2007-2008《微积分》(下)杭州商学院期末试卷(A)及参考答案

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微积分试卷

三、计算题(每小题 8 分,共 48 分) 1. 求

1 1 2
x ln(1 x) dx . x2
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浙江工商大学《微积分(下)》课程考试试卷，适用专业：财经管理类(A 层)
2. 求

3
1 ( x 1)
4
x2 2x
dx .
z 2 z y 3. 设 z x 3 f ( xy , ) , f 具有二阶连续偏导数,求 , . x y y 2
浙江工商大学《微积分(下)》课程考试试卷，适用专业：财经管理类(A 层)
浙江工商大学 2012/2013 学年第二学期期末考试试卷
课程名称：微积分(下)(A 层) 考试方式：闭卷完成时限： 120 分钟班级名称：
题号分值得分阅卷人一 15
学号：
二 15 三 42 四 18
姓名：
z z n x y
2. 设正项级数
an 收敛,证明级数
n 1

a
n 1

2 n
也收敛.
第 11 页共 24页
浙江工商大学《微积分(下)》课程考试试卷，适用专业：财经管理类(A 层)
浙江工商大学 2010/2011 学年第二学期期末考试试卷
课程名称：微积分(下)(A 层) 考试方式：闭卷完成时限： 120 分钟班级名称：
3. 设 z z ( x , y ) 是由方程 z 5 xz 4 yz 3 1 确定的隐函数,求
2z . xy ( 0, 0 )
4. 计算二重积分
ydxdy
D
,其中 D 是由直线 x 2 , y 0 , y 2 及曲线
x 2 y y 2 所围成的平面区域.

杭州商学院word版

杭州商学院2007/2008学年第二学期考试试卷(A)课程名称：高等数学(下) 考试方式：闭卷完成时限： 120分钟班级名称：学号：姓名： .一、填空题（每小题3分，共15分）1、已知向量a 与b 垂直,且1||=a ,2||=b ,则=-||b a .2、曲面223y x z +=在点)4,1,1(处的法线方程是。

3、交换积分次序后 =⎰⎰x y y x f x ln 0e1d ),(d 。

4、若Ω是由曲面22)1(y x z +-=及平面1=z 所围成的空间闭区域, 则三重积分⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(在柱面坐标系下的累次积分表达式 .5、幂级数 ∑∞=⋅-14)2(n nnn x 的收敛域为。

二、单项选择题（每小题3分，共15分）1、在空间直角坐标系中,方程0322=+--z y x 表示（）.(A) 双叶双曲面 (B) 单叶双曲面(C) 双曲抛物面(D) 双曲柱面2、=+⎰⎰-2432210d d x xy y x x （）.(A) ⎰⎰23/0d d rr πθ(B) ⎰⎰22/3/d d rr ππθ(C)⎰⎰223/0d d rr πθ (D)⎰⎰222/3/d d rr ππθ3、下列级数中，（）条件收敛。

(A)∑∞=-+-1311)1(n n n(B) ∑∞=--112)1(n nn π(C)∑∞=-+-111)1(n n n n(D)∑∞=-+-11)1ln()1(n n n4、若幂级数∑∞=1n n nx a 在2-=x 处收敛，在3=x 处发散，则级数（）。

(A) 在3-=x 处必发散 (B) 在2=x 处必收敛 (C) 在3||>x 处必发散(D) 其收敛域为)3,2[-5、已知)(22y x z -=ϕ，其中ϕ具有连续的导数，则下列等式成立的是（）。

(A) y zyxz x ∂∂=∂∂ (B) y zxxz y∂∂=∂∂(C)y zxxz y∂∂-=∂∂ (D)y zy x z x∂∂-=∂∂三、计算题（每小题6分，共48分）1、求过原点且经过两平面0832=-+-z y x 和025=--+z y x 的交线的平面方程.2、设函数),(v u f z =,2x u =,y xv =,其中f 有连续的二阶偏导数,求y x z ∂∂∂2. 3、求函数xyz u =在点)2,1,5(处沿从点)2,1,5(到点)14,4,9(的方向的方向导数.4、计算y yy x x yd 1e d 1 0 02⎰⎰-.5、求函数xy y x z 333-+=的极值.6、计算三重积分,)(22dv y x ⎰⎰⎰Ω+其中:Ω曲面222y x z +=及2=z 所围成的闭区域。

微积分期末考试试题及答案

微积分期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 0 \) 处的导数是（）A. 0B. 1C. 2D. -1答案：A2. 曲线 \( y = x^3 - 2x^2 + x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线斜率是（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 的原函数是（）A. \( -\cos(x) \)B. \( \cos(x) \)C. \( x - \sin(x) \)D. \( x + \sin(x) \)答案：A4. 若 \( \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 \)，且 \( f(x) = 3x^2 +1 \)，则 \( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx \) 等于（）A. 3B. 4C. 5D. 6答案：C5. 函数 \( g(x) = \ln(x) \) 在 \( x > 0 \) 时的反导数是（）A. \( e^x \)B. \( x^e \)C. \( e^{\ln(x)} \)D. \( x \ln(x) - x \)答案：D6. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \) 等于（）A. 2B. 1C. 4D. 0答案：A7. 函数 \( h(x) = e^x \) 的泰勒展开式在 \( x = 0 \) 处的前三项是（）A. \( 1 + x + \frac{x^2}{2} \)B. \( 1 + x + \frac{x^2}{2!} \)C. \( 1 + x + \frac{x^3}{3!} \)D. \( 1 + x + \frac{x^2}{3!} \)答案：B8. 若 \( \frac{dy}{dx} = 2y \)，且 \( y(0) = 1 \)，则 \( y(x) \) 是（）A. \( e^{2x} \)B. \( e^{-2x} \)C. \( 2^x \)D. \( 2^{-x} \)答案：A9. 函数 \( F(x) = \int_{0}^{x} e^t \, dt \) 的导数是（）A. \( e^x \)B. \( e^0 \)C. \( x \cdot e^x \)D. \( e^0 \cdot x \)答案：A10. 曲线 \( y = x^2 + 3x \) 与直线 \( y = 6x \) 交点的横坐标是（）A. 0B. 3C. -1D. 2答案：C二、填空题（每空3分，共15分）11. 若 \( f(x) = 2x - 1 \)，则 \( f''(x) \) 等于 _________。

2008级下期微积分A期末考试试题评分标准

2008级下期微积分期末考试试题(A)评分标准二、填空题（每题３分，合计１５分）1．{}(2,4,1)2,4,1--或；2.121cos sin x C e C x C x ++；3.11)3；4.32R π；5., 00, 0/2, x x x x ππππ--<≤⎧⎪<<⎨⎪=±⎩.三、（9 分）[解] 令 (,,) 2--=-+-x y zF x y z x ex y z ①(1)1,--=+-x y z x F x e 1,--=-+x y z y F xe 2,--=--x y z z F xe ②(1)1,2,----∂+-=-=-∂-x y z x x y z z F z x e x F xe ②， 1,2,----∂+=-=-∂-x y z y x y z z F zxe y F xe ② 3(0,2,1)(0,2,1)11(1), .22-∂∂=-=∂∂z z e x y ②四、（9分）[解] 椭圆2244+=x y 上点(,)x y 到直线2360+-=x y 的距离=d ① 令222(,,)(236)(44)λλ=+-++-F x y x y x y ②，224(236)206(236)80440λλλ=+-+=⎧⎪=+-+=⎨⎪=+-=⎩x xF x y x F x y y F x y ③，解得88553355⎧⎧==-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩x x y y ， ② 代入距离公式知所求点为83(,)55①五. (9分) [解] 收敛区间为[1,1)- ②,令 110011()() (0)11+∞∞=====≠++∑∑n n n n x x S x S x x n x n x ①()11001()11+∞∞=='⎛⎫'===⎪+-⎝⎭∑∑n n n n x S x x n x ② 1111001()()(0)()d d ln(1)1'=-===---⎰⎰xxS x S x S S x x x x x② 11ln(1)0:()() (1001)-≠==--≤<<<x x S x S x x x x x或 ① 0:() 1.==x S x① 六、(9分) [解] 将函数()f x 作偶延拓，周期为2π.① 0.n b = ①，002d ,a x x πππ==⎰①，2022cos d [cos 1]n a x nx x n n ππππ==-⎰②224, 2[(1)1] (1,2,)0, nn n n n n ππ⎧-⎪=--==⎨⎪⎩为奇数为偶数② 2141()cos(21), [,]2(21)n f x n x x n ππππ∞==--∈--∑ ②七、( 9分) [解] 22222()∂-∂==∂+∂Q y x Px x y y② 记L 所围成的区域为D ，选取适当小的0>ε，在D 内作圆周2221:+=L x y ε，取顺时针方向. ②在L 与1L 所围成区域1D 上用格林公式得=+-⎰+122d d L L y x xy y x 1()0∂∂-=∂∂⎰⎰D Q Pd x y σ ②故 ⎰+-L y x xy y x 22d d =-=+-⎰122d d L y x x y y x ⎰--121L ydx xdy ε222211(2)(2)2=--==⎰⎰D d σπεπεε③其中2D 为1L 所围成的区域.八、( 9 分) [解] 取1S 为圆盘：2210⎧+≤⎨=⎩x y z ，方向取下侧 ①，则⎰⎰⎰⎰⎰++=++++++VS S V z y x y x y z x z x y z y z x )d (3d )d (d )d (d )d (2222323231②2122200063d sin d d 5=⋅=⎰⎰⎰ππθϕϕρρρπ ② ⎰⎰+++++1d )d (d )d (d )d (232323S y x y z x z x y z y z x=⎰⎰-xyD y x y d d 2①2122001d sin d 4r r πθθπ=-=-⎰⎰ ② =-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰+11S S S S6129()5420=--=πππ ①九、( 9分)[解] 由对称性，所求面积是第一卦限的4倍：44xyxyD D S σσ==⎰⎰⎰⎰③cos 2004d d r πθθ=⎰⎰ ③204(1sin )d πθθ=-⎰ ② =2(2)π- ①十、( 7分)[证] (,,)(,),=x y G x y y F z z 令12122211, , ,=⋅=⋅=-⋅-⋅x y z x yG F G F G F F z z z zn 12122211, , ⎛⎫=⋅⋅-⋅-⋅ ⎪⎝⎭x y F F F F z z z z ()121221, , =--zF zF xF yF z ③在任一点(), , x y z 处的切平面方程为1212() ()()()0-+-+---=zF X x zF Y y xF yF Z z 即 1212()0+-+=zF X zF Y xF yF Z ③显然，0===X Y Z 满足方程,即任意一点处的切平面都通过原点. ①。

《微积分》(二)期末试卷 A答案

对外经济贸易大学 2007─2008学年第二学期《微积分二》期末考试试卷A课程课序号：CMP124－0～15学号：姓名：成绩：班级：课序号：任课教师：一、选择题（每小题2分，共14分）：得分 1．若函数()f x 在区间[a ，b]上可积，则下列不等式中成立的是（ A ）。

.()().()().()().()()bbb ba aaabbbbaaaaA f x dx f x dxB f x dx f x dxC f x dx f x dxD f x dx f x dx≤≥==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2. 设)(x f 为连续函数，='=⎰)(,)()(ln 1x F dt t f x F xx则（ A ）。

A.)1(1)(ln 12x f x x f x + B ． )1()(ln xf x f +C.)1(1)(ln 12x f xx f x -D ．)1()(ln x f x f - 3．二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数''x00y 00f(x ,y ),f(x ,y )存在是函数 00f(x,y)在点(x ,y )连续的（ D ）。

A. 必要而非充分条件；B. 充分而非必要条件；C. 充分必要条件；D. 既非充分又非必要条件。

4．设(,)f x y 为连续函数，则14(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（ C ）。

A ．(,).xf x y dy ⎰⎰B.(,).f x y dy ⎰⎰C.(,).yf x y dx ⎰⎰D.(,).f x y dx ⎰⎰5．函数21212(,xx y c e c e c c -=+为任意常数）为下列二阶常系数齐次线性微分方程（ D ）的通解。

A. 20y y y '''+-= B. 20y y y '''-+=C. 20y y y '''++=D. 20y y y '''--=6．设()1ln(1nn u =-+，则下列结论中正确选项是( B )。

近十份大学微积分下期末试题汇总(含答案)

浙江大学2007-2008学年春季学期《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷一、填空题（每小题5分.共25分.把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a =,3b =,3a b ⋅=,则a b += . 3.设(,)f u v 可微.(,)yxz f x y =,则dz = .4.设()f x 在[0.1]上连续.且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y =≤≤≤≤,则()()()()Daf x bf y d f x f y σ++⎰⎰= .5.设(,)f x y 为连续函数.交换二次积分次序2220(,)x x dx f x y dy -=⎰⎰.二、选择题（每小题5分.共20分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.把所选字母填入题后的括号内）6.直线l 1:155121x y z --+==-与直线l 2:623x y y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为（A ）2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6π. [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数.极坐标系中的二次积分cos 2d (cos ,sin )d f r r r r πθθθθ⎰⎰可以写成直角坐标中的二次积分为（A）100(,)dy f x y dx ⎰⎰ （B）100(,)dy f x y dx ⎰⎰（C）10(,)dx f x y dy ⎰⎰（D）10(,)dx f x y dy ⎰⎰[ ]8.设1, 02()122, 12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩ ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数.则5()2S -=（A ）12. （B ）12-. （C ）34. （D ）34-. [ ] ＜9.设,)(0,0),(,)0, (,)(0,0),x y f x y x y ≠==⎩则(,)f x y 在点O (0,0)处（A ）偏导数存在.函数不连续（B ）偏导数不存在.函数连续（C ）偏导数存在.函数连续（D ）偏导数不存在.函数不连续 [ ] 三、解答题10.（本题满分10分）求曲线L ：2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在其上点M （1.－1.2）处的切线方程与法平面方程.11.（本题满分10分）设F 可微.z 是由F (x y -,,)0y z z x --=确定的可微函数.并设23F F ''≠.求z zx y∂∂+∂∂. 12.（本题满分10分）设D 是由曲线3y x =与直线y x =围成的两块有界闭区域的并集.求2[e sin()]d xDx y σ++⎰⎰. 13.（本题满分10分）求空间曲线L ：222920335x y z x y z ⎧+-=⎨++=⎩上的点到xOy 平面的距离最大值与最小值.14.（本题满分10分）设平面区域D ={}(,)01,01x y x y ≤≤≤≤.计算二重积分22 1 d Dx y σ+-⎰⎰.15.（本题满分5分）设当y ＞0时(,)u x y 可微.且已知222222(,)()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y=++-++++. 求(,)u x y .浙江大学2007－2008学年春季学期《微积分II 》课程期末考试试卷答案一、填空题（每小题5分.共25分） 1．231421=-++=d .2．22()()2496a b a b a b a b a b +=+⋅+=++⋅=++=3．()()dy xy f x x f dx y y f yx f dz x y x y 121211ln ln --'+⋅'+'+⋅'=4．()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰++=++=D Dd x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I σσ. ()()⎰⎰+=+=+=∴Db a I b a d b a I 21,2σ.5．()()2220111,,x x dx f x y dy dy f x y dx --=⎰⎰⎰⎰或 ()0111,dy f x y dx -⎰⎰或 ()1101,dy f x y dx -⎰⎰.二、选择题（每小题5分.共20分） 6．选（B ）.l 1的方向向量{}1,2,1-.l 2的方向向量{}2,1,1--.{}{}3,2163662,1,11,2,1cos πθθ===--⋅-=.7．选（D ）. 积分区域(){}0,,22≥≤+=y x y x y x D .化成直角坐标后故知选（D ）.8．选（C ）. 511111113()()()((0)(0))(1)222222224S S S f f -=-==-++=+=.9．选（A ）. ()()0000,0lim0,0,00x y x f f x→-''===.偏导数存在. 取kx y =.()4411lim,lim kk kk kx x f x x +=+=→→随k 而异.所以不连续．三、解答题（10～14每题10分.15题5分.共55分） 10．由L .视x 为自变量.有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++.0226,0264dx dz z dx dy y x dx dz z dx dy y x 以()()2,1,1,,-=z y x 代入并解出dxdzdx dy ,.得 87,45==dx dz dx dy . 所以切线方程为87245111-=+=-z y x .法平面方程为()()()57112048x y z -+++-=.即0127108=-++z y x .11．133212232332,,1y x z z F F F F F F F F z z z z x F F F y F F F x y F F ''''''''--+∂∂∂∂=-=-=-=-+==''''''''∂-+∂-+∂∂-.12．D 在第一象限中的一块记为D 1.D 在第三象限中的一块记为D 2.()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++++=++2122122sin sin sin D D DD x D x x d y x d y x d e d e d y x eσσσσσ.32222312101xx x x x xxxD D e d e d dx e dy dx e dy σσ-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()()()()222210103333011x x x x x x e dx xx e dx x x e dx xx e dx -=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰()2111130021()112x u u u u x x e dx e du ue du e ue e e e =-=-=---=--=-⎰⎰⎰()()()()3312101sin sin sin sin x x xxD D x y d x y d dx x y dy dx x y dy σσ-+++=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()103301cos cos cos cos x x x x dx x x x x dx -⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ()()()()13301cos cos cos cos 0x x x x dx x x x x dx ⎡⎤⎡⎤=-+-+++-+=⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 所以.原式2-=e .13．L 上的点到平面xoy 的距离为z .它的最大值点.最小值点与2z 的一致.用拉格朗日乘数法.设()()()53329,,,,2222-+++-++=z y x zy x z z y x F μλμλ.求偏导数.并令其为零有：20F x x λμ∂=+=∂.1830F y x λμ∂=+=∂. 2430F z z z λμ∂=-+=∂.22920Fx y z x∂=+-=∂ . 3350Fx y z μ∂=++-=∂ ．解之得两组解()()1215,,(1,,1);,,(5,,5)33x y z x y z ==--. 所以当31,1==y x 时.1=z 最小；当35,5-=-=y x 时.5=z 最大.14．将分成如图的两块.41的圆记为D 1.另一块记为D 2()⎰⎰⎰⎰--=-+DD d y x d y x 1222211σσ+()⎰⎰-+2122D d y x σ ()()()σσσd y x d y x d y xD DD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+--++--=11111222222()()()()1222211122220211211211()43343D Dx y d x y d d r rdr dy xy dx πσσθππ=--++-=-++-=+-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰15．由()222222,()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y =++-++++.有222xy y x y x u ++=∂∂.从而知()()y y x y x y x u ϕ++=2221arctan,.又由y y x yx x y u 2222+++-=∂∂.推知 ()22222221()xx y x y y x y y x x y y ϕ-'++=-++++. ()()22,y y y y C ϕϕ'==+所以.()2221,arctan2x u x y x y y C y =+++. 注：若用凑的办法亦可：222222()(2)y x xy dx x y y dy x y x y++-++++()()22222211221()ydx xdy ydx xdy xy ydx xdy ydy d xy dy x x y y y--=+++=++++ ()221(arctan)2x d xy y y =++ 所以.()C y y x y x y x u +++=22221arctan,． ()()u f u F ='．浙江大学2006–2007学年春季学期《微积分Ⅱ 》课程期末考试试卷开课学院：理学院考试形式：闭卷考试时间：年月日所需时间：120 分钟考生姓名： _____学号：专业： ________一、填空题（每小题5分.满分30分） 1．直线63321-==+z y x 在平面0522=--+z y x 上的投影直线方程为.2．数量场2),,(zye z y x g x +=在)0,3,1(P 点的梯度为 .=u函数)ln(),,(22z y x z y x f ++=在P 点沿u的方向导数为 .3．设ϕϕ,),2,3(),,(f y x x u u x f z+== 具有二阶连续偏导数.则=∂∂∂yx z 2.4．设}1,11|),{(3≤≤≤≤-=y x x y x D.则=+⎰⎰+Dy xy x e y x x d d )(222.5．已知曲面1=z y x 与椭球面193222=++z y x 在第一卦限内相切.则切点坐标为 .公共切平面方程为.6．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=121,210,)(2x x x x x f .∑∞=+=10cos 2)(n n x n a a x S π.其中,2,1,0,d cos )(210==⎰n x x n x f a n π.则.)27(=S二、（满分10分）求直线 ⎩⎨⎧=-++=-+-022012z y x z y x 绕x 轴旋转一周所得的旋转曲面方程.1002 22dd x yex y.三、（满分10分）计算⎰⎰-四、 (满分15分)已知),(y x z z =由方程013=++zxe z y 确定.试求1022==∂∂y x x z.五、（满分15分）设平面),,(,1:z y x d y x =+π为曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++014222z y x z y x 上的点),,(z y x 到平面π的距离.求),,(z y x d 的最大.最小值 .六、 (满分15分)如图是一块密度为ρ（常数）的薄板的平面图形（在一个半径为R 的半圆直径上拼上一个矩形.矩形的另一边为h ）,已知平面图形的形心位于原点(0, 0). 试求：1. 长度 h ；2.薄板绕x 轴旋转的转动惯量.七、 (满分5分) 求证:当0,1≥≥s t 时.成立不等式 s e t t t ts +-≤ln .参考解答：一．1．⎩⎨⎧=--+=+-0522043z y x z y x ； 2. 21},0,,3{e e ；3. )3(2))(3(2222122222122212ϕϕϕϕϕϕ''+''⋅'+'+'⋅'⋅''+'''f f f ； 4.;32 5. ;03313,3,1,31=-++⎪⎭⎫⎝⎛z y x 6. 83.二．直线：t z t y t x -=-==1,1,曲面上点→),,(z y x P 直线上点00000001,1),,,(x z x y z y x -=-=22222020220)1()1(,,x x z y z y z y x x -+-=+⇒+=+=则旋转曲面方程：222)1(2x z y -=+三．⎰⎰10222d d xy ex y -⎰⎰⎰-==--212212220142)d 41(d d y y e x e y 2y yy2120202020221d d d d 212212212212212------=-+=+=⎰⎰⎰⎰e y e ey y e e y y e yy y y y四．,1)1,0(-=z ,032=∂∂++∂∂⋅x z xe e x z z y z z ex z y x 3110-=∂∂∴== ,02632222222=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+∂∂⋅x z xe x z xe x z e x z z y x z z y z z z 2102294ex zy x =∂∂∴== 五．|1|21),,(-+=y x z y x d )14()()1(2222-++++++-+=z y x z y x y x L μλ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++='=±===++='==+='-==⇒≠=++-+='=⇒==++-+='014,01302,002)1(20,002)1(22223231221z y x L z y x z y x L x z L xz x y y y x L x y x L z y xμλμλμμλλμμλ，无解最小距离：2236),,(323131-=-d .最大距离：2236),,(323131+=--d六．形心：01,0=⇒==⎰⎰⎰⎰DDxdxdy xdxdyx y σ即0d cos d d d 220=⋅+⎰⎰⎰⎰---ππθθRhRRr r r y x xR h R h R 320312)21(232=⇒=⋅+-⋅ ⎰⎰=Dxdxdy y I 2302202)832(d θsin d d d 22R R h r r r y y x RhRR πθππ+=⋅+=⎰⎰⎰⎰--- 七．设0)0,1(,ln ),(=-+-=F ts e t t t s t F s.ln ,0),(t s e t t e s t F s s s ==⇒=-=' 且对固定的1>t . 当,0),(,ln 0<'<<s t F t s s 当,0),(,ln >'>s t F t ss所以.t s ln =取得最小值且为0.则 0),(≤s t F .即s e t tt ts +-≤ln1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________. 6 知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( a).(A)123I I I >> (B)213I I I >> (C)123I I I << (D)213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛.则∑∞=-1)1(n nna ( d ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 2、、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x =的函数为23,0x y y =>。

2007-2008考试试卷及答案

2005级VB期末试题部分（2006 2007 — 2008 学年第二学期《复变函数》课程考试试卷A注意：1、本试卷共 3 页；2、考试时间120分钟3、姓名、学号必须写在指定地方阅卷负责人签名：一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.）1．Ln i＝2．＝3．若函数2222()(2)f z x axy y i x xy y=+-+-++在复平面内处处解析，则a= ____4．幂级数(1)n nni z∞=+∑的收敛半径为______5．复变函数积分212(1)zdzz-=-⎰＝二、选择题（本题共6小题，每小题3分，满分18分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）1．点0z=为函数2sin zz的[ ]（A）可去奇点（B）本性奇点（C）一级极点（D）二级极点2．下列命题正确的是[ ](A) 如果()f z在z连续，那么()f z'存在；(B) 如果()f z'存在，那么()f z在z解析；.(C) 如果z是()f z的奇点，那么()f z在z不可导；(D) 如果()f z在区域D内解析且实部为常数，那么()f z在D内是常数.3．关于函数()f z z=的性质下列说法错误的是[ ]（A）()f z在整个复平面上都是连续的（B）()f z仅仅在原点可导（C）()f z在原点解析（D）()f z在整个复平面上都不解析4．下列说法正确的是[ ](A) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；(B) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内解析；(C) 幂级数(2)nnnc z∞=-∑在0z=收敛且在3z=发散；(D) 在z连续的函数一定可以在z的邻域内展开成泰勒级数.三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名命题教审题教…………………….………….……试题不要超过密封线………….………………………………2005级VB 期末试题部分（20065．设221()z f z d z ζζζ=+=-⎰，则(3)f ＝[ ]（A ）0 （B ）2i π （C ）14i π （D ）6i π6．级数0n n i n∞=∑是[ ](A ) 绝对收敛 (B ) 条件收敛 (C ) 发散 (D ) 无法判断三、试解下列各题（本题满分67分.）1．（本小题20分）计算下列积分:(1) 3()z C e dz z α-⎰ 其中1α≠， C 为正向圆周：1z =(2)2211Cz z dz z -+-⎰，其中 C 为正向圆周：2=z(3) 22(1)zz e dz z z =-⎰ ，(4) 10sin z zdz ⎰2．（本小题12分）证明：32(,)3u x y y x y =-为调和函数，并求其共轭调和函数),(y x v 和由它们组成的解析函数)(z f ，使0)0(=f .三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名命题教师审题教…………………….………….……试题不要超过密封2005级VB 期末试题部分（20063．（本小题8分）将函数)2)(1(1--z z 在021z <-<内展成Laurent 级数.4．（本小题15分）计算下列函数在有限奇点处的留数：（1） 212z z z+-（2）241ze z- （3） tan z π5．（本小题12分）判定下列函数在何处可导，在何处解析？（1） w z = （2） 2()f z x iy =- （3）()(cos sin )x f z e y i y =+三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名命题教师审题教…………………….………….……试题不要超过密封2007 — 2008 学年第二学期《复变函数》课程考试试卷A 参考答案一、填空题 (每小题3分)1．(2)()2k i k Z ππ+∈ 2．cos(2sin(2()k i k k Z ππ+∈3．2a = 4．25．0 二、选择题(每小题3分)1．C 2．D 3．B 4．B 5．A 6．B三、试解下列各题1．（本小题20分）计算下列积分:(1) 3()zC e dz z α-⎰ 其中1α≠， C 为正向圆周：1z = 解: 当1α>时，由Cauchy 积分定理得，原式＝0 …………2分当1α<时，由Cauchy 积分公式得，原式＝2()2!zz i e e i ααππ=''=…………5分 (2)2211Cz z dz z -+-⎰，其中 C 为正向圆周：2=z解: 方法一: 由Cauchy 积分公式得，原式＝122(21)4z i z z i ππ==-+ ………………………………5分方法二:22(21)1211C C z dz z z z dz z ⎡⎤++⎢⎥-⎣⎦-+=-⎰⎰0442(21)1C C dz i i z dz z ππ+=+==+-⎰⎰ (3) 22(1)zz e dz z z =-⎰ ，解: 分别作两个互不相交互不包含的正向小圆周12,C C ,使1C 只包含奇点0,2C 只包含奇点1, 则122222(1)(1)(1)z z zC C z e e z ze dz dz dz zz z z =-=+--⎰⎰⎰012222(1)zzz z e e ii i z zπππ=='⎛⎫=+=⎪-⎝⎭…………5分 (4)10zsin zdz ⎰解: 函数zsin z 在复平面内解析, 积分与路径无关, 故101(cos sin )cos1sin1sin z z z z zdz =-+=-+⎰ (5)分2．（本小题12分）证明：32(,)3u x y y x y =-为调和函数，并求其共轭调和函数),(y x v 和由它们组成的解析函数)(z f ，使0)0(=f .解：（1）因为 y x u xy xu6622-=∂∂-=∂∂ y yux y yu 6332222=∂∂-=∂∂ 所以 02222=∂∂+∂∂yux u ，即),(y x u 是调和函数。

杭商院微积分试卷

浙江工商大学杭州商学院2012/2013学年第二学期期终试卷(A)课程名称：微积分(下) 考试方式：闭卷完成时限： 120分钟班级名称：学号：姓名： .一、填空题（每小题2分，共16分）1、=+⎰-22d )cose (2ππx x x x. 2、设y x z =，则=∂∂)1,e (yz。

3、微分方程1d d -=-xyx y 的通解为 . 4、若级数∑∞=-1)1(n n u 收敛，则=∞→n n u lim 。

5、交换积分次序后，=⎰⎰x xy y x f x d ),(d 10。

6、幂级数 ∑∞=⋅-14)2(n nnn x 的收敛域为。

7、已知1d )(1=⎰t t f ,D 为圆域122≤+y x , 则=+⎰⎰Dy x f σd )(22 .8、微分方程 054=+'-''y y y 的通解为 .二、单项选择题（每小题3分，共15分）1、下列广义积分收敛的是（）. （A ）⎰∞+ 1d ln x x （B ）⎰∞+ 12d 1x x（C ）⎰∞+ 1 d 1x x （D ）⎰∞+ 1 d e x x2、设常数0>k ，则 ∑∞=+-12)1(n nnn k （）。

（A ）发散（B ）绝对收敛（C ）条件收敛（D ）收敛性与k 有关3、设)sin(2y x z +=, 则=∂∂22xz （）. （A ）)sin(2y x +- （B ）)cos(2y x +- （C ）)sin(2y x + （D ）)cos(2y x + 4、二重积分⎰⎰+Dy x σd 22，}2|),{(22x y x y x D ≤+=，在极坐标下的二次积分是（）. （A ）⎰⎰θπθcos 020d d r r（B ）⎰⎰θπθcos 2020d d r r（C ）⎰⎰-θππθcos 0222d d r r（D ）⎰⎰-θππθcos 20222d d r r5、微分方程x y y y e 423=+'-'' 的特解形式为（）. （A ）x Ax e（B ）x A e（C ）x A 2e （D ）x Ax e 2三、计算题(一)（每小题5分，共20分）1、计算积分⎰e1d ln x x x .2、设),(y x f z =由方程 z y x z ++=e 所确定，求z d 。

07-08(二)期末考试试卷(A)

浙江工商大学2007/2008学年第二学期期末考试试卷（A ）课程名称: 微积分（下）考试方式: 闭卷完成时限: 120分钟班级名称: 学号: 姓名:_____________一、填空题（每小题2分,共20分）1. 设函数)(x f 满足等式⎰-+=122d )(1)(x x f x x x f ,则⎰1d )(x x f = .2. 1cos 0d e lim2x txt x ⎰-→= .3.⎰∞+e2d ln 1x xx = . 4. 函数y x z =在点)1,e (处的全微分z d = . 5. 已知函数),(y x f z =由方程xyz z =sin 确定,则yz∂∂= . 6. 交换二次积分的积分次序:=⎰⎰y y x f x x xd ),(d 202 .7. 已知1d )(1=⎰t t f ,D 为圆域122≤+y x ,则⎰⎰+Dy x f σd )(22= .8. 幂级数∑∞=+-12)2(3n nn n x 的收敛区域为 .9.函数2e e sh xx x --=在0=x 处的幂级数展开式为 .10.微分方程y x y 2e -='的通解为 .二、单项选择题（每小题2分,共10分）1. 若函数),(y x f z =在点),(y x 处不连续,则在该点处（）.A. 偏导数一定不存在B. 全微分一定不存在C. 极限一定不存在D. 函数一定无定义2. 下列广义积分收敛的是（）.A.⎰∞+1d 1x xB.⎰∞+1d 1x xC.⎰∞+12d 1x x D.⎰∞+1d x x3. 函数x y x y x y x f 933),(2233-++-=在点)0,1(处（）.A.有极大值B.有极小值C.无极值D.是否有极值无法判断4. 设na n 10<≤,(+∈N n ),则下列级数中肯定收敛的是（）. A.∑∞=1n naB.∑∞=-1)1(n n naC.∑∞=1n n aD.∑∞=-12)1(n nna 5. 微分方程x y x y y =+''+'43)(的阶数为（）.A. 1B. 2C. 3D. 4三、计算题(一)（写出必要的解题步骤,每小题6分,共24分）1. 计算定积分x x x d )1(tan e 4022⎰+π.2. 设),()2(xy x g y x f z +-=,其中函数)(t f 二阶可导,),(uv u g 具有连续二阶偏导数,求yx z∂∂∂2.3. 判断级数nn n n 1ln)1(1+-∑∞=的敛散性,若收敛,则指出是绝对收敛还是条件收敛.4.求可导函数)(x f ,使它满足方程⎰=-x x t t f x f 02d )()(.四、计算题（二）（写出必要的解题步骤,每小题7分,共28分）1. 设⎪⎩⎪⎨⎧<≥++=-.0,e ,0,122)(x x x x x f x ,求⎰--51d )1(x x f .2. 设D 是由直线x y =,1=y 及0=x 所围成的平面闭区域,计算二重积分⎰⎰-Dy x xy y d d 2.3. 求幂级数∑∞=+11n n nx的收敛域及和函数,并由此计算数项级数∑∞=+112n n n的和.4. 求微分方程x y y y sin 1034=+'-''的通解.五、应用题（每小题7分,共14分）1. 设曲线22x x y -= (20≤≤x )与直线x 轴围成平面图形D .求:(1)D 的面积;(2)求D 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.2. 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用x (万元)及报纸广告费用y (万元)之间的关系有如下的经验公式:yyx x R +++=101005200, 利润额相当于五分之一的销售收入,并要扣除广告费用.已知公司提供的广告总费用为25万元,试问如何分配两种广告费用,使利润最大?五、证明题（4分）若∑+∞=12nnu收敛,试证: ∑+∞=1nnnuα绝对收敛,其中21>α.。

2007-2008a(参考答案)

华东政法大学2007-2008学年第一学期期末考试商学院07级各专业《高等数学》A 卷参考答案一、填空题（每题2分，共20分）(1) e(2) 0(3) -2(4) 0(5) 3(6) C x F +-)(c o s(7) xdy x dx yxy y ln 1+- (8) ⎰⎰ee y dx y xf dy ),(10(9 ) 1/2 (10) 222-。

二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，每小题2分，共20分）(1) C (2) B (3) D (4) A (5) A (6) B (7) C （8）A （9）C （10）A三、计算题（每小题6分，共30分）1、解：x x xf x x dt t tf x x x x F 2)(0)(00lim lim )(lim 20→→→=⎰= （3分）2/)(lim 0x f x →= 02/)0(==f （5分）所以当0=x 时，F （x ）在x=0处连续。

（6分）2、解：)111111(1lim )21111(lim 1nn n n n n n n n +++++=++++∞→∞→ n n i n i n 111lim 1∑=∞→+= （2分） ⎰+=1011dx x （4分）2ln |)1ln(10=+=x （6分）3、解：323552x x y -= 0)'52(332351310'＝令x x x x y -=-=，所以x=1是函数的稳定点。

X=0是函数的不可导的点，这两点是可能的极值点。

在0)('),0,(>-∞x f ,0)('),1,0(<x f ,0)('),,1(>∞x f所以函数的单调区间增区间为)0,(-∞),1(∞，单调递减区间为)1,0(在点x=0处，函数取得极大值0；在点x=1处，函数取得极小值－3。

（3分）)12()'(''3239101310+==--x x y x x 令,0''=y 则x=-1/2，则在0)(''),,(21<--∞x y ，0)(''),,(21>+∞-x y ，因此，函数在区间),(21--∞内凸，在),(21+∞-内凹。

高数下期末考试试卷(学时)

浙江工商大学2007/2008学年第二学期期末考试试卷(A)课程名称：高等数学（下）考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级名称：学号：姓名：1. 曲面43222=+-z y x 被平面1=z 截得的曲线，绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为_________________.2. 设yx e z =，则=)1,2(dz_________________ .3. 设L 为任一封闭的逆向曲线,且)(u f 有连续的导数,则=+⎰Ly x x y xy f )d d )(( .4. 将⎰⎰=axay y x f x I d ),(d 0交换积分次序后,=I . 5. 2x xe y -=在0=x 处展开的幂级数 . 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 若),(y x xyz ϕ+=，则y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅＝( ).(A)０ (B) ),(),(y x y y x x y x ϕϕ⋅+⋅(C) ),()(y x y x x ϕ⋅+ (D) )],([2y x xy xyy ϕ⋅+2. 二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=+0,00,)(222222y x y x y x xy y x f 在点(0,0)处( )(A)不连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数存在(C)连续，偏导数不存在 (D) 不连续，偏导数不存在3.函数),(y x f ＝222y x -，则)0,0(f 是),(y x f 的( ). (A)极大值 (B)极小值 (C)非极值 (D)不能确定4. 设区域D 为圆心在原点,半径为1的圆域,区域1D 为D 在第一象限部分,则 ( ).(A)⎰⎰⎰⎰=1d 4d D Dy y σσ(B)⎰⎰⎰⎰=1d 4d D Dxy xy σσ(C)⎰⎰⎰⎰=1d 4d D Dy y σσ(D)0d 2=⎰⎰Dx σ5. 设常数0>a ，则级数∑∞=-+-121)1(n n nna ( ). (A)发散； (B)绝对收敛；(C)条件收敛； (D)收敛或发散与a 的取值有关．三、计算题（每小题7分，共49分）1. 求过点)3,0,2(-且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.2. 若函数),(y x z z =.由0)arctan(=-yz x 所确定，求⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂2,4πxz ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂2,4πyz ．3. 计算⎰⎰+Dd y x σ22,{}x y x x y y x D 2,0),(22≤+≤≤=.4．设平面曲线L 是抛物线22y x π=从点)0,0(A 到点)1,2(πB 的一段弧,试计算:⎰+-+-=Ly y x x y x x y xy I d d )3sin 21()cos 2(2223.5.计算dv e z ⎰⎰⎰Ω,其中Ω为：1222≤++z y x .6. 求幂级数∑∞=--122212n n nx n 的:(1) 收敛域；(2)和函数.7. 设)(x f 是周期为π2的周期函数, 它在),[ππ-上的表达式为||)(x x f =, 试将)(x f 展开成傅立叶级数, 并由此求常数项级数∑∞=-12)12(1k k 的和.四、应用题（每小题8分，共16分）1. 求⎰⎰+-∑y x yz x z y z y xz d d d d d d 242, 其中∑为曲面222y x a z --=的上侧)0(>a .2. 在曲面122222=++z y x 上求一点,使222),,(z y x z y x f ++=在该点沿)0,1,1(-l ϖ方向的方向导数最大.五、证明题（每小题5分，共5分）设n n n b c a ≤≤,),2,1(Λ=n ,并设级数∑∞=1n na和∑∞=1n nb均收敛，试证明n n na c+∑∞=1也收敛.。

2008级微积分A(下)期末试卷(A卷)解答 (1)

2008-2009学年《微积分A》第二学期期末考试参考答案及评分标准2009年6月26日一、填空（每小题4分，共28分） 1.112213−+=−=−z y x 2. ;1312;0123412=−+−z y x 3.};,ln ,{1y y y x x z x yz x gradu −=;ln )1()(22x z x z x y y gradu div y y +−=−4. 5.;2π;3R π6.∫∫θπρρθρθρθ=cos 2020)sin ,cos (a d f d I 7..2121;21≤<−>p p 二、 0332=−=∂∂y x xz 0332=−=∂∂x y yz 得驻点为 ……… 2分 )1,1(),0,0(又 y yz y x z x x z 6,3,622222=∂∂−=∂∂∂=∂∂ ……… 4分在点处：)0,0(0,3,022222=∂∂=−=∂∂∂==∂∂=y z C y x z B xz A ,092>=−AC B 所以点不是极值点. ……… 6分)0,0(在点处：)1,1(6,3,622222=∂∂=−=∂∂∂==∂∂=y z C y x z B xz A 06,0272>=<−=−A AC B 且,.1−所以点是极小值点，极小值为：)1,1(=极小z ……… 8分三、(1)圆锥面与抛物面的交线为：⎪⎩⎪⎨⎧−−=+=22222yx z y x z ，即. ⎩⎨⎧=+=1122y x z .1:22≤+Ωy x D xoy 面的投影区域在 ………2分 ,2:221y x z S −−=.)(4112222y x z z y x ++=′+′+,:222y x z S +=.2122=′+′+y x z zdxdy dxdy y x S DD ∫∫∫∫+++=2)(4122 ……… 4分 π+ρρρ+θ=∫∫π10220241d d ……… 6分 .2)155(6π+−π= ……… 7分 (2) )1()(22=μ+μ=∫∫∫V z dVy x J ……… 9分柱坐标系）(2210320∫∫∫ρ−ρπρρθ=dz d d ……… 11分 .154π= ……… 12分四、记2233,3xy y x Y y xy X n m −=−=由题意知：yX x Y ∂∂=∂∂ ……… 2分 121633−−−=−⇒m n my xy y y nx2,3==⇒n m ……… 4分由题意知曲线积分与路径无关，且路径的起点、终点坐标分别为： )2,(),0,0(a a π，选择折线路径：)2,()0,()0,0(a a a π→π→，则 ∫∫π−π+=πa a dy ay y a dx I 20220]3)(3[0 ……… 6分……… 8分 )43(24−ππ=a （也可求出原函数后用牛顿-莱布尼茨公式或选择其他积分路径）五、 )121(21)2(1)(xx x x x f −−=−= ……… 1分 ]331131)3(11[21−+⋅−−+=x x ……… 3分 ∑∑∞=+∞=−−−−−=010]3)3()1()3()1([21n n n n n n n x x ……… 5分 ∑∞=+−−−=01)3)(311()1(21n n n n x ……… 6分收敛域为：.42<<x ……… 8分六、添加辅助面取下侧， ……… 2分,,0:222R y x z S ≤+=ydzdx z xdydz y dxdy z x R I 2222)1(1+++=∫∫Σ ……… 3分 )(12∫∫∫∫+Σ−=SS R （利用高斯公式） ])([1222:2222∫∫∫∫∫≤++++−=R y x D V dxdy dxdydz x z y R ……… 5分 π+ϕϕθ−=∫∫∫πππdr r d d RR 042202sin 1 （由球坐标）…. 8分 .523π+π−=R ……… 10分七、 1lim 1=+∞→nn n a a Q ，所以收敛半径1=R .又当1±=x 时，级数发散，所以幂级数的收敛域为：).1,1(−=D ……… 3分记n n n n n n n n n x n x n n x S ∑∑∑∞=∞=∞=−+−=+−=1111)1()1(1)1()( … 4分∫∑∞=−−++−=x n n n dx x x x 011)1(1 ……..7分 ∫+−++−=x dx xx x 0111 ……… 8分 )1,1()1ln(1−∈+−+−=x x x x ……… 10分八、将)(x f 进行偶延拓，由狄立克莱收敛定理知：⎩⎨⎧π−∈−ππ∈+π=]0,[],0()(x x x x x S ……… 2分由和函数的周期性，当]2,[ππ∈x 时，]0,[2π−∈π−xx x S x S −π=π−=3)2()( ……… 3分又.53)25()5(),,0(25−π=π+−=−∴π∈π+−S S ..…… 5分L ,2,1,0==n b n ,3)(2)(2000π=+ππ=π=∫∫ππdx x dx x f a …….6分 ∫∫ππ+ππ=π=00cos )(2cos )(2nxdx x nxdx x f a n ]1)1[(22−−π=n n ⎪⎩⎪⎨⎧=−=π−===L L ,2,1,124,2,1,202k k n n k k n ……… 8分九、由球坐标与直角坐标的关系，有ϕ=θϕ=θϕ=cos ,sin sin ,cos sin r z r y r x ……… 2分（1）).cos ,sin sin ,cos sin (),,(ϕθϕθϕ==r r r f z y x f u …… 3分（2）令 ,t z f y f x f z y x =′=′=′ .,,tz f ty f tx f z y x =′=′=′⇒θθθ′⋅′+′⋅′+′⋅′=θ∂∂z f y f x f u z y x0cos sin )sin (sin ⋅′+θϕ⋅′+θ−ϕ⋅′=z y x f r f r f ..…… 4分 θϕ⋅+θ−ϕ⋅=cos sin )sin (sin r ty r txθθϕ+θθ−ϕ=sin cos sin cos )sin (sin 2222tr tr =0 ……… 5分 ϕϕϕ′⋅′+′⋅′+′⋅′=ϕ∂∂z f y f x f u z y x ϕ⋅′−θϕ⋅′+θϕ⋅′=sin sin cos cos cos r f r f r f z y x …… 6分 ϕ⋅−θϕ⋅+θϕ⋅=sin sin cos cos cos r tz r ty r txϕϕ−θϕϕ+θϕϕ=cos sin sin cos sin cos cos sin 22222tr tr trϕϕ−ϕϕ=cos sin cos sin 22tr tr =0 ……… 7分由此知.的函数仅为有关，即无关，仅与，与r u r u θϕ ……… 8分。

07-08上“微积分”试卷(A)

杭州商学院2007/2008学年第一学期考试试卷(A)课程名称：微积分(上) 考试方式：闭卷完成时限： 120分钟班级名称：学号：姓名： .一、填空题（每小题2分，共16分）1、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1,01,1)(x x x f ,则=)]([x f f .2、设⎪⎩⎪⎨⎧=≤<-=0,10,)31()(1x k x x x f x 在0=x 点连续，则=k .3、若22e )e (+=-x f y ，其中)(u f 可导,则=y d .4、已知,2)2()22(lim=--→hf h f h 则=')2(f .5、某产品的需求量Q 与价格P 的函数关系275P Q -=，当=P 时涨价1%，需求量以1%的幅度下降.6、曲线x x y -=e 的拐点是 .7、设,2x y =则=)0()7(y .8、若⎰+=C x x x f x d )(，则=)(x f .二、单项选择题（每小题3分，共15分）1、当0→x 时，下列各项中与x 为等价无穷小量的是（）.()xx A sin()xx B tan ()xx C --+11()xx D 1sin2、下列各式中正确的是（）.()11sinlim=→x x A x ()1sin lim=∞→x x B x()11sinlim=∞→xx C x()0sin lim=→xx D x3、设函数)(x y 由方程y x y e 1+=所确定，则在点()1,0的切线方程为( ).()A 1e +=x y ；()B 1e +-=x y ； ()C x y e =； ()D 1e 2+=x y .4、已知函数)(x f 在点a x =的某一邻域内连续,且,1)()()(lim2-=--→a x a f x f ax 则在点a x =处（）.)()(x f A 的导数存在，且0)(≠'a f )()(x f B 取得极大值 )()(x f C 取得极小值)()(x f D 的导数不存在.5、设x x f -=e )(，则⎰='x xx f d )(ln （）. ()C xA +-1()C xB +1 ()C x C +ln()C x D +-ln三、计算题(一)（每小题5分，共20分） 1、计算 21sin 1limxx x x --→.2、a ,b 为何值时，函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-+=<-= 03sin 040tan sin )(2 , x x x ax x b , x , x xxb x a x f 在0=x 处连续？3、设 ,arcsin 12x x x y +-=求y ''.4、计算 ⎰+xxxd 124四、计算题(二)（每小题7分，共28分） 1、)1e 11(lim 0--→xx x2、由方程x y y x =-ln 2确定的隐函数)(x y y =，求0d =x y .3、⎰-x x d e124、已知)(x f 的一个原函数为x x ln )sin 1(+，求⎰'x x f x d )(.五、应用题（共16分）1、糖果厂每周销售量为Q （千袋），每袋2元，总成本函数为： ()100013001002++=Q Q Q C （元），试求取得每周最大利润的销售量.(6分)2、设函数 xxy +=12，求 (1) 函数的单调区间、极值； (2) 函数的凹向区间及拐点； (3)函数的渐近线。

2007─2008期末考试B卷答案

对外经济贸易大学 2007─2008学年第二学期《微积分（二）》期末考试试卷（B ）参考答案一、单项选择题：（每题2分，共14分） 1．B 2．A 3．A 4．A 5．D 6．A 7. B 二、填空题：（每题2分，共14分） 1． 213x - 2. 12e e -+- 3．13420dx dy -4．12- 5．()2111,x dx f x y dy --⎰⎰6．绝对收敛. 7. ()1P x dx y y Ce -⎰=+三、计算题：（1—6每题6分，7题7分，共43分） 1．解：令(),,(,)z zG x y z F x y y x=++，（1分）则122,x z G F F x ''=-122,y z G F F y ''=-+1211,z G F F y x''=+ （3分） 21222121212,11x zzF FG yzF x yF z x x G x F xyF F F y x''-''-∂=-=-=''∂+''+12221221212.11yz zF FG xzF xy F z y y G xyF y F F F y x''-+''-∂=-=-=''∂+''+ （2分） 2．解:112.z y yyf g xg yf g g x x x ∂⎛⎫''''=++-=+- ⎪∂⎝⎭(2分) 21211112111z y f yf g g g g g x y x x x x ∂⎛⎫⎛⎫''''''''''=+++--+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭(3分) 211122y yf yfg g g x x''''''''=++-- (1分) 3．解：2)d d Dx y ⎰⎰y x y x Dd d )2(+-=⎰⎰ (1分)作辅助线x y =将D 分成21,D D 两部分+-=⎰⎰y x y x D d d )(22⎰⎰Dy x d d 2（2分） 2)12(32π+-=. （3分）4．解:利用极坐标计算()2sin 40()cos sin Dx y dxdy d r r rdr πθθθθ+=+⎰⎰⎰⎰(2分)()3408sin cos sin 3d πθθθθ=+⎰()401134cos 2cos 463d πθθθ=+-+⎰ (3分) 142π=-(1分) 5．解方程两端除以2y ，并作变量替换,121--==y y z 则dxdyy dx dz 21-= (2分) 原方程化为322x xz dxdz-=+ （1分）求得212x cex z -++-=， (2分)于是由,1-=y z 得原方程的解2211x cex y -+-=。

近十份大学微积分下期末试题汇总(含答案) 2

浙江大学2007-2008学年春季学期《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷一、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = .2.已知2a = ,3b = ,3a b ⋅= ,则a b +=.3.设(,)f u v 可微，(,)y x z f x y =,则dz = .4.设()f x 在[0，1]上连续，且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y =≤≤≤≤,则()()()()Daf x bf y d f x f y σ++⎰⎰= .5.设(,)f x y 为连续函数，交换二次积分次序2220(,)x x dx f x y dy -=⎰⎰.二、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，把所选字母填入题后的括号内）6.直线l 1:155121x y z --+==-与直线l 2:623x y y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为（A ）2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6π. [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数，极坐标系中的二次积分cos 20d (cos ,sin )d f r r r r πθθθθ⎰⎰可以写成直角坐标中的二次积分为（A）100(,)dy f x y dx ⎰⎰ （B）100(,)dy f x y dx ⎰⎰（C）10(,)dx f x y dy ⎰⎰（D）10(,)dx f x y dy ⎰⎰[ ]8.设1, 02()122, 12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩ ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数，则5()2S -=（A ）12. （B ）12-. （C ）34. （D ）34-. [ ] ＜9.设,)(0,0),(,)0, (,)(0,0),x y f x y x y ≠==⎩则(,)f x y 在点O (0,0)处（A ）偏导数存在，函数不连续（B ）偏导数不存在，函数连续（C ）偏导数存在，函数连续（D ）偏导数不存在，函数不连续 [ ] 三、解答题10.（本题满分10分）求曲线L ：2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在其上点M （1，－1，2）处的切线方程与法平面方程.11.（本题满分10分）设F 可微，z 是由F (x y -,,)0y z z x --=确定的可微函数，并设23F F ''≠，求z zx y∂∂+∂∂. 12.（本题满分10分）设D 是由曲线3y x =与直线y x =围成的两块有界闭区域的并集，求2[esin()]d x Dx y σ++⎰⎰.13.（本题满分10分）求空间曲线L ：222920335x y z x y z ⎧+-=⎨++=⎩上的点到xOy 平面的距离最大值与最小值.14.（本题满分10分）设平面区域D ={}(,)01,01x y x y ≤≤≤≤，计算二重积分22 1 d Dx y σ+-⎰⎰.15.（本题满分5分）设当y ＞0时(,)u x y 可微，且已知222222(,)()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y=++-++++. 求(,)u x y .浙江大学2007－2008学年春季学期《微积分II 》课程期末考试试卷答案一、填空题（每小题5分，共25分） 1．231421=-++=d .2．a b +== 3．()()dy xy f x x f dx y y f yx f dz x y x y 121211ln ln --'+⋅'+'+⋅'= 4．()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰++=++=D Dd x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I σσ， ()()⎰⎰+=+=+=∴D b a I b a d b a I 21,2σ.5．()()2220111,,x xdx f x y dy dy f x y dx --=⎰⎰⎰⎰或 ()01,d y f x y dx -⎰⎰或 ()1101,dy f x y dx -⎰⎰.二、选择题（每小题5分，共20分）6．选（B ）. l 1的方向向量{}1,2,1-，l 2的方向向量{}2,1,1--，{}{}3,2163662,1,11,2,1cos πθθ===--⋅-=.7．选（D ）. 积分区域(){}0,,22≥≤+=y x y x y x D ，化成直角坐标后故知选（D ）.8．选（C ）. 511111113()()()((0)(0))(1)222222224S S S f f -=-==-++=+=.9．选（A ）. ()()0000,0lim0,0,00x y x f f x→-''===，偏导数存在. 取kx y =，()4411lim,lim kk kk kx x f x x +=+=→→随k 而异，所以不连续．三、解答题（10～14每题10分，15题5分，共55分） 10．由L ，视x 为自变量，有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++.0226,0264dx dz z dx dy y x dx dz z dx dy y x 以()()2,1,1,,-=z y x 代入并解出dxdzdx dy ,，得 87,45==dx dz dx dy ，所以切线方程为87245111-=+=-z y x ，法平面方程为()()()57112048x y z -+++-=，即0127108=-++z y x .11．133212232332,,1y x z z F F F F F F F F z z z z x F F F y F F F x y F F ''''''''--+∂∂∂∂=-=-=-=-+==''''''''∂-+∂-+∂∂-.12．D 在第一象限中的一块记为D 1，D 在第三象限中的一块记为D 2，()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++++=++2122122sin sin sin D D DD x D x x d y x d y x d e d e d y x eσσσσσ.32222312101xx x x x xxxD D e d e d dx e dy dx e dy σσ-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()()()()222210103333011x x x x x x e dx xx e dx x x e dx xx e dx -=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰()2111130021()112x u u u u x x e dx e du ue du e ue e e e =-=-=---=--=-⎰⎰⎰()()()()3312101sin sin sin sin x x xxD D x y d x y d dx x y dy dx x y dy σσ-+++=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()103301cos cos cos cos x x x x dx x x x x dx -⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ()()()()13301cos cos cos cos 0x x x x dx x x x x dx ⎡⎤⎡⎤=-+-+++-+=⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 所以，原式2-=e .13．L 上的点到平面xoy 的距离为z ，它的最大值点，最小值点与2z 的一致，用拉格朗日乘数法，设()()()53329,,,,2222-+++-++=z y x zy x z z y x F μλμλ，求偏导数，并令其为零有：20F x x λμ∂=+=∂，1830Fy x λμ∂=+=∂， 2430F z z z λμ∂=-+=∂，22920Fx y z x∂=+-=∂ ， 3350Fx y z μ∂=++-=∂ ．解之得两组解()()1215,,(1,,1);,,(5,,5)33x y z x y z ==--. 所以当31,1==y x 时，1=z 最小；当35,5-=-=y x 时，5=z 最大.14．将分成如图的两块，41的圆记为D 1，另一块记为D 2()⎰⎰⎰⎰--=-+DD d y x d y x 1222211σσ+()⎰⎰-+2122D d y x σ()()()σσσd y x d y x d y xD DD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+--++--=11111222222()()()()1222211122220211211211()43343D Dx y d x y d d r rdr dy xy dx πσσθππ=--++-=-++-=+-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰15．由()222222,()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y =++-++++，有222xy yx y x u ++=∂∂，从而知()()y y x yxy x u ϕ++=2221arctan ,，又由y y x yx x y u 2222+++-=∂∂，推知 ()22222221()xx y x y y x y y x x y y ϕ-'++=-++++， ()()22,y y y y C ϕϕ'==+所以，()2221,arctan2x u x y x y y C y =+++. 注：若用凑的办法亦可：222222()(2)y x xy dx x y y dy x y x y++-++++()()22222211221()ydx xdy ydx xdy xy ydx xdy ydy d xy dy x x y y y--=+++=++++ ()221(arctan)2x d xy y y =++ 所以，()C y y x yx y x u +++=22221arctan ,． ()()u f u F ='．浙江大学2006–2007学年春季学期《微积分Ⅱ 》课程期末考试试卷开课学院：理学院考试形式：闭卷考试时间：年月日所需时间：120 分钟考生姓名： _____学号：专业： ________一、填空题（每小题5分，满分30分） 1．直线63321-==+z y x 在平面0522=--+z y x 上的投影直线方程为.2．数量场2),,(z ye z y x g x+=在)0,3,1(P 点的梯度为 .=u函数)ln(),,(22z y x z y x f ++=在P 点沿u 的方向导数为 .3．设ϕϕ,),2,3(),,(f y x x u u x f z+== 具有二阶连续偏导数，则=∂∂∂yx z 2.4．设}1,11|),{(3≤≤≤≤-=y x x y x D ，则=+⎰⎰+Dy xy x e y x x d d )(222.5．已知曲面1=z y x 与椭球面193222=++z y x 在第一卦限内相切，则切点坐标为，公共切平面方程为.6．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=121,210,)(2x x x x x f ，∑∞=+=10cos 2)(n n x n a a x S π，其中,2,1,0,d cos )(210==⎰n x x n x f a n π，则.)7(=S二、（满分10分）求直线 ⎩⎨⎧=-++=-+-022012z y x z y x 绕x 轴旋转一周所得的旋转曲面方程.10022dd x yex y.三、（满分10分）计算⎰⎰-四、 (满分15分)已知),(y x z z =由方程013=++zxe z y 确定，试求1022==∂∂y x x z.五、（满分15分）设平面),,(,1:z y x d y x =+π为曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++014222z y x z y x 上的点),,(z y x 到平面π的距离，求),,(z y x d 的最大，最小值 .六、 (满分15分)如图是一块密度为ρ（常数）的薄板的平面图形（在一个半径为R 的半圆直径上拼上一个矩形，矩形的另一边为h ）,已知平面图形的形心位于原点(0, 0). 试求：1. 长度 h ；2.薄板绕x 轴旋转的转动惯量.七、 (满分5分) 求证:当0,1≥≥s t 时，成立不等式 s e t t t ts +-≤ln .参考解答：一．1．⎩⎨⎧=--+=+-0522043z y x z y x ； 2. 21},0,,3{e e ；3.)3(2))(3(2222122222122212ϕϕϕϕϕϕ''+''⋅'+'+'⋅'⋅''+'''f f f ； 4.;32 5. ;03313,3,1,31=-++⎪⎭⎫⎝⎛z y x 6. 83.二．直线：t z t y t x -=-==1,1,曲面上点→),,(z y x P 直线上点00000001,1),,,(x z x y z y x -=-=22222020220)1()1(,,x x z y z y z y x x -+-=+⇒+=+=则旋转曲面方程：222)1(2x z y -=+三．⎰⎰10222d d x y ex y -⎰⎰⎰-==--1212220142)d 41(d d y y e x e y 2y yy2120202020221d d d d 212212212212212------=-+=+=⎰⎰⎰⎰e y e ey y e e y y e yy y y y四．,1)1,0(-=z ,032=∂∂++∂∂⋅x z xe e x z z y z z ex z y x 3110-=∂∂∴==,02632222222=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+∂∂⋅x z xe x z xe x z e x z z y x z z y z z z 2102294ex zy x =∂∂∴== 五．|1|21),,(-+=y x z y x d)14()()1(2222-++++++-+=z y x z y x y x L μλ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++='=±===++='==+='-==⇒≠=++-+='=⇒==++-+='014,01302,002)1(20,002)1(22223231221z y x L z y x z y x L x z L xz x y y y x L x y x L z y xμλμλμμλλμμλ，无解最小距离：2236),,(323131-=-d ，最大距离：2236),,(323131+=--d六．形心：01,0=⇒==⎰⎰⎰⎰DDxdxdy xdxdyx y σ即0d c o s d d d 220=⋅+⎰⎰⎰⎰---ππθθRhR Rr r r y x xR h R h R 320312)21(232=⇒=⋅+-⋅⎰⎰=Dx dxdy y I 2302202)832(d θsin d d d 22R R h r r r y y x Rh RR πθππ+=⋅+=⎰⎰⎰⎰---七．设0)0,1(,ln ),(=-+-=F ts e t t t s t F s.ln ,0),(t s e t t e s t F s s s ==⇒=-=' 且对固定的1>t ，当,0),(,ln 0<'<<s t F t s s 当,0),(,ln >'>s t F t ss所以，t s ln =取得最小值且为0，则0),(≤s t F ，即s e t t t ts +-≤ln1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.π=⎰∞+∞--dx ex 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以xe x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________. 6 知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( a).(A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛，则∑∞=-1)1(n nna ( d ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 2、3、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x =的函数为23,0x y y =>。