2012上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷及答案

O
D C
B
A
2012上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷
【说明】解答本试卷不得使用计算器
一、填空题（本题满分60分，前4题每小题7分，后4小题每小题8分）
1．如图，正六边形111111A B C D E F 的边长为1，它的6条对角线又围成一个正六边 形222222A B C D E F ，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是 ． 2．已知正整数1210,,, a a a 满足：3,1102
>
≤<≤j i
a i j a ，则10a 的最小可能值是 ．
3．若17tan tan tan 6
αβγ++=
，4cot cot cot 5
αβγ++=-，cot cot αβγβcot cot +αγcot cot +
5
17-
=，则()tan αβγ++= ．
4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解，则实数k 的取值 范围是 ．
5．如图，∆A E F 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知90∠=︒AEF ， ,,==>AE a EF b a b ，则=x ． 6．方程1
233
2
13+⋅-+=m
n
n m
的非负整数解(),=m n ．
7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 ．（用数字作答） 8．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,2
2
+++===
-
=++ n n n n n a a a a a n n n .若201122012
>+
m a ，则正
整数m 的最小值为 ． 二、解答题 9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB x =，1BC =， 对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=︒，记直线AB 与CD 的距离为()h x ． 求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围．
10．（本题满分14分）给定实数1a >，求函数(sin )(4sin )
()1sin a x x f x x
++=
+的最小值．
11．（本题满分16分）正实数,,x y z 满足94xyz xy yz zx +++=； 求证：（1）43
xy yz zx ++≥；（2）2x y z ++≥．
12．（本题满分16分）给定整数(3)n ≥，记()f n 为集合{}1,2,,21n
- 的满足如下两个条件的子集A 的
元素个数的最小值：①1,21n
A A ∈-∈；②A 中的元素（除1外）均为A 中的另两个（可以相同）元素的和．
（1）求(3)f 的值； （2）求证：(100)108f ≤．
2012上海市高中数学竞赛（新知杯）参考答案
1
4
2、92
3、11
4、(){},04-∞
5
2
6、()()3,0,2,2
7、
25
8、4025
9．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得
2
2
22
2
11()(1)2
2
O B O C AB BC x +=
+=
+． ① …………………（2分）
在△OBC 中，由余弦定理2
2
2
2cos BC O B O C O B O C BO C =+-⋅∠， 所以
221OB OC OC +-
⋅=， ②
由①，②得
2
O B O C ⋅=
③ …………………（5分）
所以：144sin 2
A B C D O B C S S O B O C B O C ∆==⋅⋅
∠B O C =
⋅2
12
x -=
，
故：()A B h x ⋅2
12
x -=
， 所以 ：2
1()2x h x x
-=
． …………………（10分）
由③可得，2
10x ->，故1x >．
因为2
2
2O B O C O B O C +≥⋅
，结合②，③可得：2
2
1(1)22
x +≥⋅
解得（结合1x >）
11x <≤．
综上所述，2
1
()2x h x x
-=
，11x <≤
． …………………（14分）
10．解 (sin )(4sin )
3(1)()1sin 21sin 1sin a x x a f x x a x
x
++-==++
++++．
当713
a <≤
时，02<≤
，此时：3(1)()1sin 221sin a f x x a a x
-=++
++≥++，
且当(]()sin 11,1x =
-∈-
时不等式等号成立，故min ()2f x a =+． ………（6分）
当73a >
2>，此时“耐克”函数3(1)
a y t t
-=+
在(
0,内是递减，
故此时m in 3(1)5(1)()(1)222
2
a a f x f a -+==+
++=
．
综上所述，m in 72,1;3()5(1)7,.
23a a f x a a ⎧
+<≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩
…………………（14分）
11．证 （1
）记t =
，由平均不等式：3
3
2
2
3xy yz zx xyz ++⎛⎫=
≤ ⎪⎝⎭
．
…………………（4分）
于是 32
4993xyz xy yz zx t t =+++≤+， 所以 ()()2
323320t t t -++≥，
而2
3320t t ++>，所以320t -≥，即23
t ≥
，从而43
xy yz zx ++≥
． …………………（10分）
（2）又因为：2()3()x y z xy yz zx ++≥++，
所以 2()4x y z ++≥，
故 2x y z ++≥． …………………（16分）
12．解 （1）设集合{}3
1,2,,21A ⊆- ，且A 满足（a ），（b ）．则1,7A A ∈∈．由于{}()
1,,72,3,,6m m = 不满足（b ），故3A >．
又 {}{}{}{}{}{}{}1,2,3,7,1,2,4,7,1,2,5,7,1,2,6,7,1,3,4,7,1,3,5,7,1,3,6,7, {}{}{}1,4,5,7,1,4,6,7,1,5,6,7都不满足 （b ）
，故4A >．
而集合{}1,2,4,6,7满足（a ），（b ），所以(3)5f =． …………………（6分） （2）首先证明：(1)()2,3,4,f n f n n +≤+= ． ①
事实上，若{}1,2,,21n
A ⊆- ，满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ．
令{}1
1
2
2,2
1n n B A ++=-- ，由于1
2
221n n
+->-，故()2B f n =+．
又111222(21),211(22)n n n n +++-=--=+-，所以，集合{}1
1,2,,21n B +⊆- ，且B 满足（a ），
（b ）．从而：(1)()2f n B f n +≤=+． …………………（10分）
其次证明： (2)()1,3,4,f n f n n n ≤++= ． ②
事实上，设{}1,2,,21n
A ⊆- 满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ．
令{}2
22(21),2(21),,2(21),2
1n
n
n
n
n
B A =---- ，
由于 222(21)2(21)2(21)21n n n n
n
-<-<<-<- ，
所以{}21,2,,2
1n
B ⊆- ，且()1B f n n =++．
而12(21)2(21)2(21),0,1,,1k n k n k n k n +-=-+-=- ， 2212(21)(21)n n n n -=-+-， 从而B 满足（a ），（b ），于是：(2)()1f n B f n n ≤=++． …………………（14分）
由①，②得 (21)()3f n f n n +≤++． ③ 反复利用②，③可得(100)(50)501(25)25151f f f ≤++≤+++
(12)12377(6)6192f f ≤+++≤+++
(3)3199108f ≤+++=． …………………（16分）。