沪教版七年级数学第九章、乘法公式的综合应用专题

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沪教版(上海)七年级数学第一学期 9.10多项式乘以多项式教案

9.10（3）多项式乘以多项式

一、教学目标

知识与技能：通过乘法公式学习，进一步提高观察力、发展符号感；从广泛意义上理解公式中

的字母含义；熟练运用乘法公式；掌握乘法公式几何背景

过程与方法：利用长方形的面积变化，推导出乘法公式。

情感态度与价值观：体会数形结合的数学思想．在合作、交流和讨论中体会数学学习的乐趣．

二、教学重点及难点

教学重点：熟练运用乘法公式；教学难点：乘法公式几何背景

三、教学过程

（一）回顾

计算

单项式与多项式相乘,用单项式的每一项乘以多项式的每一项,再把所得的积相加.

即()b a m ba bm +=+

（二）引入

小明家买了新房子，要装修厨房,打算在厨房沿墙做一排矮柜,使厨房的空间得到充分的利用,而且便于清理.下图是一间厨房的平面布局,我们有哪几种方法来表示此厨房的总面积?

由此,我们可以得到什么结论呢?

()()a n b m ab am nb nm ++=+++

实际上，把()a n +看成一个整体，利用乘法分配律有：

()()()()=a n b m m a n b a n ma mn ba bn ++=++++++

一般地，多项式与多项式相乘的法则

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把

所得的积相加。

例1计算

（1）(3)(5)a b ++ （2）(3)(23)x y x y -+

（3）()()a b a b -+ （4）2

(3)a b +

(5) 22()()a b a ab b -++

多项式乘以多项式，展开后项数有什么规律？

在合并同类项之前，展开式的项数恰好等于两个多项式的项数的积。

9.9 积的乘方(同步课件)-2023-2024学年七年级数学上册同步精品课堂(沪教版)

导入新课
(3×5)2＝ (3×5)×(3×5) … …幂的意义＝ (3×3)×(5 ×5) … …乘法交换律、结合律＝ 32×52
按以上方法,完成下列填空:
(2×5) 2 =_(_2_×__2_)_×__(5_×__5__)______ = 2__2×__5_2. (xy) 4 =_(_x_·x_·_x_·x_)_·_(y_·_y·_y_·y__) _____ = _x_4y_4__.
(3) (－2x3)3 ·(x2)2. 解：原式 = －8x9·x4 = －8x13.
注意：运算顺序是先乘方，再乘除，最后算加减.
拓展提升：7.如果 (an . bm . b )3 = a9b15 (a，b 均不为 0 和±1)，求 m，n 的值.
解：∵ (an ·bm ·b)3 = a9b15， ∴ (an)3 ·(bm)3 ·b3 = a9b15. ∴ a3n ·b3m ·b3 = a9b15 . ∴ a3n ·b3m+3 = a9b15. ∴ 3n = 9，3m + 3 = 15. ∴ n = 3，m = 4.
2023-2024学年沪教版七上数学教学课件
第九章整式
第3节整式的乘法
9.9 积的乘方
目标导航
1.理解积的乘方的意义 2.会运用积的乘方法则进行有关的计算 3.经历从特殊到一般的研究问题过程，尝试归纳积的乘方的法则重点：掌握积的乘方法则，并进行有关的计算难点：逆用积的乘方的法则进行简便运算

沪教版(五四制)七年级数学上册 9.4乘法公式同步讲义

-------------乘法公式：平方差公式、完全平方公式（★★）

1. 掌握平方差公式、完全平方公式的概念；

2. 会运用平方差公式、完全平方公式进行一些数的简便运算；

3. 综合运用平方差公式和完全平方公式进行整式的简便运算；

4. 经历探索公式的推导过程，进一步发展符号感和推理能力。

知识结构

平方差公式

1. 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.

这就是平方差公式.即：2

2))((b a b a b a -=-+

2. 公式的结构特征：

（1）左边是两个两项式相乘，这两个二项式中，有一项是完全相同的，另一项是两

个互为相反数.

（2）右边是这两个数的平方差，即完全相同的项与互为相反的项的平方差.

3. 公式的应用：

（1）公式中的字母a ，b 可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式，只要

符合公式的结构特征，就可以用此公式进行计算.

（2）公式中的a b

-是不可颠倒的，注意是相同项的平方减去相反项的平方，

还要注意字母的系数和指数.

（3）为了避免错误，初学时，可将结果用“括号”的平方差表示，再

往括号内填上这两个数.

如：(a + b) (a - b)= a

－ b

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

计算：(1 + 2x)(1 - 2x)= ( 1 )2

－( 2x )2

=1-4x

完全平方公式

一块边长为a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加b 米，形成四块实验田，以种植

不同的新品种。

（如图）用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较，你发现了什么？

a a b

（比较等号左边的代数式的特点，等号右边的代数式的特点，等号左右两边的联

第九章-整式-七年级（上）-知识点汇总-沪教版

第九章整式

9.1 字母表示数

9.2 代数式

1、代数式：用括号和运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。单独的数

或字母也是代数式。

2、代数式的书写：

1)代数式中出现乘号通常写作“· ”或省略不写，但数与数相乘不遵循此原则

2)数字与字母相乘，数字写在字母前面，而有理数要写在无理数的前面

3)带分数应写成假分数的形式，除法运算写成分数形式

4)相同字母相乘通常不把每个因式写出来，而写成幂的形式

5)代数式不能含有“=、≠、<、>、≥、≤”符号

9.3 代数式的值

1、用数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算出的结果，叫代数式的值。

2、注意：

1)代数式中省略了乘号，带入数值后应添加×

2)若带入的值是负数时，应添上括号

3)注意解题格式规范，应写“当……时，原式=……”

4)在实际问题中代数式所取的值应使实际问题有意义

9.4 整式

1、由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。单独一个数或字母也是单项式

2、系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数

3、单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数

4、多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的

项叫做常数项

5、多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数

6、整式：单项式和多项式统称为整式

9.5 合并同类项

1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项

2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。一个多项式合并后含有

沪教版初一数学第九章整式第三节整式的乘法9.7同底数幂的乘法

【详解】
解：（1）（错）改正为：；
（2）（错）改正为：；
（3）（错）改正为：；
（4）（错）改正为： .
故答案为：(1).错(2). (3).错(4). (5).错(6). (7).错(8).
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握计算法则是解题关键.
9．B
【解析】
【分析】
【详解】
解： = ；
；
.
故答案为：(1). (2). (3).
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解题关键.
4．
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法运算法则可得出答案.
【详解】
解：（1）；
（2） .
故答案为：，
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解题关键.
5．
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法运算法则计算可得出答案.
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解题关键.
6．
【解析】
【分析】
先计算同底数幂的乘法，再合并同类项.
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法和整式的加减，熟练掌握幂的运算法则是解题关键.

沪教版初一数学第九章整式第三节整式的乘法9.8幂的乘方

沪教版（上海)七年级上9.8幂的乘方

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．幂的乘方底数______，指数______，即()n m a =______

（m 、n 都是正整数）；反之，mn a =______.

2．计算

（1）.()54

a =______；（2）()

46p =______；

（3）()23a ??-=??

______. 3．计算

（1）()4

2x y ??+=??

______；（2）()53m n ??--=??______. 4．计算

（1）()43a -=______；

（2）()33n

a -=______. 5．计算

（1）()()3

2m n y y ?=______；（2）()()2231m

m x x +?=______.

6．计算（1）()2354

a a a ?+=______；（2）()()32322??-?-=??

______. 7．下列运算中正确的是（）.

A ．234a a a ?=

B ．()44a a -=

C ．235a a a +=

D ．()325a a =

8．下面的计算是否正确？如有错误，请改正.

（1）2242a a a +=；

（2）339x x x -?=-；

（3）()2121n

n a a ++-=；（4）()32

6x x -=.

9．计算（1）4313=?? ???

______；

（2）()()2

33222??-+-=??______. 10．如果23a =，26b =，212c =，那么a 、b 、c 的关系是______.

沪教版初一数学第九章阶段测试卷(三)乘法公式

沪教版（上海)七年级上学期第九章阶段测试卷（三)乘法公式

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．()()3232a a -+=______.

2．44q q p p ⎛

⎫⎛⎫--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

______. 3．()()()244a a a a ---+=______.

4．设22014A =，则20132015⨯=______（用含A 的代数式表示）.

5．()()2222p p +-=______.

6．一个正方形的边长是12

a b -，则它的面积是______. 7．()()2323x y z x y z --+-=______.

8．如果15m n +=，225125

m n +=，那么()2019mn 的值为______. 9．已知a+b=8，ab=2，则(a-b)2=___________________.

10．观察等式①9 -1=2×4 ②25 -1=4×6 ③49 -1=6×8，按照规律写出第n 个等式为_________．

11．已知13x x +=，则221x x

+=______. 12．()()()()24204821212121+++⋅⋅⋅+的个位数字是______.

13．下列四个多项式：22a b +，22a b -，22a b -+，22a b --中，能写成平方差公式的式子有（）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 14．下列等式成立的是（）

A ．()()2242224x y y x x y --=-

七年级数学上册第九章(9.13-9.15 共3个专题)课件沪教版

能用学过的方法分解因式吗？
观察：由(x a )(x b) x 2 (a b)x ab
反过来可得：
x 2 (a b)x ab (x a )(x b)
如果二次三项式 x 2 px q 中常数项q能
分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是a+b，那么
数取最低次幂。 (如:3x2y+6x3yz中相同字母x应取x2)
说出下列多项式各项的公因式：
(1)2ax 4ay
2a
(2)4a3 6a2
2a2
(3)4x2 y 12xy3 4xy
(4)27a2bc 9ab2c 3abc2 3abc
下列各式的公因式分别是什么？
7x2 -21x
整体
练习
a3 a
=a( a2-1)
= a（ a +1）（ a -1）
2
4
(5)2a(b c) 3(b c) (6)6(x 2) x(2 x) (7)18b(a b)2 12(a b)3 (8)5(x y)3 10( y x)2 (9)m(m n)2 n(n m)2 (10) ab(a b)2 a(b a)2 ac(a b)2 (11)(3x y)(3x y) (x 5y)( y 3x)
例2.把下列各式因式分解

沪教版初一数学第九章整式第四节乘法公式9.11平方差公式

沪教版（上海)七年级上9.11平方差公式

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．()()33a a +-=______=______；

2．(1)()()22x y y x -+=______=______.

(2)()()()

2212141x x x +-+=______；. 3．10298?=___________=____________.

4．若2m n -=，5m n +=，则22m n -的值为______.

5．若()22

x y p x y --?=-，那么p 等于（）. A ．x y --

B ．-+x y

C ．x y -

D ．x y +

6．下列各式中，可以运用平方差公式计算的是（）.

A ．()()44a c a c -+-

B ．()()22x y x y -+

C ．()()3113a a ---

D ．()()x y x y --+ 7．计算：

(1)()()11ab ab +-；

(2)()()55b b +-；

(3)()()a b a b -+--；

(4)()()222332y x x y ---；

(5)()()3333m n m n --+；

(6)()()32322323x y x y +-.

8．为了应用平方差公式计算()()a b c a b c -++-，必须先适当变形，下列各变形中，正确的是（）.

A ．()()a c b a c b +-++

七年级数学上册第九章(9.7-9.9 共3个专题)课件沪教版

（B）-xn与(-x)n互为相反数
（C）当n为奇数时-xn与(-x)n互为相反数
（D）当n为偶数时-xn与(-x)n互为相反数
５．若正方体棱长是(1+3a)3，则其体积是（ B ）
（A）(1+3a)6 （B） (1+3a)9 （C）(1+3a)12 （D）(1+3a)27
6．用幂的形式表示： (1) a2+a2；（2）a2·a2；
1023 (根据乘法的定义) 106
(102 )3 1023
对于任意底数a与任意正整数m,n,(am )n ?
(am )n amamam
(乘方的意义)
n个am
n个m
a mmm (同底数幂的乘法法则)
a mn (乘法的定义)
(am )n amn （m，n都是正整数）．
知识回顾
练一练 :
（1） 25表示什么？（2） 10×10×10×10×10 可以写成什么形式?
探究新知
底数相同
式子103×102中的两个因数有何特点？
我们把底数相同的幂称为同底数幂
请同学们先根据自己的理解，解答下列各题.
103 ×102 =（10×10×10）×（10×10） = 10（ 5 ）
右边：底数不变、指数相加
幂的底数必须相同，相乘时指数才能相加.

沪教版数学七年级上第九章整式9.11-9.12乘法公式测试卷一和参考答案

数学七年级上第九章整式

9.11-9.12 乘法公式测试卷一

一、选择题（每题2分，共20分）

1．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）

A ．（x+2）（2+x ）

B ．（12a+b ）（b-12

a ） C ．（-2a+

b ）（2a-b ） D ．（x 2-y ）（x+y 2）

2．代数式（3n+1）（3n-1）-（3-n ）（3+n ）等于（）

A ．992-n

B ．9102-n

C ．1082-n

D ．10102-n

3．若x 2+kx+25能化为一个完全平方式，则k= （）

A ．10

B ．-10

C ．10±

D ．5±

4．下列多项式乘法中不能用平方差公式计算的是（）

A ． ))((3333b a b a -+ B. ))((2222a b b a -+

C ． )12)12(22-+y x y x D. )2)(2(22y x y x +-

5．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（）

A. )2)(2(b a b a -+-

B. )1)(1(x x ++

C. )3

2)(32

(x y y x -+ D. )1)(2(+-x x 6．下列计算不正确的是（） A. 2221)1(x

x x x +=- B. 2222)(y xy x y x ++=-- C. 22))((b a a b b a -=+- D. 333)(y x xy =

7、下列各式计算正确的是（）Ａ.（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2 Ｂ. （a ＋b －c ）2＝（－a －b ＋c ）2

第九章整式的复习课2 课件 2023—2024学年沪教版(上海)数学七年级第一学期

2x 5y 2x 5y2x 5y 2x 5y
4x 5y 20xy
把 (x2 x) 看作整体
4 (x2 x)2 18(x2 x) 72
解：原式 (x2 x 6)( x2 x 12) (x 3)(x 2)(x 4)(x 3)
十字相乘法十字相乘法
分解到不能分解为止
合并同类项
16x2 68 xy 16 y2
方法二：平方差公式
积化和差的过程，结果是多项式.
解：原式 5x y2 3x y2
平方差公式
5x y 3x y5x y 3x y
5x 5y 3x 3y5x 5y 3x 3y
8x 2y2x 8y
合并同类项
16x2 68 xy 16 y2
结果是多项式.
把 (x2 2x) 看作整体
十字相乘法
3.分解因式： (x2 2x)2 5(x2 2x) 6
解：原式 x2 2x 3x2 2x 1
x 3x 1x 12
十字相乘法
分解到不能分解为止
三、课堂练习
1 198 2 解： 198 2 200 22 40000800 4 39204
解：原式 x 5y2
解：原式 a3 a2 a 1
公因式：a-1
a2 a 1 a 1
a 1a2 1
平方差公式
a 1a 1a 1
a 12 a 1

沪教版数学七年级上册第9章第3节《整式的乘法》教学设计

一. 教材分析

沪教版数学七年级上册第9章第3节《整式的乘法》是学生在学习了有理数的混合运算、整式的加减、以及因式分解等知识的基础上，进一步研究整式的乘法运算。本节内容主要包括平方差公式、完全平方公式的应用，以及多项式乘以多项式的运算方法。本节内容在学生的数学学习过程中起到了承上启下的作用，为后续学习分式、二次函数等知识打下了基础。

二. 学情分析

学生在七年级上册已经学习了有理数的混合运算、整式的加减、以及因式分解

等知识，对于整式的概念和运算已经有了一定的了解。但是，对于整式的乘法运算，学生可能还存在以下问题：

1.对平方差公式、完全平方公式的理解不够深入，不能灵活运用。

2.对于多项式乘以多项式的运算方法，还不够熟练。

因此，在教学过程中，需要引导学生深入理解平方差公式、完全平方公式的含义，并通过大量的练习，让学生熟练掌握多项式乘以多项式的运算方法。

三. 教学目标

1.理解平方差公式、完全平方公式的含义，掌握其运用方法。

2.掌握多项式乘以多项式的运算方法，能熟练进行计算。

3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决问题的能力。

四. 教学重难点

1.平方差公式、完全平方公式的理解和运用。

2.多项式乘以多项式的运算方法的掌握。

五. 教学方法

1.采用引导发现法，引导学生发现平方差公式、完全平方公式的规律。

2.采用归纳总结法，让学生通过大量的练习，总结出多项式乘以多项式

的运算方法。

3.采用小组合作学习法，让学生在小组讨论中，共同解决问题，提高学

生的合作能力。

沪教版数学七年级上第九章整式9.10整式的乘法练习一和参考答案

沪教版数学七年级上第九章整式9.10整式的乘法练习一和参考

答案

数学七年级上第九章整式

9.10 整式的乘法（1）

一、选择题

1．下列计算正确的是（）

A ．3y 3·5y 3=15y 9；

B ．2x 5·3x 4=5x 9；

C ．3x 3·4x 3=12x 3；

D ．9a 3·2a 2=18a 5．

2．如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为r 的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（）

A 、22r π

B 、24r π

C 、2r π

D 、不能确定

3．已知：有理数满足0|4|)4(22=-++n n m ，则22n m 的值为（）A.±1 B.1 C. ±2 D.2

4．规定一种运算：a*b=ab+a+b,则a*b + a*（-b ）计算结果为（）

A. 0

B. 2a

C. 2b

D.2ab

5．(-6x n y)2·3x n-1y 2的计算结果是（）

A ．18x 3n-1y 4；

B ．-36x 2n-1y 4；

C ．-108x 3n-1y 2；

D ．108x 3n-1y 4．

6．下列计算正确的是（）

A ．333322222

32)2143(+++++-=?+-n n n n b a b a ab b a b a ； B ．(-x)(2x+x 2-1)=-x 3-2x 2+1； C ．(-3x 2y)(-2xy+3yz-1)=6x 3y 2-9x 2y 2z 2-3x 2y ； D. (6xy 2-4x 2y)·3xy=18xy 2-12x 2y

7．下列计算正确的是（）

A ．(a+b)2=a 2+b 2；

2019版沪教版(上海)七年级数学上学期第九章阶段测试卷(三)乘法公式B卷

2019 版沪教版（上海）七年级上学期第九章阶段测试卷（三）乘法公式 B 卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 1 . 正方形的边长增加了，面积相应增加了 ，则这个正方形原来的面积是（） A． B． C． D． 2 . 在下列多项式乘法运算中，不能运用平方差公式进行运算的是（） A．(2x＋3y) (－2x＋3y) C．(－x－2y) (x＋2y) B．(a－2b) (a＋2b) D．(－2x－3y) (3y －2x) 3 . 已知 ，且 ，则代数式 的值等于（） A． B． C． D． 4.若 是方程组 A． B． 的解，则 的值为（） C． . D． 5.若 ，则 的值等于（） A．1 B．2 C．3 6 . 下列多项式中，不能用公式法分解因式的是（） D．4 A． B． C． D． 二、填空题 7 . 若 - =（x+ ）（ x- ） ，则 m=_______，n= ______ 第1页共6页

沪教版数学七年级上第九章整式9.11-9.12乘法公式课课练及测试卷一和参考答案

数学七年级上第九章整式

9.11 平方差公式（1）

一、选择题

1. 下列四个多项式：22b a +，22b a -，22b a +-，2

2b a --中，能写成平方差公式的式子有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

2. 代数式)23)(23(y x y x -+-等于下列哪个整式（）

A. 2

49y x - B. 2

49y x + C. 2249y x -- D. 2249y x +-

3. 162

-a 等于（）

A. )8)(8(+-a a

B. )4)(4(+-a a

C. )2)(2(+-a a

D. 2

)4(-a

4. 下列各式中,计算结果为x 2

-16y 2

的是 ( )

A. (x+2y) (x-8y)

B. (x+y) (x-16y)

C. (-4y+x) (4y+x)

D. (-x-4y) (x+4y) 5. 下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是 ( ) A.(x+y)(－x －y) B.(2x+3y)(2x －3z) C.(－a －b)(a －b) D.(m －n)(n －m)

6.下列计算正确的是 ( ) A.(2x+3)(2x －3)=2x 2

－9 B.(x+4)(x －4)=x 2

－4 C.(5+x)(x －6)=x 2

－30 D.(－1+4b)(－1－4b)=1－16b 2

7. (4x 2

－5y)需乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算 ( ) A.－4x 2

－5y B.－4x 2

+5y C.(4x 2

－5y)

D.(4x+5y)2

8.a 4

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