2.2.1双曲线及其标准方程
课件12：2.2.1 双曲线及其标准方程
2
2
−
2
=1(a>0，b>0)，
2
又双曲线经过点(0，2)与( 5，2 2)，
22 02
a 2 - b 2 = 1，
所以
2
5
2 2
2
b2
a
2
a 2 = 4，
所以 2
b = 5，
= 1，
2
所以双曲线方程为
4
−
2
=1.
5
(2)因为焦点在x轴上，c= 6，
为Ax2+By2=1(AB<0)；
2
②与双曲线 2
−
2
=1(a>0，b>0)共焦点的双曲线的
2
2
标准方程可设为 2
−λ
−
2
2 +λ
=1(-b2<λ<a2).
(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值.
(4)结论：写出双曲线的标准方程.
2.定义法求双曲线方程的步骤
(1)列出动点满足的条件.
−1<0
【答案】C
2
3.已知双曲线
9
−
2
=1上一点P到双曲线的一个焦点的
16
距离为3，则点P到另一个焦点的距离为________.
【解析】设双曲线的两个焦点为F1，F2，
|PF1|=3，所以P在靠近F1的一支上.
因为|PF2|=|PF1|+2a=3+6=9.
所以P到另一个焦点的距离为9.
【答案】9
所以点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线的左支，即M的
2
课件8:2.2.1 双曲线及其标准方程
(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方，得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝ 36＋2×32＝100. 在△F1PF2 中，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|PF|P1F|·2|2|P－F|F2| 1F2|2 ＝2|1P0F01－|·1|P00F2|＝0，∴∠F1PF2＝90°， ∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.
典型例题
题型一 求双曲线的标准方程 【例 1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点 P3，145，Q－136，5； (2)c＝ 6，经过点(－5，2)，焦点在 x 轴上．
[思路探索] 由于(1)无法确定双曲线焦点的位置，可设ax22－by22＝ 1(a>0，b>0)和ay22－bx22＝1(a>0，b>0)两种情况，分别求解．另外 也可以设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)或xm2＋yn2＝1(mn<0)， 直接代入两点坐标求解．对于(2)可设其方程为ax22－by22＝1(a>0，
b>0)或λx2 －6－y2 λ＝1(0<λ<6)．
解 (1)法一 若焦点在 x 轴上，设双曲线的方程为ax22－by22＝ 1(a>0，b>0)， 由于点 P3，145和 Q－136，5在双曲线上， 所以a29925a－62 －12622bb5522＝＝11，，解得ab22＝ ＝－ －196，(舍去)． 若焦点在 y 轴上，设双曲线的方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)，
【变式 2】 已知双曲线x92－1y62 ＝1 的左、右焦点分别是 F1、F2， 若双曲线上一点 P 使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2 的面积． 解 由x92－1y62 ＝1，得 a＝3，b＝4，c＝5. 由定义和余弦定理，得|PF1|－|PF2|＝±6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， 所以 102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝64， ∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2
课时作业10：2.2.1 双曲线及其标准方程
§2.2 双曲线2．2.1 双曲线及其标准方程一、选择题1．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)的距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ≤－3) D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 2．若k ∈R ，则“k >5”是“方程x 2k －5－y 2k －2＝1表示双曲线”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知双曲线x 2m －y 23m＝1的一个焦点是(0,2)，则实数m 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－105 D.1054．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2s －y 2t＝1(s ，t >0)有相同的焦点F 1和F 2，而P 是这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．m －s B.12(m －s ) C ．m 2－s 2 D.m －s5．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 6．已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A ，B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．20二、填空题7．双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到点F 1(5,0)的距离为15，则点P 到点F 2(－5,0)的距离为________．8．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为____________．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6，0)和C (6,0)，若顶点B 在双曲线x 225－y 211＝1的左支上，则sin A －sin C sin B＝________. 10．已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C .给出下列判断： ①当1<t <4时，曲线C 表示椭圆；②当t >4或t <1时，曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52； ④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t >4.其中正确的是________．三、解答题11.如图，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的曲线方程．12．双曲线 x 2m －y 2m －5＝1的一个焦点到中心的距离为3，试求m 的取值．13．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1、F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．答案精析1．D 2.A 3.B4．A [如图所示，设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，则⎩⎨⎧x ＋y ＝2m ，x －y ＝2s ，∴4xy ＝4(m －s )，∴xy ＝m －s .]5．B6．B 7.7或238.x 216－y 29＝1 解析 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)， 则由QF 1⊥QF 2，得kQF 1·kQF 2＝－1， ∴5c ·5－c＝－1，∴c ＝5. 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)， 则32a 2－9b2＝1， 又∵c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a 2＝16，b 2＝9，∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. 9.5610.②③④ 11．解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1.圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4，∴|MF 2|－|MF 1|＝3.∴点M 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线(左支)，且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝914. ∴双曲线方程为49x 2－491y 2＝1(x ≤－32)． 12．解 (1)当焦点在x 轴上，有m >5，则c 2＝m ＋m －5＝9，∴m ＝7；(2)当焦点在y 轴上，有m <0，则c 2＝－m ＋5－m ＝9，∴m ＝－2；综上所述，m ＝7或m ＝－2.13．解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上， 且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2， 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)不妨设M 点在右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23，又|MF 1|＋|MF 2|＝63，故解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝23，又|F 1F 2|＝25，因此在△MF 1F 2中，|MF 1|边最长，而cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22·|MF 2|·|F 1F 2|<0， 所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．。
2.2.1双曲线及其标准方程(2)
解：如图建立直角坐标系xOy，使A、B 两点在x轴上，并且点O与线段AB的中 点重合.
设爆炸点P的坐标为（x,y），则
即2a=680,a=340.
又∴2c=800,c=400, b2=c2－a2=44400.
PA PB 680 ∴0, x>0. 所求双曲线的方程为：
x2
y2
1
(x>0).
115600 44400
4
2 ）、
4
解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设
所求双曲线的标准方程为：y 2 x2 (1a>0,b>0) ①
a2 b2
因为点P1、P2在双曲线上，所以点P1、P2的坐 标适合方程①.将其分别代入方程①中，得方程
组
(4 2 ) 2
a2
32 b2
1
25
(9)2 4
1
a2
b2
解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设
16 9
说明：例2要求熟悉双曲线的两 种标准方程，并能熟练运用待定
系数法求解曲线的方程.
例题讲评
例3
已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1 的一个
焦点F1 ( 3, 0)，过右焦点F2作垂线
于x轴的直线交双曲线于点P，
且∠PF1F2=300， 求此双曲线的方程。
x2 y2 1 2
例题讲评
例4已知A、B两地相距800 m， 在A处听到炮弹爆炸声的时
(1) PF1 PF2 8 (2) PF1 PF2 6 (3) PF1 PF2 4 (4) PF1 PF2 4 (5) PF1 PF2 5 (6) PF1 PF2 5
其中，是双曲线的有：（3）（5）
例题讲评
2.2.1 双曲线及其标准方程
2.2.1 双曲线及其标准方程徐成金 2011/5/7一、教学目标：1、知识与技能目标：理解和掌握双曲线的定义、标准方程及其求法。
2、过程与方法目标：掌握双曲线的定义、标准方程及其推导方法，培养学生动手能力，分类讨论、类比的数学思想方法。
3、情感态度与价值观目标：通过对双曲线定义与椭圆定义的比较，是学生认识到比较法是认识事物掌握其实质的一种有效方法。
二、教学重点与难点重点：双曲线的定义，求双曲线标准方程教学难点：推导双曲线的标准方程，领悟解析法思想三、教学过程1、课题引入想一想：A、B两地相距800m，在A、B两地同时听到炮弹的爆炸声，那么炮弹爆炸点应在什么位置？（我们在一个平面上考虑问题）解：A、B两地同时听到炮弹的爆炸声，说明爆炸点与A、B两处的距离相等，因此炮弹爆炸点应在线段AB的垂直平分线上。
想一想：A 、B 两地相距800m ，在A 、B 两地同时听到炮弹的爆炸声的时间之和为4s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程？（我们在一个平面上考虑问题，声速为s m /340）分析:经过前面椭圆的学习，我们知道炮弹爆炸点的轨迹是椭圆，我们根据已知条件可以求出椭圆的方程。
解：首先建立平面直角坐标系xoy ，以A 、B 两定点连线为x 轴，两定点的垂直平分线为y 轴，则，)0,400(),0,400(B A -，设),(y x p ，由已知：116000046240030240016000046240040080028006801360221360340422222=+⇒=-=-=⇒=⇒=⇒==⇒=⇒==⨯=+y x c a b c c AB a a a PB PA 为炮弹爆炸点的轨迹方程想一想：那么，如果A 、B 两地相距800m ，在A 、B 两地同时听到炮弹的爆炸声的时间之差为2s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程？（我们在一个平面上考虑问题，声速为s m /340）分析：我这里把“时间之和”改为“时间之差”，那么炮弹爆炸点的轨迹方程是什么呢？下面我们来学习《2.2.1 双曲线及其标准方程》 2、讲授新课椭圆的定义是什么？平面内与两个定点21F 、F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
2.2.1双曲线及其标准方程 课件.
3．方程 mx2＋ny2＝1(mn<0)表示的曲线为双曲线，它包 含焦点在 x 轴和在 y 轴上两种情形，方程变为x12＋y12＝1.
mn 当 m>0，n<0 时，方程为xm12－－y2n1＝1 表示焦点在 x 轴上 的双曲线，此时 a＝ m1 ，b＝ －n1；
19
当 m<0，n>0 时，方程为yn12－－x2m1 ＝1 表示焦点在 y 轴上 的双曲线，此时 a＝ n1，b＝ －m1 .
23
练 1 说明下列方程各表示什么曲线． (1)| x＋32＋y2－ x－32＋y2|＝4； (2) x＋32＋y2－ x－32＋y2＝5； (3)| x＋32＋y2－ x－32＋y2|＝6.
24
[解] 令 F1(－3,0)，F2(3,0)，P(x，y)，则有|F1F2|＝6. (1)∵||PF1|－|PF2||＝4<|F1F2|， ∴方程表示的曲线是双曲线． (2)∵|PF1|－|PF2|＝5<|F1F2|， ∴方程表示的曲线是双曲线的右支． (3)∵||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|， ∴方程表示的曲线是 x 轴上分别以 F1 和 F2 为端点，指 向 x 轴的负半轴和正半轴的两条射线.
A．k>5
B．k>5 或－2<k<2
C．k>2 或 k<－2 D．－2<k<2
8
解析：由于方程k－x25－|k|y－2 2＝1 只需满足(k－5)与(|k| －2)同号，方程即能表示双曲线．∵方程的图形是双曲线， ∴(k－5)(|k|－2)>0，即k|k－|－52>>00， 或k|k－|－52<<00，， 解得 k>5 或－2<k<2.
原创2：2.2.1 双曲线及其标准方程
6角形．
S ＝ △PF1F2
1 2
6
4＝12.
答案：12
2.设C点的坐标为C（x,y)，则AC的斜率为
k AC
x
y
， 5
BC的斜率为 y y m(y 0)
x5 x5
依题意有
k BC
x
y
， 5
化简得mx2-y2=25m(y≠0)
因为m≠0， 所以原方程可化为 x2 y2 1(y 0) ①
（2）当双曲线的焦点位置不确定时,求双曲线的标准方程有两 种思路:一是分别讨论焦点在x轴，y轴的情况，求解时要注意 检验；二是设为一般形式Ax2+By2=1(A·B＜0)，这样求解 时既避免了分类讨论，又简化了运算过程.
题目类型三、双曲线定义及标准方程的应用 【技法点拨】
1.双曲线的定义对于解题的主要作用 双曲线的定义对于解题具有双向作用： (1)可用来判断平面内动点的轨迹是否为双曲线(或双曲线的一 支)； (2)可以用来解决焦点三角形和焦点弦的有关问题.
25 25m
由题知方程①表示的轨迹是焦点在x轴上的双曲线（去掉两个
顶点）,所以m＞0.
所以所求m的取值范围是(0,+∞)．
【想一想】题1中能确定点P是在双曲线的哪一支上吗？ 提示：根据|PF1|∶|PF2|＝3∶2知|PF1|>|PF2|,所以点P在双 曲线靠近F2点的右支上.
【易错误区】双曲线定义运用中的误区 【典例】设F1，F2是双曲线 x2 －y2 ＝1的焦点，点P在双曲线
题目类型一、双曲线的定义 【技法点拨】
双曲线定义中的限制条件 （1）动点到两定点的距离之差； （2）强调差的绝对值是常数； （3）常数小于两定点间的距离. 只要上述三个条件有一个不满足，动点的轨迹就不是双曲线.
高二数学课件：2.2.1双曲线及其标准方程讲解
x2 y2 1 a2 b2
y2 x2 a2 b2 1
(a 0，b 0)
问题
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
看 x2 , y2 前的系数，哪一个为正，
则在哪一个轴上
定义
图象
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M M
F2
F1 o F2 x
x
y
M
F1 O F2 x
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
4.化简
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
2
2
(x c)2 y2 2a (x c)2 y 2
cx a2 a (x c)2 y 2
F1
方程
焦点
a.b.c 的关 系
x2 a2
y2 b2
1
F ( ±c, 0)
y2 a2
x2 b2
1
F(0, ± c)
c2 a2 b2
2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有 何区别与联系?
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭圆
双曲线
定义
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
2.2.1双曲线及其标准 方程
复习
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
Y
|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
O
2. 引入问题：
原创1：2.2.1 双曲线及其标准方程
[题后感悟] (1)本题是利用定义求动点的轨迹方程的，当判断出动点的轨 迹是双曲线，且可求出a，b时，就可直接写出其标准方程， 而无需用距离公式写出方程，再通过复杂的运算进行化简．
(2) 由 于 动 点 M 到 两 定 点 C2 ， C1 的 距 离 的 差 的 绝 对 值 为 常 数．因此，其轨迹是双曲线．
由于双曲线过点 A(4，－ 3)，B－3， 25，
4a22－－b232＝1，
∴
－a32 2－
52
2 b2
＝1.
解得ab22＝＝41，. ∴所求双曲线标准方程是x42－y2＝1.
②当焦点在 y 轴上时，设双曲线标准方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)．
a32－1b62 ＝1， 则
45a2－b92＝1
[题后感悟] 双曲线标准方程的求解步骤：
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝3，c＝4，焦点在 x 轴上． (2)a＝2 5，经过点 A(2，－5)，焦点在 y 轴上． (3)焦点分别为 F1(－10,0)、F2(10,0)，且经过点(3 5，－4)． (4)焦点在 y 轴上，并且双曲线过点(3，－4 2)和94，5. 解析： (1)由题设知，a＝3，c＝4， 由 c2＝a2＋b2 得 b2＝c2－a2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在 x 轴上， 所以所求双曲线的标准方程为x92－y72＝1.
4．如图所示，在△ABC 中，已知|AB|＝4 2，且三内角 A，B，C 满足 2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方 程．
解析： 如图所示，以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分 线为 y 轴，建立直角坐标系，则 A(－2 2，0)，B(2 2，0)．
2.2.1 双曲线及其标准方程
)
x2 y2 4.(双曲线标准方程形式)若方程 =1 表示双曲线,则实数 m 的取 m 1 m 3
值范围是(
C )
(A)m≠1 且 m≠-3 (C)m<-3 或 m>1
(B)m>1 (D)-3<m<1
数学
5.(双曲线标准方程的求法)双曲线两焦点坐标是 F1(0,-5),F2(0,5)且 2a=8, 则双曲线的标准方程为
解:(1)由题设知双曲线的焦点在 x 轴上,且 c=10.
x2 y 2 所以可设它的标准方程为 2 - 2 =1(a>0,b>0). a b x2 y2 从而将双曲线的标准方程化为 - 2 =1,将点(3 5 ,-4)代入并 2 100 b b
化简整理,得 b -39b -1600=0,解得 b =64 或 b =-25(舍去).
PF1 PF2 F1F2 2 PF1 PF2
2 2 2
=
( PF1 PF2 ) 2 2 PF1 PF2 F1F2 2 PF1 PF2
2
,
所以|PF1|·|PF2|=4(c2-a2)=4b2, 所以 SF1 PF2 =
3 1 |PF1|·|PF2|·sin 60°=2b2· = 3 b2, 2 2
数学
题型三 双曲线定义的应用
y2 【例 3】 设 P 为双曲线 x - =1 上的一点,F1,F2 是该双曲线的两个焦点,若 12
2
|PF1|∶|PF2|=3∶2,求△PF1F2 的面积.
解:由已知得 2a=2,又由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2, 因为|PF1|∶|PF2|=3∶2,所以|PF1|=6,|PF2|=4.
x2 y 2 所以所求双曲线标准方程为 =1. 12 8
(完整版)双曲线及其标准方程详解
2．2 双曲线2．2.1 双曲线及其标准方程【课标要求】1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 【核心扫描】1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点)自学导引1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F 1F 2|”，那么“常数等于|F 1F 2|”，“常数大于|F 1F 2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？提示 (1)若“常数等于|F 1F 2|”时，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线F 1A ，F 2B (包括端点)，如图所示．(2)若“常数大于|F 1F 2|”，此时动点轨迹不存在．(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 2．双曲线的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)焦点坐标 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2想一想：如何判断方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点的位置？提示 如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．名师点睛1．对双曲线定义的理解(1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在．(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上．(3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)．(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．”2．双曲线的标准方程(1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．(2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a >b >0，而双曲线中a 、b 大小则不确定．(3)焦点F 1、F 2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)或进行分类讨论.题型一 求双曲线的标准方程 【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．[思路探索] 由于(1)无法确定双曲线焦点的位置，可设x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)两种情况，分别求解．另外也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)或x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)，直接代入两点坐标求解．对于(2)可设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或x 2λ－y 26－λ＝1(0<λ<6)．解 (1)法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于点P ⎝⎛⎭⎫3，154和Q ⎝⎛⎭⎫－163，5在双曲线上， 所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)法一 依题意，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，实为一种好方法．【变式1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)． 解 (1)由题设知，a ＝3，c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7.因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x 29－x 27＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.2.若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －aB ．m －bC ．m 2－a 2D ．m －bA 解析：设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ． 由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ．∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ． ∴|PF 1|·|PF 2|＝m －a ．题型二 双曲线定义的应用【例2】如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2[思路探索] (1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ，则点M 到另一焦点的距离易得； (2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积．解 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.故点M 到另一个焦点的距离为6 或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方，得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝ 36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.规律方法 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．【变式2】1．已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点)．1．解：连接ON ，ON 是△PF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|PF 2|．因为||PF 1|－|PF 2||＝8，|PF 1|＝10，所以|PF 2|＝2或18，|ON |＝12|PF 2|＝1或9．2．设P 为双曲线x 216－y29＝1上一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．解：由方程x 216－y 29＝1，得a ＝4，b ＝3，故c ＝16＋9＝5，所以|F 1F 2|＝2c ＝10．又由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝8，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝64．①在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝100．② ①－②，得|PF 1||PF 2|＝36，所以12PF F S ∆＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12×36×32＝93．3.已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理，得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.误区警示 忽略双曲线焦点位置致误【示例】 方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线，那么m 的取值范围是________．[错解] 由⎩⎪⎨⎪⎧2－m >0，|m |－3<0解得－3<m <2，∴m 的取值范围是{m |－3<m <2}．只考虑焦点在x 轴上，忽视了焦点在y 轴上的情况．[正解] 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m >0|m |－3<0或⎩⎪⎨⎪⎧2－m <0，|m |－3>0，解得－3<m <2或m >3.∴m 的取值范围是{m |－3<m <2或m >3}． 答案 {m |－3<m <2或m >3}方程x 2m ＋y 2n＝1既可以表示椭圆又可以表示双曲线．当方程表示椭圆时，m 、n 应满足m >n >0或n >m >0，当m >n >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n >m >0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．当方程表示双曲线时，m 、n 应满足mn <0，当m >0，n <0时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线；当m <0，n >0时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线. 当堂检测1．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A ．22=1169x y -(x ≤－4) B ．22=1916x y -(x ≤－3) C ．22=1169x y -(x ≥4) D ．22=1916x y -(x ≥3) 答案：D 解析：由已知动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16，∴所求轨迹方程为22=1916x y -(x ≥3)． 2．已知双曲线为22=12x y λ+，则此双曲线的焦距为( ) AB．CD．答案：D 解析：由已知λ＜0，a 2＝2，b 2＝－λ，c 2＝2－λ，∴焦距2c = 3．已知双曲线22=1169x y -上的点P 到(5,0)的距离为15，则点P 到点(－5,0)的距离为( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23 答案：D 解析：设F 1(－5,0)，F 2(5,0)， 则由双曲线的定义知：||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝8，而|PF 2|＝15，解得|PF 1|＝7或23．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，顶点B 在双曲线22=12511x y -的左支上，则sin sin sin A C B-＝______． 答案：56解析：如图，||||sin sin ||||210522||sin ||21262BC AB A C BC AB a RR AC B AC c R---=====．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22=1412x y-上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为__________．答案：4 解析：设右焦点为F ，则点F 的坐标为(4,0)．把x ＝3代入双曲线方程得y ＝±15，即M 点的坐标为(3，±15)．由两点间距离公式得|MF|＝(3－4)2＋(±15－0)2＝4．。
2.2.1双曲线及其标准方程
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课后延伸
基础作业：课本P54.A组.2（在作业本上完 成） 预习双曲线的性质 2| | = 2a，若0<2a<2c， 思考：| |MF1| - |MF 点M的轨迹是双曲线。 双曲线是优美的，她的美在于她的对称性； （1）若2a=2c,则点M的轨迹是什么？ 双曲线也是悲伤的，她的悲源于什么？ （2）若2a>2c, 则点M的轨迹是什么？ 请预习下一节的内容——双曲线的性质。 （3）若2a=0, 则点M的轨迹是什么？ 预习双曲线的性质
表示的双曲线焦点在y轴上，
2
2
y F2 o F1 x
焦点为F1(0,-c),F2(0,c)
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例1 已知双曲线两个焦点分别为F1（-5，0），F2（5， 0），双曲线上一点P到F1， F2距离差的绝对值等于6， 求双曲线的方程。
解： 双曲线的焦点在x轴上，
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双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝 对值等于常数2a（小于︱F1F2︱）的点的轨 迹叫做双曲线.
① 定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
M
F1
0<2a<2c
F2
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x2 y 2 焦点在x轴上: 2 2 1(a b 0) a b y 2 x2 焦点在y轴上: 2 2 1(a b 0) a b
3. 引出问题 平面内与两定点F1、F2的距离的差等于常数的点 的轨迹是什么呢？
课时作业17：2.2.1 双曲线及其标准方程
2.2 双曲线2．2.1 双曲线及其标准方程基础过关1．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( ) A ．32 B ．42 C ．3 D ．4 3答案 D解析 由双曲线的标准方程可知，a 2＝10，b 2＝2.于是有c 2＝a 2＋b 2＝12，则2c ＝4 3.故选D.2．若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－1)答案 B解析 依题意应有m ＋1>0，即m >－1.3．已知A (0，－5)、B (0,5)，|P A |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为( )A ．双曲线或一条直线B ．双曲线或两条直线C ．双曲线一支或一条直线D ．双曲线一支或一条射线答案 D解析 当a ＝3时，2a ＝6，此时|AB |＝10，∴点P 的轨迹为双曲线的一支(靠近点B )．当a ＝5时，2a ＝10，此时|AB |＝10，∴点P 的轨迹为射线，且是以B 为端点的一条射线．4．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，则k 的值是( )A ．1B ．－1 C.653 D ．－653答案 B解析 原方程可化为x 21k －y 28k＝1，由焦点坐标是(0,3)可知c ＝3，且焦点在y 轴上，∴k <0.c 2＝－1k －8k ＝－9k＝9，∴k ＝－1，故选B. 5．已知动圆M 过定点B (－4,0)，且和定圆(x －4)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．答案 x 24－y 212＝1 解析 设动圆M 的半径为r ，依题意有|MB |＝r ，另设A (4,0)，则有|MA |＝r ±4，即|MA |－|MB |＝±4.亦即动圆圆心M 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于常数4，又4<|AB |，因此动点M 的轨迹为双曲线，且c ＝4,2a ＝4，∴a ＝2，a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝12，故轨迹方程是x 24－y 212＝1.6．若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________．答案 18解析 由双曲线定义可知|AF 1|＝2a ＋|AF 2|＝4＋|AF 2|；|BF 1|＝2a ＋|BF 2|＝4＋|BF 2|， ∴|AF 1|＋|BF 1|＝8＋|AF 2|＋|BF 2|＝8＋|AB |＝13.△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝18.7．△ABC 一边的两个顶点B (－a,0)，C (a,0)(a >0)，另两边的斜率之积等于m (m ≠0)．求顶点A 的轨迹方程，并且根据m 的取值情况讨论轨迹的图形．解 设顶点A 的坐标为(x ，y )，则k AB ＝y x ＋a ，k AC ＝y x －a. 由题意，得y x ＋a ·y x －a＝m ，即x 2a 2－y 2ma 2＝1(y ≠0)． 当m >0时，轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(两顶点除外)；当m <0且m ≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x 轴的两个交点)，其中当－1<m <0时，椭圆焦点在x 轴上；当m <－1时，椭圆的焦点在y 轴上；当m ＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a 的圆(除去与x 轴的两个交点)．能力提升8．焦点在x 轴上的双曲线经过点P (42，－3)，且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为________．答案 x 216－y 29＝1 解析 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，则由QF 1⊥QF 2，得kQF 1·kQF 2＝－1，∴5c ·5－c＝－1，∴c ＝5， 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∵双曲线过(42，－3)，∴32a 2－9b 2＝1， 又∵c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a 2＝16，b 2＝9，∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. 9．设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1,0)，则C 的方程为________． 答案 x 2－y 2＝1解析 由题意可知，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝2，a ＝1，则b 2＝c 2－a 2＝1，所以双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1.10．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，点A 的坐标为(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．答案 9解析 如图所示，F (－4,0)，设F ′为双曲线的右焦点，则F ′(4,0)，点A (1,4)在双曲线的两支之间，由双曲线的定义，|PF |－|PF ′|＝2a ＝4，而|PF |＋|P A |＝4＋|PF ′|＋|P A |≥4＋|AF ′|＝4＋5＝9.当点P 在第一象限且A ，P ，F ′三点共线时取等号．11．双曲线x 2m －y 2m －5＝1的一个焦点到中心的距离为3，试求m 的取值范围． 解 (1)当焦点在x 轴上，有m >5，则c 2＝m ＋m －5＝9，∴m ＝7；(2)当焦点在y 轴上，有m <0，则c 2＝－m ＋5－m ＝9，∴m ＝－2；综上所述，m ＝7或m ＝－2.12．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k ∈R ，试就k 的不同取值讨论方程所表示的曲线类型． 解 (1)当k ＝0时，方程变为y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线；(2)当k ＝1时，方程变为x 2＋y 2＝4表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k <0时，方程变为y 24－x 2－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线． (4)当0<k <1时，方程变为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆； (5)当k >1时，方程变为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆． 创新突破13．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1、F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状． 解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)， 则有⎩⎨⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2， 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)不妨设M 点在右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23，又|MF 1|＋|MF 2|＝63，故解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝23，又|F 1F 2|＝25，因此在△MF 1F 2中，|MF 1|边最长，而cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22·|MF 2|·|F 1F 2|<0， 所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．。
课件3：2.2.1 双曲线及其标准方程
记不清 a、b、c 的关系致误
双曲线 8kx2－ky2＝8 的一个焦点为(0,3)，则 k＝( )
A．1
B．－1
7 C.9
D．－79
【错解一】 将双曲线化为标准方程为x12－y82＝1，
kk
∵焦点在 y 轴上，且 c＝3，∴a2＝－8k，b2＝－1k，∴－8k
(2)由已知可设所求双曲线方程为ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)，
则23aa5222 － －b19826＝1b2＝1，
解得a2＝b21＝69，
∴双曲线的标准方程为1y62 －x92＝1.
已知 B(－5,0)，C(5,0)是△ABC 的两个顶点，且 sin B－sin C＝35sin A，求顶点 A 的轨迹方程．
(2)设所求双曲线方程为16x－2 λ－4＋y2 λ＝1(－4＜λ＜16)． ∵双曲线过点(3 2，2)， ∴161－8 λ－4＋4 λ＝1， ∴λ＝4 或 λ＝－14(舍去)． ∴所求双曲线方程为1x22 －y82＝1.
【规律方法】 1．求双曲线标准方程一般有两种方法：一是定义法，二 是待定系数法． 2．用待定系数法求双曲线标准方程的步骤： (1)定位：确定双曲线的焦点位置，如果题目没有建立坐 标系，一般把焦点放在 x 轴上； (2)设方程：根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程(当 焦点在两个坐标轴上都有可能时，一般设为 Ax2＋By2＝1(AB ＜0))；
2．求双曲线的标准方程包括“定位”和 “定量”两个过程．“定位”指确定焦点在哪 个坐标轴上，“定量”是指确定 a2，b2 的大小．
1．到两定点 F1(－3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于 6 的点 M 的轨迹是( )
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榆次区晋华中学高二年级数学学案
主备教师：卜晓林验收组长:范丽时间：17年12月20日学生姓名：班级
若2a ＞|F 1F 2|，则动点的轨迹不存在．
（2）注意定义中的常数2a 是小于|F 1F 2|且大于0的实数．若a ＝0，则动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线．
（3）注意定义中的关键词“绝对值”. 若去掉定义中的“绝对值”三个字，则动点的轨迹只能是双曲线的一支． 三、合作探究
1.思考回顾：求椭圆的标准方程的基本步骤及注意事项
2.试推导焦点在x 轴上的双曲线的标准方程：
类比：写出焦点在轴上，中心在原点的双曲线的标准方程
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
定义
图象
方程
焦点
a.b.c 的关系
y
x
o
F 2
F 1
M。