13.4 中考尺规作图及最短路径问题(共31张PPT)

合集下载

13.4课题学习最短路径问题课件(共31张PPT) 初中数学人教版八年级上册

∙B A∙
l C
B′
【探究2】如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？
如图所示：将河的两岸看成两条平行线 a 和 b，N 为直线 b上的一个动点，MN 垂直于直线 b，交直线 a 于点 M.当点 N 在什么位置的时候，AM+MN+NB 的值最小？
P 地把河水引向 M、N 两地.下列四种方案中，最节省材料的是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：
故选：D.
练习 6 如图所示，某条护城河在 CC 处直角转弯，河宽均为 5m，
从 A 处到达 B 处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从 A 处到 B 处的路程最短？请确定两座桥的位置.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′.
A
即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. A′ ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′.
即AM+NB+MN的值最小.
M′
M
N′ N
B
a b
练习 1 如图所示，军官从军营 C 出发先到河边（河流用 AB 表示）饮马，再去同侧的 D 地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将
A
点C，则点C 即为所求的位置，可以使得 AC+BC 的值最小.

《最短路径问题》八年级上册PPT课件(第13.4课时)

即：AC’+BC’ >AC+BC
A·
C C’
B ·
l
B’
探究
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
A
B
探究
A
如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？之间修要修一条公路，怎样设计才能最省材料？（大同-朔州）
转化
解决
实际问题
数学问题
实际问题
测试
如图，从A点到B点有三条线路，哪条最短？为什么？
回顾与思考
点到线：垂线段最短
村
河
练习2：从河边引水到村庄里，怎样铺设管道才能最省材料？
思考
如图，点A是直线 l 外一点，点A到直线的所有线路中，最短的是？为什么？
LOGO
第13章轴对称
感谢各位的仔细聆听
人教版数学（初中）（八年级上）
Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text
LOGO
第13章轴对称
13.4 最短路径问题
人教版数学（初中）（八年级上）
Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text

人教版数学初中八年级上册13.4课题《学习最短路径问题》PPT课件

▪ 问题2 A和B两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥MN。桥造在何处可使从A 到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）
A
a M
N
b
B
▪ 分析：可以动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样问题可以转化为：
▪ 当点N在直线的什么位置时，AM+MN+NB 最小？
▪ 由于河宽固定，因此当AM+NB最小时， AM+MN+NB最小。这样问题进一步转化为：
▪ 当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
▪ 根据问题1的知识，请同学们： ▪ 1、自主探究， ▪ 2、同学讨论， ▪ 3、对照课本， ▪ 找出不足，解决问题。
▪ 归纳：
▪
在解决最短路径问题时，我们通常利
用轴对称、平移等变化把已知问题转化为
容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。
▪ 小结：
▪ 本节课同学们学到了哪些知识？还有哪些困惑？
▪ 那么我们如何才能把同则的两点变成异则的两点呢？
▪ 如果能把点B或A移到L的另一则B′或A′处，同时对直线上的任一点C，都保持CB=CB′，就可以了。
▪ 你能利用轴对称找到符合条件的B′点吗？
B A
B A
C 点C 即为所求
你能证明为什么点C即为所求吗？
B′
▪ 证明：在L上另取一点C′，连接AC′,BC′,B′C′, ▪ ∵AC′+BC′=AC′+B′C′ ▪ 在△AB′C′中 ▪ AC′+BC′＞AB′(两边之和大于第三边） ▪ ∴点C即为所求。
复习：
▪ 我们以前学过哪些知识能说明线段最短？
1，两点间线段最短

人教版初中数学八年级上册第十三章13.4课题学习最短路径问题(ppt课件)

拓展延伸
2. 某班举行文艺晚会,桌子摆成AB,AC两行,如图13-4-27,AB桌面上摆满了橘子,AC桌面上摆满了糖果,小明现在P处,准备先去拿橘子再去拿糖果,然后回到P处.请你帮他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短.(保留作图痕迹,并简单写出作法)
拓展延伸
3. 如图,小华每天都要到李奶奶家做好事,在途中她要先到草场打
对点练习
4. 如图,AD为等腰三角形ABC底边上的高,E为AC边上一点,在AD
上求一点F,使EF+CF最小.
对点练习
5.如图,M为正方形ABCD的边CD的中点,BM=10,在对角线BD上求作一点N,使MN+CN的值最小,并求出这个最小值.
拓展延伸
1、如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．【来源：2教育
E
一只在E处的蚂蚁要爬到圆柱内侧D点处，试
画出其最短路径。
对点练习
2.(河边饮马问题)如图所示,牧马人从A地出发,到一条笔直的河边L饮
马,然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?
对点练习
3.点P是直线l上的一点,线段AB∥l,能使PA+PB 取得最小值的点P的位置应满足的条件是 ( C ) A.点P为点A到直线l的垂线的垂足 B.点P为点B到直线l的垂线的垂足 C.PB=PA D.PB=AB
学习难点
确定最短距离及理论说明.
知识回顾：
思考：
(1)图①中从点A走到点B哪条路最短？ (2)图②中点C与直线AB上所有的连线中哪条线最短？以上路径选择基于什么原理？
类型一：两点之间，线段最短——直接应用

《最短路径问题》PPT课件

13.4 课题学习最短路径问题
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
.
1
学习目标
1.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．（重点）
2.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
.
2
导入新课
复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
A．P是m上到A、B距离之和最短的
点，Q是m上到A、B距离相等的点
B．Q是m上到A、B距离之和最短的
点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最
短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等
的点
.
16
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且
OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若
△PQR周长最小，则最小周长是（ A ）
A．10
B．15
C．20
D．30
.
17
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 1000 米.
C
D 河
A
B
.
18
则点C 即为所求． ACΒιβλιοθήκη B lB′.
9
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，

人教版八年级上册. 课题学习最短路径问题PPT课件

证明 : 连接AC ，BC ，B C
A
由轴对称性质: BC B C
C＇ C
B AC BC AC B C AB 同理：BC B C
┓ l AC BC AC B C
在AB C 中，
B＇
由两边之和大于第三边得：
AC B C AB 即AC BC AC BC
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
探究二
A B
河l
已知：直线l和同侧两点A、B
求作：直线l上一点C满足AC+BC的值最小
•
3.本题运用说明文限制性词语能否删除四步法。不能。极大的一词表程度，说明绘画的题材范围较过去有了很大的变化，删去之后其程度就会减轻，不符合实际情况，这体现了说明文语言的准确性和严密性。
•
4.开篇写湘君眺望洞庭，盼望湘夫人飘然而降，却始终不见，因而心中充满愁思。续写沅湘秋景，秋风扬波拂叶，画面壮阔而凄清。
•
9.能准确、有感情的朗读诗歌，领会丰富的内涵，体会诗作蕴涵的思想感情。
•
5.以景物衬托情思，以幻境刻画心理，尤其动人。凄清、冷落的景色，衬托出人物的惆怅、幽怨之情，并为全诗定下了哀怨不已的感情基调。
•
6.石壕吏和老妇人是诗中的主要人物，要立于善于运用想像来刻画他们各自的动作、语言和神态；还要补充一些事实上已经发生却被诗人隐去的故事情节。

《13.4 课题学习最短路径问题》课件PPT3

证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′，
AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
A
·
C′ C
B
·
l
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
能否通过图形的变化（轴对称、平移等），把问题转化为两点之间，线段最短问题呢？
再设情景深入探究
作法：将点A沿与河垂直的方向平移EF的距离到A ′ ，那么为了使AEFB最短，只需A ′ B最短。根据两点之间距离最短，连接A ′ B，交河岸于点F，在此处造桥EF，所得路径AEFB就是最短路径。
证明时要利用三角形三边关系来证明。
再设情景深入探究
情景3：造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥EF。桥造在何处才能使从A到B的路径AEFB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）。
1.你能仿照情景2将这个问题抽象为数学问题吗？ 2.这个问题与前一个问题有什么不同？ 3.要保证路径AEFB最短，应怎样选址？
同侧问题
转化异侧问题
如何将点B“移”到l 的另
B
一侧B′处，满足直线l 上
A
的任意一点C都保持CB 与
CB′的长度相等？
C
l
设置情景合作探究
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称
点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交
于点C．
A

13.4 课题学习最短路径问题课件(共15张PPT)人教版初中数学八年级上册

迁移应用
3.如图，点P是∠AOB内任意一点，点M和点N分别是射线OB和射线OA 上的动点，当△PMN的周长为最小时，画出点M,N的位置.
B P'
M P
O
N
A
P''
解：如图所示，点 M,N 即为所求
B
M
P
O
A N
课后延伸
1.课本P93，第15题 2.收集最短路径的其他模型
人教版八年级数学第十三章《轴对称》
课题学习—最短路径问题
情境引入
古从军行唐·李颀
经验唤醒
如图所示，请规划从A地到B地最近的路线？为什么这条路线最近？
A
B
AB即为最短路线，因为两点之间，线段最短
探究一
问题情境1
图形
将军从烽火台到河边饮马在这个情境中我们再回到营地，饮马点在什么位分别把烽火台，营置，可使将军所走的路径最短？地，河流抽象成哪
种几何图形？
A. 点 B.线
A
l B
最短路径作法
直线异侧 “两定点”
连定点得最短
A
l P
B
两点之间线段最短
探究二
问题情境2
将军从烽火台到河边饮马再回到营地，饮马点在什么位置，可使将军所走的路径最短？
图形
我们可以把情境 2抽象成怎样的几何图形？
最短路径作法
直线同侧“两定点”
作对称化折为直得最短
∴AＭ１+M１N１+BN１＝AA１+A１N１+BN１在△A１N１B中
因为A1N1+BN1＞A1B 因此AM１+M１N１+BN１＞ AM+MN+BN. ∴AM +MN+BN为最短路径.

数学人教版八年级上册最短路径.4最短路径问题.ppt

数学人教版八年级上册最短路径.4最短路径问题.ppt1、最短路径问题13.4济水一中韩延军问题一：如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？所以泵站建在点P可使输气管线最短P问题二：如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？B′P作法：〔1〕作点B关于直线L的对称点B′；〔2〕连接AB′，与直线L相交于点P．则：点P即为所求．问题：你能用所学的学问证明AC+BC最短吗？·lB′BA·C互动释疑证明：如图，在直线l上任取一点C′〔与点C不重合〕，连接AC′，BC′，B′C′．C′由轴2、对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中AB′＜AC′+B′C′∴AC+BC＜AC′+BC′即AC+BC最短问题2：求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最短的问题。

小结：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，与该直线的交点，即为所确定的位置.B·lA·B′C同侧异侧作对称点练习一：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜见海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l饮马，3、然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？反馈拓展BAlBAlB′P将军饮马能力提升1、如图：牧马营地在点p处，每天牧马人要赶着马群先到草地a吃草，再到河边b饮水，最终回到营地。

请你设计一条放牧路线，使牧马人所走的总路程最短。

ab草地河●pp1●●p2MN2、如图：为了做好国庆期间的交通安全工作，某交警执勤小队从A处出发，先到公路上设卡检查，然后到公路上设卡检查，最终再到达B地执行任务。

他们如何走才能使其总路程最短？ABA′B′DC能力提升归纳在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称等改变把已知问题转化为简单解决的问题，从而做出最短路径的选4、择。

初中数学最短路径问题ppt课件

（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最
短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上
面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，
AC 与CB 的和最小（如图）．
B
A
可编辑课件PPT
C
l
9
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
各抒己见
1、把A平移到岸边. 2、把B平移到岸边. 3、把桥平移到和A相连. 4、把桥平移到和B相连.
可编辑课件PPT
!
呵今古呵有有
学愚子公搬移桥山，，
20
合作与交流
上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检验.
1、2两种方法改变了. 怎样调整呢？
把A或B分别向下或上平移一个桥长
那么怎样确定桥的位置呢?
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
可编辑课件PPT
8
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？
A
·
有关知识，找到上问中符合条
件的点B′吗？
B
·
l
可编辑课件PPT
11
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
的和最小？

人教版八年级数学上册第十三章课题学习最短路径问题(共30张PPT)

此时从A到B点路径最短.
M N
P Q
G
H B1 B
同样，当Ａ、Ｂ两点之间有４、５、６，．．．ｎ条河时，我们仍可以利用平移转化桥长来解决问题．
例如：沿垂直于河岸方向平移Ａ点
依次至Ａ１、Ａ２、Ａ3 ，．．．， An,平移距离分别等于各自河宽， AnB交第n条河近B点河岸于Nn,建桥 MnNn,连接MnAn-1交第(n-1）条河近 B点河岸与Nn-1,建桥Mn-1Nn-1，...，连接M1A交第一条河近B点河岸于N1，建桥M1N1,此时所走路径最短.
献。现将主要工作报告一、关心爱护学生。经常耐心细致地做学生的思想教育工作 ,有时可以说达到了废寝忘食的地步。特别是在抗击非典期间 ,对学生的生命安全高度负责 ,从协助校领导
制定各项预防措施到学生病情的监控和学生的诊治陪护等都凡事躬亲。自己带领的由党团员组成的陪护小组,不怕死,不怕累,出色完成了学校交给的陪护学生的任务。 XX 年 7月 ,音专 001班黄德华被骗到合浦搞传销,我接到求救电话后,马上与杨小林等同志赶赴合浦解救学生,回到南宁后 ,又自己掏钱为学生购好了返回龙州的车票
桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.
M N P Q
B
平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处
思维方法一
1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至 AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）

数学人教版八年级上册13.4最短路径问题.4最短路径问题.ppt

数学人教版八年级上册13.4最短路径问题.4最短路径问题.ppt1、人教版数学八年级上册河北省丰宁满族自治县土城中学李国13.4课题学习最短路径问题一、两点式1.如图,从A地到B地有三条路可供选择,你会选则哪条路?理由是什么?BA②③①二、一点一线式2.如图,从点A到直线l有四条路可供选择，你会选则哪条路?理由是什么?ElDCBA两点之间线段最短。

垂线段最短。

最短路径问题三角形两边之和大于第三边。

基础储备１．能利用轴对称解决最短路径问题；２．体会图形的改变在解决最值问题中的作用；３．感悟转化思想。

学习目标一、两点在一条直线异侧１.当两点Ａ、Ｂ在直线l的异侧时，如何在直线l上确定一点Ｐ，使点Ｐ到Ａ、Ｂ两点的距离和最短？二、两点在一条直线同侧２.当两点Ａ、Ｂ在直线l的同侧时，如何在直线l上确定一点Ｐ，使点Ｐ到Ａ、Ｂ两点的距离和最2、短？lＢＡPlＢＡ三、两点一线式自学探究问题1：(相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜见海伦，求教一个百思不得其解的问题精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的学问回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．)BAl从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探究新知创设情境，激发兴趣问题1：将军饮马问题你能将这个问题抽象为数学问题吗？BAlB··Al·B′·C探究新知将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．A·B问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？作法：〔1〕作点B关于直3、线l的对称点B′；〔2〕连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．小组商量，合作学习··证明：如图，在直线l上任取一点C′〔与点C不重合〕，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．探究新知问题3 你能用所学的学问证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′·一点在两相交线内部CBA’A’’OANM导练达标四、一点两线式1、某市的水果加工厂A恰好在两条铁路OM，ON的夹角内部，如图，为了抓住机遇，提高水果的销量，确定在这两条铁路沿线上各建一4、个运转站B，C，把加工厂加工好的水果每天从加工厂A运往B，C。