高阶系统的时域分析课设

grid on;%添加栅格
xlabel('t ');
ylabel('c(t) ');%标注横、纵坐标轴
title('单位阶跃响应')；%标注标题
将程序输入MATLAB中得到响应曲线如图1
图1单位阶跃响应图
2.2
动态性能指标是指稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间t的变化状况的指标，体现系统动态过程特征。用解析法求解高阶系统的动态性能指标很困难，这里用MATLAB功能求解。在上述图中点击鼠标右键，选择“Characteristics”选项，再分别选择Peak response，setting time，rise time和steady state，图上即会标出各点如图
u=t;
lsim(G,u,t);
grid on;
在MATLAB中输入程序如图
图3单位斜坡响应曲线
3.2
由系统的开环传递函数可知，该系统为Ⅰ型系统，待分析系统的开环传递函数为Gp=
其静态速度误差系数为
所以系统在单位斜坡输入作用下的稳态误差为
4
4.1
单位加速度响指的是系统在单位加速度信号r(t)= 作用下的响应。取其拉氏变换R(s)= 。此时，系统输出为:
6．答辩（25分）
总分
最终评定成绩（以优、良、中、及格、不及格评定）
指导教师签字：
年月日
num=[1 4];
den=[1 5 12 8 0];
rlocus(num,den)
画出根轨迹如图：
图5根轨迹图像
6
本次课程设计是对我们平时上课并不接触很多的高阶系统进行时域分析，包括对它的稳定性判断、单位阶跃响应、单位斜坡响应、单位加速度响应以及根轨迹得绘制。虽然高阶系统的时域分析与低阶原理相同，但是如果运用经典解析方法，采用拉普拉斯反变换求解瞬态响应时域表达式比较复杂，要计算出各项动态性能指标也很困难，因此我借助了强大的应用软件MATLAB。MATLAB计算功能强大、图形功能丰富方便、编程效率高且易学易用，很多的问题都能迎刃而解。本次课设任务书中要求画图的地方较多，直接调用MATLAB的相应函数就可以轻松实现相关要求。另外，在求解高次方程中遇到的困难，MATLAB也能方便地解决。除了题目本身的一些障碍外，在研究原理写报告的过程中还遇到了许多困难：
姓名
性别
专业、班级
课程设计题目：
课程设计答辩或质疑记录：
成绩评定依据：
评定项目
评分成绩Βιβλιοθήκη 1．选题合理、目的明确（10分）2．设计方案正确、具有可行性、创新性（20分）
3．设计结果（例如：系统设计程序、仿真程序）（20分）
4．态度认真、学习刻苦、遵守纪律（15分）
5．设计报告的规范化、参考文献充分（不少于5篇）（10分）
参考文献
[1]胡寿松，自动控制原理(第五版).北京：科学出版社，2007
[2]吴晓燕，张双选. MATLAB在自动控制中的应用.西安：西安电子科技大学出版社2006
[3]宋丽蓉，自动控制原理，机械工业出版社;第1版
[4]自动控制原理的MATLAB实现，黄忠霖第1版；国防工业出版社
本科生课程设计成绩评定表
课程设计任务书
学生姓名：专业班级：
指导教师：工作单位：
题目:高阶系统的时域分析
初始条件：设单位系统的开环传递函数为
要求完成的主要任务:（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）
1、当K=10,a=1,b=4时用劳斯判据判断系统的稳定性。
2、如稳定，则求取系统的单位阶跃响应、单位斜坡响应和单位加速度响应，用Matlab绘制相应的曲线，并计算单位阶跃响应的动态性能指标和稳态性能指标，计算单位斜坡响应和单位加速度响应的稳态性能指标。
对于这个高阶方程，如果用部分分式分解然后取拉普拉斯反变换求单位阶跃响应非常麻烦，这时我就借助MATLAB工具绘制其响应曲线，程序如下：
num=[10 10];
den=[1 5 12 18 10];%描述闭环系统传递函数的分子、分母、多项式
G=tf(num,den);%高阶系统建模
step(G);%绘制高阶系统的单位阶跃响应曲线
首先，在电脑上安装MATLAB软件时就出了些问题，因为安装包普遍不兼容WINDOWS7系统，我查阅了各种资料才知道要将MATLAB的兼容性改为WINDOWS VISTA平台的才能顺利运行。
然后，在写报告的过程中，我发现那些各种开环闭环函数十分不好书写，各种幂指数分式等难以找到相应符号对应，于是我在网上搜查到一种跟WORD文档紧密联系的数学公式编辑器Mathtype，安装了这个小软件以后，它里面包含了许多特殊符号和分式，先在那个里面输完我要写的式子以后再复制到WORD里，使用十分方便。
t=0:0.01:10;
u=(0.5*t.^2);
lsim(G,u,t)
grid on;
xlabel('t');
ylabel('c(t) ');
title('单位加速度响应')
输入程序后，如图所示
图4单位加速度响应曲线
4.2
待分析系统的开环传递函数为Gp= ，其静态速度误差系数为：
所以在单位加速度输入作用下的系统稳态误差为：
对于高阶系统，要计算出全部特征根一般来说都很不方便。利用劳斯—赫尔维茨判据则不必求出特征根，就可以方便的判断出系统稳定性
1.1
对于开环传递函数
在给定条件K=10,a=1,b=4时用劳斯判据判断系统的稳定性，经过化简可得系统的特征方程为:
D(s)=S4+5S3+12S2+18S+40=0
其劳斯表为
S41 12 40
图2单位阶跃响应曲线各点
将鼠标移至点处，即可读出各点值，因此，它的上升时间为0.935s,调节时间4.47s，峰值时间2.12s，超调量17.3%
2.3
稳态性能是系统在典型输入作用下，当时间t趋于无穷大时，系统输出量的最终复现输入量的程度。稳态性能分析主要是指稳态误差的计算。稳态误差是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量。现采用静态误差系数法计算单位阶跃响应稳态误差。
32a[(a+2)2+4]+3K(a+4)(a+2)+K2-Kb(a+4)2>0
在系统稳定的参数范围内，选取一组参数，令K=10，a=b=1。此时系统由四阶变为三阶，则系统的闭环传递函数为
Φ(s)=
经分析可知，此时K、a、b的值满足要求，系统稳定
2
2.1
单位阶跃响指的是系统在单位阶跃信号r(t)=1(t)作用下的响应。取其拉氏变换即R(s)=1/s。此时，系统输出为:C(s)=R(s) Φ(s)= *
利用MATLAB软件绘制该系统在单位斜坡响应曲线。由于MATLAB没有专用的单位斜坡响应函数，故使用任意输入响应函数lsim（）。当取lsim(G,u,t)时，即表示单位斜坡响应。程序如下：
num=[10 10];
den=[1 5 12 18 10];
G=tf(num,den);
t=0:0.01:10;
3、如不稳定，则计算系统稳定时K、a和b的取值范围，在稳定范围内任取一值重复第2个要求。
4、绘制a=1,b=4时系统的根轨迹。
时间安排：
任务
时间（天）
审题、查阅相关资料
1
分析、计算
3
编写程序
1
撰写报告
2
论文答辩
0.5
指导教师签名：年月日
系主任（或责任教师）签名：年月日
高阶系统的时域分析
1
任何系统在扰动作用下都会偏离原平衡状态，产生初始偏差。所谓稳定性，是指系统在扰动消失之后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。线性系统的稳定性仅取决于系统自身的固有特性，而与外界条件无关。线性系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均位于S左半平面。
利用MATLAB软件绘制该系统在单位加速度响应曲线。由于MATLAB没有专用的单位加速度响应函数，故使用任意输入响应函数lsim(G,u,t)。令输入信号u= ,此时lsim（sys,u,t,0）即表示单位加速度响应。程序如下：
num=[10 10];
den=[1 5 12 18 10];
G=tf(num,den);
S35 18
S28.4 40
S1-5.8
S040
从表中可以看出，第一列有两次符号变化，故系统不稳定，且有两个正实部根。
1.2
当K、a、b未知时，需要确定系统的参数范围，从而进一步判断系统是否稳定。
经过简化可得系统的特征方程为：
D(s) =S4+(a+4)S3+(4a+8)S2+(8a+k)S+Kb=0
将K=10，a=1，b=1代入（2）式，得待分析系统的开环传递函数为:
Gp=
显而易见为I型系统，其静态位置误差系数为：
所以单位阶跃输入作用下系统的稳态误差为：
3
3.1
单位斜坡响指的是系统在单位斜坡信号r(t)=t作用下的响应。取其拉氏变换
R(s)= 1/s2。此时，系统输出为:C(s)=R(s) Φ(s)= *
5
根轨迹表示K值从0变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。根轨迹与系统性能之间有着密切的关系。当a=1，b=4时，系统开环传递函数为
Gp= MATLAB提供有专门绘制根轨迹的函数rlocus(),该函数是针对开环传递函数的，因此可以直接用rlocus(Gp)绘制出系统的根轨迹。程序如下：
其劳斯表为：
S414a+8 Kb
S3a+48a+K
S2[4(a+2)2+K+16]/(a+4) Kb 0