身高分段情况统计图
我的身高是154cm。
结合上面的统计图，回答下面问题。 (1)哪个身高段的人数最多？哪个身高段的人数最少？
145～149身高段的人数最多。140以下身高段的人数最少。 (2)说一说淘气的身高在班中所处的位置。
把这些数据排序。
把身高分段整理。
可以怎样分段呢？
下表是淘气所在班学生的身高情况(单位：cm)
165 148 168 150 160 155 154 160 153 145 147 159 162 165 133 141 158 149 170 155 149 166 143 158 174 143 151 147 165 156 172 148 162 158 146 138
你衣服的型号是多少？
一般选用人体的高度(身高)、围度(胸围或腰围)再加 体型类别来表示服装规格。
如：150/76A
高二数学高中数学专练解三角形北师大版,必修5
一．选择题（共12题，每题5分，共60分）1、已知ABC △中，a =b =，60B =，那么角A 等于（ ）A ．135B ．90C ．45D ．302、在ABC ∆中，若bBa A cos sin =，则B 的值为（ ） A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 903、在 ABC △中，角C 为最大角，且0222>-+c b a ，则ABC △是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．形状不确定4、在ABC ∆中,若cos 4cos 3A bB a ==,则ABC ∆是( ) A 、直角三角形 B 、等腰三角形 C 、等腰或直角三角形D 、钝角三角形5、已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（ ） A ．135°B ．90°C ．120°D ．150°6、两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km),灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南偏东60°,则A,B 之间的相距 （ ）A ．a (km)B ．3a(km)C ．2a(km)D ．2a (km)8、在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足(a ＋b ＋c )(a ＋b -c )＝3ab ，则∠C 等于（ ） A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°9、在△ABC 中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则AB BC ∙的值为（ ）A 、19B 、-14C 、-18D 、-1910、在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是( ) A ．b ＝7，c ＝3，C ＝30° B ．b ＝5，c ＝42，B ＝45° C ．a ＝6，b ＝63，B ＝60° D ．a ＝20，b ＝30，A ＝30°11、若△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且,)()(222222c x a c b x b x f +-++=则f （x ）的图象是 （ ）（A ）在x 轴的上方 （B ）在x 轴的下方（C ）与x 轴相切 （D ）与x 轴交于两点12. 在△ABC 中，若22tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是（ ） A 直角三角形 B 等腰或直角三角形 C 不能确定 D 等腰三角形 二、填空题(每小题5分，共20分)13、在△ABC 中，若b ＝2c sin B ，则∠C ＝_____________14、在∆A B C中，a b A B +==︒=︒126045，，，则a =_______，b =________ 15、若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的外接圆半径等于________． 16、已知△ABC 中，A ＝60°，最大边和最小边是方程x 2-9x ＋8＝0的两个正实数根，那么BC边长是________ 三、解答题(共70分)17、（本题满分12分）△ABC 中，D 在边BC 上，且BD ＝2，DC ＝1，∠B ＝60o，∠ADC ＝150o，求AC 的长及△ABC 的面积．18、（本题满分12分）在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程02322=+-x x 的两个根，且()1cos 2=+B A 。
北师大版四年级数学上册《5-3 在方格纸上用数对确定位置(2)》课堂教学课件PPT小学公开课
北师大版 数学 四年级 上册方向与位置5在方格纸上用数对确定位置（2）课前导入方格图中的竖线也称作“列”，横线也称作“行”。
你能标出方格图中（4，3）（5，3）（2，2）这三个点吗？1234512345（4，3）（5，3）（2，2）点（4,3）在第4列，第3行；点（5,3）在第5列，第3行；点（2,2）在第2列，第2行。
请说说点（4，3）（5，3）（2，2）分别在第几列，第几行。
1234512345（4，3）（5，3）（2，2）数对（1,6），（3,6），（6,6）都在第6行。
请你用数对表示棋子移动的各个位置。
1234567812345768（1,6）（3,6）（6,6）观察棋子移动过程中数对的变化，你发现了什么？（6,5）（6,1）请你用数对表示棋子移动的各个位置。
1234567812345768（6,6）观察棋子移动过程中数对的变化，你发现了什么？（6,5）（6,1）沿竖直方向移动时，数对中第1个数字不变。
也就是说左右移动时，数对的后一个位置不变；前后移动时，数对的前一个数字不变。
你还发现了什么？1234567812345768（1,6）（3,6）（6,6）当在同一行时，数对的后一个数字不变；当在同一列时，数对的前一个数字不变。
（6,5）（6,1）课堂练习“ ”的下一步可以走到哪些位置？把它们用数对表示出来。
“ ”呢？马：123457681234（3，3）（1，3）（0，2）（0，0）（4，0）（4，2）相：（6，4）（2，4）（2，0）（6，0）数对的前一个数相同表示这两个点在同一列，后一个数相同表示这两个点在同一行。
在下面的方格图中画出一个长方形，并用数对表示四个顶点的位置。
想一想，你发现了什么？（2，4）（5，4）（2，2）（5，2）在方格图中，请画出小 房子先向上平移4格，再 向右平移5格后的位置， 并用数对写出平移后小 房子的顶点A 的位置。
A A（7,8）课堂小结这节课你们都学会了哪些知识？数对（m,n）表示的位置是第m行第n列。
高二精选题库数学 课堂训练6-7北师大版
第6章 第7节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. 证明1＋12＋13＋14＋…＋12n <n ＋1(n >1)，当n ＝2时，左边式子等于( )A. 1B. 1＋12C. 1＋12＋13D. 1＋12＋13＋14答案：D解析：当n ＝2时，左边的式子为 1＋12＋13＋122＝1＋12＋13＋14.2．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( )A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确 答案：C3. [2012·辽宁沈阳质检]用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A. 7B. 8C. 9D. 10答案：B解析：左边＝1＋12＋14…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.4．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3，(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3答案：A解析：假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．5. [2012·怀化模拟]用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在第二步时，正确的证法是( )A ．假设n ＝k (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立D ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立 答案：D解析：A 、B 、C 中，k ＋1不一定表示奇数，只有D 中k 为奇数，k ＋2为奇数． 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，则猜想a n 等于( )A.2(n ＋1)2B.2n (n ＋1)C.22n－1D.22n －1答案：B解析：由S n ＝n 2a n 知，S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1， 所以S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ， 所以a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ， 所以a n ＋1＝nn ＋2a n(n ≥2)．当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，所以a 2＝a 13＝13，a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110.由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110猜想a n ＝2n (n ＋1)，故选B.二、填空题(每小题7分，共21分)7．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的所有正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取______．答案：5解析：当n ＝1时，2>2不成立；当n ＝2时，4>5不成立；当n ＝3时，8>10不成立；当n ＝4时，16>17不成立；当n ＝5时，32>26成立；当n ＝6时，64>37成立，由此猜测n 0应取5.8. [2012·淮南调研]若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．答案：f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2解析：∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2， ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.9．如下图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，则第n 个图中所含化学键的个数为________．答案：5n ＋1解析：每个结构简图去掉最左边的一个化学键后，每个环上有5个化学键，故第n 个结构简图有(5n ＋1)个化学键．可用数学归纳法验证该结论是否正确．三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2≥3n 2n ＋1(n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1， n ＝2，左边＝54，右边＝65，∴左≥右，即命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，命题成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k2k ＋1.那么当n ＝k ＋1时，要证1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1， 只要证3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2k ＋3. ∵3(k ＋1)2k ＋3－3k 2k ＋1－1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2(k ＋1)2[4(k ＋1)2－1] ＝－k (k ＋2)(k ＋1)2(4k 2＋8k ＋3)<0，∴3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2k ＋3成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1成立． ∴当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)、(2)知，不等式对一切n ∈N *均成立．11. [2012·浙江宁波]是否存在常数a 、b 、c 使等式12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )对于一切n ∈N *都成立，若存在，求出a 、b 、c 并证明；若不存在，试说明理由．解：假设存在a 、b 、c 使12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )对于一切n ∈N *都成立．当n ＝1时，a (b ＋c )＝1； 当n ＝2时，2a (4b ＋c )＝6； 当n ＝3时，3a (9b ＋c )＝19. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a (b ＋c )＝1，a (4b ＋c )＝3，3a (9b ＋c )＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝2，c ＝1.证明如下：①当n ＝1时，由以上知存在常数a ，b ，c 使等式成立． ②假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即12＋22＋32＋…＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12＝13k (2k 2＋1)；当n ＝k ＋1时，12＋22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12＝13k (2k 2＋1)＋(k ＋1)2＋k 2 ＝13k (2k 2＋3k ＋1)＋(k ＋1)2 ＝13k (2k ＋1)(k ＋1)＋(k ＋1)2 ＝13(k ＋1)(2k 2＋4k ＋3) ＝13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]． 即n ＝k ＋1时，等式成立．因此存在a ＝13，b ＝2，c ＝1使等式对一切n ∈N *都成立．12. 已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝(2－1)(a n ＋2)，n ＝1,2,3，…. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }中，b 1＝2，b n ＋1＝3b n ＋42b n ＋3n ＝1,2,3，…，证明：2<b n ≤a 4n －3，n ＝1,2,3，….解：(1)因为a n ＋1＝(2－1)(a n ＋2)＝(2－1)(a n －2)＋(2－1)(2＋2)＝(2－1)(a n －2)＋2，所以a n ＋1－2＝(2－1)(a n －2)．所以数列{a n －2}是首项为2－2，公比为 2－1的等比数列， 所以a n －2＝2(2－1)n，即{a n }的通项公式a n ＝2[(2－1)n ＋1]，n ＝1,2,3，…. (2)用数学归纳法证明：(ⅰ)当n ＝1时，因为2<2＝b 1＝a 1＝2，所以2<b 1≤a 1，结论成立；(ⅱ)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即2<b k ≤a 4k －3，即0<b k －2≤a 4k －3－ 2. 当n ＝k ＋1时，b k ＋1－2＝3b k ＋42b k ＋3－ 2＝(3－22)b k ＋(4－32)2b k ＋3＝(3－22)(b k －2)2b k ＋3>0，又12b k ＋3<122＋3＝3－22，所以b k ＋1－2＝(3－22)(b k －2)2b k ＋3<(3－22)2(b k －2)≤(2－1)4(a 4k －3－2)＝a 4k ＋1－2.也就是说，当n ＝k ＋1时，结论成立． 根据(ⅰ)和(ⅱ)知，2<b n ≤a 4n －3，n ＝1,2,3，….。
北师大版二年级上册数学 5-3 练习一 提问题解决问题 知识点梳理重点题型练习课件
提 升 点 会解决综合性的实际问题
3． (1)一共有多少头小猪？ 7× 2＝14(头) 答： 一共有 14 头小猪。
(2)一共有多少只天鹅？
5× 2＝10(只) 答： 一共有 10 只天鹅。
解析：(1)根据题意，求一共有多少头小猪，就是求 7 个 2 相加，也就是 7×2，再用乘法口诀“二七十 四”计算得数；(2)求一共有多少只天鹅，就是求 2 个 5 相加，也就是 5×2，再利用乘法口诀“二五 一十”计算得数。
知 识 点 Biblioteka 根据情境图能提数学问题并解决问题
2．【新考法】 说一说，算一算。
(1)
(2)
一共_有__多__少__只__猴__子_ ？ 一共__有__多__少__朵__花____？ 4 × 2 8 ( 只 ) 4 ＋ 5 9 (朵)
解析：(1)观察图有 4 组猴子，每组有 2 只猴子， 表示 4 个 2 相加，“一共”代表“总”即是求一 共有多少只猴子，写成乘法算式是：4×2＝8(只)； (2)左边有 4 朵花，右边有 5 朵花，一共有4＋5＝ 9(朵)花，加数不相同，不能写成乘法算式。
第五单元 2~5 的乘法口诀 第 3 课时 课间活动
练习一 提问题解决问题
知 识 点 1 根据算式想到能解决多种数学 问题
1．【新题型】 “3×5”可以解决下面图中的什么问题？ 在正确答案后面的 里画“√”。 ①一共有多少根香蕉？ ②一共有多少个杧果？ ③一共有多少个苹果？ ④一共有多少个梨？
解析：“3×5”表示 5 个 3 相加或 3 个 5 相加，写 成加法算式是：3＋3＋3＋3＋3 或 5＋5＋5，观察 图可知①③正确。
2020高二数学 第3章综合测试 北师大版必修5
第三章综合测试（时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中）1.已知a >b,c >d,n ≥2，n ∈N ,那么下列一定正确的是（ ） A.cb d a B.ac>bd C.a n >b n D.a+c >b+d［答案］ D［解析］ A 中，令a =2,b =1,c =1,d =-1, 则d a =-2,c b =1,d a <cb,排除A ；B 中，令a =-1,b =-2,c =-3,d =-4,则ab =2,cd =12,ab <cd ,排除B ；C 中，令a =-1,b =-2,n =2,a 2=1,b 2=4,a 2<b 2，排除C ，故选D.2.（2020·南安高二检测）设m =(x +5)(x +7),n =(x +6) 2,则m 、n 的大小关系是（ ） A.m ≤nB.m >nC.m <nD.m ≥n［答案］ C［解析］ ∵m =(x +5)(x +7)=x 2+12x +35,n =(x +6) 2=x 2+12x +36,∴m-n =-1<0,∴m <n .3.若a ＜0,则关于x 的不等式x 2-4ax -5a 2＞0的解是（ ） A.x ＞5a 或x ＜-a B.x ＞-a 或x ＜5a C.5a ＜x ＜-aD.-a ＜x ＜5a［答案］ B［解析］ 不等式化为：（x+a ）(x -5a )＞0,相应方程的两根x 1=-a,x 2=5a . ∵a ＜0，∴x 1＞x 2.∴不等式的解为x ＜5a 或x ＞-a . 4.（2020·广东文，5）不等式2x 2-x -1>0的解集是（ ） A.(-21,1) B.(1,+∞) C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,-21)∪(1,+∞) ［解答］ D［解析］ 本题主要考查一元二次不等式的解法，利用分解因式. 2x 2-x -1=(2x +1)(x -1)>0，所以不等式的解集为（-∞,-21）∪(1,+∞). 5.如果函数y=ax 2+bx+a 的图像与x 轴有两个交点，则点（a,b ）在aOb 平面上的区域（不含边界）为（ ）［答案］ C［解析］ 由题意知Δ=b 2-4a 2>0， ∴(b -2a )(b +2a )>0， b -2a >0 b -2a <0∴ 或 ，画图知选C.b +2a >0 b +2a <06.(2020·重庆理，7)已知a ＞0，b ＞0，a+b =2，则y =a 1+b4的最小值是（ ） A.27 B.4 C.29D.5［答案］ C［解析］ 本题主要考查基本不等式在求最值中的应用. ∵a+b =2,∴2a +2b=1,∴y =a 1+b 4=(a 1+b 4)(2a +2b )=25+b a 2+a b 2, ∵a >0,b >0,∴b a 2+a b 2≥2a b b a 22 =2,当且仅当b a 2=ab2,且a+b =2, 即a =32,b =34时取得等号， ∴y 的最小值是29，选C. 7.设a >1>b >-1,则下列不等式中恒成立的是（ ） A.a 1 <b1 B.a 1>b1 C.a >b2D.a 2>2b［答案］ C［解析］ 因为a >1,b 2<1,所以a >b 2.故选C.8.若不等式（a -2）x 2+2(a -2)x -4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.(-∞,2］B.(-2,2)C.(-2,2］D.(-∞,-2)［答案］ C［解析］ 当a -2=0,即a =2时，原不等式化为-4<0对一切x ∈R 恒成立. 当a -2≠0，即a ≠2时，由题意，得a -2<0，解得-2<a <2. Δ=4(a -2) 2+16(a -2)<0综上所述，a 的取值范围为-2<a ≤2，故选C.9.某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站公里处.（ ）A.4B.5C.6D.7［答案］ B［解析］ 由已知，y 1＝x 20,y 2=0.8x (x 为仓库与车站的距离)，费用之和y =y 1+y 2=0.8x +x20 ≥2x x 208.0-=8,当且仅当0.8x =x20,即x =5时等号成立. x+y ≥2, 10.（2020·福建理，8）已知O 是坐标原点,点A (-1,1),若点M (x,y )为平面区域 x ≤1,y ≤2上的一个动点,则OM OA ⋅的取值范围是（ ） A.［-1,0］B.［0,1］C.［0,2］D.［-1,2］［答案］ C［解析］ 本题主要考查向量的坐标运算与线性规划知识.OM OA ⋅=(-1,1)·(x,y )=y-x ,画出线性约束条件x+y ≥2x ≤1表示的平面区域如图所示.y ≤2可以看出当z=y-x 过点A (1,1)时有最小值0，过点C (0,2) 时有最大值2，则OM OA ⋅的取值范围是［0,2］,故选 C.11.（2020·长沙模拟）已知实数x,y 满足2x+y +5=0,那么22y x +的最小值为（ ） A. 5B. 10C.25D.210［答案］ A［解析］ ∵y =5-2x ,∴22y x +=22)25(x x -+=252052+-x x =5)2(52+-x∴当x =2时，22y x +的最小值为5.12.若直线y=kx +1与圆x 2+y 2+kx+my -4=0交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线 x-y =0对称， kx-y +2≥0动点P （a,b ）在不等式组 kx-my ≤0 ，表示的平面区域内部及边界上运动，则ω=y ≥012--a b 的取值范围是（ ） A.［2,+∞） B.(-∞,-2］C.［-2,2］D.（-∞,-2］∪［2,+∞）［答案］ D［解析］ 由题意分析直线y=kx +1与直线x-y =0垂直，所以k =-1,即直线y=-x +1.又圆心C (-2,2mk -)在直线x-y =0上，可求得m =-1. -x-y +2≥0则不等式组为 -x+y ≤0 ，所表示的平面区域如图，ω=12--a b 的几何意义是点Q (1,2) y ≥0与平面区域上点P (a,b )连线斜率的取值范围.k OQ =2,k AQ =-2,故ω的取值范围为（-∞,-2］∪［2,+∞).第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上） 13.点（-2,t ）在直线2x -3y +6=0的左上方，则t 的取值范围是.［答案］ (32,+∞) ［解析］ 当x =-2时，2×(-2)-3y +6=0, ∴y =32,∴t >32. 14.不等式2x 2+2x -4≤21的解集为 .［答案］ ［-3，1］ ［解析］ 不等式2x 2+2x -4≤21化为2x 2+2x -4≤2-1， ∴x 2+2x -4≤-1,∴x 2+2x -3≤0, ∴-3≤x ≤1,∴原不等式的解集为［-3，1］.y ≤x15.已知z =2x-y ，式中变量x ，y 满足约束条件 x+y ≥1，则z 的最大值为.x ≤2［答案］ 5y ≤x［解析］ 由 x +y ≥1，作出可行域如图. x ≤2由图可知，目标函数z =2x-y 在点A （2，-1）处取最大值z =2×2+1=5.16.若实数x,y 满足x 2+y 2+xy =1,则x +y 的最大值是 .［答案］332 ［解析］ 由x 2+y 2+xy =1得1=(x+y ) 2-xy ∴(x+y ) 2=1+xy ≤1+ (2y x +)2,解得 －332≤x+y ≤332, ∴x+y 的最大值为332. 三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）623--x x ≤1 17.（本小题满分12分）解不等式组 . 2x 2-x -1>0 ［解析］623--x x ≤1⇒642-+x x ≤0⇒x ∈［-2,6）, 2x 2-x -1>0⇒(2x +1)(x -1)>0⇒x ∈ (-∞,-21)∪(1+∞), 所以，原不等式组的解集为x ∈［-2,-21）∪(1,6). 18.（本小题满分12分）已知关于x 的不等式（a 2-4）x 2+(a +2)x -1≥0的解集是空集，求实数a 的取值范围.［解析］ 当a 2-4=0,即a =±2. 若a =2时，原不等式化为4x -1≥0，∴x ≥41. 此时，原不等式的解集不是空集. 若a =-2时，原不等式化为-1≥0，无解. 此时，原不等式的解集为空集. 当a 2-4≠0时，由题意，得a 2-4<0Δ=(a +2) 2-4(a 2-4)×（-1）<0 ∴-2<a <56. 综上所述，a 的取值范围为-2≤a <56. 19.(本小题满分12分)已知x,y 都是正数.(1)若3x +2y =12,求xy 的最大值； (2)若x +2y ＝3,求yx 11+的最小值. ［解析］ (1)xy =61·3x ·2y ≤61 (223y x +)2=6. 3x =2y , x =2当且仅当 即 时取“＝”号.3x +2y =12, y =3所以当x =2,y ＝3时，xy 取得最大值6. （2）x 1+)2(311y x y += (y x 11+)=31 (3+y x +x y 2)≥31(3+2x y y x 2⋅) =1+322.y x =xy 2 x =-3+32 当且仅当 ,即 时，取“=”号.x +2y =3 y =3-223所以，当x =-3+32,y =3-223时，yx 11+取得最小值1+322. 20.（本小题满分12分）制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％，可能的最大亏损率分别为30％和10％，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ ［解析］ 设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目， x+y ≤10由题意知 0.3x +0.1y ≤1.8，目标函数z=x +0.5y .x ≥0 y ≥0上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可 行域.作直线l 0:x +0.5y =0,并作平行于直线l 0的一组直线，x +0.5y=z,z ∈R .与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线x +0.5y =0的距离最大，这里M 点是直线x+y =10和0.3x +0.1y =1.8的交点.解方程组x+y =10 x =4得 .0.3x +0.1y =1.8 y =6 此时z =1×4+0.5×6＝7（万元）.x =4∴当 ，时z 取得最大值.y =6答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能盈利最大.21.（本小题满分12分）已知函数f (x )=bax x +2(a 、b 为常数)，且方程f (x )-x +12=0有两个实根为x 1=3,x 2=4.(1)求函数f (x )的解析式； (2)设k >1，解关于x 的不等式f (x )<xkx k --+2)1(.［解析］ (1)将x 1=3,x 2=4分别代入方程bax x +2-x +12=0,得939-=+ba a =-1，解得 .8416-=+ba b =2∴f (x )=xx -22(x ≠2).(2)原不等式即为x k x k x x --+<-2)1(22,可化为xkx k x -++-2)1(2<0. 即（x -2）(x -1)(x-k )>0. ①当1<k <2时，1<x <k 或x >2; ②当k =2时，x >1且x ≠2; ③当k >2时，1<x <2或x >k .综上所述，当1<k <2时，原不等式的解集为｛x |1<x <k 或x >2｝; 当k =2时，原不等式的解集为｛x |x >1且x ≠2｝; 当k >2时，原不等式的解集为｛x |1<x <2或x >k ｝.22.（本小题满分14分）(2020·揭阳高二检测)国际上钻石的重量计量单位为克拉.已知某种钻石的价值（美元）与其重量（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54000美元. （1）写出钻石的价值y 关于钻石重量x 的函数关系式；（2）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m 克拉和n 克拉，试证明：当m =n 时，价值损失的百分率最大.(注：价值损失的百分率＝原有价值原有价值－现有价值×100％；在切割过程中的重量损耗忽略不计［解析］ （1）由题意可设价值与重量的关系式为：y =kx 2, ∵3克拉的价值是54000美元， ∴54000＝k ·32,解得：k =6000, ∴y =6000x 2,答：此钻石的价值与重量的函数关系式为y =6000x 2.(2)若两颗钻石的重量为m 、n 克拉，则原有价值是6000(m+n ) 2, 现有价值是6000m 2+6000n 2,价值损失的百分率＝2222)(600060006000)(6000n m n m n m +--+×100％＝2)(2n m mn+×100％≤22)()2(2n m n m ++⨯=21,当且仅当m=n 时取等号.答：当m=n 时，价值损失的百分率最大.。
5-3-4找因数(教案)2023-2024学年数学五年级上册-北师大版
534找因数（教案）20232024学年数学五年级上册北师大版作为一名经验丰富的教师，我很荣幸能与大家分享我的教学经验。
今天我要和大家一起探讨的是五年级上册的数学课程——534找因数。
一、教学内容本节课的教学内容主要包括北师大版五年级上册第100页至102页的“534找因数”章节。
这部分内容主要介绍了因数的概念、求一个数的因数的方法以及因数的性质。
二、教学目标通过本节课的学习，我希望学生能够掌握因数的定义，学会用正确的方法找出一个数的因数，并理解因数的性质。
三、教学难点与重点本节课的重点是让学生掌握求一个数的因数的方法，难点是理解因数的性质。
四、教具与学具准备为了更好地开展课堂教学，我准备了PPT、黑板、粉笔以及一些练习题。
五、教学过程1. 实践情景引入：我拿出一个正方形，让学生观察并找出它的所有因数。
2. 讲解因数的概念：我向学生解释因数是指一个数能够被整除的数，也就是它的约数。
3. 找出一个数的因数：我引导学生用拆分法、交换法等方法找出一个数的因数。
4. 例题讲解：我以20为例，展示如何找出20的所有因数，并解释为什么这些数是20的因数。
5. 随堂练习：我给学生发放练习题，让他们找出指定数的因数。
6. 因数的性质：我引导学生理解因数的性质，如：一个数的因数必定是成对出现的，且其中一个因数必定小于或等于这个数的一半。
7. 课堂互动：我邀请学生上台演示如何找出一个数的因数，并让大家一起讨论因数的性质。
六、板书设计我在黑板上写下“534找因数”，然后列出因数的定义、求因数的方法以及因数的性质。
七、作业设计1. 请列出10以内的所有因数，并找出其中最大的因数和最小的因数。
答案：10的因数有1、2、5、10，其中最大的因数是10，最小的因数是1。
2. 请列出20的所有因数，并找出其中成对出现的因数。
答案：20的因数有1、2、4、5、10、20，其中成对出现的因数有1和20、2和10、4和5。
八、课后反思及拓展延伸通过本节课的教学，我发现大部分学生能够掌握找因数的方法，但对因数的性质理解不够深入。
5-3-3分式的加减法(课件)-八年级数学下册同步精品课件(北师大版)
3. 先化简，再求值：：
，其中x＝202X.
练习&巩固
1.分式加减运算的方法思路：
异分母 通分 相加减 转化为
同分母 相加减
小结&反思
分母不变， 分子相加减
2.分式的混合运算法则 先算乘除，再算加减；如果有括号先算括号内的.
（2）实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天?
解:(1)原计划修建需 天, 实际修建需 (2)实比原计划缩短了
探索&交流
天;
天.
探索&交流
阅读下面题目的计算过程.
x 3 2 x 3 2 x 1
x2 1 1 x x 1 x 1 x 1 x 1
①
= x 32x 1
②
= x32x2
③
= x 1
m 3m 3
m
m3
3m
3
1 m3
当m=1时，原式 1 1
1-3 2
例题欣赏 ☞
例4. 计算：(1) (m 2 5 ) 2m 4 ;
2m 3m
例题&解析
解：原式
m 22 m 5 • 2m 4
2m
3m
9-m2 • 2 m 2
2m 3m
先算括号里的加法， 再算括号外的乘法
第五章 分式与分式方程
3.3 分式的加减法
北师大版八年级数学下册
学习&目标
1.掌握分式加减法则，进一步发展运算能力；（重点） 2.能解决一些与分式加减有关的实际问题.（难点）
情境&导入
在前面的课程中，我们学习了同分母分式的加减法法则和 异分母分式的加减法法则.
同分母分式的加减法法则：b c b c .
aa a
最新高二数学题库 北师大版高二数学必修5测试题及答案
高二数学（必修5）命题人:宝鸡铁一中数学组 周粉粉 (全卷满分120分，考试时间100分钟)一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．已知数列{n a }的通项公式是n a ＝252+n n (n ∈*N )，则数列的第5项为（ ） （A ）110 （B ）16 （C ）15 （D ）122.在ABC ∆中，bc c b a ++=222，则A 等于( )A ︒︒︒︒30.45.60.120.D C B3.不等式0322≥-+x x 的解集为（ ）A 、{|13}x x x ≤-≥或B 、}31|{≤≤-x xC 、{|31}x x x ≤-≥或D 、}13|{≤≤-x x 4.在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的情况是( )A.一解B.两解C.一解或两解D.无解5.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂二个）经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成（ ）A.511个B.512个C.1023个D.1024个 6.数列{n a }的通项公式是n a ＝122+n n (n ∈*N )，那么n a 与1+n a 的大小关系是（ ） （A ）n a ＞1+n a （B ）n a ＜1+n a （C ）n a ＝ 1+n a （D ）不能确定 7.关于x 的不等式)1,(0-∞>+的解集为b ax ，则关于x 的不等式02>+-x abx 的解集为( ) A ．（－2，1） B ．),1()2,(+∞-⋃--∞C ．（－2，－1）D ．),1()2,(+∞⋃--∞8. 两个等差数列}{n a 和}{n b ,其前n 项和分别为n n T S ,,且,327++=n n T S n n 则157202b b a a ++等于 A.49B. 837C. 1479D. 241499.已知点P （x ，y ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 表示的平面区域上运动，则z ＝x －y 的取值范围是（ ）A ．[－2，－1]B ．[－2，1]C ．[－1，2]D ．[1，2]10. 等差数列}{n a 中,,0,0,020042003200420031<⋅>+>a a a a a 则使前n 项和0>n S 成立的最大自然数n 为A. 4005B. 4006C. 4007D. 4008 二.填空题. （本大题共6小题，每小题5分，共30分）) 11、数列 121, 241, 381, 4161, 5321, …, 的前n 项之和等于 ． 12、已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，那么它的通项公式为=n a ________13、在△ABC 中，B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，则此三角形的最大边长为 . 14、已知232a b +=，则48ab+的最小值是 ．15．某人向银行贷款A 万元用于购房。
高二精选题库数学 课堂训练10-8北师大版
第10章 第8节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分) 1．随机变量ξ的分布列为，则E (5ξ＋4)等于( ) A ．13 B ．11 C ．2.2 D ．2.3 答案：A 解析：由已知得E (ξ)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8， ∴E (5ξ＋4)＝5E (ξ)＋4＝5×1.8＋4＝13. 2. [2012·荆州质检]随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝3，则D (ξ)的值是( )A. 13B. 23 C. 59 D. 79答案：C解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，又a ＋b ＋c ＝1，且E (ξ)＝－1×a ＋1×c ＝c －a ＝13，∴a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝(－1－13)2×16＋(0－13)2×13＋(1－13)2×12＝59.3. 设ξ是离散型随机变量，P (ξ＝x 1)＝23，P (ξ＝x 2)＝13x 1<x 2，又已知E (ξ)＝43，D (ξ)＝29，则x 1＋x 2的值为( ) A. 53B. 73C. 3D.113答案：C解析：由E (ξ)＝43，D (ξ)＝29得：⎩⎨⎧23x 1＋13x 2＝43(x 1－43)2·23＋(x 2－43)2·13＝29，解得：⎩⎨⎧x 1＝53x 2＝23或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1x 2＝2，由于x 1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3.4. [2012·浙江嘉兴]甲乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是23，则面试结束后通过的人数ξ的期望是( )A. 43B.119C. 1D. 89答案：A解析：依题意，ξ的取值为0,1,2. 且P (ξ＝0)＝(1－23×(1－23)＝19，P (ξ＝1)＝23×(1－23)＋(1－23)×23＝49，P (ξ＝2)＝23×23＝49.故ξ的期望E (ξ)＝0×19＋1×49＋2×49＝129＝43.5．已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie－(x －μi )22σ2i(x ∈R，i ＝1,2,3)的图像如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 答案：D解析：正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图像都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图像可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图像一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.6. 若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数，则2D (ξ)－1E (ξ)的最大值为( )A. 2＋2 2B. 2 2C. 2－ 2D. 2－2 2答案：D解析：随机变量ξ的所有可能取值为0,1，且有P (ξ＝1)＝p ，P (ξ＝0)＝1－p ，∴E (ξ)＝0×(1－p )＋1×p ＝p ，D (ξ)＝(0－p )2·(1－p )＋(1－p )2·p ＝p －p 2，∴2D (ξ)－1E (ξ)＝2－(2p ＋1p )，∵0<p <1，∴2p ＋1p≥ 22，当且仅当2p ＝1p p ＝22时等号成立，因此当p ＝22时，2D (ξ)－1E (ξ)取最大值2－2 2. 二、填空题(每小题7分，共21分)7．[2011·上海]马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝__________.答案：2解析：设P (ξ＝1)＝x ，则P (ξ＝2)＝1－2x ，P (ξ＝3)＝x ， ∴E (ξ)＝1·x ＋2·(1－2x )＋3·x ＝2.8．[2012·广东江门]已知X ～N (μ，σ2)，P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.68，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.95，某次全市20000人参加的考试，数学成绩大致服从正态分布N (100,100)，则本次考试120分以上的学生约有__________．答案：500解析：依题意可知μ＝100，σ＝10， 由于P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.95， 所以P (80<X ≤120)＝0.95，因此本次考试120分以上的学生约有 20000×(1－0.95)2＝500.9．甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ、η，其分布列分别为：若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________． 答案：乙解析：甲、乙的均值分别为Eξ＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1， Eη＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，所以Eξ>Eη， 故乙的技术较好．三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求q 的值，并求E (ξ)，D(ξ)的值.解：(1)0≤P i ≤1 i ＝1,2，...； (2)p 1＋p 2＋ (1)所以有⎩⎪⎨⎪⎧12＋1－2q ＋q 2＝1，0≤1－2q ≤1，q 2≤1，解得q ＝1－12. 故ξ的分布列应为：所以E (ξ)＝(－1)×12＋0×(2－1)＋1×(32－2)＝1－2，D (ξ)＝[－1－(1－2)]2×12＋[0－(1－2)]2×(2－1)＋[1－(1－2)]2×(32－2)＝2－1.11. [2011·天津]学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)．(1)求在1次游戏中， ①摸出3个白球的概率； ②获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E (X )． 解：(1)设A i ＝“在1次游戏中摸出i 个白球”(i ＝0,1,2,3)，则①P (A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15，②P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12.又A 2与A 3互斥，∴P (A 2＋A 3)＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝710.即获奖的概率为710.(2)X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝(1－710)2＝9100，P (X ＝1)＝C 12·710·(1－710)＝2150， P (X ＝2)＝C 22(710)2＝49100.所以X 的分布列是∴X 的数学期望E (X )＝0×9100＋1×2150＋2×49100＝75.12. [2011·福建]某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示：且X 1的数学期望E (X 1)(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望． (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：(1)产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；(2)“性价比”大的产品更具可购买性．解：(1)因为E (X 1)＝6，所以5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6， 即6a ＋7b ＝3.2.又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1， 即a ＋b ＝0.5.由⎩⎪⎨⎪⎧ 6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3，b ＝0.2.(2)由已知得，样本的频率分布表如下：X 2的概率分布列如下：所以E (X 2)＝3P 22222＝7)＋8P (X 2＝8) ＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8. 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性．现由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为66＝1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.84＝1.2.据此，乙厂的产品更具可购买性．。
2024-2025学年高二数学选择性必修第二册(北师版)教学课件第二章-§5简单复合函数的求导法则
解得x0＝1，∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1，0)．
ȁ2−0+3ȁ
＝
4+1
∴切点(1，0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝
5，
即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是 5.
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课堂小结
1.知识清单：
1．求复合函数的导数的注意点：
1
2
.
2−1
′ = ′ ∙ ′ =(ln)’ ∙ (2 − 1)’ =2 × =
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反思感悟
解决此类问题常犯两个错误
（1）不能正确区分所给函数是否是复合函数；
（2）若是复合函数，不能正确区分是由哪些基本初等函数复合而成.
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＝ 1 + 2 ＋
2
1+
＝
2
1+2 2
1+ 2
1+ 2
.
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5．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是?
解：设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
2
2
＝2，
0 −1
∵y′＝2−1，∴y′ȁ=0 ＝2
复合函数求导公式熟练后，中间步骤可以省略，即不必写出函数的复合过程，直接利用公式，由外向内逐
层求导.
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即时训练
求下列函数的导数：
(1)y＝cos 2 (sin 2 − cos 2)； (2)y＝x2＋tan x.
高一数学必修1(北师大版)同步练习3-5-3
3-5-3 对数函数的图像和性质基 础 巩 固一、选择题1．函数y ＝log 2(x －1)2－x 的定义域是( )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2)[答案] B[解析] 函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －1>02－x >0，∴1<x <2.故选B.2．下列大小关系正确的是( ) A ．0.43<30.4<log 40.3 B ．0.43<log 40.3<30.4 C ．log 40.3<0.43<30.4 D ．log 40.3<30.4<0.43[答案] C[解析] 由对数函数知log 40.3<0，由指数函数知30.4>1，而0.43＝0.064∈(0,1)， ∴log 40.3<0.43<30.4.故选C.3．若0<a <1，且函数f (x )＝|log a x |，则下列各式中成立的是( )A ．f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14>f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>f (2)[答案] D[解析] f (2)＝log a 12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝log a 13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log a 14. ∵y ＝log a x 有x ∈(0，＋∞)， ∵0<a <1，∴y ＝log a x 为减函数．∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，∴选D.4．y ＝log π3(x 2＋2x －3)的递增区间为( )A ．(1，＋∞)B ．(－3,1)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，－3)[答案] A[解析] 由x 2＋2x －3>0得x <－3或x >1，设μ＝x 2＋2x －3则y ＝log π3μ；μ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，当x ∈(－∞，－3)时，μ＝x 2＋2x －3是减函数， 当x ∈(1，＋∞)时，μ＝x 2＋2x －3是增函数， 又y ＝log π3μ在(0，＋∞)上为增函数，∴y ＝log π3(x 2＋2x －3)的递增区间为(1，＋∞)．5．与函数y ＝10lg(x －1)的图像相同的函数是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝|x －1|C ．y ＝x －1x ＋1D ．y ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x －12 [答案] D[解析] y ＝10lg(x －1)的定义域为{x |x >1}．∴y ＝x －1(x >1)．在A ，B ，C ，D 中，只有D 是y ＝x －1且x >1.故选D.6．log 43、log 34、log 4334的大小顺序是( )A ．log 34<log 43<log 4334B ．log 34>log 43>log 4334C ．log 34>log 4334>log 43D ．log 4334>log 34>log 43[答案] B[解析] 将各式与0,1比较．∵l og 34>log 33＝1， log 43<log 44＝1，又0<34<1，43>1，∴log 4334<0. 故有log 4334<log 43<log 34.所以选B.二、填空题7．(2012·福建模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 21x ＋2(x >0)3x (x ≤0)，则f [f (2)]的值为________．[答案] 19[解析] f (2)＝log 212＋2＝log 214＝log 22－2＝－2，∴f [f (2)]＝f (－2)＝3－2＝19.8．不等式log 34(x ＋1)>log 34(3－x )的解集是________．[答案] {x |－1<x <1}[解析]原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>03－x >0x ＋1<3－x，解得－1<x <1.三、解答题9．已知f (x )＝log a (a －a x )(a >1)， (1)求f (x )的定义域、值域和反函数； (2)判断f (x )的单调性，并证明； (3)解不等式：f －1(x 2－2)>f (x )．[解析] (1)要使函数有意义，只须a －a x >0， 即a x <a . 又∵a >1，∴x <1，定义域为(－∞，1)，又∵log a (a －a x )<log a a ＝1，∴值域为(－∞，1)， 设y ＝log a (a －a x )，∴a y ＝a －a x ，∴a x ＝a －a y ， ∴x ＝log a (a －a y )，∴f (x )的反函数为f －1(x )＝log a (a －a x )(x ∈(－∞，1)) (2)设x 1<x 2<1，Δx ＝x 2－x 1>0，∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝log a (a －ax 2)－log a (a －ax 1) ＝log a a －ax 2a －ax 1<log a 1＝0，即f (x )为减函数．(3)由题意知log a (a －ax 2－2)>log a (a －a x )， ∴ax 2－2<a x .∴x 2－2<x ，解得－1<x <2.又∵f (x )定义域为(－ ∞，1)， ∴原不等式解集为{x |－1<x <1}.能 力 提 升一、选择题1．函数y ＝lg(21＋x －1)的图像关于( )A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称[答案] C[解析] ∵y ＝lg(21＋x －1)＝lg(2－1－x 1＋x )＝lg(1－x 1＋x )，∵1－x1＋x ＞0，∴－1＜x ＜1，令f (x )＝lg(1－x 1＋x)，∴f (－x )＝lg(1＋x 1－x )＝lg(1－x 1＋x )－1＝－lg 1－x1＋x ＝－f (x )，∴函数为奇函数，其图像关于原点对称．2．(2011·重庆文)设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a [答案] B[解析] 该题考查对数大小比较，考查对数函数的单调性，以及寻求中间变量．∵a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343＝log 1334∵log 13x 单调递减而12<23<34∴log 1312>log 1323>log 1334，即c <b <a .二、填空题3．若a ∈R ，且log a (2a ＋1)<log a (3a )<0，则a 的取值范围是________．[答案] (13，1)[解析] 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧a >1，2a ＋1>0，2a ＋1<3a ，0<3a <1，或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，2a ＋1>3a ，3a >1.解得13<a <1.4．(2010·全国Ⅰ理)设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝5－12，则a ，b ，c大小关系为______．[答案] c <a <b[解析] a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln2＝1log 2e ，而log 23>log 2e >1，所以a <b ，c ＝5－12＝15，而5>2＝log 24>log 23，所以c <a ，综上c <a <b .三、解答题5．已知f (x )＝ln 1＋x1－x.(1)求f (x )的定义域；(2)求使f (x )>0的x 的取值范围．[解析] (1)要使函数有意义，应满足1＋x1－x >0，∴(x －1)(x ＋1)<0，∴－1<x <1，∴函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)要使f (x )＝ln 1＋x 1－x >0，则有1＋x1－x >1，∴1＋x1－x－1>0， ∴2x 1－x >0，∴x (x －1)<0，∴0<x <1， ∴使f (x )>0的x 的取值范围为(0,1)．6．讨论函数f (x )＝log a [(3x ＋1)(x －1)]的单调性．[解析] 由(3x ＋1)(x －1)>0得函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1，或x <－13.则当a >1时，若x >1，∵u ＝(3x ＋1)(x －1)＝3x 2－2x －1 ＝3(x －13)2－43为增函数，∴f (x )＝log a (3x 2－2x －1)为增函数． 若x <－13，∵u ＝3x 2－2x －1为减函数，∴f (x )＝log a (3x 2－2x －1)为减函数．当0<a <1时，若x >1，则f (x )＝log a (3x 2－2x －1)为减函数；若x <－13，则f (x )＝log a (3x 2－2x －1)为增函数．7．已知f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，比较f (x )与g (x )的大小． [解析] 易知f (x )，g (x )的定义域均为(0,1)∪(1，＋∞)，f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x4.(1)当x >1时，若3x 4>1，则x >43，这时f (x )>g (x )；若3x 4，则1<x <43，这时f (x )<g (x )；若3x 4＝1，则x ＝43，这时f (x )＝g (x )．(2)当0<x <1时，0<3x 4<1，log x 3x4>0，这时f (x )>g (x )．故由(1)(2)可知，当x ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，f (x )>g (x )；当x ＝43时，f (x )＝g (x )；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43时，f (x )<g (x )．。
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第3模块 第5节[知能演练]一、选择题1．sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于( )A ．0 B.12 C.32D ．1解析：sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝sin15°cos75°＋cos15°sin75°＝sin(15°＋75°)＝sin90°＝1，所以选D.答案：D2．若cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( )A ．－72 B ．－12C.12D.72解析：cos2αsin(α－π4)＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(cos α＋sin α)．依题意则－2(cos α＋sin α)＝－22，cos α＋sin α＝12，故选C. 答案：C3．若sin2α＝14，且α∈(π4，π2)，则cos α－sin α的值是( )A.32B.34 C ．－32D ．－34解析：sin2α＝2sin αcos α＝14，(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－14＝34.又α∈(π4，π2)，所以cos α－sin α＝－32，故选C.答案：C4．在△ABC 中，3sin(B ＋C )－4cos(A ＋C )＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则角C 等于( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．60°或120°解析：由3sin(B ＋C )－4cos(A ＋C )＝6得3sin A ＋4cos B ＝6 ①， 又4sin B ＋3cos A ＝1 ②，观察①②两式的结构特点，将两式两边平方后再相加得25＋24(sin A cos B ＋cos A sin B )＝25＋24sin(A ＋B )＝37，解得sin(A ＋B )＝sin C ＝12，故C ＝30°或150°.但当C ＝150°时，A ＋B ＝30°，此时3sin A ＋4cos B <3sin30°＋4cos0°＝112，这与3sin A＋4cos B ＝6矛盾，故C ＝30°.答案：A 二、填空题5．若角α的终边经过点P (1，－2)，则tan2α的值为________． 解析：∵tan α＝－21＝－2，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－41－4＝43.答案：436．在△ABC 中，sin A ≠sin B ，且(sin C －sin A )2－4(sin A －sin B )·(sin B －sin C )＝0，则角B 的取值范围是________．解析：由于sin A ≠sin B ，构造二次方程(sin A －sin B )x 2＋(sin C －sin A )x ＋(sin B －sin C )＝0. 由题意可知(sin C －sin A )2－4(sin A －sin B )·(sin B －sin C )＝0，即所构造的二次方程中Δ＝0，所以方程有两个相等的实根1.由根与系数的关系得：sin B －sin C sin A －sin B＝1，∴2sin B ＝sin A ＋sin C ， 即2sin B 2cos B2＝sin A ＋C 2cos A －C 2＝cos B 2·cos A －C 2，∴sin B 2＝12cos A －C 2≤12，上式等号成立时，须满足A ＝C 且B ＝π3，又A ＋B ＋C ＝π，则有A ＝C ＝B ＝π3这与已知sin A ≠sin B 矛盾，所以上式等号不成立． ∴sin B 2<12即0<B <π3答案：(0，π3)三、解答题7．已知函数f (x )＝－2sin 22x2cos(π2＋2x )＋cos 2x －sin 2x .求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间．解：依题意可得f (x )＝－2sin 22x －2sin2x ＋cos2x ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π4)，且sin2x ≠0，即x ≠kπ2，k ∈Z .所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.令2kπ＋π2≤2x ＋π4≤2kπ＋32π，k ∈Z ，2kπ＋π4≤2x ≤2kπ＋54π，k ∈Z ，kx ＋π8≤x ≤kπ＋58π，k ∈Z .又x ≠kπ2，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎭⎫kπ＋π8，kπ＋π2∪⎝⎛⎦⎤kπ＋π2，kπ＋58π，k ∈Z .8．如右图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为210、255. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知， cos α＝210，cos β＝255. 因为α为锐角，故sin α>0， 从而sin α＝1－cos 2α＝7210.同理可得sin β＝55.因此tan α＝7，tan β＝12. 即tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－(－3)×12＝－1.又0<α<π2，0<β<π2，故0<α＋2β<3π2，从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝34π.[高考·模拟·预测]1．函数f (x )＝sin 2(x ＋π4)－sin 2(x －π4)是( )A ．周期为2π的奇函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为π的奇函数D ．周期为π的偶函数解析：f (x )＝sin 2(x ＋π4)－sin 2(x －π4)＝12[1－cos(2x ＋π2)]－12[1－cos(2x －π2)] ＝12cos(2x －π2)－12cos(2x ＋π2) ＝12sin2x ＋12sin2x ＝sin2x ， ∴f (x )是周期为π的奇函数． 答案：C2．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是( )A ．－235 B.235 C ．－45 D.45解析：∵cos(α－π6)＋sin α＝453，∴32cos α＋12sin α＋sin α＝453， ∴3(12cos α＋32sin α)＝453，∴sin(α＋π6)＝45，又∵sin(α＋7π6)＝sin(π＋α＋π6)＝－sin(α＋π6)，∴sin(α＋7π6)＝－45.答案：C3．若sin(π3－α)＝14，则cos(π3＋2α)＝( )A ．－78B ．－14 C.14 D.78解析：∵sin(π3－α)＝14，∴cos(2π3－2α)＝1－2sin 2(π3－α)＝1－2×(14)2＝78，∴cos(π3＋2α)＝cos[π－(2π3－2α)]＝－cos(2π3－2α)＝－78.答案：A4．已知α，β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝1213，则cos(α＋π4)＝________.解析：∵α、β∈(3π4，π)，∴32π<α＋β<2π，π2<β－π4<34π， ∴cos(α＋β)＝45，cos(β－π4)＝－513，∴cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4)＝45×(－513)＋(－35)×1213＝－5665. 答案：－56655．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)．(1)求sin θ和cos θ的值； (2)若sin(θ－φ)＝1010，0<φ<π2，求cos φ的值． 解：(1)∵a ⊥b ，则a·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ，代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝±255，cos θ＝±55，又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝255，cos θ＝55.(2)∵0<φ<π2，0<θ<π2，∴－π2<θ－φ<π2.则cos(θ－φ)＝1－sin 2(θ－φ)＝31010，∴cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θcos(θ－φ)＋sin θsin(θ－φ)＝22. [备选精题]6．在△ABC 中，已知角A 为锐角，且f (A )＝[cos(π－2A )－1]sin(π＋A 2)sin(π2－A2)sin 2(π2－A 2)－sin 2(π－A 2)＋cos 2A .(1)求f (A )的最大值；(2)若A ＋B ＝7π12，f (A )＝1，求△ABC 的三个内角．解：(1)f (A )＝(cos2A ＋1)sin A 2cosA2cos 2A 2－sin 2A 2＋cos 2A＝2cos 2A sin A 2cosA2cos A ＋cos 2A＝12sin2A ＋cos 2A ＝12(sin2A ＋cos2A ＋1) ＝22sin(2A ＋π4)＋12. ∵角A 为锐角， ∴0<A <π2，π4<2A ＋π4<5π4.∴当2A ＋π4＝π2时，f (A )取得最大值，其最大值为2＋12. (2)由f (A )＝1得22sin(2A ＋π4)＋12＝1， ∴sin(2A ＋π4)＝22，∴2A ＋π4＝34π，A ＝π4，又∵A ＋B ＝7π12，∴B ＝π3，∴C ＝512π.综上，A ＝π4，B ＝π3，C ＝512π.。
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第5章 第3节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·浙江模拟]在各项都是正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，a 1＋a 2＋a 3＝21，则a 4＋a 5＋a 6等于( )A. 63B. 168C. 84D. 189答案：B解析：设等比数列{a n }的公比为q ， 则a 1＋a 2＋a 3＝3(1＋q ＋q 2)＝21，∴q 2＋q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－3(舍去)．∴a 4＋a 5＋a 6＝a 1q 3(1＋q ＋q 2)＝3×23×7＝168，故选B.本题还可以这样求解：a 4＋a 5＋a 6＝S 6－S 3＝3(1－26)1－2－21＝168，故选B.2. [2012·浙江杭州]正项等比数列{a n }中，若log 2(a 2a 98)＝4，则a 40a 60等于( ) A. －16 B. 10 C. 16 D. 256答案：C解析：由log 2(a 2a 98)＝4，得a 2a 98＝24＝16，则a 40a 60＝a 2a 98＝16.3. 数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －c ，则c ＝1是数列{a n }为等比数列的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件答案：C解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n －c ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－c (n ＝1)2·3n －1 (n ≥2).由等比数列的定义可知：c ＝1⇔数列{a n }为等比数列．4. [2012·浙江金华联考]已知正项数列{a n }为等比数列，且5a 2是a 4与3a 3的等差中项，若a 2＝2，则该数列的前5项的和为( )A. 3312 B. 31C.314D. 以上都不正确答案：B解析：设{a n }的公比为q ，q >0.由已知得a 4＋3a 3＝2×5a 2＝10a 2， 即a 2q 2＋3a 2q ＝10a 2,2q 2＋6q ＝20， 解得q ＝2或q ＝－5(舍去)，则a 1＝1，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝1×(1－25)1－231.5. 已知数列{a n }是正项等比数列，若a 1＝32，a 3＋a 4＝12，则数列{log 2a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A. 15B. 12C. 9D. 6答案：A解析：依题意，设数列{a n }的公比为q ，因为a 1＝32，a 3＋a 4＝12，则32q 2＋32q 3＝12，即8q 2＋8q 3－3＝0，也即8(q 3－18)＋8(q 2－14)＝0，解得q ＝12，因此a n ＝32×(12)n －1＝26－n ，log 2a n＝6－n .设数列{log 2a n }的前m 项和最大，则⎩⎪⎨⎪⎧6－m ≥06－(m ＋1)≤0，∴5≤m ≤6，故数列{log 2a n }的前5项和或前6项和最大，而S 5＝S 6＝15，故选A.6. [原创题]已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝a 3na 2n ＋1，且{b n }的前n 项和为T n ，若对一切正整数n 都有S n >T n ，则数列{a n }的公比q 的取值范围是( )A. 0<q <1B. q >1C. q > 2D. 1<q < 2答案：B解析：由于{a n }是等比数列，公比为q ，所以b n ＝a 3n a 2n ＋1＝1q 2a n ，于是b 1＋b 2＋…＋b n ＝1q 2(a 1＋a 2＋…＋a n )，即T n ＝1q 2·S n .又S n >T n ，且T n >0，所以q 2＝Sn T n >1.因为a n >0对任意n ∈N *都成立，所以q >0，因此公比q 的取值范围是q >1.二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2012·辽宁鞍山]数列{a n }的前n 项之和为S n ，S n ＝1－23a n ，则a n ＝__________.答案：35·(25)n －1解析：n ＝1时，a 1＝S 1＝1－23a 1，得a 1＝35，n ≥2时，S n ＝1－23a n ，S n －1＝1－23a n －1.两式相减得a n ＝23a n －1－23a n ，即53a n ＝23n －1，a n a n －1＝25. 所以{a n }是等比数列，首项为a 1＝35，公比为25，所以a n ＝35·(25)n －1.8．在正数等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＝1，a 7＋a 8＋a 9＝4，则此等比数列的前15项的和为________．答案：31解析：设数列{a n }的公比为q (q >0)，则有q 6＝a 7＋a 8＋a 9a 1＋a 2＋a 3＝4，注意到数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9，S 15－S 12是以q 3＝2为公比的等比数列，因此S 15＝1×(1－25)1－2＝31，即正数等比数列{a n }的前15项和为31.9. [2012·南京一模]已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为__________．答案：4解析：设等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0，依题意得a 23＝a 2·a 4＝4，又a 3>0，因此a 3＝a 1q 2＝2，a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝12，由此解得q ＝12，a 1＝8，a n ＝8×(12)n －1＝24－n ，a n ·a n ＋1·a n＋2＝29－3n .由于2－3＝18>19，因此要使29－3n >19，只要9－3n ≥－3，即n ≤4，于是满足a n ·a n ＋1·a a＋2>19的最大正整数n 的值为4. 三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．等比数列{a n }满足：a 1＋a 6＝11，a 3·a 4＝329，且公比q ∈(0,1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若该数列前n 项和S n ＝21，求n 的值． 解：(1)∵a 3·a 4＝a 1·a 6＝329，由条件知：a 1，a 6是方程x 2－11x ＋3290的两根， 解得x ＝13或x ＝323.又0<q <1，∴a 1＝323，a 6＝13，∴q 5＝a 6a 1＝132，q ＝12，从而a n ＝a 6·qn －6＝13·(12)n －6. (2)∵323[1－(12)n ]1－12＝21，得(12)n ＝164，∴n ＝6.11. [2012·宁夏模拟]在各项均为负数的数列{a n }中，已知点(a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在函数y ＝23x 的图像上，且a 2·a 5＝827.(1)求证：数列{a n }是等比数列，并求出其通项； (2)若数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝a n ＋n ，求S n . (1)证明：因为点(a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在函数y ＝23x 的图像上．所以a n ＋1＝23a n ，即a n ＋1a n ＝23，故数列{a n }是公比q ＝23的等比数列．因为a 2a 5＝827，则a 1q ·a 1q 4＝827，即a 21(23)5＝(23)3，由于数列{a n }的各项均为负数，则a 1＝－32，所以a n ＝－(23)n －2.(2)解：由(1)知，a n ＝－(23)n －2，b n ＝－(23)n －2＋n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝－[(23)－1＋(23)0＋(23)1＋…＋(23)n －2]＋1＋2＋…＋n ＝－(23)－1[1－(23)n ]1－23＋1＋n 2·n所以S n ＝3·(23)n －1＋n 2＋n －92.12. [2011·山东卷]等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列.(1)求数列{a n }(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)nln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)由题意知，a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18， ∵{a n }为等比数列，q ＝3， ∴{a n }的通项公式为a n ＝2·3n －1 (2)∵b n ＝a n ＋(－1)n ln a n∴S n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )＋(－ln a 1＋ln a 2－ln a 3＋ln a 4＋…＋(－1)nln a n ) ＝2(1－3n)1－3＋[(ln a 2－ln a 1)＋(ln a 4－ln a 3)＋…]＝3n －1＋(ln a 2a 1＋ln a4a 3…)∴当n ＝2k (k ∈N *)时，S 2k ＝32k －1＋(ln a 2a 1＋ln a 4a 3＋…＋ln a2k a 2k －1)＝32k －1＋(ln3＋ln3＋…＋ln3)＝32k －1＋k ln3.当n ＝2k ＋1(n ∈N )时，S 2k ＋1＝32k ＋1－1＋(ln a 2a 1＋ln a 4a 3＋…＋ln a2k a 2k －1－ln a 2k ＋1)＝32k ＋1－1＋k ln3－ln a 2k ＋1 ＝32k ＋1－1＋k ln3－ln(2·32k) ＝32k ＋1－1－k ln3－ln2.∴S n＝⎩⎨⎧3n－1＋n2ln3(n 为偶数)3n－1－n －12ln3－ln2(n 为奇数)。