北京市西城区2013-2014学年八年级下学期期末数学试卷(WORD版)
2013年1海淀、西城区丰台、昌平初二期末数学试题及答案
海淀区八年级第一学期期末数学练习一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1．2的平方根 A ．21BC． D．2．下列图形不是．．轴对称图形的是 A ．角 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．有一个内角为30 的直角三角形 3．在下列各式的计算中，正确的是A ．235+a a a =B ．22(1)22a a a a +=+C ．3225()ab a b=D ．22(2)(+2)2y x y x y x -=-4．已知等腰三角形的两边长分别为7和3，则第三边的长是A ．7 B ．4 C ．3 D ．3或75．下列有序实数对表示的各点不在．．函数42y x =-的图象上的是 A ．16--（，） B ．（-2, 6） C ．（1, 2） D ．（3, 10）6．下列各式不能分解因式的是A ．224x x -B ．214x x ++C ．229x y +D ．21m -7．若分式 211x x --的值为0，则x 的值为A ．1B ．0C ．1-D ．1±8．已知整数m满足1m m <<+，则m 的值为 A ．4 B ． 5 C ．6D ．79．如图，把△A B C 沿E F 对折，叠合后的图形如图所示.若60A ∠=︒，195∠=︒，则∠2的度数为A ． 24°B ． 25°C ． 30°D ． 35°10．已知一次函数y kx b =+中x 取不同值时，y 对应的值列表如下：则不等式0kx b +>（其中k ，b ，m ，n 为常数）的解集为A ．1x >B ．2x >C ．1x <D ．无法确定 二、填空题（本题共18分，每小题3分）AABCB 'C 'EF1211．对于一次函数2y kx=-，如果y随x增大而增大，那么k需要满足的条件是.12．计算：111xx x-=--.13．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=20°,线段AB的垂直平分线交AB 于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE为度.14.计算：222()ab ab÷-=（）.15.若关于x的二次三项式2x+kx b+因式分解为(1)(3)x x--，则k+b的值为__________. 16．如图，图中的方格均是边长为1的正方形，每一个正方形的顶点都称为格点. 图①~⑥⑥这些多边形的顶点都在格点上，且其内部没有格点，象这样的多边形我们称为“内空格点多边形”.（1）当内空格点多边形边上的格点数为10时，此多边形的面积为；（2）设内空格点多边形边上的格点数为L，面积为S，请写出用L表示S的关系式.三、解答题：（本题共19分，第18题4分，其余每小题5分）17.()03π--.解：18.如图, 在△A B C中，=A B A C，D是△A B C内一点，且B D D C=.求证：∠ABD =∠ACD.证明：19. 把多项式33312a b ab-分解因式.解：20. 已知12x=，2y=-，求代数式()22(2)(2)x y x y x y+--+的值.解：四、解答题（本题共20分，每小题5分）21.解方程：54 2332xx x+=--.①②③④⑤⑥AB CD解：22. 已知正比例函数的图象过点(12)-，. （1）求此正比例函数的解析式；（2）若一次函数图象是由（1）中的正比例函数的图象平移得到的，且经过点(12)，，求此一次函数的解析式. 解：23. 已知等腰三角形周长为12，其底边长为y ，腰长为x .（1）写出y 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范围； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图象解：24.如图，在A B C △中，A C B C =，90ACB ∠= ，D 为A B C △内一点，15BAD ∠= ，AD AC =，C E AD ⊥于E ，且5C E =.（1）求B C 的长；（2）求证：B D C D =. 解：（1）（2）证明：五、解答题（本题共13分，第25题6分，第26题7分）25. 我们知道，假分数可以化为带分数. 例如： 83=223+=223. 在分式中，对于只含有一ED CBA个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”. 例如：11x x -+，21xx -这样的分式就是假分式；31x + ，221x x + 这样的分式就是真分式 . 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）.例如：1(1)22=1111x x x x x -+-=-+++； 22111(1)1111111x x x )x x x x x x -++-+===++----（. （1）将分式12x x -+化为带分式；（2）若分式211x x -+的值为整数，求x 的整数值；（3）求函数2211x y x -=+图象上所有横纵坐标均为整数的点的坐标.解：（1）26．在△ABC 中，已知D 为直线BC 上一点，若,ABC x BAD y ∠=∠= .（1）当D 为边BC 上一点，并且CD=CA ，40x =，30y =时，则AB _____ AC （填“=”或“≠”）；（2）如果把（1）中的条件“CD=CA ”变为“CD=AB ”，且x ,y 的取值不变，那么（1）中的结论是否仍成立？若成立请写出证明过程，若不成立请说明理由；（3）若CD= CA =AB ，请写出y 与x 的关系式及x 的取值范围.（不写解答过程，直接写出结果）DCBA海 淀 区 八 年 级 第 一 学 期 期 末 练 习数学试卷答案及评分参考 2013.1说明: 与参考答案不同, 但解答正确相应给分. 一、选择题（本题共30分，每小题3分）DCBA二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．k > 0 12．1- 13．60 14. b 2 15. 1- 16．4，112S L =-（第1空1分，第2空2分）三、解答题：（本题共19分，第18题4分，其余每小题5分）17. 解：原式421=-+ …………………………3分 3= …………………………5分 18. 证明：A B A C = ，A B C A C B ∴∠=∠.…………………………1分 B D C D = .12∴∠=∠ . …………………………2分 12A B C A C B ∴∠-∠=∠-∠.即A B D A C D ∠=∠.…………………………4分19.解：原式223(4)ab a b =- …………………………3分3(2)(2)ab a b a b =+- …………………………5分20. 解：原式222244(4)x xy y x y =++-- …………………………2分2222444x xy y x y =++-+248xy y =+…………………………3分当12x =，2y =-时，原式2148(2)2=⨯⨯-+⨯-（2）432=-+28=. …………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 21. 解：两边同乘以23x -得54(23)x x -=-…………………………1分5812x x -=-77x =1x = …………………………4分检验：1x =时，230x -≠，1x =是原分式方程的解.∴原方程的解是1x =. …………………………5分 22. 解：(1)设正比例函数解析式为(0)y ax a =≠，依题意有2a =-∴所求解析式为2y x =-. …………………………2分1AB CD2(2)设一次函数解析式为(0)y kx b k =+≠依题意有22k k b =-⎧⎨+=⎩，解得24k b =-⎧⎨=⎩. …………………………4分∴所求解析式为24y x =-+. …………………………5分23. 解：(1)依题意212y x +=，212y x ∴=-+. …………………………2分x ，y 是三角形的边，故有002x y x y >⎧⎪>⎨⎪>⎩，将212y x =-+代入，解不等式组得36x <<. …………………………3分 (2)…………………………5分24.解：（1）在△ABC 中， A C B C =,90A C B ∠=︒, 45B A C ∴∠=︒. 15B A D ∠=︒, 30C A D ∴∠=︒.C E AD ⊥,5CE =, 10A C ∴=.10B C ∴=. …………………………2分 （2）证明：过D 作D F B C ⊥于F .在△A D C 中，30C A D ∠=︒,AD AC =, 75A C D ∴∠=︒.90A C B ∠=︒,15F C D ∴∠=︒.在△AC E 中，30C A E ∠=︒,C E AD ⊥, 60A C E ∴∠=︒.15E C D A C D A C E ∴∠=∠-∠=︒.E C DF C D ∴∠=∠. …………………………3分D F DE ∴=.在Rt △D C E 与Rt △D C F 中，D C D C ,DE DF .=⎧⎨=⎩∴ Rt △D C E ≌Rt △D C F .5C F C E ∴==.10B C =，B F FC ∴=. …………………………4分D F B C ⊥,B DCD ∴=. …………………………5分五、解答题（本题共13分，第25题6分，第26题7分） 25. 解：（1）12331222x x x x x -(+)-==-+++； …………………………1分 （2）2121332111x x x x x -(+)-==-+++. …………………………2分当211x x -+为整数时，31x +也为整数.1x ∴+可取得的整数值为1±、3±.x ∴的可能整数值为0,-2，2，-4. …………………………3分（3）22212(1)112(1)111x x y x x x x --+===-++++. …………………………4分当x ，y 均为整数时，必有11x +=±.x ∴=0或-2. …………………………5分 相应的y 值分别为-1或-7.∴所求的坐标为(0,-1)或(-2,-7). …………………………6分26．（1）= …………………………1分 （2）成立. …………………………2分 解法一：=.,.=.=.B C B E B A A E C D A B B E C D B E D E C D D E B D C E =∴=∴-- 在上截取，连结即：40,70.B BAE BEA ∠=︒∴∠=∠=︒ED CA4030.=110=70.==110.=.=,=,=.A B D B B A D B D A A D E A D E B E A A E C A D A E A B D A C E A D A E B D A C E A B D C E A B D A C E ∆∠=︒∠=︒∴∠︒∠︒∴∠∠∠︒∴∆∆⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴∆∆在中，，，，在和中,≌.=.A B A C ∴ …………………………4分解法二：如图，作30,DAE DAB AE AB ∠=∠=︒=，A E 交BC 于点F .ABD AED ∆∆在和中，.AD AD D AB D AE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，， .A B D A E D ∴∆∆≌40,.AED B ADB ADE ∴∠=∠=︒∠=∠ ABD ∆在中，40,30.B BAD ∴∠=︒∠=︒110,70.ADE ADB ADC ∴∠=∠=︒∠=︒40.C D E A D E A D C ∴∠=∠-∠=︒40.C D E A E D ∴∠=∠=︒.F D F E ∴=,AB CD AB AE == ，.C D A E ∴=..CD FD AE FE FC FA ∴-=-=即：,.DFE CFA ACB AED ∠=∠∴∠=∠ B AC B ∴∠=∠..A B A C ∴= …………………………4分（3）解：(ⅰ)当D 在线段BC 上时，3902y x =-(060x <≤)（取等号时B 、D 重合）. ……………………5分(ⅱ)当D 在CB 的延长线上时，3902y x =-(6090x <<)（取等号时B 、D 重合）. ……………………6分FEDCBA(ⅲ)当D 在BC 的延长线上时，31802y x =-，(090x <<). …………………………7分北京市西城区（北区）2012–2013学年度第一学期期末试卷八年级数学 2013.1（时间100分钟，满分100分）一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1．计算23-的结果是（ ）．A ．－9B ．－9C ．19D ．19-2．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．3．点P （－3，5）关于y 轴的对称点的坐标是（ ）．A ．（3，5）B ．（3，－5）C ．（5，－3）D ．（－3，－5）4．将正比例函数y =3x 的图象向下平移4个单位长度后，所得函数图象的解析式为（ ）．A ．34y x =+B ．34y x =-C ．3(4)y x =+D ． 3(4)y x =- 5．下列各式中，正确的是（ ）．A ．3355x xyy --=- B ．a b a b c c +-+-=C ．a ba bcc ---=- D ．a ab aa b -=--6．如图，三条公路把A 、B 、C 三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）．A．在AC、BC两边高线的交点处B．在AC、BC两边中线的交点处C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处7）．A．1与2之间B．2与3之间C．3与4之间D．4与5之间8．一次函数y m x m=+（m为常数且m≠0），若y随x增大而增大，则它的图象经（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限9．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连结PC，若△ABC的面积为22cm，则△BPC的面积为（）．A．20.5cm B．21cmC．21.5cm D．22cm10．小华、小明两同学在同一条长为1100米的直路上进行跑步比赛，小华、小明跑步的平均速度分别为3米/秒和5米/秒，小明从起点出发，小华在小明前面200米处出发，两人同方向同时出发，当其中一人到达终点时，比赛停止．设小华与小明之间的距离y（单位：米），他们跑步的时间为x（单位：秒），则表示y与x之间的函数关系的图象是（）．A．B．C．D．二、填空题（本题共24分，第13题4分，第18题2分，其余各题每小题3分）11．在函数12yx=-中，自变量x的取值范围是__________．12．在0.14 ，117，，π这五个实数中，无理数的是．13．一次函数21y x=-的图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，连结BD．若AD＝12cm，则BC的长为cm．15．若29x=，38y=-，则x+y＝．16．某校组织学生到距离学校15千米的西山公园秋游，先遣车队与学生车队同时出发，先B C遣车队比学生车队提前半小时到达公园以便提前做好准备工作．已知先遣车队的速是学生队车速度的1.2倍，若设学生车队的速度为x 千米/时，则列出的方程是 ． 17． 如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 边上一点，且∠BAD =30°，若AD =DE ，∠EDC =33°，则∠DAE 的度数为 °18．如果满足条件“∠ABC =30°，AC =1， BC =k （k ＞0）”的△ABC 是唯一的，那么k 的取值范围是 ．三、解答题（本题共28分，第19、20题每小题5分，第21～23题每小题6分） 19．计算：1)++解：20．先化简，再求值：2112()3369m m m m m +÷-+-+，其中9m =．解： 21．解方程：3111x x x -=-+．23．如图，直线y kx b =+经过点A（0，5），B （1，4）．（1）求直线AB 的解析式；（2）若直线24y x =-与直线AB 相交于点C,求点C 的坐标； （3）根据图象，写出关于x 的不等式2x －4≥kx +b 的解集． 解：（1） （2）（3）关于x 的不等式2x －4≥kx +b 的解集是 ．四、解答题（本题共12分，第24题5分，第25题7分） 24．阅读下列材料：木工张师傅在加工制作家具的时候，用下面的方法在木板上画直角：如图1，他首先在需要加工的位置画一条线段AB ，接着分别以点A 、点B 为圆心，以大于12A B 的适当长为半径画弧，两弧相交于点C ，再以C 为圆心，以同样长为半径画弧交AC 的延长线于点D （点D 需落在木板上），连接DB ．则∠ABD 就是直角．木工张师傅把上面的这种作直角的方法叫做“三弧法．解决下列问题： （1）利用图1就∠ABD 是直角作出合理解释(要求：先写出已知、求证，再进行证明)；（2）图2表示的一块残缺的圆形木板，请你用“三弧法”，在木板上．．．画出一个以EF 为一条直角边的直角三角形EFG （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 解：（1） 25．已知：一次函数132y x =+的图象与正比例函数y kx =的图象相交于点A （a ，1）．（1）求a 的值及正比例函数y kx =的解析式；（2）点P 在坐标轴上（不与点O 重合），若PA =OA ，直接写出P 点的坐标；（3）直线x m =与一次函数的图象交于点B ，与正比例函数图象交于点C ，若△ABC 的面积记为S ，求S 关于m 的函数关系式（写出自变量的取值范围）．ACBD图1图2EF五、解答题（本题6分）26．在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线． （1）如图1，过C 作CE ∥AD 交BA 延长线于点E ，若F 为CE 的中点，连结AF ，求证：AF ⊥AD ；（2）如图2，M 为BC 的中点，过M 作MN ∥AD 交AC 于点N ，若AB =4， AC =7， 求NC 的长．（1） 证明：（2）解：图1 图2北京市西城区（北区）2012–2013学年度第一学期期末试卷八年级数学附加题2013.1一、填空题（本题共6分）1．在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都为整数的点称为整点．已知一组正方形的四个顶点恰好落在两坐标轴上，请你观察每个正方形四条边上的整点的个数的变化规律．回答下列问题：（1）经过x轴上点（5，0）的正方形的四条边上的整点个数是；（2）经过x轴上点（n，0）（n为正整数）的正方形的四条边上的整点个数记为m，则m与n之间的函数关系是．二、解答题（本题共14分，第2题8分，第3题6分）2．在平面直角坐标系xOy中，直线6=+与x轴交于点A，与y轴交于点B．y x（1）求∠BAO的度数；（2）如图1，P为线段AB上一点，在AP上方以AP为斜边作等腰直角三角形APD．点Q 在AD上，连结PQ，过作射线PF⊥PQ交x轴于点F，作PG⊥x轴于点G．求证：PF＝PQ ；（3）如图2，E为线段AB上一点，在AE上方以AE为斜边作等腰直角三角形AED．若P 为线段EB的中点，连接PD、PO，猜想线段PD、PO有怎样的关系？并说明理由．图1 图23．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，BD 是△ABC 的角平分线， DE ⊥AB 于点E ．（1）如图1，连接EC ，求证：△EBC 是等边三角形；（2）点M 是线段CD 上的一点（不与点C ，D 重合），以BM 为一边，在BM 的下方作∠BMG =60°，MG 交DE 延长线于点G ．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD ，DG 与AD 之间的数量关系； （3）如图3,点N 是线段AD 上的一点，以BN 为一边，在BN 的下方作∠BNG =60°，NG 交DE 延长线于点G ．试探究ND ，DG 与AD 数量之间的关系，并说明理由．（1）证明：（2）结论： ；（3）证明 ：图1图2图3北京市西城区（北区）2012 — 2013学年度第一学期期末试卷八年级数学参考答案及评分标准 2013.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共24分，第13题4分，第18题2分，其余各题每小题3分）三、解答题（本题共28分，第19，20题，每小题5分，第21～23题，每小题6分）19．解： 1)++＝24-+·······················································································3分＝2． ································································································5分20．解：2112()3369m m m m m +÷-+-+＝22(3)(3)(3)2m m m m m-⋅-+···············································································3分＝33m m -+． ···································································································4分当9m =时，原式＝931932-=+． ···································································5分21．解：方程两边同乘(1)(1)x x -+，得(1)3(1)(1)(1)x x x x x +--=-+．···································································2分化简，得331x x -+=-． (4)分 解得2x =． (5)分检验：当2x =时，(1)(1)0x x -+≠，∴2x=是原分式方程的解． ·········································································6分22．解：（1）∵AE ∥BF ，,,,AE BF A FBD AC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC ≌△BFD （SAS ）． ····································································5分∴EC =FD ． ························································································6分23．解：（1）∵直线y kx b =-+经过点A （5，0）、B （1，4），∴50,4.k b k b +=+=⎧⎨⎩ ······················································································1分 解方程得 1,5.kb=-=⎧⎨⎩ ···········································································2分∴直线AB 的解析式为 5.y x =-+ ·························································3分 （2）∵直线24y x =-与直线AB 相交于点C,∴解方程组5,2 4.yx y x =-+=-⎧⎨⎩得3,2.x y==⎧⎨⎩∴点C 的坐标为（3，2）． ···································································· 5分 （3）x ≥3． ································································································ 6分四、解答题（本题共12分，第24题5分，第25题7分）24．（1）已知：在△ABD 中， AC =BC =CD ．求证：90ABD ∠=︒．证明：∵AC=BC ，∴12∠=∠． ∵BC=CD ，∴34∠=∠． ························ 1分 在△ABD 中，1234180∠+∠+∠+∠=︒．∴1490∠+∠=︒．即90ABD ∠=︒． ········································· 3分（2）如图，△EFG 为所求作的三角形 ．······························································································································ 5分25．解：（1）∵一次函数132y x =+的图象与正比例函数y kx =的图象相交于点A （a ，1）， ∴1312a +=.解得4a =-．····················································································1分∴A （－4 ，1）． ∴41k -=． 解得 14k =-．∴正比例函数的解析式为14y x =-．·················································2分 （2）P 1（－8 ，0）或P 2（0 ，2）； ·························································4分阅卷说明：每个结果1分（3）依题意，得点B 的坐标为（m ，132m +），点C 的坐标为（m ，14m -）．作AH ⊥BC 于点H ，H 的坐标为（m ，1）． ········································5分 以下分两种情况： （ⅰ）当m <－4时，BC ＝11(3)42m m --+＝334m --．AH ＝4m --．则12ABC S BC AH ∆=⋅=13(3)(4)24m m ----=23368m m ++．（ⅱ）当m >－4时，BC ＝11(3)24m m++＝34AH ＝4m +．则12ABCS BC AH∆=⋅=13(3)(4)24m m ++=23368m m ++． 综上所述，ABC S ∆=2338m m +五、解答题（本题6分）26．证明：∵AD 为△ABC 的角平分线， ∴12∠=∠． （1）∵CE ∥AD ，∴1E ∠=∠，23∠=∠. ∴3E ∠=∠． ∴AC =AE ． 1分 ∵F 为EC 的中点， ∴AF ⊥BC ． ∴90AFE FAD ∠=∠=︒．∴AF ⊥AD ．2分（2）延长BA 与MN 延长线于点E ，过B 作BF ∥AC 交NM 延长线于点F . ·············· 3分 ∴3C ∠=∠，4F ∠=∠． ∵M 为BC 的中点∴BM ＝CM ．在△BFM 和△CNM 中，4,3,,F C B M C M ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BFM ≌△CNM （AAS ）． ····················································································· 4分 ∴BF ＝CN ．∵MN ∥AD ，∴1E ∠=∠，245∠=∠=∠. ∴5E F ∠=∠=∠． ∴AE ＝AN ，BE ＝BF ．设CN =x ，则BF =x ， AE ＝AN ＝AC －CN ＝7－x ，BE ＝AB ＋AE ＝4＋7－x ． ∴4＋7－x ＝x ．解得 x ＝5.5． ∴CN ＝5.5． 6分北京市西城区（北区）2012 — 2013学年度第一学期期末试卷八年级数学附加题参考答案及评分标准 2013.1一、填空题（本题6分） 1．（1）20； ············································································································ 3分 （2）4mn=． ········································································································ 3分二、解答题（本题共14分，第2题8分，第3题6分） 2．解：（1）直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．∴A （－6，0），B （0，6）． ∴OA =OB ． ·············································································································· 1分 ∴BAOABO∠=∠在△AOB 中，90AOB ∠=︒． ∴45BAO ABO ∠=∠=︒． ························································································ 2分 （2）在等腰直角三角形APD 中，90PDA ∠=︒，DA =DP ，145APD ∠=∠=︒．AMD CBNE F354412 B∴DP ⊥AD 于D ．由（1）可得45BAO ∠=︒． ∴1BAO ∠=∠． 又∵PG ⊥x 轴于G ， ∴PG = PD ． ············································································································ 3分 ∴90AGP PGF D ∠=∠=∠=︒．∴445BAO ∠=∠=︒．∴490APD DPG ∠+∠=∠=︒．即390G P Q ∠+∠=︒． 又∵PQ ⊥PF ， ∴290G PQ ∠+∠=︒．∴23∠=∠．········································· 4分在△PGF 和△PDQ 中，,,23,P G F D P G P D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△PGF ≌△PDQ (ASA)． ∴PF =PQ ． ················································································································5分 （3）答：OP ⊥DP ，OP ＝DP ．证明：延长DP 至H ，使得PH =PD ． ∵P 为BE 的中点， ∴PB =PE ．在△PBH 和△PED 中，,12,,P B P E P H P D =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PBH ≌△PED （SAS ）． ∴BH =ED ． ··················································· 6分 ∴34∠=∠． ∴BH ∥ED ．在等腰直角三角形ADE 中， AD =ED ，45DAE DEA ∠=∠=︒． ∴AD =BH ，90DAE BAO DAO ∠+∠=∠=︒. ∴DE ∥x 轴，BH ∥x 轴， BH ⊥y 轴． ∴90DAOHBO ∠=∠=︒．由（1）可得 OA =OB ． 在△DAO 和△HBO 中，,,,AD BH D AO H BO O A O B =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAO ≌△HBO （SAS ）．x图1图2。
北京市西城区2013—2014年八年级下期末考试数学试卷及答案
北京市西城区2013—2014学年度第二学期期末考试八年级数学试卷2014.7试卷满分：100分，考试时间：100分钟一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）．A ．31，41，51 B ．3，4，5 C ．2，3，4 D ．1，1，32．下列图案中，是中心对称图形的是（ ）．3．将一元二次方程x 2－6x －5＝0化成(x －3)2＝b 的形式，则b 等于（ ）．A ．4B ．－4C ．14D ．－14 4．一次函数12+=x y 的图象不．经过（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确．．．的是（ ）． A ．当AB ＝BC 时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形C ．当∠ABC ＝90º时，它是矩形D ．当AC ＝BD 时，它是正方形6．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AC ＝4cm ， ∠AOD ＝120º，则BC 的长为（ ）．A . 34 B. 4 C . 32 D. 27．中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表：这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（ ）．A ．1.65，1.70B ．1.70，1.65C ．1.70，1.70D ．3，58．如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的顶点A 的坐标为(2,0)，点B 的坐标为(0,1)，点C 在第一象限，对角线BD 与x 轴平行. 直线y =x +3与x 轴、y 轴分别交于点E ,F . 将菱形ABCD 沿x 轴向左平移m 个单位，当点D 落在△EOF 的内部时(不包括三角形的边)，m 的值可能是（ ）．A .3 B. 4 C. 5 D. 6二、填空题（本题共25分，第9～15题每小题3分，第16题4分） 9．一元二次方程022=-x x 的根是 .10．如果直线x y -=向上平移3个单位后得到直线AB ，那么直线AB 的解析式是_________. 11．如果菱形的两条对角线长分别为6和8，那么该菱形的面积为_________. 12．如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，AC 的中点，已知DF =3，则AE = ．13．若点1(1,)A y 和点2(2,)B y 都在一次函数2+-=x y 的图象上，则y 1 y 2（选择“＞”、“＜”、“＝”填空）．14．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（3，2），若将线段OA 绕点O 顺时针旋转90°得到线段A O '，则点A '的坐标是 ．15．如图，直线1l ：1y x =+与直线2l ：y mx n =+相交于点P （a ，2） 则关于x 的不等式1x +≥mx n +的解集为 ．16．如图1，五边形ABCDE 中，∠A =90°，AB ∥DE ，AE ∥BC ，点F ,G 分别是BC ,AE 的中点. 动点P 以每秒2cm 的速度在五边形ABCDE 的边上运动，运动路径为F →C →D →E →G ，相应的△ABP 的面积y (cm 2)关于运动时间t (s)的函数图象如图2所示．若AB =10cm ，则(1)图1中BC 的长为_______cm ；(2) 图2中a 的值为_________．三、解答题（本题共30分，第17题5分，第18～20题每小题6分，第21题7分） 17．解一元二次方程：2420x x +-=． 解：18．已知：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数4y kx =+的图象与y 轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于点B ，2OA OB =． （1）求点A 、点B 的坐标；（2）求一次函数的解析式．解：19．已知：如图，点A 是直线l 外一点，B ，C 两点在直线l 上，90BAC ∠=︒，2BC BA =． （1）按要求作图：（保留作图痕迹） ①以A 为圆心，BC 为半径作弧，再以C 为圆心，AB 为半径作弧，两弧交于点D ； ②作出所有以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形；（2）比较在（1）中所作出的线段BD 与AC 的大小关系． 解：（1）（2）BD AC ．20．已知：如图， ABCD 中，E ，F 两点在对角线BD 上，BE=DF ． （1）求证：AE=CF ； （2）当四边形AECF 为矩形时，直接写出BD ACBE-的值．（1）证明：（2） 答：当四边形AECF 为矩形时，BD ACBE-= ．21．已知关于x 的方程2(2)210x k x k -++-=．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的一个根为3x =，求k 的值及方程的另一根． （1）证明：（2）解：四、解答题（本题7分）22．北京是水资源缺乏的城市，为落实水资源管理制度，促进市民节约水资源，北京市发改委在对居民年用水量进行统计分析的基础上召开水价听证会后发布通知，从2014 年5月1日起北京市居民用水实行阶梯水价，将居民家庭全年用水量划分为三档，水 价分档递增，对于人口为5人（含）以下的家庭，水价标准如图1所示，图2是小明 家在未实行新水价方案时的一张水费单（注：水价由三部分组成）.若执行新水价方 案后，一户3口之家应交水费为y （单位：元），年用水量为x （单位：3m ），y 与x 之间的函数图象如图3所示.图1 图2五、解答题（本题共14分，每小题7分）23．已知：正方形ABCD 的边长为6，点E 为BC 的中点，点F 在AB 边上，2BF AF =． 画出EDF ∠，猜想EDF ∠的度数并写出计算过程． 解： EDF ∠的度数为 ． 计算过程如下：xO24．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，(0,4)A ，(0,2)B ，点C 在x 轴的正半轴上， 点D 为OC 的中点． （1） 求证：BD ∥AC ； （2） 当BD 与AC 的距离等于1时，求点C 的坐标；（3）如果OE ⊥AC 于点E ，当四边形ABDE 为平行四边形时，求直线AC 的解析式． 解：（1）（2）（3）北京市西城区2013—2014学年度第二学期期末试卷八年级数学参考答案及评分标准2014.7一、选择题（本题共24分，每小题3分）二、填空题（本题共25分，第9～15题每小题3分，第16题4分）9．120,2x x ==． 10．3y x =-+． 11．24． 12．3． 13．＞． 14．(2,3)-． 15．x ≥1（阅卷说明：若填x ≥a 只得1分） 16．（1）16；（2）17．（每空2分）三、解答题（本题共30分，第17题5分，第18～20题每小题6分，第21题7分） 17．解：2420x x +-=．1a =，4b =，2c =-． …………………………………………………………1分 224441(2)24b ac ∆=-=-⨯⨯-=．…………………………………………… 2分方程有两个不相等的实数根x ………………………… 3分==．所以原方程的根为12x =-22x =- （各1分）……………… 5分 18．解：（1）∵ 一次函数4y kx =+的图象与y 轴的交点为A ，∴ 点A 的坐标为(0,4)A ．………………………………………………… 1分 ∴ 4OA =．………………………………………………………………… 2分 ∵ 2OA OB =， ∴ 2OB =．………………………………………………………………… 3分 ∵ 一次函数4y kx =+的图象与x 轴正半轴的交点为B ， ∴ 点B 的坐标为(2,0)B （2）将(2,0)B 的坐标代入4y kx =+，得 02= 解得 2k =-．………………………… 5 ∴ 一次函数的解析式为 24y x =-+．………………………………… 619．解：（1）按要求作图如图1所示，四边形1ABCD 和四边形2ABD C 分别是所求作的四边形；………………………………… 4分 （2）BD ≥ AC ． …………………………………………………………… 6分阅卷说明：第（1）问正确作出一个四边形得3分；第（2）问只填BD ＞AC 或BD =AC 只得1分．20．（1）证明：如图2．∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥CD ，AB =CD ．…………… 1分 ∴ ∠1=∠2．……………………… 2分图1D在△ABE 和△CDF 中，, 12, , AB CD BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩………………………3分 ∴ △ABE ≌△CDF ．（SAS ） ………………………………………… 4分 ∴ AE=CF ．…………………………………………………………… 5分（2） 当四边形AECF 为矩形时，BD ACBE-= 2 ． ………………………………6分 21．（1）证明：∵ 2(2)210x k x k -++-=是一元二次方程，[]2224(2)41(21)48b ac k k k k ∆=-=-+-⨯⨯-=-+ ………… 1分2(2)4k =-+，…………………………………………………… 2分 无论k 取何实数，总有2(2)k -≥0，2(2)4k -+＞0．……………… 3分 ∴ 方程总有两个不相等的实数根．…………………………………… 4分 （2）解：把3x =代入方程2(2)210x k x k -++-=，有233(2)210k k -++-=．………………………………………………… 5分 整理，得 20k -=．解得 2k =．………………………………………………………………… 6分 此时方程可化为 2430x x -+=． 解此方程，得 11x =，23x =．∴ 方程的另一根为1x =．………………………………………………… 7分四、解答题（本题7分）22．解：（1） 4 ．……………………………………………………………………………1分解法二：当180＜x ≤260时，设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+（k ≠0）． 由（2）可知：(180,900)A ，(260,1460)B ．得180900,2601460.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得7,360.k b =⎧⎨=-⎩∴ 7360y x =- ．……………………………………………… 7分 五、解答题（本题共14分，每小题7分）23．解：所画EDF ∠如图3所示．……………………………………………………… 1分EDF ∠的度数为45． …………………………… 2分解法一：如图4，连接EF ，作FG ⊥DE 于点G ． …… 3分 ∵ 正方形ABCD 的边长为6，∴ AB=BC=CD= AD =6，90A B C ∠=∠=∠=︒． ∵ 点E 为BC 的中点， ∴ BE=EC=3． ∵ 点F 在AB 边上，2BF AF =， ∴ AF =2，BF =4．在Rt △ADF 中，90A ∠=︒， 222226240DF AD AF =+=+=． 在Rt △BEF ，Rt △CDE 中，同理有222223425EF BE BF =+=+=，222226345DE CD CE =+=+=．在Rt △DFG 和Rt △EFG 中，有 22222FG DF DG EF EG =-=-．设DG x =，则224025)x x -=-． ……………………………… 4分 整理，得60=．解得x =即DG = ………………………………………… 5分 ∴FG =∴ DG FG =．……………………………………………………………… 6分 ∵ 90DGF ∠=︒， ∴ 180452DGFEDF ︒-∠∠==︒． ………………………………………7分 解法二：如图5，延长BC 到点H ，使CH=AF ，连接DH ，EF ．………………… 3分 ∵ 正方形ABCD 的边长为6，∴ AB=BC=CD=AD =6，=90A B ADC DCE ∠=∠=∠=∠︒． ∴ 180=90DCH DCE ∠=︒-∠︒，A DCH ∠=∠． 在△ADF 和△CDH 中，, , , AD CD A DCH AF CH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ADF ≌△CDH ．（SAS ） ……………4分 ∴ DF=DH ， ① 12∠=∠．图3EB 图4E B 图5八年级期末 数学试卷 第 11 页 （共 12∴ 2190FDH FDC FDC ADC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒．……………… 5分∵ 点E 为BC 的中点，∴ BE=EC=3．∵ 点F 在AB 边上，2BF AF =，∴ CH= AF=2，BF=4．∴ 5EH CE CH =+=．在Rt △BEF 中，90B ∠=︒，5EF ==．∴ EF EH =．②又∵ DE= DE ，③由①②③得△DEF ≌△DEH ．（SSS ） …………………………………… 6分 ∴ 452FDH EDF EDH ∠∠=∠==︒． ………………………………… 7分 24．解：（1）∵ (0,4)A ，(0,2)B ，∴ OA =4，OB =2，点B 为线段OA 的中点．…………………………… 1分 ∵ 点D 为OC 的中点，∴ BD ∥AC ．……………………………………………………………… 2分（2）如图6，作BF ⊥AC 于点F ，取AB 的中点G ，则(0,3)G ．∵ BD ∥AC ，BD 与AC 的距离等于1，∴ 1BF =．∵ 在Rt △ABF 中，90AFB ∠=︒，AB =2，点G 为AB 的中点，∴ 12AB FG BG ===． ∴ △BFG 是等边三角形，60ABF ∠=︒． ∴ 30BAC ∠=︒． 设OC x =，则2AC x =，OA ． ∵ OA =4， ∴ x =．……………………………………… 3分 ∵ 点C 在x 轴的正半轴上， ∴ 点C 的坐标为．……………………………………………… 4分 （3）如图7，当四边形ABDE 为平行四边形时，AB ∥DE ． ∴ DE ⊥OC ． ∵ 点D 为OC 的中点，∴ OE=EC ．八年级期末 数学试卷 第 12 页 （共 12 页） ∵ OE ⊥AC ，∴ 45OCA ∠=︒．∴ OC=OA =4．………………………………… 5分∵ 点C 在x 轴的正半轴上，∴ 点C 的坐标为(4,0)．………………………………………………… 6分 设直线AC 的解析式为y kx b =+（k ≠0）．则40,4.k b b +=⎧⎨=⎩ 解得1,4.k b =-⎧⎨=⎩∴ 直线AC 的解析式为4y x =-+ ．………………………………………7分。
2013西城初三期末数学试题及答案
九年级数学 2013.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．（考最值）二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是A ．1-B ．1C ．2-D ．22．（考圆心角和圆周角的关系）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠ABC ＝40°，则∠AOC 的度数为 A ．20° B ．40° C ．60° D ．80° 3．（两圆位置关系）两圆的半径分别为2和3，若圆心距为5，则这两圆的位置关系是 A ．相交B ．外离C ．外切D ．内切4．（相似比）三角尺在灯泡O 的照射下在墙上形成的影子如图所示.若20cmOA =个三角尺的周长 与它在墙上形成的影子的周长的比是 A ．5∶2 B ．2∶5 C ．4∶25D ．25∶45．（割补法）如图，正方形ABCD 的内切圆和外接圆的圆心为O ，EF 与GH 是 此外接圆的直径，EF =4，AD ⊥GH ，EF ⊥GH ，则图中阴影部分的 面积是A ．πB ．2πC ．3πD ．4π6．出两枚，则摸出的两枚棋子颜色相同的概率是 A ．41 B ．21 C ．32D ．317．（旋转和坐标）如图，直线443y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，△AOB 绕点A 顺时针旋转90°后得到△AO B ''，则点B 的对应点B '的坐标为 A ．（3，4） B ．（7，4） C ．（7，3） D ．（3，7） 8．（和圆有关的性质）如图，△ABC 中，∠B =60°，∠ACB =75°，点D 是BC 边上一个动点，以AD 为直径作⊙O ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，若弦EF 长度的最小值为1，则AB 的长为 A. 22 B.632C. 1.5D.二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．（弧长公式）扇形的半径为9，且圆心角为120°，则它的弧长为_______.10．（函数的增减性）已知抛物线23y x x =--经过点)2(1y A ，、)3(2y B ，， 则1y 与2y 的大小关系是_______． 11．（两个答案，和切线有关的）如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，且OP =2，∠APB =60°．若点C 在⊙O 上，且AC∠CAB 的度数为_______．12．（图像与性质）已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于(1,0)和(1x ,0)，其中12x -<<于正半轴上一点．下列结论：①0>b ；②241b ac <；③a b >；④a c a 2-<<-．其中所有正确结论的E三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．三角函数值 2604cos 30+sin 45tan 60-⋅． 14．（顶点式和平移）已知抛物线241y x x =-+．（1）用配方法将241y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式；（2）将此抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，求平移后所得抛物线的解析式．15．（解直角三角形）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 在AC 边上．若DB =6，AD =12CD ，sin ∠CBD =23，求AD 的长和tan A 的值．16．（圆心角和圆周角，垂径定理）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且CD ⊥AB于点E ． （1）求证：∠BCO=∠D ； （2）若CD =AE =2，求⊙O 的半径．17．【翻折不变形）如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =6，点P 为AC 边中点，点M 是BC 边上一点．将△CPM 沿直线MP 翻折，交AB 于点E ，点C 落在点D 处，∠BME =120°． （1）求∠CMP 的度数；（2）求BM 的长．EDCMBPA18．【解直角三角形的应用】如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A 处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处. （1）B 处距离灯塔P 有多远？（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB 的延长线上，距离灯塔200海里的O 处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B 处是否有触礁的危险，并说明理由．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．【二次函数的图像与性质】已知抛物线322--=x x y . （1）它与x 轴的交点的坐标为_______； （2）在坐标系中利用描点法画出它的图象；（3）将该抛物线在x 轴下方的部分(不包含与x 轴的交点)记为G ，若直线b x y +=与G 只有一个公共点，则b 的取值范围是_______．20．【圆的切线与性质】如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，∠COB =2∠PCB . （1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ， 若MN · MC =8，求⊙O 的直径.21．平面直角坐标系xOy 中，原点O 是正三角形ABC 外接圆的圆心，点A 在y 轴的正半轴上，△ABC 的边长为6．以原点O 为旋转中心将△ABC 沿逆时针方向旋转α角，得到△A B C '''，点A '、B '、C '分别为点A 、B 、C 的对应点． （1）当α=60°时，①请在图1中画出△A B C '''； ②若AB 分别与C A ''、B A ''交于点D 、E ，则DE 的长为_______； （2）如图2，当C A ''⊥AB 时，B A ''分别与AB 、BC 交于点F 、G ，则点A '的坐标为 _______，△FBG 的周长为_______，△ABC 与△A B C '''重叠部分的面积为 _______．22．阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x ≤m ，求二次函数267y x x =-+的最大值．他画图研究后发现，1x =和5x =时的函数值相等，于是他认为需要对m 进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数267y x x =-+的对称轴为直线3x =，∴由对称性可知，1x =和5x =时的函数值相等． ∴若1≤m ＜5，则1x =时，y 的最大值为2；若m ≥5，则m x =时，y 的最大值为267m m -+． 请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当2-≤x ≤4时，二次函数1422++=x x y （2）若p ≤x ≤2，求二次函数1422++=x x y 的最大值；（3）若t ≤x ≤t +2时，二次函数1422++=x x y 的最大值为31，则t 的值为_______．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知抛物线212(1)y x m x n =+-+经过点（1-，132m +）． （1）求n m -的值；（2）若此抛物线的顶点为（p ，q ），用含m 的式子分别表示p 和q ，并求q 与p 之间的函数关系式； （3）若一次函数2128y mx =--，且对于任意的实数x ，都有1y ≥22y ，直接写出m 的取值范围.24．以平面上一点O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB 和△COD ，其中∠ABO =∠DCO =30°．（1）点E 、F 、M 分别是AC 、CD 、DB 的中点，连接FM 、EM ．①如图1，当点D 、C 分别在AO 、BO 的延长线上时，FM EM=_______；②如图2，将图1中的△AOB 绕点O 沿顺时针方向旋转α角（060α<<），其 他条件不变，判断FM EM的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；（2）如图3，若BO =，点N 在线段OD 上，且NO =2．点P 是线段AB 上的一个动点，在将△AOB 绕点O 旋转的过程中，线段PN 长度的最小值为_______，最大值为_______．25．如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点，CD ⊥AB 且CD =AB ．直线BE 与y 轴平行，点F 是射线BE 上的一个动点，连接AD 、AF 、DF .（1）若点F 的坐标为（92，1），AF ①求此抛物线的解析式；②点P 是此抛物线上一个动点，点Q 在此抛物线的对称轴上，以点A 、F 、P 、Q 为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点Q 的坐标；（2）若22b c +=-，2b t =--，且AB 的长为kt ，其中0t >．如图2，当∠DAF =45°时，求k 的值和∠DF A 的正切值.北京市西城区2012—2013学年度第一学期期末试卷（南区）九年级数学参考答案及评分标准2013.1阅卷说明：第11题写对一个答案得2分．第12题只写②或只写④得2分;有错解得0分．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式24=⨯+⎝⎭................................................................. 4分3. ........................................................................................................ 5分14．解：（1）241y x x=-+2(44)3x x=-+-2(2)3x=--........................................................................................... 2分（2）∵抛物线241y x x=-+的顶点坐标为(2,3)-，..................................... 3分∴平移后的抛物线的顶点坐标为(3,1)-. ................................................... 4分∴平移后所得抛物线的解析式为22(3)168y x x x=--=-+. . ............. 5分15．解：如图1.在Rt△DBC中，∠C=90°，sin∠CBD=23，DB=6，∴2sin643CD DB CBD=⋅∠=⨯=. ………… 1分∴AD=12CD=1422⨯=. ……………………2分∵CB== .............................................................. 3分AC= AD+CD=2+4=6， ......................................................................................... 4分在Rt△ABC中，∠C=90°，∴tan A=CBAC==. ....................................................................................... 5分16．（1）证明：如图2.∵OC=OB，∴∠BCO=∠B. …………………………………………………………1分∵∠B=∠D，∴∠BCO=∠D. …………………………………………………………2分（2）解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，ADBC图1∴CE =2CD =2⨯= ………… 3分 在Rt △OCE 中，222OC CE OE =+，设⊙O 的半径为r ，则OC =r ，OE =OA -AE =r -2，∴222(2)r r =+-. ………………… 4分 解得3r =.∴⊙O 的半径为3. ……………………… 5分 17．解：如图3.（1）∵将△CPM 沿直线MP 翻折后得到△DPM ，∴∠CMP =∠DMP . ............................................... 1分 ∵∠BME =120°，∴∠CMP =30°. ...................................................... 2分（2）∵AC =6，点P 为AC 边中点，∴CP =3. .................................................................. 3分 在Rt △CMP 中，CP =3，∠MCP =90°，∠CMP =30°， ∴CM =33. ........................................................... 4分∴BM =336-. ..................................................................................................... 5分 18．解：（1）作PC ⊥AB 于C .（如图4）在Rt △P AC 中，∠PCA =90°，∠CP A =90°-45°=45°.∴cos 45100PC PA =⋅== ................... 2分在Rt △PCB 中，∠PCB =90°，∠PBC =30°.∴2PB PC ==答：B 处距离灯塔P 有. (3)分（2）海轮若到达B 处没有触礁的危险. .......................... 4分理由如下：∵200OBOP PB =-=-而150， ∴200200150--.∴50OB >. ..................................................................................................... 5分 ∴B 处在圆形暗礁区域外，没有触礁的危险.19．解：（ （图象（如图5）；………………… 3分图4图3EDCMBA（3）b 的取值范围是31b -≤<或4-=b ． .......................................................... 5分阅卷说明：只写31b -≤<或只写421-=b 得1分.20．（1）证明：∵OA =OC ，∴∠A =∠ACO . ∴∠COB =2∠ACO . 又∵∠COB =2∠PCB ，∴∠ACO =∠PCB . ......................................................................................... 1分 ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACO +∠OCB =90° .∴∠PCB +∠OCB =90°, 即OC ⊥CP . ∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线. ................................................................................... 2分（2）解：连接MA 、MB .（如图6） ∵点M 是弧AB 的中点，∴∠ACM =∠BAM . ∵∠AMC =∠AMN ，∴△AMC ∽△NMA . …………………… 3分∴AM MCNM MA=. ∴2AM MC MN =⋅.∵MC·MN =8,∴AM = ............................................................................................... 4分∵AB 是⊙O 的直径，点M 是弧AB 的中点，∴∠AMB =90°，AM =BM=∴4AB =. ........................................................................ 5分图621．解：（1）①如图7所示；②DE 的长为2； .（2）点A '的坐标为(，△FBG △ABC 与△A B C ''' 阅卷说明：第（2）问每空1分.22．解：（1）当2-≤x ≤4时，二次函数22+=x y （2）∵二次函数2241y x x =++的对称轴为直线1-=x ， ∴由对称性可知，4-=x 和2=x 时函数值相等.∴若24≤<-p ，则2=x 时，y 的最大值为17. .................................... 2分 若4-≤p ，则p x =时，y 的最大值为1422++p p . ........................ 3分（3）t 的值为1或-5 . ............................................................................................. 5分阅卷说明：只写1或只写-5得1分;有错解得0分. 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）∵抛物线212(1)y x m x n =+-+经过点（1-，132m +）， ∴213(1)2(1)(1)2m m n +=-+-⨯-+.∴32n m -=. ................................................................................................. 1分 （2）∵2132(1)2y x m x m =+-++，∴1p m =-， ................................................................................................. 2分2132q m m =-++. .................................................................................. 3分 ∵1p m =-， ∴1m p =+.∴21(1)3(1)2q p p =-++++.∴252q p p =-++. ......................................................................................... 5分（3）m 的取值范围是3122m -≤≤且0m ≠. ........................................................ 7分 阅卷说明：只写3122m -≤≤或只写0m ≠得1分.24．解：（1）①FMEM =.......................................................... ………………………1分 ②结论：FMEM的值不变.（阅卷说明：判断结论不设给分点） 证明：连接EF 、AD 、BC .（如图8） ∵Rt △AOB 中，∠AOB =90°，∠ABO=30°， ∴3tan 30AO BO ==.∵Rt △COD 中，∠COD =90°，∠DCO =30°， ∴3tan 30DO CO == ∴AO DO BO CO ==. 又∵∠AOD =90°+∠BOD ，∠BOC =90°+∠BOD ，∴∠AOD=∠BOC.∴△AOD ∽△BOC ． ....................................................................................... 2分 ∴AD BC =，∠1=∠2. ∵点E 、F 、M 分别是AC 、CD 、DB 的中点，∴EF ∥AD ，FM ∥CB ，且12EF AD =，12FM CB =.∴EF FM = ............................................................................................. 3分∠3=∠ADC =∠1+∠6，∠4=∠5. ∵∠2+∠5+∠6=90°，∴∠1+∠4+∠6=90°，即∠3+∠4=90°.∴∠EFM =90°. .............................................................................................. 4分 ∵在Rt △EFM 中，∠EFM =90°，tan EF EMF FM ∠==∴∠EMF =30°.∴cos FM EMF EM =∠=. .......................................................................... 5分（2）线段PN 2，最大值为2. .......................... 7分阅卷说明：第（2）问每空1分.AFEMOBDC123456图825．解：（1）①∵直线BE 与y 轴平行，点F 的坐标为（2，1）， ∴点B 的坐标为（92，0），∠FBA =90°，BF =1.在Rt △ABF 中，AF，∴4AB =. ∴点A 的坐标为（12，0）. ∴抛物线的解析式为2119159()()222228y x x x x =--=-+. ................. 1分②点Q 的坐标为1Q （52，3），2Q （52，5），3Q （52，7）. ............ 4分 阅卷说明：答对1个得1分. （2）∵22b c +=-，2b t =--， ∴22c t =+. ∴21(2)222y x t x t =-+++. 由21(2)2202x t x t -+++=， (2)(22)0x x t ---=. 解得 12x =，222x t =+. ∵0t >，∴点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（22t +，0）.∴AB =2222t t +-=，即 2k =. ............................................................... 5分 方法一：过点D 作DG ∥x 轴交BE 于点G ，AH ∥BE 交直线DG 于点H ，延 长DH 至点M ，使HM =BF ，连接AM.（如图9）∵DG ∥x 轴，AH ∥BE ，∴四边形ABGH 是平行四边形. ∵∠ABF =90°， ∴四边形ABGH 是矩形. 同理四边形CBGD 是矩形. ∴AH =GB =CD =AB =GH =2t . ∵∠HAB =90°，∠DAF =45°， ∴∠1+∠2=45°. 在△AFB 和△AMH 中，AB =AH ，∠ABF =∠AHM =90°，BF =HM ，∴△AFB ≌△AMH . ....................................................................................... 6分 ∴∠1=∠3，AF =AM ，∠4=∠M . ∴∠3+∠2=45°.图9在△AFD 和△AMD 中，AF =AM ， ∠F AD =∠MAD ，AD =AD ， ∴△AFD ≌△AMD .∴∠DF A =∠M ，FD =MD .∴∠DF A =∠4. ……………………………………………………………7分∵C 是AB 的中点， ∴DG =CB =HD =t .设BF =x ，则GF =2t x -，FD =MD =t x +. 在Rt △DGF 中，222DF DG GF =+，∴222()(2)t x t t x +=+-，解得 23tx =.∴2tan tan 4233AB t DFA t FB ∠=∠==÷=. ………………………………8分方法二：过点D 作DM ⊥AF 于M .（如图10） ∵CD ⊥AB ，DM ⊥AF ， ∴∠NCA =∠DMN =90°. ∵∠1=∠2， ∴∠NAC =∠NDM.∴tan ∠NAC =tan ∠NDM.∴NC NMAC DM=. …………………………… ∵C 是AB 的中点，CD =AB =2t ，∴AC =t ，AD == ∵∠DAM =45°，∴sin 455DM AM AD t ==⋅==设 CN =x ，则DN =2t x -.∴x t =∴NM =.在Rt △DNM 中，222DN DM NM =+， ∴222(2)))t x -=+.223830x tx t +-=.(3)(3)0x t x t -+=.∴13tx =，23x t =-（舍）.∴CN =3t ， …………………………………………………………………7分AN =. ∵EB ∥y 轴， ∴EB ⊥x 轴. ∵CD ⊥AB ， ∴CD ∥EB .∴12AC AN AB AF ==.∴AF .∴MF = AF -AM =.∴tan 3DM DFA MF ⎫∠==÷=⎪⎪⎝⎭. ………………………………8分。
2010-2011学年北京市西城区八年级(下)期末数学试卷
2010-2011学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷2010-2011学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（2009•肇庆）函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x＞5B．x＜5C．x≥5D．x≤52．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）A．6，8，10B．8，15，17C．1，，2D．2，2，3．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（）A．y=﹣3x B．y=﹣x+4C．D．4．对角线相等且互相平分的四边形一定是（）A．等腰梯形B．矩形C．菱形D．平行四边形5．已知关于x的方程x2﹣6x+m﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜10B．m=10C．m＞10D．m≥106．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠DBC=30°，AD=5，则BC等于（）A．5B．7.5C．D．107．用配方法解方程x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程是（）A．（x﹣2）2=1B．（x﹣2）2=﹣1C．（x﹣2）2=3D．（x+2）2=38．图为在某居民小区中随机调查的10户家庭一年的月均用水量（单位：t）的条形统计图，则这10户家庭月均用水量的众数和中位数分别是（）A．6.5，6.5B．6.5，7C．7，7D．7，6.59．如图，点M，N在反比例函数（x＞0）的图象上，点A，C在y轴上，点B，D在x轴上，且四边形OBMA 是正方形，四边形ODNC是矩形，CN与MB交于点E，下列说法中不正确的是（）A．正方形OBMA的面积等于矩形ODNC的面积B．点M的坐标为（6，6）C．矩形ODNC的面积为6D．矩形CEMA的面积等于矩形BDNE的面积10．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP=EF；②∠PFE=∠BAP；③PD=EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）11．若，则x﹣y的值为_________．12．在“2011年北京郁金香文化节”中，北京国际鲜花港的3×106株郁金香为京城增添了亮丽的色彩．若这些郁金香平均每平方米种植的数量为n（单位：株/平方米），总种植面积为S（单位：平方米），则n与S的函数关系式为_________．（不要求写出自变量S的取值范围）13．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOD=120°，BD=8，则AB的长为_________．14．点A（2，3）在反比例函数的图象上，当1≤x≤3时，y的取值范围是_________．15．菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，顺次连接菱形ABCD各边的中点所得四边形的面积为_________．16．若关于x的方程x2+mx﹣12=0的一个根是4，则m=_________，此方程的另一个根是_________．17．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=10cm，点E 在AB边上，将△EBC沿EC所在直线折叠，使点B落在AD边上的点B′处，则AE的长为_________cm．点都在格点上；拼接时图形互不重叠，不留空隙），如果用这4个直角梯形拼接成一个等腰梯形，那么（1）仿照图1，在图2中画出一个拼接成的等腰梯形；（2）这个拼接成的等腰梯形的周长为_________．三、解答题（共2小题，满分16分）19．计算：（1）；（2）．20．解方程：（1）x2﹣3x=7+x；（2）2x（x﹣1）=3（1﹣x）．四、解答题（本题共21分，第21题6分，第22、23、24题每题5分）21．已知：如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．（2）在某场比赛中，因对方球员技术犯规需要凯尔特人队选派一名队员进行罚球，你认为甲，乙两位球员谁来罚球更好？（请通过计算说明理由）23．为了增强员工的团队意识，某公司决定组织员工开展拓展活动．从公司到拓展活动地点的路程总长为126千米，活动的组织人员乘坐小轿车，其他员工乘坐旅游车同时从公司出发，前往拓展活动的目的地．为了在员工们到达之前做好活动的准备工作，小轿车决定改走高速公路，路程比原路线缩短了18千米，这样比按原路线行驶的旅游车提前24分钟到达目的地．已知小轿车的平均速度是旅游车的平均速度的1.2倍，求这两种车平均每小时分别行驶多少千米．24．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=8，DC=10，点M是AB边的中点．（1）求证：CM⊥DM；（2）求点M到CD边的距离．五、解答题（本题共17分，第25题6分，第26题5分，第27题6分）25．已知：如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（m，4）和点B（﹣4，﹣2）．（1）求一次函数y=ax+b和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象，直接写出不等式的解集．26．已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，点M为EC的中点．（1）如图，当点D，E分别在AC，AB上时，求证：△BMD为等腰直角三角形；（2）如图，将图中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，使点D落在AB上，此时问题（1）中的结论“△BMD为等腰直角三角形”还成立吗？请对你的结论加以证明．27．已知：如图1，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2）．点D是线段BC上的一个动点（点D与点B，C不重合），过点D作直线y=﹣+b交折线O﹣A﹣B于点E．（1）在点D运动的过程中，若△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式，并写出自变量的取值范围；OA于点D，M，O′A′分别交CB，OA点N，E．求证：四边形DMEN是菱形；（3）问题（2）中的四边形DMEN中，ME的长为_________．2010-2011学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（2009•肇庆）函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x＞5B．x＜5C．x≥5D．x≤5考点：函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件。
北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末试卷(南区)数学word
北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末试卷（南区）九年级数学 2012.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．抛物线2(1)1y x =-+的顶点坐标为A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)--2．若相交两圆的半径分别为4和7，则它们的圆心距可能是A ．2B ．3C ． 6D ．113．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB tan A 的值为A B C ．12D ．2 4． 如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于E ，连接BD ，若∠D =30°，BD =2，则AE 的长为A ．2B ．3C ．4D ．55．下列图形中，中心对称图形有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现大于3点的概率为A ．21 B ．31 C ．41 D ．61 7．如图，抛物线2y ax bx c =++经过点（-1,0），对称轴为x =1，则下列结论中正确的是A ．0>aB ．当1>x 时，y 随x 的增大而增大C ．0<cD ．3x =是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A ，(0,2)B ，⊙C 的圆心为点(1,0)C -，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于E 点，则△ABE 面积的最大值是A ．2B ． 83C ．2+D ． 2二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠OCB ＝40°，则∠A= °．10．将抛物线2y x =先向下平移1个单位长度后，再向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是 ．11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AB =4．以斜边AB 的中点D 为旋转中心，把△ABC 按逆时针方向旋转α角（0120α︒<<︒），当点A 的对应点与点C 重合时，B ，C 两点的对应点分别记为E ，F ，EF 与AB 的交点为G ，此时α等于 °，△DEG 的面积为 ． 12．已知二次函数212y x x =-+，（1）它的最大值为 ；（2）若存在实数m ， n 使得当自变量x 的取值范围是m ≤x ≤n 时，函数值y 的取值范围恰好是3m ≤y ≤3n ，则m= ，n= ．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：2cos302sin 45︒︒-︒．14．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，且点A ，B ，C ，P 均为格点.（1） 在网格中作图：以点P 为位似中心，将△ABC 的各边长放大为原来的两倍，A ，B ，C 的对应点分别为A 1 ，B 1 ，C 1；（2） 若点A 的坐标为（1,1），点B 的坐标为（3,2），则（1）中点C 1的坐标为 .15．已知抛物线245y x x =+-.（1）直接写出它与x 轴、y 轴的交点的坐标；（2）用配方法将245y x x =+-化成2()y a x h k =-+的形式．16．如图，三角形纸片ABC 中，∠BCA =90°，∠A =30°，AB =6，在AC 上取一点 E ，沿BE 将该纸片折叠，使AB 的一部分与BC 重合，点A 与BC 延长线上的点D 重合，求DE 的长.17．学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形的一边AB 的长为x 米（要求AB ＜AD ），矩形ABCD 的面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；（2）要想使花圃的面积最大，AB 边的长应为多少米？18．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线与BC ，AB 的交点分别为D ，E ．（1）若AD =10，4sin5ADC ∠=，求AC 的长和tan B 的值； （2）若AD=1，ADC ∠=α，参考（1）的计算过程直接写出tan2α的值（用sin α和cos α的值表示）．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，正方形PABC 的边长为1，将其沿x 轴的正方向连续滚动，即先以顶点A为旋转中心将正方形PABC 顺时针旋转90°得到第二个正方形，再以顶点D 为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90°得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方形，…，第n 个正方形．设滚动过程中的点P 的坐标为(,)x y ．（1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点P 的坐标；（2）画出点(,)P x y 运动的曲线（0≤x ≤4），并直接写出该曲线与x 轴所围成区域的面积．20．已知函数2y x bx c =++（x ≥ 0），满足当x =1时，1y =-，且当x = 0与x =4时的函数值相等．（1） 求函数2y x bx c =++（x ≥ 0）的解析式并画出它的图象（不要求列表）；（2） 若()f x 表示自变量x 相对应的函数值，且2 (0),() 2 (0),x bx c x f x x ⎧++≥=⎨-<⎩又已知关于x 的方程()f x x k =+有三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数k 的取值范围．21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线与⊙O 的交点为D ，DE ⊥AC ，与AC 的延长线交于点E ．（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线；（2）若OE 与AD 交于点F ，4cos 5BAC ∠=，求DF AF的值．22．阅读下列材料：题目：已知实数a ，x 满足a ＞2且x ＞2，试判断ax 与a x +的大小关系，并加以说明.思路：可用“求差法”比较两个数的大小，列出ax 与a x +的差()y ax a x =-+再说明y 的符号即可.现给出如下利用函数解决问题的方法：简解：可将y 的代数式整理成(1)y a x a =--，要判断y 的符号可借助函数(1)y a x a =--的图象和性质解决. 参考以上解题思路解决以下问题：已知a ，b ，c 都是非负数，a ＜5，且 2220a a b c ---=，2230a b c +-+=．（1）分别用含a 的代数式表示4b ，4c ；（2）说明a ，b ，c 之间的大小关系．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知抛物线2(2)2y kx k x =+--（其中0k >）．（1）求该抛物线与x 轴的交点及顶点的坐标(可以用含k 的代数式表示)；（2）若记该抛物线顶点的坐标为(,)P m n ，直接写出n 的最小值；（3）将该抛物线先向右平移12个单位长度，再向上平移1k个单位长度，随着k 的变化，平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求新函数的解析式（不要求写自变量的取值范围）．24．已知：⊙O 是△ABC 的外接圆，点M 为⊙O 上一点.（1）如图，若△ABC 为等边三角形，BM =1，CM =2，求AM 的长；（3） 若△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC =90︒，BM a =，CM b =（其中b a >），直接写出AM 的长(用含有a ，b 的代数式表示).25． 已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy 中，A ，C 两点的坐标分别为(2,3)A ，(,3)C n -（其中n ＞0），点B在x 轴的正半轴上．动点P 从点O 出发，在四边形OABC 的边上依次沿O —A —B —C 的顺序向点C 移动，当点P 与点C 重合时停止运动．设点P 移动的路径的长为l ，△POC 的面积为S ，S 与l 的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF 是等腰梯形．（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m = ；（2）求B ，C 两点的坐标及图2中OF 的长；（3）在图1中，当动点P 恰为经过O ，B 两点的抛物线W 的顶点时，① 求此抛物线W 的解析式；② 若点Q 在直线1y =-上方的抛物线W 上，坐标平面内另有一点R ，满足以B ，P ，Q ，R 四点为顶点的四边形是菱形，求点Q 的坐标．。
北京市西城区(南区)2013年八年级下期末数学试卷及答案
北京市西城区（南区）2012－2013学年下学期八年级期末质量检测数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 下列函数中，不是一次函数的是A. 4+-=x yB. x y 52=C. x y 321-=D. xy 7=2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是3. 一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是 A. 四边形B. 五边形C. 六边形D. 八边形4. 正方形具有而矩形没有的性质是 A. 对角线互相平分 B. 每条对角线平分一组对角 C. 对角线相等D. 对边相等5. 下列各点中，在双曲线xy 12-=上的点是A. （－2，3）B. （4，3）C. （－2，－6）D. （6，－2）6. 甲、乙、丙、丁四名学生10次小测验成绩的平均数（单位：分）和方差如下表：选手 甲 乙 丙 丁 平均数 92 92 92 92 方差 3.61.21.42.2则这四人中成绩最稳定的是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁7. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知AD ＝8cm ，AB ＝6cm ，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于A. 2cmB. 4cmC. 6cmD. 8cm8. 一次函数22-=x y 的图象不经过．．．的象限是 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限9. 某人驾车从A 地走高速公路前往B 地，中途在服务区休息了一段时间。
出发时油箱中存油40升，到B 地后发现油箱中还剩油4升，则从A 地出发到达B 地的过程中，油箱中所剩燃油y （升）与时间t （小时）之间的函数图象大致是10. 如图，A 、B 是函数=y x2的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则A. 2=SB. 4=SC. 42<<SD. 4>S11. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝90°，AD ＝DC ＝4，AB ＝1，BC 的长度是A. 5B. 4C. 7D. 612. 如图，△ABC 中，BC ＝18，若BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，F 、G 分别为BC 、DE 的中点，若ED ＝10，则FG 的长为A. 142B. 9C. 10D. 无法确定二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。
北京市西城区2013年7月高一数学期末试卷
北京市西城区（北区）2012 — 2013学年度第二学期学业测试高一数学 2013.7试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．在数列{}n a 中，12n n a a +=+，且11=a ，则4a 等于 ( ) A. 8B. 6C. 9D. 72．将一根长为3米的绳子在任意位置剪断，则剪得两段的长度都不小于1米的概率是( ) A.14B.13C.12D.233．在ABC ∆中，若222a b c +<，则ABC ∆的形状是( ) A.锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定4．若0a b <<，则下列不等式成立的是( ) A. 33a b >B. a b <C.11a b> D.11a b< 5．若实数,x y 满足1000x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤，，，则2z x y =+的最小值是( )A. 21-B. 0C. 1D. 1-6．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ） A. 2B. 12-C. 3D. 237．已知在100件产品有5件次品，从中任意取出3件产品，设A 表示事件“3件产品全不是次品”，B 表示事件“3件产品全是次品”，C 表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是( ) A. B 与C 互斥 B. A 与C 互斥C. 任意两个事件均互斥D. 任意两个事件均不互斥8．口袋中装有三个编号分别为1，2，3的小球. 现从袋中随机取球，每次取一个球，确定 编号后放回，连续取球两次. 则“两次取球中有3号球”的概率为（ ） A.59B.49C.25D.129．设O 为坐标原点，点(4,3)A ，B 是x 正半轴上一点，则OAB ∆中OBAB的最大值为（ ） A.43B.53C.54D. 4510. 对于项数为m 的数列{}n a 和{}n b ，记k b 为12,,,(1,2,,)k a a a k m =中的最小值.给出下列判断:①若数列{}n b 的前5项是5,5,3,3,1，则43a =；②若数列{}n b 是递减数列，则数列{}n a 也一定是递减数列； ③数列{}n b 可能是先减后增数列； ④若1+=(1,2,,)k m k b a C k m -+=，C 为常数，则(1,2,,)i i a b i m ==.其中，正确判断的序号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ②10.略解：关于④.由已知+1k k b b ≥，所以1m k m k C a C a -+--≥-，1m k m k a a -+-≤， 即{}n a 为不严格减数列， 所以(1,2,,)i i a b i m ==.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 11. 不等式220x x -<的解集为_______.12. 在ABC ∆中，2,150b c A ==，则a =_______.13. 某校高一年级三个班共有学生120名，这三个班的男、女生人数如右表所示.已知在全年级学生中随机抽取1名，抽到二班 女生的概率是0.2.则x =_______；现用分层抽 样的方法在全年级抽取30名学生，则应在三班 抽取的学生人数为_______.14. 甲、乙两人各参加了5次测试，将他们在各次测试中的得分绘制成如图所示的茎叶图.已知甲、乙二人得分的平均数相同，则m =_______；乙得分 的方差等于_______.15. 已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项的和.且53a =-，327S =-，则1a =_______；当n S 取得最小值时，n =_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分13分）在等比数列{}n a 中，已知126a a +=，2312a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是等差数列，且22b a =，44b a =，求数列{}n b 的公差，并计算1234100b b b b b -+-+-的值.18.（本小题满分13分）某市某年一个月中30天对空气质量指数的监测数据如下:61 76 70 56 81 91 55 91 75 8188 67 101 103 57 91 77 86 81 8382 82 64 79 86 85 75 71 49 45（Ⅰ）完成右面的频率分布表；（Ⅱ）完成右面的频率分布直方图，并写出频Array率分布直方图中a的值；（Ⅲ）在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天，求这两天中至少有一天空气质量指数在区间[101,111)内的概率.19.（本小题满分13分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，已知3c =，3C π=. （Ⅰ）若sin 2sin B A =，求,a b 的值； （Ⅱ）求22a b +的最大值.20.（本小题满分14分）已知函数()(1)(1)f x ax x =-+.（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在区间[1,2]-上的值域；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[1,)-+∞上是减函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）解关于x 的不等式()0f x <.21.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112()2n n S -=-，*n ∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项； （Ⅱ）设数列(215)n n b n a =-，（ⅰ）求数列{}n b 的前n 项和为n T ； （ⅱ）求n b 的最大值.22.（本小题满分13分）对于数列123:,,(,1,2,3)i A a a a a i ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列A 变换成数列123:,,B b b b ，其中1||(1,2)i i i b a a i +=-=，且331||b a a =-. 这种“T 变换”记作()B T A =，继续对数列B 进行“T 变换”，得到数列123:,,C c c c ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束.（Ⅰ）写出数列:2,6,4A 经过5次“T 变换”后得到的数列；（Ⅱ）若123,,a a a 不全相等，试问数列123:,,A a a a 经过不断的“T 变换”是否会结束，并说明理由；（Ⅲ）设数列:400,2,403A 经过k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小，求k 的最小值.北京市西城区（北区）2012 — 2013学年度第二学期学业测试高一数学参考答案及评分标准 2013.7一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. D2. B3. C4. C5. A6. D7. B8. A9. B 10. B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. {x 10}2x << 12.13. 24，914. 6，8.4 15. 11-，6 16. (,13]-∞ 注：一题两空的试题，第一空2分，第二空3分； 三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17. 解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知116a a q +=，21112a q a q +=， …………………2分 两式相除，得2q =. …………………4分 所以12a =， …………………6分 所以数列{}n a 的通项公式2n n a =. …………………7分 （Ⅱ）设等差数列{}n b 的公差为d ，则14b d +=，1316b d +=， …………………9分 解得12b =-，6d =， …………………11分1234100123499100()()()b b b b b b b b b b b -+-+-=-+-++- ………………12分50300d =-=-. …………………13分18. 解：（Ⅰ）如下图所示. ……………………4分 （Ⅱ）如下图所示. ……………………6分由已知，空气质量指数在区间[71,81)的频率为630，所以0.02a =.………………8分（Ⅲ）设A 表示事件“在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天，这两天中至少有一天空气质量指数在区间[101,111)内”，由已知，质量指数在区间[91,101)内的有3天， 记这三天分别为,,a b c ，质量指数在区间[101,111)内的有2天， 记这两天分别为,d e ， 则选取的所有可能结果为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e b c b d b e (,),(,),(,)c d c e d e .基本事件数为10. …………………10分 事件“至少有一天空气质量指数在区间[101,111)内”的可能结果为：(,),(,),(,),(,),a d a e b d b e (,),(,),(,)c d c e d e .基本事件数为7， …………………12分 所以7()0.710P A ==. …………………13分 19. 解：（Ⅰ）因为sin 2sin B A =，由正弦定理可得2b a =， …………………3分由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， …………………5分 得222942a a a =+-， …………………7分 解得23a =， …………………8分所以a =2b a ==. …………………9分 （Ⅱ）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得229ab a b =+-， …………………10分又222a b ab +≥， …………………11分所以2218a b +≤，当且仅当a b =时，等号成立. …………………12分所以22a b +的最大值为18. …………………13分 20. 解：（Ⅰ）当1a =时，2()1f x x =-，函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递减，在区间[0,)+∞上单调递增，所以，()f x 在区间[1,2]-上的最小值为(0)1f =-， …………………2分 又(2)(1)f f >-，所以()f x 在区间[1,2]-上的最大值为(2)3f =. …………………3分()f x 在区间[1,2]-上的值域为[1,3]-. …………………4分（Ⅱ）当0a =时，()1f x x =--，在区间[1,)-+∞上是减函数，符合题意. …………5分当0a ≠时，若函数()f x 在区间[1,)-+∞上是减函数，则0a <，且11a≤-， …………………7分 所以10a -≤<， …………………9分所以a 的取值范围是[1,0]-.（Ⅲ）由已知，解不等式(1)(1)0ax x -+<.当0a =时，1x >-. …………………10分 当0a >时，1()(1)0x x a -+<，解得11x a-<<. …………………11分 当0a <时，1()(1)0x x a-+>， 若11a=-，即1a =-时，1x ≠-； …………………12分 若11a >-，即1a <-时，1x <-或1x a >； …………………13分 若11a <-，即10a -<<时，1x a<或1x >-. …………………14分 综上，当0a >时，不等式的解集为1{1}x x a-<<； 当0a =时，不等式的解集为{1}x x >-； 当10a -<<时，不等式的解集为1{1}x x x a<>-或,； 当1a =-时，不等式的解集为{1}x x ≠-； 当1a <-时，不等式的解集为1{1,}x x x a<->或.21. 解：（Ⅰ）由已知，当1n =时，111a S ==. …………………1分当2n ≥时，1n n n a S S -=- …………………2分1211112()[2()]()222n n n ---=---=， …………………3分综上，11()2n n a -=，*n ∈N . …………………4分（Ⅱ）（ⅰ）11(215)()2n n b n -=-， 所以2111113(11)(9)()(215)()222n n T n -=-+-+-++-， …………………5分2111111(13)(11)()(217)()+(215)()22222n n n T n n -=-+-++--， ……6分两式相减，得21111111322()2()(215)()22222n nn T n -=-+⨯+⨯++⨯-- ……8分211111132[()()](215)()2222n n n -=-++++-- 2111132()(215)()(112)()11222n n nn n -=-+---=--.所以11(112)()222n n T n -=--. …………………10分（ⅱ）因为11111(213)()(215)()(172)()222n n nn n b b n n n -+-=---=-.………………11分令10n n b b +->，得172n <. …………………12分 所以129b b b <<<，且910b b >>，即9b 最大， …………………13分 又8991333()2256b a ==⨯=.所以，n b 的最大值为3256. …………………14分22. 解：（Ⅰ）依题意，5次变换后得到的数列依次为4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2； ………3分所以，数列:2,6,4A 经过5次“T 变换”后得到的数列为2,0,2， …………………4分 （Ⅱ）数列A 经过不断的“T 变换”不可能结束. …………………5分设数列123:,,D d d d ，123:,,E e e e ，:0,0,0F ，且()T D E =，()T E F =. 依题意，120e e -=，230e e -=，310e e -=，所以123e e e ==.即非零常数列才能通过“T 变换”结束. …………① …………………6分 设123e e e e ===（e 为非零自然数）.为变换得到数列E 的前两项，数列D 只有四种可能：111:,,2D d d e d e ++；111:,,D d d e d +；111:,,D d d e d -；111:,,2D d d e d e --.而任何一种可能中，数列E 的第三项是0或2e .即不存在数列D ，使得其经过“T 变换”成为非零常数列. …………②……………8分 由①②得，数列A 经过不断的“T 变换”不可能结束.（Ⅲ）数列A 经过一次“T 变换”后得到数列:398,401,3B ，其结构为,3,3a a +.数列B 经过6次“T 变换”得到的数列分别为：3,,3a a -；3,3,6a a --；6,9,3a a --；3,12,9a a --；15,3,12a a --；18,15,3a a --．所以，经过6次“T 变换”后得到的数列也是形如“,3,3a a +”的数列，变化的是，除了3之外的两项均减小18． …………………10分因为39818222=⨯+，所以，数列B 经过622132⨯=次“T 变换”后得到的数列为2,5,3．接下来经过“T 变换”后得到的数列分别为：3,2,1；1,1,2；0,1,1；1,0,1；1,1,0；0,1,1；1,0,1，…….至此，数列和的最小值为2，以后数列循环出现，数列各项和不会更小．………12分++=次“T变换”得到的数列各项和达到最小.所以经过11323136即k的最小值为136. …………………13分。
西城2014高一下期末
北京市西城区2013-2014学年下学期高一年级期末考试数学试卷（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
1. 不等式3)2(<+x x 的解集是（ ）（A ）{13<<-x x } （B ）{31<<-x x }（C ）{,3-<x x 或1>x }（D ）{,1-<x x 或3>x } 2. 在等比数列{n a }中，若=321a a a —8，则2a 等于（ ） （A ）—38 （B ）—2（C ）38±（D ）2±3. 总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成。
利用下面的随机数表选取4个个体。
选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（ ）7806 6572 0802 6314 2947 1821 9800 3204 9234 4935 3623 4869 6938 7481（A ）02（B ）14（C ）18（D ）294. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）（A ）1（B ）5（C ）14（D ）305. 在△ABC 中，若C B A 222sin sin sin <+，则△ABC 的形状是（ ） （A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）无法确定 6. 已知不等式015<+-x x 的解集为P 。
若P x ∈0，则“10<x ”的概率为（ ） （A ）41 （B ）31 （C ）21 （D ）327. 设0,0>>b a ，则下列不等式中不．恒成立的是（ ） （A ）aa 1+≥2 （B ）22b a +≥2（1-+b a ） （C ）b a -≥b a -（D ）33b a +≥22ab8. 已知数列A ：1a ，2a ，…，n a （<<≤210a a …3,≥<n a n ）具有性质P ：对任意)1(,n j i j i ≤≤≤,i j i j a a a a -+与两数中至少有一个是该数列中的一项。
2023-2024学年北京市西城区八年级(上)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.火纹是一种常见的装饰图案，多用于建筑、家具设计等.下列火纹图案中，可以看成处轴对称图形的是( )A. B.C. D.2.下列运算中，正确的是( )A. B. C. D.3.在平面直角坐标系xOy中，点关于x轴的对称点坐标是( )A. B. C. D.4.下列各式从左到右变形一定正确的是( )A. B. C. D.5.如图，在中，，，BD是的角平分线.若点D到BC的距离为3，则AC的长为( )A. 12B.C. 9D. 66.如果，那么代数式的值为( )A. B. C. 6 D. 137.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，且，则点C的横坐标为( )A. B. C. D.8.如图，在中，，，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点.当四边形DEMN的周长最小时，的大小是( )A. B. C. D.二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.计算：______；______.10.若分式有意义，则x的取值范围是______.11.计算：______.12.如图，为等腰三角形，，，连接BD，只需添加一个条件即可证明≌，这个条件可以是______写出一个即可13.如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用1张甲种纸片、4张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成无重叠、无缝隙一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为______用含a，b的式子表示14.甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲3h清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书.如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要xh，则根据题意可列方程为______.15.在正三角形纸片ABC上按如图方式画一个正五边形DEFGH，其中点F，G在边BC上，点E，H分别在边AB，AC上，则的大小是______16.如图，动点C与线段AB构成，其边长满足，，点D在的平分线上，且，则a的取值范围是______，的面积的最大值为______.三、解答题：本题共10小题，共84分。
2014-2015学年北京市西城区八年级第二学期期末数学试题(含附加题及答案)
北京市西城区2014— 2015学年度第二学期期末试卷八年级数学 2015.7试卷满分：100分，考试时间：100分钟一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．下列图案中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）．A B C D 2．下列各组数中，以它们为边长的线段不能．．构成直角三角形的是（ ）．A ．2，2，3B ．3，4，5C ．5，12，13D ．13．已知□ABCD 中，∠A +∠C =200°，则∠B 的度数是（ ）． A ．100° B ．160° C ．80°D ．60°4．如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ．若∠AOB =60°，BD =8，则AB 的长 为（ ）．A ．4B ．C ．3D ．55. 如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数ky x=（0x <）的 图象经过点A ，则k 的值为（ ）．A ．2B ．2-C ．4D ．4-6．某篮球兴趣小组有15名同学，在一次投篮比赛中，他们的成绩如右面的条形图所示．这15名 同学进球数的众数和中位数分别是（ ）．A ．10，7B ．7，7C ．9，9D ．9，7 7．下列命题中正确的是（ ）． A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形8．某小区2014年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2016年屋顶绿化面积要达到2880 平方米．若设屋顶绿化面积的年平均增长率为x ，则依题意所列方程正确的是（ ）．A ．22000(1)2880x +=B ．22000(1)2880x -=C ．2000(12)2880x +=D ．220002880x = 9．若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为（ ）．A ．10B ．C ．10或D ．10 10．如图，以线段AB 为边分别作直角三角形ABC 和等边三角形ABD ，其中∠ACB =90°．连接CD ，当CD 的长度最大时，此时∠CAB 的 大小是（ ）．A ．75°B ．45°C ．30°D ．15°二、填空题（本题共24分，每小题3分）11．若2x =是关于x 的一元二次方程0132=+++m x x 的一个解，则m 的值为 ．12．如图，为估计池塘岸边A ，B 两点间的距离，在池塘的一侧选取点O ，分别取OA ，OB 的中点M ，N ，测得MN =32m ， 则A ，B 两点间的距离是 m ．13．2015年8月22日，世界田径锦标赛将在北京举行，甲、乙、丙、丁四位跨栏运动员在为该运动会积极准备．在某天“110米跨栏”训练中，每人各跑5次，据统计，他们的平均成绩都是13.6秒，甲、乙、丙、丁的成绩的方差分别是0.07，0.03，0.05，0.02．则当天这四位运动员中“110米跨栏”的训练成绩最稳定运动员的是 ．14．双曲线xy 2=经过点A (2，y 1)和点B (3，y 2)，则y 1 y 2．（填“＞”、“＜”或“＝”）15. 如图，□ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ⊥AC ． 若AB =4，AC =6，则BD 的长为 ．16．将一元二次方程2830x x ++=化成2()x a b +=的形式，则a b+的值为．17．如图，将□ABCD绕点A逆时针旋转30°得到□AB′C′D′，点B′恰好落在BC边上，则∠DAB′= °．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点B在x轴上，OA=1，∠AOC=60°．当菱形OABC开始以每秒转动60度的速度绕点O逆时针旋转时，动点P同时从点O出发，以每秒1个单位的速度沿菱形OABC的边逆时针运动．当运动时间为1点P的坐标是；当运动时间为2015秒时，点P的坐标是．三、解答题（本题共20分，第19题10分，其余每小题5分）19．解方程：（1）2x--=；（2）2260(5)90+-=．x x解：解：20．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE ∥CF，且分别交对角线BD于点E，F．（1）求证：△AEB≌△CFD ；（2）连接AF，CE，若∠AFE=∠CFE，求证：四边形AFCE是菱形．证明：（1）（2）21．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2-，1-），B（4-，1），C（3-，3）．△ABC关于原点O对称的图形是△A1B1C1．（1）画出△A1B1C1；（2）BC与B1C1的位置关系是_______________，AA1的长为_____________；（3）若点P（a，b）是△ABC 一边上的任意一点，则点P经过上述变换后的对应点P1的坐标可表示为_________________．四、解答题（本题共12分，每小题6分）22．“中国汉字听写大会”是由中央电视台和国家语言文字工作委员会联合主办的节目，希望通过节目的播出，能吸引更多的人关注对汉字文化的学习．某校也开展了一次“汉字听写”比赛，每位参赛学生听写40个汉字．比赛结束后随机抽取部分学生的听写结果，按听写正确的汉字个数x 绘制成了以下不完整的统计图．根据以上信息回答下列问题：（1）本次共随机抽取了___________名学生进行调查，听写正确的汉字个数x 在______________范围的人数最多； （2）补全频数分布直方图；（3）各组的组中值如下表所示．若用各组的组中值代表各组每位学生听写正确的汉字个数，求被调查学生听写正确的汉字个数的平均数；（4）该校共有1350名学生，如果听写正确的汉字个数不少于21个定为良好，请你估计该校本次“汉字听写”比赛达到良好的学生人数． 解：（3）（4）23．已知关于x 的一元二次方程22(22)40x m x m +++-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为负整数，且该方程的两个根都是整数，求m 的值．解：（1）（2）五、解答题（本题共14分，每小题7分）24．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，72-）在直线3122y x=--上，AB∥y轴，且点B的纵坐标为1，双曲线myx=经过点B．（1）求a的值及双曲线myx=的解析式；（2）经过点B的直线与双曲线myx=的另一个交点为点C，且△ABC的面积为274．①求直线BC的解析式；②过点B作BD∥x轴交直线3122y x=--于点D，点P是直线BC上的一个动点．若将△BDP以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．解：（1）（2）①②点P的坐标为___________________________．25．已知：在矩形ABCD和△BEF中，∠DBC=∠EBF=30°，∠BEF=90°．（1）如图1，当点E在对角线BD上，点F在BC边上时，连接DF，取DF的中点M，连接ME，MC，则ME与MC的数量关系是，∠EMC=________°；（2）如图2，将图1中的△BEF绕点B旋转，使点E在CB的延长线上，（1）中的其他条件不变．①（1）中ME与MC的数量关系仍然成立吗？请证明你的结论；②求∠EMC的度数．图1 图2解：（2）①②北京市西城区2014— 2015学年度第二学期期末试卷八年级数学附加题2015.7试卷满分：20分一、填空题（本题6分）1．若一个三角形的三条边满足：一边等于其他两边的平均数，我们称这个三角形为“平均数三角形”．（1）下列各组数分别是三角形的三条边长：①5，7，5； ②3，3，3； ③6，8，4； ④1，2．其中能构成“平均数三角形”的是 ；（填写序号） （2）已知△ABC 的三条边长分别为a ，b ，c ，且a＜b＜c ．若△ABC 既是 “平均数三角形”，又是直角三角形，则ab的值为___________． 二、解答题（本题共14分，每小题7分）2．阅读下列材料：某同学遇到这样一个问题：在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y x =-，点A （1，t ）在反比例函数3y x=（0x >）的图象上，求点A 到直线l 的距离．如图1，他过点A 作AB ⊥l 于点B ，AD ∥y 轴分别交x 轴于点C ，交直线l 于点D ．他发现OC =CD ，∠ADB =45°，可求出AD 的长，再利用Rt △ABD 求出AB 的长，即为点A 到直线l 的距离． 请回答：图1中，AD = ，点A 到直线l 的距离= ． 参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y x =-，点M （a ，b ）是反比例函数k y x=（0x >）的图象上的一个动点，且点M 在第一象限，设点M 到直线l 的距离为d ． （1）如图2，若a =1，d=k = ； （2）如图3，当k =8时，①若d=，则a = ；②在点M 运动的过程中，d 的最小值为 ．（1）如图1，求证：DE =DF ；（2）若点D 关于直线EF 的对称点为H ，连接CH ，过点H 作PH ⊥CH 交直线AB 于点P ．①在图2中依题意补全图形； ②求证：E 为AP 的中点；（3）如图3，连接AC 交EF 于点M ，求2AMAB AE的值．（1）证明：（2）②证明：（3）解：北京市西城区2014— 2015学年度第二学期期末试卷八年级数学参考答案及评分标准 2015.7一、选择题（本题共30分，每小题3分）图2图3三、解答题（本题共20分，第19题10分，其余每小题5分）19．（1）解：2(5)9x -=． ………………………………………………………………1分得53x -=±． …………………………………………………………………3分即53x -=，或53x -=-．解得18x =，22x =． …………………………………………………………5分（2）解：1a =，2b =，6c =-． ………………………………………………………1分224241(6)28b ac ∆=-=-⨯⨯-=． …………………………………………2分方程有两个不相等的实数根x = …………………………3分 1==-±． 即11x =-+，21x =--． ……………………………………………5分20．证明：（1）如图1．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AB=DC ．………………1分∴∠1=∠2．∵AE ∥CF ，∴∠3=∠4． ………………………2分在△AEB 和△CFD 中，34,12,,AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEB ≌△CFD ． ………………………………………………………3分（2）如图2．∵△AEB ≌△CFD ，∴AE =CF ．∵AE ∥CF ，∴四边形AFCE 是平行四边形． ∵∠5=∠4，∠3=∠4，∴∠5=∠3．图1∴AF =AE ．∴四边形AFCE 是菱形． …………………………………………………5分21．解：（1）如图3；…………………………………2分（2）BC ∥B 1C 1，；……………………4分（3）（a -，b -）．…………………………5分四、解答题（本题共12分，每小题6分）22．解：（1）50，21≤x <31；…………………………2分（2）如图4； ………………………………4分（3）6516152620361050x ⨯+⨯+⨯+⨯= =23（个）． ………………………5分（4）2010135081050+⨯=（人）．…………………………………………………6分 答：估计该校本次“汉字听写”比赛达到良好的学生人数约为810人．23．解：（1）∵一元二次方程22(22)40x m x m +++-=有两个不相等的实数根， ∴2224(22)41(4)b ac m m ∆=-=+-⨯⨯- ………………………………1分 8200m =+> ……………………………………………………………2分∴52m >-．……………………………………………………………………3分 （2）∵m 为负整数，∴1m =-或2-． ……………………………………………………………4分 当1m =-时，方程230x -=的根为1x =2x =舍去． …………………………………………………………………………5分当2m =-时，方程220x x -=的根为10x =，22x =都是整数，符合题意．综上所述 2m =-． …………………………………………………………6分24．解：（1）∵点A （a ，72-）在直线3122y x =--上， ∴731222a -=--． ∴2a =． …………………………………………………………………… 1分∵AB ∥y 轴，且点B 的纵坐标为1，∴点B 的坐标为（2，1）．∵双曲线m y x=经过点B （2，1）， ∴12m =，即2m =． ∴反比例函数的解析式为2y x=． ………………………………………… 2分 （2）①过点C 作CE ⊥AB 于点E ，如图5．∴117[1()]222ABC S AB CE CE ∆=⋅=⨯--⨯ ∴CE =3． ∴点C 的横坐标为1-．∵点C 在双曲线2y x=上， ∴点C 的坐标为（1-，2-）． 设直线BC 的解析式为y kx b =+，则 12,2.k b k b =+⎧⎨-=-+⎩ 解得1,1.k b =⎧⎨=-⎩ ∴直线BC 的解析式为1y x =-． …………………………… 5分②（1-，2-）或（12，12-）． …………………………………………… 7分25．解：（1）ME =MC ，120； ……………………………………………………………… 2分（2）①ME =MC 仍然成立．证明：分别延长EM ，CD 交于点G ，如图6． ………………………… 3分∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DCB =90°．∵∠BEF =90°，∴∠FEB +∠DCB =180°．∵点E 在CB 的延长线上，∴FE ∥DC ．∴∠1=∠G ．∵M 是DF 的中点，∴FM=DM．在△FEM和△DGM中，∠1=∠G，∠2=∠3，FM=DM，∴△FEM≌△DGM．………………………………………………4分∴EM=GM．∴在Rt△GEC中，CM=12EG=EM．即ME=MC．………………………………………………………5分②分别延长FE，DB交于点H，如图7．∵∠4=∠5，∠4=∠6，∴∠5=∠6．∵点E在直线FH上，∠FEB=90°，∴∠HEB=∠FEB=90°．在△FEB和△HEB中，∠FEB=∠HEB，EB=EB，∠5=∠6，∴△FEB≌△HEB．∴FE=HE．∵FM=MD，∴EM∥HD．………………………………………………………………6分∴∠7=∠4=30°．∵ME=MC，∴∠7=∠8=30°．∴∠EMC=180°—∠7—∠8=180°—30°—30°=120°．…………………7分北京市西城区2014— 2015学年度第二学期期末试卷八年级数学附加题参考答案及评分标准2015.7一、填空题（本题6分）1．（1）②，③；……………………………………………………………………………4分（2）34．…………………………………………………………………………………6分二、解答题（本题共14分，每小题7分）2．解：4，2分解决问题：（1）9； ………………………………………………………………… 4分（2）① 2或4；…………………………………………………………6分② 4．……………………………………………………………… 7分3．（1）证明：如图1．∵四边形ABCD 是正方形，∴DA =DC ，∠DAE =∠ADC =∠DCB =90°．∴∠DCF =180°—90°=90°．∴∠DAE =∠DCF ．∵DF ⊥DE ，∴∠EDF =90°． ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3． …………………………………………………… 1分在△DAE 和△DCF 中，∠DAE =∠DCF ，DA =DC ，∠1=∠3，∴△DAE ≌△DCF ．∴DE =DF ． ………………………… 2分（2）①所画图形如图2所示．………………… 3分②证明：连接HE ，HF ，如图3．∵点H 与点D 关于直线EF 对称，∴EH =ED ，FH =FD ．∵DE =DF ，∴EH = FH =ED =FD ．∴四边形DEHF 是菱形．∵∠EDF =90°，∴四边形DEHF 是正方形． …………………………………………… 4分∴∠DEH =∠EHF =∠HFD =90°．∴∠1+∠2=90°，∠3+∠DFC =90°．∵△DAE ≌△DCF ，∴∠1=∠DFC ，AE =CF ．∴∠2=∠3．∵PH ⊥CH ，∴∠PHC =90°．∵∠4+∠5=90°，∠5+∠6=90°，∴∠4=∠6．在△HPE 和△HCF 中，∠2=∠3，EH =FH ，∠4=∠6， ∴△HPE ≌△HCF ．∴PE =CF ．∴AE =PE ．∴点E 是AP 的中点． ………………………………………………… 5分图3（3）解：过点F 作GF ⊥CF 交AC 的延长线于点G ，如图4．则∠GFC =90°．∵正方形ABCD 中，∠B =90°，∴∠GFC =∠B ．∴AB ∥GF ．∴∠1=∠G ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC ，∠1=∠2=12⨯90°=45°． ∴∠3=∠2=∠1=∠G =45°． ∴FC =FG ．∵△DAE ≌△DCF ，∴AE =CF ．∴AE =FG ．在△AEM 和△GFM 中，∠AME =∠GMF ，∠1=∠G ，AE =GF ，∴△AEM ≌△GFM ．∴AM =GM ．∴AG =2AM ． ………………………………………………………………… 6分 在Rt △ABC 中，AC ==．同理，在Rt △CFG 中，CG ．∴))AG AC CG AB CF AB AE =+==+=+．∴2)AM AB AE =+．∴2AM AB AE=+．…………………………………………………………… 7分。
2022-2023学年北京市西城区八年级(下)期末数学试卷及答案解析
2022-2023学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）1．（2分）下列各式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．（2分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A．2，3，3B．2，3，4C．2，3，5D．2，，3 3．（2分）下列计算，正确的是（）A．B．C．D．4．（2分）下列命题正确的是（）A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线相等且互相平分的四边形是菱形C．对角线垂直且互相平分的四边形是矩形D．对角线垂直、相等且互相平分的四边形是正方形5．（2分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点．若AC＝8，BC＝6，则CD 的长为（）A．10B．6C．5D．46．（2分）小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六惋菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形ABCD（如图1所示）．若AB的长度为a，则菱形ABCD的面积为（）A．B．C．a2D．7．（2分）台风影响着人们的生产和生活．人们为研究台风，将研究条件进行一定的合理简化，把近地面风速画在一个以台风中心为原点，以台风半径为横轴，风速为纵轴的坐标系中，并在图中标注了该台风的12级、10级和7级风圈半径，如12级风圈半径是指近地面风速衰减至32.7m/s时，离台风中心的距离约为150km．那么以下关于这场台风的说法中，正确的是（）A．越靠近台风中心位置，风速越大B．距台风中心150km处，风速达到最大值C．10级风圈半径约为280kmD．在某个台风半径达到最大风速之后，随台风半径的增大，风速又逐渐衰减8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC，A（0，3），B（2，3），C（2，0），点M在边OA上，OM＝1．点P在边AB上运动，连接PM，点A关于直线PM的对称点为A′．若PA＝x，MA′+A′B＝y，下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）若+＝0，则a＝，b＝．11．（2分）若△ABC的周长为6，则以△ABC三边的中点为顶点的三角形的周长等于．12．（2分）某商场招聘员工，现有甲、乙两人参加竞聘，通过计算机、语言和商品知识三项测试，他们各自成绩（百分制）和各项占比如下表所示，那么从甲、乙两人各自的平均成绩看，应该录取：．测试项目计算机语言商品知识在平均成绩中的占比50%30%20%甲的成绩708090乙的成绩90807013．（2分）如图，直线y＝mx+n与直线y＝kx+b的交点为A，则关于x，y的方程组的解是．14．（2分）小杰利用教材中的剪纸活动设计了一个魔术．他将一个长方形纸片对折两次，剪下一个角（如图1），展平后得到一个带正方形孔洞的魔术道具（如图2），这个正方形孔洞ABCD的边长为2cm（如图4）．他试图将一个直径为3cm的圆形铁环（铁环厚度忽略不计）穿过这个孔洞，没有成功，于是他对这个道具进行折叠、旋转（如图5、图6），并调整纸片产生一个新的“孔洞”（如图3）．请你计算调整前后的孔洞最“宽”处的“宽度”来说明魔术的效果．如图4中的“宽度”BD＝cm；图6中的“宽度”BD′′＝cm．15．（2分）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，BE与CF的交点在▱ABCD内．若BC＝5，AB＝3，则EF＝．16．（2分）在△ABC中，BC＝3，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC，交AB于点E，EF∥AC交BC于点F．有以下结论：①四边形EFCD一定是平行四边形；②连接DF所得四边形EBFD一定是平行四边形；③保持∠ABC的大小不变，改变BA的长度可使BF＝FC成立；④保持BA的长度不变，改变∠ABC的大小可使BF＝FC成立．其中所有的正确结论是：．（填序号即可）三、解答题（共68分，第17题10分，第18题7分，第19题9分，第20题8分，第21题9分，第22题6分，第23题10分，第24题9分）17．（10分）计算：（1）；（2）（）（）﹣．18．（7分）在平面直角坐标系xOy中，直线m：y＝2x+6与x轴的交点为A，与y轴的交点为B．将直线m向右平移3个单位长度得到直线l．（1）求点A，点B的坐标，画出直线m及直线l；（2）求直线l的解析式；（3）直线l还可以看作由直线m经过其他方式的平移得到的，请写出一种平移方式．19．（9分）尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线．已知：如图，直线l及直线l外一点P．求作：直线m，使得m∥l，且直线m经过点P．作法：①在直线l上取一点A，连接AP，以点A为圆心，AP的长为半径画弧，交直线l于点B；②分别以点P，点B为圆心，AP的长为半径画弧，两弧交于点C（不与点A重合）；③经过P，C两点作直线m．直线m就是所求作的直线．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接BC．∵AP＝＝＝，∴四边形PABC是（填“矩形”“菱形”或“正方形”）（）（填推理的依据）．∴m∥l（）（填推理的依据）．20．（8分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接BD，若∠CBD＝30°，BC＝5，，求DF的长．21．（9分）已知甲、乙两地相距60km，小徐和小马两人沿同一条公路从甲地到乙地，小徐骑自行车3h到达．小马骑摩托车比小王晚1h出发，骑行30km时追上小徐，停留nh后继续以原速骑行．在整个行程中，两人与甲地的距离y与小徐骑行时间x的对应关系分别如图中线段OA和折线段BCDE所示，DE与OA的交点为F．（1）线段OA所对应的函数表达式为，相应自变量x的取值范围是；线段BC所对应的函数表达式为，相应自变量x的取值范围是；（2）小马在BC段的速度为km/h，n＝；（3）求小马第二次追上小徐时与乙地的距离．22．（6分）某校为了解课外阅读情况，在初二年级的两个班中，各随机抽取部分学生调查了他们一周的课外阅读时长（单位：小时），并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲班学生课外阅读时长（单位：小时）：7，7，8，9，9，11，12．b．乙班学生课外阅读时长的折线图：c．甲、乙两班学生阅读时长的平均数、众数、中位数：平均数中位数众数甲班m9t乙班9n9根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，t，n的值；（2）设甲、乙两班数据的方差分别为，，则（填“＞”“＝”或“＜”）．23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对于非零的实数a，将点P（x，y）变换为称为一次“a﹣变换”．例如，对点P（2，3）作一次“3﹣变换”，得到点P′（6，1）．已知直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．若对直线l上的各点分别作同样的“a﹣变换”，点A，B变换后的对应点分别为A′，B′．（1）当a＝﹣2时，点A′的坐标为；（2）若点B′的坐标为（0，6），则a的值为；（3）以下三个结论：①线段AB与线段A′B′始终相等；②∠BAO与∠B′A′O始终相等；③△AOB与△A′OB′的面积始终相等．其中正确的是（填写序号即可），并对正确的结论加以证明．24．（9分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，M，N两点分别在AB，BC边上，BM＝BN．连接DM，取DM的中点K，连接AK，NK．（1）依题意补全图1，并写出∠AKN的度数；（2）用等式表示线段NK与AK的数量关系，并证明；（3）若AB＝6，AC，BD的交点为O，连接OM，OK，四边形AMOK能否成为平行四边形？若能，求出此时AM的长；若不能，请说明理由．四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分）25．（4分）在单位长度为1的正方形网格中，如果一个凸四边形的顶点都是网格线交点，我们称其为格点凸四边形．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ORST的四个顶点分别为O（0，0），R（0，5），S（8，5），T（8，0）．已知点E（2，4），F（0，3），G（4，2）．若点P在矩形ORST的内部，以P，E，F，G四点为顶点的格点凸四边形的面积为6，所有符合题意的点P的坐标为．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于正方形ABCD和它的边上的动点P，作等边△OPP'，且O，P，P′三点按顺时针方向排列，称点P'是点P关于正方形ABCD的“友好点”．已知A（﹣a，a），B（a，a），C（a，﹣a），D（﹣a，﹣a）（其中a＞0）．（1）如图1，若a＝3，AB的中点为M，当点P在正方形的边AB上运动时，①若点P和点P′关于正方形ABCD的“友好点”，点P′恰好都在正方形的边AB上，则点P'的坐标为；点M关于正方形ABCD的“友好点”点M′的坐标为；②若记点P关于正方形ABCD的“友好点”为P′（m，n），直接写出n与m的关系式（不要求写m的取值范围）；（2）如图2，E（﹣1，﹣1），F（2，2）．当点P在正方形ABCD的四条边上运动时，若线段EF上有且只有一个点P关于正方形ABCD的“友好点”，求a的取值范围；（3）当2≤a≤4时，直接写出所有正方形ABCD的所有“友好点”组成图形的面积．2022-2023学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）1．【分析】最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．【解答】解：A．，不是最简二次根式，不符合题意；B．是最简二次根式，符合题意；C．，不是最简二次根式，不符合题意；D．不是最简二次根式，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．2．【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵22+32≠32，∴不能够成直角三角形，不符合题意；B、∵22+32≠42，∴不能够成直角三角形，不符合题意；C、∵22+32≠52，∴不能够成直角三角形，不符合题意；D、∵22+（）2＝32，∴能够成直角三角形，符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．3．【分析】根据二次根式的加法，乘法，除法法则，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：A、＝3，故A不符合题意；B、与不能合并，故B不符合题意；C、＝×＝2×3，故C符合题意；D、÷2＝2÷2＝，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．4．【分析】根据矩形，菱形，正方形的判定定理逐项判断．【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误，不符合题意；对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，故B错误，不符合题意；对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故C错误，不符合题意；对角线垂直、相等且互相平分的四边形是正方形，故D正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握矩形，菱形，正方形的判定定理．5．【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，然后再利用直角三角形斜边上的中线性质可得CD＝AB＝5，即可解答．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∵D为斜边AB的中点，∴CD＝AB＝5，故选：C．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质，以及勾股定理是解题的关键．6．【分析】过A作AH⊥BC于H，由四边形ABCD是菱形，得到AB＝BC＝a，又∠B＝60°，推出△ABC是等边三角形，求出AH＝a，即可求出菱形ABCD的面积．【解答】解：过A作AH⊥BC于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝a，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AH＝AB＝a，∴菱形ABCD的面积＝BC•AH＝a2．故选：B．【点评】本题考查菱形的面积，等边三角形的判定和性质，菱形的面积，关键是由菱形的性质，推出△ABC是等边三角形．7．【分析】根据题目建立的函数模型，结合所给的函数图象，可以分析出风速随台风半径的变化情况，进而解决问题．【解答】解：A、根据图象可知，在图象的前段部分，风速随台风半径的增大而增大，则越靠近台风中心位置，风速越小（最小为10m/s），故A选项不符合题意；B、根据图象可知，台风半径小于100km时，风速已达到最大值，故B选项不符合题意；C、根据图象可知，10级风圈的台风半径为200km，风速为24.5m/s，故C选项不符合题意；D、根据图象可知，风速先是随台风半径的增大而增大，风速达到最大之后，又随台风半径的增大而减小，故D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了用函数思想解决实际问题，以及对给定图象的理解能力．8．【分析】先根据坐标和轴对称的性质得到MA＝MA'＝2，进而得到y＝2+A'B，然后再根据函数图象确定极值点的函数值，可排除D；然后再根据函数的最小值时，x的范围即可解答．【解答】解：∵A（0，3），B（2，3），C（2，0），∴OA＝3，AB＝2，∵OM＝1∴MA＝MA'＝2，∵MA'+A'B＝y，∴y＝2+A'B，当x＝0时，A与A'重合，A'B＝2，此时，y＝2+2＝4；当x＝2时，P与B重合，AB＝A'B＝2此时，y＝2+2＝4；故可排除D选项．∵当点M、A'、B三点共线时，y最小，此时，AP＝PA'＝A'B，∠PA'B＝90°，∴x+x＝2，∴x＜1，∴当y最小值时，x＜1，可排除B、C．故选：A．【点评】本题主要考查了函数图象的确定，掌握排除法解答的方法是本题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9．【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣2≥0，解之即可求出x的取值范围．【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2．故答案为：x≥2．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义时被开方数是非负数．10．【分析】直接利用非负数的性质得出答案．【解答】解：∵+＝0，∴a﹣1＝0，b﹣5＝0，∴a＝1，b＝5．故答案为：1，5．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．11．【分析】由三角形的中位线定理可知，以三角形三边中点为顶点的三角形的周长是原三角形周长的一半．【解答】解：如图示，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，∴DE＝BC，DF＝AC，EF＝AB，∵原三角形的周长为6，则新三角形的周长为×6＝3．故答案为：3．【点评】本题考查三角形的中位线，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．12．【分析】根据加权平均数的计算公式分别列出算式，再进行计算即可．【解答】解：甲的平均成绩为：70×50%+80×30%+90×20%＝77（分），乙的平均成绩为：90×50%+80×30%+70×20%＝83（分），∵83＞77，∴应该录取乙．故答案为：乙．【点评】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键，是一道基础题．13．【分析】根据两条直线的交点的意义即可解答．【解答】解：由函数图象可知，直线y＝mx+n与直线y＝kx+b的交点为A（1，3），∴方程组的解是．故答案为：．【点评】本题主要考查一次函数图象的交点与方程组的解的关系，理解两条直线的交点坐标的意义是解题的关键．14．【分析】根据正方形的性质及勾股定理可知BD的长为；由旋转性质及折叠的性质可知BD″＝2BC＝4cm．【解答】解：∵正方形孔洞ABCD的边长为2cm，∴对角线BD的长为＝＝2（cm），如图5，由旋转性质可知CB＝CD'＝2cm，如图6，由折叠的性质可知BD″＝2BC＝4cm，故答案为：；4．【点评】本题考查了折叠的性质，旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，掌握折叠的性质及旋转的性质是解题的关键．15．【分析】由平行线的性质和角平分线的性质可求∠ABE＝∠AEB，可得AB＝AE＝3，DF ＝CD＝3，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝3，AD∥BC，AD＝BC＝5，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝3，同理可得：DF＝CD＝3，∴EF＝AE+DF﹣AD＝3+3﹣5＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，及等腰三角形的判定和性质，题目比较简单．16．【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断①；只有一组对边平行，不能证明四边形EBFD一定是平行四边形，故可判断②；保持∠ABC的大小不变，改变BA的长度能使BF＝FC成立，故可判断③；保持BA的长度不变，改变∠ABC的大小不一定能使BF＝FC成立，故可判断④．【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD是平行四边形，故①正确；只有一组对边平行，不能证明四边形EBFD一定是平行四边形，故②错误；改变BA的长度，BD与AC的交点为中点时，则AD＝DC，∵DE∥BC，∴＝1，∴AE＝BE，即E为AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，∵四边形EFCD是平行四边形，∴DE＝FC，∵DE＝BC，∴DE＝BF，∴BF＝FC，故③正确；保持BA的长度不变且AB＝BC＝3时，∵BD平分∠ABC，∴D为AC的中点，同③，改变∠ABC的大小都能使BF＝FC，但当BA的长度不变且不等于3时，不可能使BF＝FC成立，故④错误，所以，正确的结论是①③，故答案为：①③．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理的应用、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．三、解答题（共68分，第17题10分，第18题7分，第19题9分，第20题8分，第21题9分，第22题6分，第23题10分，第24题9分）17．【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的减法法则进行计算即可；（2）先根据平方差公式和二次根式的性质进行计算，再算减法即可．【解答】解：（1）×+＝4﹣3＝；（2））（）（）﹣＝6﹣2﹣5＝﹣1．【点评】本题考查了二次根式的混合运算和平方差公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．18．【分析】（1）y＝2x+6与x轴的交点为A，与y轴的交点为B．令x＝0，则y＝6，令y ＝0，y＝﹣3，解答即可；（2）根据解析式的平移规律：左加右减可得出平移后的直线解析式．（3）根据平移规律解答即可．【解答】解：（1）直线m：y＝2x+6与x轴的交点为A，与y轴的交点为B．令x＝0，则y＝6，令y＝0，y＝﹣3，∴A（﹣3，0），B（0，6）；（2）∵将直线m向右平移3个单位长度得到直线l．∴y＝2（x﹣3）+6＝2x；（3）y＝2x可看作直线y＝2x+6向下平移6个单位得到的．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象为直线，当直线平移时k不变，当向上平移m个单位，则平移后直线的解析式为y＝kx+b+m．19．【分析】（1）根据作法作出图形即可；（2）根据作法和菱形的性质，判定定理填空即可．【解答】解：（1）如图：（2）证明：连接BC．∵AP＝AB＝BC＝CP，∴四边形PABC是菱形（四边相等的四边形是菱形）．∴m∥l（菱形的对边平行）．故答案为：AB，BC，CP，菱形，四边相等的四边形是菱形，菱形的对边平行．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握菱形的判定与性质．20．【分析】（1）证∠AEC＝∠AFC＝∠EAF＝90°，即可得出结论；（2）过D作DH⊥BC于点H，则四边形DFCH是矩形，得DF＝CH，再由含30°角的直角三角形的性质得DH＝2，然后由勾股定理得BH＝6，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴AE⊥AD，∠AEC＝∠AFC＝90°，∴∠EAF＝90°，∴四边形AECF是矩形；（2）解：如图，过D作DH⊥BC于点H，则∠DHB＝90°，四边形DFCH是矩形，∴DF＝CH，∵∠CBD＝30°，，∴DH＝BD＝2，∴BH＝＝＝6，∴CH＝BH﹣BC＝6﹣5＝1，∴DF＝1，即DF的长为1．【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．21．【分析】（1）由题意得，线段OA是小徐的函数图象，折线段BCDE是小马的函数图象，根据速度＝路程+时间，求出小徐的速度，即可求出线段OA所对应的函数表达式；再求出小徐骑行30km的时间，进而求出小马的骑行速度，从而求出线段BC所对应的函数表达式，再求出对应的自变量的取值范围即可．（2）根据（1）所求即可得到答案；（3）设小马在小徐出发小时后第二次追上小徐，根据两人相遇时，所走的路程相同列出方程求解即可．【解答】解：（1）由题意得，线段OA是小徐的函数图象，折线段BCDE是小马的函数图象，∴小徐的骑行速度为60÷3＝20km/h，∴线段OA所对应的函数表达式为y＝20x，其中相应自变量x的取值范围是0≤x≤3；在y＝20x中，当y＝20x＝30，x＝1.5，∴在小徐出发1.5h时，小马追上小徐，∴小马的骑行速度为＝60km/h，∴线段BC所对应的函数表达式为y＝60（x﹣1）＝60x﹣60，其中相应自变量x的取值范围是1≤x≤1.5；故答案为：y＝20x，0≤x≤3，y＝60x﹣60，1≤x≤1.5；（2）由（1）得小马在BC段的速度为60km/h，n＝2﹣1.5＝0.5，故答案为：60，0.5；（3）设小马在小徐出发1小时后第二次追上小徐，由题意得，20t＝30+60（t﹣2），解得t＝2.25，∴小马在小徐出发2.25小时后第二次追上小徐，∴小马第二次追上小徐时与乙地的距离为60﹣2.25x20＝15km．【点评】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．22．【分析】（1）分别根据算术平均数的定义，中位数的定义以及众数的定义解答即可；（2）根据两组数据的波动情况即可判断．【解答】解：（1）由题意得，m＝（7+7+8+9+9+11+12）＝9，把乙班的数据从小到大排列，排在中间的数是9，故中位数b＝9，甲班的数据中7和9出现的次数最多，故众数t＝7、9；（2）由题意得，甲组数据在7至11之间波动，波动范围较小，乙组数据在5只14之间波动，波动范围较大，所以＜．故答案为：＜．【点评】本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．23．【分析】（1）求出A（2，0），B（0，4），即可得点A′的坐标为（﹣2×2，），即（﹣4，0）；（2）根据B′的坐标为（0，6），得＝6，解得a＝；（3）由A（2，0），B（0，4），A'（2a，0），B'（0，），可知①线段AB与线段A′B′始终相等不正确；②∠BAO与∠B′A′O始终相等不正确；③△AOB与△A′OB′的面积始终相等正确．【解答】解：（1）在y＝﹣2x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝2，∴A（2，0），B（0，4），当a＝﹣2时，点A′的坐标为（﹣2×2，），即（﹣4，0），故答案为：（﹣4，0）；（2）∵B′的坐标为（0，6），∴＝6，解得a＝，经检验，a＝是原方程的解，故答案为：；（3）∵A（2，0），B（0，4），A'（2a，0），B'（0，），∴AB＝2，A'B'＝2，当a2＝1时，AB＝A'B'，故①线段AB与线段A′B′始终相等不正确；∵＝2，＝，∴②∠BAO与∠B′A′O始终相等不正确；∵△AOB的面积为×2×4＝4，△A′OB′的面积为×|2a|×||＝4，∴③△AOB与△A′OB′的面积始终相等正确；故答案为：③．【点评】本题考查考查一次函数的综合应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“a﹣变换”．24．【分析】（1）延长AK，交CD于点E，连接AC，NE，利用全等三角形的判定与性质得到AM＝DE，进而利用等式的性质得到BM＝CE，则BN＝CE；利用全等三角形的判定与性质得到AN＝AE，利用等式的性质得到∠NAE＝60°，则△DAE为等边三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质可得AK⊥AE，则结论可求；（2）利用等边三角形的性质和等腰三角形的三线合一的性质得到∠ANK＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理解答即可；（3）依题意画出图形，利用平行四边形的性质和三角形的中位线定理解答即可得出结论．【解答】解：（1）依题意补全图形如下：延长AK，交CD于点E，连接AC，NE，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠AMD＝∠EDM．在△AMK和△EDK中，，∴△AMK≌△EDK（ASA），∴AK＝KE，AM＝DE，∴AB﹣AM＝CD﹣DE，即BM＝CE．∵BM＝BN，∴BN＝CE．∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝AE，∠ABC＝∠ACB＝∠ACE＝60°．在△ABN和△ACE中，，∴△ABN≌△ACE（SAS），∴AN＝AE，∠BAN＝∠CAE，∴∠BAN+∠NAC＝∠NAC+∠CAE，即∠BAC＝∠NAE＝60°，∴等腰△DAE为等边三角形，∴NA＝NE，∵AK＝KE，∴NK⊥AE，∴∠AKN＝90°；（2）段NK与AK的数量关系为：NK＝AK．理由：由（1）知：△DAE为等边三角形，∴∠ANE＝60°，∵NK⊥AE，∴∠ANK＝∠ANE＝30°，∴AK＝AN．设AK＝a，则AN＝2a，∴NK＝＝＝a，∴NK＝AK；（3）四边形AMOK能成为平行四边形，如图，∵四边形AMOK为平行四边形，∴OK＝AM．∵四边形ABCD为平行四边形，∴BO＝OD，∵MK＝DK，∴OK为△DMB的中位线，∴OK＝BM，∴AM＝BM，∴BM＝2AM，∵AB＝AM+BM＝6，∴3AM＝6，∴AM＝2．∴四边形AMOK能成为平行四边形，此时AM的长为2．【点评】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的中位线，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形，平行四边形的性质是解题的关键．四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分）25．【分析】根据题意理解凸四边形的含义，顶点必须在网格线交点，则可以通过先画出△FEG，可进一步标出符合的点．【解答】解：如图：＝3为使四边形面积为6，可计算出S△EFG则分别以EG、FG、EF构造三角形的面积为3，因为凸四边形的的顶点都必须在网格线交点，则可以得出P可能所在的点：P1（4，5）、P2（5，4）、P3（6，3）、P4（7，2）P5（2，1）时，构成的是三角形不是四边形，其中P1（4，5）所以P可能的坐标为（5，4）或（6，3）或（7，2）或（2，1）．【点评】根据题意理解凸四边形的含义，顶点必须在网格线交点，则可以通过先画出△FEG，可进一步标出符合的点．26．【分析】（1）①如图，OP＝OP'＝PP'，Rt△OMP中，OM2+MP2＝OP2，解得MP'＝，得P'（，3）；如图，过点M作MF⊥x轴，垂足为F，则∠OFM＝90°，OM′＝3，OF＝＝，得M'（，）：②如图，直线PM交轴于点G，可证△POM≌△P′OM′，得∠OM′P′＝∠OMP＝90°，∠OGM′＝60°，可知点P′（m，n）在直线M′G上，设直线解析式为y＝kx+b（k≠0），求得k＝﹣，b＝6，于是n＝﹣m+6；（2）由（1）知若A（﹣a，a），则OM′＝OM＝a．求得点G（a，0），可求得直线A′B′解析式y＝﹣x+2a，经过F（2，2），得a＝+1，直线C′D′解析式为y＝﹣x+2a，经过（﹣1，﹣1），得a＝；于是＜a≤+1；（3）如图，分别求得a＝2时，a＝4时，点P′轨迹所在四边形的面积，相减即得所有“友好点”组成图形的面积为48．【解答】（1）（，3）；（，）；如图，OP＝OP'＝PP'，∴PM＝P′M，OM＝3，∠MOP＝∠MOP′＝30°，∴OP′＝2MP′，∴Rt△OMP中，OM2+MP2＝OP2，∴32+MP′2＝（2MP′）2，解得MP'＝，∴P（，3）；如图，过点M′作M′F⊥x轴，垂足为F，则∠OFM′＝90°，OM′＝3，∴∠M′OF＝90°﹣∠MOM′＝30°，∴M′F＝OM′＝，∴OF＝＝，∴M′（，）；②n＝﹣m+6；如图，直线P′M′交x轴于点G，∵∠POP′＝∠MOM′＝60°，∴∠POP′﹣∠MOP′＝∠MOM′﹣∠MOP′，即∠POM＝∠P′OM′，又∵OP＝OP′，OM＝OM′，∴△POM≌△P′OM′（SAS），∴∠OM′P′＝∠OMP＝90°，∵∠MOG＝90°﹣60°＝30°，∴∠OGM′＝90°﹣∠M′OG＝90°﹣30°＝60°，点P′（m，n）在直线M′G上，设直线解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得，∴n＝﹣m+6；（2）如上图，由（1）知若A（﹣a，a），则OM′＝OM＝a，在Rt△OM′G中，M′G＝OG，∴a2+（OG）2＝OG2，解得OG＝a，即点G（a，0），由（1）知点P在线段AB上时，直线P′M′与x轴相交锐角为60°，可设直线M′G为y＝﹣x+q，代入G（a，0），解得q＝2a，故点P′在直线y＝﹣x+2a上，即A′B′解析式为y＝﹣x+2a，如下图，同理可得，直线C′D′解析式为y＝﹣x﹣2a，经过（﹣1，﹣1），则一1＝﹣5×（﹣1）﹣2a，解得a＝；如下图，直线A′B′的解析式为y＝﹣x+2a，经过F（2，2），则2＝﹣×2+2a，解得a＝+1．∴＜a≤+1；（3）如图，当a＝2时，点P′轨迹所在四边形A′B′C′D′的面积为（2×2）2＝16，当a＝4时，点P′轨迹所在四边形的面积为（2×4）2＝64，故2≤a≤4时，正方形ABCD的所有“友好点”组成图形的面积为64﹣16＝48．【点评】本题考查图形变换旋转，全等三角形，一次函数，等边三角形性质，正方形性质，勾股定理，具备动态思维能力，理解动点形成的图形的形状是解题的关键。
北京市西城区初三2010——2011学年度第一学期期末数学试卷及答案(word版)
北京市西城区2010——2011学年度第一学期期末试卷九年级数学 2011.1考生须知 1．本试卷共5页，共五道大题，25道小题，满分120分。
考试时间120分钟。
2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
3．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 抛物线()212y x =-+的对称轴为（ ）.A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =D ．直线2x =- 2. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠C =15°，则∠BOC =（ ）.A ．60°B ．45°C ．30°D ．15°3. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为（ ）.A ．1B ．13C ．12 D ． 224．用配方法将2611y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为（ ）.A ．2(3)2y x =++错误！未找到引用源。
B ．2(3)2y x =-- 错误！未找到引用源。
C ．2(6)2y x =--错误！未找到引用源。
D ．2(3)2y x =-+错误！未找到引用源。
5．如图，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△111A B C （顶点均在格点上），若它们是以P 点为位似中心的位似图形，则P 点的坐标是（ ）. A ．(4,3)-- B ．(3,3)-- C ．(4,4)-- D ．(3,4)--6. 某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P （件）与每件的销售价x （元）满足关系：1002P x =-.若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程 正确的是（ ）.A ．(30)(1002)200x x --=B ．(1002)200x x -=C ．(30)(1002)200x x --=D ．(30)(2100)200x x --=7. 如图，△OAB 中，OA =OB ，∠A =30°，⊙O 与AB 相切，切点为E ，并分别交 OA ，OB 于C ，D 两点，连接CD .若CD 等于23，则扇形OCED 的面积等于（ ）. A ．23π错误！未找到引用源。
2011-2012年北京市西城区初二下期末数学试卷及答案
北京市西城区（北区）2011–2012学年度第二学期抽样测试八年级数学试卷 2012．7（时间100分钟，满分100分）题号 一 二 三 四 五 总分 得分一、精心选一选（本题共30分，每小题3分） 1．函数3y x =-中，自变量x 的取值范围是（ C ）．A ． 3<xB ． 3≠xC ． x ≥3D ．3>x2．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（D ）．A ．2，4，5B ．6，8，11C ．5，12，12D ． 1，1，2 3．若反比例函数ky x=的图象位于第二、四象限，则k 的取值范围是（ A ）． A ． 0k < B ． 0k > C ． k ≤0 D ．k ≥04．如图，在□ABCD 中，AE ⊥CD 于点E ，∠B ＝65°， 则∠DAE 等于（B ）．A ．15°B ．25°C ．35°D ．65°5．用配方法解方程2220x x --=，下列变形正确的是（C ）．A ．2(1)2x -= B ．2(2)2x -= C ．2(1)3x -= D ．2(2)3x -= 6．在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是菱形，则这个条件可以是（ B ）．A ．∠ABC ＝90°B ．AC ⊥BD C ．AB =CD D ．AB ∥CD7．某施工队挖一条240米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前2天完成任务．若设原计划每天挖x 米，则所列方程正确的是（ A ）．A ．240240220x x -=+ B ．240240202x x -=+ C ．240240220x x -=- D ．240240202x x-=- 8．如图，在△ABC 中，AB =6，AC =10，点D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则四边形ADEF 的EABCDA DF周长为（ D ）．A ．8B ．10C ．12D ．169．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，AD ＝2， BC ＝6，∠B ＝60°，则AB 的长为（ B ）．A ．3B ．4C ．5D ． 610．如图，矩形ABCD 的边分别与两坐标轴平行，对角线AC 经过坐标原点，点D在反比例函数2510k k y x-+=（0x >）的图象上．若点B 的坐标为(4,4--)，则k 的值为（ ）．A ． 2B ． 6C ． 2或3D ．1-或6二、细心填一填（本题共18分，每小题3分）11．若24(5)0x y ++-=，则2012)(y x +的值为______1______．12．某户家庭用购电卡购买了2000度电，若此户家庭平均每天的用电量为x （单位：度），这2000度电能够使用的天数为y （单位：天），则y 与x 的函数关系式为____________________．（不要求写出自变量x 的取值范围）13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，AB =6，点D 是AB 的中点，则∠ACD =_________°．14．如图，以菱形AOBC 的顶点O 为原点，对角线OC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，若OB =5，点C 的坐标为(4，0)，则点A 的坐标为___________． 15．已知1x =是关于x 的方程02=++n mx x 的一个根，则222m mn n ++的值为___________．16．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，对角线AC ，BD 交于点O ，且∠BOC =90°．若AD +BC =12，则AC 的长为___________．A BCDBCDAyxOABCDABCOxyOAB CD三、认真算一算（本题共16分，第17题8分，第18题8分） 17．计算：（1）2427(653)+-+； （2）182(75)(75)÷++-． 解： 解：18．解方程：（1）2310x x -+=； （2）(3)(26)0x x x +-+=． 解： 解：四、解答题（本题共18分，每小题6分）19．某中学开展“头脑风暴”知识竞赛活动，八年级1班和2班各选出5名选手参加初赛，两个班的选手的初赛成绩（单位：分）分别是： 1班 85 80 75 85 100 2班 80 100 85 80 80 （1）根据所给信息将下面的表格补充完整；（2）根据问题（1）中的数据，判断哪个班的初赛成绩较为稳定，并说明理由． 答：平均数 中位数 众数 方差 1班初赛成绩 85 70 2班初赛成绩8580第13题图20．已知：如图，在□ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AF=AD，求证：四边形ABFC是矩形．证明：（1）（2）FAB CDE21．已知：关于x 的一元二次方程2(21)20x m x m +++=． （1）求证：无论m 为何值，此方程总有两个实数根；（2）若x 为此方程的一个根，且满足06x <<，求整数m 的值． （1）证明：（2）解：五、解答题（本题共18分，每小题6分）22．已知：△ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠B =90°，AB =BC =1．（1）要在这张纸板上剪出一个正方形，使这个正方形的四个顶点都在△ABC 的边上．小林设计出了一种剪法，如图1所示．请你再设计出一种不同于图1的剪法，并在图2中画出来． （2）若按照小林设计的图1所示的剪法来进行裁剪，记图1为第一次裁剪，得到1个正方形，将它的面积记为1S ，则1S =___________；在余下的2个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁剪（如图3），得到2个新的正方形，将此次所得2个正方形的面积的和．记为2S ，则2S =___________；在余下的4个三角形中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪（如图4），得到4个新的正方形，将此次所得4个正方形的面积的和．记为3S ；按照同样的方法继续操作下去……，第n 次裁剪得到_________个新的正方形，它们的面积的和．n S =______________．图1EFA B CD图2A BC图3CBAFED 图4ABCFED23．已知：如图，直线b kx y +=与x 轴交于点A ，且与双曲线my x=交于点B (4,2)和点C (,4n -)．（1）求直线b kx y +=和双曲线my x=的解析式； （2）根据图象写出关于x 的不等式mkx b x+<的解集；（3）点D 在直线b kx y +=上，设点D 的纵坐标为t （0t >）．过点D 作平行于x 轴的直线交双曲线m y x=于点E ．若△ADE 的面积为27，请直接写出．．．．所有满足条件的t 的值． 解：（1）（2）（3）OxyA BC24．已知：如图，平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的边长为4，它的顶点A在x 轴的正半轴上运动，顶点D 在y 轴的正半轴上运动（点A ，D 都不与原点重合），顶点B ，C 都在第一象限，且对角线AC ，BD 相交于点P ，连接OP ． （1）当OA =OD 时，点D 的坐标为______________，∠POA =__________°； （2）当OA <OD 时，求证：OP 平分∠DOA ；（3）设点P 到y 轴的距离为d ，则在点A ，D 运动的过程中，d 的取值范围是________________． （2）证明： （3）答：在点A ，D 运动的过程中，d 的取值范围是__________________________．ABCDPOxy北京市西城区（北区）2011 — 2012学年度第二学期抽样测试八年级数学参考答案及评分标准2012.7一、精心选一选（本题共30分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CDABCBADBD二、细心填一填（本题共18分，每小题3分） 11．1； 12．2000y x=； 13．60； 14．(2，1)； 15．1； 16．62． 三、认真算一算（本题共16分，第17题8分，第18题8分） 17．（1）解：2427(653)+-+=2633(653)+-+ ----2分 =2633653+-- -----------3分 =623-． -----------------------4分（2）解：182(75)(75)÷++-=3(75)(75)++- ------5分=32+ --------------7分=5． -------------------8分18．（1）解：1a =，3b =-，1c =．224(3)4115b ac ∆=-=--⨯⨯=． ----1分242b b acx a-±-=----------2分 (3)521--±=⨯352±=．即 1352x +=，2352x -=． ------------4分 （2）解：因式分解，得 (3)(2)0x x +-=． -------6分于是得 30x +=或20x -=． 解得 13x =-，22x =． -----------------8分四、解答题（本题共18分，每小题6分） 19．解：（1）---4分阅卷说明：每空1分．（2）答：2班的初赛成绩较为稳定．因为1班与2班初赛的平均成绩相同，而2班初赛成绩的方差较小，所以2班的初赛成绩较为稳定． -------6分20．证明：（1）如图1．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC 即 AB ∥DF ． -----1分 ∴∠1=∠2．∵点E 是BC 的中点， ∴BE =CE ．在△ABE 和△FCE 中， ∠1=∠2， ∠3=∠4， BE =CE ，∴△ABE ≌△FCE ． ----------------3分平均数 中位数 众数 方差 1班初赛成绩 85 85 2班初赛成绩 8060图14321EDC BAF（2）∵△ABE ≌△FCE ，∴AB =FC ． ∵AB ∥FC ，∴四边形ABFC 是平行四边形． -------------4分 ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD =BC ． ∵AF =AD ， ∴AF =BC ．∴四边形ABFC 是矩形． -----------------6分 阅卷说明：其他正确解法相应给分． 21．证明：（1）2(21)412m m ∆=+-⨯⨯ 2441m m =-+2(21)m =-． ---------1分∵2(21)m -≥0，即∆≥0，∴无论m 为何值，此方程总有两个实数根． ---2分解：（2）因式分解，得 (2)(1)0x m x ++=．于是得 20x m +=或10x +=．解得 12x m =-，21x =-． ----------------4分∵10-<，而06x <<，∴2x m =-，即 026m <-<． ∴30m -<<． -----------------5分 ∵m 为整数，∴1m =-或2-． ---------------6分五、解答题（本题共18分，每小题6分） 22．解：（1）如图2； -------------1分（2）14，18，12n -，112n +． ----------6分 阅卷说明：前三个空每空1分，第四个空2分．图2CBA23．解：（1）∵双曲线my x=经过点B (4,2)， ∴24m=， 8m =． ∴双曲线的解析式为8y x =． -----------1分 ∵点C (,4n -)在双曲线8y x=上，∴84n-=， 2n =-．∵直线b kx y +=经过点B (4,2)，C (2,4--)，则2442.k b k b =+⎧⎨-=-+⎩， 解得12.k b =⎧⎨=-⎩，∴直线的解析式为2y x =-． ----------2分（2）2x <-或04x <<； ----------------4分阅卷说明：两个答案各1分．（3）3t =或21-． --------------------6分 阅卷说明：两个答案各1分．．24．解：（1）(0,22)，45； ------------------------2分阅卷说明：每空1分．证明：（2）过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ． （如图3）∵四边形ABCD 是正方形， ∴PD =P A ，∠DP A =90°．∵PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，∴∠PMO =∠PNO =∠PND =90°． ∵∠NOM =90°，∴四边形NOMP 中，∠NPM =90°． ∴∠DP A =∠NPM ．∵∠1=∠DP A －∠NP A ，∠2=∠NPM －∠NP A ， ∴∠1=∠2． ----------3分图312MNyxOPD CBA在△DPN 和△APM 中，∠PND =∠PMA ， ∠1=∠2， PD =P A ，∴△DPN ≌△APM ． ∴PN =PM ． -----4分∴OP 平分∠DOA ． ---------5分 （3）2d <≤22． -----------6分北京市西城区（北区）2011–2012学年度第二学期抽样测试八年级数学附加题试卷 2012．7题号 一 二 总分 得分一、填空题（本题6分）25．已知a 是方程2520x x +-=的一个根，则代数式22107a a +-的值为___________；代数式32634a a a +++的值为___________．二、解答题（本题共14分，每小题7分）26．已知：如图，平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（4,0），（0,3）．将△OCA 沿直线CA 翻折，得到△DCA ，且DA 交CB 于点E ． （1）求证：EC =EA ； （2）求点E 的坐标；（3）连接DB ，请直接写出．．．．四边形DCAB 的周长和面积． （1）证明：（2）解：EBADCyxO（3）答：四边形DCAB 的周长为_____________，面积为_____________．27．已知：△ABC 的两条高BD ，CE 交于点F ，点M ，N 分别是AF ，BC 的中点，连接ED ，MN ．（1）在图1中证明MN 垂直平分ED ； （2）若∠EBD =∠DCE =45°（如图2），判断以M ，E ，N ，D 为顶点的四边形的形状，并证明你的结论． （1）证明：（2）判断：___________________________________________． 证明：NMA BC DEFNM FE DC B A图1北京市西城区（北区）2011 - 2012学年度第二学期抽样测试八年级数学附加题参考答案及评分标准2012.7一、填空题（本题6分）1．3-，6． 阅卷说明：每空3分．二、解答题（本题共14分，每小题7分）2．证明：（1）如图1．∵△OCA 沿直线CA 翻折得到△DCA ，∴△OCA ≌△DCA ． ∴∠1=∠2．∵四边形OABC 是矩形， ∴OA ∥CB ． ∴∠1=∠3． ∴∠2=∠3．∴EC =EA ． -------------------------------------------2分解：（2）设CE = AE =x ．∵点A ，C 的坐标分别为（4,0），（0,3）， ∴OA =4，OC =3．∵四边形OABC 是矩形，∴CB =OA =4，AB =OC =3，∠B =90°．在Rt △EBA 中，222EA EB BA =+， ∴222(4)3x x =-+．图2图1312O xy CD ABE解得258x ．-------------------------4分∴点E的坐标为(25,38)．------------------------5分阅卷说明：其他正确解法相应给分．（3）625，19225．--------------------------------7分阅卷说明：每空1分．3．（1）证明：连接EM，EN，DM，DN．（如图2）∵BD，CE是△ABC的高，∴BD⊥AC，CE⊥AB．∴∠BDA=∠BDC=∠CEB=∠CEA=90°．∵在Rt△AEF中，M是AF的中点，∴EM=12 AF．同理，DM=12AF，EN=12BC，DN=12BC．∴EM=DM，------------------1分EN=DN．---------------------2分∴点M，N在ED的垂直平分线上．∴MN垂直平分ED．------------------3分（2）判断：四边形MEND是正方形．--------------------------4分证明：连接EM，EN，DM，DN．（如图3）∵∠EBD=∠DCE=45°，而∠BDA=∠CDF=90°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∠DFC=∠DCF=45°．∴AD=BD，DF=DC．在△ADF和△BDC中，AD=BD，∠ADF=∠BDC，DF=DC，∴△ADF≌△BDC．-----------------5分∴AF=BC，∠1=∠2．4312AB CDEFMN图3AEBNCDMF图2。
2023-2024学年北京市西城区高一下学期期末考试数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市西城区高一下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数()A. B. C. D.2.已知，若，则实数()A.8B.C.2D.3.在中，，则()A. B. C. D.4.平面向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则()A. B.0 C.1 D.25.已知是不重合的平面，是不重合的直线，下列命题中不正确．．．的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则6.在平面直角坐标系xOy中，已知，则的取值范围是()A. B. C. D.7.如图，已知正六棱锥的侧棱长为6，底面边长为是底面上一个动点，，则点Q所形成区域的面积为()A. B. C. D.8.已知函数和的图象以每秒个单位的速度向左平移，的图象以每秒个单位的速度向右平移，若平移后的两个函数图象重合，则需要的时间至少为()A.1秒B.2秒C.3秒D.4秒9.已知函数，“存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、多选题：本题共1小题，共5分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
10.方波是一种非正弦曲线的波形，广泛应用于数字电路、定时器、逻辑控制、开关电源等领域．理想方波的解析式为，而在实际应用中多采用近似方波发射信号．如就是一种近似情况，则()A.函数是最小正周期为的奇函数B.函数关于对称C.函数在区间上单调递增D.函数的最大值不大于2三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.复数，则__________.12.已知函数若非零实数，使得对都成立，则满足条件的一组值可以是__________，__________只需写出一组13.有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥．已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为__________；表面积为__________.14.在中，，则__________，__________.15.如图，在棱长为2的正方体中，点M为AD的中点，点N是侧面上包括边界的动点，点P是线段上的动点，给出下列四个结论：①任意点P，都有；②存在点P，使得平面MPC；③存在无数组点N和点P，使得；④点P到直线的距离最小值是其中所有正确结论的序号是__________.四、解答题：本题共6小题，共72分。
2023—2024学年北京市西城区德胜中学八年级下学期期中数学试卷
2023—2024学年北京市西城区德胜中学八年级下学期期中数学试卷一、单选题(★★) 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围（）A．x≥2B．x≤2C．x＞2D．x＜2(★★) 2. 如图，在中，，则的度数为（）A．B．C．D．(★★) 3. 下列关于正比例函数的说法中，正确的是（）A．当时，B．它的图象是一条过原点的直线C．y随x的增大而减小D．它的图象经过第二、四象限(★★) 4. 下列计算正确的是（）A．B．C．D．(★★) 5. 如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是（）A．5.2B．C．D．(★★) 6. 下列结论中，不正确的是（）A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．正方形的一条对角线的长为，则此正方形的面积是D．顺次连接四边形四边的中点所得的四边形为菱形，则四边形一定满足(★) 7. 点，都在正比例函数的图象上，则m与n的大小关系为（）A．B．C．D．无法确定(★★★) 8. 在某校举办的科技节活动中，“纸牌承重”项目受到同学们的广泛关注．小德所在小组用若干图1中的纸牌搭建成可承重的两只桌腿，制成图2所示的“纸牌承重桌”（桌面与地面平行，桌面厚度和纸牌厚度忽略不计）．“纸牌承重桌”的高度为（）A．B．C．D．(★★★) 9. 如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（）A．B．C．D．(★★★★) 10. 如图，中，，两动点M，N同时从点B出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点C时停止运动；点N沿的路径匀速运动，到达点C时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图所示．已知，则下列说法正确的是（）①N点的运动速度是；②的长度为；③a的值为7；④当时，t的值为或9．A．①②B．①②③C．②③④D．①②③④二、填空题(★★) 11. 比较大小： ______ 4（填“>”，“<”或“=”）．(★★★) 12. 如图，在中，，D是的中点，若，则的度数为 __________ ．(★★) 13. 若，则的取值范围是 ________ ．(★★) 14. 在中，，，则的长是 _____________ ．(★★★) 15. 如图，平面直角坐标系中，的顶点A，B，C在坐标轴上，，点D在第一象限，则点D的坐标是 _____ ．(★★★) 16. 如图，在中，点D、E分别是边、的中点，点F在线段上，，，，，线段的长度是__________ ．(★★) 17. 如图，图①中的直角三角形斜边长为5，将四个图①中的直角三角形分别拼成如图②所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为 __________ ．(★★★) 18. 如图，正方形的边长是6，点M是边上的一个动点，连结，作于点P，连结，线段长度的最小值为__________ ．三、解答题(★★) 19. 计算：(1) ；(2) ．(★★) 20. 如图，平行四边形，E、F两点在对角线上，且，连接．求证：四边形是平行四边形．(★★★) 21. 学习完四边形的知识后，小明想出了“作三角形一边中线”的另一种尺规作图的作法，下面是具体过程．已知：．求作：边上的中线．作法：如图，①分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点；②作直线，与交于点，所以线段就是所求作的中线．根据小明设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明．证明：连接，．，，四边形是平行四边形（）（填推理的依据）．（）（填推理的依据）．是边上的中线．(★★★) 22. 问题背景：问题：在中，三条边，，的长分别为，，，求这个三角形的面积．小明在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．我们把这种借助网格求三角形面积的方法叫做构图法．方法应用：(1)请直接在横线上写出的面积_________；(2)若的三边长分别为，，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并直接在横线上写出的面积__________．(3)若的三边长分别为，，，（，且），请在图3中画出一个符合题意的，并直接在横线上写出的面积__________．(★★★) 23. 阅读下列材料：①在进行二次根式的化简与运算时，我们会遇到分母中含有字母，形如的式子．我们可以用这样的方法将其进行化简：，这种化简的方法叫做分母有理化．②数学学习的一项最重要内容是数学思想方法的学习与运用，有这样一种“整体思想”，它可以简化计算过程，如：已知，，求．我们可以把和分别看成一个整体，令则．这样我们不用求出a和b的值就可以得到要求的结果．根据以上材料回答下列问题：(1)计算：．(2)已知n是整数，，，且．求n的值．(★★) 24. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF= BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接OE，若AD=5，EC=2，求OE的长度．(★★★) 25. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质．(1)绘制函数图象①列表；下表是x与y的几组对应值，其中__________；21②描点：根据表中的数值描点；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象．(2)探究函数性质写出函数的一条性质：__________．(3)运用函数图象及性质①观察你所画的函数图象，回答问题：若点，为该函数图象上不同的两点，则__________；②根据函数图象，写出不等式的解集是__________．(★★★) 26. 在菱形中，对角线与相交于点O，，点M是对角线上的动点（不与点O，D重合），将线段绕点M顺时针旋转得到线段．(1)如图1，当点M在线段上，点N在边上时，连接，求证：M是中点；(2)如图2，当点M在线段上，点E在线段的延长且满足，连接，．①依题意补全图形；②求证：．(★★★★) 27. 对于平面直角坐标系中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，称P，Q两点间距离的最小值为图形M，N间的“近距离”，记作．在中，点，，，．(1) d（点O，）__________．(2)若点P在y轴正半轴上，d（点P，），直接写出点P坐标；(3)已知点，，，，顺次连接点E、F、H、G，将得到的四边形记为图形W．①当时，在图2中画出图形W，直接写出的值；②若，直接写出a的取值范围．。
2019-2020学年北京市西城区八年级(下)期末数学试卷
2019-2020学年北京市西城区八年级(下)期末数学试卷2019-2020学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）若$x>5$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是（）。
A．$x>5$B．$x\geq5$XXXD．$x\neq5$2．（3分）下列图案中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）。
A．唐代对凤纹B．良渚神人兽面纹C．敦煌元素宝相花纹D．《营造法式》海石榴花纹3．（3分）下列运算正确的是（）。
A．$3+2\times 3=9$B．$3+2\div 3=1$C．$3\times 2+3=9$D．$3\times (2+3)=15$4．（3分）如图，在$\triangle ABC$中，$\angleC=90^\circ$，$AC=6$，$BC=8$。
若$D$，$E$分别为边$AC$，$BC$的中点，则$DE$的长为（）。
A．$10$B．$5$C．$4$D．$3$5．（3分）下列关于一元二次方程$x^2+2x=$的说法正确的是（）。
A．该方程只有一个实数根$x=2$B．该方程只有一个实数根$x=-2$C．该方程的实数根为$x_1=-2$，$x_2=0$D．该方程的实数根为$x_1=0$，$x_2=-2$6．（3分）下列命题正确的是（）。
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的四边形是菱形D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形7．（3分）用配方法解一元二次方程$x^2+6x+2=$时，下列变形正确的是（）。
A．$(x+3)^2=9$B．$(x+3)^2=7$C．$(x+3)^2=3$D．$(x-3)^2=7$8．（3分）甲、乙两座城市某年四季的平均气温如图所示，下列说法正确的是（）。
A．甲城市的年平均气温在30℃以上B．乙城市的年平均气温在20℃以下C．甲城市的年平均气温低于乙城市的年平均气温D．甲、乙两座城市中，甲城市四季的平均气温较为接近9．（3分）图1是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点$O$的直角三角形（如图2所示）演化而成的。
八年级下册数学期末试卷综合测试卷(word含答案)(1)
八年级下册数学期末试卷综合测试卷（word含答案）(1) 一、选择题1．函数y＝35xx--的自变量x的取值范围是（）A．x≠5B．x＞3且x≠5C．x≥3D．x≥3且x≠5 2．由下列线段组成的三角形不是直角三角形的是（）A．7，24，25 B．4，5，41C．3，5，4 D．4，5，6 3．下列关于平行四边形的命题中，错误的是（）A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数()cm183183183183方差 5.7 3.5 6.78.6要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm，连结矩形各边中点E、F、G、H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（）cm．A．20 B．202C．203D．256．如图，已知E为邻边相等的平行四边形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80º，那么∠CDE的度数为（）A．20º B．25º C．30º D．35º7．如图，在△ABC中，BC＝2∠C＝45°，若D是AC的三等分点（AD＞CD），且AB ＝BD ，则AB 的长为（ ）A ．2B ．5C ．3D ．528．一条公路旁依次有A 、B 、C 三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A 村、B 村同时出发前往C 村，甲、乙之间的距离()km s 与骑行时间()t h 之间的函数关系如图所示，下列结论：①A 、B 两村相距8km ；②甲出发2h 后到达C 村；③甲每小时比乙我骑行8km ；④相遇后，乙又骑行了15min 或45min 时两人相距2km .其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题9．若13x x --在实数范围内有意义，则x 的取值范围是____________． 10．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，已知4OA =，菱形ABCD 的面积为24，则BD 的长为______．11．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A 所代表的正方形的边长为_____12．如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 上，且EC 平分BED ∠，若1AB =，45EBC ∠=︒，则DE 的长为__________．13．已知一次函数y x b =-+的图象过点()8,2，那么此一次函数的解析式为__________． 14．若顺次连接四边形ABCD 四边中点所得的四边形是菱形，则原四边形的对角线AC 、BD 所满足的条件是________．15．在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 为坐标原点，顶点A ，C 分别在x 轴和y 轴上，OA ＝4，OC ＝3，D 为AB 边的中点，E 是OA 边上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，则点E 的坐标为_____．16．如图，∠ABD ＝∠BDC ＝90°，AB ＝12，BC ＝8，CD ＝10A 与点D 重合，折痕为HG ，则线段BH 的长为___．三、解答题17．计算：（1）218×12﹣24；（2）48÷3﹣12×12＋24． 18．如图，在甲村到乙村的公路一旁有一块山地正在开发．现A 处需要爆破，已知点A 与公路上的停靠站B ，C 的距离分别为400 m 和300 m ，且AC ⊥AB ．为了安全起见，如果爆破点A 周围半径260 m 的区域内不能有车辆和行人，问在进行爆破时，公路BC 段是否需要暂时封闭？为什么?19．如图，4×10长方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，E ，F 都在格点上，按下列要求作图，使得所画图形的顶点均在格点上． （1）在图中画出以AB 为边的正方形ABCD ；（2）在图中画出以EF 为边的等腰三角形EFG ，且△EFG 的周长为1010+； （3）在（1）（2）的条件下，连接CG ，则线段CG 的长为 ．20．如图，在ABCD 中，两条对角线AC 和BD 相交于点O ，并且6BD =，8AC =，5BC =．（1）AC 与BD 有什么位置关系？为什么？（2）四边形ABCD 是菱形吗？为什么？21．阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的：已知a 23+,求2281a a -+的值.他是这样分析与解的：∵a 23+2323(23)(23)-=+-， ∴23a -= ∴2(2)3,a -= 2443a a -+=∴241a a -=-, ∴2281a a -+=2（24)1a a -+=2(1)11⨯-+=-.请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）若a 21-,直接写出2481a a -+的值是 . （21315375121119+++++ 22．为丰富同学们的课余活动，某校成立了篮球课外兴趣小组，计划购买一批篮球，需购买A 、B 两种不同型号的篮球共300个．已知购买3个A 型篮球和2个B 型篮球共需340元，购买2个A 型篮球和1个B 型篮球共需要210元．（1）求购买一个A 型篮球、一个B 型篮球各需多少元？（2）若该校计划投入资金W 元用于购买这两种篮球，设购进的A 型篮球为t 个，求W 关于t 的函数关系式；（3）学校在体育用品专卖店购买A 、B 两种型号篮球共300个，经协商，专卖店给出如下优惠：A 种球每个降价8元，B 种球打9折，计算下来，学校共付费16740元，学校购买A 、B 两种篮球各多少个？23．如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，∠A 的角平分线交边CD 于点E ．点P 从点A 出发沿射线AE 以每秒2个单位长度的速度运动，Q 为AP 的中点，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ，在射线AE 的下方作平行四边形PQHM （点M 在点H 的右侧），设P 点运动时间为秒．（1）直接写出的面积（用含的代数式表示）．（2）当点M 落在BC 边上时，求的值．（3）在运动过程中，整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，请写出所有全等三角形，并求出对应的的值；若不存在请说明理由（不能添加辅助线）． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线28y x =+与x 轴交于点A,与y 轴交于点B,过点B 的直线x 轴于点C ，且AB=BC ．（1）求直线BC 的表达式（2）点P 为线段AB 上一点，点Q 为线段BC 延长线上一点，且AP=CQ,PQ 交x 轴于点P ，设点Q 的横坐标为m ，求PBQ ∆的面积（用含m 的代数式表示）（3）在（2）的条件下，点M 在y 轴的负半轴上，且MP=MQ ，若45BQM ︒∠=求点P 的坐标．25．如图，Rt △CEF 中，∠C ＝90°，∠CEF ，∠CFE 外角平分线交于点A ，过点A 分别作直线CE ，CF 的垂线，B ，D 为垂足．（1）∠EAF ＝ °（直接写出结果不写解答过程）；（2）①求证：四边形ABCD 是正方形．②若BE ＝EC ＝3，求DF 的长．（3）如图（2），在△PQR 中，∠QPR ＝45°，高PH ＝5，QH ＝2，则HR 的长度是 （直接写出结果不写解答过程）．【参考答案】一、选择题1．D解析：D【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式，求解不等式即可．【详解】根据题意得：x﹣3≥0且x﹣5≠0，解得x≥3且x≠5．∴自变量x的取值范围是x≥3且x≠5．故选：D．【点睛】本题考查了二次根式和分式由意义的条件，理解二次根式和分式由意义的条件是解题的关键．2．D解析：D【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A、∵72+242=625=252，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵42+52412，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵32+42=52，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵42+52≠62，∴不能够成直角三角形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．3．B解析：B【解析】【分析】根据平行四边形的判定方法，一一判断即可．【详解】解：A. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形,正确；根据平行四边形的判定方法，可得结论；B. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形，错误；如：等腰梯形；C. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形正确，由题意可以证明两组对边分别平行，四边形是平行四边形；D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，根据平行四边形的判定方法，可得结论．故选：B【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考基础题．4．B解析：B【解析】【分析】首先比较出甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的方差的大小关系，然后根据方差越大，波动性越大，判断出应该选择谁参加比赛即可．【详解】解：因为3.5＜5.7＜6.7＜8.6，所以乙最近几次选拔赛成绩的方差最小，所以要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择乙．故选：B．【点睛】此题主要考查了方差的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．5．A解析：A【分析】连接BD，根据三角形中位线定理易得四边形EFGH的各边长等于矩形对角线的一半，而矩形对角线相等，从而算出周长即可．【详解】连接BD，∵H、G是AD与CD的中点，∴HG是△ACD的中位线，∴HG=1AC=5cm，同理EF=5cm，2∵四边形ABCD是矩形，∴根据矩形的对角线相等，即BD=AC=10cm，∵H、E是AD与AB的中点，∴EH是△ABD的中位线，∴EH=1BD=5cm，同理FG=5cm，2∴四边形EFGH的周长为20cm．故选A．【点睛】熟练掌握矩形对角线相等和三角形中位线等于第三边的一半的性质是解决本题的关键. 6．C解析：C【解析】【分析】依题意得出AE=AB=AD，∠ADE=50°，又因为∠B=80°故可推出∠ADC=80°，∠CDE=∠ADC-∠ADE，从而求解．【详解】∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°，∴AE=AB=AD，在三角形AED中，AE=AD，∠DAE=80°，∴∠ADE=50°，又∵∠B=80°，∴∠ADC=80°，∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°．故选：C．【点睛】考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质，解题关键是利用等腰三角形的性质求得∠ADE的度数．7．B解析：B【解析】【分析】作BE ⊥AC 于E ，根据等腰三角形三线合一性质可得AE =DE ，根据∠C ＝45°，得出∠EBC =180°-∠C -∠BEC =180°-45°-90°=45°，可得BE =CE ，利用勾股定理求出CE =BE =2，根据D 是AC 的三等分点得出AE =DE =121233AC AC ⨯==CD ，求出CD =1，利用勾股定理2222215AB BE AE =+=+=即可．【详解】解：作BE ⊥AC 于E ，∵AB ＝BD ，∴AE =DE ，∵∠C ＝45°，∴∠EBC =180°-∠C -∠BEC =180°-45°-90°=45°，∴BE =CE ，在Rt △BEC 中，∴()22222+222BE CE CE BC ===，∴CE =BE =2，∵D 是AC 的三等分点， ∴CD =13AC ，AD =AC -CD =1233AC AC AC -=， ∴AE =DE =121233AC AC ⨯==CD ， ∴CE =CD +DE =2CD =2，∴CD =1，∴AE =1，在Rt △ABE 中，根据勾股定理2222215AB BE AE =+=+=．故选B ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，三等分线段，掌握等腰三角形的性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，三等分线段是解题关键． 8．C解析：C【分析】由图像与纵轴的交点可得出A 、B 两地的距离；当s=0时，即为甲、乙相遇的时候，同理根据图像的拐点判断其他即可.【详解】解：由图像可知A 村、B 村相离8km ，故①正确；甲出发2h 后到达C 村，故②正确；当0≤t≤1时，易得一次函数的解析式为s=-8t+8，故甲的速度比乙的速度快8km/h ，故③正确；当1≤t≤1.5时，函数图象经过点（1，0）（1.5，4）设一次函数的解析式为s=kt+b则有：104 1.5k b k b =+⎧⎨=+⎩解得21k b =⎧⎨=⎩ ∴s=2t+1当s=2时，得2=2t+1，解得t=0.5＜1，不符合题意，④错误.故答案为C.【点睛】本题考查了一次函数的应用和函数与方程的思想，解题的关键在于读懂图象，根据图像的信息进行解答.二、填空题9．1≥x 且3x ≠【解析】【分析】根据分母不等于0，且被开方数是非负数列式求解即可．【详解】由题意得10x -≥且30x -≠解得1≥x 且3x ≠故答案为：1≥x 且3x ≠【点睛】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．10．A解析：6【解析】【分析】根据菱形的性质得到AC =8，根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形；∴AC =2OA =8，12ABCD S AC BD =⋅菱形, ∴12482BD =⨯⨯, ∴BD =6，故答案为：6【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟记菱形面积的两种表示法：（1）底乘高，（2）对角线乘积的一半，本题运用的是第二种．11．E解析：8【解析】【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED 的面积和正方形PRQF 的面积分别表示出PR 的平方及PQ 的平方，又三角形PQR 为直角三角形，根据勾股定理求出QR 的平方，即可求小正方形的边长．【详解】如图，∵正方形PQED 的面积等于225，∴即PQ 2=225,∵正方形PRGF 的面积为289，∴PR 2=289，又△PQR 为直角三角形，根据勾股定理得：PR 2=PQ 2+QR 2，∴QR 2=PR 2−PQ 2=289−225=64，∴QR=8，即字母A 所代表的正方形的边长为8.【点睛】本题考查勾股定理，根据勾股定理求出小正方形的面积是关键.12．D21【分析】由矩形的性质和角平分线的定义得出∠DEC =∠ECB =∠BEC ，推出BE =BC ，求得 AE =AB =1，然后依据勾股定理可求得BC 的长；【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠DEC =∠BCE ，∵EC 平分∠DEB ，∴∠DEC =∠BEC ，∴∠BEC =∠ECB ，∴BE =BC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =90°，AD BC =∵∠ABE =45°，∴∠ABE =∠AEB =45°，∴AB =AE =1，由勾股定理得：BE ==，∴BC =AD =BE， ∴1DE AD AE =-,1．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理的应用；熟练掌握矩形的性质，证出BE =BC 是解题的关键．13．10y x =-+【分析】用待定系数法即可得到答案.【详解】解：把()8,2代入y x b =-+得82b -+=，解得10b =，所以一次函数解析式为10y x =-+．故答案为10y x =-+【点睛】本题考查求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法.14．A解析：AC BD =【分析】如下图，根据三角形中位线的定理，可得AG=EF=12AC ，GF=AE=12BD ，再根据菱形四条边相等的性质，可得出AC 与BD 的关系．【详解】如下图，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点∵点E、F是AB、BC的中点∴EF=12AC同理可得：AG=EF=12AC，GF=AE=12BD∵要使得四边形HEFG是菱形，则HE=EF=FG=GH ∴只需AC=BD即可故答案为：AC=BD【点睛】本题考查菱形的性质和三角形中位线的性质，解题关键是得出AG=EF=12 AC，GF=AE=12 BD．15．（，0）【分析】作点D关于x轴对称点F，根据题意求出D点的坐标，从而得到F点的坐标，同时连接CF，则CF与x轴的交点即为所求E点，此时满足△CDE的周长最小，利用CF的解析式求解即可．【详解】解析：（83，0）【分析】作点D关于x轴对称点F，根据题意求出D点的坐标，从而得到F点的坐标，同时连接CF，则CF与x轴的交点即为所求E点，此时满足△CDE的周长最小，利用CF的解析式求解即可．【详解】解：作点D关于x轴对称点F，如图，∵四边形OABC 是矩形，∴OC ＝BD ＝3，点C 的坐标为()0,3，∵D 为AB 边的中点，∴AD ＝32， ∵OA ＝4，∴D 点的坐标为34,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则F 点的坐标为34,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 根据轴对称的性质可得：EF ＝ED ，∴C △CDE ＝CD +CE +DE ＝CD +CE +EF ，其中CD 为定值，当CE +EF 值最小时，△CDE 周长最小，此时点C ，E ，F 三点共线，设直线CF 的解析式为：()0y kx b k =+≠，将()0,3和34,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入解析式得： 3342b k b =⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得：983k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线CF 的解析式为：938y x =-+， 令0y =，得：9308x -+=， 解得：83x =， ∴点E 坐标（83，0）， 故答案为：803⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查一次函数与轴对称的综合运用，理解最短路径的求解方法，熟悉待定系数法求一次函数解析式是解题关键．16．5【分析】在Rt△BDC中由勾股定理可求出BD，根据翻折变换可得AH＝HD，在Rt△BDH 中由勾股定理可得答案．【详解】解：在Rt△BDC中，∵BC＝8，CD＝2，∴BD＝，由题意，得解析：5【分析】在Rt△BDC中由勾股定理可求出BD，根据翻折变换可得AH＝HD，在Rt△BDH中由勾股定理可得答案．【详解】解：在Rt△BDC中，∵BC＝8，CD＝∴BD=由题意，得AH＝HD，设BH＝x，则AH＝12﹣x＝HD，在Rt△BDH中，由勾股定理得，HB2+BD2＝HD2，即x2)2＝(12﹣x)2，解得x＝5，即HB＝5，故答案为：5．【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理．掌握翻折变换的性质及勾股定理是解题的关键．三、解答题17．（1）；（2）【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，然后根据二次根式的混合计算法则求解即可；（2）先利用二次根式的性质化简，然后根据二次根式的混合计算法则求解即可．【详解】解：（1）解析：（1）2）4【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，然后根据二次根式的混合计算法则求解即可；（2）先利用二次根式的性质化简，然后根据二次根式的混合计算法则求解即可．【详解】解：（1）===（22=4=4=【点睛】本题主要考查了利用二次根式的化简和二次根式的混合运算，熟练掌握相关计算法则是解题的关键．18．需要封闭，理由见解析【分析】过作于 先求解 再利用等面积法求解 再与260比较，可得答案.【详解】解：过作于所以进行爆破时，公路BC 段需要暂时封闭.【点睛】解析：需要封闭，理由见解析【分析】过A 作AK BC ⊥于,K 先求解,BC 再利用等面积法求解,AK 再与260比较，可得答案.【详解】解：过A 作AK BC ⊥于,K,400,300,AB AC AB AC22500,BC AB AC11,AB AC BC AK22AK300400500,240,AK240260,所以进行爆破时，公路BC段需要暂时封闭.【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，利用等面积法求解直角三角形斜边上的高，掌握“等面积法求解直角三角形斜边上的高”是解题的关键.19．（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据正方形的判定画出以AB为边的正方形ABCD即可；（2）画出以EF为边的等腰三角形EFG，且△EFG的周长为等腰三角形即可；（3）解析：（1）见解析；（2）见解析；（35【解析】【分析】（1）根据正方形的判定画出以AB为边的正方形ABCD即可；（2）画出以EF为边的等腰三角形EFG，且△EFG的周长为1010（3）由勾股定理求出CG即可．【详解】解：（1）如图，所作正方形ABCD即为以AB为边的正方形ABCD；（2）如图，所作△EFG即为以EF为边的等腰三角形EFG，且△EFG的周长为1010+（3）如图，CG22+512【点睛】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，解题的关键是理解题意，根据GE=GF=5画出等腰三角形．20．（1）AC⊥BD，证明见解析；（2）四边形ABCD是菱形，见解析【分析】（1）首先根据平行四边形的性质得出OC， OB的长，再利用勾股定理逆定理求出∠BOC=90，可得AC与BD的位置关系；（解析：（1）AC⊥BD，证明见解析；（2）四边形ABCD是菱形，见解析【分析】（1）首先根据平行四边形的性质得出OC，OB的长，再利用勾股定理逆定理求出∠BOC=90︒，可得AC与BD的位置关系；（2）菱形的判定方法：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，可得答案．【详解】解：（1）AC⊥BD；理由如下：在ABCD中，132==OB BD，142OC AC==∵22291625+=+==OB OC BC∴∠BOC＝90︒∴AC⊥BD．（2）四边形ABCD是菱形∵四边形ABCD是平行四边形（已知），AC⊥BD（已证）∴四边形ABCD是菱形．【点睛】此题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质，以及勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是根据条件证出BO2+CO2=CB2．21．（1）5；（2）5.【解析】【详解】试题分析: 根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案．试题解析：（1）∵a=，∴4a2-8a+1=4×()2-8×（）+1=5；（2）解析：（1）5；（2）5.【解析】【详解】试题分析: 根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案．试题解析：（1）∵， ∴4a 2-8a+1)2-8×）+1=5；（2）原式=12×=12×） =12×10=5.点睛：本题主要考查了分母有理化，利用分母有理化化简是解答此题的关键． 22．（1）一个A 型篮球为80元，一个B 型篮球为50元；（2）函数解析式为：；（3）A 型篮球120个，则B 型篮球为180个．【分析】（1）设一个A 型篮球为x 元，一个B 型篮球为y 元，根据题意列出方程组求 解析：（1）一个A 型篮球为80元，一个B 型篮球为50元；（2）函数解析式为：()30150000300W t t =+≤≤；（3）A 型篮球120个，则B 型篮球为180个．【分析】（1）设一个A 型篮球为x 元，一个B 型篮球为y 元，根据题意列出方程组求解即可得； （2）A 型篮球t 个，则B 型篮球为()300t -个，根据单价、数量、总价的关系即可得； （3）根据A 型篮球与B 型篮球的优惠政策求出单价，然后代入（2）解析式中求解即可得．【详解】解：（1）设一个A 型篮球为x 元，一个B 型篮球为y 元，根据题意可得：323402210x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：8050x y =⎧⎨=⎩，∴一个A 型篮球为80元，一个B 型篮球为50元；（2）A 型篮球t 个，则B 型篮球为()300t -个，根据题意可得：()()805030030150000300W t t t t =+-=+≤≤，∴函数解析式为：()30150000300W t t =+≤≤；（3）根据题意可得：A 型篮球单价为()808-元，B 型篮球单价为500.9⨯元，则()()16740808500.9300t t =-+⨯⨯-，解得：120t =，300180t -=，∴A 型篮球120个，则B 型篮球为180个． 【点睛】题目主要考查二元一次方程组及一次函数的应用，理解题意，列出相应方程是解题关键．23．（1）；（2）；（3）存在，如图2（见解析），当时，；如图3（见解析），当时，；如图4（见解析），当时，． 【分析】（1）先根据线段中点的定义可得，再根据矩形的性质、角平分线的定义可得，从而可得是解析：（1）；（2）；（3）存在，如图2（见解析），当时，；如图3（见解析），当时，；如图4（见解析），当时，．【分析】（1）先根据线段中点的定义可得，再根据矩形的性质、角平分线的定义可得，从而可得是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得AH 的长，最后根据等腰直角三角形的面积公式即可得； （2）先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据三角形中位线定理可得是的中位线，从而可得，然后与（1）所求的建立等式求解即可得；（3）分①当点H 是AB 的中点时，；②当点Q 与点E 重合时，；③当时，三种情况，分别求解即可得．【详解】 （1）由题意得：，点Q 为AP 的中点，，四边形ABCD 是矩形，，是BAD的角平分线，，，是等腰直角三角形，，则的面积为；（2）如图1，四边形PQHM是平行四边形，，点M在BC边上，，点Q为AP的中点，是的中位线，，由（1）知，，则，解得；（3）由题意，有以下三种情况：①如图2，当点H是AB的中点时，则，四边形PQHM是平行四边形，，，在和中，，由（2）可知，此时；②如图3，当点Q与点E重合时，在和中，，，，则，解得；③如图4，当时，四边形ABCD是矩形，四边形PQHM是平行四边形，，，在和中，，，，在中，，是等腰直角三角形，，，在中，，是等腰直角三角形，，则由得：，解得；综上，如图2，当时，；如图3，当时，；如图4，当时，．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分三种情况讨论并画出图形是解题关键．24．（1）y=-2x+8；（2）S=16m-2m2；（3）（-2，4）【解析】【分析】（1）先求出点A，点B坐标，由等腰三角形的性质可求点C坐标，由待定系数法可求BC 的解析式；（2）过点P作PG解析：（1）y=-2x+8；（2）S=16m-2m2；（3）（-2，4）【解析】【分析】（1）先求出点A，点B坐标，由等腰三角形的性质可求点C坐标，由待定系数法可求BC 的解析式；（2）过点P作PG⊥AC，PE∥BC交AC于E，过点Q作HQ⊥AC，由“AAS”可证△AGP≌△CHQ，可得AG=HC=m-4，PG=HQ=2m-8，由“AAS”可证△PEF≌△QCF，可得S△PEF=S△QCF，即可求解；（3）如图2，连接AM，CM，过点P作PE⊥AC，由“SSS”可证△APM≌△CQM，△ABM≌△CBM，可得∠PAM=∠MCQ，∠BQM=∠APM=45°，∠BAM=∠BCM，由“AAS”可证△APE≌△MAO，可得AE=OM，PE=AO=4，可求m的值，可得点P的坐标．【详解】解：（1）∵直线y=2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点B（0，8），点A（-4，0）∴AO=4，BO=8，∵AB=BC，BO⊥AC，∴AO=CO=4，∴点C（4，0），设直线BC解析式为：y=kx+b，由题意可得：804bk b=⎧⎨=+⎩，解得：28kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC解析式为：y=-2x+8；（2）如图1，过点P作PG⊥AC，PE∥BC交AC于E，过点Q作HQ⊥AC，设△PBQ的面积为S，∵AB=CB，∴∠BAC=∠BCA，∵点Q横坐标为m，∴点Q（m，-2m+8）∴HQ=2m-8，CH=m-4，∵AP=CQ，∠BAC=∠BCA=∠QCH，∠AGP=∠QHC=90°，∴△AGP≌△CHQ（AAS），∴AG=HC=m-4，PG=HQ=2m-8，∵PE∥BC，∴∠PEA=∠ACB，∠EPF=∠CQF，∴∠PEA=∠PAE，∴AP=PE，且AP=CQ，∴PE=CQ，且∠EPF=∠CQF，∠PFE=∠CFQ，∴△PEF≌△QCF（AAS）∴S△PEF=S△QCF，∴△PBQ的面积=四边形BCFP的面积+△CFQ的面积=四边形BCFP的面积+△PEF的面积=四边形PECB的面积，∴S=S△ABC-S△PAE=12×8×8-12×（2m-8）×（2m-8）=16m-2m2；（3）如图2，连接AM，CM，过点P作PE⊥AC，∵AB=BC，BO⊥AC，∴BO是AC的垂直平分线，∴AM=CM，且AP=CQ，PM=MQ，∴△APM≌△CQM（SSS）∴∠PAM=∠MCQ，∠BQM=∠APM=45°，∵AM=CM，AB=BC，BM=BM，∴△ABM≌△CBM（SSS）∴∠BAM=∠BCM，∴∠BCM=∠MCQ，且∠BCM+∠MCQ=180°，∴∠BCM=∠MCQ=∠PAM=90°，且∠APM=45°，∴∠APM=∠AMP=45°，∴AP=AM，∵∠PAO+∠MAO=90°，∠MAO+∠AMO=90°，∴∠PAO=∠AMO，且∠PEA=∠AOM=90°，AM=AP，∴△APE≌△MAO（AAS）∴AE=OM，PE=AO=4，∴2m-8=4，∴m=6，∴P（-2，4）．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．25．（1）45；（2）①见解析；②DF的长为2；（3）【分析】（1）根据平角的定义得到∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，根据角平分线的定义得到∠AFE＝DFE，∠AEF＝BEF，求得∠解析：（1）45；（2）①见解析；②DF的长为2；（3）15 7【分析】（1）根据平角的定义得到∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，根据角平分线的定义得到∠AFE＝12∠DFE，∠AEF＝12∠BEF，求得∠AEF+∠AFE＝12（∠DFE+∠BEF），根据三角形的内角和定理即可得到结论；（2）①作AG⊥EF于G，如图1所示：则∠AGE＝∠AGF＝90°，先证明四边形ABCD是矩形，再由角平分线的性质得出AB＝AD，即可得出四边形ABCD是正方形；②设DF＝x，根据已知条件得到BC＝6，由①得四边形ABCD是正方形，求得BC＝CD＝6，根据全等三角形的性质得到BE＝EG＝3，同理，GF＝DF＝x，根据勾股定理列方程即可得到结论；（3）把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G，由（1）（2）得：四边形PMGD是正方形，MR+DQ＝QR，MR＝HR，DQ＝HQ＝2，得出MG＝DG＝MP＝PH＝6，GQ＝4，设MR＝HR＝a，则GR＝6﹣a，QR＝a+2，在Rt△GQR 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：（1）∵∠C＝90°，∴∠CFE+∠CEF＝90°，∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF，∴∠AFE＝12∠DFE，∠AEF＝12∠BEF，∴∠AEF +∠AFE ＝12（∠DFE +∠BEF ）＝12⨯270°＝135°，∴∠EAF ＝180°﹣∠AEF ﹣∠AFE ＝45°， 故答案为：45；（2）①作AG ⊥EF 于G ，如图1所示：则∠AGE ＝∠AGF ＝90°， ∵AB ⊥CE ，AD ⊥CF ， ∴∠B ＝∠D ＝90°＝∠C ， ∴四边形ABCD 是矩形，∵∠CEF ，∠CFE 外角平分线交于点A ， ∴AB ＝AG ，AD ＝AG ， ∴AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是正方形； ②设DF ＝x ， ∵BE ＝EC ＝3， ∴BC ＝6，由①得四边形ABCD 是正方形， ∴BC ＝CD ＝6，在Rt △ABE 与Rt △AGE 中，AB AGAE AE=⎧⎨=⎩ ， ∴Rt △ABE ≌Rt △AGE （HL ）， ∴BE ＝EG ＝3， 同理，GF ＝DF ＝x ，在Rt △CEF 中，EC 2+FC 2＝EF 2， 即32+（6﹣x ）2＝（x +3）2， 解得：x ＝2， ∴DF 的长为2； （3）解：如图2所示：把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G，由（1）（2）得：四边形PMGD是正方形，MR+DQ＝QR，MR＝HR，DQ＝HQ＝2，∴MG＝DG＝MP＝PH＝5，∴GQ＝3，设MR＝HR＝a，则GR＝5﹣a，QR＝a+2，在Rt△GQR中，由勾股定理得：（5﹣a）2+32＝（2+a）2，解得：a＝157，即HR＝157；故答案为：157．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、矩形的判定、翻折变换的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．。
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北京市西城区2013—2014学年度第二学期期末考试八年级数学试卷 2014.7试卷满分：100分，考试时间：100分钟一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）．A ．31，41，51 B ．3，4，5 C ．2，3，4 D ．1，1，32．下列图案中，是中心对称图形的是（ ）．3．将一元二次方程x 2－6x －5＝0化成(x －3)2＝b 的形式，则b 等于（ ）．A ．4B ．－4C ．14D ．－14 4．一次函数12+=x y 的图象不．经过（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确．．．的是（ ）． A ．当AB ＝BC 时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形C ．当∠ABC ＝90º时，它是矩形D ．当AC ＝BD 时，它是正方形6．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AC ＝4cm ，∠AOD ＝120º，则BC 的长为（ ）．A . 34 B. 4 C . 32 D. 27．中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表：跳高成绩(m) 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 人数132351这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（ ）． A ．1.65，1.70 B ．1.70，1.65C ．1.70，1.70D ．3，58．如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的顶点A 的坐标为(2,0)，点B 的坐标为(0,1)，点C 在第一象限，对角线BD 与x 轴平行. 直线y =x +3与x 轴、y 轴分别交于点E ,F . 将菱形ABCD 沿x 轴向左平移m 个单位，当点D 落在△EOF 的内部时(不包括三角形的边)，m 的值可能是（ ）． A .3 B. 4C. 5D. 6二、填空题（本题共25分，第9～15题每小题3分，第16题4分） 9．一元二次方程022=-x x 的根是 .10．如果直线x y -=向上平移3个单位后得到直线AB ，那么直线AB 的解析式是_________. 11．如果菱形的两条对角线长分别为6和8，那么该菱形的面积为_________. 12．如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，AC 的中点，已知DF =3，则AE = ．13．若点1(1,)A y 和点2(2,)B y 都在一次函数2+-=x y 的图象上，则y 1 y 2（选择“＞”、“＜”、“＝”填空）．14．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（3，2），若将线段OA 绕点O 顺时针旋转90°得到线段A O '，则点A '的坐标是 ．15．如图，直线1l ：1y x =+与直线2l ：y mx n =+相交于点P （a ，2），则关于x 的不等式1x +≥mx n +的解集为 ．16．如图1，五边形ABCDE 中，∠A =90°，AB ∥DE ，AE ∥BC ，点F ,G 分别是BC ,AE 的中点. 动点P 以每秒2cm 的速度在五边形ABCDE 的边上运动，运动路径为F →C →D →E →G ，相应的△ABP 的面积y (cm 2)关于运动时间t (s)的函数图象如图2所示．若AB =10cm ，则(1)图1中BC 的长为_______cm ；(2) 图2中a 的值为_________．三、解答题（本题共30分，第17题5分，第18～20题每小题6分，第21题7分） 17．解一元二次方程：2420x x +-=． 解：18．已知：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数4y kx =+的图象与y 轴交于点A ，与x轴的正半轴交于点B ，2OA OB =．（1）求点A 、点B 的坐标；（2）求一次函数的解析式． 解：19．已知：如图，点A 是直线l 外一点，B ，C 两点在直线l 上，90BAC ∠=︒，2BC BA =． （1）按要求作图：（保留作图痕迹）①以A 为圆心，BC 为半径作弧，再以C 为圆心，AB 为半径作弧，两弧交于点D ； ②作出所有以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形；（2）比较在（1）中所作出的线段BD 与AC 的大小关系． 解：20．已知：如图， ABCD 中，E ，F 两点在对角线BD 上，BE=DF ． （1）求证：AE=CF ； （2）当四边形AECF 为矩形时，直接写出BD ACBE-的值．21．已知关于x 的方程2(2)210x k x k -++-=．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的一个根为3x =，求k 的值及方程的另一根．四、解答题（本题7分）22．北京是水资源缺乏的城市，为落实水资源管理制度，促进市民节约水资源，北京市发改委在对居民年用水量进行统计分析的基础上召开水价听证会后发布通知，从2014 年5月1日起北京市居民用水实行阶梯水价，将居民家庭全年用水量划分为三档，水 价分档递增，对于人口为5人（含）以下的家庭，水价标准如图1所示，图2是小明 家在未实行新水价方案时的一张水费单（注：水价由三部分组成）.若执行新水价方 案后，一户3口之家应交水费为y （单位：元），年用水量为x （单位：3m ），y 与x 之间的函数图象如图3所示.根据以上信息解答下列问题：（1）由图2可知未调价时的水价为 元/3m ； （2）图3中，a= ，b= ，图1中，c = ；（3）当180＜x ≤260时，求y 与x 之间的函数关系式. 解：五、解答题（本题共14分，每小题7分）23．已知：正方形ABCD 的边长为6，点E 为BC 的中点，点F 在AB 边上，2BF AF =． 画出EDF ∠，猜想EDF ∠的度数并写出计算过程． 解： EDF ∠的度数为 ． 计算过程如下：图3图1 图2xO24．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，(0,4)A ，(0,2)B ，点C 在x 轴的正半轴上， 点D 为OC 的中点． （1） 求证：BD ∥AC ； （2） 当BD 与AC 的距离等于1时，求点C 的坐标；（3）如果OE ⊥AC 于点E ，当四边形ABDE 为平行四边形时，求直线AC 的解析式． 解：（1）（2）（3）备用图北京市西城区2013—2014学年度第二学期期末试卷 八年级数学参考答案及评分标准 2014.7一、选择题（本题共24分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDCDDCAC二、填空题（本题共25分，第9～15题每小题3分，第16题4分）9．120,2x x ==． 10．3y x =-+． 11．24． 12．3． 13．＞． 14．(2,3)-． 15．x ≥1（阅卷说明：若填x ≥a 只得1分） 16．（1）16；（2）17．（每空2分）三、解答题（本题共30分，第17题5分，第18～20题每小题6分，第21题7分） 17．解：2420x x +-=．1a =，4b =，2c =-． …………………………………………………………1分 224441(2)24b ac ∆=-=-⨯⨯-=．…………………………………………… 2分方程有两个不相等的实数根242b b acx a-±-= ………………………… 3分424426212-±-±==⨯．所以原方程的根为126x =-+，226x =--． （各1分）……………… 5分 18．解：（1）∵ 一次函数4y kx =+的图象与y 轴的交点为A ，∴ 点A 的坐标为(0,4)A ．………………………………………………… 1分 ∴ 4OA =．………………………………………………………………… 2分 ∵ 2OA OB =， ∴ 2OB =．………………………………………………………………… 3分 ∵ 一次函数4y kx =+的图象与x 轴正半轴的交点为B ， ∴ 点B 的坐标为(2,0)B ．………………………………………………… 4分 （2）将(2,0)B 的坐标代入4y kx =+，得 024k =+． 解得 2k =-．………………………… 5分∴ 一次函数的解析式为 24y x =-+．………………………………… 6分19．解：（1）按要求作图如图1所示，四边形1ABCD 和四边形2ABD C 分别是所求作的四边形；………………………………… 4分（2）BD ≥ AC ． …………………………………………………………… 6分阅卷说明：第（1）问正确作出一个四边形得3分；第（2）问只填BD ＞AC 或BD =AC 只得1分．20．（1）证明：如图2．lD 2D1CBA 图1∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥CD ，AB =CD ．…………… 1分 ∴ ∠1=∠2．……………………… 2分在△ABE 和△CDF 中，, 12, , AB CD BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩………………………3分 ∴ △ABE ≌△CDF ．（SAS ） ………………………………………… 4分 ∴ AE=CF ．…………………………………………………………… 5分（2） 当四边形AECF 为矩形时，BD ACBE-= 2 ． ………………………………6分 21．（1）证明：∵ 2(2)210x k x k -++-=是一元二次方程，[]2224(2)41(21)48b ac k k k k ∆=-=-+-⨯⨯-=-+ ………… 1分2(2)4k =-+，…………………………………………………… 2分 无论k 取何实数，总有2(2)k -≥0，2(2)4k -+＞0．……………… 3分 ∴ 方程总有两个不相等的实数根．…………………………………… 4分 （2）解：把3x =代入方程2(2)210x k x k -++-=，有233(2)210k k -++-=．………………………………………………… 5分 整理，得 20k -=．解得 2k =．………………………………………………………………… 6分 此时方程可化为 2430x x -+=． 解此方程，得 11x =，23x =．∴ 方程的另一根为1x =．………………………………………………… 7分 四、解答题（本题7分）22．解：（1） 4 ．……………………………………………………………………………1分（2）a=900 ，b= 1460 ，（各1分）…………………………………………… 3分 c = 9．………………………………………………………………………… 5分（3）解法一：当180＜x ≤260时，18057(180)7360y x x =⨯+-=-．…… 7分解法二：当180＜x ≤260时，设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+（k ≠0）． 由（2）可知：(180,900)A ，(260,1460)B ．得180900,2601460.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得7,360.k b =⎧⎨=-⎩∴ 7360y x =- ．……………………………………………… 7分 五、解答题（本题共14分，每小题7分）23．解：所画EDF ∠如图3所示．……………………………………………………… 1分 EDF ∠的度数为45． …………………………… 2分解法一：如图4，连接EF ，作FG ⊥DE 于点G ． …… 3分图 221FCADB EEFAB∵ 正方形ABCD 的边长为6，∴ AB=BC=CD= AD =6，90A B C ∠=∠=∠=︒． ∵ 点E 为BC 的中点， ∴ BE=EC=3． ∵ 点F 在AB 边上，2BF AF =， ∴ AF =2，BF =4．在Rt △ADF 中，90A ∠=︒，222226240DF AD AF =+=+=．在Rt △BEF ，Rt △CDE 中，同理有222223425EF BE BF =+=+=，222226345DE CD CE =+=+=．在Rt △DFG 和Rt △EFG 中，有 22222FG DF DG EF EG =-=-．设DG x =，则224025(35)x x -=--． ……………………………… 4分 整理，得 6560x =．解得 25x =，即25DG =． ………………………………………… 5分 ∴ 22240(25)2025FG DF DG =-=-==．∴ DG FG =．……………………………………………………………… 6分 ∵ 90DGF ∠=︒， ∴ 180452DGFEDF ︒-∠∠==︒． ……………………………………… 7分解法二：如图5，延长BC 到点H ，使CH=AF ，连接DH ，EF ．………………… 3分 ∵ 正方形ABCD 的边长为6，∴ AB=BC=CD=AD =6，=90A B ADC DCE ∠=∠=∠=∠︒． ∴ 180=90DCH DCE ∠=︒-∠︒，A DCH ∠=∠． 在△ADF 和△CDH 中，, , , AD CD A DCH AF CH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ADF ≌△CDH ．（SAS ） ……………4分 ∴ DF=DH ， ① 12∠=∠．∴ 2190FDH FDC FDC ADC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒．……………… 5分∵ 点E 为BC 的中点， ∴ BE=EC=3． ∵ 点F 在AB 边上，2BF AF =， ∴ CH= AF=2，BF=4． ∴ 5EH CE CH =+=． 在Rt △BEF 中，90B ∠=︒，图4 GEF D CB A 图521H EFD CBA2222345EF BE BF =+=+=． ∴ EF EH =．②又∵ DE= DE ，③由①②③得△DEF ≌△DEH ．（SSS ） …………………………………… 6分 ∴ 452FDHEDF EDH ∠∠=∠==︒． ………………………………… 7分 24．解：（1）∵ (0,4)A ，(0,2)B ，∴ OA =4，OB =2，点B 为线段OA 的中点．…………………………… 1分 ∵ 点D 为OC 的中点，∴ BD ∥AC ．……………………………………………………………… 2分 （2）如图6，作BF ⊥AC 于点F ，取AB 的中点G ，则(0,3)G ． ∵ BD ∥AC ，BD 与AC 的距离等于1， ∴ 1BF =．∵ 在Rt △ABF 中，90AFB ∠=︒，AB =2，点G 为AB 的中点，∴ 12ABFG BG ===． ∴ △BFG 是等边三角形，60ABF ∠=︒． ∴ 30BAC ∠=︒．设OC x =，则2AC x =，223OA AC OC x =-=． ∵ OA =4， ∴ 433x =．……………………………………… 3分 ∵ 点C 在x 轴的正半轴上，∴ 点C 的坐标为43(,0)3．……………………………………………… 4分 （3）如图7，当四边形ABDE 为平行四边形时，AB ∥DE ．∴ DE ⊥OC ．∵ 点D 为OC 的中点， ∴ OE=EC ． ∵ OE ⊥AC ，∴ 45OCA ∠=︒．∴ OC=OA =4．………………………………… 5分 ∵ 点C 在x 轴的正半轴上， ∴ 点C 的坐标为(4,0)．………………………………………………… 6分设直线AC 的解析式为y kx b =+（k ≠0）．则40,4.k b b +=⎧⎨=⎩ 解得1,4.k b =-⎧⎨=⎩∴ 直线AC 的解析式为4y x =-+ ．………………………………………7分图6 x y G FCD BA O 图7xyE D B AO C。