安徽省皖南八校高三第二次联考数学理

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安徽省皖南八校2024届高三数学上学期第二次大联考试题含解析

考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：高考范围.一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}*2450M x x x =∈--≤N ，{}04N x x =≤≤，则M N ⋂=（）A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{}04x x ≤≤ D.{}14x x ≤≤【答案】B 【解析】【分析】解不等式求出集合M ，根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】解2450x x --≤，得：15x -≤≤，所以{}{}*151,2,3,4,5M x x =∈-≤≤=N ，{}04N x x =≤≤，所以{1,2,3,4}M N ⋂=.故选：B.2.形如a b c d我们称为“二阶行列式”，规定运算a b ad bc c d=-，若在复平面上的一个点A 对应复数为z ，其中复数z 满足1ii 12i 1z -=+，则点A 在复平面内对应坐标为（）A.(3,2)B.(2,3)C.(2,3)- D.(3,2)-【答案】A 【解析】【分析】根据题意结合复数的运算可得32i z =+，结合复数的几何意义分析求解.【详解】由题意可得：()(12i)(1i)3i i -+-=-+=z z ，则()i 3i 32i =++=+z ，所以点A 在复平面内对应坐标为(3,2).故选：A.3.已知动点M 10y --=，则动点M 的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆【答案】C 【解析】【分析】根据方程表示的几何意义结合抛物线定义，即可判断出答案.10y --=1y =+，表示动点(,)M x y 到点(0,1)F 和直线1y =-的距离相等，所以动点M 的轨迹是以(0,1)F 为焦点的抛物线，故选：C.4.已知向量(2,)a m = ，(1,1)b m =+- ，且a b ⊥ ，若(2,1)c = ，则a 在c方向上的投影向量的坐标是（）A.42,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D.42,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据垂直向量的坐标运算建立方程求得参数，结合投影的定义，可得答案.【详解】a b ⊥ ，故2(1)0m m +-=，解得2m =-，所以(2,2)a =-，则a 在c方向上的投影向量为a ccc c =⋅⋅42,55⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：A.5.中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台1111ABCD A B C D -，上下底面的中心分别为1O 和O ，若1124AB A B ==，160A AB ∠=︒，则正四棱台1111ABCD A B C D -的体积为（）A.2023B.2823C.3D.2863【答案】B 【解析】【分析】根据正四棱台性质求出侧棱长，继而求得高，根据棱台的体积公式，即可求得答案.【详解】因为1111ABCD A B C D -是正四棱台，1124AB A B ==，160A AB ∠=︒，侧面以及对角面为等腰梯形，故()1111122cos AB A B AA A AB -==∠，12AO AC ==22AB =111122AO A B ==，所以1OO ==，所以该四棱台的体积为(1111112282(1648)333ABCD D A B C V OO S S =++=⋅=++，故选：B.6.已知数列{}n a 是递增数列，且*n a ∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1067S =，则5a 的最大值为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，确定数列前4项的值，后5项与5a 的差，即可列式计算得解.【详解】数列{}n a 是递增数列，且*n a ∈N ，而数列{}n a 的前10项和为定值，为使5a 取最大，当且仅当前4项值最小，后5项分别与5a 的差最小，则12341,2,3,4a a a a ====，657585951051,2,3,4,5a a a a a a a a a a -=-=-=-=-=，因此10121051061567S a a a a =++⋅⋅⋅+=++=，解得57a =，所以5a 的最大值为7.故选：C7.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，函数()g x 满足()()0g x g x +-=，且()f x ，()g x 在(],0-∞单调递减，则（）A.()()f g x 在[)0,∞+单调递减B.()()g g x 在(],0-∞单调递减C.()()g f x 在[)0,∞+单调递减D.()()ff x 在(],0-∞单调递减【答案】C 【解析】【分析】利用函数的奇偶性与单调性一一判定选项即可.【详解】由题意知()f x 在[)0,∞+单调递增，()g x 为奇函数，在R 上单调递减.设120x x ≤<，则()()21g x g x <0≤，()()()()21f g x f g x >，所以()()f g x 在[)0,∞+单调递增，故A 错误，设120x x <≤，则()1g x >()2g x ，()()()()12g g x g g x <，()()g g x 在(],0-∞单调递增，故B 错误；设120x x ≤<，则()1f x ()2f x <，()()()()12g f x g f x >，所以()()g f x 在[)0,∞+单调递减，故C 正确；取()21f x x =-，则()()()2211ff x x=--，()()00f f =，()()11f f -=-，此时()()f f x 在(],0-∞不单调递减，故D 错误.故选:C.8.已知点P 在直线60x y +-=上，过点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，点M 在圆2214:133C x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，则点M 到直线AB 距离的最大值为（）A.B.1+ C. D.1+【答案】B 【解析】【分析】结合点P 在直线60x y +-=上，求出切点弦AB 的方程，确定其所经过的定点，确定当CQ AB ⊥时，C 到直线AB 的距离最大，M 到直线AB 的距离也最大，即可求得答案.【详解】根据题意，设点(,)P m n ，则6m n +=，过点P 作圆22:4O x y +=的切线，切点分别为A ，B ，则有OA ⊥PA ，OB PB ⊥，则点A ，B 在以OP 为直径的圆上，以OP 为直径的圆的圆心为,22m n D ⎛⎫⎪⎝⎭，半径12r OP =2=，则其方程为2222224m n m n x y +⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，变形可得220x y mx ny +--=，联立22224x y x y mx ny ⎧+=⎨+--=⎩，可得圆D 和圆O 公共弦AB 为：40mx ny +-=，又由6m n +=，则有mx +()640m y --=，变形可得()640m x y y -+-=，则有0640x y y -=⎧⎨-=⎩，可解得23x y ==，故直线AB 恒过定点22,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点M 在圆2214:133C x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，14,33C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当CQ AB ⊥时，C 到直线AB 的距离最大，M 到直线AB 的距离也最大，则点M 到直线AB 距离的最大值为111CQ +==.故选:B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.一组数据2、3、3、4、5、7、7、8、9、11的第80百分位数为8.5B.在回归分析中，可用决定系数2R 判断模型拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好C.若变量ξ服从()217,N σ，(1718)0.4P ξ<≤=，则(18)0.1P ξ>=D.将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为1x ，2x 和21s ，22s ，若12x x =，则总体方差()2221212s s s =+【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，根据百分位数的计算方程，可得答案；对于B ，结合拟合的定义，可得答案；对于C ，根据正态分布的对称性，可得答案；对于D ，利用方差的计算，可得答案.【详解】对于A ，数据2、3、3、4、5、7、7，8、9、11共10个数，因为1080%8⨯=，因此，这组数据的第80百分位数为898.52+=，故A 正确，对于B ，在回归分析中，可用决定系数2R 的值判断模型拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好，故B 错误；对于C ，因为变量ξ服从()217,N σ，(1718)0.4P ξ<≤=，则(18)0.5(1718)0.50.40.1P P ξξ>=-<≤=-=，故C 正确；对于D ，不妨设两层的样本容量分别为m ，n ，总样本平均数为x ，则()()222221212m n s s x x s x x m n m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++，易知只有当m n =，12x x =时，有()2221212s s s =+，故D 错误.故选：AC.10.已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且(0)1f =，若()g x =()f x a +为奇函数，则a 可能取值为（）A.π3B.5π12C.π6D.π12-【答案】BD 【解析】【分析】根据图像有2A =，根据(0)2sin 1f ϕ==及π2ϕ<，确定ϕ值，再根据图像确定2π11π12T ω=>，结合11π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出ω，确定()f x 解析式，又要使()()g x f x a =+为奇函数，则(0)()0g f a ==，求a 值.【详解】由图象可得2A =，再根据(0)2sin 1f ϕ==，π2ϕ<，故π6ϕ=，又2π11π12T ω=>，则24011ω<<，又11π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以11ππ2π126k ω⨯+=，Z k ∈，得2ω=，故π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；要使()()g x f x a =+为奇函数，则(0)()0g f a ==，所以π2π6a k +=，Z k ∈，得ππ212k a =-，当0k =时12πa =-，当1k =时5π12a =，所以B 、D 符合，其它选项不符合.故选：BD11.若函数()e e x x f x a b cx -=++，既有极大值点又有极小值点，则（）A.0ac < B.0bc < C.()0a b c +< D.240c ab +>【答案】ACD【解析】【分析】根据极值定义，求导整理方程，结合一元方程方程的性质，可得答案.【详解】由题知方程2e e ()e e 0ex x xxxa c bf x a b c -+-'=-+==，2e e 0x x a c b +-=有两不等实根1x ，2x ，令e x t =，0t >，则方程20at ct b +-=有两个不等正实根1t ，2t ，其中11e x t =，22e xt =，212120Δ4000a c abc t t a bt t a ≠⎧⎪=+>⎪⎪⎨+=->⎪⎪=->⎪⎩，24000c ab ac ab ⎧+>⎪<⎨⎪<⎩，()00bc a b c ab ac >⎧⎨+=+<⎩，故ACD 正确，B 错误.故选：ACD.12.已知一圆锥，其母线长为l 且与底面所成的角为60︒，下列空间几何体可以被整体放入该圆锥的是（）1.73≈， 1.41≈）A.一个半径为0.28l 的球B.一个半径为0.28l 与一个半径为0.09l 的球C.一个边长为0.45l 且可以自由旋转的正四面体D.一个底面在圆锥底面上，体积为30.04l π的圆柱【答案】ABC 【解析】【分析】作出相应的空间图形及轴截面，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果.【详解】如图1，球1O 与圆锥侧面、底面均相切，球2O 与球1O 、圆锥侧面相切，作圆锥的轴截面如图2，设小球1Q 半径为1r ，球1Q 与BC 边相切于点E ，60CBA ∠=︒，30DCB ∠=︒，1O E BC ⊥，所以112CO r =，132CD r ==，130.286r l ∴=>，故A 正确；设小球2O 半径为2r ，同理可知21130.09318r r l l ==>，故B 正确；将棱长为a 的正四面体放置到正方体中，如图则正四面体的外接球即正方体的外接球，易知正方体的外接球球心在体对角线的中点O 处，半径为1B D 的一半长，易知，2BC a =，所以12B D a =，故棱长为a 的正四面体外接球半径为4a ，则46a ≤则边长3a l ≤，20.453l l >，故C 正确；如图3，一圆柱内接圆锥，作圆锥的轴截面如图4，设圆柱底面半径为3r ，高为h ，因为3r CD h DB CD -=，又易知，13,22BD l CD ==，代入3r CD h DB CD -=，整理得到332h l =-，所以圆柱的体积()()2223333333332π2ππ2V r h l r l r r r ⎛⎫==⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭，令()()23333π2602V r lr r '=-=，得30r =或313r l =，则体积在10,3l ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,32l l ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()333max π30.044π5V l l r =∴<，故D 错误.图1图2图3图4故选：ABC.【点睛】关键点晴，本题的关键在于将空间问题转化成平面问题来处理.三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13.二项式(2)(1)n x x -+的展开式中，所有项系数和为256-，则2x 的系数为______（用数字作答）.【答案】48-【解析】【分析】利用赋值法求得n ，再根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】令1x =可得二项式(2)(1)nx x -+的所有项系数和为2256n -=-，所以8n =.二项式8(1)x +的展开式的通项公式为18C rrr x T +=⋅，0r =，1， (8)所以(2)(1)nx x -+的展开式中，2x 的系数为1288C 2C -=48-.故答案为：48-14.随机变量ξ有3个不同的取值，且其分布列如下：ξ4sin α4cos α2sin 2αP1414a则()E ξ的最小值为______.【答案】54-【解析】【分析】根据分布列性质求得a 的值，即可求得()E ξ的表达式，结合三角换元以及二次函数性质，即可求得答案.【详解】依题意知11144a ++=，则12a =，则()sin cos sin 2E ξααα=++，设πsin cos 4t ααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣，故22sin 2(sin cos )11t ααα=+-=-，所以2215()124E t t t ξ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当12t ⎡=-∈⎣时，()E ξ取最小值54-，故答案为：54-15.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过左焦点1F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点（B 在第一象限），若线段AB 的中垂线经过点2F ，且点2F 到直线l 的距离为，则双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】根据题意，由双曲线的定义可得4AB a =，再由勾股定理列出方程即可得到,a c 关系，代入离心率计算公式，即可得到结果.【详解】设双曲线E 的半焦距为c ，0c >，22=BF AF ，根据题意得122BF BF a -=，又21AF AF -212BF AF a =-=，114AB BF AF a ∴=-=，设AB 的中点为C ，在2ACF △中，2CF =，2AC a =，23AF a ∴=，则1AF a =，13CF a =，根据2221212CF CF F F +=，可知2(3)a +)22(2)c =，142c a e =∴=.故答案为：142.16.已知函数22ln e ()21e xa f x a x x x=+-+，(0)a >有唯一零点，则a 的值为______.【答案】2【解析】【分析】设2e (0)e x a t t x=>，转化为方程ln e t t =有唯一解e t =，即2ln 2a x x =-有唯一解，设ln ()22g x a x x =-+，利用导数判断单调性并求出最小值可得答案.【详解】由题意知224e 21e ln x a x x x+=-有唯一解，0x >，故2222e e 21ln e ln e ln e e l ln n x x x a a a x a x x x x=--=--=，设2e (0)e x a t t x=>，即ln e t t =，设(e n )l t F t t =-，则11()e F t t '=-，当(0,e)t ∈时，()0F t '<，函数()F t 单调递减，当(e,)t ∈+∞时，()0F t '>，函数()F t 单调递增；min ()(e)0F t F ==，故方程ln e t t =有唯一解e t =，即2e e e x a x=有唯一解，即2ln 2a x x =-有唯一解，设ln ()22g x a x x =-+，()2a g x x '=-，0a >，当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当x 趋近于0和x 趋近于+∞时，()g x 趋近于-∞，故只需满足ln 2022a a g a a ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，设()ln 22a h a a a =-+，()ln 2a h a '=，当(0,2)a ∈时，()0h a '<，函数()h a 单调递减，当(2,)a ∈+∞时，()0'>h a ，函数()h a 单调递增，故min ()(2)0h a h ==，故2a =成立.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是构造函数，利用导数判断单调性四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S，且满足1n a =+，*N n ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n n n b a a a +⋅=+，求数列{}n b 的前n 和n T .【答案】（1）21n a n =-，*N n ∈（2）2221n n n T n+=+【解析】【分析】（1）根据数列递推式求出首项，得出当2n ≥时，()211114n n S a --=+，和()2114n n S a =+相减并化简可得12n n a a --=，即可求得答案；（2）利用（1）的结果可得12n n n n b a a a +⋅=+的表达式，利用等差数列的前n 项和公式以及裂项法求和，即可求得答案.【小问1详解】由1n a =+得()2114n n S a =+，则()211114a a =+，解得11a =，当2n ≥时，()211114n n S a --=+，所以()()2211111144n n n n n a S S a a --=-=+-+，整理得()()()1112n n n n n n a a a a a a ----+=+，因为{}n a 是正项数列，所以10n n a a ->+，所以12n n a a --=，所以{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，所以12(1)21n a n n =+-=-，*N n ∈.【小问2详解】由（1）可得，21n a n =-，所以122112121(21)(21)2121n n n n b a n n a a n n n n +=+=-+=-+--+-+⋅，所以(121)111111213352121n n n T n n +-⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭21121n n =+-+2221n n n =++.18.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22b a ac -=.（1）求证：2B A =；（2）如图：点D 在线段AC 上，且12AD BD CD ==，求cos C 的值.【答案】（1）证明见解析（2）368【解析】【分析】（1）在ABC 中根据余弦定理、正弦定理及三角公式化简可得；（2）由第一问在BCD △中结合正弦定理可得2a c =，在ABC 中根据余弦定理可求得结果.【小问1详解】证明：由余弦定理得2222cos a c b ac B +-=，又22b a ac -=，可得22cos c ac ac B -=，即2cos c a a B -=，由正弦定理得sin sin 2sin cos C A A B -=，而sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，代入上式，可得sin sin si )cos co i s n s n(A A B A B B A =-=-，所以πA B A +-=（舍）或A B A =-，即2B A =.【小问2详解】因为2B A =，AD BD =，所以=A ABD CBD ∠∠=∠，在BCD △中，由正弦定理得sin sin sin sin CD CBD A a BD C C c∠∠===∠∠，而12BD CD =，可得2a c =，代入22b a ac -=，可得=b ，由余弦定理得222222(2)co 2s 8c c a b c C ab +-+-===.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，棱PA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 是矩形，6PA AD ==，点N 为棱PD 的中点，点E 在棱AD 上，3AD AE =.（1）求证：PC AN ⊥；（2）已知平面PAB 与平面PCD 的交线l 与直线BE 所成角的正切值为12，求二面角N BE D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）27【解析】【分析】（1）利用线线垂直证线面垂直，再由线面垂直的性质证线线垂直即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角即可.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，又因为四边形ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥，因为,PA AD A PA CD ⋂=⊂、平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，因为AN ⊂平面PAD ，所以CD AN ⊥.因为N 为PD 中点，PA AD =，所以PD AN ⊥，因为PD CD D ⋂=，所以AN ⊥平面PCD ，因为PC ⊂平面PCD ，所以AN PC ⊥.【小问2详解】在矩形ABCD 中，//AB CD ，CD ⊂平面PCD ，AB ⊂/平面PCD ，所以//AB 平面PCD .又AB ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面PCD l =，所以//AB l .所以l 与直线BE 所成角即为ABE ∠.在Rt ABE △中，123AE AD ==，AB AE ⊥，所以4tan A AE A E B B ∠==.以{},,AB AD AP 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,2,0)E ，(0,3,3)N 所以(4,2,0)BE =- ，(4,3,3)BN =-.设平面BNE 的法向量为(,,)m x y z = ，则4204330m BE x y m BN x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，取23,6z x y =⇒=-=-，可得(3,6,2)m =-- .又(0,0,6)AP = 为平面BDE 的一个法向量，所以122cos ,67m 7m AP AP m AP ⋅===⨯ .由图可知，二面角N BE D --为锐角，所以二面角N BE D --的余弦值为27.20.人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为m （*m ∈N ）分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得1-分.若该答题机器人答对每道题的概率均为12，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为X ，当2X m =时，答题结束，机器人挑战成功，当X 0=时，答题也结束，机器人挑战失败.（1）当3m =时，求机器人第一轮答题后累计得分X 的分布列与数学期望；（2）当4m =时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.【答案】（1）分布列见解析，()3E X =（2）111024【解析】【分析】（1）利用离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可；（2）根据超几何分布分类讨论计算即可.【小问1详解】当3m =时，第一轮答题后累计得分X 所有取值为4，3，2，根据题意可知：()1114224P X ==⨯=，()11132222P X ==⨯⨯=，()1112224P X ==⨯=，所以第一轮答题后累计得分X 的分布列为：X 432()P X 141214所以()1114323424E X =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】当4m =时，设“第六轮答题后，答题结束且挑战成功”为事件A ，此时情况有2种，分别为：情况①：前5轮答题中，得1分的有3轮，得0分的有2轮，第6轮得1分；情况②：前4轮答题中，得1分的有3轮，得1-分的有1轮，第5.6轮都得1分；所以()3232335411111111C C 4244441024P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21.如图，已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左右顶点分别为A 、B ，P 是椭圆M 上异于A 、B 的动点，满足14PA PB k k ⋅=-，当P 为上顶点时，ABP 的面积为2.（1）求椭圆M 的方程；（2）若直线AP 交直线:4l x =于C 点，直线CB 交椭圆于Q 点，求证：直线PQ 过定点.【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设椭圆上顶点0(0,)P b ，根据题意求出,a b 即可得解；（2）分直线PQ 斜率是否存在，设()11,P x y ，()22,Q x y ，(4,)C t ，先根据斜率不存在求出定点M ，方法1，联立直线AC 与椭圆方程，求出,P Q 两点的坐标，然后证明,,P M Q 三点共线即可.方法2，当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 为y kx m =+，联立方程，利用韦达定理求出12x x +，12x x ，再结合已知，求出,k m 的关系，即可得出结论.方法3，易得3BQ PA k k =，根据椭圆的对称性可得3PB QA k k =，再利用斜率公式构造对偶式，进而可求出PQ 的方程，从而可得出结论.【小问1详解】设椭圆上顶点0(0,)P b ，则002214P A P B b b b k k a a a =⋅==--⋅-，又01222ABP S ab =⨯=△，两式联立可解得2a =，1b =，所以椭圆M 的方程为2214x y +=；【小问2详解】设()11,P x y ，()22,Q x y ，(4,)C t ，当直线PQ 斜率不存在时，12x x =，12y y =-则直线:(2)6t AC y x =+，:(2)2t BC y x =-所以()()11112,622t y x t y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，可解得11x =，此时直线PQ 方程为1x =，过定点(1,0)；下面证明斜率存在时，直线PQ 也经过(1,0)，法1（设而求点）：联立直线AC 与椭圆方程：22(2),61,4t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()2222944360t x t x t +++-=，()()42216494360t t t ∆=-+->，由韦达定理有212429t x t --=+，即2121829t x t -=+，所以()1126269t t y x t =+=+，所以P 点坐标为2221826,99t t t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可得Q 点坐标为222222,11t t t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，设点(1,0)M ，则222936,99t t MP t t ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭ ，22232,11t t MQ t t ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭因为2222229326309191t t t t t t t t ---⋅-=++++，所以//MP MQ ，所以直线PQ 过定点(1,0)M ，证毕.法2（直曲联立）：当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 为y kx m =+，由6PA t k =，2BQ t k =，可知3BQ PA k k =，而14PA PB k k ⋅=-，可得34BQ PB k k =-⋅，即()()21122112322224y y y y x x x x ⋅==-----，整理得()121212346120x x y y x x +-++=①，联立直线PQ 与椭圆方程：2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222418440k x kmx m +++-=，所以()()()222222644414416410k m k m k m∆=-+-=+->，则2241k m +>，由韦达定理有122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+②，所以()()()2222121212122441m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+⋅③，将②③代入①得2222224448346120414141m m k km k k k --⨯+⨯+⨯+=+++，可得(2)()0k m k m ++=，所以2m k =-或m k =-，当2m k =-时，直线PQ 为2y kx k =-，经过(2,0)B ，舍去，所以m k =-，此时直线PQ 为y kx k =-，经过定点(1,0)，直线PQ 过定点得证.法3（构造对偶式）：由6PA t k =，2BQ t k =，可知3BQ PA k k =，又14PA PB k k ⋅=-，由椭圆对称性易知14QA QB k k =-⋅，所以3PB QA k k =，可得21211221121221121212322362326322y y x x x y x y y y y y x y x y y y x x ⎧=⨯⎪-+-=--⎧⎪⇒⎨⎨-=--⎩⎪=⨯⎪-+⎩①②，由①②可得122121x y x y y y =--，直线PQ 为()121112y y y y x x x x --=--，令0y =得，1221211x y x y x y y -==-，所以直线PQ 过定点(1,0)，证毕.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.22.已知函数()e e x x f x a -=-，（R a ∈）.（1）若()f x 为偶函数，求此时()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；（2）设函数()()(1)g x f x a x =-+，且存在12,x x 分别为()g x 的极大值点和极小值点.（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）若(0,1)a ∈，且()()120g x kg x +>，求实数k 的取值范围.【答案】（1）20y +=（2）（i ）(0,1)(1,)⋃+∞；（ii ）(,1]-∞-【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义，求出a 的值，然后利用导数求切线方程.（2）（ⅰ）对()g x 进行求导，将()g x 既存在极大值，又存在极小值转化成()0g x =必有两个不等的实数根，利用导数得到()g x 的单调性和极值，进而即可求解；（ⅱ）对()g x 进行求导，利用导数分析()g x 的极值，将()()120g x kg x +>恒成立转化成11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅ ⎪+⎝⎭，构造函数，利用导数分类讨论求解即【小问1详解】()f x 为偶函数，有()e e ()e e x x x x f x a f x a ---=-==-，则1a =-，所以()e e x x f x -=--，()e ex x f x -'=-+所以(0)2f =-，(0)0f '=所以()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为20y +=.【小问2详解】（ⅰ）()()(1)e e (1)x x g x f x a x a a x -=-+=--+，()()2e 1e 1e (1)e 1()e e (1)e e x x x x x x x x a a a g x a a ----++'=+-+==，因为函数()g x 既存在极大值，又存在极小值，则()0g x '=必有两个不等的实根，则0a >，令()0g x '=可得0x =或ln x a =-，所以ln 0a -≠，解得0a >且1a ≠.令{}min 0ln ,m a =-，{}max 0ln ,n a =-，则有：x (,)m -∞m (,)m n n (,)n +∞()g x '+0-0+()g x 极大值极小值可知()g x 分别在x m =和x n =取得极大值和极小值，符合题意.综上，实数a 的取值范围是(0,1)(1,)⋃+∞.（ⅱ）由(0,1)a ∈，可得ln 0a ->，所以10x =，2ln x a =-，()11g x a =-，()21(1ln )g x a a a =-++且有()()210g x g x <<，由题意可得[]11(1)ln 0a k a a a -+-++>对(0,1)a ∀∈恒成立，由于此时()()210g x g x <<，则0k <，所以()()()1ln 11k a a k a +>--，则11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅ ⎪+⎝⎭，令ln 11()11x h x x k x -⎛⎫=--⋅ ⎪+⎝⎭，其中01x <<，则2222212(1)211112()1(1)(1)(1)x x x x k k h x x k x x x x x ⎛⎫+--++ ⎪⎛⎫⎝⎭'=--⋅== ⎪+++⎝⎭，令2210x x k ++=，则()2224144k k k -∆=-=.①当0∆≤，即1k ≤-时，()0h x '≥，()h x 在(0,1)上是严格增函数，所以()(1)0h x h <=，即11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅ ⎪+⎝⎭，符合题意；（2）当0∆>，即10k -<<时，设方程2210x x k ++=的两根分别为3x ，4x 且34x x <，则3420x x k +=->，341x x =，则3401x x <<<，则当31x x <<时，()0h x '<，则()h x 在()3,1x 上单调递减，所以当31x x <<时，()(1)0h x h >=，即11ln 11a a k a -⎛⎫>-⋅ ⎪+⎝⎭，不合题意.综上所述，k 的取值范围是(,1]-∞-.。

2021-2022学年安徽省皖南八校高三上学期第二次联考数学试卷(理科)(12月份)(含答案解析)

2021-2022学年安徽省皖南八校高三上学期第二次联考数学试卷(理科)(12月份)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知复数z 满足z(1−i)=i 4+i 5(其中i 为虚数单位)，则复数z 的虚部是( )A. −1B. 1C. −iD. i2.已知A ={x|y =−2x,x ∈R}，B ={y|y =x 2−3,x ∈R}，则A ∩B 等于( )A. {(1,−2)，(−3,6)}B. RC. [−3,+∞)D. ⌀3.设命题p ：∀x ∈(0,+∞)，lnx ≤x −1，则￢p 为( )A. ∀x ∈(0,+∞)，lnx >x −1B. ∃x 0∈(0,+∞)，lnx 0≤x 0−1C. ∀x ∉(0,+∞)，lnx >x −1D. ∃x 0∈(0,+∞)，lnx 0>x 0−14.散点图上有5组数据：(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，(x 3,y 3)，(x 4,y 4)，(x 5,y 5)据收集到的数据可知x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=55，由最小二乘法求得回归直线方程为y ˆ=0.76x +45.84，则y 1+y 2+y 3+y 4+y 5的值为( )A. 54.2B. 87.64C. 271D. 438.25.在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则第五天走的路程为( )里．A. 6B. 12C. 24D. 486.已知函数f(x)={log 2(x +2)−1,(x ≥0)1−log 2(2−x),(x <0)，则函数f(x)是( )A. 偶函数，在R 上单调递增B. 偶函数，在R 上单调递减C. 奇函数，在R 上单调递增D. 奇函数，在R 上单调递减7.若a >b >1，0<c <1，则( )A. a c <b cB. ab c <ba cC. log a c >log b cD. alog b c >blog a c8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积是( )A. 14πB. 10πC. 7√143πD.143π9.已知tanα−11+tanα=2，则sin(2α+π6)的值为( )A. −4+3√310B. −4−3√310C. 4+3√310D. −3√3−41010. 在(√x −12x)n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中x 5的系数为( )A. −7B. −358C. 358D. 711. 已知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，若直线l 过F ，且与抛物线C 交于A ，B ，过点A 作直线y =−1的垂线，垂足为点M ，点N 在y 轴上，AF ，MN 互相垂直平分，则|AB|=( )A. 43B. 163C. 4D. 812. 已知a =−sin0.01，b =sin0.1，c =ln0.99，d =ln 109，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( )A. d >b >a >cB. b >d >a >cC. d >b >c >aD. b >d >c >a二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，|a ⃗ +b ⃗ |=√2，则cos <a ⃗ ，b ⃗ >=______． 14. 在等差数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和为S n ，若S 6−3S 2=24，则S 10=______． 15. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1左、右焦点分别为F 1，F 2，若过右焦点的直线与以线段OF 1为直径的圆相切，且与双曲线在第二象限交于点P ，且PF 1⊥x 轴，则双曲线的离心率是______．16. 在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为边长为2的菱形，∠BAD =60°，AA 1=2√3，点P 在线段BD 1上运动，且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则以下命题中正确的是______． ①当λ=23时，三棱锥A −CPD 1的体积为23；②随点P 在线段BD 1上运动，点B 到平面ACP 的最大距离为2； ③当二面角B −AC −P 的平面角为60°时，λ=13；④知BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，N 为CC 1的中点，当平面AMN 与BD 1的交点为P 时，∠APC =120°．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A.B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sinC =ab +ba −c 2ab ．(1)求角C ；(2)若c =1，A =π3，求△ABC 的面积．18. 2021年7月25日，在东京奥运会自行车公路赛中，奥地利数学女博士安娜⋅基森霍夫(Anna Kiesenℎofer)以3小时52分45秒的成绩获得冠军，震惊了世界！广大网友惊呼“学好数理化，走遍天下都不怕”.某市对中学生的体能测试成绩与数学测试成绩进行分析，并从中随机抽取了200人进行抽样分析，得到如表(单位：人)：体能一般体能优秀合计数学一般 50 50 100 数学优秀 40 60 100 合计90110200(1)根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“体能优秀”还是“体能一般”与数学成绩有关？(结果精确到小数点后两位)(2)①现从抽取的数学优秀的人中，按“体能优秀”与“体能一般”这两类进行分层抽样抽取10人，然后，再从这10人中随机选出4人，求其中至少有2人是“体能优秀”的概率；②将频率视为概率，以样本估计总体，从该市中学生中随机抽取10人参加座谈会，记其中“体能优秀”的人数为X ，求X 的数学期望和方差．参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ．参考数据： P(K 2≥k 0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k 02.0722.7063.8415.0246.63519. 在直棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥AD ，AD//BC ，且AB =AD =2，BC =4，AA 1=2√2，BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求证：CD ⊥BE ；(2)求直线D 1E 与平面BCE 所成角的正弦值．20. 已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√32，且经过点A(−2,0)，B(2,0)，过M(−23,0)作直线l 与椭圆交于点P ，Q(点P ，Q 异于点A ，B)，连接直线AQ ，PB 交于点N ． (1)求椭圆的方程；(2)当点P 位于第二象限时，求tan∠PNQ 的取值范围．21. 已知函数f(x)=lnx −x 2−x ． (1)求f(x)的极值； (2)设g(x)=f(x)+(a+2)x 22−(a −1)x +32(a >0)，若g(x)存在唯一极大值，极大值点为x 0，且g(x 0)∈(3e 2−22−2e 2,e 2−2e)，求a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+ty =2−t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=6sinθ+8cosθ． (1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；(2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点P(−2,6)，求|PA|+|PB|．23. 已知函数f(x)=−|x +1|−|x +2|． (1)求不等式f(x)≥−3的解集；(2)若对∀x ∈[−4,2]，都有f(x)+|a −2|≥0桓成立，求a 的取值范围．参考答案及解析1.答案：B解析：∵z(1−i)=i4+i5=1+i，∴z=1+i1−i =(1+i)(1+i)(1−i)(1+i)=i，∴复数z的虚部为1．故选：B．根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．本题主要考查复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，属于基础题．2.答案：C解析：∵A={x|y=−2x,x∈R}={y|y∈R}，B={y|y=x2−3,x∈R}={y|y≥−3}，∴A∩B=[−3,+∞)．故选：C．求出集合A，B，利用交集定义能求出A∩B．本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：D解析：本题考查含有一个量词的命题的否定．是基本知识的考查．全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．解：由全称命题的否定是特称命题．可知命题p：∀x∈(0,+∞)，lnx≤x−1，则￢p是：￢p：∃x0∈(0,+∞)，lnx0>x0−1．故选：D．4.答案：C解析：因为x1+x2+x3+x4+x5=55，所以x−=555=11，又回归直线方程ŷ=0.76x+45.84过样本中心点(x−,y−)，所以y−=0.76x−+45.84=0.76×11+45.84=54.2，所以y1+y2+y3+y4+y5=5y−=5×54.2=271．故选：C．由线性回归方程的公式即可解决．本题考查回归方程，考查学生的运算能力，属于中档题．5.答案：B解析：根据题意：S6=a1⋅(1−1 26 )1−12=378，q=12，所以a1=192，故a5=192×(12)4=12．故选：B．直接利用已知条件求出数列的通项公式，进一步求出结果．本题考查的知识要点：等比数列的通项公式的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6.答案：C解析：当x=0时，f(0)=0，当x>0时，−x<0，所以f(−x)=1−log2(2+x)=−f(x)，当x<0时，−x>0，所以f(−x)=log2(2−x)−1=−f(x)，所以函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=log2(x+2)−1，由复合函数的单调性可得f(x)单调递增，由奇函数的性质可得函数f(x)在R上单调递增．故选：C．利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再确定函数的单调性得解．本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．7.答案：C解析：对于A，令a=3，b=2，满足a>b>1，0<c<1，但a c>b c，故A错误，对于B，令a=3，b=2，满足a>b>1，0<c<1，但ab c>ba c，故B错误，对于C，∵a>b>1，0<c<1，∴lga>0，lgb>0，lgb−lga<0，lgc<0，∴log a c−log b c=lgclga −lgclgb=lgc(lgb−lga)lga⋅lgb>0，即log a c>log b c，故C正确，对于D，令a=3，b=2，满足a>b>1，0<c<1，但3log212=−3=log3127<log314=2log312，故D错误．故选：C．根据已知条件，结合特殊值法，以及作差法，即可求解．本题主要考查不等式的性质，掌握作差法，以及特殊值法是解本题的关键，属于基础题．8.答案：A解析：如图所示，此几何体为长宽高分别为1，2，3的长方体中的四个顶点构成的三棱锥，所以R=√12+22+322=√142，所以外接球的表面积为S=4πR2=4π×(√142)2=14π，故选：A．首先根据三视图还原几何体，从而可知该几何体外接球即为其所在长方体的外接球，从而可得外接球半径，代入球的表面积公式可得结果．本题考查了由三视图还原实物图，以及几何体外接球问题，属于中档题．9.答案：A解析：由于tanα−11+tanα=2，整理得tanα=−3，所以sin2α=2tanα1+tan2α=−610=−35；cos2α=1−tan2α1+tan2α=−810=−45；所以sin(2α+π6)=(−35)×√32+(−45)×12=−4+3√310．故选：A．直接利用三角函数的关系式的变换和三角函数的值的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.答案：D解析：根据题意，只有第五项的二项式系数最大，即C nn2最大，即n2+1=5，解得n =8，所以通项为：T k+1=C 8k √x8−k(−12x)k =(−12)k C 88−k x 4+k 2，令4+k2=5得，k =2．故x 5的系数为：(−12)2C 86=7．故选：D ．根据二项式系数的性质可知，只有第五项的二项式系数最大，说明是偶数项，且是中间项，由此列出n 满足的方程求解，再进一步求解即可．本题考查二项式系数的性质及通项的应用．同时考查学生的运算能力以及逻辑推理能力．属于中档题．11.答案：B解析：如图所示，因为AF ，MN 互相垂直平分，所以四边形AMFN 为菱形，又由抛物线定义可知AF =MN ，故△AMF 为正三角形，从而∠FMC =30°，所以在Rt △FMC 中，sin∠FMC =∣FC ∣∣MF ∣=12，又FC =2，所以|MF|=|AF|=4，又1∣AF ∣+1∣BF ∣=2p =1，得|BF|=43，所以|AB|=|AF|+|BF|=4+43=163．故选：B ．AF ，MN 互相垂直平分，知四边形AMFN 为菱形，进而可得∠FMC =30°，从而可求|MF|=|AF|=4，结合1∣AF ∣+1∣BF ∣=2p =1，得|BF|=43，进而得|AB|的长．本题主要考查了抛物线的应用，考查了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力，是中档题．12.答案：A解析：∵a =−sin0.01<0，b =sin0.1>0，∴a <0<b ， ∵c =ln0.99<0，d =ln 109>0，∴c <0<d ，d =ln109=−ln 910=−ln0.9，。

2020届皖南八校高三第二次联考理科数学试卷(含解析)

一、选择题1.已知集合{|2}A x x =≥,集合{|03}B x x =≤≤,()R A C B ⋂=（）A.[2,)+∞B.(3,)+∞C.[0,3]D.(,0)[2,)-∞⋃+∞ 答案：B解析：(,0)(3,)R C B =-∞⋃+∞，()(3,)R A C B ⋂=+∞.2.已知12i z i-=+，则z =（） A.1355i - B.1355i + C.1355i -- D.1355i -+ 答案：B解析：1(1)(2)132(2)(2)5i i i i z i i i ----===++-，1355z i =+ 3.某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍,为了更好地对该校考生的升学情况,统计了该校2016年和2019年的高考升学情况,得到如下柱图:则下列结论正确的是（）A.与2016年相比,2019年一本达线人数有所减少B.与2016年相比,2019年二本线人数增加了1倍C.与2016年相比,2019年艺体达线人数相同D.与2016年相比,2019年不上线的人数有所增加答案：D解析：无4.已知两个单位向量12,e e ,满足12|2|e e -=则12,e e 的夹角为（） A.23π B.34π C.3π D.4π 答案：A解析：∵12|2|e e -，∴121447e e +-⋅=，∴1212e e ⋅=-，∴121cos(,)2e e =-，∴ 122(,)3e e π=5.函数22sin ()cos x x f x x x=+在[2,2]ππ-上的图像大致为（）答案：D解析： ()f x 是偶函数，24()24f ππππ==，2334()9234f ππππ-==-，∴3|()||()|22f f ππ>6.已知斐波那契数列的前七项为:1、1、2、3、5、8、13.大多数植物的花,其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数,现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵,花瓣总数为99,假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列,则一朵该种玫瑰花最可能有（）层.A.5B.6C.7D.8答案：C解析：由题设知，斐波那契数列的前6项之和为20,前7项之和为33,由此可推测该种玫瑰花最可能有7层.7.如图,正方体1111ABCD A B C D -中,点E ,F 分别是AB ,11A D 的中点,O 为正方形1111A B C D 的中心,则（）A.直线EF ,AO 是异面直线B.直线EF ,1BB 是相交直线C.直线EF 与1BC 所成的角为30︒D.直线EF ,1BB 所成角的余弦值为3 答案：C解析：易知四边形AEOF 为平行四边形，所以直线EF ，AO 相交；直线EF ，1BB 是异面直线；直线EF ，1BB C 正确.8.执行如图所示的程序框图,输出的S 的值为（）A.0 B 2 C.4 D.2-答案：B解析：第一次循环，4S =，1i =；第二次循环，2S =，2i =；第三次循环，4S =，1i =；第四次循环，2S =，2i =.可知S 随i 变化的周期为2，当2019i =时,输出的2S =.9.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-,且在区间[1,2]上是减函数,令ln 2a =,121()4b -=,12log 2c =,则()f a ,()f b ,()f c 的大小关系为（） A.()()()f b f c f a << B.()()()f a f c f b <<C.()()()f c f b f a <<D.()()()f c f a f b <<答案：C解析：∵()f x 是R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，∴(2)()f x f x +=-，∴函数()f x 的图象关于1x =对称，∵函数()f x 在区间[1,2]是减函数，∴函数()f x 在[1,1]-上为增函数,且(2)(0)0f f ==，由题知1c =-，2b =，01a <<，∴()()()f c f b f a <<.10.已知点2F 是双曲线22:193x y C -=的右焦点,动点A 在双曲线左支上,点B 为圆 22:(2)1E x y ++=上一点,则2||||AB AF +的最小值为（）A.9B.8C.答案：A解析：设双曲线C 的左焦点为1F ，21126AF AF a AF =+=+，∴216AB AF AB AF +=++=115559AB AF BE F E +++≥+=.11.关于函数()cos |sin |f x x x +有下述四个结论:○1()f x 的最小值为 ○2()f x 在[,2]ππ上单调递增○3函数()1y f x =-在[,]ππ-上有3个零点 ○4曲线()y f x =关于直线x π=对称其中所有正确结论的编号为（）A.○1○2B.○2○3C.○2○4D.○3○4答案；D解析：当sin 0x ≥时，())4f x x π=+；当sin 0x ≤时，())4f x x π=+，画出()f x 在[0,2]π上的图象，再利用周期性,可得③④正确.12.已知三棱锥P ABC -满足PA ⊥底面ABC ,在ABC ∆中,6AB =,8AC =,AB AC ⊥,D 是线段AC 上一点,且3AD DC =.球O 为三棱锥P ABC -的外接球,过点D 作球O 的截面,若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为40π,则球O 的表面积为（）A.72πB.86πC.112πD.128π答案：C解析：将三棱锥P ABC -补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O ，记三角形 ABC 的中心为1O ，设球的半径为R ，2PA x =，则球心O 到平面ABC 的距离为x ，即1OO x =，连接1O A ，则15O A =，∴2225R x =+，在ABC ∆中,取AC 的中点为E ，连接1O D ，1O E ，则1132O E AB ==,124DE AC ==，∴1O D =.在1Rt OO D ∆中,OD 由题意得到当截面与直线OD 垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r ，则2222225(13)12r R OD x x =-=+-+=，所以最小截面圆的面积为12π，当截面过球心时，截面面积最大为2R π，∴21240R πππ+=，228R =，球的表面积为 24112R ππ=.(或将三棱锥补成长方体求解).二、填空题13.已知曲线()(1)ln f x ax x =-在点(1,0)处的切线方程为1y x =-,则实数a 的值为 .答案：2解析：1()ln ax f x a x x-'=-，(1)11f a '=-+=，∴2a =. 14.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若22S =,410S =,则5a = . 答案：323解析：因为410S =，22S =，∴414(1)101a q S q -==-，212(1)21a q S q-==-，(1)q ≠两式相除可得215q +=，24q =，2q =±，由题设知2q =-舍，故123a =，152********n n n a a -=⋅=⋅⋅=.15.《易经》是中国传统文化中的精髓,如图是易经八卦(含乾、坤、異、震、坎、离、良、兑八卦),每一卦由三根线组成(”表示一根阳线,“表示一根阴线),从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有两根阳线,四根阴线的概率为 .答案：314解析：观察八卦图可知，含3根阴线的共有1卦，含有3根阳线的共有1卦，还有2根阴线1根阳线的共有3卦，含有1根阴线2根阳线的共有3卦，故从八卦中任取两卦，这两卦的六根线恰有两根阳线，四根阴线的概率为123338314C C C +=.16.点A ,B 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的两点,F 是拋物线C 的焦点,若 120AFB ∠=︒,AB 中点D 到抛物线C 的准线的距离为d ,则||d AB 的最大值为 . 答案： 3解析;设AF a =，BF b =，则2a b d +=，222222cos AB a b ab AFB a b ab =+-∠=++，∴d AB ==≤=，当且仅当a b =时取等号.三、解答题17.在ABC ∆中,,,a b c 分别为角A ,B ,C 所对的边,cos 2cos 22sin (sin sin )C B A A C -=-.(1)求角B 的大小；(2)若1c =；ABC ∆的面积为2,求b . 答案：（1）3B π=；（2）b =解析：（1）由cos 2cos 22sin (sin sin )C B A A C -=-得2222(12sin )(12sin )2sin 2sin 2sin (sin sin )C B B C A A C ---=-=-，由正弦定理，得22222()b c a a c -=-，∴222a cb ac +-=，由余弦定理，得2221cos 22a c b B ac +-==，∵02B π<<，∴3B π=.（2）由1c =，3B π=，ABC ∆的面积为1sin 2ac B =,得6a =，由余弦定理得 21136216312b =+-⨯⨯⨯=，b = 18.如图(1),在平面四边形ABCD 中,AC 是BD 的垂直平分线,垂足为E ,AB 中点为F , 3AC =,2BD =,90BCD ∠=︒.沿BD 将BCD ∆折起,使C 至C '位置,如图(2).(1)求证:AC BD '⊥；(2)当平面BC D '⊥平面ABD 时,求直线AC '与平面C DF '所成角的正弦值.答案：（1）见解析；（2）85. 解析：（1）证明:在平面四边形ABCD 中吗，AC 是BD 的垂直平分线，垂足为E .将BCD ∆沿BD 折起，使C 至C '，则C E BD '⊥，AE BD ⊥，∵C E AE E '⋂=，,C E AE '⊂平面AC E '，∴BD ⊥平面AC E '，∵AC '⊂平面AC E '，∴AC BD '⊥.（2）由平面BC D '⊥平面ABD ，C E BD '⊥，得C E '⊥平面ABD .又AE BD ⊥，∴可以E 为原点，EA ，EB ，EC '，为x ，y ，z 轴,建立空间直角坐标系，如图.∵90BCD ∠=︒，即90BC D '∠=︒，2BD =，E 是BD 中点，∴1C E '=.又3AC =，1CE C E '==，∴2AE =.∴(0,0,1)C '，(2,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,1,0)D -，1(1,,0)2F ，(2,0,1)AC '=-，(0,1,1)C D '=--,1(1,,1)2C F '=-.设平面C DF '的一个法向量为(,,)m x y z =，则0m CD m C F ''⋅=⋅=.∴102y z x y z --=+-=.取2z =，则(3,2,2)m =-.cos(,)85m AC m AC m AC '⋅'====-'⋅.∴直线AC '与平面C DF '.19.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ,右焦点为2F ,上顶点为B ,离心率为3,O 是坐标原点,且1||||OB F B ⋅=(1)求椭圆C 的方程;(2)已知过点1F 的直线l 与椭圆C 的两交点为M ,N ,若22MF NF ⊥,求直线l 的方程. 答案：（1）22132x y +=；（2）10x +=.解析：（1）设椭圆C 的焦距为2c ,则c a =，∴a =，∵222a b c =+，∴b =，又1OB F B ⋅=OB b =，1F B a =，∴ab =2=∴1c =，∴a =b =22132x y +=. （2）由(1)知1(1,0)F -，2(1,0)F ，设直线l 方程为1x ty +=，221132x ty x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩得 22(23)440t y ty +--=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122423t y y t +=+，122423y y t -=+，∵22MF NF ⊥，∴220F M F N ⋅=.∴1212(1)(1)0x x y y --+=，∴ 1212(11)(11)0ty ty y y ----+=，∴21212(1)2()40t y y t y y +-++=.∴ 22224(1)8402323t t t t -+-+=++，∴22t =，∴t =.∴l的方程为10x +=.20.已知函数1()4cos()23x f x x e π=--,()f x '为()f x 的导数,证明:(1)()f x '在区间[,0]π-上存在唯一极大值点； (2)()f x 在区间[,0]π-上有且仅有一个零点. 答案：见解析解析：（1）由题意知:()f x 定义域为:(,)-∞+∞,且1()2sin()23x f x x e π'=---.令1()2sin()23x g x x e π=---，[,0]x π∈-，1()cos()23x g x x e π'=---，[,0]x π∈-.∵x y e =-在[,0]π-.上单调递减，1cos()23y x π=--在[,0]π-上单调递减，()g x '在[,0]π-上单调递减.又(0)cos()103g π'=---<，1()cos()0232g e e πππππ-'-=----=-> ∴0(,0)x π∈-，使得0()0g x '=，∴当0[,)x x π∈-时，()0g x '>；当0(,0]x x ∈时()0g x '<.即()g x 在区间0[,)x π-上单调递增；在0(,0]x 上单调递减,则0x x =为()g x 唯一的极大值点.即:()f x '在区间[,0]π-上存在唯一的极大值点0x . (2)由(1)知1()2sin()23x f x x e π'=---，且()f x '在区间[,0]π-存在唯一极大值点，()f x '在0[,)x π-上单调递增；在0(,0]x 上单调递减，而1()2sin()1023f e e πππππ-'-=----=->，(0)2sin()1103f π'=---=>，故 ()f x '在[,0]π-上恒有()0f x '>，∴()f x 在[,0]π-上单调递增，又 1()4cos()023f e e πππππ--=---=-<，(0)4cos()1103f π=--=>，因此，()f x 在[,0]π-有且仅有一个零点.21.11月,2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地—安徽凤阳举办,其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮).在相同的条件下,每轮甲乙两人站在同一位置,甲先投，每人投一次球,两人有1人命中,命中者得1分，未命中者得1-分；两人都命中或都未命中,两人均得0分.设甲每次投球命中的概率为12,乙每次投球命中的概率为23,且各次投球互不影响. （1）经过1轮投球，记甲的得分为X ,求X 的分布列；（2）若经过n 轮投球,用i p 表示经过第i 轮投球,累计得分,甲的得分高于乙的得分的概率. ①求123,,p p p ；②规定00p =,经过计算机计算可估计得11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠,请根据①中123,,p p p 的值分别写出a ，c 关于b 的表达式,并由此求出数列{}n p 的通项公式.答案：见解析解析：（1）X 的可能取值为1,0,1-.121(1)(1)233P x =-=-⨯=， 12121(0)(1)(1)P x ==⨯+-⨯-=，121(1)(1)236P x ==⨯-=.∴X 的分布列为（2）○1由（1）知，16P =，经过两轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是两轮甲各得1分，二是两轮有一轮甲得0分，有一轮甲得1分.∴12211117()()662636P C =⨯+=，经过三轮投球，甲的累计得分高有四种情况：一是三轮甲各得1分,二是三轮有两轮各得1分,一轮得0分,三是1轮得1分,两轮各得0分,四是两轮各得1分,1轮得1-分.∴32212223333111111143()()()()()()()6626263216P C C C =+++=.②由11i i i i P aP bP cP +-=++，知1111i i i a c P P P b b +-=+--，将00P =，116P =，2736P =，343216P =代人，求得617a b =-，117c b =-，∴6(1)7a b =-，1(1)7c b =-， ∴116177i i i P P P +-=+，∴117166i i i P P P +-=-.∴111()6i i i i P P P P +--=-，∵1016P P -=，∴1{}n n P P --是等比数列，首项和公比都是16.116n n n P P --=，∴01021111(1)1166()()()(1)15616n n n n n P P P P P P P P --=+-+-++-==--.(二)选考题22.[选修44:-坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，(α为参数),以O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为cos()14πρθ-=.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴的交点为A ,与y 轴的交点为B ,P 是曲线C 上一点,求PAB ∆面积的最大值. 答案：（1）22:(2)1C x y -+=，:l x y +=（2. 解析：（1）曲线C 的普通方程为22(2)1x y -+=，由cos()14πρθ-=，得cos sin 122ρθρθ+=，∴cos sin ρθρθ+=cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴x y +=，即直线l的直角坐标方程为x y +=（2）由x y +=知A B ，∴2AB =，设(2cos ,sin )P αα+，则P 到l 距离d=|2)πα++=|1sin()|4πα=++，∴ sin()14πα+=时，max d =PAB ∆面积最大值为122⨯=23.[选修45:-不等式选讲] 已知0a >，0b >，23a b +=.证明:（1）2295a b +≥；（2）3381416a b ab +≤.答案：见解析解析：证明:（1）∵0a >，0b >，23a b +=，∴320a b =->，302b <<， ∴222222699(32)51295()555a b b b b b b +=-+=-+=-+≥，∴当65b =，3325a b =-=时,22a b +的最小值为95，∴2295a b +≥.(2)∵0a >，0b >，23a b +=，∴3≥908ab <<，当且仅当322a b ==时，取等号.∴33222228194(4)[(2)4](94)94()4()168a b ab ab a b ab a b ab ab ab ab ab ab +=+=+-=-=-=--，∴98ab =时,334a b ab +的最大值为8116，∴3381416a b ab +≤.。

安徽省皖南八校高三上学期第二次联考数学(理)试题(解析版)

2020届安徽省皖南八校高三上学期第二次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2A x x =≥，{}03B x x =≤≤，则()R A C B =（）A ．[2,)+∞B ．(3,)+∞C ．[0,3]D ．(,2)[2,)-∞⋃+∞【答案】B【解析】先求出B 的补集，再求交集。

【详解】由题意{|03}R C B x x x =<>或，∴(){|3}R A C B x x =>。

故选：B 。

【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题。

2．已知12iz i-=+，则z =（） A ．1355i - B ．1355i + C ．1355i -- D ．1355i -+ 【答案】B【解析】由复数除法计算出z ，再由共轭复数定义求出z 。

【详解】1(1)(2)221132(2)(2)555i i i i i z i i i i ------====-++-， ∴1355z i =+。

故选：B 。

【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念。

属于基础题。

3．某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考升学情况，得到如图所示：则下列结论正确的（）A ．与2016年相比，2019年一本达线人数有所减少B ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了1倍C ．与2016年相比，2019年艺体达线人数相同D ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】设2016年参考人数为a ，依据表格计算两年的一本达线人数、二本达线人数、艺体达线人数、不上线的人数，然后比较得出结论。

【详解】设2016年参考人数为a ，则2016年一本达线人数0.28a ，2019年一本达线人数0.24 1.20.288a a ⨯=0.28a >，A 错；2016年二本达线人数0.32a ，2019年二本达线人数0.4 1.20.48a a ⨯=，增加了0.16a ，不是一倍，B 错；2016年艺体达线人数0.08a ，2019年艺体达线人数0.08 1.20.096a a ⨯=，C 错； 2016年不上线的人数0.32a ，20196年不上线的人数0.28 1.20.3360.32a a a ⨯=>，D 正确。

皖南八校高三第二次联考理科数学.12.26

安徽省皖南八校高三第二次联考理科数学南京考一教育研究所命制宣城二中承办 2008．12考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，请考生务必将答题纸左侧密封线内的项目填写清楚。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上，在试题卷上作答无效。

参考公式如果事件A ，B 互斥，那么球的体积公式 ()()()P A B P A P B -=⋅343V R π=如果事件A ，B 相互，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅棱柱的体积公式如果事忙A 在一次试验中发生的概率 V Sh =是ρ，那么n 次独立重复试验中事件A 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高恰好发生k 次的概率棱锥的体积公式()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C P P k n -=-= 13V Sh =球的表面积公式其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高24S R π=第Ⅰ卷（选择题共6 0分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若12ii 12ia b +=+-（,,i a b R ∈是虚数单位），则a b -等于 A ．7-B ．1-C ．15-D ．75-2．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如右图：若某高校A 专业对视力的要求在0．9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为A ．10B ．20C ．8D ．163．已知集合222{|0},{|(21)0}()x S x T x x a x a a a R x-=<=-+++≥∈，则S T R =的充要条件是 A ．11a -≤≤B ．11a -<≤C ．01a ≤≤D ．01a <≤4．若23123(1)1()n n x a x a x a x x n N +-=+++++∈，且13:1:7a a =，则5a 等于A ．56B ．56-C ．35D ．35-5．若20(sin cos )2x a x dx π-=⎰，则实数a 等于A ．1-B ．1C ．3-D ．36．已知奇函数()f x 的定义域为R ，当0x >时，()lg f x x =，则不等式()0xf x ≤的解集为A ．[(1,0)(0,1)]B ．[1,1]-C ．(,1][1,)-∞--∞D ．(,1]{0}[1,)-∞--∞7．某几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的体积是A ．323+B ．233+C ．2233-D ． 3223-8．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为 A ．22B ．22π C ．16D ．16π9．若向量(sin(),1),(4,4cos 3)6a ab a π=+=-，若a b ⊥，则4sin()3πα+等于A ．34- B ．34C ．14-D ．1410．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆11．已知曲线23:2C y x x =-，点(0,4)p -，直线l 过点P 且与曲线C 相切于点Q ，则点Q 的横坐标为 A ．1-B ．1C ．2-D ．212．已知(,)P x y 满足102350,4310,x x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩点(,)Q x y 在圆22(2)(2)1x y +-+=，则||PQ 的最大值与最小值分别为A ．6，3B ．5，3C ．6，2D ．5，2第Ⅱ卷（非选择题共9 0分）二、填空题：本大题共4小题。

安徽省皖南八校2020届高三第二次联考数学(理)试题

安徽省皖南八校2020届高三第二次联考数学（理）试题一、选择题本大题共12道小题。

1.已知集合{}2A x x =≥，{}03B x x =≤≤，则()R A C B =I （） A.[2,+∞) B. (3,+∞)C. [0,3]D. (－∞,2)∪[2,+∞)答案及解析：1.B 【分析】先求出B 的补集，再求交集。

【详解】由题意{|03}R C B x x x =<>或，∴(){|3}R A C B x x =>I 。

故选：B 。

【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题。

2.已知F 2是双曲线22:193x y C -=的右焦点，动点A 在双曲线左支上，点B 为圆22:(2)1E x y ++=上一点，则2AB AF +的最小值为（） A. 9B. 8C.D. 答案及解析：2.A答案第2页，总24页……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【分析】由212AF AF a =+，AB 的最小值是AE r -，转化为求1AF AE +的最小值即为1EF ．【详解】双曲线22193x y -=中3a =，3b =9323c =+=1(23,0)F -，圆E 半径为1r =，(0,2)E -， ∴21126AF AF a AF =+=+，1AB AE BE AE ≥-=-（当且仅当,,A E B 共线且B 在,A E 间时取等号．∴2AB AF +11615AF AE AF AE ≥++-=++2215(23)259EF ≥+=+=，当且仅当A是线段1EF 与双曲线的交点时取等号． ∴2AB AF +的最小值是9．故选：A ．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，在涉及到双曲线上的点到焦点的距离时，常常与定义联系，双曲线上点到一个焦点的距离可能转化为到另一个焦点的距离，圆外一点到圆上点的距离的最大值为圆外的点到圆心距离加半径，最小值为圆外的点到圆心距离减半径． 3.已知两个单位向量12,e e u r u u r 满足12|2|7e e -u r u u r 12,e e u r u u r的夹角为（）A.23π B.34π C.3π D.4π 答案及解析：3.A 【分析】由已知模求出12e e ⋅u r u u r，再利用向量夹角公式计算。

安徽省皖南八校高三数学第二次联考试题(理)

安徽省皖南八校2008届高三数学第二次联考试题（理）1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各卷答案填在试卷后面的答题卷上．3．本试卷主要考试内容：第一章至第五章占60％，其它占40％．第Ⅰ卷（选择题共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的． 1．设全集1,{|0},{1,}u x U R A x C A a x b-==≥=--+，则a b +等于 A ．一2B ．2C ．1D ．02．函数212(log )4(2)y x x =-≥的反函数是A．3)y x =≥- B．23)y x =≥- C．3)y x =-≥-D．23)y x =-≥-3．在等比数列{}n a 中，已知13118a a a =，则28a a 等于A ．16B ．6C ．12D ．44．若定义在R 上的函数()f x 满足()()3f x f x π+=-，且()()f x f x -=，则()f x 可以是A ．1()2sin3f x x = B ．()2sin3f x x = C ．1()2cos 3f x x =D ．()2cos3f x x =5．已知函数12()3,0log ,0x f x x x x +⎧=≤⎨>⎩，若0()1f x ≥，则0x 的取值范围是A ．2x ≥B ．10x -≤≤C ．10x -≤≤或2x ≥D ．1x ≤-或02x <≤6．已知点(cos ,sin )θθ到直线sin cos 10x y θθ+-=的距离是1(0)22πθ≤≤．则θ的值为 A ．12πB ．512πC ．12π或512πD ．56π或6π7．已知向量(2,1),(,2),(3,)a b x c y =-=-=，若,()()a b a b b c +⊥-，则x y +为A ．0B ．2C ．4D ．一48．某校A 班有学生40名，其中男生24人，B 班有学生50名，其中女生30人，现从A 、B 两班各找一名学生进行问卷调查，则找出的学生是一男一女的概率为A ．1225B ．1325C ．1625D ．9259．已知非零向量AB 和AC 满足()0||||AB AC BC AB AC +⋅=，且12||||A B A C A B A C ⋅=，则ABC 为 A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形10．一同学在电脑中打出如下若干个圆：若依此规律继续下去，得到一系列的圆，则在前2007个圆中共有●的个数是A ．6lB ．62C ．63D ．6411．已知()f x 是定义在R 上的奇函数．且是以2为周期的周期函数．若当[0,1)x ∈时，()21x f x =-，则12(log 6)f 的值为A ．52- B ．一5C ．12-D ．一6第Ⅱ卷（非选择题共95分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷中的横线上．12．右图是函数sin()(0,||)2y x πωϕωϕ=+><的图象的一部分，则ϕ= ，ω=13．已知A 、B 为椭圆22:11x y C m m+=+的长轴的两个端点，P 是椭圆C 上的动点，且APB ∠的最大值是23π，则实数m 的值是．14．若61()x的展开式中的第5项是152，设12n n S x x x ---=++⋅⋅⋅+，则lim n n S →+∞=15．对正整数n ，设曲线(1)n y x x =-在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列{}1na n +的前n 项和公式是三、解答题：本大题共6小题，共79分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知7cos 2,252πθθπ=<<．求：（1）tan θ的值；（2）22cos sin 2)4θθπθ-+的值17．（本小题满分14分）已知在四棱锥P 一ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD=1，AB=2，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．（1）求证：AF ∥平面PEC ；（2）求PC 与平面ABCD 所成角的大小；（3）求二面角P 一EC 一D 的大小．18．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -= （1）求角B 的大小；（2）设(sin ,cos2),(4,1)(1),m A A n k k m n ==>⋅的最大值为5，求k 的值19．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的中心在坐标原点O ，一条准线的方程为4x =，过椭圆的左准点F ，且方向向量为(1,1)a =的直线l 交椭圆于A 、B 两点，AB 的中点为M ．（1）求直线OM 的斜率（用a b 、表示）；（2）设直线AB 与OM 的夹角为α，当tan 7α=时，求椭圆的方程．20．（本小题满分13分）已知定义域为R 的函数2()(1),()4(1)f x x g x x =-=-，数列{}n a 满足12a =，*1()()()0()n n n n a a g a f a n N +-+=∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13()()n n n b f a g a +=-，求数列{}n b 的最值及相应的n 值．21．（本小题蠛分14分）在数列{}n a 中12a =，且1112212n n n nn a a +++--=（1）求证：2n n a n ≤⋅（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：1(1)22n n S n +≤-⋅+ （3）求证：122n n n a a +≤+皖南八校2008届高三第二次联考数学参考答案（理科）1．A2．A3．D4．D5．C6．C7．A8．B9．D10．A11．C 12．6π 2 13．1214．115．122n +-提示：1．A 由{1,}u C A a =--，知(,1](,)A a =-∞-⋃-+∞．所以1,a b a =--=-，因此2a b +=-2．A 函数可化为22(log )4y x =-，所以2l o g (3)x y =≥-，则反函数为3)y x =≥-3．D 由312311188a a a q =⇒=（q 为公比），即412a q =，∴42281()4a a a q ==4．D ∵()()f x f x -=，∴排除A 、B ，又∵()()3f x f x π+=-，∴选D5．C 当0x ≤时，13110x x +≥⇒+≥，∴当0x >时，2log 12x x ≥⇒≥，∴2x ≥，综上所述：10x -≤≤或2x ≥ 6．C12=，∴1sin 2(0)22πθθ=≤≤，即12π或512π7．A ∵a b ，∴4x =，∴(4,2)b =-，∴(6,3),(1,3)a b b c y +=--=--，∵()()a b b c +⊥-，∴()()0a b b c +⋅-=，即62(2)0y ---=，∴4y =-，∴0x y +=．8．B A 班男生B 班女生概率为3355⨯，B 班男生A 班女生概率为2255⨯．9．D 由()0||||AB ACBC BAC AB AC +⋅=⇒∠的角平分线与BC 垂直，∴ABC 为等腰三角形．∵12||||AB AC AB AC ⋅=，∴60BAC ∠=︒，∴ABC 为等边三角形 10．A 因为黑圆间隔的白圆数成等差数列，设有n 组白圆，则有1n -个黑圆，所以所有圆的个数为2(1)32122n n n n n ++-+-=，由已知23220072n n +-≤，因为当61n =时，232195120072n n +-=<，当62n =时，232201420072n n +-=>，但第62组中共有62个白圆，所以在前2007个圆中共有61个黑圆11．C ∵123log 62-<<-，∴121log 620-<+<，即1231log 02-<<，∵()f x 是周期为2的奇函数，∴23log 211122223331(log 6)(log )(log )(log )(21)2222f f f f ==--=-=--=-12．6π 2 由图知11()1212T πππ=--=，∴222T ππωπ===，∴sin(2)y x ϕ=+，又点(,0)12π-在图象上，∴sin()06πϕ-+=，∴由06πϕ-+=，知6πϕ= 13．12由椭圆知识知，当点P 位于短轴的端点时APB ∠取得最大值．据题意则有1tan32m π=⇒=14．1 由题意知42456115(()T C xx =-=，又∵5152T =，∴2x =，∴11(1)122lim lim lim (1)11212n n n n n n S →+∞→+∞→+∞-==-=- 15．122n +- ∵(1)n y x x =-，∴1'(1)n n y nx n x -=-+，∴1'(2)2(1)2n n k f n n -==-+12(2)n n -=-+，又切点为(2,2)n -，∴切线方程为122(2)(2)n n y n x -+=-+-，令0x =，则(1)2n n a n =+，∴数列{}1n a n +的通项公式21n na n =+，故前n 项和公式12(21)2221n n n S +-==--16．（1）由7cos 225θ=，得227912sin ,sin 2525θθ-==…………2分∵2πθπ<<，∴34sin ,cos 55θθ==-，∴sin 3tan cos 4θθθ==-…………6分（2）24312cos sin cos 1sin 552234sin cos )455θθθθπθθθ-+--+-===++-…………12分 17．解法一：（1）取PC 的中点O ，连结OF 、OE ．∴FO ∥DC ，且FO=12DC ∴FO ∥AE …………2分又E 是AB 的中点．且AB=DC ．∴FO=AE ． ∴四边形AEOF 是平行四边形．∴AF ∥OE 又OE ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ∴A F ∥平面PEC （2）连结AC∵P A ⊥平面ABCD ，∴∠PCA 是直线PC 与平面ABCD 所成的角……………6分在Rt △PAC中，tan 5PA PCA AC ∠===即直线PC 与平面ABCD所成的角大小为arctan……………9分（3）作A M ⊥CE ，交CE 的延长线于M ．连结PM ，由三垂线定理．得P M ⊥CE∴∠PMA 是二面角P —EC —D 的平面角． ……11分由△AM E ∽△CBE，可得2AM =，∴tan PA PMA AM ∠==∴二面角P一EC一D的大小为14分解法二：以A 为原点，如图建立直角坐标系，则A （0．0，0），B （2，0，0），C （2，l ，0），D （0，1，0），F （0，12，12），E （1，0，0），P （0，0，1）（1）取PC 的中点O ，连结OE ，则O （1，12，12），1111(0,,),(0,,)2222AF EO ==∴AF EO ……………………………………5分又OE ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，∴A F ∥平面PEC …………………………6分（2）由题意可得(2,1,1)PC =-，平面ABCD 的法向量(0,0,1)PA =-cos ,6||||6PA PC PAPC PA PC ⋅<>=== 即直线PC 与平面ABCD 所成的角大小为 ……………9分（3）设平面PEC 的法向量为(,,),(1,0,1),(1,1,0)m x y z PE EC ==-=则00m PE m EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得00x z x y -=⎧⎨+=⎩，令1z =-，则(1,1,1)m =--……………11分由（2）可得平面ABCD 的法向量是(0,0,1)PA =-cos ,3||||3m PA m PA m PA⋅<>=== ∴二面角P 一EC 一D 的大小为……………………………………14分 18．（1）∵(2)cos cos a c B b C -=，∴(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=……2分整理得2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+，∴2sin cos sin()sin A B B C A =+=………………………4分∵(0,)A π∈，∴sin 0A ≠，∴1cos ,23B B π==………………………6分（2）24sin cos22sin 4sin 1m n k A A A k A ⋅=+=-++，其中2(0,)3A π∈……8分设sin (0,1]A t =∈，则2241,(0,1]m n t kt t ⋅=-++∈ ∴当1t =时，m n ⋅取得最大值………………………12分依题意2415k -++=，解得32k =，符合题意，∴32k =……………………14分 19．（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，∵A 、B 在椭圜上，∴2222112222221,1x y x y a b a b+=+= ………………3分两式相减，得2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+∵121212121,AB OM y y y y k k x x x x -+===-+∴22OMb k a=-………………6分（2）∵直线AB 与OM 的夹角为α，tan 7α=由（1）知221,AB OMb k k a ==-，∴22221tan 71b a b aα+==- ①………………8分又椭圆的中心在坐标原点O ，一条准线的方程为4x =，∴24a c= ② 在椭圆中，222a b c =+ ③联立①②③，解得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴椭圆的方程为22143x y +=………………12分20．（1）2()(1),()4(1)n n n n f a a g a a =-=-∵21()4(1)(1)0n n n n a a a a +-⋅-+-=，∴1(1)(431)0n n n a a a +---= ∵12a =，∴1n a ≠，∴14310n n a a +--=，∴131(1)4n n a a +-=-………3分又111a -=，∴数列{1}n a -是首项为1，公比为34的等比数列， ∴131()4n n a --=，∴13()14n n a -=+………………7分（2）21211333(1)4(1)3((())())44n n n n n b a a --+=---=-………………9分令13,()4n n b y u -==，则2211133(())3()2424y u u =--=--∵*n N ∈，∴()u n 递减，其值分别为39271,,,,41664⋅⋅⋅，经比较916距12最近 ∴当3n =时，n b 有最小值189256-；当1n =时，n b 有最小值0………………13分21．（1）1121222n n n n a a ++-=-<∵11112,2(21)2n n n n n a a a +++==+-，∴110,22n n n n a a a ++>-<，整理得11122n nn na a ++-<………………2分则当2n ≥时，1211211,,12222n n n n a a a a ---<⋅⋅⋅-< 叠加得11122n n a a n -<-，即2nn a n <⋅ 当1n =时，1112a =⋅故2n n a n ≤⋅………………………………………………………………4分（2）由（1）得231222322n n S n ≤⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅………………………………6分令231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，则234121222322n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅∴231122222,(1)22n n n n n T n T n ++-=+++⋅⋅⋅+-⋅=-+ 故1(1)22n n S n +≤-⋅+………………………………9分（3）由已知得1112222n n nn n n a a a n +++-=-≥-，故只须证明122n n n +->，即2n n > ∵012(11)n n nn n n C C C n =+=++⋅⋅⋅+>，∴结论成立………………………14分。

安徽省皖南八校2022年高三第二次联考(12月)数学理试卷(word版)

安徽省皖南八校2022年高三第二次联考（12月）数学理试卷（word版）数学试卷（理）考生注意：1. 本试卷分第I卷(选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时刻120分钟.2. 答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清晰.3. 考生作答时，请将答案答在答题卷上.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；第II卷请用直径0. 5毫米黑色墨水签字笔在答題卷上各题第I卷(选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.21i-（1－i）2等于A. 1+ iB. —1+ iC. 1- iD. -1—i2. 已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B=，则集合B中的元素个数为A.2B. 3C. 4D. 53. 已知各项均为正数的等差数列中，，则納的最小值为A.7B. 8C. 9D. 104. 已知某8个数的平均数为5,方差为2,现又加入一个新数据5，现在这9个数的平均数为，方差为S2，则A. B. C. D.5. 已知命题:“假如，则”是假命题，那么字母x，y,z在空间所表示的几何图形只可能是A全是直线B全是平面C x,z是直线y是平面D x,y是平面，z是直线6. “2012”含有数字0,1，2，且有两个数字2,则含有数字0,1,2，且有两个相同数字2或1的四位数的个数为A.18 B 24C. 27D. 367. 执行如图所示的程序框图,若输出的结果是9，则判定框内m的取值范畴是A. (42,56]B. (56,72]C-(72,90] D. (42,90)8•设命题p:命题,若P是q的充分不必要条件,则K的取值范畴是A（0,3] B. (0,6] C. (0,5] D. [1,6]9. 过双曲线的左焦点F作直线交双曲线的两条渐近线与A,B 两点，若,则双曲线的离心率为A. B. C. 2 a10. 已知函数设，且函数F(x)的零点均在区间内，圆的面积的最小值是A. B. C. D.第II卷(非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卷中的横线上.11.展开式中不含X3项的系数的和为 ___▲____.12. 已知几何体的三视图如图所示,可得那个几何体的体积是___▲___.13. 设非零向量a、b,c，满足，则= ___▲___14. 已知函数的图象关于直线对称,点是函数图象的一个对称中心,则的最小值是 ___▲___.15. 若函数y=f(x)对定义域的每一个值x1，都存在唯独的x2，使成立,则称此函数为“滨湖函数”.下列命题正确的是 ___▲___.(把你认为正确的序号都填上）①是“滨湖函数”；②.I是“滨湖函数”；③是“滨湖函数”；④是“滨湖函数”；⑤差不多上“滨湖函数”，且定义域相同，则是“滨湖函数”三、解答题：本大题共6小题，共75分.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卷上的指定区域内.16. (本小题满分12分）ΔABC中，角A,B、C对边分别是a、b、c,满足.(1) 求角A的大小；(2) 求的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小.17. (本小题满分12分）如图，已知平行四边形ABCD中，AD=2，,垂足为E,沿直线AE将ΔBAE翻折成，使得平面平面AECD.连结，P是上的点(1) 当时,求证平面；(2) 当时,求二面角P—AC—D的余弦值.18. (本小题满分12分）某电视台举办的闯关节目共有五关,只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始连续向前闯的机会.已知某人前三关每关通过的概率差不多上，后两关每关通过的概率差不多上.(1) 求该人获得奖金的概率；(2)设该人通过的关数为，求随机变量的分布列及数学期望.19. (本小题满分13分）已知抛物线P的方程是，过直线l:y=-1上任意一点A作抛物线的切线，设切点分别为B、C.(1) 证明：ΔABC是直角三角形；(2) 证明：直线BC过定点，并求出定点坐标.20. (本小题满分13分）已知函数，其中a〉0.(1) 求f(x)的单调区间；(2) 是否存在实数a使在上恒成立？若存在求出a的取值范畴；若不存在说明理由.21. (本小题满分13分）已知正项数列中a1=1,前n项和S n满足；数列{b n}是首项和公比都等于2的等比数列.(1) 求数列的通项公式；(2) 求数列的前n项和(3) 记，求证：。

安徽省皖南八校高三数学第二次联考试题(理)

安徽省皖南八校2020届高三上学期第二次联考数学理

安徽皖南八校2020届高三上学期第二次联考数学理一、单选题1．已知集合2A x x ，03B x x ，则()R AC B （）A ．[2,)B ．(3,)C ．[0,3]D ．(,2)[2,)【答案】B2．已知12i zi ，则z（）A ．1355iB ．1355iC ．1355iD ．1355i【答案】B 3．某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考升学情况，得到如图所示：则下列结论正确的（）A ．与2016年相比，2019年一本达线人数有所减少B ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了1倍C ．与2016年相比，2019年艺体达线人数相同D ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加【答案】D4．已知两个单位向量12,e e 满足12|2|7e e ，则12,e e 的夹角为（）A ．23B ．34C ．3D ．4【答案】A5．函数22sin ()cos x x f x xx 在[2,2]上的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D6．已知斐波那契数列的前七项为：1、1、2、3、5、8，13.大多数植物的花，其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数，现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种"雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（）层.A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C 7．如图，正方体1111ABCDA B C D 中，点E ，F 分别是,AB AD 的中点，O 为正方形ABCD 的中心，则（）A ．直线EF ，AO 是异面直线B ．直线EF ，1BB 是相交直线C ．直线EF 与1BC 所成的角为30D ．直线EF ，1BB 所成角的余弦值为33【答案】C8．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（）A ．0B ．2C ．4D ．2【答案】B 9．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f xf x ，且在区间[1，2]上是减函数，令ln 2a，121()4b，12log 2c，则(),(),()f a f b f c 的大小关系为（）A ．()()()f b f c f aB ．()()()f a f c f bC ．()()()f c f b f a D ．()()()f c f a f b 【答案】C10．已知2F 是双曲线22:193xyC 的右焦点，动点A 在双曲线左支上，点B 为圆22:(2)1E xy上一点，则2ABAF 的最小值为（）A ．9B ．8C ．53D ．63【答案】A 11．关于函数()cos sin f x x x 有下述四个结论：①()f x 的最小值为2；②()f x 在[,2]上单调递增；③函数()1yf x 在[,]上有3个零点；④曲线()yf x 关于直线x对称.其中所有正确结论的编号为（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④【答案】D 12．已知三棱锥PABC 满足PA底面ABC ，在ABC 中，6AB ，8AC ，AB AC ，D 是线段AC 上一点，且3AD DC ，球O 为三棱锥P ABC 的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为40，则球O 的表面积为（）A ．72πB ．86C ．112D ．128【答案】C二、填空题13．已知曲线()(1)ln f x ax x 在点(1,0)处的切线方程为1yx ，则实数a 的值为_______.【答案】214．已知正项等比数列n a 的前n 项和为n S ，若22S ，410S ，则5a _______.【答案】32315．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（""表示一根阳线，""表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_______.【答案】31416．点,A B 是抛物线2:2(0)C ypx p上的两点，F 是抛物线C 的焦点，若120AFB，AB 中点D 到抛物线C 的准线的距离为d ，则||dAB 的最大值为_______.【答案】33三、解答题17．在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，cos 2cos 22sin (C BA sin Asin )C .（1）求角B 的大小；（2）若1c ，ABC 的面积为332，求b .【答案】（1）3；（2）31.18．如图（1），在平面四边形ABCD 中，AC 是BD 的垂直平分线，垂足为E ，AB 中点为F ，3AC，2BD，90BCD，沿BD 将BCD 折起，使C 至C 位置，如图（2）.（1）求证：AC BD ；（2）当平面BC D平面ABD 时，求直线AC 与平面C DF 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）48585.19．设椭图2222:1(0)x y C abab的左焦点为1F ，右焦点为2F ，上顶点为B ，离心率为33，O 是坐标原点，且1 6.OB F B（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点1F 的直线l 与椭圆C 的两交点为M ，N ，若22MF NF ，求直线l 的方程.【答案】（1）22132xy；（2）210xy 或210xy .20．已知函数1()4cos()23xf x xe，()f x 为()f x 的导函数，证明：（1）()f x 在区间[,0]上存在唯一极大值点；（2）()f x 在区间[,0]上有且仅有一个零点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.21．11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为12，乙每次投球命中的概率为23，且各次投球互不影响.（1）经过1轮投球，记甲的得分为X ，求X 的分布列；（2）若经过n 轮投球，用i p 表示经过第i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.①求,,p p p ；②规定p ，经过计算机计算可估计得11(1)i ii i p ap bp cp b ，请根据①中,,p p p的值分别写出a ，c 关于b 的表达式，并由此求出数列n p 的通项公式.【答案】（1）分布列见解析；（2）①1231743,,636216p p p ；②116177iiip p p ，11156nnp .【解析】（1）经过1轮投球，甲的得分X 的取值为1,0,1，记一轮投球，甲投中为事件A ，乙投中为事件B ，,A B 相互独立，计算概率后可得分布列；（2）由（1）得1p ，由两轮的得分可计算出2p ，计算3p 时可先计算出经过2轮后甲的得分Y 的分布列（Y 的取值为2,1,0,1,2），然后结合X 的分布列和Y 的分布可计算3p ，由0p ，代入11(1)iii i p ap bp cp b，得两个方程，解得,a c ，从而得到数列{}n p 的递推式，变形后得1{}nn p p 是等比数列，由等比数列通项公式得1nn p p ，然后用累加法可求得n p ．【详解】（1）记一轮投球，甲命中为事件A ，乙命中为事件B ，,A B 相互独立，由题意1()2P A ，2()3P B ，甲的得分X 的取值为1,0,1，(1)()P XP AB 121()()(1)233P A P B ，(0)()()()()()()P X P AB P AB P A P B P A P B 12121(1)(1)23232，121(1)()()()(1)236P XP AB P A P B ，∴X 的分布列为：X－11P131216（2）由（1）116p ，2(0)(1)(1)((0)(1))p P X P XP XP XP X111117()2662636，同理，经过2轮投球，甲的得分Y 取值2,1,0,1,2：记(1)P Xx ，(0)P X y ，(1)P X z ，则2(2)P Y x ，(1)P Yxyyx ，2(0)P Yxzzxy ，(1)P Yyzzy ，2(2)P Yz由此得甲的得分Y 的分布列为：Y－2－112P1913133616136∴3111111131143()()3362636636636216p ，∵11(1)iii i p ap bp cp b，00p ，∴1212321p ap bp p ap bp cp ，71136664371721636636a b a bc，∴6(1)717b a b c，代入11(1)i ii i p ap bp cp b得：116177iiip p p ，∴111()6iii i p p p p ，∴数列1{}n n p p 是等比数列，公比为16q，首项为1016p p ，∴11()6n n np p ．∴11210()()()n nn nn p p p p p p p 111111()()(1)66656n n n ．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin xy（为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()14.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为B ，P 是曲线C 上一点，求PAB 面积的最大值.【答案】（1）2221x y，2x y；（2）2.23．已知0,0a b，2 3.ab证明：（1）2295ab；（2）33814.16a bab【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.。

安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期第二次联考理科数学试题

安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期第二次联考理科数学试题一、单选题1．若集合{}2,1,0,1A =--，{}220B x x x =+<，则AB =（）A ．{}1-B ．{}1,0-C ．{}2,1,0--D ．{}1,0,1-2．若{} n a 是公比为e 的正项等比数列，则{}31ln n a -是（） A ．公比为3e 的等比数列 B ．公比为3的等比数列 C ．公差为3e 的等差数列 D ．公差为3的等差数列二、未知3．数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker ，1823-1891）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”．设i 为虚数单位，复数(2)43z i i -=+，则z 的共轭复数是（） A ．2i +B ．2i -C ．12i -D ．12i +40y ±=，且与椭圆2228x y +=有共同焦点，则双曲线的方程为（）A ．222213y x -=B ．2213y x -=C ．2214y x -=D ．2219y x -=5．(6,13)A 和(12,11)B 是平面上圆C 上两点，过A ，B 两点作圆C 的切线交于x 轴上同一点，则圆C 的面积为（） A ．838πB ．212πC ．858πD ．434π6．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，1PA =．过BD 作与侧棱PC 垂直的平面BDE ，交PC 于点E ．则CE 的长为（）A ．3B C ．2D ．37．已知正实数a ，b ，满足a b >，则（） A ．ln(1)0a b -+< B ．3a b a b π--<C ．11a b a b+>+ D ．11a b a b->- 8．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4．在某一球内任意取一点，则此点取自球的一个内接正方体的“牟合方盖”的概率为（）A ．12B ．23C ．9πD ．99．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(,)M x y 为阴影区域内的动点（不包括边界），这里||,||x y ππ<<，则下列不等式恒成立的是（）A ．sin()0x y ->B ．sin()0x y -<C ．cos()0x y ->D ．cos()0x y -< 10．设正实数a ，b ，c ，满足2ln 2a c e b b ce ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<11．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果*n ∀∈N 都有112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足*9,2n nb S n +=∈N ，数列{}nc 满足12,n n n n c b b b n *++=∈N ．设n T 为{}n c 的前n 项和，则当n T 取得最大值时，n 的值等于（） A ．17B ．18C ．19D ．2012．已知直线(1)(0)y a x a =->与曲线()cos ((,))f x x x ππ=∈-相切于点A 、与曲线的另一交点为B ，若A 、B 两点对应的横坐标分别为1212,()x x x x <，则()111tan x x -=（） A ．1- B ．2C ．1D ．2-13．已知角6πα+的终边与单位圆交于点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_________．14．若21nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式的各项系数之和为32，则展开式中的含4x 项的系数为________．（用数字作答）．15．如图所示，已知M ，N 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上关于原点对称的两点，点M 与点Q 关于x 轴对称，2516ME MQ =，直线NE 交双曲线右支于点P ，若2NMP π∠=，则e =_____________．16．已知(,0)(0),(1,0)a x x b =>=||||||a b a a +-=，则a =___________．17．已知三角形ABC 三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin cos 2A Cb A +=．（1）求角B ；（2）若4A π=，角B 的平分线交AC 于点D ，2CD =，求BCD S △．18．8月10日，2020年《财富》世界500强排行榜正式发布．中国大陆（含香港）公司数量达到124家，历史上第一次超过美国（121家）．2008年中国加入世贸组织时中国大陆进入世界500强的企业12家，以后逐年增加，以下是2016——2020年（年份代码依次为1，2，3，4，5）中国大陆进入世界500强的企业数量．（1）已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的回归方程．并预测2021年中国大陆进入世界500强的企业数量，结果取整；（2）2020年《财富》榜单显示共有7家互联网公司上榜，中国大陆4家、美国3家．现某财经杂志计划从这7家公司中随机选取3家进行深度报道，记选取的3家公司中，中国大陆公司个数为ξ，求ξ的分布列与期望．参考数据：51566ii y==∑，511750i i i x y ==∑．参考公式：回归方程y a bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1122211,nnii i ii i nniii i xx y y x ynx yb a y bx xx xnx ====--⋅-⋅===---∑∑∑∑．19．已知函数1()()x f x x m e m x -⎛⎫=-+⋅∈⎪⎝⎭R ．（1）求证：当0m =时，函数()f x 在(,0)-∞内单调递减；（2）若函数()f x 在区间(1,2)内有且只有一个极值点，求m 的取值范围．20．已知抛物线C ：22(0)y px p =>，点P 为y 轴左侧一点，A ，B 为抛物线C 上两点，当直线AB 过抛物线C 焦点F 且垂直于x 轴时，AOB 面积为2．（1）求抛物线C 标准方程；（2）若直线,PA PB 为抛物线C 的两条切线，设PAB △的外心为M （点M 不与焦点F 重合），求sin PFM ∠的所有可能取值．21．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin cos )1ρθθ+=．（1）求圆C 普通方程和直线l 直角坐标方程；（2）点P 极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，设直线l 与圆C 的交点为A ，B 两点A ，B 中点为Q 求线段PQ 的长．22．已知0,2x y >>=，证明：（1）222x y +≥；（21+．三、解答题23．如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，,//AD CD AB CD ⊥,122AB AD CD ===，点M 是线段EC 的中点.（1）求证：//BM 面ADEF ；（2）求平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值.。

安徽省皖南八校2019届高三第二次联考数学(理)试题

4 （1）求证：C1B⊥平面 ABC;
5 （2）试确定点 E 的位置,使得二面角 A-C1E-C 的余弦值为 .
5
19. （本小题满分 12 分）某县大润发超市为了惠顾新老顾客,决定在 2019 年元且来临之际举行“庆元且,迎新年”的抽奖派送
礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案,该超市面向该县某高中学生征集活动方案.该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用,方案如下,将一个 4×4×4 的正方体各面均涂上红色,再把它分割
3
成 64 个相同的小正方体.经过搅拌后,从中任取两个小正方体,记它们的着色面数之和为 ,记抽奖中奖的礼金为 .
(1)求 P( =3)
(2)凡是元卫当天在超市购买物品的顾客,均可参加抽奖.记抽取的两个小正方体着色面数之和为 6,设为一等奖,获得价值 50 元礼品;记抽取的两个小正方体着色面数之和为 5,设为二等奖,获得价值 30 元礼品; 记抽取的两个小正方体着色面数之和为 4,设为三等奖,获得价值 10 元礼品,其他情况不获奖.求某顾客抽奖一次获得的礼金的分布列与数学期望.
π A.( ,0)
3
π B.(— ,—1)
3
π C.(— ,1)
3
π D.( ,—1)
3
9.已知一个三棱锥的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2,a,且长为 a 的棱与长为 2的棱所在直线是异面直线,
则三棱锥的体积的最大值为
2 A.
12
3 B.
12
2 C.
6
3 D.
6
10.已知
F 为双曲线
C:
x2 a2
B.{x|x≤-2 或 0≤x＜4}
C.{x|x≤0 或 1≤x＜2}
D.{x|x≤-2 或 x＞4}

安徽省皖南八校2022届高三第二次(12月)联考数学理试题 Word版含答案

“皖南八校”2022届高三其次次联考数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}z x x x x A ∈≤-+=，022，{}z k k x x B ∈==，2，则B A 等于()A ．{}10，B ．{}24--，C ． {}01，-D ．{}02，-2. 已知i 是虚数单位，若iaii z ++=12是纯虚数，则实数()=aA ． 1B ． -1C ． 2D ．-23. 已知向量b a ，满足2=a ，1=b ，2-=⋅b a ，则()=+b a 2A ． 5B ． 3C ． 5D ． 94. 已知直线l 平分圆0266:22=++-+y x y x C 的周长，且直线l 不经过第三象限，则直线l 的倾斜角θ的取值范围为()A ． []13590，B ． []12090， C. []13560， D ．[]15090， 5. 将函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=42sin πx x f 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移12π个单位，所得图象的一条对称轴的方程是()A ． 163π=x B ． 247π=x C. 32π=x D ．65π=x 6. 函数()⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈-=230023sin cos ππ，，， x x x x x f 的图象大致是()7. 若0<a ，()()52y ax y x +-开放式中，24y x 的系数为-20，则a 等于()A ． -1B ． 23-C. -2 D ．25- 8. 当5=n 时，执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（）A ． 28B ． 36 C. 68 D ． 1969. 榫卯（n u so a m）是我国古代工匠极为精致的创造，它是在两个构件上接受凹凸部位相结合的一种连接方式. 我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构. 图中网格小正方形的边长为1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，则其体积与表面积分别为()A ． ππ52345224++，B ． ππ54365224++， C. ππ54365424++， D ．ππ52345424++，10. 已知椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F ，，若在直线a x 2=上存在点P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是()A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛320， B ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡132，C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛210， D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡121， 11. 已知⎪⎭⎫⎝⎛∈20πθ，，且35cos 12sin 12=+θθ，则()=θ2tan A ．247 B ． 724 C. 247± D ．724±12. 已知函数()⎩⎨⎧≤++->+-=，，，，0211022x m x x m mx x x f 若关于x 的方程0)(=-mx x f 至少有两个不同的实数解，则实数m 的取值范围为（）A ． ()∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-，，2031 B ． ()∞+⎪⎭⎫⎢⎣⎡-，，1131 C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-，31 D ．()∞+⎪⎭⎫⎢⎣⎡-，，2231 二、填空题：本小题4小题，每小题5分，共20分.13. 在1，2，3，4，5，6，7，8中任取三个不同的数，取到3的概率为．14. 已知ABC ∆的面积为S ，角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，若C S cos 4=，2=a ，23=b ，则=C ．15. 已知函数()x f 是偶函数，定义域为()()∞+∞-，，00 ，且0>x 时，()xe x xf 1-=，则曲线()x f y =在点()()11--f ，处的切线方程为． 16. 已知正方体1111D C B A ABCD -的体积为1，点M 在线段BC 上（点M 异于点C B ，），点N 为线段1CC 的中点，若平面AMN 截正方体1111D C B A ABCD -所得的截面为四边形，则线段BM 长的取值范围为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∽21题为必考题，每个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分17. 已知{}n a 是等比数列，{}n b 满足3121==b b ，，且()nn n n b a b a b a 23232211⋅-+=+++ . （Ⅰ）求{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；（Ⅱ）求{}n b 的通项公式.18. 随着网络时代的进步，流量成为手机的附带品，人们可以利用手机随时随地的扫瞄网页，谈天，看视频，因此，社会上产生了很多低头族.某争辩人员对该地区18∽50岁的5000名居民在月流量的使用状况上做出调查，所得结果统计如下图所示：（Ⅰ)以频率估量概率，若在该地区任取3位居民，其中恰有X 位居民的月流量的使用状况在300M ∽400M 之间，求X 的期望()X E ；（Ⅱ）求被抽查的居民使用流量的平均值；（Ⅲ）经过数据分析，在肯定的范围内，流量套餐的打折状况x 与其日销售份数y 成线性相关关系，该争辩人员将流量套餐的打折状况x 与其日销售份数y 的结果统计如下表所示：折扣x 1折 2折3折 4折 5折销售份数y 50 85115 140 160y x 附注：回归方程a x b yˆˆˆ+=中斜率和截距的最小二乘估量公式分别为： ()()()∑∑-----=ni iNi iix x y yx x b121ˆ，x b y aˆˆ-= 19. 在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 平面ABCD ，PAD ∆是等腰三角形，AD AB 2=，E 是AB 的一个三等分点（靠近点A ），CE 与DA 的延长线交于点F ，连接PF . （Ⅰ）求证：平面⊥PCD 平面PAD ；（Ⅱ）求二面角F PE A --的正切值。

安徽省皖南八校2020届高三第二次(12月)联考数学理试题Word版含解析

安徽省皖南八校2020届高三第二次（12月）联考数学理试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.为虚数单位，，若为实数，则实数A. -1B.C. 1D. 22.已知集合，，则A. B.C. D.3.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（图1），图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为A. B. C. D.4.已知为等差数列，若，则A. 18B. 24C. 30D. 325.如图，在中，，，，则的值为A. -4B. -3C. -2D. -86.已知函数，则不等式的解集是A.B.C.D.7.某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点与点在三视图上的对应点分别为，，则在该几何体表面上，从点到点的路径中，最短路径的长度为A. B. C. D.8.若将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于轴对称，则当最小时，函数图像的一个对称中心的坐标是A. B. C. D.9.已知一个三棱锥的六条棱的长分别为，且长为的棱与长为的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（）A. B. C. D.10.已知为双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，为坐标原点.若，则的渐近线方程为A. B.C. D.11.已知函数若存在实数，，，且，使，则的取值范围是A. B. C. D.12.圆与直线相切，且圆心的坐标为，设点的坐标为，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数，满足条件则的最大值为__________．14.已知，且，则__________．15.记为数列的前项和，，记，则__________．16.已知函数满足，且，当时，，若曲线与直线有5个交点，则实数的取值范围是__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，内角、、所对的边分别是、、，若.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）已知的面积为，，求边的长.18.如图，在三棱柱中，已知侧面，，，，点在棱上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）试确定点的位置，使得二面角的余弦值为．19.某县大润发超市为了惠顾新老顾客，决定在2019年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该县某高中学生征集活动方案.该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为，记抽奖中奖的礼金为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）凡是元旦当天在超市购买物品的顾客，均可参加抽奖.记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元礼品，其他情况不获奖.求某顾客抽奖一次获得的礼金的分布列与数学期望.20.如图，已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，过原点的直线与椭圆相交于、两点，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，，过点且斜率不为零的直线与椭圆相交于、两点，证明：.21.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）讨论函数的零点个数.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）（Ⅰ）若，求曲线与直线的交点坐标；（Ⅱ）求直线所过定点的坐标，并求曲线上任一点到点的距离的最大值和最小值.23.已知函数.（Ⅰ）解不等式：；（Ⅱ）若函数的最小值为，且，求的最小值.安徽省皖南八校2020届高三第二次（12月）联考数学理试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.为虚数单位，，若为实数，则实数A. -1B.C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】由题意，根据复数的运算法则，求得，再根据复数的概念，即可求解.【详解】由题意，可得，有，故选C.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念和复数的运算法则，其中解答中熟记复数的基本概念和复数的运算法则，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知集合，，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，求得，进而根据补集的运算，即可得到答案.【详解】由题意，可得，，则，故选A.【点睛】本题主要考查了集合的补集的运算，其中解答中正确求解全集和熟记集合的补集的运算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（图1），图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先确定小正方形的面积在大正方形中占的比例，根据这个比例即可求出飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率.【详解】直角三角形的直角边长分别为5和12，则小正方形的边长为，最大正方形的边长为，小正方形面积49，大正方形面积289，由几何概型公式得：，故选C.【点睛】本题主要考查了几何概型，属于中档题.4.已知为等差数列，若，则A. 18B. 24C. 30D. 32【答案】B【解析】【分析】数列为等差数列，由，可得，进而又由，代入即可求解.【详解】由题意，数列为等差数列，且，可得，则，故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式，合理运算求解是解答的关键，体现了等差数列的基本量的运算问题，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5.如图，在中，，，，则的值为A. -4B. -3C. -2D. -8【答案】D【解析】【分析】由题意把转化为、求解即可.【详解】因为，，，所以,故选D.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，向量在向量方向上的投影，属于中档题.6.已知函数，则不等式的解集是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意，根据函数的解析式，求解函数是定义域上的单调递增函数，且为奇函数，把不等式转化为，进而借助一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】由题意，函数，则，所以函数是定义域上的单调递增函数，又由，即函数定义域上的奇函数，又由不等式可转化为即，即，解得，即不等式的解集为，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用问题，其中解答中根据函数的解析式利用导数求得函数的单调性和奇偶性，把不等式转化为一元二次不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点与点在三视图上的对应点分别为，，则在该几何体表面上，从点到点的路径中，最短路径的长度为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三视图可判断出P,Q点的位置，然后利用侧面展开图求PQ间距离，比较不同展开图得到的距离即可求解.【详解】由三视图可知该几何体为正四棱柱，底面边长为1，高为2，P,Q位置如图：沿EF展开，计算,沿FM展开，计算,因此点到点的路径中，最短路径的长度为.故选D.【点睛】本题主要考查了三视图，棱柱的侧面展开图，属于中档题.8.若将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于轴对称，则当最小时，函数图像的一个对称中心的坐标是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，根据函数的图象变换和三角函数的性质，求得，得出函数的解析式，由此可求解函数图象的一个对称中心的坐标，得到答案.【详解】由题意，将函数的图像向左平移个单位，可函数的解析式为，又由函数的图像关于轴对称，则，即，解得，当时，，此时函数，令，当时，，所以函数图象的一个对称中心的坐标是，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换和三角函数的图象与性质，确定的值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9.已知一个三棱锥的六条棱的长分别为，且长为的棱与长为的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图所示，三棱锥中，，则该三棱锥为满足题意的三棱锥，将△BCD看作底面，则当平面平面时，该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高，△BCD是等腰直角三角形，则，综上可得，三棱锥的体积的最大值为.本题选择A选项.点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，选择合适的底面是处理三棱锥体积问题的关键所在．10.已知为双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，为坐标原点.若，则的渐近线方程为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可求得，再分别求得，根据勾股定理，求得和的关系，即可求得双曲线的渐近线方程.【详解】由过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线的距离为，即，则,又由，所以为等腰三角形，则为的中点，所以，在直角中，则，即，整理得，解得，又由，则，即，所以双曲线的渐近线方程为，故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质，结合图象，根据勾股定理合理列出关于的关系式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.11.已知函数若存在实数，，，且，使，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数的图象，设，且，由，得，进而得，利用二次函数的性质，即可求解.【详解】由函数，可得函数的图象如图所示，又由存在实数，，，且，设，且，则，即，解得，所以，当时，取得最小值，当时，取得最大值，所以的取值范围是，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的性质的综合应用，以及一元二次函数的图象与性质的应用，其中解答中作出函数的图象，化简得出，利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12.圆与直线相切，且圆心的坐标为，设点的坐标为，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意点到直线的距离，可求得圆的方程，又由存在这样的点，当与圆相切时，转化为，由此列出不等式，求得，即可求解.【详解】由题意点到直线的距离为，可得圆的方程为.若存在这样的点，当与圆相切时，即可，可得，得，则.解得：.【点睛】本题主要考查了直线与圆的综合应用问题，其中解答中求得圆的方程，把存在这样的点，当与圆相切时，转化为，列出不等式，求得，进而求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数，满足条件则的最大值为__________．【答案】1【解析】【分析】作出可行域，根据线性规划知识求最优解即可.【详解】作出可行域如图：作出直线：，平移直线，当直线在y轴上的截距最小时，有最大值，如图平移过点时，.故填1.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，直线的截距，属于中档题.14.已知，且，则__________．【答案】【解析】【分析】由题意，根据三角函数的基本关系式，化简得，进而，代入即可求解.【详解】由题意有，得，由，，有，得，则.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式，合理化简，求得，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.记为数列的前项和，，记，则__________．【答案】【解析】【分析】由题意，根据数列的通项和的关系，求得，再由等比数列的定义，得出数列是以为首项，为公比的等比数列，求得通项公式为，利用等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意有，得，当时有，两式做差得，故数列是以为首项，为公比的等比数列，可得数列的通项公式为，所以.【点睛】本题主要考查了等比数列中通项公式与关系，以及等比数列的定义和前项和公式的应用，其中解答中根据数列中通项公式与关系，以及等比数列的定义得出数列的通项公式，再利用等比数列的求和公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.已知函数满足，且，当时，，若曲线与直线有5个交点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由题意，可得知是周期为2的偶函数，利用与的图像，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，可得，可得，所以是周期为的周期函数，又由，则函数的图象关于对称，由当时，，要使得与直线有5个交点，即与直线的图象由5个交点，作出函数与直线的图象，如图所示，则当时，，解得，当当时，，解得，所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把得函数与直线的交点，转化为与直线的图象的交点，分别作出函数与直线的图象，列出不等式组是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及转化思想的应用.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，内角、、所对的边分别是、、，若.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）已知的面积为，，求边的长.【答案】（I）；（II）.【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简得，得到，即可求解的值；（Ⅱ）由的面积为，求得，再由余弦定理，即可求解.【详解】解：（Ⅰ）由正弦定理有，有，得，由，得，有，由，得.（Ⅱ）的面积为.又，，∴.由余弦定理得：.∴.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18.如图，在三棱柱中，已知侧面，，，，点在棱上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）试确定点的位置，使得二面角的余弦值为．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）点在的中点.【解析】试题分析：(Ⅰ)首先根据余弦定理计算,在中满足勾股定理，,然后根据题设所给的平面,得到,这样就证明了线面垂直的条件；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC 、BA 、BC 1两两垂直，以B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，设，这样设点的坐标，求平面和平面的法向量，根据求，确定点E 的位置.试题解析：解：（Ⅰ）证明：∵BC=，CC 1=BB 1=2，∠BCC 1=，在△BCC 1中，由余弦定理，可求得C 1B=，∴C 1B 2+BC 2=，即C 1B⊥BC．又AB⊥侧面BCC 1B 1，故AB⊥BC 1，又CB∩AB=B，所以C 1B⊥平面ABC ；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BC 、BA 、BC 1两两垂直，以B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，则B （0，0，0），A （0，2，0），C （，0，0），C 1（0，0，），B 1（﹣，0，），∴=（0，2，﹣），设，则=+λ=（0，0，﹣）+λ（﹣，0，）=（﹣λ，0，﹣+λ）设平面AC 1E 的一个法向量为=（x ，y ，z ），由，得，令z=，取=（，1，），又平面C1EC的一个法向量为=（0，1，0）所以cos＜，＞===，解得λ=．所以当λ=时，二面角A﹣C1E﹣C的余弦值为．考点：1.空间向量的应用；2.线面垂直的证明.【方法点睛】主要考察了空间向量的应用，属于基础题型，利用空间向量求立体几何中的常见问题的解决方法，（1）证明垂直时，证明线线垂直，即证明直线的方向向量的数量积等于0，证明线面垂直，即证明直线与平面内的两条相交直线的方向向量垂直，即数量积等于0，（2）求异面直线所成角，先求异面直线的方向向量，代入公式，（3）求线面角，先求直线的方向向量和平面的法向量，代入公式，（4）求二面角，先求两个平面的法向量，根据公式，根据二面角的大小确定二面角或.19.某县大润发超市为了惠顾新老顾客，决定在2019年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该县某高中学生征集活动方案.该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为，记抽奖中奖的礼金为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）凡是元旦当天在超市购买物品的顾客，均可参加抽奖.记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元礼品，其他情况不获奖.求某顾客抽奖一次获得的礼金的分布列与数学期望.【答案】（I）；（II）详见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，可知64个小正方体中，三面着色的有8个，二面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.（Ⅱ）由题意，随机变量的所有可能取值为，的取值为50，30，10，0，分别求解相应的概率，得出随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.【详解】解：（Ⅰ）64个小正方体中，三面着色的有8个，二面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色，∴.（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，的取值为50，30，10，0，∴.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些，当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.20.如图，已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，过原点的直线与椭圆相交于、两点，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，，过点且斜率不为零的直线与椭圆相交于、两点，证明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）取椭圆的左焦点，连、，由椭圆的几何性质知，则，设椭圆方程代入点即可求解（Ⅱ）设点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为：，联立方程组,消元得，写出的斜率，同理得直线的斜率，利用根与系数的关系化简即可得出结论.【详解】（Ⅰ）如图，取椭圆的左焦点，连、，由椭圆的几何性质知，则，得，将点代入椭圆的方程得：，解得：故椭圆的方程为：.（Ⅱ）设点的坐标为，点的坐标为由图可知直线的斜率存在，设直线的方程为：联立方程，消去得：，，.有直线的斜率为：.同理直线的斜率为：.由.由上得直线与的斜率互为相反数，可得.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率，属于难题.21.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）讨论函数的零点个数.【答案】（I）；（II）详见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）当时，，求得，得出函数的单调性，即可求解函数的极小值. （Ⅱ）当，方程的，则方程有两个不相等的实数根，记为，，得函数的减区间为，增区间为，求得函数的最小值，没有零点；当时，函数仅有一个零点为；当时，得函数的增区间为，减区间为，求得，由此时函数有两个零点，即可得到答案.【详解】解：（Ⅰ）当时，，令可得.故函数的增区间为，减区间为故当时，函数的最小值为.（Ⅱ）由∵，方程的，则方程有两个不相等的实数根，记为，，则，，有，故函数的减区间为，增区间为，有当时，，又函数单调递减，（1）当时，，此时，函数没有零点；（2）当时，函数仅有一个零点为；（3）当时，有，由，有令，有，故函数的增区间为，减区间为，由，可得不等式（当且仅当时取等号）成立故有当时，，则此时函数有两个零点.由上知时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点；当时函数没有零点.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(2)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）（Ⅰ）若，求曲线与直线的交点坐标；（Ⅱ）求直线所过定点的坐标，并求曲线上任一点到点的距离的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）与；（Ⅱ），.【解析】【分析】（Ⅰ）求出曲线C和直线的普通方程,联立解方程组即可求出交点坐标（Ⅱ）直线所过定点的坐标为，曲线上任一点到P的距离利用两点间距离公式写出，利用三角函数值域的有界性求距离的最值即可. 【详解】（Ⅰ）曲线的普通方程为，当时，直线的普通方程为：联立，解得：或，曲线与的交点为与.（Ⅱ）当时，，，则直线过定点的坐标为，故曲线上任一点到点的距离为：由，故，【点睛】本题主要考查了由参数方程化普通方程，直线系的定点，两点间的距离，属于中档题.23.已知函数.（Ⅰ）解不等式：；（Ⅱ）若函数的最小值为，且，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.【解析】【分析】（Ⅰ）去掉绝对值符号转化为分段函数求解即可（Ⅱ）求出分段函数的最小值，则，，，根据，利用均值不等式求最值即可.【详解】（Ⅰ）可得当时，，即，所以无解；当时，，得，可得；当时，，得，可得.∴不等式的解集为.（Ⅱ）根据函数可知当时，函数取得最小值，可知，∵，，，∴.当且仅当，即时，取“=”.∴的最小值为1.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，分段函数，均值不等式，属于中档题.。

安徽省皖南八校高三数学第二次联考(扫描版) 理

皖南八校2011届高三第二次联考联考理科数学答案１．C 解析：2(2)(1)331.12222i i i i z z i i --++===∴=-- 2. Ｂ３. Ｄ解析：(3,4),(2,1),(32,4),a b a b x λλλ==-+=+-可得22(32)(4)0,5λλλ+--==- ４Ｂ解析:2110()21a a a f x ax x =-⇒=-=⇔=+-或只有一个零点５.Ａ解析:法１： sin()2sin()sin 2cos tan 22ππααααα-=-+⇒=-⇒=-sin 25,sin cos 5cos sin 2,sin cos 5cos αααααααααα⎧=⎪⎪⇒⋅=-⎨⎪=⎪⎩⎧=⎪⎪⇒⋅=-⎨⎪=⎪⎩当在第二象限时当在第四象限时法２：sin()2sin()sin 2cos tan 22ππααααα-=-+⇒=-⇒=- 222sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15αααααααα===-++ ６.Ｃ解析：s=2,i=2; s=6,i=3; s=24,i=4; s=120,i=5; s=720,i=6.此时输出i 为６７.Ｃ解析： {54,23,19,37,82}{54,24,18,36,81}2332----∴-各项减去１得到集合其中18,-24,36,-54或-54,36,-24,18成等比数列，q=-或８.Ａ解析：由几何意义易知：223143+133 4. 4.x x x x x a a a a a ++-∴+-≥--≤≤≤的最小值为，对任意实数恒成立.只需解得-1９.Ｄ解析：易知Ｆ为Ｃ的右焦点，离心率e =即为Ｐ到右准线的距离，设为d.则PA +＝(1)PA d +≥-=10. Ｂ解析：(,2)()(4)()()2(2)()0(2,)()x f x f x f x f x x x f x x f x ∈-∞⎧'-=⇒=-<⇒⎨∈+∞⎩为增关于对称.为减 2112211221112122()()2442(4)()()()()x x f x f x x x x x x x f x f x f x f x f x >>>>>+>∴>->∴-=>>当时，当时，综上，11. 270 25315(3)()r r r r T C x x --+=-=51055(1)3r r r r C x --- 令105r -=0 得2r =.故常数项为22525(1)3270C --=12. 23解析：作出可行域，易知最优解为max 312(2,3).213z -∴==+ 13. 相切解析：2220.1(1) 2..l x y x y d r --=-+-====的方程为：圆Ｃ的方程为() 14．24π+解析：122222624+224S S S S πππππππ⨯⨯=⨯⨯-=-=+圆锥侧面正方体表面积圆锥底面表面积＝-＝2＝24－ 15. 712解析：由向量夹角的定义及图形直观可得：当点(,)A m n 位于直线y=x 上及其下方时，满足11112345(0,].(,)2212173612A m n πθ∈⨯+++==点的总个数为66=36个，而位于直线y=x 上及其下方的点A(m,n)有6+1+C C C C 个故所求概率为16.解析：（１）设小明在第i 次投篮投中为事件i A则第三次投篮时首次投中的概率为1232214()()()33327P P A P A P A =⋅⋅=⋅⋅= ………………………………（4分）（２）4132224433440221612321224(0)().(2)()().(4)()()3813381338112811(6)()().(8)()3381381P P C P C P C P ξξξξξξ================、、4、6、8……………………………………………………………………………………（８分） ξ∴的分布列为……………………………………………………………………………………（１０分） 1632248180246881818181813E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=………………………………（１２分） 17.解析：（1）由已知得tan tan 1tan tan A B A B -=+，故tan()A B -=.…………（2分）又0,2A B π<< 从而22A B ππ-<-< 即6A B π-=.由222c a b ab =+- 得2221cos 22a b c C ab +-== 可得3C π=.…………………………………………（4分）由 ,,63A B C A B C πππ++=-==可解得5,,1243A B C πππ===.………………………………………………………………（5分）（2）222329124m n m m n -=-∙+1312(sin cos cos sin )A B A B =-+1312sin()1312sin(2)6A B B π=-+=-+…………………………………………（8分）由0,0,622A B B πππ<=+<<<0(2)62C B πππ<=-+< 得63B ππ<< 从而52266B πππ<+< 故1sin(2)(,1)62B π+∈ 即32m n-(1∈…………（12分） 18. 解析：（１）证明：取BC 的中点M ，连接,PM QM ，易证平面PQM ACD 平面又.PQ PQM PQ ACD ⊂∴平面平面………………………………………（４分）（２）,,DC ABC AC DC AC BC AC BCDE ⊥⇒⊥⊥∴⊥平面又平面……（６分）1433B ADE BDE S S S AC -==⋅=A-BDE …………………………………………………（８分）（３）如图， ABCDEFG4,90...tan BF BAF BA AF ABC BE AF AF BE ABE EAB AB =∴∠=∴⊥⊥∴⊥∴⊥∴⊥∴∠∠==作BF AC,且BF=2AC=4,易知又BE 平面平面ABE.AE AF.又平面ADE 平面ABC=AF.EAB 即为平面ABC 与平面ADE 所成的锐二面角.在RT 中，注：用向量法请对应给分。