高考数学总复习：选修4-5《不等式选讲》1
2018年高三理科数学复习选修4-5 不等式选讲
选修4-5不等式选讲考点1不等式的性质1.已知a,b,c均为正数,证明: a2+b2+c2+(++)2≥6, 并确定a,b,c为何值时,等号成立.考点2绝对值不等式2.设函数f(x)=|x-1|+|x-2|.(1)解不等式f(x)>2;(2)求函数g(x)=ln f(x)的值域.3.已知函数f(x)=2|x+a|-|x-1|(a>0).(1)若函数f(x)与x轴围成的三角形的面积的最小值为4,求实数a的取值范围;(2)若对任意的x∈R都有f(x)+2≥0,求实数a的取值范围.4.已知m>1,且关于x的不等式m-|x-2|≥1的解集为[0,4].(1)求m的值;(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2的最小值.5.设函数f(x)=-+-的最大值为M.(1)求实数M的值;(2)求关于x的不等式|x-|+|x+2|≤M的解集.6.已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求实数a的取值范围.考点3证明不等式的基本方法7.已知a>0,b>0,求证:+≥+.8.已知a,b∈R,且a+b=1,求证:(a+2)2+(b+2)2≥.9.已知a,b,c均为正实数.求证:(1)(a+b)(ab+c2)≥4abc;(2)若a+b+c=3,则++≤3.考点4柯西不等式10.已知x,y是两个不相等的正实数,求证:(x2y+x+y2)·(xy2+y+x2)>9x2y2.答案1.解法一因为a,b,c均为正数,所以a2+b2+c2≥3(abc)①,因为++≥3(abc)-,所以(++)2≥9(abc)-②.故a2+b2+c2+(++)2≥3(abc)+9(abc)-.又3(abc)+9(abc)-≥2=6③,所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立.当且仅当3(abc)=9(abc)-时,③式等号成立,即当a=b=c=时,原式等号成立.解法二因为a,b,c均为正数,由基本不等式得a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①.同理,++≥++②.故a2+b2+c2+(++)2=a2+b2+c2++++++≥ab+bc+ac+++≥6③.所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时,③式等号成立.即当且仅当a=b=c=时,原不等式等号成立.2.(1)由题意知f(x)=|x-1|+|x-2|=-,, ,, -,当x<1时,由f(x)>2,得3-2x>2,解得x<,所以x<; 当1≤x≤2时,f(x)>2无解;当x>2时,由f(x)>2,得2x-3>2,解得x>,所以x>.综上,不等式f(x)>2的解集为(-∞,)∪(,+∞).(2)因为f(x)=|x-1|+|x-2|,则f(x)≥1,又函数y=ln x在其定义域内为增函数.所以函数g(x)=ln f(x)的值域为[0,+∞).3.(1)由题意可得f(x)=---, -,-, -,,画出函数f(x)的图象,如图D 1所示,图D 1函数f(x)与x轴围成的三角形为△ABC,易求得A(-2a-1,0),B(-,0),C(-a,-a-1).所以S△ABC=[--(-2a-1)]×|-a-1|=(a+1)2≥4(a>0),解得a≥-1.(2)由图D 1可知,f(x)min=f(-a)=-a-1.对任意的x∈R都有f(x)+2≥0,即f(x)min+2≥0,即-a-1+2≥0,解得a≤1,又a>0,所以实数a的取值范围为(0,1].4.(1)∵m>1,不等式m-|x-2|≥1可化为|x-2|≤m-1,∴1-m≤x-2≤m-1,即3-m≤x≤m+1.∵不等式m-|x-2|≥1的解集为[0,4],∴-,,即m=3.(2)由(1)知a+b=3,解法一(利用基本不等式)∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),∴a2+b2≥,∴a2+b2的最小值为.解法二(消元法求二次函数的最值)∵a+b=3,∴b=3-a,∴a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2(-)+≥,∴a2+b2的最小值为.5.(1)f(x)=-+-≤2(-)(-)=3,当且仅当x=时等号成立.故函数f(x)的最大值M=3.(2)由(1)知M=3.由绝对值三角不等式可得|x-|+|x+2|≥|(x-)-(x+2)|=3.所以不等式|x-|+|x+2|≤3的解集就是方程|x-|+|x+2|=3的解.由绝对值的几何意义得,当且仅当-2x≤,|x-|+|x+2|=3,所以不等式|x- 2 |≤M 的解集为{x|-2 ≤x ≤ .6.(1)当a=-3时,f (x )≥3⇔|x-3|+|x-2|≥3⇔ ,- 或 , 或 , - ,解得x ≤1或x ≥4. 故当a=-3时,不等式f (x )≥3的解集为{x|x ≤1或x ≥4}.(2)由题意可得f (x )≤|x-4|在区间[1,2]上恒成立⇔|x+a|+2-x ≤4-x 在区间[1,2]上恒成立⇔-2-x ≤a ≤2-x 在区间[1,2]上恒成立⇔-3≤a ≤0,即实数a 的取值范围是[-3,0].7.解法一 (作差比较法)因为a>0,b>0,所以 +-( + )= ) ) = )( - ≥0, 所以 +≥ + . 解法二 (作商比较法)因为a>0,b>0,所以 = ) ) ( )= )( ) ( )== - ) ≥1,所以 +≥ + . 8.解法一 (放缩法)因为a+b=1,所以(a+2)2+(b+2)2≥2[( ) ( ) ]2= [(a+b )+4]2=(当且仅当a+2=b+2,即a=b= 时,等号成立). 解法二 (反证法)假设(a+2)2+(b+2)2< ,则 a 2+b 2+4(a+b )+8< .因为a+b=1,则b=1-a ,所以a 2+(1-a )2+12< .所以(a- )2<0,这与(a- )2≥0矛盾,故假设不成立.所以(a+2)2+(b+2)2≥ . 9.(1)要证(a+b )(ab+c 2)≥4abc ,可证a 2b+ac 2+ab 2+bc 2-4abc ≥0,需证b (a 2+c 2-2ac )+a (c 2+b 2-2bc )≥0,即证b (a-c )2+a (c-b )2≥0,当且仅当a=b=c 时,取等号, 由已知,上式显然成立,故不等式(a+b )(ab+c 2)≥4abc 成立.(2)因为a ,b ,c 均为正实数,由不等式的性质知· ≤ =,当且仅当a +1=2时,取等号,·≤=,当且仅当b+1=2时,取等号,·≤=,当且仅当c+1=2时,取等号,以上三式相加,得(++)≤=6,所以++≤3,当且仅当a=b=c=1时,取等号.10.因为x,y是正实数,所以x2y+x+y2≥33xy,当且仅当x2y=x=y2,即x=y=1时,等号成立;同理:xy2+y+x2≥3=3xy,当且仅当xy2=y=x2,即x=y=1 时,等号成立.所以(x2y+x+y2)(xy2+y+x2)≥9x2y2,当且仅当x=y=1时,等号成立.因为x≠y,所以(x2y+x+y2)(xy2+y+x2)>9x2y2.。
选修4-5 不等式选讲
选修4－5不等式选讲全国卷5年考情图解高考命题规律把握高考对本章考查主要有以下两个方面：(1)绝对值不等式的求解与函数问题的综合，这是高考命题的热点；(2)绝对值不等式中的恒成立问题与不等式的证明相结合.第一节绝对值不等式1.绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.❶定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值不等式|x|＜a与|x|＞a的解法：不等式a＞0a＝0a＜0|x|＜a{x|－a＜x＜a}∅∅|x|＞a{x|x＞a或x＜－a}{x|x∈R且x≠0}R(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；❷③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.(1)等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用定理求函数的最大(小)值时，应特别注意.(2)定理1还可以变形为|a－b|≤|a|＋|b|，等号成立的充要条件是ab≤0.分区间讨论时，要注意以下两点：(1)不要把分成的区间的端点遗漏.(2)原不等式的解集是若干个不等式解集的并集，而不是交集.[熟记常用结论]常用绝对值不等式的性质(1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；(2)|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.()(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.()(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.()(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×二、选填题1.设a，b为满足ab＜0的实数，那么()A.|a＋b|＞|a－b|B.|a＋b|＜|a－b|C.|a－b|＜||a|－|b||D.|a－b|＜|a|＋|b|解析：选B∵ab＜0，∴|a－b|＝|a|＋|b|＞|a＋b|.2.不等式3≤|5－2x|＜9的解集为()A.[－2,1)∪[4,7)B.(－2,1]∪(4,7]C.(－2，－1]∪[4,7)D.(－2,1]∪[4,7)解析：选D x－5|＜9，x－5|≥3，9＜2x－5＜9，x－5≥3或2x－5≤－3，2＜x＜7，≥4或x≤1，不等式的解集为(－2,1]∪[4,7).3.不等式|2x－a|＜b的解集为{x|－1＜x＜4}，则a＋b的值为()A.－2B.2C.8D.－8解析：选C∵|2x－a|＜b的解集为{x|－1＜x＜4}，∴b＞0，由|2x －a |＜b ，得－b ＜2x －a ＜b ，即a －b 2＜x ＜a ＋b2.∴a ＋b2＝4，∴a ＋b ＝8，故选C.4.不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是________.解析：令f (x )＝|x ＋1|－|x －2|3，x ≤－1，x －1，－1＜x ＜2，，x ≥2.当－1＜x ＜2时，由2x －1≥1，解得1≤x ＜2.又当x ≥2时，f (x )＝3＞1恒成立.所以不等式的解集是{x |x ≥1}.答案：{x |x ≥1}5.函数y ＝|x －4|＋|x ＋4|的最小值为________.解析：因为|x －4|＋|x ＋4|≥|(x －4)－(x ＋4)|＝8，所以所求函数的最小值为8.答案：8考点一绝对值不等式的解法[师生共研过关][典例精析](2018·洛阳第一次统考)已知函数f (x )＝13|x －a |(a ∈R ).(1)当a ＝2时，解不等式|x －13|＋f (x )≥1；(2)设不等式|x －13|＋f (x )≤x 的解集为M ，若13，12⊆M ，求实数a 的取值范围.[解](1)当a ＝2时，原不等式可化为|3x －1|＋|x －2|≥3.①当x ≤13时，原不等式可化为－3x ＋1＋2－x ≥3，解得x ≤0，所以x ≤0；②当13＜x ＜2时，原不等式可化为3x －1＋2－x ≥3，解得x ≥1，所以1≤x ＜2；③当x ≥2时，原不等式可化为3x －1＋x －2≥3，解得x ≥32，所以x ≥2.综上所述，当a ＝2时，原不等式的解集为{x |x ≤0或x ≥1}.(2)不等式|x －13|＋f (x )≤x 可化为|3x －1|＋|x －a |≤3x ，依题意知不等式|3x －1|＋|x －a |≤3x 在13，12上恒成立，所以3x －1＋|x －a |≤3x ，即|x －a |≤1，即a －1≤x ≤a ＋1－1≤13，＋1≥12，解得－12≤a ≤43，故所求实数a 的取值范围是－12，43.[解题技法]解绝对值不等式的常用方法基本性质法对a ∈R ＋，|x |＜a ⇔－a ＜x ＜a ，|x |＞a ⇔x ＜－a 或x ＞a 平方法两边平方去掉绝对值符号零点分区间法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解数形结合法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解[过关训练]已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)求不等式|f (x )|＞1的解集.解：(1)由题意得f (x )－4，x ≤－1，x －2，－1＜x ≤32，x ＋4，x ＞32.故y ＝f (x )的图象如图所示.(2)由f (x )的表达式及图象可知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}；f (x )＜－1|x ＜13或x ＞5所以|f (x )|＞1|x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5考点二绝对值不等式性质的应用[师生共研过关][典例精析](2019·银川模拟)设函数f (x )＝x 2－x －15，且|x －a |＜1.(1)解不等式|f (x )|＞5.(2)求证：|f (x )－f (a )|＜2(|a |＋1).[解](1)因为|x 2－x －15|＞5，所以x 2－x －15＜－5或x 2－x －15＞5，即x 2－x －10＜0或x 2－x －20＞0，解得1－412＜x ＜1＋412或x ＜－4或x ＞5，所以不等式|f (x )|＞5的解集为|x ＜－4或1－412＜x ＜1＋412或x ＞5(2)证明：因为|x －a |＜1，所以|f (x )－f (a )|＝|(x 2－x －15)－(a 2－a －15)|＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x －a |·|x ＋a －1|＜1·|x ＋a －1|＝|x －a ＋2a －1|≤|x －a |＋|2a －1|＜1＋|2a －1|≤1＋|2a |＋1＝2(|a |＋1)，即|f (x )－f (a )|＜2(|a |＋1).[解题技法]绝对值不等式性质的应用利用不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )和|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R )，通过确定适当的a ，b ，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式.[过关训练]若对于实数x ，y 有|1－x |≤2，|y ＋1|≤1，求|2x ＋3y ＋1|的最大值.解：因为|2x ＋3y ＋1|＝|2(x －1)＋3(y ＋1)|≤2|x －1|＋3|y ＋1|≤7，所以|2x ＋3y ＋1|的最大值为7.考点三含绝对值不等式的综合问题[师生共研过关][例1](2018·辽宁五校联合体模拟)已知函数f (x )＝|x －a |＋|2x －a |(a ∈R ).(1)若f (1)＜11，求a 的取值范围；(2)若∀a ∈R，f (x )≥x 2－x －3恒成立，求x 的取值范围.[解](1)f (1)＝|1－a |＋|2－a |－2a ，a ≤1，，1＜a ＜2，a －3，a ≥2，当a ≤1时，3－2a ＜11，解得a ＞－4，∴－4＜a ≤1；当1＜a ＜2时，1＜11恒成立；当a ≥2时，2a －3＜11，解得a ＜7，∴2≤a ＜7.综上，a 的取值范围是(－4,7).(2)∵∀a ∈R ，f (x )≥x 2－x －3恒成立，又f (x )＝|x －a |＋|2x －a |≥|x －a －(2x －a )|＝|x |，∴|x |≥x 2－x －3，≥x 2－x －3，≥0x ≥x 2－x －3，＜0，解得0≤x ≤3或－3≤x ＜0，∴x 的取值范围是[－3，3].[例2](2019·南昌模拟)设函数f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|.(1)解不等式f (x )＞4；(2)若存在x ∈－32，1使不等式a ＋1＞f (x )成立，求实数a 的取值范围.[解](1)由已知，得f(x)3x－2，x＜－32，＋4，－32≤x≤1，x＋2，x＞1，∴f(x)＞4＜－32，3x－2＞4－32≤x≤1，＋4＞4＞1，x＋2＞4⇔x＜－2或0＜x≤1或x＞1.综上，不等式f(x)＞4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞).(2)存在x∈－32，1使不等式a＋1＞f(x)成立⇔a＋1＞f(x)min，x∈－32，1.由(1)得，x∈－32，1时，f(x)＝x＋4，f(x)min＝52，∴a＋1＞52，∴a＞32，∴实数a[解题技法]1.含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法(1)分离参数法：运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立问题中的参数范围问题.求最值的3种方法：①利用基本不等式和不等式的相关性质解决；②将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；③利用性质“||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|”求最值.(2)更换主元法：求解含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法.(3)数形结合法：在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可更直观解决问题.2.不等式能成立问题(1)在区间D上存在实数x使不等式f(x)＞A成立，等价于在区间D上f(x)max＞A；(2)在区间D上存在实数x使不等式f(x)＜B成立，等价于在区间D上f(x)min＜B.3.不等式恰成立问题(1)不等式f(x)＞A在区间D上恰成立，等价于不等式f(x)＞A的解集为D；(2)不等式f(x)＜B在区间D上恰成立，等价于不等式f(x)＜B的解集为D.[过关训练]1.(2018·惠州第一次调研)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|，g(x)＝|x－a|＋|x＋a|.(1)解不等式f(x)＞9；(2)若∀x1∈R，∃x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)，求实数a的取值范围.解：(1)f(x)x，x≥12，－x，－1＜x＜12，3x，x≤－1.f(x)＞9≥12，x＞91＜x＜12，－x＞9≤－1，3x＞9，解得x＞3或x＜－3，所以原不等式的解集为{x|x＞3或x＜－3}.(2)∀x1∈R，∃x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)，等价于f(x)min≥g(x)min.因为g(x)＝|x－a|＋|x＋a|≥2|a|，由(1)知f(x)≥f ＝3 2，所以2|a|≤32，解得－34≤a≤34，所以实数a的取值范围是－3 4，34.2.(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围.解：(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①当x＜－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；当x＞1时，①式化为x2＋x－4≤0，从而1＜x≤－1＋172.所以f(x)≥g(x)|－1≤x≤－1＋172(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[－1,1].[课时跟踪检测]1.(2019·沈阳模拟)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若函数f (x )的值域为[2，＋∞)，求实数a 的值；(2)若f (2－a )≥f (2)，求实数a 的取值范围.解：(1)∵|x －1|＋|x －a |≥|(x －1)－(x －a )|＝|a －1|，∴|a －1|＝2，解得a ＝3或a ＝－1.(2)由f (2－a )≥f (2)，得3|a －1|－|a －2|≥1，≤1，(1－a )－(2－a )≥1＜a ≤2，(a －1)－(2－a )≥1＞2，(a －1)－(a －2)≥1，解得a ≤0或32≤a ≤2或a ＞2，综上，实数a 的取值范围是(－∞，0]∪32，＋2.已知f (x )＝|2x ＋3|－|2x －1|.(1)求不等式f (x )＜2的解集；(2)若存在x ∈R，使得f (x )＞|3a －2|成立，求实数a 的取值范围.解：(1)不等式f (x )＜2＜－32，(2x ＋3)＋(2x －1)＜2－32≤x ≤12，2x ＋3)＋(2x －1)＜2＞12，x ＋3)－(2x －1)＜2，解得x ＜－32或－32≤x ＜0，∴不等式f (x )＜2的解集是(－∞，0).(2)∵f (x )≤|(2x ＋3)－(2x －1)|＝4，∴f (x )max ＝4，∴|3a －2|＜4，解得－23＜a ＜2，∴实数a －23，3.(2018·成都模拟)已知函数f (x )＝|x －2|＋k |x ＋1|，k ∈R .(1)当k ＝1时，若不等式f (x )＜4的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}，求x 1＋x 2的值；(2)当x ∈R 时，若关于x 的不等式f (x )≥k 恒成立，求k 的最大值.解：(1)由题意，得|x －2|＋|x ＋1|＜4.当x ＞2时，原不等式可化为2x ＜5，∴2＜x ＜52；当x ＜－1时，原不等式可化为－2x ＜3，∴－32＜x ＜－1；当－1≤x ≤2时，原不等式可化为3＜4，∴－1≤x ≤2.－32＜x 即x 1＝－32，x 2＝52.∴x 1＋x 2＝1.(2)由题意，得|x －2|＋k |x ＋1|≥k 在x ∈R 上恒成立，则当x ＝2时，不等式3k ≥k 成立，∴k ≥0.①当x ≤－2或x ≥0时，∵|x ＋1|≥1，∴不等式|x －2|＋k |x ＋1|≥k 恒成立.②当－2＜x ≤－1时，原不等式可化为2－x －kx －k ≥k ，可得k ≤2－x x ＋2＝－1＋4x ＋2，∴k ≤3.③当－1＜x ＜0时，原不等式可化为2－x ＋kx ＋k ≥k ，可得k ≤1－2x ，∴k ＜3.综上，可得0≤k ≤3，即k 的最大值为3.4.(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )＞x 成立，求a 的取值范围.解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )2，x ≤－1，x ，－1＜x ＜1，，x ≥1.故不等式f (x )＞1(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|＞x 成立，等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|＜1成立.若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1，不满足题意；若a ＞0，则|ax －1|＜10＜x所以2a ≥1，故0＜a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2].5.(2018·甘肃第二次诊断检测)设函数f (x )＝|x －3|，g (x )＝|x －2|.(1)解不等式f (x )＋g (x )＜2；(2)对于实数x ，y ，若f (x )≤1，g (y )≤1，证明：|x －2y ＋1|≤3.解：(1)解不等式|x －3|＋|x －2|＜2.①当x ＜2时，原不等式可化为3－x ＋2－x ＜2，可得x ＞32，所以32＜x ＜2.②当2≤x ≤3时，原不等式可化为3－x ＋x －2＜2，可得1＜2，所以2≤x ≤3.③当x ＞3时，原不等式可化为x －3＋x －2＜2，可得x ＜72，所以3＜x ＜72.综上，不等式f (x )＋g (x )＜2x 32＜x (2)证明：|x －2y ＋1|＝|(x －3)－2(y －2)|≤|x －3|＋2|y －2|≤1＋2＝3，＝4，＝1＝2，＝3时等号成立.6.设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若f (x )≤1，求a 的取值范围.解：(1)当a ＝1时，f (x )x ＋4，x ＜－1，，－1≤x ≤2，2x ＋6，x ＞2.当x ＜－1时，由2x ＋4≥0，解得－2≤x ＜－1；当－1≤x ≤2时，显然满足题意；当x ＞2时，由－2x ＋6≥0，解得2＜x ≤3，故f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}.(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立.故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).7.(2018·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值.解：(1)f (x )＝3x ，x ＜－12，＋2，－12≤x ＜1，x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示.(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.8.设函数f (x )＝|x ＋8m |＋|x －2m |(m ＞0).(1)求证：f (x )≥8恒成立；(2)求使得不等式f (1)＞10成立的实数m 的取值范围.解：(1)证明：由绝对值三角不等式的性质及m ＞0，得f (x )＝|x ＋8m |＋|x －2m |≥|x ＋8m －(x －2m )|＝|8m ＋2m |＝8m＋2m ≥28m·2m ＝8，当且仅当8m ＝2m ，即m ＝2时取等号.所以f (x )≥8恒成立.(2)f (1)＝|1＋8m |＋|1－2m |(m ＞0)，当1－2m ＜0，即m ＞12时，f (1)＝1＋8m －(1－2m )＝8m ＋2m ，由f (1)＞10，得8m ＋2m ＞10，化简得m 2－5m ＋4＞0，解得m ＜1或m ＞4，所以12＜m ＜1或m ＞4；当1－2m ≥0，即0＜m ≤12时，f (1)＝1＋8m ＋(1－2m )＝2＋8m －2m .由f (1)＞10，得2＋8m －2m ＞10，此式在0＜m ≤12时恒成立.综上，当f (1)＞10时，实数m 的取值范围是(0,1)∪(4，＋∞).第二节不等式的证明1.基本不等式定理1：如果a ，b ∈R，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立.定理2：如果a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.2.比较法(1)作差法的依据是：a －b ＞0⇔a ＞b .(2)作商法：若B ＞0，欲证A ≥B ，只需证AB ≥1.3.综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立.(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.()(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论.()(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.()答案：(1)×(2)√(3)×二、选填题1.已知a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝2，则1a ＋1b 的最小值为()A.1B.2C.4D.8解析：选B∵a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2，∴(a ＋b 2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4，∴1a ＋1b ≥4a ＋b ＝2，即1a ＋1b 的最小值为2(当且仅当a ＝b ＝1时，“＝”成立).故选B.2.若a ＞b ＞1，x ＝a ＋1a ，y ＝b ＋1b ，则x 与y 的大小关系是()A.x ＞yB.x ＜yC.x ≥yD.x ≤y解析：选Ax －y ＝a ＋1a －a －b ＋b －a ab ＝(a －b )(ab －1)ab.由a ＞b ＞1得ab ＞1，a －b ＞0，所以(a －b )(ab －1)ab＞0，即x －y ＞0，所以x ＞y .3.若a ，b ，m ∈R ＋，且a ＞b ，则下列不等式一定成立的是()A.b ＋m a ＋m ≥ba B.b ＋m a ＋m ＞ba C.b ＋m a ＋m ≤baD.b ＋m a ＋m ＜ba解析：选B ∵a ，b ，m ∈R ＋，且a ＞b ，∴b ＋m a ＋m －b a ＝m (a －b )a (a ＋m )＞0，即b ＋m a ＋m ＞ba，故选B.4.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是________.解析：∵s －t ＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴s ≥t .答案：s ≥t5.已知a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________.解析：由a ＋b ＋c ＝1，得1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc＝3≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立.故1a＋1b＋1c的最小值为9.答案：9考点一比较法证明不等式[师生共研过关][典例精析]设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥ab(a2＋b2).[证明]∵a，b是非负实数，∴a3＋b3－ab(a2＋b2)＝a2a(a－b)＋b2b(b－a)＝(a－b)[(a)5－(b)5].当a≥b时，a≥b，从而(a)5≥(b)5，得(a－b)[(a)5－(b)5]≥0；当a＜b时，a＜b，从而(a)5＜(b)5，得(a－b)[(a)5－(b)5]＞0.故a3＋b3≥ab(a2＋b2).[解题技法]作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论.其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断差的正负.作商比较法也有类似的步骤，但注意其比较的是两个正数的大小，且第(3)步要判断商与1的大小.[过关训练]已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.证明：(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2.因为a，b都是正数，所以a＋b＞0.又因为a≠b，所以(a－b)2＞0.于是(a＋b)(a－b)2＞0，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0，所以a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.考点二综合法证明不等式[师生共研过关][典例精析]已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；9.[证明](1)∵a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0，∴1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋bab ＝4≥4b a ·ab＋4＝8，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8.(2)＝1a ＋1b ＋1ab＋1，由(1)知1a ＋1b ＋1ab ≥8.9.[解题技法]1.综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键；(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件.2.综合法证明时常用的不等式(1)a 2≥0.(2)|a |≥0.(3)a 2＋b 2≥2ab ，它的变形形式有a 2＋b 2≥2|ab |；a 2＋b 2≥－2ab ；(a ＋b )2≥4ab ；a 2＋b 2≥12(a ＋b )2；a 2＋b 22≥.(4)a ＋b2≥ab ，它的变形形式有a ＋1a ≥2(a ＞0)；ab ＋ba ≥2(ab ＞0)；a b ＋ba≤－2(ab ＜0).(5)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.[过关训练]已知实数a ，b ，c 满足a ＞0，b ＞0，c ＞0，且abc ＝1.求证：(1)(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8；(2)a ＋b ＋c ≤1a ＋1b ＋1c.证明：(1)1＋a ≥2a ，1＋b ≥2b ，1＋c ≥2c ，三式相乘得(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8abc ＝8.(2)1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ac ，ab ＋bc ≥2ab 2c ＝2b ，ab ＋ac ≥2a 2bc ＝2a ，bc ＋ac ≥2abc 2＝2c ，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号，三式相加化简得a ＋b ＋c ≤1a ＋1b ＋1c .考点三分析法证明不等式[师生共研过关][典例精析]已知函数f (x )＝|x ＋1|.(1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ；(2)设a ，b ∈M ，求证：f (ab )＞f (a )－f (－b ).[解](1)由题意，|x ＋1|＜|2x ＋1|－1，①当x ≤－1时，不等式可化为－x －1＜－2x －2，解得x ＜－1；②当－1＜x ＜－12时，不等式可化为x ＋1＜－2x －2，此时不等式无解；③当x ≥－12时，不等式可化为x ＋1＜2x ，解得x ＞1.综上，M ＝{x |x ＜－1或x ＞1}.(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |，所以要证f(ab)＞f(a)－f(－b)，只需证|ab＋1|＞|a＋b|，即证|ab＋1|2＞|a＋b|2，即证a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2，即证a2b2－a2－b2＋1＞0，即证(a2－1)(b2－1)＞0.因为a，b∈M，所以a2＞1，b2＞1，所以(a2－1)(b2－1)＞0成立，所以原不等式成立.[解题技法]1.分析法的应用条件当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式(a2＋b2≥2ab)、基本不等式≤a＋b2，a＞0，b＞来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.2.用分析法证“若A则B”这个命题的模式为了证明命题B为真，只需证明命题B1为真，从而有…只需证明命题B2为真，从而有………只需证明命题A为真，而已知A为真，故B必真.[过关训练]已知a＞0，b＞0,2c＞a＋b，求证：c－c2－ab＜a＜c＋c2－ab.证明：要证c－c2－ab＜a＜c＋c2－ab，只需证－c2－ab＜a－c＜c2－ab，即证|a－c|＜c2－ab，即证(a－c)2＜c2－ab，即证a2－2ac＜－ab.因为a＞0，所以只要证a－2c＜－b，即证a＋b＜2c.由已知条件知，上式显然成立，所以原不等式成立.[课时跟踪检测]1.(2017·全国卷Ⅱ)已知a＞0，b＞0，a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.2.设a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝2 2.(1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2≥4(ab )3，求ab 的值.解：(1)由22＝1a ＋1b ≥21ab ，得ab ≥12，当a ＝b ＝22时取等号.故a 2＋b 2≥2ab ≥1，当a ＝b ＝22时取等号.所以a 2＋b 2的最小值是1.(2)由(a －b )2≥4(ab )3，得≥4ab ，即－4ab ≥4ab ，从而ab ＋1ab ≤2.又ab ＋1ab≥2，当且仅当ab ＝1时取等号.所以ab ＝1.3.已知函数f (x )＝k －|x －3|，k ∈R，且f (x ＋3)≥0的解集为[－1,1].(1)求k 的值；(2)若a ，b ，c 是正实数，且1ka ＋12kb ＋13kc＝1，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解：(1)因为f (x )＝k －|x －3|，所以f (x ＋3)≥0等价于|x |≤k ，由|x |≤k 有解，得k ≥0，且解集为[－k ，k ].因为f (x ＋3)≥0的解集为[－1,1]，所以k ＝1.(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，因为a ，b ，c 是正实数，所以a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c ＋1 2b＋＝3＋a2b＋a3c＋2ba＋2b3c＋3ca＋3c2b＝3≥3＋2a2b·2ba＋2a3c·3ca＋22b3c·3c2b＝9.当且仅当a＝2b＝3c时，等号成立.因此a＋2b＋3c≥9.4.(2019·南宁联考)已知函数f(x)＝|x－1|.(1)求不等式f(x)≥3－2|x|的解集；(2)若函数g(x)＝f(x)＋|x＋3|的最小值为m，正数a，b满足a＋b＝m，求证：a2b＋b2a≥4.解：(1)当x≥1时，原不等式可化为x－1≥3－2x，解得x≥43，∴x≥43；当0＜x＜1时，原不等式可化为1－x≥3－2x，解得x≥2，无解；当x≤0时，原不等式可化为1－x≥3＋2x，解得x≤－23，∴x≤－23.≥43或x≤(2)证明：∵g(x)＝|x－1|＋|x＋3|≥|(x－1)－(x＋3)|＝4，∴m＝4，即a＋b＝4.又a2b＋b≥2a，b2a＋a≥2b，当且仅当a＝b时等号成立，2a＋2b，∴a2b＋b2a≥a＋b＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立.5.(2019·长春质量检测)(1)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|(a＞0)，若不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤－2或x≥3}，求a的值；(2)已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝m，求证：1a＋b＋1b＋c＋1c＋a≥92m.解：(1)因为a＞0，所以f(x)＝|x＋1|＋|x－a|2x＋a－1，x＜－1，＋1，－1≤x＜a，x－a＋1，x≥a.又不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤－2或x≥3}，解得a＝2.(2)证明：1a＋b＋1b＋c＋1c＋a＝1＋b＋ca＋b＋c＋aa＋b＋1＋a＋bb＋c＋c＋ab＋c＋1＋a＋bc＋a＋b＋cc＋a2m＝3＋b＋ca＋b＋a＋bb＋c＋c＋ab＋c＋b＋cc＋a＋a＋bc＋a＋c＋aa＋b2ma＝b＝c＝m3时，取等号6.设函数f(x)＝|x－2|＋2x－3，记f(x)≤－1的解集为M.(1)求M；(2)当x∈M时，求证：x[f(x)]2－x2f(x)≤0.解：(1)由已知，得f(x)－1，x≤2，x－5，x＞2.当x≤2时，由f(x)＝x－1≤－1，解得x≤0，此时x≤0；当x＞2时，由f(x)＝3x－5≤－1，解得x≤43，显然不成立.故f(x)≤－1的解集为M＝{x|x≤0}.(2)证明：当x∈M时，f(x)＝x－1，于是x[f(x)]2－x2f(x)＝x(x－1)2－x2(x－1)＝－x2＋x＋14.令g(x)＋14，则函数g(x)在(－∞，0]上是增函数，∴g(x)≤g(0)＝0.故x[f(x)]2－x2f(x)≤0.7.已知函数f(x)＝|x－1|.(1)解不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8；(2)若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证：f(ab)|a|＞解：(1)f(2x)＋f(x＋4)＝|2x－1|＋|x＋3|3x－2，x＜－3，x＋4，－3≤x＜12，x＋2，x≥12，当x＜－3时，由－3x－2≥8，解得x≤－103；当－3≤x＜12时，－x＋4≥8，无解；当x≥12时，由3x＋2≥8，解得x≥2.所以不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8的解集为|x≤－103或x≥(2)证明：f(ab)|a|＞ff(ab)＞|a|即|ab－1|＞|a－b|.因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)＞0，所以|ab－1|＞|a－b|.故所证不等式成立.8.设函数f(x)＝x－|x＋2|－|x－3|－m，若∀x∈R，1m－4≥f(x)恒成立.(1)求实数m的取值范围；(2)求证：log(m＋1)(m＋2)＞log(m＋2)(m＋3).解：(1)∵∀x∈R，1m－4≥f(x)恒成立，∴m＋1m x－|x＋2|－|x－3|＋4恒成立.令g(x)＝x－|x＋2|－|x－3|＋4x＋3，x＜－2，－1，－2≤x≤3，x＋5，x＞3，则函数g(x)在(－∞，3]上是增函数，在(3，＋∞)上是减函数，∴g(x)max＝g(3)＝2，∴m＋1m≥g(x)max＝2，即m＋1m－2≥0⇒m2－2m＋1m＝(m－1)2m≥0，∴m＞0.综上，实数m的取值范围是(0，＋∞).(2)证明：由m＞0，知m＋3＞m＋2＞m＋1＞1，即lg(m＋3)＞lg(m＋2)＞lg(m＋1)＞lg1＝0.∴要证log(m＋1)(m＋2)＞log(m＋2)(m＋3).只需证lg(m＋2)lg(m＋1)＞lg(m＋3)lg(m＋2)，即证lg(m＋1)·lg(m＋3)＜lg2(m＋2).又lg(m＋1)·lg(m＋3)＜lg(m＋1)＋lg(m＋3)22＝[lg(m＋1)(m＋3)]24＜[lg(m2＋4m＋4)]24＝lg2(m＋2)，∴log(m＋1)(m＋2)＞log(m＋2)(m＋3)成立.。
选修4-5 不等式选讲
解：(1)当 x≥12时，f(x)＝3x－12在12，＋∞上单调递增， 且 f(x)≥32－12＝1；当 x<12时，f(x)＝32－x 在－∞，12上单调递 减，且 f(x)>32－12＝1.
2x＋4，x≤－1， 解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝2，－1<x≤2，
－2x＋6，x>2.
可得 f(x)≥0 的解集为{x|－2≤x≤3}． (2)f(x)≤1 等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋ 2|，且当 x＝2 时等号成立．故 f(x)≤1 等价于|a＋2|≥4.由|a＋ 2|≥4 可得 a≤－6 或 a≥2，所以 a 的取值范围是(－∞，－6] ∪[2，＋∞)．
故由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥43， 当且仅当 x＝53，y＝－13，z＝－13时等号成立． 所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2 的最小值为43.
(2)证明：由于[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2＝(x－2)2＋(y－1)2 ＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)]≤3[(x －2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]，
(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2 的最小值； (2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥13成立，证明：a≤－3 或 a≥－1.
【解】 (1)由于[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2＝(x－1)2＋(y＋ 1)2 ＋ (z ＋ 1)2 ＋ 2[(x － 1)(y ＋ 1) ＋ (y ＋ 1)(z ＋ 1) ＋ (z ＋ 1)(x － 1)]≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，
(2)设 u(x)＝|x＋1|－|x|，y＝u(x)的图象和 y＝x 的图象如图 所示．易知 y＝u(x)的图象向下平移 1 个单位以内(不包括 1 个 单位)，与 y＝x 的图象始终有 3 个交点，从而－1<a<0.所以实 数 a 的取值范围为(－1,0)．
选修4-5——不等式选讲知识点归纳
选修4-5——不等式选讲知识点概括选修 4-5 ——不等式选讲知识点
《选修 4－5不等式选讲》
1、绝对值不等式的性质
4、解含绝对值不等式的思路：化去绝对值符号，转变为不含绝对值的不等式，解法以下：(6)含有多个绝对值符号的不等式，如
| x a | | x b | c
或
| x a | | x b |c(c 0)
型不等
式有以下三种解法 :
方法 1：利用“零点分段法”求解，表现了分类议论的思想.
方法 2：利用绝对值不等式的几何意义求解，表现了数形联合
的思想.。
对于形如
| x a | | x b | c(c 0)
或
| x a | | x b | c( c0) 的不等式，利用实数绝对值的几何意
义求解较简易 . ，即不等式能够理解为数轴上到定点A(a )
、
B (b )
的距离之和大于（或小于） c 的点M ( x)的全体.
方法 3：经过结构函数f (x) | x a | | x b|
和
g( x )c , 利用函
数的图象求解 , 表现了函数与方程的思想
5、一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右端化为0，左端化为二次项系数大于零的不等式
ax2bx c 0 ( a0 )或ax2bx c 0 ( a0)
(2)确立对应方程ax2bx c0 的根；
(3)画出对应函数y ax2bx c 的图像的简图；
(4)由图像得出不等式的解集.
( a0 )的图象
两异根
x1x2有两相等实根无实数根( a0)的解集大于在两边
( a0)的解集小于夹中间。
选修4-5 不等式选讲
选修4-5 不等式选讲1．已知f (x )＝|1－x |－|x －5|，(1)解不等式f (x )<2；(2)若f (x )＋2m －1<0存在实数解，求实数m 的取值范围．解：(1)f (x )＝|1－x |－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，x >5，2x －6，1≤x ≤5，－4，x <1，∵f (x )<2，∴x <1或⎩⎪⎨⎪⎧2x －6<2，1≤x ≤5，∴x <1或1≤x <4，∴不等式的解集为(－∞，4)． (2)由(1)知f (x )min ＝－4，∵f (x )＋2m －1<0存在实数解，∴f (x )min ＋2m －1<0，即－4＋2m －1<0，∴m <52， ∴m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，52. 2．已知定义在R 上的函数f (x )＝|x －m |＋|x |，m ∈N *，存在实数x 使f (x )<2成立．(1)求实数m 的值；(2)若α≥1，β≥1，f (α)＋f (β)＝4，求证：4α＋1β≥3. 解：(1)因为|x －m |＋|x |≥|(x －m )－x |＝|m |，所以要使不等式|x －m |＋|x |<2有解，则|m |<2，解得－2<m <2.因为m ∈N *，所以m ＝1.(2)证明：因为α≥1，β≥1，所以f (α)＋f (β)＝2α－1＋2β－1＝4，即α＋β＝3，所以4α＋1β＝13⎝⎛⎭⎫4α＋1β(α＋β) ＝13⎝⎛⎭⎫5＋4βα＋αβ≥13⎝⎛⎭⎫5＋2 4βα·αβ＝3. 当且仅当4βα＝αβ，即α＝2，β＝1时等号成立， 故4α＋1β≥3. 3．设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．解：(1)f (x )＝⎩⎨⎧－3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.4．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －1|－kx －1.(1)若k ＝2，求不等式f (x )>0的解集；(2)若方程f (x )＝0有实数根，求k 的取值范围．解：(1)因为k ＝2，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4x ＋4，x ≤1，－2x ＋2，1<x <4，－6，x ≥4，由f (x )>0，有 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，－4x ＋4>0，得x <1，或⎩⎪⎨⎪⎧ 1<x <4，－2x ＋2>0， 得x ∈∅，故不等式f (x )>0的解集为(－∞，1)．(2)由f (x )＝0，得|x －4|＋|x －1|－1＝kx ，令g (x )＝|x －4|＋|x －1|－1，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4－2x ，x ≤1，2，1<x <4，2x －6，x ≥4，作出g (x )的图象如图所示．直线y ＝kx 过原点，当此直线经过点B (4,2)时，k ＝12； 当此直线与直线AC 平行时，k ＝－2.由图可知，当k <－2或k ≥12时，g (x )的图象与直线y ＝kx 有公共点．从而f (x )＝0有实数根，所以k 的取值范围为(－∞，－2)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 5．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|.(1)解不等式f (x )≤3；(2)记函数g (x )＝f (x )＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，证明：t 2＋1≥3t＋3t . 解：(1)依题意，得f (x )＝⎩⎨⎧ －3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12，于是f (x )≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <12，2－x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≤3， 解得－1≤x ≤1.故不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)证明：g (x )＝f (x )＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x －1－2x －2|＝3，当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时取等号，∴M ＝[3，＋∞)．t 2＋1≥3t ＋3t 等价于t 2－3t ＋1－3t≥0， t 2－3t ＋1－3t ＝t 3－3t 2＋t －3t ＝(t －3)(t 2＋1)t. ∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2＋1>0，∴(t －3)(t 2＋1)t≥0， ∴t 2＋1≥3t＋3t . 6．已知正实数x, y 满足x ＋y ＝1.(1)解关于x 的不等式|x ＋2y |＋|x －y |≤52； (2)证明：⎝⎛⎭⎫1x 2－1⎝⎛⎭⎫1y 2－1≥9. 解：(1)∵x ＋y ＝1，且x >0，y >0，∴|x ＋2y |＋|x －y |≤52⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <1，|2－x |＋|2x －1|≤52⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <1，|2x －1|≤12＋x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，－⎝⎛⎭⎫12＋x ≤2x －1≤12＋x ，解得16≤x <1， ∴不等式的解集为⎣⎡⎭⎫16，1.(2)证明：∵x ＋y ＝1，且x >0，y >0，∴⎝⎛⎭⎫1x 2－1⎝⎛⎭⎫1y 2－1＝(x ＋y )2－x 2x 2·(x ＋y )2－y 2y 2 ＝2xy ＋y 2x 2·2xy ＋x 2y 2＝⎝⎛⎭⎫2y x ＋y 2x 2⎝⎛⎭⎫2x y ＋x 2y 2＝2x y ＋2y x ＋5≥22x y ·2y x＋5＝9， 当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立． 7．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3.(1)若a ＋b ＝2，求f (a )＋f (b )的最小值；(2)若|x －a |<2，求证：|f (x )－f (a )|<4(|a |＋2)． 解：(1)f (a )＋f (b )＝a 2＋b 2－2(a ＋b )＋6＝(a ＋b )2－2ab ＋2＝6－2ab ，因为a ＋b ＝2，故f (a )＋f (b )＝6－2a (2－a )＝2a 2－4a ＋6，当a ＝1时，f (a )＋f (b )有最小值4.(2)证明：因为|x －a |<2，所以|f (x )－f (a )|＝|(x －a )·(x ＋a －2)|<2|(x －a )＋2a －2|≤2|x －a |＋4|a |＋4<4|a |＋8， 所以|f (x )－f (a )|<4(|a |＋2)．8．已知a ，b ，c 为非负实数，函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋b |＋c .(1)若a ＝2，b ＝6，c ＝1，求不等式f (x )>11的解集；(2)若函数f (x )的最小值为2，证明：1a ＋b ＋4b ＋c ＋9a ＋c≥9. 解：(1)当a ＝2，b ＝6，c ＝1时，不等式f (x )＝|2x －2|＋|2x ＋6|＋1>11，化简得|x －1|＋|x ＋3|>5.采用零点讨论法，设g (x )＝|x －1|＋|x ＋3|,当x ≥1时，由g (x )＝2x ＋2>5；得x >32； 当－3<x <1时，由g (x )＝4>5，得x ∈∅；当x ≤－3时，由g (x )＝－2x －2>5，得x <－72， 所以不等式f (x )>11的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <－72或x >32. (2)证明：因为f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋b |＋c ≥|a ＋b |＋c ＝a ＋b ＋c ，函数f (x )的最小值为2， 所以a ＋b ＋c ＝2.1a ＋b ＋4b ＋c ＋9a ＋c ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋4b ＋c ＋9a ＋c [(a ＋b )＋(b ＋c )＋(a ＋c )] ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤14＋b ＋c a ＋b ＋4(a ＋b )b ＋c ＋a ＋c a ＋b ＋9(a ＋b )a ＋c ＋4(a ＋c )b ＋c ＋9(b ＋c )a ＋c ≥14(14＋4＋6＋12)＝9， 当且仅当a ＝23，b ＝0，c ＝43等式成立． 综上，1a ＋b ＋4b ＋c ＋9a ＋c ≥9.。
高考数学总复习选修4-5 不等式选讲第1课时 绝对值不等式(含答案)
选修4－5 不等式选讲第1课时 绝对值不等式(理科专用)1. 解不等式：|2x －1|＜3.解：|2x －1|＜3Þ－3＜2x －1＜3Þ－1＜x ＜2.2. 若关于x 的不等式|x ＋1|－|x －2|<a 2－4a 有实数解，求实数a 的取值范围．解：∵ ||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴ －3≤|x ＋1|－|x －2|≤3.由不等式a 2－4a>|x ＋1|－|x －2|有实数解，知a 2－4a>－3，解得a>3或a<1.3. 不等式|2－x|＋|x ＋1|≤a 对于任意x ∈[0，5]恒成立的实数a 的集合是多少？解：当x ∈[0，2]时，|2－x|＋|x ＋1|＝2－x ＋x ＋1＝3，当x ∈[2，5]时，|2－x|＋|x ＋1|＝x －2＋x ＋1＝2x －1≤9，综上可得|2－x|＋|x ＋1|≤9，∴ a ≥9.4. 解不等式：|2x ＋1|－|x －4|<2.解：① 当x ≥4时，2x ＋1－(x －4)<2，∴ x ∈Æ；② 当－12≤x<4时，2x ＋1＋x －4<2， ∴ －12≤x<53； ③ 当x<－12时，－2x －1＋x －4<2. ∴ －7<x<－12. 综上，该不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－7，53. 5. 若f(x)＝||x －t ＋||5－x 的最小值为3，求实数t 的值．解：由f ()x ＝||x －t ＋||5－x ≥|(x －t)＋(5－x)|＝||5－t ＝3，解得t ＝2或8.6. 若对任意x ∈R ，||2－x ＋||3＋x ≥a 2－4a 恒成立，求实数a 的取值范围．解：||2－x ＋||3＋x ≥5，要||2－x ＋||3＋x ≥a 2－4a 恒成立，即5≥a 2－4a ，解得－1≤a ≤5.7. 设a ∈R ，函数f(x)＝ax 2＋x －a(－1≤x ≤1)．(1) 若|a|≤1，求证：|f(x)|≤54； (2) 求使函数f(x)最大值为178时a 的值． (1) 证明：∵ |x|≤1，|a|≤1，∴ |f(x)|＝|a(x 2－1)＋x|≤|a(x 2－1)|＋|x|＝|a|·|x 2－1|＋|x|≤|x 2－1|＋|x|＝|1－x 2|＋|x|＝1－|x|2＋|x|＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x|－122＋54≤54. (2) 解：当a ＝0时，f(x)＝x(－1≤x ≤1)的最大值是f(1)＝1，从而a ≠0，故知f(x)是二次函数．∵ f(±1)＝±1，∴ f(x)＝ax 2＋x －a(－1≤x ≤1)有最大值178⎩⎪⎨⎪⎧－1<－12a <1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝178，即⎩⎪⎨⎪⎧a<－12，（a ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋18＝0，∴ a ＝－2. 8. 已知f(x)＝x 2－x ＋c 定义在区间[0，1]上，x 1、x 2∈[0，1]，且x 1≠x 2，求证：(1) f(0)＝f(1)；(2) |f(x 2)－f(x 1)|<|x 1－x 2|.证明：(1) ∵ f(0)＝c ，f(1)＝c ，∴ f(0)＝f(1)．(2) |f(x 2)－f(x 1)|＝|x 22－x 2＋c －x 21＋x 1－c|＝|x 2－x 1|·|x 2＋x 1－1|. ∵ 0≤x 1≤1，0≤x 2≤1，0<x 1＋x 2<2(x 1≠x 2)，∴ －1<x 1＋x 2－1<1，∴ |x 2＋x 1－1|<1，∴ |f(x 2)－f(x 1)|<|x 1－x 2|.9. 如图，O 为数轴的原点，A 、B 、M 为数轴上的三点，C 为线段OM 上的动点，设x 表示C 与原点的距离，y 表示C 到A 距离的4倍与C 到B 距离的6倍的和．(1) 将y 表示成x 的函数；(2) 要使y 的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？解：(1) y ＝4|x －10|＋6|x －20|，0≤x ≤30.(2) 依题意，x 满足⎩⎪⎨⎪⎧4|x －10|＋6|x －20|≤70，0≤x ≤30， 解不等式组，其解集为[9，23]，所以x ∈[9，23]．10. 设f (x)＝ x 2－x ＋1，实数a 满足|x －a|＜1，求证：| f (x)－f (a)|＜2(|a|＋1)． 证明：∵ f(x)＝x 2－x ＋1，|x －a|＜1，∴ ||f （x ）－f （a ）＝||x 2－x －a 2＋a＝||x －a ·||x ＋a －1<||x ＋a －1＝||（x －a ）＋2a －1≤||x －a ＋||2a －1<1＋||2a ＋1＝2(||a ＋1)．11. 已知函数f(x)＝log 2(|x ＋1|＋|x －2|－m)(1) 当m ＝5时，求函数f(x)的定义域；(2) 若关于x 的不等式f(x)≥1的解集是R ，求m 的取值范围．解：(1) 由题设知|x ＋1|＋|x －2|＞5, 不等式的解集是三个不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋1＋x －2＞5或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x<2，x ＋1－x ＋2＞5或⎩⎪⎨⎪⎧x<－1，－x －1－x ＋2＞5解集的并集，解得函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．(2) 不等式f(x)≥1即|x ＋1|＋|x －2|＞m ＋2.∵ x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，要使不等式|x ＋1|＋|x －2|≥m ＋2的解集是R ，∴ m ＋2≤3，∴ m 的取值范围是(－∞，1]．。
金版·高三总复习人教数学(理)2选修4-5 第1讲 不等式选讲
2. 更换主元法：不少含参不等式恒成立问题，若直接从主
元入手非常困难或不可能解决问题时，可转换思维角度，将主 元与参数互换，常可得到简捷的解法． 3. 数形结合法：在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数 形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思
维各自的优势，可直观解决问题.
选修4-5 第1讲
1 1 4 －y|，由题知|x＋y|<3，|2x－y|<6，从而|x－5y|<3.
选修4-5
第1讲
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含绝对值不等式的证明题主要分两类，一类是比较简单的不 等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常 见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|
－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是
x>0或x<－2 ⇒ －4<x<2
⇒－4<x<－2或0<x<2.
选修4-5 第1讲
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2. [2013·皖南八校联考]不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任 意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( A. [－1,4] B. (－1,4] )
C. [－1,4)
答案：A
D. (－1,4)
利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
2. 含绝对值不等式的证明，可考虑去掉绝对值符号，也可 利用重要不等式|a＋b|≤|a|＋|b|及推广形式|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋ |a2|＋…＋|an|进行放缩．
选修4-5
第1讲
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3种必会方法 1. 分离参数法：运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a， f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题．
湘教版高中数学选修4-5：不等式选讲-第1章 基本不等式和证明不等式的基本方法 复习课件
2．(2017·天津卷)若 a，b∈R，ab＞0，则a4＋a4bb4＋1的最小 值为__________.
解析：∵a，b∈R，ab＞0， ∴a4＋a4bb4＋1≥4a2ab2b＋1＝4ab＋a1b≥2
4ab·a1b＝4，
a2＝2b2， 当且仅当4ab＝a1b，
即a2＝ 22，
＝
lg tlg 9－lg 8 lg 2×lg 3 >0.
∴2x>3y.
又
∵
2x
－
5z
＝
2lg t lg 2
－
5lg t lg 5
＝
lg t2lg 5－5lg 2 lg 2×lg 5
＝
lg tlg 25－lg 32 lg 2×lg 5 <0.
∴2x<5z.∴3y<2x<5z.
答案：D
3．若 a＝ln33，b＝ln22，则 a 与 b 的大小关系为__________.
谢谢
• [高考冲浪] • 1．(2017·全国卷Ⅱ)已知a＞0，b＞0，a3＋b3＝2. • （1）求证：(a＋b)(a5＋b5)≥4. • （2）求证：a＋b≤2. 证明：（1） (a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋ b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.
第1章 基本不等式和证明 不等式的基本方法 复习课件
知识网络
专题归纳
专题一：不等式的基本性质及实数的大小比较。
• [考情分析] • 1．利用不等式的基本性质判断不等式或有关结论
是否成立，利用不等式基本性质进行数值或代数式 大小的比较，常用到分类讨论的思想。 • 2．不等式的基本性质及应用是不等式的一个基础 内容，常以客观题形式呈现，难度不大。
(全国通用)高考数学一轮复习 不等式选讲 第一节 绝对值不等式习题 理 选修4-5-人教版高三选修4
选修4-5 不等式选讲第一节绝对值不等式[基础达标]一、填空题(每小题5分,共25分)1.若不等式A={x||3x+2|>1},B={x||x-2|≤3},则A∩B=.【解析】解不等式|3x+2|>1得3x+2<-1或3x+2>1,解得x<-1或x>-,则A=;解不等式|x-2|≤3得-3≤x-2≤3,则-1≤x≤5,则B={x|-1≤x≤5},所以A∩B=.2.(2015·某某统测)不等式|x-2|+|x+1|≤5的解集为.[-2,3]【解析】不等式|x-2|+|x+1|≤5⇔解得-2≤x<-1或-1≤x≤2或2<x≤3,所以不等式|x-2|+|x+1|≤5的解集为[-2,3].3.(2015·某某巴蜀中学三诊)已知关于x的不等式|x+2|+|x-2|≤a2解集为空集,则a的取值X围为.(-2,2)【解析】由关于x的不等式|x+2|+|x-2|≤a2解集为空集,得关于x的不等式|x+2|+|x-2|>a2解集为R,则(|x+2|+|x-2|)min>a2.又|x+2|+|x-2|≥|(x+2)-(x-2)|=4,所以a2<4,-2<a<2.4.若关于x的不等式|x-a|+|x-1|≥a恒成立,则实数a的取值X围是.【解析】由题意可得(|x-a|+|x-1|)min≥a,又|x-a|+|x-1|≥|1-a|,所以|a-1|≥a,则a-1≤-a,a≤.5.(2015·某某三模)若对于实数x,y有|1-x|≤2,|y+1|≤1,则|2x+3y+1|的最大值为.7【解析】由|2x+3y+1|=|2(x-1)+3(y+1)|≤2|x-1|+3|y+1|≤7,得|2x+3y+1|的最大值为7.二、解答题(每小题10分,共50分)6.(2015·某某高考)解不等式x+|2x+3|≥2.【解析】原不等式可化为解得x≤-5或x≥-.综上,原不等式的解集是.7.(2015·东北三省四市二模)设函数f(x)=|2x+2|-|x-2|.(1)求不等式f(x)>2的解集;(2)若对于∀x∈R,f(x)≥t2-t恒成立,某某数t的取值X围.【解析】(1)f(x)=当x<-1时,-x-4>2,x<-6,∴x<-6;当-1≤x<2时,3x>2,x>,∴<x<2;当x≥2时,x+4>2,x>-2,∴x≥2.综上所述.(2)易得f(x)min=f(-1)=-3,若对于∀x∈R,f(x)≥t2-t恒成立,则只需f(x)min=-3≥t2-t⇒2t2-7t+6≤0⇒≤t≤2,综上所述≤t≤2.8.(2015·某某实验中学质检)设函数f(x)=|x-1|+|x-3|.(1)求不等式f(x)>2的解集;(2)若不等式f(x)≤a的解集非空,某某数a的取值X围.【解析】(1)函数f(x)=方程f(x)=2的根为x1=,x2=3,由函数f(x)的图象知f(x)>2的解集为.(2)设g(x)=a,g(x)表示过点,斜率为a的直线,f(x)≤a的解集非空,即y=f(x)的图象在g(x)图象下方有图象,或与g(x)图象有交点,由图象可知a<-或a≥.9.已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+5|,且f(x)≥m恒成立.(1)求m的取值X围;(2)当m取最大值时,解关于x的不等式|x-3|-2x≤2m-8.【解析】(1)f(x)=当-≤x≤时,函数有最小值6,所以m≤6.(2)当m取最大值6时,原不等式等价于|x-3|-2x≤4,等价于可得x≥3或-≤x<3.所以原不等式的解集为.10.(2015·某某模拟)已知函数f(x)=|x-1|+|x+a|.(1)当a=2时,解不等式f(x)≥4;(2)若a>0,且∀x∈R,f(x)≥5恒成立,求a的取值X围.【解析】(1)当a=2时,f(x)=|x-1|+|x+2|,由f(x)≥4得|x-1|+|x+2|≥4.当x≤-2时,不等式化为-x-2-x+1≥4,其解集为.当-2<x≤1时,不等式化为x+2-x+1≥4,其解集为⌀.当x>1时,不等式化为x+2+x-1≥4,其解集为.综上得f(x)≥4的解集为.(2)因为a>0,所以f(x)=|x-1|+|x+a|=因此f(x)的最小值为a+1,由f(x)≥5恒成立,即a+1≥5恒成立,解得a≥4,所以当a>0时,对于∀x∈R,使f(x)≥5恒成立的a的取值X围是[4,+∞).[高考冲关]1.(5分)集合A=[1,5],集合B={x∈R‖x+3|+|x-2|≤a+2},且A⊆B,则实数a的取值X围是.[9,+∞)【解析】由题意可得当x∈[1,5]时,关于x的不等式|x+3|+|x-2|≤a+2恒成立,则(|x+3|+|x-2|)max≤a+2,又|x+3|+|x-2|=所以当x=5时,|x+3|+|x-2|取得最大值11,故a+2≥11,解得a≥9.2.(5分)(2015·某某调研)设函数f(x)=|x-1|+|2x-a|,若关于x的不等式f(x)≥a2+1对x∈R恒成立,则实数a的取值X围是.[-2,0]【解析】当<1,a<2时,f(x)=f(x)min=f=-a+1≥a2+1,解得-2≤a≤0;当>1,a>2时,f(x)=f(x)min=f a-1≥a2+1,无解;当a=2时,不成立.综上可得实数a的取值X围是[-2,0].3.(10分)(2015·某某测试)设函数f(x)=|x-1+a|+|x-a|.(1)若a≥2,x∈R,证明f(x)≥3;(2)若f(1)<2,求a的取值X围.【解析】(1)|x-1+a|+|x-a|≥|(x-1+a)-(x-a)|=|2a-1|,又a≥2,故|2a-1|≥3,所以此时f(x)≥3.(2)f(1)=|a|+|1-a|,当a≤0时,f(1)=(-a)+(1-a)=1-2a,由f(1)<2,得1-2a<2,即-<a≤0;当0<a≤1时,f(1)=a+(1-a)=1<2恒成立,故0<a≤1;当a>1时,f(1)=a+(a-1)=2a-1,由f(1)<2,得2a-1<2,解得1<a<.综上a的取值X围是.4.(10分)(2015·某某监测)(1)已知a和b是任意非零实数.证明:≥4;(2)若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-恒成立,某某数k的取值X围.【解析】(1)∵|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|,∴≥4.(2)记h(x)=|2x+1|-|x+1|=如图,若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-恒成立,则函数h(x)的图象在直线g(x)=k(x-1)-的上方,又g(x)的图象恒过定点,即g(x)的图象只能在图中阴影区域内,可得k∈.5.(10分)(2015·某某二中二模)已知函数f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.(1)解不等式|g(x)|<5;(2)若对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,某某数a的取值X围.【解析】(1)由‖x-1|+2|<5,得-5<|x-1|+2<5,∴-7<|x-1|<3,-2<x<4,∴不等式|g(x)|<5的解集为(-2,4).(2)∵对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,∴{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)},又f(x)=|2x-a|+|2x+3|≥|(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x-1|+2≥2,则|a+3|≥2,解得a≥-1或a≤-5,即实数a的取值X围为(-∞,-5]∪[-1,+∞).。
选修4-5 不等式选讲 第一节 绝对值不等式
第一节绝对值不等式1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集(2)|ax＋①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类计论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．1．不等式|x －2|＞x －2的解集是________． 解析：原不等式同解于x －2＜0，即x ＜2. 答案：x ＜22．已知|x －a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}，则实数a 等于________． 解析：由|x －a |＜b 得a －b ＜x ＜a ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a ＋b ＝4，解得a ＝3，b ＝1.答案：33．若不等式|8x ＋9|＜7和不等式ax 2＋bx ＞2的解集相等，则实数a 、b 的值分别为________．解析：据题意可得|8x ＋9|＜7⇒－2＜x ＜－14，故由{x |－2＜x ＜－14}是二次不等式的解集可知x 1＝－2，x 2＝－14是一元二次方程ax 2＋bx －2＝0的两根，根据根与系数关系可知x 1x 2＝－2a ＝12⇒a ＝－4，x 1＋x 2＝－b a ＝－94⇒b ＝－9.答案：a ＝－4，b ＝－94．不等式|2x －1|＜3的解集为________． 解析：原不等式可化为－3＜2x －1＜3， 解得－1＜x ＜2.故所求解集为{x |－1＜x ＜2}． 答案：{x |－1＜x ＜2}5．(2011年陕西)若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是______________.解析：令y ＝|x ＋1|＋|x －2|，由题意知应|a |≥y min ，而y ＝|x ＋1|＋|x －2|≥|x ＋1－x ＋2|＝3，∴a ≥3或a ≤－3.答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)例1 解不等式|x －1|＋|x ＋2|<5.【解析】 法一：分别求|x －1|，|x ＋2|的零点，即1，－2. 由－2,1把数轴分成三部分：x ＜－2，－2≤x ≤1，x ＞1. 当x ＜－2时，原不等式即1－x －2－x ＜5， 解得－3＜x ＜－2；当－2≤x ≤1时，原不等式即1－x ＋2＋x ＜5， 因为3＜5，恒成立，即－2≤x ≤1； 当x ＞1时，原不等式即x －1＋2＋x ＜5， 解得1＜x ＜2.综上，原不等式的解集为{x |－3＜x ＜2}．法二：不等式|x －1|＋|x ＋2|＜5的几何意义为数轴上到－2,1两个点的距离之和小于5的点组成的集合，而－2，1两个端点之间的距离为3，由于分布在－2,1以外的点到－2，1的距离在－2,1外部的距离要计算两次，而在－2,1内部的距离则只计算一次，因此只要找出－2左边到－2的距离等于5－32＝1的点－3，以及1右边到1的距离等于5－32＝1的点2，这样就得到原不等式的解集为{x |－3＜x ＜2}．【点评】 含绝对值的不等式的解法应想法去掉绝对值符号，转化为不含绝对值的方法求解．其方法有：(1)利用公式或平方法转化；(2)利用绝对值的定义转化；(3)利用数形结合思想转化；(4)利用“零点分段法”等．1．(2011年课标全国)设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 解析：(1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2 可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0. 此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2.由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.例2 已知函数f (x )＝1＋x 2，设a ，b ∈R ，且a ≠b ， 求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |.【证明】 证法一：|f (a )－f (b )|<|a －b | ⇔|1＋a 2－1＋b 2|<|a －b |⇔(1＋a 2－1＋b 2)2<(a －b )2⇔2＋a 2＋b 2－2(1＋a 2)(1＋b 2)<a 2＋b 2－2ab⇔1＋ab <(1＋a 2)(1＋b 2).①当ab ≤－1时，式①显然成立；当ab >－1时，式①⇔(1＋ab )2<(1＋a 2)(1＋b 2) ⇐2ab <a 2＋b 2.②∵a ≠b ，∴②式成立，故原不等式成立． 证法二：当a ＝－b 时，原不等式显然成立； 当a ≠－b 时，∵|1＋a 2－1＋b 2| ＝|(1＋a 2)－(1＋b 2)|1＋a 2＋1＋b 2<|a 2－b 2||a |＋|b |≤|(a ＋b )(a －b )||a ＋b |＝|a －b |，∴原不等式成立．证法三：设x ＝(1，a )，y ＝(1，b )，则|x |＝1＋a 2，|y |＝1＋b 2，x －y ＝(0，a －b )，|x －y |＝|a －b |，而||x |－|y ||≤|x －y |，∴|1＋a 2－1＋b 2|≤|a －b |，又a ≠b ， 即|f (a )－f (b )|<|a －b |.证法四：设y ＝1＋x 2(x ∈R )，则y ＝1＋x 2表示双曲线y 2－x 2＝1上支的部分．其渐近线为y ＝±x ，设A (a ，f (a ))，B (b ，f (b ))为曲线y ＝1＋x 2上两不同的点．则|k AB |<1，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (b )－f (a )b －a <1.∴|f (a )－f (b )|<|a －b |.【点评】 (1)证法一用的是分析法；(2)证法二是综合法，其证明中用到的技巧有：①分子有理化，②不等式|a |＋|b |≥|a ＋b |，③放缩法；(3)证法三用的是构造向量，利用向量不等式；(4)证法四是数形结合思想．2．(2010年广东卷)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是平面直角坐标系xOy 上的两点，现定义由点A 到点B 的一种折线距离ρ(A ，B )为ρ(A ，B )＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|.对于平面xOy 上给定的不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(1)若点C (x ，y )是平面xOy 上的点，试证明：ρ(A ，C )＋ρ(C ，B )≥ρ(A ，B )； (2)在平面xOy 上是否存在点C (x ，y )，同时满足 ①ρ(A ，C )＋ρ(C ，B )＝ρ(A ，B )；②ρ(A ，C )＝ρ(C ，B )． 若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明． 解析：证明：∵ρ(A ，C )＝|x －x 1|＋|y －y 1|， ρ(C ，B )＝|x 2－x |＋|y 2－y |. ρ(A ，B )＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|，∴ρ(A ，C )＋ρ(C ，B )＝|x －x 1|＋|y －y 1|＋|x 2－x |＋|y 2－y | ＝(|x －x 1|＋|x 2－x |)＋(|y －y 1|＋|y 2－y |) ≥|(x －x 1)＋(x 2－x )|＋|(y －y 1)＋(y 2－y )| ＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|＝ρ(A ，B )．(2)注意到点A (x 1，y 1)与点B (x 2，y 2)不同，下面分三种情形讨论． ①若x 1＝x 2，则y 1≠y 2，由条件②得 |x －x 1|＋|y －y 1|＝|x 2－x |＋|y 2－y |， 即|y －y 1|＝|y －y 2|，∴y ＝y 1＋y 22.由条件①得|x －x 1|＋|y －y 1|＋|x 2－x |＋|y 2－y |＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|.∴2|x －x 1|＋12|y 2－y 1|＋12|y 2－y 1|＝|y 2－y 1|，∴|x －x 1|＝0， ∵x ＝x 1.因此，所求的点C 为(x 1，y 1＋y 22)②若y 1＝y 2，则x 1≠x 2，类似于①， 可得符合条件的点C 为(x 1＋x 22，y 1)．③当x 1≠x 2，且y 1≠y 2时，不妨设x 1<x 2.(ⅰ)若y 1<y 2，则由(1)中的证明知，要使条件①成立，当且仅当(x －x 1)(x 2－x )≥0与(y －y 1)(y 2－y )≥0同时成立，故x 1≤x ≤x 2且y 1≤y ≤y 2.从而由条件②，得x ＋y ＝12(x 1＋x 2＋y 1＋y 2)．此时所求点C 的全体为M ＝⎩⎨⎧(x ，y )|x ＋y ＝12(x 1＋x 2＋y 1＋y 2)，x 1≤x ≤x 2}且y 1≤y ≤y 2.(ⅱ)若y 1>y 2，类似地由条件①可得x 1≤x ≤x 2且y 2≤y ≤y 1，从而由条件②得x －y ＝12(x 1＋x 2－y 1－y 2)．此时所求点的全体为N ＝⎩⎨⎧(x ，y )|x －y ＝12(x 1＋x 2－y 1－y 2)，x 1≤x ≤x 2}且y 2≤y ≤y 1.例3 设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)设a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围．【解析】 (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3. ①x ≤－1时，不等式化为1－x －1－x ≥3， 即－2x ≥3.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1f (x )≥3，的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32. ②当－1＜x ≤1时，不等式化为 1－x ＋x ＋1≥3，不可能成立．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ≤1，f (x )≥3的解集为∅.③当x ＞1时，不等式化为 x －1＋x ＋1≥3，即2x ≥3.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，f (x )≥3的解集为⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 综上得，f (x )≥3的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. (2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件． 若a ＜1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1， x ≤a ，1－a ， a ＜x ＜1，2x －(a ＋1)， x ≥1.即，f (x )的最小值为1－a . 若a ＞1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1， x ≤1，a －1， 1＜x ＜a ，2x －(a ＋1)， x ≥a .即，f (x )的最小值为a －1.所以∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，从而a 的取值范围为(－∞，－1)∪[3，＋∞)．【点评】 如果一个不等式中含有两个(或两个以上)的绝对值符号，应考虑用零点分段讨论法去掉绝对值符号，这时实质是将原不等式转化为n 个不等式组，把每个不等式组的解求出后，取它们的并集得到原不等式的解集．3．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在①的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解析：(1)由f (x )≤3得|x －a |≤3， 解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)法一：当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ＜－3；5，－3≤x ≤2；2x ＋1，x ＞2.所以当x ＜－3时，g (x )＞5； 当－3≤x ≤2时，g (x )＝5； 当x ＞2时，g (x )＞5. 综上可得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．法二：当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)．由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．一、填空题 1．不等式⎪⎪⎪⎪x －2x ＞x －2x 的解集是________．解析：由绝对值的意义知，原不等式同解于x －2x ＜0，即x (x －2)＜0，∴0＜x ＜2. 答案：(0,2)2．设集合A ＝{x ||x －a |＜1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |＞2，x ∈R }．若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足________．解析：由|x －a |＜1得a －1＜x ＜a ＋1. 由|x －b |＞2得x ＜b －2或x ＞b ＋2.∵A ⊆B ，∴a －1≥b ＋2或a ＋1≤b －2， 即a －b ≥3或a －b ≤－3，∴|a －b |≥3. 答案：|a －b |≥33．已知不等式|x －m |＋|x |≥1的解集为R ，则实数m 的取值范围是________． 解析：由绝对值不等式的几何意义知|x －m |＋|x |≥|(x －m )－x |＝|m |，故|m |≥1，∴m ≥1或m ≤－1.答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)4．若关于x 的不等式|x ＋1|＋k ＜x 有解，则实数k 的取值范围是________． 解析：∵|x ＋1|＋k ＜x ， ∴k ＜x －|x ＋1|.若不等式有解则需k ＜(x －|x ＋1|)max . 设f (x )＝x －|x ＋1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≥－1，2x ＋1，x ＜－1.由解析式可以看出f (x )max ＝－1，∴k ＜－1. 答案：(－∞，－1)5．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋a |≤8的解集不是空集，则a 的最小值是________． 解析：由|x －1|＋|x ＋a |≥|1－x ＋x ＋a |＝|a ＋1|知|a ＋1|≤8，故－9≤a ≤7，因此a 的最小值是－9.答案：－96．若不等式|x －a |＋|x －2|≥1对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围为________． 解析：由|x －a |＋|x －2|≥|(x －a )－(x －2)|＝|a －2|. ∴|a －2|≥1解之得a ≤1或a ≥3. 答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)7．不等式||x ＋3|－|x －3||＞3的解集为________．解析：由绝对值不等式的含义得到：x 到－3和3的距离之差的绝对值大于3， 结合数轴不难得出x ＞32或x ＜－32，故x ∈{x |x ＞32或x ＜－32}．答案：{x |x ＞32或x ＜－32}8．(2011年江西)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________． 解析：法一：|x －1|≤1⇒0≤x ≤2，|y －2|≤1⇒1≤y ≤3，可得可行域如图(阴影部分)．∵|x －2y ＋1|＝5，|x －2y ＋1|5.其中z ＝|x －2y ＋1|5为点(x ，y )到直线x －2y ＋1＝0的距离．当(x ，y )为(0,3)时z 取得最大值|0－2×3＋1|5＝55. 故|x －2y ＋1|max ＝5.法二：|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －2)－2|≤|x －1|＋2|y －2|＋2≤1＋2＋2＝5，当且仅当x ＝0，y ＝3时，|x －2y ＋1|取最大值为5.答案：59．给出下列四个命题：①若log a (a 2＋4)≤log a (4a )＜0，则a 的取值范围是(1，＋∞)； ②函数f (x )＝log 2(x 2－5x ＋1)的单调递减区间为(－∞，52)；③不等式|x |＋|log 2 x |＞|x ＋log 2 x |的解集为(0,1)； ④若|a ＋b |＜－c (a ，b ，c ∈R )，则|a |＜|b |－c . 以上四个命题中，正确命题的序号为________． 解析：对于①，由于a 2＋4≥4a且log a (a 2＋4)≤log a (4a )，∴0＜a ＜1，∴①错； 对于②，由x 2－5x ＋1＞0， 得x ＞5＋212或x ＜5－212，∴f (x )＝log 2(x 2－5x ＋1)的递减区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，5－212，故②错； 对于③，必有x ＞0且log 2 x ＜0， ∴0＜x ＜1故③正确．对于④，∵|a |－|b |≤|a ＋b |＜－c ， ∴|a |＜|b |－c ，故④正确． 答案：③④ 三、解答题10．(2011年江苏)解不等式x ＋|2x －1|<3.解析：法一：原不等式可化为|2x －1|<3－x .∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1<3－x 2x －1>x －3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x <43x >－2.∴原不等式的解集是{x |－2<x <43} 法二：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，x ＋(2x －1)<3或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，x －(2x －1)<3. 解得12≤x <43或－2<x <12. 所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <43. 11．(2011年福建)设不等式|2x －1|<1的解集为M .(1)求集合M ：(2)若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．解析：(1)由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x <1，所以M ＝{x |0<x <1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0<a <1,0<b <1.所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0，故ab ＋1>a ＋b .12．已知二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的定义域为[－1,1]，且|f (x )|的最大值为M .(1)试证明|1＋b |≤M ；(2)试证明M ≥12； (3)当M ＝12时，试求出f (x )的解析式． 解析：证明：(1)∵M ≥|f (－1)|＝|1－a ＋b |，M ≥|f (1)|＝|1＋a ＋b |，∴2M ≥|1－a ＋b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )＋(1＋a ＋b )|＝2|1＋b |，∴|1＋b | ≤M .(2)证明：依题意，M ≥|f (－1)|，M ≥|f (0)|，M ≥|f (1)|，又|f (－1)|＝|1－a ＋b |，|f (1)|＝|1＋a ＋b |，|f (0)|＝|b |，∴4M ≥|f (－1)|＋2|f (0)|＋|f (1)|＝|1－a ＋b |＋2|b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )－2b ＋(1＋a ＋b )|＝2，∴M ≥12. (3)当M ＝12时，|f (0)|＝|b |≤12，－12≤b ≤12① 同理－12≤1＋a ＋b ≤12② －12≤1－a ＋b ≤12③ ②＋③得－32≤b ≤－12④ 由①④得b ＝－12，当b ＝－12时，分别代入②③得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤a ≤00≤a ≤1⇒a ＝0，因此f (x )＝x 2－12.。
高考数学(理科)一轮复习：选修4 选修4—5 不等式选讲
因为 ������ + ������ =|x|+
1
1 ������
≥2,要使对于一切非零实数 x, ������ + ������ >|a-2|+1 恒
1
成立, 则|a-2|+1<2,即 1<a<3.
关闭
C
解析 答案
选修4系列
知识梳理 考点自测
选修4—5
必备知识
不等式选讲
关键能力
-9-
1
2
3
4
关闭
(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)√
答案
选修4系列
知识梳理 考点自测
选修4—5
必备知识
不等式选讲
关键能力
-7-
1
2
3
4
5
2.(2017江苏南通模拟)若|a-c|<|b|,则下列不等式正确的是( A.a<b+c B.a>c-b C.|a|>|b|-|c| D.|a|<|b|+|c|
)
关闭
|a|-|c|≤|a-c|<|b|,即|a|<|b|+|c|,故选D.
关闭
D
解析 答案
选修4系列
知识梳理 考点自测
选修4—5
必备知识
不等式选讲
关键能力
-8-
1
1 + ������
2
3
4
5
>|a-2|+1 对于一切非零实数x均成立,则实数a 3.若不等式 ������ 的取值范围是( ) A.2<a<3 B.1<a<2 C.1<a<3 D.1<a<4
《选修4-5--不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案)
选修4－5不等式选讲最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a ＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．ab≤0且|a ab≥0且|a定理2：如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a1、a2、…、a n为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立．4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)若a i，b i(i∈N*)为实数，则()()≥(i b i)2，当且仅当b i＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．1(1)(2)(3)|(4)(5)[2AC[[答案] A3．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是() A．|a＋b|＋|a－b|>2 B．|a＋b|＋|a－b|<2C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小[解析]|a＋b|＋|a－b|≤|2a|<2.[答案] B4．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为()A．1 B．C. D．2[∴([5[为－2≤a[解|(1)(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间．(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集．(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号．(1)(2015·山东卷)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是()A．(－∞，4) B．(－∞，1)C．(1,4) D．(1,5)(2)(2014·湖南卷)若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为，则a＝________.[解题指导]切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进行分类讨论．[解析](1)当x<1时，不等式可化为－(x－1)＋(x－5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等当当(2)当当当[对点训练已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．[解](1)当a＝－3时，f(x)＝当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；当2<x<3时，f(x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4；所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．(2)f(x)≤|x－4|?|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.当?4右|x 1.是(2)[[解析](1)∵|x－1|＋|x＋2|≥|(x－1)－(x－2)|＝3，∴a2＋a＋2≤3，解得≤a≤.即实数a的取值范围是.(2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P，A，B，则原不等式等价于P A－PB>k恒成立．∵AB＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.故当k<－3时，原不等式恒成立．解法二：令y＝|x＋1|－|x－2|，则y＝要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．故k<－3满足题意．[答案](1)(2)(－∞，－3)解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f(x)<a恒成立?a>f(x)max，f(x)>a恒成立?a<f(x)min.(1)(2)[解－a?a－3≤x≤3.故(2)f不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题目标，既不仅要搞清是什么，还要搞清干什么，只有兼顾条件与结论，才能找到正确的解题途径．应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab>cd，则＋>＋；(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．[解题指导]切入点：不等式的性质；关键点：不等式的恒等变形．[证明](1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(＋)2>(＋)2.因此＋>＋.(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.由a＋(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.[证明](1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.———————方法规律总结————————[12条件．3．[121[解析]|2x－1|<3?－3<2x－1<3?－1<x<2.[答案](－1,2)2．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝__________.[解析]∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.[答案] 23．不等式|2x＋1|＋|x－1|<2的解集为________．[解析]当x≤－时，原不等式等价为－(2x＋1)－(x－1)<2，即－3x<2，x>－，此时－<x≤－.当－<x<1时，原不等式等价为(2x＋1)－(x－1)<2，即x<0，此时－<x<0.当x≥1时，原不等式等价为(2x ＋1)＋(x－1)<2，即3x<2，x<，此时不等式无解，综上，原不等式的解为－<x<0，即原不等式的解集为.[答案]4[[5．[故[6．[3a－1＋2a＝[7．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是__________．[解析]∵f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝∴f(x)≥3.要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，∴|a|≥3，即a≤－3或a≥3.[答案](－∞，－3]∪[3，＋∞)8．已知关于x的不等式|x－a|＋1－x>0的解集为R，则实数a的取值范围是__________．[解析]若x－1<0，则a∈R；若x－1≥0，则(x－a)2>(x－1)2对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，即(a－1)[(a＋1)－2x]>0对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，所以(舍去)或对任意的x∈[1，＋∞]恒成立，解得a<1.综上，a<1.[答案](－∞，1)9．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为__________．[＝≥2[10．[即∴[11[解析]∵|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|＝(|1－x|＋|x|)＋(|1－y|＋|1＋y|)≥|(1－x)＋x|＋|(1－y)＋(1＋y)|＝1＋2＝3，当且仅当(1－x)·x≥0，(1－y)·(1＋y)≥0，即0≤x≤1，－1≤y≤1时等号成立，∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.[答案] 312．若不等式|x＋1|－|x－4|≥a＋，对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．[解析]只要函数f(x)＝|x＋1|－|x－4|的最小值不小于a＋即可．由于||x＋1|－|x－4||≤|(x＋1)－(x －4)|＝5，所以－5≤|x＋1|－|x－4|≤5，故只要－5≥a＋即可．当a>0时，将不等式－5≥a＋整理，得a2＋5a＋4≤0，无解；当a<0时，将不等式－5≥a＋整理，得a2＋5a＋4≥0，则有a≤－4或－1≤a<0.综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0)．[13(1)(2)[解若若若(2)f(x)作出函数f(x)的图象，如图所示．由图象可知，f(x)≥1，∴2a>1，a>，即a的取值范围为.14．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．[解](1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得<x<1；当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.(2)a＋1,0)，C(a，a15(1)(2)[解f(x).(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件；若a<1，f(x)＝f(x)的最小值为1－a；若a>1，f(x)＝f(x)的最小值为a－1.∴对于?x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，∴a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．16．(2015·福建卷)已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.(1)(2)[解又(2)(42＝即a当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立．故a2＋b2＋c2的最小值为.。
人教版全国高考选修4-5 不等式选讲培优辅导讲义
选修4－5 不等式选讲第一节绝对值不等式考点点击1.理解绝对值不等式的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|。
2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c。
理清基础1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当__________时，等号成立。
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－b|≤|a－c|＋|c－b|，当且仅当____________时，等号成立。
2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c。
总结归纳3种方法——求解绝对值不等式的方法形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有如下解法：(1)零点分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集。
(2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的点的集合。
(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解。
考点一含绝对值不等式的解法【例1】解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5。
►归纳提升解绝对值不等式的注意点解含绝对值的不等式时，若两个绝对值中x的系数为1(或可化为1)，可选用几何法或图象法求解较为简洁。
若x的系数不全为1，则选用零点分段讨论法求解，同时注意端点值的取舍。
强化训练1解不等式|x＋3|－|2x－1|＜x2＋1。
考点二含参数的绝对值不等式问题【例2】已知不等式|x＋1|－|x－3|＞a。
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方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思 想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函 数与方程的思想．
[基础自测自评] 1．(教材习题改编)函数 y＝|x＋1|＋|x＋3|的最小值为________． 解析 由|x＋1|＋|x＋3|≥|(x＋1)－(x＋3)|＝2， ∴ymin＝2. 答案 2
a 的取值
解析
(1)当 a＝－2 时，
不等式 f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0. 设函数 y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3， 1 －5x，x＜2， 1 则 y＝ －x－2，2≤x≤1， 3x－6，x＞1.
其图象如图所示．由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y ＜0. 所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．
∴|x|>5或|x|<－3(舍去)，
∴x<－5或x>5. 答案 (－∞，－5)∪(5，＋∞)
4．若存在实数x满足不等式|x－4|＋|x－3|<a，则实数a 的取值范围是________． 解析 由绝对值不等式的几何性质知， |x－4|＋|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|＝1，
2．(2013· 江西高考)在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1 的解集为 ________． 解析 依题意得－1≤|x－2|－1≤1， 即|x－2|≤2，解得 0≤x≤4. 答案 [0,4]
3．|x|2－2|x|－15>0的解集是________． 解析 ∵|x|2－2|x|－15>0，
第一节
绝对值不等式
[主干知识梳理]
一、绝对值三角不等式 1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b||≤ a|＋|b| 当且仅当 时，等号成立． ab≥0 2．定理2：如果a，b，c是实数，那么 |a－c|≤ ，当且仅当 |a－b|＋|b－c| 等号成立． (a－b)(b－c)≥0 ，
(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|. 当 x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a| ⇔4－x－(2－x)≥|x＋a| ⇔－2－a≤x≤2－a. 由条件得－2－a≤1 且 2－a≥2，即－3≤a≤0. 故满足条件的 a 的取值范围为[－3,0]．
[互动探究] 在本例条件下， 若 f(x)≥3 对一切实数 x 恒成立， 求 a 的取值范围． 解析 ∵f(x)＝|x＋a|＋|x－2|， ∴f(x)≥|(x＋a)－(x－2)|＝|a＋2|. 由条件知|a＋2|≥3， 即 a＋2≥3 或 a＋2≤－3， ∴a≥1 或 a≤－5. 即 a 的取值范围为(－∞，－5]∪[1，＋∞)．
[规律方法]பைடு நூலகம்
形如|x－a|±|x－b|≥c不等式的常用解法：
(1)零点分段讨论法，其步骤为：
①求零点；②划分区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对 值的不等式；④取每个结果的并集，特别注意在分段时不 要漏掉区间的端点值． (2)用|x－a|±|x－b|的几何意义求解． (3) 数形结合，作出 y ＝ | x － a | ± | x － b | 的图象，直观求 解．
时，
二、绝对值不等式的解法 1．不等式|x|<a与|x|>a的解集：
不等式
|x|<a |x|>a
a>0
{x|－a<x<a} {x|x>a，或x<－a}
a＝0
∅ {x|x≠0}
a<0
∅ R
2.|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法： (1)|ax＋b|≤c－ ⇔c≤ax＋b≤c (2)|ax＋b|≥c ⇔ ax ＋b≥c或ax＋b≤－c (3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0) 型不等式的解法： 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数 形结合的思想； ；
[跟踪训练] 1．(2013· 新课标全国Ⅰ高考)已知函数 f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x) ＝x＋3. (1)当 a＝－2 时，求不等式 f(x)＜g(x)的解集； (2)设 a＞－1，且当 范围．
a 1 － ， x∈ 2 2时，f(x)≤g(x)，求
所以函数y＝|x－4|＋|x－3|的最小值为1，
又因为原不等式有实数解， 所以a的取值范围是(1，＋∞)． 答案 (1，＋∞)
5．(2012· 湖南高考)不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0 的解集为________． 解析 原不等式即|2x＋1|＞2|x－1|， 1 两端平方后解得 12x＞3，即 x＞ . 4 答案
1 xx> 4
[关键要点点拨]
1 ．不等式 | x － a | ＋ | x － b |≥ c 的解就是数轴上到 A ( a ) ， B(b)两点的距离之和不小于 c的点所对应的实数，只要在 数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等 式的解． 2．不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成 立的条件是 ab ≥ 0 ，左侧“＝”成立的条件是 ab ≤ 0 且 | a |≥| b | ；不等式 | a | － | b |≤| a － b |≤| a | ＋ | b | ，右侧 “＝”成立的条件是 ab ≤ 0 ，左侧“＝”成立的条件是 ab≥0且|a|≥|b|.
绝对值不等式的解法
[典题导入] (2012· 新课标全国卷)已知函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)当 a＝－3 时，求不等式 f(x)≥3 的解集； (2)若 f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求 a 的取值范围．
[听课记录]
(1)当 a＝－3 时，
－2x＋5，x≤2， f(x)＝1，2＜x＜3， 2x－5，x≥3. 当 x≤2 时，由 f(x)≥3 得－2x＋5≥3，解得 x≤1； 当 2＜x＜3 时，f(x)≥3 无解； 当 x≥3 时，由 f(x)≥3 得 2x－5≥3，解得 x≥4； 所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1，或 x≥4}．