2017年秋九年级数学上册22.1.4第2课时用待定系数法求二次函数的解析式习题课件
九年级数学： 22.1.4 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
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第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：－3 … 下列说法正确的是( )A ．抛物线的开口向下B ．当x >－3时，y 随x 的增大而增大C ．二次函数的最小值是－2D ．抛物线的对称轴是x ＝－522．抛物线的形状、开口方向与y ＝12x 2－4x ＋3相同，顶点为(－2，1)，则该抛物线的解析式为( )A ．y ＝12(x －2)2＋1 B ．y ＝12(x －2)2－1 C ．y ＝12(x ＋2)2＋1D ．y ＝12(x ＋2)2－13．如图22125所示，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，且与x 轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数解析式是________．4．如图22126，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2过B (－2，6)，C (2，2)两点． (1)试求该抛物线的解析式；(2)若抛物线顶点为D ，求点D 的坐标．图22125图221265．已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)，且过原点(0，0)，求该函数的解析式．6．如图22127，抛物线y＝ax2＋bx－5(a≠0)经过点A(4，－5)，与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝5OB，抛物线的顶点为点D.(1)求这条抛物线的表达式；(2)连接AB，BC，CD，DA，求四边形ABCD的面积．7．如图22128，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝x＋1相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B的橫坐标为2，连接AM，BM.(1)求抛物线的函数关系式；(2)判断△ABM的形状，并说明理由．参考答案图22127图221281．D 2.C 3.y ＝－x 2＋2x ＋3 4．(1)y ＝12x 2－x ＋2 (2)D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 5．y ＝x 2－2x 6．(1)y ＝x 2－4x －5 (2)S 四边形ABCD ＝18 7．(1)y ＝x 2－1(2)△ABM 为直角三角形，理由略．关闭Word 文档返回原板块。
人教版数学九年级上册：22.1.4 用待定系数法求二次函数的解析式 教案
22.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质第2课时用待定系数法求二次函数的解析式【知识网络】典案二导学设计【学习目标】复习巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。
使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。
【学习重难点】巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式【课标要求】巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式一、一、情景创设1．如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式?2．已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。
(1)求二次函数的关系式，(2)画出二次函数的图象；(3)说出它的顶点坐标和对称轴。
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴，顶点坐标各是什么?二、实践与探索例1．已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。
分析：二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方可得y＝a(x＋h)2＋k的形式称为顶点式，(－h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为：y＝由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a 的值。
请同学们完成本例的解答例2．已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。
例3、已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。
三、课堂练习1. 已知二次函数当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y＝－3，求二次函数的关系式。
小结：让学生讨论、交流、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。
2．已知二次函数y＝x2＋p x＋q的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二次函数关系式。
四、小结1，求二次函数的关系式，常见的有几种类型?(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k，其顶点是(－h，k)2．如何确定二次函数的关系式?让学生回顾、思考、交流，得出：关键是确定上述两个式子中的待定系数，通常需要三个已知条件。
人教版数学九年级上册：22.1.4 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式 (含答案)
第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是( )A ．y ＝2x 2＋x ＋2B ．y ＝x 2＋3x ＋2C ．y ＝x 2－2x ＋3D ．y ＝x 2－3x ＋22．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图22－1－27所示，那么这个函数的解析式为( )图22－1－27A ．y ＝13x 2＋23x ＋1B ．y ＝13x 2＋23x －1C ．y ＝13x 2－23x －1D ．y ＝13x 2－23x ＋13．已知A (0，3)，B (2，3)是抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上两点，则该抛物线的顶点坐标是________． 4．已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (3，0)，B (2，－3)，C (0，－3)．(1)求抛物线的解析式；(2)设D 是抛物线上一点，且点D 的横坐标为－2，求△AOD 的面积．5．已知某二次函数的图象如图22－1－28所示，则这个二次函数的解析式为( )图22－1－28A ．y ＝2(x ＋1)2＋8B ．y ＝18(x ＋1)2－8C ．y ＝29(x －1)2＋8D ．y ＝2(x －1)2－86．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的解析式可以是____________．(只需写一个)7．已知一个二次函数的图象经过点(4，－3)，并且当x ＝3时，函数有最大值4，求该二次函数的解析式．8．某抛物线的形状、开口方向与抛物线y ＝12x 2－4x ＋3相同，顶点坐标为(－2，1)，则该抛物线的函数解析式为( )A ．y ＝12(x －2)2＋1B ．y ＝12(x ＋2)2－1C ．y ＝12(x ＋2)2＋1D ．y ＝－12(x ＋2)2＋19．若y ＝ax 2＋bx ＋c ，则由表格中信息可知y 与x 之间的函数解析式是( )A.y ＝x 2－4x ＋3 B ．y ＝x 2－3x ＋4 C ．y ＝x 2－3x ＋3D ．y ＝x 2－4x ＋810．某二次函数的图象如图22－1－29所示，则其解析式为________________．图22－1－2911．如果抛物线y ＝(k ＋1)x 2＋x －k 2＋2与y 轴的交点坐标为(0，1)，那么k 的值是__________． 12．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过原点及点(－2，－2)，且图象与x 轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的解析式为________________________． 13.已知抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过点(1，0)，(0，32)．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)将抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后抛物线的函数解析式．14．[2019·永州] 如图22－1－30，已知抛物线经过A(－3，0)，B(0，3)两点，且其对称轴为直线x ＝－1.(1)求此抛物线的函数解析式；(2)若P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点(不包括点A 与点B)，求△PAB 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．图22－1－3015．如图22－1－31，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)．(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式；(2)P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长的最大值．图22－1－3116．抛物线C：y＝ax2＋bx经过A(－4，0)，B(－1，3)两点，求抛物线C的函数解析式．17．已知抛物线经过A(－5，0)，B(0，5)两点，且其对称轴为直线x＝－2，求此抛物线的函数解析式．答案1．D [解析] 设函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，c ＝2.∴该函数的解析式为y ＝x 2－3x ＋2.2．C [解析] 根据图象可知抛物线经过点(－1，0)，(3，0)，(0，－1)，设这个二次函数的解析式是y ＝ax 2＋bx ＋c.根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－23，c ＝－1. 所以这个二次函数的解析式是y ＝13x 2－23x －1.故选C .3．(1，4)4．解：(1)把A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝－3，c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.则抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3.(2)把x ＝－2代入抛物线的解析式，得y ＝5，即D(－2，5)． ∵A(3，0)，即OA ＝3，∴S △AOD ＝12×3×5＝152.5．D [解析] 因为抛物线的顶点坐标是(1，－8)， 所以设抛物线的函数解析式是y ＝a(x －1)2－8. 因为点(3，0)在这个二次函数的图象上， 所以0＝a(3－1)2－8，解得a ＝2.所以这个二次函数的解析式为y ＝2(x －1)2－8.6．答案不唯一，如y ＝2x 2－1 [解析] ∵二次函数图象的顶点坐标为(0，－1)，∴设该二次函数的解析式为y ＝ax 2－1.又∵二次函数的图象开口向上，∴a ＞0.∴这个二次函数的解析式可以是y ＝2x 2－1(答案不唯一)．7．解：∵当x ＝3时，函数有最大值4， ∴函数图象的顶点坐标为(3，4)． 故设此函数的解析式是y ＝a(x －3)2＋4.再把(4，－3)代入函数解析式，得a×(4－3)2＋4＝－3，解得a ＝－7. 故二次函数的解析式是y ＝－7(x －3)2＋4， 即y ＝－7x 2＋42x －59.8．C [解析] 已知抛物线的顶点坐标，可以设顶点式y ＝a(x ＋2)2＋1.又因为该抛物线的形状、开口方向与抛物线y ＝12x 2－4x ＋3相同，所以a ＝12，所以该抛物线的函数解析式是y＝12(x ＋2)2＋1. 9．A [解析] ∵当x ＝1时，ax 2＝1，∴a ＝1. 将(－1，8)，(0，3)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝8，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3. ∴y 与x 之间的函数解析式是y ＝x 2－4x ＋3.故选A .10．y ＝－x 2＋2x ＋3 [解析] 由图象可知，抛物线的对称轴是直线x ＝1，与y 轴交于点(0，3)，与x 轴交于点(－1，0)，设其解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝1，c ＝3，a －b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3.故二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.11．1 [解析] ∵抛物线y ＝(k ＋1)x 2＋x －k 2＋2与y 轴的交点坐标为(0，1)， ∴－k 2＋2＝1.解得k ＝±1. 又∵k ＋1≠0，∴k ＝1.故答案为1. 12．y ＝12x 2＋2x 或y ＝－16x 2＋23x[解析] ∵二次函数图象与x 轴的另一个交点到原点的距离为4， ∴这个交点坐标为(－4，0)或(4，0)， ①若这个交点坐标为(－4，0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，4a －2b ＋c ＝－2，16a －4b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝2，c ＝0，∴该二次函数的解析式为y ＝12x 2＋2x ；②若这个交点坐标为(4，0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，4a －2b ＋c ＝－2，16a ＋4b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－16，b ＝23，c ＝0，∴该二次函数的解析式为y ＝－16x 2＋23x.故这个二次函数的解析式为y ＝12x 2＋2x 或y ＝－16x 2＋23x.13．解：(1)把(1，0)，(0，32)代入抛物线的解析式得⎩⎨⎧－12＋b ＋c ＝0，c ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝32.则抛物线的函数解析式为y ＝－12x 2－x ＋32.(2)y ＝－12x 2－x ＋32＝－12(x ＋1)2＋2，可将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，其顶点恰好落在原点(平移方法不唯一)，平移后抛物线的函数解析式为y ＝－12x 2.14．解：(1)∵抛物线的对称轴是直线x ＝－1且经过点A(－3，0)， ∴抛物线还经过点(1，0)．设抛物线的函数解析式为y ＝a(x －1)(x ＋3)． 把B(0，3)代入，得3＝－3a.解得a ＝－1.∴抛物线的函数解析式为y ＝－(x －1)(x ＋3)＝－x 2－2x ＋3. (2)设直线AB 的函数解析式为y ＝kx ＋b. ∵A(－3，0)，B(0，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝0，b ＝3，解得{k ＝1，b ＝3. ∴直线AB 的函数解析式为y ＝x ＋3.过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，交直线AB 于点M. 设P(x ，－x 2－2x ＋3)，则M(x ，x ＋3)， ∴PM ＝－x 2－2x ＋3－(x ＋3)＝－x 2－3x.∴S △PAB ＝12(－x 2－3x)×3＝－32(x ＋32)2＋278.∴当x ＝－32时，S △PAB 有最大值，为278，此时y P ＝－(－32)2－2×(－32)＋3＝154，∴△PAB 面积的最大值为278，此时点P 的坐标为(－32，154)．15．解：(1)∵抛物线的顶点C 的坐标为(1，4)， ∴设二次函数的顶点式为y ＝a(x －1)2＋4. 把B(3，0)代入，得0＝a(3－1)2＋4. 解得a ＝－1.∴二次函数的解析式为y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3. 令x ＝0，则y ＝3，∴点D 的坐标为(0，3)．设直线BD 的解析式为y ＝mx ＋n ，把B(3，0)，D(0，3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝3m ＋n ，3＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝3.∴直线BD 的解析式为y ＝－x ＋3.(2)设点P 的横坐标为x ，则点P 的坐标为(x ，－x ＋3)，点M 的坐标为(x ，－x 2＋2x ＋3)． ∵点P 在第一象限，∴线段PM 的长为y M －y P ＝－x 2＋2x ＋3－(－x ＋3)＝－x 2＋3x ＝－(x －32)2＋94.∴当x ＝32时，线段PM 的长有最大值，最大值是94.16．解：(1)将A(－4，0)，B(－1，3)代入y ＝ax 2＋bx中，得⎩⎪⎨⎪⎧16a －4b ＝0，a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－4，∴抛物线C 的函数解析式为y ＝－x 2－4x. 17．解：设抛物线的函数解析式为y ＝a(x ＋2)2＋k. 代入A ，B 两点的坐标，得⎩⎪⎨⎪⎧（－5＋2）2a ＋k ＝0，4a ＋k ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，k ＝9. 所以此抛物线的函数解析式为y ＝－(x ＋2)2＋9，即y ＝－x 2－4x ＋5.。
人教版数学九年级上册22.1.4.2用待定系数法求二次函数解析式教案
4.通过实际例题，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
我们将结合教材中的例题和练习题，让学生在实际操作中掌握待定系数法求二次函数解析式的步骤和应用。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑思维能力，通过对二次函数解析式的推导和求解，使其能运用待定系数法进行数学建模，提高分析问题和解决问题的能力；
2.强化学生的数据运算能力，使其能够准确、熟练地进行待定系数法的相关计算，增强数学运算的准确性；
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《用待定系数法求二次函数解析式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要通过几个点来确定一个抛物线方程的情况？”（例如，抛球运动的轨迹）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数解析式的奥秘。
为了帮助学生突破这些难点，教师应当采用以下教学方法：
-通过具体例题，逐步引导学生理解待定系数法的原理和步骤；
-在运算过程中，提供详细的步骤解释和注意事项，强调运算的准确性；
-利用图像辅助教学，帮助学生直观地理解二次函数的性质，从而更好地将实际问题转化为数学模型；
-设计不同难度的练习题，让学生在逐步挑战中巩固知识点，提高解决问题的能力。
其次，关于教学难点和重点的讲解，我尝试通过生动的案例和详细的步骤解释来帮助学生理解。从学生的反馈来看，这种方法还是有效的。但我也注意到，部分学生在面对复杂运算时还是感到困惑，这可能是因为我在讲解过程中没有充分考虑到他们的接受程度。因此，我决定在接下来的课程中，适当放慢讲解速度，让学生有更多时间消化吸收。
人教版初中数学九年级上册22.1.4 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
一定时间后，测试出这种植物高度的增长
情况，部分数据如下表：
温度 t/℃
－4 －2 0 1 4
植物高度增长量
l/mm
41 49 49 46 25
科学家经过猜想，推测出 l 与 t
之间是二次函数关系．由此可以推测最适
合这种植物生长的温度为________℃.
解析：设 l 与 t 之间的函数关系式为 l
已知二次函数的图象经过点(－ 1，－5)，(0，－4)和(1，1)，求这个二次 函数的解析式．
解析：由于题目给出的是抛物线上任 意 三 点 ， 可 设 一 般 式 y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0)．
解：设这个二次函数的解析式为 y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0)， 依 题 意 得 ：
{ ) a－b＋c＝－5， c＝－4， 解 这 个 方 程 组 得 ： a＋b＋c＝1，
已知二次函数 y＝2x2－12x＋5， 求该函数图象关于 x 轴对称的图象的解析 式．
解析：关于 x 轴对称得到的二次函数 的图象与原二次函数的图象的形状不变， 而开口方向，顶点的纵坐标变化了，开口 方向与原图象的开口方向相反，顶点的横 坐标不变，纵坐标与原图象的纵坐标互为 相反数．
解：y＝2x2－12x＋5＝2(x－3)2－13， 顶点坐标为(3，－13)，其图象关于 x 轴对 称的顶点坐标为(3，13)，所以对称后的图 象的解析式为 y＝－2(x－3)2＋13.
一、情境导入
TB:小初高题库
某广场中心标志性建筑处有高低不同 的各种喷泉，其中一支高度为 1 米的喷水 管喷出的抛物线水柱最大高度为 3 米，此
人教版初中数学
1 时喷水水平距离为 米，你能写出如图所示
2 的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式 吗？
人教版初中数学九年级上册第二十二章22.1.4用待定系数法求二次函数解析式
解：设这个二次函数的解析式为y=a(x+2)2+1， 把点(1,-8)代入上式得：a(1+2)2+1=-8， 解得 a=-1.
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1.
用顶点式求二次函数解析式
知道抛物线的顶点坐标,求表达式的方法叫做顶点法.其步骤 ： ①设函数表达式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标,得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉,写出函数表达式.
∴所求的二次函数的表达式是y=(x+3)(x+1), 即y=x2+4x+3.
用交点法求二次函数解析式
知道抛物线与x轴的两个交点,求解析式的方法叫做交点法. 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一 元一次方程； ③将方程的解代入原方程求出a值； ④a用数值换掉,写出函数表达式.
用一般式求二次函数解析式
【例3】一个二次函数的图象经过(0,1),(2,4),(3,10)三点,
求这个二次函数的表达式. 一设、二代、三解、四还原
解：设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经
过点(0,1),可得c=1.又由于其图象经过(2,4),(3,10)两点,
可得
4a+2b+1=4，
用顶点式求二次函数解析式
1.一个二次函数的图象经点(0,1),它的顶点坐标为(8,9),求
这个二次函数的表达式.
解：设函数表达式为：y=a(x-8)2+9.
把点(0,1)代入上式得：0=a(0-8)2+9.
九年级数学上册22.1.4用待定系数法求二次函数的解析式(第2课时)教案1(新版)新人教版
用待定系数法求二次函数的解析式1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法．2．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用．一、情境导入某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3米，此时喷水水平距离为12米，你能写出如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式吗？ 二、合作探究探究点：用待定系数法求二次函数解析式 【类型一】用一般式确定二次函数解析式 已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，求这个二次函数的解析式．解析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．解：设这个二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－5，c ＝－4，a ＋b ＋c ＝1，解这个方程组得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝－4.∴这个二次函数的解析式为y ＝2x 2＋3x －4.方法总结：当题目给出函数图象上的三个点时，设一般式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值．【类型二】用顶点式确定二次函数解析式 已知二次函数的图象顶点是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的解析式．解：设二次函数解析式为y ＝a (x －(n >0)个单位后的解析式为y ＝a (x －；向右平移m (m >0)个单位，向下平移n (n >0)个单位后的解析式为y ＝a (x －. 【类型四】根据轴对称确定二次函数解析式 已知二次函数y ＝2x 2－12x ＋5，求该函数图象关于x 轴对称的图象的解析式．解析：关于x 轴对称得到的二次函数的图象与原二次函数的图象的形状不变，而开口方向，顶点的纵坐标变化了，开口方向与原图象的开口方向相反，顶点的横坐标不变，纵坐标与原图象的纵坐标互为相反数．解：y ＝2x 2－12x ＋5＝2(x －3)2－13，顶点坐标为(3，－13)，其图象关于x 轴对称的顶点坐标为(3，13)，所以对称后的图象的解析式为y ＝－2(x －3)2＋13.方法总结：y ＝a (x －h )2＋k 的图象关于x 轴对称得到的图象的解析式为y ＝－a (x －h )2－k . 【类型五】用待定系数法求二次函数解析式的实际应用(2014·湖北咸宁)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：科学家经过猜想，推测出l 与t 之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为________℃.解析：设l 与t 之间的函数关系式为l ＝at 2＋bt ＋c ，把(－2，49)、(0，49)、(1，46)分别代入得：⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝49，c ＝49，a ＋b ＋c ＝46，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝49.∴l ＝－t 2－2t ＋49，即l ＝－(t ＋1)2＋50，∴当t ＝－1时，l 的最大值为50.即当温度为－1℃时，最适合这种植物生长．故答案为－1.方法总结：求函数解析式一般采用待定系数法．用待定系数法解题，先要明确解析式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件(一般来讲，最直接的条件是点的坐标)，最后代入求解． 三、板书设计教学过程中，强调用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给条件，合理设出其形式，然后求解，这样可以简化计算.。
九年级数学待定系数法求二次函数的解析式
y -27 -13 -3 3 5 3
则当x=1时，y的值为 A.5 B.-3 C.-13 D.-27
5. 已知二次函数中，其函数与自变量之间 的部分对应值如下表所示：
．
x …0 1 2 3 4 …
y …4 1 0 1 4 …
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，
部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程
x2 2x k 0 的一个解x1 3，另一个
解 x2 ；
y
O1 3
x
(第15题图)
22.1.4二次函数 y=ax2+bx+c的图象
8 6 4 2
－4 －2
24
1.完成下列表格:
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上 直线x=－3 (－3,5)
y 1 (x 4)2 4 2
x
如何平移：
y 3 (x 1)2 4
y 3 (x 1)2 2 4
y 3 (x 3)2 3 4
y 3 (x 5)2 2 4
发展性训练
1.由y=3(x+2)2+4的图像经过怎样的平移 变换，可以得到y=3x2的图像.
右移2单位，下移4单位
2.把函数y=x2-2x的图像向右平移２个单 位，再向下平移３个单位所得图像对应 的函数解析式为
（1）请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析 式：
伴随抛物线的解析式： y=-2x2+1 。
伴随直线的解析式： y=-2x+1 。
（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y= -x2-3和y= -
22.1.4二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(第二课时)(课件)九年级数学上册(人教版)
C. y=(x-2)2-1
D. y= 1 (x-2)2-1 2
分层作业
3．一抛物线的形状、开口方向与抛物线 y= 1 x2-2x+3 相同，顶点为(-2，1)，则此抛物线的解析式为( )
2
A. y= 1 (x-2)2+1
2
B. y= 1 (x+2)2-1
2
C. y= 1 (x+2)2+1
2
D. y= 1 (x-2)2-1
分层作业
【拓展延伸作业】
6.如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(-1，0)，点 B(3，0)，且 OB=OC. (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点 D 是抛物线的顶点，求△BCD 的面积.
分层作业
解：(1)：抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(-1，0)，点 B(3，0)，且 OB=OC， ∴OC=OB=3. ∴C(0.3), 设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3)，将 C(0，3)代入得， -3a=3. ∴a=-1, ∴抛物线的解析式为 y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3；
∴DE=4-2=2，
∴S△CDB= 1 DE·OB= 1 ×2×3=3
2
2
分层作业
7. 已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点(0，-1)和(2，7)
(1)求二次函数解析式及对称轴
(2)若点(-5，y1)(m，y2)是抛物线上不同的两个点，且 y1+y2=28，求 m 的值
解：把（0，-1)和(2，7)分别代入 y=x2+bx+c 可得： (2)把 x=-5 代入二次函数得：y1=14，
九年级数学人教版(上册)第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
∴OB＝1. 又∵点 B 在 x 轴的负半轴上， ∴点 B 的坐标为(－1，0)． 将点 A(4，－5)，B(－1，0)代入 y＝ax2＋bx－5，得 1a6－a＋b－4b5－＝50＝，－5，解得ab＝ ＝－1，4. ∴该抛物线的解析式为 y＝x2－4x－5.
(2)连接 AB，BC，CD，DA，求四边形 ABCD 的面积．
．
9．二次函数的图象如图所示，则其解析式为 y＝－x2＋2x＋3 ．
10．已知点 P(－1，5)在抛物线 y＝－x2＋bx＋c 的对称轴上，且 与该抛物线的顶点的距离是 4，则该抛物线的解析式为 y＝－x2－2x 或抛物线的顶点 M 在 y 轴上，抛物线与直线 y＝x＋1 相交于 A，B 两点，且点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为 2，那么抛 物线的函数关系式为 y＝x2－1 ．
7．已知某二次函数的图象经过点(2，－6)，当 x＝1 时，函数的 最大值为－4，求此二次函数的解析式．
解：∵当 x＝1 时，函数的最大值为－4， ∴抛物线的顶点坐标为(1，－4)． 设所求二次函数解析式为 y＝a(x－1)2－4. 把点(2，－6)代入，得 a×(2－1)2－4＝－6， 解得 a＝－2. ∴此二次函数的解析式为 y＝－2(x－1)2－4＝－2x2＋4x－6.
解：∵y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9，
∴顶点 D 的坐标为(2，－9)． 连接 AC. ∵A(4，－5)，C(0，－5)，
∴AC∥x 轴，AC＝4. ∴S△ABC＝12×4×5＝10， S△ACD＝12×4×[－5－(－9)]＝8. ∴S 四边形 ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝18.
第二十二章 二次函数
22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
新人教部编版初中九年级数学22.1.4 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
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解：(1)把A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3) 代入y＝ax2＋bx＋c，
9 3b c 0，
a 1，
4a 2b c 3， b 2，
得 c 3，
解得 c 3.
则函数解析式为y＝x2－2x－3.
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4．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴 为直线x＝1，且与x轴的一个交点的坐标为(3， 0)，那么它对应的函数解析式为_y_＝__－__x_2_＋__2_x_ _＋__3__．
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5．根据条件求二次函数的解析式：
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴为x
＝3，最小值为－2，且过点(0，1)；
解：(1)设函数解析式为y＝a(x－3)2－2，
把(0，1)代入得9a－2＝1，解得a＝
1 3
，
所以函数的解析式为y＝ 1 (x－3)2－2. 3
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(2)抛物线过(－1，0)，(3，0)，(1，－5)三点． (2)设函数解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，把(1， －5)代入得2·(－2)a＝－5，
解得a＝ 5 ， 4
所以函数解析式为y＝5 (x＋1)(x－3)， 4
即y＝5 x2－ 5 x－15 . 4 24
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知识要点 用待定系数法求二次函数的解析式