新广东高考人教版理科数学二轮复习方略教师配套作业3.6简单的三角恒等变换(含答案解析)
广东省高考数学学业水平合格考试总复习 学业达标集训 三角恒等变换(含解析)-人教版高三全册数学试题
三角恒等变换一、选择题1．若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A ．63B ．－63C ．±63D ．±33A [由题意知α2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α2>0，cos α2＝1＋cos α2＝63.] 2．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( ) A ．62B ．32C ．54D ．1＋34C [原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15°＝1＋12 sin 30°＝54.]3．已知tan α＋1tan α－1＝2，则cos 2α＝( )A ．－35B ．35C ．－45D ．45C [∵tan α＋1tan α－1＝2，∴解得tan α＝3，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－91＋9＝－45.故选C ．]4．已知2π<θ<4π，且sin θ＝－35，cos θ<0，则tan θ2的值等于( )A ．－3B ．3C ．－13D ．13A [由题意知θ为第三象限角，cos θ＝－1－925＝－45，所以tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝－351－45＝－3.]5．若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0D ．±1C [sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin[(α＋β)－β]＝sin α＝0，sin(α＋2β)＋sin(α－2β) ＝sin αcos 2β＋cos αsin 2β＋sin αcos 2β－cos αsin 2β＝2sin αcos 2β＝0.] 6．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x 等于( ) A ．724B ．－724C ．247D ．－247D [cos x ＝45，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，得sin x ＝－35， 所以tan x ＝－34，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2× ⎝⎛⎭⎫－34 1－⎝⎛⎭⎫－342＝－247.] 7．若sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m ，且β为第三象限角，则cos β的值为( ) A ．1－m 2 B ．－1－m 2 C ．m 2－1D ．－m 2－1B [∵sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m ， ∴sin[(α－β)－α]＝－sin β＝m ， 即sin β＝－m ，又β为第三象限角，∴cos β<0，由同角三角函数的基本关系可得： cos β＝－1－sin 2β＝－1－m 2，故选B ．]8．已知向量a ＝(sin α，cos 2α)，b ＝(1－2sin α，－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，若ab ＝－85，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为( )A ．17B ．27C ．－17D ．－27C [∵－85＝a ·b ＝sin α(1－2sin α )－cos 2α，∴－85＝sin α－2sin 2α－(1－2sin 2α)，化为sin α＝－35.∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2， ∴α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2. ∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝34，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝34－11＋34＝－17.故选C ．]9．已知sin (45°＋α)＝55，则sin 2α等于( ) A ．－45B ．－35C ．35D ．45B [sin(α＋45°)＝(sin α＋cos α)·22＝55，∴sin α＋cos α＝105. 两边平方，∴1＋sin 2α＝25，∴sin 2α＝－35.]10．在△ABC 中，若tan A tan B ＞1，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．以上均有可能A [由tan A tanB ＞1，得角A ，B 均为锐角，然后切化弦，得sin A sin B ＞cos A cos B ，即cos(A ＋B )＜0，∴cos(π－C )＜0，∴－cos C ＜0，∴cos C ＞0，∴角C 为锐角，∴△ABC 是锐角三角形，故选A ．]11．化简2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α的结果为( )A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．2B [原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α.]12．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，0，则φ的值可以是( ) A ．－π6B ．π6C ．－π12D ．π12A [由题得tan ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝0， 即tan ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0， π6＋φ＝k π，k ∈Z ， φ＝k π－π6，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝－π6，故选A ．]13．若锐角α，β满足cos α＝45，cos(α＋β)＝35，则sin β的值是( )A ．1725B ．35C ．725D ．15C [∵cos α＝45，cos(α＋β)＝35，α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴0＜α＋β＜π，∴sin α＝35，sin(α＋β)＝45.∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝45×45－35×35＝725.]14．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·sin ⎝⎛⎭⎫π6－x 的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝πD ．x ＝3π2C [y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，故x ＝π是函数y ＝cos x 的一条对称轴．] 15．已知a ＝(sin α，1－4cos 2α)，b ＝(1,3sin α－2)，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( )A ．17B ．－17C ．27D ．－27B [因为a ∥b ，所以有sin α(3sin α－2)－(1－4cos 2α)＝0， 即3sin 2 α－2sin α－1＋4cos 2α＝0 ⇒5sin 2 α＋2sin α－3＝0，解得sin α＝35或－1，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以sin α＝35，cos α＝45，tan α＝34，所以tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝34－11＋34＝－17.]二、填空题16．若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝ . 75 [tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝16，解得tan α＝75.]17．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最小值为 ． －1 [f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.∵－π4≤x －π4≤π4，∴f (x )min ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1.] 18.3tanπ81－tan 2π8＝ .32 [原式＝32×2tanπ81－tan 2π8＝32tan ⎝⎛⎭⎫2×π8＝32tan π4＝32.] 19．函数y ＝sin 2x －2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin 3π2的图象的对称轴是 ，对称中心是 ．x ＝k π2＋π4(k ∈Z )⎝⎛⎭⎫k π2，－1(k ∈Z ) [∵y ＝sin 2x －2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin 3π2 ＝sin 2x －2sin x ⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －1＝－3sin x cos x －1＝－32sin 2x －1. 令2x ＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，令2x ＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2(k ∈Z )．∴该函数的对称轴为x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，－1(k ∈Z )．] 三、解答题20．已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值；(2)求cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ·sin x的值．[解] (1)由sin x 2－2cos x 2＝0⇒tan x2＝2，∴tan x ＝2tanx21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43.(2)原式＝cos 2x －sin 2x 2⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x sin x＝(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )(cos x －sin x )sin x.由(1)知cos x －sin x ≠0，所以上式＝cos x ＋sin xsin x＝cot x ＋1＝⎝⎛⎭⎫－34＋1＝14. 21．已知向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(22＋sin x,22－cos x )，函数f (x )＝m·n ，x ∈R . (1)求函数f (x )的最大值；(2)若x ∈⎝⎛⎭⎫－3π2，－π且f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12的值． [解] (1)因为f (x )＝m·n ＝cos x (22＋sin x )＋sin x (22－cos x ) ＝22(sin x ＋cos x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4(x ∈R )， 所以f (x )的最大值是4.(2)因为f (x )＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝14. 又因为x ∈⎝⎛⎭⎫－3π2，－π，即x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫－5π4，－3π4.所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－154. cos ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos π6－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin π615 4×32－14×12＝－35＋18.＝－。
新广东高考人教版理科数学二轮复习方略教师配套作业3.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含答案解析)
课时提升作业(二十一)一、选择题1.函数f(x)=1-2sin2x是()(A)最小正周期为2π的奇函数(B)最小正周期为2π的偶函数(C)最小正周期为π的奇函数(D)最小正周期为π的偶函数2.(2013·揭阳模拟)在△ABC中,tanA+tanB+=tanA·tanB,则C等于()(A)(B)(C)(D)3.(2013·广州模拟)已知-<α<,sin(-α)=,则sinα=()(A)(B)(C)(D)4.函数f(x)=cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数,则θ为()(A)kπ(k∈Z) (B)kπ+(k∈Z)(C)kπ+(k∈Z) (D)-kπ-(k∈Z)5.(2013·阳江模拟)设sin(+θ)=,则sin2θ等于()(A)-(B)(C)(D)6.(2013·佛山模拟)定义运算a⊕b=ab2+a2b,则sin15°⊕cos15°=()(A)(B)(C)(D)二、填空题7.化简:sin2x+2sinxcosx+3cos2x=.8.(2013·唐山模拟)已知:0°<α<90°,0°<α+β<90°,3sinβ=sin(2α+β),则tanβ的最大值是.9.(2013·深圳模拟)若cos(α-)=,则sin2α=.三、解答题10.(2013·东莞模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,|φ|<.(1)若cos cosφ-sin sinφ=0,求φ的值.(2)在(1)的条件下,若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,①求函数f(x)的解析式;②求最小正实数m,使得函数f(x)的图象向左平移m个单位时对应的函数是偶函数.11.(能力挑战题)已知函数f(x)=sin sin(+).(1)求函数f(x)在[-π,0]上的单调区间.(2)已知角α满足α∈(0,),2f(2α)+4f(-2α)=1,求f(α)的值.12.(能力挑战题)函数f(x)=sin2x--.(1)若x∈[,],求函数f(x)的最值及对应的x的值.(2)若不等式[f(x)-m]2<1在x∈[,]上恒成立,求实数m的取值范围.答案解析1.【解析】选D.∵f(x)=1-2sin2x=cos2x,∴T===π.∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.2.【解析】选A.由题意得,tanA+tanB=-(1-tanAtanB),∴=-,即tan(A+B)=-,∴tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=,∵0<C<π,∴C=.3.【解析】选A.∵-<α<,∴-<-α<.又sin(-α)=,∴cos(-α)=,∴sinα=sin[-(-α)]=.4.【解析】选D.由已知得,f(x)=2[cos(3x-θ)-sin(3x-θ)]=2sin(-3x+θ)=-2sin(3x--θ).∵f(x)是奇函数,∴--θ=kπ(k∈Z).故θ=-kπ-(k∈Z).5.【解析】选A.方法一:利用公式:(sinθ+cosθ)2=1+ 2sinθcosθ=1+sin2θ.由sin(+θ)=,得(sinθ+cosθ)=,化简得sinθ+cosθ=.两边平方得1+sin2θ=.从而sin2θ=-,方法二:变角利用二倍角余弦公式:cos2θ=1-2sin2θ.sin2θ=-cos(+2θ)=-cos[2(+θ)]=2sin2(+θ)-1=-.6.【解析】选A.根据新定义可得sin15°⊕cos15°=sin15°(cos15°)2+(sin15°)2cos15°,即sin15°⊕cos15°=sin15°cos15°(sin15°+cos15°),由sin15°cos15°=sin30°=,且(sin15°+cos15°)2=1+sin30°=,所以sin15°+cos15°=,sin15°⊕cos15°=,所以选A. 7.【解析】原式=2sinxcosx+2cos2x+cos2x+sin2x=sin2x+1+cos2x+1=sin(2x+)+2答案:sin(2x+)+28.【解析】由3sinβ=sin(2α+β)得3sin(α+β-α)=sin(α+β+α),化简得sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα,∴tan(α+β)=2tanα,∴tanβ=tan(α+β-α)===.由题意知,tanα>0,∴+2tanα≥2(当且仅当=2tanα,即tanα=时等号成立),∴tanβ的最大值为=.答案:【方法技巧】三角函数和差公式的灵活应用(1)三角函数和差公式在三角函数式的化简和求值中经常用到,因此公式的灵活应用非常关键,公式可以正用、逆用、变形应用.(2)逆用关键在于构造公式的形式,方法是通过三角恒等变换,出现和或差的形式,即出现能逆用公式的条件;有时通过两式平方相加减,利用平方关系式,切函数化成弦函数等技巧.9.【解析】sin2α=cos(-2α)=2cos2(α-)-1=-.答案:-10.【解析】方法一:(1)由cos cosφ-sin sinφ=0得cos cosφ-sin sinφ=0.即cos(+φ)=0,又|φ|<,∴φ=.(2)①由(1)得,f(x)=sin(ωx+).依题意,=,又T=⇒ω=3.故f(x)=sin(3x+).②函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)=sin[3(x+m)+],g(x)是偶函数当且仅当3m+=kπ+(k∈Z),即m=+(k∈Z),从而,最小正实数m=.方法二:(1)同方法一.(2)①同方法一.②函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)=sin[3(x+m)+],g(x)是偶函数当且仅当g(-x)=g(x)对任意x∈R恒成立,亦即sin(-3x+3m+)=sin(3x+3m+)对x∈R恒成立.∴sin(-3x)cos(3m+)+cos(-3x)sin(3m+)=sin3xcos(3m+)+cos3xsin(3m+),即2sin3xcos(3m+)=0对任意x∈R恒成立.∴cos(3m+)=0.故3m+=kπ+(k∈Z),∴m=+(k∈Z).从而,最小正实数m=.11.【思路点拨】(1)利用诱导公式及倍角公式化简f(x)的解析式后可求.(2)利用已知将条件代入,整理成单角α的三角函数关系式后可解.【解析】f(x)=sin sin(+)=sin cos=sinx.(1)函数f(x)的单调递减区间为[-π,-],单调递增区间为[-,0].(2)2f(2α)+4f(-2α)=1⇒sin2α+2sin(-2α)=1⇒2sinαcosα+2(cos2α-sin2α)=1⇒cos2α+2sinαcosα-3sin2α=0⇒(cosα+3sinα)(cosα-sinα)=0.∵α∈(0,),∴cosα-sinα=0⇒tanα=1得α=,故sinα=,∴f(α)=sinα=.【变式备选】若向量m=(sinωx,0),n=(cosωx,-sinωx)(ω>0),在函数f(x)=m·(m+n)+t的图象中,对称中心到对称轴的最小距离为,且当x∈[0,]时,f(x)的最大值为1.(1)求函数f(x)的解析式.(2)求函数f(x)的单调递增区间.【解析】(1)由题意得f(x)=m·(m+n)+t=m2+m·n+t=3sin2ωx+sinωx·cosωx+t=-cos2ωx+sin2ωx+t=sin(2ωx-)++t.∵对称中心到对称轴的最小距离为,∴f(x)的最小正周期为T=π.∴=π,∴ω=1.∴f(x)=sin(2x-)++t,当x∈[0,]时,2x-∈[-,],∴当2x-=,即x=时,f(x)取得最大值3+t.∵当x∈[0,]时,f(x)max=1,∴3+t=1,∴t=-2,∴f(x)=sin(2x-)-.(2)由(1)知f(x)=sin(2x-)-.2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,2kπ-≤2x≤2kπ+π,kπ-≤x≤kπ+π,∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+π] (k∈Z).12.【思路点拨】(1)先利用所学公式把f(x)变换成f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式.利用所给x的范围,求得最值及对应x的值.(2)利用不等式变换转化成不等式恒成立问题求解.【解析】(1)f(x)=sin 2x--=sin 2x-cos 2x-1=sin(2x-)-1,∵x∈[,],∴≤2x-≤,当2x-=,即x=时,f(x)max=0,当2x-=,即x=时,f(x)min=-.(2)方法一:∵[f(x)-m]2<1(x∈[,])⇔f(x)-1<m<f(x)+1(x∈[,]),∴m>f(x)max-1且m<f(x)min+1,故m的取值范围为(-1,).方法二:∵[f(x)-m]2<1⇔m-1<f(x)<m+1,∴m-1<-且m+1>0,故-1<m<,故m的取值范围是(-1,).。
广东省高考数学第二轮复习 专题三 三角函数及解三角形
专题三 三角函数及解三角形第2讲 三角恒等变换及解三角形真题试做1．(2012·重庆高考，理5)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．32．(2012·山东高考，理7)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )． A.35 B.45 C.74 D.343．(2012·天津高考，理6)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )．A.725 B ．－725 C ．±725 D.24254．(2012·湖北高考，理11)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.5．(2012·广东高考，理16)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β) 的值．考向分析本部分主要考查三角函数的基本公式，三角恒等变形及解三角形等基本知识．近几年高考题目中每年有1～2个小题，一个大题，解答题以中低档题为主，很多情况下与平面向量综合考查，有时也与不等式、函数最值结合在一起，但难度不大，而三角函数与解三角形相结合，更是考向的主要趋势．三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的三角变换思想．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来命题将是今后高考的一个关注点，不可小视．热点例析热点一 三角恒等变换及求值【例1】已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值． 规律方法 明确“待求和已知三角函数间的差异”是解决三角函数化简、求值、证明问题的关键．三角恒等变换的常用策略有：(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等． (2)项的分拆与角的配凑：①二倍角只是个相对概念，如α3是α6的二倍角，α＋β是α＋β2的二倍角等；②α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β，α＝(α－β)＋β等；③熟悉公式的特点，正用或逆用都要灵活，特别对以下几种变形更要牢记并会灵活运用：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，cos α＝sin 2α2sin α等．(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂．(4)角的合成及三角函数名的统一：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a.变式训练1 已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为6π.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2的值； (2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，f ⎝⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝－1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． 热点二 三角函数、三角形与向量等知识的交会【例2】在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，m ＝(2b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，且m ∥n .(1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B 的值域．规律方法 以解三角形为命题形式考查三角函数是“众望所归”：正余弦定理的应用，难度适中，运算量适度，方向明确(化角或化边)．(1)利用正弦定理将角化为边时，实际上是把角的正弦替换为所对边与外接圆直径的比值．(2)求角的大小一定要有两个条件：①是角的范围；②是角的某一三角函数值．用三角函数值判断角的大小时，一定要注意角的范围及三角函数的单调性的应用．(3)三角形的内角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性．在三角形中，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值均为正值⇔任意两角的和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方．变式训练2 (2012·广东肇庆一模，理18)已知△ABC 的面积为22，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝3，b ＝4,0°＜C ＜90°.(1)求sin(A ＋B )的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π4的值； (3)求向量CB →，AC →的数量积CB →·AC →. 热点三 正、余弦定理的实际应用【例3】某城市有一条公路，自西向东经过A 点到市中心O 点后转向东北方向OB .现要修建一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段．现要求市中心O 与AB 的距离为10 km ，问把A ，B 分别设在公路上离市中心O 多远处才能使A ，B 之间的距离最短？并求最短距离．(结果保留根号)规律方法(1)三角形应用题主要是解决三类问题：测高度、测距离和测角度．(2)在解三角形时，要根据具体的已知条件合理选择解法，同时，不可将正弦定理与余弦定理割裂开来，有时需综合运用．(3)在解决与三角形有关的实际问题时，首先要明确题意，正确画出平面图形或空间图形，然后根据条件和图形特点将问题归纳到三角形中解决．要明确先用哪个公式或定理，先求哪些量，确定解三角形的方法．在演算过程中，要算法简练、算式工整、计算正确，还要注意近似计算的要求．(4)在画图和识图过程中要准确理解题目中所涉及的几种角，如仰角、俯角、方位角，以防出错．(5)有些时候也必须注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等．变式训练3 如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α，前进m km后在B处测得该岛的方位角为北偏东β，已知该岛周围n km范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件__________时，该船没有触礁危险．思想渗透化归转化思想——解答三角恒等变换问题求解恒等变换问题的思路：一角二名三结构，即用化归转化的思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)变角：首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心；(2)变名：其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”，诱导公式的运用； (3)结构：再次观察代数式的结构特点，降幂与升幂，巧用“1”的代换等．【典型例题】(2012·福建高考，文20)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解法一：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.解法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.1．已知3cos x －sin x ＝－65，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝( )．A.35 B ．－35 C.65 D ．－65 2．在△ABC 中，如果0＜tan A tan B ＜1，那么△ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定3．(2012·山东烟台适用性测试一，5)已知倾斜角为α的直线l 与直线x －2y ＋2＝0平行，则tan 2α的值为( )．A.45B.43 C.34D.234．(2012·江西南昌二模，5)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的值是( )．A ．－233B ．±233C ．－1D ．±15．(2012·山东淄博一模，10)在△ABC 中，已知b cos C ＋c cos B ＝3a cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，则cos B 的值为( )．A.13 B ．－13 C.223 D ．－2236．已知sin x ＝5－12，则sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝______.7．(2012·湖南长沙模拟，18)已知函数f (x )＝3sin 2x ＋23sin x cos x ＋5cos 2x .(1)若f (α)＝5，求tan α的值；(2)设△ABC 三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos B cos C ＝b2a －c，求f (x )在(0，B ]上的值域．8．(2012·广东广州二模，16)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3(A ＞0，ω＞0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，－2.(1)求A 和ω的值；(2)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝45，求f (α)的值．参考答案命题调研·明晰考向真题试做1．A 解析：因为tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，所以tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，而tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝31－2＝－3，故选A. 2．D 解析：由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. 又sin 2θ＝378，故cos 2θ＝－18.故sin θ＝1－cos 2θ2＝34. 3．A 解析：在△ABC 中，由正弦定理：b sin B ＝csin C，∴sin C sin B ＝c b ， ∴sin 2B sin B ＝85，∴cos B ＝45. ∴cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725.4.2π3 解析：∵由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，整理可得，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12，∴C ＝2π3. 5．解：(1)因为函数f (x )的最小正周期为2πω＝10π，解得ω＝15.(2)由(1)，可知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π6，∵－65＝f ⎝⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＋π6 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－2sin α， ∴sin α＝35，cos α＝45.∵1617＝f ⎝⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＋π6＝2cos β， ∴cos β＝817，sin β＝1517.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝45×817－35×1517＝－1385. 精要例析·聚焦热点热点例析【例1】 解：(1)∵f (x )＝1＋cos x －3sin x＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴函数f (x )的最小正周期为2π.又∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1，∴函数f (x )的值域为[－1,3]．(2)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13， ∴1＋2cos α＝13，即cos α＝－13.∵cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α ＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)2cos α(cos α－sin α)＝cos α＋sin α2cos α，又∵α为第二象限角，且cos α＝－13，∴sin α＝223.∴原式＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.【变式训练1】 解：(1)f (x )＝3sin ωx －cos ωx＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin ωx －12cos ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6. ∵函数f (x )的最小正周期为6π，∴T ＝2πω＝6π，即ω＝13.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13×32π－π6＝2sin π3＝ 3.(2)f ⎝⎛⎭⎪⎫3α＋π2 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13⎝⎛⎭⎪⎫3α＋π2－π6 ＝2sin α＝－1013，∴sin α＝－513.f (3β＋2π)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13(3β＋2π)－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π2＝2cos β＝65， ∴cos β＝35.∵α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0， ∴cos α＝1－sin 2α＝1213，sin β＝－1－cos 2β＝－45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665.【例2】 解：(1)由m ∥n ，得(2b －c )cos A －a cos C ＝0， ∴(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0， 2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B ， 在锐角三角形ABC 中，sin B ＞0，∴cos A ＝12，故A ＝π3.(2)在锐角三角形ABC 中，A ＝π3，故π6＜B ＜π2.∴y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B ＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋32sin 2B＝1＋32sin 2B －12cos 2B ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6. ∵π6＜B ＜π2，∴π6＜2B －π6＜5π6. ∴12＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6≤1，32＜y ≤2. ∴函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B 的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤32，2.【变式训练2】 解：(1)由12ab sin C ＝2，即12×3×4sin C ＝22，得sin C ＝23. ∵A ＋B ＝180°－C ，∴sin(A ＋B )＝sin(180°－C )＝sin C ＝23. (2)由(1)，得sin C ＝23. ∵0°＜C ＜90°，∴cos C ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫232＝73. ∴cos 2C ＝2cos 2C －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫732－1＝59.∴sin 2C ＝2sin C cos C ＝2×23×73＝2149. ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π4＝cos 2C cos π4－sin 2C sin π4＝59×22－2149×22＝－52－4718. (3)∵|CB u u u r |＝a ＝3，|AC u u u r|＝b ＝4，设向量CB u u u r 与CA u u u r所成的角为θ，则θ＝180°－C .∴CB u u u r ·AC u u u r ＝|CB u u u r |·|AC u u u r |cos θ＝ab cos(180°－C )＝－ab cos C＝－3×4×73＝－47.【例3】解：在△AOB 中，设OA ＝a ，OB ＝b . 因为OA 为正西方向，OB 为东北方向， 所以∠AOB ＝135°.又O 到AB 的距离为10，所以S △ABO ＝12ab sin 135°＝12|AB |·10，得|AB |＝220ab .设∠OAB ＝α，则∠OBA ＝45°－α.因为a ＝10sin α，b ＝10sin(45°－α)，所以ab ＝10sin α·10sin(45°－α)＝100sin α·sin (45°－α)＝100sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos α－22sin α＝10024sin 2α－24(1－cos 2α)＝4002sin(2α＋45°)－2≥4002－2. 当且仅当α＝22°30′时，“＝”成立．所以|AB |≥220×4002－2＝20(2＋1)．当且仅当α＝22°30′时，“＝”成立．所以，当a ＝b ＝10sin 22°30′＝102(2＋2)时，A ，B 之间的距离最短，且最短距离为20(2＋1) km.即当A ，B 分别在OA ，OB 上离市中心O 102(2＋2) km 处时，能使A ，B 之间的距离最短，最短距离为20(2＋1) km.【变式训练3】 m cos αcos β＞n sin(α－β)解析：∠MAB ＝90°－α，∠MBC ＝90°－β＝∠MAB ＋∠AMB ＝90°－α＋∠AMB ， 所以∠AMB ＝α－β.由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BMsin(90°－α)＝msin(α－β)，解得BM ＝m cos αsin(α－β).要使船没有触礁危险，需要BM sin(90°－β)＝m cos αcos βsin(α－β)＞n ，所以α与β满足m cos αcos β＞n sin(α－β)时，该船没有触礁危险．创新模拟·预测演练1．B 解析：由3cos x －sin x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos x －cos π3sin x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ， 可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－35. 2．C 解析：由题意0＜A ＜π，0＜B ＜π，tan A tan B ＞0，则A ，B 两角为锐角，又tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B＞0，则A ＋B 为锐角，则角C 为钝角，故选C.3．B 解析：已知倾斜角为α的直线l 与直线x －2y ＋2＝0平行，则tan α＝12，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝134＝43.4．C 解析：cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋cos x cos π3＋sin x sin π3＝32cos x ＋32sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－1.5．A 解析：因为b cos C ＋c cos B ＝3a cos B ， 所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝3sin A cos B ，即sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，即cos B ＝13.6．2－ 5 解析：sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x ＝－(1－2sin 2x )＝2sin 2x －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5－122－1＝3－5－1＝2－ 5.7．解：(1)由f (α)＝5，得3sin 2α＋23sin αcos α＋5cos 2α＝5，∴3·1－cos 2α2＋3sin 2α＋5·1＋cos 2α2＝5.∴3sin 2α＋cos 2α＝1，即3sin 2α＝1－cos 2α⇒23sin αcos α＝2sin 2α，∴sin α＝0或tan α＝ 3.∴tan α＝0或tan α＝ 3.(2)由cos B cos C ＝b 2a －c ，得cos B cos C ＝sin B 2sin A －sin C，则cos B ＝12，即B ＝π3.又f (x )＝3sin 2x ＋23sin x cos x ＋5cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋4，由0＜x ≤π3，可得12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， 故5≤f (x )≤6，即所求值域是[5,6]．8．解：(1)∵函数f (x )的图象的最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，∴A ＝2.依题意，得函数f (x )的周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π， ∴ω＝2πT＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝45，∴cos α＝1－sin 2α＝35.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝1－2sin 2α＝－725.- 11 - ∴f (α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin 2αcos π3－cos 2αsin π3 ＝24＋7325.。
新广东高考人教版理科数学二轮复习方略教师配套作业6.5合情推理与演绎推理(含答案解析)
课时提升作业(三十九)一、选择题1.已知f(x+1)=,f(1) =1(x∈N*),猜想f(x)的表达式为()(A)f(x)=(B)f(x)=(C)f(x)=(D)f(x)=2.推理“①矩形是平行四边形;②正方形是矩形;③正方形是平行四边形”中的小前提是()(A)①(B)②(C)③(D)以上均错3.(2013·太原模拟)如图是2012年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是()4.记S n是等差数列{a n}前n项的和,T n是等比数列{b n}前n项的积,设等差数列{a n}公差d≠0,若对小于2011的正整数n,都有S n=S2011-n成立,则推导出a1006=0.设等比数列{b n}的公比q≠1,若对于小于23的正整数n,都有T n=T23-n成立,则()(A)b11=1 (B)b12=1 (C)b13=1 (D)b14=15.三段论:“①所有的中国人都坚强不屈;②玉树人是中国人;③玉树人一定坚强不屈”中,其中“大前提”和“小前提”分别是()(A)①②(B)①③(C)②③(D)②①6.将石子摆成如图的梯形形状.称数列5,9,14,20,…为“梯形数列”.根据图形的构成,此数列的第2012项与5的差,即a2012-5=()(A)1009×2011(B)1009×2010(C)1009×2009(D)1010×20117.已知f1(x)=sinx+cosx,记f2(x)=f′1(x),f3(x)=f′2(x),…,f n(x)=f′n-1(x)(n∈N*且n≥2),则f1()+f2()+…+f2012()=()(A) 503(B)1 006(C)0(D)2 0128.对于平面上的点集Ω,如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω,则称Ω为平面上的凸集,给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界):其中为凸集的是()(A)①②(B)②③(C)③④(D)①④二、填空题9.(2013·惠州模拟)在长方形中,设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α,β,则有cos2α+cos2β=1;类比到空间,在长方体中,一条体对角线与从其一顶点出发的三条棱所成的角分别为α,β,γ,则正确的式子是.10.(2013·佛山模拟)观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第五个等式为.11.给出下列命题:①演绎推理是由一般到特殊的推理;②演绎推理得到的结论一定是正确的;③演绎推理的一般模式是“三段论”形式;④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.其中正确命题为.12.(能力挑战题)已知P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p>0)上的一点,过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得:在y2=2px两边同时求导,得:2yy′=2p,则y′=,所以过P的切线的斜率:k=.试用上述方法求出双曲线x2-=1在P (,)处的切线方程为.三、解答题13.(能力挑战题)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.(1)求出f(5).(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系式,并根据你得到的关系式求f(n)的关系式.答案解析1.【解析】选B.∵f(1)=1,∴f(2)==,f(3)===,f(4)==,…,由此可猜想f(x)=.2.【解析】选B.①是大前提,③是结论,②是小前提.3.【解析】选A.观察可知:该五角星对角上的两盏花灯(相连亮的看成一盏)依次按顺时针方向隔一盏闪烁,故下一个呈现出来的图形是A.4.【解析】选B.由等差数列中S n =S 2011-n ,可导出中间项a 1006=0,类比得等比数列中T n =T 23-n ,可导出中间项b 12=1.5.【思路点拨】根据三段论的结构特征即可解决,务必要分清大前提、小前提及结论. 【解析】选A.解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质:大前提是一个“一般性的命题”(①所有的中国人都坚强不屈),小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件”(②玉树人是中国人),结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论”(③玉树人一定坚强不屈).6.【思路点拨】观察已知的三个图形中点的个数及其规律,从而得到一般结论,再求a 2012,得到表达式后通过化简变形与选项对照得出正确答案.【解析】选A.由给出的三个图形可知,第n 个图形中共有2+3+4+…+(n+2)=个点,因此数列的第2012项为a 2012=,于是a 2012-5=-5=1 008×2013-5=1 009×2013-2 013-5=1 009×2 011+2 018- 2 013-5=1 009×2011.7.【思路点拨】先观察,归纳出f n (x)的解析式的周期,再代入求解. 【解析】选C.由已知可得f 1(x)=sinx+cosx,f 2(x)=cosx-sinx,f 3(x)=-sinx-cosx,f 4(x)=sinx-cosx,f 5(x)=sinx+cosx,…,因此f 1()+f 2()+…+f 2 012() =503[f 1()+f 2()+f 3()+f 4()]=503(1-1-1+1)=0.8.【思路点拨】根据凸集的定义,结合图形的形状特征即可判定. 【解析】选B.根据凸集的定义,结合图形任意连线可得②③为凸集. 9. 【解析】如图,可知cos α=b l ,cos β=a l ,cos γ=c l, 而l 2=a 2+b 2+c 2,所以cos 2α+cos 2β+cos 2γ=222b ac ++l l l=1.答案:cos2α+cos2β+cos2γ=110.【解析】由13+23=(1+2)2=32;13+23+33=(1+2+3)2=62;13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102得,第五个等式为13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212.答案:13+23+33+43+53+63=212【变式备选】设函数f(x)=(x>0),观察:f1(x)=f(x)=, f2(x)=f(f1(x))=,f3(x)=f(f2(x))=,故f n(x)=.【解析】根据题意知,分子都是x,分母中的常数项依次是2,4,8,16,…可知f n(x)的分母中常数项为2n,分母中x的系数为2n-1,故f n(x)=.答案:11.【解析】演绎推理是由一般到特殊的推理,但是如果前提是错误的,则结论一定错误,演绎推理结论的正误与大前提、小前提是否正确,以及是否符合三段论的推理形式都有关系,所以①③④正确.答案:①③④12.【解析】用类比的方法对=x2-1两边同时求导得,yy′=2x,∴y′=,∴y′===2,∴切线方程为y-=2(x-),∴2x-y-=0.答案:2x-y-=0【变式备选】设等差数列{a n}的前n项和为S n,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列,类比以上结论有:设等比数列{b n}的前n项积为T n,则T4,,,成等比数列.【解析】根据等比数列的性质知,b1·b2·b3·b4,b5·b6·b7·b8,b9·b10·b11·b12,b13·b14·b15·b16成等比数列,∴T4,,,成等比数列.答案:13.【解析】(1)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,∴f(5)=25+4×4=41.(2)由f(2)-f(1)=4=4×1.f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)=16=4×4,…得f(n+1)-f(n)=4n.∴f(2)-f(1)=4×1,f(3)-f(2)=4×2,f(4)-f(3)=4×3,…f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2),f(n)-f(n-1)=4·(n-1)∴f(n)-f(1)=4[1+2+…+(n-2)+(n-1)] =2n(n-1),∴f(n)=2n2-2n+1.。
「精选」人教版最新高中数学高考总复习简单的三角恒等变换习题及详解及参考答案-精选文档
高中数学高考总复习简单的三角恒等变换习题(附参考答案)一、选择题1．(文)(2010·山师大附中模考)设函数f (x )＝cos 2(x ＋π4)－sin 2(x ＋π4)，x ∈R ，则函数f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] A[解析] f (x )＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x 为奇函数，周期T ＝2π2＝π.(理)(2010·辽宁锦州)函数y ＝sin 2x ＋sin x cos x 的最小正周期T ＝( ) A ．2πB ．πC.π2D.π3[答案] B[解析] y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos2x 2＋12sin2x ＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，∴最小正周期T ＝π. 2．(2010·重庆一中)设向量a ＝(cos α，22)的模为32，则cos2α＝( ) A ．－14B ．－12C.12D.32[答案] B[解析] ∵|a |2＝cos 2α＋⎝⎛⎭⎫222＝cos 2α＋12＝34，∴cos 2α＝14，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－12.3．已知tan α2＝3，则cos α＝( )A.45B ．－45C.415D ．－35[答案] B[解析] cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－91＋9＝－45，故选B.4．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角的三角形 [答案] B[解析] ∵sin A sin B ＝cos 2C2，∴12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12(1＋cos C )， ∴cos(A －B )－cos(π－C )＝1＋cos C ， ∴cos(A －B )＝1，∵－π<A －B <π，∴A －B ＝0， ∴△ABC 为等腰三角形．5．(2010·绵阳市诊断)函数f (x )＝2sin(x －π2)＋|cos x |的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π[答案] C[解析] f (x )＝－2cos x ＋|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos x cos x ≥0－3cos x cos x <0，画出图象可知周期为2π. 6．(2010·揭阳市模考)若sin x ＋cos x ＝13，x ∈(0，π)，则sin x －cos x 的值为( )A ．±173B ．－173C.13D.173[答案] D[解析] 由sin x ＋cos x ＝13两边平方得，1＋2sin x cos x ＝19，∴sin2x ＝－89<0，∴x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴(sin x －cos x )2＝1－sin2x ＝179且sin x >cos x ，∴sin x －cos x ＝173，故选D. 7．(文)在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x ，y 的大小关系是( ) A ．x ≤y B ．x ＜y C ．x ≥yD ．x ＞y[答案] D[解析] ∵π>A ＋B ＞π2，∴cos(A ＋B )＜0，即cos A cos B －sin A sin B ＜0，∴x ＞y ，故应选D.(理)(2010·皖南八校)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，如果cos(2B ＋C )＋2sin A sin B <0，那么a 、b 、c 满足的关系是( )A ．2ab >c 2B ．a 2＋b 2<c 2C ．2bc >a 2D ．b 2＋c 2<a 2[答案] B[解析] ∵cos(2B ＋C )＋2sin A sin B <0，且A ＋B ＋C ＝π， ∴cos(π－A ＋B )＋2sin A ·sin B <0，∴cos(π－A )cos B －sin(π－A )sin B ＋2sin A sin B <0， ∴－cos A cos B ＋sin A sin B <0，即cos(A ＋B )>0， ∴0<A ＋B <π2，∴C >π2，由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，∴a 2＋b 2－c 2<0，故应选B.8．(2010·吉林省调研)已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin 4x －cos 4x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π2个单位长度D ．向右平移π4个单位长度[答案] D[解析] y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＝－cos2x ，将f (x )＝a ·b ＝2sin x cos x ＝sin2x ，向右平移π4个单位得，sin2⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－cos2x ，故选D. 9．(2010·浙江金华十校模考)已知向量a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π，若a ·b ＝25，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A.13B.27C.17D.23[答案] C[解析] a ·b ＝cos2α＋2sin 2α－sin α＝1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝1－sin α＝25，∴sin α＝35，∵π4<α<π，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34， ∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17. 10．(2010·湖北黄冈模拟)若5π2≤α≤7π2，则1＋sin α＋1－sin α等于( ) A ．－2cos α2B ．2cos α2C ．－2sin α2D ．2sin α2[答案] C[解析] ∵5π2≤α≤7π2，∴5π4≤α2≤7π4.∴1＋sin α＋1－sin α ＝1＋2sin α2cos α2＋1－2sin α2cos α2＝(sin α2＋cos α2)2＋(sin α2－cos α2)2 ＝－(sin α2＋cos α2)－(sin α2－cos α2)＝－2sin α2.二、填空题11．(2010·广东罗湖区调研)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，则cos2θ＝________. [答案] －725[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，∴cos θ＝35，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝－725.12．(2010·江苏无锡市调研)函数y ＝tan x －tan 3x1＋2tan 2x ＋tan 4x 的最大值与最小值的积是________．[答案] －116[解析] y ＝tan x －tan 3x 1＋2tan 2x ＋tan 4x ＝tan x (1－tan 2x )(1＋tan 2x )2＝tan x 1＋tan 2x ·1－tan 2x 1＋tan 2x ＝sin x cos xcos 2x ＋sin 2x ＋cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x＝12sin2x ·cos2x ＝14sin4x ， 所以最大与最小值的积为－116. 13．(2010·浙江杭州质检)函数y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°)，(x ∈R )的最大值是________． [答案] 1[解析] y ＝sin x cos10°＋cos x sin10°＋cos x cos40°－sin x sin40°＝(cos10°－sin40°)sin x ＋(sin10°＋cos40°)cos x ，其最大值为(cos10°－sin40°)2＋(sin10°＋cos40°)2 ＝2＋2(sin10°cos40°－cos10°sin40°) ＝2＋2sin (－30°)＝1.14．(文)如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD ⊥AB 于点D ，且AD ＝3DB ，设∠COD ＝θ，则tan 2θ2＝________.[答案] 13[解析] 设OC ＝r ，∵AD ＝3DB ，且AD ＋DB ＝2r ，∴AD ＝3r 2，∴OD ＝r 2，∴CD ＝32r ，∴tan θ＝CDOD＝3，∵tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2，∴tan θ2＝33(负值舍去)，∴tan 2θ2＝13.(理)3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝________. [答案] －4 3 [解析] 3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝3(sin12°－3cos12°)2cos24°sin12°cos12°＝23sin (12°－60°)12sin48°＝－4 3.三、解答题15．(文)(2010·北京理)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．[解析] (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1 ＝3(cos x －23)2－73，x ∈R因为cos x ∈[－1,1]，所以当cos x ＝－1时，f (x )取最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取最小值－73. (理)(2010·广东罗湖区调研)已知a ＝(cos x ＋sin x ，sin x )，b ＝(cos x －sin x,2cos x )，设f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值及最小值． [解析] (1)f (x )＝a ·b ＝(cos x ＋sin x )·(cos x －sin x )＋sin x ·2cos x ＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x ＝cos2x ＋sin2x ＝2⎝⎛⎭⎫22cos2x ＋22sin2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∴f (x )的最小正周期T ＝π. (2)∵0≤x ≤π2，∴π4≤2x ＋π4≤5π4，∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )有最大值2；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )有最小值－1.16．(文)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f (C 2)＝－14，且C 为锐角，求sin A 的值．[解析] (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋1－cos2x 2＝12－32sin2x ， 所以函数f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)f (C 2)＝12－32sin C ＝－14，所以sin C ＝32，因为C 为锐角，所以C ＝π3，在△ABC 中，cos B ＝13，所以sin B ＝223，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36. (理)已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON →＝－15.(1)求tan2A 的值；(2)求2cos 2A2－3sin A －12sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值．[解析] (1)∵OM →·ON →＝(sin B ＋cos B )sin C ＋ cos C (sin B －cos B )＝sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15，∴sin A ＋cos A ＝－15①两边平方并整理得：2sin A cos A ＝－2425，∵－2425<0，∴A ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴sin A －cos A ＝1－2sin A cos A ＝75②联立①②得：sin A ＝35，cos A ＝－45，∴tan A ＝－34，∴tan2A ＝2tan A 1－tan 2A＝－321－916＝－247. (2)∵tan A ＝－34，∴2cos 2A2－3sin A －12sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝cos A －3sin A cos A ＋sin A ＝1－3tan A1＋tan A＝1－3×⎝⎛⎭⎫－341＋⎝⎛⎭⎫－34＝13.17．(文)(2010·厦门三中阶段训练)若函数f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax (a >0)的图象与直线y ＝m 相切，相邻切点之间的距离为π2.(1)求m 和a 的值；(2)若点A (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象的对称中心，且x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求点A 的坐标． [解析] (1)f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax ＝1－cos2ax 2－32sin2ax ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ax ＋π6＋12， 由题意知，m 为f (x )的最大值或最小值， 所以m ＝－12或m ＝32，由题设知，函数f (x )的周期为π2，∴a ＝2，所以m ＝－12或m ＝32，a ＝2.(2)∵f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋12， ∴令sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＝0，得4x ＋π6＝k π(k ∈Z )， ∴x ＝k π4－π24(k ∈Z )，由0≤k π4－π24≤π2 (k ∈Z )，得k ＝1或k ＝2，因此点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫5π24，12或⎝⎛⎭⎫11π24，12.(理)(2010·广东佛山顺德区检测)设向量a ＝(sin x,1)，b ＝(1，cos x )，记f (x )＝a ·b ，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的最大值和最小正周期； (2)若f (x )＝2f ′(x )，求1＋2sin 2xcos 2x －sin x cos x 的值．[解析] (1)f (x )＝sin x ＋cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －sin x ， ∴F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x ) ＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x＝cos2x ＋sin2x ＋1＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，F (x )max ＝1＋ 2.最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)∵f (x )＝2f ′(x )，∴sin x ＋cos x ＝2cos x －2sin x ， ∴cos x ＝3sin x ，∴tan x ＝13，∴1＋2sin 2x cos 2x －sin x cos x ＝3sin 2x ＋cos 2x cos 2x －sin x cos x ＝3tan 2x ＋11－tan x ＝2.。
新广东高考数学理科步步高二轮复习热点突破3.2三角变换与解三角形(含答案解析)
第2讲 三角变换与解三角形热点一 三角变换例1 (1)已知sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos(α＋2π3)等于( )A ．－45B ．－35C.45D.35(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2思维启迪 (1)利用和角公式化简已知式子，和cos(α＋23π)进行比较．(2)先对已知式子进行变形，得三角函数值的式子，再利用范围探求角的关系． 答案 (1)C (2)B解析 (1)∵sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，∴32sin α＋32cos α＝－435， ∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴cos(α＋2π3)＝cos αcos 2π3－sin αsin 2π3＝－12cos α－32sin α＝45.(2)由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，∴由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．设函数f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期和最大值；(2)若θ是第二象限角，且f (θ2)＝0，求cos 2θ1＋cos 2θ－sin 2θ的值．解 (1)f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x ＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x 2＝12－32sin 2x .所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，最大值为1＋32.(2)因为f (θ2)＝0，所以12－32sin θ＝0，即sin θ＝33，又θ是第二象限角， 所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－63. 所以cos 2θ1＋cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ2cos 2θ－2sin θcos θ＝θ＋sin θθ－sin θ2cos θθ－sin θ＝cos θ＋sin θ2cos θ＝－63＋33－63＝6－326＝2－24.热点二 解三角形例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a ＝2sin A ，cos B cos C ＋2a c ＋bc ＝0.(1)求边c 的大小；(2)求△ABC 面积的最大值．思维启迪 (1)将cos B cos C ＋2a c ＋bc ＝0中的边化成角，然后利用和差公式求cos C ，进而求c .(2)只需求ab 的最大值，可利用cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 和基本不等式求解．解 (1)∵cos B cos C ＋2a c ＋bc＝0， ∴c cos B ＋2a cos C ＋b cos C ＝0，∴sin C cos B ＋sin B cos C ＋2sin A cos C ＝0， ∴sin A ＋2sin A cos C ＝0， ∵sin A ≠0，∴cos C ＝－12，∵C ∈(0，π)∴C ＝2π3，∴c ＝a sin A·sin C ＝ 3.(2)∵cos C ＝－12＝a 2＋b 2－32ab，∴a 2＋b 2＋ab ＝3，∴3ab ≤3，即ab ≤1. ∴S △ABC ＝12ab sin C ≤34.∴△ABC 的面积最大值为34. 思维升华 三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破． 几种常见变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 外接圆的半径； (3)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C .(1)(2014·广东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C＋c cos B ＝2b ，则ab＝________.(2)(2014·江西)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B.932C.332 D ．3 3答案 (1)2 (2)C解析 (1)方法一 (1)因为b cos C ＋c cos B ＝2b ，所以b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2b ，化简可得ab＝2.方法二 因为b cos C ＋c cos B ＝2b ， 所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ， 故sin(B ＋C )＝2sin B ，故sin A ＝2sin B ，则a ＝2b ，即ab＝2.(2)∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得ab ＝6.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.热点三 正、余弦定理的实际应用例3 (2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 思维启迪 (1)直接求sin B ，利用正弦定理求AB .(2)利用余弦定理和函数思想，将甲乙距离表示为乙出发后时间t 的函数．解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝ACsin B ，得 AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537 min 时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．思维升华 求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答．如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A 地侦察发现，在南偏东60°方向的B 地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C 地行驶，企图抓捕正在C 地捕鱼的中国渔民．此时，C 地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C 地救援我国渔民，能不能及时赶到？(2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)解 过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D .因为∠CAD ＝45°，AC ＝10海里， 所以△ACD 是等腰直角三角形．所以AD ＝CD ＝22AC ＝22×10＝52(海里)． 在Rt △ABD 中，因为∠DAB ＝60°，所以BD ＝AD ×tan 60°＝52×3＝56(海里)． 所以BC ＝BD －CD ＝(56－52)(海里)．因为中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行， 所以中国海监船到达C 点所用的时间t 1＝AC 30＝1030＝13(小时)，某国军舰到达C 点所用的时间t 2＝BC 13＝6－213≈－13＝0.4(小时)．因为13<0.4，所以中国海监船能及时赶到．1．求解恒等变换问题的基本思路一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心．(2)其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”． (3)再次观察代数式的结构特点． 2．解三角形的两个关键点(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R (其中2R 为三角形外接圆的直径)，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等，灵活根据条件求解三角形中的边与角．(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B )＝sin C ，sin A ＋B 2＝cos C2等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等．3．利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题，抽象出三角形模型．。
新广东高考人教版理科数学二轮复习方略教师配套作业3.8应用举例(含答案解析)
课时提升作业(二十四)一、选择题1.线段AB外有一点C,∠ABC=60°,AB=200km,汽车以80km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶,则运动开始几小时后,两车的距离最小()(A)(B)1(C)(D)22.某水库大坝的外斜坡的坡度为,则坡角α的正弦值为()(A)(B)(C)(D)3.如图,一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与货轮相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行,30分钟后又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮航行的速度为()(A)20(+)海里/小时(B)20(-)海里/小时(C)20(+)海里/小时(D)20(-)海里/小时4.(2013·广州模拟)据新华社报道,强台风“珍珠”在广东饶平登陆.台风中心最大风力达到12级以上,大风、降雨给灾区带来严重的灾害,不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后,折成与地面成45°的角,树干也倾斜为与地面成75°的角,树干底部与树尖着地处相距20米,则折断点与树干底部的距离是()(A)米(B)20米(C)米(D)10米5.(2013·揭阳模拟)已知△ABC的一个内角是120°,三边长构成公差为4的等差数列,则三角形的面积是()(A)10(B)30(C)20(D)156.某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位:m).如示意图,垂直放置的标杆BC的高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.该小组已测得一组α,β的值,算出了tanα=1.24,tanβ=1.20,则H=()(A)100m (B)110m(C)124m (D)144m二、填空题7.若△ABC的面积为3,BC=2,C=60°,则边长AB的长度等于.8.(2013·佛山模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为10米(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为50秒,升旗手应以米/秒的速度匀速升旗.9.如图,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100米到达B后,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50米,山坡对于地平面的坡角为θ,则cosθ=.三、解答题10.(2012·山东高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin B(tan A+tan C)=tan Atan C.(1)求证:a,b,c成等比数列.(2)若a=1,c=2,求△ABC的面积S.11.在海岸A处,发现北偏东45°方向、距离A处(-1)海里的B处有一艘走私船;在A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船.同时,走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?最少要花多少时间?12.(能力挑战题)在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ(其中sinθ=,0°<θ<90°)且与点A相距10海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时).(2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.答案解析1.【解析】选C.如图所示,设过xh后两车距离为ykm,则BD=200-80x,BE=50x,∴y2=(200-80x)2+(50x)2-2×(200-80x)·50x·cos 60°,整理得y2=12900x2-42000x+40000(0≤x≤2.5),∴当x=时y2最小,即y最小.2.【思路点拨】坡角的正切值是坡度,故利用此关系可解.【解析】选B.由tanα=,得sinα=cosα,代入sin2α+cos2α=1,得sinα=.3.【解析】选B.由题意知SM=20,∠SNM=105°,∠NMS=45°,∴∠MSN=30°.在△MNS中利用正弦定理可得,=,∴MN==10(-)(海里),∴货轮航行的速度v==20(-)(海里/小时).4.【解析】选A.如图,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则∠ABO=45°,∠AOB=75°,∴∠OAB=60°.由正弦定理知,=,∴AO=米.5.【解析】选D.由△ABC三边长构成公差为4的等差数列,设△ABC的三边长分别为a,a+4,a+8,因为△ABC的一个内角是120°,所以(a+8)2=a2+(a+4)2-2a(a+4)cos120°,化简得a2-2a-24=0,解得a=-4(舍)或a=6.因此△ABC的面积S=×6×10×sin120°=15.【变式备选】在△ABC中三条边a,b,c成等比数列,且b=,B=,则△ABC的面积为() (A)(B)(C)(D)【解析】选C.由已知可得b2=ac,又b=,则ac=3,又B=,∴S△ABC=acsinB=×3×=.6.【思路点拨】用H,h表示AD,AB,BD后利用AD=AB+BD即可求解.【解析】选C.由AB=,BD=,AD=及AB+BD=AD,得+=,解得H===124(m).【方法技巧】测量高度的常见思路解决高度的问题主要是根据条件确定出所利用的三角形,准确地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度相对应;分清已知和待求的关系,正确地选择定理和公式,特别注意高度垂直地面构成的直角三角形.7.【解析】由△ABC面积为3,得absin 60°=3,得ab=4,又BC=a=2,故b=2,∴c2=a2+b2-2abcosC=4+12-2×2×2×=16-4,∴c=2.答案:28.【解析】在△BCD中,∠BDC=45°,∠CBD=30°,CD=10,由正弦定理,得BC==20.在Rt△ABC中,AB=BCsin60°=20×=30(米),所以升旗速度v===0.6(米/秒).答案:0.69.【解析】在△ABC中,BC===50(-).在△BCD中,sin∠BDC===-1.又∵cosθ=sin∠BDC,∴cosθ=-1.答案:-110.【思路点拨】(1)先利用切化弦,将已知式子化简,再利用和角公式,三角形内角和定理,正弦定理化成b2=ac.(2)利用(1)的结论和余弦定理及三角形面积公式求解.【解析】(1)由已知得:sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C,sin Bsin(A+C)=sin Asin C,sin2B=sin Asin C.由正弦定理可得:b2=ac,所以a,b,c成等比数列.(2)若a=1,c=2,则b2=ac=2,∴cos B==,sin B==,∴△ABC的面积S=acsin B=×1×2×=.11.【解析】如图,设缉私船t小时后在D处追上走私船,则有CD=10t,BD=10t.在△ABC中,AB=-1,AC=2,∠BAC=120°.利用余弦定理可得BC=.由正弦定理,得sin∠ABC=sin∠BAC=×=,得∠ABC=45°,即BC与正北方向垂直.于是∠CBD=120°.在△BCD中,由正弦定理,得sin∠BCD===,得∠BCD=30°,∴∠BDC=30°.又=,=,得t=.所以缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船,最少要花小时.12.【解析】(1)如图,AB=40,AC=10,∠BAC=θ,sinθ=.由于0°<θ<90°,所以cosθ==.由余弦定理得BC==10.所以船的行驶速度为=15(海里/小时).(2)方法一:如图所示,以A为原点建立平面直角坐标系,设点B,C的坐标分别是B(x1,y1),C(x2,y2),BC与x轴的交点为D.由题设有,x1=y1=AB=40,x2=ACcos∠CAD=10cos(45°-θ)=30,y2=ACsin∠CAD=10sin(45°-θ)=20.所以过点B,C的直线l的斜率k==2,直线l的方程为y=2x-40.又点E(0,-55)到直线l的距离d==3<7.所以船会进入警戒水域.方法二:如图所示,设直线AE与BC的延长线相交于Q.在△ABC中,由余弦定理得,cos∠ABC===.从而sin∠ABC===.在△ABQ中,由正弦定理得,AQ===40.由于AE=55>40=AQ,所以点Q位于点A和点E之间,且QE=AE-AQ=15.过点E作EP⊥BC于点P,则EP为点E到直线BC的距离.在Rt△QPE中,PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC=QE·sin(45°-∠ABC) =15×=3<7.所以船会进入警戒水域.。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：3.6 简单的三角恒等变换 简单的三角恒等变换 Word版含答案
第六节 简单的三角恒等变换 简单的三角恒等变换能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．知识点一 半角公式1．用cos α表示sin 2 α2，cos 2 α2，tan 2 α2.sin 2α2＝1－cos α2；cos 2 α2＝1＋cos α2； tan 2 α2＝1－cos α1＋cos α.2．用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.sin α2＝±1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tan α2＝±1－cos α1＋cos α.3．用sin α，cos α表示tan α2.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.易误提醒 应用“sin α2＝±1－cos α2”或“cos α2＝± 1＋cos α2”求值时，可由α2所在象限确定该三角函数值的符号．易混淆由α决定．必记结论 用tan α表示sin 2α与cos 2αsin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[自测练习]1．已知cos θ＝－15，5π2<θ<3π，那么sin θ2＝( )A.105 B ．－105 C.155D ．－155解析：∵5π2<θ<3π，∴5π4<θ2<3π2.∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋152＝－155. 答案：D知识点二 辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba . 易误提醒 在使用辅助角公式易忽视φ的取值，应由点(a ，b )所在象限决定，当φ在第一、二象限时，一般取最小正角，当φ在第三、四象限时，一般取负角．[自测练习]2．函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A ．π B.π2 C ．2πD.π4解析：f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴T ＝π. 答案：A3．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( ) A ．[－2,2] B ．[－3，3] C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析：∵f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6(x ∈R )， ∴f (x )的值域为[－3，3]． 答案：B考点一 三角函数式的化简|化简：(1)sin 50°(1＋3tan 10°)； (2)2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4.解：(1)sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°(1＋tan 60°tan 10°)＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·cos (60°－10°)cos 60°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.(2)原式＝2cos 2x (cos 2x －1)＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x＝－4cos 2x sin 2x ＋14cos ⎝⎛⎭⎫π4－x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－sin 22x2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . 考点二 辅助角公式的应用|(1)函数y ＝sin 2x ＋2 3sin 2x 的最小正周期T 为________．[解析] y ＝sin 2x ＋23sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋3＝2sin(2x －π3)＋3，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.[答案] π(2)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________. [解析] f (x )＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎫55sin x －255cos x ＝5sin(x －φ)，其中sin φ＝255，cos φ＝55，当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时函数f (x )取到最大值，即θ＝2k π＋π2＋φ时函数f (x )取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－255.[答案] －255(1)利用a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)把形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋k 的函数化为一个角的一种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴等．(2)化a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)时φ的求法：①tan φ＝ba ；②φ所在象限由(a ，b )点确定．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间． 解：f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .考点三 三角恒等变换的综合应用|三角恒等变换是高考必考内容，考查时多与三角函数的图象与性质、解三角形及平面向量交汇综合考查，归纳起来常见的命题探究角度有：1．三角恒等变换与三角函数性质的综合． 2．三角恒等变换与三角形的综合． 3．三角恒等变换与向量的综合．探究一 三角恒等变换与三角函数性质的综合1．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值； (2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3， 求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值． 解：(1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 因为－π2≤φ<π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫α2＝3sin ⎝⎛⎭⎫2·α2－π6＝34， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3，得0<α－π6<π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154. 因此cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158. 探究二 三角恒等变换与三角形的结合2．(2016·台州模拟)已知实数x 0，x 0＋π2是函数f (x )＝2cos 2ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6(ω>0)的相邻的两个零点．(1)求ω的值；(2)设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若f (A )＝32且b tan B ＋c tan C ＝2atan A ，试判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)f (x )＝1＋cos 2ωx ＋32sin 2ωx －12cos 2ωx＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1， 由题意得T ＝π，∴2π2ω＝π.∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， ∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝32， 即sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12. ∵0<A <π，∴π6<2A ＋π6<13π6，∴2A ＋π6＝5π6，即A ＝π3.由b tan B ＋c tan C ＝2a tan A 得b cos B sin B ＋c cos C sin C ＝2a cos A sin A，所以cos B ＋cos C ＝2cos A ＝1， 又因为B ＋C ＝2π3，所以cos B ＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝1， 即sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1，所以B ＝C ＝π3. 综上，△ABC 是等边三角形． 探究三 三角恒等变换与向量的综合3．(2015·合肥模拟)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，1，b ＝(3,0)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4，若a·b ＝1.(1)求sin θ的值； (2)求tan 2θ的值．解：(1)由已知得：cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝13，sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝223，sin θ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫θ－π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4·sin π4＝4＋26.(2)由cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝13得sin θ＋cos θ＝23，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝29，即sin 2θ＝－79，而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－429，∴tan 2θ＝728.三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．5.三角恒等变换与解三角形的综合的答题模板【典例】 (12分)(2015·高考山东卷)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．[思路点拨] (1)首先利用二倍角公式及诱导公式将f (x )的解析式化为“一角一函数”的形式，然后求解函数f (x )的单调区间．(2)首先求出角A 的三角函数值，然后根据余弦定理及基本不等式求出bc 的最大值，最后代入三角形的面积公式即可求出△ABC 面积的最大值．[规范解答] (1)由题意知f (x )＝sin 2x2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x2＝sin 2x －12.(3分)由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π， k ∈Z ；(4分)由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ， 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；(5分)单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(6分) (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.(8分) 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，(9分) 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，(10分) 即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立．因此12bc sin A ≤2＋34.(11分)所以△ABC 面积的最大值为2＋34.(12分) [模板形成][跟踪练习] 已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)已知△ABC 为锐角三角形，A ＝π3，且f (B )＝65，求cos 2B 的值．解：(1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1得 f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上为减函数， 又f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－1， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1. (2)因为△ABC 为锐角三角形，且A ＝60°，所以⎩⎨⎧0<B <π2，0<C ＝2π3－B <π2，即B ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以2B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π2，7π6. 由(1)可知f (B )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝65， 即sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝35，cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝－45， 所以cos 2B ＝cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6sin π6 ＝3－4310.A 组 考点能力演练1．(2015·洛阳统考)已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B ．－23C.13D.23解析：∵cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝1＋sin 2α2，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝23. 答案：D2．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan 2θ＝( ) A.59 B.125 C.95D.512解析：∵2sin θ＋3cos θ＝0，∴tan θ＝－32，∴tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫－321－94＝125.答案：B3．sin 2α＝2425，0<α<π2，则2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( ) A.15 B ．－15C.75D ．±15解析：因为sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝±1＋sin 2α，因为sin 2α＝2425，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝±75，因为0<α<π2，所以－π4<π4－α<π4，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝75. 答案：C4．(2015·太原一模)设△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且tan A ，tan B ，tan C,2tan B 成等差数列，则cos(B －A )＝( )A ．－31010B ．－1010C.1010D.31010解析：由题意得tan C ＝32tan B ，tan A ＝12tan B ，所以△ABC 为锐角三角形．又tan A ＝－tan(C ＋B )＝－tan C ＋tan B 1－tan C tan B＝－52tan B 1－32tan 2B ＝12tan B ，所以tan B ＝2，tan A ＝1，所以tan(B－A )＝tan B －tan A 1＋tan B tan A ＝2－11＋2×1＝13.因为B >A ，所以cos(B －A )＝31010，故选D.答案：D5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A.118 B ．－118C.1718D ．－1718解析：依题意得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，cos α＋sin α＝26，(cos α＋sin α)2＝⎝⎛⎭⎫262＝118，即1＋sin 2α＝118，sin 2α＝－1718，故选D.答案：D6．计算sin 250°1＋sin 10°＝________.解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12.答案：127．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：法一：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12. 答案：128．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12， 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 答案： 39．设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R . (1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应x 的集合； (2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期． 解：由已知：f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4. (1)若ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4. 又x ∈R ，则2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4≤2，∴f (x )max ＝2，此时12x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝4k π＋3π2，k ∈Z . (2)∵x ＝π8是函数f (x )的一个零点， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫π8ω－π4＝0，∴π8ω－π4＝k π，k ∈Z ， 又0<ω<10，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，此时其最小正周期为π. 10．(2016·沈阳模拟)已知函数f (x )＝sin x －3cos x ＋2，记函数f (x )的最小正周期为β，向量a ＝(2，cos α)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，tan ⎝⎛⎭⎫α＋β2⎝⎛⎭⎫0<α<π4，且a·b ＝73.(1)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上的最值；(2)求2cos 2α－sin 2(α＋β)cos α－sin α的值． 解：(1)f (x )＝sin x －3cos x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤2π3，4π3，∴x －π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π， ∴f (x )的最大值是4，最小值是2.(2)∵β＝2π，∴a·b ＝2＋cos αtan(α＋π)＝2＋sin α＝73， ∴sin α＝13， ∴2cos 2α－sin 2(α＋β)cos α－sin α＝2cos 2α－sin 2αcos α－sin α＝2cos α ＝21－sin 2α＝423. B 组 高考题型专练1．(2015·高考北京卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解：(1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－1－22. 2．(2013·高考陕西卷)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x ) ＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π2＝π， 即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6. 当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1. 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12， 当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12， ∴f (x )的最小值为－12.因此，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12. 3．(2014·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b .sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值． 解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝c sin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104. 于是，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14， sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.。
最新广东高考人教版理科数学二轮复习方略教师配套作业2.4指数函数(含答案解析)
课时提升作业(七)一、选择题1.函数y=(a>1)的图象的大致形状是()2.偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且在x∈[0,1]时,f(x)=x,则关于x的方程f(x)=()x在x∈[0,4]上解的个数是()(A)1 (B)2 (C)3 (D)43.(2013·潮州模拟)已知函数f(x)=2x-2,则函数y=|f(x)|的图象可能是()4.函数y=(的值域为()(A)[,+∞)(B)(-∞,](C)(0,] (D)(0,2]5.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)=()(A)5(B)7(C)9(D)116.若函数f(x)=(a+)cosx是奇函数,则常数a的值等于()(A)-1 (B)1 (C)-(D)7.(2013·汕头模拟)已知函数f(x)=|2x-1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,必成立的是()(A)a<0,b<0,c<0 (B)a<0,b≥0,c>0(C)2-a<2c(D)2a+2c<28.(能力挑战题)设函数f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线x=1对称,且当x≥1时,f(x)=3x-1,则有()(A)f()<f()<f() (B)f()<f()<f()(C)f()<f()<f() (D)f()<f()<f()9.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是()(A)(-∞,2] (B)[2,+∞) (C)[-2,+∞) (D)(-∞,-2]10.(能力挑战题)已知函数f(x)=关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是()(A)a>1(B)0<a<1(C)a>2(D)a<0二、填空题11.(2013·衡水模拟)若x>0,则(2+)(2-)-4(x-)=.12.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则不等式f(x)>0的解集为.13.(2013·杭州模拟)已知0≤x≤2,则y=-3·2x+5的最大值为.14.(能力挑战题)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2);③当0≤x≤1时,f(x)=2x-1,则f()+f(1)+f()+f(2)+f()=.三、解答题15.已知函数f(x)=(.(1)若a=-1,求f(x)的单调区间.(2)若f(x)有最大值3,求a的值.16.(2013·广州模拟)已知函数f(x)=2x-.(1)若f(x)=2,求x的值.(2)若2t f(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.答案解析1.【解析】选B.y==故选B.2.【解析】选D.由f(x-1)=f(x+1)把x-1换为x,则f(x)=f(x+2)可知T=2.∵x∈[0,1]时,f(x)=x.又∵f(x)为偶函数,∴可得图象如图:∴f(x)=()x在x∈[0,4]上解的个数是4.3.【解析】选B.|f(x)|=|2x-2|=易知函数y=|f(x)|的图象的分段点是x=1,且过点(1,0),(0,1),又|f(x)|≥0,故选B. 【误区警示】本题易误选A或D,出现错误的原因是误以为y=|f(x)|是偶函数.4.【解析】选A.∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1,又y=()t在R上为减函数,∴y=(≥()1=,即值域为[,+∞).5.【解析】选B.∵f(a)=2a+2-a=3,∴22a+2-2a+2=9,∴22a+2-2a=7,即f(2a)=7.6.【解析】选D.设g(x)=a+,t(x)= cosx,∵t(x)=cosx为偶函数,而f(x)=(a+)cosx为奇函数,∴g(x)=a+为奇函数, 又∵g(-x)=a+=a+,∴a+=-(a+)对定义域内的一切实数都成立,解得:a=.7.【解析】选 D.作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图,由图知,若a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),则a<0,c>0,b可大于0,也可小于0.又f(a)>f(c)得|2a-1|>|2c-1|,即1-2a>2c-1,因此2a+2c<2.8.【思路点拨】根据f(x)的图象关于直线x=1对称可得f(x)=f(2-x),由此可把f(),f()转化为[1,+∞)上的函数值.【解析】选B.由已知条件可得f(x)=f(2-x).∴f()=f(),f ()=f().又f(x)=3x-1在[1,+∞)上递增,∴f()>f()>f().即f()>f()>f().【方法技巧】比较具有对称性、奇偶性、周期性函数的函数值大小的方法(1)单调性法:先利用相关性质,将待比较函数值调节到同一单调区间内,然后利用该函数在该区间上的单调性比较大小.(2)图象法:先利用相关性质作出函数的图象,再结合图象比较大小.9.【解析】选B.由f(1)=得a2=,∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.10.【解析】选A.方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,等价于函数y=f(x)与y=-x+a的图象有且只有一个交点,由函数图象可知a>1.11.【解析】原式=4-33-4+4=-23.答案:-2312.【解析】当x≥0时,由f(x)>0知2x-4>0,∴x>2.又函数f(x)是偶函数,所以当x<-2时f(x)>0,综上知f(x)>0的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)13.【解析】令t=2x,∵0≤x≤2,∴1≤t≤4.又y=22x-1-3·2x+5,∴y=t2-3t+5=(t-3)2+.∵1≤t≤4,∴t=1时,y max=.答案:14.【思路点拨】根据条件先探究函数的奇偶性、周期性,再将所求函数值转化为已知函数值求解.【解析】依题意知:函数f(x)为奇函数且周期为2,∴f()+f(1)+f()+f(2)+f()=f()+f(1)+f(-)+f(0)+f()=f()+f(1) -f()+f(0)+f()=f()+f(1)+f(0)=-1+21-1+20-1=.答案:15.【解析】(1)当a=-1时,f(x)=(,令t=-x2-4x+3,则其在(-∞,-2)上单调递增,在[-2,+∞)上单调递减,而y=()t在R上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增, 即函数f(x)的递增区间是[-2,+∞),递减区间是(-∞,-2).(2)令h(x)=ax2-4x+3,f(x)=()h(x),由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1,因此必有解得a=1.即当f(x)有最大值3时,a的值等于1.16.【解析】(1)当x<0时,f(x)=0;当x≥0时,f(x)=2x-.由条件可知2x-=2,即22x-2·2x-1=0,解得2x=1±.∵2x>0,∴x=log2(1+).(2)当t∈[1,2]时,2t(22t-)+m(2t-)≥0,即m(22t-1)≥-(24t-1).∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1).∵t∈[1,2],∴-(1+22t)∈[-17,-5], 故m的取值范围是[-5,+∞).。
最新广东高考人教版理科数学二轮复习方略教师配套作业2.5对数函数(含答案解析)
课时提升作业(八)一、选择题1.(2013·郑州模拟)函数f(x)=的定义域为()(A)(0,+∞)(B)(1,+∞)(C)(0,1) (D)(0,1)∪(1,+∞)2.下列函数中,既是偶函数,又在(0,1)上单调递增的函数是()(A)y=|log3x| (B)y=x3(C)y=e|x|(D)y=cos|x|3.(2013·茂名模拟)0<x<y<1,则()(A)3y<3x(B)log x3<log y3(C)log4x<log4y (D)()x<()y4.若点(a,b)在y=lgx的图象上,a≠1,则下列点也在此图象上的是()(A)(,b) (B)(10a,1-b)(C)(,b+1) (D)(a2,2b)5.(2013·阳江模拟)已知函数f(x)=若f(2-x2)>f(x),则实数x的取值范围是()(A)(-∞,- 1)∪(2,+∞)(B)(-∞,-2)∪(1,+∞)(C)(-1,2)(D)(-2,1)6.已知偶函数f(x)在[0,2]上递减,则a=f(1),b=f(lo),c=f(log2)的大小关系是()(A)a>b>c (B)a>c>b(C)b>a>c (D)c>a>b7.若log a(a2+1)<log a2a<0,则a的取值范围是()(A)(0,1) (B)(0,)(C)(,1) (D)(0,1)∪(1,+∞)8.已知函数f(x)=|log2x|,正实数m,n满足m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,则m,n的值分别为()(A),2(B),4(C),(D),49.(2013·济南模拟)设函数f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当x≥1时,f(x)=lnx,则有()(A)f()<f(2)<f() (B)f()<f(2)<f()(C)f()<f()<f(2) (D)f(2)<f()<f()10.(能力挑战题)设函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是()(A)(-1,0)∪(0,1) (B)(-∞,-1)∪(1,+∞)(C)(-1,0)∪(1,+∞) (D)(-∞,-1)∪(0,1)二、填空题11.计算:lg-lg+lg7=.12.函数y=log a(x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点.13.已知f(3x)=4xlog23+233,则f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)的值是.14.(能力挑战题)已知f(x)=则f(2012)=.三、解答题15.(2013·长春模拟)设f(x)=log a(1+x)+log a(3-x)(a>0,a≠1),且f(1)=2.(1)求a的值及f(x)的定义域.(2)求f(x)在区间[0,]上的最大值.16.(能力挑战题)若f(x)=x2-x+b,且f(log2a)=b,log2f(a)=2(a≠1).(1)求f(log2x)的最小值及对应的x值.(2)x取何值时,f(log2x)>f(1),且log2f(x)<f(1).答案解析1.【解析】选D.由得∴0<x<1或x>1,故选D.2.【解析】选C.函数y=e|x|与y=cos|x|是偶函数,函数y=e|x|在(0,1)上单调递增,故选C.3.【解析】选C.对于A,因为y=3x在(-∞,+∞)上递增,又x<y,故3x<3y,因此A错误;对于D,由y=()x在(-∞,+∞)上递减,又x<y,故()x>()y,因此D错误;对于B,因为log3x<log3y<0,所以>,即log x3>log y3,故B错误;对于C,因为y=log4x在(0,+∞)上递增,又0<x<y,故log4x<log4y,因此C正确.4.【解析】选D.∵点(a,b)在函数y=lgx的图象上,∴b=lga,则2b=2lga=lga2,故点(a2,2b)也在函数y=lgx的图象上.5.【解析】选D.画出函数f(x)的图象如图,由图象可知y=f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,又f(2-x2)>f(x),故2-x2>x,解得-2<x<1.6.【解析】选D.由题意知,b=f(lo)=f(2),c=f(log2)=f(-)=f(),又函数f(x)在[0,2]上是减函数,因此f(2)<f(1)<f(),∴c>a>b.7.【解析】选C.∵log a(a2+1)<0=log a1,a2+1>1,∴0<a<1,∴a2+1>2a,又log a2a<0,即2a>1,∴解得<a<1.【误区警示】本题易忽视log a2a<0这一条件,而误选A.8.【解析】选A.f(x)=|log2x|=则函数f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,又m<n且f(m)=f(n),则0<m<1,n>1,∴0<m2<m<1,∴f(m2)>f(m)=f(n),即函数f(x)在区间[m2,n]上的最大值为f(m2).由题意知f(m2)=2,即-log2m2=2,∴m=,由f(m)=f(n)得-log2=log2n,∴n=2.9.【解析】选C.由f(2-x)=f(x)知f()=f(2-)=f(),f()=f(2-)=f(),又函数f(x)=lnx在[1,+∞)上是增函数,∴f()<f()<f(2),即f()<f()<f(2),故选C.10.【思路点拨】a的范围不确定,故应分a>0和a<0两种情况求解.【解析】选C.①当a>0时,-a<0,由f(a)>f(-a)得log 2a>lo a,∴2log2a>0,∴a>1.②当a<0时,-a>0,由f(a)>f(-a)得lo(-a)>log 2(-a),∴2log2(-a)<0,∴0<-a<1,即-1<a<0,由①②可知-1<a<0或a>1.11.【解析】原式=lg4+lg2-lg7-lg8+lg7+lg5=2lg2+(lg2+lg5)-2lg2=.答案:12.【解析】∵log a1=0,∴x-1=1,即x=2,此时y=2,因此函数恒过定点(2,2).答案:(2,2)13.【解析】令3x=t,则x=log3t,∴f(t)=4log23·log3t+233=4log2t+233,∴f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)=4(log22+log24+log28+…+log228)+8×233=4·log2(2·22·23·…·28)+8×233=4·log2236+1864=4×36+1864=2008.答案:200814.【思路点拨】由当x≥0时,f(x)=f(x-7)知f(x)是周期为7的函数,由此可对f(2012)进行化简. 【解析】当x≥0时,f(x)=f(x-7),即f(x+7)=f(x),从而f(2012)=f(3)=f(-4)=log44=1.答案:115.【解析】(1)∵f(1)=2,∴log a4=2(a>0,a≠1),∴a=2.由得x∈(-1,3),∴函数f(x)的定义域为(-1,3).(2)f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)=log2(1+x)(3-x)=log2[-(x-1)2+4],∴当x∈(-1,1]时,f(x)是增函数;当x∈(1,3)时,f(x)是减函数,函数f(x)在[0,]上的最大值是f(1)=log24=2.【变式备选】已知函数f(x)=log a(3-ax).(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围.(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.【解析】(1)由题设,3-ax>0对一切x∈[0,2]恒成立,设g(x)=3-ax,∵a>0,且a≠1,∴g(x)=3-ax在[0,2]上为减函数.从而g(2)=3-2a>0,∴a<.∴a的取值范围为(0,1)∪(1,).(2)假设存在这样的实数a,由题设知f(1)=1,即log a(3-a)=1,∴a=.此时f(x)=lo(3-x),当x=2时,f(x)没有意义,故这样的实数a不存在.16.【思路点拨】(1)由题设中的两个等式先求出a,b的值,确定f(x),进而求最小值及对应的x 值.(2)根据题意列出不等式组求解.【解析】(1)∵f(x)=x2-x+b,∴f(log2a)=(log2a)2-log2a+b,由已知(log2a)2-log2a+b=b,∴log2a(log2a-1)=0.∵a≠1,∴log2a=1,∴a=2.又log2f(a)=2,∴f(a)=4.∴a2-a+b=4,∴b=4-a2+a=2.故f(x)=x2-x+2. 从而f(log2x)=(log2x)2-log2x+2=(log2x-)2+.∴当log2x=,即x=时,f(log2x)有最小值.(2)由题意得⇒0<x<1.。
高考数学二轮精讲三角与向量第3讲三角恒等变换(含解析)
第3讲三角恒等变换知识与方法本专题主要知识为两角和与差的正弦、余弦和正切公式.同学们要会推导正弦、余弦、正切的倍角公式和辅助角公式,运用这些公式进行简单的恒等变换.要掌握以两角差的余弦公式为基础,推导两角和与差(或二倍角)的正弦、余弦、正切公式的方法,了解它们的内在联系.进行公式探究,能利用对比、联系、化归的观点来分析、处理问题.能依据三角函数式的特点,逐渐明确三角恒等变换不仅包括式子的结构形式变换,还包括式子中角的变换,以及不同三角函数之间的变换.体验由简单到复杂、从特殊到一般的变换思想,代换和方程的思想,进而提高分析问题、解决问题的能力. 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2.二倍角公式sin22sin cos ααα=;缩角升幂2221sin2(sin cos ),1cos22cos ,1cos22sin ααααααα±=±+=-=.扩角降幂22sin21cos21cos2sin cos ,sin ,cos 222ααααααα-+===.3.辅助角公式()sin cos a b αααϕ+=+（其中cos ϕϕ==,辅助角ϕ所在象限由点(),a b 的象限决定,tan b a ϕ⎫=⎪⎭. 注意应用特殊角的三角函数值实现数值与三角函数间的转化,要加强各三角函数公式的正用、逆用及变形应用;尤其是二倍角的正弦公式在构成完全平方式中的应用和二倍角的余弦公式在升幂、降幂变形中的应用.在进行三角恒等变换时,要掌握三角函数式的化简及证明的基本方法与常用技巧.典型例题【例1】若()()13cos ,cos 55αβαβ+=-=,则tan tan αβ=________________. 【分析】本题为已知两个角,αβtan tan αβ,一般先“化切为弦”,发现sin sin tan tan cos cos αβαβαβ=,因此需探求角,αβ的同名三角函数值,分子恰为两角和与差的余弦公式的变形与应用.【解析】13cos cos sin sin ,cos cos sin sin 55αβαβαβαβ-=+=. 两式分别相加、相减得21cos cos ,sin sin 55αβαβ==,故sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==. 【点睛】tan tan αβ转化为sin sin cos cos αβαβ,运用已知两角和与差的余弦公式展开,然后相加、相减可得;若为tan tan αβ,则化为sin cos cos sin αβαβ,利用两角和与差的正弦公式展开,然后相加、相减可得.【例2】若cos cos cos 0,sin sin sin 0αβγαβγ++=++=,则()cos αβ-=______. 【分析】本题涉及两角差的余弦公式的变形与应用,解决问题的关键在于将已知条件变形为()()cos cos cos ,sin sin sin γαβγαβ=-+=-+,分别对等号两边平方,然后相加消去角γ,进而求出结论.【解析】因为()()cos cos cos ,sin sin sin γαβγαβ=-+=-+,所以22(cos cos )(sin sin )1αβαβ+++=,即()22cos cos sin sin 1αβαβ++=,整理得()22cos 1αβ+-=,所以()1cos 2αβ-=-. 【点睛】将已知条件变形为()()cos cos cos ,sin sin sin γαβγαβ=-+=-+,分别对等号两边平方,然后相加消去角γsin sin ,cos cos ,m n p m n q αβαβ+=⎧⎨+=⎩求()cos αβ-;或已知sin cos ,cos sin ,m n p m n q αβαβ+=⎧⎨+=⎩求()sin αβ+.【例3】已知()sin 22sin αββ+=,且2tan1tan 22αα=-,则()tan αβ+=______.【分析】本题求角αβ+的正切值,涉及的角有2,,2ααββ+,函数名有正弦与正切.从待求目标出发,先利用二倍角正切公式求出α的正切,再将式子()sin 22sin αββ+=,化为关于α+β与α的三角函数值,得到()tan αβ+与tan α的关系求解.【解析】因为2tan1tan 22αα=-,所以22tan2tan 21tan2ααα==-.又()()sin 2sin αβααβα⎡⎤⎡⎤++=+-⎣⎦⎣⎦，所以()()()()sin cos cos sin 2sin cos 2cos sin αβααβααβααβα+++=+-+,即()()sin cos 3cos sin αβααβα+=+.等号两边同除以()cos cos ααβ+,得()tan 3tan 6αβα+==.【点睛】要善于将三角恒等变换公式展开和变形.在计算过程中注意角的配凑,把末知角用已知角表示,如将2αβ+表示为(),αβαβ++表示为()αβα+-;角α是2α的二倍. 【例4】计算4cos50tan40-=（）B.21 【分析】本题为三角函数式4cos50tan40-的化简与求值,涉及的角有40,50,函数名和系数均不同,先将正切化为正弦和余弦的商,再通分.利用二倍角公式时,注意到2sin80sin40cos40-中的角有80,40,先将80化为12040-,再将()sin 12040-展开,合并求解.【解析】原式sin404sin40cos40sin402sin80sin404sin40cos40cos40cos40--=-==()2sin 12040sin403cos40sin40sin403cos40cos40--+-===,答案选 C.【点睛】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角差的正弦公式、二倍角公式化简所给的式子,注意角的变换和拆角等. 【例5】计算()sin40tan103-.【分析】本题计算()sin40tan103-的值,涉及的角有40,10,三角函数名有正切与正弦,一般先将正切化为正弦和余弦的商,再通分并运用辅助角公式进行恒等变换.求解时要充分运用特殊角和特殊值的隐含关系,注意公式的逆用.【解析】解法1：原式()sin40sin103cos10sin10sin403cos10cos10-⎛⎫=-=⎪⎝⎭解法2：原式()sin40tan10tan60=-【点睛】解法1,构建余弦的两角和的关系.解法2则是正切的差角公式的变形应用.【例6】()1sin cos sincos )θθθθθπ⎛⎫++- ⎪<<的结果是___________.【分析】,方法是缩角升幂,去根号,加绝对值符号,开方时注意θ的范围是0θπ<<.注意到分子中含有sincos22θθ-,因此分子1sin cos θθ++的处理也化为半角的三角函数.一方面,()1sin cos 1sin cos θθθθ++=++=222sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin 2222222222θθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2cos sin cos 222θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;另一方面,()21sin cos 1cos sin 2cos 2θθθθθ++=++=+2sincos2cos sin cos 22222θθθθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,也就是合理分组、升幂、因式分解、提取公因式.涉及二倍角公式的应用,突出转化思想与运算能力. 【解析】0,cos0222θπθ<<>,原式212sin cos 2cos 1sin cos θθθθθ⎛⎫⎛⎫++-- ⎪⎪=222cos sin cos sin cos 2cos sin cos 222cos 2cos 2θθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭===-.【点睛】依题意,可求得cos 02θ>,利用二倍角的正弦与余弦公式将所求关系式化简并约分即可.【例7】已知,sin 2cos 2ααα∈+=R ,则tan2α=（） A.43B.34C.34- D.43- 【分析】本题为已知同角α的正弦、余弦三角函数值的和,求角α的二倍角的正切值.通常做法是先利用同角三角函数的平方关系,解方程组,解出α的正弦、余弦三角函数值,再求出α的正切值,最后求二倍角的正切.若对原式平方,等号两边同除以“1”,化为关于tan α的二次齐次式,则更为方便.【解析】解法1：由22sin 2cos sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得222cos cos 1αα⎫+=⎪⎪⎝⎭.所以210cos 30αα-+=,解得cos α=.当cos α=,sin 2cos αα==,此时tan 3α=;当cos α=时,sin α=此时1tan 3α=-. 所以tan 3α=或13-,所以22tan 3tan21tan 4ααα==--.故选C.解法2：将sin 2cos αα+=平方,得225sin 4sin cos 4cos 2αααα++=. 所以2222sin 4sin cos 4cos 5sin cos 2αααααα++=+,所以22tan 4tan 45tan 12ααα++=+, 所以23tan 8tan 30αα--=,解得tan 3α=或13-,所以22tan 3tan21tan 4ααα==--. 故选C.【点睛】由题意,结合22sin cos 1αα+=可得sin ,cos αα,进而可得tan α,将其代入二倍角的正切公式求解.【例8】若50,sin 4413x x ππ⎛⎫<<-= ⎪⎝⎭,求cos2cos 4x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【分析】此题解法较多,若从条件与结论中角的关系入手,可发现2242x x ππ⎛⎫+=+⎪⎝⎭.若从诱导公式角度入手,可以把2x 看成是4x π+的“二倍角”.而44x x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,从而将单角转化为两角差来处理.若从条件与结论的函数关系入手,可借助cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】解法1：因为04x π<<,所以120,cos 44413x x πππ⎛⎫<-<-== ⎪⎝⎭, 所以120cos2sin 22sin cos 244169x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 注意到442x x πππ⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以5cos sin 4413x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 原式cos22413cos 4x x π==⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解法2：因为04x π<<,所以044x ππ<-<.所以12sin sin cos 424413x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-==⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 所以原式sin 22sin cos 242442sin 413cos cos 44x x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭===+= ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解法3：由5sin 413x π⎛⎫-=⎪⎝⎭展开得()5cos sin 213x x -=,所以cos sin 13x x -=.所以)22cos2cos sin cos 4x x x x π==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 因为22(cos sin )(cos sin )2x x x x -++=,所以cos sin 13x x +=. 故原式2413=. 【点睛】(1)解有条件的三角函数求值题,关键是从条件与结论中角的关系和函数关系入手,变换条件或结论,在变换条件过程中注意角的范围的变化.(2)在恒等变形中,注意变角优先,要根据函数式中的“角”“名”“形”的特点(即有没有与特殊角相关联的角;有没有互余、互补的角;角和角之间有没有和、差、倍、半的关系)来寻求已知条件和所求式子之间的关系,从而找到解题的突破口. (3)对于条件求值题,一般先化简,再代入求值.【例9】化简1sin4cos41sin4cos4αααα+-++.【分析】可以考虑正弦、余弦的倍角公式的和与积的互化,2(sin cos )1sin2ααα±=±及1-22cos22sin ,1cos22cos αααα=+=;考虑用余弦倍角公式的升幕形式.【解析】1 原式()()221cos4sin42sin 22sin2cos21cos4sin42cos 22sin2cos2αααααααααα-++==+++ 【解析】2原式()()222222(sin2cos2)cos 2sin 2(sin2cos2)cos 2sin 2αααααααα+--=++- 【点睛】对于较复杂的三角函数式的化简与求值题,一般先观察式子的结构特征,在熟练堂握三角函数变换公式的基础上,灵活运用公式的变形、公式的逆用等.【例10】已知02πβαπ<<<<,且12cos ,sin 2923βααβ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求()cos αβ+的值.【分析】本题已知cos ,sin 22βααβ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值,要求角αβ+的余弦值.观察已知角和所求角,可作222αββααβ+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的配凑角变换,利用余弦的差角公式求2αβ+的正弦值或余弦值,最后用二倍角公式求角αβ+的余弦值.【解析】因为02πβαπ<<<<,所以,,,24242βπαππαπβ⎛⎫⎛⎫-∈-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以sin 22βααβ⎛⎫⎛⎫-==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以coscos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以()22239cos 2cos1212729αβαβ++=-=⨯-=-⎝⎭.【点睛】“凑角法”是解三角函数题的常用技巧,本题计算角αβ+的余弦函数值,而已知角只有,22βααβ--,因此要将αβ+配凑为22βααβ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的二倍.【例11】已知都是锐角,若sin αβ==,则αβ+=______________. A.4πB.34πC.4π和34πD.4π-和34π- 【分析】本题要求角αβ+的大小,一般方法是求其某一三角函数值,结合角的范围求角的大小(或范围).考虑到,αβ都是锐角,0αβπ<+<,为使角的三角函数值唯一,则考虑选用求()cos αβ+.【解析】因为sin αβ==且,αβ都是锐角,所以cos αβ==所以()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-==. 又()0,αβπ+∈,所以4παβ+=.故选A.【点睛】例已知,αβ的正弦值,根据同角的正弦值与余弦值的平方关系,可分别求出,αβ的余弦值，接下来利用两角和的余弦公式求出()cos αβ+,然后结合αβ+αβ+的取值范围这里选用()cos αβ+求解,若选用()sin αβ+求解,应先考虑缩小αβ+的取值范围,否则会产生增解34παβ+=.【例12】已知函数()226sin cos 2cos 1,4f x x x x x x π⎛⎫=++-+∈ ⎪⎝⎭R . (1)求()f x 的最小正周期.(2)求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【分析】本题研究三角函数()f x 的性质,计算化简时利用相关三角恒等变换公式,需要将已知函数式化为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式,常用公式为辅助角公式.【解析】(1) ()3sin2cos2f x x x x x⎫=+-⎪⎪⎭所以()f x 的最小正周期2T ππω==.(2)因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.所以sin 242x π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,所以max min?()()2f x f x ==-.【点睛】用二倍角公式降幂,结合辅助角公式研究三角函数的图象与性质.强化训练1.若()()13sin ,sin 55αβαβ+=-=,则tan tan αβ=________________. 【答案】2- 【解析】1sin cos cos sin 5αβαβ+=,3sin cos cos sin 5αβαβ-=,两式分别相加、相减得,21sin cos ,cos sin 55αβαβ==- 所以tan sin cos 2tan cos sin ααββαβ==-.2.已知22sin sin ,cos cos 33x y x y -=--=,且,x y 为锐角,则()tan x y -的值是（）B.C.【答案】B 【解析】已知22sin sin ,cos cos 33x y x y -=--=,两式平方并相加得 ()822cos cos sin sin 9x y x y -+=, 即()5cos 9x y -=. 因为,x y 为锐角,sin sin 0x y -<,所以x y <.所以()sin x y -==()()()sin tan cos 5x y x y x y --==--. 3.求值:tan20tan403tan20tan40++.【解析】原式()()tan 20401tan20tan403tan20tan40=+-+ )1tan20tan403tan20tan403=-+=. 4.化简2cos10sin20cos20-. 【解析】:原式2cos10sin20cos20-==5.求值():cos4013tan10+. 【解析】原式3sin10cos10cos40cos10+=⨯()2sin 1030cos40cos10+=⨯ 2sin40cos40sin801cos10cos10===.6.化简()()()()22:cos 60cos 60cos 60cos 60θθθθ-+++-+. 【解析】解法1：原式=()()1cos 12021cos 120211cos cos 222222θθθθθθ+-++⎛⎫⎫⎛+++- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎝⎭⎭34=.解法2:由余弦的平方差公式得()()22cos cos cos sin αβαβαβ+-=-,所以原式()()()()2cos 60cos 60cos 60cos 60θθθθ⎡⎤=-++--+⎣⎦34=.7.已知3sin 4cos 0αα-=,则23cos2α+=_______.【答案】2925【解析】因为3sin 4cos 0αα-=所以4tan 3α=.所以222222cos sin 1tan 7cos2cos sin 1tan 25ααααααα--===-++, 所以212923cos222525α+=-=. 8.已知1sin cos 2αα=+,且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos2sin 4απα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_______.【答案】 【解析】解法1：由1sin cos 2αα=+和22sin cos 1αα+=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得11sin 44αα+-+==, 则)22cos2sin cos 2sin 4αααπα==+=-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 解法2：由1sin cos 2αα=+可得1sin cos 2αα-=,等号两边平方可得3sin24α=, 则27(sin cos )4αα+=. 又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则sin cos 2αα+=, 则)22cos2sin cos 2sin 4αααπα==+=-⎛⎫- ⎪⎝⎭9.设3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,. 【解析】因为3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以3,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.原式cos cos 22αα====-.10.已知函数(),12f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R . (1)求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. (2)若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【解析】(1)164f ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)因为33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-. 故4324sin22sin cos 25525θθθ⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭, 所以27cos212sin 25θθ=-=-.从而1722cos2sin23425f ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 11.已知()113cos ,cos 714ααβ=-=,且02πβα<<<.(1)求tan2α的值.(2)求β.【解析】(1)因为1cos ,072παα=<<,所以sin tan 7αα==所以22tan tan21tan 14847ααα===---. (2)因为02παβ<-<,所以()sin αβ-==所以()cos cos βααβ⎡⎤=--⎣⎦11317142=⨯+=. 因为02πβ<<,所以3πβ=.12.已知函数()26cos 3(0)2xf x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,,B C 为图象与x 轴的交点,ABC 为正三角形.(1)求ω的值及函数()f x 的值域.(2)若()0f x =且0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,求()01f x +的值.【解析】(1)由已知可得,()3cos 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.所以正三角形ABC 的高为从而4BC =. 所以函数()f x 的周期428T =⨯=,即28πω=,4πω=函数()f x 的值域为⎡-⎣.(2)已知()0f x =由(1)有()00435f x x ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭, 即04sin 435x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 由0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭知0,4322x ππππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭,所以03cos 435x ππ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故()001443f x x πππ⎛⎫+=++⎪⎝⎭00sin cos 43435x x ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦.。
高考调研高考数学总复习配套4-4简单的三角恒等变换
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＝cos10°－22ssinin103°0°－10° ＝cos10°－2sin302°csoins1100°°－cos30°sin10°
＝cos10°－2122csoisn1100°°－
3
2
sin10° ＝
3 2.
【答案】
1 (1)8
－α)]＝2sin(π4－α)，∵0<α<π4，∴0<π4－α<π4，又 cos(π4－α)＝1123，
∴
sin(
π 4
－
α)
＝
1－cos2π4－α ＝
1－11232
＝
5 13
，
∴
原
式
＝
2×153＝1103.
【答案】
10 13
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探究 2 (1)该题在确定三角函数值的正负时，必须应用一定 的技巧，增添了解答的难度．不过，所需要用到的公式和性质， 都是最基础的，为多数考生所熟悉．因此，绝大多数的考生都能 入手解题，不致束手无策．
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(2)求1＋2sicno2s02°0°－2sin10°·tan80°的值． 【解析】 原式＝4si2nc1o0s°2c1o0s°10°－2sin10°·csoins8800°° ＝2csoisn1100°°－2sins1i0n°1c0o°s10° ＝2csoisn1100°°－ssiinn1200°°＝cos102°s－in120s°in20°
高三数学(文)一轮复习同步：3.6 简单的三角恒等变换(广东专用版)
课时知能训练一、选择题1．已知函数f (x )＝cos 2(π4＋x )－cos 2(π4－x )，则f (π12)等于( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－322．(2012·揭阳检测)已知α为锐角，且cos(α＋π6)＝45，则cos α的值为( ) A.4－3310 B.4＋3310 C.43－310 D.43＋3103．已知sin α＋cos α＝15且π2＜α＜π，则cos α2的值是( )A ．－35B ．－55 C.55 D.2554．已知α，β∈(0，π2)，tan α21－tan 2α2＝32，且2sin β＝sin(α＋β)，则β的值为( )A.π6B.π4C.π3D.5π125．已知a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈(π2，π)．若a ·b ＝25，则tan(α＋π4)的值为( )A.13B.27C.17D.23二、填空题6．如果α∈(π2，π)，且sin α＝45，那么sin(α＋π4)＋cos(α＋π4)＝________.7．(2012·湛江质检)sin 235°－12sin 20°的值是________．8．(2012·佛山调研)已知tan 2θ＝－22，π＜2θ＜2π，则2cos 2θ2－sin θ－12sin (θ＋π4)的值为________．三、解答题9．求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°.10．函数f (x )＝cos(－x 2)＋sin(π－x 2)，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (α)＝2105，α∈(0，π2)，求tan(α＋π4)的值．11．(2012·肇庆质检)在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C .(1)证明：B ＝C ；(2)若cos A ＝－13，求sin(4B ＋π3)的值．答案及解析1．【解析】 f (x )＝cos 2(π4＋x )－sin 2(x ＋π4)＝－sin 2x ，∴f (π12)＝－sin π6＝－12.【答案】 B2．【解析】 ∵0＜α＜π2，∴π6＜α＋π6＜23π， 由cos(α＋π6)＝45，得sin(α＋π6)＝35，∴cos α＝cos[(α＋π6)－π6] ＝cos(α＋π6)cos π6＋sin(α＋π6)sin π6＝43＋310.【答案】 D3．【解析】由sin α＝15－cos α代入sin2α＋cos2α＝1，化简，25cos2α－5cos α－12＝0，解得cos α＝45或cos α＝－35.又π2＜α＜π，∴cos α＜0，cosα2＞0.因此cos α＝－35，且cos α＝2cos2α2－1，∴cos α2＝1＋cos α2＝55.【答案】 C4．【解析】由tanα21－tan2α2＝32，得tan α＝ 3.∵α∈(0，π2)，∴α＝π3.所以2sin β＝sin(π3＋β)＝32cos β＋12sin β.∴tan β＝33，β＝π6.【答案】 A5．【解析】由a·b＝cos 2α＋sin α(2sin α－1)＝1－2sin2α＋2sin2α－sin α＝1－sin α＝25，得sin α＝35.又α∈(π2，π)，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34.∴tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝－34＋11＋34＝17.【答案】 C6．【解析】 ∵sin α＝45，π2＜α＜π，∴cos α＝－35，因而sin(α＋π4)＋cos(α＋π4) ＝2sin(α＋π2)＝2cos α＝－325.【答案】 －3257．【解析】 原式＝2sin 235°－12sin 20°＝－cos 70°2sin 20°＝－12.【答案】 －128．【解析】 原式＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θ1＋tan θ， 由tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22， 得tan θ＝－12或tan θ＝ 2. ∵π＜2θ＜2π，∴π2＜θ＜π，∴tan θ＝－12， 因此原式＝3＋2 2. 【答案】 3＋2 29．【解】 原式＝(2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°)·2sin 80° ＝(2sin 50°＋2sin 10° ·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°)·2cos 10° ＝22[sin 50°cos 10°＋sin 10°cos(60°－10°)]＝22sin(50°＋10°)＝ 6.10．【解】 (1)f (x )＝cos x 2＋sin x 2＝2sin(x 2＋π4)，因此f (x )的最小正周期T ＝4π，(2)由f(α)＝2105，得sinα2＋cosα2＝2510，∴sin α＝3 5.又α∈(0，π2)，∴cos α＝1－sin2α＝45，从而tan α＝34，故tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝7.11．【解】(1)证明由正弦定理及ACAB＝cos Bcos C，得sin Bsin C＝cos Bcos C，∴sin B cos C－sin C cos B＝0，于是sin(B－C)＝0. 又B、C∈(0，π)，因此－π＜B－C＜π.从而B－C＝0，所以B＝C.(2)由A＋B＋C＝π和(1)得A＝π－2B，故cos 2B＝－cos(π－2B)＝－cos A＝1 3.又0＜2B＜π，于是sin 2B＝1－cos22B＝22 3.从而sin 4B＝2sin 2B cos 2B＝42 9，cos 4B＝cos22B－sin22B＝－7 9.所以sin(4B＋π3)＝sin 4B cos π3＋cos 4B sinπ3＝42－7318.。
新广东高考人教版理科数学二轮复习方略教师配套作业6.4基本不等式(含答案解析)
课时提升作业(三十八)一、选择题1.设0<a<b,则下列不等式中正确的是()(A)a<b<<(B)a<<<b(C)a<<b<(D)<a<<b2.(2013·福州模拟)若x>0,则x+的最小值是()(A)2 (B)4 (C)(D)23.(2012·湖北高考)设a,b,c∈R,则“abc=1”是“++≤a+b+c”的()(A)充分条件但不是必要条件(B)必要条件但不是充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要的条件4.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=()(A)20(B)10(C)16(D)85.(2013·济宁模拟)已知a>0,b>0,且2是2a与b的等差中项,则的最小值为()(A)(B)(C)2 (D)46.(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则()(A)a<v<(B)v=(C)<v<(D)v=7.已知x,y均为正数,且x≠y,则下列四个数中最大的一个是()(A)(+) (B)(C)(D)8.已知a>0,b>0,a+b=2,则+的最小值是()(A)(B)4 (C)(D)59.(2013·汕头模拟)设a>0,若关于x的不等式x+≥5在x∈(1,+∞)恒成立,则a的最小值为()(A)16 (B)9 (C)4 (D)210.(能力挑战题)若a>0,b>0,且a+b=1,则ab+的最小值为()(A)2 (B)4 (C)(D)2二、填空题11.若正数x,y满足x+4y=4,则xy的最大值为.12.设a>0,b>0,若lga和lgb的等差中项是0,则+的最小值是.13.设x≥0,则函数y=的最小值为.14.若当x>1时不等式>m2+1恒成立,则实数m的取值范围是.三、解答题15.若x,y∈R,且满足(x2+y2+2)(x2+y2-1)-18≤0,(1)求x2+y2的取值范围.(2)求证:xy≤2.16.(能力挑战题)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元科技成本,并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本.预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=.若水晶产品的销售价格不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元.(1)求出f(n)的表达式.(2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?答案解析1.【解析】选B.方法一:令a=1,b=4,则=2,=,∴a<<<b.方法二:∵0<a<b,∴a2<ab,∴a<,a+b<2b,∴<b,∴a<<<b.【变式备选】下列结论中正确的是()(A)若3a+3b≥2,则必有a>0,b>0(B)要使+≥2成立,必有a>0,b>0(C)若a>0,b>0,且a+b=4,则+≤1(D)若ab>0,则≥【解析】选D.当a,b∈R时,一定有3a>0,3b>0,必有3a+3b≥2,A错.要使+≥2成立,只要>0,>0即可,这时只要a,b同号,B错.当a>0,b>0,且a+b=4时,则+=,由于ab≤()2=4,所以+=≥1,C错.当a>0,b>0时,a+b≥2,所以≤=,而当a<0,b<0时,显然有>,所以当ab>0时,一定有≥,故D正确.2.【解析】选D.由基本不等式可得x+≥2=2,当且仅当x=即x=时取等号,故最小值是2.3. 【解析】选A.由于++=≤=.可知当abc=1时,可推出++≤a+b+c;反之,如a=1,b=4,c=9,满足++≤a+b+c,但abc=1不成立.4.【解析】选A.该公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,则需要购买次,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,故一年的总运费与总存储费用之和为(·4+4x)万元. 而·4+4x≥2=160,当且仅当=4x,即x=20时,一年的总运费与总存储费用之和最小.5.【解析】选B.由已知可得2a+b=4,因此4≥2,所以0<ab≤2,故≥,即的最小值为,当且仅当a=1,b=2时取等号.6.【解析】选 A.设甲乙两地的路程为s,则往返时间分别是t1=,t2=,所以平均速度是v===,因为a<b,所以>a,<,即a<v<.7. 【解析】选A.取x=1,y=2,可得(+)=,=,=,=,因此最大的是(+),故选A.8. 【解析】选C.由已知可得+=·(+)=+++2≥+2=,当且仅当a=,b=时取等号,即+的最小值是.9.【解析】选C.由x∈(1,+∞),得x-1>0,∴x-1+≥2,当且仅当x-1=,即x=1+时,等号成立,则2≥4,即a≥4,故选C.10.【思路点拨】由已知利用基本不等式得ab的取值范围而后换元利用函数的单调性求解. 【解析】选C.由a+b=1,a>0,b>0得2≤a+b=1,∴≤,∴ab≤.令ab=t,则0<t≤,则ab+=t+,结合函数的图象可知t+在(0,]上单调递减,故当t=时,t+有最小值为+4=. 11.【解析】由基本不等式可得x+4y≥2=4,于是4≤4,xy≤1,当且仅当x=2,y=时取等号,故xy的最大值为1.答案:112.【解析】由已知得lga+lgb=0,即ab=1,于是+==a+b≥2=2,当且仅当a=b=1时取等号,故+的最小值是2.答案:213.【解析】y====x+1++5,而x≥0,所以由基本不等式可得x+1+≥2=4,当且仅当x=1时取等号,故函数的最小值等于9.答案:914.【思路点拨】关键是用基本不等式求的最小值,可将其分子按照分母x-1进行配方,然后分解为3项,再利用基本不等式求最值.【解析】由于==(x-1)++2≥2+2=6,当且仅当x=3时取等号,所以要使不等式恒成立,应有m2+1<6,解得-<m<.答案:-<m<15.【解析】(1)(x2+y2+2)(x2+y2-1)-18≤0,即(x2+y2)2+(x2+y2)-20≤0,有(x2+y2+5)·(x2+y2-4)≤0,因为x2+y2+5>0,所以有0≤x2+y2≤4.(2)由(1)知x2+y2≤4,由基本不等式得xy≤≤=2,所以xy≤2.16.【解析】(1)第n次投入后,产量为(10+n)万件,销售价格为100元,固定成本为元,科技成本投入为100n万元.所以,年利润为f(n)=(10+n)(100-)-100n(n∈N*).(2)由(1)知f(n)=(10+n)(100-)-100n=1000-80(+)≤520(万元).当且仅当=,即n=8时,利润最高,最高利润为520万元.所以,从今年算起第8年利润最高,最高利润为520万元.。
最新广东高考人教版理科数学二轮复习方略教师配套作业2.8函数与方程(含答案解析)
课时提升作业(十一)一、选择题1.(2013·潮州模拟)函数f(x)=e x+x-2的零点所在的一个区间是()(A)(-2,-1) (B)(-1,0)(C)(0,1) (D)(1,2)2.(2013·湛江模拟)利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表:那么方程2x=x2的一个根位于下列区间的()(A)(0.6,1.0) (B)(1.4,1.8)(C)(1.8,2.2) (D)(2.6,3.0)3.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx的零点分别为x1,x2,则x1,x2的大小关系是()(A)x1<x2(B)x1>x2(C)x1=x2(D)不能确定4.函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为()(A)0 (B)1 (C)2 (D)35.(2013·合肥模拟)已知符号函数sgn(x)=则函数f(x)=sgn(lnx)-lnx的零点个数为()(A)1 (B)2 (C)3 (D)46.设x1,x2是方程ln|x-2|=m(m为实常数)的两根,则x1+x2的值为()(A)4 (B)2 (C)-4 (D)与m有关7.(能力挑战题)已知函数f(x)=()x-log2x,实数a,b,c满足f(a)·f(b)·f(c)<0(0<a<b<c),若实数x0为方程f(x)=0的一个解,那么下列不等式中,不可能成立的是()(A)x0<a (B)x0>b (C)x0<c (D)x0>c8.若函数y=()|1-x|+m的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是()(A)m≤-1 (B)m≥1 (C)-1≤m<0 (D)0<m≤19.(2013·温州模拟)对实数a和b,定义运算“⊗”:a⊗b=设函数f(x)=(x2-1)⊗(x-x2),x∈R.若函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点,则实数c的取值范围是()(A)(-∞,-1)∪(-,0) (B){-1,-}(C)(-1,-) (D)(-∞,-1)∪[-,0)10.(能力挑战题)已知函数f(x)=2x-lo x,实数a,b,c满足a<b<c,且满足f(a)f(b)f(c)<0,若实数x0是函数y=f(x)的一个零点,则下列结论一定成立的是()(A)x0>c (B)x0<c (C)x0>a (D)x0<a二、填空题11.若函数f(x)=a x-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是.12.已知函数f(x)=3x+x-5的零点x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N*,则a+b=.13.若函数f(x)=(m-1)x2+2(m+1)x-1有且仅有一个零点,则实数m的取值集合是.14.(能力挑战题)若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,函数g(x)=lg|x|,则函数y=f(x)与y=g(x)的图象在区间[-5,5]内的交点个数为.三、解答题15.已知二次函数f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a.(1)判断命题“对于任意的a∈R(R为实数集),方程f(x)=1必有实数根”的真假,并写出判断过程.(2)若y=f(x)在区间(-1,0)及(0,)内各有一个零点,求实数a的范围.答案解析1.【解析】选C.因为f(0)=e0-2=-1<0,f(1)=e-1>0,所以f(0)·f(1)<0,因此f(x)=e x+x-2的零点所在的区间是(0,1).2.【解析】选C.令f(x)=2x-x2,则由表格知f(0.6)=1.516-0.36>0,f(1.0)=2.0-1.0>0,f(1.4)=2.639-1.96>0,f(1.8)=3.482-3.24>0, f(2.2)=4.595-4.84<0,故f(1.8)·f(2.2)<0,因此函数f(x)=2x-x2的零点所在区间是(1.8,2.2),即方程2x=x2的一个根位于区间(1.8,2.2).3.【解析】选A.在同一坐标系中作函数y=-x,y=2x,y=lnx的图象如图所示,由图象知x1<x2.4.【思路点拨】本题可转化为求函数y=|x-2|和y=lnx图象的交点个数.【解析】选C.在同一直角坐标系中,作出函数y=|x-2|与y=lnx的图象如图,从图中可知,两函数共有2个交点,∴函数f(x)的零点的个数为2.5.【解析】选C.令f(x)=0,则sgn(lnx)-lnx=0,即sgn(lnx)=lnx,∴lnx=1或lnx=0或lnx=-1,∴x=e或x=1或x=.6.【解析】选A.函数y=ln|x-2|的图象关于直线x=2对称,从而x1+x2=4.7.【解析】选D.函数f(x)=()x-log2x在(0,+∞)上单调递减,由0<a<b<c得f(a)>f(b)>f(c).又f(a)·f(b)·f(c)<0,故f(a),f(b),f(c)的值有两种情况:①两正一负,即f(a)>0,f(b)>0,f(c)<0,此时x0∈(b,c),故B,C成立;②三个均为负值,此时f(a)<0,又f(x0)=0,即f(a)<f(x0),得x0<a,故A成立.综上D不成立.8.【解析】选C.由已知函数y=()|1-x|+m有零点,即方程()|1-x|+m=0有解,此时m=-()|1-x|.∵|1-x|≥0,∴0<()|1-x|≤1,∴-1≤m<0.9.【解析】选A.由x2-1≤x-x2得-≤x≤1,∴f(x)=函数f(x)的图象如图所示,由图象知,当c<-1或-<c<0时,函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点.10.【解析】选C.由于函数f(x)=2x-lo x为增函数,故若a<b<c,f(a)f(b)f(c)<0,则有如下两种情况:①f(a)<f(b)<f(c)<0;②f(a)<0<f(b)<f(c),又x0是函数的一个零点,即f(x0)=0,故当f(a)<f(b)<f(c)<0=f(x0)时,由单调性可得x0>a,又当f(a)<0=f(x0)<f(b)<f(c)时,也有x0>a,故选C.11.【解析】函数f(x)的零点的个数就是函数y=a x与函数y=x+a交点的个数,两函数的图象如图所示,可知a>1时两函数图象有两个交点,0<a<1时两函数图象有唯一交点,故a>1.答案:(1,+∞)12.【解析】由已知x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N*,∴a,b的可能取值为a=1,b=2,或a=2,b=3,….又f(1)=3+1-5=-1<0,f(2)=32+2-5=6>0,∴f(1)f(2)<0,故a=1,b=2符合要求.又∵f(x)为增函数,当x取大于或等于2的整数时,所对应的函数值都大于0,∴a=1,b=2.∴a+b=1+2=3.答案:313.【解析】当m=1时,f(x)=4x-1=0,得x=,符合要求.当m≠1时,依题意得Δ=4(m+1)2+4(m-1)=0.即m2+3m=0,解得m=-3或m=0,∴m的取值集合是{-3,0,1}.答案:{-3,0,1}【误区警示】本题求解过程中易忽视m=1而失误.根据原式将f(x)误认为是二次函数.14.【思路点拨】根据周期性画函数f(x)的图象,根据对称性画函数g(x)的图象,注意定义域. 【解析】函数y=f(x)以2为周期,y=g(x)是偶函数,画出图象可知两函数在区间[-5,5]内有8个交点.答案:815.【解析】(1)“对于任意的a∈R(R为实数集),方程f(x)=1必有实数根”是真命题.依题意:f(x)=1有实根,即x2+(2a-1)x-2a=0有实根,∵Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0对于任意的a∈R(R为实数集)恒成立,即x2+(2a-1)x-2a=0必有实数根,从而f(x)=1必有实数根.(2)依题意:要使y=f(x)在区间(-1,0)及(0,)内各有一个零点,只需即解得<a<.【变式备选】已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点. 【解析】∵f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0,当Δ=0时,即m2-4=0,∴m=2或m=-2.又m=-2时,t=1,m=2时,t=-1(不合题意,舍去),∴2x=1,x=0符合题意.当Δ>0时,即m>2或m<-2时,t2+mt+1=0有两正或两负根,即f(x)有两个零点或没有零点,∴这种情况不符合题意.综上可知:m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为0.。
新广东高考人教版理科数学二轮复习方略教师配套作业3.3三角函数的图象与性质(含答案解析)
课时提升作业(十九)一、选择题1.(2013·广州模拟)已知函数f(x)=3cos(2x-)在[0,]上的最大值为M,最小值为m,则M+m等于()(A)0 (B)3+(C)3-(D)2.(2013·阳江模拟)函数y=-cos2x+的递增区间是()(A)(kπ,kπ+)(k∈Z)(B)(kπ+,kπ+π)(k∈Z)(C)(2kπ,2kπ+π)(k∈Z)(D)(2kπ+π,2kπ+2π)(k∈Z)3.已知函数f(x)=sin(2x-),若存在a∈(0,π),使得f(x+a)= f(x-a)恒成立,则a的值是()(A)(B)(C)(D)4.同时具有下列性质:“①对任意x∈R,f(x+π)=f(x)恒成立;②图象关于直线x=对称”的函数可以是()(A)f(x)=sin(+) (B)f(x)=sin(2x-)(C)f(x)=cos(2x-) (D)f(x)=cos(2x-)5.(2013·中山模拟)函数y=sin(2x+)的图象()(A)关于点(,0)对称(B)关于直线x=对称(C)关于点(,0)对称(D)关于直线x=对称6.已知函数f(x)= sinx+cosx,下列选项中正确的是()(A)f(x)在(-,)上是递增的(B)f(x)的图象关于原点对称(C)f(x)的最大值是2(D)f(x)的最小正周期为2π7.函数y=3cos(x+φ)+2的图象关于直线x=对称,则|φ|的最小值是()(A)(B)(C)(D)8.(2013·深圳模拟)函数y=cos2(x+)的递增区间是()(A)(kπ,kπ+)(k∈Z)(B)(kπ+,kπ+π)(k∈Z)(C)(2kπ,2kπ+π)(k∈Z)(D)(2kπ+π,2kπ+2π)(k∈Z)9.函数y=lg(sinx)+的定义域为()(A)(2kπ,2kπ+](k∈Z)(B)(2kπ,2kπ+](k∈Z)(C)(2kπ,2kπ+](k∈Z)(D)[2kπ,2kπ+](k∈Z)10.(2013·唐山模拟)函数y=4sin(2x+)的一个单调区间是()(A)[,] (B)[-,](C)[0,] (D)[0,]二、填空题11.函数y=的定义域是.12.(能力挑战题)已知直线y=b(b<0)与曲线f(x)=sin(2x+)在y轴右侧依次的前三个交点的横坐标成等比数列,则b的值是.13.(2013·揭阳模拟)对于函数f(x)=给出下列四个命题:①该函数是以π为最小正周期的周期函数;②当且仅当x=π+kπ(k∈Z)时,该函数取得最小值-1;③该函数的图象关于x=+2kπ(k∈Z)对称;④当且仅当2kπ<x<+2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤.其中正确命题的序号是.(请将所有正确命题的序号都填上)14.关于函数f(x)=4sin(2x+)(x∈R),有下列命题:①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍;②y=f(x)的表达式可改写为y=4 cos(2x-);③y=f(x)的图象关于点(-,0)对称;④y=f(x)的图象关于直线x=-对称.其中正确命题的序号是.三、解答题15.(能力挑战题)已知a>0,函数f(x)=-2asin(2x+)+2a+b,当x∈[0,]时,-5≤f(x)≤1.(1)求常数a,b的值.(2)设g(x)=f(x+)且lgg(x)>0,求g(x)的单调区间.答案解析1.【解析】选C.由x∈[0,]得2x-∈[-,],故M=f()=3cos 0=3,m=f()=3cos=-,故M+m=3-.2.【解析】选A.由2kπ<2x<2kπ+π,k∈Z得,kπ<x<kπ+,k∈Z.所以函数y=-cos2x+的递增区间是(kπ,kπ+)(k∈Z).3.【解析】选D.因为函数满足f(x+a)=f(x-a),所以函数是周期函数,且周期为2a,又a∈(0,π),所以2a=,所以a=.【方法技巧】周期函数的理解(1)周期函数定义中的等式:f(x+T)=f(x)是定义域内的恒等式,即对定义域内的每个x值都成立,若只是存在个别x满足等式的常数T不是周期.(2)每个周期函数的定义域是一个无限集,其周期有无穷多个,对于周期函数y=f(x),T是周期,则kT(k∈Z,k≠0)也是周期,但并非所有周期函数都有最小正周期.【变式备选】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)满足条件f(x+)+f(x)=0,则ω的值为()(A)2π(B)π(C)(D)【解析】选A.由f(x+)+f(x)=0得f(x+)=-f(x),所以f(x+1)=f(x),故函数的周期是1,又由=1得ω=2π.4.【解析】选B.由已知得函数的周期是π,所以ω==2,再把x=代入,可知B正确.5.【解析】选A.令2x+=kπ,k∈Z得x=kπ-,k∈Z,对称点为(kπ-,0)(k∈Z),当k=1时对称点为(,0).令2x+=kπ+,k∈Z得x=+(k∈Z),B,D均不符合.6.【解析】选D.∵f(x)=sinx+cosx=sin(x+),∴f(x)在(-,)上是增函数,其函数图象关于点(kπ-,0),k∈Z对称,最大值为,最小正周期为2π,即A,B,C均不正确,D正确,故应选D.7.【解析】选A.由题意可知,+φ=kπ,k∈Z,故φ=kπ-,k∈Z.当k=0时,φ=-,此时|φ|=为最小值.8.【解析】选A.y=cos2(x+)==-cos2x+,由2kπ<2x<2kπ+π,k∈Z得,kπ<x<kπ+,k∈Z.所以函数y=cos2(x+)的递增区间是(kπ,kπ+)(k∈Z).9.【解析】选C.由得得2kπ<x≤2kπ+,k∈Z.10.【解析】选A.当x∈[,]时,2x∈[,π],2x+∈[,],此时函数单调递减,故在[,]上函数是减函数.同理验证B,C,D项均不符合.11.【解析】由1-tanx≥0,即tanx≤1,结合正切函数图象可得,kπ-<x≤kπ+,k∈Z,故函数的定义域是{x|kπ-<x≤kπ+,k∈Z}.答案:{x|kπ-<x≤kπ+,k∈Z}12.【思路点拨】化简函数式之后数形结合可解.【解析】设三个交点的横坐标依次为x1,x2,x3,由图及题意有:f(x)=sin(2x+)=cos2x.且解得x2=,所以b=f()=-.答案:-13.【解析】画出函数f(x)的图象.由图象可得函数的最小正周期为2π,故①错误;当x=π+2kπ(k∈Z)或x=+2kπ(k∈Z)时,函数取得最小值-1,故②不正确;结合图象可得③④正确.答案:③④14.【解析】①错,∵当x1=-,x2=时,f(x1)=f(x2)=0,而x1-x2=-.②对,∵y=4cos(2x-)=4cos[-(2x+)]=4sin(2x+).③对,∵当x=-时,2x+=0,此时f(x)=0,故f(x)的图象关于(-,0)成中心对称.④错,由③可知x=-不是y=f(x)的图象的对称轴.答案:②③15.【思路点拨】(1)由x的范围求出2x+的范围,根据三角函数的性质求得a,b的值.(2)求出g(x)的解析式,进而求解g(x)的单调区间.【解析】(1)∵x∈[0,],∴2x+∈[,].∴sin(2x+)∈[-,1],∴-2asin(2x+)∈[-2a,a].∴f(x)∈[b,3a+b].又∵-5≤f(x)≤1,∴b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.(2)由(1)得a=2,b=-5,∴f(x)=-4sin(2x+)-1,g(x)=f(x+)=-4sin(2x+)-1=4sin(2x+)-1,又由lgg(x)>0得g(x)>1,∴4sin(2x+)-1>1,∴sin(2x+)>,∴2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z,其中当2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z时,g(x)单调递增,即kπ<x≤kπ+,k∈Z. ∴g(x)的单调增区间为(kπ,kπ+],k∈Z.又∵当2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z时,g(x)单调递减,即kπ+<x<kπ+,k∈Z. ∴g(x)的单调减区间为(kπ+,kπ+),k∈Z.。
新广东高考人教版理科数学二轮复习方略教师配套作业6.2一元二次不等式及其解法(含答案解析)
课时提升作业(三十六)一、选择题1.已知集合A={x|x(x-a)<0},且1∈A, 2∉A,则实数a的取值范围是()(A)1≤a≤2 (B)1<a<2 (C)1<a≤2 (D)1≤a<22.下列不等式中解集为R的是()(A)-x2+x+1≥0 (B)x2-2x+>0(C)x2+6x+10>0 (D)2x2-3x+4<03.(2013·临沂模拟)函数f(x)=-的定义域是()(A){x|2≤x≤3} (B){x|2≤x<3}(C){x|0<x<3} (D){x|x>3}4.(2013·广州模拟)在R上定义运算*:a*b=ab+2a+b,则满足x*(x-2)<0的实数x的取值范围为()(A)(0,2) (B)(-2,1)(C)(-∞,-2)∪(1,+∞) (D)(-1,2)5.如果一个钝角三角形的边长是三个连续自然数,那么最长边的长度为()(A)3 (B)4 (C)6 (D)76.已知函数y=f(x)的图象如图,则不等式f(3x-x2)<0的解集为()(A){x|1<x<2} (B){x|0<x<3}(C){x|x<1或x>2} (D){x|x<0或x>3}7.“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()(A)m>(B)0<m<1 (C)m>0 (D)m>18.已知函数f(x)=若f(2-x2)>f(x),则实数x的取值范围是()(A)(-∞,-1)∪(2,+∞) (B)(-∞,-2)∪(1,+∞)(C)(-1,2) (D)(-2,1)9.(2013·厦门模拟)对于实数x,当n≤x<n+1(n∈Z)时,规定[x]=n,则不等式4[x]2-36[x]+45<0的解集为()(A){x|2≤x<8} (B){x|2<x≤8}(C){x|2≤x≤8} (D){x|2<x<8}10.(能力挑战题)已知不等式xy≤ax2+2y2,若对任意x∈[1,2]及y∈[2,3],该不等式恒成立,则实数a的范围是()(A)-≤a≤-1 (B)-3≤a≤-1(C)a≥-3 (D)a≥-1二、填空题11.不等式x2-(a+1)x+a≤0的解是区间[-4,3]的子集时,a的取值范围是.12.(2012·天津高考)已知集合A={x∈R||x+2|<3},B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=,n=.13.某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等,若一月份至十月份销售总额至少达7000万元,则x的最小值是.14.已知f(x)=x, x0,x, x0,≥⎧⎪⎨-<⎪⎩则不等式x+x·f(x)≤2的解集是.三、解答题15.(能力挑战题)已知函数y=的定义域为R.(1)求a的取值范围.(2)若函数的最小值为,解关于x的不等式x2-x-a2-a<0.16.某同学要把自己的计算机接入因特网,现有两家ISP公司可供选择.公司A每小时收费1.5元;公司B在用户每次上网的第1小时内收费1.7元,第2小时内收费1.6元,以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时,按17小时计算).假设该同学一次上网时间总是小于17小时,那么该同学如何选择ISP公司较省钱?答案解析1.【解析】选C.依题意得解得1<a≤2,故选C.2.【解析】选C.在C选项中,Δ=36-40=-4<0,所以不等式解集为R.3.【解析】选B.要使函数有意义,应有即所以2≤x<3,即函数定义域为{x|2≤x<3}.4.【解析】选B.由定义可知x*(x-2)=x(x-2)+2x+x-2=x2+x-2,因此不等式x*(x-2)<0即x2+x-2<0,解得-2<x<1.5.【思路点拨】设出三边的长度,然后由余弦定理,使其最长边所对的角的余弦值小于0即可得到边长的取值范围,再结合边长是自然数得到解.【解析】选B.设三角形的三边长分别为n-1,n,n+1(n>1),则n+1对的角θ为钝角,由余弦定理得cosθ=,所以(n-1)2+n2<(n+1)2,解得0<n<4,所以n=2,3.当n=2时,三边长为1,2,3,1+2=3,不符合题意.当n=3时,三边长为2,3,4,符合题意.故最长边的长度为4.6.【解析】选A.由图象可知,当x>2时,f(x)<0,所以由f(3x-x2)<0,得3x-x2>2,解得1<x<2,即解集为{x|1<x<2}.7.【解析】选C.当不等式x2-x+m>0在R上恒成立时,有Δ=(-1)2-4m<0,解得m>.因此当不等式x2-x+m>0在R上恒成立时,必有m>0,但当m>0时,不一定推出不等式在R上恒成立,故所求必要不充分条件是m>0.8.【解析】选D.画出函数f(x)的大致图象如图,由图形易知f(x)在R上为单调递增函数,因此由f(2-x2)>f(x)可知2-x2>x,即x2+x-2<0,解得-2<x<1,即实数x的取值范围是(-2,1).9.【思路点拨】先利用换元法将不等式化为一元二次不等式,求得[x]的范围,再结合[x]的含义得出x的范围.【解析】选A.令t=[x],则不等式化为4t2-36t+45<0,解得<t<,而t=[x],所以<[x]<,由[x]的定义可知x的取值范围是2≤x<8,即不等式解集为{x|2≤x<8}.10.【思路点拨】将参数a分离到不等式的一边,然后求不等式另一边的最大值,令t=,通过换元,转化为二次函数在闭区间上的最值问题.【解析】选D.由xy≤ax2+2y2可得a≥-2()2,令t=,g(t)=-2t2+t,由于x∈[1,2],y∈[2,3],所以t∈[1,3],于是g(t)=-2t2+t=-2(t-)2+,因此g(t)的最大值为g(1)=-1,故要使不等式恒成立,实数a的范围是a≥-1.【方法技巧】换元法的妙用本题中涉及三个变量,但通过分离变量,将不等式的一边化为只含有x,y两个变量的式子,然后通过换元法求出该式的最值,从而得到参数a的取值范围.其中换元法起到了关键作用,一般地,形如a[f(x)]2+bf(x)+c的式子,不论f(x)的具体形式如何,都可采用换元法,将其转化为二次函数、二次不等式或二次方程加以解决,但需注意的是换元后一定要注意新元的取值范围. 【变式备选】若不等式a·4x-2x+1>0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是.【解析】不等式可变形为a>=()x-()x,令()x=t,则t>0,且y=()x-()x=t-t2=-(t-)2+,因此当t=时,y取最大值,故实数a的取值范围是a>.答案:a>11.【解析】原不等式可化为(x-a)(x-1)≤0,当a<1时,不等式的解集为[a,1],此时只要a≥-4,即-4≤a<1;当a=1时,不等式的解为x=1,此时符合要求;当a>1时,不等式的解集为[1,a],此时只要a ≤3,即1<a≤3.综合上述三种情况得-4≤a≤3.答案:[-4,3]12.【解析】由已知可解得A={x∈R|-5<x<1},而A∩B=(-1,n),所以必有B={x∈R|m<x<2},由数轴可得m=-1,n=1.答案:-1 1【变式备选】若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集为(-∞,m)∪(1,+∞),则m等于. 【解析】由已知可得a<0且1和m是方程ax2-6x+a2=0的两根,于是a-6+a2=0,解得a=-3,或a=2(舍),代入得-3x2-6x+9=0,所以方程另一根为-3,即m=-3.答案:-313.【思路点拨】把一月份至十月份的销售额相加求和,列出不等式,求解.【解析】七月份:500(1+x%),八月份:500(1+x%)2.所以一月份至十月份的销售总额为:3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,解得1+x%≤-2.2(舍)或1+x%≥1.2,所以x min=20.答案:2014.【解析】原不等式等价于或解得0≤x≤1或x<0,即不等式解集为(-∞,1].答案:(-∞,1]15.【解析】(1)∵函数y=的定义域为R,∴ax2+2ax+1≥0恒成立.当a=0时,1≥0,不等式恒成立;当a≠0时,则解得0<a≤1.综上,0≤a≤1.(2)因为函数的最小值为,所以g(x)=ax2+2ax+1的最小值为,因此=,解得a=,于是不等式可化为x2-x-<0,即4x2-4x-3<0,解得-<x<,故不等式x2-x-a2-a<0的解集为{x|-<x<}. 16.【解析】假设一次上网x(x<17)小时,则公司A收取的费用为1.5x元,公司B收取的费用为1.7+(1.7-0.1)+(1.7-0.2)+…+[1.7-(x-1)×0.1]=(元).由>1.5x(0<x<17),整理得x2-5x<0,解得0<x<5,故当0<x<5时,A公司收费低于B公司收费,当x=5时,A,B两公司收费相等,当5<x<17时,B公司收费低,所以当一次上网时间在5小时以内时,选择公司A的费用少;为5小时时,选择公司A与公司B 费用一样多;超过5小时小于17小时时,选择公司B的费用少.。
人教A版数学文复习方略广东用课时提升作业：3.6简单的
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课时提升作业(二十一)一、选择题 1.2sin(1802)cos 1cos 2cos(90)︒+αα+α︒+α等于( ) （A ）-sin α （B ）-cos α （C ）sin α （D ）cos α2.函数y=sin 2xcos 2x 是( )（A ）周期为的奇函数 （B ）周期为的偶函数（C ）周期为的奇函数 （D ）周期为的偶函数3.已知sin,sin(-β)=-，且α∈(0,π)，β∈(0,)，则β等于( )()()()()3A B C D 4346ππππ 4.已知函数f(x)=1cos 2x 4sin(x)2+π+ -asincos(π-)的最大值为2，则常数a 的值为( )(()()()A B C D 5.（能力挑战题）若函数f(x)=(sin x+cos x)2-2cos 2x-m 在［0，］上有零点，则实数m 的取值范围为( )(A)［-1，］ (B)［-1，1］(C)［1，］ (D)［-，-1］6.（2013·中山模拟）给出下列的四个式子：1a 1a b b ,,,;b b 1a 1a -++-①②③④已知其中至少有两个式子的值与tan θ的值相等，则( )（A）a=cos 2θ,b=sin 2θ（B）a=sin 2θ,b=cos 2θ（C）a=sin,b=cos（D）a=cos,b=sin二、填空题7.（2013·东莞模拟）化简21sin352sin 20︒-︒=_______.8.（能力挑战题）函数y=(acos x+bsin x)cos x有最大值2，最小值-1，则实数（ab)2的值为_______.9.函数y=的单调递增区间为________.三、解答题10.（2013·阳江模拟）已知函数f(x)=cos2(x-)-sin2x.（1）求f()的值.（2）若对于任意的x∈［0,］，都有f(x)≤c,求实数c的取值范围. 11.（能力挑战题）已知函数f(x)=2sin(x-),x∈R.（1）求f()的值.（2）设α,β∈［0,］,f(3α+)=，f(3β+2π)=,求cos(α+β)的值. 12.（2013·湛江模拟）已知向量a=(,cos ωx),b=(sin ωx,1),函数f(x)=a·b，且最小正周期为4π.(1)求ω的值.(2)设α,β∈［,π］,f(2α-)=,f(2β+)=-,求sin(α+β)的值.(3)若x∈［-π,π］，求函数f(x)的值域.答案解析1.【解析】选D.原式===cos α.2.【思路点拨】利用倍角公式化简成y=Asin ωx的形式，即可得其相应性质.【解析】选A.y=sin 2xcos 2x=sin 4x,∴最小正周期为∵f(-x)=-f(x),∴函数y=sin 2xcos 2x是奇函数.3.【思路点拨】根据题意，由同角三角函数的基本关系求得cos和cos(-β)的值,由cos β=cos［-(-β)］=coscos(-β)+sin sin(-β)求出结果.【解析】选C.由题意可得cos=，cos(-β)=,cos β=cos［-(-β)］=coscos(-β)+sin sin(-β)=,⨯+=5105102∴锐角β=.4.【思路点拨】先利用公式进行三角恒等变形,把f(x)化成f(x)=Asin(ωx+)的形式，再利用最大值求得a.【解析】选C.因为f(x)== (cos x+asin x)= cos(x-)(其中tan =a),所以=2,解得a=±.5.【解析】选A.f（x）=（sin x+cos x）2-2cos2x-m=1+sin 2x-2cos2x-m=1+sin 2x-1-cos 2x-m=sin（2x-）-m.∵0≤x ≤，∴0≤2x ≤π，∴-≤2x-≤，∴-1≤sin （2x-）≤，故当-1≤m ≤时，f(x)在［0，］上有零点.6.【解析】选A.∵tan θ=sin sin 21cos 2,cos 1cos 2sin 2θθ-θ==θ+θθ∴a=cos 2θ,b=sin 2θ时，式子①③与tan θ的值相等，故选A.7.【解析】221sin 352sin 351cos 70cos 7012.sin 202sin 202sin 202cos 702︒-︒--︒-︒====-︒︒︒︒ 答案：-8.【解析】y=acos 2x+bsin xcos x=a ·sin 2xa 2x ),2a 2,2a 1,2=+ϕ+=∴⎨⎪=-⎪⎩（ ∴a=1,b 2=8，∴(ab)2=8.答案：8【方法技巧】三角恒等变换的特点和变换技巧(1)三角恒等变换就是利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍角公式、半角公式等进行简单的恒等变换. 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.(2)对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角恒等变换的重要特点．(3)在三角变换时要选准解决问题的突破口，要善于观察角的差异，注意拆角和拼角的技巧；观察函数名称的异同，注意切化弦、化异为同的方法的选用；观察函数式结构的特点等.①注意掌握以下几个三角恒等变换的常用方法和简单技巧：(ⅰ)常值代换，特别是“1”的代换，如1=sin 2θ+cos 2θ等；(ⅱ)项的分拆与角的配凑；(ⅲ)降次与升次.②对于形如asin θ+bcos θ的式子，要引入辅助角并化成sin(θ+)的形式，这里辅助角所在的象限由a,b 的符号决定，角的值由tan=确定.对这种思想，务必强化训练，加深认识.9.【思路点拨】利用倍角公式展开约分后化为正切再求解.【解析】y=222x x cos sin cos x 22x x 1sin x (cos sin )22-=-- x x x cossin 1tan 222x x x cos sin 1tan 222x tan().24x k k ,k Z,224232k x 2k ,k Z.22++==--π=+ππππ-++π∈πππ-π+∈由＜＜知＜＜ 答案：（2k π-,2k π+），k ∈Z10.【解析】（1）f()=cos 2(-)-sin 2=cos=.(2)f(x)=［1+cos(2x-)］- (1-cos 2x)=［cos(2x-)+cos 2x ］= (sin 2x+cos 2x)=sin(2x+).因为x∈［0,］,所以2x+∈［,］,所以当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值.所以对于任意的x∈［0,］,f(x)≤c等价于≤c.故对于任意的x∈［0,］,都有f(x)≤c时，c的取值范围是［,+∞). 【变式备选】设函数f(x)=2cos2x+2sin xcos x-1(x∈R).(1)化简函数f(x)的表达式，并求函数f(x)的最小正周期.（2）若x∈［0,］，求函数f(x)的最大值与最小值.【解析】（1）∵f(x)=2cos2x+2sin xcos x-1=cos 2x+sin 2x=2sin(2x+),∴函数f(x)的最小正周期T=π.（2）∵0≤x≤,∴≤2x+≤,∴-≤sin(2x+)≤1,∴-1≤2sin(2x+)≤2,∴当2x+=,即x=时,f(x)min=-1;当2x+=,即x=时,f(x)max=2.11.【解析】（1）f()=2sin(-)=2sin =.(2)f(3α+)=2sin α=,∴sin α=.又α∈［0,］,∴cos α=,f(3β+2π)=2sin(β+)=2cos β=,∴cos β=.又β∈［0,］,∴sin β=,∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=.12.【解析】(1)由已知，易得f(x)= sin ωx+cos ωx=2sin(ωx+)，F(x)的最小正周期为4π,即T= =4π,解得ω=.(2)由（1）知f(x)=2sin(x+),则f(2α-)=2sin［(α-)+］=2sin α=,所以sin α=,又α∈［,π］，所以cos α=-,同理f(2β+)=2sin［(β+)+］=2sin(β+)=2cos β=-,所以cos β=-,又β∈［,π］，所以sin β=,所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=-.(3)当x∈［-π,π］时，令t=,则t∈［］,原函数可化为f(t)=2sin t,t∈［］,当t=-时，f(t)min=-;当t=时，f(t)max=2,所以，函数f(x)的值域为［-,2］.关闭Word文档返回原板块。
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课时提升作业(二十二)
一、选择题
1.·等于()
(A)-sinα(B)-cosα(C)sinα(D)cosα
2.函数y=sin2xcos 2x是()
(A)周期为的奇函数(B)周期为的偶函数
(C)周期为的奇函数(D)周期为的偶函数
3.(2013·广州模拟)化简=()
(A)-2 (B)-(C)-1 (D)1
4.已知函数f(x)=-asin cos(π-)的最大值为2,则常数a的值为()
(A)(B)-
(C)±(D)
5.(2013·太原模拟)若函数f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x-m在[0,]上有零点,则实数m的取值范围为()
(A)[-1,] (B)[-1,1]
(C)[1,] (D)[-,-1]
6.(2013·中山模拟)给出下列的四个式子:①,②,③,④;已知其中至少有两个式子的值与tanθ的值相等,则()
(A)a=cos2θ,b=sin2θ
(B)a=sin2θ,b=cos2θ
(C)a=sin,b=cos
(D)a=cos,b=sin
二、填空题
7.(2013·佛山模拟)化简-tan5°-的值是.
8.(能力挑战题)函数y=(acosx+bsinx)cosx有最大值2,最小值-1,则实数(ab)2的值为.
9.函数y=的单调递增区间为.
三、解答题
10.(2013·阳江模拟)已知函数f(x)=cos2(x-)-sin2x.
(1)求f()的值.
(2)若对于任意的x∈[0,],都有f(x)≤c,求实数c的取值范围.
11.已知函数f(x)=2sin(x-),x∈R.
(1)求f()的值.
(2)设α,β∈[0,],f(3α+)=,f(3β+2π)=,求cos(α+β)的值.
12.(能力挑战题)已知函数f(x)=sinωx·sin(-φ)-sin(+ωx)sin(π+φ)是R上的偶函数.其中ω>0,0≤φ≤π,其图象关于点M(,0)对称,且在区间[0,]上是单调函数,求φ和ω的值.
答案解析
1.【解析】选D.原式=·
=·
=cosα.
2.【思路点拨】利用倍角公式化简成y=Asinωx的形式,即可得其相应性质.
【解析】选A.y=sin2xcos 2x=sin4x,
∴最小正周期为=.
∵f(-x)=-f(x),
∴函数y=sin2xcos 2x是奇函数.
3.【解析】选C.===-1.
4.【思路点拨】先利用公式进行三角恒等变形,把f(x)化成f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,再利用最大值求得a.
【解析】选C.因为f(x)=+asinx=(cosx+asinx)=
cos(x-φ)(其中tanφ=a),所以=2,解得a=±.
5.【解析】选A.f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x-m
=1+sin 2x-2cos2x-m
=1+sin 2x-1-cos 2x-m
=sin(2x-)-m.
∵0≤x≤,∴0≤2x≤π,∴-≤2x-≤,
∴-1≤sin(2x-)≤,
故当-1≤m≤时,f(x)在[0,]上有零点.
6.【解析】选A.∵tanθ===,
∴a=cos2θ,b=sin2θ时,式子①③与tanθ的值相等,故选A.
7.【解析】原式=-=-=0.
答案:0
8.【解析】y=acos2x+bsinxcosx
=a·+sin 2x
=sin(2x+φ)+,
∴
∴a=1,b2=8,∴(ab)2=8.
答案:8
【方法技巧】三角恒等变换的特点
(1)三角恒等变换就是利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍角公式、半角公式等进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.
(2)对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角恒等变换的重要特点.
9.【思路点拨】利用倍角公式展开约分后化为正切再求解.
【解析】y==
==
=tan(+).
由kπ-<+<+kπ,k∈Z,
知2kπ-<x<2kπ+,k∈Z.
答案:(2kπ-,2kπ+),k∈Z
10.【解析】(1)f()=cos2(-)-sin2
=cos=.
(2)f(x)=[1+cos(2x-)]-(1-cos2x)
=[cos(2x-)+cos2x]
=(sin2x+cos2x)
=sin(2x+).
因为x∈[0,],所以2x+∈[,],
所以当2x+=,即x=时,
f(x)取得最大值.
所以对于任意的x∈[0,],f(x)≤c等价于≤c.
故对于任意的x∈[0,],都有f(x)≤c时,c的取值范围是[,+∞). 【变式备选】设函数f(x)=2cos2x+2sinxcosx-1(x∈R).
(1)化简函数f(x)的表达式,并求函数f(x)的最小正周期.
(2)若x∈[0,],求函数f(x)的最大值与最小值.
【解析】(1)∵f(x)=2cos2x+2sinxcosx-1
=cos2x+sin2x
=2sin(2x+),
∴函数f(x)的最小正周期T=π.
(2)∵0≤x≤,∴≤2x+≤,
∴-≤sin(2x+)≤1,
∴-1≤2sin(2x+)≤2,
∴当2x+=,
即x=时,f(x)min=-1;
当2x+=,
即x=时,f(x)max=2.
11.【解析】(1)f()=2sin(-)=2sin=.
(2)f(3α+)=2sinα=,
∴sinα=.又α∈[0,],∴cosα=,
f(3β+2π)=2sin(β+)=2cosβ=,
∴cosβ=.
又β∈[0,],∴sinβ=,
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=.
12.【解析】由已知得f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ=sin(ωx+φ),
∵f(x)是偶函数,∴φ=kπ+,k∈Z.
又∵0≤φ≤π,∴φ=.
∴f(x)=sin(ωx+)=cosωx.
又f(x)关于(,0)对称,
故ω=kπ+,k∈Z.
即ω=+,k∈Z.
又ω>0,故k=0,1,2,…
当k=0时,ω=,f(x)=cos x在[0,]上是减函数.
当k=1时,ω=2,f(x)=cos2x在[0,]上是减函数.
当k=2时,ω=,f(x)=cos x在[0,]上不是单调函数, 当k>2时,同理可得f(x)在[0,]上不是单调函数,
综上,ω=或ω=2.。