福建省泉州第一中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(文科)试题
福建省泉州第一中学2013-2014学年高二上学期期中考试数学(文)试题
（时间120分钟 满分150分） 命题：胡积谋 审核：刘水明一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有．．．．．．．．．．．．．．．一项是符合题目要求的．．．．．．．．．．,． 把答案填在答题．．．．．．．卷．相应位置．．．．． 1．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）A.R x p ∈∀⌝0:，1sin 0≥xB. :p x ⌝∀∈R ，sin 1x >C. :p x ⌝∃∉R ，sin 1x > Ｄ.R x p ∈∃⌝0:，1sin 0>x2.等差数列{}n a 中,15410,7a a a +==,则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43.若条件,30: =A p ,21sin :=A q 条件则p 为q 的（ ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 4.如图，在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上找一点M ，则AM AC <的概率为（ ）A ．22 B ．43 C ．32 D ．215.下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若0xy =，则0x =”的否命题为：“若0xy =，则0x ≠B ．命题“矩形是平行四边形”的否定为真命题;C ．命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题为真命题D ．命题“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题为真命题6.若椭圆2211625x y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（ ） A ．2B ．7C ． 5D ．37.数列{}n a 的通项公式是)1(1+=n n a n ，若其前n 项的和为1011，则项数n 为（ ）A ．12B ．11C ．10D ．98.如图所示的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ） A ．c x > B ．x c > C ．b c > D ．c b > 9.已知 0,0>>y x 且1=+y x 则yx 94+的最小值为（ ） A.6 B.12 C.25 D.3610．椭圆1322=+y x 被直线01=+-y x 所截得的弦长AB ＝（ ）A.23D. 111．已知F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点, P 是椭圆上的一点, PF x ⊥轴, //OP AB (O 为原点), 则该椭圆的离心率是（ ） A12．在数列{}n a 中，如果存在常数T ()T N +∈，使得n T n a a +=对于任意正整数n 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期. 已知周期数列{}n x 满足21||()n n n x x x n N *++=-∈，若121, (1,0)x x a a a ==≤≠，当数列{}n x 的周期为3时，则数列{}n x 的前2015项的和2015S 为（ ）A ．1344B ．1343C ．1342D ． 1341二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题．．．．．．．卷．相应位置．．．．． 13.函数()221)(>-+=x x x x f 的最小值为________. 14.大小、形状相同的白、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取 2次，则摸取的2个球均为白色球的概率是_______. 15.如右图算法输出的结果是_______.16.椭圆1273622=+y x ，过右焦点F 作不垂直于x 轴的弦交椭圆于A 、B 两点，AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则:NF AB 等于_______.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．, 把答．．案填在答题．．．．．卷．相应位置．．．．． 17．（本小题满分12分）（Ⅰ）命题“2000,390x x ax ∃∈-+<R ”为假命题，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若“2280x x +-<”是“0x m ->”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18. （本小题满分12分）（Ⅰ）若椭圆上任一点到两个焦点(－2，0)，(2，0)的距离之和为6,求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若椭圆过(2,0)，离心率为32，求椭圆的标准方程.19．（本小题满分12分）已知命题:p 点(-2,1)和点(1,1)在直线023=--a y x 的同侧, 命题q ：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+002y x y x 所对应的区域中的()y x ,满足x y a -=,（Ⅰ）若命题p 与命题q 均为真命题，分别求出各自所对应的实数a 的取值范围； （Ⅱ）若p 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围.20. （本小题满分12分）若两集合[]0,3A =,[]0,3B =， 分别从集合A B 、中各任取一个元素m 、n ，即满足m A ∈，n B ∈，记为),(n m ，（Ⅰ）若m ∈Z ，n ∈Z ，写出所有的),(n m 的取值情况，并求事件“方程11122=+++n y m x 所对应的曲线表示焦点在x 轴上的椭圆”的概率；（Ⅱ）求事件“方程11122=+++n y m x 所对应的曲线表示焦点在x 轴上的椭圆，且长轴长大于倍”的概率. 21.（本小题满分12分）已知二次函数2()f x x ax c =++，满足不等式()0<x f 的解集是（-2，0），（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若点1(,)n n a a +)(*N n ∈在函数()f x 的图象上，且991=a ，令)1lg(n n a b +=，（ⅰ）求证：数列{}n b 为等比数列；（ⅱ）令n n c nb =，数列{}n c 的前n 项和为n S ，是否存在正实数k 使得不等式222-+>+n n n b S b kn 对任意*N n ∈的恒成立? 若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．22.（本小题满分14分）如图，点F 是椭圆W ：)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点，A 、B 分别是椭圆的右顶点与上顶点，椭圆的离心率为21，三角形ABF ，（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）对于x 轴上的点()0,t P ，椭圆W 上存在点Q ，使得AQ PQ ⊥，求实数t 的取值范围； (Ⅲ)直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆W 交于不同的两点M 、N (M 、N 异于椭圆的左右顶点)，若以MN 为直径的圆过椭圆W 的右顶点A ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.解：（Ⅰ）若2000,390x x ax ∃∈-+<R ，则29360a ∆=->，即22或a a ><-，因此该命题为假命题时，得22a -≤≤；………………………………………6分（Ⅱ）由2280x x +-<得42x -<<，另由0x m ->即x m >，“2280x x +-<”是“0x m ->”的充分不必要条件，4m ∴≤-.…………………………………………………………………………12分当椭圆焦点在x 轴上时，2a =，21b ∴=，∴所求椭圆方程为2214x y +=；…………10分当椭圆焦点在y 轴上时，2b =，216a ∴=，∴所求椭圆方程为221416x y += (12)分（Ⅱ）若p 为真命题，p 且q 为假命题，则p 真q 假，即8122a a a a <->⎧⎨<->⎩或或，即82a a <->或.……12分20. （本小题满分12分）若两集合[]0,3A =,[]0,3B =， 分别从集合A B 、中各任取一个元素m 、n ，即满足m A ∈，n B ∈， 记为),(n m ，（Ⅰ）若m ∈Z ，n ∈Z ，写出所有的),(n m 的取值情况，并求事件“方程11122=+++n y m x 所对应的曲线表示焦点在x 轴上的椭圆”的概率；（Ⅱ）求事件“方程11122=+++n y m x 所对应的曲线表示焦点在x 轴上的椭圆，且长轴长大于倍”的概率.解：（Ⅰ）由题知所有的),(n m 的取值情况为：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共16种，………………2分若方程11122=+++n y m x 所对应的曲线表示焦点在x 轴上的椭圆，则11m n +>+，即m n >，对应的),(n m 的取值情况为：(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)共6种，………………4分 该事件概率为63168P ==；………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由题知03m ≤≤，03n ≤≤，椭圆长轴为，短轴为，……………………… 8分由>，得21m n >+，如图所示，…………………10分该事件概率为12112339P ⨯⨯==⨯.………………………12分21.（本小题满分12分）已知二次函数2()f x x ax c =++，满足不等式()0<x f 的解集是(2,0)-，（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若点1(,)n n a a +)(*N n ∈在函数()f x 的图象上，且991=a ，令)1lg(n n a b +=，（ⅰ）求证：数列{}n b 为等比数列；（ⅱ）令n n c nb =，数列{}n c 的前n 项和为n S ，是否存在正实数k 使得不等式222-+>+n n n b S b kn 对任意*N n ∈的恒成立? 若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）不等式()0<x f 的解集是(2,0)- ， 由韦达定理得2020a c -+=-⎧⎨-⋅=⎩，即2a c =⎧⎨=⎩， (2)分2()2f x x x ∴=+； (3)分 （Ⅱ）点1(,)n n a a +)(*N n ∈在函数()f x 的图象上，212n n n a a a +∴=+，（ⅰ）221121(1)n n n n a a a a ++=++=+，21lg(1)lg(1)2lg(1)n n n a a a +∴+=+=+，即12n n b b +=∴数列{}n b 为等比数列； ……………………………………………………7分（ⅱ）由（ⅰ）知11lg(1)2b a =+=，公比为2，∴1222n n n b -=⋅=；又2n n n c nb n ==⋅， 1231122232(n 1)22n n n S n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+-⋅+⋅，23121222(n 1)22n n n S n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⋅+⋅，错位相减得：1231122222n n n S n +-=⋅+++⋅⋅⋅⋅⋅+-⋅， 整理得1(n 1)22n n S +=-⋅+，……………………………………………………………………9分 222n n n kn b S b +>+-,即2122(n 1)2222n n n kn ++⋅>-++-，化简整理得222n k n+>对任意*N n ∈的恒成立, ………………………………………10分令222211(n)22n g n n n+==⋅+⋅,只要max (n)k g >, 配方得2111(n)2()22g n =+-,(]10,1n ∈,∴当11n=时max (n)4g =,即4k >.………………………………………12分22.（本小题满分14分）如图，点F 是椭圆W ：)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点，A 、B 分别是椭圆的右顶点与上顶点，椭圆的离心率为21，三角形ABF ，（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）对于x 轴上的点()0,t P ，椭圆W 上存在点Q ，使得AQ PQ ⊥，求实数t 的取值范围； (Ⅲ)直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆W 交于不同的两点M 、N (M 、N 异于椭圆的左右顶点)，若以MN 为直径的圆过椭圆W 的右顶点A ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.解：（Ⅰ）由12c e a ==，即由2a c =，得 b ==，21()2ABF S a c b ∆=+⋅==解得21c =, 2244a c ==,2223b a c =-=,即椭圆W 的方程为22143x y +=；…………3分（Ⅱ）(2,0)A ,()0,t P ,设(,)Q x y ,则22143x y +=,(,)PQ x t y =-,(2,)AQ x y =-,PQ AQ ⊥,2()(2)0x t x y ∴--+=,2()(2)3(1)04x x t x ∴--+-=,………………………5分22x -<<,3(2)04x x t +∴--=,即()62,14x t -=∈--；………………………7分(Ⅲ)联立223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩消y 得:()2223484120k x kmx m +++-=, 设1122(,),(,),M x y N x y()222(8)434(412)0km k m ∆=-+->,即2234m k <+，21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++，…………………………………………………………9分1122(2,),(2,),AM x y AN x y =-=-若以MN 为直径的圆过椭圆W 的右顶点A ，则1212(2)(2)0AM AN x x y y ⋅=--+=，即1212(2)(2)()()0x x k x m kx m --+++=，…………11分 展开整理得：22121212122()4()0x x x x k x x km x x m -++++++=，即22222222412841282()4()()034343434m km m km k km m k k k k----+++-+=++++， 通分化简得2227164034m km k k++=+，即2271640m km k ++=， 分解得(72)(2)0m k m k ++=，得720m k +=或20m k +=，即27km =-或2m k =-，当27k m =-时，直线2()7y kx m k x =+=-，即直线过定点2(,0)7当2m k =-时，直线(2)y kx m k x =+=-，即直线过定点(2,0)，但与右顶点A 重合，舍去，综合知：直线l 过定点，该定点的坐标为2(,0)7.……………………………………………14分。
2014-2015年福建省泉州市安溪八中高二上学期期中数学试卷及解析(文科)
2014-2015学年福建省泉州市安溪八中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）如果a＞b，那么下列不等式一定成立的是（）A．a+c＞b+c B．c﹣a＞c﹣b C．﹣2a＞﹣2b D．a2＞b22．（5分）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）不等式≤0的解集为（）A．B．C．D．4．（5分）已知△ABC中，a=2，，则边b=（）A．B．C．D．35．（5分）已知等差数列{a n}，满足a3+a9=8，则此数列的前11项的和S11=（）A．44 B．33 C．22 D．116．（5分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，若b=2asinB，则A等于（）A．30°或60°B．45°或60°C．60°或120°D．30°或150°7．（5分）已知数列，3，，…，，那么是数列的（）A．第12项 B．第13项 C．第14项 D．第15项8．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．5 B．3 C．7 D．89．（5分）数列{a n}的前n项和，则它的通项公式是（）A．a n=2n+1 B．a n=2n C．a n=3n D．a n=2n+210．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3a9=2a52，a2=2，则a1=（）A．B．C．D．211．（5分）设m、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A．0＜m＜3 B．1＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜612．（5分）如图，矩形A n B n C n D n的一边A n B n在x轴上，另外两个顶点C n，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上．若点B n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N），记+矩形A n B n C n D n的周长为a n，则a2+a3+…+a10=（）A．208 B．216 C．212 D．220二、填空：本大题共4小题，每小题4分，共16分13．（4分）已知若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为．14．（4分）在△ABC中，已知，则C=．15．（4分）在等比数列{a n}中，若，则公比q的值等于．16．（4分）对于m n，且m，n∈N且m，n≥2可以按如下的方式进行“分解”，例如72的“分解”中最小的数是1，最大的数是13．若m3的“分解”中最小的数是651，则m=三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明17．（12分）设不等式x2﹣4x+3＜0的解集为A，不等式x2+x﹣6＞0的解集为B．求A∩B．18．（12分）在△ABC中，已知c=10，A=30°，C=120°，（1）求a；（2）求△ABC的面积．19．（12分）在等比数列{a n}中，a5=162，公比q=3，前n项和S n=242，求首项a 1和项数n．20．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=2，S11=66（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=．求证：{b n}是等比数列，并求其前n项和T n．21．（12分）如图，港口B在港口O正东120海里处，小岛C在港口O北偏东60°方向，港口B的北偏西30°方向上，一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°即OA方向以20海里/小时的速度驶离港口O，一艘快艇从港口B出发，以60海里/小时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，问快艇离港口B后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？22．（14分）已知数列{a n}是等差数列，a1+a2+a3=15，数列{b n}是等比数列，b1b2b3=27．（1）若a1=b2，a4=b3．求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若a1+b1，a2+b2，a3+b3是正整数且成等比数列，求a3的最大值．2014-2015学年福建省泉州市安溪八中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）如果a＞b，那么下列不等式一定成立的是（）A．a+c＞b+c B．c﹣a＞c﹣b C．﹣2a＞﹣2b D．a2＞b2【解答】解：∵a＞b，∴a+c＞b+c，∴A正确．故选：A．2．（5分）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选：B．3．（5分）不等式≤0的解集为（）A．B．C．D．【解答】解：由不等式可得，解得﹣＜x≤1，故不等式的解集为，故选：A．4．（5分）已知△ABC中，a=2，，则边b=（）A．B．C．D．3【解答】解：已知△ABC中，a=2，，则a：b=，∴b=，故选：B．5．（5分）已知等差数列{a n}，满足a3+a9=8，则此数列的前11项的和S11=（）A．44 B．33 C．22 D．11【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a11=a3+a9=8，故S11===44故选：A．6．（5分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，若b=2asinB，则A等于（）A．30°或60°B．45°或60°C．60°或120°D．30°或150°【解答】解：由正弦定理=化简已知的等式b=2asinB得：sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=，∵A为三角形的内角，则A=30°或150°．故选：D．7．（5分）已知数列，3，，…，，那么是数列的（）A．第12项 B．第13项 C．第14项 D．第15项【解答】解：由=5，解之得n=13由此可知5是此数列的第13项．故选：B．8．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．5 B．3 C．7 D．8【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移至过点A（3，﹣2）处时，函数z=3x+y有最大值7．故选：C．9．（5分）数列{a n}的前n项和，则它的通项公式是（）A．a n=2n+1 B．a n=2n C．a n=3n D．a n=2n+2【解答】解：当n=1时，a1==2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）=2n，当n=1时，上式也适合，∴数列{a n}的通项公式为：a n=2n故选：B．10．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3a9=2a52，a2=2，则a1=（）A．B．C．D．2【解答】解：设公比为q＞0，由题意可得=2，a1q=2，解得a1==q，故选：C．11．（5分）设m、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A．0＜m＜3 B．1＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜6【解答】解；由题意可得m、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，且最大边m+2对的钝角为α，则由余弦定理可得cosα==＜0，求得0＜m＜3．再根据任意两边之和大于第三边，可得m+m+1＞m+2，∴m＞1．综上可得1＜m＜3，故选：B．12．（5分）如图，矩形A n B n C n D n的一边A n B n在x轴上，另外两个顶点C n，D n在），记函数f（x）=x+（x＞0）的图象上．若点B n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+矩形A n B n C n D n的周长为a n，则a2+a3+…+a10=（）A．208 B．216 C．212 D．220），顶点C n，D n在函数f（x）【解答】解：∵点B n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+=x+（x＞0）的图象上，∴C n（n，n+）；依题意知，D n（，n+）；∴|A n B n|=n﹣（n≥2，n∈N+），∴a n=2（n﹣）+2（n+）=4n．﹣a n=4，又a1=4，∴a n+1∴数列{a n}是首项为4，公差为4的等差数列，∴a2+a3+…+a10===216．故选：B．二、填空：本大题共4小题，每小题4分，共16分13．（4分）已知若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为．【解答】解：∵a=1，c=2，B=60°，∴由面积正弦定理公式，得△ABC的面积为S=acsinB=×1×2×sin60°=故答案为：14．（4分）在△ABC中，已知，则C=45°．【解答】解：∵∴根据余弦定理得：cosC=，又C为三角形的内角，则∠C=45°．故答案为：45°．15．（4分）在等比数列{a n}中，若，则公比q的值等于﹣或1．【解答】解：等比数列{a n}中，∵，∴=，∴，即2q2﹣q﹣1=0，解得或q=1．故答案为：﹣或1．16．（4分）对于m n，且m，n∈N且m，n≥2可以按如下的方式进行“分解”，例如72的“分解”中最小的数是1，最大的数是13．若m3的“分解”中最小的数是651，则m=26【解答】解：由题意，m2﹣（m﹣1）=651，∴m=26或﹣25（负数舍去），即m=26．故答案为：26．三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明17．（12分）设不等式x2﹣4x+3＜0的解集为A，不等式x2+x﹣6＞0的解集为B．求A∩B．【解答】解：由已知A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|x2+x﹣6＞0}=（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞），所以A∩B=（2，3）．18．（12分）在△ABC中，已知c=10，A=30°，C=120°，（1）求a；（2）求△ABC的面积．【解答】解：∵在△ABC中，已知c=10，A=30°，C=120°，由正弦定理可得a===，△ABC的面积S=ac•sinB==．19．（12分）在等比数列{a n}中，a5=162，公比q=3，前n项和S n=242，求首项a1和项数n．【解答】解：由已知，得解得a 1=2．将a1=2代入可得即3n=243，解得n=5．∴数列{a n}的首项a1=2，项数n=5．20．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=2，S11=66（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=．求证：{b n}是等比数列，并求其前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=a1+d=2，，解得a1=1，d=1，∴a n=n；（2）由（1）可知，a n=n，又b n=，∴，∴=，∴数列{b n}是以为首项，为公比的等比数列，∴数列{b n}的前n项和．21．（12分）如图，港口B在港口O正东120海里处，小岛C在港口O北偏东60°方向，港口B的北偏西30°方向上，一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°即OA方向以20海里/小时的速度驶离港口O，一艘快艇从港口B出发，以60海里/小时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，问快艇离港口B后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？【解答】解：设快艇驶离港口B后，最少要经过x小时，在OA上的点D处与考察船相遇：如图，连接CD，则快艇沿线段BC，CD航行，在△OBC中，∠BOC=30°，∠CBO=60°∴∠BCO=90°，又BO=120，∴BC=60，OC=60，故快艇从港口B到小岛C需要1小时，在△OCD中，∠COD=30°，OD=20x，CD=60（x﹣2），由余弦定理知CD2=OD2+OC2﹣2OD•OCcos∠COD，∴602（x﹣2）2=（20x）2+（60）2﹣2•20x•60cos30°，解得x=3或x=，∵x＞1，∴x=3．故快艇驶离港口B后，最少要经过3小时才能和考察船相遇．22．（14分）已知数列{a n}是等差数列，a1+a2+a3=15，数列{b n}是等比数列，b1b2b3=27．（1）若a1=b2，a4=b3．求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若a1+b1，a2+b2，a3+b3是正整数且成等比数列，求a3的最大值．【解答】解：（1）由a1+a2+a3=15，b1b2b3=27．可得a2=5，b2=3，所以a1=b2=3，从而等差数列{a n}的公差d=2，所以a n=2n+1，从而b3=a4=9，{b n}的公比q=3所以．…（3分）（2）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，则a1=5﹣d，，a3=5+d，b3=3q．因为a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，所以．设，m，n∈N*，mn=64，则，整理得，d2+（m﹣n）d+5（m+n）﹣80=0．解得（舍去负根）．∵a3=5+d，∴要使得a3最大，即需要d最大，即n﹣m及（m+n﹣10）2取最大值．∵m，n∈N*，mn=64，∴当且仅当n=64且m=1时，n﹣m及（m+n﹣10）2取最大值．从而最大的，所以，最大的…（16分）。
福建省泉州第一中学2014届高三上学期期中考试数学(文)试题(附答案)
（考试时间120分钟，总分150分）命题：王明岚 审题：邱形贵 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（共12小题，每题5分共60分，只有一个选项正确，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．． 1.命题“对任意x R∈,都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x R ∈,使得20x <B ．不存在x R ∈,使得20x <C ．存在0x R ∈,都有200x ≥D ．存在0x R ∈,都有200x <2. 已知集合}21|{},2,1,0{<<-==x x B A ，则A B=（ ）A.}0{B. }1{C. }1,0{D. }2,1,0{3.一个三角形的三个内角A 、B 、C 成等差数列，那么()tan A C +的值是 （ ）A B ． C ． D ．不确定 4．已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既非充分也非必要条件A ．B ．C ．D ．5.在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于 ( )A.3π B.4π C.6π D.12π6．已知向量p ()2,3=-,q (),6x =,且//p q ，则+p q 的值为 ( )AB ．C ． 5D ．137.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下图所示，则导函数y=f '(x)可能为 ( )f(x)8．已知函数1,(0)()0,(0)1,(0)x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设2()()Fx x f x =⋅，则()F x 是 （ ）A. 奇函数，在(,)-∞+∞上单调递减B. 奇函数，在(,)-∞+∞上单调递增C. 偶函数，在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增D. 偶函数，在(,0)-∞上递增，在(0,)+∞上递减9．函数()1()3x f x = 的零点所在的区间为（ ）A. 1(0,)3B.11(,)32C.1(,1)2D.(1,2)10. 已知△ABC 的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为23，则这个三角形的周长是（ ）A.18B.21C.24D.1511．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．8 B C DBCDA12．设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数，'()()f x f x 是的导函数，当[]0,πx ∈时，0()1f x <<；当(0,π)x ∈且π2x ≠时，π('()02x f x -<.则方程()cos f x x =在[]2π,2π-上的根的个数为（ ）A ． 2B ．5C ．8D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相位置． 13．计算：=+-ii21____________. 14.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若425S S =，则公比q =______ 15.如右图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别为线段11,AA B C上的点，则三棱锥1D EDF -的体积为____________.16.已知函数()()3,0,ln 1,0,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩若()()22f x f x ->，则实数x 的取值范围是__________.三、解答题（6题，共74分，要求写出解答过程或者推理步骤）： 17．（本小题满分12分）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且)(232*N n a S n n ∈-=． （Ⅰ）求n a 和n S ；（Ⅱ）若)1(log 3+=n n S b ，求数列}{2n b 的前n 项和n T ．18. （本小题满分12分）如图所示，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ， △PAD 是等腰三角形，M 、N 分别是AB ，PC 的中点， (1) 求直线MN 和AD 所成角 ;(2) 求证：MN ⊥平面PCD.19. （本小题满分12分）已知ABC ∆中,角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,a =向量(1,1)m =-,(cos cos ,sin sin 2n B C B C =- ,且m n ⊥ .(Ⅰ)求A 的大小; (Ⅱ)当7sin cos()12B C π+-取得最大值时,求角B 的大小和ABC ∆的面积.20．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ．（Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ；（Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥；（Ⅲ）求四面体NFEC 体积的最大值．21．（本小题满分12分）若π()sin(2)6f x x ω=-的图像关于直线π3x =对称，其中15(,)22ω∈-.（Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）将()y f x =的图像向左平移π3个单位，再将得到的图像的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到的()y g x =的图像；若函数π() (,3π)2y g x x =∈的图像与y a =的图像有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求a 的值.22．（本小题满分14分） 已知()ln ,f x ax x a =-∈R .（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若()f x 在1x =处有极值，求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 在区间(]0,e 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.ABCDEF三、解答题（6题，共74分，要求写出解答过程或者推理步骤）： 17．（本小题满分12分）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且)(232*N n a S n n ∈-=． （Ⅰ）求n a 和n S ；（Ⅱ）若)1(log 3+=n n S b ，求数列}{2n b 的前n 项和n T ．n n n n n T n +=+=+⋅⋅⋅+++=22)22(2642 -------12分18.如图所示，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ， △PAD 是等腰三角形，M 、N 分别是AB ，PC 的中点， （Ⅰ）求直线MN 和AD 所成角 ;（Ⅱ）求证：MN ⊥平面PCD. 证明：（Ⅰ）取PD 中点E ，连结AE 和NE 因为M 、N 分别是AB ，PC 的中点， △PCD 中，NE//CD//AB,且NE=AM所以四边形AMNE 为平行四边形，所以MN//A Ｅ-------３分 所以直线MN 和AD 所成角即直线ＡＥ和AD 所成角 PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥ＡＤ，△PAD 是等腰三角形 直线ＡＥ和AD 所成角为４５度 -------6分 （Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以面PAD ⊥平面ABCD 且交于AD ， 又因为四边形ABCD 是矩形，所以CD ⊥AD所以CD ⊥平面PAD ,所以CD ⊥AE -------８分 又因为△PAD 是等腰三角形,所以PA=AD ，所以AE ⊥PD 所以AE ⊥面PCD ，又因为 MN//A Ｅ所以MN ⊥平面PCD. -------12分即()cos 2B C +=-,因为A B C π++=,所以cos()cos B C A +=- 所以c o s ,24A A π== -------5分 (2)由3,44A CB ππ==-,故73sin cos()sin cos()sin )12626B C B B B B B πππ+-=+-=+=+由3(0,)4B π∈,cos()4B C π-+最大值时,3B π= -------9分 由正弦定理,2sin sin a bA B==,得b =故1sin sin()243ab C ππ=+=-------12分 20．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ．（Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ；（Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体NFEC 体积的最大值．20. （Ⅰ）证明：因为四边形MNEF ，EFDC 都是矩形， 所以 MN ∥EF ∥CD ，MN EF CD ==． 所以 四边形MNCD 是平行四边形，……………2分 所以 NC ∥MD ， ………………3分 因为 NC ⊄平面MFD ，所以 NC ∥平面MFD ．4分 （Ⅱ）证明：连接ED ，设ED FC O = ．因为平面⊥MNEF 平面ECDF ，且EF NE ⊥， 所以 ⊥NE 平面ECDF …5分 所以 FC NE ⊥．又 EC CD =， 所以四边形ECDF 为正方形，所以 FC ED ⊥． 所以 ⊥FC 平面NED ， 所以 FC ND ⊥． …………8分 （Ⅲ）解：设x NE =，则x EC -=4，其中04x <<．由（Ⅰ）得⊥NE 平面FEC ， 所以四面体NFEC 的体积为11(4)32NFEC EFC V S NE x x ∆=⋅=-． 所以 21(4)[]222NFEC x x V +-≤=． ABCDEF当且仅当x x -=4，即2=x 时，四面体NFEC 的体积最大． …………12分 21．（本小题满分12分）若π()sin(2)6f x x ω=-的图像关于直线π3x =对称，其中15(,)22ω∈-.（Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）将()y f x =的图像向左平移π3个单位，再将得到的图像的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到的()y g x =的图像；若函数π() (,3π)2y g x x =∈的图像与y a =的图像有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求a 的值.21.解：（Ⅰ）∵()f x 的图像关于直线π3x =对称， ∴πππ2,362k k ωπ-=+∈Z ，解得312k ω=+，∵15(,),22ω∈-∴1351222k -<+<，∴11(),k k -<<∈Z ∴0,1k ω==∴π()sin(2)6f x x =- (5)分（Ⅱ）将π()sin(2)6f x x =-和图像向左平移π3个单位后,得到ππ()sin[2()]36f x x =+-πsin(2)cos22x x =+=,再将得到的图像的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)后,得到()cos y g x x ==………………………………………………………………………………………9分函数π()c o s ,(,3π)2y g x x x ==∈的图像与y a =的图像有三个交点坐标分别为123(,),(,),(,)x a x a x a 123π3π2x x x <<<<且, 则由已知结合图像的对称性,有22131223π22π2x x x x x x x ⎧⎪=⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩,……………………………………………………11分解得24π3x = ∴4π1cos 32a ==-…………………………………………………………………………………12分22．（本小题满分14分） 已知()ln ,f x ax x a =-∈R .（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若()f x 在1x =处有极值，求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 在区间(]0,e 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.22.解:（Ⅰ）由已知得()f x 的定义域为(0,)+∞，因为()ln f x ax x =-，所以1'()f x a x =-当2a =时，()2ln f x x x =-，所以(1)2f =， 因为1'()2f x x=-，所以1'(1)211f =-=……………………………………………………………2分 所以曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为2'(1)(1),10y f x x y -=--+=即.……………………………………………………………………4分（Ⅱ）因为()1f x x =在处有极值，所以'(1)0f =， 由（Ⅰ）知'(1)1,f a =-所以1a = 经检验，1()1a f x x ==时在处有极值. ………………………………………………………………6分 所以1()ln ,'()10,f x x x f x x=-=->令解得10x x ><或； 因为()f x 的定义哉为(0,)+∞，所以'()0f x >的解集为(1,)+∞，即()f x 的单调递增区间为(1,)+∞.…………………………………………………………………8分（Ⅲ）假设存在实数a ，使()ln ((0,e] )f x ax x x =-∈有最小值3，①当0a ≤时，因为(0,e],'()0x f x ∈<所以， 所以()f x 在(0,e]上单调递减，min ()(e)e 13f x f a ==-=，解得4ea =（舍去）…………………………………………………10分 ②当110e ()(0,)f x a a <<时,在上单调递减，在1(,e]a上单调递增， 2min 1()()1ln 3,e f x f a a a==+==解得，满足条件. ………………………………………………12分 ③当1e ,(0,e],'()0x f x a≥∈<时因为所以， 所以 ()(0,e]f x 在上单调递减，min ()()13f x f e ae ==-=， 解得4ea =，舍去. 综上，存在实数2e a =，使得当(0,],()x e f x ∈时有最小值3. …………………………………14分。
福建省泉州第一中学2014届高三上学期期中考试数学(文)试题(含答案)
泉州第一中学2014届高三上学期期中考试数学（文）试题（考试时间120分钟，总分150分）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（共12小题，每题5分共60分，只有一个选项正确，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．1.命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为 （ ）A ．对任意x R ∈,使得20x <B ．不存在x R ∈,使得20x <C ．存在0x R ∈,都有200x ≥D ．存在0x R ∈,都有200x <2. 已知集合}21|{},2,1,0{<<-==x x B A ，则AB = （ ） A.}0{B. }1{C. }1,0{D. }2,1,0{3.一个三角形的三个内角A 、B 、C 成等差数列，那么()tan AC +的值是 （ ）AB．C ．D ．不确定 4．已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的 ( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件A ．B ．C ．D ．5.在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于 ( )A.3π B.4π C.6π D.12π6．已知向量p ()2,3=-,q (),6x =,且//p q ，则+p q 的值为 ( )AB ．C ． 5D ．137.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下图所示，则导函数y=f '(x)可能为 ( )f(x)8．已知函数1,(0)()0,(0)1,(0)x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设2()()F x x f x =⋅，则()F x 是 （ ）A. 奇函数，在(,)-∞+∞上单调递减B. 奇函数，在(,)-∞+∞上单调递增C. 偶函数，在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增D. 偶函数，在(,0)-∞上递增，在(0,)+∞上递减9．函数()1()3x f x =-的零点所在的区间为 （ ）A. 1(0,)3 B.11(,)32C.1(,1)2D.(1,2)10. 已知△ABC 的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为23，则这个三角形的周长是（ ）A .18B .21C .24D .1511．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．8 B12．设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数，'()()f x f x 是的导函数，当[]0,πx ∈时，0()1f x <<；当(0,π)x ∈且π2x ≠时，π()'()02x f x -<.则方程()cos f x x =在[]2π,2π-上的根的个数为（ ）A ． 2B ．5C ．8D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相位置． 13．计算：=+-ii21____________. 14.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若425S S =，则公比q =______ 15.如右图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别为线段11,AA B C上的点，则三棱锥1D EDF -的体积为____________.16.已知函数()()3,0,ln 1,0,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩若()()22f x f x ->，则实数x 的取值范围是__________.三、解答题（6题，共74分，要求写出解答过程或者推理步骤）： 17．（本小题满分12分）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且)(232*N n a S n n ∈-=． （Ⅰ）求n a 和n S ；（Ⅱ）若)1(log 3+=n n S b ，求数列}{2n b 的前n 项和n T ．18. （本小题满分12分）如图所示，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，△PAD 是等腰三角形，M 、N 分别是AB ，PC 的中点， (1) 求直线MN 和AD 所成角 ;(2) 求证：MN ⊥平面PCD.19. （本小题满分12分）已知ABC ∆中,角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,a =,向量(1,1)m =-,(cos cos ,sin sin n B C B C =,且m n ⊥. (Ⅰ)求A 的大小; (Ⅱ)当7sin cos()12B C π+-取得最大值时,求角B 的大小和ABC ∆的面积.20．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ． （Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ；（Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体NFEC 体积的最大值．21．（本小题满分12分）若π()sin(2)6f x x ω=-的图像关于直线π3x =对称，其中15(,)22ω∈-.（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =的图像向左平移π3个单位，再将得到的图像的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到的()y g x =的图像；若函数π() (,3π)2y g x x =∈的图像与y a =的图像有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求a 的值.A BCDEF22．（本小题满分14分） 已知()ln ,f x ax x a =-∈R .（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若()f x 在1x =处有极值，求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 在区间(]0,e 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.三、解答题（6题，共74分，要求写出解答过程或者推理步骤）： 17．（本小题满分12分） 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且)(232*N n a S n n ∈-=． （Ⅰ）求n a 和n S ；（Ⅱ）若)1(log 3+=n n S b ，求数列}{2n b 的前n 项和n T ．n n n n n T n +=+=+⋅⋅⋅+++=22)22(2642 -------12分 18.如图所示，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ， △PAD 是等腰三角形，M 、N 分别是AB ，PC 的中点，（Ⅰ）求直线MN 和AD 所成角 ;（Ⅱ）求证：MN ⊥平面PCD. 证明：（Ⅰ）取PD 中点E ，连结AE 和NE 因为M 、N 分别是AB ，PC 的中点， △PCD 中，NE//CD//AB,且NE=AM所以四边形AMNE 为平行四边形，所以MN//A Ｅ-------３分 所以直线MN 和AD 所成角即直线ＡＥ和AD 所成角 PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥ＡＤ，△PAD 是等腰三角形直线ＡＥ和AD 所成角为４５度 -------6分 （Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以面PAD ⊥平面ABCD 且交于AD ，又因为四边形ABCD 是矩形，所以CD ⊥AD所以CD ⊥平面PAD ,所以CD ⊥AE -------８分 又因为△PAD 是等腰三角形,所以PA=AD ，所以AE ⊥PD 所以AE ⊥面PCD ，又因为 MN//A Ｅ所以MN ⊥平面PCD. -------12分即()cos B C +=,因为A B C π++=,所以cos()cos B C A +=- 所以cos 4A A π== -------5分 (2)由3,44A CB ππ==-,故73sin cos()sin cos()sin )12626B C B B B B B πππ+-=+-=+=+ 由3(0,)4B π∈,cos()4B C π-+最大值时,3B π= -------9分 由正弦定理,2sin sin a bA B==,得b =故1sin sin()243ab C ππ=+=-------12分 20．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ． （Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ；（Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体NFEC 体积的最大值．ADF20. （Ⅰ）证明：因为四边形MNEF ，EFDC 都是矩形， 所以 MN ∥EF ∥CD ，MN EF CD ==．所以 四边形MNCD 是平行四边形，……………2分所以 NC ∥MD ， ………………3分 因为 NC ⊄平面MFD ，所以 NC ∥平面MFD ．4分（Ⅱ）证明：连接ED ，设ED FC O =．因为平面⊥MNEF 平面ECDF ，且EF NE ⊥， 所以 ⊥NE 平面ECDF …5分 所以 FC NE ⊥．又 EC CD =， 所以四边形ECDF 为正方形，所以 FC ED ⊥． 所以 ⊥FC 平面NED ， 所以 FC ND ⊥． …………8分 （Ⅲ）解：设x NE =，则x EC -=4，其中04x <<．由（Ⅰ）得⊥NE 平面FEC ， 所以四面体NFEC 的体积为11(4)32NFEC EFC V S NE x x ∆=⋅=-． 所以 21(4)[]222NFEC x x V +-≤=． 当且仅当x x -=4，即2=x 时，四面体NFEC 的体积最大． …………12分 21．（本小题满分12分）若π()sin(2)6f x x ω=-的图像关于直线π3x =对称，其中15(,)22ω∈-.（Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）将()y f x =的图像向左平移π3个单位，再将得到的图像的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到的()y g x =的图像；若函数π() (,3π)2y g x x =∈的图像与y a =的图像有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求a 的值.21.解：（Ⅰ）∵()f x 的图像关于直线π3x =对称， ∴πππ2,362k k ωπ-=+∈Z ，解得312k ω=+， ∵15(,),22ω∈-∴1351222k -<+<，∴11(),k k -<<∈Z ∴0,1k ω==∴π()sin(2)6f x x =-…………………………………………………………………………………5分（Ⅱ）将π()sin(2)6f x x =-和图像向左平移π3个单位后,得到ππ()sin[2()]36f x x =+-πsin(2)cos 22x x =+=,再将得到的图像的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)后,得到()cos y g x x ==………………………………………………………………………………………9分 函数π()cos ,(,3π)2y g x x x ==∈的图像与y a =的图像有三个交点坐标分别为123(,),(,),(,)x a x a x a123π3π2x x x <<<<且, 则由已知结合图像的对称性,有22131223π22π2x x x x xx x ⎧⎪=⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩,……………………………………………………11分解得24π3x = ∴4π1cos32a ==-…………………………………………………………………………………12分 22．（本小题满分14分） 已知()ln ,f x ax x a =-∈R .（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若()f x 在1x =处有极值，求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 在区间(]0,e 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.22.解:（Ⅰ）由已知得()f x 的定义域为(0,)+∞， 因为()ln f x ax x =-，所以1'()f x a x=-当2a =时，()2ln f x x x =-，所以(1)2f =，因为1'()2f x x =-，所以1'(1)211f =-=……………………………………………………………2分 所以曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为2'(1)(1),10y f x x y -=--+=即.……………………………………………………………………4分（Ⅱ）因为()1f x x =在处有极值，所以'(1)0f =， 由（Ⅰ）知'(1)1,f a =-所以1a =经检验，1()1a f x x ==时在处有极值. ………………………………………………………………6分所以1()ln ,'()10,f x x x f x x=-=->令解得10x x ><或； 因为()f x 的定义哉为(0,)+∞，所以'()0f x >的解集为(1,)+∞，即()f x 的单调递增区间为(1,)+∞.…………………………………………………………………8分 （Ⅲ）假设存在实数a ，使()ln ((0,e] )f x ax x x =-∈有最小值3， ①当0a ≤时，因为(0,e],'()0x f x ∈<所以， 所以()f x 在(0,e]上单调递减， min ()(e)e 13f x f a ==-=，解得4ea =（舍去）…………………………………………………10分 ②当110e ()(0,)f x a a <<时,在上单调递减，在1(,e]a上单调递增， 2min 1()()1ln 3,e f x f a a a==+==解得，满足条件. ………………………………………………12分③当1e ,(0,e],'()0xf x a≥∈<时因为所以， 所以 ()(0,e]f x 在上单调递减，min ()()13f x f e ae ==-=， 解得4ea =，舍去. 综上，存在实数2e a =，使得当(0,],()x e f x ∈时有 最小值3. …………………………………14分。
2014-2015年福建省泉州市晋江市养正中学高二上学期数学期中试卷及参考答案
2014-2015学年福建省泉州市晋江市养正中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分共60分）1．（5分）命题“任意x∈R，都有x2+x+1＞0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2+x+1≤0 B．不存在x∈R，都有x2+x+1≤0C．存在x0∈R，使得x02+x0+1＞0 D．存在x0∈R，使得x02+x0+1≤02．（5分）为了了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔（抽样距）K为（）A．40 B．30 C．20 D．123．（5分）某人有5把钥匙，其中2把能打开门，现随机取1把钥匙试着开门，不能开门就扔掉，现采用随机模拟的方法估计第三次才能打开门的概率：先由计算器产生1～5之间的整数随机数，1，2表示能打开门，3，4，5表示打不开门，再以每三个数一组，代表三次开门的结果，经随机模拟产生了20组随机数，453，254，341，134，543，523，452，324，534，435，535，314，245，531，351，354，345，413，425，553据此估计，该人第三次才打开门的概率（）A．0.2 B．0.25 C．0.15 D．0.354．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，a5=4a3，则的值为（）A．B．C．2 D．±5．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=﹣x，则它的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A．B．3 C．D．8．（5分）某选手参加演讲比赛的一次评委打分如茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．86.5，1.5 B．86.5，1.2 C．86，1.5 D．86，1.29．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．﹣3 B．﹣ C．D．210．（5分）若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，以原点O为圆心，OF1为半径的圆与椭圆在y轴左侧交于A，B两点，若△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率等于（）A．﹣1或+1 B．﹣1 C．+1 D．2﹣12．（5分）判断下列命题真假，真命题个数有（）个①命题“若x=1，则x2+x﹣2=0”的否命题为“若x=1，则x2+x﹣2≠0”；②设命题p：∃x0∈（0，∞），log2x0＜log3x0，命题q：∀x∈（0，），tanx＞sinx，则p∧q为真命题；③设a，b∈R，那么“ab+1＞a+b”是“a2+b2＜1”的必要不充分条件．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”是真命题，则实数a的取值范围为．14．（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=．15．（5分）如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x轴上，且a﹣c=，那么椭圆的方程是．16．（5分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为=﹣20x+．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为．三、解答题（共70分）17．（10分）若a＞0，设命题p：{x|x2﹣4ax+3a2≥0}，命题q：{x|x2﹣x﹣6≥0，且x2+2x﹣8＜0}（1）如果a=1，且p∧q为真时，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件时，求实数a的取值范围．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S6=36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）某校高三年级一次数学考试之后，为了解学生的数学学习情况，随机抽取n名学生的数学成绩，制成如表所示的频率分布表．（1）求a，b，n的值；（2）若从第三，四，五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C的大小；（2）求的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．21．（12分）在平面直角坐标系中，点A（1，0）、B（﹣1，0），已知|CA|=2，BC的垂直平分线l交AC于D，当点C动点时，D点的轨迹图形设为E．（1）求E的标准方程；（2）点P为E上一动点，点O为坐标原点，曲线E的右焦点为F，求|PO|2+|PF|2的最小值．22．（12分）椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），F1，F2分别是它的左、右焦点，已知椭圆C过点（0，1），且离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设椭圆的左、右顶点分别为A、B，直线l的方程为x=4，P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交直线l于D、E两点，求证•为一定值，并求出这一定值；（3）是否存在过点Q（1，0）的直线m（与x轴不垂直）与椭圆C交于M、N两点，使⊥，若存在，求出l的斜率，若不存在，请说明理由．2014-2015学年福建省泉州市晋江市养正中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分共60分）1．（5分）命题“任意x∈R，都有x2+x+1＞0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2+x+1≤0 B．不存在x∈R，都有x2+x+1≤0C．存在x0∈R，使得x02+x0+1＞0 D．存在x0∈R，使得x02+x0+1≤0【解答】解：∵命题为全称命题，∴命题的否定是存在x0∈R，使得x02+x0+1≤0，故选：D．2．（5分）为了了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔（抽样距）K为（）A．40 B．30 C．20 D．12【解答】解：抽样距==40．故选：A．3．（5分）某人有5把钥匙，其中2把能打开门，现随机取1把钥匙试着开门，不能开门就扔掉，现采用随机模拟的方法估计第三次才能打开门的概率：先由计算器产生1～5之间的整数随机数，1，2表示能打开门，3，4，5表示打不开门，再以每三个数一组，代表三次开门的结果，经随机模拟产生了20组随机数，453，254，341，134，543，523，452，324，534，435，535，314，245，531，351，354，345，413，425，553据此估计，该人第三次才打开门的概率（）A．0.2 B．0.25 C．0.15 D．0.35【解答】解：该人第三次才打开门，则计算机的模拟数据前两个数字应是3，4，5中的某两个，而第三个数字为1或2，从模拟出现的20个结果看，只有341，452，531，351四种情形，故该人第三次才打开门的概率p==0.2．故选：A．4．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，a5=4a3，则的值为（）A．B．C．2 D．±【解答】解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，a5=4a3，∴q2==4，∴q=2，或q=﹣2（舍），∵===．故选：B．5．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A．6．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=﹣x，则它的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，由一条渐近线为y=﹣x，可得=，即b=a，即有e====．故选：A．7．（5分）已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F 1、F2，点P在椭圆上．若P、F 1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A．B．3 C．D．【解答】解：设椭圆短轴的一个端点为M．由于a=4，b=3，∴c=＜b∴∠F1MF2＜90°，∴只能∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°．令x=±得y2=9=，∴|y|=．即P到x轴的距离为，故选：D．8．（5分）某选手参加演讲比赛的一次评委打分如茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．86.5，1.5 B．86.5，1.2 C．86，1.5 D．86，1.2【解答】解：由已知的茎叶图七位评委打出的分数为：78，85，85，86，86，88，90，去掉一个最高分93和一个最低分78后，所剩数据的平均数==86，方差S2=[（85﹣86）2+（85﹣86）2+（86﹣86）2+（86﹣86）2+（88﹣86）2]=1.2，故选：D．9．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．﹣3 B．﹣ C．D．2【解答】解：由程序框图得：第一次运行S==﹣3，i=2；第二次运行S==﹣，i=3；第三次运行S==，i=4；第四次运行S==2，i=5；第五次运行S==﹣3，i=6，…S的值是成周期变化的，且周期为4，当i=2015时，程序运行了2014次，2014=4×503+2，∴输出S=﹣．故选：B．10．（5分）若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵在区间[0，2]中随机地取一个数，这两个数中较小的数大于的概率为=，故选：C．11．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，以原点O为圆心，OF1为半径的圆与椭圆在y轴左侧交于A，B两点，若△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率等于（）A．﹣1或+1 B．﹣1 C．+1 D．2﹣【解答】解：如图所示，由△F2AB是等边三角形，∴∠AF2F1=30°．在RT△AF1F2中，|AF1|=c，|AF2|=c．∴c+c=2a．可得：=﹣1．故选：B．12．（5分）判断下列命题真假，真命题个数有（）个①命题“若x=1，则x2+x﹣2=0”的否命题为“若x=1，则x2+x﹣2≠0”；②设命题p：∃x0∈（0，∞），log2x0＜log3x0，命题q：∀x∈（0，），tanx＞sinx，则p∧q为真命题；③设a，b∈R，那么“ab+1＞a+b”是“a2+b2＜1”的必要不充分条件．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【解答】解：①命题“若x=1，则x2+x﹣2=0”的否命题为“若x≠1，则x2+x﹣2≠0”；故①错误，②设命题p：∃x0∈（0，∞），log2x0＜log3x0，正确，比如x0=时，不等式成立，命题q：∀x∈（0，），tanx＞sinx等价为＞sinx，即＞1，即0＜cosx＜1，则q为真命题．，则p∧q为真命题；故②正确，③由ab+1＞a+b得ab+1﹣a﹣b＞0，即（a﹣1）（b﹣1）＞0，则a＞1，b＞1或a＜1，b＜1，则a2+b2＜1不一定成立，若a2+b2＜1，则﹣1＜a＜1且﹣1＜b＜1则（a﹣1）（b﹣1）＞0成立，即必要性成立，综上可知：“ab+1＞a+b”是“a2+b2＜1”的必要不充分条件，故③正确，故真命题的个数为2个，故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”是真命题，则实数a的取值范围为[﹣2，2] ．【解答】解：因为命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”是真命题，所以不等式x2+ax+1≥0在x∈R上恒成立．由函数y=x2+ax+1的图象是一条开口向上的抛物线可知，判别式△≤0即a2﹣4≤0⇒﹣2≤a≤2，所以实数a的取值范围是[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．14．（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=．【解答】解：双曲线mx2+y2=1的标准方程为y2﹣=1，虚轴的长是2，实轴长2．由题意知，2=4，∴m=﹣，故答案为﹣．15．（5分）如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x轴上，且a﹣c=，那么椭圆的方程是．【解答】解：如图，由已知的正三角形，可得，联立，解得，∴椭圆的方程是．故答案为：．16．（5分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为=﹣20x+．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为．【解答】解：==8.5，==80∵b=﹣20，a=﹣b，∴a=80+20×8.5=250∴回归直线方程=﹣20x+250；数据（8，90），（8.2，84），（8.4，83），（8.6，80），（8.8，75），（9，68）．当x=8时，∵90=﹣20×8+250，∴点（2，20）在回归直线下方；…如图，6个点中有2个点在直线的下侧．则其这些样本点中任取1点，共有6种不同的取法，其中这两点恰好在回归直线两侧的共有2种不同的取法，故这点恰好在回归直线下方的概率P==．故答案为：．三、解答题（共70分）17．（10分）若a＞0，设命题p：{x|x2﹣4ax+3a2≥0}，命题q：{x|x2﹣x﹣6≥0，且x2+2x﹣8＜0}（1）如果a=1，且p∧q为真时，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件时，求实数a的取值范围．【解答】解：a＞0，设命题p：x2﹣4ax+3a2≥0，解得a＜x＜3a，设A=（a，3a）．命题q：联立，解得﹣4＜x≤﹣2，设B=（﹣4，2]．（1）如果a=1，A=（1，3），∵p∧q为真，∴，解得1＜x≤2．∴实数x的取值范围是（1，2]．（2）若￢p是￢q的充分不必要条件时，则q是p的充分不必要条件．∴，解得．∴实数a的取值范围是．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S6=36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，∵a3=5，S6=36．∴，解得，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）由（1）可得，∴==．19．（12分）某校高三年级一次数学考试之后，为了解学生的数学学习情况，随机抽取n名学生的数学成绩，制成如表所示的频率分布表．（1）求a，b，n的值；（2）若从第三，四，五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率．【解答】解：（1）依题意，得，解得，n=100，a=35，b=0.2（2）因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，则第三、四、五组分别抽取名，名，名．第三组的3名学生记为a1，a2，a3，第四组的2名学生记为b1，b2，第五组的1名学生记为c1，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a1，c1}，{a2，a3}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a2，c1}，{a3，b1}，{a3，b2}，{a3，c1}，{b1，b2}，{b1，c1}，{b2，c 1}．其中第三组的3名学生a1，a2，a3没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{b1，b2}，{b1，c1}，{b2，c1}．故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C的大小；（2）求的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．【解答】解：（1）由csinA=acosC，结合正弦定理得，==，∴sinC=cosC，即tanC=，∵0＜C＜π，∴C=；（2）由（1）知B=﹣A，∴sinA﹣sin（B+）=sinA﹣cosB=sinA﹣cos（﹣A）=sinA﹣cos cosA﹣sin sinA=sinA+cosA=sin（A+），∵0＜A＜，∴＜A+＜，当A+=时，sinA﹣sin（B+）取得最大值1，此时A=，B=．21．（12分）在平面直角坐标系中，点A（1，0）、B（﹣1，0），已知|CA|=2，BC的垂直平分线l交AC于D，当点C动点时，D点的轨迹图形设为E．（1）求E的标准方程；（2）点P为E上一动点，点O为坐标原点，曲线E的右焦点为F，求|PO|2+|PF|2的最小值．【解答】解：（1）设（x，y）∵l是BC的垂直平分线，∴|DB|=|DC|∴|DB|+|DA|=|AC|=2 ＞2=|AB|∴D点的轨迹图形E是A，B为焦点的椭圆其中2a=2 ，c=1，∴a=，b2=a2﹣c2=1∴D点的轨迹图形E：（2）设，则PO2=x2+y2，PF2=（x﹣1）2+y2∴|PO|2+|PF|2=2x2﹣2x+2y2+1点P（x，y）满足，∴2y2=2﹣x2∴|PO|2+|PF|2=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2∵x∈[﹣，]，∴当x=1时，|PO|2+|PF|2的最小值为222．（12分）椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），F1，F2分别是它的左、右焦点，已知椭圆C过点（0，1），且离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设椭圆的左、右顶点分别为A、B，直线l的方程为x=4，P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交直线l于D、E两点，求证•为一定值，并求出这一定值；（3）是否存在过点Q（1，0）的直线m（与x轴不垂直）与椭圆C交于M、N两点，使⊥，若存在，求出l的斜率，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可知，b=1，联立，解得a2=9，c2=8，b2=1．∴椭圆C的方程为；（2）设P（x0，y0），则直线PA、PB的方程分别为y=（x+3），y=（x ﹣3），将x=4分别代入可求得D，E两点的坐标分别为D（4，），E（4，）．由（1），F1（﹣2，0），F2（2，0），∴•=（4+2，）•（4﹣2，）=8+，又∵点P（x0，y0）在椭圆C上，∴，得，∴•=；（3）设过点Q（1，0）的直线m（与x轴不垂直）与椭圆C交于M、N两点，设m：x=ty+1，再设M（x1，y1），N（x2，y2），F1（，0），联立，得（t2+9）y2+2ty﹣8=0．△=4t2+32（t2+9）＞0，，x1+x2=t（y1+y2）+2，∴=，==x2+y1y2==+x==≠0．∴不存在过点Q（1，0）的直线m（与x轴不垂直）与椭圆C交于M、N两点，使⊥．。
福建省泉州第一中学2013-2014学年高二上学期期末考试数学文试题 Word版含答案
泉州一中2013—2014学年度第一学期期末考试高 二 数 学（文科）试卷（时间120分钟 满分150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只．．．．．．．．．．．．．．有一项是符合题目要求的．．．．．．．．．．．,． 把答案填在答题．．．．．．．卷．相应位置．．．．．1. 若命题 ""q p ∨为真， ""p ⌝为真，则（ ）A ．p 真q 真 B. p 假q 假 C. p 真q 假 D. p 假 q 真 2. 函数22()f x x π=的导数是（ ）A. '()4f x x π=B. '()2f x x π=C. '2()2f x x π=D. '22()22f x x x ππ=+3. 函数3314)(x x x f -=的单调递增区是（ ） A.(－∞,-2) B. (2,＋∞) C. (－∞,－2)和(2,＋∞) D. (－2,2)4. 下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题 “若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠” B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C ．命题“∃R x ∈, 使得210x x ++<”的否定是：“∀x R ∈, 均有210x x ++<”D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题5. 函数x ax x x f +-=23)(在1=x 处的切线与直线x y 2=平行，则a ＝（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ． 36.已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率e ＝12，则椭圆的标准方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B ．x 2＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.y 24＋x 23＝17. 一组数据如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）A.11.5和12B.11.5和11.5C.11和11.5D.12和128. 已知双曲线2219x y a -=的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．23y x =± B ．94y x =± C ．32y x =± D ．49y x =±1 7 1 6 4 02 0 9 79. 已知函数21()9ln 2f x x x =-在区间()0,a 上不存在极值点，则a 的最大值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．410. 有人收集了春节期间的平均气温x 与某取暖商品销售额y 的有关数据如下表：^^^^2.4y b x a b =+=-的系数，则预测平均气温为－8℃时该商品销售额为（ ）A ．34．6万元B ．35.6万元C ．36.6万元D ．37.6万元11.已知点A B 、分别为椭圆()222210x y a b a b +=>>的右顶点与上顶点，点M 为线段AB的中点，若30MOA ︒∠=，则椭圆的离心率是（ ）A. 13B. 3 D. 312. 定义方程)()(x f x f '=的实数根0x 叫做函数)(x f 的“新不动点”，则下列函数有且只．．．有一个“新不动点”．．．．．．．．．的函数是（ ） ①221)(x x g = ②x e x g x 2)(--= ③x x g ln )(= ④x x x g cos 2sin )(+=A. ①②B. ②③C. ②④D. ②③④二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题．．．．．．．卷．相应位置．．．．． 13. 在区间[2,2]-任取一个实数，则该数是不等式21x >解的概率为 .14. 执行如图所示的程序框图，若输入4x =，则输出y 的值为________．15. 设12、F F 是椭圆223448x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，满足123sin 5PF F ∠=，12PF F ∆的面积为6，则2PF = _______.16. 已知函数()f x 的定义域为[]15,-，部分对应值如下表， ()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示.下列关于()f x 的命题：①函数()f x 的极大值点为 0与4； ②函数()f x 在[]02,上是减函数；③如果当[]1x ,t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点； ⑤函数()y f x a =-的零点个数可能为0、1、2、3、4个． 其中正确命题的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．, 把．答案填在答题．．．．．．卷．相应位置．．．．． 17.（本小题满分12分）己知命题p ：椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上． （Ⅰ）若椭圆焦距为4，求实数m 的值；（Ⅱ）命题q ：关于x 的不等式220x x m -+>的解集是R ；若“q p ∧” 是假命题，“q p ∨”是真命题，求实数m 的取值范围。
福建省泉州第一中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试题
19． （本小题满分 12 分） 已知复数 z x yi ( x, y R) 在复平面上对应的点为 M . (1)设集合 P {4, 3, 2, 0} ， Q {0,1, 2} ，从集合 P 中随机取一个数作为 x ，从集合 Q 中随机取一个数作 为 y ，写出复数 z 的所有情况，并求复数 z 为纯虚数的概率；
) C. 60o D. 75o
11. F1 、 F2 为椭圆的两个焦点,Q 为椭圆上任一点,从任一焦点向 F1QF2 的顶点 Q 的外角平分线引垂线,垂 足为 P, 则 P 点轨迹是( A.圆 B.椭圆 12.如图, F1 , F2 是椭圆 C1 : ) C.双曲线 D.抛物线
x2 y 2 1 与双曲线 C2 的公共焦点, A, B 分别是 C1 , C2 在第二、四象限的公共点. 4 若四边形 AF1 BF2 为矩形,则 C2 的离心率是( )
福建省泉州第一中学 2014-2015 学年高二上学期期末考试数学（文） 试题第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
一．选择题（共 12 小题，每题 5 分共 60 分，只有一个选项正确，请把答案写在答题卷上） 1．已知命题 p : x R ， 2 x 0 ，则( ) A． p : x R , 2 x 0 B． p : x R , 2 x 0 C． p : x R , 2 x ≤ 0 D． p : x R , 2 x ≤ 0 2. 复数
A． 2 B． 3 C．
3 2
D．
6 2
A F1
y
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二．填空题（共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，请把答案写在答题 上） 13．命题 “若 x y ，则 x y ”的逆否命题是
2 2
2014-2015年福建省泉州市南安一中高二上学期数学期中试卷带答案(文科)
2014-2015学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（文科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）某同学进入高二前，高一年的四次期中、期末测试的数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学数学成绩的平均数是（）A．125 B．126 C．127 D．1282．（5分）样本11、12、13、14、15的方差是（）A．13 B．10 C．2 D．43．（5分）设命题p：函数y=cos2x的最小正周期是命题q：函数y=sinx的图象关于y轴对称，则下列判断正确的是（）A．p∨q为真B．p∧q为假C．P为真D．￢q为假4．（5分）已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A．B．C．D．=0.08x+1.235．（5分）“直线a2x﹣y+6=0与直线4x﹣（a﹣3）y+9=0互相垂直”是“a=﹣1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）下列命题是真命题的是（）A．∃x∈R使得sinxcosx=B．∃x∈（﹣∞，0）使得2x＞1C．∀x∈R恒有sinx＞cosx D．∀x∈（0，π）恒有x2＞x﹣17．（5分）设x，则sinx的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）已知焦点在x轴上的椭圆离心率e=，它的半长轴长等于圆x2+y2﹣2x ﹣3=0的半径，则椭圆的标准方程是（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=19．（5分）从分别写有0、1、2、3、4的五张卡片中取出一张，记下数字后放回，再从中取出一张卡片并记下其数字，则二次取出的卡片上数字之和恰为4的有（）A．5种 B．6种 C．7种 D．8种10．（5分）某同学同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为a、b，则双曲线﹣=1的离心率e的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）若抛物线的顶点在原点，焦点与双曲线﹣=1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是（）A．x2=4y B．y2=4x C．x2=﹣12y D．y2=﹣12x12．（5分）椭圆：+=1上的一点A关于原点的对称点为B，F2为它的右焦点，若AF2⊥BF2，则三角形△AF2B的面积是（）A．B．10 C．6 D．9二．填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）用分层抽样的方法从某校的高中生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年抽取20人，高三年抽取10人，又已知高二年学生有300人，则该校高中生共有人．14．（4分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是．15．（4分）先后抛掷硬币三次，则有且仅有二次正面朝上的概率是．16．（4分）过椭圆：+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，F是椭圆的右焦点，BF⊥x轴于F点，当＜k时，椭圆的离心率e的取值范围是．三．解答题：（本大题共6小题，满分74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个球的直径（单位：mm），将数据进行分组，得到如下频率分布表：（Ⅰ）补充完成频率分布表，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[39.9，40.1）的中点值是40.0）作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值（精确到0.1）．18．（12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（Ⅰ）求回归直线方程=•x+，其中=﹣20，=﹣；（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）19．（12分）已知点F（1，0），直线L：x=﹣1，动点P到点F的距离等于它到直线L的距离；（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）是否存在过点N（4，2）的直线m，使得直线m被轨迹C截得的弦AB恰好被点N平分．若存在，求直线m的方程，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若右焦点F到直线x﹣y+2=0的距离为3；（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+1与椭圆相交于不同的两点M、N，且|MN=2|，求直线斜率k的值．21．（12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率．22．（14分）已知抛物线G：x2=4y；（Ⅰ）过点P（2，1）作抛物线G的切线，求切线方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线G上异于原点的两动点，其中x1＞x2＞0，以A，B为直径的圆恰好过抛物线的焦点F，延长AF，BF分别交抛物线G 于C，D两点，若四边形ABCD的面积为32，求直线AC的方程．2014-2015学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）某同学进入高二前，高一年的四次期中、期末测试的数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学数学成绩的平均数是（）A．125 B．126 C．127 D．128【解答】解：由茎叶图得，该同学数学成绩的平均数是=125，故选：A．2．（5分）样本11、12、13、14、15的方差是（）A．13 B．10 C．2 D．4【解答】解：由题意得，样本的平均数x==13，所以S2=[（11﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（15﹣13）2] =2，故选：C．3．（5分）设命题p：函数y=cos2x的最小正周期是命题q：函数y=sinx的图象关于y轴对称，则下列判断正确的是（）A．p∨q为真B．p∧q为假C．P为真D．￢q为假【解答】解：对于P：周期为：T=π，是假命题，对于q：图象关于原点对称，是假命题，故选：B．4．（5分）已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A．B．C．D．=0.08x+1.23【解答】解：法一：由回归直线的斜率的估计值为1.23，可排除D由线性回归直线方程样本点的中心为（4，5），将x=4分别代入A、B、C，其值依次为8.92、9.92、5，排除A、B法二：因为回归直线方程一定过样本中心点，将样本点的中心（4，5）分别代入各个选项，只有C满足，故选：C．5．（5分）“直线a2x﹣y+6=0与直线4x﹣（a﹣3）y+9=0互相垂直”是“a=﹣1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若直线a2x﹣y+6=0与直线4x﹣（a﹣3）y+9=0互相垂直，则4a2+a﹣3=0，即a=﹣1或a=3，故“直线a2x﹣y+6=0与直线4x﹣（a﹣3）y+9=0互相垂直”是“a=﹣1”的必要不充分条件，故选：B．6．（5分）下列命题是真命题的是（）A．∃x∈R使得sinxcosx=B．∃x∈（﹣∞，0）使得2x＞1C．∀x∈R恒有sinx＞cosx D．∀x∈（0，π）恒有x2＞x﹣1【解答】解：对于A，∵sinxcosx=，∴2sinxcosx=，即sin2x=＞1，∴x∈∅，A错误；对于B，当x∈（﹣∞，0）时，0＜2x＜1，∴B错误；对于C，当x∈[﹣+2kπ，+2kπ]k∈Z时，sinx≤cosx，∴C错误；对于D，∵x2﹣（x﹣1）=x2﹣x+1=+＞0，∴x2＞x﹣1恒成立，∴D正确．故选：D．7．（5分）设x，则sinx的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：x对应的所有结果构成的区间长度是，∵sinx＞∴0＜x＜∴满足sinx＜的x构成的区间长度是由几何概型概率公式得P=．故选：C．8．（5分）已知焦点在x轴上的椭圆离心率e=，它的半长轴长等于圆x2+y2﹣2x ﹣3=0的半径，则椭圆的标准方程是（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=1【解答】解：设椭圆的标准方程为，（a＞b＞0）．由圆x2+y2﹣2x﹣3=0可得（x﹣1）2+y2=4，半径R=2．∴a=2．∵离心率e==，∴c=1．∴b2=a2﹣c2=3．∴椭圆的标准方程是．故选：A．9．（5分）从分别写有0、1、2、3、4的五张卡片中取出一张，记下数字后放回，再从中取出一张卡片并记下其数字，则二次取出的卡片上数字之和恰为4的有（）A．5种 B．6种 C．7种 D．8种【解答】解：取出的两张卡片的数字之和恰好的等于4为：（4，0），（0，4），（2，2），（1，3），（3，1）共5个，故选：A．10．（5分）某同学同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为a、b，则双曲线﹣=1的离心率e的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，共有6×6=36种结果满足条件的事件是e=＞∴b＞a，符合b＞a的情况有：当a=1时，有b=3，4，5，6四种情况；当b=2时，有a=5，6两种情况，总共有6种情况．∴概率为=．故选：A．11．（5分）若抛物线的顶点在原点，焦点与双曲线﹣=1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是（）A．x2=4y B．y2=4x C．x2=﹣12y D．y2=﹣12x【解答】解：∵双曲线﹣=1的焦点为（0，3），（0，﹣3），当所求的抛物线的焦点为（0，3）时，抛物线方程为x2=12y，当所求的抛物线的焦点为（0，﹣3）时，抛物线方程为x2=﹣12y，结合选项可知，选项C正确，故选：C．12．（5分）椭圆：+=1上的一点A关于原点的对称点为B，F2为它的右焦点，若AF2⊥BF2，则三角形△AF2B的面积是（）A．B．10 C．6 D．9【解答】解：椭圆：+=1中a=5，b=3，c=4，∵椭圆：+=1上的一点A关于原点的对称点为B，F2为它的右焦点，AF2⊥BF2，∴AO=4，设A（x，y），则x2+y2=16，∵+=1，∴|y|=，∴三角形△AF2B的面积是2×=9，故选：D．二．填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）用分层抽样的方法从某校的高中生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年抽取20人，高三年抽取10人，又已知高二年学生有300人，则该校高中生共有900人．【解答】解：高二抽取45﹣20﹣10=15人，由得x=900．故答案为：900．14．（4分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是∃x∈R，x3﹣x2+1≤0．【解答】解：命题“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”是全称命题，否定时将量词对任意的x∈R变为∃∈R，再将不等号＞变为≤即可．故答案为：∃x∈R，x3﹣x2+1≤0．15．（4分）先后抛掷硬币三次，则有且仅有二次正面朝上的概率是．【解答】解：先后抛掷硬币三次出现的所有的基本事件：（正、正、正）、（反、正、正）、（正、反、正）、（正、正、反）（反、反、正）、（正、反、反）、（反、正、反）、（反、反、反）共8种情况，则有且仅有二次正面朝上的事件有：（反、正、正）、（正、反、正）、（正、正、反）所以有且仅有二次正面朝上的概率P=，故答案为：．16．（4分）过椭圆：+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，F是椭圆的右焦点，BF⊥x轴于F点，当＜k时，椭圆的离心率e的取值范围是．【解答】解：过椭圆：+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，F是椭圆的右焦点，BF⊥x轴于F点，则：B（），进一步利用：解得：k=，由于：，解得：，故答案为：．三．解答题：（本大题共6小题，满分74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个球的直径（单位：mm），将数据进行分组，得到如下频率分布表：（Ⅰ）补充完成频率分布表，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[39.9，40.1）的中点值是40.0）作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值（精确到0.1）．【解答】解：（1）频率分布表和频率分布直方图如下：…（6分）（2）这批乒乓球直径的平均值约为：39.6×0.10+39.8×0.20+40.0×0.50+40.2×0.20=39.96≈40.00（mm）．…（12分）18．（12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（Ⅰ）求回归直线方程=•x+，其中=﹣20，=﹣；（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）【解答】解：（I）∵=8.5，=80∴=﹣=80+20×8.5=250∴所求回归直线方程为：=﹣20x+250 …（6分）（II）设工厂获得的利润为L（x）元，则L（x）=（x﹣4）（﹣20x+250）=﹣20x2+330x﹣1000∴当x=8.25时L（x）最大361.25∴为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为8.25元…（12分）19．（12分）已知点F（1，0），直线L：x=﹣1，动点P到点F的距离等于它到直线L的距离；（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）是否存在过点N（4，2）的直线m，使得直线m被轨迹C截得的弦AB恰好被点N平分．若存在，求直线m的方程，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵点P到点F的距离等于它到直线l的距离，∴点P的轨迹C是以F为焦点、直线l：x=﹣1为准线的抛物线，其方程是：y2=4x；（Ⅱ）假设存在满足条件的直线m，设直线m与抛物线C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=8，y1+y2=4，当直线m的斜率不存在时不合题意，设直线m的方程为y﹣2=k（x﹣4），联立方程组得k2x2﹣（8k2﹣4k+4）x+（2﹣4k2）=0，∴x1+x2==8，解得k=1，当k=1时，方程x2﹣8x﹣2=0满足△＞0，∴存在直线m，且所求的直线方程是x﹣y﹣2=0．20．（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若右焦点F到直线x﹣y+2=0的距离为3；（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+1与椭圆相交于不同的两点M、N，且|MN=2|，求直线斜率k的值．【解答】解：（Ⅰ）设所求的椭圆方程为：，右焦点F（C，0），∵右焦点F到直线x﹣y+=0的距离为3，∴，解得：C=∴所求的椭圆方程为：．（Ⅱ）由，得：（3k+1）x2+6kx=0，设M（x1，y1）、N（x2，y2），则，x1x2=0，∵|MN|=2，∴，解得：k=．21．（12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率．【解答】解（1）从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1，4和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1，3和2，1两个．因此所求事件的概率P==．（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果（m，n）有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个．又满足条件n≥m+2的事件为：（1，3），（1，4），（2，4），共3个，所以满足条件n≥m+2的事件的概率为P1=．故满足条件n＜m+2的事件的概率为1﹣P1=1﹣=．22．（14分）已知抛物线G：x2=4y；（Ⅰ）过点P（2，1）作抛物线G的切线，求切线方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线G上异于原点的两动点，其中x1＞x2＞0，以A，B为直径的圆恰好过抛物线的焦点F，延长AF，BF分别交抛物线G 于C，D两点，若四边形ABCD的面积为32，求直线AC的方程．【解答】解：（1）由题意可知，抛物线的切线的斜率存在，设为k（k≠0），过点P（2，1）的切线方程为y﹣1=k（x﹣2），联立，得x2﹣4kx+4（2k﹣1）=0．由△=0，即16k2﹣16（2k﹣1）=0，解得k=1．∴所求的直线方程是y=x﹣1；（2）由题意可设直线AC的方程为y=kx+1（k≠0），则直线BD的方程为y=﹣x+1．由，得x2﹣4kx﹣4=0．∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4．∴|AC|==4（1+k2）．同理：|BD|==．∵四边形ABCD的面积为32，∴|AC||BD|=32，即=32．解得：k=1或k=﹣1．∴直线AC的方程是：y=x+1．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-a a-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．ABFEDCF。
2014-2015年福建省泉州市高三上学期期末数学试卷(文科)和答案
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2014-2015 学年福建省泉州市高三 （上） 期末数学试卷 （文 科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分，每小题只有一项是符号题目要求） 1． （5 分）复数 A．第一象限 【解答】解：复数 故选：C． 2． （5 分）已知集合 A={x|x≤﹣2 或 x≥1}，B={x|0≤x≤1}，则（ A．A∩B=∅ B． （∁RA）⊆ B C．﹣1∈A∪B ） （i 为虚数单位）在复平面上所对应的点位于（ B．第二象限 = C．第三象限 ）
（Ⅰ）写出这组数据的众数与极差；
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（Ⅱ）以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶，作出这 20 名学 生视力统计数据的茎叶图，并求这 20 名学生视力统计数据的方差． 18． （12 分）数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an﹣n． （1）求证：数列{an+1}为等比数列； （2）记 bn=log2（an+1） ，求数列{ }的前 n 项和 Tn．
D．[0，+∞）
11． （5 分）直线 y=kx+4 与圆 x2+y2+2kx﹣2y﹣2=0 交于 M，N 两点，若点 M，N 关于直线 x+y=0 对称，则|MN|等于（ A． B．2 ） C．2
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D．4
12． （5 分）过双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的一个焦点 F 作渐近线的垂线， =λ （1＜λ＜2） ，则该双曲线的离心率
5． （5 分）如图为某市地铁乘客的月人均乘坐地铁费用支出的频率分布直方图， 若按直方图中的五段分层， 并使用分层抽样方法从该市地铁乘客中抽取 40 人 参加听证会，则所抽取的 40 人中月人均乘坐地铁费用支出在[100，150）的 人数为（ ）
福建省泉州第一中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(文科)试题
福建省泉州第一中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学（文科）试题时间120分钟 满分150分一、选择题(本题共有12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。
本题每小题5分，满分60分。
请将答案填写在Ⅱ卷上．．．．．．．．．．) 1.不等式260x x --<的解集为（ ）A.（-2,3）B.（-3,2）C.（-6,1）D. （-1,6） 2.复数2(2+iZ i i-=为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 某单位有职工80人，其中业务人员56人，管理人员8人，服务人员16人。
为了了解职工的某种情况，决定采用分层抽样的方法抽取一个容量为10的样本，则业务人员应抽取（ ） A. 1人 B.2人 C.7人 D. 8人4. 数据10,7,7,7,9的方差是（ ）A.8B.58 C. 22 D. 5102 5. 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+>>123400y x y x 表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 6.当01x <<，函数(1)y x x =-的最大值为（ ） A.1 B.12 C. 14 D.187.将一枚质地均匀的硬币连抛三次，则“至少出现一次正面向上”的概率是（ ） A.13 B.23 C. 18 D.788.一组数据如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ） A.11.5和12 B.11.5和11.5 C.11和11.5 D.12和129. 为调查800名学生对“东亚文化之都”的了解情况，打算考虑采用系统抽样从中抽取一个1 7 1 6 4 0 20 9 7容量为40的样本，，现将所有学生随机地编号为000，001，…，799，则第三组第一位学生的编号为（ ）A ．039B ．040C ．041D ．042 10. 下图给出的是计算1001...81614121+++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A ． 51i <B ．50i <C ．26i >D ． 25<i12. 设(,)M x y 是区域86x y ax y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩内的动点，且不等式214x y +≤恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[8，10]B ．[8，9]C ．[6，9]D ．[6，10]二、填空题 (本题共有4小题，每小题4分，满分16分。
2014-2015年福建省泉州市晋江市养正中学高二上学期数学期中试卷带答案(文科)
2014-2015学年福建省泉州市晋江市养正中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）sin2010°=（）A．﹣ B．C．D．2．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣13．（5分）在某次测量中得到的A样本数据如下：582，584，584，586，586，586，588，588，588，588．若B样本数据恰好是A样本数据都加20后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．众数B．平均数C．中位数D．标准差4．（5分）某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶5．（5分）给出命题：已知a、b为实数，若a+b=1，则ab≤．在它的逆命题、否命题、逆否命三个命题中，真命题的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．06．（5分）已知x，y之间的数据如表所示，则回归直线过点（）A．（0，0） B．（2，1.8）C．（3，2.5）D．（4，3.2）7．（5分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知p：∃x∈R，mx2+1≤0，q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为（）A．m≥2 B．m≤﹣2 C．m≤﹣2或m≥2 D．﹣2≤m≤29．（5分）定义某种运算M=a⊗b，运算原理如图所示，则式子的值为（）A．4 B．8 C．11 D．1310．（5分）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）设F1，F2分别是椭圆x2+=1（0＜b＜1）的左，右焦点，过F1的直线L与椭圆相交于A，B两点，|AB|=，直线L的斜率为1，则b的值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知x，y∈R且，则存在θ∈R，使得（x﹣4）cosθ+ysinθ+=0的概率为（）A．B．C．2﹣D．1﹣二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知命题，命题q：x2+2x+1﹣m≤0（m＞0）若非p是非q的必要不充分条件，那么实数m的取值范围是．14．（5分）椭圆经过，，则该椭圆的标准方程为．15．（5分）已知椭圆+y2=1上任意一点P及点A（0，2），则|PA|的最大值为．16．（5分）函数y=log a（x+3）﹣1（a≠1，a＞0）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，则+的最小值为．三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．18．（10分）设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）定义域为R；命题q：不等式3x﹣9x＜a对任意x∈R恒成立．（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；（2）如果命题“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．19．（12分）在锐角△ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c．向量，，且向量、共线．（1）求角B的大小；的最大值．（2）如果b=1，求△ABC的面积S△ABC20．（12分）2015年7月16日，电影《捉妖记》上映，上映至今全国累计票房已超过20亿，某影院为了解观看此部电影的观众年龄的情况，在某场次的100名观众中随机调查了20名观众，已知抽到的观众年龄可分成5组：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），根据调查结果得出年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示．（1）根据已知条件，补充画完整频率分布直方图，并估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数；（2）现在从年龄属于[25，30）和[40，45）的两组中随机抽取2人，求他们属于同一年龄组的概率．21．（12分）设函数f（x）=x2+bx+c，其中b，c是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A“f（1）≤5且f（0）≤3”发生的概率．（1）若随机数b，c∈{1，2，3，4}；（2）已知随机函数Rand（）产生的随机数的范围为{x|0≤x≤1}，b，c是算法语句b=4*Rand（）和c=4*Rand（）的执行结果．（注：符号“*”表示“乘号”）22．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴是短轴的两倍，点P（，）在椭圆上．不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB 的斜率分别为k1、k、k2，且k1、k、k2恰好构成等比数列．（Ⅰ）求椭圆C的方程．（Ⅱ）试探究|OA|2+|OB|2是否为定值？若是，求出这个值；否则求出它的取值范围．2014-2015学年福建省泉州市晋江市养正中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）sin2010°=（）A．﹣ B．C．D．【解答】解：sin2010°=sin（5×360°+210°）=sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣．故选：A．2．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，故选：C．3．（5分）在某次测量中得到的A样本数据如下：582，584，584，586，586，586，588，588，588，588．若B样本数据恰好是A样本数据都加20后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．众数B．平均数C．中位数D．标准差【解答】解：A样本数据是：582，584，584，586，586，586，588，588，588，588；B样本数据是：602，604，604，606，606，606，608，608，608，608；它们的众数分别为588，608，不相等；平均数分别为586，606，也不相等；中位数分别为586，606，也不相等；A样本的方差为S2=[（582﹣586）2+2×（584﹣586）2+3×（586﹣586）2+4×（588﹣586）2]=4，标准差为S=2，B样本的方差为S2=[（602﹣606）2+2×（604﹣606）2+3×（606﹣606）2+4×（608﹣606）2]=4，标准差为S=2，它们的标准差相等．故选：D．4．（5分）某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶【解答】解：∵事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶，它的互斥事件是两次都不中靶，故选：C．5．（5分）给出命题：已知a、b为实数，若a+b=1，则ab≤．在它的逆命题、否命题、逆否命三个命题中，真命题的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：∵a、b为实数，a+b=1，∴ab≤=∴原命题是正确的，∴逆否命题是正确的，原命题的逆命题是：已知a、b为实数，若ab≤，则a+b=1这个命题只要举出a=b=，就可以说明这个命题是假命题，∴原命题的否命题也是一个假命题，∴它的逆命题、否命题、逆否命三个命题中，真命题的个数是1，故选：C．6．（5分）已知x，y之间的数据如表所示，则回归直线过点（）A．（0，0） B．（2，1.8）C．（3，2.5）D．（4，3.2）【解答】解：∵==3，==2.5∴这组数据的样本中心点是（3，2.5）根据线性回归方程一定过样本中心点得到线性回归方程y=a+bx所表示的直线必经过点（3，2.5）故选：C．7．（5分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，即x∈[﹣1，1]时，要使的值介于0到之间，需使或∴或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为．故选：A．8．（5分）已知p：∃x∈R，mx2+1≤0，q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为（）A．m≥2 B．m≤﹣2 C．m≤﹣2或m≥2 D．﹣2≤m≤2【解答】解：由p：∃x∈R，mx2+1≤0，可得m＜0，由q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，可得△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2因为pVq为假命题，所以p与q都是假命题若p是假命题，则有m≥0；若q是假命题，则有m≤﹣2或m≥2故符合条件的实数m的取值范围为m≥2故选：A．9．（5分）定义某种运算M=a⊗b，运算原理如图所示，则式子的值为（）A．4 B．8 C．11 D．13【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序框图运行的结果是计算并输出M=a⊗b=，∵2tan=2＞sin=1，4cos=2＜（）﹣1=3，∴=2⊗1+2⊗3=2×（1+1）+3×（2+1）=13．故选：D．10．（5分）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2=60°，∴=，即2ac=b2=（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣=0，∴e=或e=﹣（舍去）．故选：B．11．（5分）设F1，F2分别是椭圆x2+=1（0＜b＜1）的左，右焦点，过F1的直线L与椭圆相交于A，B两点，|AB|=，直线L的斜率为1，则b的值为（）A．B．C．D．【解答】解：依题意，F1（﹣，0），F2（，0），∵过F1的直线L的斜率为1，∴直线L的方程为：y=x+，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线L与椭圆方程，消去y整理得：（1+b2）x2+x+1﹣2b2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴|AB|==•==，解得：b=，故选：D．12．（5分）已知x，y∈R且，则存在θ∈R，使得（x﹣4）cosθ+y sinθ+=0的概率为（）A．B．C．2﹣D．1﹣【解答】解：∵（x﹣4）cosθ+ysinθ+=0，∴（4﹣x）cosθ﹣ysinθ=，即cos（θ+β）=，（β为参数），∵存在θ∈R，使得（x﹣4）cosθ+ysinθ+=0，∴≥，即（x﹣4）2+y2≥2，对应的图象是以（4，0）为圆心，半径r=的圆的外部，作出不等式组对应的平面区域如图，则由，解得，即A（1，3），则△AOB的面积S=，圆在△AOB内部的面积S=，则（x﹣4）2+y2≥2，对应的区域面积S=6﹣，则对应的概率P==1﹣，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知命题，命题q：x2+2x+1﹣m≤0（m＞0）若非p是非q的必要不充分条件，那么实数m的取值范围是[4，+∞）．【解答】解：由题意，，∴或x≥1；q：x2+2x+1﹣m≤0（m＞0），∴¬q：x2+2x+1﹣m＞0，∴（x+1）2＞m，解得或∵¬p是¬g的必要不充分条件，∴，∴m≥4．故实数m的取值范围是[4，+∞）故答案为：[4，+∞）14．（5分）椭圆经过，，则该椭圆的标准方程为．【解答】解：设椭圆的方程为mx2+ny2=1，（m＞0，n＞0，m≠n），∵椭圆经过两点，，∴，解得m=，n=，∴椭圆的标准方程为．故答案为：．15．（5分）已知椭圆+y2=1上任意一点P及点A（0，2），则|PA|的最大值为．【解答】解：设椭圆+y2=1上一点P的坐标为（2cosα，sinα），（0≤α＜2π），即有|PA|=====，当sinα=﹣时，|PA|取得最大值，且为．故答案为：．16．（5分）函数y=log a（x+3）﹣1（a≠1，a＞0）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，则+的最小值为8．【解答】解：∵x=﹣2时，y=log a1﹣1=﹣1，∴函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），∵点A在直线mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵m＞0，n＞0，∴+=（+）（2m+n）=2+++2≥4+2•=8，当且仅当m=，n=时取等号．故答案为：8三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．【解答】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，…（1分）由e==，得1﹣=，∴a=5，…（3分）∴椭圆C的方程为+=1．…（4分）（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），…（5分）设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，…（7分）由韦达定理得x1+x2=3，y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…（10分）由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…（12分）18．（10分）设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）定义域为R；命题q：不等式3x﹣9x＜a对任意x∈R恒成立．（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；（2）如果命题“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题意ax2﹣x+a＞0 对任意x∈R恒成立，当a=0时，不符题意，舍去；当a≠0时，则⇒a＞2，所以实数a的取值范围是a＞2．（2）设t=3x（t＞0），g（t）=﹣t2+t=﹣+，g（t）max=，当q为真命题时，有a＞，∵命题“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，∴p与q一个为真，一个为假，当p真q假，则，无解，当p假q真，则⇒＜a≤2，综上，实数a的取值范围是：＜a≤2．19．（12分）在锐角△ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c．向量，，且向量、共线．（1）求角B的大小；（2）如果b=1，求△ABC的面积S的最大值．△ABC【解答】解：（1）∵向量、共线，∴2sin（A+C）（2﹣1）﹣cos2B=0，又A+C=π﹣B，∴2sinBcosB﹣cos2B，即sin2B=cos2B，∴tan2B=，又锐角△ABC，得到B∈（0，），∴2B∈（0，π），∴2B=，故B=；（2）由（1）知：B=，且b=1，根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：a2+c2﹣ac=1，∴1+ac=a2+c2≥2ac，即（2﹣）ac≤1，ac≤=2+，=acsinB=ac≤，当且仅当a=c=时取等号，∴S△ABC∴△ABC的面积最大值为．20．（12分）2015年7月16日，电影《捉妖记》上映，上映至今全国累计票房已超过20亿，某影院为了解观看此部电影的观众年龄的情况，在某场次的100名观众中随机调查了20名观众，已知抽到的观众年龄可分成5组：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），根据调查结果得出年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示．（1）根据已知条件，补充画完整频率分布直方图，并估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数；（2）现在从年龄属于[25，30）和[40，45）的两组中随机抽取2人，求他们属于同一年龄组的概率．【解答】解：（1）根据频率分布直方图，年龄在[25，30）的频率为1﹣（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.2，∴年龄在[25，30）的小矩形的高为=0.04，补充画完整频率分布直方图如图所示，∴估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数为22.5×0.01×5+27.5×0.04×5+32.5×0.07×5+37.5×0.06×5+42.5×0.02×5=33.5；（2）年龄在[25，30）内的频率为0.2，对应的人数为20×0.2=4，记为a、b、c、d；年龄在[40，45）内的频率为0.02×5=0.1，对应的人数为20×0.1=2，记为E、F；现从这6人中随机抽取2人，基本事件是ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF，共15种，属于同一年龄组的基本事件是ab、ac、ad、bc、bd、cd、EF，共7种，所以，所求的概率是P=．21．（12分）设函数f（x）=x2+bx+c，其中b，c是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A“f（1）≤5且f（0）≤3”发生的概率．（1）若随机数b，c∈{1，2，3，4}；（2）已知随机函数Rand（）产生的随机数的范围为{x|0≤x≤1}，b，c是算法语句b=4*Rand（）和c=4*Rand（）的执行结果．（注：符号“*”表示“乘号”）【解答】解：（1）由f（x）=x2+bx+c知，事件A“f（1）≤5且f（0）≤3”，即（1分）因为随机数b，c∈{1，2，3，4}，所以共等可能地产生16个数对（b，c），列举如下：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4分）事件A：包含了其中6个数对（b，c），即：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1），（6分）所以=，即事件A发生的概率为（7分）（2）由题意，b，c均是区间[0，4]中的随机数，产生的点（b，c）均匀地分布在边长为4的正方形区域Ω中（如图），其面积S（Ω）=16．（8分）事件A：所对应的区域为如图所示的梯形（阴影部分），其面积为：S（A）=．（10分）所以==，即事件A的发生概率为．（12分）22．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴是短轴的两倍，点P（，）在椭圆上．不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB 的斜率分别为k1、k、k2，且k1、k、k2恰好构成等比数列．（Ⅰ）求椭圆C的方程．（Ⅱ）试探究|OA|2+|OB|2是否为定值？若是，求出这个值；否则求出它的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知a=2b，且+=1，解得：b2=1，a=2，所以椭圆的方程为：+y2=1；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，则△=16（1+4k2﹣m2）＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，∵k1、k、k2恰好构成等比数列，∴k2=k1k2==，即k2=k2++，化简得：﹣4k2m2+m2=0，∵m≠0，∴k2=，k=±，此时△=16（2﹣m2）＞0，即m∈（﹣，），∴x1+x2=±2m，x1x2=2m2﹣2，故|OA|2+|OB|2=+++=（+）+2=[﹣2x1x2]+2=5，于是|OA |2+|OB |2是定值为5．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：A1FB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-a a-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°.（1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形； （3）求AE －CE 的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DABFEDCF第21页（共21页）。
福建省泉州一中高二上学期期中考试(数学文).doc
福建省泉州一中高二上学期期中考试（数学文）第Ⅰ卷参考公式：方差])()()[(1222212x x x x x x n s n -++-+-= ，其中x 是样本平均数．线性回归方程：ˆˆy bx a =+ 其中 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的1．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则（ ）A.1sin ,:≥∈∃⌝x R x pB. 1sin ,:>∈∃⌝x R x pC. 1sin ,:≥∈∀⌝x R x pD. 1sin ,:>∈∀⌝x R x p 2．已知一个样本5,,1,y x ．其中y x ,是方程组⎩⎨⎧=+=+3232y x y x 的解，则这个样本的方差是（ ）A ．4B ．2C ．5D ．253．取一根长度为5 m) A ．51 B ．52 C ．53 D ．54 4．已知某篮球运动员在一个赛季中的40示，则中位数与众数分别为（ ）A ．21与23B ．23与24C ．23与22D ．23与第4题图5．当x=2时，右图程序输出的结果是（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D.46．有4件产品，其中2件正品2件次品。
从中任取两件，则互斥而不对立的两个事件是( ) A.“至少有一件正品”与“都是正品B.“至少有一件正品”与“至少有一件次品”C.“至少有一件正品”与“都是次品D. “恰有一件正品”与“恰有两件正品”7．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4的四个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中第5题图共9个共13个共11个0 1 3 5 60 1 2 2 3 4 4 8 90 1 1 1 3 3 3 3 5 5 7 8 81 2 2 2 3 3 4 6 7 8 98 9432101122211()()ˆ,()ˆ.n ni i i ii i n ni ii i x x y y x y nx yb x x xnx a y bx ====⎧---⎪⎪==⎨--⎪⎪=-⎩∑∑∑∑随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ） A.61 B.31 C.21 D.32 8．阅读右图的程序框图，若输出的S 的值等于16,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（ ）A ．3>i ? B. 4>i ? C. 5>i ? D. 6>i ? 9．已知R a ∈，则“3>a ”是“0342>+-a a ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10.已知21,F F 是椭圆的两个焦点，点B 为椭圆短轴的一个顶点，若12021=∠BF F ，则这个椭圆的离心率是（ ）A.21B.2C. 2D.3311．将一个各个面上涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，其中恰有2面涂有颜色的概率是（ ）A ．94 B ．92C ．278D ．27112．有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像．金盒上写有命题p ：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q ：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r ：肖像不在金盒里．p 、q 、r 中有且只有一个是真命题，则肖像在（ ） A ．金盒里 B ．银盒里 C ．铅盒里D ．在哪个盒子里不能确定二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分13．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2：3：5．现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型 号的产品有16件，那么此样本的容量n = ．14．某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的k 的值是 ． 15．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元）， 有如下的统计资料：由资料知y 与x 呈线性相关关系．（参考数据5521190,112.3i ii i i x x y ====∑∑）估计当使用年限为时，维修费用是 万元．第7题图16．若方程11422=-+-t y t x 所表示的曲线为C ，给出下列四个命题： ① 若C 为椭圆，则1<t<4； ② 若C 为双曲线，则t>4或t<1；③ 曲线C 不可能是圆； ④ 若C 表是椭圆，且长轴在x 轴上，则251<<t . 其中真命题的序号为 ．（把所有正确命题的序号都填在横线上）三、解答题：本大题共6小题，满分74分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.17．（本小题满分12分） 已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距2c=8，过点)142,9(，求双曲线的标准方程。
福建省泉州第一中学1415学年度高二上学期期末考试——
福建省泉州第一中学2014—2015学年度上学期期末考试高二数学理试题第Ⅰ卷（选择题共50分）一．选择题（每小题5分共50分，只有一个选项正确，请把答案写在答题卷上） 1．若，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．下列说法中正确的是（ ）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真C ．“,则全为”的逆否命题是“若全不为, 则”D ．“△ABC 中，若∠C=90°，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为 “△ABC 中，若∠C=90°，则∠A 、∠B 不都是锐角” 3．若实数k 满足0<k<9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等4．同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是（ ）A ．至少有1枚正面和最多有1枚正面B ．最多1枚正面和恰有2枚正面C ．至多1枚正面和至少有2枚正面D ．至少有2枚正面和恰有1枚正面 5．若,使成立的一个充分不必要条件是( ) A ． B ． C ． D ．6．若如下框图所给的程序运行结果为S ＝20，那么判断框中应填入的关于k 的条件是()A ．k ＝9?B ．k≤8?C ．k ＜8?D ．k ＞8?7．若变量满足24025000x y x y x y ⎧+⎪+⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≤≤≥≥则的最大值是（ ）A ．90B ．80C ．70D ．408．如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )．A ．12 B. 0 C.32 D.229．已知函数f(x)在R 上满足f(x)＝2f(2－x)－x 2＋8x －8， 则曲线y ＝f(x)在x ＝1处的切线的斜率为（ ）A ．-6B ．6C ．2D ．110．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1、F 2分别是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2=60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．2第Ⅱ卷（非选择题共100分）二．填空题（每小题4分，共20分，请把答案写在答题卷上） 11．若,，且为纯虚数，则实数的值为 ．12．已知点P 在直线4x ＋3y-12=0位于第一象限的部分上，过点P 分别作x ，y 轴的垂线，垂足分别为A,B ，则矩形OAPB 面积的最大值为________．13．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为1，b ，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px(p ＞0)经过C ，F 两点，则b ＝________．14．已知,A （1，2），C （0，1），则方程有实数根的概率为 ．15．若直线与曲线满足下列两个条件：直线在点处与曲线相切； 曲线在附近位于直线的两侧.则称直线在点处“切过”曲线.下列命题正确的是_____ _ (写出所有正确命题的序号) . ①直线：在点处“切过”曲线：； ②直线：在点处“切过”曲线：； ③直线：在点处“切过”曲线：； ④直线：在点处“切过”曲线：， ⑤直线：在点处“切过”曲线：三．解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分13分)(1)已知命题p: m ＞2；q:方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若“”为真，且“p 或q”为真， 求m 的取值范围． (2)已知命题；2:(2)20(0)q x t x t t +--≤> ，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围．17．(本小题满分13分)已知平面直角坐标系中，点P的坐标(x－2，x－y)．(1)在一个盒子中，放有标号为1,2,3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x，y，求事件“P点在第一象限”的概率；(2)若利用计算机随机在区间[0,3]上先后取两个数分别记为x，y，求“P点在第一象限”的概率．18．(本小题满分13分)如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点.(1)求直线与所成角的余弦值；(2)在侧面内是否存在一点，使面？若存在，求出到和的距离；若不存在，说明理由.19．(本小题满分13分)烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)，设容器高为h米，盖子边长为a米，(不计容器厚度)(1)求a关于h的解析式a=f(h)；(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值20．(本小题满分14分)在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝，一曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持的值不变．（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；（2）直线l：与曲线E交于M，N两点，求四边形MANB的面积的最大值．21.(本小题满分14分)已知二次函数，且函数在处取得极大值为．19()ln (,0)28f x g x m x m x ⎛⎫=+++∈> ⎪⎝⎭R 设．（1）求的表达式；（2）若使成立，求实数m 的取值范围；（3）设，，证明:对，恒有参考答案二．填空题11． 4 12． 3 1314． 15． ①③④ 三．解答题 16． 解：（1）若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0 解得：1＜m ＜3.即q ：1＜m ＜3. ………………2分 ∵“”为真，“p 或q ”为真， ∴p 为假，q 为真 ………………4分 ∴解得：1＜m ≤2. ………………6分 （2）法一：由，得．：{}102|>-<=x x x A 或．……………8分由2(2)20(0)x t x t t +--≤>，得．：B={|2,0x x x t t <->>或}．………10分 ∵是的充分非必要条件，且， AB ．………11分 …………13分 法二：由，得．……………………8分由2(2)20(0)x t x t t +--≤>，得．……………………10分∵是的充分非必要条件 是的充分非必要条件………………11分 ……………………13分其中基本事件是总数为9，随机事件A“P 点在第一象限”包含2个基本事件，故所求的概率为P(A)＝29.……………………6分(2)设事件B 为“P 点在第一象限”．若⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤3，0≤y≤3，则其所表示的区域面积为3×3＝9. ……………………8分 由题意可得事件B 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤3，0≤y≤3，x －2>0，x －y>0，即如图所示的阴影部分，……………………10分其区域面积为1×3－12×1×1＝52. ……………………11分∴ P(B)＝529＝518.……………………13分18．解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为、、、、、，从而).2,0,3(),0,1,3(-== 设的夹角为，则,1473723cos ===θ ∴与所成角的余弦值为.-------------6分 (2)由于点在侧面内，故可设点坐标为，则，由面可得，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0213,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.0,0x z z x z x AC NE AP NE 化简得即 ∴⎪⎩⎪⎨⎧==163z x 即点的坐标为，从而点到和的距离分别为.-------------13分19．解：(1)设h ′是正四棱锥的斜高，由题设可得：222'2142214a h a h a h ⎧'+⋅=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去.:0)h a h '=>解得-------------6分 (2)由(h ＞0) -------------8分 得：2121)1(31=⋅=++=hh h h hh V 而-------------10分 所以V ≤，当且仅当h =即h =1时取等号-------------12分故当h =1米时，V 有最大值，V 的最大值为立方米. -------------13分20．解：（1）以AB 为x 轴，以AB 中点为原点O 建立直角坐标系． ∵ 22)22(222||||||||22=++=+=+CB CA PB PA ， ∴ 动点轨迹为椭圆，且，c ＝1，从而b ＝1．∴ 方程为 ． ----6分（2）设M （，）、N （，），将y ＝x ＋t 代入，得0224322=-++t tx x ．--8分∴ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=+>--=∆⋅⋅③②①322340)22(34162212122t x x t x x t t ，， 由①得＜3．-------------10分 ∴1||||||||1212122S AB y y y y x x MANB =-=-=-=-------------12分∴ t ＝0时，．-------------14分21.解：（1），于是='2332()22y x ax b =++-，由已知133222332022a b a b ⎧-+-+=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩ 121a b ⎧=-⎪∴⎨⎪=-⎩经检验，符合题意。
福建省泉州第一中学2013-2014学年高二上学期期中考试数学(文)试题 含答案
（时间120分钟 满分150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只．．．．．．．．．．．．．．有一项是符合题目要求的．．．．．．．．．．．,． 把答案填在答题．．．．．．．卷．相应位置．．．．． 1．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）A.R x p ∈∀⌝0:，1sin 0≥xB. :p x ⌝∀∈R ，sin 1x >C. :p x ⌝∃∉R ，sin 1x > Ｄ.R x p ∈∃⌝0:，1sin 0>x2.等差数列{}n a 中,15410,7a a a +==,则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43.若条件,30: =A p ,21sin :=A q 条件则p 为q 的（ ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.如图，在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上找一点M ，则AM AC <的概率为（ ）A ．22 B ．43 C ．32 D ．21 5.下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若0xy =，则0x =”的否命题为：“若0xy =，则0x ≠B ．命题“矩形是平行四边形”的否定为真命题;C ．命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题为真命题D ．命题“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题为真命题6.若椭圆2211625x y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（ ） A ．2B ．7C ．5D ．37.数列{}n a 的通项公式是)1(1+=n n a n ，若其前n 项的和为1011，则项数n 为（ ）A ．12B ．11C ．10D ．98.如图所示的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ） A ．c x > B ．x c > C ．b c > D ．c b > 9.已知 0,0>>y x 且1=+y x 则yx 94+的最小值为（ ） A.6 B.12 C.25 D.3610．椭圆1322=+y x 被直线01=+-y x 所截得的弦长AB ＝（ ）A.23D. 111．已知F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点, P 是椭圆上的一点, PF x ⊥轴, //OP AB (O 为原点), 则该椭圆的离心率是（ ） A12．在数列{}n a 中，如果存在常数T ()T N +∈，使得n T n a a +=对于任意正整数n 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期. 已知周期数列{}n x 满足21||()n n n x x x n N *++=-∈，若121, (1,0)x x a a a ==≤≠，当数列{}n x 的周期为3时，则数列{}n x 的前2015项的和2015S 为（ ） A ．1344B ．1343C ．1342D ． 1341二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题．．．．．．．卷．相应位置．．．．． 13.函数()221)(>-+=x x x x f 的最小值为________. 14.大小、形状相同的白、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取 2次，则摸取的2个球均为白色球的概率是_______. 15.如右图算法输出的结果是_______.16.椭圆1273622=+y x ，过右焦点F 作不垂直于x 轴的弦交椭圆于A 、B 两点，AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则:NF AB 等于_______.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．, 把．答案填在答题．．．．．．卷．相应位置．．．．． 17．（本小题满分12分）（Ⅰ）命题“2000,390x x ax ∃∈-+<R ”为假命题，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若“2280x x +-<”是“0x m ->”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18. （本小题满分12分）（Ⅰ）若椭圆上任一点到两个焦点(－2，0)，(2，0)的距离之和为6,求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若椭圆过(2,0)，离心率为32，求椭圆的标准方程.19．（本小题满分12分）已知命题:p 点(-2,1)和点(1,1)在直线023=--a y x 的同侧, 命题q ：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+002y x y x 所对应的区域中的()y x ,满足x y a -=,（Ⅰ）若命题p 与命题q 均为真命题，分别求出各自所对应的实数a 的取值范围； （Ⅱ）若p 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围.20. （本小题满分12分）若两集合[]0,3A =,[]0,3B =， 分别从集合A B 、中各任取一个元素m 、n ，即满足m A ∈，n B ∈，记为),(n m ，（Ⅰ）若m ∈Z ，n ∈Z ，写出所有的),(n m 的取值情况，并求事件“方程11122=+++n y m x 所对应的曲线表示焦点在x 轴上的椭圆”的概率；（Ⅱ）求事件“方程11122=+++n y m x 所对应的曲线表示焦点在x 轴上的椭圆，且长轴长大. 21.（本小题满分12分）已知二次函数2()f x x ax c =++，满足不等式()0<x f 的解集是（-2，0），（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若点1(,)n n a a +)(*N n ∈在函数()f x 的图象上，且991=a ，令)1lg(n n a b +=，（ⅰ）求证：数列{}n b 为等比数列；（ⅱ）令n n c nb =，数列{}n c 的前n 项和为n S ，是否存在正实数k 使得不等式222-+>+n n n b S b kn 对任意*N n ∈的恒成立? 若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．22.（本小题满分14分）如图，点F 是椭圆W ：)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点，A 、B 分别是椭圆的右顶点与上顶点，椭圆的离心率为21，三角形ABF 的面积为2，（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）对于x 轴上的点()0,t P ，椭圆W 上存在点Q ，使得AQ PQ ⊥，求实数t 的取值范围；(Ⅲ)直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆W 交于不同的两点M 、N (M 、N 异于椭圆的左右顶点)，若以MN 为直径的圆过椭圆W 的右顶点A ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.解：（Ⅰ）若2000,390x x ax ∃∈-+<R ，则29360a ∆=->，即22或a a ><-，因此该命题为假命题时，得22a -≤≤；………………………………………6分（Ⅱ）由2280x x +-<得42x -<<，另由0x m ->即x m >，“2280x x +-<”是“0x m ->”的充分不必要条件，4m ∴≤- (12)分当椭圆焦点在x 轴上时，2a =，21b ∴=，∴所求椭圆方程为2214x y +=； (10)分当椭圆焦点在y 轴上时，2b =，216a ∴=，∴所求椭圆方程为221416x y +=.…………12分（Ⅱ）若p 为真命题，p 且q 为假命题，则p 真q 假，即8122a a a a <->⎧⎨<->⎩或或，即82a a <->或.……12分20. （本小题满分12分）若两集合[]0,3A =,[]0,3B =， 分别从集合A B 、中各任取一个元素m 、n ，即满足m A ∈，n B ∈， 记为),(n m ，（Ⅰ）若m ∈Z ，n ∈Z ，写出所有的),(n m 的取值情况，并求事件“方程11122=+++n y m x 所对应的曲线表示焦点在x 轴上的椭圆”的概率；（Ⅱ）求事件“方程11122=+++n y m x 所对应的曲线表示焦点在x 轴上的椭圆，且长轴长大.解：（Ⅰ）由题知所有的),(n m 的取值情况为：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共16种，………………2分若方程11122=+++n y m x 所对应的曲线表示焦点在x 轴上的椭圆，则11m n +>+，即m n >，对应的),(n m 的取值情况为：(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)共6种，………………4分 该事件概率为63168P ==；………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由题知03m ≤≤，03n ≤≤，椭圆长轴为，短轴为，……………………… 8分由>21m n >+，如图所示，…………………10分 该事件概率为12112339P ⨯⨯==⨯.………………………12分21.（本小题满分12分）已知二次函数2()f x x ax c =++，满足不等式()0<x f 的解集是(2,0)-，（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若点1(,)n n a a +)(*N n ∈在函数()f x 的图象上，且991=a ，令)1lg(n n a b +=，（ⅰ）求证：数列{}n b 为等比数列；（ⅱ）令n n c nb =，数列{}n c 的前n 项和为n S ，是否存在正实数k 使得不等式222-+>+n n n b S b kn 对任意*N n ∈的恒成立? 若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ） 不等式()0<x f 的解集是(2,0)- ，由韦达定理得2020ac-+=-⎧⎨-⋅=⎩，即20a c =⎧⎨=⎩， (2)分2()2f x x x ∴=+； (3)分（Ⅱ） 点1(,)n n a a +)(*N n ∈在函数()f x 的图象上，212n n n a a a +∴=+，（ⅰ）221121(1)n n n n a a a a ++=++=+，21lg(1)lg(1)2lg(1)n n n a a a +∴+=+=+，即12n n b b +=∴数列{}n b 为等比数列； ……………………………………………………7分（ⅱ）由（ⅰ）知11lg(1)2b a =+=，公比为2，∴1222n n n b -=⋅=；又2nn n c nb n ==⋅，1231122232(n 1)22n n n S n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+-⋅+⋅， 23121222(n 1)22n n n S n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⋅+⋅，错位相减得：1231122222nn n S n +-=⋅+++⋅⋅⋅⋅⋅+-⋅，整理得1(n 1n n S +=-⋅，……………………………………………………………………9分222n n n kn b S b +>+- ,即2122(n 1)2222n n n kn ++⋅>-++-，化简整理得222n k n +>对任意*N n ∈的恒成立, ………………………………………10分令222211(n)22n g n n n+==⋅+⋅,只要max (n)k g >, 配方得2111(n)2()22g n =+-,(]10,1n ∈ ,∴当11n =时max (n)4g =,即4k >.………………………………………12分22.（本小题满分14分）如图，点F 是椭圆W ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点，A 、B 分别是椭圆的右顶点与上顶点，椭圆的离心率为21，三角形ABF（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）对于x 轴上的点()0,t P ，椭圆W 上存在点Q ，使得AQ PQ ⊥，求实数t 的取值范围；(Ⅲ)直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆W 交于不同的两点M 、N (M 、N 异于椭圆的左右顶点)，若以MN 为直径的圆过椭圆W 的右顶点A ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.解：（Ⅰ）由12c e a ==，即由2a c =，得 b ==，21()222ABF S a c b ∆=+⋅==,解得21c =,2244a c ==,2223b a c =-=,即椭圆W 的方程为22143x y +=；…………3分 （Ⅱ）(2,0)A ,()0,t P ,设(,)Q x y ,则22143x y +=, (,)PQ x t y =-,(2,)AQ x y =- ,PQ AQ ⊥,2()(2)0x t x y ∴--+=,2()(2)3(1)04x x t x ∴--+-=, (5)分22x -<< ,3(2)04x x t +∴--=,即()62,14x t -=∈--；………………………7分 (Ⅲ)联立223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消y 得:()2223484120k x kmx m +++-=, 设1122(,),(,),M x y N x y()222(8)434(412)0km k m ∆=-+->,即2234m k <+，21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++，…………………………………………………………9分1122(2,),(2,),AM x y AN x y =-=-若以MN 为直径的圆过椭圆W 的右顶点A ，则1212(2)(2)0AM AN x x y y ⋅=--+=，即12(2)(2)(x x k x m k --+++，…………11分 展开整理得：22121212122()4()0x x x x k x x km x x m -++++++=，即22222222412841282()4()()034343434m km m km k km m k k k k----+++-+=++++， 通分化简得2227164034m km k k++=+，即2271640m km k ++=， 分解得(72)(2)0m k m k ++=，得720m k +=或20m k +=，即27km =-或2m k =-，当27k m =-时，直线2()7y kx m k x =+=-，即直线过定点2(,0)7当2m k =-时，直线(2)y kx m k x =+=-，即直线过定点(2,0)，但与右顶点A 重合，舍去，综合知：直线l 过定点，该定点的坐标为2(,0)7.……………………………………………14分。
2014-2015年福建省泉州市安溪一中高二上学期数学期中试卷带答案(文科)
2014-2015学年福建省泉州市安溪一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）给出下列4个命题：（1）“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；（2）“当x为某一实数时可使x2＜0”是不可能事件；（3）“明天广州要下雨”是必然事件；（4）“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件．其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．32．（5分）“|x|=|y|”是“x=y”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）如图中的程序框图运行结果M为（）A．3 B．C．D．14．（5分）如图，在一个边长为a、b（a＞b＞0）的矩形内画一梯形，梯形上、下底分别为a与a，高为b．向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）用反证法证明命题“+是无理数”时，假设正确的是（）A．假设是有理数B．假设是有理数C．假设或是有理数D．假设+是有理数6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于（）A．2 B．3 C．4 D．57．（5分）在集合M={x|0＜x≤4}中随机取一个元素，恰使函数y=log2x大于1的概率为（）A．1 B．C．D．8．（5分）在箱子里装有十张卡片，分别写有1到10的十个整数；从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x，然后再放回箱子里；第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y，则x+y是10的倍数的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如右面的茎叶图所示，则下列结论正确的是（）A．；乙比甲稳定B．；甲比乙稳定C．；乙比甲稳定D．；甲比乙稳定10．（5分）在△ABC中，“•=•”是“||=||”（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）考虑一元二次方程x2+mx+n=0，其中m，n的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，则方程有实根的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表：例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=（）A．6E B．72 C．5F D．B0二、填空题（共4题，每小题4分，共16分）13．（4分）命题“∃x0∈R，x0=sinx0”的否定是．14．（4分）从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）125 124 121 123 127则该样本标准差s=（克）（用数字作答）．15．（4分）如图，平面上一长12cm，宽10cm的矩形ABCD内有一半径为1cm 的圆（圆心在矩形对角线交点处）．把一枚半径1cm的硬币任意掷在矩形内（硬币完全落在矩形内），则硬币不与该圆相碰的概率为 ．16．（4分）在下列四个结论中，正确的有 ．（填序号） ①若A 是B 的必要不充分条件，则非B 也是非A 的必要不充分条件 ②“”是“一元二次不等式ax 2+bx +c ≥0的解集为R”的充要条件③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件 ④“x ≠0”是“x +|x |＞0”的必要不充分条件三、解答题（共74分）17．（12分）某医院派出医生下乡医疗，一天内派出医生人数及其概率如下：求：（1）派出医生至多2人的概率． （2）派出医生至少2人的概率．18．（12分）一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：（1）画出散点图；（2）如果y 对x 有线性相关关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？19．（12分）某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．若130～140分数段的人数为2人．（1）求这组数据的平均数M；（2）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．20．（12分）设命题p：函数f（x）=（a﹣）x是R上的减函数，命题q：函数g（x）=x2﹣4x+3在[0，a]的值域为[﹣1，3]．若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围．21．（12分）求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1．22．（14分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）（a，b，c∈R），且同时满足下列条件：①f（﹣1）=0；②对任意实数x，都有f（x）﹣x≥0；③当x∈（0，2）时，有f（x）≤（）2．（1）求f（1）；（2）求a，b，c的值；（3）当x∈[﹣1，1]时，函数g（x）=f（x）﹣mx（m∈R）是单调函数，求m 的取值范围．2014-2015学年福建省泉州市安溪一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）给出下列4个命题：（1）“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；（2）“当x为某一实数时可使x2＜0”是不可能事件；（3）“明天广州要下雨”是必然事件；（4）“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件．其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：（1）“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”，显然成立，故（1）对；（2）由于x2≥0，故不存在实数x，使x2＜0，故（2）对；（3）明天广州可能下雨，也可能不下雨，故“明天广州要下雨”是随机事件，故（3）错；（4）“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，故（4）对．综上所述，正确命题的个数是3个，故选：D．2．（5分）“|x|=|y|”是“x=y”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“|x|=|y|”可得“x=y”或“x=﹣y”，所以x=y⇒|x|=|y|，反之不成立．故选：B．3．（5分）如图中的程序框图运行结果M为（）A．3 B．C．D．1【解答】解：执行程序框图，有x=1y=2M=故选：C．4．（5分）如图，在一个边长为a、b（a＞b＞0）的矩形内画一梯形，梯形上、下底分别为a与a，高为b．向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：利用几何概型，其测度为图形的面积．∵图中梯形内部的面积为s=（a+a）b=ab，∴落在梯形内部的概率为：P===．故选：D．5．（5分）用反证法证明命题“+是无理数”时，假设正确的是（）A．假设是有理数B．假设是有理数C．假设或是有理数D．假设+是有理数【解答】解：假设结论的反面成立，+不是无理数，则+是有理数．故选：D．6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：a S i 是否继续循环循环前/0 1/第一圈 2 2 2 是第二圈8 10 3 是第三圈24 34 4 否此时i值为4故选：C．7．（5分）在集合M={x|0＜x≤4}中随机取一个元素，恰使函数y=log2x大于1的概率为（）A．1 B．C．D．【解答】解：解不等式log2x≥1，可得x≥2，∴在区间[1，4]上随机取一实数x，该实数x满足不等式1≤log2x的概率为．故选：C．8．（5分）在箱子里装有十张卡片，分别写有1到10的十个整数；从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x，然后再放回箱子里；第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y，则x+y是10的倍数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：所有的读数（x，y）共有10×10=100个，其中满足x+y是10的倍数的有（1，9）、（2，8）、（3，7）、（4，6）、（5，5），（9，1）、（8，2）、（7，3）、（6，4）、（10，10），共计10个，故x+y是10的倍数的概率为=，故选：D．9．（5分）甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如右面的茎叶图所示，则下列结论正确的是（）A．；乙比甲稳定B．；甲比乙稳定C．；乙比甲稳定D．；甲比乙稳定【解答】解：由茎叶图可知，甲的成绩分别为：72，77，78，86，92，平均成绩为：81；乙的成绩分别为：78，82，88，91，95，平均成绩为：86.8，则易知；从茎叶图上可以看出乙的成绩比较集中，分数分布呈单峰，乙比甲成绩稳定．故选：A．10．（5分）在△ABC中，“•=•”是“||=||”（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：因为在△ABC中•=•等价于•﹣•=0等价于•（+）=0，因为的方向为AB边上的中线的方向．即AB与AB边上的中线相互垂直，则△ABC为等腰三角形，故AC=BC，即，所以为充分必要条件．故选：C．11．（5分）考虑一元二次方程x2+mx+n=0，其中m，n的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，则方程有实根的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：连续抛掷两次骰子分别得到的点数记作（m，n）：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）．共36个若要使一元二次方程x2+mx+n=0有实根，则m2﹣4n≥0，则满足条件的情况有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）．共19种故程有实根的概率P=．故选：A．12．（5分）计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表：例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=（）A．6E B．72 C．5F D．B0【解答】解：由表，10×11=110，110÷16商是6余数是14，故A×B=6E应选A．二、填空题（共4题，每小题4分，共16分）13．（4分）命题“∃x0∈R，x0=sinx0”的否定是∀x∈R，x≠sinx．【解答】解：特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x0∈R，x0=sinx0”的否定是：∀x∈R，x≠sinx．故答案为：∀x∈R，x≠sinx．14．（4分）从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）125 124 121 123 127则该样本标准差s=2（克）（用数字作答）．【解答】解：∵=（125+124+121+123+127）=124，∴S2=[（125﹣124）2+（124﹣124）2+（121﹣124）2+（123﹣124）2+（127﹣124）2]=4，∴S==2．故答案为：2．15．（4分）如图，平面上一长12cm，宽10cm的矩形ABCD内有一半径为1cm 的圆（圆心在矩形对角线交点处）．把一枚半径1cm的硬币任意掷在矩形内（硬币完全落在矩形内），则硬币不与该圆相碰的概率为1﹣．【解答】解：记“硬币不与圆O相碰”为事件A硬币要落在矩形内，硬币圆心应落在长12cm，宽10cm的矩形，其面积为120cm2无公共点也就意味着，硬币的圆心与圆心相距超过2cm以圆心O为圆心，作一个半径2cm的圆，硬币的圆心在此圆外面，则硬币与半径为1cm的小圆无公共点所以有公共点的概率为=则无公共点的概率为P（A）=1﹣．故答案为：1﹣．16．（4分）在下列四个结论中，正确的有①②④．（填序号）①若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件②“”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R”的充要条件③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件④“x≠0”是“x+|x|＞0”的必要不充分条件【解答】解：∵原命题与其逆否命题等价，∴若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件．“”⇔“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R．x≠1推不出x2≠1，反例：x=﹣1⇒x2=1，∴“x≠1”是“x2≠1”的不充分条件．x≠0推不出x+|x|＞0，反例x=﹣2⇒x+|x|=0．但x+|x|＞0⇒x＞0⇒x≠0，∴“x≠0”是“x+|x|＞0”的必要不充分条件．答案：①②④三、解答题（共74分）17．（12分）某医院派出医生下乡医疗，一天内派出医生人数及其概率如下：求：（1）派出医生至多2人的概率．（2）派出医生至少2人的概率．【解答】解：记事件A为“不派出医生”，事件B为“派出1名医生”，事件C为“派出2名医生”，事件D为“派出3名医生”，事件E为“派出4名医生”，事件F为“派出不少于5名医生”．则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥，又由题意可得，P（A）=0.1，P（B）=0.16，P（C）=0.3，P（D）=0.2，P（E）=0.2，则P（F）=1﹣0.1﹣0.16﹣0.3﹣0.3﹣0.2=0.04．（1）“派出医生至多2人”包含A、B、C三个事件，则其概率为P=P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）=0.1+0.16+0.3=0.56．（2）“派出医生至少2人”包含C、D、E、F，共四个事件，则其概率P=P（C+D+E+F）=P（C）+P（D）+P（E）+P（F）=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74．18．（12分）一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：（1）画出散点图；（2）如果y对x有线性相关关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？【解答】解：（1）散点图如图所示；（2）=12.5，=8.25，=25.5，=35，∴≈0.7286，=﹣0.8571∴回归直线方程为：y=0.7286x﹣0.8571；（3）由上一问可知0.7286x﹣0.8571≤10，解得x≤14.9013．19．（12分）某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．若130～140分数段的人数为2人．（1）求这组数据的平均数M；（2）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知：90～100分的频率为0.1，100～110分的频率为0.25，110～120分的频率为0.45，120～130分的频率为0.15，130～140分的频率为0.05；∴这组数据的平均数M=95×0.1+105×0.25+115×0.45+125×0.15+135×0.05=113（分）（Ⅱ）∵第五组130～140分数段的人数为2人，频率为0.05；故参加的总人数为2÷0.05=40人．第一组共有40×0.01×10=4人，记作A1、A2、A3、A4；第五组共有2人，记作B1、B2从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：{A1，A2}、{A1，A3}、{A1，A4}、{A2，A3}、{A2，A4}、{A3，A4}；{A1，B1}、{A2，B1}、{A3，B1}、{A4，B1}；{A1，B2}、{A2，B2}、{A3，B2}、{A4，B2}；{B1，B2}．共有15种结果，设事件A：选出的两人为“黄金搭档组”．若两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法，故P（A）=．20．（12分）设命题p：函数f（x）=（a﹣）x是R上的减函数，命题q：函数g（x）=x2﹣4x+3在[0，a]的值域为[﹣1，3]．若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围．【解答】解：命题p：∵函数是R上的减函数，由得命题q：∵g（x）=（x﹣2）2﹣1，在[0，a]上的值域为[﹣1，3]得2≤a≤4∵p且q为假，p或q为真，得p、q中一真一假．若p真q假，得若p假q真，得综上，＜a＜2或≤a≤421．（12分）求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1．【解答】解：充分性：当a=0时，方程变为2x+1=0，其根为x=，方程只有一个负根；当a=1时，方程为x2+2x+1=0．其根为x=﹣1，方程只有一个负根．当a＜0时，△=4（1﹣a）＞0，方程有两个不相等的根，且＜0，方程有一正一负根．必要性：若方程ax2+2x+1=0有且仅有一个负根．当a=0时，适合条件．当a≠0时，方程ax2+2x+1=0有实根，则△=4（1﹣a）≥0，∴a≤1，当a=1时，方程有一个负根x=﹣1．若方程有且仅有一负根，则∴a＜0综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为a≤0或a=122．（14分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）（a，b，c∈R），且同时满足下列条件：①f（﹣1）=0；②对任意实数x，都有f（x）﹣x≥0；③当x∈（0，2）时，有f（x）≤（）2．（1）求f（1）；（2）求a，b，c的值；（3）当x∈[﹣1，1]时，函数g（x）=f（x）﹣mx（m∈R）是单调函数，求m的取值范围．【解答】解：（1）由f（﹣1）=0，得a﹣b+c=0，①令x=1，有f（1）﹣1≥0和f（1）≤（）2=1，∴f（1）=1．（2）由f（1）=1得a+b+c=1②联立①②可得b=a+c=，由题意知，对任意实数x，都有f（x）﹣x≥0，即ax2+（a+c）x+c﹣x≥0，即ax2﹣x+c≥0对任意实数x恒成立，于是，即，∵，∴⇒，∴，∴∴，∴a=c=，b=．（3）由（2）得：g（x）=f（x）﹣mx=x2+x+﹣mx=[x2+（2﹣4m）x+1]此抛物线的对称轴方程为∵x∈[﹣1，1]时，g（x）是单调的，∴|﹣|≥1，解得m≤0或m≥1．∴m的取值范围是（﹣∞，0]∪[1，+∞）．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-a a-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．ABFEDCF第21页（共21页）。
一中2014-2015高二数学上学期期中试题 文 新人教A版
福建省莆田一中2014-2015学年高二上学期期中试数学文试卷学（满分150分；考试时间120分钟）一、选择题：本大题共12小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1．已知:4p x >，:5q x >，则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )．A.x 281＋y 272＝1B.x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 3．200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布图如图所示，则时速在[50,60)的汽车大约有多少辆？（ ） A 、 30 B 、 40 C 、 50 D 、 60 4．命题“存在实数x ，使1x >”的否定是（ ）A ．对任意实数x ，都有1x >B ．不存在实数x ，使1x ≤C ．对任意实数x ，都有1x ≤D ．存在实数x ，使1x ≤5．一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字．若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是( )A 、12 B 、 34C 、 35D 、 586.下列说法错误的是（ ）A ．如果命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题B ．命题“若0a =，则0ab =”的逆否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”C ．命题p ：存在x ∈R ，使2240x x -+<，则p ⌝：对任意的2,240x x x ∈-+≥R D ．命题“存在x ∈R ，使2240x x -+-=”是真命题7. 双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过1F 作倾斜角为30o 的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）ABCD．8．命题“（2x+1）（x-3）<0”的一个必要不充分条件是（ ）Ａ．132x -<< Ｂ．142x -<< Ｃ．132x -<<Ｄ．12x -<< 9.曲线221259x y +=与曲线221(9)259x y k k k +=<--的（ ） A ．长轴长相等 B ．短轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等10．在ABC ∆中，“B B A A sin cos sin cos +=+”是“90=C ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则b 2＋13a的最小值为( )A.233B.33C ．2D ．112.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以710为概率的事件是 （ ）A ．恰有1件一等品B ．至少有一件一等品C ．至多有一件一等品D ．都不是一等品二、填空题：本大题共4小题, 每小题4分, 共16分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置, 书写不清, 模棱两可均不得分。
福建省泉州第一中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题
福建省泉州第一中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题考试时间 120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题（共12小题，每题5分共60分，只有一个选项正确，请把答案写在答题卷上） 1．已知集合{1,0,1}A =-，{1,}B m =．若B A ⊆，则实数m 的值是（ ）A ．0B ．1-C ．0或1-或1D ．1-或02．下列四个图像中，能构成函数的是（A ．（1） B.（1）、（3）、（4） C.（1）、（2）、（3） D.（3）、（4） 3．函数)10(12≠>+=+a a a y x ，的图象经过的定点坐标为 （ ）A ．)12(，- B ．)22(，- C ．)10(， D ．)20(， 4．下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）A ．01x y y ==，B ． 2)(||x y x y ==，C ．33x y x y ==，D ．x y x y lg 2lg 2==， 5．三个数6log 7.067.067.0，，的大小顺序是（ ）A ．60.70.7log 60.76<<B ．60.70.70.76log 6<<C ．0.760.7log 660.7<<D ．60.70.70.7log 66<<6．已知幂函数αx x f =)(的图象经过点)222(，，则)4(f 的值为（ ） A ．21B ．2C ．161 D ．16 7．函数xx f 3log 21)(-=的定义域是（ ）A ．]9(，-∞B ．)9(，-∞C ．]90(，D ．），（908．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是（ ）A ．3x y =B ．1||-=x yC ．122+-=x yD ．x y 2=（3）（4）10．函数xxx f 222)(+-=的值域是（ ）A ．)2(，-∞B ．]2-，（∞C ．），（20D ．]20(，11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的2121)0[x x x x ≠∞+∈，，、，恒有0)()(1212>--x x x f x f 成立，则以下结论正确的是（ ）A ．)3()1()2(->->f f fB ．)1()3()2(->->f f fC ．)1()2()3(->>-f f fD ． )2()1()3(f f f >->-12．已知函数⎩⎨⎧≥-<≤-=1121013)(x x x x f x ，，，设0≥>a b ，若()()f a f b =，则)(b f a ⋅的取值范围是（ ）A ．)121[∞+-， B ．)31121[--， C ． )232[， D ． ]232[，第Ⅱ卷（非选择题共90分）二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请把答案写在答题卷上） 13．若}2{}08|{2n mx x x ，-==-+，则=+n m 14．集合{}4321，，，=A 的真子集个数是 15．已知x x f 1)12(=+，那么=)5(f 16．设函数xx f 2)(=，对任意的 x 1、x 2（x 1≠x 2），考虑如下结论：①f (x 1·x 2) = f (x 1) + f (x 2)； ②f (x 1 + x 2) = f (x 1)·f (x 2)； ③f (－x 1) =1f (x 1) ；④f (x 1) －1x 1 < 0 (x 1 ≠ 0)； ⑤)2(2)()(2121x x f x f x f +>+． 则上述结论中正确的是 （只填入正确结论对应的序号）三．解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)全集U =R ，集合}103|{<≤=x x A ，}3243312|{⎩⎨⎧+≤->-=x x x x B（I ）求A B ，A B , ()()U U C A C B ；（II ）若集合C ={|}x x a >，A C ⊆，求a 的取值范围（结果用区间表示）．18．(本小题满分12分)求值：（I ）23221)32()827()2()94(--+--+ （II ）9log )2log 34(log 233⋅-19．(本小题满分12分)已知)(x f y =是定义在），（），∞+-∞00( 上的奇函数，当0>x 时，x x f 2log )(=，（I ）求函数)(x f 解析式并画出函数图像；（II ）请结合图像直接写出不等式0)(<x xf 的解集．20．(本小题满分12分)已知矩形ABCD ，|4||=AB 点P 沿矩形ABCD 的边从B 逆时针运动到A ．当点P 运动过的路程为x 时，记点P 的运动轨迹与线段OB OP 、围成的图形面积为)(x f ． （I ）求)(x f 表达式；（II ）若2)(=x f ，求x 的值．21．(本小题满分12分)已知函数()12++=x b ax x f 是定义在()11，-上的奇函数，且有5221=）（f （I ）求函数()x f 的解析式；ABCOP x（II ）用定义证明()x f 在()1,1-上是增函数； （III ）解不等式()()012<-+-x f x f ．22．(本小题满分14分)已知2)(2++=bx x x f ．（I ）若)(x f 在)1-(，∞上单调递减，求实数b 的取值范围； （II ）若)(x f 在区间]31[，上最大值为8，求实数b 的值； （III ）若函数)(x g 的定义域为D ， []D q p ⊆，，用分法Tqx x x x p n =<<<<= 210将区间[]q p ，任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数0>M ，使得不等式M x g x g x g x g x g x g x g x g n n ≤-++-+-+--|)()(||)()(||)()(||)()(|1231201 恒成立，则称函数)(x g 在区间[]q p ，上具有性质)(M σ．试判断当2-=b 时，函数()f x 在]30[，上是否具有性质)(M σ？若是，求M 的最小值；若不是，请说明理由．福建省泉州第一中学2014—2015学年度第一学期期中考试高一年数学试卷 答案卷三．解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分) 解：（I ）[]3,7AB = ----- 3分；-141x-3123-2-4-1O y()2,10A B =-----6分；()()(,2][10,)U U CA CB =-∞⋃+∞-------------9分（II ）a 范围是(,3)-∞ ------------- 12分19．(本小题满分12分)解：（I ）当0<x 时，则0>-x ，)(log )(2x x f -=- -------------2分又)(x f y =是定义在R 上的奇函数)(log )()(2x x f x f --=--=∴ ------------- 4分⎩⎨⎧<-->=∴0)(log 0log )(22x x x x x f ，，------------- 5分（II ）)10()01(，， - -------------12分 -------------8分21．(本小题满分12分)解：（I ）由()()2101522100x x x f b a f f +=∴⎩⎨⎧==∴⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛= ………（4分） （II ）设1121<<<-x x ，由()()()()()()01112221212121<++--=-x x x x x x x f x f()x f ∴在()1,1-上是增函数………（8分）（III ）()()()112+-=--<-x f x f x f1121<+-<-<-∴x x ，解得231<<x ……（12分）22．(本小题满分14分)解：（I ）2)(2++=bx x x f 图像开口向上，对称轴2bx -= 依题意：212-≤∴≥-b b------------- 3分 （II ）当422-≥≤-b b，时，)4(18311)3()(max -≥-=∴=+==b b f x f ， 当422-<>-b b，时，583)1()(max =∴=+==b b f x f ，（舍去） 综上所述：1-=b -------------8分（III ）当2-=b 时函数()f x 在]10[，单调递减，而在]31[，单调递增， 对任意划分T 30110=<<<<<<=-n i i x x x x x ， 必存在)0(n i ，∈，使得111>≤-i i x x ，)1()()()()()0(1210g x g x g x g x g g i i ≥>>>>=--)3()()()()()1(11g x g x g x g x g g n n i i =<<<<<-+ -----------9分|)()(||)()(||)()(||)()(|1231201--++-+-+-n n x g x g x g x g x g x g x g x g )()()()()()(|)()(|)()()()()()(11211122110-+++----++-+-+-+-++-+-=n n i i i i i i i i x g x g x g x g x g x g x g x g x g x g x g x g x g x g)(|)()(|)()()()(110*-+-+-=--i i i n i x g x g x g x g x g x g ----------10分法一：当)()(1i i x g x g ≥-时， )(2)()()(0i n x g x g x g -+=*)1(2)()(0g x g x g n -+<5)1(2)3()0(=-+=g g g -----------12分当)()(1i i x g x g <-时， )(2)()()(10--+=*i n x g x g x g)1(2)()(0g x g x g n -+<5)1(2)3()0(=-+=g g g -----------13分所以存在常数5≥M ,使得M xf x f ni i i≤-∑=-11)()(恒成立，所以M 的最小值为5. -------------14分法二：|)()1()1()(|)()()()()(110i i i n i x g g g x g x g x g x g x g -+-+-+-=*--|)()1(||)1()(|)()()()(110i i i n i x g g g x g x g x g x g x g -+-+-+-≤--------12分)1()()1()()()()()(110g x g g x g x g x g x g x g i i i n i -+-+-+-=--)1(2)()(0g x g x g n -+=5)1(2)3()0(=-+=g g g ----------13分所以存在常数5≥M ,使得M xf x f ni i i≤-∑=-11)()(恒成立，所以M 的最小值为5. -------------14分。
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福建省泉州第一中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学（文科）试题时间120分钟 满分150分一、选择题(本题共有12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。
本题每小题5分，满分60分。
请将答案填写在Ⅱ卷上．．．．．．．．．．) 1.不等式260x x --<的解集为（ ）A.（-2,3）B.（-3,2）C.（-6,1）D. （-1,6） 2.复数2(2+iZ i i-=为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 某单位有职工80人，其中业务人员56人，管理人员8人，服务人员16人。
为了了解职工的某种情况，决定采用分层抽样的方法抽取一个容量为10的样本，则业务人员应抽取（ ） A. 1人 B.2人 C.7人 D. 8人4. 数据10,7,7,7,9的方差是（ ）A.8B.58 C. 22 D. 5102 5. 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+>>123400y x y x 表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 6.当01x <<，函数(1)y x x =-的最大值为（ ） A.1 B.12 C. 14 D.187.将一枚质地均匀的硬币连抛三次，则“至少出现一次正面向上”的概率是（ ） A.13 B.23 C. 18 D.788.一组数据如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ） A.11.5和12 B.11.5和11.5 C.11和11.5 D.12和121 7 1 6 4 0 20 9 79. 为调查800名学生对“东亚文化之都”的了解情况，打算考虑采用系统抽样从中抽取一个容量为40的样本，，现将所有学生随机地编号为000，001，…，799，则第三组第一位学生的编号为（ ）A ．039B ．040C ．041D ．042 10. 下图给出的是计算1001...81614121+++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A ． 51i <B ．50i <C ．26i >D ． 25<i12. 设(,)M x y 是区域86x y ax y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩内的动点，且不等式214x y +≤恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．B ．C ．D ．二、填空题 (本题共有4小题，每小题4分，满分16分。
请将答案填写在Ⅱ卷上．．．．．．．．．．) 13.复数1Z i =-的虚部是__________ 14.已知,x y 的取值如下表所示：如果,x y 呈线性相关，且线性回归方程为+2y x a =，则当7x =时，预测y 的值为__________15. 在区间[2,4]-上随机地取一个数x ,若x 满足||x m ≤的概率为23,则m =__________. 16．利用计算机随机模拟方法计算2y x =与4y =所围成的区域Ω的面积时，可以先运行以下算法步骤：第一步：利用计算机产生两个在区间内的均匀随机数,a b ；第二步：对随机数,a b 实施变换：1142,4,a ab b =⋅-⎧⎨=⎩得到点A ()11,a b ；第三步：判断点A ()11,a b 的坐标是否满足211b a <；第四步：累计所产生的点A 的个数m ，及满足211b a <的点A 的个数n ；第五步：判断m 是否小于M （一个设定的数）.若是，则回到第一步，否则，输出n 并终止算法.若设定的100M =，且输出的34n =，则据此用随机模拟方法可以估计出区域Ω的面积为 （保留小数点后两位数字）．三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
请将答案填写在Ⅱ卷上．．．．．．．．．．） 17.已知复数22(232)(32),Z m m m m i m R =--+-+∈ （1）1m Z =-当时，求；（2）当Z 为纯虚数时，求实数m 的值。
18.某校高二年有学生320人，现随机抽取n 个学生对其每天晚自习自主支配学习时间进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知抽取的学生中每天晚自习自主支配学习时间低于20分钟的人数是4人．（1）求n 及学生对其每天晚自习自主支配学习时间的众数； （2）若学生平均每天晚自习自主支配学习时间少于45分钟，则学校需要减少作业量．根据以上抽样调查数据，学校是否需要减少作业量？19. 一个函数)(x f y =（1） 若输入的1=x ，则输出的结果是什么？ （2） 求函数)(x f y =的值域；20.某学校为调查高二年学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生， 得到如下的列联表已知在全部80人中随机抽取一人抽到身高170cm ≥的学生的概率是1740。
（1）请将上面的列联表补充完整；（2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“身高与性别有关”?（3）在上述80名学生中，身高170～175cm 之间的男生有16人，女生人数有4人． 从身高在170～175cm 之间的学生中按男、女性别分层抽样的方法，抽出5人，从这5人中选派3人当旗手，求3人中恰好有一名女生的概率．参考公式： 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++参考数据：21.某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求： （1）仓库面积S 的最大允许值是多少？（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？22.已知函数2()+2f x ax bx =-（1）若0)(<x f 得解集为)2,31(-，求b a ,的值；（2）若32b a =-，且函数()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）设121210,[()()],()22x x a P f x f x Q f +>=+=，试比较P Q 与的大小。
泉州一中2014—2015学年第一学期期中测试卷答案（２）222320 (9320)1212212m m m m m m m m m ⎧--=⎪⎨-+≠⎪⎩⎧=-=⎪∴=-⎨⎪≠≠⎩由已知分或解的......12分且１９. .解：由已知⎪⎩⎪⎨⎧>++≤≤-++=1,4314,22)(22x x x x x x x x f ……４分（1）5 …….５分241,(1)1,[1,10] (84)1,3372[7,)......11x y x y x y x x y x-≤≤=++∈>=++≥==∈+∞当则分当当且仅当时等号成立，则分……分故值域为[1,+)∞ ……１２分２０.（１）身高cm 170≥的人数有1780=34⨯人，所以可得到下列列联表：…………………………………………４分2280(3036104)34.5810.82840403446K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，………………………………………7分所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为身高与性别有关；…………………………………………8分21. 解：设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，则顶部面积为xy S =依题设，32002045240=+⨯+xy y x ，……………4分 由基本不等式得xy xy xy y x 2012020904023200+=+⋅≥S S 20120+=，……………6分 01606≤-+∴S S ，即0)6)(10(≤+-S S ，……………9分故10≤S ，从而100≤S ……………11分 所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是y x 9040=且100=xy ， 求得15=x ，即铁栅的长是15米。
……………12分２２．解：（１）21,22031-+2=-33 (322)53ax bx b a a b a -+-=⎧⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪-=-⎪⎩由已知是的两实数根......1分解的分（２）由已知0,- 1 (523252)232-1,00 (7225)ba aa ab a a a a a>≤--=-≤≥>∴≥且分由得即分（３）（22112222121221212222121222221212122121P=[22]21()()222() 2 (9222)1())22211111[]224421(0 (134)ax bx ax bx b a x x x x x x x xQ a b x x P Q a x x a a x x x x x x a x x +-++-=+++-+=++--=+-+=+---=-≥∴≥分（）分P Q......14分３）四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且 2.347 6.423=-；②y与x负相关且 3.476 5.648y x=-+；y x③y与x正相关且 5.4378.493y xy x=--.=+；④y与x正相关且 4.326 4.578其中一定不正确．．．的结论的序号是A．①②B．②③C．③④D．①④10.56。