(江苏专用)2020版高考数学二轮复习 微专题九 空间几何体的位置关系练习(无答案)苏教版
新高考2020高考数学二轮复习小题考法专训四空间几何体与空间位置关系
小题考法专训（四） 空间几何体与空间位置关系A 级——保分小题落实练一、选择题1.已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD 是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A 到C 的路径中，最短路径的长度为( )A ．210B ．2 5C ．3D ．2解析：选A 如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，则在此圆柱侧面上从A 到C 的最短路径为线段AC ，AC ＝22＋62＝210.故选A.2．已知a ，b ，c 表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列命题： ①若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α； ②若a ⊥b ，b ⊥α，c ⊥α，则a ⊥c ； ③若a ⊥b ，b ⊥α，则a ∥α；④若a ∥b ，b ∥α，b ⊂β，α∩β＝c ，则a ∥c . 其中错误命题的序号是( ) A ．①③ B ．②④ C ．③④D ．①②解析：选A 对于①，由a ∥b ，b ∥α，可得a ∥α或a ⊂α，故①错误；对于②，由b ⊥α，c ⊥α得b ∥c ，又a ⊥b ，所以a ⊥c .故②正确；对于③，由a ⊥b ，b ⊥α，可得a ∥α或a ⊂α，故③错误；对于④，由b ∥α，b ⊂β，α∩β＝c 得b ∥c ，又a ∥b ，所以a ∥c ，④正确．综上所述，错误命题的序号是①③，选A.3．设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为( )A ．100πB ．2563πC.4003π D ．5003π解析：选D 因为切面圆的半径r ＝4，球心到切面的距离d ＝3，所以球的半径R ＝r 2＋d 2＝42＋32＝5，故球的体积V ＝43πR 3＝43π×53＝5003π，即该西瓜的体积为5003π.4．(2019·广州综合测试)如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为矩形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点，在此几何体中，给出下面结论：①直线BE 与直线CF 异面；②直线BE 与直线AF 异面；③直线EF∥平面PBC ；④平面BCE ⊥平面PAD .其中正确的结论个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选C 将平面展开图还原成直观图如图所示．∵E ，F 分别为PA ，PD 的中点，∴EF ∥AD .又四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∴EF ∥BC ，∴B ，C ，F ，E 四点共面．∴直线BE 与直线CF 共面，不是异面直线，故①错误；∵E ∈平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，点E 不在直线AF 上，B ∉平面PAD ， ∴直线BE 与直线AF 为异面直线，故②正确；∵EF ∥BC ，BC ⊂平面PBC ，EF ⊄平面PBC ，∴EF ∥平面PBC ，故③正确；假设平面BCE ⊥平面PAD ，即平面BCFE ⊥平面PAD ，又平面BCFE ∩平面PAD ＝EF ，作PM ⊥EF ，垂足为M ，可得PM ⊥平面BCE ，但由题中条件无法证得PM ⊥平面BCE ，故假设不成立，故④错误．故选C.5．已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O 的体积为( ) A.823π B ．833πC.863π D ．1623π解析：选A 将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2 2.因为球O 与正四面体的各棱都相切，所以球O 为正方体的内切球，即球O 的直径2R ＝22，则球O 的体积V ＝43πR 3＝823π.6．如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为4π3的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋(球体)离蛋巢底面的最短距离为( )A.2－12 B ．2＋12 C.6－12D ．3－12解析：选D 因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，又因为鸡蛋的体积为4π3，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离为32，所以截面到球体最低点的距离为1－32，而蛋巢的高度为12，故球体到蛋巢底面的最短距离为12－⎝⎛⎭⎪⎫1－32＝3－12.7．若l ，m 为两条不同的直线，α为平面，且l ⊥α，则“m ∥α”是“m ⊥l ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 依题意，由m ∥α知存在直线m 1⊂α，m ∥m 1，由l ⊥α，m 1⊂α得l ⊥m 1，又m ∥m 1，因此有l ⊥m ，“m ∥α”是“m ⊥l ”的充分条件．反过来，由m ⊥l 不能得到m ∥α，此时直线m 可能位于平面α内，因此“m ∥α”不是“m ⊥l ”的必要条件．综上所述，“m ∥α”是“m ⊥l ”的充分不必要条件，选A.8.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，动点E 在棱BB 1上，动点F 在线段A 1C 1上，O 为底面ABCD 的中心，若BE ＝x ，A 1F ＝y ，则四面体O AEF 的体积( )A ．与x ，y 都有关B ．与x ，y 都无关C ．与x 有关，与y 无关D ．与x 无关，与y 有关解析：选B 如图，因为V O AEF ＝V E OAF ，所以，考查△AOF 的面积和点E 到平面AOF 的距离的值， 因为BB 1∥平面ACC 1A 1，所以点E 到平面AOF 的距离为定值，又AO ∥A 1C 1， 所以OA 为定值，点F 到直线AO 的距离也为定值， 即△AOF 的面积是定值，所以四面体O AEF 的体积与x ，y 都无关，故选B.9．(2019·成都一诊)在各棱长均相等的直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知M 是棱BB 1的中点，N 是棱AC 的中点，则异面直线A 1M 与BN 所成角的正切值为( )A. 3 B ．1 C.63D ．22解析：选C 取AA 1的中点P ，连接PN ，PB ，则由直三棱柱的性质可知A 1M ∥PB ，则∠PBN 为异面直线A 1M 与BN 所成的角(或其补角)．设三棱柱的棱长为2，则PN ＝2，PB ＝5，BN＝3，所以PN 2＋BN 2＝PB 2，所以∠PNB ＝90°，在Rt △PBN 中，tan ∠PBN ＝PN BN＝23＝63，故选C.10．(2019·福州模拟)在三棱锥P ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝2，AB ＝AC ＝1，BC ＝3，则该三棱锥外接球的体积是( )A.4π3B ．82π3C ．43πD ．32π3解析：选A 由PA ＝PB ＝PC ＝2，得点P 在平面ABC 内的射影O 为底面△ABC 的外心，PO ⊥平面ABC ，所以PO ⊥OA ，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，BC ＝3，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝－12，所以sin ∠BAC ＝32.由正弦定理得OA ＝BC 2sin ∠BAC ＝1，即OA ＝OB ＝OC ＝1.在Rt △POA 中，PO ＝PA 2－OA 2＝1，所以OA ＝OB ＝OC ＝OP ＝1，所以三棱锥P ABC 的外接球的球心为O ，其半径为1，故三棱锥P ABC 的外接球的体积为4π3，选A.11．已知三棱锥P ABC 的棱AP 、AB 、AC 两两垂直，且长度都为3，以顶点P 为球心，以2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于( )A ．3πB ．3π2C.4π3D ．5π6解析：选B 如图所示，Rt △PAC ，Rt △PAB 为等腰直角三角形，且AP ＝AB ＝AC ＝ 3. 以顶点P 为球心，以2为半径作一个球与Rt △PAC 的PC ，AC 分别交于M ，N 两点， 得cos ∠APN ＝32，所以∠APN ＝π6， 所以∠NPM ＝π12，所以MN ＝π12×2＝π6，同理GH ＝π6，HN ＝π2×1＝π2，又GM 是以顶点P 为圆心，以2为半径的圆周长的16，所以GM ＝2π×26＝2π3，所以球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于π6＋π6＋π2＋2π3＝9π6＝3π2.故选B.12．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A.334 B ．233C.324D ．32解析：选A 如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，平面AB 1D 1与棱A 1A ，A 1B 1，A 1D 1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A 1A ，A 1B 1，A 1D 1平行，故正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的每条棱所在直线与平面AB 1D 1所成的角都相等．如图所示，取棱AB ，BB 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1D ，DA 的中点E ，F ，G ，H ，M ，N ，则正六边形EFGHMN 所在平面与平面AB 1D 1平行且面积最大，此截面面积为S 正六边形EFGHMN ＝6×12×22×22×sin 60°＝334.故选A.二、填空题13．(2019·北京高考)已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l ⊥m ； ②m ∥α； ③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________________________.解析：已知l ，m 是平面α外的两条不同直线，由①l ⊥m 与②m ∥α，不能推出③l ⊥α，因为l 可以与α平行，也可以相交不垂直； 由①l ⊥m 与③l ⊥α能推出②m ∥α； 由②m ∥α与③l ⊥α可以推出①l ⊥m . 故正确的命题是②③⇒①或①③⇒②.答案：若m ∥α且l ⊥α，则l ⊥m (或若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥α)14.(2019·重庆七校联考)如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段BC 1上运动． 有下列判断：①平面PB 1D ⊥平面ACD 1； ②A 1P ∥平面ACD 1；③异面直线A 1P 与AD 1所成角的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π3；④三棱锥D 1APC 的体积不变．其中正确的是______．(把所有正确判断的序号都填上)解析：在正方体中，易知B 1D ⊥平面ACD 1，B 1D ⊂平面PB 1D ，所以平面PB 1D ⊥平面ACD 1，所以①正确；连接A 1B ，A 1C 1图略，容易证明平面A 1BC 1∥平面ACD 1，又A 1P ⊂平面A 1BC 1，所以A 1P ∥平面ACD 1，所以②正确；因为BC 1∥AD 1，所以异面直线A 1P 与AD 1所成的角就是直线A 1P 与BC 1所成的角，在△A 1BC 1中，易知所求角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，所以③错误；VD 1APC ＝VC AD 1P ，因为点C 到平面AD 1P 的距离不变，且△AD 1P 的面积不变，所以三棱锥D 1APC 的体积不变，所以④正确．答案：①②④15.如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的边长为2，过BD 1的截面的面积为S ，则S 的最小值为________．解析：由题知，过BD 1的截面可能是矩形，可能是平行四边形， (1)当截面为矩形，即截面为ABC 1D 1，A 1BCD 1，BB 1D 1D 时， 由正方体的对称性可知SABC 1D 1＝SA 1BCD 1＝SBB 1D 1D ＝4 2. (2)当截面为平行四边形时，如图所示，过点E 作EM ⊥BD 1于M ，如图(a)所示，SBED 1F ＝BD 1·EM ， 又因为BD 1＝23，所以SBED 1F ＝EM ·23，过点M 作MN ∥D 1D 交BD 于N ，连接AN ，当AN ⊥BD 时，AN 最小，此时，EM 的值最小，且EM ＝2，故四边形BED 1F 的面积最小值为SBED 1F ＝2×23＝26， 又因为42＞26，所以过BD 1的截面面积S 的最小值为2 6. 答案：2 616．(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为________．解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABC 于O ，则PO 为P 到平面ABC 的距离． 再过O 作OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ，连接PC ，PE ，PF ，则PE ⊥AC ，PF ⊥BC . 又PE ＝PF ＝3，所以OE ＝OF ， 所以CO 为∠ACB 的平分线， 即∠ACO ＝45°.在Rt △PEC 中，PC ＝2，PE ＝3，所以CE ＝1， 所以OE ＝1，所以PO ＝PE 2－OE 2＝(3)2－12＝ 2. 答案： 2B 级——拔高小题提能练1.[多选题]如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为3，线段B 1D 1上有两个动点E ，F 且EF ＝1，则当E ，F 移动时，下列结论正确的是( )A ．AE ∥平面C 1BDB ．四面体ACEF 的体积不为定值C ．三棱锥A BEF 的体积为定值D ．四面体ACDF 的体积为定值解析：选ACD 对于A ，如图1，AB 1∥DC 1，易证AB 1∥平面C 1BD ，同理AD 1∥平面C 1BD ，且AB 1∩AD 1＝A ，所以平面AB 1D 1∥平面C 1BD ，又AE ⊂平面AB 1D 1，所以AE ∥平面C 1BD ，A 正确；对于B ，如图2，S △AEF ＝12EF ·h 1＝12×1×(32)2－⎝⎛⎭⎪⎫3222＝364，点C 到平面AEF 的距离为点C 到平面AB 1D 1的距离d 1为定值，所以V A CEF ＝V C AEF ＝13×364×d 1＝64d 1为定值，所以B 错误；对于C ，如图3，S △BEF ＝12×1×3＝32，点A 到平面BEF 的距离为点A 到平面BB 1D 1D 的距离d 2为定值，所以V A BEF ＝13×32×d 2＝12d 2为定值，C 正确；对于D ，如图4，四面体ACDF 的体积V A CDF ＝V F ACD ＝13×12×3×3×3＝92为定值，D 正确．故选ACD.2．某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如下检查项目．项目①：折叠状态下(如图1)，检查四条桌腿长相等；项目②：打开过程中(如图2)，检查OM ＝ON ＝O ′M ′＝O ′N ′； 项目③：打开过程中(如图2)，检查OK ＝OL ＝O ′K ′＝O ′L ′； 项目④：打开后(如图3)，检查∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°； 项目⑤：打开后(如图3)，检查AB ＝CD ＝A ′B ′＝C ′D ′.在检查项目的组合中，可以判断“桌子打开之后桌面与地面平行”的是( ) A ．①②③⑤ B ．②③④⑤ C ．②④⑤D ．③④⑤解析：选B A 选项，项目②和项目③可推出项目①，若∠MON ＞∠M ′O ′N ′，则MN 较低，M ′N ′较高，所以不平行，错误；B 选项，因为∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，所以平面ABCD ∥平面A ′B ′C ′D ′，因为AB ＝A ′B ′，所以AA ′平行于地面，由②③⑤知，O 1O 1′∥AA ′∥平面MNN ′M ′，所以桌面平行于地面，故正确；C 选项，由②④⑤得，OM ＝ON ，O 1A ⊥AA ′，O 1′A ′⊥AA ′，AB ＝A ′B ′，所以AA ′∥BB ′，但O 1A 与O 1′A ′是否相等不确定，所以不确定O 1O 1′与BB ′是否平行，又O 1O 1′∥MN ，所以不确定BB ′与MN 是否平行，故错误；D 选项，OK ＝OL ＝O ′K ′＝O ′L ′，所以AA ′∥BB ′，但不确定OM 与ON ，O ′M ′，O ′N ′的关系，所以无法判断MN 与地面的关系，故错误．综上，选B.3.已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH 的体积为________．解析：连接AD 1，CD 1，B 1A ，B 1C ，AC ，因为E ，H 分别为AD 1，CD 1的中点，所以EH ∥AC ，EH ＝12AC ，因为F ，G 分别为B 1A ，B 1C 的中点，所以FG ∥AC ，FG ＝12AC ，所以EH ∥FG ，EH ＝FG ，所以四边形EHGF 为平行四边形，又EG ＝HF ，EH ＝HG ，所以四边形EHGF 为正方形，又点M 到平面EHGF 的距离为12，所以四棱锥M EFGH 的体积为13×⎝⎛⎭⎪⎫222×12＝112. 答案：1124．已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为______，若三棱锥内有一个体积为V 的球，则V 的最大值为________．解析：该三棱锥侧面的斜高为⎝ ⎛⎭⎪⎫13×32＋12＝233，则S 侧＝3×12×2×233＝23，S 底＝12×3×2＝3，所以三棱锥的表面积S 表＝23＋3＝3 3. 由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大．设三棱锥的内切球的半径为r ，则三棱锥的体积V 锥＝13S 表·r ＝13S 底·1，所以33r ＝3，所以r ＝13，所以三棱锥的内切球的体积最大为V max ＝43πr 3＝4π81.答案：3 34π815．已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则该圆锥体积的最大值为________． 解析：由题意得圆锥的母线长为3，设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则h ＝9－r 2，所以圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝13πr 29－r 2＝13π9r 4－r 6.设f (r )＝9r 4－r 6(r ＞0)，则f ′(r )＝36r 3－6r 5， 令f ′(r )＝36r 3－6r 5＝6r 3(6－r 2)＝0，得r ＝6，所以当0＜r ＜6时，f ′(r )＞0，f (r )单调递增，当r ＞6时，f ′(r )＜0，f (r )单调递减，所以f (r )max ＝f (6)＝108，所以V max ＝13π×108＝23π.答案：23π。
(江苏专用)2020版高考数学二轮复习微专题九空间几何体的位置关系课件苏教版 (1)
2. 如图，在三棱锥 P-ABC 中，平面 PAC⊥平面 ABC，AB＝BC，PA⊥PC.点 E，F， O 分别为线段 PA，PB，AC 的中点，点 G 是线段 CO 的中点．求证： (1) FG∥平面 EBO； (2) PA⊥BE.
证明：(1) 连接 AF 交 BE 于 Q，连接 QO.
因为 E，F 分别为边 PA，PB 的中点， 所以 Q 为△PAB 的重心，故AQQF＝2.
设 AB＝a，在等腰直角三角形 PCD 中，DF＝PF＝ 2a. 在 Rt△PAB 中，PB＝ 5a. 在直角梯形 ABCD 中，BD＝BC＝ 5a. 因为 BC＝PB＝ 5a，点 F 为 PC 的中点，所以 PC⊥FB. 在 Rt△PFB 中，FB＝ 3a. 在△FDB 中，由 DF＝ 2a，FB＝ 3a，BD＝ 5a 可知 DF2＋FB2＝BD2，所以 FB ⊥DF. 由 DF⊥PC，DF⊥FB，PC∩FB＝F，PC，FB⊂平面 PBC，所以 DF⊥平面 PBC. 又 DF⊂平面 PCD，所以平面 PBC⊥平面 PDC.
核心模块三 立体几何 微专题九 空间几何体的位置关系
考课 情时 分作 析业
在近几年的高考题中，空间几何体的位置关系如线面平行都有考察，线线垂直和 面面垂直也都有考察，难度为基础题，对证明的书写规范要求很高．
年份 2017 2018 019
解答题 T16考察线线垂直和线面平行 T15考察线面平行和面面垂直
证明：(1) 设 AC，BD 交点为 O，连接 OM. 因为底面 ABCD 是平行四边形，所以 O 为 AC 的中点． 因为 M 为线段 SC 的中点，所以 OM∥AS. 因为 OM⊂平面 BDM，AS⊄平面 BDM 所以 AS∥平面 BDM.
(2) 因为平面 SAB⊥平面 SBC，平面 SAB∩平面 SBC＝BS，AS⊥BS，AS⊂平面 SAB， 所以 AS⊥平面 SBC. 因为 BM⊂平面 SBC，所以 AS⊥BM. 因为 BS＝BC，M 为线段 SC 的中点，所以 BM⊥SC. 又 AS∩SC＝S，AS，SC⊂平面 SAC，所以 BM⊥平面 SAC. 因为 AC⊂平面 SAC，所以 BM⊥AC.
江苏专用2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.2两条直线的位置关系课件理苏教版
命题点3 直线关于直线的对称问题 例5 (2016·泰州模拟)已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6 ＝0关于直线l的对称直线m′的方程.
解答
解决对称问题的方法
思维升华
(1)中心对称
①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
x′＝2a－x， y′＝2b－y.
(2)两条直线的交点 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标
A1x＋B1y＋C1＝0，
就是方程组 A2x＋B2y＋C2＝0 的解.
2.几种距离 (1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离P1P2＝ x2－x12＋y2－y12 .
思维升华
(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况， 也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x，y的系数不能同时 为零这一隐含条件. (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关 系得出结论.
跟踪训练1 已知两直线l1：x＋ysin α－1＝0和l2：2x·sin α＋y＋1＝0， 求α的值，使得： (1)l1∥l2；
4.(2016· 苏州模拟)已知两点A(1,2)，B(5,5)到直线l的距离分别是3和2， 则满足条件的直线共有___3___条.
答案 解析
以A(1,2)为圆心，3为半径的圆A：(x－1)2＋(y－2)2＝9， 以B(5,5)为圆心，2为半径的圆B：(x－5)2＋(y－5)2＝4， 根据题意所要满足的条件， 则l是圆A与圆B的公切线，因为A(1,2)，B(5,5)两点间的距离d＝5， 即d＝r1＋r2，所以圆A与圆B相外切，所以有3条公切线.
例1 (1)(2017·苏北四市联考)已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与
(江苏专用)2020版高考数学二轮复习专题四立体几何第2讲空间点、线、面的位置关系练习文苏教版
第2讲 空间点、线、面的位置关系1．(2019·揭阳模拟改编)设平面α，β，直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂α，则“a ∥β，b ∥β”是“α∥β”的________条件．[解析] 由平面与平面平行的判定定理可知，若直线a ，b 是平面α内两条相交直线，且a ∥β，b ∥β，则α∥β；当α∥β，若a ⊂α，b ⊂α，则a ∥β，b ∥β，因此“a ∥β，b ∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．[答案] 必要不充分2．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与过点A 、E 、C 的平面的位置关系是________．[解析] 连结AC 、BD 相交于一点O ，连结OE 、AE 、EC ， 因为四边形ABCD 为正方形， 所以DO ＝BO ．而DE ＝D 1E ，所以EO 为△DD 1B 的中位线， 所以EO ∥D 1B ，所以BD 1∥平面AEC ． [答案] BD 1∥平面AEC3．(2019·南京模拟)四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD 且PA ＝4，则PC 与底面ABCD 所成角的正切值为________．[解析] 因为PA ⊥底面ABCD ，所以PC 在底面ABCD 上的射影为AC ，∠PCA 就是PC 与底面ABCD 所成的角，tan ∠PCA ＝PAAC＝2．[答案] 24．(2019·南京、盐城模拟)已知平面α，β，直线m ，n ，给出下列命题： ①若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α⊥β； ②若α∥β，m ∥α，n ∥β，则m ∥n ； ③若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β； ④若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β ，则m ⊥n ．其中是真命题的是________．(填写所有真命题的序号)[解析] ①错误，还有可能α，β相交；②错误，直线m ，n 可能平行、相交或异面；③④正确．[答案] ③④5．(2019·镇江期末)如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD ，则在三棱锥A BCD 中，下列命题正确的是________．(填序号)①平面ABD ⊥平面ABC ；②平面ADC ⊥平面BDC ； ③平面ABC ⊥平面BDC ；④平面ADC ⊥平面ABC ．[解析] 因为在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，所以BD ⊥CD ， 又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以CD ⊥平面ABD ，则CD ⊥AB ， 又AD ⊥AB ，AD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面ADC ， 又AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ADC ． [答案] ④6．(2019·无锡期末)已知两条直线m 、n ，两个平面α、β．给出下面四个命题： ①m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α；②α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n ； ③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α；④α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β． 其中正确命题的序号是________．[解析] 两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故①正确；两平面平行，分别在这两平面内的两直线可能平行，也可能异面，故②错；m ∥n ，m ∥α时，n ∥α或n ⊂α，故③错；由α∥β，m ⊥α得m ⊥β，由m ⊥β，n ∥m 得n ⊥β，故④正确．[答案] ①④7．(2019·苏州调研)正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 为CC 1的中点，点N 为线段DD 1上靠近D 1的三等分点，平面BMN 交AA 1于点Q ，则线段AQ 的长为________．[解析] 如图所示，在线段DD 1上靠近点D 处取一点T ，使得DT ＝13，因为N 是线段DD 1上靠近D 1的三等分点，故D 1N ＝23，故NT ＝2－13－23＝1，因为M 为CC 1的中点，故CM ＝1，连接TC ，由NT ∥CM ，且CM ＝NT ＝1，知四边形CMNT 为平行四边形，故CT ∥MN ，同理在AA 1上靠近A 处取一点Q ′，使得AQ ′＝13，连接BQ ′，TQ ′，则有BQ ′∥CT ∥MN ，故BQ ′与MN 共面，即Q ′与Q 重合，故AQ ＝13．[答案] 138．如图，∠ACB ＝90°，DA ⊥平面ABC ，AE ⊥DB 交DB 于点E ，AF ⊥DC 交DC 于点F ，且AD ＝AB ＝2，则三棱锥D AEF 体积的最大值为________．[解析] 因为DA ⊥平面ABC ，所以DA ⊥BC ，又BC ⊥AC ，DA ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面ADC ，所以BC ⊥AF ．又AF ⊥CD ，BC ∩CD ＝C ，所以AF ⊥平面DCB ，所以AF ⊥EF ，AF ⊥DB ．又DB ⊥AE ，AE ∩AF ＝A ，所以DB ⊥平面AEF ，所以DE 为三棱锥D AEF 的高．因为AE 为等腰直角三角形ABD斜边上的高，所以AE ＝2，设AF ＝a ，FE ＝b ，则△AEF 的面积S ＝12ab ≤12·a 2＋b 22＝12×22＝12，所以三棱锥D AEF 的体积V ≤13×12×2＝26(当且仅当a ＝b ＝1时等号成立)．[答案]269．如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝12，则下列结论中正确的是________．(填序号)①AC ⊥BE ； ②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A BEF 的体积为定值； ④△AEF 的面积与△BEF 的面积相等． [解析] 因为AC ⊥平面BB 1D 1D ，又BE ⊂平面BB 1D 1D ，所以AC ⊥BE ，故①正确． 因为B 1D 1∥平面ABCD ，又E 、F 在线段B 1D 1上运动， 故EF ∥平面ABCD ．故②正确．③中由于点B 到直线EF 的距离是定值，故△BEF 的面积为定值，又点A 到平面BEF 的距离为定值，故V A BEF 不变．故③正确．由于点A 到B 1D 1的距离与点B 到B 1D 1的距离不相等，因此△AEF 与△BEF 的面积不相等，故④错误．[答案] ①②③10．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8，∠ABC ＝60°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M 是AB 上一个动点，则PM 的最小值为________．[解析] 如图，因为PC ⊥平面ABC ，MC ⊂平面ABC ，所以PC ⊥MC ． 故PM ＝PC 2＋MC 2＝MC 2＋16．又因为MC 的最小值为4×438＝23，所以PM 的最小值为27．[答案] 2711．(2019·江苏省高考名校联考(五))如图，在斜三棱柱ABC A 1B 1C 1中，CC 1＝CA ，点E ，F 分别为AC 1，BC 1的中点．(1)若B 1C 1上存在一点G ，使得平面EFG ∥平面AA 1B 1B ，求证：点G 为B 1C 1的中点； (2)若AC 1⊥AB ，求证：平面CEF ⊥平面ABC 1．[证明] (1)如图，连接AB 1，因为平面EFG ∥平面AA 1B 1B ，EG ⊂平面EFG ， 所以EG ∥平面AA 1B 1B ．因为EG ⊂平面AB 1C 1，平面AB 1C 1∩平面AA 1B 1B ＝AB 1，所以EG ∥AB 1， 因为点E 为AC 1的中点，所以点G 为B 1C 1的中点． (2)因为CC 1＝CA ，点E 为AC 1的中点， 所以CE ⊥AC 1．因为点E ，F 分别为AC 1，BC 1的中点，所以EF ∥AB ， 因为AC 1⊥AB ，所以EF ⊥AC 1．又CE ∩EF ＝E ，CE ，EF ⊂平面CEF ，所以AC 1⊥平面CEF ，因为AC 1⊂平面ABC 1，所以平面CEF ⊥平面ABC 1．12．(2019·南通调研)如图，在四面体ABCD 中，平面BAD ⊥平面CAD ，∠BAD ＝90°．M ，N ，Q 分别为棱AD ，BD ，AC 的中点．(1)求证：CD ∥平面MNQ ； (2)求证：平面MNQ ⊥平面CAD ．[证明] (1)因为M ，Q 分别为棱AD ，AC 的中点， 所以MQ ∥CD ，又CD ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ， 故CD ∥平面MNQ ．(2)因为M ，N 分别为棱AD ，BD 的中点，所以MN ∥AB ，又∠BAD ＝90°，故MN ⊥AD ． 因为平面BAD ⊥平面CAD ，平面BAD ∩平面CAD ＝AD ，且MN ⊂平面ABD ，所以MN ⊥平面CAD ． 又MN ⊂平面MNQ ，所以平面MNQ ⊥平面CAD ．13．(2019·南京、盐城模拟)如图①，E ，F 分别是直角三角形ABC 边AB 和AC 的中点，∠B ＝90°，沿EF 将三角形ABC 折成如图②所示的锐二面角A 1EF B ，若M 为线段A 1C 的中点．求证：(1)直线FM ∥平面A 1EB ； (2)平面A 1FC ⊥平面A 1BC ．[证明] (1)取A 1B 中点N ，连结NE ，NM (图略)， 则MN 綊12BC ，EF 綊12BC ，所以MN 綊FE ，所以四边形MNEF 为平行四边形，所以FM ∥EN ， 又因为FM ⊄平面A 1EB ，EN ⊂平面A 1EB ， 所以直线FM ∥平面A 1EB ．(2)因为E ，F 分别为AB 和AC 的中点，所以A 1F ＝FC ，所以FM ⊥A 1C ． 同理，EN ⊥A 1B ，由(1)知，FM ∥EN ，所以FM ⊥A 1B ． 又因为A 1C ∩A 1B ＝A 1，所以FM ⊥平面A 1BC ， 又因为FM ⊂平面A 1FC ， 所以平面A 1FC ⊥平面A 1BC ．14．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，过A 1、C 1、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD A 1C 1D 1，且这个几何体的体积为403．(1)求AA 1的长；(2)在线段BC 1上是否存在点P ，使直线A 1P 与C 1D 垂直，如果存在，求线段A 1P 的长，如果不存在，请说明理由．[解] (1)因为VABCD A 1C 1D 1＝VABCD A 1B 1C 1D 1－VB A 1B 1C 1 ＝2×2×AA 1－13×12×2×2×AA 1＝103AA 1＝403，所以AA 1＝4．(2)存在点P 满足题意．在平面CC 1D 1D 中作D 1Q ⊥C 1D 交CC 1于Q ，过Q 作QP ∥CB 交BC 1于点P ，则A 1P ⊥C 1D ．因为A 1D 1⊥平面CC 1D 1D ，C 1D ⊂平面CC 1D 1D ， 所以C 1D ⊥A 1D 1，而QP ∥CB ，CB ∥A 1D 1， 所以QP ∥A 1D 1，又因为A 1D 1∩D 1Q ＝D 1，所以C 1D ⊥平面A 1PQD 1， 且A 1P ⊂平面A 1PQD 1，所以A 1P ⊥C 1D ． 因为Rt △D 1C 1Q ∽Rt △C 1CD ， 所以C 1Q CD ＝D 1C 1C 1C，所以C 1Q ＝1，又因为PQ ∥BC ，所以PQ ＝14BC ＝12．因为四边形A 1PQD 1为直角梯形，且高D 1Q ＝5， 所以A 1P ＝（2－12）2＋5＝292．。
2020江苏高考理科数学二轮讲义：空间几何体含解析
所以AE⊥BD．
由于平面ABD⊥平面BCD、
AE⊥BD、
所以AE⊥平面BCD．
因为AB＝AD＝CD＝1、BD＝ 、
所以AE＝ 、EO＝ ．所以OA＝ ．
在Rt△BDC中、OB＝OC＝OD＝ BC＝ 、
所以四面体ABCD的外接球的球心为O、半径为 ．
所以该球的体积V＝ π ＝ π．
[解析]由题意知、V1＝a3、S1＝6a2、V2＝ πr3、S2＝ πr2、由 ＝ 得、 ＝ 、得a＝r、从而 ＝ ＝ ．
[答案]
3．(20xx·江苏省高考名校联考(八))在一次模具制作大赛中、小明制作了一个母线长和底面直径相等的圆锥、而小强制作了一个球、经测量得圆锥的侧面积恰好等于球的表面积、则圆锥和球的体积的比值等于________．
[解析]依题意得、该正四棱锥的底面对角线长为3 × ＝6、高为 ＝3、因此底面中心到各顶点的距离均等于3、所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形的中心、其外接球的半径为3、所以其外接球的表面积等于4π×32＝36π．
[答案]36π
9．(20xx·江苏省高考名校联考信息卷(五))如图是一个实心金属几何体的直观图、它的中间为高是4的圆柱、上下两端均是半径为2的半球、若将该实心金属几何体在熔炉中高温熔化(不考虑过程中的原料损失)、熔成一个实心球、则该球的直径为______．
[解析]设矩形的两邻边长度分别为a、b、则ab＝8、此时2a＋2b≥4 ＝8 、当且仅当a＝b＝2 时等号成立、此时四边形ABCD为正方形、其中心到四个顶点的距离相等、均为2、无论怎样折叠、其四个顶点都在一个半径为2的球面上、这个球的表面积是4π×22＝16π．
[答案]16π
1．(20xx·南京、盐城高三模拟)设一个正方体与底面边长为2 、侧棱长为 的正四棱锥的体积相等、则该正方体的棱长为________．
(江苏专用)2020版高考数学总复习第八章第一节空间点、直线、平面之间的位置关系课件苏教版
且AC⊥BD.
5.(2017江苏海安高级中学模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是BD1的
中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,给出下列四个结论:
①A1、M、O三点共线;
②M、O、A1、A四点共面;
③A、O、C、M四点共面;
④B、B1、O、M四点共面.
其中正确结论的序号是
.
答案 ①②③ 解析 因为O是BD1的中点,由正方体的性质知,O也是A1C的中点,所以 点O在直线A1C上,又直线A1C交平面AB1D1于点M,则A1、M、O三点共线, 故①正确.又由题意易知②③均正确,所以①②③正确.
考点二 空间两直线的位置关系
典例2 (1)如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则各
图形中直线GH与MN是异面直线的是
.(填序号)
(2)下图是正方体的一种表面展开图,则图中的AB,CD,EF,GH在原正方
体中互相异面的对数为
.
答案 (1)②④ (2)3
解析 (1)①中,直线GH∥MN;②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,N ∉直线GH,因此直线GH与MN异面;③中,连接MG,易知GM∥HN,因此 GH与MN共面;④中,G,M,N三点共面,但H∉平面GMN,G∉直线MN,因此 直线GH与MN异面. (2)将展开图还原为正方体,如图所示,
1-1 如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,
∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD,BC= 1 AD,BE∥AF,BE= 1AF,G、H分别为
2
2
FA、FD的中点.
(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;
(2)C、D、F、E四点是否共面?说明理由.
2020江苏高考理科数学二轮练习：高考热点追踪立体几何专题强化 精练提能 含解析
1．(20xx·徐州、淮安、宿迁、连云港四市模拟)已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为________．[解析] 由题意得圆锥的底面半径、高分别为r ＝1，h ＝3，故该圆锥的体积为V ＝13π×12×3＝3π3． [答案]33π 2．(20xx·江苏省高考命题研究专家原创卷(五))《九章算术》第五章《商功》记载：今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？此处圆堡瑽即圆柱体，其意思是：有一个圆柱体的底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若π的值取3，估算该圆堡瑽的体积为________立方尺．(注：一丈等于十尺)[解析] 设该圆柱体底面圆的半径为r 尺，则由题意得2πr ＝48，所以r ≈8，又圆柱体的高为11尺，故该圆堡瑽的体积V ＝πr 2h ≈2 112立方尺．[答案] 2 1123．(20xx·苏北四市高三模拟)已知矩形ABCD 的边AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使平面DAC ⊥平面BAC ，则三棱锥D -ABC 的体积为________．[解析] 在平面DAC 内过点D 作DE ⊥AC ，因为平面DAC ⊥平面BAC ，由面面垂直的性质定理可得DE ⊥平面BAC ．又DE ＝125，所以三棱锥D -ABC 的体积为13×12×4×3×125＝245．[答案] 2454．(20xx·南京模拟)设平面α与平面β相交于直线m ，直线b 在平面α内，直线c 在平面β内，且c ⊥m ，则“c ⊥b ”是“α⊥β”的________条件．[解析] 若α⊥β，又α∩β＝m ，c ⊂β，c ⊥m 可得c ⊥α，因为b ⊂α，所以c ⊥b ．反过来c ⊥b 不能得到α⊥β(如b ∥m 时，由c ⊥m 可得c ⊥b ，但不能判断α，β的位置关系)．[答案] 必要不充分5．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．[解析] 因为EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ，所以EF ∥AC ，又因为E 是AD 的中点，所以F 是CD 的中点，即EF 是△ACD 的中位线， 所以EF ＝12AC ＝12×22＝2．[答案] 26．(20xx·扬州模拟)设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，有下列三个命题： ①若l ⊥α，m ⊂α，则l ⊥m ； ②若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m ； ③若l ∥α，m ∥α，则l ∥m ． 则其中正确命题的序号是________．[解析] 根据线面垂直的性质定理可知①正确． [答案] ①7．(20xx·南通高三模拟)已知正三棱柱的各条棱长均为a ，圆柱的底面直径和高均为b ．若它们的体积相等，则a 3∶b 3的值为________．[解析] 由题意可得12×a 2×32×a ＝π(b 2)2×b ，即34a 3＝14πb 3，则a3b3＝π3＝3π3．[答案]3π38．(20xx·江苏省高考命题研究专家原创卷(三))如图，若三棱锥A 1BCB 1的体积为3，则三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为________．[解析] 设三棱柱的底面面积为S ，高为h ，则VA 1ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ＝13VABC A 1B 1C 1，同理VC A 1B 1C 1＝13VABC A 1B 1C 1，所以VA 1BCB 1＝13VABC A 1B 1C 1．又VA 1BCB 1＝3，所以三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为9．[答案] 99．(20xx·南通模拟)如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与CF 异面；②直线BE 与AF 异面；③直线EF ∥平面PBC ；④平面BCE ⊥平面PAD ．其中一定正确的有________个．[解析] 如图，易得EF ∥AD ，AD ∥BC ，所以EF ∥BC ，即B ，E ，F ，C 四点共面，则①错误，②正确，③正确，④不一定正确． [答案] 210．(20xx·江苏高考专家原创卷)已知正三棱锥P -ABC 的体积为223，底面边长为2，D 为侧棱PA 的中点，则四面体D -ABC 的表面积为________．[解析] 设底面正三角形ABC 的中心为O ，连结OA ，OP ，又底面边长为2，可得OA ＝233，由V P ABC ＝13S △ABC ·PO ，即223＝13PO ×34×22，得PO ＝263，所以PA ＝PO2＋AO2＝2．S △ABC ＝3，S △DAB ＝S △DAC ＝32，S △DBC ＝2，所以四面体D -ABC 的表面积为23＋2．[答案] 23＋ 211．(20xx·江苏省高考命题研究专家原创卷(二))已知三棱锥P -ABC 中，PA ＝3，PC ＝2，AC ＝1，平面PAB ⊥平面ABC ，D 是PA 的中点，E 是PC 的中点．(1)求证：DE ∥平面ABC ； (2)求证：平面BDE ⊥平面PAB ．[证明] (1)因为D 是PA 的中点，E 是PC 的中点， 所以DE ∥AC ．又DE ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以DE ∥平面ABC ．(2)因为PA ＝3，PC ＝2，AC ＝1，所以PA 2＋AC 2＝PC 2， 所以三角形PAC 是直角三角形，AC ⊥PA ． 又DE ∥AC ，所以DE ⊥PA ． 过P 作PH ⊥AB 于H ．因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，PH ⊂平面PAB ， 所以PH ⊥AC ．又DE ∥AC ，所以DE ⊥PH ．又PA ∩PH ＝P ，PA ，PH ⊂平面PAB ， 所以DE ⊥平面PAB ．又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PAB ．12．(20xx·南京检测)如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F 分别为BB 1，AC 的中点．(1)求证：BF ∥平面A 1EC ；(2)求证：平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1．[证明] (1)连结AC 1交A 1C 于点O ，连结OE ，OF ，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，所以OA ＝OC 1． 又因为F 为AC 中点，所以OF ∥CC 1且OF ＝12CC 1．因为E 为BB 1中点，所以BE ∥CC 1且BE ＝12CC 1．所以BE ∥OF 且BE ＝OF ，所以四边形BEOF 是平行四边形，所以BF ∥OE ． 又BF ⊄平面A 1EC ，OE ⊂平面A 1EC ， 所以BF ∥平面A 1EC ．(2)由(1)知BF ∥OE ，因为AB ＝CB ，F 为AC 中点， 所以BF ⊥AC ，所以OE ⊥AC ．又因为AA 1⊥底面ABC ，而BF ⊂底面ABC ， 所以AA 1⊥BF ．由BF ∥OE ，得OE ⊥AA 1，而AA 1，AC ⊂平面ACC 1A 1，且AA 1∩AC ＝A ， 所以OE ⊥平面ACC 1A 1．因为OE ⊂平面A 1EC ， 所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1．13．(20xx·江苏高考原创卷)如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，△ACD 是正三角形，AD ＝4，DE ＝2AB ＝3，且F 是CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ；(2)在线段CE 上是否存在点H ，使DH ⊥平面BCE ？若存在，求出CHHE 的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：取CE 的中点P ，连结FP ，BP ， 因为F 为CD 的中点， 所以FP ∥DE ，且FP ＝12DE ．又AB ∥DE ，且AB ＝12DE ，所以AB ∥FP ，且AB ＝FP ， 所以四边形ABPF 为平行四边形， 所以AF ∥BP ．因为AF ⊄平面BCE ，BP ⊂平面BCE ， 所以AF ∥平面BCE ．(2)在线段CE 上存在点H ，使DH ⊥平面BCE ．理由如下：在△CDE 中，过点D 作DH ⊥CE ，交CE 于点H ， 因为△ACD 为正三角形，所以AF ⊥CD ．因为AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，所以DE ⊥平面ACD ，又CD 、AF ⊂平面ACD ，所以DE ⊥AF ，DE ⊥CD ．又CD ∩DE ＝D ，所以AF ⊥平面DCE ．又BP ∥AF ， 所以BP ⊥平面DCE ．因为DH ⊂平面CDE ，所以DH ⊥BP ． 又BP ∩CE ＝P ， 所以DH ⊥平面BCE ．在Rt △CDE 中，CD ＝4，DE ＝3，DH ⊥CE ， 所以CH ＝165，HE ＝95，CH HE ＝169．14．如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝BB 1，AC 1⊥平面A 1BD ，D 为AC 的中点．(1)求证：B 1C 1⊥平面ABB 1A 1；(2)在CC 1上是否存在一点E ，使得∠BA 1E ＝45°，若存在，试确定E 的位置，并判断平面A 1BD 与平面BDE 是否垂直？若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：因为AB ＝B 1B ，所以四边形ABB 1A 1为正方形，所以A 1B ⊥AB 1， 又因为AC 1⊥平面A 1BD ，所以AC 1⊥A 1B ， 所以A 1B ⊥平面AB 1C 1，所以A 1B ⊥B 1C 1． 又在直棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BB 1⊥B 1C 1， 所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1．(2)存在．证明如下：设AB ＝BB 1＝a ，CE ＝x ，因为D 为AC 的中点，且AC 1⊥A 1D ，所以A 1B ＝A 1C 1＝2a ，又因为B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，B 1C 1⊥A 1B 1，所以B 1C 1＝a ，BE ＝a2＋x2， A 1E ＝2a2＋（a －x ）2＝3a2＋x2－2ax ，在△A 1BE 中，由余弦定理得BE 2＝A 1B 2＋A 1E 2－2A 1B ·A 1E ·cos 45 °，即a 2＋x 2＝2a 2＋3a 2＋x 2－2ax －23a2＋x2－2ax·2a ·22，所以3a2＋x2－2ax ＝2a －x ，解得x ＝12a ，即E 是C 1C 的中点，因为D ，E 分别为AC ，C 1C 的中点，所以DE ∥AC 1， 因为AC 1⊥平面A 1BD ，所以DE ⊥平面A 1BD ， 又因为DE ⊂平面BDE ，所以平面A 1BD ⊥平面BDE ．。
(江苏专用)2020版高考数学复习第九章平面解析几何9.2两条直线的位置关系教案
§9.2 两条直线的位置关系考情考向分析 以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查．题型主要以填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是距离公式，是高考考查的重点．1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2， 则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离P 1P 2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.概念方法微思考1．若两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率有什么关系？提示 当两条直线l 1与l 2的斜率都存在时，12·l l k k ＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l 1与l 2也垂直．2．应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？ 提示 (1)将方程化为最简的一般形式．(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x ，y 的系数分别对应相等．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( × ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定为－1.( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( √ )(4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.( × ) (5)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB 的中点在直线l 上．( √ ) 题组二 教材改编2．[P106T8]已知点(a ,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝________. 答案2－1解析 由题意得|a －2＋3|1＋1＝1.解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2.∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.3．[P93T7]已知P (－2，m )，Q (m ,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________. 答案 1解析 由题意知m －4－2－m＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1.4．[P95T3]若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________． 答案 －9解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0， 即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9.题组三 易错自纠5．若直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝________. 答案 2或－3解析 直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ≠0且2m ＝m ＋13≠4－2，故m＝2或－3.6．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是______． 答案324解析 先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－122＝324.7．若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________. 答案 0或1解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.题型一 两条直线的平行与垂直例1已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解 (1)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)， l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1，综上可知，当a ＝－1时，l 1∥l 2，当a ≠－1时，l 1与l 2不平行． 方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0， 由A 1C 2－A 2C 1≠0， 得a (a 2－1)－1×6≠0， ∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6，可得a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2；当a ≠－1时，l 1与l 2不平行． (2)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2， 故a ＝0不成立； 当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a＝－1，得a ＝23.方法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0， 可得a ＝23.思维升华(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 跟踪训练1(1)(2019·如皋调研)已知直线l 1：ax －y ＋2a －1＝0和l 2：3x －(a －2)y ＋5＝0平行，则实数a 的值为________． 答案 －1解析 当两直线平行时，有⎩⎪⎨⎪⎧－a (a －2)＝－3，5a ≠3(2a －1)，解得a ＝－1.(2)已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值． ①l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；②l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解 ①∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0，又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2.②∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即a b＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.题型二 两直线的交点与距离问题1．若直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P (1，－1)，则直线l 的斜率是________． 答案 －23解析 由题意易知直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)－1，分别与y＝1，x －y －7＝0联立解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋1，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －6k －1，－6k ＋1k －1.又因为MN 的中点是P (1，－1)，所以由中点坐标公式得k ＝－23.2．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则PQ 的最小值为________． 答案2910解析 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知PQ 的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以PQ 的最小值为2910. 3．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12 解析 方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行，不合题意)∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1.又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k 2k ＋1>0，6k ＋12k ＋1>0，解得－16<k <12.方法二 如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4,0)，B (0,2)．而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2,1)，斜率为k 的动直线．∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)， ∴动直线的斜率k 需满足k PA <k <k PB . ∵k PA ＝－16，k PB ＝12.∴－16<k <12.4．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，若在坐标平面内存在一点P ，使PA ＝PB ，且点P 到直线l 的距离为2，则P 点坐标为________________． 答案()1，－4或⎝⎛⎭⎪⎫277，－87解析 设点P 的坐标为(a ，b )． ∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0. ①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|42＋32＝2，即4a ＋3b －2＝±10，② 由①②联立解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫277，－87.思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．题型三 对称问题命题点1 点关于点中心对称例2过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________． 答案 x ＋4y －4＝0解析 设l 1与l 的交点为A (a ,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 命题点2 点关于直线对称例3 如图，已知A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是________．答案 210解析 直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线经过的路程为CD ＝62＋22＝210.命题点3 直线关于直线的对称问题例4 直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是______________． 答案 x －2y ＋3＝0解析 设所求直线上任意一点P (x ，y )， 则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0.思维升华解决对称问题的方法 (1)中心对称①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 跟踪训练2已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A 对称的直线l ′的方程． 解 (1)设A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，即A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点必在m ′上． 设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，即M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)方法一 在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1,1)，N (4,3)，则P ，N 关于点A 的对称点P ′，N ′均在直线l ′上．易知P ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 方法二 设Q (x ，y )为l ′上任意一点，则Q (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为Q ′(－2－x ，－4－y )， ∵Q ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.妙用直线系求直线方程在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系． 一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．例1求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程． 解 由题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠1)， 又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11. 因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.二、垂直直线系由于直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件为A 1A 2＋B 1B 2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系．可以考虑用直线系方程求解． 例2求经过A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．解 因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋C ＝0，又直线过点A (2,1)，所以有2－2×1＋C ＝0，解得C ＝0， 即所求直线方程为x －2y ＝0. 三、过直线交点的直线系例3求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．解 方法一 将直线l 1，l 2的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，即直线l 1，l 2的交点为(－1,2)．由题意得直线l 3的斜率为35，又直线l ⊥l 3，所以直线l 的斜率为－53，则直线l 的方程是y －2＝－53()x ＋1， 即5x ＋3y －1＝0.方法二 由于l ⊥l 3，所以可设直线l 的方程是5x ＋3y ＋C ＝0，将直线l 1，l 2的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，即直线l 1，l 2的交点为(－1,2)，则点(－1,2)在直线l 上，所以5×(－1)＋3×2＋C ＝0，解得C ＝－1， 所以直线l 的方程为5x ＋3y －1＝0.方法三 设直线l 的方程为3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0， 整理得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0.由于l ⊥l 3，所以3(3＋5λ)－5(2＋2λ)＝0，解得λ＝15，所以直线l 的方程为5x ＋3y －1＝0.1．已知直线l 1：x ＋my ＋7＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0互相平行，则实数m ＝________. 答案 －1或3解析 当m ＝0时，显然不符合题意； 当m ≠0时，由题意得，m －21＝3m ≠2m7， 解得m ＝－1或m ＝3.2．若m ∈R ，则“log 6m ＝－1”是“直线l 1：x ＋2my －1＝0与l 2：(3m －1)x －my －1＝0平行”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要解析 由log 6m ＝－1得m ＝16，若l 1：x ＋2my －1＝0与l 2：(3m －1)x －my －1＝0平行，则两直线斜率相等或斜率不存在，解得m ＝0或m ＝16，则“log 6m ＝－1”是“直线l 1：x ＋2my －1＝0与l 2：(3m －1)x －my －1＝0平行”的充分不必要条件．3．已知过点A (－2，m )和B (m ,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为________． 答案 －10解析 因为l 1∥l 2，所以k AB ＝4－mm ＋2＝－2，解得m ＝－8.又因为l 2⊥l 3，所以－1n×(－2)＝－1，解得n ＝－2，所以m ＋n ＝－10.4．过点M (－3,2)，且与直线x ＋2y －9＝0平行的直线方程是________．答案 x ＋2y －1＝0解析 方法一 因为直线x ＋2y －9＝0的斜率为－12，所以与直线x ＋2y －9＝0平行的直线的斜率为－12，又所求直线过M (－3,2)，所以所求直线的点斜式方程为y －2＝－12(x ＋3)，化为一般式得x ＋2y －1＝0.方法二 由题意，设所求直线方程为x ＋2y ＋c ＝0，将M (－3，2)代入，解得c ＝－1，所以所求直线方程为x ＋2y －1＝0.5．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为________． 答案823解析 ∵l 1∥l 2，∴a ≠2且a ≠0， ∴1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1， ∴l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823.6．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点________． 答案 (0,2)解析 直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．7．已知直线l 1：ax ＋y －6＝0与l 2：x ＋(a －2)y ＋a －1＝0相交于点P ，若l 1⊥l 2，则a ＝________，此时点P 的坐标为________． 答案 1 (3,3)解析 ∵直线l 1：ax ＋y －6＝0与l 2：x ＋(a －2)y ＋a －1＝0相交于点P ，且l 1⊥l 2，∴a ×1＋1×(a －2)＝0， 即a ＝1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6＝0，x －y ＝0，易得x ＝3，y ＝3，∴P (3,3)．8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.答案345解析 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线， 于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.9．已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________________． 答案 x ＋2y －3＝0解析 当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大． 因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.10．直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为______________． 答案 x －2y ＝0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x ＋1，解得直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)， 所以可设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k －1＝0.在直线l 上取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l 1，l 2的距离相等， 由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1， 解得k ＝12(k ＝2舍去)，所以直线l 2的方程为x －2y ＝0.11．已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2,2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.(1)解 显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线． ∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2)．(2)证明 过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知PQ ≤PM ，当且仅当Q 与M 重合时，PQ ＝PM ，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0. 但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0， ∴M 与Q 不可能重合，而PM ＝42， ∴PQ <42，故所证成立．12．已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a >0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解 (1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋(－1)2＝7510， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72， 又a >0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)．若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝25|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能． 联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12，(舍去)联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.所以存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件．13．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3,1)，则点C 的坐标为________． 答案 (2,4)解析 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －10＝0，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，则C (2,4)．14．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则点(m ，n )到原点的距离的最小值为________． 答案5解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，解得x ＝1，y ＝2.把(1,2)代入mx ＋ny ＋5＝0可得，m ＋2n ＋5＝0. ∴m ＝－5－2n .∴点(m ，n )到原点的距离d ＝m 2＋n 2＝(5＋2n )2＋n 2＝5(n ＋2)2＋5≥5，当且仅当n ＝－2，m ＝－1时取等号． ∴点(m ，n )到原点的距离的最小值为 5.15．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点A (1,0)，B (0,2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为________________． 答案 2x －4y ＋3＝0解析 因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线， 又A (1，0)，B (0,2)，故AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k AB ＝－2， 故AB 的中垂线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0.16．在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点(2,4)对称，求直线l 的方程．解 由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34，∴直线l的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，取直线l 上的一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，b ＋3m 4，则点P 关于点(2,4)的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m ，8－b －3m 4，∴8－b －3m 4＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝98.∴直线l的方程是y ＝34x ＋98，即6x －8y ＋9＝0.。
2020版高考数学(江苏版)新攻略总复习课标通用练习：第九章-第二节 两直线的位置关系
第二节两直线的位置关系课时作业练1.已知直线l1:x+ay+6=0和l2:(a-2)x+3y+2a=0,则l1∥l2的充要条件是a= .答案-1解析当a=0或a=2时,l1与l2不平行,当a≠0且a≠2时,由题意得1a-2=a3且a3≠62a,所以a=-1.2.已知直线l1的倾斜角为45°,直线l2经过点P(-2,-1),Q(3,m).若l1⊥l2,则实数m= . 答案-6解析由已知得直线l1的斜率k1=1,直线l2的斜率k2=m+15.∵l1⊥l2,∴k1k2=-1,∴1×m+15=-1,解得m=-6.3.(2018江苏连云港上学期期末)两条平行直线4x+3y+3=0与8x+my-9=0的距离是.答案32解析由两直线平行得m=6,则直线4x+3y+3=0与4x+3y-92=0的距离是|3+92|5=32.4.(2018江苏南通高考数学冲刺小练(36))已知两点A (3, 2)和B (-1, 4)到直线x+ay+1=0的距离相等,则实数a= .答案2或-23解析由题意可知2=2,则4+2a=4a或4+2a=-4a,解得a=2或a=-23.5.(2019江苏泰州模拟)已知A(a,1),B(3,5),C(7,3),D(b,-1)是菱形ABCD的四个顶点,则a+b= .答案6或14解析因为四边形ABCD是菱形,所以AB∥CD,AC⊥BD,所以kAB =kCD,kAC·kBD=-1,即5-13-a =-1-3b -7,3-17-a ·-1-5b -3=-1, 整理得a=b-4,(a-7)(b-3)=-12,从而可得{a =1,b =5或{a =5,b =9,所以a+b=6或14.6.若三条直线l 1:4x+y=4,l 2:mx+y=0,l 3:2x-3my=4不能围成三角形,则实数m 的取值集合是 . 答案 {4,-16,-1,23}解析 三条直线不能围成三角形,则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点.若l 1∥l 2,则m=4;若l 1∥l 3,则m=-16;若l 2∥l 3,则m 的值不存在;若三条直线相交于同一点,则m=-1或23,故实数m 的取值集合是{4,-16,-1,23}.7.在直角三角形ABC 中,点A(0,0),B(1,1),C(2,m),则实数m 的值为 . 答案 -2或0解析 若∠A 是直角,则k AB ·k AC =-1,即m2=-1,解得m=-2;若∠B 是直角,则k AB ·k BC =-1,即m -12-1=-1,解得m=0;若∠C 是直角,则k BC ·k AC =-1,即m -12-1·m2=-1,化简得m 2-m+2=0,此时方程无实数解,所以实数m 的值为-2或0.8.已知△ABC 的顶点B(2,1),C(-6,3),其垂心(三角形三条高的交点)为H(-3,2),则顶点A 的坐标为 . 答案 (-19,-62)解析 设A(x,y),由垂心的定义知AH⊥BC,BH⊥AC,又k AH =y -2x+3,k BC =3-1-6-2=-14,k BH =2-1-3-2=-15,k AC =y -3x+6,所以y -2x+3=4,y -3x+6=5.联立解得x=-19,y=-62,即顶点A 的坐标为(-19,-62).9.一束光线从原点O(0,0)出发,经过直线l:8x+6y=25反射后通过点P(-4,3),求反射光线与直线l 的交点坐标.解析设原点关于直线l的对称点A的坐标为(a,b),易知直线OA与直线l垂直和线段OA的中点在直线l上,所以{ba ·(-43)=-1,8×a2+6×b2=25,解得{a=4,b=3.∴点A的坐标为(4,3).∵反射光线的反向延长线过A(4,3),又反射光线过P(-4,3),两点的纵坐标相等,故反射光线所在直线方程为y=3.由方程组{y=3,8x+6y=25解得{x=78,y=3.∴反射光线与直线l的交点坐标为(78,3).10.已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值:(1)l1⊥l2,且l1过点(-3,-1);(2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.解析(1)由已知可得直线l2的斜率k2存在,且k2=1-a.若k2=0,则1-a=0,即a=1.∵l1⊥l2,∴直线l1的斜率必不存在,即b=0.又∵直线l1过点(-3,-1),∴-3a+4=0,即a=43,与a=1矛盾.∴此种情况不存在,∴k2≠0.故k1,k2都存在,由题意得ab(1-a)=-1.①又∵直线l1过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0.②联立①②,解得a=2,b=2.(2)∵直线l2的斜率存在,且l1∥l2,∴直线l1的斜率存在,且k1=k2,即ab=1-a.③∵坐标原点到这两条直线的距离相等,且l1∥l2,∴l 1,l 2在y 轴上的截距互为相反数,即4b=b.④ 联立③④,解得{a =2,b =-2或{a =23,b =2.11.(2018江苏连云港上学期期末)已知△ABC 的一条角平分线AD 的方程为x-y-3=0,其中B(6, -1),C(3,8). (1)求顶点A 的坐标; (2)求△ABC 的面积.解析 (1)由题意可得,点B(6,-1)关于直线AD 的对称点B'(a,b)在直线AC 上,则有{b+1a -6·1=-1,a+62-b -12-3=0,解得{a =2,b =3,即B'(2,3),结合点C(3,8),得直线AC 的方程为5x-y-7=0,因为A 为直线AC 与AD 的交点,所以{x -y -3=0,5x -y -7=0,解得顶点A 的坐标为(1,-2).(2)AC=√(1-3)2+(-2-8)2=√104=2√26,B(6,-1)到直线AC:5x-y-7=0的距离d=√52+(-1)=√26,故△ABC 的面积S=12AC·d=24.基础滚动练(滚动循环 夯实基础)1.已知集合A={x|x 2-2x-3≤0},B={x|y=ln(2-x)},则A∩B= . 答案 [-1,2)解析 A=[-1,3],B=(-∞,2),则A∩B=[-1,2). 2.已知tan α=3,则4sinα-2cosα5cosα+3sinα的值为 . 答案 57解析 因为tan α=3,所以原式=4tanα-25+3tanα=1014=57.3.设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f(x)={x +a ,-1≤x <0,|25-x|,0≤x <1,若f (-52)=f (92),则f(5a)= .答案 -25解析 因为f(x)是定义在R 上且周期为2的函数,所以f (-52)=f (-12)=f (92)=f (12),即-12+a=110,a=35,则f(5a)=f(3)=f(-1)=-1+35=-25.4.(2018江苏海安高级中学高三上学期阶段检测)一个正三棱锥的底面边长为6,侧棱长为√15,那么这个正三棱锥的体积是 . 答案 9解析 由题意可知该正三棱锥的底面积为√34×62=9√3,高为√15-(√33×6)2=√3,则该正三棱锥的体积是13×9√3×√3=9.5.已知正实数x,y 满足(x-1)(y+1)=16,则x+y 的最小值为 . 答案 8解析 由题意可知y=16x -1-1,1<x<17,所以x+y=(x-1)+16x -1≥8,当且仅当x=5时取等号,所以x+y 的最小值为8.6.若数列{a n }满足3a n+1+a n =0,a 2=-43,则{a n }的前10项和等于 . 答案 3×(1-3-10)解析 因为公比q=a n+1a n =-13,a 2=-43,所以a 1=4,所以S 10=4×[1-(-13)10]1-(-13)=3(1-3-10).7.(2019江苏南京模拟)在直角三角形ABC 中,C=90°,AC=6,BC=4,若点D 满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 答案 10解析 以直角顶点C 为坐标原点,边CB 、CA 所在直线为x 轴、y 轴且CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向、CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系,则C(0,0),B(4,0),A(0,6).设点D(x,y),则由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得{x =-2(4-x ),y -6=2y ,解得{x =8,y =-6,所以D(8,-6),所以|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(8-0)2+(-6-0)2=10.8.若将函数f(x)=sin (2x +π4)的图象向右平移φ(φ>0)个单位,所得图象关于y 轴对称,则φ的最小值是 . 答案3π8解析 将函数f(x)=sin (2x +π4)的图象向右平移φ个单位得到f(x)=sin [2(x -φ)+π4]=sin (2x -2φ+π4)的图象,由题意知该函数是偶函数,则-2φ+π4=π2+kπ,k∈Z,解得φ=-π8-k π2,k∈Z.又φ>0,所以当k=-1时,φ取得最小值3π8. 9.若函数f(x)=(x 2-cx+5)e x 在区间[12,4]上单调递增,则实数c 的取值范围是 . 答案 (-∞,4]解析 f '(x)=[x 2+(2-c)x+5-c]e x ,由题意知f '(x)≥0在区间[12,4]上恒成立,则c≤(x 2+2x+5x+1)min=(x+1+4x+1)min,x∈[12,4],又(x+1)+4x+1≥2·√(x +1)·4x+1=4,当且仅当x=1时取等号,所以c≤4.10.已知命题p:x 1,x 2是方程x 2-mx-1=0的两个实根,且不等式a 2+4a-3≤|x 1-x 2|对任意m∈R 恒成立;命题q:不等式ax 2+2x-1>0有解,若命题p∨q 为真,p∧q 为假,求实数a 的取值范围. 解析 p 真:|x 1-x 2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2+4,则由题意知a 2+4a-3≤|x 1-x 2|min =2,解得-5≤a≤1.q 真:a≥0时,显然成立;当a<0时,需满足Δ=4+4a>0,则-1<a<0,则a>-1.若命题p∨q 为真,p∧q 为假,则p 和q 一真一假,若p 真q 假,则{-5≤a ≤1,a ≤-1⇒-5≤a≤-1;若p 假q 真,则{a <-5或a >1,a >-1⇒a>1,综上所述,实数a 的取值范围是[-5,-1]∪(1,+∞).。
(江苏专用)2020版高考数学二轮复习微专题九空间几何体的位置关系练习(无答案)苏教版
微专题九空间几何体的位置关系一、填空题1. 设l，m表示直线，m是平面α内的任意一条直线．则“l⊥m”是“l⊥α”的________条件．(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个)2. 若直线a与平面α不垂直，则在平面α内与直线a垂直的直线条数为__________．3. α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题正确的是________(填序号)．①若α∥β，m⊂α，则m∥β；②若m∥α，n⊂α，则m∥n；③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β.4. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF ∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．5. α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填序号)6. 如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，正确的命题是________(填序号)．①MB是定值；②点M在圆上运动；③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE.二、解答题7. 如图，四棱锥PABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC的中点．(1) 求证：AP∥平面MBD；(2) 若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD.8. 如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1.(1) 求证：E是AB的中点；(2) 若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥CB.9. 如图，在四棱锥PABCD中，已知平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F 分别是AP，AD的中点．求证：(1) 直线EF∥平面PCD；(2) 平面BEF⊥平面PAD.10. 如图，在四棱锥PABCD 中，AD ＝CD ＝12AB ，AB ∥DC ，AD ⊥CD ，PC ⊥平面ABCD . (1) 求证：BC ⊥平面PAC ；(2) 若M 为线段PA 的中点，且过C ，D ，M 三点的平面与PB 交于点N ，求PN ∶PB 的值．11. 在如图所示的几何体中，平面CDEF 为正方形，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ＝3，AB ＝2BC ＝2，AC ⊥FB .(1) 求证：AC ⊥平面FBC ；(2) 线段AC 上是否存在点M ，使EA ∥平面FDM ？请证明你的结论．。
2020届高考数学(文)二轮复习专题过关检测(十五)空间几何体与空间位置关系Word版含答案
专题过关检测（十五）空间几何体与空间地点关系A 级1．已知直线 a 与直线 b 平行，直线 a 与平面α平行，则直线 b 与α的关系为( ) A．平行B．订交C．直线分析：选b 在平面α内D依题意，直线 a 必与平面αD．平行或直线内的某直线平行，又b 在平面α内a∥ b，所以直线 b 与平面α 的地点关系是平行或直线 b 在平面α 内．2.如图，正方形 O′ A′ B′ C′的边长为 2 cm，它是水平搁置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是()A． 12 cm B． 16 cmC． 4(1 ＋3)cm D． 4(1 ＋2)cm分析：选 B 由直观图可得原图如下图，且OA＝2 cm， OB＝2O′ B′＝4 2 cm，所以AB＝6 cm，所以周长为16 cm.3．(2019 ·广东省七校联考) 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AC与A1B 所成的角为( )A．30°B．45°C．60°D．90°分析：选 C 如图，连结CD1，AD1，则A1B∥ CD1，∴∠ ACD1是异面直线 AC与 A1B所成的角或其补角．易知△ ACD1是等边三角形，∴∠ ACD1＝60°，∴异面直线AC与 A1B 所成的角为60°. 应选 C.4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则其表面积为()A．2πB．5πC．8πD．10π分析：选 C1由题得几何体原图是球被切割后剩下的4，所以它的表面积由三个部分组成，所以＝1×4π×22＋1×π×22＋1×π×22＝8π.S 4 2 25．已知α，β是两个平面，m， n 是两条直线，则以下命题中错误的选项是() A．假如m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥βB．假如m? α，α∥β，那么m∥βC．假如α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么m∥lD．假如m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β分析：选 D关于A，假如m⊥ n，m⊥ α，则n∥ α或n?α，由于n⊥ β，则α⊥β，故正确；关于 B，假如 ? ，α∥β，那么与β无公共点，则∥β，故正确；关于 C，m αm m假如α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l，故正确；关于D，假如m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α 与β 的关系不确立，故错误．6．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如下图，俯视图中间的实线均分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为()A． 2 B． 4＋2 2C． 4＋4 2 D． 4＋6 2分析：选 C 由三视图知，该几何体是直三棱柱- 1 1 1，其直ABCA BC观图如下图，此中AB＝ AA1＝2， BC＝ AC＝2，∠C＝90°，侧面为三个矩形，故该“堑堵”的侧面积＝(2＋2 2) ×2＝ 4＋4 2.S7. 如图，在三棱锥 P - ABC 中，不可以证明 AP ⊥ BC 的条件是 ( ) A ． AP ⊥ PB ， AP ⊥ PCB ． AP ⊥ PB ， BC ⊥ PBC ．平面 BPC ⊥平面 APC ，BC ⊥ PCD ． AP ⊥平面 PBC分析：选 B A 中，由于 AP ⊥ PB ，AP ⊥ PC ，PB ∩ PC ＝ P ，所以 AP ⊥平面 PBC .又 BC ? 平面PBC ，所以 AP ⊥ BC ，故 A 正确； C 中，由于平面 BPC ⊥平面 APC ，平面 BPC ∩平面 APC ＝ PC ， BC ⊥ PC ，所以 BC ⊥平面 APC . 又 AP ? 平面 APC ，所以 AP ⊥ BC ，故 C 正确； D 中，由 A 知 D 正确； B 中条件不可以判断出AP ⊥BC ，应选 B.8．如图，圆锥形容器的高为h ，容器内水深为h 1，且 1＝ 1 ，若将圆锥形容器倒置，h3h水深为 h 2，则 h 2＝ ()A.2193hB.27h33C.6 19 hD. h334分析：选 D 设圆锥形容器的底面积为 S ，则倒置前水面的面积为 9S ，所以水的体积 V11 419′ h 212 2S2Sh＝ 3Sh － 3× 9S ( h － h ) ＝ 81Sh . 设倒置后水面的面积为 S ′， 则 S ＝ h ，所以 S ′＝ h 2 ，所13193319Sh 2Sh 2以水的体积 V ＝ 3S ′ h ＝ 3h，所以81Sh ＝3h ，解得 h ＝3 h.22229．在正方体 ABCD -A B CD 中， E 为棱 CC 的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值111 11为()2 3 A. 2B. 25 7 C. 2D. 2分析：选 C 如图，连结 BE ，由于 AB ∥ CD ，所以 AE 与 CD 所成的角BE5为∠ EAB . 在 Rt △ ABE 中，设 AB ＝ 2，则 BE ＝5，则 tan∠ EAB ＝ AB ＝ 2 ，5所以异面直线AE 与 CD 所成角的正切值为2 .10．(2019 ·贵州适应性考试 ) 设 m ， n 是两条不一样的直线， α，β，γ 是三个不一样的平面，给出下边四个命题：①若 α⊥ β ，β⊥ γ，则 α∥ γ；②若 α⊥ β，m ? α，n ? β，则 m ⊥ n ；③若 m ∥α，n ? α，则 m ∥ n ；④若 α∥ β，γ ∩ α＝m ， γ∩β＝ n ，则 m ∥ n .此中正确命题的序号是()A ．①④B ．①②C ．②③④D ．④分析：选 D 关于①，同垂直于一个平面的两个平面可能订交，命题①错误；关于②，在两个相互垂直的平面内的两条直线可能相互平行，可能订交，也可能异面，命题②错误；关于③，直线 与 n 可能异面，命题③错误； 关于④，由面面平行的性质定理知命题④正确． 故m正确命题的序号是④，选D.11．如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把△ ABD 和△ ACD 折成相互垂直的两个平面后，某学生得出以下四个结论：① BD ⊥AC ；②△ BAC 是等边三角形； ③三棱锥D - ABC 是正三棱锥； ④平面ADC ⊥平面ABC .此中正确的结论是()A ．①②④B ．①②③C ．②③④D ．①③④分析：选B由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥ AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形ABC的斜边 BC 上的高，平面 ABD ⊥平面 ACD ，所以 AB ＝ AC ＝ BC ，△ BAC 是等边三角形，②正确；易知 DA ＝ DB ＝ DC ，联合②知③正确；由①知④不正确．应选B.12. 如图，已知△ EAB 所在的平面与矩形 ABCD 所在的平面相互垂直， EA ＝EB ＝ 3，AD ＝ 2，∠ AEB ＝60°，则多面体 E - ABCD 的外接球的表面积为 ()16π A.B ．8π3C ．16πD ．64π分析：选 C 由题知△ EAB 为等边三角形， 设球心为 O ，O 在平面 ABCD 的射影为矩形 ABCD 的中心， O 在平面 ABE 上的射影为△ EAB 的重心 G ，又由平面 EAB ⊥平面 ABCD ，则△ OGA 为直角三角形， OG ＝ 1， AG ＝ 3 ，所以 R 2＝4，所以多面体 E - ABCD 的外接球的表面积为 4π R 2＝ 16π.13．(2019 ·北京高考 ) 已知 l ， m 是平面 α 外的两条不一样直线．给出以下三个论断：① l ⊥ ；② ∥ ；③ ⊥α .mm αl以此中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ________________________.分析：已知 l ， 是平面α 外的两条不一样直线，m由① l ⊥ m 与② m ∥ α ，不可以推出③ l ⊥ α，由于 l 能够与 α 平行，也能够订交不垂直；由① l ⊥ m 与③ l ⊥ α 能推出② m ∥ α； 由② m ∥ α 与③ l ⊥ α 能够推出① l ⊥ m . 故正确的命题是②③ ? ①或①③ ? ②.答案：若 ∥α 且 l ⊥ α ，则l ⊥ 建立(或若 l ⊥ ， ⊥ α ，则 ∥α )mm m l m14. 如图，在正三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 中， D 为棱 AA 1 的中点．若 AA 1＝4，AB ＝ 2，则四棱锥 B - ACC 1D 的体积为 ________．分析：取 AC 的中点 O ，连结 BO ( 图略 ) ，则 BO ⊥ AC ，所以 BO ⊥平面 ACC 1D .由于 AB ＝ 2，所以 BO ＝ 3.由于 D 为棱 AA 1 的中点， AA 1＝4，所以 AD ＝ 2，1所以 S梯形 ACC1D＝2×(2＋4)×2＝6，所以四棱锥 B - ACC 1D 的体积为 13×6× 3＝ 23.答案：2 315．在棱长为 3 的正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中， P 在线段 BD 1上，且 BP 1＝，点 M 为线段 B 1 C 1PD 1 2 上的动点，则三棱锥 - 的体积为 ________．M PBC分析：由于BP 1P 到平面1 1的距离是1到平面1＝ ，所以点11距离的 ，即三棱PD 1 2BCCBDBCCB31 19，所以 V M- PBC ＝ V P- MBC锥 P - MBC 的高 h ＝DC＝1. M 为线段 B 1C 1 上的动点， 所以 S △ MBC ＝1×3×3＝322 1 9 3＝××1＝.3 223答案： 216．(2020 届高三·广东七校联考 ) 在四棱锥 -中，四边形是边长为 2a 的正P ABCDABCD方形， PD ⊥底面 ABCD ，且 PD ＝ 2a ，若在这个四棱锥内放一个球，则该球半径的最大值为________．分析：由题意知，球内切于四棱锥 P - ABCD 时半径最大．设该四棱锥的内切球的球心为O ，半径为 r ，连结 OA ， OB ， OC ， OD ， OP ，则 V ＝ V＋ V＋ V ＋ V＋V ，即 1P- ABCDO- ABCDO- PADO- PABO- PBCO- PCD3 ×2×2×2＝1 12a × ，解得＝(2－ 2) .1× 4a2＋ 2× ×2a ×2a ＋2× ×2a × 2raa a 322ra答案： (2 － 2) aB 级1．(2019 ·沈阳质量监测 ( 一 )) 如图，四棱锥 P - ABCD 的底面为矩形，矩形的四个极点 A ，B ，C ，D 在球 O 的同一个大圆上， 且球的表面积为16π， 点 P 在球面上，则四棱锥 P - ABCD 体积的最大值为( )8 A ． 8B. 316 C ． 16D. 3分析：选 D设球的半径为 R ，由题知 4π R 2＝16π，则 R ＝ 2，再设大圆内的矩形长、22x 2＋ y 2宽分别为 x ，y ，由题知 x ＋ y ＝ 16，则矩形面积 xy ≤ 2 ＝ 8，当且仅当 x ＝ y 时上式取等号，即底面为正方形时， 底面面积最大． 四棱锥 P - ABCD 的高的最大值为 2，故四棱锥 P - ABCD1 16 体积的最大值为×8×2＝，选 D.332．(2019 ·合肥第二次质量检测) 如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面相互垂直的有()A．2 对B．3对C．4 对D．5对分析：选 C 由三视图知该几何体是一个四棱锥，它有一个侧面与底面垂直，且极点在底面上的射影在底面的一条边的中点处，即如图所示的四棱锥S- ABCD，平面 SCD⊥平面 ABCD.由于 AD⊥ DC，BC⊥ DC，且平面 SCD∩平面 ABCD＝DC，所以 AD⊥平面 SCD，BC⊥平面 SCD，所以平面⊥平面，平面⊥平面. 又由三视图知⊥ ，同时由ADSAD SCD SBC SCD SC SD⊥平面 SCD，知 AD⊥ SC，又 SD∩ AD＝ D，所以 SC⊥平面 SAD，所以平面 SBC⊥平面 SAD.综上可知，该多面体各表面所在平面相互垂直的有 4 对，应选 C.3．(2019 ·沈阳质量监测 ) 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下边结论中正确的选项是________．( 写出全部正确结论的序号)①BD∥平面 CB1D1；② AC1⊥平面 CB1D1；③异面直线 AC与 A1B 成60°角；④ AC1与底面 ABCD所成角的正切值是2.分析：关于①， BD∥ B D，BD?平面 CBD，B D? 平面 CBD，∴ BD∥平面 CBD，①正确；1 1 1 1 1 1 1 1 1 1关于②，∵ AA⊥平面 A B CD，∴ AA⊥ B D，连结 A C，又 A C⊥ BD，∴ B D⊥平面 AAC，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴B1D1⊥ AC1，同理 B1C⊥ AC1，∴ AC1⊥平面 CB1D1，②正确；关于③，易知AC∥ A1C1，异面直线AC与 A1B 所成的角为∠ BA1C1，连结 BC1，又△ A1C1B 为等边三角形，∴∠BA1C1＝60°，异面直1 1CC1 1 2线 AC与 AB成60°角，③正确；关于④，AC与底面ABCD所成的角的正切值是AC＝2 ＝ 2≠2，故④不正确．故正确的结论为①②③. 答案：①②③4．已知在正四棱锥S- ABCD中， SA＝63，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为________．分析：设正四棱锥的底面正方形的边长为a，高为h，由于在正四棱锥S- ABCD中， SA＝6 3，所以a22 ＋h2＝ 108，即a2＝216－2h2，所以正四棱锥的体积1 2V S- ABCD＝3a2h＝72h－3h3，令 y ＝ 72h －23h 3，则 y ′＝ 72－ 2h 2，令 y ′>0，得 0<h <6，令 y ′<0，得 h >6，所以当该棱锥的体积最大时，它的高为6.答案： 65．已知球 O 是正三棱锥 ( 底面为正三角形，极点在底面的射影为底面中心 ) A - BCD 的外接球， BC ＝3， AB ＝ 2 3，点 E 在线段 BD 上，且 BD ＝ 3BE ，过点 E 作球 O 的截面，则所得的截面中面积最小的截面圆的面积是 ________．分析：如图，设△ BDC 的中心为 O 1，球 O 的半径为 R ，连结1， 1 ， ， 1 ，，AO OD OD OEOE则＝3sin 60 23，°× ＝131＝2－21＝ 3，AOAD DO在 Rt △ OO 1D22中， R ＝3＋ (3 －R ) ，解得 R ＝ 2， ∵ BD ＝3BE ，∴ DE ＝ 2，在△ DEO 1中， O 1E ＝ 3＋ 4－2× 3×2cos 30 °＝ 1，2 2∴ OE ＝ O 1E ＋ OO 1＝ 2，过点 E 作球 O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面圆的面积最小，22此时截面圆的半径为 2 － 2 ＝ 2，面积为 2π.。
2020江苏高考数学二轮微专题 巩固强化
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2020江苏高考理科数学二轮讲义空间点、线、面位置关系含解析
授课资料范本2021江苏高考理科数学二轮讲义：空间点、线、面的地址关系含剖析编辑： __________________时间： __________________第 2讲空间点、线、面的地址关系[20xx 考导游航 ]考点扫描三年考情考向展望20xx20xx20xx1 ．空间点、线、江苏高考立体几何解答题一般位面地址关系的判断居试卷 15 或 16 题的地址．试题主要2 ．空间平行和垂第 15题本源于课本习题改编，主要观察空间第16题第 15题直平行和垂直，这是近几年一直的命题3 ．平面图形的折原那么．预计 2021 年命题仍会坚持这个叠问题命题思想．空间点、线、面地址关系的判断一般会作为填空题观察，平面4 ．立体几何中的图形的折叠问题和研究性问题是命题研究性问题的冷点，复习做合适关注．1．必记的看法与定理(1)线面平行与线面垂直的判判定理、性质定理；(2)面面平行与面面垂直的判判定理、性质定理．2．需要活用的关系与结论3．需要关注的易错点使用相关平行、垂直的判判定理时，要注意其具备的条件，缺一不可以．解答高考题时，推理过程不完满是失分的重要原因，需引起特别注意．空间线面地址关系的判断[ 典型例题 ](20xx 镇·江期末 )设α，β为互不重合的平面， m， n 是互不重合的直线，给出以下三个命题：①假设 m∥ n， n? α，那么 m∥α；②假设 m? α，n? α， m∥ β， n∥β，那么α∥ β；③假设α⊥ β，α∩ β＝ m， n? α， n⊥ m，那么 n⊥β．其中正确命题的序号为________．【剖析】① 中，当m?α时命题不成立；② 中，只有当m，n订交时才必然成立；③是平面与平面垂直的性质定理，故只有③ 正确．【答案】③解决此类问题，可以从三个角度加以研究，一是与相关的定理的条件进行比较，看可否缺少条件，假设缺少条件，那么必然是错误的；二是采用模型法，即从一个常有的几何体中来寻找满足条件的模型，看它在模型中可否必然成立；三是反例法，看可否举出一个反例．[ 对点训练 ]1．设l 是直线，α，β是两个不同样的平面，以下四个命题：①假设 l ∥α，l ∥ β，那么α∥ β；②假设 l∥ α，l⊥ β，那么α⊥β；③假设α⊥ β，l⊥ α，那么l⊥β；④假设α⊥ β，l ∥ α，那么l ⊥β，其中正确的选项是 ________．[剖析 ] 设α∩ β＝ a，假设直线 l∥ a，且 l?α， l ?β，那么 l ∥α， l∥ β，因此α不用然平行于β，故①错误；由于 l ∥α，故在α内存在直线 l ′∥l ，又由于 l⊥ β，因此 l′⊥ β，故α⊥ β，因此②正确；假设α⊥β，在β内作交线的垂线 l，那么 l ⊥ α，此时 l 在平面β内，因此③错误；α⊥ β，假设α∩ β＝ a， l∥ a，且 l 不在平面α，β内，那么l∥ α且l∥ β，因此④ 错误．[答案]②空间平行和垂直[ 典型例题 ]6/25ABC-A1B1C1中， D ，E 分别为 BC，AC 的中点， AB＝ BC．求证： (1)A1B1∥平面 DEC 1；(2)BE⊥ C1E．【证明】(1)由于 D ，E 分别为 BC ，AC 的中点，因此 ED∥ AB．在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AB∥ A1B1，因此 A1B1∥ ED ．又由于 ED? 平面 DEC 1， A1B1?平面 DEC1，因此 A1B1∥平面 DEC 1．(2)由于 AB＝ BC，E 为 AC 的中点，因此 BE⊥ AC．由于三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，因此 C1C⊥平面 ABC．又由于 BE? 平面 ABC，因此 C1C⊥BE．由于 C1C? 平面 A1ACC 1， AC? 平面 A1ACC 1， C1C∩ AC＝ C，因此 BE⊥平面 A1ACC1．由于 C1E? 平面 A1ACC1，因此 BE⊥ C1E．(1)立体几何中，要证线面平行，可利用线线平行的判判定理、面面平行的性质定理证明．(2)证明面面垂直常用面面垂直的判判定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转变成证明线面垂直，一般先从现有直线中搜寻，假设图中不存在这样的直线，那么借助中线、高线或增加辅助线解决．(3)证明立体几何问题，重要密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此有时需要画出一些图形辅助使用．[ 对点训练 ]2．(20xx ·考江苏卷高 )在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中， AA1＝ AB， AB1⊥B1C1．求证： (1)AB∥平面 A1B1C；(2)平面 ABB1A1⊥平面 A1BC．[证明 ] (1) 在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中， AB∥ A1 B1．由于 AB?平面 A1B1C， A1B1? 平面 A1B1C，因此 AB∥平面 A1B1C．(2)在平行六面体ABCD -A1B1C1D 1中，四边形 ABB1A1为平行四边形．又由于 AA1＝ AB，因此四边形ABB1A1为菱形，因此 AB1⊥ A1B．又由于 AB1⊥ B1C1， BC∥B1C1，因此 AB1⊥ BC．又由于 A1B∩ BC＝ B， A1B? 平面 A1BC， BC? 平面 A1BC，因此 AB1⊥平面 A1BC．由于 AB1? 平面 ABB1A1，因此平面ABB1A1⊥平面 A1BC．平面图形的折叠问题[ 典型例题 ]在矩形ABCD 中， E 为边 AB 的中点，将△ ADE 沿直线 DE 翻转成△ A1 DE．假设 M 为线段 A1C 的中点，那么在△ ADE 翻转过程中，正确的命题是 ________．①BM 是定值；②点 M 在圆上运动；③必然存在某个地址，使DE⊥ A1C；④必然存在某个地址，使MB ∥平面 A1DE ．【剖析】取DC中点N，连接MN，NB，那么MN∥A1D，NB∥DE，因此平面MNB ∥平面 A1DE ，由于 MB? 平面 MNB，因此 MB∥平面 A1DE ，④正确；∠A1DE ＝∠MNB ， MN＝1A1D＝定值， NB＝ DE ＝定值，依照余弦定理得， MB2＝ MN2＋2NB2－2MN ·NB·cos ∠ MNB ，因此 MB 是定值．①正确；B 是定点，因此 M 是在以 B 为圆心， MB 为半径的圆上，②正确；当矩形 ABCD 满足 AC⊥ DE 时存在，其他情况不存在，③不正确．因此①②④ 正确．【答案】①②④(1)解决与翻折相关的几何问题的要点是搞清翻折前后哪些量改变、哪些量不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的打破口．(2)把平面图形翻折后，经过合适连线就能获取三棱锥、四棱锥，从而把问题转变到我们熟悉的几何体中去解决．[ 对点训练 ]3．(20xx ·苏省高考命题研究专家原创卷江(七 ))如图，在矩形ABCD 中， E，F 分别为BC，DA 的中点．将矩形ABCD 沿线段 EF 折起，使得∠ DFA ＝60°．设 G 为 AF 上的点．(1)试确定点G 的地址，使得CF ∥平面 BDG ；(2)在 (1)的条件下，证明：DG ⊥ AE．[解 ] (1) 当点 G 为 AF 的中点时， CF∥平面 BDG ．证明以下：由于 E，F 分别为 BC，DA 的中点，因此 EF∥ AB∥ CD．连接 AC，交 BD 于点 O，连接 OG，那么 AO＝ CO，又 G 为 AF 的中点，因此 CF∥OG，由于 CF?平面 BDG ， OG? 平面 DBG．因此 CF∥平面 BDG．(2)证明：由于 E， F 分别为 BC， DA 的中点，因此 EF⊥ FD ， EF⊥ FA．又 FD ∩FA＝F，因此 EF⊥平面 ADF ，由于 DG? 平面 ADF ，因此 EF⊥ DG．由于 FD＝FA，∠DFA＝60°，因此△ ADF 是等边三角形， DG ⊥ AF，又 AF ∩EF＝F，因此 DG⊥平面 ABEF ．由于 AE? 平面 ABEF ，因此 DG ⊥ AE．立体几何中的研究性问题[ 典型例题 ](20xx 江·苏省高考名校联考(九 ))如图，在四棱锥 P- ABCD 中，平面 PAD ⊥平面 ABCD ， AB⊥ AD ，CO⊥ AD，且 AB＝ AO＝1A D＝ 1，3 1OP＝2CD ＝ 2， PA＝ 3．(1)在线段 PD 上找一点M，使得 CM ∥平面 PAB；(2)证明：平面PCD ⊥平面 PAB ．【解】1(1)在线段 PD 上取点 M，使得 PM ＝ PD ，连接 OM．311在△PAD 中，OA＝ AD，PM＝ PD，33因此 OM∥ PA．又在四边形ABCD 中， AB⊥ AD ， CO⊥ AD，因此 AB∥ CO．由于 AB∩ PA＝ A， CO∩OM ＝O，因此平面MOC ∥平面 PAB，又 CM? 平面 MOC，因此 CM∥平面 PAB．(2)证明：在△ PAO 中， PA＝3， AO＝ 1， OP＝2，因此 AO2＋ OP2＝AP2，故 AO⊥ OP．在 Rt △ POD 中， OD＝ 2，故 PD 2＝ OP2＋ OD2＝ ( 2)2＋ 22＝ 6．故在△ PAD 中， PA 2＋ PD 2＝ AD 2，因此 AP⊥ PD ．由于平面PAD⊥平面 ABCD ，平面 PAD ∩平面ABCD ＝AD， AB⊥ AD，因此 AB⊥平面PAD ，又 PD ? 平面 PAD，因此 AB⊥PD ．又 AB ? 平面 PAB， AP? 平面 PAB， AB∩ AP＝ A，因此 PD⊥平面 PAB．又 PD ? 平面 PCD，因此平面 PCD⊥平面 PAB．立体几何研究性命题的种类一、研究条件，即研究能使结论成立的条件是什么．解这类题采用的策略是： (1)经过各种研究试一试给出条件． (2)找出命题成立的必要条件，再证明充分性．二、研究结论，即在给定的条件下命题的结论是什么．对命题结论的研究，常从条件出发，研究出要求的结论是什么，研究的结论可否存在．解这类题采用的策略是：常假设结论存在，再搜寻与条件相容还是矛盾的结论．[ 对点训练 ]4．(20xx ·通模拟南 )在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点 D 是 BC 的中点， BC＝ BB1．(1)求证： A1C∥平面 AB1D ；(2)试在棱 CC1上找一点M，使 MB⊥ AB1．[解 ] (1) 证明：连接 A1B，交 AB1于点 O, 连接 OD ．由于 O、 D 分别是 A1B、BC 的中点，因此 A1C∥ OD．由于 A1C?平面 AB1D ，OD ? 平面 AB1D，因此 A1C∥平面 AB1D ．(2)M 为 CC1的中点．证明以下：由于在正三棱柱ABC -A1B1C1中， BC＝ BB1，因此四边形BCC1B1是正方形．由于 M 为 CC1的中点，D 是 BC 的中点，因此△ B1BD≌△ BCM ，因此∠ BB1D ＝∠CBM ，∠ BDB 1＝∠ CMB．π又由于∠ BB1D ＋∠ BDB 1＝2，π∠CBM ＋∠ BDB 1＝，因此 BM ⊥B1D ．2由于△ ABC 是正三角形，D 是 BC 的中点，因此 AD⊥ BC．由于平面ABC⊥平面 BB1C1C, 平面 ABC∩平面 BB1C1C＝ BC， AD ? 平面 ABC，因此 AD⊥平面 BB1C1 C．由于 BM? 平面 BB1C1C，因此 AD⊥ BM ．由于 AD∩ B1D＝ D，因此 BM⊥平面 AB1D．由于 AB1? 平面 AB1D ，因此 MB⊥ AB1．1． (20xx ·揭阳模拟改编)设平面α，β，直线a， b， a? α， b? α，那么“ a∥ β， b∥ β〞是“ α∥ β〞的 ________条件．[剖析 ] 由平面与平面平行的判判定理可知，假设直线a， b 是平面α内两条订交直线，且a∥ β， b∥ β，那么α∥ β；当α∥ β，假设a?α，b?α，那么a∥ β，b∥ β，因此“ a∥β，b∥ β〞是“ α∥ β〞的必要不充分条件．[答案 ] 必要不充分2．在正方体ABCD -A1B1C1D1中， E 为 DD1的中点，那么BD1与过点 A、 E、 C 的平面的位[剖析 ] 连接 AC、 BD 订交于一点 O，连接 OE、 AE、 EC，由于四边形 ABCD 为正方形，因此 DO＝ BO．而 DE ＝D 1E，因此 EO 为△ DD 1B 的中位线，因此 EO∥ D1 B，因此 BD 1∥平面 AEC．[答案 ] BD 1∥平面 AEC3．(20xx 南·京模拟 )四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， PA⊥底面 ABCD 且 PA＝ 4，那么 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值为________．[剖析 ] 由于 PA⊥底面 ABCD ，因此 PC 在底面 ABCD 上的射影为AC，∠ PCA 就是 PC 与底面 ABCD 所成的角， tan∠ PCA＝PA＝2．AC[答案]24．(20xx 南·京、盐城模拟 )平面α，β，直线m，n，给出以下命题：①假设 m∥ α，n∥ β， m⊥ n，那么α⊥ β；②假设α∥ β， m∥ α， n∥ β，那么 m∥ n；③假设 m⊥ α，n⊥ β， m⊥ n，那么α⊥ β；④假设α⊥ β， m⊥ α， n⊥ β，那么 m⊥ n．其中是真命题的是________． (填写所有真命题的序号)[剖析 ] ①错误，还有可能α，β订交；② 错误，直线m，n可能平行、订交或异面；③④正确．[答案 ] ③④5．(2021 ·江期末镇 )如图，四边形 ABCD 中， AD ∥ BC， AD＝AB ，∠ BCD ＝ 45°，∠BAD ＝ 90°，将△ ADB 沿 BD 折起，使平面 ABD ⊥平面 BCD ，构成三棱锥 A-BCD ，那么在三棱锥A-BCD 中，以下命题正确的选项是 ________． (填序号 )①平面 ABD ⊥平面 ABC；②平面ADC⊥平面 BDC ；③平面 ABC⊥平面 BDC；④平面ADC ⊥平面 ABC．[剖析 ] 由于在四边形ABCD 中， AD∥ BC， AD＝ AB，∠BCD ＝ 45°，∠ BAD＝ 90°，所以 BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD ，且平面ABD∩平面BCD ＝ BD ，因此CD⊥平面ABD ，那么CD⊥ AB，又 AD ⊥AB， AD∩ CD ＝D ，因此 AB⊥平面 ADC ，又 AB ? 平面 ABC，因此平面 ABC⊥平面 ADC ．[答案]④6．(20xx 无·锡期末 )两条直线m、 n，两个平面α、β．给出下面四个命题：①m∥ n， m⊥α? n⊥ α；② α∥ β，m? α， n? β? m∥ n；③m∥ n， m∥α? n∥ α；④ α∥ β，m∥ n， m⊥α? n⊥ β．其中正确命题的序号是________．[剖析 ] 两条平行线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，故① 正确；两平面平行，分别在这两平面内的两直线可能平行，也可能异面，故② 错；m∥ n，m∥α时，n ∥ α或 n? α，故③ 错；由α∥ β，m⊥α得 m⊥ β，由 m⊥ β， n∥ m 得 n⊥ β，故④正确．[答案 ] ①④7．(20xx 苏·州调研 )正方体 ABCD -A1B1C1D1的棱长为2，点 M 为 CC1的中点，点N 为线段 DD 1上凑近 D 1的三均分点，平面BMN 交 AA1于点 Q，那么线段AQ 的长为 ________．[剖析 ] 以以下图，在线段 DD 1上凑近点 D 处取一点 T，使得 DT＝1，由于 N 是线段 DD 1 3上凑近 D112，故 NT ＝2－1－2＝1，由于 M 为 CC1的中点，故 CM＝ 1，的三均分点，故 D N＝3 3 3连接 TC，由 NT∥ CM，且 CM ＝NT ＝1，知四边形 CMNT 为平行四边形，故 CT∥ MN ，同理在 AA1上凑近 A 处取一点 Q′，使得 AQ′＝1，连接 BQ′， TQ′，那么有 BQ′∥ CT∥ MN，故BQ′3与 MN 共面，即 Q′与 Q 重合，故 AQ＝1．31[答案]38．如图，∠ ACB ＝ 90°， DA ⊥平面 ABC， AE⊥ DB 交 DB 于点 E， AF⊥ DC 交 DC 于点F，且 AD ＝ AB＝ 2，那么三棱锥 D-AEF 体积的最大值为 ________．19/25ADC ，因此 BC⊥ AF．又 AF⊥ CD， BC∩ CD＝ C，因此 AF⊥平面 DCB，因此 AF⊥EF， AF⊥DB．又 DB⊥ AE， AE∩ AF＝ A，因此 DB⊥平面 AEF ，因此 DE 为三棱锥 D-AEF 的高．由于AE 为等腰直角三角形ABD 斜边上的高，因此 AE＝ 2，设 AF＝ a，FE＝ b，那么△AEF 的面积11 a2＋ b2＝ 1× 2＝1，因此三棱锥 D -AEF 的体积 V≤1×1×2＝2S＝2ab≤2·2222326 (当且仅当 a＝ b＝1 时等号成立 )．2[答案] 69．如图，正方体ABCD-A B C D的棱长为1，线段 B D上有两个动点 E，F ，且 EF ＝11111112，那么以下结论中正确的选项是________． (填序号 )①AC ⊥BE；②E F ∥平面 ABCD ；③三棱锥A-BEF 的体积为定值；④△ AEF 的面积与△ BEF 的面积相等．[剖析 ] 由于 AC⊥平面 BB1D1D，又 BE ? 平面 BB1D 1D，因此 AC⊥BE，故①正确．由于 B1D 1∥平面 ABCD ，又 E、 F 在线段 B1 D1上运动，故 EF ∥平面 ABCD ．故②正确．③中由于点 B 到直线 EF 的距离是定值，故△BEF 的面积为定值，又点 A 到平面 BEF 的距离为定值，故 V A-BEF不变．故③正确．由于点 A 到 B1D 1的距离与点 B 到 B1D 1的距离不相等，因此△AEF 与△ BEF 的面积不相等，故④错误．[答案 ] ①②③10．在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， AB＝ 8，∠ ABC＝ 60°， PC⊥平面 ABC， PC＝ 4， M 是 AB 上一个动点，那么 PM 的最小值为 ________．[剖析 ] 如图，由于 PC ⊥平面 ABC， MC ? 平面 ABC ，因此 PC⊥ MC ．故 PM ＝ PC2＋MC2＝ MC2 ＋ 16．又由于 MC 的最小值为4×43＝ 23，因此 PM 的最小值为 2 7．8[答案] 2 711． (20xx 江·苏省高考名校联考(五 ))如图，在斜三棱柱 ABC-A B C中， CC ＝ CA，点 E，1111F分别为 AC1，BC 1的中点．(1)假设 B1C1上存在一点G，使得平面EFG ∥平面 AA1 B1B，求证：点G 为 B1C1的中点；(2)假设 AC1⊥ AB，求证：平面CEF ⊥平面 ABC1．[证明 ] (1) 如图，连接 AB1，由于平面EFG ∥平面 AA1B1B， EG? 平面 EFG，因此 EG∥平面 AA1B1B．由于 EG? 平面 AB1C1，平面 AB1C1∩平面 AA 1B1B＝ AB1，因此 EG∥ AB1，由于点 E 为 AC 1的中点，因此点 G 为 B1C1的中点．(2)由于 CC 1＝ CA，点 E 为 AC 1的中点，因此 CE⊥ AC1．由于点 E， F 分别为 AC 1，BC 1的中点，因此 EF ∥AB，由于 AC1⊥ AB，因此 EF⊥ AC1．又 CE∩ EF＝ E， CE， EF? 平面 CEF ，因此 AC 1⊥平面 CEF ，由于 AC1? 平面 ABC1，因此平面 CEF ⊥平面 ABC 1．12． (20xx ·南通调研 ) 如图，在周围体ABCD 中，平面BAD ⊥平面CAD ，∠ BAD ＝90°． M ，N， Q 分别为棱AD ， BD， AC 的中点．(1)求证： CD∥平面 MNQ ；(2)求证：平面MNQ ⊥平面 CAD ．[证明 ] (1)由于 M， Q 分别为棱AD ，AC 的中点，因此 MQ∥ CD，又 CD?平面 MNQ ， MQ? 平面 MNQ，故 CD∥平面 MNQ ．(2)由于 M， N 分别为棱 AD ， BD 由于平面 BAD⊥平面 CAD，平面的中点，因此 MN∥ AB，又∠ BAD ＝90°，故 MN⊥AD． BAD ∩平面 CAD ＝AD ，且 MN ? 平面 ABD ，因此MN⊥平面 CAD ．又 MN ? 平面 MNQ ，因此平面 MNQ ⊥平面 CAD ．13． (20xx ·京、盐城模拟南) 如图①， E， F 分别是直角三角形ABC 边 AB 和 AC 的中点，∠ B＝90°，沿 EF 将三角形 ABC 折成如图②所示的锐二面角A1- EF- B，假设 M 为线段 A1C 的中点．求证：23/25(1)直线 FM ∥平面 A EB ；1(2)平面 A FC ⊥平面 A BC．11[证明 ] (1)取 A B 中点 N，连接 NE ，NM(图略 )，111那么 MN 綊 BC，EF 綊 BC，因此 MN 綊 FE，22因此四边形MNEF 为平行四边形，因此 FM ∥ EN，又由于 FM ?平面 A1EB， EN? 平面 A1EB，因此直线FM ∥平面 A1EB．(2)由于 E， F 分别为 AB 和 AC 的中点，因此 A1F＝ FC ，因此 FM ⊥ A1C．同理， EN⊥ A1B，由(1) 知，FM ∥ EN，因此 FM ⊥ A1 B．又由于 A1C∩ A1B＝ A1，因此 FM ⊥平面 A1BC，又由于 FM ? 平面 A1FC ，因此平面A1FC ⊥平面 A1BC．14．在长方体ABCD - A1B1C1D 1中， AB＝BC＝ 2，过 A1、C1、 B 三点的平面截去长方体的一个角后，获取以以下图的几何体ABCD -A1 1 140．C D ，且这个几何体的体积为3(1)求 AA1的长；(2)在线段 BC1上可否存在点P，使直线A1P 与 C1D 垂直，若是存在，求线段A1P 的长，若是不存在，请说明原因．[解] (1)由于 VABCD - A C D＝VABCD- A B C D －VB- A B C1111111111111040＝2× 2× AA1－3×2×2× 2× AA1＝3 AA1＝3，因此 AA1＝ 4．(2)存在点 P 满足题意．在平面CC D D中作 D Q⊥CD交CC于 Q，过 Q 作 QP∥CB 交11111BC1于点 P，那么 A1P⊥ C1D ．由于 A1D 1⊥平面 CC1D1D， C1D? 平面 CC1D1D，因此 C1D⊥ A1D1，而 QP∥ CB， CB∥A1D1，因此 QP∥ A1D1，又由于 A1D1∩ D 1Q＝ D1，因此 C1 D⊥平面 A1PQD1，且 A1P? 平面 A1PQD1，因此 A1P⊥C1D．由于 Rt△ D1C1Q∽Rt△ C1CD，C1Q D1C1因此＝，因此C1Q＝1，又由于 PQ∥ BC，因此 PQ＝1BC＝1．42由于四边形 A1PQD 1为直角梯形，且高 D1Q＝5，因此 A1P＝〔 2－1〕2＋ 5＝29．22。
江苏专用2020版高考数学专题复习专题9平面解析几何第59练直线与圆圆与圆的位置关系练习理
练直线与圆、圆与圆的位置关系练习理训练目标（1）会求圆的方程；（2）会判断直线与圆的位豊关系：（3）会判断两圆的位宜关系：（4）能应用直线与圆、圆与圆的位置关系解决相关问题.训练题型（1）求圆的方程：（2）判断宜线与圆、圆与圆的位置关系；（3）直线与圆的位置关系的应用.解题策略（1）代数法：联立直线与圆，圆与圆的方程，解方程组；（2）几何法：圆心到直线的距离与半径比较，两圆圆心距与半径之和、半径之差比较.有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为_________________ •2.（2016 •盐城质检）已知圆0：++产=4,若不过原点0的直线2与圆0交于只0两点，且满足直线0只PQ、00的斜率依次成等比数列，则直线2的斜率为__________ •3.（2016 •淮安模拟）已知两定点月（一2,0）, 5（1,0）,如果动点尸满足用=2丹，则点尸的轨迹所包围的图形的面积为_________ .4.（2016 •惠州三调）已知圆Q .Y2+y5=4上到直线1： x^y=a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为___________________ •5.（2016 •苏北四市第一次联考）直线ax+y+l = 0被圆/+/-2a.Y+a=0截得的弦长为2,则实数a的值是________ .6.圆扌+尹一4x+6y= 0和圆Y+y3-6y= 0交于月，万两点，则曲的垂直平分线的方程是7.（2016 •烟台一模）已知直线7： .Y—y+4=0与圆G （A—l）s+ （y—1）5=2,圆C上各•点到直线』的距离的最小值为⑦最大值为b则a+b= _____________________ .8.（2016・南通调研）在平而直角坐标系中，过点尸（一2, 0）的直线与圆相切于点T，与圆&一护+（7-£）'=3相交于点兄S,且PT=RS,则正数a的值为 __________________ •9.（2016 •镇江模拟）过点尸（一4,0）的直线』与圆G C Y-1）：+/=5相交于川，万两点，若点月恰好是线段丹的中点，则直线』的方程为___________________ •10.（2016 •揭阳一模）已知直线x+y-R=0（R>0）与圆.Y=+/=4交于不同的两点儿B, 0为坐标原点，且OA^OB\ ^\AB\.则R的取值范用是_______________________ .11・以圆G：左+#—12y—2y-13 = 0和圆・£+^+12%+16卩一25=0公共弦为直径的圆的方程为 __________________________ .12・（2016 •济南模拟）已知尸是直线3x+4y-10=0上的动点，PA.丹是圆F+#—2%+4y（江苏专用）2018版高考数学专题复习专9平面解析几何第59+4=0的两条切线，A,万是切点，Q是圆心，那么四边形用彷而积的最小值为_____________ ・13.（2016 •甘肃天水一中一模）在平而直角坐标系中，点J（0, 3）,直线厶y=2x—4,设圆Q的半径为1，圆心在1上，若圆C上存在点M,使购=2.豹，则圆心C的横坐标a的取值范围为______________ .14.（2016 •盐城模拟）已知尸（2,0）为圆C：空+/—2-丫+2砂+诊一7=0（皿＞0）内一点，过点F的直线曲交圆Q于心万两点，若△磁而积的最大值为4.则正实数加的取值范用为答案精析1.(—8, —2)2.±1解析设尸(爼，yj, Qg, y:),由题意可设直线』的方程为y=kx-it(t^0且堆±1),与亠 . -. . 2kt f—4圆0： x +y =4联立，整理得(l + A-)y+2ktx+广一4 = 0,所以山+上=—] + &“弘上=匸匚戶而直线“ PQ、%的斜率依次成等比数列，所以△•兰=戶，即(血+» (辰+上)=心旳整理得&十(拒+员)+尸=0,所以&•(一予)+ r=0,整理得尸=1,解得^=±1.3.4n 4・(一3卩3^2)5.-2解析由题意得圆的标准方程为&一&尸+/=£—心所以圆的圆心为(a,0),半径为百二L-I ]圆心(弘0)到直线曲+卄1=0的距离为壬=6.3x+y—3=0解析由平而几何知识知，月万的垂直平分线就是连心线.由于两圆的圆心分别为(2, — 3) 和(0, 3).连心线的斜率为吕=一3,直线方程为卩一3= — 3扛整理得3x+y—3=0.7.诽解析由圆的标准方程得圆心Q的坐标为(1,1),半径r=^2＞则圆心(1,1)到直线』的距离a=d-r=2yj2-yl2=y[2.最大值b= d+r=2乜 + 电=3卩故a+b=4住・8. 4解析设过点H — 2, 0)且与圆A-+/=1相切的直线方程为y=k{x+2),利用切线性质可得切线方程为y=±芈(x+2),画图可得满足题设的切线斜率为正，即满足题设的切线方程为尸乎&+2),即x—{5y+2=O.又易求刃=书,所以RS=©从而圆心(a,⑴)到直线的距离为售所以? 老=倉故ia—l=3,解得a=4或&=一2,又Q0,所以a=4・9. x±3y+4 = 0解析设曲的中点为点0,则CD LAB,设CD=d. AD=x,则丹=初=2”在直角三角形M2?中，由勾股泄理得</+Y=?=5.在直角三角形磁中，由勾股定理得</+9空="=25, 解得易知直线2的斜率一定存在，设为厶则厶 尸心+4),圆心c(l, 0)到直线』为-r±3y+4 = 0.k解析由已知得圆心到直线的距离小于半径，即苗V 5故0<k<2嗣•①得 0M ,即 ZMB0N*,综合①②得， 11 ・ Y + y ~4-Y+4y —17 = 0解析 方法一 将两圆方程相减得公共弦所在直线方程为4<+3厂2=0.phr+3y — 2=0, rfa 4 k ：+/-12Ar-2y-13 = 0,•••所求圆以M 为直径， ・•.所求圆的圆心是曲的中点“(2, -2),圆的半径为r=^AB=3,・•・圆的方程为(x-2)=+ (y+2)==25.方法二求得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0.设所求圆 x y~ 12x —2y — 13+ 久 3 + 丿+12%+16y —25） =0（久 H — 1）,则圆心为 '12 4-12 16/1-2 '"2 1+ A 9 ~2 1+ A ・ •••圆心在公共弦所在直线上,■ 「 12 人一12 ] 「 16 久一2 •'•I X L 一2 1+ 人 + [ 一2 1+ 久 故所求圆的方程为殳4-y 2—4x+4y —17 = 0.12. 2^/2解析 圆的标准方程为（JV-1）5+ （y+2）==l,其圆心Q （l, — 2）,半径为1,且直线与圆相离，如图所示,的距离为d=ok VTo ,解得A==|, k= 土扌，所以直线/的方程为卩=±扌&+4),即如图，作平行四边形创仿，连结兀交M 于胚解得两交点坐标J (-l,2), 5(5, -6).一2=0,解得久=*. AB ,b 心乜•②因为0B=2、所以O&1,四边形用少的而枳等于2Sg =^PA=^PC-1, 又曲」-：-10|=3所以（Sb 心 am = ^\/9— 1 = ,故四边形用少而枳的最小值为2y[2.13.[0, y]解析设点"（X, y）,由MA=2M0.知心+ y-3 =2心+”・化简得空+（卩+1尸=4, •••点”的轨迹为以0（0, —1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆ZZ 又丁点“在圆C上，•••圆Q与圆。
2020高考数学二轮微专题空间几何体的位置关系考点考向考题点拨(58张)
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考情分析 典型例题 课后作业
证明：(1) 连接 AF 交 BE 于 Q，连接 QO.
微专题九 空间几何体的位置关系
因为 E，F 分别为边 PA，PB 的中点， 所以 Q 为△PAB 的重心，故AQQF＝2.
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考情分析 典型例题 课后作业
微专题九 空间几何体的位置关系
又因为 O 为线段 AC 的中点，G 是线段 CO 的中点， 所以OAOG＝2. 于是AQQF＝OAOG，所以 FG∥QO. 因为 FG⊄平面 EBO，QO⊂平面 EBO， 所以 FG∥平面 EBO.
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考情分析 典型例题 课后作业
(1) 证明：取 AB 的中点 O，连接 EO，DO.
微专题九 空间几何体的位置关系
因为 EA＝EB，所以 EO⊥AB.因为 AB∥CD，AB＝2CD，所以 BO∥CD，BO＝CD. 又因为 AB⊥BC，所以四边形 OBCD 为矩形，所以 AB⊥DO. 因为 EO∩DO＝O，EO，DO⊂平面 EOD，所以 AB⊥平面 EOD.所以 AB⊥ED.
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考情分析 典型例题 课后作业
微专题九 空间几何体的位置关系
(2) 因为 O 为边 AC 的中点，AB＝BC，所以 BO⊥AC. 因为平面 PAC⊥平面 ABC，平面 PAC∩平面 ABC＝AC， BO⊂平面 PAC，所以 BO⊥平面 PAC. 因为 PA⊂平面 PAC，所以 BO⊥PA. 因为点 E，O 分别为线段 PA，AC 的中点，所以 EO∥PC. 因为 PA⊥PC，所以 PA⊥EO. 又 BO∩OE＝O，BO，EO⊂平面 EBO， 所以 PA⊥平面 EBO. 因为 BE⊂平面 EBO，所以 PA⊥BE.
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考情分析 典型例题 课后作业
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微专题九空间几何体的位置关系
一、填空题
1. 设l，m表示直线，m是平面α内的任意一条直线．则“l⊥m”是“l⊥α”的________条件．(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个)
2. 若直线a与平面α不垂直，则在平面α内与直线a垂直的直线条数为__________．
3. α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题正确的是________(填序号)．
①若α∥β，m⊂α，则m∥β；
②若m∥α，n⊂α，则m∥n；
③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；
④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β.
4. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF ∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
5. α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有________．(填序号)
6. 如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，正确的命题是________(填序号)．
①MB是定值；
②点M在圆上运动；
③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；
④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE.
二、解答题
7. 如图，四棱锥PABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC的中点．
(1) 求证：AP∥平面MBD；
(2) 若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD.
8. 如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1.
(1) 求证：E是AB的中点；
(2) 若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥CB.
9. 如图，在四棱锥PABCD中，已知平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F 分别是AP，AD的中点．求证：
(1) 直线EF∥平面PCD；
(2) 平面BEF⊥平面PAD.
10. 如图，在四棱锥PABCD 中，AD ＝CD ＝12
AB ，AB ∥DC ，AD ⊥CD ，PC ⊥平面ABCD . (1) 求证：BC ⊥平面PAC ；
(2) 若M 为线段PA 的中点，且过C ，D ，M 三点的平面与PB 交于点N ，求PN ∶PB 的值．
11. 在如图所示的几何体中，平面CDEF 为正方形，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ＝3，AB ＝2BC ＝2，AC ⊥FB .
(1) 求证：AC ⊥平面FBC ；
(2) 线段AC 上是否存在点M ，使EA ∥平面FDM ？请证明你的结论．。