「精品」高中数学 第一章 立体几何初步 1.6.2 垂直关系的性质课时作业 北师大版必修2

1.6.2 垂直关系的性质
[学业水平训练]
1.若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么( )
A．直线a垂直于第二个平面
B．直线b垂直于第一个平面
C．直线a不一定垂直于第二个平面
D．过a的平面必垂直于过b的平面
解析：选C.对于两平面，无论关系如何，在两平面内一定可以找到互相垂直的两条直线，因此直线a不一定是第二个平面的垂线，故选C.
2.直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直于AD和BC，则l与m的位置关系是( )
A．相交B．平行
C．异面D．不确定
解析：选D.因为梯形的两腰AB和CD一定相交且l⊥AB，l⊥CD，所以l垂直于梯形ABCD.又因为直线m垂直于AD和BC，且AD∥BC.
所以m与平面ABCD的位置关系不确定，因此l与m的位置关系就不确定，故选D.
3.空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不能确定
解析：选B.
过A点作AE⊥BD，交BD于E，E为垂足．
因为平面ABD⊥平面BCD，
且平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴AE⊥平面BCD.
又BC平面BCD，
∴BC⊥AE.又AD⊥平面ABC，
BC平面ABC，∴BC⊥AD.
又∵AD∩AE＝A，且AD，AE平面ABD，
∴BC⊥平面ABD，
又AB平面ABD，∴BC⊥AB，
∴△ABC为直角三角形．
4.如图所示，三棱锥P­ABC的底面在平面α上，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B 是定点，则动点C运动形成的图形是( )
A．一条线段B．一条直线
C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点
解析：选D.∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，AC平面PAC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，
∴AC⊥平面PBC.
又∵BC平面PBC，∴AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，∴动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆，但要除去A和B两点，故选D.
5.若l，m，n表示不重合的直线，α表示平面，则下列说法中正确的个数为( )
①l∥m，m∥n，l⊥α⇒n⊥α；②l∥m，m⊥α，n⊥α⇒l∥n；
③m⊥α，nα⇒m⊥n.
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：选C.①正确，∵l∥m，m∥n，∴l∥n.
又l⊥α，∴n⊥α；
②正确．∵l∥m，m⊥α，∴l⊥α.又n⊥α，∴l∥n；
③正确．由线面垂直的定义可知其正确．
故正确的有3个．
6.已知直线m平面α，直线n平面α，m∩n＝M，直线a⊥m，a⊥n，直线b⊥m，b⊥n，则直线a，b的位置关系是________．
解析：由线面垂直的判定定理得，a⊥平面α，b⊥平面α.
又由线面垂直的性质定理得a∥b.
答案：a∥b
7．如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角的大小是________．
解析：
过A作AO⊥BD于O点，
∵平面ABD⊥平面BCD，
∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．
∵∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠ADO＝45°.
答案：45°
8．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．解析：利用面面垂直的判定，可知①③④⇒②为真；利用面面垂直的性质，可知②③④⇒①为真，∴应填“若①③④，则②”，或“若②③④，则①”．
答案：若①③④，则②(或若②③④，则①)
9．如图，已知平面α∩平面β＝AB，PQ⊥α于Q，PC⊥β于C，CD⊥α于D.
(1)求证：P ，C ，D ，Q 四点共面； (2)求证：QD ⊥AB .
证明：(1)因为PQ ⊥α，CD ⊥α，所以PQ ∥CD ， 于是P ，C ，D ，Q 四点共面．
(2)因为AB α，PQ ⊥α，所以PQ ⊥AB . 又因为PC ⊥β，AB β，所以PC ⊥AB . 又因为PQ ∩PC ＝P ，
设P ，C ，D ，Q 四点共面于γ， 则AB ⊥γ.
又因为QD γ，所以QD ⊥AB .
10.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝33，BC ＝3，沿对角线BD 把△BCD 折起，使C 移到C ′，且C ′在平面ABD 内的射影O 恰好落在AB 上．
(1)求证：AC ′⊥BC ′；
(2)求AB 与平面BC ′D 所成的角的正弦值． 解：(1)证明：由题意，知C ′O ⊥平面ABD ，
因为C ′O 平面ABC ′， 所以平面ABC ′⊥平面ABD .
又因为AD ⊥AB ，平面ABC ′∩平面ABD ＝AB ， 所以AD ⊥平面ABC ′，所以AD ⊥BC ′. 因为BC ′⊥C ′D ，AD ∩C ′D ＝D ，
所以BC ′⊥平面AC ′D .所以BC ′⊥AC ′.
(2)因为BC ′⊥平面AC ′D ，BC ′平面BC ′D ， 所以平面AC ′D ⊥平面BC ′D .
作AH ⊥C ′D 于H (图略)，则AH ⊥平面BC ′D ，连接BH ， 则BH 为AB 在平面BC ′D 内的射影，
所以∠ABH 为AB 与平面BC ′D 所成的角． 又在Rt △AC ′D 中，C ′D ＝33，AD ＝3， 所以AC ′＝3 2.所以AH ＝ 6.
所以sin ∠ABH ＝AH AB ＝2
3，
即AB 与平面BC ′D 所成的角的正弦值为
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. [高考水平训练]
1.下列命题中错误的是( )
A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γ
D ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析：选D.两个平面α，β垂直时，设交线为l ，则在平面α内与l 平行的直线都平行于平面β，故A 正确；如果平面α内存在直线垂直于平面β，那么由面面垂直的判定定理知α⊥β，故B 正确；两个平面都与第三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故C 正确；两个平面α，β垂直时，平面α内与交线平行的直线与β平行，故D 错误．
2.如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC (端点除外)上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．
解析：过点K 作KM ⊥AF 于M 点，连接DM ，
易得DM ⊥AF ，与折前的图形对比， 可知折前的图形中D 、M 、K 三点共线， 且DK ⊥AF ，于是△DAK ∽△FDA ， ∴AK AD ＝AD DF ，∴t 1＝1DF ，∴t ＝1DF
. ∵DF ∈(1，2)，∴t ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1. 答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1 3.如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .
(1)求证：AE ⊥平面BCE ；
(2)设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE . 解：(1)证明：因为AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ， 所以BC ⊥平面ABE ， 则AE ⊥BC .
又因为BF ⊥平面ACE ， 则AE ⊥BF .又BC ∩BF ＝B ， 所以AE ⊥平面BCE .
(2)在三角形ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点，在三角形BEC 中，过G 点作GN ∥BC 交EC 于N 点，连接MN .
由比例关系易得CN ＝1
3
CE .
因为MG ∥AE ，MG 平面ADE ，AE 平面ADE ， 所以MG ∥平面ADE ， 同理，GN ∥平面ADE .
又MG∩GN＝G，
所以平面MGN∥平面ADE.
又MN平面MGN，
所以MN∥平面ADE，
所以点N为线段CE上靠近点C的一个三等分点．
4.如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．
(1)求证：PA⊥平面ABC；
(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．
证明：(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F.
∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，
∴DF⊥平面PAC，
PA平面PAC，∴DF⊥AP.
作DG⊥AB于G.同理可证DG⊥AP.
DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，
∴PA⊥平面ABC.
(2)连接BE并延长交PC于H.
∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.
又已知AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.
∴PC⊥平面ABE，∴PC⊥AB.
又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴AB⊥平面PAC.
∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．。