巧用直线的参数方程——一道高考题引发的感悟
高考数学直线的参数方程知识点
高考数学直线的参数方程知识点在高中数学的学习中，直线是一个重要的概念。
直线的表示形式有很多种，其中参数方程是一种常见的表达方式。
在高考数学中，直线的参数方程是一个常考的知识点。
本文将围绕直线的参数方程展开讨论，介绍其相关概念以及解题方法。
一、什么是直线的参数方程？直线的参数方程是通过引入参数来表示直线上各个点的坐标关系的一种方法。
通常情况下，直线的参数方程由两个参数和两个参数函数组成。
其中，参数函数表示直线上点的横坐标与参数的关系，另一个参数函数表示直线上点的纵坐标与参数的关系。
具体地说，对于直线上任意一点P(x, y)，我们可以用参数t来表示这个点的位置。
假设直线上某一点为A(x1, y1)，那么直线上任意一点P(x, y)的坐标可以通过下面的关系式计算得到：x = x1 + aty = y1 + bt其中，a和b是直线的方向向量。
二、直线的参数方程与一般方程的转换在解题过程中，我们有时需要将直线的参数方程转换成一般方程，或者将一般方程转换成参数方程。
下面我们分别介绍这两种转换方式。
1. 参数方程转换成一般方程将直线的参数方程转换成一般方程的关键在于消去参数t。
假设直线的参数方程为：x = x1 + aty = y1 + bt我们可以通过以下步骤将其转换成一般方程：（1）将t表示出来，得到t的表达式：t = (x - x1) / a（2）将t的表达式代入另一个参数函数，得到关于y的表达式：y = y1 + b((x - x1) / a)（3）整理化简，即可得到一般方程。
2. 一般方程转换成参数方程将一般方程转换成参数方程的关键在于引入参数t，并根据直线上任意一点P(x, y)与已知点A(x1, y1)的坐标关系，建立参数方程。
假设一般方程为Ax + By + C = 0，直线上已知点为A(x1, y1)。
我们可以通过以下步骤将其转换成参数方程：（1）建立关于x和t的参数方程：x = x1 + t（2）根据一般方程，将y用x和t表示出来：y = y1 - (A / B)(x1 + t)（3）整理化简，即可得到参数方程。
用直线参数方程巧解高考题
用直线参数方程巧解高考题作者：张蔡莉来源：《课程教育研究》2017年第12期【摘要】直线参数方程是高中数学“平面解析几何”中的重要内容，可用来解决解析几何题型中常见的相交弦问题、最值问题和“定点”“定值”问题.因为其中t的特殊几何意义，可以直接解决相交弦问题；而因其参数方程的特点，使用它解题时，可以将相关量放在同一参数下，减少了问题中的变量，达到简化结构、优化运算的效果.【关键词】直线参数方程解析几何最值定点定值【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）12-0210-01解析几何问题是高考考查运算求解能力和逻辑推理能力的主要题型，其得分率一直位于所有题型后几位，主要原因有二：一是考生找不到解题思路；而是有思路但运算过于复杂，不能得到正确的结果.在一些高考题中，笔者发现，直线参数方程的使用，可以较好的解决上述困难.一、相交弦长及其中点问题例1.（2016年江苏）平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为，椭圆C的参数方程为，设直线与椭圆相交于A，B两点，求线段AB的长.解法一：把直线，椭圆参数方程转化为直角坐标方程，联立方程，利用韦达定理求解.解法二：因为直线参数为标准形式，且过点P（1，0），设点A，B对应的参数为因为：椭圆的直角坐标方程为，联立直线和椭圆方程一般地，经过点，倾斜角为的直线的参数程为，若A，B为直线上两点，对应的参数为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，以下结论经常用到：相交弦有关的绝大多数问题，直线参数方程的使用，可以比普通方程的解法，少更多的运算步骤，可以较好地提高解题效率.二、最值问题例2.直线过点P（1，1）与椭圆相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的最大值解：设直线的倾斜角为，参数方程为代入椭圆方程：可以借助直线参数方程将未知条件转化为已知条件表达，最后把它变成求函数的最值问题.这样的解题思路，是使用参数方程后，自然就得到的.三、定点和定值问题例3.（2008年安徽）设椭圆C：过点M，且左焦点为（1）求椭圆的方程（2）当过点P（4，1）的动直线与椭圆相交与不同的A，B点时，在线段AB上取点Q，满足，证明：点Q总在某条定直线上。
空间解析几何中直线参数方程的教学反思
空间解析几何中直线参数方程的教学反思在空间解析几何中，直线是一个非常重要的概念。
我们通常使用参数方程来描述直线在三维坐标系中的位置和方向。
然而，在教学过程中，我意识到直线参数方程的教学存在一些问题和挑战。
本文将对空间解析几何中直线参数方程的教学进行反思，探讨在教学中如何更好地帮助学生理解和应用直线参数方程。
一、引言在空间解析几何中，直线的参数方程是表示直线上任意一点的坐标与一个或多个参数之间的关系式。
通过直线的参数方程，我们可以确定直线在三维坐标系中的位置和方向。
教学直线参数方程时，我们通常会介绍参数方程的推导方法以及如何通过已知条件确定参数。
二、问题分析在教学直线参数方程时，我发现学生们容易出现以下问题：1. 缺乏几何直观：学生对于参数方程表示的直线在三维空间中的几何形态理解不深刻，容易在画图和空间想象方面出现困难。
2. 公式记忆不牢固：直线参数方程的公式通常较为复杂，学生容易记忆错误或混淆不同情况下的参数方程形式。
3. 应用困扰：学生在实际问题中应用直线参数方程时，常常遇到理解问题和解题思路不清晰的困扰。
三、教学反思为了解决上述问题，我在教学中采取了一些措施：1. 强调几何解释：在介绍直线参数方程时，我会结合具体的几何图形来进行解释。
例如，通过展示直线参数方程对应的直线在坐标系中的位置和方向，帮助学生建立直观的空间概念。
2. 探究思维引导：在推导直线参数方程时，我会引导学生通过一些示例来进行思考和探索。
通过引导学生思考如何通过已知条件确定参数，培养他们的解决问题和推导公式的能力，而不仅仅局限于公式记忆。
3. 分步讲解和实例演练：我会将教学过程分为多个步骤，依次介绍不同情况下的直线参数方程。
在讲解时，结合实例进行演练，帮助学生掌握不同情况下的参数方程形式和应用方法。
4. 强化应用训练：在教学结束后，我会设计一些应用题和练习题，帮助学生将直线参数方程应用到实际问题中。
通过反复练习，培养学生的应用能力和解题思路。
从一道高考题看含参数不等式恒成立问题
（ ） 丢一 【 ｌ Ｉ ｉ Ｉ 】 ．
ｇ ｇ ） ３ 一 １ －（ ＝
，
【 点评】不等式ｇ ｘ ＞ 恒成立，可构造 函数ｆ ｘ ＝ｇｘ 一 （ ） （） （） （）
（ ， 问题 转 化 为ｆ（ ＞０恒 成 立． ） ）
［ ，） 一 ０， １
若 不 等 式 中 含有 两个 变量 、Ｘ，可 得 变 式 ３ ．
因 此 ０＜０≤ ２ ．
手无策．现从 ２ １ ０ ０年高考数学天津卷文科第 ２ 的解法 中 ，对 ０题
含 参 数 不 等 式 恒 成 立 问 题 进 行探 究 ，总 结 解题 思维 和 方 法 ．
一
② 若 ０ ，则 ０＜ ＜ ＞２
ｒ 上
当 变 化 时 ， 和 ／（ 的变 化 情 况 如 下 表 ： ｆ（ ） ）
综 上 所 述 ，ａ的取 值 范 围是 ０＜ａ ． ＜５
【 点评】 将原 不等式 中的 。 进 行分 离 （ 与 或分 割） ，得到
形 如 ａ＞ 或 ａ 厂（ 的 不 等 式 ，再 把 求 ａ的 取 值 范 围 问 题 转 ，（ ） ＜ ） 化 为 求 ＿ （ 的最 值 问题 ． 解 题 思 路 简 单 明 了 ， 易于 掌 握 ，这 厂 ） 使 种 方 法 称 为 “ 离参 数 法” 分 ，它 是 解 决 恒 成 立 问题 的 常用 方 法．
２ １ ０ １年
第 ４期
Ｊｕ ｎ ｌ ｏ ｈｎ ｓ ｔｅ ｔ ｓ Ｅ ｕ ａｉｎ ｏ ｒ ａ ｆ Ｃ ｉ ｅ ｅ Ｍａ ｈ ｍａｉ ｄ ｃ ｔ ｃ ｏ
Ｎ ． ２１ ｏ４ ０ １
从一道高考题 看含参 数不等式恒成立 问题
段 先 中学）
摘 要 ：含 参数不 等式恒成 立 问题是 历年 高考和竞 赛 中的 热
空间解析几何中直线参数方程的教学反思
空间解析几何中直线参数方程的教学反思
在空间解析几何中，直线参数方程是一个重要的概念，它可以帮助我们快速计算出直线的方程，这有助于解决很多直线问题。
本文将从教学经验出发，就直线参数方程的教学反思做出一些讨论。
首先，我们应该让学生分析直线参数方程的特点，如它的定义，证明，等等，以便他们对直线参数方程有更深刻的理解。
其次，应该引导学生能够有效地应用直线参数方程，使他们能够根据不同的情况，完成不同的计算任务。
此外，还可以设计一些实际案例，让学生完成相应的计算问题，可以让他们更好地理解直线参数方程的应用环境。
再者，我们应该让学生总结直线参数方程的一些基本规律，包括它的性质，参数的意义，让他们能够快速地解决问题。
最后，应该提供一些练习题，让学生加深对直线参数方程的理解，并熟悉它的计算过程。
以上是我对直线参数方程教学反思的一些看法，虽然它们只是基础，但是对于空间解析几何而言，它们都是关键的知识点，因此，我们应该给予它们足够的重视，以便更好地掌握它们。
直线的参数方程的几何意义
直线的参数方程的几何意义1.直线的位置和方向：参数方程可以通过调整参数的取值范围，描述直线在坐标系中的位置和方向。
例如，对于二维平面上的直线，参数方程可以表示直线在坐标系中的位置，以及直线与坐标轴的夹角。
对于三维空间中的直线，参数方程则可以表示直线在空间中的位置和方向。
2.直线的长度和斜率：参数方程可以通过参数的取值范围的选择，可以表示直线的长度和斜率。
例如，在二维平面上的直线的参数方程中，当参数的取值范围是0到1时，直线的长度就是参数方程中点的坐标与起点坐标的距离。
斜率则可以通过参数方程中的斜率函数导出来。
3.直线上的点的坐标：直线的参数方程可以通过给定参数值来求得直线上任意一点的坐标。
这使得我们可以通过参数方程计算直线上的点的坐标，进而研究直线上的点的性质和行为。
例如，通过参数方程可以计算直线上的点的坐标，并进一步研究这些点的集合的几何性质。
4.直线的切线和法线：参数方程可以通过求导数来计算直线上每一点的切线和法线。
这使得我们可以通过参数方程推导出直线上每一点的切线和法线的方程式，并进一步研究它们的性质和关系。
例如，通过参数方程可以推导出直线上每一点的切线的斜率和法线的斜率，从而进一步研究直线的曲率和切线与法线的关系。
在实际应用中，直线的参数方程在几何学、物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，参数方程可以用来表示直线、曲线和曲面，从而用来模拟和绘制各种图形。
在物理学中，参数方程可以用来描述粒子的运动轨迹，从而用来研究粒子的位置、速度和加速度等动力学性质。
在工程学中，参数方程可以用来描述机械系统的运动路径和轨迹，从而用来优化设计和控制系统。
总之，直线的参数方程是一种描述直线位置和形状的方式，它可以通过给定参数的取值范围，将直线上的每一个点都用一个参数表示出来。
直线的参数方程不仅可以描述直线的位置和方向，还可以计算直线上每一点的坐标、切线和法线等几何性质，应用广泛，具有重要的几何意义。
高三教学视导数学直线参数方程运用
高三教学视导数学直线参数方程运用高三是人生的重要阶段，在这一年，学生们要准备迎接高考，而数学则是高考中的一门重要科目。
在高三教学中，视导数学直线参数方程的运用是一个重要的内容，因为掌握了参数方程，能够更好地解决与直线相关的各种问题。
下面就来分步骤地阐述一下高三教学视导数学直线参数方程运用。
第一步：理解直线参数方程的含义直线参数方程是通过给定直线上的一个点和一个指向线的方向向量来定义的。
因此，在学习直线参数方程的求解方法之前，我们首先需要了解直线参数方程的含义。
只有当我们理解了直线参数方程的含义，才能更好地掌握如何使用它来解决问题。
第二步：掌握直线参数方程的求解方法掌握直线参数方程的求解方法也是非常重要的。
首先，我们需要确定直线上的一个点和一个指向线的方向向量，然后将这些数据带入到直线参数方程中，即可得到直线的参数方程。
这个过程需要严谨的思维和正确的方法，只有正确求解出直线的参数方程，才能更好地应用到解决问题中。
第三步：应用直线参数方程解决相关问题掌握了直线参数方程的求解方法后，我们需要将其应用到解决与直线相关的各种问题中。
例如，我们可以应用直线参数方程来求解直线与其他物体的交点、直线的斜率、直线的长度等问题。
由于直线参数方程是直线相关问题的基础，因此，我们需要仔细思考并灵活应用直线参数方程来解决与直线相关的各种问题。
第四步：加强实践操作，巩固知识点在学习了直线参数方程的相关知识之后，我们需要进行实践操作来巩固知识点。
只有在实践过程中不断地掌握和运用知识，我们才能更好地掌握直线参数方程的相关内容。
因此，我们需要多做相关练习并在做题时注重思考，将所学内容融会贯通，这样才能真正地运用到实际问题中。
综上所述，高三教学视导数学直线参数方程运用是非常重要的，并且需要分步骤进行，从理解直线参数方程的含义开始，再到掌握直线参数方程的求解方法，再到应用直线参数方程解决相关问题，最终要加强实践操作，巩固知识点。
只有这样，我们才能更好地掌握这一知识点，为高考做好充分准备。
直线参数方程在解析几何中的妙用
为
参
数），代入3x2 + 4y2 - 48 = 0整理得
( 3 + sin2θ ) t2 + 12cosθ·t - 36 = 0.
∴
ìïït í ïït î
1 1
+ t2
t2 =
=
-12cosθ 3 + sin2θ
-36
3 + sin2θ
| | | | 注意到 t1t2 < 0，方向相反，于是 | ED | = t1 + t2 =
解析几何是高中数学的重要组成部分，也是每年高
考必考内容 . 这种考题要求学生有较强的数形结合能
力、运算能力、等价转化能力，能将平面几何问题转化为
代数问题求解 . 有时候即使我们能够成功地找到关键的
代数式，由于它巨大的运算量，运算困难，导致许多学生
谈解析几何色变 . 大部分学生往往只能联立方程就无法
往下做了，少部分数学学得好的学生也往往止步于繁杂
的化简和运算 . 本文来谈一谈利用直线的参数方程解决
部分解析几何问题 .
［例 1］已知以 A 为圆心的圆（x-2）2+y2上有一个动点 M，B(-2,0)，线段 BM 的垂直平分线交 AM 于点 P，点 P 的轨 迹为 E.
（Ⅰ）求轨迹 E 的方程；（Ⅱ）过 A 点作两条相互垂直 的直线 l1, l2 分别交曲线 E 于 D, E, F, G 四个点，求| DE | + | FG |的取值范围 .
| | t1 - t2 =
144cos2 θ ( 3 + sin2θ )2
+
3
144 + sin2θ
=
3
24 + sin2
直线参数方程在解题上的应用探析
直线参数方程在解题上的应用探析作者：吴欢来源：《东方教育》2016年第05期【摘要】直线参数方程是高中数学新课程选修4-4中的内容，也是新课程新增内容。
其在求圆锥曲线的切线方程、解与线段中点有关的问题、解与线段长有关的问题、解决有关极值的一些问题等方面有着重要的作用。
纵观历年来高考真题，不满发现直线与圆锥曲线的综合题向来是高考的重点与热点，而如果合理利用直线方程的另一种形式――参数式，则可以让学生从一个全新的角度去认识这些问题，帮助学生更快地找到解题方式。
本文就如何利用直线参数方程解题，作了详细阐述，以资参考。
【关键词】直线参数方程；解题；应用一、参数t的几何意义及常用性质设过定点M0（x0，y0），且倾斜角为α的直线l参数方程为x=x0+tcosαy=y0+tsinα（t为参数）。
其中，参数方程中的参数t具有四个常用的性质：第一，若t>0，点M位于M0的上方，相反，位于M0的下方，而当t=0的时候，点M和M0是重合的[1]。
第二，直线参数方程中的参数t可以代表直线l上M0到任意点M（x，y）有向线段M0M 的数量，用公式表示为t=M0M。
第三，若直线l上的M1点与M2点对应的参数为t1与t2，那么，M1M2=t1-t2，并且满足M0M1M0M2=t1t2的关系。
如果M0点在M1与M2之间，则满足t1t20。
第四，若点M为M1M2中点，而点M对应的参数为t，那么t=t1+t22。
二、利用直线参数方程解题1.利用直线参数方程求圆锥曲线的切线方程直线参数方程在圆锥曲线切线方程中的实际应用中，最重要的就是将切线的方程转化成直线参数方程，然后将其代入到原有的圆锥曲线方程中，进而获得有关参数t的二次方程。
下面以过定点的切线为例，求解椭圆的切线方程，具体方法如下：题目内容为，椭圆方程为9x2+y2=25，求过定点（-1，4）的切线方程。
解题思路如下，因为定点在椭圆之上，所以，可以将椭圆方程转换成含有t的切线方程，即x=-1+tcosαy=4+tsinα（t為参数），然后将其带入到9x2+y2=25公式中，进而获取方程为9（-1+tcosα）+（4+tsinα）2=25，经过相应的整理可以得出方程，即（9cos2+sin2α）t2-（18c osα-8sinα）t=0，同时，目标直线与椭圆的位置关系是相切，所以可以形成关系式，即△=（18cosα-8sinα）2=0，所以得出tanα=94，因此，y-4=94×（x+1），经整理可得出切线的方程，即9x-4y+25=0。
直线参数方程应用的奇思与妙用
Ｌ， ｙ ） ｏ＋ ｔＳ ｎ ￣ ｌ Ｏ．
倾斜 角 为 ６ 。Ａ ２朋 ． Ｏ ， ＝
（ ） Ｍ、 的中点恰是 点％ Ｘ， ）则 ｔ＋２ Ｑ ２若 Ｊ ７ ｖ ｏＹ ， 。 ｔ＝ ｏ
２ 直线参数方程 的一 般式
（） ２ 如果 ＩＢｌ ， 圆 Ｃ的方程． Ａ － 求椭
（） １， ２ 由（ ） 得 ＝ Ｉ ＿
例 ３ 如 图 ， 圆 Ｃ： 椭
Ｂ
。
ａ ＋ ＝１的顶点 为 Ａ ， ２
Ａ ， ，２焦 点 为 Ｆ ， ， ２Ｂ１Ｂ ， ｌ ＩＡ ｌ ＝ √ １ Ｉ ７，Ｓｌ＾ ＾ｌ 口２
＝２ １ ２ Ｓｎ，ｌ
．
又得Ｂ竽 ≥ 竽 由ＩＩ ， 差 ＝， Ａ＝ 得
即是 数 轴上两 点 间距 离公 式． （） １ 若 、 Ⅳ的 中点 为 Ａ（ ，）则 点 Ａ对 应参 数 戈） ， ，
￡ ，：
，
ｘ ＋ ：１ Ⅱ＞ ０ 的右 焦 点 为 （ ６＞ ）
ＣＯ 此时参 数方 程 为 ：Ｘ＝ ０ ｔ Ｓ Ｘ ＋￣
．
．
，
过 的直线 ｚ 与椭圆 Ｃ交与 Ａ Ｂ两点 ， 、 直线 ｌ 的
②
确定 的 （ ， ） 定 了坐 标 平 面 上 以 （ Ｙ 为 坐标 的 ｘｙ 确 ， ）
联立①② ， 解得 ｂ ＋ ａ ＝ ｃ， ３ ８
， ，
点的轨迹 ， 因此② 中 又成了变量， 这就是参数的二
重性 和灵 活性 ， 为灵 活地 解 决 问题提 供 了平 台．
即２＝ｃ． 手 ａ ３． ．ｅ ・
系 同 以 即 ，得 准 程 Ｊ＝ “ ， 数 除 。 可则 标 方 为 Ｘ ０
一道高考参数方程题的解法分析及教学反思
２０２３年８月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀一道高考参数方程题的解法分析及教学反思◉海南省昌江黎族自治县昌江中学㊀林瑞记㊀㊀摘要:参数方程是高考数学考查的重要模块,本文中结合一道高考参数方程题解法的深入研究,依托高考试题反思教师日常教学,总结不同题型的解法特点,以在教学时真正做到因材施教,进一步落实对学生数学学科核心素养的培养．关键词:参数方程;解法研究;教学反思㊀㊀知过去,才能谋未来．我们的高中生从来都不缺乏练习题㊁高考题的训炼,但大多都浅尝辄止,缺乏上下求索的学习态度,导致各个数学知识点之间的联系没有得到很好的构建,知识的外延也没能得到很好的拓展．实际上,很多高考题具有很强的教学意义和研究价值．笔者曾参与海南省２０１８年高考阅卷工作,现试着从２０１８年全国Ⅱ卷第２２题关于参数方程问题的研究出发,剖析该参数方程题的不同解法,归纳解该类题目的思想方法．首先介绍考生的常见解题思路,并分析不同考生解法的思维特点,然后进一步研究不同的解法,最后揭示不同数学思维水平的考生该如何在考场中 扬长避短 ,以及教师在教学中如何做到 因材施教 ,落实新课标提出的高中数学学科六大核心素养[１]．１试题呈现(２０１８年全国Ⅱ卷第２２题)在直角坐标系x O y中,曲线C 的参数方程为x ＝２c o s θ,y ＝４s i n θ{(θ为参数),直线l 的参数方程为x ＝１＋t c o s α,y＝２＋t s i n α{(t 为参数)．(１)求C 和l 的直角坐标方程;(２)若曲线C 截直线l 所得线段中点的坐标为(１,２),求l 的斜率．答案:(１)C :x ２４＋y２１６＝１．当c o s αʂ０时,l :y ＝ta n α x ＋２－t a n α;当c o s α＝０时,l :x ＝１．(２)直线l 的斜率为－２．２参数方程问题的解题策略分析该题在高考中属于选考题,因为其主要考查的内容是三角函数和解析几何,属学生较为熟悉的知识点,故而在高考考场上选择的考生颇多．第(１)问主要考查学生将极坐标方程转化为直角坐标方程㊁参数方程转化为普通方程的能力,尽管该问较为简单,但是直线l 的转换出错较多．对于第(２)问,学生的解法主要是将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中去求解,思维的切入点不同,解题的方法往往就大相径庭[２]．解析:(１)由x ＝２c o s θ,y ＝４s i n θ,{得x ２＝c o s θ,y ４＝s i n θ,ìîíïïïï将两式分别平方再相加,得曲线C 的直角坐标方程为x２４＋y ２１６＝１．当c o s αʂ０时,直线l 的直角坐标方程为y ＝t a n α x ＋２－t a n α;当c o s α＝０时,直线l 的直角坐标方程为x ＝１．第(１)问总体来说较简单,失分的同学往往是因为忽略了c o s α＝０这种特殊情况．当然,如果考生将直线l 的直角坐标方程写为y c o s α＝s i n α x ＋２c o s α－s i n α,阅卷时也可以得满分,但是如果l 的直角坐标方程写为x －１c o s α＝y －２s i n α,则至少扣一分．(２)解法１:把x ＝１＋t c o s α,y ＝２＋t s i n α{代入x ２４＋y ２１６＝１,得(１＋t c o s α)２４＋(２＋t s i n α)２１６＝１,整理为(１＋３c o s ２α)t ２＋４(２c o s α＋s i n α)t －８＝０．①因为曲线C 截得直线l 所得线段的中点(１,２)在C 内,所以方程①有两解,设为t １,t ２,根据参数t 的含义,有t １＋t ２＝０．又t １＋t ２＝－４(２c o s α＋s i n α)１＋３c o s ２α,所以２c o s α＋s i n α＝０,故直线l 的斜率为k ＝t a n α＝－２．具体策略分析:解法１在阅卷中属于司空见惯的,由于其解题思路清晰及步骤操作偏模式化,因此有很多考生青睐这种解法,也体现了这类考生数学运算素养较强．因此,在教学中针对这类学生,教师应当着重加强计算能力和运算技巧的训练,这样才能做到有的放矢地教学,这应该也算是数学学科的 因材施教 吧!解法２:(ⅰ)当c o s α＝０时,曲线C 截直线l 所得线段的中点为(１,０),不合题意．９７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年８月上半月㊀㊀㊀(ⅱ)当c o s αʂ０时,由x ２４＋y ２１６＝１,y ＝xt a n α＋２－t a n α,{得x ２４＋(x t a n α＋２－t a n α)２１６＝１．整理得(４＋t a n ２α)x ２＋２t a n α(２－t a n α)x ＋t a n ２α－４t a n α－１２＝０．设方程的两个根分别为x １,x ２,则由韦达定理可得x １＋x ２＝－２t a n α(２－t a n α)４＋t a n ２α．又曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(１,２),所以x １＋x ２２＝１,于是－t a n α (２－t a n α)４＋t a n ２α＝１,解得t a n α＝－２．故直线l 的斜率为－２．具体策略分析:解法２较之解法１,在思维上走的弯路较少,联立后整理得到的方程的解本身就是题目所求,没必要牵涉到参数t 的含义,所以考场上运用解法２的考生也较多．但是,很多学生运用该解法总是拿不到满分,原因是没有考虑c o s α＝０的情况,即直线l 的斜率不存在的情况．针对这类学生,课堂上教师应该有意识地培养他们的数学抽象素养．解法３:设直线l 与椭圆x ２４＋y ２１６＝１相交于点A(x １,y １),B (x ２,y ２),则有x ２１４＋y ２１１６＝１,x ２２４＋y ２２１６＝１,ìîíïïïï两式相减,得(x １＋x ２)(x １－x ２)４＋(y １＋y ２)(y １－y ２)１６＝０．因为A B 的中点坐标为(１,２),所以x １＋x ２＝２,y １＋y ２＝４,则x １－x ２２＋y １－y ２４＝０．当x １ʂx ２时,线段A B 的斜率k ＝y １－y ２x １－x ２＝－２;当x １＝x ２时,线段A B 的中点坐标为(１,０),不符合题意．故直线l 的斜率为－２．具体策略分析:解法３是常用于解圆锥曲线问题的点差法,思想就是未知参量设而不求,最后直接整理得斜率的表达式并求解．考场上运用该解法的学生思路清晰,基本都能拿满分,不过也有部分学生忽略了x １＝x ２时斜率不存在的情况,导致被扣两分．从侧面来看,用解法３还出错的学生表现出其逻辑推理及直观想象素养不够强,教师在教学中应当见微知著,有目的地补齐这类学生的短板．解法４:(ⅰ)当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为y －２＝k (x －１)．联立x ２４＋y ２１６＝１,y ＝k (x －１)＋２,{整理可得(４＋k ２)x ２＋２k (２－k )x ＋k ２－４k －１２＝０．设该方程的两个根分别为x １,x ２,则由韦达定理可得x １＋x ２＝－２k (２－k )４＋k２．又曲线C 截直线l 所得线段中点坐标为(１,２),则x １＋x ２２＝１,即－k (２－k )４＋k２＝１,解得k ＝－２．(ⅱ)当直线l 垂直于x 轴,即直线l 的斜率不存在时,曲线C 截得直线l 所得线段的中点坐标为(１,０),不符合题意．具体策略分析:解法４与解法２有着异曲同工之妙,都是将两方程联立并整理,再应用韦达定理和线段的中点坐标求解．这类解法在考场上较为罕见,主要原因是设直线方程再联立求解,其中的运算量较大,很多考生都望而却步．因此,在日常教学中,教师要有意识地强化学生的数学运算素养,只有夯实基础才能更上一层楼．图１解法５:如图１,曲线C 是中心在原点㊁焦点在y 轴上㊁长轴长２a ＝８㊁短轴长２b ＝４的椭圆,上顶点为A (０,４),右顶点为B (２,０),线段A B 的中点为(１,２),所以直线A B 满足题目要求．故直线l 的斜率为－２．具体策略分析:解法５鲜为考生所知,能用该法解决第(２)问的考生体现了其较强的数学抽象和直观想象素养,在争分夺秒的高考考场上思维仍能做到简明扼要㊁抽丝剥茧,的确令人激赏．总之,参数方程问题的求解不仅要掌握参数方程中参数的含义,有时还需运用数形结合思想来思考和解答问题．通过这道参数方程题来审视我们的教学效果,确实还有很多需要改进的地方,很多素养需要加强．教师只有终身学习才能站好三尺讲台的岗,对以往高考题解法的回顾,能让思维得到锻炼和发散,能厘清知识间千丝万缕的联系．作为人民教师的我们,应生命不息教与学不止．参考文献:[１]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准(２０１７年版)[S ]．北京:人民教育出版社,２０１７．[２]汪生芳． 极坐标系与参数方程 的教学研究[D ]．武汉:华中师范大学,２０１８．Z ０８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
一道直线参数方程问题引发的思考
直线
l
的参数方程为
x=
m+
3t 2 （ t 为参数）.
y
=
1 2
t
（2） 设 A ， B 两 点 对 应 的 参 数 分 别 为 t1 ， t2 ， 将 直 线
( ) l 的参数方程代入 x2 + y2 = 2x 中，得 t2 + 3m − 3 t + m2
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2018 年第 25 期（总第 301 期）
根，所以 t1 + t2 =3 2 .
( ) 又直线 l 过点 P 坐标为 3, 5 ， A ， B 两点对应的参数
分别为 t1 ， t2 ，所以 PA + PB = t1 + t2 =t1 + t2 =3 2 .
引申：过点 M 0 ( x0, y0 ) ，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程
为
=x =y
点，求 PA + PB 的值.
解：（1） 由
x=
=y
3− 2 t
2 得直线 l 的普通方程为
5+ 2t 2
x + y − 3 − 5 =0 .
又 由 ρ =2 5 sinθ 得 圆 C 的 直 角 坐 标 方 程 为 x2 +y2 −
( ) 2
5 y = 0 ，即 x2 +
y−
2
5 = 5 .
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课例评点
教育界 / EDUCATION CIRCLE
2018 年第 25 期（总第 301 期）
一道直线参数方程问题引发的思考
福建省晋江市陈埭民族中学 程玉林
【摘要】直线的参数方程是直线方程知识的进一步延伸，同时也为研究直线和圆、直线和圆锥曲线的问题提供了另一条 途径。文章从一个例题引申开来，归纳利用直线的参数方程标准式中参数t的几何意义解决弦长、中点等相关问题，使得计 算更方便与简洁。
浅谈直线的参数方程及其应用
浅谈直线的参数方程及其应用直线是平面上最简单和基本的几何图形之一，其参数方程是直线方程的一种表示方法。
直线的参数方程的一般形式为:x = x0 + aty = y0 + bt其中(x0,y0)是直线上一点的坐标，a和b是与直线方向有关的常数，而t是一个自变量。
这种表示方法的优势在于可以方便地描述直线上的所有点，而不仅仅是端点。
在直线的参数方程中，t的取值范围可以是实数集合中的任意一个数字，因而可以由t的变化来确定了直线上的所有点。
例如，当t取值为0时，参数方程中的x和y分别等于(x0,y0)，即直线上的一点；当t取值为1时，参数方程中的x和y分别等于(x0+a,y0+b)，即直线上的另一个点。
直线的参数方程有广泛的应用，下面我们来介绍其中的几个重要应用。
1.直线的插值和曲线绘制:直线的参数方程可以方便地实现直线的插值和曲线绘制。
通过选取不同的a和b值，可以确定直线上的一系列点，从而连接这些点可以得到平滑的曲线。
2.直线的运动轨迹:在物理学和运动学中，许多物体的运动轨迹可以用直线的参数方程来表示。
通过设定不同的初始位置和速度，可以得到物体在不同时刻的位置，从而得到物体的运动轨迹。
3.直线的几何关系:直线的参数方程可以方便地用来研究直线之间的几何关系。
通过比较直线的参数方程的系数a和b，可以得到它们的斜率和截距，从而判断直线是否平行或垂直，以及它们的相对位置。
4.直线的交点和相交角:直线的参数方程也可以用来求解直线的交点和计算直线的相交角。
通过将两条直线的参数方程联立方程组，可以求解得到它们的交点坐标。
而通过计算直线参数方程中斜率的差值，我们可以得到直线的相交角。
5.直线的最小二乘法拟合:最小二乘法是一种常用的数学方法，用于拟合一组散点数据。
直线的参数方程可以用来构建最小二乘法拟合的模型，通过调整参数a和b的值，可以找到最佳拟合直线，从而可以预测和估计其他点的位置。
总之，直线的参数方程在几何学、物理学、运动学等领域中都有广泛的应用。
一道高考参数方程题的解法分析及教学反思
一道高考参数方程题的解法分析及教学反思高考数学是每个学生的重要考试科目之一，参数方程作为数学的一部分，也经常出现在高考试题中。
本文将以一道高考参数方程题为例，对其解法进行分析，并结合教学实践经验进行反思，旨在帮助学生更好地理解和应对这类题目。
一、题目描述某题目描述如下：已知直线L1的参数方程为：x = 3 - t，y = 2t，直线L2的参数方程为：x = 2t - 1，y = t + 2，求直线L1与直线L2的交点坐标。
二、解题思路1. 利用参数方程求交点的基本原理：两条直线的交点坐标可以通过对它们的参数进行比对得到，即将两个方程进行联立求解。
2. 解题步骤：（1）将L1和L2的x、y方程分别联立：3 - t = 2t - 1，2t = t + 2（2）整理得到t的值：3t = 3，t = 1（3）将t的值代入任意一个方程即可求出交点的坐标：x = 3 - 1 = 2，y = 2 * 1 = 2三、教学反思1. 解题思路的引导：在教学中，应当首先引导学生理解参数方程的概念及其应用，让学生明确利用参数方程求解问题的基本原理。
2. 解题步骤的提示：对于这类题目，需要按照一定的步骤进行操作。
在教学中，可以逐步引导学生根据题目要求进行方程的联立，以及变量的整理和代入，使学生能够清晰地掌握解题思路和步骤。
3. 解题结果的合理性验证：在解题过程中，学生需要将得到的交点坐标代入原方程中进行验证。
在教学中，可以通过提问的形式，引导学生进行验证操作，加深学生对结果的理解和判断能力。
4. 解题策略的灵活运用：在教学中，可以引导学生探讨参数方程解题的一般方法，并指导学生通过变形、代入等策略灵活解决不同类型的参数方程题目。
总结：通过对高考参数方程题的解法分析及教学反思，我们可以发现解题思路的指导、步骤的提示、结果的验证以及策略的灵活运用等因素在教学中起到重要作用。
只有通过充分理解和掌握参数方程的基本原理，并在实践中不断反思和提升，学生才能在高考中正确应对这类题目。
直线参数方程及其应用浅析
㊀㊀㊀直线参数方程及其应用浅析◉重庆市涪陵高级中学校㊀张雨灵㊀㊀摘要:直线参数方程是高中数学的重要内容,在求线段的长度㊁距离的和差积商㊁直线的方程㊁点的坐标㊁弦中点的轨迹等问题中有着重要的应用．本文中主要探究直线参数方程在解决直线与二次曲线的位置关系判断㊁求弦长及弦中点等问题中的应用．关键词:直线参数方程;弦长;中点;轨迹１引言直线与二次曲线相交㊁相切㊁相离等位置关系的判断以及由此引出的系列问题是高中解析几何专题要讨论的问题,这些问题是训练学生逻辑推理㊁数学运算㊁直观想象等核心素养的重要载体．解析几何的基本思想是用代数的方法来研究解决几何问题,所以在求解解析几何相关问题的过程中往往需要大量计算,这是解析几何问题的主要难点所在．而突破这一难点,除了需要充分挖掘利用几何信息简化计算外,有时还需根据具体问题合理选择直线或曲线方程的形式．比如,利用直线方程参数形式,不仅可以在解决二次曲线和直线相交时的求点坐标㊁距离㊁弦长㊁弦的直线方程等系列问题中简化计算,而且还可以有效解决与弦的中点有关的轨迹方程,以及曲线的切线方程等问题．下面先探讨直线的参数方程中参数t 的几何意义及其应用．１．１直线参数方程中参数t 的几何意义设过点P ０x ０,y ０(),倾斜角为α的直线l 的参数方程为x ＝x ０＋t c o s α,y ＝y ０＋t s i n α{(t 为参数)．点P x ,y ()为直线l 上的任一点,由l 的参数方程知,t ２＝x －x ０()２＋y －y ０()２,即t ＝P ０P ,则t 表示直线l 上P ０与P 两点间的距离．又因点P x ,y ()所对应的参数为t ,当０＜α＜π时,s i n α＞０,由t ＝y －y ０s i n α知,t 与y －y ０的符号相同,于是有t ＝y －y ０s i n α＞０,P 在P ０上方,＝０,P 与P ０重合,＜０,P 在P ０下方;ìîíïïï当α＝０,则c o s α＝１．由t ＝x －x ０c o s α＝x －x ０,则t 与x －x ０的符号相同,于是有t ＝x －x ０c o s α＝x －x ０＞０,P 在P ０右方,＝０,P 与P ０重合,＜０,P 在P ０左方．ìîíïïï１．２联立直线与二次曲线方程设缺x y 项的一般二次曲线Γ的方程为Ax ２＋C y ２＋D x ＋E y ＋F ＝０(其中A ,C 不同时为０),联立二次曲线Γ与直线l 的参数方程,得A c o s ２α＋C s i n ２α() t ２＋(２A x ０c o s α＋２C y ０s i n α＋D c o s α＋E s i n α) t ＋A x ２０＋C y ２０＋D x ０＋E y ０＋F ＝０(∗)不妨记m ＝A c o s ２α＋C s i n ２α①n ＝２A x ０c o s α＋２C y ０s i n α＋D c o s α＋E s i n α②w ＝A x ２０＋C y ２０＋D x ０＋E y ０＋F ③则(∗)式可简记为m t ２＋n t ＋w ＝０．④下文将运用直线l 的参数方程并结合参数t 的几何意义,解决直线l 与二次曲线Γ的常见问题．２判断直线l 与二次曲线C 的位置关系将直线l 的参数方程与二次曲线Γ联立,整理的方程记为④,则其判别式为Δ＝n ２－４m w ．当Δ＞０时,直线l 与二次曲线Γ相交;当Δ＝０时,直线l 与二次曲线Γ相切;当Δ＜０时,直线与二次曲线Γ相离．例１㊀判断过点(１,２),倾斜角为４５o的直线l 与椭圆Γ:x２２＋y ２＝１的位置关系．解:直线l 的参数方程为x ＝１＋２２t ,y ＝２＋２２tìîíïïïï(t 为参数),代入椭圆Γ方程,经整理得３２t ２＋５２t ＋７＝０．由Δ＝８＞０知,直线l 与椭圆Γ相交．９８２０２２年１０月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀争鸣探究教育纵横Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀３直线与二次曲线的交点或弦长问题将直线l参数方程与二次曲线Γ联立,整理得方程④,当Δ＞０时,记两实根分别为t１,２＝－nʃn２－４m w２m．(１)由直线参数方程中参数t的意义知,t１,t２分别为直线l与二次曲线Γ交点A,B所对应的参数,由此可求出交点A,B坐标为A(x０＋t１c o sα,y０＋t１s i nα),B(x０＋t２c o sα,y０＋t２s i nα)．(２)根据参数t的几何意义,可知t１＝P０A(或t１＝－P０A),t２＝P０B(或t２＝－P０B),具体取值由点P０与点A,B的相对位置决定,则P０AʃP０B＝t１ʃt２,P０A P０B＝t１t２,P０A P０B＝t１t２,A B＝t１－t２．例２㊀已知双曲线Γ:x２２－y２＝１,过左焦点F１作一直线l与双曲线Γ交于A,B两点,当A B＝４２时,求直线l的斜率k的值．解:由双曲线方程,知F１－３,０()．设直线l的倾斜角为θ,则l的参数方程为x＝－３＋t c o sθ,y＝t s i nθ{(t为参数),联立直线l与双曲线Γ的方程,得c o s２θ－２s i n２θ()t２－２３c o sθ t＋１＝０．易知Δ＝８,所以A B＝t１－t２＝２２c o s２θ－２s i n２θ．又因为A B＝４２,所以c o s２θ－２s i n２θ＝１２,即c o s２θ＝１２或c o s２θ＝５６．所以k＝ʃ１或k＝ʃ５５．例３㊀已知直线l１,l２倾斜角互补且不为直角,l１,l２与椭圆x２a２＋y２b２＝１的交点分别为A,B与C,D,试证明A,B,C,D四点共圆．图１解:由题意知,直线l１,l２必相交于一点,不妨设为P x０,y０(),如图１所示．设直线l１的倾斜角为α,则过点P的直线l１的参数方程为x＝x０＋t c o sα,y＝y０＋t s i nα{(t为参数)．联立直线l１的参数方程与椭圆方程,经整理得b２c o s２α＋a２s i n２α()t２＋２(b２x０c o sα＋a２y０s i nα)t＋b２x２０＋a２y２０－a２b２()＝０．由直线l１的参数方程中t的几何意义,则P A P B＝|t１t２|＝b２x２０＋a２y２０－a２b２b２c o s２α＋a２s i n２α．又因为直线l１,l２的倾斜角互补,所以l２的倾斜角可设为π－α．故直线l２的参数方程为x＝x０＋t c o sπ－α(),y＝y０＋t s i nπ－α(){(t为参数)．联立直线l２的参数方程与椭圆方程,同理可得㊀P C P D＝b２x２０＋a２y２０－a２b２b２c o s２π－α()＋a２s i n２π－α()＝b２x２０＋a２y２０－a２b２b２c o s２α＋a２s i n２α．所以P A P B＝P C P D,从而A,B,C,D四点共圆．４二次曲线Γ中与弦中点有关的问题设直线l倾斜角为α,弦A B中点M xᶄ,yᶄ(),则直线l的参数方程可设为x＝xᶄ＋t c o sα,y＝yᶄ＋t s i nα{(t为参数)．联立直线参数方程及二次曲线Γ方程可得④,记方程④的两解分别为t１,t２,因M xᶄ,yᶄ()为弦A B的中点,由t的几何意义知t１＝－t２,即t１＋t２＝０,亦即中点弦A B中点M xᶄ,yᶄ()对应的参数t＝０．４．１求二次曲线Γ平行弦中点所满足的轨迹方程设弦的中点M xᶄ,yᶄ(),则由④式知t１＋t２＝－n m＝０,即２A xᶄc o sα＋２C yᶄs i nα＋D c o sα＋E s i nα＝０,亦即为中点M xᶄ,yᶄ()的轨迹方程．若平行弦的斜率k存在,则中点M xᶄ,yᶄ()的轨迹方程为２A xᶄ＋２C k yᶄ＋D＋E k＝０．例４㊀已知椭圆C:x２３＋y２＝１,求倾斜角为４５o的平行弦中点的轨迹方程．解:设平行弦的中点为M xᶄ,yᶄ(),则弦所在的直线的参数方程为x＝xᶄ＋２２t,y＝yᶄ＋２２tìîíïïïï(t为参数)．联立直线与椭圆C的方程,得２t２＋(２xᶄ＋３２yᶄ)t＋(xᶄ)２＋３(yᶄ)２－３＝０．因为M xᶄ,yᶄ()为中点,所以有t１＋t２＝０,即xᶄ＋３yᶄ＝０．所以中点M的轨迹方程为x＋３y＝０．４．２求二次曲线过定点P x０,y０()的弦的中点的轨迹方程㊀㊀设过P(x０,y０)的弦的中点为M xᶄ,yᶄ()．当动弦的斜率k存在时,k＝yᶄ－y０xᶄ－x０,将k代入２A xᶄ＋０９教育纵横争鸣探究㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年１０月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀２C k yᶄ＋D ＋E k ＝０中,有２A x ᶄ＋２C y ᶄ－y ０x ᶄ－x ０æèçöø÷yᶄ＋D ＋E y ᶄ－y ０x ᶄ－x ０æèçöø÷＝０,整理,得２A (x ᶄ)２＋２C (y ᶄ)２－(２A x ０－D )x ᶄ－(２C y ０－E )y ᶄ－D x ０＋E y ０()＝０①即中点M x ᶄ,y ᶄ()坐标满足①式,即得中点M 的轨迹方程．当动弦的斜率不存在时,联立直线x ＝x ０及二次曲线方程,求出交点坐标,再求出中点,通过验证中点是否满足斜率k 存在时的方程①来决定是否需要补充这一点．例５㊀求过定点０,１()的直线被双曲线x ２－y ２４＝１截得的弦中点的轨迹方程．解:设弦的中点为M x ᶄ,yᶄ(),则弦所在的直线l 的参数方程为x ＝x ᶄ＋t c o s θ,y ＝yᶄ＋t s i n θ{(t 为参数)．联立直线l 与双曲线方程,由t １＋t ２＝０,得４x ᶄc o s α－y ᶄs i n α＝０．由直线l 的斜率存在时,k ＝y ᶄ－１x ᶄ,得４x ᶄ－y ᶄ－１xᶄæèçöø÷y ᶄ＝０,即４(x ᶄ)２－(yᶄ)２＋y ᶄ＝０;当直线l 的斜率不存在时,直线与双曲线无交点．综上所述,弦中点的轨迹方程为４x ２－y ２＋y ＝０(y ＜４或y ȡ１)．５求二次曲线Γ的切线方程５．１求过某定点P x ０,y ０()的二次曲线Γ的切线方程㊀㊀设过点P x ０,y ０()的切线的参数方程为x ＝x ０＋t c o s α,y ＝y ０＋t s i n α{(t 为参数)．联立直线与二次曲线方程,经整理可得形如(∗)式,由直线与曲线相切知Δ＝０,可得一个关于倾斜角α的方程,由此可求出切线斜率,再由点斜式即可得切线方程．例６㊀过点P (－１,２)作抛物线y ２＝２x 的切线,求此切线方程．解:设过点P (－１,２)的直线参数方程为x ＝－１＋t c o s α,y ＝２＋t s i n α{(t 为参数)．由题意知αʂ９０o,联立直线与抛物线方程得s i n ２α t ２＋４s i n α－２c o s α()t ＋６＝０．由Δ＝０,得２s i n ２α＋４s i n αc o s α－c o s ２α＝０．又k ＝s i n αc o s α,则有２k ２＋４k －１＝０,解得k ＝－２ʃ６２．所以过点P (－１,２)的切线方程为y －２＝－２ʃ６２x ＋１()．５．２求二次曲线Γ的斜率(或倾斜角)已知的切线方程㊀㊀设切点为P x ０,y ０(),倾斜角为α的切线方程为x ＝x ０＋t c o s α,y ＝y ０＋t s i n α{(t 为参数)．联立切线与二次曲线方程,消去x ,y 可得(∗)式,经整理可得④式．因切点P x ０,y ０()在曲线上,有A x ２０＋Cy ２０＋D x ０＋E y ０＋F ＝０,即③式为０,亦即w ＝０;又因直线与曲线相切,对于④式,由Δ＝n ２－４m w ＝０,得n ＝０,亦即②式２A x ０c o s α＋２C y ０s i n α＋D c o s α＋E s i n α＝０．由此可解出x ０,y ０,再由点斜式,即可求出切线方程;若无解,则说明满足条件的切线不存在．例７㊀求二次曲线a x ２＋b y ２＝１,(a ＞０,b ʂ０)倾斜角为α的切线方程．解:设切点为P x ０,y ０(),则切线的参数方程为x ＝x ０＋t c o s α,y ＝y ０＋t s i n α{(t 为参数)．联立直线与二次曲线方程,消去x ,y ,得a c o s ２α＋b s i n ２α()t ２＋２(a x ０c o s α＋b y ０s i n α) t ＋(a x ２０＋b y ２０－１)＝０．由P x ０,y ０()在曲线上,得a x ２０＋b y ２０＝１．又由Δ＝０,得a x ０c o s α＋b y ０s i n α＝０．(Ⅰ)当c o s αʂ０时,k ＝t a n α,y ０＝－a x ０b k,联立a x ２０＋b y ２０＝１,y ０＝－a x ０b k ,{得x ２０＝b k ２a a ＋b k ２()．由题意知二次曲线a x ２＋b y ２＝１(a ＞０,b ʂ０)存在倾斜角为α的切线,则b k ２a a ＋b k ２()＞０,解得x ０＝ʃb k ２a a ＋b k ２()．又因为y ０＝－a x ０b k ,所以y ０＝∓a b k b k２a a ＋b k２()．故所求的切线方程为y ＝k x ʃk ２a ＋１b(k ＝t a n α)．(Ⅱ)当c o s α＝０时,s i n α＝１,由a x ０c o s α＋b y ０s i n α＝０得y ０＝０．又由a x ２０＋b y ２０＝１,得x ２０＝１a．所以切点为ʃ１a ,０æèçöø÷．因此过ʃ１a ,０æèçöø÷且垂直于x轴的切线方程为x ＝ʃ１a．６结论通过上文分析讨论,我们发现应用直线方程的参数形式能较好地解决直线与二次曲线位置关系的判断㊁直线与二次曲线交点㊁弦长㊁弦中点㊁切线等系列问题,并能避免繁杂的运算,拓宽学生视野．１９２０２２年１０月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀争鸣探究教育纵横Copyright ©博看网. 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论文：直线的参数方程在解题中的应用
直线的参数方程在解题中的应用松桃苗族自治县第三高级中学 孙涛摘 要：理解并掌握直线参数的转化，弄清参数t 的几何意义。
直线的参数方程应用十分广泛，特别是在计算直线与圆锥曲线的相交弦的弦长时，不必求出交点坐标，根据参数t 的几何意义和弦长公式求解，这样可以避免因运用直线和圆锥曲线的方程所组成的方程组求解导致的烦琐运算，从而简化解题过程，达到事半功倍的效果，优化解题思路。
关键词：直线；参数方程；圆锥曲线；应用在高中数学必修二和选修1-1中都学习了直线的方程和圆锥曲线的内容，它们都是高考的重点内容，也是学生学习的难点之一，若将两者结合起来，复杂的推理和大量的运算更使学生望而生畏。
如果通过直线方程的另一种形式——参数形式，则可能使问题的解决变得简单了，而且可以让我们从一个崭新的角度去认识这些问题。
直线的参数方程在数学解题中的应用非常广泛.随着新一轮高中教材的改革,它的运用又呈现在人们的视线中.事实上用直线的参数方程表示直线在处理某些直线与圆锥曲线的位置关系等问题时有它独到的优势,下面我通过几道解析几何综合题的解法来谈谈如何用直线的参数方程来优化解题.一、求直线上点的坐标问题例：直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=t y tx 223222（t 为参数）上到点()3,2-M 的距离为2且在点M 下方的点的坐标是_________.分析：此参数方程并不是直线参数方程的标准形式，因此先化成标准形式。
解：把参数方程化成标准方程为()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=--=t y t x 223222 把t -看作参数，所求的点在()3,2-M 的下方，所以取2-=-t ，即2=t ，所以所求点的坐标为()4,3-.答案：()4,3-例：求点A （−1，−2）关于直线l ：2x −3y +1 =0的对称点A ' 的坐标。
分析：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数 t 的几何意义。
活用几何意义,巧解长度问题——浅谈直线参数方程在解题中的应用
教学参谋解法探究2018年4月活用几何意义，巧解长度问题—浅谈直线参数方程在解题中的应用⑩湖南省隆回县第二中学马驰宇彭利波高中数学重视数学知识的发生、发展和应用的过 程.直线的参数方程这一内容，在高中数学作为选讲部 分出现，在高考中的直接分量不多，故在平时教学中要 求较低.但在高三复习时，在解决与长度相关的圆锥曲 线问题时，巧用直线的参数方程，常能化繁为简，化难为 易，收到事半功倍的效果.我们知道过点"。
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)，倾斜角为！的直线参数方程为~+te°S Q !’ }为参数），参数'的几何意义表示有向l$=y 〇+'sina 线段""的数量.当'>0时，有向线段方向向上；当'<0 时，有向线段方向向下‘当'%0时，点"与"0重合.由于' 的几何意义明显，可以用来解决一些有关“长度”的题 目.下面举例说明.例1若直线和C +都过椭圆的右焦点36 18,2,分别交椭圆于（，）和*，+，且满足丄*+，设线段 ()，*+的长分别为—，..(1) 求(m -4)(.-4)的值;(2) 当四边形的面积取得最小值时，求直线 的方程.解析：设直线参数方程为，（为($='sin !参数），代人椭圆方程得8-4sin 2! 8-4cos 2! 16(2+sin 2acos 2!) ^% % =16.1+sin 2! 1+cos 2! 2+sin 2!cos 2!(2)四边形的面积2=丄 L 4)M *+I =丄-12 •2 2 1+sin 2! 1+cos 2!=72=722+sin 2!cos 2! 2+1 . 22!4 sin a因为！ - [0，！），所以！=!或！=^^时，sin 22!取最大44值1，2取最小值32,此时直线的方程为#+$-3+r =0 或 #-$-3 ^+1 %。
直线的参数方程的应用
直线的参数方程的应用直线的参数方程是解析几何中一个重要的概念，在数学和物理学等领域都有广泛的应用。
本文将以直线的参数方程的应用为主题，探讨其在几何学、物理学和工程学中的应用。
一、直线的参数方程在几何学中的应用直线的参数方程是指通过给定点和方向向量来表示直线的方程。
在几何学中，直线的参数方程可以被用来描述直线的位置、方向和形状。
例如，在平面几何中，我们可以通过直线的参数方程来确定直线的斜率、截距和方向角等属性。
通过这些属性，我们可以更加准确地描述和分析直线在平面上的位置和性质。
二、直线的参数方程在物理学中的应用直线的参数方程在物理学中也有广泛的应用，特别是在描述物体的运动轨迹和路径时。
例如，在力学中，我们可以通过直线的参数方程来描述物体在空间中的运动轨迹。
通过给定物体的初始位置和速度，我们可以使用参数方程来计算物体在不同时间点的位置和速度。
这种方法在研究天体运动、机械运动等领域都有重要的应用。
三、直线的参数方程在工程学中的应用直线的参数方程在工程学中也有广泛的应用。
例如，在机械工程中，我们可以使用直线的参数方程来描述物体在机械装置中的运动轨迹。
通过给定装置的初始状态和运动速度，我们可以使用参数方程来计算物体在不同时间点的位置和速度，从而优化机械装置的设计和性能。
以下是一些直线的参数方程的应用案例，以进一步说明其在实际问题中的应用价值。
1. 车辆运动轨迹的计算：通过给定车辆的初始位置和速度，可以使用直线的参数方程来计算车辆在不同时间点的位置和速度，从而更好地分析和优化车辆的行驶路径和效率。
2. 轨道设计与建设：在轨道交通和航天工程中，直线的参数方程可以用来描述车辆或火箭的运动轨迹，从而指导轨道的设计和建设。
3. 机器人运动规划：在机器人控制和路径规划中，直线的参数方程可以用来描述机器人的运动轨迹，从而实现自动化和智能化的机器人操作。
4. 管道布置和优化：在管道工程中，直线的参数方程可以用来描述管道的布置和路径，从而优化管道的设计和布置，提高工程效率和安全性。
如何用直线的参数方程来优化解题
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形式为 ｎ ＋ｂ ｙ ＝ｃ 学 生 心 中有 了 这 个 方 程 为 等 式 化 简 找 到 了指 向标 为 克 服 运 算 困 难 增 加 了 自信 ． 若 没 有 对 椭 圆 方 程 的猜 测 过 程 ， 等 式 变 形 就 没 有 了 更 深 远 的 目的 ， 化 简 就 毫 无 方 向． 学 生 经 历 了 由椭 圆 猜 想 其 方 程 的 思 维 过 程 ， 可 以 体 会 到 数
意识．
中学生数理亿． 掌所版
抽 象的推导方 法 ， 是结 合联想而进行 的 ， 并 且 这 种 方 法 合 乎 学
生 的思维方式 ， 和理解 事务的规律 ， 这 样 能 够 有 效 的提 高 教 学 质 量． 四、 制定标 准 ， 运 用 参 数 法推 导标 准 方 程
引入三 角函数后 ， 对 于 椭 圆标 准 方 程 的 推 导 就 变 得 简 单
更 方便 和 简 捷 ， 而 适 当地 的 用直 线 的 参 教 方 程 来 优 化 解题 ， 能
、
用 直 线 的参 教 方 程优 化 解 题 实 例 分 析
以前 在 教学 过 程 里 ， 很 多 教 师并 不 特 别 强 调 引 导 学 生 教 授 解 题 方 法 的总 结 ， 大 多 采 用 题 海 战术 ， 用 做 题 这 个 熟 能 生 巧 的方 法 解 决 棘手 的 问 题 ， 但 这 样 的方 法 经 过 实 践 ， 感 觉 不 但 不 会尽快解决学生 的压力 ， 让 他 们真 正 掌 握 解 题 技 巧 ， 还 会 让 学 生 在 实 际解 题 中 产 生 越 来 越 多的 疑 问 ． 所 以 我 们 必 须 对 这 一 问题 用 实 例 做 一 系 统 的 总 结 ． １ ． 参 数 ｔ的有 关 性 质 ． 对 于 大 多 数 的 直 线 ｚ的参 数 方 程 ， 设 ｚ 上 两 点 Ａ、 Ｂ 所 对 应 的参数分别为 ｔ 、 ｔ ， 那 么就 得 到 ： ①Ａ、 Ｂ 两 点 之 间 的 距 离