考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
2011年高考考点10--导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
2011年高考考点10--导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例D2.（2011·辽宁高考理科·Ｔ11）函数f （x ）的定义域为R ，f （-1）=2，对任意x ∈R ，2)(>'x f ，则f （x ）＞2x+4的解集为（A ）（-1，1） （B ）（-1，+∞） （C ）（-∞，-1） （D ）（-∞，+∞）【思路点拨】先构造函数)42()()(+-=x x f x g ，求其导数，将问题转化为求)(x g 单调性问题即可求解． 【精讲精析】选B.构造函数)42()()(+-=x x f x g ，则=-)1(g 022)42()1(=-=+---f ，又因为2)(>'x f ，所以02)()(>-'='x f x g ，可知)(x g 在R 上是增函数，所以)42()(+>x x f 可化为0)(>x g ，即)1()(->g x g ，利用单调性可知，1->x ．选B.3．（2011·安徽高考理科·Ｔ10）函数()()1nmf x ax x =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则,m n 的值可能是（A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==【思路点拨】本题考查函数与导数的综合应用，先求出)(x f 的导数，然后根据函数图像确定极值点的位置，从而判断m,n 的取值.【精讲精析】选B.函数()()1nmf x axx =-的导数11()()(1)(),m n mf x m n ax x x m n--'=-+--+则)(x f '在),0(n m m +上大于0，在)1,(nm m+上小于0，由图象可知极大值点为31，结合选项可得m=1,n=2. 二、填空题4.（2011·广东高考理科·Ｔ12）函数32()31f x x x =-+在x =处取得极小值.【思路点拨】先求导函数的零点，然后通过导数的正负分析函数的增减情况，从而得出取得极值的时刻. 【精讲精析】答案：2 由063)(2=-='x xx f 解得0=x 或2=x ，列表如下：x ()0,-∞ 0 ()2,0 2()+∞,2)(x f ' + - + )(x f 增 极大值 减 极小值 增∴当2=x 时，y 取得极小值.5．（2011·辽宁高考文科·Ｔ16）已知函数ax e x f x+-=2)(有零点，则a 的取值范围是【思路点拨】先求)(x f '，判断)(x f 的单调性．结合图象找条件．本题只要使)(x f 的最小值不大于零即可． 【精讲精析】选A ，)(x f '=2-xe．由)(x f '0>得2-xe>，∴2ln >x ．由)(x f '0<得，2ln <x ．∴)(x f 在2ln =x 处取得最小值． 只要0)(min≤x f即可．∴02ln 22ln ≤+-a e，∴22ln 2-≤a ．∴a 的取值范围是]22ln 2,(--∞6.（2011·江苏高考·Ｔ12）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x ex f x的图象上的动点，该图象在P处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_________【思路点拨】本题考查的是直线的切线方程以及函数的单调性问题，解题的关键是表示出中点的纵坐标t 的表达式，然后考虑单调性求解最值。
高中数学 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
高中数学导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例1.(2009·广东高考)函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是说明 ( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞) 解析：f (x )＝(x －3)·e x ，f ′(x )＝e x (x －2)＞0， ∴x ＞2.∴f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)． 答案：D2.若函数h (x )＝2x －k x ＋k3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是 ( )A ． D ．(－∞，2]解析：因为h ′(x )＝2＋k x 2，所以h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋kx2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈ C ．(－∞，－1) D ．(1，＋∞)解析：由f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)， 且当x ＜－1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0.所以当x ＝－1时函数f (x )有极大值，当x ＝1时函数f (x )有极小值．要使函数f (x )有3个不同的零点，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＞0，f (1)＜0.解之得－2＜a ＜2. 答案：A7．函数y ＝sin2x －x ，x ∈的最大值是________，最小值是________． 解析：∵y ′＝2cos2x －1＝0，∴x ＝±π6.而f (－π6)＝－32＋π6，f (π6)＝32－π6，端点f (－π2)＝π2，f (π2)＝－π2，所以y 的最大值是π2，最小值是－π2.答案：π2 －π28．(文)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线l 不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l 的距离为1010，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值， (1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在上的最大值和最小值． 解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0. ① 当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′(23)＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0. ② 由①②解得a ＝2，b ＝－4. 设切线l 的方程为y ＝3x ＋m . 由原点到切线l 的距离为1010，则|m |32＋1＝1010， 解得m ＝±1.∵切线l 不过第四象限，∴m ＝1. 由于切点的横坐标为x ＝1，∴f (1)＝4. ∴1＋a ＋b ＋c ＝4，∴c ＝5； (2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， ∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，得x ＝－2，x ＝23.f (x )和f ′(x )的变化情况如下表：Z]Z∴f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝13， 在x ＝23处取得极小值f (23)＝9527.又f (－3)＝8，f (1)＝4，∴f (x )在上的最大值为13，最小值为9527.(理)已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx －2的图象在与x 轴交点处的切线方程是y ＝5x －10. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝f (x )＋13mx ，若g (x )的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数g (x )取得极值时对应的自变量x 的值．解：(1)由已知，切点为(2,0)，故有f (2)＝0，即4b ＋c ＋3＝0. ① f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ，由已知，f ′(2)＝12＋8b ＋c ＝5.得8b ＋c ＋7＝0. ② 联立①、②，解得c ＝1，b ＝－1， 于是函数解析式为f (x )＝x 3－2x 2＋x －2. (2)g (x )＝x 3－2x 2＋x －2＋13mx ，g ′(x )＝3x 2－4x ＋1＋m3，令g ′(x )＝0.当函数有极值时，Δ≥0，方程3x 2－4x ＋1＋m3＝0有实根，由Δ＝4(1－m )≥0，得m ≤1.①当m ＝1时，g ′(x )＝0有实根x ＝23，在x ＝23左右两侧均有g ′(x )＞0，故函数g (x )无极值．②当m ＜1时，g ′(x )＝0有两个实根， x 1＝13(2－1－m )，x 2＝13(2＋1－m )，当x 变化时，g ′(x )、g (x )的变化情况如下表：Z ] Z当x ＝13(2－1－m )时g (x )有极大值； 当x ＝13(2＋1－m )时g (x )有极小值．9.已知对任意实数x ，x >0时， f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时 ( ) A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0 B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0 C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0 D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0解析：由题意知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数．当x ＞0时，f (x )，g (x )都单调递增，则当x ＜0时，f (x )单调递增，g (x )单调递减，即f ′(x )＞0，g ′(x )＜0. 答案：B10．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80 000 (x ＞400)，则总利润最大时，每年生产的产品是 ( ) A ．100 B ．150 C ．200 D ．300 解析：由题意得，总成本函数为C ＝C (x )＝20 000＋100x ， 所以总利润函数为 P ＝P (x )＝R (x )－C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000 (0≤x ≤400)，60 000－100x (x ＞400)，而P ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x (0≤x ≤400)，－100 (x ＞400)，令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知x ＝300时，P 最大．答案：D11．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 ( )解析：对于图A 来说，抛物线为函数f (x )，直线为f ′(x )；对于图B 来说，上凸的曲线为函数f (x )，下凹的曲线为f ′(x )；对于图C 来说，下面的曲线为函数f (x )，上面的曲线f ′(x )．只有图D 不符合题设条件． 答案：D12．(2010·南通模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值，(1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈，不等式f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围． 解：(1)f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由f ′(－23)＝129－43a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝－12，b ＝－2，f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，函数f (x )的单调区间如下表：x (－∞，－23)－23 (－23，1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋－＋f (x )Z极大值]极小值Z所以函数f (x )的递增区间是(－∞，－23)与(1，＋∞)，递减区间(－23，1)；(2)f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈，当x ＝－23时，f (－23)＝2227＋c 为极大值，而f (2)＝2＋c ，则f (2)＝2＋c 为最大值，要使f (x )＜c 2，x ∈恒成立，则只需要c 2＞f (2)＝2＋c ，得c ＜－1，或c ＞2.。
考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例 【2019年高考数学真题分类】
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考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、解答题1.(2019·全国卷Ⅰ文科·T20)已知函数f (x )=2sin x -x cos x -x ,f'(x )为f (x )的导数. (1)证明:f'(x )在区间(0,π)存在唯一零点. (2)若x ∈[0,π]时,f (x )≥ax ,求a 的取值范围.【命题意图】本题考查利用导数讨论函数零点个数,根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.【解题指南】对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题,通常采用构造函数的方式,将问题转变成函数最值与零之间的比较,进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性,从而得到最值. 【解析】(1)设g (x )=f'(x ),则g (x )=cos x +x sin x -1,g'(x )=x cos x.当x ∈(0,π2)时,g'(x )>0;当x ∈(π2,π)时,g'(x )<0,所以g (x )在(0,π2)单调递增,在(π2,π)单调递减. 又g (0)=0,g (π2)>0,g (π)=-2,故g (x )在(0,π)存在唯一零点. 所以f'(x )在(0,π)存在唯一零点.(2)由题设知f (π)≥a π,f (π)=0,可得a ≤0.由(1)知,f'(x )在(0,π)只有一个零点,设为x 0,且当x ∈(0,x 0)时,f'(x )>0;当x ∈(x 0,π)时,f'(x )<0,所以f (x )在(0,x 0)单调递增,在(x 0,π)单调递减.又f (0)=0,f (π)=0,所以,当x ∈[0,π]时,f (x )≥0. 又当a ≤0,x ∈[0,π]时,ax ≤0,故f (x )≥ax. 因此,a 的取值范围是(-∞,0].2.(2019·天津高考理科·T20)设函数f (x )=e x cos x ,g (x )为f (x )的导函数. (1)求f (x )的单调区间.(2)当x ∈[π4,π2]时,证明f (x )+g (x )(π2-x)≥0.(3)设x n 为函数u (x )=f (x )-1在区间(2nπ+π4,2nπ+π2)内的零点,其中n ∈N *,证明2n π+π2-x n <e -2nπsin x 0-cos x 0【命题意图】本题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.【解析】(1)由已知,有f'(x )=e x (cos x -sin x ).因此,当x ∈(2kπ+π4,2kπ+5π4)(k ∈Z )时,有sin x >cos x ,得f'(x )<0,则f (x )单调递减;当x ∈(2kπ-3π4,2kπ+π4)(k ∈Z )时,有sin x <cos x ,得f'(x )>0,则f (x )单调递增.所以f (x )的单调递增区间为[2kπ-3π4,2kπ+π4](k ∈Z ),f (x )的单调递减区间为[2kπ+π4,2kπ+5π4](k ∈Z ). (2)记h (x )=f (x )+g (x )(π2-x).依题意及(1),有g (x )=e x (cos x -sin x ),从而g'(x )=-2e x sin x. 当x ∈(π4,π2)时,g'(x )<0,故h'(x )=f'(x )+g'(x )(π2-x)+g (x )×(-1) =g'(x )(π2-x)<0.因此h (x )在区间[π4,π2]上单调递减, 进而h (x )≥h (π2)=f (π2)=0.所以当x ∈[π4,π2]时,f (x )+g (x )(π2-x)≥0. (3)依题意,u (x n )=f (x n )-1=0,即e x n cos x n =1.记y n =x n -2n π,则y n ∈(π4,π2),且f (y n )=e y n cos y n =e x n -2nπcos (x n -2n π)=e -2n π(n ∈N *). 由f (y n )=e -2n π≤1=f (y 0)及(1),得y n ≥y 0. 由(2)知,当x ∈(π4,π2)时,g'(x )<0, 所以g (x )在[π4,π2]上为减函数, 因此g (y n )≤g (y 0)<g (π4)=0. 又由(2)知,f (y n )+g (y n )(π2-y n )≥0, 故π2-y n ≤-f (y n )g (y n )=-e -2nπg (y n )≤-e -2nπg (y 0)=e -2nπe y 0(sin y 0-cos y 0)<e -2nπsin x 0-cos x 0.所以2n π+π2-x n <e -2nπsin x 0-cos x 0.3.(2019·天津高考文科·T20)设函数f (x )=ln x -a (x -1)e x ,其中a ∈R . (1)若a ≤0,讨论f (x )的单调性.(2)若0<a <1e,①证明f (x )恰有两个零点;②设x 0为f (x )的极值点,x 1为f (x )的零点,且x 1>x 0,证明3x 0-x 1>2.【命题意图】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法,考查函数思想、化归与转化思想,考查综合分析问题和解决问题的能力.【解题指南】(1)首先写出函数的定义域,对函数求导,判断导数在对应区间上的符号,从而得到结果.(2)①对函数求导,确定函数的单调性,求得极值的符号,从而确定出函数的零点个数,得到结果;②首先根据题意,列出方程组,借助中介函数,证得结果.【解析】(1)由已知,f (x )的定义域为(0,+∞), 且f'(x )=1x-[a e x +a (x -1)e x ]=1-ax 2e xx, 因此当a ≤0时,1-ax 2e x >0,从而f'(x )>0,所以f (x )在(0,+∞)内单调递增. (2)①由(1)知,f'(x )=1-ax 2e xx, 令g (x )=1-ax 2e x ,由0<a <1e,可知g (x )在(0,+∞)内单调递减,又g (1)=1-a e>0,且g (ln 1a)=1-a (ln 1a )2·1a=1-(ln 1a)2<0,故g (x )=0在(0,+∞)内有唯一解,从而f'(x )=0在(0,+∞)内有唯一解,不妨设为x'0, 则1<x'0<ln 1a,当x ∈(0,x'0)时,f'(x )=g (x )x >g (x '0)x=0, 所以f (x )在(0,x'0)内单调递增;当x ∈(x'0,+∞)时,f'(x )=g (x )x <g (x '0)x=0, 所以f (x )在(x'0,+∞)内单调递减,因此x'0是f (x )的唯一极值点.令h (x )=ln x -x +1,则当x >1时,h'(x )=1x-1<0,故h (x )在(1,+∞)内单调递减,从而当x >1时,h (x )<h (1)=0,所以ln x <x -1, 从而f (ln 1a )=ln (ln 1a )-a (ln 1a-1)e ln 1a =ln (ln 1a )-ln 1a +1=h (ln 1a)<0, 又因为f (x'0)>f (1)=0,所以f (x )在(x'0,+∞)内有唯一零点,又f (x )在(0,x'0)内有唯一零点1,从而,f (x )在(0,+∞)内恰有两个零点.②由题意,{f '(x 0)=0,f (x 1)=0,即{ax 02e x 0=1,ln x 1=a (x 1-1)e x 1,从而ln x 1=x 1-1x 02e x 1-x 0,即ex 1-x 0=x 02ln x 1x 1-1, 当x >1时,ln x <x -1, 又x 1>x 0>1,故e x 1-x 0<x 02(x 1-1)x 1-1=x 02, 两边取对数,得ln e x 1-x 0<ln x 02,于是x 1-x 0<2ln x 0<2(x 0-1),整理得3x 0-x 1>2.【方法技巧】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解. 4.(2019·浙江高考·T22)(本小题满分15分) 已知实数a ≠0,设函数f (x )=a ln x +√x +1,x >0. (1)当a =-34时,求函数f (x )的单调区间.(2)对任意x ∈[1e2,+∞)均有f (x )≤√x2a,求a 的取值范围.注:e=2.718 28…为自然对数的底数.【命题意图】本题主要考查函数的单调性,导数的运算及其应用,同时考查逻辑思维能力和综合应用能力. 【解析】(1)当a =-34时,f (x )=-34ln x +√1+x ,x >0.f'(x )=-34x +2√1+x=√1+x -√1+x+14x √1+x ,所以,函数f (x )的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+∞). (2)由f (1)≤12a,得0<a ≤√24.当0<a ≤√24时,f (x )≤√x 2a等价于√x a2-2√1+xa-2ln x ≥0.令t =1a,则t ≥2√2.设g (t )=t 2√x -2t √1+x -2ln x ,t ≥2√2,则g (t )≥g (2√2)=8√x -4√2√1+x -2ln x.(ⅰ)当x ∈[17,+∞)时,√1+1x≤2√2,则g (t )≥g (2√2)=8√x -4√2√1+x -2ln x.记p (x )=4√x -2√2√1+x -ln x ,x ≥17,则p'(x )=√x -√2√x+1-1x=√x √x+1-√2x √x+1x √x+1.故所以,p (x )≥p (1)=0.因此,g (t )≥g (2√2)(ⅱ)当x ∈[1e 2,17]时,g (t )≥g (√1+1x )=√xlnx 2√x.令q (x )=2√x ln x +(x +1),x ∈[1e 2,17], 则q'(x )=lnx+2√x +1>0, 故q (x )在[1e 2,17]上单调递增,所以q (x )≤q (17). 由(ⅰ)得q (17)=-2√77p (17)<-2√77p (1)=0. 所以,q (x )<0.因此g (t )≥g (√1+1x)=-q (x )2√x>0. 由(ⅰ)(ⅱ)得对任意x ∈[1e2,+∞),t ∈[2√2,+∞),g (t )≥0,即对任意x ∈[1e 2,+∞),均有f (x )≤√x2a .综上所述,所求a 的取值范围是(0,√24].。
试述导数在解决实际问题中的应用
试述导数在解决实际问题中的应用在实际生活中，我们经常会遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“效率最高”等优化问题。
这类问题在数学上就是最大值、最小值问题，一般都可以应用导数知识得到解决，下面通过具体实例谈谈导数在实际生活中的应用。
一、生活中的优化问题：例1：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？分析：生活中的优化问题：根据实际意义建立好目标函数，体会导数在解决实际问题中的作用。
例1：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？分析：这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧。
而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单。
思路：设箱底边长为x cm，则箱高602xh-=cm，得箱子容积V是箱底边长x的函数：23260()(060)2x xr x x h x-==<<，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的16，这个结论是否具有一般性？二、最大利润问题例2： 已知某商品生产成本C 与常量q 的函数关系式为1004C q =+，价格p 与产量q 的函数关系式1258p q =-。
求产量q 为何值时，利润L 最大。
分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格，由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润。
解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭ 利润()212510048L R C q q q ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭ ()212110002008q q q =-+-<< '1214L q =-+ 令'0L =，即12104q -+= 求得唯一的极值点84q = 因为L 只有一个极值点，所以它是最大值。
高考数学 考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1.（2012•山东高考文科•Ｔ10）与（2012•山东高考理科•Ｔ9）相同函数cos6 22x xxy-=-的图象大致为（）【解题指南】本题可利用函数的奇偶性，及函数零点的个数，取点验证法可得.【解析】选D.由()()x fxxxfxxxx-=--=--=---226cos22)6cos(知()x f为奇函数，当12π=x时，y>0，随着x 的变大，分母逐渐变大，整个函数值越来越接近y轴，只有D选项满足.2.（2012·新课标全国高考理科·T10）已知函数f(x)=()1ln1x x+-,则y=f(x)的图象大致为（）【解题指南】令()ln(1)g x x x=+-，通过对()g x单调性与最值的考查，判断出在不同的区间段f(x)的函数值的正负，最后利用排除法得正确选项。
【解析】选B.()ln(1)()1()010,()00()(0)0xg x x x g xxg x x g x x g x g'=+-⇒=-+''⇒>⇔-<<<⇔>⇒<=得：0x >或10x -<<均有()0f x <，排除,,A C D3.（2012·辽宁高考文科·Ｔ8）函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为（A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞） （D ）（0，+∞）【解题指南】保证函数有意义的前提下，利用0y '≤解得单调减区间【解析】选B. 由211(ln )0112y x x x x x ''=-=-≤⇒-≤≤，又函数的定义域为(0,)+∞ 故单调减区间为](0,1.4.（2012·陕西高考文科·Ｔ9）设函数()f x =2x +ln x ，则（ ） (A) x=12为()f x 的极大值点 (B) x=12为()f x 的极小值点(C) x=2为()f x 的极大值点 (D) x=2为()f x 的极小值点【解题指南】先根据导数等于0求出极值点，再根据导数的正、负判断函数的单调性，判断极值点是极大值点还是极小值点.【解析】选D. ∵()f x =2x +ln x ，∴221()f x x x '=-+，令()0f x '=，即222120x x x x --+==，解得2x =，当2x <时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，所以x=2为()f x 的极小值点.5.（2012·福建高考文科·Ｔ12）已知32()69f x x x x abc =-+-，a b c <<且()()()0f a f b f c ===．现给出如下结论：①(0)(1)0f f >；②(0)(1)0f f <；③(0)(3)0f f >；④(0)(3)0f f <．其中正确结论的序号是（ ） A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【解题指南】首先要构画函数的草图，因此，要求导，分析单调性，然后分别求出(0)f ，(1)f ，(3)f ，再判断各命题的真假． 【解析】选C.f ′(x)=3x 2-12x+9=3(x-1)(x-3),函数在(-∞,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,又因为f(a)=f(b)=f(c)=0,所以a ∈(-∞,1),b ∈(1,3),c ∈(3,+∞), f(1)=4-abc,f(3)=-abc,f(0)=-abc.又因为f(b)=b3-6b2+9b-abc=b(b2-6b+9)-abc=b[(b-3)2-ac]=0,所以ac为正数,所以a为正数,则有f(0)<0,f(1)>0,f(3)<0,所以②③正确.6.（2012·江西高考理科·Ｔ10）如右图，已知正四棱锥S-ABCD所有棱长都为1,点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记()01 SE x x=<<,截面下面部分的体积为()V x，则函数()y V x=的图象大致为（）A B C D【解题指南】分1 02x<<与112x≤<两种情况讨论，当12x<<时，将截面上面部分的几何体分割为两个锥体，用间接法求出截面下面部分的体积V（x）,然后通过V（x）的解析式得到图象，当112x≤<时，同理可得。
高考考点导数在研究报告函数中应用与生活中优化问题举例
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考点10导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题21. <2018 •安徽高考文科10)函数f x二ax n1 -x 在区间1.0,11上的图象如图所示，贝y n可能是< )<A) 1 <B ) 2 <C ) 3 <D ) 4【思路点拨】代入验证，并求导得极值，结合图象确定答案【精讲精析】选A.代入验证，当n=1时，f (x) = ax(1 - x)2 = a(x3 -2x2• x)，贝V2 2 1f (x) =a(3x -4x 1)，由f (x) =a(3x -4x 1) =0可知，％, x^ 1，结合图象可知函数应在311 1<0,)递增，在(—J)递减，即在x 处取得最大值，由3 3 31 1 11f ( ) = a (1 )2,知a存在.3 3 3 22.<2018 •辽宁高考理科11)函数f<x )的定义域为R f<-1 ) =2,对任意x € R, f (x) 2，贝Uf<x ) > 2x+4的解集为<A) <-1 , 1) <B ) <-1 , +:- ) <C ) <- ：： , -1 ) <D ) <- ：： , +:-)【思路点拨】先构造函数g(x)二f(x) -(2x 4)，求其导数，将问题转化为求g(x)单调性问题即可求解.【精讲精析】 选B.构造函数g(x)二f (x) -(2x 4)，则g(-1) = f(-1) -(-2 • 4) = 2-2 = 0，又因为f (x) 2，所以g (x)二f (x) -2 • 0,可知g(x)在R 上是增函数，所以 f(x) • (2x4)可化为g(x) . 0，即g(x) . g(-1)，利用单调性可知,x • -1 .选B.3. <2018 •安徽高考理科10)函数f (x )=ax m (1—x )n 在区间［0,1］上的图象如图所示，贝y m,n 的值 可能是<A ) m =1,n=1(B> m =1,n=2(C> m=2, n=1 (D> m=3,n =1【思路点拨】 本题考查函数与导数的综合应用，先求出 f(x)的导数，然后根据函数图像确定极值点的位 置，从而判断m,n 的取值.【精讲精析】 选B.函数f (x )=ax m (1—x )的导数f (x) =-(m n)axm_l(1「x)n，(x -一 ),则 f (x)在(0,―)上大于 0，在(m,1)上小于 o ，由 m+nm+n m+n1图象可知极大值点为 ，结合选项可得 m=1, n=2.3二、填空题 4.<2018 •广东高考理科12)函数f (x) =x 3 -3x 2 1在X 二处取得极小值.【思路点拨】 先求导函数的零点，然后通过导数的正负分析函数的增减情况，从而得出取得极值的时刻 【精讲精析】答案：2由f (x) =3x 2 -6x =0解得x =0或x =2，列表如下：-当x =2时，y 取得极小值.5. <2018 •辽宁高考文科16)已知函数f (x)二e x -2x • a 有零点，则a 的取值范围是【思路点拨】先求f (x)，判断f (x)的单调性•结合图象找条件•本题只要使 f (x)的最小值不大于零即可.【精讲精析】选A, f(x)=e x-2 .由f (x) • 0得e x-2 0,x . ln 2 .由f (x) ：：：0 得，x ::: ln 2 .••• f (x)在x =1 n 2处取得最小值.只要f min (x) <0 即可.二e ln2- 21 n 2 • a 乞0 ,• a 乞21n 2 -2 .•a的取值范围是(―二,21 n2—2]6. <2018 •江苏高考12)在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(x)二e x(x 0)的图象上的动点，该图象在P处的切线丨交y轴于点M过点P作丨的垂线交y轴于点N设线段MN的中点的纵坐标为t，贝U t的最大值是__________【思路点拨】本题考查的是直线的切线方程以及函数的单调性问题，解题的关键是表示出中点的纵坐标t的表达式，然后考虑单调性求解最值。
高考理科数学考点解析 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T12)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)【解题指南】根据xf′(x)-f(x)<0,构造函数g(x)=,对函数g(x)=求导,利用其单调性及奇偶性确定f(x)>0成立的x的取值范围.【解析】选A.记函数()()f xg xx=，则''2()()()xf x f xg xx-=，因为当0x>时，'()()0xf x f x-<，故当0x>时，'()0g x<所以g(x)在(0,+∞)上单调递减;又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数,故函数g(x)是偶函数,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,且g(-1)=g(1)=0.当0<x<1时,g(x)>0,则f(x)>0;当x<-1时,g(x)<0,则f(x)>0,综上所述,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).2.（2015·安徽高考文科·T10）函数()32f x ax bx cx d=+++的图像如图所示，则下列结论成立的是（）A.a>0,b<0,c>0,d>0B.a>0,b<0,c<0,d>0C.a<0,b<0,c<0,d>0D.a>0,b>0,c>0,d<0【解题指南】结合图像的特征及导函数的性质进行判断。
【解析】选A 。
由函数f(x)的图像可知a>0,令x=0得d>0，又/2()32f x ax bx c =++可知12x x ，是方程/()0f x =的两个根，由图可知120,0x x >>，所以121220030.03b x x b ac c x x a ⎧+=->⎪<⎧⎪⇒⎨⎨>⎩⎪=>⎪⎩，故选A.3. (2015·陕西高考理科·T12)对二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a 为非零常数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是 ( ) A.-1是f(x)的零点 B.1是f(x)的极值点 C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y=f(x)上【解题指南】根据选项假设A 错误,利用导数推导函数的极值点及极值,与其余的选项相符,假设正确,从而确定答案.【解析】选A.若选项A 错误,则选项B,C,D 正确.f ′(x)=2ax+b,因为1是f(x)的极值点,3是f(x)的极值,所以{{{,解得,即,230230)1(3)1(a b a c b a c b a f f -=+==+=++='=,因为点(2,8)在曲线y=f(x)上,所以4a+2b+c=8,即4a+2×(-2a)+a+3=8,解得:a=5,所以b=-10,c=8,所以f(x)=5x 2-10x+8,因为f(-1)=5×1-10×(-1)+8=23≠0,所以-1不是f(x)的零点,所以选项A 错误,选项B 、C 、D 正确.4.(2015·福建高考理科·T10) 若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（ ） A ．11f k k ⎛⎫< ⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ． 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【解题指南】利用导数与单调性的关系及构造函数法求解.【解析】选C.因为f ′(x)>k>1,构造函数g(x)=f(x)-kx,所以g(x)在R 上单调递增,又>0,所以g >g(0)即f->-1,得到f>,所以C 选项一定错误.A,B,D 都有可能正确.5.(2015·福建高考文科·T12)“对任意x∈,ksinxcosx<x ”是“k<1”的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【解题指南】构造函数,利用导数求出k 的范围. 【解析】选B.令g(x)=ksinxcosx-x=sin2x-x,因为x∈,2x∈,当k ≤0时,sin2x>0,g(x)<0恒成立,当0<k ≤1时,g ′(x)=kcos2x-1,因为<1,所以此时g ′(x)<0,g(x)在上单调递减,又g(0)=0,所以g(x)<g(0)=0成立,当k>1时,g ′(x)=0有一个根x 0且在区间(0,x 0)单调递增,此时g(x)<0不恒成立,故k 的范围是k ≤1,k ≤1不能推出k<1,充分性不成立,但是k<1能推出k ≤1,必要性成立.6.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T12)设函数f(x)=e x (2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x 0,使得f(x 0)<0,则a 的取值范围是 ( )A.)1,23[e -B. )43,23[e -C. )43,23[e D. )1,23[e【解题指南】构造函数g(x)=e x (2x-1),y=ax-a,使得f(x 0)<0,即g(x 0)在直线y=ax-a 的下方.【解析】选D.设g(x)=e x (2x-1),y=ax-a,由题意知存在唯一的整数x 0,使得g(x 0)在直线y=ax-a 的下方.因为g ′(x)=e x (2x+1),所以当x<-时,g ′(x)<0,当x>-时,g ′(x)>0,所以,当x=-12时,[g(x)]min =-2.当x=0时,g(0)=-1,g(1)=e,直线y=ax-a 恒过点(1,0),且斜率为a,故-a>g(0)=-1,且g(-1)=-3e -1≥-a-a,解得≤a<1.二、填空题7.(2015·新课标全国卷Ⅰ文科·T14)已知函数f =ax 3+x+1的图象在点处的切线过点,则a= .【解题指南】先对函数f =ax 3+x+1求导,求出在点处的切线方程.【解析】因为f ′(x)=3ax 2+1,所以图象在点处的切线的斜率k=3a+1,所以切线方程为y-7=(3a+1)(x-2),即y=(3a+1)x-6a+5,又切点为,所以f(1)=3a+1-6a+5=-3a+6,又f(1)=a+2,所以-3a+6=a+2,解得a=1. 答案:18.(2015·新课标全国卷Ⅱ文科·T16)已知曲线y=x+lnx 在点(1,1)处的切线与曲线y=ax 2+(a+2)x+1相切,则a= .【解题指南】先对函数y=x+ln x 求导,然后将(1,1)代入到导函数中,求出切线的斜率,从而确定切线方程,再将切线方程与曲线y=ax 2+(a+2)x+1联立,利用Δ=0求出a 的值.【解析】y ′=1+,则曲线y=x+ln x 在点(1,1)处的切线斜率为k=y ′=1+1=2,故切线方程为y=2x-1.因为y=2x-1与曲线y=ax 2+(a+2)x+1相切,联立⎩⎨⎧+++=-=1)2(122x a ax y x y 得ax 2+ax+2=0,显然a ≠0,所以由Δ=a 2-8a=0⇒a=8. 答案:89.（2015·安徽高考理科·T15）设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）(1)3,3a b =-=-；(2)3,2a b =-=；(3)3,2a b =->；(4)0,2a b ==;(5)1,2a b ==【解题指南】利用导数的单调性及极值判断各选项。
导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1.(2016·四川高考文科·T10)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1,⎧-<<⎨>⎩图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是 ( )A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)【解题指南】设出两切点的坐标,两切线方程,从而求出点P 的坐标,表示出三角形的面积,进而求出取值范围.【解析】选A.设P 1()11x ,lnx ,P 2()22x ,lnx - (不妨设x 1>1,0<x 2<1),则由导数的几何意义易得切线l 1,l 2的斜率分别为k 1=11x ,k 2=-21x .由已知得k 1k 2=-1,所以x 1x 2=1,所以x 2=11x ,所以切线l 1的方程为y-lnx 1=()111x x x -,切线l 2的方程为y+lnx 2=-()221x x x -.分别令x=0得A ()10,1lnx -+,B ()20,1lnx -.又l 1与l 2的交点为P 211122112x 1x ,lnx 1x 1x ⎛⎫-+ ⎪ ⎪++⎝⎭.因为x 1>1,所以S △PAB =211A B P 22112x 1x 1y y x 121x 1x +-⋅=<=++,所以0<S △PAB <1.二、解答题2.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T21)已知函数f (x )=(x-2)·e x +a (x-1)2. (1)讨论f (x )的单调性.(2)若f (x )有两个零点,求a 的取值范围.【解题指南】(1)求导,根据导函数的符号确定,主要根据导函数零点来分类.(2)借助第一问的叙述,通过分类讨论确定a 的取值范围. 【解析】(1)f'(x )=(x-1)e x +2a (x-1)=(x-1)(e x +2a ).(ⅰ)设a≥0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. (ⅱ)设a<0,由f'(x)=0,解得x=1或x=ln(-2a).①若a=-e2,则f'(x)=(x-1)(e x-e),所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,②若a>-e2,则ln(-2a)<1,故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(ln(-2a),1)时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,ln(-2a))和(1,+∞)上单调递增,在(ln(-2a),1)上单调递减.③若a<-e2,则ln(-2a)>1,故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0;当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,1)和(ln(-2a),+∞)上单调递增,在(1,ln(-2a))上单调递减.(2)(ⅰ)设a>0,则由(1)知,f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且b<ln a2,则f(b)>a2(b-2)+a(b-1)2=a23b b2⎛⎫-⎪⎝⎭>0,所以f(x)有两个零点.(ⅱ)设a=0,则f(x)=(x-2)e x,所以f(x)只有一个零点. (ⅲ)设a<0,若a≥-e2,则由(1)知,f (x )在(1,+∞)上单调递增.又当x ≤1时,f (x )<0,故f (x )不存在两个零点; 若a<-e 2,则由(1)知,f (x )在(1,ln (-2a ))上单调递减, 在(ln (-2a ),+∞)上单调递增,又当x ≤1时,f (x )<0,故f (x )不存在两个零点. 综上,a 的取值范围为(0,+∞).3.(2016·全国卷Ⅱ理科·T21)(1)讨论函数f (x )=x 2x 2-+ e x的单调性,并证明当x>0时,(x-2)e x +x+2>0.(2)证明:当a ∈[0,1)时,函数g (x )=x 2e ax ax-- (x>0)有最小值.设g (x )的最小值为h (a ),求函数h (a )的值域.【解题指南】(1)先求函数f (x )的导数,判断f'(x )的正负,确定函数的单调性,函数的解析式和不等式的左侧有联系,利用这种关联进行证明.(2)求g'(x )并变形,寻找和f (x )的联系,利用(1)进行求解.【解析】(1)f (x )=x 2x 2-+ e x , f'(x )=e x 2x22x 24x e =x 2(x 2)(x 2)⎡⎤-+⎢⎥+++⎣⎦,因为当x ∈(-∞,-2)∪(-2,+∞)时,f'(x )>0, 所以f (x )在(-∞,-2)和(-2,+∞)上单调递增, 所以x>0时,x 2x 2-+ e x >f (0)=-1, 所以(x-2)e x +x+2>0.(2)g'(x )=()()x2x 4e a x 2x e ax ax ----=()x x 4x xe 2e ax 2ax -++=()x3x 2x 2e a x 2x ⎛⎫-+⋅+⎪+⎝⎭,a ∈[0,1).由(1)知,当x>0时,f (x )=x 2x 2-+·e x 的值域为(-1,+∞),只有一解,使得x 2x 2-+·e t =-a ,t ∈(0,2]. 当x ∈(0,t )时g'(x )<0,g (x )单调递减; 当x ∈(t ,+∞)时g'(x )>0,g (x )单调递增. h (a )=()()t tt t22t 2e t 1?e e a t 1e t 2==t 2tt -++-+++, 记k (t )=te t 2+,在t ∈(0,2]时,k'(t )=()t 2e t 1(t 2)++ >0,所以k (t )单调递增, 所以h (a )=k (t )∈21e ,24⎛⎤ ⎥⎝⎦.4.(2016·全国卷Ⅱ文科·T20)已知函数f (x )=(x+1)lnx-a (x-1). (1)当a=4时,求曲线y=f (x )在(1,f (1))处的切线方程. (2)若当x ∈(1,+∞)时,f (x )>0,求a 的取值范围.【解题指南】(1)把a=4代入函数解析式,利用导数的几何意义求切线方程. (2)对不等式f (x )>0进行转化,构造函数,利用导数进行分析求解. 【解析】(1)函数f (x )的定义域为(0,+∞).当a=4时,f (x )=(x+1)lnx-4(x-1),f'(x )=lnx+1x-3,f'(1)=-2,f (1)=0, 所以曲线y=f (x )在(1,f (1))处的切线方程为2x+y-2=0. (2)当x ∈(1,+∞)时,f (x )>0等价于lnx-()a x 1x 1-+>0,设g (x )=lnx-()a x 1x 1-+,则g'(x )=()222x 21a x 112a-=x (x 1)x (x 1)+-+++,g (1)=0.①当a ≤2时,x ∈(1,+∞),x 2+2(1-a )x+1≥x 2-2x+1>0,故g'(x )>0, g (x )在(1,+∞)上单调递增,因此g (x )>0.②当a>2时,令g'(x )=0,得x 1=a-1-2(a 1)1--,x 2=a-1+2(a 1)1--,由x 2>1和x 1x 2=1,得x 1<1,故当x ∈(1,x 2)时,g'(x )<0,g (x )在(1,x 2)上单调递减,因此g (x )<0,不符合题意,综上,a 的取值范围是(-∞,2].5.(2016·四川高考文科·T21)设函数f (x )=ax 2-a-lnx ,g (x )=x 1e x e-,其中a ∈R,e=2.718…为自然对数的底数. (1)讨论f (x )的单调性. (2)证明:当x>1时,g (x )>0.(3)确定a 的所有可能取值,使得f (x )>g (x )在区间(1,+∞)内恒成立.【解题指南】(1)对f (x )求导,对a 进行讨论,判断函数的单调性.(2)利用导数判断函数的单调性,判断最值,证明结论.(3)构造函数h (x )=f (x )-g ()()x x 1≥,利用导数判断函数h (x )的单调性,求出函数h (x )的最值,从而证明结论.【解析】(1)由题意得f'(x )=2ax-()212ax 1 x 0x x-=>,① a ≤0时,f''(x )<0,f'(x )在()0,∞+内单调递减; ② a>0时,由f''(x )=0,得x=12a,当x ∈10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭时,f''(x )<0,此时f'(x )单调递减;当x ∈1,∞2a ⎛⎫+⎪⎝⎭时,f''(x )>0,此时f'(x )单调递增.(2)令s (x )=e x-1-x ,则s'(x )=e x-1-1.当x>1时,s'(x )>0,所以e x-1>x ,从而g (x )=x-11exe - >0. (3)由(2)知,当x>1时,g (x )>0.当a ≤0,x>1时,f (x )=a (x 2-1)-lnx<0.故当f (x )>g (x )在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0.当0<a<12时,12a>1.由(1)有f 12a ⎛⎫<f (1)=0,而g 12a ⎛⎫>0,所以此时f (x )>g (x )在区间(1,+∞)内不恒成立.当a ≥12时,令h (x )=f (x )-g (x )(x ≥1).当x>1时,h'(x )=2ax-321222211111x 2x 1x 2x 12? x x x x x x x x ax e x --+-+----+-=>>0>.因此h (x )在区间(1,+∞)上单调递增.又因为h (1)=0,所以当x>1时,h (x )=f (x )-g (x )>0,即f (x )>g (x )恒成立. 综上,a ∈1,∞2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.。
考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
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考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1. （2013·辽宁高考理科·Ｔ12）设函数()f x 满足22()2(),(2).8x e e x f x xf x f x '+==则x>0时,f(x)（ ）.A 有极大值，无极小值.B 有极小值，无极大值 .C 既有极大值又有极小值.D 既无极大值也无极小值【解题指南】结合题目条件，观察式子的特点，构造函数，利用导数研究极值问题。
【解析】选D.由题意知2332()2()()x x e f x e x f x f x x x x -¢=-=，x 2x 22g(x)e 2x f (x),g '(x)e 2x f '(x)4xf (x 2(()2())22(1).)x x xx e x f x xf x e e e x x则令¢==--+=-=-=--由()0g x ¢=得2x =,当2x =时,222min ()2208e g x e =-创= 即()0g x ³,则当0x >时,3()()0g x f x x ¢= , 故()f x 在(0,+∞)上单调递增,既无极大值也无极小值.2. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ12）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ11）相同已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=0),1ln(0,2)(2x x x x x x f ，若ax x f ≥|)(|，则a 的取值范围是（ ）A.]0,(-∞B. ]1,(-∞C. ]1,2[-D. ]0,2[- 【解题指南】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象，利用|)(|x f 在)0,0(处的切线为制定参数的标准.【解析】选D.画出函数y=|f(x)|的图象如图所示,当0≤x 时，x x x f x g 2|)(|)(2-==，22)(-='x x g ，2)0(-='g ，故2-≥a .当0>x 时，)1ln(|)(|)(+==x x f x g ，11)(+='x x g 由于)(x g 上任意点的切线斜率都要大于a ，所以0≤a ，综上02≤≤-a .3. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ11）与(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T10)相同设已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） A.0x R ∃∈，0()0f x =B.函数()y f x =的图象是中心对称图形C.若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D.若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=【解析】选C.结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.A 项,因为函数f(x)的值域为R,所以一定存在x 0∈R,使f(x 0)=0,A 正确.B 项,假设函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为(m,n),按向量(,)a m n =--将函数的图象平移,则所得函数y=f(x+m)-n 是奇函数,所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,化简得(3m+a)x 2+m 3+am 2+bm+c-n=0.上式对x ∈R 恒成立,故3m+a=0,得m=-3a ,n=m 3+am 2+bm+c=f 3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为,33a a f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故y=f(x)的图象是中心对称图形,B 正确.C 项,由于()f x '=3x 2+2ax+b 是二次函数,f(x)有极小值点x 0,必定有一个极大值点x 1,若x 1<x 0,则f(x)在区间(-∞,x 0)上不单调递减,C 错误.D 项,若x 0是极值点,则一定有0()0f x '=.故选C. 4.（2013·安徽高考文科·Ｔ10）已知函数32()=+a +bx+f x x x c 有两个极值点1x ，2x ，若112()=f x x x <，则关于x 的方程23(())+2a ()+=0f x f x b 的不同实根个数是 ( ) A.3 B.4 C. 5 D.6【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x 1或f(x)=x 2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.【解析】选A 。
高考数学考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
温馨提示：考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、解答题1.(12分)(2018·全国卷I高考理科·T21)已知函数f=-x+a ln x.(1)讨论f的单调性.(2)若f存在两个极值点x 1,x2,证明:<a-2.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=--1+=-.(i)若a≤2,则f′(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时f′(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.(ii)若a>2,令f′(x)=0得,x=或x=.当x∈∪时,f′(x)<0;当x∈时,f′(x)>0.所以f(x)在,上单调递减,在上单调递增. (2)由(1)知,f(x)存在两个极值点,当且仅当a>2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x1<x2,则x2>1.由于=--1+a=-2+a=-2+a,所以<a-2等价于-x2+2ln x2<0.设函数g(x)=-x+2ln x,由(1)知,g(x)在(0,+∞)上单调递减,又g(1)=0,从而当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0.所以-x2+2ln x2<0,即<a-2.2.(2018·全国卷II高考理科·T21)(12分)已知函数f(x)=e x-ax2.(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1.(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.【命题意图】本题考查利用导数证明不等式和研究函数的零点,意在考查考生的化归与转化能力,分类讨论的思想运用以及求解能力.【解析】(1)当a=1时,f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0.设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,则g′(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.当x≠1时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,1)∪(1,+∞)上单调递减.而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1.(2)设函数h(x)=1-ax2e-x.f(x)在(0,+∞)上只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)上只有一个零点.(i)当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点;(ii)当a>0时,h′(x)=ax(x-2)e-x.当x∈(0,2)时,h′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h′(x)>0.所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.故h(2)=1-是h(x)在[0,+∞)上的最小值.①若h(2)>0,即a<,h(x)在(0,+∞)上没有零点;②若h(2)=0,即a=,h(x)在(0,+∞)上只有一个零点;③若h(2)<0,即a>,由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)上有一个零点,由(1)知,当x>0时,e x>x2,所以h(4a)=1-=1->1-=1->0.故h(x)在(2,4a)有一个零点,因此h(x)在(0,+∞)有两个零点.综上,f(x)在(0,+∞)只有一个零点时,a=.3.(2018·全国卷II高考文科·T21)(12分)已知函数f=x3-a.(1)若a=3,求f(x)的单调区间.(2)证明:f(x)只有一个零点.【命题意图】本题考查利用导数的有关知识来求解函数的单调区间以及研究函数的零点,意在考查考生的化归与转化能力,分类讨论的思想运用以及求解能力.【解析】(1)当a=3时,f(x)=x3-3x2-3x-3,f′(x)=x2-6x-3.令f′(x)=0解得x=3-2或3+2.当x∈(-∞,3-2)或(3+2,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(3-2,3+2)时,f′(x)<0.故f(x)在(-∞,3-2),(3+2,+∞)上单调递增,在(3-2,3+2)上单调递减.(2)由于x2+x+1>0,所以f(x)=0等价于-3a=0.设g(x)=-3a,则g′(x)=≥0,仅当x=0时g′(x)=0,所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增.故g(x)至多有一个零点.又f(3a-1)=-6a2+2a-=-6-<0,f(3a+1)=>0,故f(x)有一个零点.综上,f(x)只有一个零点.4.(本小题满分14分)(2018·天津高考理科·T20)已知函数f(x)=a x,g(x)=log a x,其中a>1.(Ⅰ)求函数h(x)=f(x)-x ln a的单调区间.(Ⅱ)若曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线平行,证明x1+g(x2)=-.(Ⅲ)证明当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.【命题意图】本题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.【解析】(I)由已知,h(x)=a x-x ln a,有h′(x)=a x ln a-ln a.令h′(x)=0,解得x=0.由a>1,可知当x变化时,h′(x),h(x)的变化情况如表:所以函数h(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).(II)由f′(x)=a x ln a,可得曲线y=f(x)在点(x 1,f(x1))处的切线斜率为ln a.由g′(x)=,可得曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线斜率为.因为这两条切线平行,故有ln a=,即x 2(ln a)2=1.两边取以a为底的对数,得log a x2+x1+2log a(ln a)=0,所以x1+g(x2)=-. (III)曲线y=f(x)在点(x 1,)处的切线l1:y-=ln a·(x-x1).曲线y=g(x)在点(x2,log a x2)处的切线l2:y-log a x2=(x-x2).要证明当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线,只需证明当a≥时,存在x1∈(-∞,+∞),x2∈(0,+∞),使得l1和l2重合.即只需证明当a≥时,方程组有解,由①得x 2=,代入②,得-x1ln a+x1++=0③,因此,只需证明当a≥时,关于x1的方程③有实数解.设函数u(x)=a x-xa x ln a+x++,即要证明当a≥时,函数y=u(x)存在零点. u′(x)=1-(ln a)2xa x,可知x∈(-∞,0)时,u′(x)>0;x∈(0,+∞)时,u′(x)单调递减,又u′(0)=1>0,u′[]=1-<0,故存在唯一的x0,且x0>0,使得u′(x即1-(ln a)2x0=0.0)=0,由此可得u(x)在(-∞,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减.u(x)在x=x0处取得极大值u(x0).因为a≥,故ln(ln a)≥-1,-x0ln a+x0++=所以u(x0)=+x0+≥≥0.下面证明存在实数t,使得u(t)<0.由(I)可得a x≥1+x ln a,当x>时,有u(x)≤(1+x ln a)(1-x ln a)+x++=-(ln a)2x2+x+1++,所以存在实数t,使得u(t)<0,因此,当a≥时,存在x1∈(-∞,+∞),使得u(x1)=0.所以,当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.5.(本小题满分14分)(2018·天津高考文科·T20)设函数f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中t1,t2,t3∈R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列.(Ⅰ)若t2=0,d=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)若d=3,求f(x)的极值;(Ⅲ)若曲线y=f(x)与直线y=-(x-t 2)-6有三个互异的公共点,求d的取值范围.【命题意图】本题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法,考查函数思想和分类讨论思想,考查综合分析问题和解决问题的能力.【解题指南】(Ⅰ)利用导数的几何意义可求直线的斜率,利用点斜式即可求出直线的方程;(Ⅱ)利用导函数与函数的单调性、极值之间的关系直接求函数的极值;(III)曲线y=f(x)与直线y=-(x-t 2)-6有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x-t2+d)(x-t2)(x-t2-d)+(x-t2)+6=0有三个互异的实数解,通过换元,求导,求函数的零点即可求解.【解析】(Ⅰ)由已知,可得f(x)=x(x-1)(x+1)=x3-x,故f′(x)=3x2-1,因此f(0)=0,f′(0)=-1,又因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-f(0)=f′(0)(x-0),故所求切线方程为x+y=0.(Ⅱ)由已知可得f(x)=(x-t2+3)(x-t2)(x-t2-3)=(x-t 2)3-9(x-t2)=x3-3t2x2+(3-9)x-+9t2.故f′(x)=3x2-6t 2x+3-9.令f′(x)=0,解得x=t 2-,或x=t2+.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:-) --+),所以函数f(x)的极大值为f(t2-)=(-)3-9×(-)=6;函数极小值为f(t 2+)=()3-9×=-6.(III)曲线y=f(x)与直线y=-(x-t 2)-6有三个互异的公共点等价于关于x的方d)(x-t2)(x-t2-d)+(x-t2)+6=0有三个互异的实数解,令u=x-t2,可得程(x-tu3+(1-d2)u+6=0.设函数g(x)=x3+(1-d2)x+6,则曲线y=f(x)与直线y=-(x-t 2)-6有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点.g′(x)=3x2+(1-d2).当d2≤1时,g′(x)≥0,这时g′(x)在R上单调递增,不合题意.当d2>1时,g′(x)=0,解得x1=-,x2=.易得,g(x)在(-∞,x1)上单调递增,在[x1,x2]上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增,g(x)的极大值g(x 1)=g=+6>0,g(x)的极小值g(x 2)=g=-+6.若g(x2)≥0,由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点,不合题意.即(d2-1>27,也就是|d|>,此时|d|>x2,g(|d|)=|d|+6>0,且若g(x2)<0,-2|d|<x 1,g(-2|d|)=-6|d|3-2|d|+6<-62+6<0,从而由g(x)的单调性,可知函数y=g(x)在区间(-2|d|,x1),(x1,x2),(x2,|d|)内各有一个零点,符合题意.所以d的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞).6.(本小题满分14分)(2018·江苏高考·T17)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP,要求A,B均在线段MN上,C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积,并确定sinθ的取值范围.(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.【解析】(1)设PO的延长线交MN于H,则PH⊥MN,所以OH=10.过O作OE⊥BC于E,则OE∥MN,所以∠COE=θ,故OE=40cosθ,EC=40sinθ,则矩形ABCD的面积为2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ), △CDP的面积为×2×40cosθ(40-40sinθ)=1600(cosθ-sinθcosθ).过N作GN⊥MN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK=KN=10.令∠GOK=θ0,则sinθ0=,θ0∈.当θ∈[θ0,)时,才能作出满足条件的矩形ABCD,所以sinθ的取值范围是.答:矩形ABCD的面积为800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP的面积为1600(cosθ-sinθcosθ),sinθ的取值范围是.(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k>0),则年总产值为4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ-sinθcosθ) =8000k(sinθcosθ+cosθ),θ∈.设f(θ)=sinθcosθ+cosθ,θ∈,则f′(θ)=cos2θ-sin2θ-sinθ=-(2sin2θ+sinθ-1)=-(2sinθ-1)(sinθ+1).令f′(θ)=0,得θ=,当θ∈时,f′(θ)>0,所以f(θ)为增函数;当θ∈时,f′(θ)<0,所以f(θ)为减函数,因此,当θ=时,f(θ)取到最大值.答:当θ=时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.7.(本小题满分16分)(2018·江苏高考·T19)记f′(x),g′(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.(1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”.(2)若函数f(x)=ax2-1与g(x)=ln x存在“S点”,求实数a的值.(3)已知函数f(x)=-x2+a,g(x)=,对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”,并说明理由.【解析】(1)函数f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,则f′(x)=1,g′(x)=2x+2.由f(x)=g(x)且f′(x)=g′(x),得此方程组无解,因此,f(x)与g(x)不存在“S”点.(2)函数f(x)=ax2-1,g(x)=ln x,则f′(x)=2ax,g′(x)=.设x0为f(x)与g(x)的“S”点,由f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),得即(*)得ln x 0=-,即x0=,则a==.当a=时,x 0=满足方程组(*),即x0为f(x)与g(x)的“S”点.因此,a的值为.(3)f′(x)=-2x,g′(x)=,(x≠0),由f′(x 0)=g′(x0),得b=->0,得0<x0<1,由f(x 0)=g(x0),得-+a==-,得a=-,令h(x)=x2--a=,(a>0,0<x<1),设m(x)=-x3+3x2+ax-a,(a>0,0<x<1),则m(0)=-a<0,m(1)=2>0,得m(0)m(1)<0,又m(x)的图象在(0,1)上连续不断,则m(x)在(0,1)上有零点,则h(x)在(0,1)上有零点,则f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S”点.8.(2018·浙江高考T22)(本题满分15分)已知函数f(x)=-ln x.(Ⅰ)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>8-8ln2.(Ⅱ)若a≤3-4ln2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.【命题意图】本题主要考查函数的单调性,导数的运算及其应用,同时考查逻辑思维能力和综合应用能力.【解析】(Ⅰ)函数f(x)的导函数f′(x)=-,由f′(x1)=f′(x2)得-=-,因为x1≠x2,所以+=.由基本不等式得=+≥2.因为x1≠x2,所以x1x2>256.由题意得f(x 1)+f(x2)=-ln x1+-ln x2=-ln(x1x2).设g(x)=-ln x,则g′(x)=(-4),所以所以g(x)在(256,+∞)上单调递增,故g(x1x2)>g(256)=8-8ln2,即f(x1)+f(x2)>8-8ln2.(Ⅱ)令m=e-(|a|+k),n=+1,则f(m)-km-a>|a|+k-k-a≥0,f(n)-kn-a<n≤n<0,所以,存在x0∈(m,n)使f(x0)=kx0+a,所以,对于任意的a∈R及k∈(0,+∞),直线y=kx+a与曲线y=f(x)有公共点.由f(x)=kx+a得k=.设h(x)=,则h′(x)==,其中g(x)=-ln x.由(Ⅰ)可知g(x)≥g(16),又a≤3-4ln2,故-g(x)-1+a≤-g(16)-1+a=-3+4ln2+a≤0,所以h′(x)≤0,即函数h(x)在(0,+∞)上单调递减,因此方程f(x)-kx-a=0至多1个实根.综上,当a≤3-4ln2时,对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.关闭Word文档返回原板块高中数学公式及常用结论大全1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.3.包含关系A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠;(3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M Nf x +--<⇔()0()f x N M f x ->-⇔11()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a b k +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+.9.闭区间上的二次函数的最值()()()()card A B card B C card CA card ABC ---+二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=； []q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p a bx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.10.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12.真值表13.14.四种命题的相互关系15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(xb f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=. (2)函数()y f x =图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=. 24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.26．互为反函数的两个函数的关系a b fb a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx fy +=-是])([1b x f ky -=的反函数. 28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=. (2)指数函数()xf x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==. (5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+()(0)1,lim1x g x f x→==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x =+∈,则)(x f 的周期T=2a ；(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a. 30.分数指数幂(1)m na=0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.31．根式的性质（1）na =.（2）当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈.(2) ()(0,,)r srsa a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)r r rab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 35．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()na a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.(2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数.推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则 （1）log ()log m p m n p n ++<.（2）2log log log 2a a a m nm n +<. 38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)xy N p =+. 39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nn ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).44．常见三角不等式 (1)若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<. (2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥. 45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=). 48.二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 49. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-. 50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=. 51.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 52.余弦定理212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理(1)111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. (2)111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤.s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤. tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈.s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈. tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈. sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈. cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈. tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.61.a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 62.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ).65.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论(1)点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+. (3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=. (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则 （1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. （4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. （5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. 71.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式 22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈ （5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小. （2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大.73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式（1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩.（22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或.（32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.78.直线的五种方程(1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).(3)两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 79.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 80.夹角公式 (1)2121tan ||1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 81. 1l 到2l 的角公式 (1)2121tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数． (2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直直线系方程0Bx Ay λ-+=,λ是参变量． 83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域 设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ). 87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.93.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部(1)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<.(2)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>.95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b+=.(2)过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b +=.(3)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b⇔-<.98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b -=.(2)过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. (3)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式 抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122. 101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中 22y px =.102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线： (1)顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；(2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-； (3)准线方程是2414ac b y a--=.103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->.(3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.(2)过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.(3)抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =. 105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <. 当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =或1212||||AB x x y y ==-=-A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B ++++--=++.108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y+代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径。
高考数学专题函数导数及其应用《导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例》
(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ (3)求边际利润函数 MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在 本题中的实际意义是什么？
3．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万 元/辆，出厂价为 13 万元/辆，年销售量为 5 000 辆．本年度为适应市 场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成 本增加的比例为 x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为 0.7x，年销 售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入2011 年江西)设 f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax. (1)若 f(x)在23，＋∞上存在单调递增区间，求 a 的取值范围； (2)当 0＜a＜2 时，f(x)在[1,4]上的最小值为－136，求 f(x)在该区 间上的最大值． 【解析】 (1)由 f′(x)＝－x2＋x＋2a ＝－x－122＋14＋2a， 当 x∈[23，＋∞)时，f′(x)的最大值为 f′23＝29＋2a；
第十二节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
1．函数的单调性与导数 在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 如果 f′(x)＞0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递增． 如果 f′(x)＜0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递减． 如果 f′(x)＝0，那么 f(x)在这个区间内为常数．
(1)求 f(x)的单调区间；
(2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值．
解析：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.
令 f′(x)＝0，得 x＝k－1.
f(x)与 f′(x)的情况如下：
x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞)
导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
导数在研究函数图像中的应用
总结词
通过求导可以绘制函数的图像，并分析函数的形态和变化趋势。
详细描述
利用导数可以求出函数的拐点、凹凸区间、切线斜率等性质，这些性质有助于绘制函数的图像。通过分析导数的 正负和变化趋势，可以确定函数在不同区间的增减性和变化速率，进而绘制出精确的函数图像。
02 导数在解决生活中的优化 问题举例
导数在最大利润问题中的应用
总结词
导数在解决最大利润问题中起到关键作 用，通过求导数找到利润函数的极值点 ，从而确定最大利润。
VS
详细描述
在商业、金融、投资等领域中，最大利润 问题是一个核心问题。导数可以帮助我们 找到利润函数的极值点，从而确定在什么 情况下能够获得最大利润。例如，在投资 组合优化中，通过求导数可以找到最大化 收益的投资组合。
03 导数的实际应用案例分析
导数在物理学中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和加速度，例如在研究物体 的运动轨迹时，通过求导数可以得到物体在任意时刻的速 度和加速度。
热传导
在研究热传导问题时，导数可以用来描述温度随时间的变 化率，通过求解导数方程，可以得到温度分布的规律。
弹性力学
在弹性力学中，导数可以用来描述应力和应变的关系，通 过求解导数方程，可以得到物体的变形和受力情况。
导数在最小成本问题中的应用
总结词
导数在最小成本问题中扮演着重要角色，通过求导数找到成本函数的极值点，从而确定 最小成本。
详细描述
在生产、运输、工程等领域中，最小成本问题是一个常见的问题。导数可以帮助我们找 到成本函数的极值点，从而确定在什么情况下成本最低。例如，在生产过程中，通过求
导数可以找到生产某一产品的最低成本方案。
导数——生活中的优化问题应用举例
导数——生活中的优化问题应用举例导言：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具.本文主要阐述如何利用导数,解决一些生活中的优化问题.导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有以下几个方面: 1.与几何学有关的最值问题 2.与物理学有关的最值问题3.与利润及其成本有关的最值问题4.效率最值问题注意点：在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值（如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大（小）.记住这个定理很有好处），然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大（小）值.知道这一点是非常重要的，因为它在应用上较为简便，省去了讨论驻点是否为极值点，求函数在端点处的值，以及同函数在极值点处的值进行比较等步骤.典例剖析1.与几何学有关的最值问题例：（11江西文18）如图，在=2,2ABC B AB BC P AB π∆∠==中，，为边上一动点，PD//BC 交AC 于点D,现将'',PDA .PDA PD PDA PBCD ∆∆⊥沿翻折至使平面平面 （1）当棱锥'A PBCD -的体积最大时，求PA 的长；（2）若点P 为AB 的中点，E 为''.AC B DE ⊥的中点，求证：A 解：（1）设x PA =，则)2(31312xx x S PA V PDCB PBCDA -=⋅='底面- 令)0(,632)22(31)(32>-=-=x x x x x x f ，则232)(2x x f -='由上表易知：当332==x PA 时，有PBCD A V -'取最大值。
2020—2021年高考总复习数学(理)考点导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例(精品试题).docx
考点--导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1．（2011·安徽高考文科·Ｔ10）函数()()21n f x ax x =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则n 可能是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【思路点拨】 代入验证，并求导得极值，结合图象确定答案.【精讲精析】选A. 代入验证,当n=1时，)2()1()(232x x x a x ax x f +-=-=，则)143()(2+-='x x a x f ，由)143()(2+-='x x a x f =0可知，1,3121==x x ，结合图象可知函数应在（0，31）递增，在）（1,31递减，即在31=x 处取得极大值，由 ,21)311(31)31(2=-⨯⨯=a f 知a 存在. 2.（2011·辽宁高考理科·Ｔ11）函数f （x ）的定义域为R ，f （-1）=2，对任意x ∈R ，2)(>'x f ，则 f （x ）＞2x+4的解集为（ ）（A ）（-1，1） （B ）（-1，+∞） （C ）（-∞，-1） （D ）（-∞，+∞）【思路点拨】先构造函数)42()()(+-=x x f x g ，求其导数，将问题转化为求)(x g 单调性问题即可求解．【精讲精析】选B.构造函数)42()()(+-=x x f x g ，则=-)1(g 022)42()1(=-=+---f ，又因为2)(>'x f ，所以02)()(>-'='x f x g ，可知)(x g 在R 上是增函数，所以f (x)2x 4>+可化为0)(>x g ，即)1()(->g x g ，利用单调性可知，1->x ．选B.3．（2011·安徽高考理科·Ｔ10）函数()()1n m f x ax x =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则,m n 的值可能是（ ）（A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n == 【思路点拨】本题考查函数与导数的综合应用，先求出)(x f 的导数，然后根据函数图像确定极值点的位置，从而判断m,n 的取值. 【精讲精析】选B.函数()()1n m f x ax x =-的导数11()()(1)(),m n m f x m n ax x x m n--'=-+--+则)(x f '在),0(n m m+上大于0，在)1,(nm m+上小于0，由图象可知极大值点为31，结合选项可得m=1,n=2. 二、填空题4.（2011·广东高考理科·Ｔ12）函数32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值. 【思路点拨】先求导函数的零点，然后通过导数的正负分析函数的增减情况，从而得出取得极值时x 的值. 【精讲精析】由063)(2=-='x x x f 解得0=x 或2=x ，列表如下：x()0,-∞0 ()2,02 ()+∞,2)(x f '+ 0- 0+)(x f增极大值减极小值增∴当2=x 时，y 取得极小值.【答案】25．（2011·辽宁高考文科·Ｔ16）已知函数a x e x f x +-=2)(有零点，则a 的取值范围是【思路点拨】先求)(x f '，判断)(x f 的单调性．结合图象找条件．本题只要使)(x f 的最小值不大于零即可．【精讲精析】)(x f '=2-x e ．由)(x f '0>得2-x e 0>， ∴2ln >x ．由)(x f '0<得，2ln <x ． ∴)(x f 在2ln =x 处取得最小值． 只要0)(min ≤x f 即可．∴02ln 22ln ≤+-a e ， ∴22ln 2-≤a ． 【答案】]22ln 2,(--∞6.（2011·江苏高考·Ｔ12）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_________【思路点拨】本题考查的是直线的切线方程以及函数的单调性问题，解题的关键是表示出中点的纵坐标t 的表达式，然后考虑单调性求解最值. 【精讲精析】 设00(,),x P x e 则00000:(),(0,(1))xx x l y e e x x M x e -=-∴-，过点P 作l 的垂线000000(),(0,)x x x x y e e x x N e x e ---=--+，00000000011[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+-00'01()(1)2x x t e e x -=+-，所以，t 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，max 11()2t e e=+.【答案】11()2e e+ 三、解答题7．（2011·安徽高考理科·Ｔ16）设2()1xe f x ax =+，其中a 为正实数（1）当a 43=时，求()f x 的极值点；（2）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围.【思路点拨】（1）直接利用导数公式求导，求极值. （2）求导之后转化为恒成立问题.【精讲精析】对)(x f 求导得，.)1(21)(222ax axax e x f x+-+='（1）当时，34=a 令0)(='x f ，则03842=+-x x .解得21,2321==x x ， 列表得x)21,(-∞21 )23,21( 23 3(,)2+∞ )(x f ' + 0 - 0 + )(x f↗极大值↘极小值↗所以，231=x 是极小值点，212=x 是极大值点.（2）若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合222)1(21)(ax axax ex f x+-+='与条件a>0,知0122≥+-ax ax 在R 上恒成立，因此.0)1(4442≤-=-=∆a a a a 并结合a>0,知10≤<a .8.（2011·福建卷理科·Ｔ18）(本小题满分13分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中3<x<6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. （1）求a 的值.（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【思路点拨】(1)根据“销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克”可知销售函数过点（5,11）,将其代入可求得a 的值.（2）利润为()f x =(每千克产品的售价-每千克产品的成本) ⨯销售量,表示出函数解析式后，可借助导数求最值. 【精讲精析】（1）因为5x =时，11y =，所以1011,2a +=所以2a =. （2）由（1）可知，该商品每日的销售量2210(6),3y x x =+-- 所以商场每日销售该商品所获得的利润222()(3)[10(6)]210(3)(6),3 6.3f x x x x x x x =-+-=+--<<- 从而2()10[(6)+2(3)(6)]30(4)(6).f x x x x x x '=---=-- 于是，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表，x()3,44 (4,6)()f x ' +0 -()f x单调递增 极大值42单调递减由上表可得，4x =是函数()f x 在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点. 所以，当4x =时，函数()f x 取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 9.（2011·福建卷文科·Ｔ22）已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f(e)=2（e=2.71828…是自然对数的底数）. （1）求实数b 的值.（2）求函数f （x ）的单调区间.（3）当a=1时，是否同时存在实数m 和M （m<M ），使得对每一个t ∈[m ，M]，直线y=t 与曲线y=f （x ）（x ∈[1e，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由. 【思路点拨】(1) ()2f e b =⇒的值;(2)对函数()f x 求导得导函数()f x '，由导函数()f x '得单调区间，必要时分类讨论；（3）列表判断()y f x =1([,])∈x e e的单调性和极值、最值情况，再结合()y f x =的草图即可探究出是否存在满足题意的m M 和.【精讲精析】(1)由()2,f e =得 2.b =（2）由（1）可得()2ln ,f x ax ax x =-++从而()ln ,f x a x '= 因为0,a ≠故：① 当0a >时，由()f x '0>得1x >；由()0f x '<得01x <<； ② 当0a <时，由()0f x '>得01x <<；由()0f x '<得1x >.综上，当0a <时，函数()f x 的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为()1,+∞.当a ＞0时，函数f （x ）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0,1）. (3)当1a =时，()2ln ,()ln .f x x x x f x x '=-++=由（2）可得，当x 在区间1[,]e e上变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：x1e 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1 ()1,ee()f x '-+()f x22e- 单调递减极小值1单调递增2又222e -<，所以函数()f x 1(,)x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为[]1,2. 据此可得，若12m M =⎧⎨=⎩则对每一个[],,t m M ∈直线y t =与曲线()y f x =1,x e e ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭都有公共点；并且对每一个(),t m ∈-∞(),+∞U M ，直线y t =与曲线()y f x =1,x e e ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭都没有公共点.综上，当1a =时，存在最小的实数1m =，最大的实数2M =，使得对每一个[],t m M ∈，直线y t =与曲线()y f x = 1(,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)都有公共点.10．（2011·江苏高考·Ｔ17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D 四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设)(cm x FB AE ==.（1）某广告商要求包装盒的侧面积S )(2cm 最大，试问x 应取何值？ （2）某厂商要求包装盒的容积V )(3cm 最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【思路点拨】本题主要考查的是从实际生活中提取数学模型，然后利用数学知识进行解决，所以解决本题的关键是正确地列出侧面积和容积的表达式，然后根据二次函数的最值和导数法求最值求解.【精讲精析】设包装盒的高为)(cm h ，底面边长为)(cm a 由已知得300),30(22260,2<<-=-==x x xh x a .（1）1800)15(8)30(842+--=-==x x x ah S ，所以当15=x 时，S 取得最大值. （2）232V a h 22(x 30x ),V 62x(20x)'==-+=-.由0='V 得，0=x (舍)或20=x .当)20,0(∈x 时0>'V ；当)30,20(∈X 时0<'V ，所以当20=x 时取得极大值，也是最大值,此时21=a h，即包装盒的高与底面边长的比值为21.11.（2011·江苏高考·Ｔ19）已知a ，b 是实数，函数,)(,)(23bx x x g ax x x f +=+=)(x f '和)(x g '是)(),(x g x f 的导函数，若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性一致（1）设0>a ，若)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致,求实数b 的取值范围；（2）设a 0<且b a ≠，若函数)(x f 和)(x g 在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值.【思路点拨】本题考查的是导数与函数的综合知识，在解决本题时要注意挖掘已知的信息，注意条件的转化，函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致，可以转化为导数之积恒为正来处理. 【精讲精析】解法一：b x x g a x x f +='+='2)(,3)(2. （1）由题意得0)()(≥''x g x f ，在[)+∞-,1上恒成立.因为0>a ，故032>+a x ，进而2x b 0+≥，即x b 2-≥在区间[)+∞-,1上恒成立， 所以2≥b ，因此b 的取值范围是[)+∞,2. （2）令0)(='x f ，解得3a x -±=，若0>b ，由0<a 得),(0b a ∈，又因为0)0()0(<=''ab g f ，所以函数)(x f 和)(x g 在),(b a 上不是单调性一致的.因此0≤b .现设0≤b .当()0,∞-∈x 时，0)(<'x g ；当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞-∈3,a x 时，0)(>'x f .因此，当⎪⎪⎭⎫⎝⎛--∞-∈3,a x 时，0)()(<''x g x f 故由题设得3a a --≥且3ab --≥，从而031<≤-a ，于是031≤≤-b ，因此31≤-b a ，且当0,31=-=b a 时等号成立.又当0,31=-=b a 时，91(6)()(2-=''x x x g x f ),从而当⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,31x 时，0)()(>''x g x f ,故函数)(x f 和)(x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,31上单调性一致.因此b a -的最大值为31.解法二：（1）因为函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致，所以，''[1,),()()0,x f x g x ∀∈-+∞≥即[1,),x 0,x ∀∈-+∞≥2（3+a ）(2x+b)0,[1,),0,a x >∴∀∈-+∞≥Q 2x+b即0,[1,),,2;a x b >∴∀∈-+∞≥-∴≥Q b 2x（2）当b a <时，因为函数)(x f 和)(x g 在区间（b,a ）上单调性一致，所以，''(,),()()0,x b a f x g x ∀∈≥即(,),x 0,x b a ∀∈≥2（3+a ）(2x+b)0,(,),20b a x b a x b <<∴∀∈+<Q ，2(,),3,x b a a x ∴∀∈≤- 23,b a b ∴<<-设z a b =-，考虑点(b,a)的可行域，函数23y x =-的斜率为1的切线的切点设为00(,)x y 则0001161,,,612x x y -==-=-max 111()12612∴=---=z ； 当0a b <<时，因为，函数)(x f 和)(x g 在区间（a, b ）上单调性一致，所以，''(,),()()0,x a b f x g x ∀∈≥即(,),x 0,x a b ∀∈≥2（3+a ）(2x+b)0,(,),20b x a b x b <∴∀∈+<Q ，2(,),3,x a b a x ∴∀∈≤- 213,0,3a a a ∴≤-∴-≤≤max 1();3b a ∴-=当0a b <<时，因为，函数)(x f 和)(x g 在区间（a, b ）上单调性一致，所以，''(,),()()0,x a b f x g x ∀∈≥即(,),(x 0,x a b ∀∈≥22x+b)（3+a ）0,b >Q 而x=0时，x 2（3+a ）(2x+b)=ab<0,不符合题意，当0a b <=时，由题意：(,0),x 0,x a ∀∈≥22x （3+a ）2(,0),x 0,30,x a a a ∴∀∈≤∴+<23+a 110,33a b a ∴-<<∴-<. 综上可知，max 13a b -=.12. （2011·新课标全国高考理科·Ｔ21）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=. （1）求a 、b 的值；（2）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围. 【思路点拨】第（1）问，对函数()f x 求导得()f x '，(1)f '对应切线的斜率，切点(1,(1))f 即在切线上又在原函数()f x 上，利用上述关系，建立方程组，求得,a b 的值；第（2）问，ln ln ()()()011a x b a x bf x f x x x x x>+⇔-+>++，首先化简函数式 ln ()()1a x bf x x x-++，再来证明不等式成立即可，必要时分类讨论. 【精讲精析】（1）由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =.（2）由（1）知ln 1f ()1x x x x=++，所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x---+=+--.考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >，则22(1)(1)2'()k x x h x x -++=. (i)设0k ≤，由222(1)(1)'()k x x h x x +--=知，当1x ≠时，'()0h x <，h(x)递减.而(1)0h =，故当(0,1)x ∈时， ()0h x >，可得21()01h x x >-； 当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得211x - h （x ）>0从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（1ln -x x +xk）>0，即f （x ）>1ln -x x +xk. （ii ）设0<k<1.由于2(1)(1)2k x x -++=2(1)21k x x k -++-的图像开口向下，且244(1)0k ∆=-->，对称轴x=111k >-.当x ∈（1，k -11）时，（k-1）（x 2+1）+2x>0,故'h (x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，k-11）时，h （x ）>0，可得211x -h（x ）<0,与题设矛盾.（iii ）设k ≥1.此时212x x +≥，2(1)(1)20k x x -++>⇒'h （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，+∞）时，h （x ）>0，可得211x - h （x ）<0,与题设矛盾.综合得，k 的取值范围为（-∞，0]13. （2011·新课标全国高考文科·Ｔ21）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=. （1）求a 、b 的值；（2）证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-. 【思路点拨】第（1）问，对函数()f x 求导得()f x '，(1)f '对应为切线的斜率，切点(1,(1))f 即在切线上又在原函数()f x 上，利用上述关系，建立方程组，求得,a b 的值； 第（2）问，ln ln ()()011x x f x f x x x >⇔->--，先化简函数式ln ()1xf x x --，再来证明不等式成立即可，必要时分类讨论. 【精讲精析】（1）由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即 1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩ 解得1a =，1b =.（2）由（1）知f(x)=,11ln xx x ++所以22ln x 1x 1f (x)2ln x x 11x x ⎛⎫--=- ⎪--⎝⎭设h (x)= 2ln x - 2x 1x-， 则h ′(x)=()()xx xx x x222221122--=---所以x ≠1时h ′(x)＜0而h(1)=0故 x ()1,0∈时，h(x)>0可得ln ()1xf x x >-, x ()∞+∈，1时，h(x)<0可得ln ()1xf x x >-, 从而当0x >，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-. 14．（2011·辽宁高考文科·Ｔ20）设函数x b ax x x f ln )(2++=，曲线)(x f y =过点P （1，0），且在P 点处的切线斜率为2． （1）求a ，b 的值；（2）证明：f (x)2x 2≤-．【思路点拨】（1）先求导，再代入进行计算；（2）构造函数)22()()(--=x x f x g ，求其导函数，证明其单调性，将所求问题转化为证明0)(max ≤x g 的问题． 【精讲精析】（1）xbax x f ++='21)(． 由已知条件得⎩⎨⎧='=.2)1(,0)1(f f 即⎩⎨⎧=++=+.221,01b a a 解得.3,1=-=b a （2）)(x f 的定义域为()+∞,0，由（1）知x x x x f ln 3)(2+-=． 设x x x x x f x g ln 32)22()()(2+--=--=，则xx x x x x g )32)(1(321)(+--=+--='． 当10<<x 时，0)(>'x g ；当1>x 时，0)(<'x g ．所以)(x g 在)1,0(上单调增加，在（1，+∞）上单调减少．而0)1(=g ，并且当0>x 时，g(1)为最大值，故当0>x 时，0)(≤x g ，即22)(-≤x x f ． 15.（2011·广东高考文科·Ｔ19）设a ＞0,讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)x 2-2(1-a)x 的单调性.【思路点拨】先求)(x f 的导函数)(x f '，再由a 的不同取值范围，解不等式0)(>'x f ，从而确定)(x f 的单调区间.在解本题时一定要注意)(x f 的定义域为}0|{>x x 【精讲精析】函数()f x 的定义域为(0,).+∞ 22(1)2(1)1(),a a xa x f x x---+'= 当212(1)10a a x ≠--+=时,方程2a(1-a)x的判别式112(1).3a a ⎛⎫∆=-- ⎪⎝⎭①当10,0,()3a f x '<<∆>时有两个零点，12(1)(31)(1)(31)110,22(1)22(1)----=->=+--，a a a a x x a a a a a a 且当12120,()0,()(0,)(,)x x x x f x f x x x '<<>>+∞或时在与内为增函数；当1212,()0,()(,)xx x f x f x x x '<<<时在内为减函数；②当11,0,()0,()(0,)3a f x f x '≤<∆≤≥+∞时所以在内为增函数；③当11,()0(0),()(0,)a f x x f x x'==>>+∞时在内为增函数；④当1(1)(31)11,0,0,22(1)a a a x a a a -->∆>=->-时 2(1)(31)10,()22(1)a a xf x a a a --'=+<-所以在定义域内有唯一零点1x ，且当110,()0,()(0,)x x f x f x x '<<>时在内为增函数；当1x x >时，1()0,()(,)f x f x x '<+∞在内为减函数.()f x 的单调区间如下表：113≤≤a 103<<a1a >1(0,)x 12(,)x x 2(,)x +∞(0,)+∞ 1(0,)x 1(,)x +∞（其中12(1)(31)(1)(31)11,22(1)22(1)a a a a xx a a a a a a ----=-=+--）.16.（2011·广东高考理科·Ｔ21）在平面直角坐标系xOy 上,给定抛物线L :214y x =,实数,p q 满足240p q -≥,12,x x 是方程20x px q -+=的两根，记{}12(,)max ,p q x x ϕ=.（1）过点20001(,)(0)4A p p p ≠作L 的切线交y 轴于点B .证明:对线段AB 上任一点(,)Q p q 有0(,);2p p q ϕ= （2）设(,)M a b 是定点，其中,a b 满足240a b ->,0a ≠.过(,)M a b 作L 的两条切线12,l l ，切点分别为22112211(,),(,)44E p p E p p '，12,l l 与y 轴分别交于,F F '.线段EF 上异于两端点的点集记为X .证明:(,)M a b ∈X ⇔12||||p p >⇔(,)a b ϕ12p =;（3）设215{(,)|1,(1)}44D x y y x y x =≤-≥+-.当点(,)p q 取遍D 时，求(,)p q ϕ的最小值(记为min ϕ)和最大值(记为max ϕ).【思路点拨】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，进而写出切线方程，再求出其与y 轴的交点坐标.把条件Q 点在线段AB 上转化为代数条件，即p 的取值范围，求出方程02=+-q px x 的根，用p 表示，再由其取值范围得出结论. （2）数形结合可得.（3）数形结合，结合换元法.【精讲精析】（1）x y 21='，则过A 2001(P ,P )4(00≠P )的切线斜率021P k =，切线方程为2000P 1y P (x P )42-=-, 令0=x 得B(4,020P -).由Q （q p ,）在线段AB 上得4220P p P q -=.由02=+-q px x，得242q p p x -±==2||2202002P p p P p P p p -±=+-±.由对称性，不妨设00P p ≤≤，则22001P p P p x=-+=,222002P p p P p x-=+-=，由00P p ≤≤得22020Px P ≤≤-即2||02P x≤.综之有012|P |p,q max{|x |,|x |}2ϕ==（）. （2）由（1）知221211(0,),'(0,)44F p F P --①若(,)M a b X ∈，由（1）知M 在线段EF 上,且1(,)2=P a b ϕ且1a p <,若2a p <,由（1）知M 在线段''E F 上,则M 在y 轴上，这与0a ≠矛盾，故2a p ≥，得12p p >；②若12p p >，有22121144p P -<-，点211(0,)4F p -在221'(0,)4F P -的下方，则交点M 在线段EF 上,即(,)M a b X ∈，得1(,)2=P a b ϕ.由上述①②知：112(,)(,)2∈⇔⇔=＞P M a b X P P a b ϕ(3)方法一：由⎪⎩⎪⎨⎧-+=-=45)1(4112x y x y 得⎩⎨⎧-==10y x 或⎩⎨⎧==12y x 知[]2,0∈p ，[]1,1-∈q 由题意知：1-≤p q ，于是有q q p 4)1(22≥+≥，即D 内任何一点对应方程均有解，由021>=+p x x 知ϕ24),(2qp p q p -+=，设qp u 42-=，则ϕ（q p ,）=2up +,422u pq -=,区域D=}22,0)2)(2(|),{(}45)1(41,1|),{(22p u u p u p p u p q p q q p ≥-≤-+--=-+≥-≤如图示画出区域，将直线l ：0=+u p 平行移动，当l 与直线BC 重合时，2=+u p ，得min [(p,q)]1ϕ=； 当l 与曲线相切时，由222u p -=知1-=-='u p ，得切点)23,1(A ,于是有max 5[(p,q)]4ϕ=. 方法二：联立1y x =-，215(1)44y x =+-得交点(0,1),(2,1)-，可知02p ≤≤，过点(,)p q 作抛物线L的切线，设切点为2001(,)4x x ，则20001142x qx x p -=-， 得200240x px q -+=，解得204x p p q =+-，又215(1)44q p ≥+-，即2442p q p -≤-，042x p p ∴≤+-，设42p t -=，20122x t t ∴≤-++215(1)22t =--+，0max max ||2x ϕ=Q ，又052x ≤，max 54ϕ∴=； 1q p ≤-Q ，2044|2|2x p p p p p ∴≥+-+=+-=，min min ||12x ϕ∴==． 17.（2011·山东高考理科·Ｔ21）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为803π立方米，且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞千元.设该容器的建造费用为y 千元.（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该容器的建造费用最小时的r .【思路点拨】本题为应用题，从近几年高考题目来看，应用题总体难度不是太大，易于得分，（1）先求出l 和r 的关系，再根据问题情境列出函数解析式，注意函数的定义域.（2）利用导数求函数的最值.先求导，再判断函数的单调性，然后根据单调性求出极值，再由函数的定义域求出最值. 【精讲精析】（1）因为容器的体积为803π立方米，所以3243r r l ππ+=803π,解得280433r l r =-, 由于2l r ≥ 因此02r <≤.所以圆柱的侧面积为2rl π=28042()33rr r π-=2160833r r ππ-,两端两个半球的表面积之和为24r π, 所以建造费用y =21608r rππ-+24cr π,定义域为(0,2]. （2）因为'y =216016r rππ--+8cr π=328[(2)20]c r r π--,02r <≤由于c>3,所以c-2>0, 所以令'0y >得:3202r c >-;令'0y <得:32002r c <<-, ①当32022≥-c 时，即当932<≤c 时，函数y 在（0，2）上是单调递减的，故建造费最小时r=2. ②当320022c <<-时，即92c >时，函数y 在（0，2）上是先减后增的，故建造费最小时3202r c =-.18.（2011·辽宁高考理科·Ｔ21）已知函数f （x ）=lnx-ax 2+（2-a ）x. (1)讨论f （x ）的单调性；（2）设a ＞0，证明：当0＜x ＜1a 时，f （1a +x ）＞f （1a－x ）；（3）若函数y=f （x ）的图象与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：0f x 0.'（）＜【思路点拨】(1)要先考虑定义域，再求导数，然后对a 进行讨论，从而得到所求函数的单调性；（2）可先构造函数)1()1()(x af x a f xg --+=，将所证结论转化为证明0)(>x g 恒成立，再对)(x g 求导，利用单调性可解决问题；（3）先设A （1x ，０），B （2x ，０），结合(1) 可知0>a 且)(x f 先增后减，利用（2）的结论，可证 0)2(1>-x a f ，从而122x ax ->，确定0x 的取值范围，最后利用(1)的结论得证．【精讲精析】(1))(x f 的定义域为()+∞,0，xax x a ax x x f )1)(12()2(21)(-+-=-+-='. ①若0≤a ，则0)(>'x f ，所以)(x f 在()+∞,0单调递增.②若0>a ，则由0)(='x f 得a x 1=，且当)1,0(ax ∈时，0)(>'x f ，当ax 1>时， 0)(<'x f ，所以)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a单调递减.综上所述，当a ≤0时，)(x f 在()+∞,0单调递增， 当a>0时，)(x f 在1(0,)a单调递增， 在1(,)a+∞单调递减，（2）设函数)1()1()(x af x a f xg --+=，则ax ax ax x g 2)1ln()1ln()(---+=， 222312211)(x a x a a ax a ax a x g -=--++='.当ax 10<<时，0)(>'x g ，而0)0(=g ，所以0)(>x g .故当a x 10<<时，)1()1(x af x a f ->+.（3）由(1)可得，当0≤a 时，函数y=f （x ）的图象与x 轴至多只有一个交点，故0>a ，从而)(x f 的最大值为)1(a f ，且0)1(>af ．不妨设A （1x ，０），B （2x ，０），210x x <<，则2110x ax <<<， 由（2）得0)()11()2(111=>-+=-x f x aa f x a f ． 从而122x ax ->，于是ax x x 12210>+=．由(1)知，0)(0<'x f ． 19．（2011·北京高考理科·T18）已知函数2()()x kf x x k e=-.（1）求()f x 的单调区间；（2）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有1()f x e≤，求k 的取值范围. 【思路点拨】求导后，分k>0与k<0两种情况进行讨论. 【精讲精析】(1)221'()()xkf x x k e k=-，令'()0f x =，得x k =±.当k>0时，f(x)与'()f x 的情况如下：x(,)k -∞- k -(,)k k - k (,)k +∞'()f x+ 0- 0 + ()f x↑214k e -↓↑所以()f x 的单调增区间是(,)k -∞-和(,)k +∞；单调减区间是(,)k k -. 当0k <时，()f x 与'()f x 的情况如下：x(,)k -∞ k(,)k k - k -(,)k -+∞ '()f x- 0 + 0- ()f x↓↑214k e -↓所以()f x 的单调减区间是(,)k -∞和(,)k -+∞；单调增区间是(,)k k -. （2）当0k >时，因为11(1)k kf k ee ++=>，所以不会有(0,)x ∀∈+∞，1()f x e≤. 当0k <时，由（1）知()f x 在(0,)+∞上的最大值是24()k f k e-=.所以1(0,),()x f x e ∀∈+∞≤等价于241()k f k e e -=≤，解得102k -≤<. 故当(0,)x ∀∈+∞，1()f x e ≤时，k 的取值范围是1[,0)2-. 20．（2011·北京高考文科·T18）已知函数()()x f x x k e =-. （1）求()f x 的单调区间； （2）求()f x 在区间[0,1]上的最小值.【精讲精析】（1）'()(1)x f x x k e =-+.令'()0f x =，得1x k =-，()f x 与'()f x 的情况如下：x(,1)k -∞- 1k - (1,)k -+∞'()f x- 0+ ()f x↓1k e --↑所以()f x 的单调递减区间是(,1)k -∞-；单调递增区间是(1,)k -+∞. （2）当10k -≤，即1k ≤时，函数()f x 在[0,1]上单调递增， 所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(0)f k =-；当011k <-<，即12k <<时，由（1）知()f x 在[0,1)k -上单调递减，在(1,1]k -上单调递增，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为1(1)k f k e --=-.当11k -≥，即2k ≥时，函数()f x 在[0,1]上单调递减，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(1)(1)f k e =-.21．（2011·湖南高考文科T22）设函数).(ln 1)(R a x a xx x f ∈--= （1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个极值点21x x 和，记过点))(,()),(,(2211x f x B x f x A 的直线的斜率为k.问：是否存在a ，使得k=2-a ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【思路点拨】本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用分类讨论思想、函数和方程相互转化的思想分析解决问题的能力. 【精讲精析】（1）()f x 的定义域为(0,).+∞22211'()1a x ax f x x x x -+=+-=,令2()1,g x x ax =-+其判别式2 4.a =-V①当||2,0,'()0,a f x ≤≤≥V 时故()(0,)f x +∞在上单调递增．②当2a <-V 时,>0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,)+∞上，'()0f x >，故()(0,)f x +∞在上单调递增．③当2a >V 时,>0,g(x)=0的两根为221244,22a a a a x x --+-==，当10x x <<时， '()0f x >；当12x x x <<时， '()0f x <；当2x x >时， '()0f x >，故()f x 分别在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减． （2）由（1）知，2a >． 因为1212121212()()()(ln ln )x x f x f x x x a x x x x --=-+--，所以 1212121212()()ln ln 11f x f x x x k a x x x x x x --==+---g ，又由(1)知，121x x =．于是1212ln ln 2x x k a x x -=--g ，若存在a ，使得2.k a =-则1212ln ln 1x x x x -=-．即1212ln ln x x x x -=-．亦即222212ln 0(1)(*)x x x x --=>再由（1）知，函数1()2ln h t t t t=--在(0,)+∞上单调递增，而21x >，所以222112ln 12ln10.1x x x -->--=这与(*)式矛盾．故不存在a ，使得2.k a =- 22.（2011·江西高考理科·Ｔ19）设3211()232f x xx ax =-++ （1）若()f x 在2(,)3+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围. （2）当02a <<时，()f x 在[1,4]的最小值为163-，求()f x 在该区间上的最大值. 【思路点拨】（1）要使()f x 在2(,)3+∞上存在单调递增区间，需'f (x)在2(,)3+∞上存在大于零的解，即得a 的取值范围.（2）首先求出()f x 在[1,4]上的最小值为f(4),从而求出a 的值，进一步易求()f x 在该区间上的最大值为f(2). 【精讲精析】'22'''121212111()2()22422221[,)()()2;20,,3399912(),)93118118()0,.22()),(,)(,)0=-++=--++∈+∞>>->-+∞-+++==∞+∞<=++=-f x x x a x a x f x f a a a a f x a af x x x f x x x x x （）由，当时，的最大值为令得所以，当时，在（上存在单调递增区间.(2)令，得两根所以在（，上单调递减，在上单调递增.当1222214,())27(4)(1)60,(4)(1),24016()(4)8,33101,2,().3<<<<-=-+<<-=-===a x f x f f a f f f x f a a x f x 时，有x 所以在[1,4]上的最大值为f(x 又即所以在[1,4]上的最小值为得从而在[1,4]上的最大值为f(2)=23．（2011·陕西高考理科·T19）如图，从点P 1（0，0）作x 轴的垂线交曲线x y e =于点1(0,1)Q ，曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ．再从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：11,P Q ；22,P Q ；…；,n n P Q ，记k P 点的坐标为(,0)k x （1,2,,=L k n ）． （1）试求k x 与1k x -的关系（2,,=L k n ）； （2）求112233||||||||n n PQ P Q PQ P Q ++++L．【思路点拨】（1）根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与x 轴的交点坐标； （2）尝试求出通项||n n P Q 的表达式，然后再求和． 【精讲精析】（1）设点1k P -的坐标是1(,0)k x -，∵x y e =，∴x y e '=， ∴111(,)k x k k Q x e ---，在点111(,)k x k k Q x e ---处的切线方程是111()k k xx k y e e x x ----=-，令0y =，则11k k x x -=-（2,,=L k n ）． （2）∵10x =，11k k x x --=-，∴(1)k x k =--， ∴(1)||kxk k k P Q e e --==，于是有112233||||||||n n PQ P Q PQ P Q ++++L 12(1)1111n n e e e e e -------=++++=-L11ne e e --=-，即112233||||||||n n PQ P Q PQ P Q ++++L 11ne e e --=-．24．（2011·陕西高考理科·T21）设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数1()f x x'=，()()()g x f x f x '=+． （1）求()g x 的单调区间和最小值； （2）讨论()g x 与1()g x的大小关系；（3）是否存在00x >，使得01|()()|g x g x x-<对任意0x >成立？若存在，求出0x的取值范围；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）先求出原函数()f x ，再求得()g x ，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论． 【精讲精析】（1）∵1()f x x'=，∴()ln f x x c =+（c 为常数），又∵(1)0f =，所以ln10c +=，即0c =， ∴()ln f x x =；1()ln g x x x=+， ∴21()x g x x -'=，令()0g x '=，即210x x -=，解得1x =， 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 是减函数，故区间(0,1)是函数()g x 的减区间； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 是增函数，故区间(1,)+∞是函数()g x 的增区间； 所以1x =是()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点， 所以()g x 的最小值是(1)1g =．（2）1()ln g x x x =-+，设11()()()2ln h x g x g x x x x=-=-+，则22(1)()x h x x-'=-，当1x =时，(1)0h =，即1()()g x g x=， 当(0,1)(1,)x ∈+∞U 时，()0h x '<，(1)0h '=， 因此函数()h x 在(0,)+∞内单调递减， 当01x <<时，()(1)h x h >=0，∴1()()g x g x>； 当1x >时，()(1)h x h <=0，∴1()()g x g x<．（3）满足条件的0x 不存在．证明如下：证法一 假设存在00x >，使01|()()|g x g x x-<对任意0x >成立， 即对任意0x >有02ln ()ln x g x x x<<+ ①但对上述的0x ，取0()1g x x e =时，有10ln ()x g x =，这与①左边的不等式矛盾，因此不存在00x >，使01|()()|g x g x x-<对任意0x >成立． 证法二 假设存在00x >，使01|()()|g x g x x-<对任意0x >成立， 由（1）知，()g x 的最小值是(1)1g =，又1()ln ln g x x x x=+>，而1x >时，ln x 的值域为(0,)+∞， ∴当1≤x 时，()g x 的值域为[1,)+∞，从而可以取一个值11x >，使10()()1g x g x +…，即10()()1g x g x -…, ∴1011|()()|1g x g x x ->…，这与假设矛盾．∴不存在00x >，使01|()()|g x g x x-<对任意0x >成立． 25.（2011·陕西高考文科·T21） 设()ln f x x =，()()()g x f x f x '=+． （1）求()g x 的单调区间和最小值； （2）讨论()g x 与1()g x的大小关系；（3）求a 的取值范围，使得()()g a g x -＜1a对任意x ＞0成立．【思路点拨】（1）先求出原函数()f x 的导数，再求得()g x ，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）对任意x ＞0成立的恒成立问题转化为函数()g x 的最小值问题． 【精讲精析】（1）由题设知1()ln ,()ln f x x g x x x==+， ∴21(),x g x x-'=令()g x '=0得x =1，当x ∈（0，1）时，()g x '＜0，()g x 是减函数，故（0，1）是()g x 的单调减区间.当x ∈（1，+∞）时，()g x '＞0，()g x 是增函数，故（1，+∞）是()g x 的单调递增区间，因此，x =1是()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以()g x 的最小值为(1) 1.g = (2)1()ln g x x x=-+，设11()()()2ln =-=-+h x g x g x x x x，则22(1)()x h x x -'=-，当1x =时，(1)0h =，即1()()g x g x=， 当(0,1)(1,)x ∈⋃+∞时，()0h x '<， 因此，()h x 在(0,)+∞内单调递减， 当01x <<时，()(1)0h x h >=，即1()().>g x g x当x>1时，()h x <(1)h =0,即1()().<g x g x综上所述，当x=1时，1()();=g x g x当0<x<1时, 1()();>g x g x 当x>1时，1()().<g x g x（3）由（1）知()g x 的最小值为1，所以，1()()g a g x a -<，对任意0x >，成立1()1,g a a⇔-< 即ln 1,a <从而得0a e <<．26．（2011·浙江高考理科·Ｔ22）设函数()f x ＝2()ln x a x -，a ∈R （1）若x ＝e 为()y f x =的极值点，求实数a ；（2）求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈（0,3e ]，恒有()f x ≤42e 成立 注：e 为自然对数的底数．【思路点拨】（１）利用0x 是极值点的必要条件0()0f x '=，注意解出a 值后要进行检验；（２）恒成立问题，01x <≤时显然满足题意，1<3x e ≤时只需max ()f x ≤42e ．此题主要考查了函数极值的概念、导数的基本运算、导数的应用，不等式等基础知识，同时也考查了推理论证能力，分类讨论等分析解决问题的能力. 【精讲精析】 （1）求导得()f x ' =2(x -a)ln x +2()x a x-=(x a -)(2ln x+1-a x). 因为x=e 是f(x)的极值点，所以()f e '= ()30a e a e ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得a e = 或3a e =，经检验，符合题意，所以a e = 或3a e =.（2）①当01x <≤时，对于任意的实数a ,恒有2()04f x e ≤<成立， ②当13x e <≤，由题意，首先有22(3)(3)ln(3)4f e e a e e =-≤， 解得2233ln(3)ln(3)e ee a e e e -≤≤+， 由（1）知'()()(2ln 1)a f x x a x x=-+-，令 ()2ln 1a h x x x=+-，则(1)10h a =-<，()2ln 0h a a =>，且23ln(3)(3)2ln(3)12ln(3)133ee e ah e e e ee+=+-≥+-=12[ln(3e)]03ln(3e)->. 又()h x 在（0，+∞）内单调递增，所以函数()h x 在（0，+∞）内有唯一零点，记此零点为0x ，则013x e <<，01x a <<.从而，当0(0,)x x ∈时，'()0f x >；当0(,)x x a ∈时，'()0f x <；当(,)x a ∈+∞时，'()0f x >，即()f x 在0(0,)x 内单调递增，在0,()x a 内单调递减，在(,)a +∞内单调递增.所以要使2()4f x e ≤对](1,3x e ∈ 恒成立，只要2200022()()ln 4,(3)(3)ln(3)4,⎧=-≤⎪⎨=-≤⎪⎩f x x a x e f e e a e e ①②成立. 000()2ln 10ah x x x =+-=，知 0002ln a x x x =+ ③将③代入①得232004ln 4x x e ≤，又01x >，注意到函数23ln x x 在[1,+∞)内单调递增，故01x e <≤.再由③以及函数2xlnx+x 在（1, +∞)内单调递增，可得13a e <≤. 由②解得，2233ln(3)ln(3)e ee a e e e -≤≤+. 所以233ln(3)ee a e e -≤≤ 综上，a 的取值范围为233ln(3)ee a e e -≤≤. 27.（2011·浙江高考文科·Ｔ21）设函数22()ln ,0f x a x x ax a =-+> （1）求()f x 的单调区间. （2）求所有实数a ，使21()e f x e -≤≤对[]1,x e ∈恒成立.注：e 为自然对数的底数.【思路点拨】（1）题中直接由导数的正负来确定其单调区间；（2）题中不等式恒成立问题，只需2min max ()1,()≥-≤f x e f x e 且 ． 【精讲精析】(1）因为22()ln f x a x x ax =-+，其中0x >， 所以2()(2)'()2a x a x a f x x a x x-+=-+=-.由于0a >，所以()f x 的增区间为（0，a ）,减区间为（a ,+∞）（2）由题意得， (1)11=-≥-f a e ，即≥a e ，由（1）知()f x 在[1,a]内单调递增,故()f x 在[]1,e 内单调递增， 要使21()e f x e -≤≤对[1,]x e ∈恒成立，只要222(1)11()f a e f e a e ae e=-≥-⎧⎨=-+≤⎩ 解得a e =．28.（2011·天津高考文科·T19）已知函数322()4361,=+-+-∈f x x tx t x t x R ，其中∈t R ．（1）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）当0≠t 时，求()f x 的单调区间；（3）证明：对任意(0,),()∈+∞t f x 在区间(0,1)内均存在零点． 【思路点拨】（1）由导数的几何意义求切线方程； （2）利用导数研究函数的单调性； （3）对t 分区间讨论函数零点. 【精讲精析】（1）当1t =时，322()436,(0)0,()1266'=+-==+-f x x x x f f x x x ，f (0) 6.'=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =-（2）22()1266'=+-f x x tx t ，令()0'=f x ，解得.2t x t x =-=或因为0t ≠，以下分两种情况讨论：①若0,,2t t t x <<-则当变化时，(),()'f x f x 的变化情况如下表：x,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭t ,2⎛⎫- ⎪⎝⎭t t (),-+∞t()f x '+ - + ()f x所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭t t f x 的单调递减区间是,2⎛⎫- ⎪⎝⎭t t .②若0,2tt t >-<则，当x 变化时，'f (x),f(x)的变化情况如下表：x (),-∞-t ,2⎛⎫- ⎪⎝⎭t t ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭t ()'f x+ - + ()f x所以，()f x 的单调递增区间是(],,,;()2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭t t f x 的单调递减区间是,.2⎛⎫- ⎪⎝⎭t t （3）由（2）可知，当0t >时，()f x 在0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭t 内单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭t 内单调递增，以下分类讨论：①当1,22≥≥tt 即时，()f x 在（0，1）内单调递减，2(0)10,(1)643644230.f t f t t =->=-++≤-⨯+⨯+<所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点.。
高考数学考点11导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例.docx
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考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1. （2013·辽宁高考理科·Ｔ12）设函数()f x 满足22()2(),(2).8x e e x f x xf x f x '+==则x>0时,f(x)（ ）.A 有极大值，无极小值 .B 有极小值，无极大值 .C 既有极大值又有极小值 .D 既无极大值也无极小值【解题指南】结合题目条件，观察式子的特点，构造函数，利用导数研究极值问题。
【解析】选D.由题意知2332()2()()x x e f x e x f x f x x x x -¢=-=， x 2x 22g(x)e 2x f (x),g '(x)e 2x f '(x)4xf (x 2(()2())22(1).)x x xx e x f x xf x e e e x x则令¢==--+=-=-=--由()0g x ¢=得2x =,当2x =时,222min ()2208e g x e =-创= 即()0g x ³,则当0x >时,3()()0g x f x x ¢=?, 故()f x 在(0,+∞)上单调递增,既无极大值也无极小值.2. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ12）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ11）相同已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=0),1ln(0,2)(2x x x x x x f ，若ax x f ≥|)(|，则a 的取值范围是（ ）A.]0,(-∞B. ]1,(-∞C. ]1,2[-D. ]0,2[- 【解题指南】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象，利用|)(|x f 在)0,0(处的切线为制定参数的标准.【解析】选D.画出函数y=|f(x)|的图象如图所示,当0≤x 时，x x x f x g 2|)(|)(2-==，22)(-='x x g ，2)0(-='g ，故2-≥a .当0>x 时，)1ln(|)(|)(+==x x f x g ，11)(+='x x g 由于)(x g 上任意点的切线斜率都要大于a ，所以0≤a ，综上02≤≤-a .3. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ11）与(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T10)相同设已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） A.0x R ∃∈，0()0f x =B.函数()y f x =的图象是中心对称图形C.若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D.若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=【解析】选C.结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.A 项,因为函数f(x)的值域为R,所以一定存在x 0∈R,使f(x 0)=0,A 正确.B 项,假设函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为(m,n),按向量(,)a m n =--将函数的图象平移,则所得函数y=f(x+m)-n 是奇函数,所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,化简得(3m+a)x 2+m 3+am 2+bm+c-n=0.上式对x ∈R 恒成立,故3m+a=0,得m=-3a ,n=m 3+am 2+bm+c=f 3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为,33a a f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故y=f(x)的图象是中心对称图形,B 正确.C 项,由于()f x '=3x 2+2ax+b 是二次函数,f(x)有极小值点x 0,必定有一个极大值点x 1,若x 1<x 0,则f(x)在区间(-∞,x 0)上不单调递减,C 错误.D 项,若x 0是极值点,则一定有0()0f x '=.故选C. 4.（2013·安徽高考文科·Ｔ10）已知函数32()=+a +bx+f x x x c 有两个极值点1x ，2x ，若112()=f x x x <，则关于x 的方程23(())+2a ()+=0f x f x b 的不同实根个数是 ( ) A.3 B.4 C. 5 D.6【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x 1或f(x)=x 2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.【解析】选A 。
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g (a ) 0 f (b) 。
8.(2013 · 浙 江 高 考 理 科 · T8) 已 知 e 为 自 然 对 数 的 底 数 , 设 函 数 f(x)=(e -1)(x-1) (k=1,2),则
x k
(
)
A.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 B.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 C.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 D.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 【解题指南】当 k=1,2 时,分别验证 f' (1)=0 是否成立,根据函数的单调性判 断是极大值点还是极小值点. 【解析】选C.当k=1 时,f′(x)=e (x-1)+e -1,此时f '(1)≠0,故排除A,B;当 k=2 时,f '(x)=e (x-1) +(e -1)(2x-2),此时f '(1)=0,在x=1 附近左侧,f '(x)<0, 在x=1 附近右侧,f'(x)>0,所以x=1 是f(x)的极小值点. 9.(2013·浙江高考文科·T8)已知函数 y=f(x)的图象是下列四个图象之一, 且其导函数 y=f '(x)的图象如图所示,则该函数的图象是 ( )
A.3
B.4
C. 5
D.6
【 解 题 指 南 】 先 求 函 数 的 导 函 数 ,由 极 值 点 的 定 义 及 题 意 ,得 出 f(x)=x 1 或 f(x)=x 2 ,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数. 【 解 析 】 选 A 。 因 为 f '( x) = 3x 2 + 2ax + b ， 函 数 的 两 个 极 值 点 为 x1 , x2 ， 所 以
f ( x1 ) 0, f ( x2 ) 0
， 所 以 x1 , x2 是 方 程 3x 2 + 2ax + b = 0 的 两 根 ， 所 以 解 方 程
3( f ( x)) 2 + 2af ( x) + b = 0 得 f ( x) x1或f ( x) x2 ， 不妨设 x1 < x2 . 由题意知函数f(x)在(-
所以 x= 即 ln
1 +1-1=-ln(2a)>0, 2a
所以 ln(2a)<0, 所以 0<2a<1,即 0<a< 因为 0<x 1 <
1 <x 2 , 2a 1 2
所以f '(x 1 )=lnx 1 +1-2ax 1 =0, f '(x 2 )=lnx 2 +1-2ax 2 =0. 则f(x 1 )=x 1 (lnx 1 -ax 1 )=x 1 (2ax 1 -1-ax 1 ) =x 1 (ax 1 -1)<
2
ex e2 , f (2) . 8 x
则 x>0 时,f(x)（
）
B. 有极小值，无极大值 D. 既无极大值也无极小值
A. 有极大值，无极小值 C. 既有极大值又有极小值
【解题指南】结合题目条件，观察式子的特点，构造函数，利用导数研究极 值问题。 【解析】选 D.由题意知 f ¢( x) =
e x 2 f ( x ) e x - 2 x 2 f ( x) = ， x3 x x3
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考点 11 导数在研究函数中的应用与生活中的优 化问题举例
一、选择题 1. （2013· 辽宁高考理科· Ｔ12） 设函数 f ( x) 满足 x f ( x) 2 xf ( x)
得 ln x 2ax 1 有两个实数解x 1 ,x 2 ⇔ 函数g(x)=lnx+1-2ax有且只有两个零点 ⇔ g(x)在(0,+∞)上的唯一的极值不等于 0, g '(x)= ①当 a≤0 时, g(x) >0, f (x) 单调递增, 因此 g(x)= f (x) 至多有一个零点,不符合题意,应舍去.
已知函数 f ( x) A. (,0]
x 2 2 x , x 0 ln( x 1), x 0
，若 | f ( x) | ax ，则 a 的取值范围是（ C. [2,1]
）
B. (,1]
D. [2,0]
【解题指南】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象，利用 | f ( x) | 在 (0,0) 处的 切线为制定参数的标准. 【解析】 选D.画出函数y=|f(x)|的图象如图所示, 当 x 0 时， g ( x) | f ( x) | x 2 2 x ，
∞ ,x 1 ),(x 2 ,+∞ )上 单 调 递 增 ,在 (x 1 ,x 2 )上 单 调 递 减 .又 f(x 1 )=x 1 <x 2 ,如 图 ,
数形结合可知f(x)=x 1 有两个不同实根,f(x)=x 2 有一个实根,所以不同实根 的个数为 3. 6.（2013·湖北高考理科·Ｔ10）已知 a 为常数，函数 f ( x ) x ln x ax 有两 个极值点 x1 , x2 ( x1 x2 ) ，则（ A. f ( x1 ) 0, f ( x2 ) 2 C.
2
a 3 ,
f ( x) =3x +2ax+b是二次函数,f(x)有极小值点x 0 ,必定有一个极大值点x 1 ,若
x 1 <x 0 ,则f(x)在区间(-∞,x 0 )上不单调递减,C错误.D项,若x 0 是极值点,则一 定有 f ( x0 ) 0 .故选C. 4.（2013·安徽高考文科·Ｔ10）已知函数 f (x)=x3 +ax 2 +bx+c 有两个极值点 x1 ，
令g(x) = e x - 2x 2 f (x), 则g '(x) = e x - 2x 2f '(x) - 4xf (x )
= e x - 2( x 2 f ¢( x) + 2 xf ( x))
2e x 2 =e = e x (1- ). x x
x
由 g ¢( x) = 0 得 x = 2 ,当 x = 2 时,
x2 ， 若 f (x1 )=x1 < x2 ， 则关于 x 的方程 3(f (x))2 +2af (x)+b=0 的不同实根个数是
(
)
A.3
B.4C. 5来自D.6【 解 题 指 南 】 先 求 函 数 的 导 函 数 ,由 极 值 点 的 定 义 及 题 意 ,得 出 f(x)=x 1 或 f(x)=x 2 ,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数. 【 解 析 】 选 A 。 因 为 f '( x) = 3x 2 + 2ax + b ， 函 数 的 两 个 极 值 点 为 x1 , x2 ， 所 以
f (a) 0, g (b) 0
确 定
a,b
的 大 小 ， 再 结 合
f ( x) e x x 2, g ( x) ln x x 2 3 的单调性进行判断.
【解析】选 A. 因为 的，由
f ( x) e x 1 0, 所以 f ( x) e x x 2 在其定义域内是单调递增
f ( x1 ) 0, f ( x2 ) 1 2 1
） B. f ( x1 ) 0, f ( x2 ) D.
1 2 1 2
f ( x1 ) 0, f ( x2 )
1 f '(x) ln x ax x( a) ln x 1 2ax(x 0) ，令 f ' ( x) 0 ，由题意可 【解析】选D. x
f ( x1 ) 0, f ( x2 ) 0 ， 所 以 x1 , x2 是 方 程 3 x 2 + 2ax + b = 0 的 两 根 ， 所 以 解 方 程 3( f ( x)) 2 + 2af ( x) + b = 0 得 f ( x) x1或f ( x) x2 ， 由 上 述 可 知 函 数 f(x) 在 (-
2 3 2 3 2
）
m=-
a a 3 2 3 2 ,n=m +am +bm+c=f , 所 以 函 数 f(x)=x +ax +bx+c 的 对 称 中 心 为 3 3 a f , 故 y=f(x) 的 图 象 是 中 心 对 称 图 形 ,B 正 确 .C 项 , 由 于 3
1 1 1 0, a 1 2a 2a 2a 1 1 1 1 1 . 2a 2 2a
f ( x) e x x 2, g ( x) ln x x 2 3 .
f(x 2 )=x 2 (lnx 2 -ax 2 )=x 2 (ax 2 -1)>1× a
g ( x) 2 x 2 ， g (0) 2 ，故 a 2 .
当 x 0 时， g ( x) | f ( x) | ln( x 1) ， g ( x)
1 x 1
由于 g ( x) 上任意点的切线斜率都要大于 a ，所以
a 0 ，综上 2 a 0 .
1 1 2ax -2a= , . x x
②当 a>0 时,令 g(x) =0,解得 x= 因为 x (0,
x (
1 , 2a
1 ,函数 g(x)单调递增; ), g(x) 0， 2a
1 函数 g(x)单调递减. , ) 时， g(x) 0， 2a
1 1 是函数 g(x)的极大值点,则 g >0, 2a 2a
7. （2013·天津高考文科·Ｔ8）设函数