高二培优讲义15 抛物线及综合

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高二抛物线知识点

高二抛物线知识点抛物线是数学中的一个重要概念，它在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。

在高二数学课程中，学生将学习抛物线的定义、性质以及与实际问题的应用。

本文将介绍高二抛物线的主要知识点。

一、抛物线的定义与性质抛物线可以通过以下定义得到：平面上到一个定点的距离与该定点到一条定直线的距离之差保持恒定，这条定直线称为抛物线的准线，定点称为焦点。

抛物线的常见表示形式是二次函数的图像。

一般式为：y = ax²+ bx + c，其中a、b、c是常数，a ≠ 0。

抛物线的主要性质包括：1. 对称性：抛物线以准线为轴对称；2. 焦点与准线的关系：准线是抛物线的对称轴，焦点到准线的距离等于焦距；3. 发散性：当x趋于正无穷或负无穷时，抛物线的图像趋于正无穷或负无穷。

二、抛物线的标准形式和参数形式抛物线的标准形式为：y = ax²，其中a是常数。

标准形式可以直观地表达抛物线的开口方向和曲线形状。

抛物线的参数形式为：x = at²，y = 2at，其中t是参数。

参数形式可以方便地表示抛物线上的任意一点。

三、抛物线的焦点和直线方程间的关系焦点坐标为(p, q)，准线方程为y = k（k ≠ 0）。

抛物线焦点与准线方程之间存在以下关系：1. 焦距等于焦点到准线的距离，即：|p - k| = |q|；2. 焦点到抛物线顶点的距离等于焦距的一半，即：√(p² + q²) = |q|/2。

四、抛物线与实际问题的应用抛物线在实际问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 炮弹的抛射轨迹：抛射物体在重力作用下的运动轨迹可以近似为抛物线；2. 天桥设计：为了使天桥的护栏起到最佳防护作用，护栏的形状常选取抛物线；3. 太阳能聚焦器：太阳能聚焦器的反射面一般选取抛物线形状，以使太阳能集中到一个焦点上。

总结：高二数学课程中学习抛物线的定义、性质、标准形式和参数形式，以及与实际问题的应用。

高二培优讲义抛物线 2016

高二培优讲义抛物线 2016-12-81. 设抛物线2y =2x 的焦点为F ，过点M0）的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，BF =2，则∆BCF 与∆ACF 的成面积之比BCF ACFS S ∆∆=_________. 2. 已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则k =_________.3. 已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是_________.4. 已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C上且AK ，则AFK ∆的面积为_________.5. 已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A 、B 满足3AF FB = ,则弦AB 的中点到准线的距离为___________.6. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是___________.7. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D.（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上；（Ⅱ）设89FA FB =，求直线l 的方程 . 8. 已知抛物线2:2(0)C y px p =＞的准线为l ，过(1,0)Ml 相交于点A ，与C 的一个交点为B ．若AM MB = ，则p = ．9. 已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．10. 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M(－2，2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B两点．若MA →·MB ＝0，则k ＝( )A.12B.22C. 2 D ．211. 设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；（1）若090=∠BFD ，ABD ∆的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值.12.过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 的直线L 交抛物线于点A 、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为_____________.13.设点P 是曲线y =x 2上的一个动点,曲线y =x 2在点P 处的切线为l ,过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线y =x 2的另一交点为Q ,则PQ 的最小值为________.14. 在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．15. 已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．16. 已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则线段AB 的长等于________．17. 抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积（）A ．4B ．C ．D ．818. 设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于_________.答案：1.；2.；3.2；4.8；5.；6.双曲线；7.3x ；8. 2；9. [1，＋∞)；10.D ；11.（1）p=2，22(1)8x y +-=；（2）3；12. 23y x =；13.；14. 3;15. x ＝－1;16.；17.C ；18.1。

高中数学必修抛物线教学讲义

03- 抛物线【知识点】一、抛物线的标准方程、种类及其几何性质() ：标准方程图形焦点准线范围对称轴极点离心率二、抛物线的焦半径、焦点弦轴（0，0）轴1.焦点弦：过抛物线焦点的弦，若，则(1) x0+，(2) ，－ p2(3)弦长 , ，即当 x1=x2时 , 通径最短为 2p(4)若 AB的倾斜角为θ，则 =（5） +=2.通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦。

过焦点的全部弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.3.的参数方程为（为参数），的参数方程为（为参数）.4、弦长公式：三、抛物线问题的基本方法1.直线与抛物线的地点关系2.直线，抛物线，3.，消 y 得：4.（ 1）当 k=0 时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；5.（ 2）当 k≠ 0 时，＞0，直线与抛物线订交，两个不一样交点；=0，直线与抛物线相切，一个切点；＜0，直线与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗（不必定）6.对于直线与抛物线的地点关系问题常用办理方法直线：抛物线，①联立方程法：设交点坐标为, ，则有 , 以及，还可进一步求出，在波及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方a.订交弦 AB的弦长或b.中点, ，②点差法：设交点坐标为，，代入抛物线方程，得将两式相减，可得a.在波及斜率问题时，b.在波及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，即，同理，对于抛物线，若直线与抛物线订交于两点，点是弦的中点，则有（注意能用这个公式的条件： 1）直线与抛物线有两个不一样的交点， 2）直线的斜率存在，且不等于零）【典型例题】考点 1 抛物线的定义题型利用定义, 实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的变换[ 例1 ]已知点P 在抛物线 y2= 4x 上，那么点P 到点Q（ 2，－ 1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为[分析]过点P 作准线的垂线交准线于点R，由抛物线的定义知，，当P 点为抛物线与垂线的交点时，获得最小值，最小值为点Q到准线的距离, 因准线方程为x=-1,故最小值为31. 已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、、成等差数列，则有（）A．B．C． D.［分析］C由抛物线定义，即：．2.已知点 F 是抛物线的焦点 ,M 是抛物线上的动点 , 当最小时 ,M点坐标是()A. B. C. D.[分析]设 M到准线的距离为, 则，当最小时，M点坐标是，选C考点2抛物线的标准方程题型 : 求抛物线的标准方程[ 例 2 ]求知足以下条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1) 过点 (-3,2)(2)焦点在直线上[ 分析 ] (1)设所求的抛物线的方程为或,∵过点 (-3,2)∴∴∴抛物线方程为或,前者的准线方程是后者的准线方程为(2)令得，令得，∴抛物线的焦点为(4,0) 或 (0,-2),当焦点为(4,0)时,∴，此时抛物线方程; 焦点为 (0,-2)时∴，此时抛物线方程.∴所求抛物线方程为或, 对应的准线方程分别是.3. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合, 则的值[分析]4.对于极点在原点的抛物线，给出以下条件：①焦点在 y 轴上；②焦点在 x 轴上；③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6；④抛物线的通径的长为 5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2， 1）.能使这抛物线方程为y 2=10的条件是 ____________. （要求填写适合条件的序号）x[分析]用清除法，由抛物线方程y2=10x 可清除①③④，进而②⑤知足条件.5.若抛物线的极点在原点，张口向上， F 为焦点， M为准线与 Y 轴的交点， A 为抛物线上一点 , 且，求此抛物线的方程[ 分析 ]设点是点在准线上的射影，则，由勾股定理知，点 A 的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或考点 3抛物线的几何性质题型：相关焦半径和焦点弦的计算与论证[ 例 3 ] 设 A、 B 为抛物线上的点, 且 (O 为原点 ), 则直线 AB必过的定点坐标为__________.［分析］设直线OA方程为 , 由解出 A点坐标为解出 B 点坐标为，直线AB方程为 , 令得，直线AB 必过的定点增补：抛物线的几个常有结论及其应用结论一：若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：，。

高二数学人选修课件抛物线的简单几何性质

02
抛物线的几何特征
抛物线的焦点和准线
抛物线的焦点：抛物线与x轴的
交点
焦点到准线的距离：p（抛物线
的参数）
准线：抛物线与 y轴的交点
抛物线的标准方程：
y^2=2px （p>0）
抛物线的开口方向和大小
开口方向：抛物线开口方向由其系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。开口大小：抛物线开口大小由其系数b决定，b>0时开口较大，b<0时开口较小。抛物线顶点：抛物线顶点是抛物线与x轴的交点，其横坐标为-b/2a。抛物线对称性：抛物线关于其顶点对称，顶点将抛物线分为对称的两部分。
抛物线的顶点和离心率
顶点：抛物线的最高点或最低点，决定了抛物线的位置和形状离心率：抛物线开口的大小，决定了抛物线的扁平程度顶点的坐标：可以通过二次公式求解得到离心率的计算：可以通过二次公式求解得到，也可以根据顶点和焦点的位置关系求解得到
03
抛物线与坐标轴的交点
抛物线与x轴的交点
抛物线与x轴的交点称为x轴的交点，是抛物线与x轴的公共点。 x轴的交点决定了抛物线的开口方向和大小。 x轴的交点可以通过求解二次方程得到。 x轴的交点在图形上表现为抛物线与x轴的交点，是抛物0时，抛物线与y轴的交点为(0,y1)和 (0,y2)，其中y1 和y2是抛物线与y轴的交点坐标。
0 2
抛物线与坐标轴的交点个数：抛物线与x轴和y轴的交点个数等于抛物线的解数，即抛物线与x轴和y轴的交点坐标的个数。
0 3
抛物线与坐标轴的交点性质：抛物线与x轴和y轴的交点坐标决定了抛物线的开口方向、对称轴位置和顶点位置等几何性质。
抛物线与直线垂直：当直线与抛物线相交，且交点在抛物线上时，这两个直线在抛物线上垂直。

第15讲抛物线(七大题型)(教师版)-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义

抛物线 x2 20 y 的一次项为 20 y ，故其焦点在 y 轴上，且开口向负方向(向下)
③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的 4 倍. ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型(一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型)，然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论. ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数 p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一
解得 p 1 或 p 4 ， 2
故抛物线的标准方程为 y2 x 或 x2 = -8 y ，
故选：C
例 10．(2023·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中)若抛物线 y2 2 px p 0 上一点 P 2, y0 到其准线的距离
为 3，则抛物线的标准方程为( )
A． y2 4x
B． y2 6x
x p 2
|
MF
|
p 2
x0
e=1
y p 2
|
MF
|
y0
p 2
y p 2
|
MF
|
p 2
y0
知识点诠释： (1)与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；
(2)标准方程中的参数 p 的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0 恰恰说明定义中的焦点 F 不在准线 l 上
这一隐含条件；参数 p 的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于 p 的值，才
所以点 P 到抛物线焦点的距离为 y0 2 3.
故选：B

高二数学选修抛物线及其标准方程讲课文档

3 2
,0)
准线：x =－
3 2
（2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，－2），求抛
物线的标准方程
x 2 =－8 y 看图
（3）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物线的
标准方程
y 2 =－4 x
看图
（4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程
y2=
4 3
x或
x 2=
9 2
y
看图
第十四页，共20页。
﹒ ﹒ ﹒ ﹒ 抛物线方程的形式简单？
y
y
y
ox
ox o x
y
o
x
方案(1)
方案(2)
方案(3)
方案(4)
第十一页，共20页。
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图形 ly
OF x
yl
FO
x
y
F
O
x
l
y
l
O
x
F
标准方程焦点坐标
y2=2px (p>0)
xp 2
y2=-2px
(p>0)
x p 2
x2=2py (p>0)
，0），l：x
=
-
p 2
其中p为正常数，它的几何意义是
焦点到准线的距离
第十页，共20页。
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三、标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.
且 p的几何意义是: 焦点到准线的距离
想一焦想点坐: 坐标是标x系的建立2p 还准有线没方有程其为它: 方( 案p2 也, 0会) 使
已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。

第15讲抛物线学生高一升高二暑假培优讲义高一升高二暑假培优讲义

第15讲抛物线[玩前必备]1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程(1)顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为：y2＝2px(p>0)；(2)顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为：y2＝－2px(p>0)；(3)顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为：x2＝2py(p>0)；(4)顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为：x2＝－2py(p>0)．3．抛物线的几何性质题型一抛物线的定义及运用例1 (1)（2019·河南高二月考）若点P 为抛物线2:2C y x =上的动点，F 为C 的焦点，则||PF 的最小值为（） A ．1B ．12C ．14D ．18(2)（2019·河南高考模拟）已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）上的点到准线的最小距离为√3，则抛物线的焦点坐标为（） A.（√3，0）B.（0，√3）C.（2√3，0）D.（0，2√3）(3)（2019·吉林高考模拟）已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=8x 上一点A 到焦点F 的距离为6，若点P 为抛物线C 准线上的动点，则|OP|+|AP|的最小值为（）A ．4B ．C ．D ．[玩转跟踪]1.（2019·福建高二期末（文））已知点F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若M 是FN 的中点，则M 点的纵坐标为（）B.4C.±D.±42．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点7,42A ⎛⎫⎪⎝⎭，则|PA |＋|PM |的最小值是( )A.72B.4C.92D.53．（2019·福建省漳平第一中学高二月考）已知P 为抛物线24y x =上一个动点，Q 为圆()2241x y +-=上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A ．1B ．2C 1D 2题型二抛物线标准方程例2 （1）设抛物线22y px =的焦点在直线2380x y +-=上，则该抛物线的准线方程为（） A.1x =-B.2x =-C.3x =-D.4x =-（2）（2019·四川高三月考（文））若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为（） A.216y x =- B.28y x =-C.216y x =D.24y x =[玩转跟踪]1．（2019·陕西高二期末）已知抛物线22x ay =的准线方程为4y =，则a 的值为（）A ．8B ．18C ．8-D ．18-2．（2020·新疆高二期末）求满足下列条件的曲线的标准方程：（1）10a =，35e =，焦点在x 轴上的椭圆；（2）顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线20x y -+=上抛物线的方程.题型三直线与抛物线的位置关系例3 （2019·黑龙江牡丹江一中高二月考（文））已知抛物线的方程为24y x =-，直线l 过定点P （2,0），斜率为k 。

高二抛物线所有知识点

高二抛物线所有知识点抛物线是数学中的一个重要概念，高二学生在学习数学时会接触到抛物线的相关知识点。

下面将详细介绍高二抛物线的所有知识点。

一、概述抛物线是指平面上一个动点到定点的距离与该点到一条定直线的距离之差等于常数的点的集合。

抛物线的形状呈现出一条弧线，它由定点（焦点）和定直线（准线）唯一确定。

二、抛物线方程1. 标准方程抛物线的标准方程为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。

2. 顶点坐标和对称轴抛物线的顶点坐标可通过完成平方来求得，顶点的横坐标为：x = -b/2a，纵坐标为：y = f(-b/2a)。

对称轴为与抛物线关于顶点对称的直线。

3. 焦点坐标和准线方程焦点的横坐标为：( -b/2a, c - b^2/4a )，纵坐标为：(c - b^2/4a)。

准线方程为：x = -b/2a + p，其中p为焦距。

4. 直径和焦半径直径是抛物线上通过焦点且垂直于准线的一条直线，焦半径是从焦点到抛物线上一点的线段。

三、抛物线的性质1. 对称性抛物线是关于对称轴对称的，也即它的两侧是完全对称的。

2. 单调性当a>0时，抛物线开口向上，且在顶点处取得最小值；当a<0时，抛物线开口向下，且在顶点处取得最大值。

3. 判别式和图像类型判别式Δ = b^2 - 4ac 可以判断抛物线的图像类型：Δ > 0 时，抛物线与x轴交于两点，图像开口向上或向下；Δ = 0 时，抛物线与x轴交于一点，图像开口向上或向下，顶点处有一个最值；Δ < 0 时，抛物线与x轴无交点，图像开口向上或向下。

四、抛物线的平移抛物线f(x)的平移变换为f(x - h) + k，其中(h, k)为平移的距离。

五、抛物线与实际应用抛物线在生活中有广泛的应用，例如：桥梁设计、喷泉设计、抛物面反光镜、运动物体的轨迹等。

六、典型题目解答1. 求抛物线的顶点坐标和对称轴方程。

解：已知抛物线的方程为 y = ax^2 + bx + c，通过平方完成可以得到标准方程。

高二抛物线必背知识点讲解

高二抛物线必背知识点讲解抛物线是高中数学中的一个重要概念，也是高二阶段的必备知识点之一。

掌握抛物线的性质和相关的公式是解决与之相关问题的基础。

本文将为你详细介绍高二抛物线的必背知识点，包括抛物线的定义、性质以及常用公式等。

1. 抛物线的定义抛物线是平面上一条特殊的曲线，其定义可由以下几个要素描述：- 定点（焦点）F，是抛物线上的一个确定点。

- 定直线（准线）L，是与抛物线相交于抛物线的两个分支的对称轴。

- 定义抛物线上的点P到焦点F的距离与点P到准线L的距离的比例保持不变。

2. 抛物线的性质抛物线具有以下几个重要性质：- 对称性：抛物线关于准线对称。

- 焦点性质：焦点是抛物线上所有点到准线距离与焦距的比例值保持不变的点。

- 直角性质：抛物线的准线与焦点连线之间的夹角是直角。

- 切线性质：过抛物线上一点的切线平行于准线，且焦点到切点的线段与准线垂直。

3. 抛物线的基本公式- 标准方程：y = ax^2 + bx + c（其中a、b、c为常数，并且a ≠ 0）。

标准方程可以用来描述抛物线的形状、位置和方向。

- 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)），其中f(x)为抛物线的方程。

- 对称轴方程：x = -b/2a。

对称轴是与抛物线两支对称的直线。

- 焦点坐标：抛物线的焦点坐标为（-b/2a，c - (b^2 - 1)/4a）。

- 焦距：抛物线的焦距为|4a|，用来确定焦点到准线的距离。

4. 抛物线的常见变形除了标准的抛物线方程之外，抛物线还有一些常见的变形形式：- 平移：将抛物线相对于坐标系的原点平移至任意位置。

- 平拉伸：通过调整a的值，控制抛物线在x轴和y轴方向上的缩放。

- 旋转：通过调整b的值，使抛物线绕着顶点旋转。

5. 抛物线的应用抛物线在现实生活中有许多应用，例如：- 炮弹的发射轨迹：抛物线方程可以用来描述炮弹在重力作用下的弹道轨迹。

- 卫星天线的调节：抛物线的反射性质可以用来调节卫星天线的接收角度。

高二数学抛物线知识点

高二数学抛物线知识点在高二数学的学习中，抛物线是一个重要的知识点。

它不仅在数学领域有着广泛的应用，在物理等其他学科中也经常出现。

下面就让我们一起来深入了解一下抛物线的相关知识。

一、抛物线的定义平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。

如果我们以焦点 F 到准线 l 的距离为 p（p>0），以焦点 F 所在直线为 x 轴，过点 F 且垂直于 x 轴的直线为 y 轴建立直角坐标系，那么抛物线的标准方程可以表示为：当抛物线的焦点在 x 轴正半轴上时，方程为 y²＝ 2px（p>0）；当抛物线的焦点在 x 轴负半轴上时，方程为 y²＝－2px（p>0）；当抛物线的焦点在 y 轴正半轴上时，方程为 x²＝ 2py（p>0）；当抛物线的焦点在 y 轴负半轴上时，方程为 x²＝－2py（p>0）。

二、抛物线的图像和性质以 y²＝ 2px（p>0）为例，来研究一下抛物线的图像和性质。

1、图像抛物线的图像是一个轴对称图形，对称轴为 x 轴。

它开口向右，顶点在原点。

2、定义域和值域定义域为x≥0，值域为 R。

3、焦点和准线焦点为 F（p/2，0），准线方程为 x ＝ p/2。

4、离心率抛物线的离心率 e ＝ 1。

5、焦半径抛物线上一点 P（x₀，y₀）到焦点的距离称为焦半径。

对于 y²＝2px（p>0），焦半径|PF| ＝ x₀＋ p/2。

三、抛物线的相关公式1、抛物线的通径通过焦点且垂直于对称轴的弦称为通径。

对于 y²＝ 2px（p>0），通径长为 2p。

2、抛物线的弦长公式设抛物线y²＝2px（p>0）上两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则弦长|AB| ＝√（1 ＋ k²)×（（x₁＋ x₂)² 4x₁x₂) ，其中 k 为直线AB 的斜率。

高二抛物线新课讲义

2
上，且 2 x2 x1 x3 ，则有( A. | FP 1 | | FP 2 || FP 3 | B. C.
2 2 2 | FP 1 | | FP 2 | | FP 3 |
)
2 | FP2 || FP 1 | | FP 3 |
2
D. | FP2 | | FP 1 | | FP 3 |
2
3. (2005 江苏)抛物线 y 4 x 上的一点 M 到焦点的距离是 1 ，则 M 点的纵坐标是_______.
2
| AF | 4. (2014 新课标)已知抛物线 C : y x 的焦点为 F ， A( x0 , y0 ) 是 C 上一点，
2
5 x0 ， 4
则 x0 _______.
【习题三】梯形的中位线 1. 已知抛物线 C : y 2 px( p 0) ，过焦点 F 的直线 l 交 C 于 A, B 两点.证明：以 AB 为
2
直径的圆与抛物线的准线相切.
2. 已知抛物线 y 2 px( p 0) 的焦点为 F ，点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ), P 3 ( x3 , y3 ) 在抛物线
y 2 2 px ，令 Δ=0 即可. Ax by C 0
3. 抛物线的中点弦问题也用“点差法”求解.
【习题一】标准方程 1. (1996 全国)已知点 ( 2,3) 与抛物线 y 2 px( p 0) 的焦点的距离是 5 ，则 p _______.
2
2. 抛物线 x 4 y 上一点 A 的纵坐标是 4 ，则点 A 与抛物线焦点的距离是_______.
1
高二秋季讲义
高二秋季抛物线课程讲义

高二抛物线及其标准方程完整版PPT课件

抛物线的由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.
oF x
想一想:
抛物线的位置及其方程还有没有其它的形式？
问题：仿照前面求抛物线标准方程的方法，你能建立适当的坐标系，求下列后三幅图中抛物线的方程吗?
(1)
(2)
F
F
l
(3)
F
l
1
焦点F( 2 , 0)
准线 x=
1 2
y2 32 x 焦点F(-8,0) 准线 x=8
是一次项系数
1
的 4的
相反数
x2 32 y 焦点F(0,8) 准线 y= -8
x2 2 y
焦点F(0,
1 2
)
1 准线 y = 2
（课本67页练习2）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
（3）2y2+5x=0
垂足为K，线段KF的中点O为原点建立直角坐标系.
设|KF|=p(p>0), M(x,y)是抛物线上任意一点，
点M到直线
则焦点F (
pl
的距离为d
, 0), 准线l
:
x
2
p 2
y
l d .M
由抛物线定义知：|MF|=d
即： ( x p )2 y2 | x p |
2
2
K.
OF
x
x2 px p2 y2 x2 px p2 y2 2px (p>0)
4
（3）焦点到准线的距离是2；
y2=4x y2=-4x x2=4y x2=-4y
练习册P38
3.求过点A(2，4)的抛物线的标准方程
[思路探索] 求抛物线方程要先确定焦点位置，然后设出标准方程，再根据已知求出待定系数，若焦点位置不能确定，应分类讨论．

高二同步课程数学讲义：抛物线【学生版】

高二同步课程数学讲义“抛物线”讲义编号：1、掌握抛物线的标准方程及其推导2、探究抛物线的几何性质，并初步运用性质解题。

1.长度等于3的线段的两个端点A 、B 在抛物线y 2=x 上运动，求AB 的中点M 到y 轴的距离的最小值。

2.已知以F 为焦点的抛物线y 2=4x 上的两点A 、B 满足，求弦AB 中点到准线的距离3AF FB✧子知识点一：抛物线的定义：平面内与一个定点的距离等于到一条定直线的距离点的轨迹叫做抛物线，其中，定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线✧子知识点二：标准方程：开口向右时y2=2px(p>0)，开口向左时y2=-2px(p>0)，开口向上时x2=2py(p>0)，开口向下时x2=-2py(p>0)知识点二：抛物线的几何性质✧子知识点一：★★☆☆☆①一抛物线形拱桥，当水面距离桥顶2米时，水面宽4米，若水面下降1米，则水面宽为________.★★☆☆☆②已知动圆M 与直线y=2相切，且与定圆C ：x 2+(y+3)2=1外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________.★★☆☆☆③设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++=________.★★☆☆☆④设斜率为2的直线l 过抛物线y 2=ax(a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为________.★★★☆☆⑤若抛物线顶点为O，焦点为F，M是抛物线上一动点，则MOMF的最大值是________.★★☆☆☆⑥已知F是抛物线y2=4x的焦点，A(3,2)是一个定点，P是抛物线上的动点，则PA PF的最小值是________.如图，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A在抛物线上且横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．(1)求抛物线的方程；(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；(3)以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m，0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与⊙M的位置关系．1.过抛物线的焦点的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若；则△AOB的面积为（）A．B．C．D．22. 已知点A(0，2)，B(2，0)，若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )．A．4 B．3 C．2 D．13.已知直线交抛物线于两点．若该抛物线上存在点，使得为直角，则的取值范围为________．4.圆心在第一象限，且半径为1的圆与抛物线y2＝2x的准线和双曲线的渐近线都相切，则圆心的坐标是________．5.已知抛物线y2＝2px(p＞0)上两点A，B到焦点的距离之和为5，线段AB的中点的横坐标是2，则p ＝________．6.已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求的最小值．7.如图，M是抛物线y2＝x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且|MA|＝|MB|．(1)若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；(2)若M为动点，且∠EMF＝90°，求△EMF的重心G的轨迹方程．8.已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9．(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．讲师评价。

高二抛物线知识点总结

高二抛物线知识点总结抛物线是数学中重要的曲线之一，广泛应用于各个领域，包括物理、工程和经济等。

在高二数学学习中，学生也要掌握抛物线的相关知识点。

本文将对高二抛物线的知识点进行总结。

一、抛物线的定义和性质抛物线是平面上满足特定几何关系的点的集合，其定义可以用顶点、焦点和准线来描述。

抛物线的一些重要性质包括：1. 对称性：抛物线关于其准线对称。

2. 焦点和准线的关系：焦点是准线上一点到抛物线上任意一点的距离的中点。

3. 切线和法线：抛物线上任意一点的切线和通过该点的法线垂直。

4. 直径和焦距：通过抛物线顶点的直径，其长度等于焦距的两倍。

二、抛物线的方程高二学生需要学习抛物线的方程形式，抛物线的标准方程为：y = ax² + bx + c其中，a ≠ 0，a、b、c为常数。

由此方程可以得到抛物线的顶点坐标、焦点坐标以及准线的方程。

三、焦点和准线的计算对于给定的抛物线，可以通过顶点和焦距的关系计算焦点的坐标。

焦距等于1/4a，其中a为二次项系数。

准线的方程为x = -b/2a。

四、抛物线的平移和缩放通过平移和缩放操作，可以对抛物线进行变换。

平移操作是将抛物线的顶点沿着平移向量进行平移，缩放操作是改变抛物线的大小。

高二学生需要掌握平移和缩放对抛物线方程的影响。

五、求解抛物线与直线的交点在实际问题中，求解抛物线与直线的交点是非常重要的。

高二学生需要掌握如何解这类问题，可以通过联立抛物线方程和直线方程，得到交点的坐标。

六、抛物线的应用抛物线在物理、工程和经济等领域有广泛应用。

一些常见的应用包括：1. 物体的抛体运动：当物体受到重力作用时，其运动轨迹为抛物线。

2. 抛物面太阳能集热器：通过将反射板塑造成抛物面，可以将太阳能集中到焦点上，实现集热和发电。

3. 投射物的轨迹计算：通过抛物线方程，可以计算投射物的高度、距离和到达时间等参数。

总结：通过本文的介绍，我们可以了解到高二抛物线的定义、性质和方程等知识点。

抛物线讲义-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

10 抛物线【知识梳理】一、抛物线的定义1、抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （其中定点F 不在定直线l 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．2、抛物线的数学表达式：{|||}M MF d =(d 为点M 到准线l 的距离).二、抛物线的标准方程和几何性质0x ≥，y R ∈0x ≤，y R ∈0y ≥，x R ∈ 0y ≤，x R ∈在学习抛物线及其标准方程时，如何利用已知的抛物线方程研究其性质，以及已知某些性质求抛物线的方程是考查的重点. 主要方法有定义法、待定系数法等.（1）定义法根据抛物线的定义，确定p 的值(系数 p 是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程.（抛物线标准方程有四种形式，要注意选择.）（2）待定系数法①对于焦点在x 轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为)0(22>=p px y 和)0(22>-=p px y 两种情况求解.②焦点在x 轴上的抛物线方程可设成)0(2≠=m mx y ，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m 有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y 轴上的抛物线的方程可以设成)0(2≠=m my x .如果不确定焦点所在的坐标轴，应考虑x 轴、y 轴两种情况分别设方程,四、直线与抛物线的位置关系1. 将直线方程与抛物线方程联立组成方程组，消去一个未知数.⇔<∆0直线与抛物线无交点⇔直线与抛物线相离； ⇔=∆0直线与抛物线有1个交点⇔直线与抛物线相切； ⇔>∆0直线与抛物线有2个交点⇔直线与抛物线相交.直线与抛物线交于两点()()2211,,y x B y x A ，时，弦长⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+=-+=-+-=k t y y t x x k y y x x AB 111)()(212212221221其中2. 抛物线的焦点弦的性质①焦点弦：当直线通过抛物线的焦点所得弦称为焦点弦.②通径：当直线过抛物线的焦点且与对称轴垂直时所得的弦称为通径，其长度为p 2. ③2221px BF p x AF +=+=；；p x x BF AF AB ++=+=21 ④θsin 222p S OAB =∆ ⑤pFB FA 211=+ ⑥以弦AB 为直径的圆与准线相切.【题型精讲】题型一、抛物线的定义与方程例1. 若点P 到点F （4,0）的距离比它到直线05=+x 的距离小1，则点P 的轨迹方程是（）A. x y 162-= B. x y 322-= C. x y 162= D. x y 322= 例2. 已知抛物线py x 22=上一点)1,(m A 到其焦点的距离为3，则=p （）A. 2B. 2-C. 4D. 4±例3. 设O 为坐标原点，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 是抛物线上一点，若4-=⋅AF OA ，则点A的坐标是（）A. ()222±，B. ()21±，C. ()2,1D. ()222，题型二、抛物线的焦半径公式例4. 已知抛物线()022>=p px y 的焦点弦AB 被焦点分成长度为m ，n 的两段，求证：pn m 211=+. 例5. 过抛物线x y 42=的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若3=AF ，则=BF题型三、抛物线的焦点弦与焦点三角形例6. 过抛物线()022>=p px y 的焦点F 作倾斜角为θ的直线交抛物线于()()2211,,y x B y x A ，两点，则θ221sin 2p p x x AB =++=，θsin 222p S OAB =∆ 例7. 过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于B A ，两点，若线段AB 中点的横坐标为3，且p AB 25=，则=p （）. A. 8 B. 2 C. 6 D. 4例8. 过抛物线x y 42=的焦点F 的直线交抛物线于B A ，两点（A 在第一象限），O 为坐标原点，若AOB ∆的面积为22，则=BFAF （）.A. 22±B. 223±C. 324±D. 224±例9. 过抛物线x y 42=的焦点F 的直线交抛物线于B A ，两点（A 在第一象限），O 为坐标原点，若BF BA 4=，则AOB ∆的面积为（）.A.338 B. 328 C. 334 D. 324 例10．（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知抛物线C 的顶点为原点，对称轴为x 轴，且经过()1,2M ．(1)求C 的方程；(2)若直线l 过C 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，||8AB =，求l 的方程．题型四、直线与抛物线综合问题例11 点P 是以F 为焦点的抛物线x y 42=上的动点，则以P 为圆心，以线段PF 的长为半径的圆与直线1-=x 的位置关系是（）A. 相切B. 相交C. 相离D. 随点P 的位置变化而变化例12. 已知F 是抛物线C ：x y 42=的焦点，直线)1(:+=x k y l 与抛物线C 交于B A 、两点，记直线FA ，FB 的斜率分别为21k k ，，则=+21k k题型五、与抛物线有关在最值问题例题13．已知抛物线x y 62=的焦点为F ，点P 为该抛物线上一个动点，点)2,3(A ，则PA PF +的最小值为______．。

高二数学培优集训---抛物线类型题剖析

抛物线类型题剖析
抛物线是圆锥曲线家族中重要的一员，有许多奇妙的性质，在高考试题中，抛物线可单独出小题，也可以和圆、椭圆综合命题.而抛物线的定义是解题的核心.要学好抛物线，首先要掌握抛物线的基本内容.现在让我们一起回顾一下.
根据抛物线开口方向的不同，标准方程有四种形式.焦点所在的轴与一次项一致，开口方向与一次项系数的正负一致.牢固地掌握抛物线的标准方程，才能避免出现错误.
类型一、抛物线的定义及标准方程的应用
【方法总结】(1)用数形结合的方法判断抛物线的开口方向，以便选择抛物线方程的具体形式.注意利用代数的观点，把抛物线向右或向左的情形统一起来，提高解题效率；
(2)把“数”、“方程”向“形”的方向转化，运用运动变化的观点和几何的方法进行研究比直接代数化更简洁.
类型二、抛物线焦点弦的性质
【小结】本题结论可以记住，在做小题时直接使用，提高解题速度.
类型三、与向量相结合。

成都市2022届高二上期新课讲义(十五)《抛物线综合》新课讲义

成都市2022届高二上期新课讲义（十四）《抛物线综合》新课讲义最值问题例1、()1在抛物线24y x =上找一点M ，使M A M F +最小，其中()3,2A ，()1,0F ，求M 点的坐标及此时的最小值；()2已知抛物线22y x =和定点103,3A ⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线上有一动点P ，P 到点A 的距离为1d ，P 到抛物线准线的距离为2d ，求12d d +的最小值及此时P 点的坐标.变式:已知抛物线 24y x =，定点A(3,1)，F 是抛物线的焦点，在抛物线上求一点 P,使|AP|+|PF|取最小值，并求的最小值。

变式:设P 是24y x =上的一个动点。

（1）求点P 到点()1,1A -的距离与点P 到直线:1l x =-的距离d 之和的最小值。

xy LOPFA例2、定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2上移动，求AB 的中点M 到y 轴的距离的最小值，并求出此时M 的横坐标．变式1.（13成都二诊）在平面直角坐标系xoy 中，已知点A(1，2),若P 是抛物线y 2=2x 上一动点，则P 到y 轴的距离之和的最小值为 (A) 5 (B)217 (C)2117+ (D)2117-例3、抛物线y 2=-8x 被点(-1,1)所平分的弦的方程p 为 .变式1.若直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，求此直线方程例4、已知抛物线y 2＝2x ，直线l 过点(0，2)与抛物线交于M ，N 两点，以线段MN 的长为直径的圆过坐标原点O ，求直线l 的方程．变式．（17新课标）设A，B为曲线C：24xy 上两点，A与B的横坐标之和为4.（1）求直线AB的斜率；例5、（16新课标1文）在直角坐标系xoy中，直线l：y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.(Ⅰ)求OHON；(Ⅱ)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.例6（16温江区期末）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点M（1，﹣2），且焦点为F，直线l与抛物线相交于A、B两点．（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（2）若直线l经过抛物线C的焦点F，当线段AB的长等于5时，求直线l方程．（3）若•=﹣4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．加强训练1、（12重庆）过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点,若25,,12AB AF BF =<则AF =__________.2、（12北京）在直角坐标系xoy 中,直线l 过抛物线24y x =的焦点F,且与该抛物线相较于A 、B 两点,其中点A 在x 轴上方,若直线l 的倾斜角为60°,则△OAF 的面积为________.3、（12山东）已知双曲线1C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2,则抛物线2C 的方程为A ．2833x y =B ．21633x y =C ．28x y =D ．216x y =4、（12辽宁）已知P,Q 为抛物线x 2=2y 上两点,点P,Q 的横坐标分别为4,-2,过P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A 的纵坐标为A ．1B ．3C ．-4D ．-85、（12安徽）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是原点,若3AF =;则AOB ∆的面积为（） A ．22B ．2C ．322D ．226、抛物线C 的顶点在原点，焦点F 与双曲线22136x y -=的右焦点重合，过点P （2，0）且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点．则弦长|AB|= ；弦AB 中点到抛物线准线的距离为．7、已知双曲线2213y x -=的离心率为2m ，且抛物线2y mx =的焦点为F ，点00(2,)(0)P y y >在此抛物线上，M 为线段PF 的中点，则点M 到该抛物线的准线的距离为（）A 、52B 、2C 、32D 、18．（15成都一诊）抛物线:C 28y x =，过点(2,0)P 的直线与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值为（A ）16- （B ）12- （C ）4 （D ）09. 已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且||2||AK AF =，则△AFK 的面积为10、（13课标Ⅱ）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点。

秋季17-高二数学培优版-抛物线-教师版

抛物线一、知识梳理1、定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点P的轨迹叫做抛物线，定点F为抛物线的焦点，定直线l为抛物线的准线。

注：①定义可归结为“一动三定”：一个动点设为P；一定点F（即焦点）；一定直线l（即准线）；一定值1（即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离之比1）② 定义中的隐含条件：焦点F 不在准线l 上。

若F 在l 上，抛物线退化为过F 且垂直于l 的一条直线2、抛物线的图形和性质：①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

②焦准距：FK p =③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。

④顶点平分焦点到准线的垂线段：2p OF OK ==。

⑤焦半径为半径的圆：以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。

所有这样的圆过定点F 、准线是公切线。

⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。

所有这样的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线。

⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。

所有这样的圆的公切线是准线。

3、抛物线标准方程的四种形式：，，px y px y 2222-==。

，py x py x 2222-==4、抛物线px y 22=的图像和性质： ①焦点坐标是：⎪⎭⎫⎝⎛02，p ， ②准线方程是：2p x -=。

③焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22=上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：02pPF x =+，M 1QM 2KF Poyx②2002y px =⇔点在含焦点的区域上；③202y px >⇔点在含焦点的区域外.6、直线与抛物线的位置关系（1）直线与抛物线的位置关系：相交、相切、相离。

（2）直线与抛物线位置关系的判断：设直线b kx y l +=:，抛物线C ：)0(22>=p px y ，联立得：0)(2222=+-+b x p bk x k 当0=k 时，直线b y l =:，直线l 与抛物线C 相交，且有一个交点；当0≠k 时，若0=∆，直线l 与抛物线C 相切，有一个交点；若0>∆，直线l 与抛物线C 相交，有两个交点；若0<∆，直线l 与抛物线C 相离，没有交点。

高二数学抛物线知识点

高二数学抛物线知识点
哎呀，高二数学的抛物线可真是个让人又爱又恨的家伙！
先来说说抛物线的定义吧。

你想想看，抛物线就像一个调皮的小孩，总是按照特定的规律蹦蹦跳跳。

它说：“我呀，是平面内到一定点F 和定直线l 距离相等的点的轨迹。

”这就好比你在操场上跑步，老师站在一个固定的点，让你始终保持和他以及一条白线的距离相等，那你跑出来的路线不就是抛物线嘛！
抛物线的标准方程有四种呢！y² = 2px（p>0），y² = -2px（p>0），x² = 2py（p>0），x² = -2py（p>0）。

这一堆方程是不是看得你眼花缭乱？就像一堆五颜六色的糖果，你得挑出你需要的那一颗。

咱们再看看抛物线的性质。

抛物线的对称轴，就像一把神奇的尺子，把抛物线分成了对称的两半。

焦点和准线，那可是抛物线的“宝贝”。

焦点就像一个小小的太阳，散发着光芒，吸引着抛物线上的点；准线呢，则像一条坚定的防线，守护着抛物线的秩序。

还有抛物线的焦半径和焦点弦，这俩也是很重要的哦！比如，抛物线上一点到焦点的距离，就叫焦半径。

这就好比你和好朋友之间的距离，有时候近，有时候远。

做题的时候，那可得小心啦！一不小心就会掉进抛物线的“陷阱”里。

老师出的那些题目，就像一个个小怪兽，等着你去打败它们。

“这抛物线到底难不难啊？”其实，只要你认真学，多做题，它也没那么可怕！就像爬山一样，虽然过程中会累，会遇到困难，但是当你爬到山顶，看到美丽的风景，就会觉得一切都值得啦！
我觉得啊，高二数学的抛物线虽然有点复杂，但只要咱们用心，就能把它拿下！。

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