八年级数学上册(北大师版)配套教学学案：5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数
北师大版八年级数学上册：5.5应用二元一次方程组-里程碑上的数(教案)
-例如：在本节课的里程碑问题中，学生需要理解小明和小华行走速度与相遇时间的关系，将这一关系转化为方程组中的未知数和方程。
（2）熟练运用加减消元法和代入法解二元一次方程组，求解实际问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二元一次方程组的基本概念。二元一次方程组是由两个含有一个未知数的方程构成的，它们共同拥有两个未知数。它在解决两个相关联的量的问题中起着重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何将里程碑问题转化为二元一次方程组，并通过求解方程组找到小明和小华相遇的情况。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调如何建立方程组和如何选择消元方法这两个重点。对于难点部分，如如何从实际问题中抽象出数学模型，我会通过举例和逐步引导来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二元一次方程组相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的模拟实验。通过角色扮演，学生可以直观地感受方程组中各变量的意义。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提升数学应用意识。
2.通过二元一次方程组的建立与求解，锻炼学生的逻辑思维和推理能力，增强数学抽象素养。
3.在小组合作与交流中，提高学生的数学表达与沟通能力，培养团队合作精神。
4.引导学生体会数学在生活中的广泛应用，增强数学建模素养，激发学习兴趣。
-通过实际例题，让学生动手操作，加深对方程组解的实际意义的理解。
-对于拓展案例，鼓励学生自主探索，教师适时提供指导，帮助学生适应问题条件的变化，灵活运用所学知识。
八年级数学上册5.5应用二元一次方程组—里程碑上的数教案1北师大版(new)
5．5 应用二元一次方程组—-里程碑上的数1．利用二元一次方程组解决数字问题和行程问题;(重点）2．进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程．一、情境导入小刚的爸爸开车带着小刚出去玩，他们匀速行驶在公路上.10：00时，小刚看到里程碑上是一个两位数，它的两个数字之和是8；11：00时，他又看到里程碑上是一个两位数，它的两个数字与第一次看到的两位数的数字刚好互换了位置；14：00时他看到里程碑上的数变成了三位数,它的百位数字比第一次看到的两位数的十位数字少1，十位数字比第一次看到的两位数的个位数字多1,个位数字是0.你能算出小刚第一次看到的里程碑上的数是多少吗？二、合作探究探究点一:利用二元一次方程组解决数字问题【类型一】年龄问题父亲给儿子出了一道题，要儿子猜出答案:有一对母女，5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍只多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？解析：先分别设出现在这对母女的年龄，再用它们表示出5年前母女的年龄和15年后母女的年龄，则根据①5年前，母亲的年龄是女儿年龄的15倍;②15年后，母亲的年龄是女儿年龄的2倍再加6，列出方程组。
母亲女儿现在年龄/岁x y5年前的年龄/岁x－5y－515年后的年龄/岁x＋15y＋15解：设现在这对母女的年龄分别是x岁和y岁，由题意，得错误!解得错误!答：现在这对母女的年龄分别是35岁和7岁．方法总结:解答年龄问题的关键是年龄差不变及增长岁数相同．【类型二】数字问题一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9,把这个两位数的十位数字和个位数字对调所得新两位数比原两位数大9，求这个两位数．解析:若个位上的数字为x，十位上的数字为y，则这个两位数为10y＋x。
由相等关系“数字之和为9"及“新两位数比原两位数大9”可列方程组．解：设这个两位数的个位上的数字为x,十位上的数字为y.根据题意,得错误!解得错误!则10y＋x＝45。
【北师大版】初二数学上册《【说课稿】应用二元一次方程组——里程碑上的数》
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数这一课是九年义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级上第五章《二元一次方程组》第5节的内容，本课是列二元一次方程组解实际问题的第三节，是继学完一元一次方程之后,又一重要的解决数学问题的模型。
是非常重要的解决数学问题的工具之一，并进一步让学生体会建模思想。
（1）学习优势：一方面学生已经具备了一定的分析能力与列方程解实际问题的经验，另一方面这节内容情景较为贴近学生生活，学生的兴趣和积极性能充分调动起来。
（2）学习障碍：首先学生数学化能力相对较弱，分析能力还没有真正形成。
同时，本节情景问题虽然较为有趣，但相比较有一定的难度。
①让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型.②进一步体会列方程组解决实际问题的一般步骤，掌握列二元一次方程组的基本环节。
在情境过程中建立自己的数学体系；在观察、分析、解决中培养数学化的能力，增强学习数学的自信心。
教学目标①准确找出问题中数量关系；②能发现、提炼情景问题中的数学问题；②掌握列方程解决实际问题的一般步骤、环节。
教学重点学生通过列二元一次方程组解决“数字类”、“行程类”数学问题。
教学难点①在问题中分析找到解决问题的数量关系。
②方程思想的形成。
在体现数学价值的实际问题教学中，注重突破传统的求全、求难的思想，注重现实意义和学生的兴趣，注重对学生进行分析能力和数学建模思想的培养，实现我预设的教学目标我采用如下的教学方法和手段：（1）教学方法：创设情景、启发式、交流式相结合的教学方法。
启发、引导学生积极思考，让学生亲自参与活动，进行探索与发现；在此基础上提供给学生交流的机会，学生学会对自己的数学思维进行组织和澄清，并能清楚地、准确地表达自己的数学思想；以设“问”之方式来启发学生深思，以求“变”之方式来诱导学生灵活深刻，以“梳”导之方式来引导学生归纳总结。
（2）教学手段利用多媒体、合作学习等教学手段。
_八级数学上册5.5应用二元一次方程组_里程碑上的数教案新版北师大版1123160
课题：应用二元一次方程组——里程碑上的数教课目的：知识与技术目标：1.掌握十进制整数的表达方式2.用二元一次方程组解决风趣场景中的数字问题和行程问题，概括用方程（组）解决实质问题的一般步骤．过程与方法目标1.经过设置问题串，让学生领会剖析复杂问题的思虑方法．2.让学生进一步经历和体验列方程组解决实质问题的过程，领会方程组是刻画现实世界的有效数学模型．感情与态度目标1.在学习过程中让学生体验把复杂问题化为简单问题的策略，体验成功感，同时培育学生战胜困难的意志和勇气，建立自信心，并鼓舞学生合作沟通，培育学生的团队精神．要点：掌握十进制数的表示方法难点：依据题意剖析问题中所蕴涵的数目关系.教课流程：一、课前预习（1）一个两位数，十位上的数是6，个位上的数是 4，这个两位数是 _64_____.（2 ）一个两位数，个位数字是a，十位数字是b ，则这个两位数用代数式表示为10b+a ，若互换个位和十位上的数字，获得一个新的两位数用代数式表示为 10a+b ．（ 3）23，45 是两个两位数，把较大的两位数写在较小的两位数的左侧，则获得一个四位数，那么这个四位数是__4523 ______.（ 4）有两个两位数 a 和 b ，假如将 a 放在 b 的左侧，就获得一个四位数，那么这个四位数用代数式表示为100b+a；假如将a放在b的右侧，将获得一个新的四位数，那么这个四位数用代数式可表示为100a+b．二、情境引入研究 1：小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上均速行驶，下列图是小明每隔 1 小时看到的里程状况，你能确立小明在12： 00 时看到的里程碑上的数吗？12:00是一个两位数，它的两个数字之和为713:00十位与个位数字与12： 00 时所看到的正好颠倒了14:00比 12： 00 时看到的两位数中间多了个0剖析：假如设小明在12： 00看到的数的十位数字是x，个位数字是 y，那么：（ 1）12：00时小明看到的数可表示为 ___10x+y _________依据两个数字和是7，可列方程 ___x+y=7 ________.（ 2）13：00时小明看到的数可表示为 _10y+x_ ________,12：00~13： 00 间摩托车行驶的行程是_（10y+x ） - （ 10x+y） _____________.（ 3）14：00时小明看到的数可表示为 __100x+y_ _________,13： 00~14： 00 间摩托车行驶的行程是__（ 100x+y ） - （ 10y+x） ___________________.解答：假如设小明在12:00 时看到的数的十位数字是x，个位数字是 y，那么依据以上剖析，得方程组：x y7,(100x y)(10y x)(10y x) (10x y).解这个方程组，得x1,y 6 .10× 1+6=16答：小明在12:00 时看到的里程碑上的数是16．发问：十进制数一般用字母怎样表示？概括：数字问题（十进制整数的表示方法）两位数： a1a2＝10a1+a2三位数：a1a2a3＝ 100 a1 +10 a2 +a3四位数： a1a2a3a4＝1000a1+100a2+10a3+a4练习：1.假如一个两位数的十位数字与个位数字之和为6，那么这样的两位数的个数是（ B ）A.3B.6C.5D.42.一个两位数，十位数字与个位数字的和是7，假如这个两位数加上 45，则恰巧成为个位数字与十位数字对调后构成的两位数，设十位数字为x, 个位数字为y，x+y=7列出方程 ___________10x+y+45=10y+x3. 汽车在上坡时速度为28km/h，下坡时速度为42km/h ，从甲地到乙地用了4小时 30分，返回时用了 4 小时 40 分，从甲地到乙地上、下坡路各是多少千米？（列方程组不求解）解：设从甲地到乙地上坡路是x 千米，下坡路是y 千米。
北师大版八年级上册数学5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数优秀教案
5． 5应用二元一次方程组——里程碑上的数1．利用二元一次方程组解决数字问题和行程问题； ( 要点 )2．进一步经历和体验列方程组解决实质问题的过程．一、情境导入小刚的爸爸开车带着小刚出去玩，他们匀速行驶在公路上 .10 ： 00 时，小刚看到里程碑上是一个两位数，它的两个数字之和是8；11：00 时，他又看到里程碑上是一个两位数，它的两个数字与第一次看到的两位数的数字恰好交换了地点； 14：00 时他看到里程碑上的数变为了三位数，它的百位数字比第一次看到的两位数的十位数字少 1，十位数字比第一次看到的两位数的个位数字多1，个位数字是0. 你能算出小刚第一次看到的里程碑上的数是多少吗？二、合作研究研究点一：利用二元一次方程组解决数字问题【种类一】年纪问题父亲给儿子出了一道题，要儿子猜出答案：有一对母女， 5 年前母亲的年纪是女儿年纪的 15 倍， 15 年后，母亲的年纪比女儿年纪的 2 倍只多 6 岁．那么此刻这对母女的年纪分别是多少？分析：先分别设出此刻这对母女的年龄，再用它们表示出 5 年前母女的年纪和15年后母女的年纪，则依据①5年前，母亲的年纪是女儿年纪的15 倍；② 15年后，母亲的年纪是女儿年纪的 2 倍再加 6，列出方程组 .母亲女儿此刻年纪 / 岁x y5 年前的年纪 / 岁x－ 5y－ 515 年后的年纪 / 岁x＋ 15y＋ 15解：设此刻这对母女的年纪分别是x岁和 y 岁，由题意，得x－5＝ 15（ y－ 5），x＝ 35，x＋15＝ 2（ y＋ 15）＋ 6.解得y＝ 7.答：此刻这对母女的年纪分别是35 岁和 7岁．方法总结：解答年纪问题的要点是年纪差不变及增加年纪同样．【种类二】数字问题一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为 9，把这个两位数的十位数字和个位数字对换所得新两位数比原两位数大 9，求这个两位数．分析：若个位上的数字为x，十位上的数字为y，则这个两位数为10y＋ x. 由相等关系“数字之和为9”及“新两位数比原两位数大 9”可列方程组．解：设这个两位数的个位上的数字为 x，十位上的数字为 y.根据题意，得x＋y＝ 9，（ 10x＋ y）－（ 10y＋x）＝ 9.x＝ 5，解得则 10y ＋ x＝ 45.y＝ 4，故这个两位数是45.方法总结：数字问题中所求的未知量一般是原数，解题时，一般先设原数数位上的数字为未知数，再写出这个数．研究点二：利用二元一次方程组解决行程问题【种类一】相遇问题某体育场的一条环形跑道长400m. 甲、乙两人从跑道上同一地址出发，分别以不变的速度练习长跑和骑自行车．假如背向1而行，每隔2min 他们相遇一次；假如同向而1行，每隔 13min 乙就追上甲一次．问甲、乙每分钟各行多少米？分析：题中的两个相等关系为：① 乙骑车的行程＋甲跑步的行程＝400m(背向 ) ；②乙骑车的行程－甲跑步的行程＝400m(同向 ) ．解：设乙骑车每分钟行xm，甲每分钟跑112x＋2y＝ 400，ym ，由题意，得解得443x－3y＝ 400.x＝ 550，y＝ 250.答：甲每分钟跑250m，乙每分钟骑550m.方法总结：环路上的等量关系：若同时同地出发，当背向而行，第一次相遇时，二者行程之和＝环路的周长；若同时同地出发，同向而行，第一次相遇时，快者的行程－慢者的行程＝环路的周长．【种类二】行程问题A 、B 两码头相距 140km，一艘轮船在此间航行，顺流航行用了 7h，逆水航行用了 10h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度．分析：设这艘轮船在静水中的速度为xkm/h ，水流速度为ykm/h ，列表以下，行程速度时间顺流140km(x ＋ y)km/h7h逆流140km(x － y)km/h10h解：设这艘轮船在静水中的速度为xkm/h ，水流速度为 ykm/h. 由题意，得7（x＋ y）＝ 140，x＝ 17，10（x－ y）＝ 140.解得y＝ 3.答：这艘轮船在静水中的速度为17km/h ，水流速度为3km/h.方法总结：此题要点是找到各速度之间的关系，顺速＝静速＋水速，逆速＝静速－水速；再联合公式“行程＝速度× 时间” 列方程组．三、板书设计数字问题“里程碑上的数”问题行程问题数学思想方法是数学学习的灵魂．教课中注意关注包含此中的数学思想方法( 如化归方法 ) ，介绍化归思想及其运用，既可提高学生的学习兴趣，宽阔视线，同时也提高学生对数学思想的认识，提高解题能力．。
5.5 应用二元一次方程组 ——里程碑上的数 北师大版八年级数学上册教案
应用二元一次方程组 ——里程碑上的数教学目标1．用二元一次方程组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题。
2．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型。
3．归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
教学过程教学反思一、学习目标：1．用二元一次方程组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题。
2．进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型。
3．归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
二、自学指导：1．自觉思考：（1）小明的爸爸骑着摩托车，载着小明在公路上匀速行驶。
小明在12∶00时看到的里程碑上的数是一个两位数，它的两个数字之和是7；在13∶00时看到的里程碑上的数十位与个位数字与12∶00时看到的正好颠倒了；在14∶00时小明看见里程碑上的数比12∶00时看到的两位数中间多个0.试确定小明12∶00时看到里程碑上的数。
完成下面问题。
①设小明在12∶00时看到的数十位数字是x，个位数字是y，根据题意，你能将12∶00、13∶00、14∶00时小明看见里程碑上的数表示出来吗？②本题的等量关系有哪些？（2）两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数。
已知前一个四位数比后一个四位数大2718，求这两个两位数。
①假设较大的两位数为x，较小的两位数为y，在较大的数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为；在较大的数左边写上较小的数，所写的数可表示为。
②你能列出怎样的方程组？（3）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？2．小组交流，讨论。
3．教师点评。
三、当堂训练：1．课后习题2．北京和上海能制造同型号电子计算机，除本地使用外，北京支援外地10台，上海可支援外地4台，现在决定给重庆8台，武汉6台，每台运费如表所示。
北师大版八年级上册数学教案：5.5应用二元次方程组—里程碑上的数
梳理本节所学的知识，使所学的知识系统化。
5.5里程碑上的数
1、探究里程碑上的数2、典型例题讲解3、巩固练习4、课堂小结
X+y=7X+y=68
（100x+y）-（10y+x）=（10y+x）-（10x+y）（100x+y）-（100y+x）=2178
如板书中含有特殊符号、图片等内容，为方便展示，可将板书以附件或图片形式上传。
例两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数。已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。
分析：设较大的两位数为x，较小的两位数为y；
在较大数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为；
在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为。
初步了解列方程组解决实际问题的步骤。
难点：
将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型。
三、学习者特征分析
因为在七年级已经学习过数的构成，学生对于数字的构成是比较熟悉的，所以在学习本节课时只要引导学生再次进行数字的排列学生自然会进行数字的排列。但是本节课涉及到行程问题，所以使本节课的难度增加，给学生的理解造成障碍。教师在教学时要再次应用数字进行排列让学生理解数字位置的变换而得到的新的数的组成和原数的组成以及行程问题的计算方法。
学生根据前面的复习进行讨论填空。
（1）10x+y
x+y=7
（2）10y+x，
（10y+x）-（10x+y）
（3）100x+y
（100x+y）-（10y+x）
北师大版八年级数学上册：5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数学案设计
应用二元一次方程组【学习目标】1．用二元一次方程式组解决“里程碑上的数”这一风趣场景中的数字问题和行程问题2．用二元一次方程组解决实质问题的一般步骤。
【学习过程】一、学习准备1．解二元一次方程组的基本思路是经过“”把“”化为“”。
2．解二元一次方程组的基本方法是和3．一个两位数，个位数字是 a ，十位数字是b，则这个两位数用代数式表示为；若互换个位和十位上的数字获得一个新的两位数，用代数式表示为．4．一个两位数，个位上的数为x ，十位上的数为y ，假如在它们之间添上一个0，就获得一个三位数，这个三位数用代数式能够表示为．5．有两个两位数a和b，假如将a放在b的左侧，就获得一个四位数，那么这个四位数用代数式表示为；假如将 a 放在b的右侧，将获得一个新的四位数，那么这个四位数用代数式可表示为．二、教材精读6．小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一小时看到的里程碑上的数字状况以下：12∶00 时，这是两位数，它的两个数字之和为7，13∶00 时，十位与个位数字与12∶00 时看到的正好颠倒了；14∶00 时，比12∶00 时看到的两位数中间多了个0，你能确立小明在12∶00 时看到的里程碑上的数字吗？假如设小明在12∶ 00 时看到的十位数字是x，个位数字是y，那么（1）12：00 时小明看到的数可表示为，依据两个数字和是7，可列出方程；（2）13：00 时小明看到的数可表示为，12：00～13：00 间摩托车行驶的行程是；（3）14：00 时小明看到的数可表示为， 13：00～14： 00 间摩托车行驶的行程是；（4）12：00～13：00 与 13：00～ 14：00 两段时间内摩托车的行驶行程有什么关系？你能列出相应的方程吗？7．一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，假如这个两位数加上45，则恰巧成为个位数字与十位数字对换后构成的两位数，求这个两位数. 设这个两位数的十位数字为x ，个位数字为 y ，依据题意得方程组.三、合作研究8．两个两位数的和是68，在较大的两位数的右侧接着写较小的两位数，获得一个四位数；在较大的两位数的左侧写上较小的两位数，也获得一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大 2178，求这两个两位数。
北师大版初中数学八年级(上)备课资料5-5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
5应用二元一次方程组——里程碑上的数典型例题题型一列二元一次方程组解决数字问题例1有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，如果把这两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数.分析：如果一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b，这个两位数就表示为10a+b；如果一个三位数百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，这个三位数就表示为100a+10b+c.本题中的相等关系：①个位上的数字-十位上的数字＝5，②原数+新数＝143.解：设原来的两位数中，个位上的数字为x，十位上的数字为y，则原数为10y+x，把这两个数字的位置对换后，所得的新数为10x+y.根据题意，得5, 1010143, x yy x x y-=⎧⎨+++=⎩解得9,4. xy=⎧⎨=⎩所以这个两位数为10y+x＝10×4+9＝49.答：这个两位数为49.点拨：利用方程组解决数字问题时，一般不直接设这个数，而是设这个数的各数位上的数字，再利用数的表示方法表示出这个数.例2有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45，又知百位数字的9倍比十位和个位数字组成的两位数小3，求原三位数.分析：根据两个条件，可知不必设成三个未知数，只需把它看成一个百位数字x和一个由十位与个位数字组成的两位数y，则这个三位数就可看成100x+y；若将最左边的数字移到最右边，则x就变成了个位数字，y就扩大了10倍，新三位数可表示为10y+x.因此相等关系为：(1)百位数字×9＝由十位与个位数字组成的两位数-3；(2)新三位数＝原三位数-45.解：设原三位数的百位数字为x，由十位与个位数字组成的两位数为y.根据题意，得93, 1010045, x yy x x y=-⎧⎨+=+-⎩解得4,39.xy=⎧⎨=⎩则4×100+39＝439.答：原三位数为439.点拨：此题通过灵活选设未知数，将一个三元问题转化成了二元问题.题型二列二元一次方程组解决行程问题例3某中学新建的塑胶操场环形跑道一圈长400 m，甲、乙两名同学从同一起点同时出发，相背而跑，40 s后首次相遇；若从同一起点同时同向而跑，200 s后甲首次追上乙，求甲、乙两名同学的速度.分析：在环形跑道上，同时同地出发，相背而跑，为相遇问题，首次相遇时，相等关系为：甲跑的路程+乙跑的路程＝跑道一圈的长；若从同一地点同时同向而跑，甲首次追上乙为追及问题，相等关系为：甲跑的路程-乙跑的路程＝跑道一圈的长.解：设甲同学的速度为x m/s，乙同学的速度为y m/s.根据题意，得()40400, 200200400, x yx y+⨯=⎧⎨-=⎩整理，得10,2,x yx y+=⎧⎨-=⎩解得6,4.xy=⎧⎨=⎩答：甲同学的速度为6 m/s，乙同学的速度为4 m/s.点拨：相遇问题中，(甲速+乙速)×时间＝总路程；追及问题中，(甲速-乙速)×时间＝甲、乙相距的路程.例4甲、乙两地相距160 km，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地出发，相向而行，43h 相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1 h 后调转车头原速返回，在汽车再次出发12h 时追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 分析：画直线型示意图理解题意(如图1所示).图1这里有两个未知数：(1)汽车的行程；(2)拖拉机的行程.有两个相等关系：(1)相向而行：汽车43h 行驶的路程+拖拉机43h 行驶的路程＝160 km ； (2)同向而行：汽车12h 行驶的路程＝拖拉机112⎛⎫+ ⎪⎝⎭h 行驶的路程. 解：设汽车每小时行驶x km ，拖拉机每小时行驶y km. 根据题意，得4()160,3111,22x y x y ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩解得90,30.x y =⎧⎨=⎩ 90×4132⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝165(km)，30×4332⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝85(km). 答：汽车行驶了165 km ，拖拉机行驶了85 km.题型三 列二元一次方程组解决航速问题例5 一轮船从甲地到乙地顺流航行需4 h ，从乙地到甲地逆流航行需6 h ，那么一木筏从甲地漂流到乙地需多长时间？分析：对于航速问题，主要有如下两个公式：①顺速＝静速+水(风)速；②逆速＝静速-水(风)速.显然本题中所求的木筏由甲地漂流到乙地所需的时间，实际上就是水从甲地流到乙地需要的时间，木筏漂流的速度就是水流的速度，如果本题采用直接设法，则难以解决，故选用间接设法，设出轮船在静水中的速度和水流速度，为了解题更简单，可增设一个未知数，即甲、乙两地间的路程.解：设轮船在静水中的速度为x km/h ，水流速度为y km/h ，甲、乙两地间的路程为a km.根据题意，得4(),6(),x y a x y a +=⎧⎨-=⎩解这个方程组，得x ＝5y .把x ＝5y 代入①，得a ＝4×(5y +y )＝24y . 所以木筏从甲地漂流到乙地所需时间为a y ＝24y y＝24(h). 答：木筏从甲地漂流到乙地需24 h.点拨：本题中有三个未知数，但是却只有两个方程，所以在解题后是得不到具体数据的，不过我们可以把其中的一个未知数看作一个常数，如上面的y ，其他的未知数就可以用这个未知数来表示.a 的参与增加了方程组的可理解性，更能提供操作的可能性，便于解题.题型四列二元一次方程组解决年龄问题例6一名学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时，你才出生；你到我这么大时，我已经36岁了.”请求出老师、学生今年的年龄.分析：本题的相等关系：①老师的年龄-学生的年龄＝相差年龄(学生今年年龄)；②增长的年龄+老师的年龄＝36.解：设老师今年x岁，学生今年y岁.根据题意，得,36,x y yx y x-=⎧⎨-+=⎩解得24,12.xy=⎧⎨=⎩答：老师今年24岁，学生今年12岁.注意：人与人的年龄是同时增长的，所以老师与学生的年龄差是不变的.题型四开放拓展题例7如图2所示，在3×3的方格内，填写了一些代数式和数.图2(1)在图①中，各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请求出x，y的值.(2)把满足(1)的其他6个数填入图2②中的方格中.分析：依题意可知图2①中有两个等式：2x+3+2＝2+(-3)+4y，2x+3+2＝2x+y+4y，由此可以列出二元一次方程组求解.解：(1)由已知条件可列出方程组2322(3)4, 23224,x yx x y y++=+-+⎧⎨++=++⎩整理，得2343,55,x yy+=-⎧⎨=⎩解得1,1.xy=-⎧⎨=⎩(2)由(1)可得如图3所示的方格.图3说明：本题列方程组时有不同的列法，具有一定的开放性，虽然所列的方程组可能不同，但结果是一样的.拓展资源经典有趣的行程问题1甲、乙两人分别从相距100 米的A、B两地出发，相向而行，其中甲的速度是2米/秒，乙的速度是3 米/秒.一只狗从A地出发，先以6米/秒的速度奔向乙，碰到乙后再掉头冲向甲，碰到甲之后再跑向乙，如此反复，直到甲、乙两人相遇.问在此过程中狗一共跑了多少米？这可以说是最经典的行程问题了.不用分析小狗具体跑过哪些路程，只需要注意到甲、乙两人从出发到相遇需要20 秒，在这20 秒的时间里小狗一直在跑，因此它跑过的路程就是120 米.2假设你站在甲、乙两地之间的某个位置，想乘坐出租车到乙地去.你看见一辆空车远远地从甲地驶来，而此时整条路上并没有别人与你争抢空车.我们假定车的行驶速度和人的步行速度都是固定不变的，并且车速大于人速.为了更快地到达目的地，你应该迎着车走过去，还是顺着车的方向往前走一点？在各种人多的场合下提出这个问题，此时大家的观点往往会立即分为鲜明的两派，并且各有各的道理.有人说，由于车速大于人速，我应该尽可能早地上车，充分利用汽车的速度优势，因此应该迎着空车走上去，提前与车相遇.另一派人则说，为了尽早到达目的地，我应该充分利用时间，马不停蹄地赶往目的地.因此，我应该自己先朝目的地走一段路，再让出租车载我走完剩下的路程.其实答案出人意料的简单，两种方案花费的时间显然是一样的.只要站在出租车的角度上想一想，问题就变得很显然了：不管人在哪儿上车，出租车反正都要驶完甲地到乙地的全部路程，因此你到达乙地的时间总等于出租车驶完全程的时间，加上途中接人上车可能耽误的时间.从省事儿的角度来讲，站在原地不动是最好的方案！不过不少人都找到了这个题的一个缺陷，那就是在某些极端情况下，顺着车的方向往前走可能会更好一些，因为你或许会直接走到终点，而此时出租车根本还没追上你！。
【北师版八年级数学上册教案】5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数教课目标1．利用二元一次方程组解决数字问题和行程问题；(要点 )2．进一步经历和体验列方程组解决实质问题的过程．课前准备教材，课件，电脑（视频播放器）教课过程第一环节知识回顾１．一个两位数的十位数字是２．一个三位数，若百位数字为ｘ，个位数字是ｙ，则这个两位数可表示为：１０ｘ＋ｙａ，十位数字为ｂ，个位数字为ｃ，则这个三位数为：.100a+10b+c.３．一个两位数，十位数字为ａ，个位数字为ｂ，若在这两位数中间加一个０，获取一个三位数，则这个三位数可表示为：100a+b.４．ａ为两位数，ｂ是一个三位数，若把ａ放在ｂ的左侧获取一个五位数，则这个五位数可表示为： 1000a+b.设计企图：经过复习，为本节课的连续学习做好铺垫.实质成效：发问学生，教师加以议论，这样经过知识的回顾，学生基本能熟练地用代数式表示有关数字问题 .第二环节情境引入1． Flash 动画，情形展示 .小明礼拜天开车出去兜风，他在公路上匀速行驶，依据动画中的情形，你能确立他在１２：００看到的里程碑上的数吗？１２：００是一个两位数，它的两个数字之和为７；１３：００十位与个位数字与１２：００所看到的正好颠倒了；１４：００比１２：００时看到的两位数中间多了个０．解析：设小明在１２：００看到的数十位数字是ｘ，个位数字是y，那么时辰百位数字十位数字个位数字表达式１２：００x y10x+y１３：００y x10y+x１４：００x0y100x+y 相等关系：１．１２：００看到的数，两个数字之和是７：x＋ y＝７ .２．行程差：１２：００－１３：００：（１０y＋x）－（１０x＋y），１３：００－１４：００：（１００x＋y）－（１０y＋x），行程差相等：（１０ y＋ x）－（１０ x＋ y）＝（１００x＋y）－（１０y＋x）.依据以上解析，得方程组x＋ y＝７，（１０ y＋ x）－（１０ x＋ y）＝（１００x＋y）－（１０y＋x）.解方程组x＋ y＝７，（１０ y＋ x）－（１０ x＋ y）＝（１００x＋y）－（１０y＋x）.整理得x＋ y＝７，x = 1 ，所以，小明在１２：００时看到的里程碑上的数是１６．提示：要学会在图表顶用含未知数的代数式表示出要解析的量；而后利用相等关系列方程 .2． Flash 动画，情形再现.3．学法小结：（1）对较复杂的问题可以经过列表格的方法理清题中的未知量、已知量以及等量关系，这样，条理比较清楚．（２）借助方程组解决实质问题．设计企图：生动的情形引入，意在激发学生的学习兴趣；利用图表帮助解析使条理清楚，降低思想难度，并使列方程解决问题的过程更加清楚；学法小结，侧重重申解析方法，养成归纳小结的优异习惯.实质成效：动画引入，使数字问题变的更风趣，的确有效地激发了学生的兴趣，学生参加热情很高；借助图表解析，有效地战胜了难点，学生基本都能借助图表解析，在老师的指引下列出方程组 .4．变式训练师生共同研究下题：有一个三位数，现将最左侧的数字移到最右侧，则比本来的数小４５；又知百位数字的９倍比由十位数字和个位数字构成的两位数小３，试求本来的３位数．解析：数字问题中，设未知数也很有技巧，此问题中由十位数字和个位数字构成的两位数是一个“整体”，可设为一个未知数 y，百位数设为 x：百位数字十位数字个位数字表达式原数x y100 x + y新数y x10 y + x相等关系：１．原三位数－４５＝新三位数２．９百位数字＝两位数－３解：设百位数字为x，由十位数字与个位数字构成的两位数为y，依据题意的得：１００ x＋ y＝１０ y＋ x，９x＝y－３ .解得x＝４，y＝ 3９ .答：本来的三位数是４３９．设计企图：设计本题，意在让学生认识，在详尽解决问题时，不必定直接设未知数，设间接未知数是复杂问题简单化的解决门路之一，是转变思想的应用手段.实质成效：第一由学生思虑，说出设未知数的方法，教师再恩赐议论、指引，而后共同完成问题的解决 .本例中，要求一个三位数，学生习惯设三个未知数，可是只有两个等量关系，学生发现不太好解答，思想堕入僵局，这时经过教师的指引，发现这里十位数字与个位数字构成的两位数在问题中向来连在一起，所以可以将它们看作一个整体，这时学生一下子豁然开朗，而后列出了方程组并解出该题.第三环节练习提高1．李刚骑摩托车在公路上高速行驶，清晨7:00 时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9； 8:00 时看里程碑上的两位数与7:00 时看到的个位数和十位数颠倒了；9:00 时看到里程碑上的数是 7:00 时看到的数的 8倍，李刚在 7:00 时看到的数字是 18 .解析：设李刚在７：００看到的数十位数字是x，个位数字是 y，那么时辰十位数字个位数字表达式７：００x y１０ x＋ y８：００y x１０ y＋ x９：００８（１０ x＋ y）设计企图：练习 2 是教材上“里程碑上的数”例题的变式，活学活用，增强图表解析法，使学生知识过手 . （假如此例改为其余例题，何尝不行，但实践中我们发现，对同一问题的变式运用更有益于学生掌握图表解析法）.实质成效：本例的解答学生比较驾轻就熟，最重要的是学生基本上都学会了用图表来帮助分析数字问题 .2．选一选小颖家离学校4800 米，此中有一段为上坡路，另一段为下坡路分.已知小颖在上坡时的均匀速度是 6 千米 /时，下坡时的均匀速度是.她跑步去学校共用了3012 千米 /时 .问小颖上、下坡各多少千米？Ａ． 1.2， 3.6；Ｂ． 1.8， 3；Ｃ． 1.6， 3.2．解析：本题间接设未知数更简洁.解：设上坡x 时，下坡y 时，据题意得：6x+ 12y=4.8 ，解之得x＋ y＝ 0.5. x＝ 0.2，y＝ 0.3.0.26 1.2,0.3 12 3.6选Ａ .设计企图：在解应用题时只考虑题目要求什么就设什么为未知数，有时关系式难追求，方程也难解 .所以，可以依据题目条件选择与要求的未知量有关的某个量为未知数，以便找出符合题意的相等关系，从而达到解题的目的.自然，这两个练习，也依照了由易到难的原则实质成效：多数学生都解答本题目，都易考虑用间接设未知数，降低思想和计算难度..3．列方程CIN 公司第二季度进出口总数是９８０万元，第二季度进口额比一季度增加了３９％，出口额增加了４１％，进出口总数增加了４０％，第二季度的进，出口额分别是多少？解析：设第二季度的进口额为x 万元，出口额为y 万元：进口额出口额进出口总数一季度x y980139%141%140%二季度x y９８０x+y980，139%=1 141%40%x + y =980.若设第一季度的进口额为x 万元，出口额为y 万元，则：进口额出口额进出口总数一季度x y９８０÷（１＋４０％）二季度（１＋３９％）x（１＋４１％）y９８０500450400350300250进口200出口15010050第一季度第二季度x＋ y＝９８０÷（１＋４０％），（１＋３９％）x＋（１＋４１％） y＝９８０ .依据学生设不一样未知数出现不一样的方程组，若没有考虑到另一种想法，教师恩赐增补.设计企图：练习 3 的设置，侧重于直接设未知数和间接设未知数列出方程的比较比较，使学生在设未知数时，以简洁和降低计算难度为优.实质成效：学生在直接设未知数时表示已知量未知量有部分学生出错，而且计算难度较大；转变成间接设未知数的学生表达量改正确，计算难度更低；由此比较，学生更易发现设间接未知数有时更利于方程组的建立和解答，从而把间接设未知数作为列方程组解应用题的重要方面来考虑 .第四环节合作学习现实生活和数学学习中，有好多问题可以借助二元一次方程组解决．试编制一个可以用下边的二元一次方程组解决的应用题．x＋ y＝２，５ x－ y＝１０ .学生分组进行编题和互评，而后每组请一个同学将本组评选出的编的最好的应用题向全班同学报告 .（评选方法：符合实质、联系生活、有想象力而且正确无误）设计企图：侧重于逆向思想训练，领悟自己编题，从编题人的高度审察列方程组解决实质应用题，同时培育学生的合作意识，经过合作，让学生相互议论、修正，使学生思想跳出固定单一的生活圈，更关注与现实世界的交融，广阔视线.实质成效：有部分学生缺少想象力，视线狭小，经过同学互评纠正和相互学习对现实问题与数学结合有了更深的领悟.大多数学生对这类编题形式很感兴趣，课堂气氛轻松活跃.第五环节学习反思：１．在好多实质问题中，都存在着一些等量关系，所以我们常常可以借助列方程或方程组的方法来办理这些问题．２．这类办理问题的过程可以进一步概括为：解析求解问题方程（组）解答抽象检验３．要注意的是，办理实质问题的方法是多种多样的，图表解析是一种直观简洁的方法，设间接未知数可帮助转变问题，还可运用化归等数学思想方法，应依据详尽问题灵巧采纳．设计企图：对学习内容作回顾整理，提炼方法思想.第六环节部署作业1．甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左侧，构成的四位数是乙数的201 倍；若把乙数放在甲数的左侧，构成的四位数比上边的四位数小1188，求这两个数．2．某车间每天能生产甲种零件600 个，也许乙种零300 个，或丙种零件500 个，甲、乙、丙三种零件各 1 个就可以配成一套，要在 63 天内生产中 ,使生产的零件所有成套，问甲、乙、丙三种零件各应生产几日？3．请你找寻一个利用化归的思想方法解决数学问题的实例．教课反思1．打破难点的策略列方程解应用题的解析方法多种多样，本课继上一节增收节支连续介绍解析数字等问题的一种比较有效的方法——图表解析法 .本节课除了要解决数字问题外，在设元的技巧上加以指引，如变式练习中设三个未知数没法解决的问题，可以转变成经过视为整体设两个未知数解决；同时在练习2，3 中选择直接未知数和间接未知数列方程，比较设未知数的思想难度和计算难度，而后进行优化选择，这样可以培育学生多种思想方式，打破难点.2．关注数学思想方法的揭穿数学思想方法是数学学习的灵魂 .教课中注意关注包含此中的数学思想方法（如化归方法）的揭穿，假如教课时间同意，可以特地介绍化归思想及其运用，这样既可提高学生的学习兴趣，广阔视线，同时也提高学生对数学思想的认识，提高解题经验．。
北师大版八年级数学上册导学案：5.5应用二元一次方程组---里程碑上的数
北师大版八年级上册数学导学案编写日期： 2020年 11月日主备人：使用日期：2020年 11月日使用主人：课题 5.5应用二元一次方程组-------里程碑上的数目标 1.用二元一次方程组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题.△2.归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤..重点用加减法解简单的二元一次方程组.难点加减消元过程.教/ 学流程教学内容学法指导笔记一【温故知新导入新课】](1) 一个两位数，个位数字是a，十位数字是5，那么这个数可表示为_________；(2)一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数可表示为_________；如果交换个位和十位上的数字，得到一个新的两位数可表示为_________.(3)一个两位数，个位上的数为m，十位上的数为n，如果在它们之间添上一个零，就得到一个三位数，用代数式表示这个三位数为_________二、目标导学（见上表）三、自主探究交流展示（一）．自主学习·解决问题小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶.小明在12∶00时看到的里程碑上的数是一个两位数，它的两个数字之和是7；在13∶00时看到的里程碑上的数十位与个位数字与12∶00时看到的正好颠倒了；在14∶00时小明看到的里程碑上的数比12∶00时看到的两位数中间多个0.试确定小明12∶00时看到里程碑上的数. 先自学课本，经历自主探索、总结归纳的过程，并独立完成自主学习部分，然后学习小组讨论交流。
独立完成导学案，对存在疑如果设小明在12∶00时看到的数十位数字是x，个位数字是y，那么(1)小明12∶00时看到的里程碑上的数可以表示为；根据两个数字之和是7，可列出方程为。
(2)13∶00时看到的里程碑上的数可表示为；12∶00～13∶00间摩托车行驶的路程是。
(3)14∶00时看到的里程碑上的数可表示为；13∶00～14∶00间摩托车行驶的路程是。
北师大版数学八年级上册5.5应用二元一次方程组—里程碑上的数教案
举例：以里程碑上的数问题为例，重点讲解如何将问题转化为方程组，以及如何使用代入法和消元法求解方程组。
2.教学难点
-难点一：理解实际问题中的等量关系，并将其准确地转化为数学模型。对于初学者来说，从现实情境中抽象出数学问题是一项挑战。
-举例：在里程碑上的数问题中，难点在于如何将里程碑之间的距离关系和总路程关系转化为方程组中的等量关系。
5.激发学生的创新意识，鼓励学生在解决实际问题时，勇于尝试不同的解题方法和策略，培养创新思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握利用二元一次方程组解决实际问题的方法，特别是如何从实际问题中抽象出数学模型，即列出二元一次方程组。
-掌握代入法、消元法等解二元一次方程组的基本方法，并能够熟练应用于具体问题中。
北师大版数学八年级上册5.5应用二元一次方程组—里程碑上的数教案
一、教学内容
本节课选自北师大版数学八年级上册第5章第5节“应用二元一次方程组—里程碑上的数”。教学内容主要包括：利用二元一次方程组解决实际问题，结合里程碑上的数的情境，理解问题的背景，掌握问题的数学模型，并能正确列出方程组。具体内容包括：
1.理解里程碑上的数问题背景，分析问题涉及的等量关系。
2.根据实际问题列出二元一次方程组，并解释每个方程的含义。
3.探讨解二元一次方程组的方法，如代入法、消元法等，求解里程碑上的数问题。
4.通过解决实际问题，培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括：
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，使学生能够结合生活情境，发现并理解数学模型，提高数学建模素养。
北师大版数学八年级上册5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数教案
5 应用二元一次方程组——里程碑上的数●情景导入 小勋爸爸骑着摩托车带着小勋在公路上匀速行驶．(课件出示)如图是小勋每隔1 h 看到的里程情况．问题：同学们，你能确定小勋在9：00时看到的里程碑上的数吗？【教学与建议】教学：创设问题情境，引导学生将实际问题转化为数学问题时，反映了“数学来源于生活”，学习数学是为了更好地“服务于生活”．建议：引导学生审清题意，特别注意给出的条件，比如：匀速行驶，两数字和为7，正好互换，中间多了个0等．●置疑导入 填空：(1)一个两位数，个位数字是a ，十位数字是b ，则这个两位数用代数式表示为__10b ＋a __；若交换个位和十位上的数字得到一个新的两位数，则用代数式表示为__10a ＋b __．(2)一个两位数，个位上的数字为a ，十位上的数字为b ，如果在它们之间添上一个0，就得到一个三位数，这个三位数用代数式可以表示为__100b ＋a __．(3)有两个两位数a 和b ，如果将a 放在b 的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数用代数式表示为__100a ＋b __；如果将a 放在b 的右边，将得到一个新的四位数，那么这个四位数用代数式可表示为__100b ＋a __．【教学与建议】教学：通过置疑，让学生学会如何用代数式表示多位数．建议：小组讨论交流，对发现的问题及时解决．命题角度1 列二元一次方程组解数字问题解决数字问题，可以用代数式表示原数或新数，根据题意列出方程组．【例1】(1)一个两位数的个位数字与十位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的新的两位数，求这个两位数．设这个两位数的个位数字为x ，十位数字为y ，所列的方程组正确的是(B)A ．{x ＋y ＝8，xy ＋18＝yxB ．{x ＋y ＝8，x ＋10y ＋18＝10x ＋yC ．{x ＋y ＝8，10x ＋y ＋18＝yxD ．{x ＋y ＝8，10（x ＋y ）＝yx(2)一个三位数，十位上的数比个位上的数大2，百位上的数是十位上数的2倍．如果把百位上的数与个位上的数对换，那么可以得到比原来小495的三位数，求原三位数．解：设原三位数个位数为x ，则十位数为x ＋2，百位数为2(x ＋2).由题意，得100×2(x ＋2)＋10(x ＋2)＋x －495＝100x ＋10(x ＋2)＋2(x ＋2)，解得x ＝1，∴x ＋2＝3，2(x ＋2)＝6，∴原三位数为631.命题角度2 行程问题解决行程问题要抓住时间、路程、速度之间的关系．弄清题意，找出等量关系，正确列出方程组．【例2】(1)从甲地到乙地的路有一段上坡路，一段下坡路．如果上坡速度为8 km/h ，下坡速度为12 km/h ，那么从甲地走到乙地需要4.5 h ，从乙地走到甲地需要4.25 h ．甲地到乙地上坡与下坡的路程各是多少？解：设甲地到乙地上坡路程为x km ，下坡路程为y km.由题意，得⎩⎨⎧x 8＋y 12＝4.5，x 12＋y 8＝4.25. 解得x ＝24，y ＝18. 答：上坡路24 km ，下坡路18 km.(2)甲、乙两地相距360 km ，一艘轮船往返于甲、乙两地，顺水行船用18 h ，逆水行船用24 h ，若设该船在静水中的速度为x km/h ，水流速度为y km/h ，则可列方程组为__{18（x ＋y ）＝360，24（x －y ）＝360 __．高效课堂 教学设计1．用二元一次方程组解决数字问题和行程问题．2．归纳用方程组解决实际问题的一般步骤．3．让学生学会借助图表分析问题，感受化归思想．▲重点用二元一次方程组解决数学问题．▲难点将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型．◆活动1 创设情境 导入新课(课件)请同学们认真观察这些图片，图片上显示的都是里程碑，里程碑上隐藏着许多数学知识，同学们想知道吗？那就让我们一起探索吧！◆活动2 实践探究 交流新知【探究问题】小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1 h 看到的里程情况．你能确定小明在12：00时看到的里程碑上的数吗？自主探究：匀速行驶是什么含义？每个小时行驶的路程一样吗？如果设小明在12：00时看到的数的十位数字是x ，个位数字是y ，那么(1)12：00时小明看到的数可表示为__10x ＋y __，根据两个数字之和是7，可列出方程__x ＋y ＝7__；(2)13：00时小明看到的数可表示为__10y ＋x __，12：00～13：00间摩托车行驶的路程是__(10y ＋x )－(10x ＋y )__；(3)14：00时小明看到的数可表示为__100x ＋y __，13：00～14：00间摩托车行驶的路程是__(100x ＋y )－(10y ＋x )__；(4)12：00～13：00与13：00～14：00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？你能列出相应的方程吗？ 解：根据以上分析，得方程组{x ＋y ＝7，（100x ＋y ）－（10y ＋x ）＝（10y ＋x ）－（10x ＋y ）.化简得{x ＋y ＝7，y ＝6x .解这个方程组，得{x ＝1，y ＝6. 答：小明在12：00时看到的里程碑上的数是16.问题1：十进制数一般用字母如何表示？【归纳】两位数：a 1a 2＝10a 1＋a 2；三位数：a 1a 2a 3＝100a 1＋10a 2＋a 3；四位数：a 1a 2a 3a 4＝1 000a 1＋100a 2＋10a 3＋a 4，问题2：列二元一次方程组的一般步骤是什么？【归纳】审、找、设、列、解、验、答．◆活动3 开放训练 应用举例【例1】教材P 121例题【方法指导】设较大的两位数为x ，较小的两位数为y .在较大数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为__100x ＋y __；在较大的数的左边写上较小的数，所写的数可表示为__100y ＋x __．为了让学生有一个清晰的解题过程，展示如下：解：设较大的两位数为x ，较小的两位数为y ，根据题意，得{x ＋y ＝68，（100x ＋y ）－（100y ＋x ）＝2 178，化简，得{x ＋y ＝68，99x －99y ＝2 178， 即{x ＋y ＝68，x －y ＝22，解这个方程组，得{x ＝45，y ＝23. 所以这两个两位数分别是45和23.【例2】某人骑车外出旅游，已知他的路程分为上坡和下坡，上坡速度为8 km/h ，下坡速度为12 km/h ，去时他共用了4.5 h ，原路返回共用了4.25 h ，求去时上坡路长和下坡路长．【方法指导】行程问题中路程、速度、时间之间的关系．解：设去时上坡路长为x km ，下坡路长为y km.根据题意，得⎩⎨⎧x 8＋y 12＝4.5，x 12＋y 8＝4.25. 解得{x ＝24，y ＝18.答：去时上坡路长为24 km，下坡路长为18 km.◆活动4随堂练习1A．24 B．42 C．51 D．152．一个两位数，数字之和为7，若原数加45，等于此两位数交换其数位上的数的位置后得到的新数，则原数是多少？若设原数十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出的下列方程组中正确的是(C) A．{10x＋y＝7，10x＋y＋45＝10y＋x B．{10x＋y＝7，x＋y＋45＝y＋xC．{x＋y＝7，10x＋y＋45＝10y＋x D．以上都不对3．某船顺流航行48 km用了4 h，逆流航行32 km用了4 h，求水流速度和船在静水中的速度．解：设船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h.根据题意，得{4（x＋y）＝48，4（x－y）＝32，解得{x＝10，y＝2.答：船在静水中速度为10 km/h，水流速度为2 km/h.◆活动5课堂小结与作业学生活动：这节课的主要收获是什么？用二元一次方程组解决问题的关键是什么？教学说明：会列方程组解决数字问题和行程问题，体会模型思想．作业：课本P121随堂练习，P122习题5.6中的T2、T3、T4.给予学生独立思考的空间有助于学生思维的发展．而各组围在黑板前去讨论、探究，从而列方程，解方程，使每个学生都能积极参与到活动中．以小组为单位解决问题增强了学生的小组荣誉感，每个学生都想积极争做最好．同时也利于教师去观察学生分析问题的能力，了解他们解决问题的方向．。
北师大版数学八年级上册5《应用二元一次方程组 ——里程碑上的数》教案1
北师大版数学八年级上册5《应用二元一次方程组——里程碑上的数》教案1一. 教材分析北师大版数学八年级上册5《应用二元一次方程组——里程碑上的数》这一节主要让学生了解如何运用二元一次方程组解决实际问题。
通过分析教材，我了解到这部分内容是在学生已经掌握了二元一次方程组的基础知识上进行拓展的，旨在培养学生的实际问题解决能力。
二. 学情分析在教学之前，我对学生的学习情况进行分析。
大部分学生对二元一次方程组的知识有较好的掌握，但应用到实际问题中，可能会遇到一些困难。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的思维过程，引导他们将理论知识与实际问题相结合。
三. 教学目标1.让学生掌握如何将实际问题转化为二元一次方程组，并求解。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生的思维品质，培养他们合作、探究的精神。
四. 教学重难点1.难点：如何将实际问题转化为二元一次方程组，并求解。
2.重点：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置问题情境，引导学生自主探究，合作解决问题。
同时，以典型案例为载体，让学生深入了解二元一次方程组在实际问题中的应用。
六. 教学准备1.准备相关案例和问题，以便在教学中进行操练和巩固。
2.准备课件，辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题，让学生思考如何运用数学知识解决实际问题。
2.呈现（10分钟）呈现一个关于里程碑上的数的问题，引导学生将其转化为二元一次方程组，并求解。
在此过程中，关注学生的思维过程，引导他们理解实际问题与数学知识之间的联系。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，尝试将其转化为二元一次方程组，并求解。
教师在这个过程中给予适当的指导，确保学生能够正确地应用所学知识。
4.巩固（10分钟）选取几个典型的实际问题，让学生独立解决。
在解答过程中，教师关注学生的解题思路，及时给予反馈，巩固所学知识。
八年级数学上册5.5应用二元一次方程组_里程碑上的数教案 新版北师大版
八年级数学上册5.5应用二元一次方程组_里程碑上的数教案新版北师大版一. 教材分析《里程碑上的数》是北师大版八年级数学上册第五章《方程与不等式》的第五节内容，主要介绍了解二元一次方程组的方法及其应用。
本节内容是在学生已经掌握了二元一次方程组的基础知识上进行的，通过实例引导学生将实际问题转化为二元一次方程组，进一步巩固和提高学生的数学建模能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和问题解决能力，对于二元一次方程组的概念和求解方法有一定的了解。
但在实际应用中，学生可能对于如何将实际问题转化为数学模型还有一定的困难，需要通过实例进行引导和训练。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握解二元一次方程组的方法，能够将实际问题转化为二元一次方程组，并求解。
2.过程与方法：通过实例分析，培养学生将实际问题转化为数学模型的能力，提高学生的数学应用能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学在生活中的应用，培养学生的团队协作精神。
四. 教学重难点1.重点：将实际问题转化为二元一次方程组，并求解。
2.难点：如何引导学生发现实际问题中的数量关系，建立数学模型。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过实例引导学生自主探索和合作交流，从而达到教学目标。
六. 教学准备1.教具：多媒体教学设备2.学具：笔记本、文具3.教学素材：相关的生活实例七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的实际问题，如购物问题、路线问题等，引导学生发现这些问题都可以用数学模型来表示，从而引出本节课的主题——应用二元一次方程组。
2.呈现（10分钟）呈现一个购物问题，让学生尝试将其转化为数学模型。
在学生思考的过程中，教师给予适当的引导和提示，帮助他们发现问题的数量关系。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，尝试将其转化为二元一次方程组，并求解。
教师在这个过程中给予适当的指导，帮助他们解决遇到的问题。
北师大版八年级数学上册：5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数 教案设计
应用二元一次方程组——里程碑上的数【教学目标】一、教学知识点1．用二元一次方程组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题。
2．归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
二、能力训练要求1．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型。
2．初步体会列方程组解决实际问题的一般步骤。
三、情感与价值观要求1．“里程碑上的数”这一场景既是一个数字问题，又和行程有关。
相对而言有一定难度，让学生体验把复杂问题化为简单问题策略的同时，培养学生克服困难的意志和勇气。
2．鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。
【教学重点】1．用二元一次方程组刻画数学问题和行程问题。
2．初步体会列方程组解决实际问题的步骤。
【教学难点】将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型。
【课时安排】6课时【教学方法】引导——讨论——发现法。
“里程碑上的数”既是一个数字问题，又是一个行程问题，相对较难，学生在教师的引导下化解成几个简单问题，通过学生讨论解决关键问题，从而使问题迎刃而解。
同时通过学生自己讨论发现数学问题不同情况下的字母表示方法。
【教材准备】投影片两张：第一张：问题串；第二张：例题。
【教学过程】一、创设情境，引入新课［师生共析］（1）个位上的数字是a，即有a个1，十位数字是b个10，所以这个两位数是b个10和a个1的和即10b+a；如果交换它们的位置，得到一个新的两位数，即a个10与b个1的和即10a+B。
（2）两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，这时，x的个位数就变成了百位，十位数就变成了千位，因此这个四位数里含有x个100，而两位数y在四位数中数位没有变化，因此这个四位数中还含有y个1．因此用x、y表示这个四位数为100x+y。
同理，如果将x放在y的右边，得到一个新的四位数为100y+x。
（3）一个两位数，个位上的数是m，十位上的数是n，如果在它们之间添上零，十位上的几成了百位上的数。
北师大初中数学八年级上册第五章《5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数》教案
北师大数学八年级上册第五章——《应用二元一方程组-里程碑上的数》教案学习目标1. 用二元一次方程组解决有趣场景中的数字问题和行程问题，归纳用方程（组）解决实际问题的一般步骤．2．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型．3. 在学习过程中让学生体验把复杂问题化为简单问题的策略，体验成功感，同时培养学生克服困难的意志和勇气，树立自信心，并鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神． 学习重点1．初步体会列方程组解决实际问题的步骤．2．学会用图表分析数字问题。
学习难点将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；设间接未知数转化解决实际问题。
学习方法引导—讨论—发现法．一、复习提问 引入新课填空：（1）一个两位数，个位数字是a ，十位数字是b ，则这个两位数用代数式表示为 a b +10；若交换个位和十位上的数字得到一个新的两位数，用代数式表示为b a +10；（2）一个两位数，个位上的数为x ，十位上的数为y ，如果在它们之间添上一个0，就得到一个三位数，这个三位数用代数式可以表示为x y +100设计意图：通过以上三个问题，让学生学会已知一个数各位上的数字，如何用代数式表示这个数的方法，为后面的学习打下基础．二、创设情境 探究新知小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况．你能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗？师生共同分析寻找相等关系：１．１２：００看到的数，两个数字之和是７：7=+y x２．路程差： 12：00～13：00：)()(y x x y +-+101013：00～14：00 ：)()(x y y x +-+10100路程差相等： )()(y x x y +-+1010＝)()(x y y x +-+10100解：设小明在12：00时看到的数的十位数字是x ，个位数字是y ，由题意得：⎩⎨⎧--+=+-+=+②x y y x y x x y ①y x )()()()(1010010107 化简得：⎩⎨⎧==+xy y x 67 解得：⎩⎨⎧==61y x 答：小明在12:00时看到的里程碑上的数是16.设计意图：创设问题情境，激发学生的学习兴趣．让学生体会将一个复杂问题化为几个十位与个位数字与12:00时所看到的正好颠倒了． 比12:00时看到的两位数中间多了个0．如果设小明在12：00时看到的数的十位数字是x ，个位数字是y ，那么（1）12：00时小明看到的数可表示为 ，根据两个数字和是7，可列出方程 ；（2）13：00时小明看到的数可表示为 ，12：00～13：00间摩托车行驶的路程是 ；（3）14：00时小明看到的数可表示为 ，13：00～14：00间摩托车行驶的路程是 ；（4）12：00～13：00与13：00～14：00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？你能列出相应的方程吗？是一个两位数字，它的两个数字之和为7．简单问题的思维方法．把这个复杂的数字、行程问题，分解成几个简单的问题串，学生通过对这几个问题的分析，使解题思路清晰，从而顺利地解决这个较复杂问题．三、合作学习 解决问题师：有两个两位数23和56，若用这两个数组成一个较大的四位数是多少？生：5623。
5.5应用二元一次方程组-里程碑上的数(教案)2021-2022学年北师大版数学八年级上册
4.通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决生活中问题的能力。
本节课主要围绕以下例题进行教学：
（1）小明从A地出发，以每小时5公里的速度骑车去B地，1小时后，小华从A地出发，以每小时6公里的速度骑车追赶小明。问小华出发多少小时后能追上小明？
（2）A、B两地相距100公里，一辆汽车从A地出发，以每小时40公里的速度向B地行驶，同时，一辆摩托车从B地出发，以每小时30公里的速度向A地行驶。问它们多久后相遇？
-举例：在里程碑问题中，学生需要理解速度、时间、距离之间的关系，并能列出相应的方程组。如小明和小华的问题中，设小华追上小明所需时间为t小时，则小明行驶的距离为5(t+1)公里，小华行驶的距离为6t公里，两者相等，即5(t+1)=6t。
2.教学难点
-难点1：理解实际问题中的数量关系，并将其转化为数学模型。学生可能难以从描述中抽象出数学关系，需要通过图示、表格等辅助手段帮助学生理解。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二元一次方程组的基本概念。二元一次方程组是由两个含有两个未知数的一次方程组成的，它可以用来解决含有两个未知数的线性问题。它在解决实际问题，如相遇问题、购物问题等方面有着重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用二元一次方程组解决相遇问题，以及它如何帮助我们找到相遇的时间和地点。
5.培养学生合作交流能力，通过小组讨论、问题探究等形式，促进生生互动，共同提高解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握二元一次方程组的应用，能够从实际问题中抽象出二元一次方程组。
-学会使用消元法解二元一次方程组，并应用于解决实际问题。
八年级数学上册5.5应用二元一次方程组_里程碑上的数教案 新版北师大版
八年级数学上册5.5应用二元一次方程组_里程碑上的数教案新版北师大版一. 教材分析本节课的内容是北师大版八年级数学上册5.5应用二元一次方程组。
这部分内容是学生在学习了二元一次方程组的基本概念和解法的基础上，进一步探究二元一次方程组在实际问题中的应用。
通过本节课的学习，学生能够熟练运用二元一次方程组解决实际问题，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习了二元一次方程组的基本概念和解法后，对于如何将实际问题转化为二元一次方程组，并运用解法求解，还有一定的困难。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生将实际问题转化为数学问题，并通过适当的例子，让学生理解二元一次方程组在实际问题中的应用。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生能够将实际问题转化为二元一次方程组，并运用解法求解。
2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极解决问题的态度。
四. 教学重难点1.教学重点：将实际问题转化为二元一次方程组，并运用解法求解。
2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为数学问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，教师引导学生将实际问题转化为数学问题，并通过举例子的方式，让学生理解二元一次方程组在实际问题中的应用。
同时，运用小组合作的学习方式，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要准备一些实际问题，用于引导学生转化为数学问题。
2.学生准备：学生需要预习相关知识，了解二元一次方程组的基本概念和解法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题，引导学生将其转化为数学问题。
例如，某商店进行促销活动，一件商品原价80元，现在打八折，同时赠送一件价值30元的商品，求购买一件商品的实际花费。
2.呈现（10分钟）教师呈现问题，让学生思考如何用数学模型来表示这个问题。
引导学生列出二元一次方程组，并解释为什么这样表示。
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全新修订版教学设计
（学案）
八年级数学上册
老师的必备资料
家长的帮教助手
学生的课堂再现
北师大版
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
学习目标
知识与技能
用二元一次方程组解决有趣场景中的数字问题和行程问题，归纳用方程（组）解决实
际问题的一般步骤．
过程与方法
1．通过设置问题串，让学生体会分析复杂问题的思考方法．
2．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世
界的有效数学模型．
情感态度与价值观
在学习过程中让学生体验把复杂问题化为简单问题的策略，体验成功感，同时培养学生克服困难的意志和勇气，树立自信心，并鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神．
学习重点
1．初步体会列方程组解决实际问题的步骤．
2．学会用图表分析较复杂的数量关系问题。
学习难点
将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；会用图表分析数量关系。
学习准备：
教具：教材，课件，电脑（视频播放器）
学具：教材，练习本
学习过程。