13.4 中考尺规作图及最短路径问题(共31张PPT)

3．如图，已知两点 P，Q 在∠AOB 内，分别在 OA， OB 上求作点 M，N，使 PM＋MN＋NQ 的值最小．
解：如答图，点 M，N 即为所求．
4．如图，M，N 分别为△ABC 的边 AB，AC 上的点， 在边 BC 上求作一点 P，使△MNP 的周长最小．
解：如答图，点 P 即为所求．
知识点 3 作线段的垂直平分线 ☞ 例 3 如图，已知线段 AB，用尺规作线段 AB 的垂 直平分线．
解：如答图，CD 即为所求．
变式 3 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＞∠ B，请你用尺规作边 AB 的垂直平分线，交 AB 于点 D， 交 BC 于点 E.
解：如答图，DE 即为所求．
5．如图，已知 M，N 分别是∠AOB 的边 OA 上任意 两点．尺规作图：
(1)作∠AOB 的平分线 OC；
解：如答图①，OC 即为∠AOB 的平分线．
5．如图，已知 M，N 分别是∠AOB 的边 OA 上任意 两点．尺规作图：
(2)在∠AOB 的平分线 OC 上求作一点 P，使 PM＋ PN 的值最小．
A．△ABC 的重心处 B．AD 的中点处
C．点 A 处
D．点 D 处
解析：连接 BP.∵△ABC 是等边三角形，D 是 BC 的中点，∴AD 是 BC 的垂直平分线，∴PC＝PB.∴△PCE 的周长为 EC＋EP＋PC＝EC＋EP＋PB.∴当 E，P，B 三点在同一条直线上时，△PCE 的周长最小，此时 BE 为△ABC 的中线，∴点 P 为△ABC 的重心．
知识点 4 轴对称——最短路径问题 ☞ 例 4 如图，在河岸 l 的同侧有 A，B 两村，在河边 修一个水泵站 P，使所用的水管最短，试画出 P 所在的 位置．
解：如答图，点 P 即为所求．
变式 4 如图，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民 区 A，B 提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使 A， B 到它的距离之和最短？请在图中画出来．
解：如答图，点 P 即为所求．
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1．在直角坐标系中有 A，B 两点，要在 y 轴上找一 点 C，使它到 A，B 的距离之和最小，现有如下四种方案， 其中正确的是( C )
A
B
C
D
2．如图，在等边三角形 ABC 中，D，E 分别是 BC， AC 的中点，P 是线段 AD 上的一个动点，当△PCE 的周 长最小时，点 P 的位置在( A )
第20课时 尺规作图及最短路径问题
解 决 最 短 路 径 问 题 时 ， 我 们 通 常 利 用 _轴_对_称_____ 、 __平__移____等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从 而作出最短路径的选择．
知识点 1 作角平分线 ☞ 例 1 如图，已知∠AOB，用尺规作∠AOB 的平分 线．
解：如答图②，作点 M 关于 OC 的对称点 M′，连 接 M′N 交 OC 于点 P，则 M′N 的长度即为 PM＋PN 的最小值．
6．如图，A，B 两个小集镇在河流 CD 的同侧，现 在要在河边建一自来水厂，向 A，B 两镇供水，请你在河 流 CD 上选择水厂的位置 M，使水厂 M 到 A，B 两镇的 距离和最短．
解：如答图，作点 A 关于直线 CD 的对称点 A′， 连接 A′B 交 CD 于点 M，点 M 即为所求作的点．
7．如图，∠XOY 内有一点 P，试在射线 OX 上找出 一点 M，在射线 OY 上找出一点 N，使 PM＋MN＋NP 的值最小．写出你作图的主要步骤，并标明你所确定的 点．
解：如答图，分别作点 P 关于 OX 的对称点 A，关于 OY 的对称点 B，连接 AB，分别交 OX，OY 于点 M，N， 则 M，N 两点即为所求．
解：如答图，OC 即为所求．
变式 1 如图，过点 C 作角平分线 CF(请用尺规作图， 保留作图痕迹)．
解：如答图，CF 即为所求．
知识点 2 作直线的垂线 ☞ 例 2 如图，已知直线 AB 和 AB 上一点 C，用尺规 作 AB 的垂线，且该垂线经过点 C.
解：如答图，CD 即为所求．
变式 2 如图，过点 P 作∠O 两边的垂线． 解：如答图，直线 m，l 即为所求．