一元二次不等式的解法(第二课时)
【高中数学】二次函数与一元二次方程+不等式(第2课时)(教学设计+人教A版2019必修第一册
教学单元第二章一元二次函数、方程和不等式教学内容 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第2课时）教学目标学习目标1.会解可化为一元二次不等式的简单分式不等式；2.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法(重、难点)；3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决(难点)。
核心素养1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系，培养数学抽象的核心素养。
2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集，提升数学运算的核心素养。
3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系强化直观想象的核心素养。
教学重难点重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集;难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用．学情分析学生在小学和初中阶段已经学习了一元一次不等式的解法，在知识上已经具备了一定的知识经验和基础，在能力上初步具备了一定的解决问题的能力，同时这部分知识之前学过的二次函数也有密切的联系，因此学生对一元二次不等式的解法有一定的兴趣和积极性，但是学生能力有限，真正掌握还有一定的难度。
教学时，可以利用具体的一元二次不等式，让学生观察二次函数的图象，获得对解一元二次不等式方法的认识，培养学生直观想象的核心素养。
教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图情境导入汽车在行驶的过程中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故原因的一个重要因素.在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行， 突然发现情况不对，同时紧急刹车，但是两车还是相撞了.现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2.对于甲车，有0.1x ＋0.01x 2>12；对于乙车，有0.05x ＋0.005x 2>10.引导学生解决生活中的有关一元二次不等式的问题，并能用数学方法解决，培养学生数学建模的核心素养。
高二数学一元二次不等式的解法2
一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的解实
际上就是二次函数 y ax2 bx c(a 0)
与x轴交点的横坐标。
下面我们来研究如何应用二次函数的图象 来解一元二次不等式。
首先，我们可以把任何一个一元二次 不等式转化为下列四种形式中的一种：
(1)ax2 bx c 0(a 0) (2)ax2 bx c 0(a 0) (3)ax2 bx c 0(a 0) (4)ax2 bx c 0(a 0)
y
R
Байду номын сангаас
x
x
b 2a
y
△＜0
R
R
y
y=f(x)的图象
x O x1 x2
x O x＝－b／2a
O
x
由此我们可以得出解一元二次不等式的一般 步骤：
（1）把所给不等式化为四种标准形式之一； （2）判断所对应二次方程的根的情况；若
有根，则求出其根。 （3）画出所对应的二次函数的图象； （4）根据图象写出不等式的解集。
3.3 一元二次不等式的解法 课件
问题：
（1）如何解一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) （2）二次函数y ax2 bx c(a 0) 的图象是
什么曲线？ （3）一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的
解与二次函数y ax2 bx c(a 0) 的图象 有什么联系？
下面我们一起来完成下表：
△＝b2－4ac f(x)＞0的解集 f(x)＜0的解集 f(x) ≥0的解集 f(x) ≤0的解集
△＞0
△＝0
x x x2或x x1
3.2 一元二次不等式及其解法 第2课时 课件(人教A版必修5)
人
教
A
第三章
不等式
迁移变式1
若x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，则a的取
值范围是________．
人
教
A
第三章
不等式
解：原不等式可化为(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0， 当 a＋2＝0，即 a＝－2 时， 4x－3≥0 不恒成立， 当 a＋2≠0，即 a≠－2 时，
a＋2>0 Δ＝16－4a＋2a－1≤0
第三章
不等式
第2课时
一元二次不等式解法的应用
人
教
A
第三章
不等式
人
教
A
第三章
不等式
人
教
A
第三章
不等式
1．若ax2＋bx＋c≥0的解集是空集，则二次函数f(x)＝ax2＋bx
＋c的图象开口向 下 ，且与x轴 没有 交点．
2．若ax2 ＋bx＋c>0的解集是实数集R，则二次函数f(x)＝ax2 ＋bx＋c的图象开口向 上 ，且二次三项式的判别式Δ < 0.
人
教
A
人
教
A
第三章
不等式
1．下列不等式中，解集是R的是 A．x2＋2x＋1>0 1x C．(3) ＋1>0 B. x2>0 1 1 D. x－2<x
(
)
人
教
A
第三章
不等式
解析：∵x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，∴A不正确； ∵ x2＝|x|≥0，∴B不正确； 1x 1x ∵(3) >0，∴(3) ＋1>1>0(x∈R)，故C正确 ； 1 1 x－2<x⇒x>0或x<0，∴D不正确，故选C.
22.2一元二次方程的解法(因式分解法)第二课时(精选习题)
(4)(2a 3) (a 2)(3a 4)
2
解：去括号，整理，得 a 2a 1 0
2
(a 1) 0
2
a1 a2 1.
3、解方程：x3-2x2-3x=0
4、已知m是关于x的方程 mx2-2x+m=0的一个根，试 确定m的值。
5、已知（2x+y）2+3（2x+y）=4， 求代数式2x+y的值。
独立 作业
（） 1 . 4x 1 (5x 7) 0;
（2） .3x x 1 2 2x;
2
解下列 方程
（3） .(2x 3) 4(2x 3);
（4） .2( x 3) x 9;
2 2
（ 5） .5( x x) 3( x x);
2 2
(2)(4 x 3) ( x 3)
2
2
解：移项，得 (4 x 3) ( x 3) 0,
2 2
(4 x 3 x 3)(4 x 3 x 3) 0 5 x(3x 6) 0, 5x 0或3x 6 0,
x1 0, x2 2.
x2 2ax a 2 0
( x a) 0 x1 x2 a 或 x1 x2 a
(2)4 x 12 x 9 0
2
解：原方程可化为 （2x） 2 2 x 3 3 0
2 2
(2 x 3) 0
2
3 x1 x2 2
x 7 x 12 0
2
解： ( x 3)( x 4) 0, x 3 0或x 4 0,
x1 3, x2 4.
一元二次不等式的解法第二课时
对于一元二次不等式，判别式的 正负也决定了不等式的解集情况。
区间表示法
解一元二次不等式时，通常使 用区间表示法来表示解集。
区间表示法使用圆括号或方括 号来表示开区间或闭区间，例 如 $(a, b)$ 表示 $a < x < b$ 的所有实数 $x$ 的集合。
当不等式包含等号时，使用方 括号表示闭区间；当不等式不 包含等号时，使用圆括号表示 开区间。
面积问题
通过一元二次不等式求解 图形面积的最大值或最小 值，例如矩形、三角形、 梯形等。
长度问题
利用一元二次不等式解决 与长度相关的几何问题， 如线段长度、周长等。
角度问题
在几何图形中，通过一元 二次不等式求解角度的范 围或最值，如锐角、直角、 钝角等。
经济问题中的应用举例
成本问题
通过一元二次不等式分析生产成 本与销售价格之间的关系，确定
判断不等式的解集
根据 $a$ 的符号和 $k$ 的值，判断不等式的解集。若 $a > 0$，则解集为 $x > h$ 或 $x < h$；若 $a < 0$，则解 集为 $h < x < h + sqrt{-frac{k}{a}}$ 或 $h - sqrt{frac{k}{a}} < x < h$。
当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
判别式与根的关系
判别式 $Delta = b^2 - 4ac$， 用于判断一元二次方程 $ax^2 +
bx + c = 0$ 的根的情况。
当 $Delta > 0$ 时，方程有两个 不相等的实根；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实根；当 $Delta < 0$ 时，方程无实根。
二次函数与一元二次方程、不等式(第二课时)示范教学方案
《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第二课时）》教学设计◆教学目标1．通过从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，体会一元二次不等式的现实意义，提升数学建模的核心素养．2．能利用一元二次不等式解决一些实际问题，提升数学运算素养．◆教学重难点◆教学重点：实际问题中的一元二次不等式解法．教学难点：从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出一元二次不等式．◆课前准备PPT课件◆教学过程一、知识回顾★资源名称：【知识点解析】一元二次不等式的解法★使用说明：本资源为一元二次不等式的解法讲解视频，通过具体例子，引导学生理解并归纳出一元二次不等式求解的一般步骤．注：此图片为微课截图，如需使用资源，请于资源库调用．问题1：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式解集的对应关系是怎样的？请你完成下面的表格。
师生活动：学生默写，完成之后教师展示，学生互相检查纠错．预设的答案：Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1，或x＞x2}{x|x≠－b2a}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅（1）函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集即二次函数图象在x 轴上方部分的自变量的取值范围．（2）方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．设计意图：复习旧知识，并通过默写的形式让师生都了解是否掌握了，为本节课的学习扫清知识障碍。
问题2：求解一元二次不等式的步骤是怎样的？师生活动：学生写出步骤，教师用如下的程序框图呈现．预设的答案：设计意图：本节课重点依然是一元二次不等式的解法，学生需要借助三个“二次”的联系，获得一元二次不等式的一般性解法，从整体上把握所学内容，让学生明确不等式解法，有助于学生良好认知结构的建立和完善，并为后面知识的学习提供帮助．二、新知探究 利用一元二次不等式解决实际问题例1 一家车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （单位：辆）与创造的价值y （单位：元）之间有如下的关系：x x y 2200202+-=．若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？问题3：这个实际问题中蕴含的不等关系是什么？求解不等式的步骤是什么？对于实际问题还需要注意什么？师生活动：学生分析题目，得出一元二次不等式，并求解。
2.3 一元二次不等式的应用(第二课时)高一数学 精讲课件(人教A版2019必修第一册)原创精品
课堂小结
二、本节课提升的核心素养
数学抽象
逻辑推理
数学运算
数学建模
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
函数结合
方程思想
转化与化归
分类讨论
01 基础作业：
.
02 能力作业：
.
03 拓展延伸：（选做）
(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解.
练一练
政府收购某种农产品的原价是100元/担,其中
征税标准为每100元征10元(即税率为10%),计划收
购a万担;为了减轻农民的负担,现决定将税率降低x
个百分点,预计收购量可增加2x个百分点.要使此项
税收在税率调节后不低于原计划的83.2%,试确定x
的取值范围.
高中数学/人教A版/必修一
一元二次不等式解法回顾：
是因式分解形式？
否
是
直接写解集
1 简单分式不等式的解法
问题1.解不等式：(1)
转
化
与
化
归
3−2
<0
2+3
3−2
(2)
≥2
+3
解：(1)原不等式可化为(3x-2)(2x+3)<0.
3
2
故原不等式的解集为{x｜- <x< };
−8
(2)移项通分得： ≥0,
2−1
当a>1时,原不等式的解集为{x｜x<1,或x>
};
−1
2−1
当0<a<1时,原不等式的解集为{x｜
<x<1};
−1
2−1
当a<0时,原不等式的解集为{x｜1<x<
一元二次不等式的解法 课件
1．解不等式的过程实际上就是不断转化的过程， 是同解不等式的逐步代换，基本思路是：代数化、分式 整式化、有理化、低次化、低维化，最后转化到可解的 常见一元一次不等式、一元二次不等式上来．
2．有关不等式恒成立的问题，往往是求其中参数 的取值范围；常用解法有：①分离参变量，转化为函数 的最值问题；②构造函数法，利用基本函数求解．
50
(5分)
(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)． 依题意得：a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%， 化简，得x2＋40x－84≤0， ∴－42≤x≤2. 又∵0<x<10，∴0<x≤2. ∴x的取值范围是0<x≤2.
(9分) (10分)
(12分)
[一点通] 解不等式应用题，一般可按以下四步进行 (1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不 等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式； (4)回代实际问题．
[一点通] 不等式对任意实数 x 恒成立，就是不等式的 解集为 R，对于一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0，它的解集 为 R 的条件为aΔ＞＝0b，2－4ac＜0；
一元二次不等式 ax2＋bx＋c≥0，它的解集为 R 的条件为aΔ＞＝0b，2－4ac≤0；
一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集为∅的条 件为Δa＜≤00，.
[精解详析] 若a＝0，则原不等式为－x－1<0，即 x>－1，不合题意．故a≠0. 令f(x)＝ax2＋(a－1)x＋a－1， ∵原不等式对任意x∈R都成立， ∴二次函数f(x)的图象在x轴的下方． ∴a<0且Δ＝(a－1)2－4a(a－1)<0.
即aa<－0，13a＋1>0. ∴a<－13. 故 a 的取值范围为(－∞，－13)．
一元二次方程的解法第二课时教案
一元二次方程的解法（2）学习目标1、经历探究将一元二次方程的一般（x＋m）2= n（n≥0）形式的过程，进一步理解配方法的意义2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，体会转化的思想方法学习重、难点重点：使学生掌握配方法，解一元二次方程难点：把一元二次方程转化为的（x＋m）2= n（n≥0）形式学习过程：一、情境创设我们已经学过了用直接开平方法解形如（x＋m）2= n（n≥0）的一元二次方程，那么如何解方程x2＋6x＋4 = 0呢?二、探索活动我们能否将方程x2＋6x＋4 = 0转化为（x＋m）2= n的形式呢？先将常数项移到方程的右边，得x2＋6x= －4即x2＋2·x·3= －4在方程的两边加上一次项系数6的一半的平方，即32后，得x2＋2·x·3 ＋32 = －4＋32（x＋3）2 = 5解这个方程，得x＋3 = ±5所以x1 =―3＋5x2 = ―5（注：可以多举几例，综合得出“两边加上一次项系数一半的平方”的结论）由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为（x＋m）2= n的形式（其中m、n都是常数），如果n≥0，再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
三、例题教学例 1 将下列各进行配方：⑴2x ＋8x ＋_____＝（x ＋_____）2 ⑵2x －5x ＋_____＝（x －_____）2 ⑶2x －23x ＋_____＝（x －____）2 ⑷2x －62x ＋_____＝（x －____）2 分析：本题应用“方程两同时加上一次项系数一半的平方”来配方。
例 2 解下列方程：（1） x 2－4x ＋3 = 0 （2）x 2＋3x －1 = 0小结：用配方法解一元二次方程的一般步骤：1、把常数项移到方程右边；2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；3、利用直接开平方法解之。
思考：为什么在配方过程中，方程的两边总是加上一次项系数一半的平方？三、课堂练习P 87 练习 1、2、3四、课堂小结引导学生总结：1、配方法解一元二次方程的作用是什么？配方时要注意什么？2、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？五、作业P 87 练习1、2 P 93 习题 2、3六、教后感。
3.2一元二次不等式及其解法第2课时精品教案
3.2一元二次不等式及其解法【课题】3.2.2 一元二次不等式及其解法【教学目标】1、知识与技能目标：（1）掌握一元二次不等式的解法；（2）知道一元二次不等式可转化为一元一次不等式组；（3）会利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，并理解它们三者之间的内在联系；2 、过程与方法目标：通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式，向学生渗透数形结合、等价转换、函数与方程等基本数学思想；3 、情感、态度与价值观目标：通过研究函数、方程与不等式三者的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证唯物观。
．【教学重点】重点是一元二次不等式的解法．【教学难点】弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系．【课前准备】课件．【教学过程设计】1.不等式32-+x x x ）（＜0的解集为A.{x |x ＜－2或0＜x ＜3}B.{x |－2＜x ＜0或x ＞3}C.{x |x ＜－2或x ＞0}D.{x |x ＜0或x ＞3}解析：在数轴上标出各根.-2 03答案：A2. 下列不等式中与0)2lg(≤-x 同解的是 （A ）0)2)(3(≥--x x（B ）023≥--xx （C ）032≥--x x（D ）0)2)(3(>--x x 解析：0)2lg(≤-x 的解是2<x ≤30)2)(3(≥--x x 的解是2≤x ≤3023≥--x x 的解是2<x ≤3 032≥--x x的解是2≤x <3 0)2)(3(>--x x 的解是2<x <3答案.B 3．解不等式3252---x x x ＜－1.解析：原不等式变为3252---x x x ＋1＜0，即322322--+-x x x x ＜0⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-⎪⎩⎪⎨⎧>--<+-⇔0320230320232222x x x x x x x x 或，－1＜x ＜1或2＜x ＜3.∴原不等式的解集是｛x ｜－1＜x ＜1或2＜x ＜3｝.答案：原不等式的解集是｛x ｜－1＜x ＜1或2＜x ＜3｝. 4.不等式x +12+x ＞2的解集是 A.（－1，0）∪（1，+∞）B.（－∞，－1）∪（0，1）C.（－1，0）∪（0，1）D.（－∞，－1）∪（1，+∞）解法一：x +12+x ＞2⇔x －2+12+x ＞0⇔11+-x x x ）（＞0⇔x （x －1）（x +1）＞0⇔－1＜x ＜0或x ＞1.解法二：验证，x =－2、21不满足不等式，排除B 、C 、D. 答案：A5.（2004年浙江，13）已知f （x ）=⎩⎨⎧<-≥.0101x x ，则不等式x +（x +2）·f （x +2）≤5的解集是____________. 解析：当x +2≥0，即x ≥－2时. x +（x +2）f （x +2）≤5 ⇔2x +2≤5⇔x ≤23. ∴－2≤x ≤23. 当x +2＜0即x ＜－2时，x +（x +2）f （x +2）≤5 ⇔x +（x +2）·（－1）≤5⇔－2≤5， ∴x ＜－2. 综上x ≤23. 答案：（－∞，23］ 6.不等式043)4(2≥---x x x 的解集是____________． 13. {－1} [4，∞+)[解析]：043)4(2≥---x x x 1043042-=⎩⎨⎧≥--≥-⇔x x x x 或 ∴41≥-=x x 或 答案：原不等式的解集是｛x ｜41≥-=x x 或｝.。
二次函数与一元二次方程、不等式(第二课时)
x1
b 2a
ax2＋bx＋c>0(a>0) 的解集
{x|x<x1，或x>x2}
x
x b 2a
没有实数根
R
复习回顾
知识清单： (1)一元二次不等式的概念. (2)二次函数的零点. (3)二次函数与一元二次方程、不等式的关系及应用. 方法归纳：数形结合、分类讨论.
问题一：不含参数的一元二次不等式的解法 问题二：含参数的一元二次不等式的解法 问题三：二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用
若对 xR 不等式 x2 mx 4x m 4恒成立，求实数 m 的取值范围
跟踪训练 若x2 4x m 4在 R 上恒成立，求 m 的取值范围
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式 （第二课时）
复习回顾
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx ＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋ 有两个不相等的实 有两个相等的实数根
bx＋c＝0(a>0)的根 数根x1，x2(x1<x2)
变式探究：（一）高次不等式
若上述不等式改为三次不等式如：（x2 7x 12）(x 1) 0 那么我们有什么办法求解呢？问题的本质是怎么样的呢？
变式探究：（二）分式不等式
2：解下列不等式 2x 5 0 x4
x 1 1 2x 3
跟踪训练
2x 1 0 3x 1
2 x 1 x3
变式探究：（三）恒成立
变式探究：（一）高次不等式
1．不等式(x2－7x＋12)(x2＋x＋1)>0的解集为 ( ) A．(－∞，－4)∪(－3，＋∞) B．(－∞，3)∪(4，＋∞) C．(－4，－3) D．(3,4)
二次函数与一元二次方程、不等式(第二课时)
三、点拨精讲
例1、一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线 生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y(单位：元）之间有如 下的关系；y=-20x2+2200x 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在 一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车， 根据题意，得
四、课堂小结：
1、一元二次不等式在实际应用中主要解决范围问题
2、用一元二次不等式解决实际问题的步骤：
审题 设未知量 列不等式
解不等式 作 作答
答
五、当堂训练
1、如图，在长为8m，宽为6m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植的 草坪。如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半， 那么花卉带的宽度应为多少米？
-20x2+2200x>60000
移项整理，得x2-1100x+3000<0 由十字相乘法，得(x-50)(x-60)<0 对于方程x2-1100x+3000=0,方程有两个实数根，x1=50,x2=60 画出二次函数y=x2-1100x+3000的图像，结合图像可得不等式的解集
为 x 50 x 60 ，即这家工厂生产51--59辆车能获得60000元以上收
益。
例2、某种汽车在水泥路面上的刹车距离s（单位：m)和汽车刹车前的车
速v（单位：km/h)之间的关系如下：s 1 v 1 v2 20 180
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹 车前的车速至少为多少（精确到1km/h)?
解：根据题意，得
1 20数为30-2(x-15)
实际销售额为：销售个数乘以销售价格等于x[30-2(x-15)]
一元二次不等式及其解法(2)剖析
典例讲评
例1 在一个限速40km/h的弯道上，甲、 乙两汽车相向而行，发现情况不对同时 刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲 车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距 离略超过10m，已知甲、乙两种车型的刹 车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如 下关系： ＝0.05x＋ S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙 0.005x2. 问超速行驶谁应负主要责任？ 乙超速行驶应负主要责任.
新知探究
1.假设一次上网时间为x小时(不足17 小时)，则在甲、乙两家公司上网所 收取的费用分别为： 甲：1.5x元；
x(35 x) 乙: 元 . 20
新知探究
2.如何根据上网时间选择到甲、乙两 家公司上网？
一次上网时间在5小时以内，去甲公司上 网；超过5小时，去乙公司上网； 恰好5 小时，去两家公司均可.
典例讲评
例2 一个车辆制造厂引进了一条 摩托车整车装配流水线，这条流水线 生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值 2 y(元)之间有如下的关系:y 2 x 220 x 若这家工厂希望在一个星期内，利用 这条流水线创收6000元以上，那么它 在一个星期内大约应该生产多少辆摩 托车? 约生产51～59辆.
巩固练习
1、解不等式：
x 3x 2 0 2 x 2x 3
2
课堂小结
Hale Waihona Puke 1.解决一元二次不等式的应用性问 题，关键在于构造一元二次不等式 模型.其基本思路是：将题中的某个 主变量设为x→用x表示其他相关变 量→根据题中的不等关系列出不等 式→解不等式得结论.
小结作业
2.解一元二次不等式的应用性问题 时，要注意结果必须有实际意义， 并对问题作出相应回答.
布置作业
P80习题3.2A组：5，6. B组: 4.
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学科：数学教学内容：一元二次不等式的解法（第二课时）【自学导引】1．如果αb ＜0，则α，b 满足.0000⎩⎨⎧><⎩⎨⎧<>b a b a 或 2．如果ba ＞0，则α，b 满足⎩⎨⎧<<⎩⎨⎧>>0000b a b a 或．【思考导学】1．一元二次不等式怎样转化为一元一次不等式组？答：先把不等式化为(x －α)(x －b )＜0，它的解集是不等式组⎩⎨⎧<-<-⎩⎨⎧<->-000b x a x b x a x 与的解集的并集．2．分式不等式怎样转化为整式不等式来解？答：分式不等式0)()(>g g x f (＜0)的解集是f (x )g (x )＞0(＜0)的解集．【典例剖析】 ［例1］解不等式31-+x x ＜0．解：(1)(方法一)原不等式等价于 (Ⅰ)⎩⎨⎧<->+0301x x 或(Ⅱ)⎩⎨⎧>-<+0301x x由(Ⅰ)得－1＜x ＜3，由(Ⅱ)得x ∈∅综上所述，原不等式的解集是{x |－1＜x ＜3}(方法二)原不等式等价于(x ＋1)·(x －3)＜0即x 2－2x －3＜0 解方程x 2－2x －3＝0，得x 1＝3，x 2＝－1∴原不等式的解集是{x |－1＜x ＜3}．点评：把分式不等式转化为不等式组或一元二次不等式来解是解题的两个基本思路［例2］解不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＞0． 解：原不等式整理得(x －a )(x －1)＞0∴原不等式可转化为下面两个不等式组来解： (Ⅰ)⎩⎨⎧>->-01x 0a x 或(Ⅱ)⎩⎨⎧<-<-01x 0a x即(Ⅰ)⎩⎨⎧>>1x a x 或(Ⅱ)⎩⎨⎧<<1x ax∴当a ＞1时，原不等式的解集为｛x ｜x ＞a 或x ＜1｝ 当a ＜1时，原不等式的解集为｛x ｜x ＞1或x ＜a ｝当a ＝1时，原不等式的解集为｛x ｜x ∈R 且x ≠1｝ 点评：当得出(Ⅰ) ⎩⎨⎧>>1x a x (Ⅱ) ⎩⎨⎧<<1x a x 后，由于a 与1的大小不确定，为了使问题能够顺利解下去，应对a 与1的大小关系进行讨论，讨论时，不要忽略“a ＝1”这种情况．［例3］解不等式xx 211--＞1．解法一：原不等式整理得1223--x x ＜0得原不等式的解集是｛x ｜3221<<x ｝．解法二：原不等式等价于下面两个不等式组 (Ⅰ)⎩⎨⎧->->-xx x 211021 (Ⅱ)⎩⎨⎧-<-<-xx x 211021不等式组(Ⅰ)的解集是∅ 不等式组(Ⅱ)的解集是｛x ｜21＜x ＜32}．∴原不等式的解集为｛x ｜21＜x ＜32｝．点评：关于分式不等式，一般是化为一边为零，另一边进行通分，转化为等价的一元二次不等式或不等式组来解，在明确分母的符号的情况下，也可考虑去分母，转化为整式不等式(组)．【随堂训练】1．与不等式(x －2)(x ＋1)＜0的解集相同的是( )A ．⎩⎨⎧<+>-0102x xB ．⎩⎨⎧>+<-0102x xC ．⎩⎨⎧>+<-⎩⎨⎧<+>-01020102x x x x 或 D ． ⎩⎨⎧>+<-⎩⎨⎧<+>-01020102x x x x 且 答案： C 2．不等式x1＞1的解集为( )A ．{x |x ＜1}B ．{0|0＜x ＜1}C ．{x |x ＜1且x ≠0}D ．{x |x ＞1}解析： 原不等式可化为xx -1＞0即(x －1)x ＜0，∴0＜x ＜1．答案： B 3．如果x 满足231--x x ＜0，那么化简29124x x +-－122+-x x 的结果是( )A ．2x －1B ．1－2xC ．3－4xD ．4x －3 解析： 由231--x x ＜0得32＜x ＜1∴原式＝=---22)1()23(x x |3x －2|－|x －1|＝3x －2－(1－x )＝4x －3． 答案： D 4．不等式：523322++++x x x x ＜1的解集为( )A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |x ＞2}C ．{x |x ＜2}D ．R解析： 原不等式可化为：5222++-x x x ＜0∵x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4＞0 ∴x －2＜0即x ＜2．答案： C 5．不等式xx 211--＞0的解集是______．解析： 原不等式可化为x x 211--＜0∴原不等式解集为｛x ｜21＜x ＜1}答案： ｛x ｜21＜x ＜1｝6．x1＜11-x 的解集是______．解析： 原不等式整理得)1(1-x x ＞0∴x (x －1)＞0，∴x ＞1或x ＜0． 答案： ｛x ｜x ＜0或x ＞1｝【强化训练】 1．与不等式xx +-11＞0有相同解集的是( )A ．x 2－1＜0B ．x 2－1＞0 C ．⎩⎨⎧<+<-0101x xD ．11+-x x ＞0答案： A 2．不等式23--x x ≤0的解集为A ，不等式(x 2＋1)(x －a )＞0的解集为B ．若A B ，则a的取值范围是( )A ．a ＜2B ．a ≤2C ．a ＞2D ．a ＜3 解析： 由23--x x ≤0得2＜x ≤3，∴A ＝{x |2＜x ≤3}由(x 2＋1)(x －a )＞0得x ＞a ，∴B ＝{x |x ＞a } 若A B ，则a ≤2． 答案： B 3．不等式xx --213≥1的解集是( )A ．{x |43≤x ＜2}B ．{x |43≤x ≤2}C ．{x |x ＞2或x ≤43}D ．{x |x ＞2} 解析：xx --213≥1可化为xx --234≥0，即234--x x ≤0，∴43≤x ＜2．答案： A4．设a ＜－1，则关于x 的不等式a (x －a )(x －a1)＜0的解集是( )A ．｛x ｜x ＜a 或x ＞a 1}B ．｛x ｜x ＞a ｝C ．{x ｜x ＞a 或x ＜a1}D ．{x ｜x ＜a 1}解析： 方程a (x －a )(x －a1)＝0的解为x 1＝a ，x 2＝a1 ∵a ＜－1，∴原不等式等价于(x －a )(x －a1)＞0，且a1＞a∴原不等式的解集为｛x ｜x ＞a1或x ＜a ｝．答案： A 5．不等式｜x x +1｜＞x x +1的解集是______． 解析： 由｜xx +1｜＞xx +1得xx +1＜0．∴原不等式解集为｛x ｜－1＜x ＜0｝． 答案： ｛x ｜－1＜x ＜0｝ 6．不等式2)1()12)(43(-+-x x x ＜0的解集是______．解析： 原不等式等价于⎩⎨⎧≠<+-10)12)(43(x x x ，∴⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-13421x x 答案： ｛x ｜－21＜x ＜34且x ≠1｝7．解不等式85-+x x ≤0．解：原不等式可化为(x ＋5)(x －8)≤0且x －8≠0∴－5≤x ＜8，解集为{x |－5≤x ＜8}． 8．解不等式122||2---x x x ＜0．解：原不等式可化为⎩⎨⎧<-->-⎩⎨⎧>--<-01202||01202||22x x x x x x 或 由⎩⎨⎧>--<-01202||2x x x 得解集为∅，由⎩⎨⎧<-->-01202||2x x x 得解集为{x |2＜x ＜4或－3＜x ＜－2}∴原不等式的解集为{x |－3＜x ＜－2或2＜x ＜4}． 9．解不等式x1a x --＞0．解：原不等式可化为(x －a )(x －1)＜0 ∴当a ＞1时，不等式解集为{x |1＜x ＜a } 当a ＜1时，不等式解集为{x |a ＜x ＜1}当a ＝1时，不等式变为(x －1)2＜0，此时不等式无解． 10．k 为何值时，关于x 的不等式3642222++++x x k kx x ＜1的解集是一切实数．解：∵分母4x 2＋6x ＋3的Δ＜0∴4x 2＋6x ＋3＞0对任意实数x 恒成立∴原不等式可化为2x 2＋2kx ＋k ＜4x 2＋6x ＋3 即2x 2＋(6－2k )x ＋3－k ＞0恒成立解得⎩⎨⎧<-⨯--=∆>0)3(42)26(022k k 即1＜k ＜3故当1＜k ＜3时，关于x 的不等式3642222++++x x k kx x ＜1的解集是R ．【学后反思】分式不等式的解法主要依据以下等价变形来求解： 设A 、B 表示关于x 的整式代数式则有： (1)BA ＞0⇔AB ＞0⇔(Ⅰ)⎩⎨⎧>>00B A 或(Ⅱ)⎩⎨⎧<<00B A(2)BA ＜0⇔AB ＜0⇔(Ⅰ) ⎩⎨⎧<>00B A 或(Ⅱ) ⎩⎨⎧><00B A(3)B A ≥0⇔⎩⎨⎧≠≥00B AB(4) BA ≤0⇔⎩⎨⎧≠≤00B AB。