新版【冀教版适用】初二数学上册《【学案】分式方程》

分式方程
学习目标：
1.理解分式方程的意义，掌握解分式方程的基本思路和解法.（重点）
2.理解分式方程无解及出现增根的原因，掌握分式方程验根的方法.（难点） 学习重点：解分式方程.
知识链接
1. 下列方程哪些是一元一次方程? (1)353;x -=(2)25;x y +=2
(3)5;x x -=1(4) 1.23x x +-= 一元一次方程的特征是什么？
答：___________________________________________________________________.
二、新知预习
3.完成下面解题过程：
小红家到学校的路程为18km.小红从家去学校总是先乘坐公共汽车，下车后再步行1km ，才能到学校，路途所用时间是1h ，已知公共汽车是速度是小红步行速度的9倍，求小红步行的速度.
上述问题中有哪些等量关系？
答：①_____________________+_______________________=小红上学路上的时间；
②公共汽车的速度=_______________________________.
如果设小红步行的速度为x km/h ，那么公共汽车的速度为_____ km/h,根据等量关系①，可以得到方程：_______________________________.
如果设小红步行的时间为x h ，那么她乘坐公共汽车的时间为______h ，根据等量关系②，可以得到方程：_______________________________.
在（2）（3）中得到的方程与我们学过的一元一次方程有什么不同？这两个方程有哪些共同特点？
答：___________________________________________________________________.
像这样，分母中含有________的方程叫做分式方程.使得分式方程等号两端相等的未知数叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）.
试着解下列分式方程：
382291x x
-=⨯-； 解：方程两边同乘___________，得 去分母（乘最简公分母）
___________________.
解这个整式方程，得____________. 解整式方程
经检验，__________________________. 验根（原分式方程是否有意义）
13111x x x x
+-=+--. 解：方程两边同乘___________，得 去分母（乘最简公分母）
___________________.
解这个整式方程，得____________. 解整式方程
经检验，__________________________. 验根（原分式方程是否有意义）
像这样，解得的根使得分母的值为0，分式方程______，我们把这样的根叫做分式方程的增根.
NOTE ：分式方程可能无解.解分式方程一定要注意验根.
自学自测
1.下列各式中，分式方程是 （ ）A.65x x = B.1051
x x =- C.2341x x =+ D.()1033
x x a a =-≠ 2.解分式方程2211x x x
++--＝3时，去分母后变形为 （ ） A ．2＋(x ＋2)＝3(x －1) B ．2－x ＋2＝3(x －1)
C ．2－(x ＋2)＝3(1－x) ．
D ．2－(x ＋2)＝3(x －1)
3.若分式x －1x ＋2
的值为零，则x 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．－2
4.如果关于x 的方程2－x x －5＝m 5－x
无解，那么m 的值为( ) A ．－2 B ．5 C ．2 D ．－3
5.解方程：(1)x －2x ＋2－1＝3x 2－4；(2)2x 2x －3－12x ＋3
＝1.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_________________________________________________________________
要点探究
探究点1：分式方程的相关概念
问题： 下列关于x 的方程中，是分式方程的是( )
A.
3＋x 2＝2＋x 5 B.2x －17＝x 2 C.x π＋1＝2－x 3 D.12＋x ＝1－2x
【归纳总结】判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母)．
【针对训练】
下列各式中，分式方程是 （ ）
A ．511y -+
B ．3
24x x -= C ．232y y -=+ D ．156
x
x =- 探究点2：分式方程的解法
问题1： 解方程：
(1)5x ＝7x －2；(2)1x －2＝1－x 2－x
－3.
【归纳总结】解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验．
【针对训练】
解方程：
(1)
21
12
x x
=
--
；(2)
23
1
3162
x x
-=
--
.
问题2：关于x的方程2x＋a
x－1
＝1的解是正数，则a的取值范围是
____________．
【归纳总结】求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.
【针对训练】
当m为何值时，关于x的方程m
x2－x－2＝
x
x＋1
－
x－1
x－2
的解是正数．
探究点3：分式方程的增根
问题1：若方程
3
x－2
＝
a
x
＋
4
x（x－2）
有增根，则增根可能为( )
A．0 B．2 C．0或2 D．1
【归纳总结】增根是使分式方程的分母为0的根．所以判断增根只需让分式方程的最简公分母为0；注意应舍去不合题意的解．
【针对训练】
若关于x的方程
2
22
x
x x
+
--
＝2有增根，则增根是_____．
问题2：如果关于x的分式方程2
x－3＝1－
m
x－3
有增根，则m的值为( )
A．－3 B．－2 C．－1 D．3
【归纳总结】增根是使分式方程的分母为0的根．所以判断增根只需让分式方程的最简公分母为0；注意应舍去不合题意的解．
【针对训练】
当m为何值时，方程
m
x－2
＋3＝
1－x
2－x
会产生增根．
问题3：若关于x的分式方程2
x－2＋
mx
x2－4
＝
3
x＋2
无解，求m的值．
【归纳总结】分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．【针对训练】
若关于x的方程
3
1
1
x a
x x
-
-=
-
无解，求a的值.
下列各式中是关于x 的分式方程的是_____________________.
①223x x -=;②437x y
+=;③132x x =-;④11x x -=-,⑤32x x π-=; ⑥2a b a b x a ++=-;⑦2x b x b a a -+=+;⑧2x n x m x m x n -++=+-;⑨2121x x -=+; ⑩121x x
->+ 2.解分式方程
232x x x -++＝1时，去分母后可得到 ( ) A ．x(2＋x)－2(3＋x)＝1 B ．x(2＋x)－2＝2＋x
C ．x(2＋x)－2(3＋x)＝(2＋x)(3＋x)
D ．x －2(3＋x)＝3＋x
3．分式方程212x x
--＝0的根是 ( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2
4．若关于x 的分式方程
2213m x x x +-=-无解，则m 的值为 ( ) A ．－1，5
B ．1
C ．－1.5或2
D ．－0.5或－
1.5
5.若关于x 的方程1x 2－1－m x ＋1＝1－2m x －1
不会产生增根，则m 为( ) A ．m≠0 B ．m≠14 C ．m≠0且m≠－12 D ．m≠14
且m≠－12
6.解方程：
(1)12211x x x +=-+;(2)22222222x x x x x x x ++--=--.
7.关于x 的方程
23321x k x x x x x
--=++，当k 为何值时，会产生增根？
当堂检测参考答案：②③④⑥⑧⑨
C
D
D
D
(1)x＝3;(2)x＝－1 2.
x＝－1时k＝3 .。