8.6有关定点、定值、范围和最值问题

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定点、定值、范围、最值问题

由 M(0，m)，可得 P(x0，2m)，Q(x0，－2m).
考点突破
课堂总结
2m－m m 所以直线 PM 的斜率 k＝＝ . x0 x0 －2m－m 3m 直线 QM 的斜率 k′＝＝－ x . x
0 0
k′ k′ 此时 k ＝－3.所以 k 为定值－3. ②解设 A(x1，y1)，B(x2，y2).
1 S0，－3的动直线
l 交椭圆 C 于 A， B 两点，试问：
在坐标平面上是否存在一个定点 Q，使得以线段 AB 为直径的圆恒过点 Q？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
考点突破
课堂总结
解
(1)∵椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰
直角三角形，∴b＝c.又斜边长为 2，即 2c＝2，故 c＝b x2 2 ＝1，a＝ 2，椭圆方程为＋y ＝1. 2 (2)当 l 与 x 轴平行时，以线段 AB 为直径的圆的方程为 x2
(2) 特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索
出定点，再证明该定点与变量无关.
考点突破
课堂总结
x2 y2 【训练 1】 (2017· 雅安中学月考)已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞ b＞0)的两焦点在 x 轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为 2 的等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程； (2)过点
考点突破
课堂总结
k′ ①设直线 PM，QM 的斜率分别为 k，k′，证明 k 为定值. ②求直线 AB 的斜率的最小值.
(1)解设椭圆的半焦距为 c.由题意知 2a＝4，2c＝2 2.
所以 a＝2，b＝ a2－c2＝ 2. x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 4 ＋ 2 ＝1. (2)①证明设 P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0).

椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题总结

椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结一、直线与椭圆问题的常规解题方法：1．设直线与方程；(提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y kx b =+与x my n =+的区别) 2．设交点坐标；(提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”) 3．联立方程组；4．消元韦达定理；(提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5．根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒：需讨论k 是否存在)121212100OA OB k k OA OB x x y y ⇔⊥⇔=⇔⋅-⋅=⇔+=u u u r u u u r②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔ “向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y ⇔+>； ③“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系(120k k +=或12k k =)； ④“共线问题”(如：AQ QB λ=⇔u u u r u u u r数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法)； (如：A O B ，，三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等)； ⑤“点、线对称问题”⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与玄长公式问题(提醒：注意两个面积公式的合理选择)； 6．化简与计算； 7．细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0．二、基本解题思想：1．“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明定值问题的方法：(1)常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关； (2)也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明． 4．处理定点问题的方法：(1)常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点； (2)也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5．求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6．转化思想：有些题思路易成，但难以实施．这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题．一、常见基本题型：在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的． (1)直线恒过定点问题1．已知点00()P x y ，是椭圆E ：2212x y +=上任意一点，直线l 的方程为0012x x y y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点(10)M -，关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标．解：直线0l 的方程为()()00002x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --=设(10)M -，关于直线0l 的对称点N 的坐标为()N m n ，，则0000001212022x n m y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨⎪-⋅--=⎪⎩，，解得()3200020432000020023444244824x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩ 所以直线PN 的斜率为()432000003200004288234n y x x x x k m x y x x -++--==---+，从而直线PN 的方程为：()()432000000320004288234x x x x y y x x y x x ++---=---+即()32000432000023414288y x x x y x x x x --+=+++--从而直线PN 恒过定点(10)G ，．2．已知椭圆两焦点12F F ，在y 轴上，短轴长为22，离心率为2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=u u u r u u u r，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点． (1)求P 点坐标；(2)求证直线AB 的斜率为定值；解：(1)设椭圆方程为22221y x a b+=，由题意可得2222a b c ===，，，所以椭圆的方程为22142y x +=，则12(02)(02)F F -，，，，设()()000000P x y x y >>，，则()()10020022PF x y PF x y =--=---u u u r u u u u r，，，，.所以()22120021PF PF x y ⋅=--=u u u r u u u r ，因为点()00P x y ，在曲线上，则2200124x y +=，所以220042y x -=，从而()22004212y y ---=，得0y =，则点P的坐标为(1．(2)由(1)知1PF //x 轴，直线PA PB ，斜率互为相反数，设PB 斜率为0)k k >(，则PB的直线方程为：(1)y k x -，由22(1)124y k x y x ⎧-⎪⎨+=⎪⎩，，得()22222))40k x k k x k ++-+--=，设()B B B x y ，，则1B x -同理可得A xA Bx x -， ()()28112A B A B k y y k x k x k-=----=+，所以直线AB的斜率A BAB A By y k x x -==-3．已知动直线(1)y k x =+与椭圆C ：221553y x +=相交于A B ，两点，已知点()703M -，，求证：MA MB ⋅u u u r u u u r为定值．解：将(1)y k x =+代入221553y x +=中得()2222136350k x k x k +++-=，所以()()4222364313548200k k k k ∆=-+-=+>，221212226353131k k x x x x k k -+=-=++，所以()()()()1122121277773333MA MB x y x y x x y y ⋅=+⋅+=+++u u u r u u u r，， ()()()()21212771133x x k x x =+++++()()()2221212749139k x x k x x k =++++++()()()22222223576491393131k k k k k k k -=+++-++++422231654949931k k k k ---=++=+．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2213x y +=．如图所示，斜率为(0)k k >且不过原点的直线l 交椭圆C 于A B ，两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3)D m -，． (1)求22m k +的最小值；(2)若2OG OD OE =⋅，求证：直线l 过定点．解：(1)由题意：设直线l ：(0)y kc n n =+≠，由2213y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消y 得：()222136330k x knx n +++-=， ()()()222222364133112310k n k n k n ∆=-+⨯-=+->，设()()1122A x y B x y ，，，，AB 的中点()00E x y ，，则由韦达定理得：0122613t nx x k -+=+，即00022233131313kn kn n x y kx n k n k k k--==+=⨯+=+++，，所以中点E 的坐标为()2231313km n k k -++，，因为O E D ，，三点在同一直线上，所以O OE D k k =，即133m k -=-，解得1m k =，所以222212m k k k+=+…，当且仅当1k =时取等号，即22m k +的最小值为2． (2)证明：由题意知：0n >，因为直线OD 的方程为3m y x =-，所以由22313m y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得交点G 的纵坐标为223G m y m =+，又因为213E D n y y m k==+，，且2OG OD OE =⋅，所以222313m n m m k =⋅++，又由(1)知：1m k=，，所以解得k n =，所以直线l 的方程为y kx k =+，即(1)y k x =+，令1x =-得，0y =，与实数k 无关．椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函敞的值域来解． (1)从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围．5．已知直线l 与y 轴交于点(0)P m ，，与椭圆C ：2221x y +=交于相异两点A B，，且3AP PB =u u u r u u u r ，求m 的取值范围．解：(1)当直线斜率不存在时：12m =±；(2)当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为()()1122A x y B x y ，，，，所以2221y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，，得()2222210k x knx m +++-= 所以()()()22222(2)4214220()kn k m k m ∆=-+-=-+>*21212222122km m x x x x k k --+==++， 1233AP PB x x =∴-=u u u r u u u r Q ，，所以122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩，，消去2x 得()21212340x x x x ++=，所以()22222134022km m k k --+=++，整理得22224220k m m k +--=，214m =时，上式不成立；214m ≠时，2222241m k m -=-，所以22222041m k m -=-…，所以112m -<-„或112m <„，把2222241m k m -=-代入(*)得112m -<<-或112m <<，所以112m -<<-或112m <<，综上m 的取值范围为112m -<-„或112m <„．(2)利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式，确定参数的取值范围． 6．已知点(40)(10)M N ，，，，若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=u u u u r u u u r u u u r． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A B ，两点，若181275NA NB -⋅-u u u r u u u r 剟，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)设动点()P x y ，，则(4)(30)(1)MP x y MN PN x y =-=-=--u u u r u u u u r u u u r，，，，，．由已知得3(4)x --=223412x y +=，得22143y x +=．所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为22143y x +=． (2)由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-，设A B ，两点的坐标分别为()()1122A x y B x y ，，，．由22(1)143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 得()22224384120k x k x k +-+-=，因为N 在椭圆内，所以0∆>．所以2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，，因为()()()()()212121211111NA NB x x y y k x x⋅=--+=+--u u u r u u u r()()2121211k x x x x =+-++⎡⎤⎣⎦()()22222229141283413434k k k k k k k -+--++=+=++，所以()229118127534k k -+--+剟，解得213k 剟．(3)利用基本不等式求参数的取值范围7．已知点Q 为椭圆E ：221182y x +=上的一动点，点A 的坐标为(31)，，求AP AQ ⋅u u u r u u u r 的取值范围．解：(13)AP =u u u r，，设()(31)Q x y AQ x y =--u u u r ，，，， (3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-u u u r u u u r因为221182y x +=，即22(3)18x y +=，而22(3)2|||3|x y x y +⋅…，所以18618xy -剟．而222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[036]，， 3x y +的取值范围是[66]-，，所以36AP AQ x y ⋅=+-u u u r u u u r取值范围是[120]-，．8．已知椭圆的一个顶点为(01)A -，，焦点在x轴上．若右焦点到直线0x y -+=的距离为3． (1)求椭圆的方程．(2)设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M N ，．当AM AN =时，求m 的取值范围．解：(1)依题意可设椭圆方程为2221x y a+=，则右焦点)0F，3=，解得23a =，故所求椭圆的方程为2213x y +=．(2)设()()(),,,p p M M N N P x y M x y N x y ，，，P 为弦MN 的中点，由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()()222316310k x mkx m +++-= 因为直线与椭圆相交，所以()()22222(6)43131031mk k m m k ∆=-+⨯->⇒<+，① 所以23231M NP x x mk x k +==-+，从而231p p m y kx m k =+=+，所以21313P AP P y m k k x mk+++==-，又AM AN =，所以AP MN ⊥, 则23113m k mk k++-=-，即2231m k =+，②把②代入①得22m m <，解02m <<，由②得22103m k -=>，解得12m >．综上求得m 的取值范围是122m <<．9．如图所示，已知圆C ：22(1)8x y ++=，定点(10)A ，，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足20AM AP NP AM =⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u u r，，点N 的轨迹为曲线E ． (1)求曲线E 的方程；(2)若过定点(02)F ，的直线交曲线E 于不同的两点G H ，(点G 在点F H ，之间)，且满足FG FH λ=u u u r u u u r，求λ的取值范围．解：(1)因为20AM AP NP AM =⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u u r，．所以NP 为AM 的垂直平分线，所以NA NM =，又因为22CN NM +=，所以222CN AN +=>．所以动点N 的轨迹是以点(10)(10)C A -，，，为焦点的椭圆且椭圆长轴长为222a =，焦距21c =．所以2211a c b ===，，．所以曲线E 的方程为2212x y +=(2)当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为2y kx =+．代入椭圆方程2212x y +=，得()2214302k x kx +++=，由0∆>得232k >，设()()1122G x y H x y ，，，，则121222431122k x x x x k k -+==++，，又因为FG FH λ=u u u r u u u r，所以()()112222x y x y λ-=-，，，所以12x x λ=，所以2122122(1)x x x x x x λλ+=+=，，所以()22121221x x x x x λλ+==+，所以2222431122(1)k k k λλ-⎛⎫ ⎪+ ⎪+⎝⎭=+，整理得22(1)161312k λλ+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为232k >，所以2161643332k <<+，所以116423λλ<++<，解得133λ<<．又因为01λ<<，所以113λ<<．又当直线GH 斜率不存在，方程为11033x FG FH λ===u u u r u u u r ，，，所以113λ<…，即所求λ的取值范围是)113⎡⎢⎣，． 10．已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点(20)M ，的直线与椭圆C 相交于两点A B ，，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r(O 为坐标原点)，当||PA PB -<u u u r u u u r时，求实数t 取值范围．解：(1)由题意知c e a ==，所以22222212c a b e a a -===，即222a b =，所以2221a b ==，．故椭圆C 的方程为2212x y +=．(2)由题意知直线AB 的斜率存在．设AB ：()2y k x =-，()()1122()x y B x A y P x y ，，，，，，由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2222128820k x k x k +-+-=， ()()42221644218202k k k k ∆=-+-><，，221212228821212k k x x x x k k -+=⋅=++，．因为OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r ，所以()()212121228()12x x k x x y y t x y x t t k +++===+，，，，()()1212214412y y k y k x x k t t t k +-==+-=⎡⎤⎣⎦+，因为点P 在椭圆上，所以()()()2222222228(4)221212k k tk t k-+=++，所以()2221612k t k =+．因为||PA PB -<u u u r u u u r12x -()()22121220149k x x x x ⎡⎤++-⋅<⎣⎦，所以()()4222226482201491212k k k k k ⎡⎤-⎢⎥+-⋅<⎢⎥++⎣⎦，所以()()224114130k k -+>，所以214k >，所以21142k <<，因为()2221612k t k=+，所以222216881212k t k k==-++，所以2t -<<2t <<，所以实数t取值范围为()22-U ，．椭圆中的最值问题一、常见基本题型： (1)利用基本不等式求最值，11．已知椭圆两焦点12F F ，在y轴上，短轴长为，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=u u u r u u u r，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点，求PAB ∆面积的最大值．解：设椭圆方程为22221y x a b+=，由题意可得2a b c ===，故椭圆方程为22142y x +=设AB 的直线方程：2y x m =+．由222124y x m y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，，得2242240x mx m ++-=，由()22(22)1640m m ∆=-->，得2222m -<<，P 到AB 的距离为3d =，则()2111||432223PAB S AB d m ∆=⋅=-⋅⋅， ()()2222211882882m m m m -+=-+=„．当且仅当2(2222)m =±∈-，取等号，所以三角形PAB 面积的最大值为2． (2)利用函数求最值，12．如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且2DM DP =．当点P 在圆221x y +=上运动时． (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点(0)T t ，作圆221x y +=的切线l 交曲线C 于A B ，两点，求AOB ∆面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．解：(1)设点M 的坐标为()x y ，，点P 的坐标为00()x y ，，则002x x y y ==，，所以002yx x y ==，，① 因为00()P x y ，在圆221x y +=上，所以22001x y +=② 将①代入②，得点M 的轨方程C 的方程2214y x +=． (2)由题意知，||1t …．当1t =时，切线l 的方程为1y =，点A B ，的坐标分别为()()3311-，，，，此时3AB =；当1t =-时，同理可得3AB =；当||1t >时，设切线l 的方程为y kx m k =+∈R ，，由2214y kx t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2224240k x ktx t +++-=③设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，，则由③得： 21212222444kt t x x x x k k -+=-=++，．又由l 与圆221x y +=1=，即221t k =+．所以||AB ==因为||23||||ABt t ==+，且当t = 2AB =，所以AB 的最大值为2，依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆221x y +=的半径，所以AOB ∆面积1112S AB =⨯„，当且仅当t =AOB∆面积S 的最大值为1，相应的T的坐标为(0-，或(0．13．已知椭圆G ：2214x y +=．过点(0)m ，作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A B ，两点．将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值．解：由题意知，||1m …．当1m =时，切线l 的方程为1x =，点A B ，的坐标分别为((11，，，此时AB= 当1m =-时，同理可得AB =当||1m >时，设切线l 的方程为()y k x m =-．由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()22222148440k x k mx k m +-+-=．设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，，又由l 与圆221x y +=1=，即2221m k k =+．所以AB ===由于当1m =±时，AB ，23||||AB m m==+，当且当m =时，2AB =．所以AB 的最大值为2．【练习题】1．已知A B C ，，是椭圆m ：22221(0)y x a b a b+=>>上的三点，其中点A 的坐标为(230)，，BC 过椭圆m 的中心，且0||2||AC BC BC AC ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r ，． (1)求椭圆m 的方程；(2)过点(0 )M t ，的直线l (斜率存在时)与椭圆m 交于两点P Q ，，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||DP DQ =u u u r u u u r ，求实数t 的取值范围．2．已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(10)N ，，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP上，且满足20NP NQ GQ NP =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，． (1)若104m n r =-==，，，求点G 的轨迹C 的方程；(2)若动圆M 和(1)中所求轨迹C 相交于不同两点A B ，，是否存在一组正实数m n r ，，，使得直线MN 垂直平分线段AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．3．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线：y kx m =+与椭圆C 相交于A B ，两点(A B ，不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．4．如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点1(2)M ，，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为(0)m m ≠，l交椭圆于A B ，两个不同点．(1)求椭圆的方程；(2)求m 的取值范围；(3)求证直线MA MB ，与x 轴始终围成一个等腰三角形．。

与圆有关的定点、定值、最值与范围问题

答案 x－122＋(y＋1)2＝245
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
5．(2013·连云港模拟)一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射，到达圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程是________．解析因为点 A(－1,1)关于 x 轴的对称点为 B(－1，－1)，圆心为(2,3)，所以从点 A(－1,1)出发经 x 轴反射，到达圆 C 上一点的最短路程为－1－22＋－1－32－1＝4.
BN，得A→M·B→N＝0，即(3，t1)·(1，t2)＝0，所以 3＋t1t2＝0，即 t1t2
＝－3.
所以 MN＝t1－t2＝t1＋(－t2)≥2 －t1t2＝2
当且仅当 t1＝ 3，t2＝－ 3时等号成立．
故 MN 的最小值为 2 3.
抓住2个考点
3.
突破3个考向
揭秘3年高考
(2)证明由(1)得 t1t2＝－3.以 MN 为直径的圆的方程为(x－2)2 ＋(y－t1)(y－t2)＝0，即(x－2)2＋y2－(t1＋t2)y＋t1t2＝0，也即(x－2)2＋y2－(t1＋t2)y－3＝0.
第6讲与圆有关的定点、定值、最值与范围问题
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考点梳理
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点几何观点
Δ_＜__0 d_＞__r
Δ_＝__0 d_＝__r
Δ_＞__0 d_＜__r
抓住2个考点
突破3个考向
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答案 4
抓住2个考点
突破3个考向
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解析几何中的定点、定值与最值问题解法揭秘

解析几何中的定点、定值与最值问题解法揭秘作者：黄伟军来源：《广东教育·高中》2012年第01期在平面解析几何这个知识版块里，定点、定值与最值问题历来都是中学数学中的重点问题，同时又是高考的热点问题，常考常新.据统计2011年高考各省市（区）解析几何大题中涉及考查定点、定值与最值问题的就有10个省份左右.为帮助2012届的高三考生在复习中能更好地把握这三个问题，探索这三种类型问题的解题规律，本文特地详细介绍了这三种类型问题的基本概念、分类，并结合典型的高考试题、各地最新模拟试题给予剖析、小结归纳，并且给出相应的变式题目，让同学们小试牛刀，相信对同学们的复习有一定的帮助.一、解析几何中的定点、定值问题解析几何中的定点、定值问题一般是指在一定的情境下，不随其它因素的改变而改变的量．从近几年的新课标高考题来看，定点、点值问题多数以选择、填空题的形式出现，考查特殊与一般的转化思想，也有以证明等解答题面目出现，着重考查逻辑推理能力．处理定点、点值的基本方法是：先将变动元素用参数表示，然后计算出所需结果与该参数无关；也可将变动元素置于特殊状态下，探求出定点、定值，然后给以证明．值得注意的是，解析几何中的定点、定值问题与一般几何证明不同，它的结论中没有确定的定点、定值对象，所以探求定点、定值成为首要任务.其一，要有一定量的基本图形、基本结论作基础，先设一般问题成为一个特殊问题，动中取静，使图形极端化（考虑图形的特殊位置和临界位置等），从而求得定点、定值，然后，从图形或数据的直观观察中，获得合乎情理的猜想，再进行逻辑证明；其二，要注意前面解答结论中的暗示功能和桥梁作用.由于解析几何中的定点、定值问题在解题之前不知道定点、定值的结果，因而更增添了题目的神秘色彩，因而是颇有难度的问题，解决这类问题时，要运用辩证的观点去思考分析，在“变”中寻求“不变”，用特殊探索法（即用特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定点、定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口.另外，有许多定点、定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定点、定值，还可以为我们提供解题的线索.例1．已知抛物线y2=2px（p＞0），问：在轴的正半轴上是否存在一点M，使得过M点的抛物线的任意一条弦P1P2都有∠P1OP2=■（O为坐标原点）？请说明理由.分析：这是一道与探索性相结合的定点问题，通过阅读题意我们发现几个关键词：“正半轴”，“任意一条弦”，抛物线y2=2px（p＞0）的开口向右，先假设满足题设条件的点M存在，并求出M的坐标，然后证明过M点的任意一条直弦P1P2都有∠P1OP2=■，也就是先证明存在性，后证明任意性.假设满足条件的点M存在，设M（x0 ，0），P1（x1 ，y2），P2（x2 ，y2），则当P1P2⊥OM时，应有∠P1OP2=■，∠P1OM=■，此时P1（2p ，2p），从而有M（2p ，0），这表明若满足题设条件的点M存在，其坐标只能是（2p ，0），设P1P2是过点（2p ，0）的任意一条弦，其斜率为k，则P1P2的方程为y=k（x-2p），代入y2=2px得k2x2-2（2k2+1）px+4k2p2=0.由韦达定理可得x1x2=4p2，又y1y2＜0，y2=2px1，y22=2px2，故y1y2=-■·■=-4p 2，因为x1x2+y1y2=4p 2-4p2=0，故∠P1OP2=■，这表明过点（2p ，0）的任意一条弦P1P2都满足∠P1OP2=■，综上所述，在x轴的正轴上存在唯一的一点M（2p ，0）满足题设条件.点评：本题从特殊情形入手，探求了解题的目标，再对一般情况给以证明，过程自然流畅.牛刀小试1：已知椭圆C的方程为■+y2=1，A，B为椭圆C的左右顶点，点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP，BP分别交直线l∶x=2■于E，F两点.证明：以线段EF为直径的圆恒过x轴上的定点.解析：由题可得A（-2 ，0），B（2 ，0）.设P（x0 ，y0），直线AP的方程为y=■（x+2），令x=2■，则y=■，即E（2■，■）；直线BP的方程为y=■（x-2），令x=2■，则y=■，即F（2■，■）；设点M（m，0）在以线段EF为直径的圆上，则■·■=0，（m-2■）2+■=0，∴（m-2■）2=■，而■+y20=1，即4y20=4-x20，∴（m-2■）2=1，∴m=2■+1或m=2■-1.所以以线段EF为直径的圆必过x轴上的定点（2■＋1，0）或（2■-1，0）.例2．已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且■=?姿■(?姿＞0)，过A，B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.证明■=■为定值.分析：我们知道当题目给出定值时，这就是单纯的证明问题，这类问题容易下手解答；当题目未给出具体定值时，还需要找出这个定值,或用特殊化法猜测出这个定值后，再予以证明，因此本题应属于后一种情形，我们不妨令?姿=1，当?姿=1时，弦AB为抛物线x2=4y的通径，从对称性看，S的最小值必在特殊点（位置）取到，所以FM⊥AB，即得到■=■为定值0，即我们要证的定值为零.证明：由已知条件，得F（0，1），?姿＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），由■=?姿■，得（-x1，1-y1）=?姿（x2，y2-1），∴-x1=?姿x2， ?譹?訛1-y1=?姿（y2-1）. ?譺?訛将①式两边平方，并把y1=■x21，y2=■x22代入，得y1=?姿2y2，③解②③式得y1=?姿，y2=■，且有x1x2=-?姿x22=-4?姿y2=-4.∵抛物线方程为y=■x2，求导得y′=■x，∴过抛物线上A，B两点的切线方程分别是y=■x1（x-x1）+y1，y=■x2（x-x2）+y2，即y=■x1x-■x21，y=■x2x-■x22.∴两条切线的交点M的坐标为（■，■）=（■，-1）．∴■·■=（■，-2）·（x2-x1，y2-y1）=■（x22-x21）-2（■x22-■x21）=0．即■·■为定值0．点评：解答本题的关键是令?姿=1，再探讨出■·■为定值0，这为我们解题指明了前进的方向.牛刀小试2：已知动直线l与椭圆C: ■+■=1交于P（x1 ，y1）、Q（x2 ，y2）两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=■,其中O为坐标原点.证明x21+x22和y21+y22均为定值.证明：（1）当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以x1=x2，y2=-y1因为P（x1 ，y1）在椭圆上，因此■+■=1. ①又因为S△OPQ=■，所以｜x1｜｜y1｜=■.②由①②得｜x1｜=■,｜y1｜=1此时x21+x22=3，y21+y22=2.（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，由题意知m≠0，将其代入■+■=1，得（2+3k2）x2+6kmx+3（m2-2）=0，其中△=36k2m2-12（2＋3k2）（m2-2）＞0，即3k2+2＞m2…………………………（?鄢）又x1+x2＝-■，x1x2＝■.所以｜PQ｜=■·■=■·■.因为点O到直线l的距离为d=■,所以S△OPQ=■｜PQ｜·d=■■·■·■=■.又S△OPQ=■，整理得3k2+2=m2，且符合（?鄢）式，此时x21+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（-■）2-2×■=3，y21+y22=■（3-x21）+■（3-x22）=4-■（x21+x21）=2.综上所述，x21+x21=3，y21+y22=2，结论成立.二、解析几何中的最值问题解析几何中的最值问题，是历年新课标高考重点考查的知识点之一，其题型比较灵活，可以有一些基础题，也有一些小综合的中档题，更有一些以难题形式出现．它经常与三角函数、二次函数、向量、数列、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系．所以其解法灵活，综合性强，能力要求高．解决这类问题，要掌握各数学各分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法．最值问题的解答能充分检验考生的运算能力，分析问题和解决问题能力．求最值问题可以分为两类：一是距离、面积的最值问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之相关的一些问题，在探求最值问题时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、基本不等式等使问题获解，同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件等.例 3．已知椭圆G∶■+y2=1.过点（m,0）作圆x2+y2=1的切线I交椭圆G于A，B两点.（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（II）将｜AB｜表示为m的函数，并求｜AB｜的最大值.分析: 本题是求距离的最值问题，解答的关键是充分利用直线与椭圆的位置关系得到｜AB｜的表达式，再根据m的取值利用均值不等式则可求出｜AB｜的最大值.解析：（Ⅰ）由已知得a=2，b=1所以c=■-■，所以椭圆G的焦点坐标为（-■，0）（■，0）离心率为e=■=■.（Ⅱ）由题意知，｜m｜≥1.当m=1时，切线l的方程x=1，点A、B的坐标分别为（1，■），（1，-■），此时｜AB｜=■.当m=－1时，同理可得｜AB｜=■.当｜m｜＞1时，设切线l的方程为y=k（x-m），由y=k（x-m），■+y2=1. 得（1+4k2）x2-8k2mx+4k2m2-4=0.设A，B两点的坐标分别为（x1 ，y1），（x2 ，y2），则有x1 +x2=■，x1x2=■.又由l与圆x2+y2=1相切，得■=1，即m2k2=k2+1.所以｜AB｜=■=■=■.由于当m=±3时，｜AB｜=■，所以｜AB｜=■，m∈（-∞，-1]∪[1，+∞).因为｜AB｜=■=■≤2，且当m＝±■时，｜AB｜=2，所以｜AB｜的最大值为2.点评：解答第（II）问时应注意使用均值不等式求最值的条件，即一定、二正、三相等. 解析几何的最值问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值.牛刀小试3: 已知M为椭圆■＋■＝1上的一点，F为椭圆的右焦点，以M为圆心，MF长为半径作圆M，若过点E(-1,0)可作圆M的两条切线EA,EB（A，B为切点），求四边形EAMB面积的最大值．解析:设M (x0 ,y0)，圆M：(x -x0)2+(y-y0)2=r2，其中r=｜MF｜=■.由两切线存在可知，点E在圆M外，所以，■＞■，即x0＞0，又M (x0 ,y0)为椭圆C上的点，所以0＜x0≤2．而｜MF｜=■=■｜x0-4｜，所以1≤｜MF｜＜2，即1≤r＜2．E（-1，0）为椭圆的左焦点.根据椭圆定义知，｜ME｜+｜MF｜=4，所以｜ME｜=4-r，而｜MB｜=｜MF｜= r，所以在直角三角形MEB中，｜ EB｜=■=2■，S△MEB=■｜EB｜·｜MB｜=r■，由圆的性质知，四边形EAMB面积S=2S△MEB=2r■，其中1≤r＜2．即S=2■（1≤r＜2）．令y=-2r3+4r2（1≤r＜2），则y′=-6r2+8r=-2r（3r-4），当1＜r＜■时，y′＞0，y=-2r3+4r2单调递增；当■＜r＜2时，y′＜0，y=-2r3+4r2单调递减．所以，当r=■时，y取极大值，也是最大值，此时Smax=2■=■■．（作者单位：广东省五华县五华中学）责任编校徐国坚。

2021版高考数学苏教版一轮教师用书：8.6 双曲线

第六节双曲线[最新考纲] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)[常用结论]双曲线中的几个常用结论(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2 a.(5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|.(6)双曲线的离心率公式可表示为e＝1＋b2 a2.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线． ()(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. () [答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材改编1．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A.5 B ．5 C.2 D ．2 A [由题意可知b ＝2a ， ∴e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝5，故选A.]2．以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 ( ) A ．x 2－y 23＝1B.x 23－y 2＝1 C ．x 2－y 22＝1D.x 24－y 23＝1A [设所求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由椭圆x 24＋y 23＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x 轴上的顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0). 所以a ＝1，c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝3，所以双曲线标准方程为x 2－y 23＝1.]3．若方程x 22＋m －y 2m ＋1＝1表示双曲线，则m 的取值范围是．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) [因为方程x 22＋m －y 2m ＋1＝1表示双曲线，所以(2＋m )(m ＋1)＞0，即m ＞－1或m ＜－2.]4．已知双曲线x 2－y 216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于．6 [设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4，则||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c －a ＝17－1，故|PF 2|＝6.]考点1双曲线的定义及其应用双曲线定义的主要应用(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为．(2)已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|P A|的最小值为．(3)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝.(1)x2－y28＝1(x≤－1)(2)9(3)34[(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|.根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y28＝1(x ≤－1)．(2)设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义，可知|PF |＝4＋|PF 1|，所以当|PF 1|＋|P A |最小时满足|PF |＋|P A |最小．由双曲线的图象，可知当点A ，P ，F 1共线时，满足|PF 1|＋|P A |最小，|AF 1|即|PF 1|＋|P A |的最小值．又|AF 1|＝5，故所求的最小值为9.(3)因为由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22，所以|PF 1|＝2|PF 2|＝42，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.][母题探究]1．将本例(3)中的条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？[解] 不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.2．将本例(3)中的条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？[解] 不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝4，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．1.虚轴长为2，离心率e ＝3的双曲线的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的一支于A ，B 两点，且|AB |＝8，则△ABF2的周长为()A．3 B．16＋ 2 C．12＋ 2 D．24B[由于2b＝2，e＝ca＝3，∴b＝1，c＝3a，∴9a2＝a2＋1，∴a＝2 4.由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝2a＝22，①|BF2|－|BF1|＝22，②①＋②得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝2，又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝8，∴|AF2|＋|BF2|＝8＋2，则△ABF2的周长为16＋2，故选B.]2．(2019·洛阳模拟)已知双曲线x2－y2＝4，F1是左焦点，P1，P2是右支上的两个动点，则|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是．8[设双曲线的右焦点为F2，∵|F1P1|＝2a＋|F2P1|，|F1P2|＝2a＋|F2P2|，∴|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|＝2a＋|F2P1|＋2a＋|F2P2|－|P1P2|＝8＋(|F2P1|＋|F2P2|－|P1P2|)≥8(当且仅当P1，P2，F2三点共线时，取等号)，∴|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是8.] 考点2双曲线的标准方程求双曲线标准方程的方法(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a 2，b 2，得双曲线方程． (2)待定系数法：即“先定位，后定量”． ①焦点位置不确定时，设Ax 2＋By 2＝1(AB <0)； ②与x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③与x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k＝1(－b 2<k <a 2)．(1)(2019·大连模拟)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上一点，PF 2与x 轴垂直，∠PF 1F 2＝30°，且虚轴长为22，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 22＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 28＝1D ．x 2－y 22＝1(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程： ①虚轴长为12，离心率为54； ②渐近线方程为y ＝±12x ，焦距为10； ③经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)；(1)D [(1)由题意可知|PF 1|＝43c 3，|PF 2|＝23c3，2b ＝22，由双曲线的定义可得43c 3－23c3＝2a ，即c ＝3a .又b ＝2，c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝1，∴双曲线的标准方程为x 2－y 22＝1，故选D.](2)[解] ① 设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8. ∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1. ②设所求双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，当λ>0时，双曲线标准方程为x 24λ－y 2λ＝1， ∴c ＝5λ.∴5λ＝5，λ＝5；当λ<0时，双曲线标准方程为y 2－λ－x 2－4λ＝1，∴c ＝－5λ. ∴－5λ＝5，λ＝－5.∴所求双曲线方程为x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝1. ③设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1.(mn >0) ∴⎩⎨⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线方程为y 225－x 275＝1.(1)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a ＜|F 1F 2|；③焦点所在坐标轴的位置．(2)求双曲线标准方程时，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论．1.(2019·荆州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是( )A.x 212－y 2＝1 B.x 29－y 23＝1 C ．x 2－y 23＝1D.x 223－y 232＝1 C [由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，可得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－3b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，∴双曲线C 的标准方程是x 2－y 23＝1，故选C.]2．已知双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，焦点坐标为(±5,0)，则双曲线的方程为．x 216－y 29＝1 [将3x ±4y ＝0化为x 4±y 3＝0，设以x 4±y 3＝0为渐近线的双曲线方程为x 216－y 29＝λ(λ≠0)，因为该双曲线的焦点坐标为(±5,0)，所以16λ＋9λ＝25，解得λ＝1，即双曲线的方程为x 216－y 29＝1.]考点3 双曲线的几何性质双曲线的渐近线求双曲线的渐近线的方法求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±a b x .反之，已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(a >0，b >0，λ≠0)．1.[一题多解](2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32xA [法一：(直接法)由题意知，e ＝ca ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x . 法二：(公式法)由e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x .]2．(2019·揭阳一模)已知双曲线mx 2＋y 2＝1的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，则m 的值为( )A ．－14B ．－1C ．－2D ．－4D [因为m ＜0，则双曲线为：y 2－x 2－1m ＝1，渐近线方程为：±－mx ＋y ＝0，所以－m ＝2，解得m ＝－4，故选D.]3．(2019·郑州模拟)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0B [假设点P 在双曲线的右支上，则⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a . ∵|F 1F 2|＝2c ＞2a ，∴△PF 1F 2最短的边是PF 2， ∴△PF 1F 2的最小内角为∠PF 1F 2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理得4a 2＝16a 2＋4c 2－2×4a ×2c ×cos 30°， ∴c 2－23ac ＋3a 2＝0，∴e 2－23e ＋3＝0，∴e ＝3，∴ca ＝3， ∴c 2＝3a 2，∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b 2＝2a 2，∴ba ＝2，∴双曲线的渐近线方程为2x±y＝0，故选B.]4．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－y2b2＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是．y＝±2x[∵双曲线x2－y2b2＝1(b>0)经过点(3,4)，∴32－16b2＝1，解得b2＝2，即b＝ 2.又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝±2x.]双曲线的离心率求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．(1)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(2,1＋2)D ．(1,1＋2)(2)(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为．(1)B (2)2 [(1)若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF ＜45°，在Rt △AFE 中，|AF |＝b 2a ，|FE |＝a ＋c ，则b 2a ＜a ＋c ，即b 2＜a 2＋ac ，即2a 2－c 2＋ac ＞0，则e 2－e －2＜0，解得－1＜e ＜2，又e ＞1，则1＜e ＜2，故选B.(2)如图，由F 1A →＝AB →，得F 1A ＝AB .又OF 1＝OF 2，所以OA 是三角形F 1F 2B 的中位线，即BF 2//OA ， BF 2＝2OA .由F 1B →·F 2B →＝0，得F 1B ⊥F 2B ，OA ⊥F 1A ，则OB ＝OF 1，所以∠AOB ＝∠AOF 1，又OA 与OB 都是渐近线，得∠BOF 2＝∠AOF 1，又∠BOF 2＋∠AOB ＋∠AOF 1＝π，得∠BOF 2＝∠AOF 1＝∠BOA ＝60°，又渐近线OB 的斜率为ba ＝tan 60°＝3，所以该双曲线的离心率为e ＝c a ＝1＋(ba )2＝1＋(3)2＝2.]双曲线的渐近线的斜率k 与离心率e 的关系：k ＝ba ＝c 2－a 2a ＝c 2a 2－1＝e 2－1.1.(2019·衡水模拟)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞C ．(1,2)D ．(2，＋∞)A [由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a,0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1，233.] 2．(2019·济南模拟)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是．2 [由已知得|AB |＝|CD |＝2b 2a ，|BC |＝|AD |＝|F 1F 2|＝2c .因为2|AB |＝3|BC |，所以4b 2a ＝6c ，又b 2＝c 2－a 2，所以2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2，或e ＝－12(舍去)．]。

高二数学课件：专题六第三讲定点、定值、最值问题

为F(2,0),且椭圆T过点 E 2, 2 . △ABC的三个顶点都在椭圆T
上,设三条边(AB,BC,AC)的中点分别为M,N,P.
(1)求椭圆T的方程.
(2)设△ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1,k2,k3,且 ki≠0,i=1,2,3.若直线OM,ON,OP的斜率之和为0.求证:
1 1 1 为定值.
(2)曲线Ax2+By2+Dx+Ey=0过定点_(_0_，__0_)_. (3)直线A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2)=0(λ 为参数)过直线 A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0的交点. 提醒：直线A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0不可能表示直线 A2x+B2y+C2=0.
(4)函数y=ax2+bx+c(a>0)，当 x b 时，取得最大值为
4ac b2
2a
_____4_a_____.
(5)函数 y ax b (a 0,b 0, x 0) 当且仅当 x b 时有
x
a
最小值__2__a_b__.
热点考向一圆锥曲线中的定值问题
【典例】(2013·北京模拟)椭圆T的中心为坐标原点O,右焦点
1 2
s1 t1
.
以下同方法一.
【拓展提升】求解定值问题的方法 1.由特例求出定值，再证明，然后得结论. 2.直接求出代数式的值，一般是设法消去代数式中的参数，说明与参数无关. 提醒：解决此类问题一定要分清哪些是变量，哪些是常量.圆锥曲线中的最值问题

高三数学(理)定点,定值,最值和参变量范围问题(课件)

x2 y2 C : a 2 b 2 1(a
0, b 0 )的离心率为 3 , 实轴长为 2 .
(1)求双曲线 C 的方程 ;
(2)设直线 l是圆 O : x 2 y 2 2上动点
P ( x 0 , y 0 )( x 0 y 0 0 )处的切线 , l与双曲线 C 交于不同的两点 A , B , 证明 AOB 的大小
43 y kx m与椭圆交于A, B两点( A, B不是椭
圆左, 右顶点), 若以AB为直径的圆过椭圆的
右顶点,求证 : 直线l过定点, 并求出定点的
坐标.
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二、定值问题
[例2] 已知双曲线
对角 AC 与 BD 的交点 P的坐标 .
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知识要点
1. 定点与定值问题的解决，一般通过取极端位置(即特定位置)探索出定点或定值，然后再进行一般性证明.
2. 求圆锥曲线的有关最值，常用方法有：代数法和几何法.
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沉思熟虑
一、定点问题
[例1] 已知椭圆C : x 2 y2 1,直线l :
为定值 .
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三、参变量取值范围问题与最值问题
[例3] 如图 ,已知抛物线 E : y 2 x与圆
M : (x 4)2 y2 r 2
(r 0)相交于 A, B ,C ,

人教B版高中数学选择性必修第一册专题7定点、定值、最值(范围)问题课件

QM
=
x,
y0 x0 1
y
,QN
=
x,
y0 x0 1
y
,
∴QM
·QN
=x2-
y0 x0 1
y
y0 x0 1
y
=x2+y2- y02
x02 1
+
2 x02
y0
1
y=0,
易知
x02
-
y02 2
=1,∴x2+y2-2+
4 y0
y=0,
∴
y 0, x2 y
2
2
解得
0,
x y
0,
2,
∴定点Q的坐标为( 2,0)或(- 2,0).
∴双曲线C:x2- y2 =1,∴A(-1,0),B(1,0),
2
设P(x0,y0)(y0≠0),则kPA= y0 ,kPB= y0 ,
x0 1
x0 1
∴直线PA:y= y0 (x+1),直线PB:y= y0 (x-1),
x0 1
x0 1
∴M
0,
y0 x0
1
,N
0,
y0 x0
1
,
设Q(x,y),则
9.(2023浙江宁波市镇海中学期中)已知椭圆
x a
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0),两条直线l1:x-3y=0,
l2:x+3y=0,过椭圆上一点P作l1,l2的平行线,分别交l2,l1于点M,N,若|MN|为定值,则
a b
= (A )
A.9
B.4
C.3
D.2
解题思路
当点P坐标为(0,b)时,过点P作l1,l2的平行线分别为直线y=

定点定值最值问题

由题意知，3 k 2 0且 0.
设B(x1，y1)，C(x2，y2 )，
则x1
x2
4k 2 k2 3
，x1
x2
4k 2 3， k2 3
y1 y2 k 2 x1 2 x2 2 k 2 x1x2 2 x1 x2 4
k
2
(
4k 2 3 k2 3
8k 2 k2 3
4)
9k k2
例4已知椭圆C：x2 y2 1(a＞b＞0)的离心率为 6 ，
a2 b2
3
短轴一个端点到右焦点的距离为 3.
1 求椭圆C的方程；
2 设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到
直线l的距离为 3 ，求AOB面积的最大值. 2
解析:1设椭圆的半焦距为c，依题意
c a
6 3，
a 3
所以b 1，所以所求椭圆的方程为 x2 y2 1. 3
且x1
x2
2，当x1
x2时，由
x12 x22
2 y12 2 y22
4， 4
得 y1 y2 1 x1 x2 . x1 x2 2 y1 y2
设线段PQ的中点N (1，n)，所以kPQ
y1 x1
y2 x2
1， 2n
所以线段PQ的垂直平分线方程为y n 2n x 1，
所以2x 1n y 0.
9
9
9k k2
2
3
4
4
4k 2 3 k2 3
4k 2 k2 3
1
9 9 0， 44
所以FM FN，即FM FN.
综上所述，以MN为直径的圆必定过点F.
1．对圆锥曲线中定值的计算，一般利用相关公式或方程思想求解，如果求值对象有相关公式计算(如距离、斜率、面积等)，并且公式中所需数据可由已知或相关参变量表示，则套用公式求解，或将求值对象看成一个未知数，根据已知条件建立方程或方程组，再解方程求未知数的值． 2．对圆锥曲线中定点的确立，通常求相应曲线系(或直线系)方程，利用方程思想或曲线系(直线系)特征确定点或由特殊值确定一定点，再进行一般性证明．

高考数学《定点定直线问题》基础知识点及典型例题

高考数学《定点定直线问题》基础知识点及典型例题一、基础知识：1、处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ）（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y = 的联系，得到有关k 与,x y 的等式（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立。

此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至易于找到00,x y 。

常见的变形方向如下： ① 若等式的形式为整式，则考虑将含k 的项归在一组，变形为“()k ⋅”的形式，从而00,x y 只需要先让括号内的部分为零即可② 若等式为含k 的分式， 00,x y 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去k 的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式） 2、一些技巧与注意事项：（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）。

然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合。

属于“先猜再证”。

（2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件。

所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否过定点。

尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件。

例如：直线:1l y kx k =+−，就应该能够意识到()11y k x =+−，进而直线绕定点()1,1−−旋转二、典型例题：例1：椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，其左焦点到点()2,1P （1）求椭圆C 的标准方程（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。

求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标解：（1）1::2:2c e a b c a ==⇒=，设左焦点()1,0F c −1PF ∴==，解得1c =2,a b ∴==∴椭圆方程为22143x y += （2）由（1）可知椭圆右顶点()2,0D 设()()1122,,,A x y B x y ，以AB 为直径的圆过()2,0DDA DB ∴⊥即DA DB ⊥ 0DA DB ∴⋅=()()11222,,2,DA x y DB x y =−=−()()()121212*********DA DB x x y y x x x x y y ∴⋅=−−+=−+++= ①联立直线与椭圆方程：223412y kx m x y =+⎧⇒⎨+=⎩()()222348430k x mkx m +++−= ()2121222438,4343m mkx x x x k k −∴+=−=++ ()()()2212121212y y kx m kx m k x x mk x x m ∴=++=+++()22222222438312434343k m mk mk m k m k k k −⋅−=−+=+++，代入到① ()222222438312240434343m mk m k DA DB k k k −−⋅=+⋅++=+++ 22222412161612312043m mk k m k k −++++−∴=+ ()()22716407220m mk k m k m k ∴++=⇒++= 27m k ∴=−或2m k =−当27m k =−时，22:77l y kx k k x ⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭ l ∴恒过2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭当2m k =−时，():22l y kx k k x =−=− l ∴恒过()2,0，但()2,0为椭圆右顶点，不符题意，故舍去l ∴恒过2,07⎛⎫⎪⎝⎭例2：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点2−⎭，且椭圆的离心率为12e = （1）求椭圆的方程（2）过椭圆的右焦点F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于,A C 和,B D ，设线段,AC BD 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点解：（1）12c e a ==::2a b c ∴= 2222143x y c c ∴+=代入2−⎭可得：2233111443c c c +⋅=⇒=2,a b ∴==∴椭圆方程为22143x y += （2）由（1）可得：()1,0F当直线AC 斜率不存在时，:1,:0AC x BD y == 所以可得：()()1,0,0,0P Q PQ ∴为x 轴当AC 斜率存在时，设():1,0AC y k x k =−≠，则()1:1BD y x k=−− 设()()1122,,,A x y C x y ，联立方程可得：()()222222143841203412y k x k x k x k x y ⎧=−⎪⇒+−+−=⎨+=⎪⎩ 2122843k x x k ∴+=+()()()1212122611243ky y k x k x k x x k k ∴+=−+−=+−=−+ 212122243,,224343x x y y kk P k k ⎛⎫++−⎛⎫∴= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭同理，联立()22113412y x kx y ⎧=−−⎪⎨⎪+=⎩，可得：- 4 -22222114343,,3443114343k k k Q k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−− ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭ ⎪∴== ⎪ ⎪++⎝⎭⎛⎫⎛⎫−+−+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()222222337434344414334PQ k kk k k k k k k k −−++∴==−−++ PQ ∴的方程为：()222374434341k k y x k k k ⎛⎫−=−− ⎪++−⎝⎭，整理可得： ()()()224744044740yk x k y y k k x +−−=⇒−+−=470x y ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩时，直线方程对k R ∀∈均成立 ∴直线PQ 恒过定点4,07⎛⎫ ⎪⎝⎭而AC 斜率不存在时，直线PQ 也过4,07⎛⎫ ⎪⎝⎭∴直线PQ 过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭例3：如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点为12,F F ，其上顶点为A ，已知12F AF 是边长为2的正三角形（1）求椭圆C 的方程（2）过点()4,0Q −任作一动直线l 交椭圆C 于,M N 两点，记MQ QN λ=，若在线段MN 上取一点R 使得MR RN λ=−，试判断当直线l 运动时，点R 是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线；若不在请说明理由解：（1）由椭圆方程可得()()()12,0,,0,0,F c F c A b −12F AF 为边长是2的三角形122221F F c c ∴=⇒=⇒=OA b ==2224a b c ∴=+= 22143x y ∴+= （2）设():4MN y k x =+设()()1122,,,M x y N x y ， ()()11224,,4,MQ x y QN x y =−−−=+ 由MQ QN λ=可得：()()11224444x x x x λλ+−−=+⇒=−+设()00,R x y ，则()()01012020,,,MR x x y y RN x x y y =−−=−− 由MR RN λ=−可得：()0120x x x x λ−=−()()()112212121201122442441814x x x x x x x x x x x x x x x λλ++⋅+++−∴===+−++++ ① 联立方程组()2234124x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，消去y 整理可得：()2222343264120k xk x k +++−=22121222326412,3434k k x x x x k k−−∴+==++ 代入到①可得：22222022264123224243434341243283434k k k k k x k k k −−−⋅+⋅+++===−−+++R ∴在定直线1x =−上例4：已知椭圆C 的中心在坐标原点，左，右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆C 上的动点，12PF F3450x y −+=相切（1）求椭圆的方程（2）若直线l 过定点()1,0且与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点，直线,AM BM 分别与y 轴交于,P Q 两点，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由解：（1）()1212max12PF F SF F b bc =⋅==因为圆与直线相切1O l d b b −∴==⇒=c ∴=2224a b c ∴=+=∴椭圆方程为：2214x y +=（2）当直线l 的斜率存在时，设():1l y k x =−，由椭圆方程可得点()2,0M设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程可得：()22441x y y k x ⎧+=⎪⎨=−⎪⎩()2222148440k xk x k +−+−=22121222844,1414k k x x x x k k −∴+==++ 由()2,0M ，()()1122,,,A x y B x y 可得：()()1212:2,:222y y AM y x BM y x x x =−=−−−，分别令0x =，可得：1212220,,0,22y y P Q x x ⎛⎫⎛⎫−− ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭，设x 轴上的定点为()0,0N x若PQ 为直径的圆是否过()0,0N x ，则0PN QN ⋅=12001222,,,22y y PN x QN x x x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭∴问题转化为()()212124022y y x x x +=−−恒成立即()212012124024y y x x x x x +=−++ ①- 7 -由22121222844,1414k k x x x x k k −+==++及()1y k x =−可得： ()()()2212121212111y y k x x k x x x x =−−=−++⎡⎤⎣⎦22341k k −=+代入到①可得：2220222234410448241414k k x k kk k−⋅++=−−+++ 2220212304k x x k−⇒+=−=解得：03x =± ∴圆过定点()3,0±当直线斜率不存在时，直线方程为1x =，可得PQ 为直径的圆223x y +=过点()3,0± 所以以线段PQ 为直径的圆过x 轴上定点()3,0±例5：如图，在平面直角坐标系xOy 中，离心率为22的椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点，当直线PQ 的斜率为22时，23PQ = （1）求椭圆C 的标准方程（2）试问以MN 为直径的圆是否过定点（与PQ 的斜率无关）？请证明你的结论解：（1）由22PQ k =可得：2:2PQ y x = 002,2P x x ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭由对称性可知：132OP PQ == 220002322x x x ⎛⎫∴+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭)P∴由2cea==可得::a b c=∴椭圆方程为222212x yb b+=代入)P，可得：222,4b a==22:142x yC∴+=（2）设()00,P x y由对称性可知()00,Q x y−−，由（1）可知()2,0A−设():2AP y k x=+，联立直线与椭圆方程：()()22222222424y k xx k xx y⎧=+⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，整理可得：()2222218840k x k x k+++−=2028421Akx xk−∴=+解得：2022421kxk−=+，代入()2y k x=+可得：202224422121k ky kk k⎛⎫−=+=⎪++⎝⎭222244,2121k kPk k⎛⎫−∴ ⎪++⎝⎭从而222244,2121k kQk k⎛⎫−−−⎪++⎝⎭2222224412121822422121AQk kk kkk kkkk⎛⎫−−⎪+⎝⎭+∴===−−⎛⎫−−−−⎪++⎝⎭()1:22AQ y xk∴=−+，因为,M N是直线,PA QA与y轴的交点()10,2,0,M k Nk⎛⎫∴−⎪⎝⎭∴以MN为直径的圆的圆心为2210,2kk⎛⎫−⎪⎝⎭，半径2212krk+=∴圆方程为：22222212122k kx yk k⎛⎫⎛⎫−++−=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得：222222222221212121222k k k kx y y x y yk k k k⎛⎫⎛⎫−−+−+−+=⇒+−=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以令0y=，解得x=∴以MN为直径的圆恒过()例6：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y −+=相切，过点()4,0P 且不垂直x 轴的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点（1）求椭圆C 的方程（2）若B 点关于x 轴的对称点是E ，求证：直线AE 与x 轴相交于定点解：（1）12c e a == 已知圆方程为：222x y b += 因为与直线相切d b b ∴==⇒=222212a a c b c a c=⎧−=⎧∴⇒⎨⎨==⎩⎩∴椭圆C 的方程为：22143x y += （2）设直线():4l y k x =−，()()1122,,,A x y B x y ()22,E x y ∴−联立方程可得：()221434x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩，消去y 可得： ()22234412x k x +−=()2222433264120k x k x k ∴+−+−=22121222326412,4343k k x x x x k k −∴+==++ 考虑直线:AE ()12121212AE y y y y k x x x x −−+==−−∴直线AE 的方程为：()121112y y y y x x x x +−=−−令0y =可得：()()()112121y x x y y x x −−=+−()122112x y x y x y y ∴+=+122112x y x y x y y +=+，而()()11224,4y k x y k x =−=−，代入可得：()()()()()1221121212124424448x k x x k x x x x x x k x k x x x −+−−+==−+−+−，代入22121222326412,4343k k x x x x k k −+==++ 可得：2222222264123224244343431243284343k k k k k x kk k −−⋅−⋅+++===−−++ AE ∴与x 轴交于定点()1,0例7：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>与直线():l x m m R =∈，四个点()()()(3,1,,3,1,−−−中有三个点在椭圆C 上，剩余一个点在直线l 上（1）求椭圆C 的方程（2）若动点P 在直线l 上，过P 作直线交椭圆C 于,M N 两点，使得PM PN =，再过P 作直线'l MN ⊥，求证：直线'l 恒过定点，并求出该定点的坐标解：（1）因为四个点中有三点在椭圆上，由椭圆的对称性可知：()()3,1,3,1−−必在椭圆上若()−在椭圆上，则为椭圆的左顶点。

高中数学同步课件培优课定点、定值、最值、范围问题

(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程.
如图，根据(1)知F(1，0)，D(2，0). 当 MN⊥x 轴时，易得 α＝β＝π2，此时α－β＝0. 当MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，则即直y－线y1M＝Nyy4121的－－方yy4222(程x－为xy1)－＝yy11＝＋4xyy112－－(xxy－22(xx1－)，x1)，
即y(y1＋y2)－y1(y1＋y2)＝4(x－x1)，所以直线MN的方程为y(y1＋y2)－y1y2＝4x. 同理可得，直线AM的方程为y(y3＋y1)－y3y1＝4x，直线BN的方程为y(y4＋y2)－y4y2＝4x，直线AB的方程为y(y4＋y3)－y4y3＝4x. 因为F(1，0)在MN上，所以y1y2＝－4. 因为D(2，0)在AM，BN上，
易知直线l的斜率存在，设l：y＝kx＋b，联立直线 l 与轨迹 C 的方程得xy＝2＝k4xy＋，b，消去y，整理得x2－4kx－4b＝0.
由根与系数的关系得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b. 从而x11＋x12＝2⇒x1＋x2＝2x1x2，即 4k＝－8b，则 b＝－12k，则直线 l：y＝kx－21k＝kx－12，故直线 l 过定点12，0.
四
定值问题
例4
已知椭圆 C：x62＋y32＝1，点 M，N 在 C 上，点 A(2，1)且 AM⊥AN，AD⊥MN， D 为垂足，证明：存在定点 Q，使得|DQ|为定值.
设M(x1，y1)，N(x2，y2). 若直线MN与x轴不垂直，
设直线MN的方程为y＝kx＋m，代入x62＋y32＝1，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0. 于是 x1＋x2＝－1＋4k2mk2，x1x2＝21m＋2－2k62 .① 由 AM⊥AN，得A→M·A→N＝0，

专题8 最值与定值问题

AC 交直线 l2 于点 D.设直线 l1，l2 之间的距离为 m，直
线 l2，l3 之间的距离为 n，若∠ABC＝90°，BD＝4，
且mn
＝32
25
，则 m＋n 的最大值为__3__．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC ＝2 cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边 CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1 cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是( C ) A.20 cm B．18 cm
【解析】选项A正确；
B.∵△DOF≌△GOF≌△GOE，
∴DF＝GF＝GE，∴△ADF≌△B′GF≌△CGE， ∴B′G＝AD，∴△B′FG的周长＝FG＋B′F＋B′G＝FG ＋AF＋CG＝AC(定值)，故选项B正确；
C.S四边形FOEC＝S△OCF＋S△OCE＝S△OCF＋S△OAF
＝
1 3
S△AOC(定值)，故选项C正确；
定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．
精讲释疑
类型一利用线段公理求最值
例 1.(2019·西藏)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，AD ＝3，动点 P 满足 S△PAB＝31 S 矩形 ABCD，则点 P 到 A，B
专题8 最值与定值问题
专题解读
最值问题是初中数学的重要内容，具有较大的灵活性，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考查学生对平时所学内容的综合运用能力，关键要用数学思想方法为指导，找准问题的切入点，建立合适的解决问题的数学模型，寻找解决问题的捷径，从而把问题由难转化为易，由复杂转化为简单，使问题得到解决．

定点、定值和最值问题

依题意，2|MF1|=|PF1|+|QF1|，∴x1+x2=2.
定点、定值、最值问题
设PQ中点为C(x0,y0)，线段PQ的垂直平分线为l，则
x +x
y +y
x 1 2, y 1 2,
0
2
0
2
∵P、Q在椭圆上，
x12 4
y12 2
1
x2
2
4
y22 2
1
(x +x )(x -x ) (y +y )(y -y )
∴S△POQ= 1|PQ||PR|= x02 y02
2
4
3．斜率为1的直线l与椭圆 x2 +y2=1相交于A、B两点，
则|AB|的最大值为
4 45
( )C
A．2
B5
C 4 10
D．8 10
5
5
【解析】设l直线方程为y=x+t，则弦长|AB|=Βιβλιοθήκη 2 4 5 t2 4 105
5
定点、定值、最值问题
4
4
4
+4.
定点、定值、最值问题
根据双曲线的定义，有|PF1|-|PF2|=2a，所以
当且仅当|PF2|= P4，aF22即|PF2|=2a时等号成立. 设点P的坐标为(x,y)(x≥a)，由双曲线的第二定义，得
|PF2|=(x-
)e=a2ex-a≥c-a，即2a≥c-a，于是e= ≤3，a 又
c
c
∵e＞1，∴1＜e≤3.
定点、定值、最值问题
知识要点
1．求过定点问题的基本方法若曲线C1：f(x,y)=0，与曲线C2：g(x,y)=0有公共点M，则曲线系C λf(x,y)+μg(x,y)=0，（λ∈R,μ∈R）恒过定点M. 2．求圆锥曲线的有关最值的常用方法（1 借助代数函数求最值的方法.运用代数法时，先要建立 “目标函数”，然后根据“目标函数”的特点灵活运用求最值的方法.常用的方法有：

定点、定值、范围、最值问题共41页PPT

41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育；而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
定点、定值、范围、最值问题
51、没有哪个社会可以制订一部永远适用的宪法，甚至一条永远适用的法律。 ——杰斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样一种的网，触犯法律的人，小的可以穿网而过，大的可以破网而出，只有中等的才会坠入网中。 ——申斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大夏，庇护着我们大家；它的每一块砖石都垒在另一块砖石上。 ——高尔斯华绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯

高考知识点定点、定值、范围、最值问题

第2课时定点、定值、范围、最值问题考点一定点问题【例1】 (2018·临汾一中月考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >0)，过椭圆C 的右顶点和上顶点的直线与圆x 2＋y 2＝23相切. (1)求椭圆C 的方程；(2)设M 是椭圆C 的上顶点，过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆C 于A ，B 两点，设这两条直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝2，证明：直线AB 过定点. (1)解 ∵直线过点(a ，0)和(0，1)，∴直线的方程为x ＋ay －a ＝0，∵直线与圆x 2＋y 2＝23相切，∴|a |1＋a 2＝63，解得a 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明当直线AB 的斜率不存在时，设A (x 0，y 0)，则B (x 0，－y 0)，由k 1＋k 2＝2得y 0－1x 0＋－y 0－1x 0＝2，解得x 0＝－1.当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，得x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－21＋2k 2，由k 1＋k 2＝2⇒y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝2⇒（kx 2＋m －1）x 1＋（kx 1＋m －1）x 2x 1x 2＝2，即(2－2k )x 1x 2＝(m －1)(x 1＋x 2)⇒(2－2k )(2m 2－2)＝(m －1)(－4km )，即(1－k )(m 2－1)＝－km (m －1)，由m ≠1，得(1－k )(m ＋1)＝－km ⇒k ＝m ＋1，即y ＝kx ＋m ＝(m ＋1)x ＋m ⇒m (x ＋1)＝y －x ，故直线AB 过定点(－1，－1). 综上，直线AB 过定点(－1，－1).规律方法圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【训练1】 (2018·西安模拟)设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上的点T (2，2)到点F 1，F 2的距离之和等于4 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于E ，F 两点，A 为椭圆C 的左顶点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N .问：以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.解 (1)由椭圆上的点T (2，2)到点F 1，F 2的距离之和是42，可得2a ＝42，a ＝2 2.又T (2，2)在椭圆上，因此4a 2＋2b 2＝1，所以b ＝2. 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为椭圆C 的左顶点为A ，所以点A 的坐标为(－22，0). 因为直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆x 28＋y 24＝1交于E ，F 两点，设点E (x 0，y 0)(不妨设x 0>0)，则点F (－x 0，－y 0). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1消去y ，得x 2＝81＋2k 2，所以x 0＝221＋2k 2，则y 0＝22k1＋2k 2，所以直线AE 的方程为y ＝k1＋1＋2k2(x ＋22). 因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，令x ＝0，得y ＝22k1＋1＋2k 2，即点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22k 1＋1＋2k 2. 同理可得点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22k 1－1＋2k 2. 所以|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k 1＋1＋2k 2－22k 1－1＋2k 2＝22（1＋2k 2）|k |. 设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－2k .则以MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋2k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2（1＋2k 2）|k |2，即x 2＋y 2＋22k y ＝4，令y ＝0，得x 2＝4，即x ＝2或x ＝－2.故以MN 为直径的圆经过两定点P 1(2，0)，P 2(－2，0). 考点二定值问题【例2】 (2018·长春模拟)已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，以抛物线E 上点P (22，y 0)⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0>p 2为圆心的圆与直线y ＝p 2相交于M ，N 两点，且|MN→|＝3|PM →|＝233|PF →|. (1)求抛物线E 的方程；(2)设直线l 与抛物线E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为D .与直线l 平行的直线与抛物线E 切于点C .若点A ，B 到直线CD 的距离之和为42，求证：△ABC 的面积为定值.(1)解由抛物线的定义得|PF |＝y 0＋p 2，点P 到直线y ＝p 2的距离为y 0－p 2， ∵圆P 与直线y ＝p 2相交于M ，N 两点，且|MN→|＝3|PM →|，∴12|MN →||PM →|＝32，即cos ∠PMN ＝32，∴∠PMN ＝30°，∴点P 到直线y ＝p 2的距离为12|PM →|，即|PM→|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－p 2， ∵3|PM→|＝233|PF →|， ∴y 0－p 2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋p 2，得y 0＝p ，将点(22，p )代入抛物线方程，得p ＝2， ∴抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，代入抛物线方程，得x 2－4kx －4b ＝0，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，则点D (2k ，2k 2＋b ).设与直线l 平行且与抛物线E 相切的直线方程为y ＝kx ＋m ，代入抛物线方程，得x 2－4kx －4m ＝0，由Δ＝16k 2＋16m ＝0，得m ＝－k 2，点C 的横坐标为2k ，则C (2k ，k 2)，∴直线CD 与x 轴垂直，则点A ，B 到直线CD 的距离之和为|x 1－x 2|，即|x 1－x 2|＝42，∴（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝42，则16k 2＋16b ＝32，即b ＝2－k 2， ∴|CD |＝|2k 2＋b －k 2|＝2，∴S △ABC ＝12|CD |·|x 1－x 2|＝12×2×42＝42，即△ABC 的面积为定值. 规律方法圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法 (1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值. (2)两大解法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②引起变量法：其解题流程为变量→选择适当的动点坐标或动线中系数为变量 ↓函数→把要证明为定值的量表示成上述变量的函数 ↓定值→把得到的函数化简，消去变量得到定值【训练2】 (2016·北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值. (1)解由已知c a ＝32，12ab ＝1.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. 所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明由(1)知，A (2，0)，B (0，1). 设椭圆上一点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.当x 0≠0时，直线P A 方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0得y M ＝－2y 0x 0－2. 从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2. 直线PB 方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1.令y ＝0得x N ＝－x 0y 0－1. ∴|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1. ∴|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2x 0－2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2y 0－1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4. 当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2，所以|AN |·|BM |＝4.故|AN |·|BM |为定值. 考点三范围与最值问题【例3】 (2018·武汉模拟)已知点F 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若λ|PM |2＝|P A |·|PB |，求实数λ的取值范围.解 (1)由题意，得a ＝2c ，b ＝3c ，则椭圆E 为x 24c 2＋y 23c 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝c 2，x 4＋y 2＝1，得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.∵直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ， ∴Δ＝4－4(4－3c 2)＝0⇒c 2＝1，a ＝2，b ＝3， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∵直线x 4＋y 2＝1与y 轴交于P (0，2)，∴|PM |2＝54，当直线l 与x 轴垂直时，|P A |·|PB |＝(2＋3)×(2－3)＝1， ∴λ|PM |2＝|P A |·|PB |⇒λ＝45.当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，3x 2＋4y 2－12＝0⇒(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，依题意得，x 1x 2＝43＋4k2，且Δ＝48(4k 2－1)>0， ∴|P A |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·43＋4k 2＝1＋13＋4k 2＝54λ， ∴λ＝45⎝⎛⎭⎪⎫1＋13＋4k 2，∵k 2>14，∴45<λ<1. 综上所述，λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫45，1.规律方法 1.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.2.处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 【训练3】 (2018·惠州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x ＋4y ＋6＝0与圆x 2＋(y －b )2＝a 2相切. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知过椭圆C 的左顶点A 的两条直线l 1，l 2分别交椭圆C 于M ，N 两点，且l 1⊥l 2，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标； (3)在(2)的条件下求△AMN 面积的最大值. (1)解由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，|4b ＋6|5＝a ，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，即C ：x 24＋y 2＝1.(2)证明由题意得直线l 1，l 2的斜率存在且不为0. ∵A (－2，0)，设l 1：x ＝my －2，l 2：x ＝－1m y －2，由⎩⎨⎧x ＝my －2，x 2＋4y 2－4＝0，得(m 2＋4)y 2－4my ＝0， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2－8m 2＋4，4m m 2＋4.同理，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8m 24m 2＋1，－4m 4m 2＋1. ①m ≠±1时，k MN ＝5m4（m 2－1），l MN ：y ＝5m 4（m 2－1）⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65.此时过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0. ②m ＝±1时，l MN ：x ＝－65，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.∴l MN 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.(3)解由(2)知S △AMN ＝12×45|y M －y N | ＝25⎪⎪⎪⎪⎪⎪4mm 2＋4＋4m 4m 2＋1＝8⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 3＋m 4m 4＋17m 2＋4＝8⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m 4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m 2＋9＝84⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m ＋9⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m .令t ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m ≥2，当且仅当m ＝±1时取等号， ∴S △AMN ≤1625，且当m ＝±1时取等号.∴(S △AMN )max ＝1625.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2018·石家庄模拟)已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM →|＝1，且OM →·PM →＝0，则当|PM →|取得最小值时点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( ) A.95B.125C.4D.5解析由OM→·PM →＝0，得OM ⊥PM ，根据勾股定理，求|MP |的最小值可以转化为求|OP |的最小值，当|OP |取得最小值时，点P 的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x ±3y ＝0，∴所求的距离d ＝125，故选B. 答案 B2.(2018·衡水中学周测)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上不同的三点，F A →＋FB→＋FC →＝0，O 为坐标原点，且△OF A ，△OFB ，△OFC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 21＋S 22＋S 23等于( )A.2B.3C.6D.9解析由题意可知F (1，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，FC →＝(x 3－1，y 3)，由F A →＋FB →＋FC →＝0，得(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0，即x 1＋x 2＋x 3＝3.又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)在抛物线上，所以y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，y 23＝4x 3，又S 1＝12·|OF |·|y 1|＝12|y 1|，S 2＝12|OF |·|y 2|＝12|y 2|，S 3＝12|OF |·|y 3|＝12|y 3|，所以S 21＋S 22＋S 23＝14(y 21＋y 22＋y 23)＝14×(4x 1＋4x 2＋4x 3)＝3.答案 B3.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是( ) A.[3，＋∞) B.(3，＋∞) C.(1，3]D.(1，3)解析依题意可知双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，与抛物线方程联立消去y 得x 2±ba x ＋2＝0.∵渐近线与抛物线有交点， ∴Δ＝b 2a 2－8≥0，求得b 2≥8a 2， ∴c ＝a 2＋b 2≥3a ，∴e ＝ca ≥3. 答案 A4.(2018·贵阳模拟)已知双曲线x 2－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，动直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 2－x 1的最小值为( ) A.2 2B.2C.4D.3 2解析 ∵直线l 与圆相切， ∴原点到直线的距离d ＝|m |1＋k2＝1，∴m 2＝1＋k 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 2＝1得(1－k 2)x 2－2mkx －(m 2＋1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4m 2k 2＋4（1－k 2）（m 2＋1）＝4（m 2＋1－k 2）＝8>0，x 1x 2＝1＋m 2k 2－1<0，∴k 2<1，∴－1<k <1，由于x 1＋x 2＝2mk 1－k 2， ∴x 2－x 1＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝22|1－k 2|＝221－k 2， ∵0≤k 2<1，∴当k 2＝0时，x 2－x 1取最小值22，故选A. 答案 A5.(2018·南昌NCS 项目模拟)抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线上的两个动点，若x 1＋x 2＋4＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( ) A.π3B.3π4C.5π6D.2π3解析由抛物线的定义可得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2，又x 1＋x 2＋4＝233|AB |，得|AF |＋|BF |＝233|AB |，所以|AB |＝32(|AF |＋|BF |)，所以cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22|AF |·|BF |＝|AF |2＋|BF |2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤32（|AF |＋|BF |）22|AF |·|BF |＝14|AF |2＋14|BF |2－32|AF |·|BF |2|AF |·|BF |＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫|AF ||BF |＋|BF ||AF |－34 ≥18×2|AF ||BF |·|BF ||AF |－34＝－12，当且仅当|AF |＝|BF |时等号成立.而0<∠AFB <π，所以∠AFB 的最大值为2π3.答案 D 二、填空题6.已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM→|的最小值是________. 解析 ∵PM→·AM →＝0，∴AM →⊥PM →.∴|PM→|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1， ∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，故|AP →|min ＝2，∴|PM →|min ＝ 3. 答案37.(2018·东北三省四校模拟)若双曲线x 2－y2b 2＝1(b ＞0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________. 解析双曲线的渐近线方程为y ＝±bx ，则有|0－2|1＋b 2≥1，解得b 2≤3，则e 2＝1＋b 2≤4，∵e ＞1，∴1＜e ≤2. 答案 (1，2]8.(2018·河南六市一模)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上(P 不与A 1，A 2重合)且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是________.解析由椭圆C ：x 24＋y 23＝1可知左顶点A 1(－2，0)，右顶点A 2(2，0)，设P (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 203＝1，得y 20x 20－4＝－34，∵kP A 1＝y 0x 0＋2，kP A 2＝y 0x 0－2，∴kP A 1·kP A 2＝y 20x 20－4＝－34，又∵－2≤kP A 2≤－1，∴－2≤－34kP A 1≤－1，解得38≤kP A 1≤34，即直线P A 1斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34三、解答题9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)设圆M 过A (1，0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由. 解 (1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线.∵点Q 在线段FP 的垂直平分线上，∴|PQ |＝|QF |，又|PQ |是点Q 到直线l 的距离，故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝2x (x >0). (2)弦长|TS |为定值.理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0，圆的半径r ＝|MA |＝（x 0－1）2＋y 20，则|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1，∵点M 在曲线C 上，∴y 20＝2x 0， ∴|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2是定值.10.(2017·全国Ⅱ卷)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .(1)解设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0，0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)，由NP →＝2NM →得：x 0＝x ，y 0＝22y ，因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1，因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明由题意知F (－1，0)，设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ→·PF →＝3＋3m －tn ，OP→＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )，由OP→·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，又由(1)知m 2＋n 2＝2.故3＋3m －tn ＝0.所以OQ→·PF →＝0，即OQ →⊥PF →，又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2018·长沙模拟)若P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为( ) A.1B.2＋155C.4＋155D.22＋1解析设F 2是双曲线C 的右焦点，因为|PF 1|－|PF 2|＝22，所以|PF 1|＋|PQ |＝22＋|PF 2|＋|PQ |，显然当F 2，P ，Q 三点共线且P 在F 2，Q 之间时，|PF 2|＋|PQ |最小，且最小值为F 2到l 的距离.易知l 的方程为y ＝x 2或y ＝－x2，F 2(3，0)，求得F 2到l 的距离为1，故|PF 1|＋|PQ |的最小值为22＋1. 答案 D12.(2018·合肥模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP→·FP →的最小值为________. 解析点P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)，依题意得左焦点F (－1，0)，∴OP→＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋72－8x 29＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234.∵－3≤x ≤3，∴32≤x ＋92≤152，∴94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤2254，∴14≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤22536，∴6≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234≤12，即6≤OP→·FP →≤12，故最小值为6.答案 613.(2018·昆明诊断)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为它的左、右焦点，P 为椭圆上一点，已知∠F 1PF 2＝60°，S △F 1PF 2＝3，且椭圆的离心率为12. (1)求椭圆方程；(2)已知T (－4，0)，过T 的直线与椭圆交于M ，N 两点，求△MNF 1面积的最大值.解 (1)由已知，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，① |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝4c 2，即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝4c 2，②12|PF 1||PF 2|sin 60°＝3，即|PF 1||PF 2|＝4，③联立①，②，③解得a 2－c 2＝3.又c a ＝12，∴c 2＝1，a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)根据题意可知直线MN 的斜率存在，且不为0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为x ＝my －4，代入椭圆方程，整理得(3m 2＋4)y 2－24my ＋36＝0，则Δ＝(24m )2－4×36×(3m 2＋4)>0，所以m 2>4. y 1＋y 2＝24m 3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4，则△MNF 1的面积S △MNF 1＝|S △NTF 1－S △MTF 1| ＝12|TF 1|·|y 1－y 2|＝32（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫24m 3m 2＋42－1443m 2＋4＝18m 2－44＋3m 2＝6×1m 2－4＋163m 2－4＝6×1m 2－4＋163m 2－4≤62163＝334. 当且仅当m 2－4＝163m 2－4，即m 2＝283时(此时适合Δ>0的条件)取得等号.故△MNF 1面积的最大值为334.。

解析几何中定值与定点问题(最新整理)

y2 b2
1上的点( x0 , y0 )处的椭圆切线方程是
x0 x a2
y0 y b2
1,证明直线
AB 恒过椭圆的右
焦点 F2 ;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，试探究 1 1 的值是否恒为常数,若是,求出此常数;若不是,请 | AF2 | | BF2 |
说明理由.
x2 4、椭圆 C : a2
y2 b2
【实例探究】题型 1：定值问题:
例 1：已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线
的
焦点，离心率等于（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆 C 的右焦点作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，交 y 轴于 M 点，若
为定值.
解：（I）设椭圆 C 的方程为
，则由题意知 b = 1.
解析几何中定值与定点问题【探究问题解决的技巧、方法】
(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．
(2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．
( 3
k2
t,
1 k
1)
1 1 1 ( 1 1) k 2
k 3k
直线SA的方程为y 2x 1 A(1 ,0) 2
同理 B( 3 ,0) 2
cos CSD cos ASB SA2 SB2 AB2 3
sin CSD 4
2SB SA
3 ,过 F1 且垂直 2
于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1, PF2 ,设 F1PF2 的角平分线 PM 交

椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题总结

椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结一、直线与椭圆问题的常规解题方法：1．设直线与方程；(提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y kx b =+与x my n =+的区别) 2．设交点坐标；(提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”) 3．联立方程组；4．消元韦达定理；(提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5．根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒：需讨论k 是否存在) 121212100OA OB k k OA OB x x y y ⇔⊥⇔=⇔⋅-⋅=⇔+= ②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔ “向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y ⇔+>； ③“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系(120k k +=或12k k =)； ④“共线问题”(如：AQ QB λ=⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法)； (如：A O B ，，三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等)； ⑤“点、线对称问题”⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与玄长公式问题(提醒：注意两个面积公式的合理选择)； 6．化简与计算； 7．细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0．二、基本解题思想：1．“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明定值问题的方法：(1)常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关； (2)也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明． 4．处理定点问题的方法：(1)常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点； (2)也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5．求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6．转化思想：有些题思路易成，但难以实施．这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题．一、常见基本题型：在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的． (1)直线恒过定点问题1．已知点00()P x y ，是椭圆E ：2212x y +=上任意一点，直线l 的方程为0012x xy y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点(10)M -，关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标．解：直线0l 的方程为()()00002x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --=设(10)M -，关于直线0l 的对称点N 的坐标为()N m n ，，则0000001212022x n m y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨⎪-⋅--=⎪⎩，，解得()3200020432000020023444244824x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩所以直线PN 的斜率为()432000003200004288234n y x x x x k m x y x x -++--==---+，从而直线PN 的方程为：()()43200000032004288234x x x x y y x x y x x ++---=---+即()32000432000023414288y x x x y x x x x --+=+++--从而直线PN 恒过定点(10)G ，．2．已知椭圆两焦点12F F ，在y 轴上，短轴长为22，离心率为22，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点．(1)求P 点坐标；(2)求证直线AB 的斜率为定值；解：(1)设椭圆方程为22221y x a b+=，由题意可得2222a b c ===，，，所以椭圆的方程为22142y x +=，则12(02)(02)F F -，，，，设()()000000P x y x y >>，，则()()10020022PF x y PF x y =--=---，，，，所以()22120021PF PF x y ⋅=--=，因为点()00P x y ，在曲线上，则2200124x y +=，所以220042y x -=，从而()22004212y y ---=，得0y =，则点P的坐标为(1．(2)由(1)知1PF //x 轴，直线PA PB ，斜率互为相反数，设PB 斜率为0)k k >(，则PB的直线方程为：(1)y k x =-，由22(1)124y k x y x ⎧-⎪⎨+=⎪⎩，，得()22222))40k x k k x k +++-=，设()B B B x y ，，则1B x ==同理可得A xA Bx x -， ()()28112A B A B k y y k x k x k-=----=+，所以直线AB的斜率A BAB A By y k x x -=-3．已知动直线(1)y k x =+与椭圆C ：221553y x +=相交于A B ，两点，已知点()703M -，，求证：MA MB ⋅为定值．解：将(1)y k x =+代入221553y x +=中得()2222136350k x k x k +++-=，所以()()4222364313548200k k k k ∆=-+-=+>，221212226353131k k x x x x k k -+=-=++，所以()()()()1122121277773333MA MB x y x y x x y y ⋅=+⋅+=+++，， ()()()()21212771133x x k x x =+++++()()()2221212749139k x x k x x k =++++++()()()22222223576491393131k k k k k k k -=+++-++++422231654949931k k k k ---=++=+． 4．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2213x y +=．如图所示，斜率为(0)k k >且不过原点的直线l 交椭圆C 于A B ，两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3)D m -，． (1)求22m k +的最小值；(2)若2OG OD OE =⋅，求证：直线l 过定点．解：(1)由题意：设直线l ：(0)y kc n n =+≠，由2213y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消y 得：()222136330k x knx n +++-=， ()()()222222364133112310k n k n k n ∆=-+⨯-=+->，设()()1122A x y B x y ，，，，AB 的中点()00E x y ，，则由韦达定理得：0122613t nx x k-+=+，即00022233131313kn kn n x y kx n k n k k k--==+=⨯+=+++，，所以中点E 的坐标为()2231313km n k k -++，，因为O E D ，，三点在同一直线上，所以O OE D k k =，即133m k -=-，解得1m k=，所以222212m k k k +=+，当且仅当1k =时取等号，即22m k +的最小值为2． (2)证明：由题意知：0n >，因为直线OD 的方程为3m y x =-，所以由22313m y xx y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得交点G 的纵坐标为223G m y m =+，又因为213E Dn y y m k ==+，，且2OG OD OE =⋅，所以222313m n m m k =⋅++，又由(1)知：1m k =，，所以解得k n =，所以直线l 的方程为y kx k =+，即(1)y k x =+，令1x =-得，0y =，与实数k 无关．椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函敞的值域来解． (1)从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围．5．已知直线l 与y 轴交于点(0)P m ，，与椭圆C ：2221x y +=交于相异两点A B ，，且3AP PB =，求m 的取值范围．解：(1)当直线斜率不存在时：12m =±；(2)当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为()()1122A x y B x y ，，，，所以2221y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，，得()2222210k x knx m +++-= 所以()()()22222(2)4214220()kn k m k m ∆=-+-=-+>*21212222122km m x x x x k k --+==++， 1233AP PB x x =∴-=，，所以122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩，，消去2x 得()21212340x x x x ++=，所以()22222134022km m k k --+=++，整理得22224220k m m k +--=，214m =时，上式不成立；214m ≠时，2222241m k m -=-，所以22222041m k m -=-，所以112m -<-或112m <，把2222241m k m -=-代入(*)得112m -<<-或112m <<，所以112m -<<-或112m <<，综上m 的取值范围为112m -<-或112m <．(2)利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式，确定参数的取值范围． 6．已知点(40)(10)M N ，，，，若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A B ，两点，若181275NA NB -⋅-，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)设动点()P x y ，，则(4)(30)(1)MP x y MN PN x y =-=-=--，，，，，．由已知得3(4)x --=223412x y +=，得22143y x +=．所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为22143y x +=．(2)由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-，设A B ，两点的坐标分别为()()1122A x y B x y ，，，．由22(1)143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 得()22224384120k x k x k +-+-=，因为N 在椭圆内，所以0∆>．所以2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，，因为()()()()()212121211111NA NB x x y y k x x⋅=--+=+--()()2121211k x x x x =+-++⎡⎤⎣⎦()()22222229141283413434k k k k k k k -+--++=+=++，所以()229118127534k k-+--+，解得213k ． (3)利用基本不等式求参数的取值范围7．已知点Q 为椭圆E ：221182y x +=上的一动点，点A 的坐标为(31)，，求AP AQ ⋅的取值范围．解：(13)AP =，，设()(31)Q x y AQ x y =--，，，， (3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-因为221182y x +=，即22(3)18x y +=，而22(3)2|||3|x y x y +⋅，所以18618xy -．而222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[036]，， 3x y +的取值范围是[66]-，，所以36AP AQ x y ⋅=+-取值范围是[120]-，．8．已知椭圆的一个顶点为(01)A -，，焦点在x 轴上．若右焦点到直线0x y -+的距离为3． (1)求椭圆的方程．(2)设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M N ，．当AM AN =时，求m的取值范围．解：(1)依题意可设椭圆方程为2221x y a+=，则右焦点)0F，3=，解得23a =，故所求椭圆的方程为2213x y +=． (2)设()()(),,,p p M M N N P x y M x y N x y ，，，P 为弦MN 的中点，由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()()222316310k x mkx m +++-= 因为直线与椭圆相交，所以()()22222(6)43131031mk k m m k ∆=-+⨯->⇒<+，① 所以23231M NP x x mk x k +==-+，从而231p p m y kx m k =+=+，所以21313P AP P y m k k x mk+++==-，又AM AN =，所以AP MN ⊥, 则23113m k mk k++-=-，即2231m k =+，②把②代入①得22m m <，解02m <<，由②得22103m k -=>，解得12m >．综上求得m 的取值范围是122m <<．9．如图所示，已知圆C ：22(1)8x y ++=，定点(10)A ，，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足20AM AP NP AM =⋅=，，点N 的轨迹为曲线E ． (1)求曲线E 的方程；(2)若过定点(02)F ，的直线交曲线E 于不同的两点G H ，(点G 在点F H ，之间)，且满足FG FH λ=，求λ的取值范围．解：(1)因为20AM AP NP AM =⋅=，．所以NP 为AM 的垂直平分线，所以NA NM =，又因为22CN NM +=，所以222CN AN +=>．所以动点N 的轨迹是以点(10)(10)C A -，，，为焦点的椭圆且椭圆长轴长为222a =，焦距21c =．所以2211a c b ===，，．所以曲线E 的方程为2212x y += (2)当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为2y kx =+．代入椭圆方程2212x y +=，得()2214302k x kx +++=，由0∆>得232k >，设()()1122G x y H x y ，，，，则121222431122k x x x x k k -+==++，，又因为FG FH λ=，所以()()112222x y x y λ-=-，，，所以12x x λ=，所以2122122(1)x x x x x x λλ+=+=，，所以()22121221x xx x x λλ+==+，所以2222431122(1)k k k λλ-⎛⎫ ⎪+ ⎪+⎝⎭=+，整理得22(1)161312k λλ+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为232k >，所以2161643332k <<+，所以116423λλ<++<，解得133λ<<．又因为01λ<<，所以113λ<<．又当直线GH 斜率不存在，方程为11033x FG FH λ===，，，所以113λ<，即所求λ的取值范围是)113⎡⎢⎣，． 10．已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点(20)M ，的直线与椭圆C 相交于两点A B ，，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=(O 为坐标原点)，当25||3PA PB -<t 取值范围．解：(1)由题意知c e a =，所以22222212c a b e a a -===，即222a b =，所以2221a b ==，．故椭圆C 的方程为2212x y +=． (2)由题意知直线AB 的斜率存在．设AB ：()2y k x =-，()()1122()x y B x A y P x y ，，，，，，由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2222128820k x k x k +-+-=， ()()42221644218202k k k k ∆=-+-><，，221212228821212k k x x x x k k -+=⋅=++，．因为OA OB tOP +=，所以()()212121228()12x x k x x y y t x y x t t k +++===+，，，，()()1212214412y y k y k x x k t t t k +-==+-=⎡⎤⎣⎦+，因为点P 在椭圆上，所以()()()2222222228(4)221212k k tk t k-+=++，所以()2221612k t k =+．因为25||3PA PB-<12x -<，所以()()22121220149k x x x x ⎡⎤++-⋅<⎣⎦，所以()()4222226482201491212k k k k k ⎡⎤-⎢⎥+-⋅<⎢⎥++⎣⎦，所以()()224114130k k -+>，所以214k >，所以21142k <<，因为()2221612k t k=+，所以222216881212k t k k==-++，所以2t -<<2t <<，所以实数t取值范围为(()26223-，，．椭圆中的最值问题一、常见基本题型： (1)利用基本不等式求最值，11．已知椭圆两焦点12F F ，在y轴上，短轴长为，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点，求PAB ∆面积的最大值．解：设椭圆方程为22221y x ab+=，由题意可得2a b c ===，故椭圆方程为22142y x += 设AB 的直线方程：y m =+．由22124y m y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，，得22440xm ++-=，由()22)1640m ∆=-->，得m -<< P 到AB 的距离为d =则1||2PAB S AB d ∆=⋅=，)(2188m -=当且仅当2(m =±∈-取等号，所以三角形P AB ． (2)利用函数求最值，12．如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且2DM DP =．当点P 在圆221x y +=上运动时． (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点(0)T t ，作圆221x y +=的切线l 交曲线C 于A B ，两点，求AOB ∆面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．解：(1)设点M 的坐标为()x y ，，点P 的坐标为00()x y ，，则002x x y y ==，，所以002yx x y ==，，① 因为00()P x y ，在圆221x y +=上，所以22001x y +=② 将①代入②，得点M 的轨方程C 的方程2214y x +=． (2)由题意知，||1t ．当1t =时，切线l 的方程为1y =，点A B ，的坐标分别为()()331122-，，，，此时3AB =；当1t =-时，同理可得3AB =；当||1t >时，设切线l 的方程为y kx m k =+∈R ，，由2214y kx t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2224240k x ktx t +++-=③设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，，则由③得： 21212222444kt t x x x x k k -+=-=++，．又由l 与圆221x y +=相切，得2||11t k =+，即221t k =+．所以()()()()()222222212122224443||4||1434t t k t AB x x y y k k t k ⎡⎤-⎢⎥=-+-=+-=⎢⎥+++⎣⎦．因为243||43||233||||t AB t t t ==++，且当3t =±时， 2AB =，所以AB 的最大值为2，依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆221x y +=的半径，所以AOB ∆面积1112S AB =⨯，当且仅当3t =±时，AOB ∆面积S 的最大值为1，相应的T 的坐标为(03)-，或(03)，．13．已知椭圆G ：2214x y +=．过点(0)m ，作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A B ，两点．将AB 表示为m的函数，并求AB 的最大值．解：由题意知，||1m ．当1m =时，切线l 的方程为1x =，点A B ，的坐标分别为((11，，，此时AB =；当1m =-时，同理可得AB =；当||1m >时，设切线l 的方程为()y k x m =-．由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()22222148440k x k mx k m +-+-=．设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，，又由l 与圆221x y +=1=，即2221m k k =+．所以AB ===由于当1m =±时，AB23||||AB m m==+，当且当m =时，2AB =．所以AB 的最大值为2．【练习题】1．已知A B C ，，是椭圆m ：22221(0)y x a ba b+=>>上的三点，其中点A 的坐标为0)，BC 过椭圆m 的中心，且0||2||AC BC BC AC ⋅==，． (1)求椭圆m 的方程；(2)过点(0 )M t ，的直线l (斜率存在时)与椭圆m 交于两点P Q ，，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||DP DQ =，求实数t 的取值范围．2．已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(10)N ，，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP上，且满足20NP NQ GQ NP =⋅=，． (1)若104m n r =-==，，，求点G 的轨迹C 的方程；(2)若动圆M 和(1)中所求轨迹C 相交于不同两点A B ，，是否存在一组正实数m n r ，，，使得直线MN 垂直平分线段AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．3．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线：y kx m，不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的，两点(A B=+与椭圆C相交于A B右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．4．如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点1M，，平行于OM(2)的直线l在y轴上的截距为(0)，两个不同点．m m≠，l交椭圆于A B(1)求椭圆的方程；(2)求m的取值范围；(3)求证直线MA MB，与x轴始终围成一个等腰三角形．。

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