2.1曲线参数方程的概念及圆的参数方程

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2.1曲线参数方程的概念及圆的参数 方程
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
25 D、 ( , 0); 16
训练2：
已知曲线C的参数方程是 点M(5,4)在该 曲线上. （2）求曲线C的普通方程. 解: (1)由题意可知:
x 1 2t , (t为参数,a R ) 2 y at .
（1）求常数a;
1+2t=5 at2=4 x=1+2t y=t2
解得:
a=1 t=2
∴ a=1
x 1 由第一个方程得: t 2
(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为:
x 1 2 ) , 代入第二个方程得: y ( 2
( x 1) 4 y为所求.
2
思考题：动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的 速度分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的 轨迹参数方程。
P的坐标是(2 cos ,2 sin ),由中点坐标公式得：
3、已知点 P(x, y)是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动点， 求（1） x2+y2 的最值， （2）x+y的最值，
（3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（x- 3）2+（y- 2）2=1， 用参数方程表示为 x 3 cos
M(x,y)
5
r
-5

M0
5
{
x r cos y r sin
( 为参数)
-5
思考2 : 圆心为O1 (a, b)、半径为r的圆的标准方程 为( x a) 2 ( y b) 2 r 2 , 那么参数方程是什么呢 ?
圆心为O1 (a, b)、半径为r的圆可以 看作由圆心为原点O、半径为r的圆 平移得到, 设圆O1上任意一点P( x, y ) 是圆O上的点P 1 ( x1 , y1 )平移得到的, 由平移公式, 有
y 2 sin
由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ），
（1） x2+y2 = (3+cosθ)2+(2+sinθ)2 =14 + 4 sinθ+ 6cosθ =14+2 sin(θ +ψ). 13 (其中tanψ =3/2)
∴ x2+y2 的最大值为14+2
13 ，最小值为14- 2
垂直高度为y，所以
可以使其准确落在指定位置.
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 坐标x, y都是某个变数t的函数 x f (t ), （2） y g ( t ). 并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数. 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
投放点
？
救援点
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成： （1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。
例3.如图,圆O的半径为2,P是圆上的动点, Q(6,0)是x轴上的定点,M是PQ的中点, 当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程。 y
P
M
Q

o x
解：设点M的坐标是( x, y )，xOP , 则点 2 cos 6 2 sin x cos 3, y sin 2 2 所以，点M的轨迹的参数方程是 { x cos 3 y sin (为参数)
解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得
x 1 5t 所以，点M的轨迹参数方程为 y 2 12t
参数方程求法: （1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为 （2）选取适当的参数 （3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建立点P坐标与参数的函数式 （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程
2 2
）
A、 36 C、 26
B、 6 D、 25
3、若已知直线的参数方 程为 { 求它与曲线 { x 2 cos y 2 sin
x 1 t y 1 t
(t为参数)
(为参数)的交点。
4. 已知M是正三角形ABC的外接圆上的任意
一点, 求证： |MA|2+|MB|2+|MC|2为定值。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
(x+1)2+(y-3)2=1，
x 1 cos ∴参数方程为 y 3 sin
(θ为参数)
例2、指出参数方程{
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 2 cos 5 y 3 2 sin
(为参数)所
表示圆的圆心坐标、半径，并化为普通方程。
x x1 a y y1 b
-5 5
(a,b) O1
P(x,y)
v(a,b)
r
P 1 ( x1 , y1 )
5
o
x1 r cos 又 y1 r sin
x a r cos 所以 y b r sin
-5
例1、已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。
练习1
2 1、曲线 x 1 t ,(t为参数） 与x轴的交点坐标是( B ) y 4t 3
25 ( , 0); C、(1, 3); A、（1，4）；B、 16
1 时,
d取最大值, 最小值，
。 2 2 1
练习:
x r r cos r 1、圆{ (为参数，r 0)的直径 y r sin 2 （2，1） ___ 是4，则圆心坐标是__________
x 2 cos 2、P( x, y)是曲线 { (为参数)上任 y sin 意一点, 则( x 5) ( y 4) 的最大值为（ A
x 1 5t y 2 12t
2、圆的参数方程
如果在时刻 t，点M转过的角度是 ，坐标是 M ( x, y )，那么＝t，设 OM ＝r，那么由三 角函数的定义有： x r cost x y cost , sin t 即{ (t为参数) y r sin t r r 这就是圆心在原点 O，半径为r的圆的参数方 程。其中参数 t有明确的物理意义 (质点作匀 速圆周运动的时刻 )
y 500
o
x
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
y 500
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
o
x 100t , 1 2 2 （ g=9.8m/s ) y 500 gt . 2 令y 0, 得t 10.10s. x 代入x 100t, 得 x 1010m. 所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，
13 。
(2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5 +
sin（ 2θ +
）

4
∴ x+y的最大值为5+
，最小值为5 2
。 2
(3)
4 2 sin( ) 3 cos 2 sin 1 4 d 2 2

4）=
显然当sin（θ+ 分别为 1 2 2 ，
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁, 1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明 显意义。 2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样 3.在实际问题中要确定参数的取值范围
变式:
x 3t , 例1: 已知曲线C的参数方程是 (t为参数) 2 y 2t 1.