2.3双曲线与直线,中点弦
双曲线抛物线知识点大总结绝对好和全
双曲线抛物线知识点⼤总结绝对好和全第⼆章 2.3 双曲线双曲线标准⽅程（焦点在x 轴）)0,0(12222>>=-b a by a x 标准⽅程（焦点在y 轴）)0,0(12222>>=-b a bx a y 定义第⼀定义：平⾯内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值是常数（⼩于12F F ）的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。
{}a MFMF M 221=-()212F F a <第⼆定义：平⾯内与⼀个定点F 和⼀条定直线l 的距离的⽐是常数e ，当1e >时，动点的轨迹是双曲线。
定点F 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e （1e >）叫做双曲线的离⼼率。
范围 x a ≥，y R ∈ y a ≥，x R ∈对称轴x 轴，y 轴；实轴长为2a ,虚轴长为2b对称中⼼原点(0,0)O焦点坐标1(,0)F c - 2(,0)F c1(0,)F c - 2(0,)F c焦点在实轴上，22c a b =+；焦距：122F F c =顶点坐标（a -,0） (a ,0) (0, a -,) (0，a )xy P1F 2F xy P xyP1F2FxyxyP1F 2F xyxyP1F 2F xy P离⼼率 e ace (=>1)= 准线⽅程 ca x 2±=ca y 2±=准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：c a 22顶点到准线的距离顶点1A （2A ）到准线1l （2l ）的距离为ca a 2-顶点1A （2A ）到准线2l （1l ）的距离为a ca +2焦点到准线的距离焦点1F （2F ）到准线1l （2l ）的距离为cac 2-焦点1F （2F ）到准线2l （1l ）的距离为c ca +2渐近线⽅程x a b y ±= x b a y ±=共渐近线的双曲线系⽅程k b y a x =-2222（0k ≠） k b x a y =-2222（0k ≠）1. 双曲线的定义①当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，则表⽰点M 在双曲线右⽀上；当a MF MF 212=-时，则表⽰点M 在双曲线左⽀上；②注意定义中的“（⼩于12F F ）”这⼀限制条件，其根据是“三⾓形两边之和之差⼩于第三边”。
2.3双曲线与直线,中点弦
情况2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程, Δ>0 直线与双曲线相交（两个交点） Δ=0 直线与双曲线相切（一个交点） Δ<0 直线与双曲线相离（没有交点）
变式训练
1.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上 任意一点(异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围 0 1， ， 是_________ 2．若直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1有且只有一个
x2 y2 3.过原点与双曲线 4 33 取值范围是 ， 2 1 交于两点的直线斜率的 3 2 ，
练习
x2 y2 1只有一个交点的 3.过点P(1,1)与双曲线 9 16 4
直线共有_______条.
变式:将点P(1,1)改为
解 : (2)5 12 9 12 45
5x 9 y 14 0
变式训练 1.如果直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4没有公共点，求k 的取值范围．
y＝kx－1 2 2 解：由 2 得 (1 － k )x ＋2kx－5＝0， 2 x －y ＝4
易知此方程无解． 2 1 － k ≠0 5 5 由 得 k> 或 k<－ ， 2 2 2 2 Δ ＝4k ＋20（1－k ）<0 5 5 则 k 的取值范围为 k> 或 k<－ . 2 2
韦达定理法：先写出直线方程，再代入双曲线方程， 利用韦达定理可求得中点坐标。 设而不求
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差 构造出中点坐标和斜率。
2 b （ x1 x2 )( x1 x2 ) a2 ( y1 y2 )( y1 y2 ) 0
b2 2x0 k AB a2 2 y0 0
直线与双曲线 点差法与中点弦
直线与双曲线点差法与中点弦一、切线类型：1、双曲线内、原点：0条；2、双曲线上、渐近线（非原点）上：1条；3、双曲线外非渐近线上：2条双曲线与渐近线之间：与一支两切线两渐近线之间：与两支各一条切线二、直线与双曲线的位置关系：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条、细分如下：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域②③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑥：即过原点，无切线，无与渐近线平行类比：双曲线中点弦存在性的探讨规律：点差法求中点弦方程时，椭圆、抛物线内的点为中点中点弦方程不用检验，中点在渐近线和曲线上或它们之间的空隙区域，符合条件的方程都是增解；其它区域内的点为中点的弦的方程都符合题意。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------求过定点的双曲线的中点弦问题，通常有下面两种方法：（1）点差法，即设出弦的两端点的坐标代入双曲线方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，从而求出直线方程．（2）联立法，即将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理与判别式求解．无论使用点差法还是联立法，都要运用来判定中点弦是否存在，而这完全取决于定点所在的区域．现分析如下：利用双曲线及其渐近线，可把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域（如图）．当在区域Ⅰ内时，有；当在区域Ⅱ内时，有．当在区域Ⅲ内时，有．利用上述结论，可以证明：当在区域Ⅰ时，以它为中点的弦不存在，而在区域Ⅱ、Ⅲ时，这样的弦是存在的．证明过程如下：设双曲线的弦两端点为，，中点为，则，．运用点差法得出的斜率．①令直线的方程为即．②把②代入，整理得．．③把①代入③，整理得．若在Ⅱ、Ⅲ区域内，则或，这时，中点弦存在；若在区域Ⅰ内，则，这时，中点弦不存在．例过点作双曲线的弦，使点为的中点，则的方程为（ D ）（A）（B）（C）（D）不存在分析：将及联立得．此时，，则选（D）．若运用上述区域法，只要判断在区域Ⅰ就可得出中点弦不存在的结论，故可直接选（D）．-------------------------------------------------------------------------------------点差法求双曲线的中点弦方程时产生增根的原因分析。
3.2.2双曲线的简单几何性质第四课时(双曲线中点弦问题)课件-高二上学期数学人教A版选择性【01】
2.已知双曲线x2 y2 1,过点P(2, 1)的直线l与双曲线相交于A, B两点，P能否时线段AB中点？ 2
为什么？
拓展练习：
已知直线l
:
x
y
1
0与双曲线C
:
x2 a2
y2
1(a
0)
1)、若a 1 ,求l与C相交所得的弦长 2
2）、若直线l与双曲线有两不同的交点，求双曲线C离心率的取值范围。
直线斜率不存在时, AB y1 y2
4.弦长公式：
双曲线的弦长：
设直线方程为：y kx m,
双曲线为：x2 a2
y2 b2
1
设A（x1, y1), B(x2, y2 )
| AB | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 1 k 2 | x1 x2 |
1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2
3.2.2 双曲线的简单几何性质 （双曲线中点弦问题）
01
理解直线与双曲线的位置 关系
02 双曲线的中点弦问题
教学目标
03 与双曲线有关的综合问题单问题
一、知识回顾：
1、定义： 一般地，我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的 绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.
• 小结：
1.弦长公式： | AB | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 1 k 2 | x1 x2 | 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2
直线斜率不存在时, AB y1 y2
2.中点弦问题，验证是否相交。
感
T
H
谢
A
N
指
K
Y
导
O
U
b 0)
2.3.2双曲线的简单几何性质(2)
x y 1 (a 0,b 0 ) a b
2 2
范围 a x a
b y b
x a 或 x a，y R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 顶点 离心率 渐进线
A1（- a，0），A2（a，0） B1（0，-b），B2（0，b）
关于x轴、y轴、原点对称
方程(2)的焦距___ ;虚轴长__;
渐近线方程是________________
16 例5 点M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到直线 l : x 5
y 16 d 解：设d是点M到直线l : x 的距离，根据题意， H 5 MF 5 点M的轨迹就是集合P M , d 4 2 ( x 5) y O 5
A1（- a，0），A2（a，0）
c e (0 e 1) a 无
c e a
(e 1)
b y x a
练习 . 回答下列问题:
y2 x2 2 2 (1) 1;(2)9 y 16 x 144. 25 144
方程(1)的焦点坐标___ 实半轴长__;
渐近线方程_____________________
－－韦达定理与点差法
小结：
1 .位置判定 2.弦长公式 3.中点问题 4.设而不求(韦达定理、点差法)
练习:
x2 y2 1 的左焦点 F1 作倾角为 1.过双曲线 4 9 16
的直线与双曲线
192 交于 A、B 两点，则|AB|= 7 .
2.双曲线的两条渐进线方程为x 2 y 0 ，且截直线x y 3 0
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交（一个交点）
点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用
点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。
它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。
本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。
定理 在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN =⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221ΛΛΛΛb y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,00021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=Θ.2200ab x y k MN=⋅∴ 同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN =⋅.典题妙解例1 已知双曲线13:22=-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点.（1）求弦AB 的中点M 的轨迹；（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程. 解：（1）,3,122==b a 焦点在y 轴上.设点M 的坐标为),(y x ，由22b a x y k AB =⋅得：3121=⋅--x y x y ，整理得：.032322=+--y x y x∴所求的轨迹方程为.032322=+--y x y x（2）Θ P 恰为弦AB 的中点，∴由2200ba x y k AB =⋅得：,3121=⋅AB k 即.32=AB k∴直线l 的方程为)2(321-=-x y ，即.0132=--y x 例2 已知双曲线22:22=-y x C 与点).2,1(P（1）斜率为k 且过点P 的直线l 与C 有两个公共点，求k 的取值范围； （2）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ？ （3）试判断以)1,1(Q 为中点的弦是否存在.解：（1）直线l 的方程为)1(2-=-x k y ，即.2k kx y -+=由⎩⎨⎧=--+=.22,222y x k kx y 得.064)2(2)2(2222=+-+---k k x k k x kΘ直线l 与C 有两个公共点，∴得⎪⎩⎪⎨⎧+----=∆≠-.0)64)(2(4)2(4,0222222φk k k k k k解之得：k ＜23且.2±≠k ∴k 的取值范围是).23,2()2,2()2,(Y Y ---∞（2）双曲线的标准方程为.2,1,122222==∴=-b a y x 设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，则由2200ab x y k AB =⋅得：.1,22=∴=⋅k k由（1）可知，1=k 时，直线l 与C 有两个公共点，∴存在这样的弦.这时直线l 的方程为.1+=x y（3）设以)1,1(Q 为中点的弦存在，则由2200ab x y k AB =⋅得：.2,21=∴=⋅k k由（1）可知，2=k 时，直线l 与C 没有两个公共点，∴设以)1,1(Q 为中点的弦不存在.例3 过点)0,2(-M 作直线l 交双曲线1:22=-y x C 于A 、B 两点，已知OB OA OP +=（O为坐标原点），求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：在双曲线1:22=-y x C 中，122==b a ，焦点在x 轴上.设弦AB 的中点为Q .,OB OA OP +=Θ由平行四边形法则知：OQ OP 2=，即Q 是线段OP 的中点. 设点P 的坐标为),(y x ，则点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,2y x . 由2222a bx y k AB =⋅得：14222=⋅+=⋅+x y x y x y x y，整理得：.0422=+-x y x配方得：144)2(22=-+y x . ∴点P 的轨迹方程是144)2(22=-+y x ，它是中心为)0,2(-，对称轴分别为x 轴和直线02=+x 的双曲线.例 4. 设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线． （Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线4:'+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由2234y x =-得)32(322-=x y ，∴3=p ，抛物线的顶点是)0,32(，准线是3213223=+-=x . ∴在双曲线C 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.321,322ca c . ∴.1,3122==b a∴双曲线C 的方程为1322=-y x .（Ⅱ）由⎩⎨⎧=-+=.13,1222y x x y 得：0242=++x x . 设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=-=+x x x x .∴102]24)4)[(21(]4))[(1(||22212212=⨯--+=-++=x x x x k AB .（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线'l 对称，则'l 是线段AB 的垂直平分线. 因而k a 1-=，从而41:'+-=x ky l . 设线段AB 的中点为),(00y x P . 由2200a b x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由4100+⋅-=x ky 得：k x ky 400+-=.…………………………………………………② 由①、②得：3,00==y k x .由100+=kx y 得：132+=k ，∴2±=k .又由⎩⎨⎧+==-.1,1322kx y y x 得：.022)3(22=++-kx x kΘ直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(8422--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k .∴符合题意的k 的值存在，2±=k .金指点睛1. (03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程为（ ）A.14322=-y xB. 13422=-y xC. 12522=-y xD. 15222=-y x 2.（02江苏）设A 、B 是双曲线1222=-y x 上两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点. （1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么？3. 已知双曲线1322=-y x ，过点)23,21(--P 作直线l 交双曲线于A 、B 两点. （1）求弦AB 的中点M 的轨迹;（2）若点P 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程和弦AB 的长.4、双曲线C 的中心在原点，并以椭圆1132522=+y x 的焦点为焦点，以抛物线x y 322-=的准线为右准线.（1）求双曲线C 的方程；（2）设直线)0(3:≠+=k kx y l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线)0(6:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.参考答案1. 解：在直线1-=x y 中，1=k ，32-=x 时，35-=y . 由2200a b x y k MN =⋅得222532351a b ==--⋅. 又由⎪⎩⎪⎨⎧==+=72522222c b a a b 得5,222==b a . 故答案选D.2. 解：（1）2,122==b a ，焦点在x 上. 由2200ab x y k AB =⋅得：22=⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线AB 方程为)1(12-⋅=-x y ，即01=+-y x .（2）设直线CD 的方程为0=++m y x ，点)2,1(N 在直线CD 上， ∴021=++m ，3-=m .∴直线CD 的方程为03=-+y x .又设弦CD 的中点为),(y x M ，由22a b x y k CD=⋅得：21=⋅-xy，即x y 2-=. 由⎩⎨⎧-==-+.2,03x y y x 得6,3=-=y x .∴点M 的坐标为)6,3(-.又由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.12,0122y x y x 得)4,3(),0,1(B A -. 由两点间的距离公式可知：102||||||||====MD MC MB MA . 故A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 3. 解：（1）3,122==b a ，焦点在x 上. 设点M 的坐标为),(y x .若直线l 的的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时直线l 与双曲线没有公共点，不合题意，故直线l 的的斜率存在.由22ab x y k AB =⋅得：32123=⋅++x y x y ， 整理，得：0332622=-+-y x y x .∴点M 的轨迹方程为0332622=-+-y x y x .（2）由2200abx y k AB =⋅得：32123=--⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线l 方程为)21(123+⋅=+x y ，即1-=x y .由⎪⎩⎪⎨⎧-==-.1,1322x y y x 得022=-+x x ， 解之得：1,221=-=x x . ∴.2332||1||122=⋅=-+=x x k AB4. 解：（1）在椭圆1132522=+y x 中，32,13,522=-===b a c b a ，∴焦点为)0,32(),0,32(21F F -.在抛物线x y 322-=中，3=p ，∴准线为23=x . ∴在双曲线中，232=c a . 从而.3,3==b a ∴所求双曲线C 的方程为19322=-y x . （2）直线'l 是弦AB 的垂直平分线，∴k m 1-=，从而61:'+⋅-=x ky l . 设弦AB 的中点为),(00y x P .由2200a b x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由6100+⋅-=x ky 得：k x ky 600+-=.…………………………………………………② 由①、②得：29,2300==y k x又Θ300+=kx y ，∴32329+⋅=kk ，即12=k . ∴1±=k . 由⎪⎩⎪⎨⎧+==-.3,19322kx y y x 得.0186)3(22=++-kx x k Θ直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(723622--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k . ∴1±=k 符合题意.故k 的值为1±.。
中点弦在圆锥曲线规律
中点弦在圆锥曲线规律
中点弦定理是圆锥曲线中的一个基本定理，它描述了圆锥曲线上一点到两个焦点的距离之差等于它到一个定点（中点弦所在直线与圆锥曲线的交点）的距离的两倍。
具体来说，对于椭圆、双曲线和抛物线，中点弦定理可以分别表示为：
椭圆：设M为椭圆上一点，F1和F2为椭圆的两个焦点，N为MF1的中点，则MF2=2FN。
双曲线：设M为双曲线上一点，F1和F2为双曲线的两个焦点，N为MF1的中点，则MF2=-2FN。
抛物线：设M为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，T 为MF的中点，则MT=PF，其中P为抛物线的顶点。
中点弦定理在圆锥曲线的研究中有着广泛的应用。
例如，在椭圆的应用中，中点弦定理可以用于计算椭圆上一点的速度和加速度等物理量；在双曲线的应用中，中点弦定理可以用于计算双曲线上一点的切线和法线等几何量；在抛物线的应用中，中点弦定理可以用于计算抛物线上一点的切线和法线等几何量。
点差法中点弦斜率公式双曲线
点差法中点弦斜率公式双曲线
点差法中点弦斜率公式是双曲线研究中的一个重要公式。
双曲线是一种非常特殊的图形，其方程形式为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b均为正实数。
为了研究双曲线，可以使用点差法，该方法可以计算出两个点之间的距离和斜率。
其基本思想是通过两个点之间的差值，计算出斜率。
在点差法中，可以使用点(x,y)和点(x+h,y+k)来计算中点弦的斜率，其中h和k分别表示两个点在x和y方向上的差值。
中点的坐标为(x+(x+h))/2,(y+(y+k))/2，即((2x+h)/2,(2y+k)/2)，可以通过代入该坐标来计算出中点弦的斜率。
具体公式为：
k = (2ab^2)/(h√(a^2+b^2))
其中，k表示中点弦的斜率，a和b为双曲线的参数，h为两点在x方向上的差值。
通过这个公式，可以计算出双曲线上任意两点之间的中点弦斜率，从而研究双曲线的性质和特点。
- 1 -。
直线与双曲线的相交弦问题
直线与双曲线的相交弦问题直线与双曲线相交的弦长公式 ①221212()()AB x x y y =-+-②]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+= ③221121222111(1)[()4]AB y y y y y y kk=+-=+⋅+-一、已知双曲线方程和直线方程求弦长例1、 过双曲线1322=-y x 的左焦点1F ，作倾斜角为6π的弦AB ，求AB ；⑵AB F 2∆的面积（2F 为双曲线的右焦点）。
1、求直线1y x =+被双曲线2214y x -=截得的弦长；2、过双曲线14491622=-y x 的右焦点作倾斜角为3π的弦AB ，求弦长AB ；3、已知斜率为2的直线L 被双曲线22154x y -=截得的弦长为52，求直线L 的方程；4、过双曲线122=-y x 的左焦点2F ，作倾斜角为3π的直线与双曲线相交于B A ,两点，求： （1）弦长AB（2）△AB F 1∆的周长（2F 为双曲线的右焦点）二、已知弦长求双曲线方程5、 已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线2-=x y 被双曲线截得的弦长为220，求此双曲线的标准方程．6、已知倾斜角为4π的直线l 被双曲线60422=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．例2、 已知双曲线方程为3322=-y x ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k 值对判别式△>0进行验证即可． 例3、 双曲线方程为3322=-y x .问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．7、已知中心在原点，顶点12,A A 在x 轴上，离心率为21的双曲线经过点(6,6)P （Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点,M N ，问是否存在直线l 使G 平分线段MN 。
双曲线的中点弦什么时候存在
首先不妨把双曲线所在的平面区域分成以下几个部分:
７５
周刊
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
则 有 :x２ １－y２２１ ＝１,x２２－y２２２ ＝１,两 式 相 减 ,得 :
(x１
＋x２)(x１
－x２)－
(y１
＋y２)(y１ ２
－y２)＝０
因为 P(１,２)为 AB 中点,从而x１＋x２＝２,y１＋y２＝４,
所
以
kAB
＝xy１１
－y２ －x２
＝２(yx１１＋＋yx２２
) ＝１,
故 所 求 直 线 方 程 为 y－２＝x－１,即 x－y＋１＝０.
至此,我们利用“点 差 法 ”解 决 了 双 曲 线 的 中 点 弦 问 题,
为了验证所求的直线x－y＋１＝０ 是 否 是 满 足 条 件 的 直 线, 我们将该直线方程和已知双曲线方程联立成方程组
{x２
y２ －２
2.3双曲线与直线_中点弦
o
F
例6.已知直线 y=kx-1 与双曲线 4x2-9y2=36
求下列情况下实数k的取值范围. (1)有两个不同公共点; (2)没有公共点; (3)只有一个公共点;
例6.已知直线 y=kx-1 与双曲线 4x2-9y2=36
求下列情况下实数k的取值范围. (4)与右支有两个公共点; (5)与左支有两个公共点;
作业： 1.（全优例2）已知双曲线3x2－y2＝3,直线l过其右焦点F2，
与双曲线交于A、B两点，且倾斜角为45°，试问A、B两点
是否位于双曲线的同一支上？并求出线段AB的长．
y2 2. （课本62页B4）给定双曲线x = 1,过点A(1,1)能否 2 作直线L使L与所给双曲线交于两点P,Q,且A是线段PQ的
=4b -4(a b)(b 1) 0 ab a b
2
M
设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
o
B
x
2b b 1 b a x1 x2 , x1 x2 AB中点M ( , ) ab ab ab ab 2 2 a 2 又 AB 1 k ( x x ) 4 x1 x2 k MO 1 2 b 2a b 2 1 2 2b 2 b 1 a ,b 2 2 2 ( ) 4 ab a b 3 3
韦达定理法：先写出直线方程，再代入双曲线方程， 利用韦达定理可求得中点坐标。 设而不求
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差 构造出中点坐标和斜率。
2 b （ x1 x2 )( x1 x2 ) a2 ( y1 y2 )( y1 y2 ) 0
b2 2x0 k AB a2 2 y0 0
2
2
椭圆和双曲线的中点弦公式
椭圆和双曲线的中点弦公式简介
【示例范文仅供参考】
---------------------------------------------------------------------- 椭圆和双曲线的中点弦公式是一个用于计算椭圆和双曲线中点弦的公式。
对于椭圆和双曲线，一条弦是连接两个点的线段。
中点弦是连接弦的中点和曲线上的某一点的线段。
假设我们要计算椭圆或双曲线上的点P 到弦AB 中点M 的距离d。
则可以使用下面的中点弦公式：
对于椭圆：d = sqrt(a^2 - h^2) * sqrt(b^2 - h^2) / c
对于双曲线：d = sqrt(h^2 - a^2) * sqrt(h^2 - b^2) / c
其中，a、b、c 分别为椭圆或双曲线的半长轴、半短轴和离心率，h 为弦AB 与椭圆或双曲线中心连线的长度的一半。
使用该公式可以方便地计算中点弦距离，从而对于椭圆或双曲线上的点进行进一步的图形分析和计算。
人教高中数学 选修 2-1 第二章 2.3 椭圆与双曲线中点弦斜率公式及推广(含答案)
椭圆与双曲线中点弦斜率公式及其推论圆锥曲线中点弦问题是问题在高考中的一个常见的考点.其解题方法一般是利用点差法和韦达定理，设而不求.但一般来说解题过程是相当繁琐的.若能巧妙地利用下面的定理则可以方便快捷地解决问题.定理1(椭圆中点弦的斜率公式)：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b+=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：22AB OMb k k a⋅=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b --+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a ⋅=-定理2(双曲线中点弦的斜率公式)：设00(,)M x y 为双曲线22221x y a b-=弦AB（AB 不平行y 轴）的中点，则有22AB OMb k k a⋅= 证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b ---=整理得：2221222212y y b x x a -=-，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a ⋅= 例1、已知椭圆22221x y a b-=，的一条弦所在的直线方程是30x y -+=，弦的中点坐标是2,1M -（），则椭圆的离心率是（ ） A 、12 B、、分析：本题中弦的斜率 1AB k =且12OMk =-，根据定理有2212b a =，即2222112a c e a -=-=，解得2e =，所以B 答案正确. 例2、过椭圆221164x y +=内的一点(2,1)M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在的直线方程.解：设弦所在的直线为AB ，根据椭圆中点弦的斜率公式知14AB OM k k ⋅=-，显然12OM k =，所以12AB k =-，故所求的直线方程为11(2)2y x -=--，即240x y +-=.例3、过椭圆2216436x y +=上的一点(8,0)P -作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程.解：设PQ 的中点为(,)M x y ，则OM yk x=，8PQ y k x =+，由椭圆中点弦的的斜率公式得9816y y x x ⋅=-+，即所求的轨迹方程为29(8)16y x x =-+ 例4、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线l 与x 轴交于0(,0)P x ，求证：22220a b a b x a a---<<. 证明：设AB 的中点为11(,)M x y ，由题设可知AB 与x 轴不垂直，10y ∴≠，由椭圆的中点弦斜率公式得:2121ABx b k a y =-⋅2121l a y k b x ∴=，所以直线l 的方程为：211121()a y y y x x b x -=-，令0y =解得21022a x x a b =-，1||x a <，2022a a x a a b ∴-<<-，即：22220a b a b x a a ---<<例5、已知双曲线2212y x -=，经过点(1,1)M 能否作一条直线l ，使l 交双曲线 于A 、B 两点且点M 是线段AB 的中点，若存在这样的直线l ，求出它的方程；若不存在，说明理由.解：若存在这样的直线l 的斜率为k ，则1OM k =，由双曲线中点弦的斜率公式知：2k =，此时l 的方程为：12(1)y x -=-，即21y x =-，将它代入双曲线方程2212y x -=并化简得：22430x x -+=，而该方程没有实数根.故这样的直线l 不存在.定理1推论：若A 、B 是椭圆22221x y a b+=上关于中心对称的两点，P 是椭圆上任一点，当PA 、PB 的斜率PA k 和PB k 都存在时，有22PA PBb k k a⋅=-.证明：如图：连结AB ，取PB 中点M ，连结OM ，则OM PA ，所以有OM PA k k =，由椭圆中点弦斜率公式得：22OM PBb k k a ⋅=-.所以22PA PB b k k a⋅=-.类似地可以证明定理2推论：若A 、B 是双曲线22221x y a b-=上关于中心对称的两点，P 是双曲线上的任一点，当PA 、PB 的斜率PA k 和PB k 都存在时，有22PA PBb k k a⋅=.。
关于双曲线的中点弦的一个性质
关于双曲线的中点弦的一个性质河北省保定市第二中学 李建昌引理：设有双曲线C ：122=-y x 及点()00,y x P ，当点P 位于双曲线C 和它的渐近线x y l ±=:之间时，双曲线的以点P 为中点的弦不存在。
证明：反之，假设存在以点P 为中点的弦21P P ，其中()111,y x P ，()222,y x P ，那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-02121222221212211yy y x x x y x y x 0000121221212122212222x x y y y x x x y y y y x x y y x x --=⇒--=++⇒-=-⇒； 于是，得到直线21P P 的方程为：022000y y x x x y y --=。
22将直线21P P 的方程：0000202000x tx x y y y x x x y y -=--=代入双曲线方程可得：0212020220002=++-⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--y t x tx tx y t x y x x ； 它的判别式：()()()[]()014444420202020220202202<-=--=--=+-=∆t ty y t x t t y t tx t y t t x t ，矛盾。
由此可知假设是错误的，命题得证。
定理：设有双曲线C ：12222=-by a x 及点()00,y x P ，当点P 位于双曲线C 和它的渐近线x aby l ±=:之间时，双曲线的以点P 为中点的弦不存在。
证明：当点P 位于双曲线C 和它的渐近线x aby l ±=:之间时，()1,0220220∈-=b y a x t ；做伸缩变换：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==b y y ax x ''，这时，双曲线变为'C ：1''22=-y x ，点P 变为⎪⎭⎫⎝⎛b y a x P 00,'。
直线与双曲线的位置关系及中点弦问题
课题：直线与双曲线的位置关系及中点弦问题1.直线与双曲线的位置关系的判断设直线)0(:≠+=m m kx y l ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b若0222=-k a b 即a b k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若0222≠-k a b 即ab k ±≠，))((4)2(222222222b a m a k a b mk a -----=∆ 0>∆⇒直线与双曲线相交，有两个交点； 0=∆⇒直线与双曲线相切，有一个交点； 0<∆⇒直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。
2.直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l :y =kx +n ，圆锥曲线：F (x ,y )=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)， 且由⎩⎨⎧+==nkx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx +c =0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。
设),(),,(2211y x B y x A ，则弦长公式为：则2122124)(1||x x x x k AB -++=若联立消去x 得y 的一元二次方程：)0(02≠=++a c by ay 设),(),,(2211y x B y x A ，则2122124)(11||y y y y k AB -++=焦点弦长：||PF e d=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率）。
【例1】过点P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
解析：若直线的斜率不存在时，则x =，满足条件；若直线的斜率存在时，设直线的方程为5(y k x -=-则5y kx =+-22(51725x kx +--=， ∴22257(5725x kx -+-=⨯，222(257)72(5(57250k x kx --⨯-+--⨯=，当k =时，方程无解，不满足条件；当k =时，21075⨯⨯=方程有一解，满足条件；当2257k ≠时，令222[14(54(257)[(5165]0k k ∆=-----=，化简得：k 无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条x =107y x =-+。
【高二】【数学】【人教B版选修2-1】2.3.2双曲线的几何性质
【感悟情境】
两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并且获得了大量的成果．古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线．用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把在双曲线标准方程x a 2－y b
2＝)
－y 3
＝利用双曲线的标准方程a 2－b
2＝都适合不等式a
2≥得x ≥a 或x ≤－a .因此，双曲线位于两直线x ＝a 和x ＝－a 所夹平面区域的外侧，
如图所示： 类似于对椭圆对称性的讨论，可知双曲线是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形；也是以原点为对称中心的中心对称图形，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．可知双曲线与x 轴有两个交点，，这个方程没有实数根，说明双曲线与B 2(0，b )画在y 轴上，如图．
x ≤－a 或x ≥a
y ≤－a 或y ≥a
关于x 轴、轴及原点都对称
y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)。
直线与双曲线中点弦的探索
－ｙｂ２ １ ２
＝１，且
ｘ２ ２ ａ２
－ｙｂ２ ２ ２
＝１，解得
ｋＡＢ ＝ａｂ２２ｘｙ００．
那么，过点 Ｐ且以 ｋＡＢ为斜率的直线 ｌ的方程
为：ｙ－ｙ０ ＝ａｂ２２ｘｙ００（ｘ－ｘ０）．
即将 ｙ＝ｂ２ｘ０ｘ－ａｂ２２ｙｘ０２ ０＋ａ２ｙ２ ０代－ａ２
ｂ２ｘ０ｘｘ－ｂ２ｘ２０ ＋ａ２ｙ２０ ａ２ｙ０
·７３·
２
＝ａ２ｂ２．
化简整理得：
ｂ２（ａ２ｙ２０－ｂ２ｘ２０）ｘ２－２ｂ２ｘ０（ａ２ｙ２０ －ｂ２ｘ２０）ｘ－（ａ２ｙ２０
－ｂ２ｘ２０）２ －ａ４ｂ２ｙ２０ ＝０．
∵ａ２ｙ２０－ｂ２ｘ２０≠０（点 Ｐ不在渐近线上），
( ) ∴ｂ２ｘ２－２ｂ２ｘ０ｘ－（ａ２ｙ２０－ｂ２ｘ２０）－
ａ４ｂ２ｙ２０ ａ２ｙ２０－ｂ２ｘ２０
之后与焦点同在的区域，则 Δ＜０，此时直线与双曲线没
有交点，所求直线不存在；当点 Ｐ在双曲线内部或在外
部但在渐近线分割之后与焦点不同在的区域，则 Δ＞０，
此时直线与双曲线有两个交点，所求曲线存在．
４ 结论
在求解双曲线的中点弦问题时，已知点 Ｐ的坐 标，不能仅考虑点 Ｐ是在双曲线内部还是外部，而 应与渐近线划分的区域进行比较．当点在被渐近线 分割后与焦点同在的区域时，以点 Ｐ为中点的弦不 存在，否则以点 Ｐ为中点的弦存在．
ｘ２ ａ２
－ｙｂ２２
＜０时，点
Ｐ在双曲线外部且在渐
近线分割之后与焦点不在同一区域，则 Δ＞０，此时
直线与双曲线有两个交点； （３）当 ０＜ａｘ２２ －ｙｂ２２ ＜１时，点 Ｐ在双曲线外部且
在渐近线分割之后与焦点同在的区域，则 Δ＜０，此
时直线与双曲线没有交点；
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x2 y2 1 的两条渐近线的夹角的正切值是 1. 双曲线 16 25 40 ________. 9 2 y 1 的右焦点 F2 作直线与双曲线 2. 若过双曲线 x 2 3 0 , 60 (120 ,180 ) 的两支都相交 ,求直线 l 的倾斜角的范围 ________.
韦达定理法：先写出直线方程，再代入双曲线方程， 利用韦达定理可求得中点坐标。 设而不求
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差 构造出中点坐标和斜率。
2 b （ x1 x2 )( x1 x2 ) a2 ( y1 y2 )( y1 y2 ) 0
b2 2x0 k AB a2 2 y0 0
21
x2 y2 1只有一个交点的 3.过点P(3,4)与双曲线 9 16
交点，则k的值为________．
直线共有_______条.
Y
变式:将点P改为(3,0)，
(4,0)，(0,0)呢？
O
。
X
1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
2．若直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1有且只有一个交点，
=4b -4(a b)(b 1) 0 ab a b
2
M
设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 x2 , x1 x2 AB中点M ( , ) ab ab ab ab 2 2 a 2 又 AB 1 k ( x x ) 4 x1 x2 k MO 1 2 b 2a b 2 1 2 2b 2 b 1 a ,b 2 2 2 ( ) 4 ab ab 3 3
解 : (2)5 12 9 12 45
5x 9 y 14 0
变式训练 1.如果直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4没有公共点，求k 的取值范围．
y＝kx－1 2 2 解：由 2 得 (1 － k )x ＋2kx－5＝0， 2 x －y ＝4
易知此方程无解． 2 1 － k ≠0 5 5 由 得 k> 或 k<－ ， 2 2 2 2 Δ ＝4k ＋20（1－k ）<0 5 5 则 k 的取值范围为 k> 或 k<－ . 2 2
x2 y 2 思考：双曲线 2 2 1(a 0, b 0), 过左焦点F1与左支 a b 相交的弦AB的长为m, 另一焦点F2 , 求ABF2的周长.
解： |AF2 | | AF1 | 2a,| BF2 | | BF1 | 2a
且 | AF 1 | | BF 1 | m
16 3 5
y
分析:求弦长问题有两种方法 : 法一:如果交点坐标易求 ,可直接用两点间 距离公式代入求弦长 ; F1 法二 : 但有时为了简化计算 ,常设而不求 , A 运用韦达定理来处理 .
O
B
F2 x
8
y 法二:设直线AB的方程为
3 ( x 3) 3
与双曲线方程联立消y得5x2+6x-27=0
2
中点?说明理由.
15
已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F， (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长. (2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点 椭圆的弦所在的直线方程.
x y 直线l：y x 2 解 : (1)椭圆 1 F (2, 0) 9 5 2 得： 14 x 36 x 9 0 y x 2 由 2 18 9 2 x1 x2 , x1 x2 5 x 9 y 45 7 14 6 11 2 2 弦长 1 k ( x1 x2 ) 4 x1 x2 7
x2 y2 3.过原点与双曲线 4 33 取值范围是 ， 2 1 交于两点的直线斜率的 3 2 ，
练习
x2 y2 1只有一个交点的 3.过点P(1,1)与双曲线 9 16 4
直线共有_______条.
变式:将点P(1,1)改为
作业： 1.（全优例2）已知双曲线3x2－y2＝3,直线l过其右焦点F2，
与双曲线交于A、B两点，且倾斜角为45°，试问A、B两点
是否位于双曲线的同一支上？并求出线段AB的长．
y2 2. （课本62页B4）给定双曲线x = 1,过点A(1,1)能否 2 作直线L使L与所给双曲线交于两点P,Q,且A是线段PQ的
y＝x－2 由 2 2 消去 3x －y ＝3
y 并整理得 2x2＋4x－7＝0.
∴A、B 两点分别位于双曲线的左、右两支上． 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 7 ∵x1＋x2＝－2，x1²x2＝－ ， 7 2 ∵x1²x2＝－ <0， 2 2 ∴|AB|＝ 1＋1 |x1－x2|＝ 2² （x1＋x2）2－4x1x2 ＝ 2² 7 （－2） －4（－ ）＝6. 2
∵P 是线段 AB 的中点， ∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2. ∴ y 1－ y 2 x1＋x2 ＝ ＝2. x1－x2 4y1＋y2
∴直线 AB 的斜率为 2. ∴直线 AB 的方程为 y－1＝2(x－8)， 即 2x－y－15＝0.
13
小结
1、直线与双曲线的位置关系及判断方法； 2、弦长的计算方法：
± 1, ± 2． 则k的值为________
y＝kx－1， 解析：由 2 2 x －y ＝1，
得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
当 1－k2＝0 时，即 k＝± 1 时， 方程变为± 2x－2＝0，则 x＝± 1. 此时直线与双曲线渐近线平行，有且只有一个交点．
当 1－k2≠0 时， Δ＝4k2＋8(1－k2)＝0， 解得 k＝± 2. 此时直线与双曲线相切，有且只有一个公共点．
设A、B的坐标为(x1,y1) 、(x2,y2),则
6 27 x1 x2 , x1 x2 5 5 由两点间的距离公式得
| AB | 2 3 3 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 16 3 5 1 ( x1 x2 ) 2 3
弦长公式：
2 |AB|= 1 k 2 · （x1 x 2） 4 x1 x 2
=
1
1 · （y1 y2） 4 y1 y2 2 k
（适用于任何曲线）
3、弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。
2
18
A(1,1)在椭圆内。 设以A为中点的弦为MN且M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) x1 x2 2, y1 y2 2 5x12 9 y12 45 2 2 2 2 两式相减得： （ 5 x x ） （ 9 y y 0 1 2 1 2） 2 2 5x2 9 y2 45 y1 y2 5 x1 x2 kMN 5 x1 x2 9 y1 y2 9 5 以A为中点的弦为MN 方程为:y 1 ( x 1) 9
1.（全优例2）已知双曲线3x2－y2＝3,直线l过其右焦点F2， 与双曲线交于A、B两点，且倾斜角为45°，试问A、B两点 是否位于双曲线的同一支上？并求出线段AB的长．
【解】 ∵a＝1，b＝ 3，c＝2， 又直线 l 过点 F2(2，0)，且斜率 k＝tan 45°＝1， ∴l 的方程为 y＝x－2.
直线与双曲线的位置关系归纳 y = kx + m 2 消去y，得 : x y2 2 - 2 =1 (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 a b 情况1.二次项系数为0时，上式为一元一次方程，有 且仅有一个根，此时的k值使得直线与双曲线的渐近 线平行或重合。检验： 平行:直线与双曲线相交（一个交点）； 重合:直线与双曲线相离（没有交点）。
一
直线与双曲线的位置关系
例1 已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的 取值范围,使直线与双曲线 (1)只有一个公共点； k=±1，或k= ±
5 或k＞ 5 2 2 (3)有两个公共点; 5 ＜k＜ 5 且k 2 2 5 2
；
(2)没有公共点； k＜
1
(4)交于异支两点；-1＜k＜1 (5)与左支交于两点. - 5 k 1 2
*
9
练习:
x2 y2 1 的左焦点 F1 作倾角为 1.过双曲线 4 9 16
的直线与双曲线
192 交于 A、B 两点，则|AB|= 7 .
2.双曲线的两条渐进线方程为x 2 y 0 ，且截直线x y 3 0
8 3 所得弦长为 ，则该双曲线的方程为（ D ） 3 2 2 2 x2 y y x 2 2 1 (C) x 2 1 (D) y 2 1 (A) y 1 (B) x 2 4 2 4
练习 过点P(8,1)的直线与双曲线x2－4y2＝4相交于A,B 两点，且P是线段AB的中点，求直线AB的方程．
解：设 A,B 的坐标分别为(x1，y1),(x2，y2)，
2 2 2 则 x2 － 4 y ＝ 4 ， x － 4 y 1 1 2 2＝4.
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
2
2
例6、如图，已知椭圆
ax by 1与直线x+y-1=0交
2 2
AB 2 2, AB的中点M与椭圆中心连线的 于A、B两点， 斜率是 2 ，试求a、b的值。 2 y ax 2 by 2 1 2 消y得:(a b) x 2bx b 1 0 解: A x y 1 0
相切
二 弦长问题
x2 y2 1 例2 如图所示，过双曲线 3 的右焦点F2,倾斜角 6 为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|