自控第4章题解
国防《自动控制原理》教学资料包 课后习题答案 第四章
第4章课后习题参考答案4-1（a）（b）（c）（d）4-2（1）（2）4-3（1）（2）（j 24.20 ），K=10.14 4-4 （1）（2）（3）4-5（1）0>K （2）2>K 4-6(1)(2) 闭环极点（j 7.597.0±-），K=34.77 4-7 （1）110222-=+++s s s a（2）130202-=+ss a4-8正反馈 负反馈表明K>0对于正反馈系统不稳定，负反馈系统稳定。
4-90.707ξ=，系统开环传递函数为)4(8)(+=s s s G ，系统的单位阶跃响应为)(t h =)452sin(5.012 +--t e t4-10σωj 007.17-93.2-5-10-（1） K=5；（2）不含有衰减振荡分量的K 值范围为86.00<<K 或29>K 。
4-11 系统的开环极点为0和－p ，开环零点为－z 。
由根轨迹的幅角条件， 得π)12()()(+=+∠-∠-+∠q p s s z s 。
将ωσj s +=代入，整理有pz++︒=-+---σωσωσω111tan 180tan tan取上述方程两端的正切，并利用下列关系yx yx y x tan tan 1tan tan )tan( ±=±有p z z +=++-σωωσσω2)(，则zp z z -=++222)(ωσ，这是一个圆的方程，圆心位于（－z ，j 0）处，而半径等于zp z -2（注意，圆心位于开环传递函数的零点上）。
证毕。
4-12（1）分离点-0.465,对应K=0.88；虚轴的交点j 2± （2）88.00<<K ，阶跃响应不出现超调。
4-13（1）（2）70MAX K =4-14负反馈稳定K 值范围为0<K<73.8，正反馈稳定K 值范围为0<K<35，所以确定根轨迹增益K 的范围为0<K<35。
自动控制原理第4章 习题及解析
4-2 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下，试绘制出相应的闭环根轨迹图。
1）*()(1)(3)K G s s s s =++ 2）*(5)()(2)(3)K s G s s s s +=++解：（1）()(1)(3)*K G s s s s =++① 由G (s )知，n =3，m =0，p 1=0，p 2=–1，p 3=–3。
② 实轴上[0，–1]、[–3，∞]是根轨迹段。
③ 有n –m =3条渐近线,交点3403310-=---=a σ， 夹角︒±=60a ϕ、180°。
④ 实轴上[0、–1]根轨迹段上有分离点d 。
由0)(1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ds s G ds d 求d ：03832=++s d 解得 45.0-=d （分离点） 3742j d --=（舍去） ⑤求根轨迹与虚轴交点，令jw s =代入0)(=s D ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+-=03)(Im 04)(Re 312ωωωωωj j j D K j D 解得3±=o ω 20412*K ω==临根轨迹图见图4-2（1）（2） *(5)()(2)(3)K s G s s s s +=++①由 G (s )知， n =3，m =1，p 1=0，p 2=–2，p 3=–3，p 4=–5②实轴上[-2、0]，[-5、-3]是根轨迹段 ③有n-m=2条渐近线：0a σ=，夹角ϕa =±90°④实轴上 [-2、0] 根轨迹段上有分离点d ， 由1[]0()s dd ds G s ==求d ：3232556300s s s +++=，试凑得 s 1=-0.88 是其解，且是分离点。
根轨迹图见图4-2（2）。
4-3 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下，试绘制出相应的闭环根轨迹图。
1）*(2)()(12)(12)K s G s s j s j +=+++- 2）*2()(4)(420)K G s s s s s =+++解：（1）*(2)()(12)(12)K s G s s j s j +=+++-根轨迹图见图4-3（1）（2）*2()(4)(420)K G s s s s s =+++① n =4，m =0，p 1=0，p 2=–4，p 3、4=–2±j 4② p 1、p 2连线中点正好是p 3、p 4实部，开环极点分布对称于垂线s=–2，根轨迹也将对称于该垂线。
自动控制原理第4章课后习题答案
第4章4-1 已知系统的开环传函如下,试绘制系统参数K 从0→∞时系统的根轨迹图,对特殊点要加以简单说明. (1) ()()(4)(1)(2)K s G s H s s s s +=++ (2) ()()2(4)(420)KG s H s s s s s =+++ 解:(1)有3个开环几点,1个开环零点,固有3条根轨迹分别始于0,-1,-2; 1条根轨迹终于-4,另外2条根轨迹趋于无穷远处 实轴上的根轨迹分布在-1~0之间及-4~-2之间 渐近线条数为n-m=3-1=2 渐进线的交点12041312σ++-=-=-渐近线的倾角90θ︒=±分离点22[()()]02152480d G s H s s s s ds =⇒+++= 解得: 12s =- 其它舍去求与虚轴交点:令s j ω=代入特征方程(1)(2)(4)0s s s K s ++++=中得(1)(2)(4)0j j j K j ωωωω++++= 令上式两边实部和虚部分别相等,有226430(2)0 2.83K K K ωωωω⎧=⎧-=⎪⎪⇒⎨⎨+-==±=±⎪⎪⎩⎩绘制系统根轨迹,如图4-1(1)(2)有4个开环几点,无开环零点,有4条根轨迹,分别起始于0,-4, 24j -±终于无穷远处 实轴上的根轨迹分布在-4~0之间; 渐近线条数为n-m=4-0=4 渐进线的交点04242424j j σ++++-=-=-渐近线的倾角45,135θ︒︒=±±分离点22[()()]042472800d G s H s s s s ds=⇒+++=解得: 2s =-由()()1G s H s =得21224(2)4220K=--+--⨯+, K=64绘制系统根轨迹,如图4-1(2)图4-1(1)图4-1(2)4-2 已知系统的开环传函为(2)(3)()()(1)K s s G s H s s s ++=+(1) 试绘制系统参数K 从0→∞时系统的根轨迹图,求取分离点和会和点 (2) 试证明系统的轨迹为圆的一部分解:有2个开环极点,2个开环零点,有2条根轨迹,分别起始于0,-1; 终于-2,-3;实轴上的根轨迹分布在-3~-2之间及-1~0之间分离会和点2221,2,321[()()]02401,12123(2)()()()[()()]0[2(6)4]0203602,18()()[()()]00020,d G s H s s ds KK K s G s H s s s a d G s H s s s a s a dsa a a a s KG s H s sd G s H s s ds a s s =⇒+===-+⨯-++=+=⇒+++=⇒-+≥⇒≤≥===⇒=≤≤=23s ==解得:当10.634s =-时 由()()1G s H s =得(0.6342)(0.6343)10.070.6340.6341K K -+-+=⇒=-⨯-+当2 2.366s =-时 同理 K=13.9 绘制系统根轨迹 如图4-2证明:如果用s j αβ=+代入特征方程1()()0G s H s +=中,并经整理可得到以下方程式:2233()24αβ++=(注:实部虚部相等后消K 可得)显然,这是个圆的方程式,其圆心坐标为3(,0)2-,半径为2图4-24-3 已知系统的开环传函()()(1)(3)KG s H s s s =++(1) 试绘制系统参数K 从0→∞时系统的根轨迹图(2) 为了使系统的阶跃响应呈现衰减振荡形式,试确定K 的范围 解:有2个开环极点,无开环零点,有2条根轨迹,分别起始于-1,-3; 终于无穷远处;实轴上的根轨迹分布-3~-1之间; 渐近线条数2; 渐近线的交点13022σ+-=-=- 渐近线的倾角90θ︒=± 分离会和点[()()]0240d G s H s s ds=⇒+=解:S=-2由()()1G s H s =得1,12123KK ==-+⨯-+绘制系统根轨迹图4-3由图知 当1<K<+∞时系统的响应呈现衰减振荡形式4-4 设负反馈控制系统的开环传函为2(2)()()()K s G s H s s s a +=+试分别确定使系统根轨迹有一个,两个和三个实数分离点的a 值,分别画出图形 解:求分离点2[()()]0[2(6)4]0d G s H s s s a s a ds=⇒+++=解得s=0,或分离点为实数2203602a a a ⇒-+≥⇒≤或18a ≥当a=18时 实数分离点只有s=0 如图4-4(1)当a>18时 实数分离点有三个,分别为1,2,3(6)0,4a s -+=如图4-4(2)当a=2时2()()K G s H s s =分离点[()()]00d G s H s s ds=⇒= 即分离点只有一个s=0 如图4-4(3) 当02a ≤≤分离点有一个s=0 如图4-4(4) 当a<0时 分离点有1230,s s s ===(舍去)如图4-4(5)综上所述：当a=18,0≤a ≤2时，系统有一个分离点 当a ＞18时，系统有三个实数分离点 当a ＜0时，系统有两个分离点a=18图4-4(1) a=2图4-4(2)图4-4(3) a=1图4-4(4)图4-4(5)4-65 已知系统的开环传递函数为3(1)(3)()()K S S G S H S S++=（1）绘制系统的根轨迹。
自控第四章习题解答
自动控制原理第四章习题解答4-4解（简略解答）：渐近线：与实轴交点：35-=σ； 夹角：3)12(πθ+=k ，31πθ=，32πθ-=，πθ=3。
虚轴交点：2j ±=ω，12*≥K 时系统不稳定。
4-5解（简略解答）：根据幅角条件，利用三角函数关系可得：()22210=+ωσ。
4-6解（简略解答）：（1）渐近线3-=σ，夹角：3)12(πθ+=k ，31πθ=，32πθ-=，πθ=3。
分离点918.01-=d ，虚轴交点：74.3±=ω（2）126*=K（3）707.0=ζ时闭环极点86.086.02,1j s ±-=，64.10*=K4-8设单位反馈控制系统的开环传递函数为：)102.0)(101.0()(++=s s s Ks G ，要求（1）画出准确根轨迹；（2）确定系统的临界稳定开环增益c K ； （3）确定与系统临界阻尼比相应的开环增益K 。
解：（1）)100)(50(5000)(++=s s s K s G①起点0，-50，-100，且均终止于无穷远处； ②分支数：3=n ，有3条根轨迹；③实轴上的根轨迹：]100,[--∞，]0,50[-； ④渐近线：与实轴交点：50310050-=--=σ；夹角：3)12(πθ+=k ，31πθ=，32πθ-=，πθ=3。
⑤分离点和会合点：010015011=++++d d d整理得：0500030032=++d d解之得：3.211-=d （在根轨迹上，保留），3.212=d （不在根轨迹上，舍去） 根轨迹如图所示：（2）临界开环增益c K 为根轨迹与虚轴交点对应的开环增益。
050005000150)(23=+++=K s s s s D令ωj s =带入上式可得：0)5000(500015032=+-++-ωωωj K即：⎩⎨⎧=+-=+-050000500015032ωωωK ，解之得：71.7050002,1±=±=ω，0=ω（舍去） （3）系统处于临界阻尼比1=ζ，相应的闭环根位于分离点处，即要求分离点d 对应的K 值。
自动控制原理第4章习题解——邵世凡
第四章 习题4-1 绘制具有下列开环传递函数的负反馈系统的根轨迹1、()()()()54*++=s s s K s H s G解：首先确定开环传递函数中的零极点的个数各是多少。
由开环传递函数可知 m=0，n=3，n -m=3。
即，有限零点为0个，开环极点为3个。
其中，3个开环极点的坐标分别为：p 1=0，p 2=-4，p 3=-5。
然后，在[s]平面上画出开环极点的分布情况，根据根轨迹方程的幅角条件：首先确定实轴上的闭环系统的根轨迹。
如图所示。
接着再通过所需参数的计算画出比较精确的根轨迹通过画实轴上的根轨迹图可知，有3条闭环根轨迹，分别从p 1=0，p 2=-4，p 3=-5出发奔向无穷远处的零点。
在这一过程中，从p 1=0，p 2=-4两个极点出发的根轨迹在实轴上相遇后进入复平面，因此，有必要进行分离点的坐标计算，渐进线在实轴上的坐标点和渐进线的角度计算，以及与虚轴交点的计算。
根据公式有：渐进线303054011-=----=--=∑∑==mn zp n i mj jiσ()() ,,331212ππππϕ±±=+=-+=k mn k a从p 1=0，p 2=-4两个极点出发的根轨迹在实轴上相遇后将沿着±60º进入复平面，分离点：设：()1=s N ；()()()s s s s s s s D 2095423++=++=；()0'=s N ；()201832'++=s s s D则有：()()()()()0201832''=++-=⋅-⋅s s s D s N s D s N[s ]0201832=++s s解得方程的根为s 1= -4.5275（不合题意舍去）；s 2= -1.4725 得分离点坐标：d = -1.4725。
与虚轴的交点：在交点处，s=j ω，同时也是闭环系统的特征根，必然符合闭环特征方程，于是有：()020********=++--=+++*=*K j j K s s sj s ωωωω整理得： 0203=-ωω；092=-*ωK 解得01=ω；203,2±=ω；18092==*ωK 最后，根据以上数据精确地画出根轨迹。
自动控制原理课后习题第四章答案
然后，根据闭环传递函数的定义，闭环传递函数F(s)=G(s)/(1+G(s)H(s))。
解析3
将G(s)H(s)代入闭环传递函数的定义中，得到F(s)=100/((s+1)^2+3)/(1+100/((s+1)^2+4)((s+1)^2+3))。
解析4
化简得到F(s)=100/((s+1)^2+3)(4((s+1)^2+3))=400/(4(s^2+2s+3))。
1)(s + 2)/(s^2 + 3s + 2)。
04
题目四答案
题目内容
• 题目四：已知系统的开环传递函数为 G(s)H(s)=K/(s^2+2s+2)，其中K>0，试 求系统的闭环极点和稳定性。
答案解析
闭环极点
根据开环传递函数，我们可以求出闭环传递函数为 G(s)H(s)/(1+G(s)H(s))，然后求出闭环极点。由于开环传递函 数为K/(s^2+2s+2)，所以闭环极点为-1±√2i。
标准形式，即 G(s)H(s) = (s + 1)(s + 2)/(s^2 + 3s + 2)。
02
解析二
根据开环传递函数的分子和分母，可以得出系统的开环传递函数为
G(s)H(s) = (s + 1)(s + 2)/(s^2 + 3s + 2)。
03
解析三
根据开环传递函数，可以求出系统的闭环传递函数为 G(s)H(s) = (s +
自动控制原理课后习题第四章 答案
自动控制原理第四章习题解答
4-1 设单位反馈控制系统的开环传递函数 1)(+=∗s K s G试用解析法绘出∗K 从零变到无穷时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上： （－２＋ｊ０）， （０＋ｊ１）， （－３＋ｊ２） 解：有一个极点：（－1＋ｊ０），没有零点。
根轨迹如图中红线所示。
（－２＋ｊ０）点在根轨迹上，而（０＋ｊ１）， （－３＋ｊ２）点不在根轨迹上。
4-2 设单位反馈控制系统的开环传递函数 )12()13()(++=s s s K s G 试用解析法绘出开环增益K 从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。
解：系统开环传递函数为)2/1()3/1()2/1()3/1(2/3)(++=++=s s s K s s s K s g G 有两个极点：（0＋ｊ０），（－1/2＋ｊ０），有一个零点（-1/3，j0）。
根轨迹如图中红线所示。
4-3 已知开环零、极点分布如图4-28所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。
图4-28 开环零、极点分布图4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图(要求确定分离点坐标d)： (1) )15.0)(12.0()(++=s s s Ks G解：系统开环传递函数为)2)(5()2)(5(10)(++=++=s s s K s s s Ks g G 有三个极点：（0＋ｊ０），（－2＋ｊ０），（－5＋ｊ０）没有零点。
分离点坐标计算如下：051211=++++d d d 3解方程的010142=++d d 7863.31−=d ，d 88.02−=取分离点为88.0−=d根轨迹如图中红线所示。
（2） )12()1()(++=s s s K s G解：系统开环传递函数为)5.0()1()5.0()1(2/)(++=++=s s s K s s s K s g G有两个极点：（0＋ｊ０），（－0.5＋ｊ０），有一个零点（－1＋ｊ０）。
分离点坐标计算如下：115.011+=++d d d 解方程的05.022=++d d 7.11−=d ，d 29.02−=取分离点为7.11−=d ，29.02−=d 根轨迹如图中红线所示。
薛安克第二版自动控制原理第四章习题参考答案
（a）（b）（c）σ=，渐近线与实轴夹角90度（d）渐近线与实轴交点0a1230, 0, 1p p p ===-1. 实轴上的根轨迹(,1) (0,0)-∞-2. 渐近线：3n m -=3条根轨迹趋向无穷远处的渐近线相角为180(21)60,180 (0,1)3a q q ϕ︒+=±=±︒︒= 渐近线与实轴的交点为11001133n mi ii j a p zn mσ==---===--∑∑ 3. 分离点（会合点）：系统的特征方程为21+()10(1)KG s s s =+=+即 232=(1)K s s s s -+=--2=320dKs s ds--=(32)0s s +=根 10s =，20.667s =-（舍去）4. 与虚轴的交点：令 s j ω= 代入特征方程 21+()10(1)KG s s s =+=+2(1)=0s s K ++2()(1)=0j j K ωω++2(1)=0j K ωω-++2=0K j ωω--2=00K ωω⎧-⎨=⎩=0ω （舍去）与虚轴没有交点，即只有根轨迹上的起点，也即开环极点 1,20p = 在虚轴上。
4.5 开环传递函数为2()(6)(645)K G s s s s s =+++ 开环极点为123,40, 6, 36p p p j ==-=-±1. 实轴上的根轨迹：(6,0)-2. 渐近线：4n m -=，共有4条渐近线，4条根轨迹趋向无穷远处的渐近线相角180(21)45,135 4a q ϕ︒+=±=±︒±︒ 渐近线与实轴的交点为116363634n mi ii j a p zj jn mσ==---+--===--∑∑3. 分离点（会合点）：系统的特征方程为21+()10(6)(645)KG s s s s s =+=+++ 即 2432(6)(645)(1281270)K s s s s s s s s =-+++=-+++=0dKds根 13s =-，2,33s j =- 4. 与虚轴的交点：令 s j ω= 代入特征方程 21+()10(6)(645)KG s s s s s =+=+++4324231281270081012270=0s j j j K K j j ωωωωωωωωω=--++=-+=-+令，得实部： 虚部：解得：=0= 4.74=1316.25K ωω±（舍去），，5. 出射角：出射角公式11,()180(2)()1r nr mj r rp i j i j p z p p k θ==≠=±+∠︒--∠-+∑∑极点23+2s j =-的出射角为 22211,2(63.41180(21)()(0)=16.690)180(21)=90mnp i j i j j k p z p p k θ==≠-︒+︒+=±︒++∠--∠-±︒︒++-︒∑∑Locus of E xample 4-5 in P 72ReI m。
自动控制原理简明教程 第四章 根轨迹法 习题答案
方程求得。
k* 2 3 3
2
1
2 3 2 2 3 1
解得： k* 3(3 3)
1 3
特征根s=0处对应的 k * 值也利用模值方程求得：
k* 3 2 2 1
1
k*
4 3
满足稳定性时，k* 4 要使系统的三个根均为负
实根，则：
3
k* 4 3
0 k* 3(3 3) 1 3
0 k*
另一个闭环极点为 S3 ，则
(S S3 )(S 1)2 S (S 3)2 4
则解得：
(S S3 )(S 1)2 S (S 1)2 4(S 1)2 (S 4)(S 1)2
则 (S S3) S 4 S3 4 （另外一个闭环极点） 临界阻尼时的闭环传递函数为
(S)
(S
4(S 1) 4)(S 1)2
(2
j) (2 3
j)
4 3
渐近线与实轴正方向夹角
a
(2k 1)
nm
,
3
分离点： 1 1 1 0
d d 2 j d 2 j
整理得：3d 2 8d 5 0
解得：d1,2
8 6
2
d1 1 d2 1.67
分离角
l
180 l
180 2
900
把 S j 代入特征方程：
1
k*
n
m
a
i 1
Pi Zi
i 1
nm
(3) (3) 3
2
渐近线与实轴正方向夹角：
a
(2k 1)
nm
, ,
33
分离点： 1 1 1 0
d d 3 d 3
解得：d 1, a S (S 3)2 (1) 4 4
自控控制原理习题 王建辉 第4章答案
4-1 根轨迹法使用于哪类系统的分析?4-2 为什么可以利用系统开环零点和开环极点绘制闭环系统的根轨迹?4-3 绘制根轨迹的依据是什么?4-4 为什么说幅角条件是绘制根轨迹的充分必要条件?4-5 系统开零环、极点对根轨迹形状有什么影响？4-6 求下列各开环传递函数所对应的负反馈系统的根轨迹。
(1))2)(1()3()(+++=s s s K s W g K (2))2)(3()5()(+++=s s s s K s W g k (3) )10)(5)(1()3()(++++=s s s s K s W g k解：第（1）小题 由系统的开环传递函数)2)(1()3()(+++=s s s K s W g K 得知1． 起点：0=g K 时，起始于开环极点，即 11-=-p 、22-=-p2． 终点：=∝g K 时，终止于开环零点，31-=-z3． 根轨迹的条数，两条，一条终止于开环零点，另一条趋于无穷远。
4． 实轴上的根轨迹区间为3~-∝-和1~2--5． 分离点与会合点，利用公式0312111=+-+++d d d ()()()()()()()()()0321213132=+++++-+++++d d d d d d d d d 即：0762=++d d解上列方程得到：586.11-=d ，414.42-=d根据以上结果画出根轨迹如下图：解：第（2）小题 由系统的开环传递函数)2)(3()5()(+++=s s s s K s W g K 得知1． 起点：0=g K 时，起始于开环极点，即 00=-p 、21-=-p 、32-=-p2． 终点：=∝g K 时，终止于开环零点，51-=-z3． 根轨迹的条数，三条，一条终止于开环零点，另两条趋于无穷远。
4． 实轴上的根轨迹区间为3~5--和0~2-5． 分离点与会合点，利用公式05131211=+-++++d d d d 8865.0-=d6． 根轨迹的渐进线 渐进线倾角为：0009013)21(180)21(180 =-+=-+=μμϕm n 渐进线的交点为：01352311=--+=---=-∑∑==m n z p m i in j j k σ 根据以上结果画出根轨迹如下图：解：第（3）小题 由系统的开环传递函数)10)(5)(1()3()(++++=s s s s K s W g K 得知1． 起点：0=g K 时，起始于开环极点，即 10-=-p 、51-=-p 、102-=-p2． 终点：=∝g K 时，终止于开环零点，31-=-z3． 根轨迹的条数，三条，一条终止于开环零点，另两条趋于无穷远。
自动控制原理第四章答案
自动控制原理第四章答案在自动控制原理的学习中，掌握第四章的知识是非常重要的。
本章主要介绍了控制系统的稳定性分析，包括了稳定性的概念、稳定性的判据以及稳定性的研究方法。
下面将对第四章的习题答案进行详细解析，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一部分的内容。
1. 试述控制系统的稳定性概念及其重要性。
控制系统的稳定性是指在一定的工作条件下，系统的输出能够有限地保持在某个范围内，不会发散或者不会无限增大。
稳定性是控制系统正常工作的基础，一个稳定的控制系统才能够实现预期的控制效果，否则就会出现失控的情况，甚至导致系统崩溃。
因此，稳定性是控制系统设计和分析中非常重要的一个指标。
2. 什么是控制系统的稳定性判据？试述Routh-Hurwitz准则的基本思想。
控制系统的稳定性判据是用来判断系统的稳定性的方法和标准。
Routh-Hurwitz准则是一种常用的稳定性判据，其基本思想是通过构造一个特殊的矩阵，来判断系统的特征方程的根的实部是否都小于零，从而确定系统的稳定性。
通过计算特征方程的系数，可以得到一个关于这些系数的表达式，通过这个表达式的符号来判断系统的稳定性。
3. 试述根轨迹法的基本原理及应用条件。
根轨迹法是一种图解法，通过绘制系统的特征方程在复平面上的根轨迹图来判断系统的稳定性。
其基本原理是根据系统的传递函数，找出特征方程的根，并根据这些根在复平面上的分布情况来判断系统的稳定性。
根轨迹法的应用条件是系统的传递函数必须是一个真分式，即分子次数小于分母次数，且分母的所有根必须是实数或者成对共轭的复数。
4. 试述Nyquist稳定性判据的基本原理及应用条件。
Nyquist稳定性判据是一种基于系统的开环频率特性曲线（Nyquist曲线）来判断系统稳定性的方法。
其基本原理是通过绘制系统的开环频率特性曲线，然后根据曲线的形状和特征来判断系统的稳定性。
Nyquist稳定性判据的应用条件是系统必须是线性时不变系统，并且系统的传递函数必须是一个真分式。
自动控制原理参考答案-第4章
ts
=
3 ξωn
= 5.24
(3) 该点对应的根轨迹放大倍数和开环放大倍数：
Kg
=
|
s
|⋅|
s +1|⋅| s |s+2|
+3|
=
0.943 (计算这个值，可代入该阻尼比的根轨迹上任
意一个根，为了计算方便代 s3
=
−2.848 )； K
=
2 3
Kg
=
0.63
(4) 稳态速度误差系数：
Kv
=
lim sG(s)H (s)
s4
1
11 4Kg
s3
6
6
4Kg
s1
360
− 90Kg
−
K
2 g
60 − Kg
s0
4Kg
令 360
− 90Kg
−
K
2 g
=
0 ，解得
K g1
=
3.84
，
Kg2
=
−93.84
(舍去)
当 Kg = 3.84 时， 9.36s2 +15.36 = 0 ⇒ s = ± j1.28
= ±180o − 90o −135o + 26.6o = m18.43o 根轨迹如下图：
(3) 根轨迹方程：
s+2
=− 1
(s +1+ j)(s +1− j) Kg
a) 零点与极点： z1 = −2 ， p1 = −1+ j ， p2 = −1− j
b) 分离点与会合点：
在实轴上只有一个零点，在其右侧无根．则两个极点一个趋向负无穷，
出射角： βsc = m18.4o
自动控制原理(北大丁红版)第四章习题解答
0.4356 s 0.665s 0.4356
2
可以近似地运用典型二阶系统估算系统的时域性能指标： 超调量： % e 调节时间： t s
当 a 9 时，例如 a 10 ，求得： 根轨迹起于 0，0，-10； 根轨迹终止于-1 和无穷远点； 根轨迹的渐近线与实轴交于-4.5； 根轨迹的渐近线与实轴的夹角为 90 ， 90 ；
o o
实轴上根轨迹区间为：[-10,-1]； 根轨迹的分离点为：-2.5，-4。 系统的根轨迹如下图所示
负反馈系统在 0 K * 12 时是稳定的； 当 K : 0 时，正反馈系统恒不稳定。
*
4.8 解： n 3 ， m 0 ；根轨迹分离点 d 1 交点为
3 0.42 ，对应的 K 0.192 ；与虚轴的 3
2 j ，对应的 K 3 ，根轨迹如图所示。
Im
o o
Re
4.13 解：闭环系统特征方程为：
1 G ( s) H ( s) 0
因为 H ( s ) 1 ，则 1 G ( s ) 0 ， Ts s 3s 2 0
o o o
分离点的计算：
K*
s 2 ( s 2)( s 4) s 1
dK * 令 0 ，求得分离点在-3.08 和 0 处。 ds
根轨迹如下图所示：
Root Locus 3 2 Imaginary Axis 1 0 -1 -2 -3 -5
-4
自动控制原理第四章答案
自动控制原理第四章答案在自动控制原理的学习中，第四章是一个重要的环节，本章主要讲解了控制系统的稳定性。
在这一章节中，我们将学习如何分析控制系统的稳定性，并且掌握相应的解决方法。
接下来，我将为大家详细介绍第四章的内容及答案。
1. 什么是控制系统的稳定性？控制系统的稳定性是指当系统受到干扰时，系统能够保持平衡状态或者在一定的范围内回到平衡状态的能力。
在控制系统中，稳定性是一个非常重要的指标，它直接关系到系统的可靠性和性能。
2. 如何分析控制系统的稳定性？要分析控制系统的稳定性，我们通常采用的方法是利用系统的传递函数进行分析。
通过传递函数的极点和零点，我们可以判断系统的稳定性。
另外，我们还可以利用根轨迹法、Nyquist法、Bode图等方法进行分析。
3. 控制系统的稳定性解决方法有哪些？针对不同的稳定性问题，我们可以采取不同的解决方法。
比如，对于系统的根轨迹出现在右半平面的情况，我们可以采取根轨迹设计法进行修正；对于系统的相位裕度不足的情况，我们可以采取相位裕度补偿的方法进行调整。
4. 控制系统的稳定性分析在工程中的应用。
控制系统的稳定性分析在工程中有着广泛的应用，比如在飞行器、汽车、机器人等自动控制系统中，稳定性分析是至关重要的。
只有保证了系统的稳定性，才能确保系统的可靠性和安全性。
5. 总结。
通过本章的学习，我们对控制系统的稳定性有了更深入的了解。
掌握了稳定性分析的方法和解决方案，我们可以更好地应用于工程实践中，提高系统的性能和可靠性。
希望本文的内容能够帮助大家更好地理解自动控制原理第四章的内容，并且在学习和工程实践中取得更好的成绩。
自动控制原理第四章课后习题答案(免费)
自动控制原理第四章课后习题答案（免费）4－1 判断下列二次型函数的符号性质：(1) 222123122313()4262Q x x x x x x x x x x =++--- 解:()T V x x px =,其中:111143131P --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,P 的各阶主子式:12310,30,160p =>=>==-< 所以,此二次型函数不定.(2) 222123122313()31122Q x x x x x x x x x x =---+-- 解: ()T V x x px =,其中111113211112P ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦,P 的各阶主子式:12310,20,17.50p =-<=>==-< 所以,P 为负定的.4-2 已知二阶系统的状态方程：11122122a a x x a a •⎛⎫= ⎪⎝⎭试确定系统在 平衡状态处大范围渐进稳定的条件。
解:坐标原点为该系统的一个平衡点,选取李亚普诺夫函数为()T V x x px =,其中:T A P PA Q +=-,取Q=I 得:112111121112111212221222122221221001a a p p p p a a a a p p p p a a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,展开可得,其中1221p p =:11112112111221221111211212112212121122121212222211122122121222221001a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p ++++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++-⎣⎦⎣⎦⎣⎦()211211111121121112122222121222111222121211212222111222121211212211221212112122122212221120200a p p a p a p a a p a p a p p a p a p a p a p a a p a p a p a p a a p a p a p --⎧=⎪+=-⎧⎪⎪+=---⎪⎪→=⎨⎨+++=⎪⎪⎪⎪+++=+++=⎩⎪⎩()()21121212112212122111221122211112221122221112212211122112120222a p a p a a p a a a a a a a a p a a a a a a a a a a ----⇒++⋅+⋅=+=+--1222211112211122112221122()()a a a a p p a a a a a a +⇒==+-解之得:221122211221221111221122211222112221121112221122112212212()()2()()a a a a a a p a a a a a a a a a a a a p a a a a a a ⎧-++=⎪+-⎪⇒⎨-++⎪=-⎪+-⎩要使矩阵P 为正定的,则应使:1112112212210,0p p p p p =>=->于是得:22112212212112211221221()()04()()a a a a a a a a a a ++->+-,即:112212*********,00a a a a p a a ->>⇒+< 综上所述在平衡点出渐进稳定的充要条件为:1122112212210,0a a a a a a +<-> 系统为线性的,所以满足上述条件即可满足大范围渐进稳定.4－3 以李雅普诺夫第二方法确定下列系统原点的稳定性：（1）1123x x •-⎛⎫= ⎪-⎝⎭解:求平衡点，12120230x x x x -+=-=，可得00e x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为唯一的平衡点。
自动控制原理课后答案第4章
5
的不同，系统的稳定性和动态性能不一定能同时得到满足。因此，只有当附加开环零点的位 置选配得当，才有可能使系统的稳态性能和动态性能同时得到显著改善。 ② 增加开环极点 增加开环极点后，系统阶次升高，渐近线数量增加，使得渐近线与实轴的夹角变小，从 而导致根轨迹向右弯曲，致使系统不稳定成分增加。同时，实轴上的分离点也向右移动。系 统响应减缓，过渡过程延长，调节时间增加，系统的稳定性降低。当增加的极点在[-1,0]范 围内时，越靠近虚轴的极点，其产生的阶跃响应振荡越剧烈，稳定性越差；而当增加的极点 在(-∞, -1)范围内时，越远离虚轴的极点，对根轨迹的影响越小，从而对系统的动态性能影 响越小。
式中，A(s)为开环传递函数的分母多项式，B(s)为开环传递函数的分子多项式。则分离点或 会合点坐标可用下式确定，即 A( s) B '( s ) A '( s ) B ( s ) 0 3）极值法
dK 0 ds
规则 7：根轨迹的出射角和入射角 根轨迹的出射角是指根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角，如图 4-2 中的角 p1 ； 而根轨迹的入射角是指根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向的夹角， 如图 4-2 中的角 z1 。
n n
n l
m
s
l 1
n
(1) n pi (1) m K z j
i 1
n
j 1
( 1)
n
s
l 1
l
(1)
nLeabharlann pi 1i
K （系统无开环零点时）
5、根轨迹与系统性能之间的关系 根轨迹可以直观地反映闭环系统特征根在[s]平面上的位置以及变化情况，所以利用根轨 迹可以很容易了解系统的稳定性和动态性能。除此之外，由于根轨迹上的任意一点都有与之对 应的开环增益值，而开环增益又与系统稳态误差有一一对应的关系，因此通过根轨迹也可以 确定出系统的稳态误差，或者根据给定系统的稳态误差要求，来确定闭环极点位置的容许范 围。由此可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
自动控制原理孟华第4章习题解答
4-1如果单位反馈控制系统的开环传递函数G(s) 彳s 1试用解析法绘出K从零向无穷大变化时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上(2, j 0)，(0+j 1)，( 3+j2)。
解：根轨迹如习题4-1答案图所示。
(-2，+j 0)在根轨迹上；(0,+ j1), (-3,根轨迹上。
4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数。
解：解析法：K=0 时：s=-1/2 , 0; K=1: s=-1 ± 2/2 ; K=-^：s=-m, -1/3。
题4-2答案图所示。
+j 2)不在试用解析法给出开环增益G(s)K(3s 1)s(2s 1)K从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。
根轨迹如习习题4-1答案图习题4-2答案图4-3已知系统的开环传递函数G(s)H(s)黑，试按根轨迹规则画出该系统的根轨迹图，并确定使系统处于稳定时的K值范围。
解：分离点：；会合点：；与虚轴交点：土j。
稳定的K值范围：K>1o 根轨迹如习题4-3答案图所示。
习题4-3答案图4-4已知一单位反馈系统的开环传递函数为与虚轴交点和；使系统稳定的开环增益为v K v (即 v K *v 。
G(s)(1) 试粗略画出K *由0到a 的根轨迹图;解：稳定性分析：系统不稳定。
根轨迹如习题4-4答案图所示。
Root Locus864s xA y a g m-4 -6-8 ________________________ | ________________________ : ________________________ -10 -5 0 5Real Axis习题4-4答案图迹图，并确定使系统稳定的开环增益范围。
K 2 (s 1)(s 1)(s 4)2(2)分析该系统的稳定性。
-2 4-5设控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)K (s 1) s(s 1)(s 2 4s 16)，试绘制系统根轨解：渐近线：=60°，180=-2/3 ;复数极点出射角m55° ;分离会合点和;4-6已知系统的特征方程为(s 1)(s 3)(s 1)(s 3) K(s24) 0试概略绘出K由O TR时的根轨迹(计算出必要的特征参数) 。
自动控制原理第四章课后答案
点),3(j -不在根轨迹上。
（3）求5.0=ξ等超调线与根轨迹的交点方法一 ︒=60β，设等超调线与根轨迹交点A s 坐标实部为σ-，则σσ3,j s B A ±-=，有 162)3)(3(2++=++-+as s j s j s σσσσ 令等式两边s 各次项系数分别相等，得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==4216422a aσσσ 方法二 由特征方程01622=++as s ，按照典型二阶系统近似计算得：⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==442162a an n n ωξωω 另外，把n n n n j j s ωωωξξω87.05.012+-=-+-=代入特征方程也可求得同样结果。
2-4-6 已知单位负反馈系统的开环传递函数为)1(4/)()(2++=s s a s s G（1）试绘制参数a 由+∞→0变化的闭环根轨迹图；（2）求出临界阻尼比1=ξ时的闭环传递函数。
【解】：（1）系统特征方程为01)144(04401)1(4)(2232=+++⇒=+++⇒=+++s s s a a s s s s s a s等效开环传递函数为： 22)5.0(25.0)144()(+=++='s s a s s s as Ga 由∞→0变化为一般根轨迹。
① 开环极点5.0,03,21=-=-p p 。
② 渐近线与实轴的交点：31-=-σ，渐近线倾角：︒︒︒=300,180,60θ。
③ 实轴上的根轨迹在区间]0,(-∞。
④ 分离点 由 0)()()()(='-'s Q s P s Q s P 得 025.0232=++s s 解得5.01-=s 为起点，17.0612-=-=s 为分离点。
074.0=a 。
⑤ 根轨迹与虚轴的交点 令ωj s =，代入特征方程得⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+-=+-⇒=++--15.0025.0025.0025.025.02323a a a j j ωωωωωωω⑥ 该系统根轨迹如题2-4-6解图所示。
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第四章 根轨迹分析法4．1根轨迹法1．控制系统的根轨迹 1) 根轨迹的定义当控制系统的某一参数发生变化时，闭环系统的特征方程的根在S 平面上的变化轨迹称为系统的根轨迹。
通过控制系统的根轨迹对系统的性能进行分析的方法称为根轨迹法。
2) 根轨迹方程设控制系统的开环传递函数为：1*1()()()()mjj nii s z G s H s Ks p ==-=-∏∏式中，*K 称为根轨迹增益，j z 、i p 分别为系统的开环零点和极点，系统的闭环特征方程为:1()()0G s H s +=则控制系统的根轨迹方程为：1*1()1()mj j n ii s z Ks p ==-=--∏∏注意：当控制系统的开环传递函数的表述形式为：11(1)()()(1)mjj n ii s G s H s KT s τ==+=+∏∏在式中K 称为开环增益，j τ，i T 为系统的时间常数，*K 与K 存在以下的关系：1*1mjj n ii K KTτ===∏∏2．绘制根轨迹的条件 1) 180°根轨迹当系统的闭环特征方程是式时，所对应的根轨迹称为180°根轨迹。
由根轨迹方程就可以得到绘制180°根轨迹的条件：幅值条件: 1*1()|()()|1()mjj nii s z G s H s Ks p ==-==-∏∏相角条件：11()()()()(21)(0,1,2,......)n mi j i j G s H s s p s z k k π==∠=∠--∠-=+=±±∑∑2) 0°根轨迹当系统的闭环特征方程为式时，1()()0G s H s -=所对应的根轨迹称为0°根轨迹。
由根轨迹方程就可以得到绘制0°根轨迹的条件:幅值条件: 1*1()|()()|1()mjj nii s z G s H s Ks p ==-==-∏∏相角条件：11()()()()2(0,1,2,......)n mi j i j G s H s s p s z k k π==∠=∠--∠-==±±∑∑3) 参数根轨迹当根轨迹增益*K 变化时，所得到的根轨迹称为常规根轨迹。
当控制系统中的变化参数不是根轨迹增益*K 时，此时根据其它变化参数绘制的根轨迹称为参数根轨迹，或者广义根轨迹。
当系统的闭环特征方程为式，其变化参数不是*K ，而是其它参数*T 时，用其中不含可变参数的所有相同时除以方程的两边，将方程转换成如下形式：*()1()M s T N s =- 其中，()M s 、()N s 为不包含参数*T 的多项式，这样就可以依据常规根轨迹的原则绘制控制系统的根轨迹。
3．绘制根轨迹的基本法则通常绘制根轨迹并不需要在S 平面上逐点描绘它的曲线，而是可以根据一些绘制法则，快捷、准确的绘制系统的根轨迹。
这些基本法则见表。
表绘制根轨迹的基本法则序号内容法则180°根轨迹0°根轨迹根轨迹的分支数根轨迹的分支数等于开环极点的个数n根轨迹的对称性根轨迹连续且对称于实轴根轨迹的起点和终点根轨迹起始于系统的n个开环极点，终止于系统的m个开环零点和n－m个无穷大开环零点实轴上的根轨迹实轴上根轨迹区段右侧开环零点和极点的个数之和应为奇数实轴上根轨迹区段右侧开环零点和极点的个数之和应为偶数根轨迹的渐进线有(n-m)条渐进线，其于实轴的交点为：11()n mi ji jap zn mσ==-=-∑∑与实轴正方向的夹角为：(21)0,1,2,........()akkn mπϕ+==±±-与实轴正方向的夹角为：20,1,2,........()akkn mπϕ==±±-根轨迹的起始角和终止角起始角：11,(21)(()())im np i j i jj j j ik p z p pθπ==≠∠=++∠--∠-∑∑终止角：1,1(21)(()())im nz i j i jj j i jk z z z pθπ=≠=∠=++∠--∠-∑∑起始角：11,2(()())im np i j i jj j j ik p z p pθπ==≠∠=+∠--∠-∑∑终止角：1,12(()())im nz i j i jj j i jk z z z pθπ=≠=∠=+∠--∠-∑∑45根轨迹的分离点和会合点l 条根轨迹分支相遇，其分离点坐标由[()()]0d G s H s ds =的根来确定，或者由1111()()m nj i j id z d p ===--∑∑来确定。
根轨迹与虚轴的交点 根轨迹于虚轴的交点可以s j ω=带入特征方程求解，或者由劳斯判据确定。
根之和当2n m -≥时，闭环极点之和等于开环极点之和，若有的根轨迹向右移动，必定有其它的根轨迹会向左移动：11n niii i s p ===∑∑64．利用根轨迹分析控制系统的性能1) 稳定性系统的稳定性取决于闭环极点在S平面的分布情况，当系统的所有闭环极点都位于S 平面的左半平面时，系统是稳定的；当系统的闭环极点有一个或多个位于虚轴时，系统是临界稳定的；当系统的闭环极点有一个或多个都位于S平面的右半平面时，系统是不稳定的。
K下系统闭环极点在S平面的分布，可以容易的确定系根轨迹可以简便直观的显示不同的*统的稳定性，并且可以由根轨迹与虚轴的交点确定系统临界稳定时的参数值。
2)稳态误差系统的稳态误差与系统的结构、参数、输入信号都有关系。
在根轨迹中，可以由坐标K与开环增益K的关系(式，推导原点处开环极点的个数判断系统的型别；由根轨迹增益*出开环增益K的大小，就可以很容易的计算出系统的稳态误差。
3)主导极点和偶极子在根轨迹中可以很容易的利用闭环主导极点和偶极子的思想对高阶系统的动态特性进行分析。
在S平面中，离虚轴较近且附近无闭环零点的那些闭环极点，对系统的动态性能影响最大，可以作为系统的主导闭环极点；而那些远离主导闭环极点的极点，对系统的动态性能影响较小，可以忽略不计。
在S平面中，如果系统的闭环零点和极点的距离非常近，而又远离原点，则认为它们对系统的影响较小，可以作为偶极子忽略不计。
4) 动态性能利用系统闭环主导极点和偶极子的思想，系统的动态性能主要取决于系统的闭环主导极点。
则系统闭环主导极点与虚轴的距离越近，系统的调节时间越长，系统的响应速度越慢；系统闭环主导极点与负实轴的距离越近，系统的超调量越小，系统的动态过程越平稳。
4．2 根轨迹分析法习题解答4-1 假设系统开环传递函数的零、极点在s平面上的分布如习题4-1图所示。
试绘制以开环增益K1为变量的系统根轨迹有大致图形。
jωjω0 σσjωjω0 σσ习题4-1图[解]图4-1（a）（b）（c）（d-1）注意：（1）有开环零点的二阶系统当复平面内有根轨迹段时，一定是圆弧；若开环仅有一个有限实零点z ，则该实零点z 即为复平面圆弧段根轨迹的圆心。
(2) 两开环极点间的根轨迹段上必然有分离点；两开环零点间的根轨迹段上必然有会合点；而在开环极点与开环零点间的根轨迹段上，一般情况下既无分离点，也无会合点，若有则分离点d 1与会合点d 2必然成对出现，二者可能重合也可能不相等，故第(d)图有(d-1)~(d-3)三种情况。
4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数，绘出当开环增益K 1变化时系统的根轨迹图，并加以简要说明。
(1) )3)(1()(1++=s s s K s G (2) )204)(4()(21+++=s s s s K s G [解](1) )3)(1()(1++=s s s K s G① 由G (s )知，n =3，m =0，p 1=0，p 2=–1，p 3=–3。
② 实轴上[0，–1]、[–3，]是根轨迹段。
③ 有n –m =3条渐近线,交点3403310-=---=a σ， 夹角︒±=60a ϕ、180°。
④ 实轴上[0、–1]根轨迹段上有分离点d 。
由0)(1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ds s G ds d 求d ：03832=++s d 解得 45.0-=d 3742j d --=（舍去） ⑤求根轨迹与虚轴交点，令jw s =代入0)(=s D ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+-=03)(Im 04)(Re 312ωωωωωj j j D K j D 解得3±=o ω 1242==ω临K 图4-2（1）(2) )204)(4()(21+++=s s s s K s G① n =4，m =0，p 1=0，p 2=–4，p 3、4=–2±j 4② p 1、p 2连线中点正好是p 3、p 4实部，开环极点分布对称于s=–2，根轨迹也将对称于该垂线。
∴ 实轴上[0、–4]复平面内[p 3、p 4]间是根轨迹 ③有n-m=4条渐近线：204424240-=---+--=j j a σa=±45°、±135°渐近线如图4-2(2)中虚线示。
④ [0、–4]间、[P 3、P 4]间根轨迹上有分离点， 由分离点方程020186])(1[23=+++=s s s s G ds d 可解得21-=d ，45.22623,2j j d ±-=±-=在080368)(1234=++++=K s s s s s D 中，求根轨与虚轴交点：令ωj s =代入得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-0)10(0362124ωωωωj K解得与虚轴交点及临界K 1值⎪⎩⎪⎨⎧==±=2601010302K o k ωω（根轨迹起点，不是K 1增大时与虚轴交点舍去）系统根轨迹如图4-2(2)所示 4-3 单位负反馈系统开环传递函数)2()(21+=s s K s G(1) 绘制根轨迹，分析系统稳定性；(2) 若增加一个零点1-=z 试问根轨迹有何变化，对稳定性有何影响 [解](1) 绘制系统根轨迹：① n =3，m =0，p =0，p 1=p 2=0，p 3=–2； ② 实轴上[0, 0]、[–2，–]是根轨迹段；图4-2（2）图4-3③ 有n-m=3条渐近线32-=a σ，︒±=60a ϕ、180°渐近线如图中4-3(1)点划线示，根轨迹如图中相虚线示，由p 1=p 2=0出发的分支在右半s 平面，任何K 1下系统均不稳定。
(2) ① 增加z=–1，实轴上[0，0]、[–1，–2]为根轨迹段。
② 现有n-m=2渐近线，5.0212-=+-=a σ，︒±=90a ϕ，渐近线如图4-3中细虚线示；根轨迹如图中实线示，可见加进Z=-1后，系统在任何K 1下均稳定。
这说明给系统加进一个位置适当的开环左实零点，可使n -m 变为n -m +1，渐近线条数减少一条，倾角a ϕ增大，根轨迹向左移动，可使系统稳定性、平稳性得到改善。