2018年山东省威海市高考数学二模试卷(文科)Word版含解析

2018年山东省威海市高考二模试卷（文科数学）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（a﹣2）}，B={a，a+b}，若A∩B={1}，则b的值为（）1．设集合A={3，log2A．﹣3 B．3 C．1 D．﹣12．若复数z满足iz=l+3i，其中i为虚数单位，则=（）A．﹣3+i B．﹣3﹣i C．3+i D．3﹣i3．给定两个命题p，q，“￢（p∨q）为假”是“p∧q为真”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．如图茎叶图表示一次朗诵比赛中甲乙两位选手的得分，则下列说法错误的是（）A．甲乙得分的中位数相同B．乙的成绩较甲更稳定C．甲的平均分比乙高D．乙的平均分低于其中位数5．函数的一条对称轴为（）A．B．C．D．6．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a∥b的一个充分条件是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊂α，b⊥β，α∥βC．a⊥α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β7．在平行四边形ABCD中，AB=2，∠DAB=π，E是BC的中点， =2，则AD=（）A．1 B．2 C．3 D．48．过点P（1，2）的直线l与圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=5相切，若直线ax+y+3=0与直线l垂直，则a=（）A． B．C． D．29．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积与其外接球的表面积之比为（）A．3：4 B．3：8 C．3：16 D．9：1610．设函数f （x ）=，则满足f （f （m ））＞f （m ）+1的m 的取值范围是（ ）A ．B ．（0，+∞）C ．（﹣1，+∞）D ．.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．函数y=的定义域为 ．12．某学校共3000名学生，其中高一年级900人，现用分层抽样的方式从三个年级中抽取部分学生进行心理测试，已知高一年级抽取了6人，则样本容量为 ．13．变量x ，y 满足约束条件，则z=2x ﹣y 的最小值为 ．14．已知tan α=，则cos2α= ．15．双曲线C 1：的焦点为F 1，F 2，其中F 2为抛物线C 2：y 2=2px （p ＞0）的焦点，设C 1与C 2的一个交点为P ，若|PF 2|=|F 1F 2|，则C 1的离心率为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且满足b=2csinA ． （I ）若C 为锐角，且B=2A ，求角C ；（II ）若a=，求△ABC 的面积．17．（12分）设{an }是单调递增的等差数列，Sn为其前n项和，且满足3S4=2S5，a5+2是a3，a12的等比中项．（I）求数列{an}的通项公式；（II）若数列{bn }满足，求数列{bn}的前n项和Tn．18．（12分）某学校食堂在高一年级学生中抽查了100名学生进行饮食习惯调查，结果如表：（I）从这100人中随机抽取1人，求抽到喜欢吃辣的学生概率；（II）试判断有多大把握认为喜欢吃辣与性别有关；（III）已知在被调查的学生中有5人来自一班，其中有2人喜欢吃辣，从这5人中随机抽取3人，求其中恰有1人喜欢吃辣的概率．下面临界值表仅供参考：．19．（12分）三棱锥P﹣ABC中，底面ABC为等边三角形，O为△ABC的中心，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=BC=，D为AP上一点，且AD=2DP．（I）求证：DO∥平面PBC；（II）求证：AC⊥平面OBD；（III）求三棱锥B﹣PDC的体积．20．（13分）已知函数f（x）=alnx﹣（a+b）x+x2（a，b∈R）．（I）若a=2，b=1，求函数f（x）在x=1处的切线方程；（II）若f（x）在x=1处取得极值，讨论函数f（x）的单调性；（III）当a=1时，设函数φ（x）=f（x）﹣x2有两个零点，求b的取值范围．21．（14分）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：的离心率为，左、右焦点分别是F 1，F 2，P 为椭圆C 1上任意一点，|PF 1|+|PF 2|的最大值为4． （I ）求椭圆C 1的方程；（II ）设椭圆C 2：为椭圆C 2上一点，过点Q 的直线交椭圆C 1于A ，B 两点，且Q 为线段AB 的中点，过O ，Q 两点的直线交椭圆C 1于E ，F 两点． （i ）求证：直线AB 的方程为x 0x+2y 0y=2；（ii ）当Q 在椭圆C 2上移动时，求的取值范围．2018年山东省威海市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={3，log（a﹣2）}，B={a，a+b}，若A∩B={1}，则b的值为（）2A．﹣3 B．3 C．1 D．﹣1【考点】1E：交集及其运算．【分析】利用两个集合的交集的定义求得a 的值和 b 的值，（a﹣2）}，B={a，a+b}，A∩B={1}，【解答】解：∵集合A={3，log2∴log（a﹣2）=1，∴a=4，2∴a+b=1，∴b=﹣3，故选：A．【点评】本题考查集合的表示方法、两个集合的并集的定义和求法，属于基础题．2．若复数z满足iz=l+3i，其中i为虚数单位，则=（）A．﹣3+i B．﹣3﹣i C．3+i D．3﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：iz=l+3i，∴﹣i•iz=﹣i（l+3i），∴z=﹣i+3．则=3+i．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．给定两个命题p，q，“￢（p∨q）为假”是“p∧q为真”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“￢（p∨q）为假”⇔p∨q为真，而“p∧q为真”⇒p∨q为真，反之不成立．【解答】解：“￢（p∨q）为假”⇔p∨q为真，而“p∧q为真”⇒p∨q为真，反之不成立．∴“￢（p∨q）为假”是“p∧q为真”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．如图茎叶图表示一次朗诵比赛中甲乙两位选手的得分，则下列说法错误的是（）A．甲乙得分的中位数相同B．乙的成绩较甲更稳定C．甲的平均分比乙高D．乙的平均分低于其中位数【考点】BA：茎叶图．【分析】根据茎叶图中的数据，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，甲的中位数为88，乙的中位数为88，二者相同，A正确；甲的数据集中在76～94之间，不成单峰分布，乙的数据集中在77～93之间，成单峰分布，∴乙的成绩更稳定，B正确；甲的平均数是=×（76+77+88+90+94）=85，乙的平均数是=×（77+88+86+88+93）=86.4，甲的平均数比乙的低，∴C错误；乙的中位数是88，平均数是86.4，平均数比中位数低，D正确．故选：C．【点评】本题考查了根据茎叶图中的数据求中位数、方差、平均数的应用问题，是基础题．5．函数的一条对称轴为（）A．B．C．D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质，可得对称轴方程．即可判断．【解答】解：函数，化简可得：f（x）=cos2x+sin2x=sin（2x﹣）．对称轴方程为：2x﹣=，k∈Z，得：x=，k∈Z，当k=0，可得一条对称轴为x=．故选C【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．6．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a∥b的一个充分条件是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊂α，b⊥β，α∥βC．a⊥α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】本题寻求线线平行的条件，逐一对四个选项中的条件进行判断，验证它们能否推出线线平行，从而选出正确选项【解答】解：A选项不是a∥b的一个充分条件，直线a，b的位置关系不能确定；B选项不是a∥b的一个充分条件，a⊂α，b⊥β，α∥β得到a⊥b；C选项是a∥b的一个充分条件，由a⊥α，α∥β，a⊥β；b⊥β，α∥β，得到b⊥α，于是得到a∥b；D选项不是a∥b的一个充分条件，由a⊂α，b∥β，α⊥β不能确定直线a，b的位置关系；故选C．【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，正解解答本题，关键是掌握好充分条件的定义，以及线线平行的判断方法．本题考查空间想像能力以及推理论证能力．7．在平行四边形ABCD中，AB=2，∠DAB=π，E是BC的中点， =2，则AD=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设||=x＞0．由向量的三角形法则可得、，代入=2，利用数量积的运算性质展开即可求得结果．【解答】解：如图所示，平行四边形ABCD中，AB=2，∠DAB=π，E是BC的中点，设||=x＞0，∵=+=+=+，=+=﹣+，∴•=（+）•（﹣）=+•﹣=x2+x•2•c os﹣22=x2﹣x﹣4=2，化为x2﹣x﹣12=0，∵x＞0，解得x=4，即AD=4．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积的运算问题，是基础题．8．过点P（1，2）的直线l与圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=5相切，若直线ax+y+3=0与直线l垂直，则a=（）A ．B ．C ．D ．2【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出点P 在圆上，圆（x ﹣3）2+（y ﹣1）2=5的圆心C （3，1），从而k PC =﹣，进而直线l 的斜率k=﹣=2，再由直线ax+y+3=0与直线l 垂直，能求出a 的值．【解答】解：把P （1，2）代入圆（x ﹣3）2+（y ﹣1）2=5，得（1﹣3）2+（2﹣1）2=5， ∴点P 在圆上，圆（x ﹣3）2+（y ﹣1）2=5的圆心C （3，1），∵过点P （1，2）的直线l 与圆（x ﹣3）2+（y ﹣1）2=5相切，=﹣，∴直线l 的斜率k=﹣=2，∵直线ax+y+3=0与直线l 垂直，∴﹣a•2=﹣1，解得a=． 故选：B ．【点评】本题考查实数值的求法，考查圆、直线方程、斜率公式、直线与直线垂直的条件、直线与圆相切等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积与其外接球的表面积之比为（ ）A ．3：4B ．3：8C ．3：16D ．9：16【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图可知该几何体为圆锥，根据圆锥的表面积公式和球的表面积公式求出即可【解答】解：由几何体的三视图可知该几何体为圆锥，假设圆锥的底面半径是r ，母线长为l ，外接球外径为R ∴r=1，l=2，∴S 圆锥表面积=πrl+πr 2=3π，∵圆锥的轴截面是正三角形，外接球的球心是轴截面（正三角形）的外接圆的圆心即重心．∴外接球的半径R=∴S 球=4πR 2=π，∴S 圆锥表面积：S 球=9：16， 故选：D ．【点评】本题考查了几何体的三视图，以及圆锥的表面积公式和球的表面积公式，属于中档题10．设函数f （x ）=，则满足f （f （m ））＞f （m ）+1的m 的取值范围是（ ）A ．B ．（0，+∞）C ．（﹣1，+∞）D ．.【考点】5B ：分段函数的应用．【分析】结合选项通过特殊值验证法判断选项即可．【解答】解：函数f （x ）=，当m=0时，f （f （0））=f （1）=e ，f （0）+1=1+1=2，满足f （f （m ））＞f （m ）+1，排除B ；当m=﹣时，f （f （﹣））=f （0）=﹣1，f （﹣）+1=0+1=1，不满足题意，排除C ；当m=﹣时，f （f （））=f （）=，f （﹣）+1=，∵e×33≈73，43=64，∴e，即：．可知m=﹣，不等式成立．排除D．故选：A．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的大小比较，本题选择题的解法值得同学学习．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．函数y=的定义域为{x|x＞1} ．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数以及二次个数的性质得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：3x﹣2＞1，解得：x＞1，故函数的定义域是{x|x＞1}，故答案为：{x|x＞1}．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．12．某学校共3000名学生，其中高一年级900人，现用分层抽样的方式从三个年级中抽取部分学生进行心理测试，已知高一年级抽取了6人，则样本容量为20 ．【考点】B3：分层抽样方法．【分析】设样本容量为n，利用分层抽样的性质列出方程，能求出样本容量．【解答】解：设样本容量为n，由题意得： =6，解得n=20．故答案为：20．【点评】本题考查分层抽样的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样性质的合理运用．13．变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为﹣6 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，8），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．已知tanα=，则cos2α= ．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用“弦化切”的思想，将cos2α=cos2α﹣sin2α=，即可求解．【解答】解：由题意，tanα=，cos2α=cos2α﹣sin2α===．故答案为．【点评】本题主要考查了二倍角公式和同角三角函数关系式的计算．属于基础题15．双曲线C 1：的焦点为F 1，F 2，其中F 2为抛物线C 2：y 2=2px （p ＞0）的焦点，设C 1与C 2的一个交点为P ，若|PF 2|=|F 1F 2|，则C 1的离心率为 +1 ．【考点】KC ：双曲线的简单性质．【分析】设P （m ，n ）位于第一象限，求出抛物线的焦点和准线方程，可得c=，再由抛物线的定义，求得m ，代入抛物线的方程可得n ，代入双曲线的方程，由双曲线的a ，b ，c 和离心率公式，化简整理计算即可得到所求值．【解答】解：设P （m ，n ）位于第一象限，可得m ＞0，n ＞0，由题意可得F 2（，0），且双曲线的c=，抛物线的焦点为准线方程为x=﹣，由抛物线的定义可得m+=|PF 2|=|F 1F 2|=2c ，即有m=c ，n===2c ，即P （c ，2c ），代入双曲线的方程可得，﹣=1，即为e 2﹣=1，化为e 4﹣6e 2+1=0，解得e 2=3+2（3﹣2舍去），可得e=1+．故答案为：1+．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用抛物线的定义和点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）（2017•威海二模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且满足b=2csinA．（I）若C为锐角，且B=2A，求角C；（II）若a=，求△ABC的面积．【考点】HP：正弦定理．【分析】（I）由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式可得2sinAcosA=2sinCsinA，由于sinA≠0，可得cosA=sinC，结合C为锐角，可得C的值．（II）利用同角三角函数基本关系式可求cosA，利用余弦定理可求c，b的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（I）∵b=2csinA，由正弦定理可得：sinB=2sinCsinA，…2分又∵B=2A，∴sinB=sin2A=2sinAcosA=2sinCsinA，∵sinA≠0，∴cosA=sinC，…4分∵C为锐角，可得C=﹣A，…5分∵，解得：C=…6分（II）∵sinA=，可得：cosA=，…8分∴b=2csinA=c，又a=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：13=c2+c2﹣2×c2×，解得：c=5，b=6，…10分∴S△ABC=bcsinA==9…12分【点评】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17．（12分）（2017•威海二模）设{an}是单调递增的等差数列，Sn为其前n项和，且满足3S4=2S5，a5+2是a3，a12的等比中项．（I）求数列{an}的通项公式；（II）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（I）设单调递增的等差数列{an}的公差为d＞0，由3S4=2S5，a5+2是a3，a12的等比中项，可得=， =（a1+2d）（a1+11d），联立解得a1，d，即可得出．（II）由数列{bn}满足，n≥2时， ++…+=3n﹣3，相减可得： =2×3n．当n=1时，a1=2，b1=12，上式也成立．再利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）设单调递增的等差数列{an}的公差为d＞0，∵3S4=2S5，a5+2是a3，a12的等比中项，∴=， =（a1+2d）（a1+11d），联立解得a1=2=d，∴an=2+2（n﹣1）=2n．（II）由数列{bn}满足，∴n≥2时，++…+=3n﹣3，相减可得： =2×3n．∴bn=4n×3n．当n=1时，a1=2，b1=2×（32﹣3）=12，上式也成立．∴bn=4n×3n．∴数列{bn }的前n项和Tn=4[3+2×32+…+（n﹣1）•3n﹣1+n•3n]，3Tn=4[32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1]，∴﹣2Tn =4（3+32+…+3n﹣n×3n+1）=4×，∴Tn=（2n﹣1）•3n+1+3．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式求和公式及其性质、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•威海二模）某学校食堂在高一年级学生中抽查了100名学生进行饮食习惯调查，结果如表：（I）从这100人中随机抽取1人，求抽到喜欢吃辣的学生概率；（II）试判断有多大把握认为喜欢吃辣与性别有关；（III）已知在被调查的学生中有5人来自一班，其中有2人喜欢吃辣，从这5人中随机抽取3人，求其中恰有1人喜欢吃辣的概率．下面临界值表仅供参考：．【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（I）设“抽到喜欢吃辣的学生”为事件A，求出概率值即可；（II）根据列联表中数据，计算K2，对照临界值即可得出结论；（III）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．【解答】解：（I）设“抽到喜欢吃辣的学生”为事件A，则P（A）==0.55；（II）根据列联表中数据，计算K2==≈10.77，因为10.77＞7.879，所以有99.5%的把握认为喜欢吃辣与性别有关；（III）设喜欢吃辣的2名学生为A、B，不喜欢吃辣的3名学生为c、d、e，从这5人中随机抽取3人，基本事件是ABc、ABd、ABe、Acd、Ace、Ade、Bcd、Bce、Bde、cde共10种；其中恰有1人喜欢吃辣的事件是Acd、Ace、Ade、Bcd、Bce、Bde共6种；故所求的概率为P==．【点评】本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，是基础题．19．（12分）（2017•威海二模）三棱锥P﹣ABC中，底面ABC为等边三角形，O为△ABC的中心，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=BC=，D为AP上一点，且AD=2DP．（I）求证：DO∥平面PBC；（II）求证：AC⊥平面OBD；（III）求三棱锥B﹣PDC的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（I）延长AO交BC于E，连结PE，于是，故而DO∥PE，从而得出DO∥平面PBC；（II）由面面垂直的性质可得PE⊥平面ABC，得出PE⊥AC，于是DO⊥AC，结合AC⊥OB得出AC⊥平面ODB；（III）根据面面垂直得出AE⊥平面PBC，从而得出D到平面PBC的距离，代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】证明：（I）延长AO交BC于E，连结PE．∵O是等边ABC的中心，∴AO=2OE，又∵AD=2DP，∴OD∥PE，又∵OD⊄平面PBC，PE⊂平面PBC，∴DO∥平面PBC．（II）∵O是等边三角形ABC的中心，OA∩BC=E，∴OB⊥AC，E是BC的中点，又∵PB=PC，∴PE⊥BC．∵平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，PE⊥BC，PE⊂平面PBC，∴PE⊥平面ABC，∵AC⊂平面ABC，∴PE⊥AC，又PE∥DO，∴DO⊥AC，又DO⊂平面ODB，OB⊂平面ODB，OD∩OB=O，∴AC⊥平面ODB．（III）∵AE⊥BC，平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，AE⊂平面ABC，∴AE⊥平面PBC，∵O是等边三角形ABC的中心，∴AE=，∵AD=2DP，∴D到平面PBC的距离h=AE=，∵△PBC是边长为的等边三角形，∴S==，△PBC∴V B ﹣PDC =V D ﹣PBC ===．【点评】本题考查了线面垂直、线面平行的判定，面面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．20．（13分）（2017•威海二模）已知函数f （x ）=alnx ﹣（a+b ）x+x 2（a ，b ∈R ）． （I ）若a=2，b=1，求函数f （x ）在x=1处的切线方程；（II ） 若f （x ）在x=1处取得极值，讨论函数f （x ）的单调性；（III ）当a=1时，设函数φ（x ）=f （x ）﹣x 2有两个零点，求b 的取值范围． 【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f （1），f′（1）的值，求出切线方程即可； （Ⅱ）求出函数的导数，求出b 的值，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅲ）问题转化为方程b+1=在（0，+∞）有2个不同的根，设g （x ）=（x ＞0），根据函数的单调性求出b 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）a=2，b=1时，f （x ）=2lnx ﹣3x+x 2，∴f′（x ）=﹣3+2x ，∴f′（1）=1，f （1）=﹣2， 故f （x ）在x=1处的切线方程是x ﹣y ﹣3=0；（Ⅱ）f′（x ）=﹣（a+b ）+2x ，由f （x ）在x=1处取得极值，得f′（1）=0，解得：b=2，故f′（x ）=﹣（a+2）+2x=，a=2时，f′（x ）≥0，不满足f （x ）在x=1处取得极值，故a ≠2，①a ≤0时，x ∈（0，1）时，f′（x ）＜0，x ∈（1，+∞）时，f′（x ）＞0， 故f （x ）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；②0＜＜1即0＜a ＜2时，0＜x ＜或x ＞1时，f′（x ）＞0，＜x ＜1时，f′（x ）＜0，故f （x ）在（0，），（1，+∞）递增，在（，1）递减；③a ＞2时，0＜x ＜1或x ＞时，f′（x ）＞0，1＜x ＜时，f′（x ）＜0，故f （x ）在（0，1），（，+∞）递增，在（1，）递减； （Ⅲ）a=1时，函数φ（x ）=f （x ）﹣x 2=lnx ﹣（1+b ）x ， φ（x ）有2个不同的零点x 1，x 2，即方程b+1=在（0，+∞）有2个不同的根，设g （x ）=（x ＞0），则g′（x ）=，x ∈（0，e ）时，g′（x ）＞0，x ∈（e ，+∞）时，g′（x ）＜0， 故g （x ）在（0，e ）递增，在（e ，+∞）递减，故x=e 时，g （x ）max =g （e ）=，∵g （1）=0，x ∈（0，1）时，g （x ）＜0，x ∈（1，+∞）时，g （x ）＞0，故0＜b+1＜，b 的范围是（﹣1，﹣1）．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．21．（14分）（2017•威海二模）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：的离心率为，左、右焦点分别是F 1，F 2，P 为椭圆C 1上任意一点，|PF 1|+|PF 2|的最大值为4．（I ）求椭圆C 1的方程；（II ）设椭圆C 2：为椭圆C 2上一点，过点Q 的直线交椭圆C 1于A ，B 两点，且Q 为线段AB 的中点，过O ，Q 两点的直线交椭圆C 1于E ，F 两点． （i ）求证：直线AB 的方程为x 0x+2y 0y=2；（ii ）当Q 在椭圆C 2上移动时，求的取值范围．【考点】KL ：直线与椭圆的位置关系．【分析】（I ）根据椭圆的定义，及椭圆的离心率公式，即可求得a 和b 的值，求得椭圆C 1方程；（II ）（i ）由（I ）可知求得椭圆C 1的方程，利用点差法及中点坐标公式，即可求得直线AB 的斜率，直线AB 的方程，由Q 在椭圆C 1上，即可求得直线AB 的方程为x 0x+2y 0y=2； （ii ）求得直线EF 的方程，代入椭圆C 1，求得E 和F 的方程，求得丨EF 丨，将AB 方程代入椭圆C 1方程，由韦达定理及弦长公式即可求丨AB 丨，由Q 在椭圆C 2上移动时，求得﹣1≤y 0≤1，即可求得的取值范围．【解答】解：（I ）由椭圆的离心率e===，则a 2=2b 2，由|PF 1|+|PF 2|=2a ，由|PF 1|+|PF 2|≥2，则|PF 1||PF 2|≤（）2=a 2，则a 2=4，b 2=2，∴椭圆C 1的方程；（II ）（i ）由（I ）可知：椭圆C 2：，Q （x 0，y 0），为C 2上一点，∴，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则，两式相减整理得： =﹣，由Q 为线段AB 的中点，则﹣=﹣=﹣，则直线AB 的斜率k=﹣，则直线AB 的方程为y ﹣y 0=﹣（x ﹣x 0），由，化简整理得：x 0x+2y 0y=2，当y 0=0，则x 0=，直线AB 的方程也满足x 0x+2y 0y=2，综上可知直线AB 的方程为x 0x+2y 0y=2； （ii ）由直线EF 的方程y 0x ﹣x 0y=0，联立EF 与椭圆C 1的方程联立，，解得：E （x 0， y 0），F （﹣x 0，﹣ y 0），则丨EF 丨=2，联立直线AB 与椭圆C 1的方程，整理得：2x 2﹣4x 0x+4﹣8y 02=0，x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=2﹣4y 02，丨AB 丨==，=，==，则==．由x 02=2﹣2y 02，==，由﹣1≤y 0≤1，≤≤1，则≤≤1，∴的取值范围[，1]．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查点差法的应用，韦达定理，弦长公式，考查计算能力，属于难题．。