【精选】最新九级中考数学动点或最值问题专题训练

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中考数学题型四动点与最值问题

3. (2020·宿迁)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝1，AD＝ 3 ，P 为 AD 上一个动点，连接 BP，线段 BA 与线段 BQ 关于 BP 所在的直线对称，连接 PQ，当点 P 从点 A 运动到点 D 时，线段 PQ 在平面内扫过的面积为____3__－__π3__________．
6. (2019·宁波)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，点 D 在边 BC 上，CD＝5，BD＝13.点 P 是线段 AD 上一动点，当半径为 6 的⊙P 与△ ABC 的一边相切时，AP 的长为_6_._5_或___3__1_3______.
7. (2020·龙东地区)如图，正方形 ABCD 的边长为 a，点 E 在边 AB 上运动(不与点 A，B 重合)，∠DAM＝45°，点 F 在射线 AM 上，且 AF＝ 2 BE，CF 与 AD 相交于点 G，连接 EC，EF，EG.则下列结论：
9. (2019·长沙)如图，在△ ABC 中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC
于点 E，D 是线段 BE 上的一个动点，则 CD＋
5 5
BD 的最小值是
( B) A．2 5 B．4 5
C．5 3
D．10
10. 如图，AC 是⊙O 的弦，AC＝5，点 B 是⊙O 上的一个动点，且∠ABC
4
5
6
A. 3

动点与最值题中考数学重难点专题全国通用版含答案(原卷+解析版)

三、解答题
21．如图，抛物线 C1：y＝x2﹣2x 与抛物线 C2：y＝ax2+bx 开口大小相同、方向相反，它们相交于 O，C 两点，且分别与 x 轴的正半轴交于点 B，点 A，OA＝2OB．（1）求抛物线 C2 的解析式；（2）在抛物线 C2 的对称轴上是否存在点 P，使 PA+PC 的值最小？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，说明理由；（3）M 是直线 OC 上方抛物线 C2 上的一个动点，连接 MO，MC，M 运动到什么位置时，△MOC 面积最大？并求出最大面积．
90 ，
A4, 4 ，点 C
在边
AB
上wenku.baidu.com且
AC CB
1 3
，点 D 为 OB
的中点，
点 P 为边 OA 上的动点，当点 P 在 OA 上移动时，使四边形 PDBC 周长最小的点 P 的坐标为（）
A． 2, 2
B．
5 2
,
5 2
C．
8 3
,
8 3
D． 3,3
6．如图，菱形䎰ૄ⺁的顶点䎰、ૄ 在轴上（䎰在 ૄ 的左侧），顶点、⺁在轴上方，对角线䎰⺁的长是
24．如图，在菱形 ABCD 中，连结 BD、AC 交于点 O，过点 O 作 OH BC 于点 H，以点 O 为圆心，OH
为半径的半圆交 AC 于点 M． ①求证：DC 是⊙O 的切线．

最新九年级数学中考复习：动点问题综合压轴题含答案

2023年九年级数学中考复习：动点问题综合压轴题

1．如图，已知AB＝5，AD＝4，AD∥BM，

cos

B=，点C、E分别为射线BM上的动

点（点C、E都不与点B重合），联结AC、AE使得∥DAE＝∥BAC，射线EA交射线CD

于点F．设,AF

BC x y

(1)如图1，当x＝4时，求AF的长；

(2)当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；

(3)若AC∥AE，求AF的长．

2．如图，正方形ABCD的边长为6，点E为射线AB上的动点，连接DE，作点A关于DE的对称点F，连接DF，EF，BF，CF

(1)如图，当点落在BD上时，求AE的长；

(2)如图，当2

AE=时，探索BF与CF的位置关系，并说明理由；

(3)在点E从点A出发后，当BCF

△为等腰三角形时，直接写出AE的长．

3．如图1，将等腰三角形ABC沿着底边AC对折得到∥ADC，∥ABC是锐角，E是BC

(1)求证：四边形ABCD 是菱形；

(2)当AE ∥BC ，∥EAF ＝∥ABC 时，求证：AC 垂直平分EF ；

(3)如图2，当∥EAF ＝∥BAC 时，延长BC 交射线AF 于点M ，延长DC 交射线AE 于点N ，连接BD ，MN ，若AB ＝4，sin∥ABD 1

=，则当CE ＝时，

∥AMN 是等腰三角形．

4．如图1，在矩形ABCD 中，3AB =，5BC =，点E 在AB 边上，1AE =．点F 是直线BC 上的动点．将BEF 沿EF 折叠得到将GEF △．直线GF 与直线BD 的交点为点H ．

(1)若点G 落在AD 边上（如图2），连结BG ，请判断BGF 的形状并说明理由； (2)若点F 与点C 重合（如图3），求点G 到直线BC 的距离；

九年级中考数学考点提升训练——专题：《一次函数：动点综合》(四)(Word版,带答案)

九年级中考数学考点提升训练——专题：

《一次函数：动点综合》（四）

1．如图，平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是线段OA上一动点（不与点A重合），过点P作PC⊥AB于点C．

（1）当点P是OA中点时，求△APC的面积；

（2）连接BP，若BP平分∠ABO，求此时点P的坐标；

（3）设点D是x轴上方的坐标平面内一点，若以点O，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求点D的坐标及此时OP的长．

2．如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．点D，E分别是边AC，BC上的动点，连接DE．设CD＝x（x＞0），BE＝y，y与x之间的函数关系如图②所示．

（1）求出图②中线段PQ所在直线的函数表达式；

（2）将△DCE沿DE翻折，得△DME．

①点M是否可以落在△ABC的某条角平分线上？如果可以，求出相应x的值；如果不可以，

说明理由；

②直接写出△DME与△ABC重叠部分面积的最大值及相应x的

值．

3．数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．

经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路．取AB的中点H，连接HE，则△BHE为等腰直角三角形，这时只需证△AHE与△ECF全等即可．

在此基础上，同学们进行了进一步的探究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（不含点B，C）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由；

中考数学压轴题动点问题专题复习--几何最值问题

中考数学动点问题专题复习--几何最值问题

（2）垂线段最短（延伸：斜边大于直角边）

方法技巧归纳

类型一：在直线1上找到一点P，使得PA+PB最短

做法如图，连接A、B与的交点即为所求

类型二：在直线1上找到一点P，使得PA+PB最短

做法如图，做点B关于直线1的对称点B，连接AB与的交点即为点P

注：因为A、B两点是固定的，所以当题目要求找到一点P使得△PAB的周长最小时，做法也是样的

类型三：在直线上找到两点EF（点E在点F的左侧），EF的距离是定值，使得AE+EF+FB最小

做法如图，过A做AA＇∥且AA＇=EF，做B关于直线的对称点B＂，连接A＇B＇与直线z的交点即为F，过A做A＇F的平行线与直线1的交点即为点E

注：同样地，因为AB两点是固定的，所以当题目要求使得四边形AEFB周长最小时，也是用同样的方法

类型四：直线a与直线b平行，在直线a上找到一点A，过点A作直线b的垂线交于点B，如何确定点A的位置可以使PA+AB+BQ最短

做法如图，做PD垂直直线b交直线a于点C，交直线b于点D，在PD上截取PE=CD，连接EQ，EQ与直线b的交点即为点B，过点B做直线a的垂线，交点即为点A，连接PA即可（这种方法在实际生活中的应用就是著名的修桥问题）

类型五：在直线l 上找到一点M ，使得|MA - MB|最小；直线l 上找到一点N ，使得|NA - NB|最大

做法如图，做AB 的中垂线与直线相交，交点即为M ，此时|MA - MB|有最小值0；延长BA 与直线1相交，交点即为N ，此时|NA - NB|有最大值为AB

(中考数学)动点问题专题训练(含答案)

中考专题训练动点问题

例1. 如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，10BC cm =，8AD cm =．点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发，以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时，点P 与直线m 同时停止运动，设运动时间为t 秒(0)t >．

（1）当2t =时，连接DE 、DF ，求证：四边形AEDF 为菱形；

（2）在整个运动过程中，所形成的PEF ∆的面积存在最大值，当PEF ∆的面积最大时，求线段BP 的长；

（3）是否存在某一时刻t ，使PEF ∆为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值；若不存在，请说明理由．

【解答】（1）证明：当2t =时，4DH AH ==，则H 为AD 的中点，如答图 1 所示．又EF AD ⊥ ，

EF ∴为AD 的垂直平分线，

AE DE ∴=，AF DF =．

AB AC = ，AD BC ⊥于点D ，

AD BC ∴⊥，B C ∠=∠．

//EF BC ∴，

AEF B ∴∠=∠，AFE C ∠=∠，

AEF AFE ∴∠=∠，

AE AF ∴=，

AE AF DE DF ∴===，即四边形AEDF 为菱形．

（2）解：如答图 2 所示，由（1）知//EF BC ，

AEF ABC ∴∆∆∽， ∴EF AH BC AD =，即82108EF t -=，解得：5102

中考数学九年级专题训练50题-含答案

中考数学九年级专题训练50题含答案

一、单选题

1．在一个不透明的口袋中装有6个红球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为（） A ．

B ．

C ．

D ．1

2．今年元旦期间，某种女服装连续两次降价处理，由每件200元调至72元，设平均每次的降价百分率为x ，则得方程（） A ．()2001722x -=⨯ B ．()2

2001%72x -= C ．()2

200172x -=

D ．220072x =

3．如图，已知BD 与CE 相交于点A ，DE BC ∥，如果348AD AB AC ===，，，那么AE 等于（）

A ．

247

B ．1.5

C ．14

D ．6

4．如图，CD 是⊙O 的直径，A ，B 是⊙O 上的两点，若15ABD ∠=°，则 ⊙ADC 的度数为（）

A ．55°

B ．65°

C ．75°

D ．85°

5．一元二次方程()()()2

21211x x x --+=的解为（） A ．2x = B ．121

,12

x x =-=-

C ．121

,22

x x ==

D ．121

,12

x x ==-

6．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，10AB =，8AC =，D 是AC 上一点，5AD =，DE AB ⊥，垂足为E ，则AE =（）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

7．如图，抛物线211

242

y x x =

--与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，点D 在抛物线上，且//CD AB .AD 与y 轴相交于点E ，过点E 的直线MN 平行于x 轴，与抛物线相交于M ，N 两点，则线段MN 的长为（）

2024中考数学专题5.14最值问题训练专题 (全国通用)

考向5.14 最值问题训练专题

一、单选题

1．（2021·山东济南·二模）如图，菱形ABCD 的边AB =8，∠B =60°，BP =3，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点为A ′．当CA ′的长度最小时，CQ 的长为（）

A ．5

B ．7

C ．8

D ．6.5

2．（2021·广东广州·三模）如图1，在菱形ABCD 中，AB ＝6，∠BAD ＝120°，点E 是BC 边上的一动点，点P 是对角线BD 上一动点，设PD 的长度为x ，PE 与PC 的长度和为y ，图2是y 关于x 的函数图象，其中H （a ，b ）是图象上的最低点，则a +b 的值为（）

A ．

B ．3

C ．

D ．6

3．（2020·江苏·一模）在以下列长度为边长的4个正方形铁片中，若要剪出一个直角边长分别为4cm 和1cm 的直角三角形铁片，则符合要求的正方形铁片边长的最小值为（）

A B ．165cm C D 4．（2019·安徽蚌埠·中考模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点F 在边AC 上，并且CF ＝2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是( )

A ．3.2

B ．2

C ．1.2

D ．1

5．（2019·山东聊城·一模）如图，正方形ABCD 边长为4，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点且AM ⊥MN ，则AN 的最小值是( )

A ．4

B ．5

C ．

D ．6．（2019·山东济宁·中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)，过A ，O ，B 三点作圆，点C 在第一象限部分的圆上运动，连结CO ，过点O 作CO 的垂线交CB 的延长线于点D ，下列说法：①AOC BOD ∠=∠；②1sin 2

人教版九年级数学中考动点问题专项练习及参考答案

人教版九年级数学中考动点问题专项练习

例题1. 抛物线223y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在B 的左侧），与y

轴相交于点C ，顶点为D .

⑴ 直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；

⑵ 连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为；

① 用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？

② 设BCF ∆的面积为S ，求S 与m 的函数关系式．【答案】⑴()10A -，，()30B ，，()03C ，．

抛物线的对称轴是：1x =．

⑵①设直线BC 的函数关系式为：y kx b =+．把()()3003B C ，，，分别代入得：

303.k b b +=⎧⎨

=⎩

，

解得：13k b =-=，．所以直线BC 的函数关系式为：3y x =-+．当1x =时，132y =-+=，∴()12E ，．当x m =时，3y m =-+， ∴()3P m m -+，．

在223y x x =-++中，当1x =时，4y =． ∴()14D ，

当x m =时，223y m m =-++∴()223F m m m -++，．

∴线段422DE =-=，线段()222333PF m m m m m =-++--+=-+． ∵PF DE ∥

∴当PF ED =时，四边形PEDF 为平行四边形．由232m m -+=解得：1221m m ==，．（不合题意，舍去）．因此，当2m =时，四边形PEDF 为平行四边形．

九年级中考数学动点问题压轴题专题训练(含答案)

九年级中考数学动点问题压轴题专题训练

1.如图1, 在平面直角坐标系中, 四边形OABC各顶点的坐标分别为O(0, 0), A(3, 3 ), B(9, 5 ), C(14, 0). 动点P与Q同时从O点出发, 运动时间为t秒, 点P沿OC方向以1单位长度/秒的速度向点C运动, 点Q沿折线OA－AB－BC运动, 在OA, AB, BC上运动的速度分别为3, , (单位长度/秒). 当P, Q中的一点到达C点时, 两点同时停止运动.

(1)求AB所在直线的函数表达式.

(2)如图2, 当点Q在AB上运动时, 求△CPQ的面积S关于t的函数表达式及S

的最大值.

(3)在P, Q的运动过程中, 若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点, 求

相应的t值．

图1 图2

2.如图, 抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A, B两点(A在B的左侧), 与y轴交于点N, 过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C, 与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D, 已知A(-1, 0), D(5, -6), P 点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A, D重合).

(1)求抛物线和直线l的解析式;

(2)当点P在直线l上方的抛物线上时, 过P点作PE∥x轴交直线l于点E, 作PF ∥y轴交直线l于点F, 求PE+PF的最大值;

(3)设M为直线l上的点, 探究是否存在点M, 使得以点N, C, M, P为顶点的四边形为平行四边形.若存在, 求出点M的坐标;若不存在, 请说明理

由.

3.如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4 )、O(0, 0)、

九年级中考数学专题复习：二次函数最值问题训练(含答案)

中考数学专题复习：二次函数最值问题

一、单选题

1．已知2()

=++≠的对称轴为直线2

y ax bx a

x=，与x轴的其中一个交点为(1,0)，该x的取值范围，下列说法正确的是（）

函数在14

A．有最小值0，有最大值3B．有最小值1-，有最大值3

C．有最小值3-，有最大值4D．有最小值1-，有最大值4

2．若二次函数24

＝＋＋的最小值是3，则a的值是（）

y ax x a

A．4B．－1或3C．3D．4或－1

3．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列说法正确的是（）

A．该函数图象开口向上

B．该函数图象向右平移2个单位长度是y＝﹣（x+1）2+5

C．当x＝1时，y有最大值5

D．该函数的图象与坐标轴有两个交点

4．函数2(0)

=++≠的图象如图所示，则该函数的最小值是（）

y ax bx c a

A．1-B．0C．1D．2

5．在关于n 的函数2

=+中，n 为自然数．当n =9 时，S< 0；当n =10 时，

S an bn

S > 0．则当S 取值最小时，n 的值为（）

A．3B．4C．5D．6

6．代数式22 5

-+的最小值为（）

a a

A．2B．3C．4D．5

7．若两个图形重叠后．重叠部分的面积可以用表达式表示为y＝﹣（x﹣2）2+3，则要使重叠部分面积最大，x的值为（）

A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝3D．x＝﹣3

8．某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天

的销售额最大，求最大销售额是（）

中考数学复习：专题三：动点或最值问题

【例 2】 (2016·雅安)如图，在矩形 ABCD 中，AD＝6，AE⊥BD，垂足为 E，ED＝3BE，点 P，Q 分别在 BD，AD 上，则 AP＋PQ 的最小值为( D )
A．2 2 B. 2 C．2 3 D．3 3
点拨：设 BE＝x，则 DE＝3x，∵四边形 ABCD 为矩形，且 AE⊥BD， ∴△ABE∽△DAE，∴AE2＝BE·DE，即 AE2＝3x2，∴AE＝ 3x，在 Rt △ADE 中，由勾股定理可得 AD2＝AE2＋DE2，即 62＝( 3x)2＋(3x)2，解得 x＝ 3，∴AE＝3，DE＝3 3，如图，设 A 点关于 BD 的对称点为 A′，连接 A′D，PA′，则 A′A＝2AE＝6＝AD，AD＝A′D＝6，∴△AA′D 是等边三角形，∵PA＝PA′，∴当 A′，P，Q 三点在一条线上时，A′P＋PQ 最小，由垂线段最短可知当 PQ⊥AD 时，A′P＋PQ 最小，∴AP＋PQ＝ A′P＋PQ＝A′Q＝DE＝3 3，故选 D
[对应训练] 1．(1)(2016·舟山)如图，在直角坐标系中，点 A，B 分别在 x 轴，y 轴上，点 A 的坐标为(－1，0)，∠ABO＝30°，线段 PQ 的端点 P 从点 O 出发，沿△OBA 的边按 O→B→A→O 运动一周，同时另一端点 Q 随之在 x 轴的非负半轴上运动，如果 PQ＝ 3，那么当点 P 运动一周时，点 Q 运动的总路程为__4__．

初三数学中考复习动点或最值问题专题训练及答案

初三数学中考复习动点或最值问题专题复习训练题

一、选择题

1．如图，正△ABC 的边长为2，过点B 的直线l ⊥AB ，且△ABC 与△A ′BC ′关于直线l 对称，D 为线段BC ′上一动点，则AD ＋CD 的最小值是( A )

A ．4

B ．3 2

C ．2 3

D ．2＋ 3

2．如图，直线y ＝23x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C ，D 分别为线

段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC ＋PD 值最小时点P 的坐标为( C )

A ．(－3，0)

B ．(－6，0)

C ．(－32，0)

D ．(－52，0)

3．已知a ≥2，m 2－2am ＋2＝0，n 2－2an ＋2＝0，则(m －1)2＋(n －1)2的最小值是( A )

A ．6

B ．3

C ．－3

D ．0

4．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为(3，4)，D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为( B )

A ．(3，1)

B ．(3，43)

C ．(3，53)

D ．(3，2)

5．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，tanC ＝34，AB ＝6 cm.动点P 从点A 开始沿

边AB 向点B 以1 cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2 cm/s

的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ 的最大面积是( C )

A．18 cm2B．12 cm2C．9 cm2D．3 cm2

6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2.P是AB边上一动点，PD ⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE＝1，连接CE.P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1＋S2的大小变化情况是( C )

中考数学复习：专题三：动点或最值问题

(2)(2016·泸州)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(1－a ，0)，C(1＋a，0)(a＞0)，点P在以D(4，4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则a的最大值是___6_．
我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，统称最值问题．
解决动态几何题的三个策略： (1)动中觅静：这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性． (2)动静互化：“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到 “动”与“静”的关系． (3)以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．
点拨：连接 PC，PO，PA，设点 P 坐标(m，－112m2＋32m＋53)．令 x ＝0，则 y＝53，∴C(0，35)，令 y＝0，则－112x2＋32x＋53＝0，解得 x＝－2 或 10，∴A(10，0)，B(－2，0)，∴S△PAC＝S△PCO＋S△POA－S△AOC＝21×35×m ＋12×10×(－112m2＋32m＋53)－21×35×10＝－152(m－5)2＋11225，∴m＝5 时，△PAC 面积最大值为11225，此时点 P 的坐标为(5，3152)，故选 B
பைடு நூலகம்
【点评】本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出点A的对称点，从而确定出AP＋PQ的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明△AA′D是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算．

九年级中考数学几何动点问题专项训练(含答案)

九年级中考数学几何动点问题专项训练

1如图，已知△ABC 中，AB ＝10 cm ，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm.如果点P 由B 出发沿BA 向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 向点C 匀速运动，它们的速度均为2 cm/s.连接PQ ，设运动的时间为t (单位：s)(0≤t ≤4)

．

第1题图

(1)当t 为何值时，PQ ∥BC ；

(2)设△AQP 的面积为S (单位：cm 2)，当t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值；

(3)是否存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)由题意知BP ＝2t ，AP ＝10－2t ，AQ ＝2t ，

∵PQ ∥BC ，

∴△APQ ∽△ABC ，

∴＝，AP AB AQ AC

即＝，解得t ＝，10－2t 102t 8209

即当t 为 s 时，PQ ∥BC ；209

(2)∵AB ＝10 cm ，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，

∴AB 2＝AC 2＋BC 2，

∴△ABC 为直角三角形，

∴∠C ＝90°，

如解图，过点P 作PD ⊥AC 于点D

，

第1题解图

则PD ∥BC ，

∴△APD ∽△ABC ，

∴＝，AP AB PD BC

∴＝，10－2t 10PD 6

∴PD ＝(10－2t )，35

∴S ＝AQ ·PD ＝ ·2t ·(10－2t )＝－t 2＋6t ＝－(t －)2＋7.5，121235656552

∵－<0，抛物线开口向下，有最大值，65

∴当t ＝秒时，S 有最大值，最大值是7.5 cm 2；52

中考数学专题复习最值问题(探索动点的轨迹)

最值问题（探索动点轨迹）

辅助圆（隐圆）

一、从圆的定义构造圆

圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．

构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．

例1、如下左图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，连接A ’C ，则A ’C 长度的最小值是__________．

例2、如上右图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，P 、Q 分别是直线BC 、AB 上的两个动点，AE =2，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ ，连接PF 、PD ，则PF +PD 的最小值是_________．

二、定边对直角

知识回顾：直径所对的圆周角是直角．

构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．

图形释义：

若AB 是一条定线段，且∠APB =90°，则P 点轨迹是以AB 为直径的圆．

例1、如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE =DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．

例2、如图，正方形ABCD 的边长为4，动点E 、F 分别从点A 、C 同时出发，以相同的速度分别沿AB 、CD 向终点B 、D 移动，当点E 到达点B 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BG ，垂足为点G ，连接AG ，则AG 长的最小值为．

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