2.1.4两条直线的交点(教师)

2.1.4两条直线的交点
教学目标：
1.会求两条直线的交点；
2.通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在联系；
教学重点：
判断两直线是否相交，求交点坐标
教学过程：
Ⅰ.问题情境
问题：任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，那么两条直线是否有交点与它们的方程所组成的方程组是否有解有何联系？ Ⅱ.建构数学 设两条直线的方程分别是1l :0111=++C y B x A ,2l :0222=++C y B x A ．
）求两直线的交点坐标只需将这两条直线的方程联立成方程组， 方程组的解 即为交点坐标.
（2）在解由两直线的方程组成的方程组的时候可能出现的三种结果是： ①方程组有一组解，该解为 交点坐标 ；
②方程组有无数组解，此时两直线的位置关系为 重合 ，交点个数为 无数个 ； ③方程组无解，此时两直线的位置关系是 平行 ，交点个数为 0个．
典型例题：
例1: 已知三条直线1l ：440x y +-=，2l ：0xm y +=，3l ：2340x my --=，求分别满足下列条件的m 的值：
（1）使这三条直线交于同一点；（2）使这三条直线不能构成三角形． 分析：三条直线交于同一点的条件是两直线交点在第三条直线上；三条直线不能构成三角形的条件是三条直线交于一点或其中有两条直线平行．
【解】要使三直线交于一点，则1l 与2l 不平行，∴4m ≠，
∴由4400x y xm y +-=⎧⎨+=⎩得4444x m
m y m ⎧=
⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，即1l 与2l 交点为44(
,)44m m m ---， 代入3l 方程得
8434044m m m m --⋅-=--，解得1m =-或2
3
． （2）若1l 、2l 、3l 交于一点，则1m =-或2
3
；若12//l l ，则4m =；
若13//l l ，则1
6
m =-；若23//l l ，则m 无解，
综上可得：1m =-或
23或4或16
-． 点评：三条直线要能构成三角形，只需两两不平行即可．
例2:若直线l ：y ＝kx 3-与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，求直线l 的倾斜角的取值范围.
解法一：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围
3(2232360x y kx k x y y ⎧+=⎪⎧=⎪⎪+⇒⎨⎨
+-=⎪⎩⎪=⎪⎩
∵交点在第一象限，
∴⎩⎨⎧>>00y x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+->++0
32326032)
32(3k k k
∴k ∈（3
3
，＋∞）
∴倾斜角范围为（
2
,
6π
π）
解法二：如图，直线2x +3y －6=0过点A （3，0），B （0，2），直线l 必过点（0，－3），当直线过A 点时，两直线的交点在x 轴，当直线l 绕C 点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而得出结果.
点评：解法一利用曲线与方程的思想，利用点在象限的特征求得，而解法二利用数形结合的思想，结合平面几何中角的求法，可迅速、准确求得结果. 巩固练习：
1. 若一条直线过点(2,1)，且与另一条直线y kx b =+相交于点(1,2),则该直线的方程为
30x y +-=．
2. 三条直线10x y ++=，280x y -+=，350ax y +-=有且只有两个交点，则a = 3或-6．
3. 已知两直线1130a x b y ++=和2230a x b y ++=的交点是(2,3)，则过两点
1122(,),(,)P a b Q a b 的直线方程是3230x y ++= .
课外作业：
1．直线2x ＋3y ＋8＝0与直线x －y －1＝0的交点为________．
解析 由⎩⎨⎧
2x ＋3y ＋8＝0，
x －y －1＝0，解得交点坐标为(－1，－2)．
答案 (－1，－2)
2．已知a 为常数，则直线5x ＋4y ＝2a ＋1与直线2x ＋3y ＝a 的交点坐标为________．
解析 由⎩⎨
⎧
5x ＋4y ＝2a ＋1，
2x ＋3y ＝a ，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2a ＋37，y ＝a －2
7.
所以交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
2a ＋37，a －27.
答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2a ＋37
，
a －27 3．直线x －2y －2k ＝0与直线2x －3y －k ＝0的交点在直线3x －y ＝0上，则k 的值为________．
解析 由⎩⎨⎧
x －2y －2k ＝0，
2x －3y －k ＝0解出交点坐标为(－4k ，－3k )，代入3x －y ＝0解得k
的值为0. 答案 0
4．直线l 过直线2x －y ＋4＝0与x －3y ＋5＝0的交点，且垂直于直线y ＝1
2x ，则直线l 的方程是________．
解析 由⎩⎨⎧
2x －y ＋4＝0，x －3y ＋5＝0解得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－75，65，故直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－75，65，斜
率为－2，所以直线l 的方程为y －65＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋75即为10x ＋5y ＋8＝0.
答案 10x ＋5y ＋8＝0
5．已知直线y ＝kx 与直线y ＝－1
2x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________．
解析 法一 由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx ，y ＝－1
2x ＋2解得交点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫4
2k ＋1，4k 2k ＋1，由交点位于第一
象限得⎩⎪⎨⎪⎧
4
2k ＋1＞0，4k
2k ＋1＞0，
即⎩⎨⎧
2k ＋1＞0，
k ＞0， 解得k ＞0.
法二 由图形知：k >0.
答案 k ＞0
6．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝________.
解析 由⎩⎨⎧
2x ＋3y ＋8＝0，
x －y －1＝0，解得交点坐标为(－1，－2)，该交点在x ＋by ＝0上，
故－1－2b ＝0，解得b ＝－1
2. 答案 －1
2
7．过l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y －5＝0的直线方程为________．
解析 由⎩⎨⎧
3x －5y －10＝0，x ＋y ＋1＝0.解得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5
8，－138，故所求直线过点
⎝ ⎛⎭⎪⎫58，－138且与x ＋2y －5＝0平行，可设方程为x ＋2y ＋C ＝0，所以58＋2×⎝ ⎛⎭⎪
⎫
－138＋C ＝0，故C ＝218，所以所求直线方程为x ＋2y ＋21
8＝0，即为8x ＋16y ＋21＝0. 答案 8x ＋16y ＋21＝0
8．若直线y ＝x 与直线y ＝1
k x －5的交点在直线y ＝kx ＋3上，则k ＝________. 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝1k
x －5
y ＝x
解得x ＝y ＝
5k 1－k ，将⎝ ⎛⎭
⎪⎫5k
1－k ，5k 1－k 代入y ＝kx ＋3，得5k 1－k ＝
5k 21－k ＋3，解得k ＝3
5. 答案 35
9．求过两直线3x ＋y －5＝0与2x －3y ＋4＝0的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
解 由⎩⎨⎧ 3x ＋y －5＝0，2x －3y ＋4＝0.，得⎩
⎨⎧
x ＝1，y ＝2，即交点坐标为(1,2)．
若直线过原点，则直线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0； 若直线不过原点，设截距为a ，则方程为x a ＋y a ＝1 ∵点(1,2)在该直线上，∴1a ＋2
a ＝1， ∴a ＝3，则直线方程为x ＋y －3＝0.
综上所述，所求直线的方程为2x －y ＝0或x ＋y －3＝0.
10．当0＜a ＜2时，直线l 1：ax －2y ＝2a －4和l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4与坐标轴围成一个四边形，求使四边形面积最小时a 的值．
解 如图，直线l 1：a (x －2)－2(y －2)＝0，
∴过定点B (2,2)．直线l 2：(2x －4)＋a 2(y －2)＝0， 由2x －4＝0和y －2＝0得l 2也过定点B (2,2)． ∵l 1与y 轴交于点A (0,2－a )， l 2与x 轴交于点C (a 2＋2,0)．
∴S 四边形OABC ＝S △AOB ＋S △BOC ＝12(2－a )×2＋1
2×(a 2＋2)×2 ＝a 2
－a ＋4＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －122＋154. ∴当a ＝12时，S 取最小值15
4.
1即四边形OABC面积最小时，a的值为
2.。