经典课件：2020学年高中数学第一章立体几何初步6.1垂直关系的判定学案北师大版必修2

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2019_2020学年高中数学第1章立体几何初步1_6_1_1直线与平面垂直的判定课件北师大版必修2

[答案] B
题型二线面垂直的判定【典例 2】在三棱锥 P－ABC 中，H 为△ABC 的垂心，AP ⊥BC，PC⊥AB，求证：PH⊥平面 ABC. [思路导引] 证明直线 PH 与平面 ABC 内的两条相交直线垂直即可．
[证明] 如图，连接 AH，因为 H 为△ABC 的垂心，
所以 AH⊥BC，又 AP⊥BC，AH∩AP＝A，所以 BC⊥平面 AHP，又 PH 平面 AHP, 所以 PH⊥BC. 同理可证 PH⊥AB, 又 AB∩BC＝B，所以 PH⊥平面 ABC.
利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是在这个平面内找到两条相交直线，证明它们都和这条直线垂直．
[针对训练 2] 如图，已知△ABC 中，∠ACB＝90°，SA⊥平面 ABC，AD⊥ SC 于 D，求证：AD⊥平面 SBC.
[证明] 因为∠ACB＝90°，所以 BC⊥AC. 又 SA⊥平面 ABC，所以 SA⊥BC. 又 AC∩SA＝A，所以 BC⊥平面 SAC. 因为 AD 平面 SAC，所以 BC⊥AD. 又 SC⊥AD，SC∩BC＝C，所以 AD⊥平面 SBC.
课堂互动探究
题型一直线与平面垂直的定义及判定定理的理解【典例 1】下列命题中，正确的序号是________． ①若直线 l 与平面 α 内的一条直线垂直，则 l⊥α；②若直线 l 不垂直于平面 α，则 α 内没有与 l 垂直的直线；③若直线 l 不垂直于平面 α，则 α 内也可以有无数条直线与 l 垂直；④若平面 α 内有一条直线与直线 l 不垂直，则直线 l 与平面 α 不垂直．
[答案] 定义中的“任何一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．

2020_2021学年高中数学第一章立体几何初步1.6.1垂直关系的判定课件北师大版必修2

规律方法处理此类问题关键是正确理解概念及定理所具备的条件，只有具备相应条件，才能得到相应结论．
(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的
角叫作这个二面角的平面角，其范围是[0，π]．二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的度数就是二面角的度数．平面角是直角的二面角叫作直二面角．
(3)记法：以直线 AB 为棱、半平面 α，β 为面的二面角，记作二面角 α－AB－β，如图所示．
5．直线与平面垂直的判定定理的作用是什么？
提示：直线与平面垂直的判定定理是证明线面垂直的依据，体现了相互转化的数学思想，在应用时，应该注意定理条件的完备性．
知识点三二面角及其平面角 [填一填]
二面角 (1)定义：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．
②“特殊”两字的作用，在于平面角的大小易于求出．
知识点四平面与平面垂直 [填一填]
1．定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．如果平面 α 与平面 β 垂直，记作 α⊥β .
2．画法：两个互相垂直的平面，通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如下图(1)(2)所示．
类型一有关概念和定理的判断【例 1】判断题：正确的在括号内打“√”，不正确的打 “×”． (1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．( × ) (2)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．( √ ) (3)过点 A 垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A 垂直于 a 的平面内．( √ ) (4)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．( √ )

2020_2021学年高中数学第1章立体几何初步§66.1垂直关系的判定ppt课件北师大版必修2

(2)平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两
文字语言个平面互相垂直
符号语言若直线AB 平面β， AB⊥平面α ，则β⊥α
思考 3：若两个平面垂直，则一个平面内的直线与另一个平面有何位置关系？
α 及 α 外一直线 l，给出下列命题：
3．如图所示，∠BCA＝90°，PC⊥平面 ABC，则在△ABC，△PAC 的边所在的直线中．
(1)与 PC 垂直的直线有________； (2)与 AP 垂直的直线有________．
(1)AB，BC，AC (2)BC [(1)因为 PC⊥平面 ABC，AB，AC， BC 平面 ABC，所以与 PC 垂直的直线有 AB，AC，BC.
(2)∠BCA＝90°，即 BC⊥AC，又 BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以 BC⊥平面 PAC，又 AP 平面 PAC，所以 BC⊥AP.]
4．如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，截面 C1D1AB 与底面 ABCD 所成二面角 C1-AB-C 的大小为________．
45° [∵AB⊥BC，AB⊥BC1， ∴∠C1BC 为二面角 C1-AB-C 的平面角，其大小为 45°.]
提示：相交、垂直或在平面内．
2．二面角 (1)二面角的概念： ①半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面． ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面． ③二面角的记法：以直线AB为棱、半平面α，β为面的二面角，记作二面角 α-AB-β .
合作探究释疑难
线面垂直的判定
【例 1】如图所示，Rt△ABC 所在的平面外一点 S，SA＝SB＝ SC，点 D 为斜边 AC 的中点．求证：直线 SD⊥平面 ABC.

2020_2021学年高中数学第一章立体几何初步1.6.1垂直关系的判定学案含解析北师大版必修2

高中数学第一章:6 垂直关系6．1垂直关系的判定考纲定位重难突破1.了解线面垂直、面面垂直的定义．2.理解线面垂直、面面垂直的判定定理，以及空间角中有关二面角的定义．3.能运用判定定理证明线面、面面垂直.重点：线面垂直、面面垂直的判定．难点：找(作)二面角的平面角．方法：分类讨论思想在垂直关系中的应用.授课提示：对应学生用书第18页[自主梳理]一、直线与平面垂直1．定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．2．判定定理文字语言图形表示符号语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫aαbαa∩b＝Al⊥al⊥b⇒l⊥α二面角定义从一条直线出发的这两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，两个半平面叫作二面角的面如图，记作：α-AB-β或α-l-β范围 0°≤θ≤180°画法如图：二面角α-l -β 若有①O ∈l ； ②OAα，OB β；③OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 就叫作二面角α-l -β的平面角三、平面与平面垂直1．定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 2．判定定理文字语言图形表示符号语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥βaα⇒α⊥β1．下列条件中，能判定直线l ⊥平面α的是( ) A ．l 与平面α内的两条直线垂直 B ．l 与平面α内的无数条直线垂直 C ．l 与平面α内的某一条直线垂直 D ．l 与平面α内的任意一条直线垂直解析：根据线面垂直的定义，可知当l 垂直于α内所有直线时，l ⊥α. 答案：D2．已知直线l ⊥平面β，l 平面α，则( ) A ．α⊥β B ．α∥βC ．α∥β或α⊥βD ．α与β相交但不一定垂直解析：根据面面垂直的判定定理知α⊥β. 答案：A3．二面角的平面角是指( ) A ．两个平面相交的图形B ．一个平面绕这个平面内一条直线旋转而成的图形C ．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形D．以两个相交平面交线上任意一点为端点，在两个平面内分别引垂直于交线的射线，这两条射线所成的角解析：由定义知，二面角的平面角是指以两个相交平面交线上的任意一点为端点，在两个平面内分别引垂直于交线的射线，这两条射线所成的角．答案：D4．从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是()A．60°B．120°C．60°或120°D．不确定解析：若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°，若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.答案：C5．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为()A．相等B．互补C．相等或互补D．不确定解析：反例：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角D-AA1-E与二面角B1-AB-D的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补，故选D.答案：D授课提示：对应学生用书第19页探究一直线与平面垂直的判定[典例1]如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝22，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．[解析](1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3.如图，连接OB ，因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB . 由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC .(2)如图，作CH ⊥OM ，垂足为H .又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM . 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°.所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.1．利用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直的“三个步骤”： (1)寻找：在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直． (2)确定：确定这个平面内的两条直线是相交的直线． (3)判定：根据判定定理得出结论． 2．线面垂直的三种判定方法：(1)用定义：证明l 和平面α内任意一条直线都垂直．(2)用定理：证明l 与平面α内“两条相交”的直线都垂直，即线线垂直⇒线面垂直．(3)用推论：若m⊥α，证明l∥m，即可知l⊥α.1.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC平面ABC，BD平面ABC，所以SD⊥平面ABC.(2)AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD，因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.探究二平面与平面垂直的判定[典例2]如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，点E在侧棱PB上．求证：平面AEC⊥平面PBD.[解析]∵PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴PD⊥AC.又ABCD为正方形，AC⊥BD，PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PBD.又AC平面AEC，∴平面AEC⊥平面PBD.1．证明平面与平面垂直，常用两种方法：(1)证明一个平面过另一个平面的一条垂线．(2)证明二面角的平面角是直角．2．用平面与平面垂直的判定定理证明两平面垂直，关键是在一个平面内寻找垂直于另一个平面的直线．在处理具体问题时，应先从已知入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手，分析要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”．2.如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F，G分别为CD，DA和对角线AC的中点．求证：平面BEF⊥平面BGD.证明：∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，又EF∥AC，∴EF⊥BG，EF⊥DG.∴EF⊥平面BGD.∵EF平面BEF，∴平面BGD⊥平面BEF.探究三线面垂直判定的综合应用[典例3]三棱锥P-ABC中，PO⊥平面ABC，P A⊥BC，PB⊥AC.求证：(1)O是△ABC的垂心；(2)PC⊥AB.[解析](1)连接OA，OB.∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥BC.又P A⊥BC，PO∩P A＝P，∴BC⊥平面P AO.又AO平面P AO，∴BC⊥AO，即O在△ABC的BC边的高线上．同理，由PB⊥AC可得O在AC边的高线上．∴O是△ABC的垂心．(2)连接OC，由(1)可知OC⊥AB.又由PO⊥平面ABC得PO⊥AB，又OC∩PO＝O，∴AB ⊥平面PCO .又PC 平面PCO ， ∴AB ⊥PC .根据直线和平面垂直的定义，可由线面垂直证明线线垂直；根据直线和平面垂直的判定定理可由线线垂直证明线面垂直．本题的证明过程体现了线线垂直与线面垂直的相互转化．3.如图，在四面体P -ABC 中，△ABC 与△PBC 是边长为2的正三角形，P A ＝3，D 为P A 的中点，求二面角D -BC -A 的大小．解析：取BC 的中点E ，连接EA ，ED ，EP (图略)．∵△ABC 与△PBC 是边长为2的正三角形，∴BC ⊥AE ，BC ⊥PE ，又AE ∩PE ＝E ，AE ，PE 平面P AE ，∴BC ⊥平面P AE .而DE 平面P AE ，所以BC ⊥DE ， ∴∠AED 即为二面角D -BC -A 的平面角．又由条件，知AE ＝PE ＝32AB ＝3，AD ＝12P A ＝32， ∴DE ⊥P A ，∴sin ∠AED ＝AD AE ＝32，显然∠AED 为锐角，∴∠AED ＝60°，即二面角D -BC -A 的大小为60°.对定理理解不透彻致误[典例] 设α，β为不重合的两个平面，给出下列说法： ①若α内的两条相交直线分别平行于平面β，则α平行于β； ②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ④直线l 与平面α垂直的条件是l 与α内的两条直线垂直．上面说法中正确的序号是________(写出所有的正确的序号)．[解析] ①平面α内的两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交直线确定的平面α平行于平面β，正确．②平面α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 平行于α，正确．③如图所示，α∩β＝l，aα，a⊥l，但不一定有α⊥β，错误．④直线l与α垂直的条件是l与α内的两条相交直线垂直，而该命题缺少“相交”两字，故错误．综上所述，正确说法的序号为①②.[答案]①②[错因与防范]本题易错选③④，错选③是由a⊥l，aα错误得出a垂直于平面β；错选④是忽视了“相交直线”这一前提条件．一些常见的定理要认真领会，抓住关键字或词，一些判断项中往往不是直接考查的定理而是对定理的拓展，故要仔细分析、推导，以防出错．[随堂训练]对应学生用书第20页1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与BC1垂直的平面是()A．平面DD1C1C B．平面A1B1CDC．平面A1B1C1D1D．平面A1DB解析：由于易证BC1⊥B1C，又CD⊥平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.因为B1C∩CD＝C，所以BC1⊥平面A1B1CD.答案：B2．给出以下说法：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是()A．①③B．②④C．③④D．①②解析：由二面角的定义，可知①③错误，④正确．由a，b分别和一个二面角的两个面垂直，知a，b都垂直于该二面角的棱，过棱上一点可分别作a，b的平行线，分析知②正确，故选B.答案：B3．给出下列说法：①如果直线l与平面α不垂直，那么在α内不存在与l垂直的直线；②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；③与一个平面的垂线垂直的直线和这个平面平行；④过平面外一点和这个平面垂直的直线有且只有一条．其中正确说法的序号是________．解析：①错误，因为在α内至少可以找到一条直线与l垂直；②正确；③错误，因为平面内的任意一条直线都和该平面的垂线垂直，所以直线也可能在平面内；④正确．故正确说法的序号是②④.答案：②④4.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有________；(2)与AP垂直的直线有________．解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，所以与PC垂直的直线有直线AB，AC，BC.(2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面P AC，P A平面P AC.∴BC⊥AP.答案：(1)AB，AC，BC(2)BC5.如图，四边形ABCD是菱形，PC⊥平面ABCD，E是P A的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.证明：连接AC交BD于点O，连接OE.因为O为AC的中点，E为P A的中点，所以EO是△P AC的中位线，EO∥PC.因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.又因为EO平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.。

高中数学第一章立体几何初步1.6.1垂直关系的判定课件北师大版必修2

5 2.
∵PE⊥BD1，∴BE＝12BD1＝
3 2.
在 Rt△PEB 中，PE＝
PB2－BE2＝
2 2.
在 Rt△PEF 中，sin∠PEF＝PPFE＝12， ∴∠PEF＝30°. ∴二面角 A－BD1－P 为 30°.
【探究 4】在直角梯形 ABCD 中， ∠D＝∠BAD＝90°，AD＝DC＝ 12AB＝a(如图所示)，将△ADC 沿 AC 折起，将 D 翻到 D′，记平面 ACD′为 α，平面 ABC 为 β，平面 BCD′为 γ.若二面角 α－AC－β 为直二面角，求二面角 β－ BC－γ 的大小．
符号语言
l⊥a，l⊥b，a α，b α， a∩b＝P ⇒l⊥α
图形语言
• 【预习评价】
• (1)线面垂直判定定理中，平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点吗？
• 提示用线面垂直判定定理判定直线与平面垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则是无关紧要的．
•答案 C
• 题型一线面垂直的判定
• 【例1】如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点 A作AE⊥PC于点E.求证：AE⊥平面PBC.
•证明 ∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC， •∴PA⊥BC. •又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC. •而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC. •又∵AE 平面PAC，∴BC⊥AE. •∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C， •∴AE⊥平面PBC.
互动探究
题型三与二面角有关的计算
【探究 1】如图所示，四棱锥 P－ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，∠BCD＝60°，E 是 CD 的中点，PA⊥底面 ABCD，PA ＝ 3. (1)证明：平面 PBE⊥平面 PAB； (2)求二面角 A－BE－P 的大小．

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6.1 垂直关系的判定学习目标 1.掌握直线与平面垂直的判定定理(重点)；2.理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小(重、难点)；3.掌握两平面垂直的判定定理(重点).知识点一直线与平面垂直的判定定理l⊥a，l⊥b，aα，bα，a∩b＝P⇒l⊥α(1)线面垂直判定定理中，平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点吗？提示用线面垂直判定定理判定直线与平面垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则是无关紧要的. (2)在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？提示不变，90°.(3)下列说法中正确的个数是( )①若直线l与平面α内一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内两条直线垂直，则l⊥α；③若直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥α；④若直线l与平面α内任意一条直线垂直，则l⊥α；⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.A.1B.2C.3D.4解析对①②⑤，由于缺少“相交”二字，不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的.正确的是③④，故选B.答案 B知识点二二面角OA α，OB β，α∩β＝l ，O ∈l ，OA ⊥l ，OB ⊥l ⇒∠AOB 是二面角的平面角【预习评价】(1)二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？提示无关.如图，OA ⊥l ，OB ⊥l ，O ′A ′⊥l ，O ′B ′⊥l ，根据等角定理可知，∠AOB ＝∠A ′O ′B ′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关.(2)平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？提示二面角的平面角. 知识点三平面与平面垂直1.定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直，记作α⊥β.2.画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图所示.3.平面与平面垂直的判定定理l⊥α，lβ⇒α⊥β(1)建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直.当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？提示都是垂直.(2)两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？提示不一定.平行，相交，垂直都有可能.(3)已知l⊥α，则过l与α垂直的平面( )A.有1个B.有2个C.有无数个D.不存在解析由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个. 答案 C题型一线面垂直的判定【例1】如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E.求证：AE⊥平面PBC.证明∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又∵AE平面PAC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.规律方法证明线面垂直的方法：(1)由线线垂直证明线面垂直：①定义法；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直.(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.【训练1】如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，SD＝SD，所以△ADS≌△BDS，所以∠ADS＝∠BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.题型二面面垂直的判定【例2】如图，已知AB是圆O的直径，C是圆周上不同于A、B的点，PA⊥圆O所在的平面，AF⊥PC于F，求证：平面AEF⊥平面PBC.证明因为AB为圆O的直径，所以BC⊥AC.因为PA⊥平面ABC，BC平面ABC，所以PA⊥BC.因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.而AF平面PAC，所以BC⊥AF.又AF ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ，所以AF ⊥平面PBC . 又因为AF 平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PBC .规律方法 1.由面面垂直的判定定理知，要证两个平面互相垂直，关键是证明其中一个平面经过另一个平面的垂线，本题中证明平面AEF 经过平面PBC 的垂线AF 较容易些. 2.证明面面垂直的常用方法：(1)面面垂直的判定定理；(2)所成二面角是直二面角.【训练2】已知三棱锥A －BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AE AC ＝AFAD＝λ(0＜λ＜1).(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； (2)当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD? (1)证明 ∵∠BCD ＝90°，∴BC ⊥CD . ∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD . 又∵AB ∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC . ∵AE AC ＝AF AD＝λ(0<λ<1)， ∴EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC . 又∵EF 平面BEF ， ∴平面BEF ⊥平面ABC .故不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC . (2)解由(1)，得EF ⊥平面ABC ，BE 平面ABC ， ∴EF ⊥BE .要使平面BEF ⊥平面ACD ，只需BE ⊥AC . ∵∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，∴BD ＝ 2. 又∵AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°， ∴AB ＝6，AC ＝7， ∴BE ＝AB ·BC AC ＝427，∴AE ＝677， ∴λ＝AE AC ＝67.故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD .【探究1】如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝ 3.(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A－BE－P的大小.(1)证明连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.因为PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，所以PA⊥BE.又PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.又BE平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.(2)解由(1)知，BE⊥平面PAB，PB平面PAB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角.在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，所以∠PBA＝60°.故二面角A－BE－P的大小是60°.【探究2】如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，C是圆周上不同于A、B的一点，且AB＝2，PA＝BC＝1.(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)求二面角P－BC－A的大小.(1)证明∵A，B，C在⊙O上，∴⊙O所在平面可记为平面ABC，∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC.∵C在圆周上，且异于A、B，AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.又AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.又BC平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC.(2)解由(1)知，BC⊥平面PAC，∵PC平面PAC，∴PC⊥BC，又∵AC⊥BC，∴∠PCA 为二面角P －BC －A 的平面角.在Rt△PAC 中，PA ＝1，AC ＝3，∠PAC ＝90°， ∴tan∠PCA ＝33，∴∠PCA ＝30°，所以二面角P －BC －A 的大小是30°.【探究3】正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是AD 的中点.求二面角A －BD 1－P 的大小. 解过点P 作BD 1、AD 1的垂线，垂足分别是E 、F ，连接EF .∵AB ⊥平面AA 1D 1D ，PF 平面AA 1D 1D ， ∴AB ⊥PF .∵PF ⊥AD 1，且AB ∩AD 1＝A ，∴PF ⊥平面ABD 1，BD 1平面ABD 1，∴PF ⊥BD 1，又∵PE ⊥BD 1，且PE ∩PF ＝P ， ∴BD 1⊥平面PEF ，EF 平面PEF .∴EF ⊥BD 1，∴∠PEF 为所求二面角的平面角. ∵Rt△ADD 1∽Rt△AFP ， ∴PF DD 1＝APAD 1. 而AP ＝12，DD 1＝1，AD 1＝2，∴PF ＝24.连接PB .在△PBD 1中，PD 1＝PB ＝52. ∵PE ⊥BD 1，∴BE ＝12BD 1＝32.在Rt△PEB 中，PE ＝PB 2－BE 2＝22. 在Rt△PEF 中，sin∠PEF ＝PF PE ＝12， ∴∠PEF ＝30°.∴二面角A －BD 1－P 为30°.【探究4】在直角梯形ABCD 中，∠D ＝∠BAD ＝90°，AD ＝DC ＝12AB ＝a (如图所示)，将△ADC 沿AC 折起，将D 翻到D ′，记平面ACD ′为α，平面ABC 为β，平面BCD ′为γ.若二面角α－AC －β为直二面角，求二面角β－BC －γ的大小.解在直角梯形ABCD 中，由已知，△DAC 为等腰直角三角形，∴AC ＝2a ，∠CAB ＝45°.如图所示，过C 作CH ⊥AB ，垂足为H ，则AH ＝CH ＝a .由AB＝2a，可得BC＝2a，∴AC⊥BC.取AC的中点E，连接D′E，则D′E⊥AC.∵二面角α－AC－β为直二面角，∴D′E⊥β.又∵BC平面β，∴BC⊥D′E.∵AC∩D′E＝E，∴BC⊥α.而D′Cα，∴BC⊥D′C，∴∠D′CA为二面角β－BC－γ的平面角.由于∠D′CA＝45°，∴二面角β－BC－γ为45°.规律方法(1)求二面角的大小关键是要找出或作出平面角.再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角→证明→计算.(2)为了能在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等.课堂达标1.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )A.m⊥n，m∥α，n∥βB.m⊥n，α∩β＝m，nαC.m∥n，n⊥β，mαD.m∥n，m⊥α，n⊥β解析∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又mα，由面面垂直的判定定理，∴α⊥β.答案 C2.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定解析易证AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC.答案 B3.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________.解析∵B1C1⊥平面ABB1A1，MN平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，B1M∩B1C1＝B1，∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，即∠C1MN＝90°.答案90°4.已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用序号表示).解析当m⊥α，m⊥n时，有n∥α或nα.∴当n⊥β时，α⊥β，即①③④⇒②.或当α⊥β，m⊥α时，有m∥β或mβ.∴当n⊥β时m⊥n，即②③④⇒①.答案①③④⇒②(或②③④⇒①)5.如右图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点.求证：平面EBD⊥平面ABCD.证明如下图所示，连接AC，与BD交于点F，连接EF.∵F为▱ABCD的对角线AC与BD的交点，∴F为AC的中点.又E为SA的中点，∴EF为△SAC的中位线，∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.又EF平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.课堂小结1.直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.2.证明两个平面垂直的主要途径：(1)利用面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.3.证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的.4.下面的结论，有助于判断面面垂直：(1)m∥n，m⊥α，nβ⇒α⊥β；(2)m⊥α，n⊥β，m⊥n⇒α⊥β；(3)α∥β，γ⊥α⇒γ⊥β.基础过关1.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC和CD的中点，G是EF的中点，现在沿着AE和AF及EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.那么，在四面体A－EFH中必有( )A.HG⊥△AEF所在平面B.AG⊥△EFH所在平面C.HF⊥△AEF所在平面D.AH⊥△EFH所在平面解析∵AD⊥DF，AB⊥BE，∴AH⊥HF，AH⊥HE.又∵EH∩FH＝H，∴AH⊥面EFH.答案 D2.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为( )A.60°B.30°C.45°D.15°解析由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角.在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C.答案 C3.在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )A.BC∥面PDFB.DF⊥面PAEC.面PDF⊥面ABCD.面PAE⊥面ABC解析如图所示，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF，∴A正确.由BC⊥PE，BC⊥AE，PE∩AE＝E，∴BC ⊥平面PAE ，∴DF ⊥平面PAE ，∴B 正确. DF 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面PAE ，∴D 正确.答案 C4.已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则二面角D －BC －A 的大小为________.解析如图，由题意知AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，BC ＝AD ＝2.取BC 的中点E ，连接DE ，AE ，则AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，所以∠DEA 为所求二面角的平面角.易得AE ＝DE ＝2，又AD ＝2，所以∠DEA ＝90°.答案 90°5.在Rt△ABC 中，D 是斜边AB 的中点，AC ＝6，BC ＝8，EC ⊥平面ABC ，且EC ＝12，则ED ＝________.解析如图，在Rt△ABC 中，CD ＝12AB .因为AC ＝6，BC ＝8，所以AB ＝62＋82＝10.所以CD ＝5.因为EC ⊥平面ABC ，CD 平面ABC ，所以EC ⊥CD .所以ED ＝EC 2＋CD 2＝122＋52＝13.答案 136.如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点.证明：平面BDC 1⊥平面BDC .证明由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.又DC 1平面ACC 1A 1，所以DC 1⊥BC .由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°，所以∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC .又DC ∩BC ＝C ，所以DC 1⊥平面BDC .又DC 1平面BDC 1，故平面BDC 1⊥平面BDC .7.如图，矩形AMND 所在的平面与直角梯形MBCN 所在的平面互相垂直，MB ∥NC ，MN ⊥MB .(1)求证：平面AMB ∥平面DNC ；(2)若MC ⊥CB ，求证：BC ⊥AC .证明 (1)因为MB ∥NC ， B 平面DNC ， NC 平面DNC ，所以MB ∥平面DNC .因为四边形AMND 为矩形，所以MA ∥DN .又 A 平面DNC ，DN 平面DNC .所以MA ∥平面DNC .又MA ∩MB ＝M ，且MA ，MB 平面AMB ，所以平面AMB ∥平面DNC .(2)因为四边形AMND 是矩形，所以AM ⊥MN .因为平面AMND ⊥平面MBCN ，且平面AMND ∩平面MBCN ＝MN ，所以AM ⊥平面MBCN .因为BC 平面MBCN ，所以AM ⊥BC .因为MC ⊥BC ，MC ∩AM ＝M ，所以BC ⊥平面AMC .因为AC 平面AMC ，所以BC ⊥AC .能力提升8.已知直线m ，n 是异面直线，则过直线n 且与直线m 垂直的平面() A.有且只有一个 B.至多一个C.有一个或无数个D.不存在解析若异面直线m 、n 垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在.答案 B9.如图，O 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的中心，则下列直线中与B 1O 垂直的是( )A.A 1DB.AA 1C.A 1D 1D.A 1C 1解析连接B 1D 1，∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，∴BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，且A 1C 1A 1B 1C 1D 1，∴BB 1⊥A 1C 1，又四边形A 1B 1C 1D 1是正方形，∴B 1D 1⊥A 1C 1，而B 1D 1∩BB 1＝B 1，∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1D ，而B 1O 平面BB 1D 1D ，∴A 1C 1⊥B 1O .答案 D10.如图，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB α，B ∈l ，AB与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________.解析如图，作AO ⊥β于O ，AC ⊥l 于C ，连接OB 、OC ，则OC ⊥l ，设AB 与β所成的角为θ，则∠ABO ＝θ，由图得sin θ＝AO AB ＝AC AB ·AO AC ＝sin 30°·sin 60°＝34. 答案34 11.三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝73，AB ＝10，BC ＝8，CA ＝6，则二面角P －AC －B 的大小为________.解析由题意易得点P 在平面ABC 上的射影O 是AB 的中点.取AC 的中点Q ，则OQ ∥BC . 易得△ABC 是直角三角形，且∠ACB ＝90°，∴∠AQO ＝90°，即OQ ⊥AC .又∵PA ＝PC ，∴PQ ⊥AC ，∴∠PQO 即是二面角P －AC －B 的平面角.∵PA ＝73，AQ ＝12AC ＝3，∴PQ ＝8.又∵OQ ＝12BC ＝4，∴cos∠PQO ＝OQ PQ ＝12， ∴∠PQO ＝60°.答案 60°12.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求二面角B －A 1C 1－B 1的正切值.解取A 1C 1的中点O ，连接B 1O ，BO .由题意知B 1O ⊥A 1C 1，又BA 1＝BC 1，O 为A 1C 1的中点，所以BO ⊥A 1C 1，所以∠BOB 1即是二面角B －A 1C 1－B 1的平面角.因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，OB 1平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥OB 1.设正方体的棱长为a ，则OB 1＝22a ，在Rt△BB 1O 中，tan∠BOB 1＝BB 1OB 1＝a 22a ＝2，所以二面角B －A 1C 1－B 1的正切值为 2.13.(选做题)如图，三棱台DEF －ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点.(1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥BC ，AB ⊥BC ，求证：平面BCD ⊥平面EGH .证明 (1)方法一如图所示，连接DG ，CD ，设CD ∩GF ＝M ，连接MH .在三棱台DEF －ABC 中，AB ＝2DE ，∴AC ＝2DF .∵G为AC的中点，∴DF∥GC，且DF＝GC，∴四边形CFDG是平行四边形，∴DM＝MC.∵BH＝HC，∴MH∥BD.又BD平面FGH，MH平面FGH，∴BD∥平面FGH.方法二在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，H为BC的中点，∴BH∥EF，且BH＝EF，∴四边形BHFE是平行四边形，∴BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，∴GH∥AB.又GH∩HF＝H，AB∩BE＝B，∴平面FGH∥平面ABED.∵BD平面ABED，∴BD∥平面FGH.(2)∵G，H分别为AC，BC的中点，∴GH∥AB.∵AB⊥BC，∴GH⊥BC.又H为BC的中点，∴EF∥HC，EF＝HC，∴EFCH是平行四边形，∴CF∥HE.∵CF⊥BC，∴HE⊥BC.又HE，GH平面EGH，HE∩GH＝H，∴BC⊥平面EGH.又BC平面BCD，∴平面BCD⊥平面EGH.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

(统编版)2020学年高中数学第一章1.6垂直关系1.6.2垂直关系的性质学案北师大版必修

6.2 垂直关系的性质1.理解直线与平面、平面与平面垂直的性质定理.(重点)2.理解并掌握空间“平行”与“垂直”之间的相互转化.(难点、易错点)3.能灵活地应用线面与面面垂直的性质定理证明有关问题.(难点)[基础·初探]教材整理1 直线与平面垂直的性质定理阅读教材P39“练习2”以下至P40“例3”以上部分，完成下列问题.1.文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.2.符号语言：l⊥α，m⊥α⇒l∥m.3.图形语言：如图1618所示.图16184.作用：证明两直线平行.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )A.相交B.平行C.异面D.相交或平行【解析】圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正确.【答案】 B教材整理2 平面与平面垂直的性质定理阅读教材P40“例3”以下至P41“例4”以上部分，完成下列问题.1.文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.2.符号语言：α⊥β，α∩β＝m，lβ，l⊥m⇒l⊥α.3.图形语言：如图1619所示.图16194.作用：证明直线与平面垂直.若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )A.直线a必垂直于平面βB.直线b必垂直于平面αC.直线a不一定垂直于平面βD.过a的平面与过b的平面垂直【解析】α⊥β，aα，bβ，a⊥b，当α∩β＝a时，b⊥α；当α∩β＝b时，a⊥β，其他情形则未必有b⊥α或a⊥β，所以选项A，B，D都错误，故选C.【答案】 C[小组合作型]线面垂直的性质如图1111，A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1.图1620【精彩点拨】连接AB1与CB1，证明EF，BD1都与平面AB1C垂直.【自主解答】连接AB 1，B1C，BD，B1D1，如图所示.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点；(2)利用平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.[再练一题]1.如图1621，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线aβ，a⊥AB.求证：a∥l.图1621【证明】因为EA⊥α，α∩β＝l，即lα，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，aβ，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB，因此，a∥l.面面垂直性质的应用如图1622，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝ 2.等边三角形ADB以AB为轴转动.图1622(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.【导学号：39292040】【精彩点拨】(1)利用面面垂直构造直角三角形，使所求线段为其一边，通过解三角形求解.(2)分D是否在平面ABC内进行讨论.【自主解答】(1)如图，取AB的中点E，连接DE，CE.因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.由已知可得DE＝3，EC＝1.在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2.(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.又CD平面CDE，所以AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.1.面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法.所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可利用面面垂直证明线面垂直.2.证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线面垂直的判定定理，另一种是利用面面垂直的性质定理.应用后者时要注意：(1)两个平面垂直；(2)直线在一个平面内；(3)直线垂直于交线.以上三点缺一不可.[再练一题]2.如图1623，四棱锥VABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.图1623求证：平面VBC⊥平面VAC.【证明】∵平面VAB⊥平面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB，BC平面ABCD，∴BC⊥平面VAB，VA平面VAB，∴BC⊥VA，又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，∴VA⊥平面VBC，∵VA平面VAC，∴平面VBC⊥平面VAC.[探究共研型]垂直关系的综合应用探究1 如图于点K，连接DK.判断平面SBC与平面KBD是否垂直，并说明理由.图1624【提示】垂直.连接AC.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BD，∴BD⊥平面SAC，∴SC⊥BD.又∵SC⊥BK，BK∩BD＝B，∴SC⊥平面KBD.又SC平面SBC，∴平面SBC⊥平面KBD.探究2 在上述问题中，判断平面SBC与平面SDC是否垂直，并说明理由.【提示】不垂直.假设平面SBC⊥平面SDC.∵BK⊥SC，∴BK⊥平面SDC.∵DC平面SDC，∴BK⊥DC，又AB∥CD，∴BK⊥AB.∵ABCD是正方形，AB⊥BC，∴AB⊥平面SBC，又SB平面SBC，∴AB⊥SB，这与∠SBA是Rt△SAB的一个锐角矛盾，故假设不成立.∴原结论成立，即平面SBC不垂直于平面SDC.如图1625所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a 的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.图1625(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边的中点，能否在PC棱上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论.【精彩点拨】解答本题要首先从菱形、正三角形中找到其中所蕴含的垂直关系，联系所学的判定定理与性质定理，得出结论.【自主解答】(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD.又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.∵PB平面PGB，∴AD⊥PB.(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.证明：取PC的中点F，连接DE，EF，DF，在△PBC中，FE∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE平面DEF，DE平面DEF，EF∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PGB.由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.立体几何中的垂直关系有三类：线线垂直、线面垂直、面面垂直.处理垂直问题时，要注意三者之间的内在联系.转化思想是立体几何中解决垂直问题的重要思想.垂直关系的转化如下：[再练一题]3.如图1626，在三棱锥PABC中，E，F分别为AC，BC的中点.图1626(1)求证：EF∥平面PAB；(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°，求证：平面PEF⊥平面PBC.【证明】(1)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.又EF⊆/平面PAB，AB平面PAB，∴EF∥平面PAB.(2)∵PA＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.又∵平面PAC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.又∵F为BC的中点，∴EF∥AB.∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.又∵BC平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEF.1.已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n 与平面α的关系是( )A.n∥αB.n∥α或nαC.nα或n与α不平行D.nα【解析】∵lα，且l与n异面，∴n⊆/α.又∵m⊥α，n⊥m，∴n∥α.【答案】 A2.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈l，给出下面四个结论：①过P与l垂直的直线在α内；②过P与β垂直的直线在α内；③过P与l垂直的直线必与α垂直；④过P与β垂直的平面必与l垂直.其中正确的命题是( )A.②B.③C.①④D.②③【解析】因为α⊥β，α∩β＝l，P∈l，所以过点P作β的垂直直线必在平面α内且和l垂直，①③④的情况则可能成立，也可能不成立.【答案】 A3.已知a，b为直线，α，β为平面.在下列四个结论中，正确的是________.①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若α∥b，β∥b，则α∥β.【解析】由“垂直于同一平面的两直线平行”知①正确；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②错；由“垂直于同一直线的两平面平行”知③正确；④错.【答案】①③4.如图1627，在三棱锥PABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB ＝2，则PB＝________.图1627【解析】∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝PA2＋AB2＝1＋4＝ 5.【答案】 55.如图1628，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC中点，求证：平面DMN∥平面ABC.【导学号：39292041】图1628【证明】∵M，N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，AC平面ABC，MN⊆/平面ABC，∴MN∥平面ABC，∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形，∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC═∥BD，∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC，又∵DN⊆/平面ABC，BC平面ABC，∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，且MN、DN平面DMN，∴平面DMN∥平面ABC.。

北师大版高中数学课件：《垂直关系的判定》共40页

Thank心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
北师大版高中数学课件：《垂直关系的判定》
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6、黄金时代是在我们的前面，而不在我们的后面。
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7、心急吃不了热汤圆。
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8、你可以很有个性，但某些时候请收敛。
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9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚的工人总是说工具不好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎能克服任何恐惧。因为，请记住，除了在脑海中，恐惧无处藏身。-- 戴尔．卡耐基。

(部编版)2020学年高中数学第一章1.6垂直关系1.6.1垂直关系的判定学案北师大版必修38

6.1 垂直关系的判定1.掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义.(重点)2.掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理，并能灵活应用判定定理证明直线与平面垂直、平面与平面垂直.(重点、难点)3.了解二面角、二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小.(重点、易错点)[基础·初探]教材整理1 直线与平面垂直的概念及判定定理阅读教材P36～P37“练习1”以上部分，完成下列问题.1.定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直.2.画法：通常把表示直线的线段画成和表示平面的平行四边形的横边垂直，如图161.图1613.直线与平面垂直的判定定理：平面判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一条直线和一个平面内的两条平行直线都垂直，则该直线与此平面垂直.( )(2)一条直线和一个平面内的所有直线垂直，则该直线与该平面垂直.( )(3)一条直线和一个平面内的无数条直线垂直，则该直线与该平面垂直.( )(4)若直线l不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线l.( )【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)× 教材整理2 二面角阅读教材P 37“练习1”以下至倒数第4行部分，完成下列问题. 1.二面角的概念：(1)半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面.(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面.(3)二面角的记法：以直线AB 为棱、半平面α，β为面的二面角，记作二面角αAB β. 2.二面角的平面角：αOB的平面角如图162，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，截面C 1D 1AB 与底面ABCD 所成二面角C 1AB C 的大小为________.图162【解析】 ∵AB ⊥BC ，AB ⊥BC 1，∴∠C 1BC 为二面角C 1AB C 的平面角，其大小为45°. 【答案】 45°教材整理3 平面与平面垂直阅读教材P 37倒数第4行至P 38“例1”以上部分，完成下列问题. 1.平面与平面垂直：AB空间四边形ABCD 中，若AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，那么有( ) A.平面ABC ⊥平面ADC B.平面ABC ⊥平面ADB C.平面ABC ⊥平面DBC D.平面ADC ⊥平面DBC【解析】 ∵AD ⊥BC ，AD ⊥BD ，BC ∩BD ＝B ， ∴AD ⊥平面BCD .又∵AD平面ADC ，∴平面ADC ⊥平面DBC .【答案】 D[小组合作型]如图163，正方体1111图163(1)求证：AC ⊥平面B 1D 1DB ；(2)求证：BD 1⊥平面ACB 1. 【导学号：39292035】【精彩点拨】证明线面垂直，只需证明直线与平面内的两条相交直线垂直. 【自主解答】 (1)∵BB 1⊥平面ABCD ，且AC 平面ABCD ，∴BB 1⊥AC .又AC ⊥BD ，BD ∩BB 1＝B ， ∴AC ⊥平面B 1D 1DB . (2)连接A 1B .由(1)知AC ⊥平面B 1D 1DB ，∵BD1平面B1D1DB，∴AC⊥BD1.∵A1D1⊥平面A1B1BA，AB1平面A1B1BA，∴A1D1⊥AB1.又∵A1B⊥AB1且A1B∩A1D1＝A1，∴AB1⊥平面A1D1B.∵BD1平面A1D1B，∴BD1⊥AB1，又∵AC∩AB1＝A，∴BD1⊥平面ACB1.1.直线与平面垂直的判定(或证明)常用的方法是线面垂直的判定定理，要注意定理中的两个关键条件：①面内的两条相交直线；②都垂直.2.要证明线面垂直，先证线线垂直，而证线线垂直，通常又借助线面垂直，它们是相互转化的.[再练一题]1.如图164，Rt△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点.图164(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.【证明】(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD.又∵SB＝SA，∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.(2)∵BA＝BC，D为AC中点，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥平面ABC，∴SD⊥BD.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，∴BD⊥平面SAC.如图165所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点.图165求证：(1)DE ＝DA ； (2)平面BDM ⊥平面ECA .【精彩点拨】 (1)解答本题，只要证明三角形全等.(2)注意M 为EA 的中点，可取CA 的中点N ，证明平面ECA 的垂线在平面BDM 内.【自主解答】 (1)如图所示，取EC 的中点F ，连接DF . ∵EC ⊥平面ABC ， ∴EC ⊥BC ，又由已知，易得DF ∥BC ， ∴DF ⊥EC .在Rt△EFD 和Rt△DBA 中，EF ＝12EC ＝BD ，且由已知，易得FD ＝BC ＝AB ， ∴Rt△DFE ≌Rt△ABD ，故ED ＝DA . (2)取CA 的中点N ，连接MN ，BN ，则MN ═∥12EC ，又BD ═∥12CE ， ∴MN ∥BD ，∴N 点在平面BDM 内， ∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN ，又CA ⊥BN ，CA ∩EC ＝C ，∴BN ⊥平面ECA ，又BN 在平面MBD 内， ∴平面BDM ⊥平面ECA .证明面面垂直的方法：(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”； (3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.[再练一题]2.如图166，四棱锥P ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上.求证：平面AEC ⊥平面PDB .图166【证明】∵AC⊥BD，AC⊥PD，PD，BD为平面PDB内两条相交直线，∴AC⊥平面PDB.又∵AC平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.[探究共研型]探究1 如图167作出二面角SBCA的平面角，并说明理由.图167【提示】取BC的中点O，连接SO，AO，因为AB＝AC，O是BC的中点，所以AO⊥BC.同理可证SO⊥BC，所以∠SOA是二面角SBCA的平面角.探究2 在上述问题中，若BC＝1，SA＝32，请计算二面角SBCA的大小.【提示】在△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，AB＝1，所以AO＝1×sin 60°＝32.同理可求SO＝32.又SA＝32，所以△SOA是等边三角形，所以∠SOA＝60°，所以二面角SBCA的大小为60°.已知D，E分别是正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点，且A1D＝2B1E＝B1C1.求过D，E，C1的平面与棱柱的下底面A1B1C1所成的二面角的大小.【精彩点拨】先确定过D，E，C1三点的平面，再根据二面角的定义确定好二面角，然后求值.【自主解答】如图所示，在平面AA1B1B内延长DE和A1B1交于点F，则F是平面DEC1与平面A1B1C1的公共点.于是C1F为这两个平面的交线.因而，所求二面角即为二面角DC1FA1.∵A1D∥B1E，且A1D＝2B1E，∴E，B1分别为DF和A1F的中点.∵A1B1＝B1C1＝A1C1＝B1F，∴FC1⊥A1C1.又∵CC1⊥平面A1B1C1，FC1平面A1B1C1，∴CC1⊥FC1.又∵A1C1，CC1为平面AA1C1C内的两条相交直线，∴FC1⊥平面AA1C1C.∵DC1平面AA1C1C，∴FC1⊥DC1.∴∠DC1A1是二面角DC1FA1的平面角，由已知，A1D＝A1C1，则∠DC1A1＝45°，故所求二面角的大小为45°.1.求二面角大小的关键是先找出或作出平面角，再把平面角放在三角形中，最后利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为：作角→证明→计算.2.要在适当位置作出二面角的平面角，就要注意观察二面角两个面的特点，如是否为等腰三角形等.[再练一题]3.已知正四棱锥的高为3，底面对角线的长为26，求侧面与底面所成的二面角.【解】设正四棱锥为SABCD，如图所示，底面边长为a，则2a2＝(26)2，∴a2＝12.设O为S在底面上的射影，则SO＝3，作OE⊥CD于E，连接SE，可知SE⊥CD，∠SEO即为所求二面角的平面角.∵SO＝3，a2＝12，∴SE＝23，∴∠SEO＝60°.∴侧面与底面所成的二面角的大小为60°.1.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是( )A.平行B.垂直C.相交D.不确定【解析】由题意可知，该直线垂直于三角形所确定的平面，故这条直线和三角形的第三边也垂直.【答案】 B2.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )A.m⊥n，m∥α，n∥βB.m⊥n，α∩β＝m，nαC.m∥n，n⊥β，mαD.m∥n，m⊥α，n⊥β【解析】∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又mα，由面面垂直的判定定理，∴α⊥β.【答案】 C3.如图168，在三棱锥DABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的位置关系是________.图168【解析】∵AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，∴BE⊥AC，DE⊥AC，∴AC⊥平面BDE，又AC平面ADC，∴平面ADC⊥平面BDE.【答案】垂直4.如图169所示，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角BPAC的大小为________.【导学号：39292036】图169【解析】∵PA⊥平面ABC，BA，CA平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即为二面角BPAC的平面角.又∠BAC＝90°，故二面角BPAC的大小为90°.【答案】90°5.如图1610，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.图1610【证明】因为AB是直径，则BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又BC平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC.。

北师大版必修2高中数学第1章《立体几何初步》垂直关系的判定导学案

1高中数学第1章《立体几何初步》垂直关系的判定导学案北师大版必修2你的疑惑3.（1）半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成 _________，其中的________都叫作半平面.（2）二面角：从一条直线出发的___________所组成的图形叫作二面角，___________叫做二面角的棱，______________叫作二面角的面.（3）二面角的记法：以直线AB 为棱，半平面α、β为面的二面角，记作________________.（如下图（1））（4）二面角的平面角：以二面角的棱上_________为端点，在两个半平面内分别作___________的两条射线，这两条射线所组成的角叫作二面角的平面角. 如下图（2）中的AOB ∠. ______________的二面角叫作直二面角.（5）两个平面相交，如果所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直.4. 将一支铅笔垂直于桌面，再用一本书紧贴着铅笔转动，你能观察到书本和桌面的关系吗？再观察下图（1）（2）中的长方体，可以发现：平面α内的直线a 与平面β________，这时，α____β.抽象概括平面和平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条_______，那么这两个平面互相垂直.图形语言：符号语言：若直线AB ____平面β，AB ______平面α，策略与反思纠错与归纳【学习目标】 1. 理解直线和平面、平面和平面垂直的判定定理，并能进行简单应用. 2. 通过垂直关系判定定理的探究和应用过程，进一步提高空间想象能力和逻辑思维能力. 3. 通过垂直关系判定定理的探究和应用过程，体会数学和生活的紧密联系. 【重点难点】重点：直线和平面、平面和平面垂直的判定定理及应用. 难点：对直线和平面、平面和平面垂直判定定理的理解. 【使用说明】 1. 认真阅读课本第35—37页的内容，独立完成自主学习内容. 2. 在自主学习的基础上，通过小组讨论，完成合作探究内容. 【自主学习】 1. 如右图，拿一块教学用的直角三角板，放在墙角，使三角板的直角顶点C 与墙角重合，直角边AC 所在直线与墙角所在直线重合，将三角板绕AC 转动，在转动过程中，直角边CB 与地面紧贴，这就表示，AC 与地面垂直.抽象概括直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的___________直线都_________，那么称这条直线和这个平面垂直. 2. 观察上图（1）的长方体，c b ,是平面α内的两条_______直线，直线a __b ，a __c ，这时，a __α. 观察上图（2）的长方体，平面α内的两条直线c b ,不相交，虽然直线a 与c b ,都______，但是a 与α_________. 抽象概括直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的_______________都垂直，那么该直线与此平面垂直. 图形语言：符号语言：若直线a ____平面α，直线b _____平面α，直线l ____a ，直线l ____b ，a ____A b =，则α⊥l .天才在于积累聪明在于勤奋。

高中数学第一章立体几何初步6.1垂直关系的判定学案北师大必修220180813316

6．1 垂直关系的判定学习目标 1.掌握直线与平面垂直的定义、判定定理.2.掌握平面与平面垂直的概念、判定定理.3.会应用两定义及两定理证明有关的垂直问题．知识点一直线与平面垂直的定义思考在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？答案不变，90°.梳理线面垂直的概念知识点二直线和平面垂直的判定定理将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．观察折痕AD与桌面的位置关系．思考1 折痕AD与桌面一定垂直吗？答案不一定．思考2 当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？答案当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．梳理判定定理l⊥a，l⊥b，aα，bα，a∩b＝A⇒l⊥α知识点三二面角思考1 观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？答案二面角．思考2 平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？答案二面角的平面角．梳理(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．(2)相关概念：①这条直线叫作二面角的棱．②两个半平面叫作二面角的面．(3)二面角的记法以直线AB为棱，半平面α，β为面的二面角，记作二面角面α－AB－β.(4)二面角的平面角：若有①O∈l；②OAα，OBβ；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.知识点四平面与平面垂直思考建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？答案都是垂直．梳理(1)平面与平面垂直的概念①定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．②画法：③记法：α⊥β.(2)判定定理l⊥α，lβ⇒α⊥β1．若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．( ×) 2．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.( ×)3．若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直．( √)4．两垂直平面的二面角的平面角大小为90°.(√)类型一线面垂直的定义及判定定理的理解例1 下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案④⑤解析当直线l与平面α内的无数条直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l 与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确．反思与感悟(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交．(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．跟踪训练1 (1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________．(填序号)考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案(1)C (2)①③④解析(1)∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，∴OA⊥平面OBC.(2)根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．类型二线面垂直的判定例2 如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，求证：BC⊥平面PAC.考点直线与平面垂直的判定题点直线与平面垂直的证明证明∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，PA，AC平面PAC，∴BC⊥平面PAC.引申探究若本例中其他条件不变，作AE⊥PC交PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.证明由例2知BC⊥平面PAC，又∵AE平面PAC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，PC，BC平面PBC，∴AE⊥平面PBC.反思与感悟(1)使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决．(2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．跟踪训练2 如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，作AF⊥PB于点F，求证：PB⊥平面AEF.考点直线与平面垂直的判定题点直线与平面垂直的证明证明由引申探究知AE⊥平面PBC.∵PB平面PBC，∴AE⊥PB，又AF⊥PB，且AE∩AF＝A，AE，AF平面AEF，∴PB⊥平面AEF.类型三面面垂直的判定例3 如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E 为SA的中点．求证：平面EBD⊥平面ABCD.考点平面与平面垂直的判定题点利用判定定理证明两平面垂直证明连接AC ，与BD 交于O 点，连接OE .∵O 为AC 的中点，E 为SA 的中点， ∴EO ∥SC .∵SC ⊥平面ABCD ， ∴EO ⊥平面ABCD .又∵EO 平面EBD ，∴平面EBD ⊥平面ABCD .反思与感悟 (1)由面面垂直的判定定理知，要证两个平面互相垂直，关键是证明其中一个平面经过另一个平面的垂线．(2)证明面面垂直的常用方法：①面面垂直的判定定理；②所成二面角是直二面角．跟踪训练3 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠ACB ＝90°，AC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．证明：平面BDC 1⊥平面BDC .考点平面与平面垂直的判定题点利用判定定理证明两平面垂直证明由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ，CC 1，AC 平面ACC 1A 1，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.又DC 1平面ACC 1A 1，所以DC 1⊥BC .由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°，所以∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC .又DC ∩BC ＝C ，DC ，BC 平面BDC ，所以DC 1⊥平面BDC .又DC 1平面BDC 1，故平面BDC 1⊥平面BDC .类型四与二面角有关的计算例4 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值．考点二面角题点看图索角解取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C1，所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角．因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1.设正方体的棱长为a，则OB1＝22a，在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝BB1OB1＝a22a＝2，所以二面角B－A1C1－B1的正切值为 2.反思与感悟(1)求二面角的大小关键是要找出或作出平面角．再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角→证明→计算．(2)为了能在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等．跟踪训练4 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA ＝AC，求二面角P－BC－A的大小．考点二面角题点看图索角解由已知PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又PC平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.1．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( )A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案 B解析若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )A．α∥β，且mαB．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且nβD．m⊥n，且n∥β考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案 B解析 A 中，由α∥β，且m α，知m ∥β；B 中，由n ⊥β，知n 垂直于平面β内的任意直线，再由m ∥n ，知m 也垂直于β内的任意直线，所以m ⊥β，符合题意；C ，D 中，m β或m ∥β或m 与β相交，不符合题意，故选B.3．如图，α∩β＝l ，点A ，C ∈α，点B ∈β，且BA ⊥α，BC ⊥β，那么直线l 与直线AC 的关系是( )A ．异面B ．平行C ．垂直D ．不确定考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案 C解析 ∵BA ⊥α，α∩β＝l ，l α，∴BA ⊥l .同理BC ⊥l ，又BA ∩BC ＝B ，∴l ⊥平面ABC . ∵AC 平面ABC ，∴l ⊥AC .4．三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝73，AB ＝10，BC ＝8，CA ＝6，则二面角P －AC －B 的大小为________．考点二面角题点看图索角答案 60°解析由题意易得点P 在平面ABC 上的射影O 是AB 的中点．取AC 的中点Q ，连接OQ ，则OQ ∥BC .由题意可得△ABC 是直角三角形，且∠ACB ＝90°， ∴∠AQO ＝90°，即OQ ⊥AC . 又∵PA ＝PC ，∴PQ ⊥AC ，∴∠PQO 即是二面角P －AC －B 的平面角． ∵PA ＝73，AQ ＝12AC ＝3，∴PQ ＝8.又∵OQ ＝12BC ＝4，∴cos∠PQO ＝OQ PQ ＝12，∴∠PQO ＝60°，即二面角P －AC －B 的大小为60°.5.如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E ，F 分别是AB ，BD 的中点．求证：平面EFC ⊥平面BCD .考点平面与平面垂直的判定题点利用判定定理证明两平面垂直证明 ∵E ，F 分别是AB ，BD 的中点， ∴EF ∥AD ，又∵AD ⊥BD ，∴EF ⊥BD . ∵CB ＝CD ，F 是BD 的中点， ∴CF ⊥BD .又EF ∩CF ＝F ，EF ，CF 平面EFC ， ∴BD ⊥平面EFC . 又∵BD 平面BCD ， ∴平面EFC ⊥平面BCD .1.直线和平面垂直的判定方法： (1)利用线面垂直的定义； (2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：①若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α； ②若α∥β，a ⊥α，则a ⊥β. 2．证明两个平面垂直的主要途径： (1)利用面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的．一、选择题1．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面( )A．有1个B．有2个C．有无数个D．不存在考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案 C解析过直线l的平面都与α垂直．2．过两点与一个已知平面垂直的平面( )A．有且只有一个B．有无数个C．有且只有一个或无数个D．可能不存在考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案 C解析若过两点的直线与已知平面垂直时，此时过这两点有无数个平面与已知平面垂直，若过两点的直线与已知平面不垂直时，则有且只有一个过这两点的平面与已知平面垂直．3．下列说法中，正确的有( )①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直；②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直；③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．A．2个B．3个C．4个D．5个考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案 B解析①④不正确，其他三项均正确．4．从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是( )A．60° B．120°C．60°或120° D．不确定考点二面角题点求二面角的大小答案 C解析若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.5．三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，O是顶点P在底面ABC上的射影，则( )A．S△ABC＝S△PBC＋S△OBCB．S2△PBC＝S△OBC·S△ABCC．2S△PBC＝S△OBC＋S△ABCD．2S△OBC＝S△PBC＋S△ABC答案 B解析如图，由题设，知O是垂心，且有AP⊥PD，所以PD2＝OD·AD，即S2△PBC＝S△OBC·S△ABC. 6．如图，O为正方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是( )A．A1D B．AA1C．A1D1D．A1C1考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案 D解析由题易知，A1C1⊥平面BB1D1D，又OB1平面BB1D1D，∴A1C1⊥B1O.7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为( )A.32 B.22C. 2D. 3 考点二面角题点求二面角的大小答案 C解析如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接A 1O ，则O为BD 中点．因为A 1D ＝A 1B ，所以A 1O ⊥BD . 又因为在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，所以∠A 1OA 为二面角A 1－BD －A 的平面角．设AA 1＝1，则AO ＝22. 所以tan∠A 1OA ＝122＝ 2.二、填空题8．在Rt△ABC 中，D 是斜边AB 的中点，AC ＝6，BC ＝8，EC ⊥平面ABC ，且EC ＝12，则ED ＝________.考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的计算与探索性问题答案13解析如图，在Rt△ABC 中，CD ＝12AB .因为AC ＝6，BC ＝8，所以AB ＝62＋82＝10，所以CD ＝5.因为EC⊥平面ABC，CD平面ABC，所以EC⊥CD.所以ED＝EC2＋CD2＝122＋52＝13.9．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是________．考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的计算与探索性问题答案4 5解析如图所示，作PD⊥BC于点D，连接AD.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又PD∩PA＝P，∴CB⊥平面PAD，∴AD⊥BC.在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝82＋42＝4 5. 10．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)考点题点答案①③④⇒②(或②③④⇒①)解析当m⊥α，m⊥n时，有n∥α或nα.∴当n⊥β时，α⊥β，即①③④⇒②或当α⊥β，m⊥α时，有m∥β或mβ，∴当n⊥β时，m⊥n，即②③④⇒①.11．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，则二面角D－BC －A的大小为________．考点二面角题点求二面角的大小答案90°解析如图，由题意知AB＝AC＝BD＝CD＝3，BC＝AD＝2.取BC的中点E，连接DE，AE，则AE⊥BC，DE⊥BC，所以∠DEA为所求二面角的平面角．易得AE＝DE＝2，又AD＝2，所以∠DEA＝90°.三、解答题12．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.考点直线与平面垂直的判定题点直线与平面垂直的证明证明如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，∴PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中点，∴EF⊥PC.又BP＝AP2＋AB2＝22＝BC，F是PC的中点，∴BF⊥PC.又BF ∩EF ＝F ，BF ，EF 平面BEF ， ∴PC ⊥平面BEF .13．如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 为BB 1的中点，求证：截面A 1CE ⊥侧面ACC 1A 1.考点平面与平面垂直的判定题点利用判定定理证明两平面垂直证明如图所示，取A 1C 的中点F ，AC 的中点G ，连接FG ，EF ，BG ，则FG ∥AA 1，且GF ＝12AA 1.因为BE ＝EB 1，A 1B 1＝CB ，∠A 1B 1E ＝∠CBE ＝90°，所以△A 1B 1E ≌△CBE ，所以A 1E ＝CE .因为F 为A 1C 的中点，所以EF ⊥A 1C . 又FG ∥AA 1∥BE ，GF ＝12AA 1＝BE ，且BE ⊥BG ，所以四边形BEFG 是矩形，所以EF ⊥FG . 因为A 1C ∩FG ＝F ，A 1C ，FG 平面ACC 1A 1，所以EF ⊥侧面ACC 1A 1.又因为EF 平面A 1CE ，所以截面A 1CE ⊥侧面ACC 1A 1. 四、探究与拓展14．在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案 C解析如图所示，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF，∴A正确．由BC⊥PE，BC⊥AE，PE∩AE＝E，得BC⊥平面PAE，∴DF⊥平面PAE，∴B正确．∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)，∴D正确．15.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．(1)证明：D1E⊥A1D；(2)求AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为45°？考点二面角题点看图索角(1)证明连接D1A，D1B.∵在长方形A1ADD1中，AD＝AA1＝1，∴四边形A1ADD1为正方形，∴A1D⊥AD1.又由题意知AB⊥A1D，且AB∩AD1＝A，∴A1D⊥平面ABD1.∵D1E平面ABD1，∴A1D⊥D1E.(2)解过D作DF⊥EC于点F，连接D1F.∵D1D⊥平面DB，EC平面DB，∴D1D⊥EC.又DF∩D1D＝D，∴EC⊥平面D1DF.∵D1F平面D1DF，∴EC⊥D1F，∴∠DFD1为二面角D1－EC－D的平面角，∴∠DFD1＝45°，又∠D1DF＝90°，D1D＝1，∴DF＝1.在Rt△DFC中，∵DC＝2，∴∠DCF＝30°，∴∠ECB＝60°.在Rt△EBC中，∵BC＝1，∴EB＝3，AE＝2－ 3.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学第一章立体几何初步1.6垂直关系1.6.1垂直关系

2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，与BC1垂直的平面是( B )
A．平面DD1C1C
B．平面A1B1CD
C．平面A1B1C1D1
D．平面A1DB
解析：由于易证 BC1 ⊥ B1C ，又 CD⊥ 平面 BCC1B1 ，所以
CD⊥BC1.因为B1C∩CD＝C，所以BC1⊥平面A1B1CD.
第一章立体几何初步
§6 垂直关系
6．1 垂直关系的判定
1．问题导航 (1)如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直，此直线是否也和这个平面垂直呢？ (2)在作二面角的平面角时，它的大小与在棱上所选点的位置有关吗？ (3)过平面 α 的一条垂线可以作多少个平面与已知平面垂直？
2．例题导读 P38例2.通过本例学习，学会证明面面垂直的常用方法．解答本例过程中，证明BC⊥平面PAC时，一是要注意PA与AC相交；二是利用PA⊥α推出PA⊥BC，即BC是“被垂直”.

3．已知 PA⊥矩形 ABCD 所在的平面(如图)，则图中互相垂直的平面有( D )
A．1 对 C．3 对
B．2 对 D．5 对
解析：因为 DA⊥AB，DA⊥PA，所以 DA⊥平面 PAB，同理 BC⊥平面 PAB，又 AB⊥平面 PAD，所以 DC⊥平面 PAD，所以平面 PAD⊥平面 AC，平面 PAB⊥平面 AC，平面 PBC⊥ 平面 PAB，平面 PAB⊥平面 PAD，平面 PDC⊥平面 PAD，共 5 对．故选 D.
2．对面面垂直的判定定理的两点说明 (1)定理可简记为“线面垂直，则面面垂直”，因此要证明平面与平面垂直，只需在其中一个平面内找另一个平面的垂线，即证“线面垂直”． (2)两个平面垂直的判定定理，不仅仅是判定两个平面垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．

高中数学第一章立体几何初步 6.1 垂直关系的判定学案北师大版必修2

6．1 垂直关系的判定学习目标 1.掌握直线与平面垂直的定义、判定定理.2.掌握平面与平面垂直的概念、判定定理.3.会应用两定义及两定理证明有关的垂直问题．知识点一直线与平面垂直的定义思考在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？梳理线面垂直的概念知识点二直线和平面垂直的判定定理将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．观察折痕AD与桌面的位置关系．思考1 折痕AD与桌面一定垂直吗？思考2 当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？梳理判定定理l⊥a，l⊥b，aα，bα，a∩b＝A⇒l⊥α知识点三二面角思考1 观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？思考2 平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？梳理(1)定义：从一条直线出发的______________所组成的图形．(2)相关概念：①这条直线叫作二面角的________．②两个半平面叫作二面角的________．(3)二面角的记法以直线AB为棱，半平面α，β为面的二面角，记作二面角α－AB－β.(4) 二面角的平面角：若有①O________l；②OA______α，OB________β；③OA________l，OB________l，则二面角α－l－β的平面角是________．知识点四平面与平面垂直思考建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？梳理(1)平面与平面垂直的概念①定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是________________，就说这两个平面互相垂直．②画法：③记法：________.(2)判定定理类型一线面垂直的判定例1 如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，求证：BC⊥平面PAC.引申探究若本例中其他条件不变，作AE⊥PC交PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.反思与感悟(1)使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决．(2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．跟踪训练1 如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，作AF⊥PB于点F，求证：PB⊥平面AEF.类型二面面垂直的判定例2 如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA 的中点．求证：平面EBD ⊥平面ABCD .反思与感悟 (1)由面面垂直的判定定理知，要证两个平面互相垂直，关键是证明其中一个平面经过另一个平面的垂线．(2)证明面面垂直的常用方法：①面面垂直的判定定理；②所成二面角是直二面角．跟踪训练 2 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠ACB ＝90°，AC ＝12AA 1，D是棱AA 1的中点．证明：平面BDC 1⊥平面BDC .类型三与二面角有关的计算例3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值．反思与感悟(1)求二面角的大小关键是要找出或作出平面角．再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角→证明→计算．(2)为了能在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等．跟踪训练3 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA ＝AC，求二面角P－BC－A的大小．1．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是( ) ①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．A．①③ B．②C．②④ D．①②④2．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图所示)，图中互相垂直的平面有( )A．1对B．2对C．3对D．5对3．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC 的关系是( )A．异面B．平行C．垂直D．不确定4．三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝73，AB＝10，BC＝8，CA＝6，则二面角P－AC－B的大小为________．5. 如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．求证：平面EFC⊥平面BCD.1.直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.2．证明两个平面垂直的主要途径：(1)利用面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的．答案精析问题导学知识点一思考不变，90°.梳理任何一条l⊥α垂线垂面垂足知识点二思考1 不一定．思考2 当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．梳理两条相交直线知识点三思考1 二面角．思考2 二面角的平面角．梳理(1)两个半平面(2)棱面(4)∈⊥⊥∠AOB知识点四思考都是垂直．梳理(1)①直二面角③α⊥β(2)垂线lβ题型探究例1 证明∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.引申探究证明由例1知BC⊥平面PAC，又∵AE平面PAC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.跟踪训练1 证明由引申探究知AE⊥平面PBC.∵PB平面PBC，∴AE⊥PB，又AF⊥PB，且AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.例2 证明连接AC，与BD交于O点，连接OE.∵O为AC的中点，E为SA的中点，∴EO∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又∵EO平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.跟踪训练2 证明由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.例3 解取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C1，所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角．因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1.设正方体的棱长为a，则OB1＝22a，在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝BB1OB1＝a22a＝2，所以二面角B－A1C1－B1的正切值为 2.跟踪训练3 解由已知PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.而PC平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.当堂训练1．A 2.D 3.C4．60°解析由题意易得点P在平面ABC上的射影O是AB的中点．取AC的中点Q，连接OQ，则OQ∥BC.由题意可得△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴∠AQO＝90°，即OQ⊥AC.11 又∵PA ＝PC ，∴PQ ⊥AC ，∴∠PQO 即是二面角P －AC －B 的平面角．∵PA ＝73，AQ ＝12AC ＝3，∴PQ ＝8. 又∵OQ ＝12BC ＝4，∴cos∠PQO ＝OQ PQ ＝12，∴∠PQO ＝60°.5．证明 ∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ， ∴EF ⊥BD .∵CB ＝CD ，F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD .又EF ∩CF ＝F ，∴BD ⊥平面EFC .∵BD 平面BCD ，∴平面EFC ⊥平面BCD .。

高中数学第一章立体几何初步6.1垂直关系的判定学案北师大必修220180815452

2020学年高中数学第一章立体几何初步6.1垂直关系的判定第二课时平面与平面垂直的判定课件北师大版必修2

[解] 延长 B1E 和 BA 交于点 F，连接 DF，则 DF 是所求二面角的棱， ∵E 是 AA1 的中点，故 B1E＝EF，从而 AF＝AB＝CD， ∴四边形 FACD 为平行四边形，∴DF∥CA.
答案
∵CA⊥BD，∴DF⊥DB.
∵B1B⊥平面 ABCD，∴BB1⊥DF，DF⊥平面 BB1D，故 B1D⊥DF. ∴∠B1DB 是所求二面角的平面角．
(1)DE＝DA； (2)平面 BDM⊥平面 ECA； (3)平面 DEA⊥平面 ECA.
证明 (1)如图，取 EC 的中点 F，连接 DF.
因为 EC⊥平面 ABC，BC 平面 ABC，所以 EC⊥BC. 又 BD∥CE，所以 BD⊥平面 ABC，所以 BD⊥BC，BD⊥BA.
答案
因为 CE＝CA＝2BD，所以四边形 DBCF 是矩形，所以 DF⊥CE. 因为 DF＝BC＝AB，EF＝BD，∠EFD＝∠DBA＝90°，所以△DEF≌△ADB，所以 DE＝DA.
∴在
Rt△B1BD
中，tan∠B1DB＝BB1DB＝
2 2.
故平面
B1DE
与底面
ABCD
所成二面角的正切值为
2 2.
答案
类题通法求二面角大小的步骤
(1)找出这个平面角． (2)证明这个角是二面角的平面角． (3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．
[变式训练2] 如图所示，在△ABC 中，AB⊥BC，SA⊥平面 ABC，DE 垂直平分 SC，且分别交 AC，SC 于 D，E，SA＝AB，SB＝BC，求二面角 E －BD－C 的大小．
3.下面的结论，有助于判断面面垂直：
(1)m∥n，m⊥α，n β⇒α⊥β； (2)m⊥α，n⊥β，m⊥n⇒α⊥β； (3)α∥β，γ⊥α⇒γ⊥β.

2020年新课标高中数学北师大版必修2课件1.6.1

数
学必
(4)简记为：线线垂直⇒线面垂直
修
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第一章立体几何初步
3．二面角及其平面角
(1)半平面的定义：一个平面内的__一__条__直__线____，把这个平面分成两部分，
其中的每一部分都叫作半平面．
(2)二面角的定义：从一条直线出发的_两__个__半__平__面__所__组__成__的_____图形，叫作
个平面互相垂直．
②符号表示
数
学必修 ②
aa____⊥________αβ⇒α⊥β．
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第一章立体几何初步
③图形表示
④简记为：线面垂直⇒面面垂直．
特别提示：应用判定定理证明平面与平面垂直的关键是：在一个平面内找
数
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一条直线垂直于另一个平面．
修
②
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数证得线面垂直，从而根据线面垂直的定义得出线线垂直，因此证明过程通常是
学
必修
反复利用线面垂直的定义及线面垂直判定定理的过程．
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第一章立体几何初步
〔跟踪练习2〕已知四棱锥P－ABCD的底面是菱形，且∠ABC＝60°， PA＝PC＝2，PB＝PD．若O是AC与BD的交点，求证：PO⊥平面ABCD．
与一平面不垂直，但该直线与无数条直线中有一条垂直即可，显然这是很容易
做到的，故(2)错误；(3)若平面的垂线与这个平面不相交，则该垂线在平面内或
与平面平行，显然与线面垂直的定义不符合，所以(3)正确；(4)若直线与平面相
交时，在交点的两侧各取一点使到交点的距离一样，则此时这两个点到该平面