高考数学第3章三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式教学案

合集下载

2022届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.2同角三角函数的基本关系及诱导公式学案理含解析北

第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式命题分析预测学科核心素养从近五年的考查情况来看，本节的命题重点是同角三角函数的基本关系和诱导公式的应用，单独命题的概率较低．本讲知识多作为工具考查三角恒等变形或研究三角函数的图像与性质，以选择题和填空题为主．本节通过同角三角函数基本关系及诱导公式考查考生的数学运算核心素养及分类讨论思想的应用．授课提示：对应学生用书第63页知识点一同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；（2）商数关系：tan α＝sin αcos α．•温馨提醒•同角三角函数关系式的常用变形（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α； sin α＝tan α·cos α．1．已知α为第二象限角，化简：cos α1－sin α1＋sin α＋sin α1－cos α1＋cos α＝（）A ．sin α＋cos αB ．sin α－cos αC ．1＋sin αD ．1－sin α解析：原式＝cos α（1－sin α）2cos 2α＋sin α（1－cos α）2sin 2α＝cos α1－sin α|cos α|＋sin α1－cos α|sin α|＝cos α·1－sin α－cos α＋sin α·1－cos αsin α＝sin α－cos α．答案：B 2．若sin α＝55，π2<α<π，则tan α＝_________．解析：因为π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255，所以tan α＝sin αcos α＝－12．答案：－123．已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为_________．解析：原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3．答案：3知识点二诱导公式组数一二三四五六角 2k π＋α （k ∈Z ） π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan αtan α－tan α－tan α口诀函数名不变符号看象限函数名改变，符号看象限1．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝（） A ．－79B ．－13C ．13D ．79解析：∵⎝⎛⎭⎫α＋π3＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13．答案：C2．化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫52π＋α·sin （α－π）·cos （2π－α）的结果为_________．解析：原式＝sin αcos α·（－sin α）·cos α＝－sin 2α．答案：－sin 2α3．已知A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α（k ∈Z ），则A 的值构成的集合是_________．解析：当k ＝2n （n ∈Z ）时， A ＝sin （2n π＋α）sin α＋cos （2n π＋α）cos α＝sin αsin α＋cos αcos α＝2．当k ＝2n ＋1（n ∈Z ）时， A ＝sin （π＋α）sin α＋cos （π＋α）cos α＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝－1＋（－1）＝－2．答案：{2，－2}授课提示：对应学生用书第64页题型一三角函数的诱导公式1．已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α的值为（） A ．33 B ． 3 C ．－33D ．－ 3解析：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33．答案：C2．（2021·某某二检）在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫sin 5π3，cos 5π3，则sin （π＋α）等于（） A ．－32B ．－12C ．12D ．32解析：由诱导公式可得sin 53π＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝－sin π3＝－32， cos 53π＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝cos π3＝12，即P ⎝⎛⎭⎫－32，12．由三角函数的定义可得sin α＝12⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫122＝12，则sin （π＋α）＝－sin α＝－12．答案：B3．（2021·黔东南模拟）已知直线y ＝－43x ＋1的倾斜角为α，则cos 2αcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋αsin （π＋α）的值为（） A ．22 B ．24C ．28D ．724解析：由已知有k ＝tan α＝－43，cos 2αcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋αsin （π＋α）＝（cos α－sin α）（cos α＋sin α）22（cos α－sin α）sin α＝2·cos α＋sin αsin α＝2⎝⎛⎭⎫1tan α＋1，故cos 2αcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋αsin ()π＋α＝24．答案：B4．已知a ＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝⎛⎭⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b解析：由已知，a ＝tan ⎝⎛⎭⎫－π－π6＝－tan π6＝－33，b ＝cos ⎝⎛⎭⎫6π－π4＝cos π4＝22，c ＝sin ⎝⎛⎭⎫－8π－π4＝－sin π4＝－22，因而b ＞a ＞c ．答案：B5．（2020·某某模拟）已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝35，那么tan α的值为（） A ．－43B ．－34C ．±43D ．±34解析：sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝35化为cos α＝35，那么sin α＝±45，tan α＝±43．答案：C6．（2021·某某模拟）化简：sin （π－α）＋sin αcos α⎣⎡⎦⎤1＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αtan α＝_________．解析：sin （π－α）＋sin αcos α⎣⎡⎦⎤1＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αtan α＝sin α＋sin αcos α（1＋cos α）tan α ＝cos α．答案：cos α应用诱导公式的思路与技巧（1）应用诱导公式的一般思路 ①化大角为小角；②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．（2）常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．题型二同角三角函数基本关系式的应用考法（一）知一求二问题[例1] 若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin （π－α）＝35，则tan α＝（） A ．－43B ．43C ．－34D ．34[解析] 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，所以cos α＝－45，所以tan α＝－34．[答案] C利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些问题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．考法（二）弦切互化[例2] （1）已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是（）A ．35B ．－35C ．－3D ．3（2）已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝_________． [解析] （1）由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35．（2）由（sin θ＋3cos θ）2＝1＝sin 2θ＋cos 2θ，得6sin θcos θ＝－8cos 2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－43．[答案] （1）A （2）－43若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型．考法（三） sin α±cos α、sin αcos α之间的关系[例3]（2021·某某二诊）已知α为第二象限角，且sin α＋cos α＝15，则cos α－sin α＝（）A ．75B ．－75C ．±75D ．－15[解析] 法一：（整体代入法）由sin α＋cos α＝15两边同时平方，得1＋2sin αcos α＝125，则2sinαcos α＝－2425，所以（cos α－sin α）2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925．因为α为第二象限角，所以cos α－sin α＝－75．故选B ．法二：（换元法）sin α＋cos α＝15，①令cos α－sin α＝t ．②由①2＋②2，得2sin 2α＋2cos 2α＝125＋t 2，即2＝125＋t 2，整理得t 2＝2－125＝4925，解得t ＝±75．因为α为第二象限角，所以cos α－sin α<0，故cos α－sin α＝－75．法三：（列方程法）由sin α＋cos α＝15两边同时平方，1＋2sin αcos α＝125，则2sin αcos α＝－2425，即sin αcos α＝－1225．所以sin α，cos α是方程x 2－15x －1225＝0的两根，解方程得x 1＝－35，x 2＝45．因为α是第二象限角，所以sin α＝45，cos α＝－35，所以cos α－sin α＝－75．[答案] B对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，若令sin α＋cos α＝t ，则sin αcos α＝t 2－12，sin α－cos α＝±2－t 2（注意根据α的X 围选取正、负号），体现了方程思想的应用．[题组突破]1．（2021·某某模拟）已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，sin α＝－35，则cos （π－α）的值为（） A ．－45B ．45C ．35D ．－35解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，sin α＝－35，∴cos α＝45， ∴cos （π－α）＝－cos α＝－45．答案：A2．若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是（）A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：由sin α＋cos α＝23，得（sin α＋cos α）2＝49，∴1＋2sin αcos α＝49，2sin αcos α＝－59，∵α∈（0，π），∴α为钝角．答案：D3．若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝（）A ．6425B ．4825C ．1D ．1625解析：tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425．答案：A同角三角函数关系式中的核心素养（一）数学抽象——分类讨论思想在化简求值中的应用[例1] 在△ABC 中，若sin （2π－A ）＝－2sin （π－B ），3cos A ＝－2cos （π－B ），则C ＝_________．[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＝2sin B ①，3cos A ＝2cos B ②，①2＋②2，得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22，当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A ，B 是三角形的内角，所以A ＝π4，B ＝π6，所以C ＝π－（A ＋B ）＝712π；当cos A ＝－22时，cos B ＝－32，又A ，B 是三角形的内角，所以A ＝34π，B ＝56π，不符合题意，舍去．综上，C ＝712π．[答案]712π三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘以及三角形内角和定理的应用．（二）创新应用——斜率公式与三角函数的交汇问题[例2] 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A （1，a ），B （2，b ），且cos 2α＝23，则|a －b |＝（）A ．15B ．55C ．255D ．1[解析] 由cos 2α＝23，得cos 2α－sin 2α＝23，∴cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝23，∴tan α＝±55，即b －a 2－1＝±55，∴|a －b |＝55． [答案] Bword- 11 - / 11 本题主要通过商数关系进行弦化切，结合斜率公式求解，着重考查了逻辑推理与数学运算核心素养．[题组突破]1．已知曲线f （x ）＝23x 3在点（1，f （1））处的切线的倾斜角为α，则sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝（） A ．12B ．2C ．35D ．－38解析：由f ′（x ）＝2x 2，得tan α＝f ′（1）＝2，所以sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α－12tan α＋1＝35．答案：C2．已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝_________．解析：由sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，知cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝35．因为θ为第四象限角，所以－θ为第一象限角，π4－θ为第一象限角或第二象限角．又因为cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝35，所以π4－θ为第一象限角．所以tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝43，tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－43．答案：－43。

高考一轮复习第3章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式

第二讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式知识梳理·双基自测知识梳理知识点一同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： sin 2x ＋cos 2x ＝1 . (2)商数关系： sin xcos x ＝tan x .知识点二三角函数的诱导公式重要结论1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sin x ＝tan x·cos x，tan 2x ＋1＝1cos 2x，(sinx ＋cos x)2＝1＋2sin xcos x 等．2．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k·π2＋α(k∈Z)中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·π2＋α(k∈Z)中，将α看成锐角时k·π2＋α(k∈Z)所在的象限．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × )(2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin (kπ－α)＝13(k ∈Z)，则sin α＝13.( × )[解析] (1)根据同角三角函数的基本关系式知当α，β为同角时才正确．(2)cos α≠0时才成立．(3)根据诱导公式知α为任意角．(4)当k 为奇数和偶数时，sin α的值不同．题组二走进教材2．(必修4P 22B 组T3改编)已知tan α＝12，则sin α－cos α3sin α＋2cos α＝( A )A ．－17B ．17C ．－7D ．7[解析] sin α－cos α3sin α＋2cos α＝tan α－13tan α＋2＝12－13×12＋2＝－17.故选A.3．(必修4P 22B 组T2改编)化简cos α1－sin α1＋sin α＋sin α1－co s α1＋cos α⎝⎛⎭⎪⎫π<α<3π2得( A )A ．sin α＋cos α－2B ．2－sin α－cos αC ．sin α－cos αD ．cos α－sin α[解析] 原式＝cos α1－sin α2cos 2α＋sin α1－cos α2sin 2α，∵π<α<32π，∴cos α<0，sin α<0.∴原式＝－(1－sin α)－(1－cos α)＝sin α＋cos α－2.4．(必修4P 29B 组T2改编)若sin(π＋α)＝－12，则sin(7π－α)＝ 12 ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝ 12 . [解析] 由sin(π＋α)＝－12，得sin α＝12，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2－2π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α＝12.题组三走向高考5．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( D )A ．－2－ 3B ．－2＋ 3C ．2－ 3D ．2＋ 3[解析] 由正切函数的周期性可知，tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝33＋11－33＝2＋3，故选D.另：tan 225°＝tan 75°>tan 60°＝3，∴选D.6．(2015·福建)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( D )A.125B ．－125C ．512D ．－512[解析] 因为sin α＝－513，且α为第四象限角，所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.7．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( A )A ．－79B ．－29C ．29D ．79[解析] 将sin α－cos α＝43的两边进行平方，得sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝169，即sin 2α＝－79，故选A.考点突破·互动探究考点一同角三角函数的基本关系式——师生共研例1 (1)已知α为第三象限角，cos α＝－817，则tan α＝( D )A ．－815B ．815C ．－158D ．158(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为－5 .(3)若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为－3 .[解析] (1)因为α是第三象限角，cos α＝－817，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝－1517，故tan α＝sin αcos α＝158.选D.(2)由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos 2α＝910，易知cos α<0，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. (3)由角α的终边落在第三象限，得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－c os α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.名师点拨(1)已知一个角的三角函数值求这个角的其他三角函数值时，主要是利用公式sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α求解，解题时，要注意角所在的象限．并由此确定根号前的正、负号，若不能确定角所在象限要分类讨论．(2)遇sin α，cos α的齐次式常“弦化切”，如：asin α＋bcos αcsin α＋dcos α＝atan α＋b ctan α＋d ；sin αcos α＝sin αcos α1＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α； sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α－21＋tan 2α. 〔变式训练1〕(1)若α是第二象限角，tan α＝－512，则sin α＝( C )A.15 B ．－15C ．513D ．－513(2)已知α是第二象限角，化简1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α＝ 23. (3)(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 31010 .[解析] (1)∵tan α＝－512，∴sin αcos α＝－512.∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－125sin α2＝1，∴sin α＝±513.又α为第二象限角，∴sin α＝513，故选C.(2)解法一：原式＝1－cos 2α1＋cos 2α－sin 4α1－cos 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α ＝sin 2α1＋cos 2α－sin 2αsin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α ＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α ＝2cos 2α3cos 2α＝23. 解法二：∵1－cos 4α－sin 4α＝1－(cos 2α＋sin 2α)2＋2sin 2αcos 2α＝2sin 2αcos 2α， ∴原式＝2sin 2αcos 2α1－cos 2α＋sin 2αcos 4α－cos 2αsin 2α＋sin 4α ＝2sin 2αcos 2α1－cos 4α－sin 4α＋cos 2αsin 2α ＝2sin 2αcos 2α3sin 2αcos 2α＝23. (3)由tan α＝2得sin α＝2cos α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝55×22＋255×22＝31010. 考点二诱导公式及其应用——多维探究角度1 利用诱导公式化简三角函数式例2 (1)化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 22π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α＝－1sin α .(2)化简1－2sin 10°sin 100°cos 80°－1－sin 2170°＝－1 . [解析] (1)原式＝cos α－cos αtan 2αsin α－sin α－sin α＝－cos 2α·sin 2αcos 2αsin 3α＝－1sin α. (2)∵cos 10°>sin10°，∴原式＝1－2sin 10°cos 10°sin 10°－cos 10°＝sin 210°－2sin 10°cos 10°＋cos 210°sin 10°－cos 10°＝|sin 10°－cos 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°－cos 10°－sin 10°＝－1.角度2 “换元法”的应用例3 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是 0 .[解析] 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0. 名师点拨(1)诱导公式的两个应用方向与原则：①求值：化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)注意已知中角与所求式子中角隐含的互余、互补关系、巧用诱导公式解题，常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，互补关系有π3＋α与2π3－α；π4＋α与3π4－α等．〔变式训练2〕(1)(角度1)已知f(α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α.①化简f(α)；②若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f(α)的值． (2)(角度2)(2021·唐山模拟)已知α为钝角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－74 ，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 34 .[解析] (1)①f(α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α＝－sin α·cos α·－cos α－cos α·sin α＝－cos α.②因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α，所以sin α＝－15. 又α是第三角限的角，所以cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265.所以f(α)＝265.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，因为α为钝角，所以34π<π4＋α<54π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α<0.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝－74.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34.名师讲坛·素养提升sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin xcos x 之间的关系例4 (2021·北京东城模拟)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝－125. [解析] 解法一：因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0.所以sin θ＝1213，cos θ＝－513，tan θ＝sin θcos θ＝－125.解法二：同解法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169，弦化切，得 tan θtan 2θ＋1＝－60169，解得tan θ＝－125或tan θ＝－512. 又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0.∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin θ>|cos θ|，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θcos θ＝|tan θ|>1，∴tan θ＝－125.解法三：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713，sin 2θ＋cos 2θ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－513，cos θ＝1213.(舍去)故tan θ＝－125.名师点拨sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin xcos x 之间的关系为(sin x ＋cos x)2＝1＋2sin xcos x ，(sin x －cos x)2＝1－2sin xcos x ，(sin x ＋cos x)2＋(sin x －cos x)2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．〔变式训练3〕(1)(2021·山东师大附中模拟)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( C ) A.75 B ．725 C ．257D ．2425(2)若1sin α＋1cos α＝3，则s in αcos α＝( A )A ．－13B ．13C ．－13或1D ．13或－1 [解析] (1)解法一：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝125，∴sin αcos α＝－1225，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α<0，cos α>0，∴cos α－sin α＝sin α－cos α2＝1－2sin αcos α＝75.∴1cos 2α－sin 2α＝1cos α－sin αcos α＋sin α＝257，故选C. 解法二：由解法一知⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝－75，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝45，sin α＝－35.∴tan α＝sin αcos α＝－34.∴1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝1＋tan 2α1－tan 2α ＝1＋9161－916＝257，故选C.(2)由1sin α＋1cos α＝3，可得sin α＋cos α＝3sin αcos α，两边平方，得1＋2sin αcosα＝3sin 2αcos 2α，解得sin αcos α＝－13或sin αcos α＝1.由题意，知－1<sin α<1，－1<cos α<1，且sin α≠0，cos α≠0，所以sin αcos α≠1，故选A.。

高考数学复习第3章三角函数与解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式

考向 3 证明
例 4：求证：tatannαα－·ssininαα＝tatannαα＋·ssininαα.
证明：方法一，右边＝ tan
tan2α－sin2α α－sin α·tan αsin
α
＝tantaαn－2α－sintaαn2·αtacnosα2sαin
α＝tan
tan2α1－cos2α α－sin α·tan αsin
10°cos 10° 1－cos210°.
解：原式＝ csoisn1100°°－－|scions1100°°|2＝
|sin cos
10°－cos 10°－sin
10°|＝cos 10° cos
10°－sin 10°－sin
1100°°＝1.
【规律方法】化简三角函数式应看清式子的结构特征并作有目的的变形,注意“1”的代换、乘法公式、切化弦等变形技巧, 对于有平方根的式子,去掉根号的同时加绝对值号再化简.
答案：C
【规律方法】已知sin α,cos α,tan α三个三角函数值中的一个,就可以求另外两个.但在利用平方关系开方时,符号的选择要看α属于哪个象限,这是易出错的地方,应引起重视.而当角α的象限不确定时,则需分象限讨论,不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
考向 2 化简
例
3：化简：cos11－0°2－sin
考点 2 同角三角函数基本关系式考向 1 三角函数求值例 2：(1)(2019 年新课标Ⅱ)已知 α∈0，π2，2sin 2α＝cos 2α ＋1，则 sin α＝( )
1
5
A.5
B. 5
3 C. 3
25 D. 5
解析：2sin 2α＝cos 2α＋1,即4sin αcos α＝2cos2α, 则 2sin α＝cos α, 联立2sisnin2αα＋＝ccoos2sαα＝，1 ，得 sin α＝± 55，又 α∈0，π2，∴sin α＝ 55. 答案：B

同角三角函数的基本关系与诱导公式复习教案

同角三角函数的基本关系与诱导公式复习教案教学目标：1.掌握同角三角函数的基本定义及其性质；2.理解同角三角函数之间的基本关系；3.利用同角三角函数的基本关系和诱导公式解决实际问题。

教学重点：1.同角三角函数的基本定义的理解与应用；2.同角三角函数之间的基本关系的掌握与应用。

教学难点：1.同角三角函数的基本关系的推导过程；2.同角三角函数的应用问题的解决。

教学过程：一、复习1.让学生回顾三角函数的基本定义及其性质。

二、引入1.提问：在之前的学习中，我们已经学习了不同角度上的三角函数，那么，如果两个角度相等，它们的三角函数是否相等呢？2.引导学生思考：同角三角函数指的是角度相同的两个三角函数。

根据角度相等，我们可以猜测同角三角函数之间可能存在一些关系。

三、同角三角函数的基本关系1.讲解：让我们回忆一下，三角函数中的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、余切这七个函数，它们分别由一个角所决定，对应在单位圆上的点的坐标值。

2.补充：这七个函数之间存在一些基本关系。

让我们来总结一下：- 正切函数：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)；- 余切函数：cot(θ) = cos(θ) / sin(θ)；- 正割函数：sec(θ) = 1 / cos(θ)；- 余割函数：csc(θ) = 1 / sin(θ)；- 隐含关系：sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1；- 隐含关系：1 + tan^2(θ) = sec^2(θ)；- 隐含关系：1 + cot^2(θ) = csc^2(θ)。

四、同角三角函数的诱导公式1.引导学生思考：从上述的基本关系中，我们是否可以得到其他同角三角函数之间的关系呢？2.讲解：根据角度和三角函数的性质，我们可以推导出同角三角函数的诱导公式。

- sin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)- cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β)- tan(α±β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)3.通过推导一些简单的例子，进一步巩固同角三角函数的诱导公式。

《一轮复习教学案第三章三角函数解三角形第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式》优秀教案

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式☆☆☆2021考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1理解同角三角函数的基本关系式：in2＋co2＝1，错误!＝tan；±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式。

2021，全国卷Ⅱ，9,5分同角三角函数的关系、二倍角公式2021，全国卷Ⅲ，5,5分同角三角函数的关系、二倍角公式2021，全国卷Ⅰ，6,5同角三角函数的关系，诱导公式2021，北京卷，3,5分诱导公式高考对本节内容较少直接考查，通常结合两角和差三角公式、三角函数的图象与性质进行考查。

微知识小题练自|主|排|查1．同角三角函数的基本关系1平方关系：in2α＋co2α＝1。

2商数关系：tanα＝错误!。

2．三角函数的诱导公式公式一：inα＋2π＝inα，coα＋2π＝coα，tanα＋2π＝tanα，其中∈Z。

公式二：inπ＋α＝－inα，coπ＋α＝－coα，tanπ＋α＝tanα。

公式三：in－α＝－inα，co－α＝coα，tan－α＝－tanα。

公式四：inπ－α＝inα，coπ－α＝－coα，tanπ－α＝－tanα。

微点提醒1．平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中α≠错误!＋π，∈Z。

2．利用平方关系式解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围确定。

3．化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定。

小|题|快|练一、走进教材1．必修4＝0m∈R的两根，则inθ－coD．－错误!解析∵inθ，coθ是方程22＋错误!－1＋m＝0m∈R的两根，∴inθ＋coθ＝错误!，inθcoθ＝错误!。

可得inθ＋coθ2＝1＋2inθcoθ，即错误!＝1＋m，∴m＝－错误!。

∵θ为第二象限角，∴inθ＞0，coθ＜0，即inθ－coθ＞0。

∵inθ－coθ2＝inθ＋coθ2－4inθ·coθ＝错误!－2m＝1－错误!＋错误!＝错误!，∴inθ－coθ＝错误!＝错误!。

高三数学上学期三角函数与解三角形 3同角三角函数间基本关系和诱导公式(2)教学案(无答案)(1)

同角三角函数间基本关系和诱导公式（2）【教学目标】理解同角三角函数的基本关系式，三角函数的诱导公式以及简单的运用．【教学重点】运用三角函数的基本关系和诱导公式进行三角函数的有关运算．【教学难点】合理运用三角函数的基本关系和诱导公式．【教学过程】一、知识梳理：12平方关系：；商数关系：． 3．二、基础自测： 1．1717cos(π)sin(π)44---的值为． 2．若54)540sin(0-=+α，则=-)270cos(0α ． 3．已知tan x ＝sin(x ＋π2)，则sin x ＝________．4．已知3tan 3,2απαπ=<<，则cos sin ________αα-=．三、典型例题：反思：例1．（1）已知1cos(75)3α︒+=，且18090α︒︒-<<-，求cos(15)α︒-的值．（2）已知1sin()64x π+=，求25sin()sin ()63x x ππ-+-的值．例2．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos (π－B )，求△ABC 的三个内角．【变式拓展】已知,,A B C 为ABC ∆的三个内角．求证：①sin()sin A B C +=； ②cos(2)cos A B C A ++=-； ③3tan tan 44A B Cπ++=-．例3．已知 π10,sin cos 25x x x -<<+=．（1）求sin cos x x -的值；（2）求221cos sin x x-的值．四、课堂反馈： 1．已知()2sin 3απ-=，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan =α ． 2．已知(0,)2πα∈，4cos 5α=，则sin()πα-= ． 3．已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝．4．若α是第二象限角，且1tan()2πα-=，则3cos()2πα-= ．五、课后作业：学生姓名：___________ 1．sin 600°＋tan 240°的值等于________． 2．已知1sin()45x π-=-，且02x π<<，则sin()______4x π+=． 3．已知A ＝sin(k π＋α)sin α＋cos(k π＋α)cos α（k ∈Z ），则A 的值构成的集合是_________________．4．若cos(2π－α)＝53，且α∈(－π2，0)，则sin(π－α)＝________． 5．已知α∈(π2，3π2)，tan(α－7π)＝－34，则sin α＋cos α的值为________．6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上是增函数，令2(sin)7a f π=，55(cos ),(tan )77b fc f ππ==，则,,a b c 从小到大的排列顺序为．7．若524cos ,53sin +-=+-=m m m m θθ，其中πθπ≤≤2，则tan θ= ．8．在三角形ABC 中,下列四个式子中:①sin()sin A B C +=； ②cos()cos A B C +=-；③sin(22)sin 2A B C +=-； ④cos(22)cos2A B C +=-；其中成立的是．9．已知角α终边上一点(4,3)P -，则cos()sin()2119cos()sin()22π+α-π-αππ-α+α的值为．10．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15．（1）求tan α的值；（2）把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值．11．是否存在角α，β，α∈(－π2，π2)，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos(π2－β)，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．12．如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD ，设梯形部件ABCD 的面积为y 平方米.（1）按下列要求写出函数关系式：①设2CD x =(米)，将y 表示成x 的函数关系式； ②设()BOC rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式.（2）求梯形部件ABCD 面积y 的最大值．。

高考数学复习第3章三角函数解三角形3.2同角三角函数的基本关系及诱导公式习题文市赛课公开课一等奖省名

所以 A＝π4，B＝π6，所以 C＝π－(A＋B)＝71π2.
当
cosA＝－
22时，cosB＝－
3 2.
又 A，B 是三角形的内角，所以 A＝34π，B＝56π，不符
合题意．综上，C＝71π2.
24/29
三、解答题
15
．
已
知
－
π 2
<α<0
，
且
函
数
f(α) ＝ cos 32π＋α －
sinα· 11＋－ccoossαα－1.
(1)化简 f(α)；
(2)若 f(α)＝51，求 sinα·cosα 和 sinα－cosα 的值．
25/29
解
(1)f(α) ＝ sinα － sinα·பைடு நூலகம்
1＋cosα2 1－cos2α
－
1
＝
sinα
＋
sinα·1＋sincoαsα－1＝sinα＋cosα.
(2)由 f(α)＝sinα＋cosα＝15，平方可得 sin2α＋2sinα·cosα
7/29
5. 1－s2insi4n01°0°c1o＋s1c0o°s＋80s°in10°的值为(
)
1
2
A.2 B. 2 C. 2 D. 3
解析 1－s2insi4n01°0°c1o＋s1c0o°s＋80s°in10°＝
2 cos1s0in°4－0°si·n120c°o＋s4s0i°n10°＝ 2cossi1n08°0°＝ 22.故选 B.
21/29
13．已知1－sincoxsx＝－13，则1＋sincoxsx的值是___－__3___．解析 ∵sin2x＋cos2x＝1， ∴sin2x＝1－cos2x，即1－sincoxsx＝1＋sincoxsx， ∵1－sincoxsx＝－13，∴1＋sincoxsx＝1－sincoxsx＝－3.

高考数学复习第三章三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系及诱导公式课件

A．{1，－1,2，－2}
B．{－1,1}
C．{2，－2}
D．{1，－1,0,2，－2}
解析当 k 为偶数时，A＝ssiinn αα＋ccooss αα＝2；当 k 为奇数时，A＝－sisninαα－ccooss αα＝－2.故 A＝{2，－2}．
3．化简：tanπc－osα－coαs－2ππ－siαn－sinπ－－αα＋ 32π＝___－__1_. 解析原式＝co－stπa＋nαα·c·o[s－α·si－ncπo＋sαα] ＝ta－nαc·coosαsα·s·icnoαsα＝csoi－nsααs·icnoαsα＝－1.
4．已知 cosπ6－θ＝a，则 cos56π＋θ＋sin23π－θ的值是___0____. 解析 ∵cos56π＋θ＝－cosπ－56π＋θ＝－a， sin23π－θ＝sinπ2＋π6－θ＝a， ∴cos56π＋θ＋sin23π－θ＝－a＋a＝0.
A．
12 13
B．－1123
C．
13 12
D．－1132
解析 ∵α∈π2，π，
且 cos α＝－153，
∴sin
α＝1123，则ctaonsαα＋＋π2π＝－－ccsooinss
α αα＝sin1
α＝1132.
[素养练 2] ＝___－__43___.
(2016·全国卷Ⅰ)已知 θ 是第四象限角，且 sinθ＋π4＝35，则 tanθ－π4
核心素养系列
(十七)数学运算——三角函数式化简求值中的核心素养三角运算是重要的“数学运算”，在正确分析条件和所求的基础上明确运算的方向，灵活地选用三角公式，完成三角运算.
[素养练 1] 已知 α∈π2，π，且 cos α＝－153，则ctaonsαα＋＋π2π＝( C )

2011届高三数学一轮复习教案：第三章第二节_同角三角函数关系及诱导公式

第2课同角三角函数关系及诱导公式【考点导读】1.理解同角三角函数的基本关系式；同角的三角函数关系反映了同一个角的不同三角函数间的联系．2.掌握正弦，余弦的诱导公式；诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律，起着变名，变号，变角等作用．【基础练习】1. tan600°= __ ．2. 已知α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=______． 3.已知cos 2πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且2πϕ<，则tan ϕ＝______． 4.sin15°cos75°+cos15°sin105°=______．5.已知1cos(75)3α︒+=，且18090α-︒<<-︒，则cos(15)α︒-=______．【范例解析】例1.已知8cos()17πα-=，求sin(5)απ-，tan(3)πα+的值．例2.已知α是三角形的内角，若1sin cos 5αα+=，求tan α的值．例3.已知sin()2cos()k k θπθπ+=+，()k Z ∈．求值：（1）sin 4cos 5sin 2cos αααα-+；（2）2212sin cos 45θθ+．例4.（1）设k 为整数，化简：sin()cos[(1)]sin[(1)]cos()k k k k παπαπαπα---+++．（2）证明：2212sin cos 1tan cos sin 1tan x x x x x x--=-+．【反馈演练】1．cos 2010= ______________．2．已知sin α=,则44sin cos αα-的值为_____ ． 3．“21s i n =A ”是“A =30º”的． 4．设02x π≤≤,sin cos x x =-，则x 的取值范围是（）5．若(0,2)απ∈2cos sin αα=的α的取值集合是_______________． 6．cos 43cos77sin 43cos167o o o o +____ ．7．已知cos110k ︒=，则tan80︒=．8．已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos2θ的值是． 9．已知()f x =(,)2x ππ∈，则(sin )(sin )f x f x +-= ．10．化简：（1）sin(1071)sin99sin(171)sin(261)-︒︒+-︒-︒；（211．（1）已知1cos3α=-，且02πα-<<，求2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值．（2）已知1sin()64xπ+=，求25sin()sin()63x xππ-+-的值．12．已知4tan3α=-，求（I）6sin cos3sin2cosαααα+-的值；（II）212sin cos cosααα+的值．。

2022届高考一轮复习第3章三角函数解三角形第2节同角三角函数的基本关系及诱导公式

∴cos2 α＋12sin 2α＝coss2iαn＋2αs＋incαosc2αos α＝11＋＋ttaann2αα＝35.
[答案] A
(2)已知 tan α＝－43，求 2sin2α＋sin αcos α－3cos2α 的值． [解析] ∵sin2α＋cos2α＝1，cos α≠0， ∴原式＝2sin2α＋sisnin2αα＋cocsosα2－α 3cos2α＝2tant2aαn＋2αta＋n1α－3
(2)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________．
[解析] 因为 sin 1°＝cos 89°，所以 sin21°＋sin289°＝cos289°＋sin289°＝1，同理 sin22°＋sin288°＝1，…，sin244°＋sin246°＝1，而 sin245°＝12，故原式＝44＋12＝4412. [答案] 4412
(3)在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴
对称，若 sin α＝13，则 sin β＝________．
[解析] α 与 β 的终边关于 y 轴对称，则 α＋β＝π＋2kπ，k∈Z.
∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
∴sin β＝sin(π－α＋2kπ)＝sin α＝13.
(2)已知θ是第四象限角，且 sinθ＋π4＝35，则 tanθ－π4＝__________．
[解析] 因为 θ 是第四象限角，且 sinθ＋π4＝35，所以 θ＋π4为第一象限角，所以 cosθ＋π4＝45，
所以 tanθ－π4＝csionsθθ－－π4π4 ＝－sicnosπ2＋π2＋θ－θ－π4 π4 ＝－csoinsθθ＋＋π4π4＝－43. [答案] －43
次幂子化为完全平方式，根据二次根式的性质化简或求出现根号或高次

高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第二节同角三角函数的基本关系式与诱导公式学案文-人

第二节同角三角函数的基本关系式与诱导公式1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．知识点一同角三角函数基本关系式1．平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1，其等价形式为：sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝________. 2．商数关系：__________，其等价形式为：sin α＝____________，cos α＝sin αtan α. 答案1．1－sin 2α 2.sin αcos α＝tan α cos αtan α1．已知cos α＝1213，且α是第四象限角，则sin α的值为________．解析：由于α是第四象限角，故sin α＝－1－cos 2α＝－513.答案：－5132．已知sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为________．解析：由sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，知cos α≠0，分子分母同时除以cos α可得tan α－23tan α＋5＝－5，解得tan α＝－2316.答案：－23163．(2016·新课标全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A .6425B .4825C ．1D.1625解析：通性通法：由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425.光速解法：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. 答案：A知识点二六组诱导公式－sin α cos α cos α －sin α －tan α4．计算sin 10π3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π4＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－13π3＝________.解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋4π3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋3π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π4－tan π3＝－sin π3＋2cos π4－3＝－332＋1.答案：－332＋15．已知tan α＝3，π<α<32π，则cos α－sin α＝________.解析：∵tan α＝3，π<α<32π，∴α＝43π，∴cos α－sin α＝cos 43π－sin 43π＝－cosπ3＋sin π3＝－12＋32＝3－12.答案：3－12热点一同角三角函数基本关系式的应用考向1 运用公式直接求值【例1】 (1)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A.125 B ．－125C.512D ．－512(2)sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°＝________. 【解析】 (1)因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.选D.(2)原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋12＝1＋1＋1＋ (144)＋12＝4412.故填4412.【答案】 (1)D (2)4412考向2 关于sin α，cos α的齐次式问题【例2】若tan α＝－43，则sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝________，sin 2α＋2sin αcos α＝________.【解析】sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝－43－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋2＝87.sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan α1＋tan 2α＝169－831＋169＝－825. 【答案】 87 －825有sin 2α，cos 2α及sin αcos α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin 2α＋cos 2α＝1”代换后转化为“切”后求解.(1)已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( )A ．－1－k 2B.1－k 2C ．±1－k 2D ．－k(2)已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝( ) A.22 B. 2C ．－22D ．－ 2解析：(1)由cos α＝k ，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得sin α＝1－k 2，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－1－k 2，故选A.(2)因为sin α＋2cos α＝3，所以(sin α＋2cos α)2＝3.所以sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2α＝3. 所以sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3. 所以tan 2α＋22tan α＋2tan 2α＋1＝3. 所以2tan 2α－22tan α＋1＝0.所以tan α＝22. 答案：(1)A (2)A 热点二诱导公式的应用考向1 利用诱导公式求值【例3】 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( )A ．－25B ．－15C.15D.25(2)已知A ＝sink π＋αsin α＋cos k π＋αcos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}【解析】 (1)sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝15.(2)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2. 【答案】 (1)C (2)C 考向2 巧用“角”间关系求值【例4】 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝ ________.(2)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝________.【解析】 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12.(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝－tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.【答案】 (1)12 (2)－33【总结反思】1．诱导公式用法的一般思路(1)化大角为小角．(2)角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．2．常见的互余和互补的角(1)常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．(2)常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等.(1)计算：tan π＋αcos 2π＋αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2cos －α－3πsin －3π－α＝________.(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α的值为________．解析：(1)原式＝tan αcos αcos α－cos αsin α＝－1.(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－33，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＝－33.答案：(1)－1 (2)－33热点三 sin α±cos α与sin αcos α的关系【例5】已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值．【解】 (1)解法1：联立方程 ⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin 2α－5sin α－12＝0.∵α是三角形内角， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.解法2：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225<0且0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，sin α－cos α>0. ∴sin α－cos α＝75.由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α ＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α. ∵tan α＝－43，∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257.求解此类问题的关键是：通过平方关系，对称式sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间可建立联系，若令sin α＋cos α＝t ，则sin αcos α＝t 2－12，sin α－cos α＝±2－t2(注意根据α的范围选取正、负号)，这种关系在三角函数式的化简、求值、证明中十分有用.已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15，则sin x －cos x ＝____.解析：将等式sin x ＋cos x ＝15两边平方，得sin 2x ＋2sin x ·cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x＝－2425，∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.又－π2<x <0，∴sin x <0，cos x >0，sin x －cos x <0，故sin x －cos x ＝－75.答案：－75“a sin θ＋b cos θ＝m ”型化简、求值方法已知a sin θ＋b cos θ＝m (其中a ，b ，m 为常数)，求sin θ，cos θ，tan θ等值时，有如下思路：(1)若a ＝1，b ＝±1，则利用以下三个关系式：(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ，(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2，可得a sin θ－b cos θ的值，然后解方程组得结论．(2)直接解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a sin θ＋b cos θ＝m ，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得结论．(3)构造“对偶式”b sin θ－a cos θ＝x ，两式平方并相加求得x ，然后解方程组得结论． (4)把等式平方，逆用cos 2θ＋sin 2θ＝1，化为cos θ，sin θ的齐次式，利用“弦化切”，得tan θ，再求sin θ，cos θ.【例】已知3sin α＋4cos α＝5，求tan α.【解】解法1：由题意得3sin α＝5－4cos α，两边平方，得9sin 2α＝25－40cos α＋16cos 2α，则25cos 2α－40cos α＋16＝0，解得cos α＝45，则sin α＝35，故tan α＝34.解法2：把等式两边平方，整理得9sin 2α＋24sin αcos α＋16cos 2α＝25(sin 2α＋cos 2α)，两边同时除以cos 2α，整理得16tan 2α－24tan α＋9＝0，解得tan α＝34.解法3：设4sin α－3cos α＝x ，则x 2＋25＝(4sin α－3cos α)2＋(3sin α＋4cos α)2＝25，从而有x ＝0，则tan α＝34.解法4：因为3sin α＋4cos α＝5sin(α＋φ)，其中cos φ＝35，sin φ＝45，所以sin(α＋φ)＝1，则α＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，则sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2－φ＝cos φ＝35，cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2－φ＝sin φ＝45，故tan α＝34.。

高考数学第3章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系及诱导公式创新教学案

第2讲同角三角函数的基本关系及诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：01 sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：02sinαcosα＝tanα⎝⎛⎭⎪⎫α≠π2＋kπ，k∈Z.2．三角函数的诱导公式1．概念辨析(1)对任意α，β∈R ，有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.( )(4)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．小题热身 (1)若sin α＝55，π2<α<π，则tan α＝________. 答案－12解析因为sin α＝55，π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫552＝－255，所以tan α＝sin αcos α＝－12.(2)化简：cos 2α－1sin αtan α＝________.答案－cos α解析原式＝－sin 2αsin α·sin αcos α＝－cos α.(3)sin2490°＝________；cos ⎝⎛⎭⎪⎫－52π3＝________.答案－12 －12解析 sin2490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin30°＝－12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫16π＋π＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3 ＝－cos π3＝－12.(4)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)＝________.答案－45解析因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.对应学生用书P063题型一同角三角函数关系式的应用角度1 化简与求值1．(2019·唐山模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)，则cos α＝( )A.12 B ．－12C.32D ．－32答案 A解析由任意角三角函数的定义得tan α＝32sin α，即sin αcos α＝32sin α，所以3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)．整理得2cos 2α＋3cos α－2＝0，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．角度2 sin α＋cos α、sin αcos α、sin α－cos α三者之间的关系2.(2019·四川石室中学模拟)已知α为第二象限角，且sin α＋cos α＝15，则cos α－sin α＝( )A.75 B ．－75C ．±75D.2425答案 B解析因为sin α＋cos α＝15，所以(sin α＋cos α)2＝125，即1＋2sin αcos α＝125，所以2sin αcos α＝－2425.所以(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.又因为α为第二象限角．所以cos α<0，sin α>0.所以cos α－sin α<0.所以cos α－sin α＝－75.角度3 “齐次式”问题3．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋sin αcos α的值是( )A.35 B ．－35C ．－3D ．3答案 A 解析因为sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，所以tan α＋33－tan α＝5，解得tan α＝2，所以cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan αtan 2α＋1＝1＋222＋1＝35. 1．应用同角三角函数关系式化简、求值的方法(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．如举例说明1.(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．2．sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α之间的关系问题 (1)方法：利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二．(2)关注点：根据角α终边的位置确定sin α＋cos α，sin α－cos α的符号．如举例说明2.3．sin α，cos α的齐次式的解法 (1)常见的结构①sin α，cos α的二次齐次式(如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α)的问题常采用“切”代换法求解；②sin α，cos α的齐次分式⎝ ⎛⎭⎪⎫如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α的问题常采用分式的基本性质进行变形．(2)巧用“1”的变换：1＝sin 2α＋cos 2α.如举例说明3. 1．若α是第二象限角，则tan α1sin 2α－1化简的结果是( ) A ．－1B ．1C ．－tan 2α D ．tan 2α答案 A解析因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以tan α1sin 2α－1＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1. 2．若sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin αcos α的值等于( ) A ．－25B ．－15C.25或－25D.25答案 A解析由sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25. 3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin αcos α＝229，则sin α－cos α＝________.(提示(22－1)2＝9－42)答案1－223解析因为sin αcos α＝229，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α ＝1－429＝9－429＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－132.又因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α－cos α<0，所以sin α－cos α＝1－223.题型二诱导公式的应用1．化简sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为( ) A ．1 B ．－1 C ．0D ．2答案 C解析原式＝(－sin1071°)sin99°＋sin171°sin261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＝0.2．(2019·安徽六校教育研究会联考)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝55，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为( )A.255 B ．－255C.55D ．－55答案 D解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－55. 3．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值为________．答案 0 解析因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.(1)诱导公式的两个应用方向与原则①求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)应用诱导公式的基本流程(3)巧用口诀：奇变偶不变，符号看象限．(4)注意观察已知角与所求角的关系，如果两者之差或和为π2的整数倍，可考虑诱导公式，如举例说明2中⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝π2.1．(2020·石家庄高三摸底)在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点P (3,4)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－2021π2＝( ) A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析因为角α的终边经过点P (3,4)．所以cos α＝332＋42＝35. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2021π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2－1010π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－cos α＝－35. 2．已知k ∈Z ，化简：sin k π－αcos[k －1π－α]sin[k ＋1π＋α]cos k π＋α＝________.答案－1解析当k 为偶数时，原式＝sin －αcos －π－αsin π＋αcos α＝－sin α－cos α－sin αcos α＝－1.当k 为奇数时，原式＝sin π－αcos －αsin αcos π＋α＝sin αcos αsin α－cos α＝－1.综上知，原式＝－1.题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用1．(2019·郑州模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2019π2＋α＝12，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝( )A.12 B ．－12C ．－32D.32答案 C解析因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2019π2＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫1008π＋3π2＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝sin α＝12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32. 2．在△ABC 中，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C 等于( )A.π3 B.π4 C.π2D.2π3答案 C解析因为3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，所以3cos A ＝3sin A ，所以tan A ＝33，又0<A <π，所以A ＝π6.因为cos A ＝－3cos(π－B )，即cos A ＝3cos B ，所以cos B ＝13cosπ6＝12，又0<B <π，所以B ＝π3，所以C ＝π－(A ＋B )＝π2.故选C. 3．(2019·武威六中第一次阶段性检测)已知f (α)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αtan π＋α－cos π－α2－14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋cos π－α＋cos 2π－α.(1)化简f (α)；(2)若－π3<α<π3，且f (α)<14，求α的取值范围．解 (1)f (α)＝cos αtan α＋cos α2－1－4cos α－cos α＋cos α＝sin α＋cos α2－1－4cos α＝2sin αcos α－4cos α＝－12sin α.(2)由已知得－12sin α<14，∴sin α>－12，∴2k π－π6<α<2k π＋7π6，k ∈Z .∵－π3<α<π3，∴－π6<α<π3.故α的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3. 同角三角函数关系式和诱导公式综合应用题的解法(1)使用诱导公式把求解的三角函数式化为只含一个角的三角函数式．如举例说明3. (2)使用同角三角函数的基本关系式求解该三角函数式的值，求解中注意公式的准确性．1．(2019·湖北八校联考)已知sin(π＋α)＝－13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝( ) A ．2 2 B ．－2 2 C.24D ．±2 2答案 D解析因为sin(π＋α)＝－sin α＝－13，所以sin α＝13，所以cos α＝±1－sin 2α＝±223，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos αsin α＝±2 2. 2.1＋2sin π－3cos π＋3化简的结果是( ) A ．sin3－cos3 B ．cos3－sin3 C ．±(sin3－cos3) D ．以上都不对答案 A解析因为sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3，所以原式＝1－2sin3·cos3＝sin3－cos32＝|sin3－cos3|.因为π2<3<π，所以sin3>0，cos3<0，即sin3－cos3>0，所以原式＝sin3－cos3.3．已知tan100°＝k ，则sin80°的值等于( ) A.k1＋k2B ．－k1＋k2C.1＋k2kD ．－1＋k2k答案 B解析由已知得tan100°＝k ＝tan(180°－80°)＝－tan80°，所以tan80°＝－k ，又因为tan80°＝sin80°cos80°＝sin80°1－sin 280°，所以sin 280°1－sin 280°＝k 2，注意到k <0，可解得sin80°＝－k1＋k2.对应学生用书P277组基础关1．计算：sin 11π6＋cos 10π3＝( )A ．－1B ．1C ．0 D.12－32答案 A 解析 sin 11π6＋cos 10π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π＋π3＝－sin π6－cos π3＝－12－12＝－1.2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3答案 D解析因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝sin θcos θ＝ 3.又因为|θ|<π2，所以θ＝π3. 3．已知cos31°＝a ，则sin239°·tan149°的值是( ) A.1－a2aB.1－a 2C.a 2－1aD ．－1－a 2答案 B解析 sin239°·tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝(－cos31°)·(－tan31°)＝sin31°＝1－a 2.4．若0≤2x ≤2π，则使1－sin 22x ＝cos2x 成立的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π4B.⎝⎛⎭⎪⎫3π4，πC.⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π答案 D解析显然cos2x ≥0，因为0≤2x ≤2π，所以0≤2x ≤π2或3π2≤2x ≤2π，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π.5．(2019·南昌二中模拟)已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sin α等于( )A ．sin2B ．－sin2C ．cos2D ．－cos2答案 D 解析因为r ＝2sin22＋－2cos22＝2，由任意角的三角函数的定义，得sin α＝yr＝－cos2.6．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1± 5 D ．－1－ 5答案 B解析由已知得Δ＝(2m )2－4×4×m ＝4m (m －4)≥0，所以m ≤0或m ≥4，排除A ，C.又因为sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，所以m 24＝1＋m2，解得m ＝1－5或m ＝1＋5(舍去)．7．已知tan α＝3，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( )A.12 B ．2C ．－12D ．－2答案 B解析因为tan α＝3，所以1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝tan 2α＋1＋2tan αtan 2α－1 ＝32＋1＋2×332－1＝2. 8．化简：(1＋tan 2α)(1－sin 2α)＝________. 答案 1解析 (1＋tan 2α)(1－sin 2α)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2αcos 2α·cos 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1.9．化简：sin α＋πcos π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－αtan －αcos 3－α－2π＝________. 答案－1解析原式＝－sin α－cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－tan αcos 3α＝sin αcos αcos α－sin αcos αcos 3α＝sin αcos 2α－sin αcos 2α＝－1. 10．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是________．答案－23解析因为cos(75°＋α)＝13，所以sin(α－15°)＝sin[(75°＋α)－90°]＝－cos(75°＋α)＝－13.cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13.所以sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝－23.组能力关1．已知2θ是第一象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么tan θ＝( )A.22B ．－22C. 2 D ．－ 2答案 A解析因为sin 4θ＋cos 4θ＝59，所以(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，所以sin θcos θ＝23，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝23，所以tan θtan 2θ＋1＝23，解得tan θ＝22(tan θ＝2，舍去，这是因为2θ是第一象限的角，所以tan θ为小于1的正数)．2．(2019·广州模拟)当θ为第二象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13时，1－sin θcos θ2－sinθ2的值是( )A ．1B ．－1C ．±1D ．0答案 B解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13，∴cos θ2＝13，∴θ2在第一象限，且cos θ2<sin θ2，∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos θ2－sin θ2cos θ2－sinθ2＝－1.3．已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( ) A.75 B.257 C.725D.2425答案 B解析因为－π2<α<0，所以cos α>0，sin α<0，可得cos α－sin α>0，因为(sin α＋cos α)2＋(cos α－sin α)2＝2，所以(cos α－sin α)2＝2－(sin α＋cos α)2＝2－125＝4925，cos α－sin α＝75，cos 2α－sin 2α＝15×75＝725，所以1cos 2α－sin 2α的值为257. 4．(2020·沈阳摸底)若1＋cos αsin α＝2，则cos α－3sin α＝( )A ．－3B ．3C ．－95D.95答案 C解析因为1＋cos αsin α＝2，所以cos α＝2sin α－1.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋(2sin α－1)2＝1.整理得5sin 2α－4sin α＝0，因为sin α≠0，所以sin α＝45.所以cos α＝2sin α－1＝35.所以cos α－3sin α＝35－125＝－95.5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α等于( )A.223B.13 C ．－13D ．－223答案 D 解析因为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋α.因为－π<α<－π2，所以－7π12<α＋5π12<－π12.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13>0，所以－π2<α＋5π12<－π12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223. 6．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________. 答案 44.5解析因为sin(90°－α)＝cos α，所以当α＋β＝90°时，sin 2α＋sin 2β＝sin 2α＋cos 2α＝1，设S ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°，则S ＝sin 289°＋sin 288°＋sin 287°＋…＋sin 21°，两个式子相加得2S ＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S ＝44.5. 7．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，且满足 1－sin α1＋sin α＋1cos α＝2，则cos 2α＋2sin2α＝________.答案 95解析因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以 1－sin α1＋sin α＋1cos α＝1－sin α1－sin α1＋sin α1－sin α＋1cos α＝1－sin α－cos α＋1cos α＝sin αcos α，则sin αcos α＝2，tan α＝2，而cos 2α＋2sin2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝95. 8．已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α的值．解 tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ∵sin α＝255>0，∴α为第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55，则原式＝1sin αcos α＝52；当α为第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55，则原式＝1sin αcos α＝－52.。

高三数学上学期三角函数与解三角形 2同角三角函数间基本关系和诱导公式(1)教学案(无答案)

同角三角函数间基本关系和诱导公式（1）【教学目标】理解同角三角函数基本关系式，会进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．【教学重点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式．【教学难点】运用诱导公式进行求值、化简和证明．【教学过程】一、知识梳理：1．同角三角函数的基本关系式①平方关系； ②商数关系． 2．诱导公式记忆口诀，． 3．运用诱导公式求任意角的三角函数的步骤（1）把求角的三角函数值化为求0°~360°角的三角函数值；（2）把求0°~360°角的三角函数值化为0°~90°角的三角函数值；（3）求0°~90°角的三角函数值．二、基础自测： 1．计算421cosπ的值为． 2．化简：=++βαβαα22222cos cos sin cos sin．3．(必修423P 习题15改编)已知31)6cos(-=-πα，则)32sin(απ-的值为． 4．(必修418P 练习4改编)已知2tan =α，则=ααcos sin ． 5．已知83cos sin =αα，且24παπ<<，则ααsin cos -的值是．三、典型例题：反思：例1．已知54sin =α，且α是第二象限角，求αcos ，αtan 的值．【变式拓展】已知512tan =α，求αsin ，αcos 的值．例2．已知ααcos 2sin =．（1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+；（2）αααα22cos 5cos sin 3sin 4--．例3．证明：23cos sin 1cos sin 14466=----x x x x ．【变式拓展】证明下列恒等式（1）4422sin cos 12sin cos αααα+=-；（2）2212sin cos 1tan cos sin 1tan x x xx x x--=-+．四、课堂反馈： 1．若1sin()63πα-=，则cos()3πα+= ． 2．已知(0,)2πα∈，4cos 5α=，则sin()πα-= ． 3．已知()2sin 3απ-=，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α等于． 4．若sin θ·cos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是________．五、课后作业：学生姓名：___________1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的值是________． 2．“tan α＝34”是“sin α＝－35”的____________________条件．3．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin π－θ ＝________．4．设cos 63πα-=（），则25cos sin 66ππαα+--（）（）= ．5．已知α为第四象限角，且 sin(π－α)＝－13，则tan α＝________．6．已知A 为锐角，lg(1＋cos A )＝m ，lg 11－cos A ＝n ，则lgsin A 的值为________．7．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin(3π2－θ)＝．8．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos π＋α＋sin π－α ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α＝________．9．已知sin θ＋cos θ＝15，且0≤θ≤π，求sin θ－cos θ．10．设cos()cos(2)()33cos [cos()1]sin()cos()sin()22f πθθπθθπθθπθππθ+-=+-----+． ①化简()f θ； ②若1sin(3)3πθ+=，求()f θ的值．11．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数．（1）求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋)(2x f 的值域和最小正周期；（2）若f (x )＝2f ′(x )，求1＋sin 2xcos 2x －sin x cos x的值．12．如图：一个城市在城市改造中沿市内主干道国泰路修建的圆形广场圆心为O ，半径为m 100，其与国泰路一边所在直线l 相切于点,M A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为B .市园林局计划在ABM ∆内进行绿化，设ABM ∆的面积为S （单位：2m ）（1）以θ=∠AON 为参数，将S 表示成θ的函数；（2）为绿化面积最大，试确定此时点A 的位置及面积的最大值.O国泰路B M lAN。

高考数学复习第3章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式文市赛课公开课一等奖省名师优

1
3
A.2
B. 2
C．－12
D．－
3 2
6/29
2．(必修 4 P24 习题 1－4B 组 T1 改编)已知 sinπ2 ＋α＝35，
α∈0，π2 ，则 sin(π＋α)等于( D )
A.35
B．－35
4 C.5
D．－45
解析：因为 sinπ2 ＋α＝35，α∈0，π2 ，
所以 cos α＝3，所以 sin α＝4，
α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
15/29
1.(1)已知 α 是第二象限的角，tan α＝－1，则
2 －2 5
cos α＝____5____．
(2)如果 sin x＋cos x＝1，且 0<x<π，那么 tan x 的值是( A ) 5
A．－4 3
B．－4或－3 34
C．－3 4
第三章三角函数、解三角形
第2讲同角三角函数基本关系与诱导公式
1/29
1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：__si_n_2_α__＋__c_o_s2_α__＝__1_____．
sin α (2)商数关系：tan α＝____c_o_s_α_____________．
2/29
2．六组诱导公式
组数一
二
三
四
五
六
α＋角 2kπ(k∈ π＋α
－α
π－α
π－α 2
π＋α 2
Z)
正弦 sin α _－__s_in__α_ －sin α sin α _c_o_s__α__ cos α 余弦 cos α －cos α __c_o_s_α_ －cos α sin α _－__si_n_α_

高考数学第3章三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式教学案理

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式[考纲传真] 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝t a n α.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：t a n α＝sin αcos α.2．诱导公式同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)． (3)cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)． (4)sin α＝t a n αcos α.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( )(2)若α∈R ，则t a n α＝sin αcos α恒成立． ( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角． ( )(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13. ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α等于( )A ．－513B ．－1213C.513D.1213B [∵sin α＝513，α是第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1213.]3．sin 750°＝________.12 [sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝12.] 4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)＝________.－45 [因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.]5．(教材改编)已知t a n α＝2，则3sin α－2cos α3sin α＋2cos α的值为________．12 [3sin α－2cos α3sin α＋2cos α＝3tan α－23tan α＋2＝3×2－23×2＋2＝12.] 同角三角函数关系的应用1．若α是三角形的内角，且t a n α＝－3，则sin α＋cos α的值为( )A.105 B.2105C ．－105D ．－2105C [由t a n α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，∴cos 2α＝910，易知cos α＜0， ∴cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105.] 2．(2019·合肥模拟)已知t a n α＝－34，则sin α(sin α－cos α)＝( )A.2125 B.2521C.45D.54A [sin α(sin α－cos α)＝sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1，将t a n α＝－34代入，得原式＝＝2125，故选A.]3．已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32 B.32C ．－34 D.34B [∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α， ∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32，故选B.] 4．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23C.12D ．－12B [因为(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θ·cos θ＝1－2sin θcos θ＝29.又因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin θ＜cos θ，即sin θ－cos θ＜0，所以sin θ－cos θ＝－23，故选B.] [规律方法] 同角三角函数关系式及变形公式的应用方法1利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用可以实现角α的弦切互化.2应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用sin α±cos α2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.3注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.诱导公式的应用【例1】 (1)sin(－1 200°)cos 1 290°＝________.(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝________.(3)已知A ＝sink π＋αsin α＋cosk π＋αcos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是________．(1)34 (2)0 (3){2，－2} [(1)原式＝－sin 1 200°cos 1290° ＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°) ＝－sin 120°cos 210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＝32×32＝34. (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝－a ＋a ＝0.(3)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2，因此A 的值构成的集合为{2，－2} .][规律方法] 1.诱导公式用法的一般思路 (1)化负为正，化大为小，化到锐角为止．(2)角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．2．常见的互余和互补的角(1)常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．(2)常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．3．三角函数式化简的方向 (1)切化弦，统一名． (2)用诱导公式，统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且cos α＝－513，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2cos α＋π＝( )A.1213 B ．－1213C.1312D ．－1312(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1213，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝________. (1)C (2)1213 [(1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2cos ()α＋π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2cos α＋π＝cos αsin αcos α＝1sin α，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－513，则sin α＝1213，从而tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2cos α＋π＝1sin α＝1312，故选C.(2)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1213.]同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用【例2】 (1)(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则t a n ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2，则sin 3π－α＋cos α＋π5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α的值为________．(1)－43 (2)335 [(1)由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＞0，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝35.∴t a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－t a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝－43.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，∴－sin α＝－2cos α，则sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝15.sin3π－α＋cos α＋π5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫72π－α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝8cos 3α－cos α7cos α＝87cos 2α－17＝335.][规律方法] 化简三角函数式的基本思路和要求 1基本思路①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式. 2化简要求：①化简过程是恒等变形；②结构要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.(1)(2019·唐山模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝35，那么t a n α的值为( )A ．－43B ．－34C ．±43D ．±34(2)设f (α)＝2sin π＋αcos π－α－cos π＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝________.(1)C (2)3 [sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，则sin α＝±45，所以t a n α＝sin αcos α＝±43，故选C.(2)因为f (α)＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α1＋2sin αsin α1＋2sin α＝1tan α，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6 ＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3.] 1．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A ．－79B ．－29C.29D.79A [∵sin α－cos α＝43，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝169，∴sin 2α＝－79.故选A.]2．(2016·全国卷Ⅲ)若t a n θ＝－13，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－15C.15D.45D [∵cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ 又∵t a n θ＝－13，∴cos 2θ＝1－191＋19＝45.]3．(2016·全国卷Ⅲ)若t a n α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425 B.4825C ．1 D.1625A [因为t a n α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝＝6425.故选A.]自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。