高中数学_2.2_等差数列_第2课时课件_新人教A版必修5.ppt [自动保存的]

∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
• [点评] (1)对于项数有限的等差数列，用“对 称设项”的方法来设项能达到化多为少的目的 (特别是在已知其和时 )，三个数的“对称设项 ” 是x－d，x，x＋d；五个数是x－2d，x－d，x， x＋d，x＋2d；四个数则是x－3d，x－d，x＋d， x ＋ 3d 等等．本题解法 3 就是运用 “ 对称设项 法”，是三个解法中最简捷的． • (2)除用对称设项方法外，也可以用“设基本量 法 ” ，即设出 a1 、 d ，运用通项公式表示所需 的项，它也能起到化多为少的作用．
• 4 ．若 48 ， a ， b ， c ，－ 12 是等差数列中的 连续五项，则a、b、c的值依次为 __________． • 解析：由等差数列的性质知2b＝48＋(－12)， ∴b＝18，同理2a＝48＋b＝66 • ∴a ＝ 33 ，同理 2c ＝ b ＋ ( － 12) ＝ 6 ， ∴ c ＝ 3 ， 故a，b，c的值依次为33,18,3. • 答案：33,18,3
[解] 解法1：设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意， 得 b－a＝c－b＝d－c， a＋b＋c＋d＝26， bc＝40.
a＝2， b＝5， 解得 c＝8， d＝11，
a＝11， b＝8， 或 c＝5， d＝2，
∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
• [例2] 若数列{an}为等差数列，a15＝8，a60 ＝20，求a75的值． • [分析] 方法1：先求出a1和d，确定通项公 式an，从而得出a75.方法2：本题也可根据性 质： {an} 为等差数列，则 a15 ， a30 ， a45 ， a60 ， a75也为等差数列，再进行求解．
[解] 解法1：∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d.
2 1 1 5 7 d＝ 时，这5个数分别是－ ， ，1， ， ； 3 3 3 3 3 2 7 5 1 1 d＝－ 时，这5个数分别是 ， ，1， ，－ . 3 3 3 3 3 1 1 5 7 7 5 1 1 综上，5个数分别为－ ， ，1， ， 或 ， ，1， ，－ . 3 3 3 3 3 3 3 3
• 2．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12 的值是 • ( ) • A．64 B．31 • C．30 D．15 • 解析：a8＝ (a7＋a9)＝8，a12 +a4 ＝2a8. • a12＝2a8－a4＝15. • 答案：D
• 3．在数列{an}中，a3、a10是方程x2－3x－5＝0 的 两 根 ， 若 {an} 是 等 差 数 列 ， 则 a5 ＋ a8 ＝ ________. • 解析： 由已知得 a3 ＋ a10 ＝ 3 ，又 a5 ＋ a8 ＝ a3 ＋ a10，∴a5＋a8＝3. • 答案：3
a ＝64， 1 15 a1＋14d＝8， ∴ 解得 a ＋ 59 d ＝ 20 ， 1 d＝ 4 . 15
• • • • •
解法2：∵{an}为等差数列， ∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列． 设其公差为d，则a15为首项，a60为第4项． ∴a60＝a15＋3d，∴20＝8＋3d，解得d＝4. ∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24.
解法2：设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意， 得
a1＋a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＝26， a1＋da1＋2d＝40， 4a1＋6d＝26， 化简，得 2 2 a1＋3a1d＋2d ＝40， a1＝2， 解得 d＝3， a1＝11， 或 d＝－3，
64 4 ∴a75＝a1＋74d＝ ＋74× ＝24. 15 15
• [点评] 等差数列中项数成等差的项仍然组 成等差数列，解法2正是应用等差数列这一 性质解题的．
• 迁移变式2 已知数列{an}为等差数列． • (1)若a15＝10，a45＝90，求a60； • (2) 公差 d ＝－ 2 ，且 a1 ＋ a4 ＋ a7 ＋„＋ a97 ＝ 50，求a3＋a6＋a9＋„＋a99的值．
(3) 若a12=23，a42=143， an=263，求n.
• 等差数列的性质 • 若数列{an} . {bn} 是公差分别为d1和 d2的等差数 列，则有下列性质：
(1) an = bn +(n-m) d1
(2)若数列{an}为等差数列，则数列{λan＋b}(λ、b是常数 )
是公差为
λ d1
的等差数列．
•第2课时
等差数列的性质
探究：已知等差数列{
则 am 与 系？
an
an }中，公差为d，
(n , m ∈ N*) 有何关
解：由等差数列的通项公式知 ① a n a1 ( n 1) d ， ② a m a1 ( m 1) d ， ①－② an am ( n m ) d ，
an am (n m )d .
（这是等差数列通项公式的推广形式 ）
等差数列性质：
an am (n m )d an am 当 m n 时， d . nm
a12 a5 31 10 3. d 12 5 12 5 a1 a 5 (1 5) d 10 4 3 2 . a19 a12 (19 12 ) d 31 (19 12 ) 3 52 .
• • • • • • •
[解] (1)∵x为奇数时，x＋1为偶数， ∴由已知条件，可得 f(x＋1)－f(x)＝1， ① f(x＋2)－f(x＋1)＝3， ② ①＋②，得f(x＋2)－f(x)＝4. 又f(x)定义在N*上， ∴ f(1) ， f(3) ， „ ， f(2n － 1)(n∈N*) 成等差数 列．
• 迁移变式3 (1)有三个数成等差数列，它们 的和为9，积为－21，求这三个数． • (2) 已知 5 个数成等差数列，它们的和为 5 ， 平方和为 ，求这5个数．
解：(1)设这三个数依次为x－d，x，x＋d.
x－d＋x＋x＋d＝9， 则 x· x＋d＝－21， x－d· x＝3， ∴ 4. d＝±
(3)若数列{an}与{bn}均为等差数列，则{Aan＋Bbn}也是 ．公差为 A d +B d 等差数列
1 2
(4)若数列{an}为等差数列，则下标成等差数列且公差为 m的项ak，ak＋m，ak＋2m，„(k，m∈N*)组成公差 为 md 的等差数列．
(4) 在 等 差 数 列 {an} 中 ， 若 m ＋ n ＝ p ＋ q(m ， n ， p ， q∈N*)，则 am＋an＝ap＋qq
另解：
㈠推广后的通项公式
a n a m (n-m)d a a n m d nm
d=2, a101=154
d= -1, ap+q=0 d= 4, n=72
练习 在等差数列{an}中 (1) 若a59=70，a80=112，求a101； (2) 若ap=q，aq=p (p≠q)，求ap+q；
∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
解法3：设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根 据题意，得
a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3Biblioteka ＝26， a－da＋d＝40，
a＝13， 2 4a＝26， 化简，得 2 解得 2 3 a － d ＝ 40 ， d＝± . 2
(2)∵f(2)－f(1)＝1，f(1)＋f(2)＝5， ∴f(1)＝2，f(2)＝3. 又f(n＋2)－f(n)＝4，
2n n为奇数， ∴f(n)＝ 2n－1 n为偶数.
• 迁移变式4 已知函数f(x)＝2x，等差数列{an} 的公差为2. • 若 f(a2 ＋ a4 ＋ a6 ＋ a8 ＋ a10) ＝ 4 ， 则 log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·„·f(a10)]＝________.
• 5．在等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a23＋a24＝ 48，求a13； • 解：由m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq，得 • a2＋a24＝a3＋a23＝2a13. • ∵a2＋a3＋a23＋a24＝48， • ∴4a13＝48，∴a13＝12.
• [例3] 已知四个数成等差数列，它们的和 为26，中间两项的积为40，求这四个数．
• [例4] 已知f(x)是定义在正整数集N*上的函 数，当x为奇数时，f(x＋1)－f(x)＝1；当x为 偶数时，f(x＋1)－f(x)＝3，且f(1)＋f(2)＝5. • (1) 求 证 ： f(1) ， f(3) ， f(5) ， „ ， f(2n － 1)(n∈N*)成等差数列． • (2)求f(n)的解析表达式．
(5)若(m+n)/2=k,(m,n,k∈N*)则
am＋an＝2ak
(3){an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项 之和相等，且等于首末两项之和，即
.
a1＋an＝a2＋an－1＝„＝ai＋an－i＋1＝„
• 1．已知等差数列{an}中，a3＝1，a7＝－9， 则a5＝( ) • A．－4 B．4 • C．－8 D．8 • 解析：a5＝ (a3＋a7)＝－4. • 答案：A
∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.
(2)设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a －d，a，a＋d，a＋2d. 由已知有
a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5， 85 2 2 2 2 2 a－2d ＋a－d ＋a ＋a＋d ＋a＋2d ＝ ， 9 5a＝5， ∴ 2 85 2 5a ＋10d ＝ . 9
解：(1)∵在等差数列{an}中，a15，a30，a45，a60成等差数 a15＋a45 10＋90 列，∴a30＝ ＝ ＝50，∴a60＝2a45－a30＝2×90－ 2 2 50＝130. (2)a3＋a6＋a9＋„＋a99＝(a1＋a4＋a7＋„＋a97)＋2d×33＝ 50－66×2＝－82.