小波变换课件 第3章 紧支撑小波基的构造

第3章 紧支撑小波基的构造3.1紧支撑正交小波的构造3.1.1构造紧支撑正交小波的条件● 用多分辨分析构造小波的基本思想是：由尺度函数ϕ→正交尺度函数φ→滤波器h →滤波器g →小波ψ。

● 通常做法：从滤波器h 出发→正交尺度函数φ→正交小波函数ψ。

● 考虑有限冲激响应滤波器FIR 序列h ＝{0h ，1h ，...，N h }，它在满足什么条件才能使两尺度方程0()(2)Nk t h t k φφ==-存在解2()()t L R φ∈，并且它是2()L R 中的正交尺度函数。

由于ˆ()φω1jj =∞=∏（3－2）式(3-2)由频域形式两尺度方程ˆˆˆ()(/2)(/2)h φωωφω=递推而得, ˆˆˆ()(/2)(/2)φωωφω=ˆˆˆ(/2)(/4)(/4)h ωωφω=ˆˆˆ(/2)(/4)(/4)h ωωφω=…ˆˆˆˆ(/2)(/4)...(/2)(/2)j j h h ωωωφω=1ˆˆˆˆ(/2)(/4)...(/2)j j j j h h ωωω=∞→∞==∏因此，问题可进一步阐述为，离散滤波器系数0h 、1h 、…,N h在满足什么条件下，无穷积1jj =∞∏收敛于2()L R 中的某个正交尺度函数()t φ的傅里叶变换ˆ()φω。

从正交多分辨分析可知，若φ为正交尺度函数，h 是对应φ的两尺度函数的滤波器，则h 满足以下条件：1）0,2n k k n kh h δ+=∑ （3－3）2）k kh =∑ （3－4）3）ˆ()φω1jj =∞=∏（3－5）可以证明，式（3－3）和式（3－4）仅是是构造正交小波的必要条件，并非充分条件。

一些结论性的条件：1.充分条件11） 0,2n k k nkh h δ+=∑2）kkh =∑3） 在[,]22ππ-上，ˆ()hω0≠ 2.充分条件2（Mallat,1989）1）0,2n k k n kh h δ+=∑2）k kh =∑3）ˆinf ()0hπωω≤> inf 是下确界, 即最大的下界.3. 充分条件3 ( Lawton,1990)1）0,2n k k n kh h δ+=∑2）k kh =∑3）矩阵,(2121))(()i j N N A a --⨯=的特征值1是非退化的（不变，或是倍数，但不退化为零），其中*,021,1Ni j k k j i ka h h N i j N =-+=-+≤≤-∑ （3－6）4. 充分条件4 (Daubechies,1988)1）0,2n k k n kh h δ+=∑2）k kh =∑3）p 阶消失矩条件01ˆ()(e )2pi i e hF ωωω-⎫+=⎪⎝⎭（3－7）其中，当=ωπ时，0(e )0i F ω≠，且0|(e )|i F ω在=02ωπ 范围内的上界值-12p ≤。

也就是说，如果FIR 滤波器01N ={,,...,}h h h h 满足所给定的每组充分条件中的1）、2）、3）， 则两尺度方程在中存在且仅存在一个解()t φ；并且()t φ是具有紧支撑的正交尺度函数，它的支撑区间为［0，N ］。

若1-(1)n n n g =-h ，则nn1-n ((2(-1)(2)nn t g t -n h t -n ψφφN1n =0n-(-1)(21)+-n h t n φ为具有紧支撑性的正交小波，其支撑区间为-N -1N +1[,]22。

3.1.2 Daubechies 紧支集正交小波● 著名数学家Daubechies 的目标是构造具有高阶消失矩的紧支撑正交小波，引入消失矩的条件，并利用充分条件4构造了一大类具有不同消失矩和紧支集的正交小波。

●消失矩的定义，性质和作用：（1） 消失矩的定义： 具有()kt t dt ψ+∞-∞⎰形式的积分叫函数()t ψ的矩。

如果()kt t dt ψ+∞-∞⎰=0，k =0，1，2，…1,p -1p ≥，()kt t dt ψ+∞-∞⎰0≠，则()t ψ的前p 个矩消失了（为零），称()t ψ有p 阶消失矩。

● 小波的定义()t dt ψ+∞-∞⎰=0()t t dt ψ+∞-∞⎰=0表明，小波函数至少有1阶若()t ψ有p阶消失矩，则对任何1p -次多项式0111()...p p x t a a t a t--=+++，都有()()x t t dt ψ+∞-∞⎰=(),()x t t ψ=0既()t ψ与1p -次多项式()x t 是正交的,也就是说1p -次多项式()x t 的小波变换恒为零。

若()x t 为一高阶多项式，例如阶数为N >p ,则其中小于p 部分项（对应低频）在小波变换中的贡献为零（消失了），而只有高阶项的贡献，从而使变换后的能量集中在较少数系数上。

从这个观点上看，希望()t ψ有尽量高的消失矩。

后面将会遇到高的消失矩和宽的支撑联系密切，宽的支撑导致计算量增大，是一对矛盾，鱼和熊掌不能兼得。

[例]设()f t 是光滑且p 次连续可微的函数，()t ψ是具有p 阶消失矩的实正交小波函数，其支撑为[,c d ]，下式说明用()t ψ表示()f t 时，对于较大的分辨率0j >，可获得比较小的小波系数,,j kf ψ。

,,j kf ψ=,()()j kf t t dt ψ+∞-∞⎰2/2()(2)j jf t t k dt ψ+∞-∞=-⎰用 2j t k -+代t ，则2j t k -＝2j t ，从而得2/2(2)(2)j jj f t k t dt ψ+∞--∞=+⎰2/222(2)(2)dj jj jjcf t k t dt ψ---=+⎰若j 足够大，支撑范围[/2,/2]j j c d 变小，,()j kt ψ变得足够窄变小,积分区间也变小。

(2)jf t k -+用p 阶Tayiorz 展开式表示为2"()'11(2)(2)(2)(2)...(2)2!!jjjjp p jf t k f k tf k t f k t fk p -----+≈++++由于()t ψ具有高阶消失矩，所以2/2(),21,2(2)(2)!jjdj p p jjj kcf t fk t dt p ψψ---≈⎰/22()22(2)(2)!jjjj d p p jcfk t t dt p ψ---=⎰令2j t y =，则2jt y =，2jt y -=，2jdt dy -=，(2)j t ψ()y ψ=；而当2jt c =时，y c =，以及2jt d =时，y d =，再将y 改写成t ，得/2()22(2)()!j djpp jpcf k t t dt p ψ---=⎰由于()dpct t dt ψ⎰是一个不等于零的常数，故,()f t ψ随j 的增大而快速减小。

因此，这种性质对信号压缩和去噪非常重要。

另外，如果信号存在一些奇异点（突变点），则在光滑处小波系数很小，而在奇异处小波系数很大，从而可以快速确定奇异点的位置。

…………………………………………………………………………………………………… （2） 消失矩的性质：●命题3.1 设正交尺度函数φ和正交小波函数ψ的傅立叶变换ˆφ，ˆψ是p 次连续可微的，则下面四个条件是等价的：1） 小波()t ψ具有p 阶消失矩。

2） ˆ()ψω和它的前1p -阶导数在0ω=处为零。

3） ˆ()hω和它的前1p -阶导数在ωπ=处为零。

4） ˆ()g ω和它的前1p -阶导数在0ω=处为零。

命题3.1表明，为构造具有p 阶消失矩的正交小波，ˆ()hω在ωπ=处需要有p 重零点。

现引进因子(1)p i e ω-+，它是在ωπ=处具有p 重零点的最小多项式，则ˆ()hω应满足：01ˆ()()2pi i e hF e ωωω-⎫+=⎪⎝⎭（3-8）其中，ωπ=时，0()0i F e ω≠。

式（3－38）的Z 变换为101()()2pz h z F z -⎫+=⎪⎭，0(1)0F -≠（3－9） 在1z =-（对应ωπ=，1i e ω-=-）处有p 重零点。

这是使小波具有p 阶消失矩的一个约束条件。

● Daubechies 根据充分条件4，在任意给定消失矩p 的情况下，提出了能满足要求的0()i F eω的设计方法，从而构造出紧支集的正交小波，称为Daubechies小波。

具体方法是，将20i F eω表示为cos ω的多项式：-12=011-cos =2p 0j ji p -+j F ej ωω⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑ （3－10）其中，1p -+j j ⎛⎫⎪⎝⎭表示从（1p j -+）中取j 个的组合数 ● 构造Daubechies 小波滤波器的关键问题是，对给定的消失矩阶数 ，由上式（3－10）求出0()i F eω或0()F z 。

● 由于 0()F z 的系数为实数，所以2*100000()()()()()j F e F z F z F z F z ω-==，因此，从100()()F z F z -中的每对互为倒数的零点(,1/)k k c c 中选择k a ，使其在单位圆1k a ≤内，就可以得到最小相位解0()i F e ω，从而由式（3－9）可得到有限支撑［1,p p -+］的Daubechies 小波滤波器h ，相应的尺度函数的支撑为［0,21p -］(不证)。

[例3.2] 令=2p ，则-12=011-cos =2p 0j ji +j F ej ωω⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑＝2－cos ω因此，1-1100--+1()()=2-=(4z -z)22-z z F z F z1-1=[(3)-3[(3)(1-3)z ]4取位于单位圆内的零点组成0F (z)：-101F (z)=]2因此，121--1+zh(z)=()]22展开后，得到0=h,1=h2=h,3=h它称为D4（db2）小波滤波器，其能量主要集中在前两个系数上。

D4小波滤波器对应的两尺度方程和小波方程如下：01233210(2)(21)(22)(23)](22)(21)(2)(21)]t h t h t h t h t t h t h t h t h t φφφφψφφφ⎧+-+-+-⎪⎨+-++--⎪⎩（（ （3-11） 其中，()t φ的支撑区间为［0，3］，()t ψ的支撑区间为［－1，2］。

D4尺度函数和小波函数的图形，如图3－1a,图3－1b 所示。

当3p =时，D6小波函数与尺度函数均连续可微；相应的小波滤波器为00.3326705529500825h =；10.8068915093110924h = 20.4598775021184914h =；30.1350110211102546h =- 40.0854412738820267h =-；50.0352262918857095h =一般，在Daubechies紧支撑正交小波族中，尺度函数和小波函数的光滑性随着消失矩的增大而增大，从而引起计算量的增大。