2019年高考数学(北师大版理科)：专题探究课3 数列中的高考热点问题

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高考数学复习第七章数列与数学归纳法专题探究课三高考中数列不等式证明的热点题型理市赛课公开课一等奖省名

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≤|a2n－a2n－1|＋|a2n－1－a2n－2|＋…＋|an＋1－an| ≤13232n－2＋232n－3＋…＋23n－1 ＝23n－1－232n－1 ≤23－233＝1207. 综上，|a2n－an|≤1207.15 分(得分点 4)
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❶得步骤分：抓住得分点步骤，“步步为营”，求得满分.如(1)中，归纳猜测得2分；用数学归纳法证实得3分，第(2)放缩法证实结论得5分等.
殊到普通结论成立问题.所以，能够在数列不等式证实中大显身手.
【例 1】 (满分 15 分)(2018·绍兴检测)已知数列{an}满足，a1＝1，an＝an1＋1－12. (1)求证：23≤an≤1； (2)求证：|an＋1－an|≤13； (3)求证：|a2n－an|≤1207.
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满分解答证明 (1)由已知得 an＋1＝an＋1 12，又 a1＝1，则 a2＝23，a3＝67，a4＝1149，猜想23≤an≤1.2 分(得分点 1) 下面用数学归纳法证明. ①当 n＝1 时，命题显然成立； ②假设 n＝k 时，有23≤ak≤1 成立，
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(2)证明因为 a1>2，可用数学归纳法证明：an>2 对任意 n∈N*恒成立. 于是 an＋1－an＝a2n－1<0，即{an}是递减数列. 在 Sn≥na1－13(n－1)中，令 n＝2，得 2a1＋a21－1＝S2≥2a1－13，解得 a1≤3，故 2<a1≤3. 下证：①当 2<a1≤73时， Sn≥na1－13(n－1)恒成立. 事实上，当 2<a1≤73时，由于 an＝a1＋(an－a1)≥a1＋2－73＝a1－13，
(3)证明由(2)可得 an＝32n1＋1≥32n＋132n－1＝2523n－1. 所以 Sn≥25＋25·231＋…＋25·23n－1 ＝651－23n，故 Sn≥651－23n成立．

2019高三数学文北师大版一轮热点探究训练3 数列中的高考热点问题 Word版含解析

热点探究训练(三)数列中的高考热点问题(对应学生用书第页)．(·广州综合测试(一))已知数列{}是等比数列，＝，＋是和的等差中项．()求数列{}的通项公式；()设＝－，求数列{}的前项和.[解]()设数列{}的公比为，因为＝，所以＝，＝分因为＋是和的等差中项，所以(＋)＝＋.即(＋)＝＋，化简得－＝.因为公比≠，所以＝.所以＝－＝×－＝(∈*)分()因为＝，所以＝－＝－，所以＝(－)，分则＝×＋×＋×＋…＋(－)－＋(－)，①＝×＋×＋×＋…＋(－)＋(－)＋.②由①－②得，－＝＋×＋×＋…＋×－(－)＋＝＋×－(－)＋＝－－(－)＋，所以＝＋(－)＋分．(·郑州模拟)已知数列{}的前项和＝，∈*.()求数列{}的通项公式；()设＝＋(－)，求数列{}的前项和．【导学号：】[解]()当＝时，＝＝；分当≥时，＝－＝－＝分－也满足＝，故数列{}的通项公式为＝分()由()知＝，故＝＋(－).记数列{}的前项和为，则＝(＋＋…＋)＋(－＋－＋－…＋)．记＝＋＋…＋，＝－＋－＋－…＋，则＝＝＋－，分＝(－＋)＋(－＋)＋…＋[－(－)＋]＝分故数列{}的前项和＝＋＝＋＋－分．(·四川高考)已知数列{}的首项为，为数列{}的前项和，＋＝＋，其中>，∈*.()若，，＋成等差数列，求数列{}的通项公式；()设双曲线－＝的离心率为，且＝，求＋＋…＋.[解]()由已知＋＝＋，得＋＝＋＋，两式相减得到＋＝＋，≥.又由＝＋得到＝，故＋＝对所有≥都成立．所以，数列{}是首项为，公比为的等比数列．从而＝－分由，，＋成等差数列，可得＝＋＋，所以＝，故＝.所以＝－(∈*)分()由()可知＝－，所以双曲线－＝的离心率＝＝分由＝＝解得＝，所以＋＋…＋＝(＋)＋(＋)＋…＋[＋(－)]＝＋[＋＋…＋(－)]＝＋＝＋(－)分．已知数列{}中，＝，＋＝－，数列{}满足＝(∈*)．()求数列{}的通项公式；()证明：＋＋…＋<. 【导学号：】[解]()由题意得＋＋＝－＝，＋＝＝＝＝＋＝＋分又＝，∴数列{}是首项为，公差为的等差数列，∴＝分。

高考复习数学(北师大版)热点探究训练3 数列中的高考热点问题

热点探究训练(三)数列中的高考热点问题1．(2017·广州综合测试(一))已知数列{a n}是等比数列，a2＝4，a3＋2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝2log2a n－1，求数列{a n b n}的前n项和T n.[解](1)设数列{a n}的公比为q，因为a2＝4，所以a3＝4q，a4＝4q2. 2分因为a3＋2是a2和a4的等差中项，所以2(a3＋2)＝a2＋a4.即2(4q＋2)＝4＋4q2，化简得q2－2q＝0.因为公比q≠0，所以q＝2.所以a n＝a2q n－2＝4×2n－2＝2n(n∈N*). 5分(2)因为a n＝2n，所以b n＝2log2a n－1＝2n－1，所以a n b n＝(2n－1)2n，7分则T n＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，①2T n＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n＋1.②由①－②得，－T n＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)2n＋1＝2＋2×4(1－2n－1)1－2－(2n－1)2n＋1＝－6－(2n－3)2n＋1，所以T n＝6＋(2n－3)2n＋1. 12分2．(2016·四川高考)已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n ＋1＝qS n＋1，其中q>0，n∈N*.(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{a n}的通项公式；(2)设双曲线x2－y2a2n＝1的离心率为e n，且e2＝2，求e21＋e22＋…＋e2n.[解](1)由已知S n＋1＝qS n＋1，得S n＋2＝qS n＋1＋1，两式相减得到a n＋2＝qa n＋1，n≥1.又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，故a n＋1＝qa n对所有n≥1都成立．所以，数列{a n}是首项为1，公比为q的等比数列．从而a n＝q n－1. 3分由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，所以a3＝2a2，故q＝2.所以a n＝2n－1(n∈N*). 5分(2)由(1)可知a n＝q n－1，所以双曲线x2－y2a2n＝1的离心率e n＝1＋a2n＝1＋q2(n－1). 8分由e2＝1＋q2＝2解得q＝3，所以e21＋e22＋…＋e2n＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)] ＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]＝n＋q2n－1q2－1＝n＋12(3n－1). 12分3．(2016·南昌模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S3＝6.正项数列{b n}满足b1·b2·b3·…·b n＝2S n.(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)若λb n >a n ，对n ∈N *均成立，求实数λ的取值范围．【导学号：66482267】[解] (1)∵等差数列{a n }中，a 1＝1，S 3＝6， ∴d ＝1，故a n ＝n . 2分由⎩⎪⎨⎪⎧b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n ，①b 1·b 2·b 3·…·b n －1＝2S n －1， ② ①÷②得b n ＝2S n －S n －1＝2a n ＝2n (n ≥2)，b 1＝2S 1＝21＝2，满足通项公式，故b n ＝2n . 5分(2)λb n >a n 恒成立，即λ>n 2n 恒成立，7分设c n ＝n 2n ，则c n ＋1c n＝n ＋12n ，当n ≥1时，c n ＋1≤c n ，{c n }递减，∴(c n )max ＝c 1＝12，故λ>12，∴λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 12分 4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1－4a n ＋3，数列{b n }满足b n ＝1a n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{b n }的通项公式；(2)证明：1b 21＋1b 22＋…＋1b 2n <7. [解] (1)由题意得a n ＋1＋1＝2－4a n ＋3＝2a n ＋2a n ＋3，b n ＋1＝1a n ＋1＋1＝a n ＋32a n ＋2＝(a n ＋1)＋22(a n ＋1)＝1a n ＋1＋12 ＝b n ＋12. 3分又b 1＝12，∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列，∴b n ＝n 2. 5分(2)证明：当n ＝1时，左边＝1b 21＝4<7不等式成立；6分当n ＝2时，左边＝1b 21＋1b 22＝4＋1＝5<7不等式成立；8分当n ≥3时，1b 2n ＝4n 2<4n (n －1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，左边＝1b 21＋1b 22＋…＋1b 2n <4＋1＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝5＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＝7－4n<7. 10分 ∴1b 21＋1b 22＋…＋1b 2n<7. 12分。

2019年高考数学一轮复习专题探究课3数列中的高考热点问题理北师大版

三数列中的高考热点问题(对应学生用书第90页)[命题解读] 数列在中学数学中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，从近五年全国卷高考试题来看，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的综合问题；二是数列的通项与求和；三是数列与函数、不等式的交汇，难度中等．解决等差、等比数列的综合问题，关键是理清两种数列的项之间的关系，并注重方程思想的应用，等差(比)数列共涉及五个量a 1，a n ，S n ，d (q )，n ，“知三求二”．已知等差数列{a n }，公差d ＝2，S 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求a n ； (2)令b n ＝(－1)n4na n ·a n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .[解] (1)∵S 1，S 2，S 4成等比数列． ∴S 22＝S 1S 4，∴(2a 1＋2)2＝a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋4×32×2 解得a 1＝1，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n·4n a n ·a n ＋1＝(－1)n·4n(2n －1) (2n ＋1)＝(－1)n ⎝⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1.∴当n 为偶数时，{b n }的前n 项和T n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15－…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝－1＋12n ＋1＝－2n2n ＋1，当n 为奇数时，{b n }的前n 项和T n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15－…－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝－1－12n ＋1＝－2n ＋22n ＋1.故T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n 2n ＋1，n 为偶数，－2n －22n ＋1，n 为奇数.n b >0是等比数列；nb >0是等差数列等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，等比数列之间的相互转化n n 1n 1n 都成立．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a 1>0，λ＝100.当n 为何值时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前n 项和最大？[解] (1)取n ＝1，得λa 21＝2S 1＝2a 1，a 1(λa 1－2)＝0. 若a 1＝0，则S n ＝0.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝0－0＝0，所以a n ＝0(n ≥1)．若a 1≠0，则a 1＝2λ.当n ≥2时，2a n ＝2λ＋S n,2a n －1＝2λ＋S n －1，两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，从而数列{a n }是等比数列，所以a n ＝a 1·2n －1＝2λ·2n －1＝2nλ. 综上，当a 1＝0时，a n ＝0；当a 1≠0时，a n ＝2nλ.(2)当a 1>0，且λ＝100时，令b n ＝lg 1a n，由(1)知，b n ＝lg 1002n ＝2－n lg 2.所以数列{b n }是单调递减的等差数列，公差为－lg 2.b 1>b 2>…>b 6＝lg10026＝lg 10064>lg 1＝0，当n ≥7时，b n ≤b 7＝lg 10027＝lg 100128<lg 1＝0.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前6项和最大．数列的通项与求和是高考的必考题型，求通项属于基本问题，常涉及等差、等比数列的定义、性质、基本量的运算；求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择适当的求和方法．常考的求和方法有：公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等．(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．[规范解答] (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2.3分所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1.5分 (2)由(1)知a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝b n3，7分因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列.9分记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n1－13＝32－12×3n －1.12分[阅卷者说]n n n和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.[解] 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)·d ，b n ＝q n －1.由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.① (1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.② 联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0. 解得q ＝－5或q ＝4.当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21. 当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6.数列与函数的交汇一般体现在两个方面：一是以数列的特征量n ，a n ，S n 等为坐标的点在函数图像上，可以得到数列的递推关系；二是数列的项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．数列与不等式的交汇考查方式主要有三种：一是判断数列中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式恒成立问题；三是考查与数列有关的不等式的证明． ◎角度1 数列与函数的交汇已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋2n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若点(b n ，a n )在函数y ＝log 2x 的图像上，求数列{b n }的前n 项和T n .【导学号：79140186】[解] (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋2n －[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4＝4×1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4n .(2)由点(b n ，a n )在函数y ＝log 2x 的图像上得a n ＝log 2b n ，且a n ＝4n ，所以b n ＝2a n＝24n＝16n，故数列{b n }是以16为首项，公比为16的等比数列． T n ＝16(1－16n)1－16＝16n ＋1－1615.(2018·东北三省三校二模)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n －n ＋1，数列{b n }满足b n ＝a n －n .(1)证明：数列{b n }为等比数列；(2)若数列{c n }满足c n ＝b n (b n ＋1)(b n ＋1＋1)，且数列{c n }的前n 项和T n ，求证：T n ＜13.[证明] (1)∵a n ＋1＝2a n －n ＋1， ∴a n ＋1－(n ＋1)＝2(a n －n )，即b n ＋1＝2b n . 又b 1＝a 1－1＝2，∴数列{b n }是以2为首项、2为公比的等比数列． (2)由(1)知，b n ＝2×2n －1＝2n，∴c n ＝2n(2n ＋1)(2n ＋1＋1)＝12n ＋1－12n ＋1＋1. ∴T n ＝12＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋…＋12n ＋1－12n ＋1＋1＝13－12n ＋1＋1＜13.＋n (1)求数列{x n }的通项公式； (2)记T n ＝x 21x 23…x 22n －1，证明：T n ≥14n .[解] (1)y ′＝(x 2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x2n ＋1，曲线y ＝x2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n ＋2，从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1)．令y ＝0，解得切线与x 轴交点的横坐标x n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，所以数列{x n }的通项公式x n ＝nn ＋1.(2)证明：由题设和(1)中的计算结果知，T n ＝x 21x 23…x 22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫342…⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2. 当n ＝1时，T 1＝14.当n ≥2时，因为x22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2＝(2n －1)2(2n )2>(2n －1)2－1(2n )2＝2n －22n ＝n －1n ，所以T n >⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12×23×…×n －1n ＝14n .综上可得，对任意的n ∈N ＋，均有T n ≥14n.。

2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)：热点探究训练3数列中的高考热点问题文北师大版_31

热点探究训练(三)　数列中的高考热点问题(对应学生用书第233页)1．(2017·广州综合测试(一))已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解]　(1)设数列{a n }的公比为q ，因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2.2分因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项，所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4.即2(4q ＋2)＝4＋4q 2，化简得q 2－2q ＝0.因为公比q ≠0，所以q ＝2.所以a n ＝a 2q n －2＝4×2n －2＝2n (n ∈N *).5分(2)因为a n ＝2n ，所以b n ＝2log 2a n －1＝2n －1，所以a n b n ＝(2n －1)2n ，7分则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n ，①2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)2n ＋1.②由①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1＝2＋2×－(2n －1)2n ＋14 1－2n －11－2＝－6－(2n －3)2n ＋1，所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1.12分2．(2018·郑州模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝，n ∈N *.n 2＋n2(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．【导学号：00090183】[解]　(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；2分当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－＝n .4分n 2＋n 2 n －1 2＋ n －12a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .6分(2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝＝22n ＋1－2，8分2 1－22n1－2B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .10分故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.12分3．(2016·四川高考)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，n ∈N *.(1)若a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)设双曲线x 2－＝1的离心率为e n ，且e 2＝2，求e ＋e ＋…＋e .y 2a 2n 2122n [解]　(1)由已知S n ＋1＝qS n ＋1，得S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1.又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1，故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立．所以，数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列．从而a n ＝q n －1.3分由a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，可得2a 3＝a 2＋a 2＋a 3，所以a 3＝2a 2，故q ＝2.所以a n ＝2n －1(n ∈N *).5分(2)由(1)可知a n ＝q n －1，所以双曲线x 2－＝1的离心率y 2a 2n e n ＝＝.8分1＋a 2n 1＋q 2 n －1 由e 2＝＝2解得q ＝，1＋q 23所以e ＋e ＋…＋e 2122n ＝(1＋1)＋(1＋q 2)＋…＋[1＋q 2(n －1)]＝n ＋[1＋q 2＋…＋q 2(n －1)]＝n ＋＝n ＋(3n －1).12分q 2n －1q 2－1124．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1－，数列{b n }满足b n ＝(n ∈N *)．4an ＋31an ＋1(1)求数列{b n }的通项公式；(2)证明：＋＋…＋<7. 【导学号：00090184】1b 211b 21b 2n [解]　(1)由题意得a n ＋1＋1＝2－＝，4an ＋32an ＋2an ＋3b n ＋1＝＝＝＝＋1an ＋1＋1an ＋32an ＋2 an ＋1 ＋22 an ＋1 1an ＋112＝b n ＋.3分12又b 1＝，∴数列{b n }是首项为，公差为的等差数列，∴b n ＝.5分121212n 2(2)证明：当n ＝1时，左边＝＝4<7不等式成立；6分1b 21当n ＝2时，左边＝＋＝4＋1＝5<7不等式成立；8分1b 211b 2当n ≥3时，＝<＝4，1b 2n4n 24n n －1 (1n －1－1n )左边＝＋＋…＋<4＋1＋4－＋－＋…＋－＝5＋4＝7－<7.1b 211b 21b 2n 121313141n －11n (12－1n )4n ∴＋＋…＋<7.12分1b 211b 21b 2n。

高考数学一轮复习第5章数列热点探究课3数列中的高考热点问题教师用书文北师大版81.doc

热点探究课(三) 数列中的高考热点问题[命题解读] 数列在中学数学中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，从近五年全国卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷T 17)交替考查数列与解三角形，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的综合问题；二是数列的通项与求和；三是数列与函数、不等式的交汇，难度中等．热点1 等差、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题，关键是理清两种数列的项之间的关系，并注重方程思想的应用，等差(比)数列共涉及五个量a 1，a n ，S n ，d (q )，n ，“知三求二”．(2016·天津高考)已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63.(1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和．[解] (1)设数列{a n }的公比为q . 由已知，有1a 1－1a 1q ＝2a 1q2，解得q ＝2或q ＝－1. 2分又由S 6＝a 1·1－q61－q ＝63，知q ≠－1，所以a 1·1－261－2＝63，得a 1＝1.所以a n ＝2n －1. 5分(2)由题意，得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1)＝12(log 22n －1＋log 22n)＝n －12，即{b n }是首项为12，公差为1的等差数列. 8分设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝2nb 1＋b 2n2＝2n 2. 10分[规律方法] 1.若{a n }是等差数列，则{ba n }(b >0，且b ≠1)是等比数列；若{a n }是正项等比数列，则{log b a n }(b >0，且b ≠1)是等差数列．2．对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化．[对点训练1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，常数λ>0，且λa 1a n ＝S 1＋S n 对一切正整数n 都成立．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a 1>0，λ＝100.当n 为何值时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前n 项和最大？【导学号：66482265】[解] (1)取n ＝1，得λa 21＝2S 1＝2a 1，a 1(λa 1－2)＝0. 若a 1＝0，则S n ＝0.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝0－0＝0，所以a n ＝0(n ≥1). 2分若a 1≠0，则a 1＝2λ.当n ≥2时，2a n ＝2λ＋S n,2a n －1＝2λ＋S n －1，两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，从而数列{a n }是等比数列，所以a n ＝a 1·2n －1＝2λ·2n －1＝2nλ. 综上，当a 1＝0时，a n ＝0；当a 1≠0时，a n ＝2nλ. 5分(2)当a 1>0，且λ＝100时，令b n ＝lg 1a n，由(1)知，b n ＝lg 1002n ＝2－n lg 2. 7分所以数列{b n }是递减的等差数列，公差为－lg 2.b 1>b 2>…>b 6＝lg10026＝lg10064>lg 1＝0，当n ≥7时，b n ≤b 7＝lg 10027＝lg 100128<lg 1＝0.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前6项和最大. 12分热点2 数列的通项与求和(答题模板)“基本量法”是解决数列通项与求和的常用方法，同时应注意方程思想的应用．(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．[思路点拨] (1)取n ＝1，先求出a 1，再求{a n }的通项公式．(2)将a n 代入a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得出数列{b n }为等比数列，再求{b n }的前n 项和． [规范解答] (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2. 3分所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1. 5分 (2)由(1)知a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝b n3，7分因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列. 9分记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝32－12×3n －1. 12分[答题模板] 第一步：求出{a n }的首项a 1；第二步：求出{a n }的通项公式；第三步：判定{b n }为等比数列；第四步：求出{b n }的前n 项和；第五步：反思回顾，查看关键点，易错点注意解题规范．[温馨提示] 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．首项与公差是等差数列的“基本量”，首项与公比是等比数列的“基本量”．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法．[对点训练2] 数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .[解] (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1，2分即a n ＋1n ＋1－a nn＝1. 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列. 5分(2)由(1)得a n n＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2. 7分从而b n ＝n ·3n.S n ＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n ，①3S n ＝1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1.②①－②得－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝－3n1－3－n ·3n ＋1＝－2nn ＋1－32.所以S n ＝n －n ＋1＋34. 12分热点3 数列与函数、不等式的交汇数列与函数的交汇一般体现在两个方面：一是以数列的特征量n ，a n ，S n 等为坐标的点在函数图像上，可以得到数列的递推关系；二是数列的项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．数列与不等式的交汇考查方式主要有三种：一是判断数列中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式恒成立问题；三是考查与数列有关的不等式的证明．☞角度1 数列与函数的交汇(2016·湖北七市4月联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋2n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若点(b n ，a n )在函数y ＝log 2 x 的图像上，求数列{b n }的前n 项和T n .【导学号：66482266】[解] (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋2n －[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4＝4×1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4n . 5分(2)由点(b n ，a n )在函数y ＝log 2 x 的图像上得a n ＝log 2b n ，且a n ＝4n ，所以b n ＝2a n ＝24n＝16n，8分故数列{b n }是以16为首项，公比为16的等比数列．T n ＝－16n1－16＝16n ＋1－1615. 12分[规律方法] 解决此类问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理．☞角度2 数列与不等式的交汇(2017·贵阳适应性考试(二))已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋2＋a n (n ∈N *)，且a 3＋a 7＝20，a 2＋a 5＝14.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n －a n ＋，数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n <12.[解] (1)由2a n ＋1＝a n ＋2＋a n 得{a n }为等差数列. 2分设等差数列{a n }的公差为d ，由a 3＋a 7＝20，a 2＋a 5＝14，解得d ＝2，a 1＝2， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . 5分 (2)证明：b n ＝1a n －a n ＋＝1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，8分S n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1，当n ∈N *，S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12. 12分[规律方法] 解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法等．总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了．。

2019年高考数学一轮复习学案训练课件(北师大版理科)专题探究课1函数与导数中的高考热点问题理北师大版_

一函数与导数中的高考热点问题(对应学生用书第页)[命题解读] 函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，函数与导数是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有．函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：()讨论函数的单调性或求单调区间；()求函数的极值或最值；()利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围．(·全国卷Ⅱ)已知函数()＝＋(－)．()讨论()的单调性；()当()有最大值，且最大值大于－时，求的取值范围．[解] ()()的定义域为(，＋∞)，′()＝－.若≤，则′()>，所以()在(，＋∞)上单调递增．若>，则当∈时，′()>；当∈时，′()<.所以()在上单调递增，在上单调递减．()由()知，当≤时，()在(，＋∞)上无最大值；当>时，()在＝取得最大值，最大值为＝＋＝－＋－.因此>－等价于＋－<.令()＝＋－，则()在(，＋∞)上单调递增，()＝.于是，当<<时，()<；当>时，()>.因此，的取值范围是()．最终归结到判断的符号问题上，而＞或＜，最终可转化为一个一元一次不等式或一元二次不等式问题若已知的单调性，则转化为不等式或在单调区间上恒成立问题求解跟踪训练] (·福州质检＝＋－(∈).【导学号：】()若＝是()的极值点，求()的单调区间；()求()＝()－在区间[，]的最小值()．[解] ()()的定义域为(，＋∞)，′()＝＋－＝，因为＝是()的极值点，所以′()＝＝，解得＝.所以′()＝＝，所以当＜＜或＞时，′()＞；当＜＜时，′()＜.所以()的单调递增区间为和(，＋∞)，单调递减区间为.()由题知，()＝()－＝＋－－.′()＝－＝.①当≤，即≤时，()在[，]上为增函数，()＝()＝－－；②当＜＜，即＜＜时，()在上为减函数，在上为增函数，()＝＝－－；③当≥，即≥时，()在[，]上为减函数，()＝()＝(－)＋－.综上，()＝错误!研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，为此，我们可以通过讨论函数的单调性来解决，求解时应注重等价转化与数形结合思想的应用，其主要考查方式有：()确定函数的零点、图像交点的个数；()由函数的零点、图像交点的情况求参数的取值范围．(·全国卷Ⅰ)已知函数()＝＋(－)－.()讨论()的单调性；()若()有两个零点，求的取值范围.。

2019届北师大版(理科数学) 微专题3 高考中的数列问题单元测试

微专题3 高考中的数列问题一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知等差数列{a n }的公差不为0,前n 项和S n 满足S 32=9S 2,S 4=4S 2,则a 2= ( )A.34B.43C.49D.892.[数学文化题]《九章算术》中有一题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?其意:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿五斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,问牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟?在这个问题中,牛主人比羊主人多赔偿( )A.507斗粟B.107斗粟C.157斗粟 D.207斗粟 3.已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 4=5S 2,则a 2·a 7a 42的值为 ( )A.-2或-1B.1或2C.±2或-1D.±1或±24.已知数列{a n }是公比为2的等比数列,满足a 6=a 2·a 10,设等差数列{b n }的前n 项和为S n ,若b 9=2a 7,则S 17=( )A.34B.39C.51D.68 二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知数列{a n }满足2a n ·a n+1+a n+1-a n =0,且a 1=1,则数列{a n }的通项公式为 .6.已知在等差数列{a n }中,{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S 13=91,若Sk a k =6,则正整数k= .三、解答题(共48分)7.(12分)已知数列{a n }满足a 1=1,且a n +12-a n 2=2(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列{a n 2(12)n }的前n 项和.8.(12分)已知数列{a n }是公差为1的等差数列,且a 4,a 6,a 9成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =(-2)a n +(-1)n ·2a n +1a n a n +1,求数列{b n }的前2n 项和.9.(12分)已知数列{a n }为公差不为0的等差数列,a 2=3,且log 2a 1,log 2a 3,log 2a 7成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若数列{b n }满足b n =1an a n +1,求数列{b n }的前n 项和S n .10.(12分)在数列{a n }中,a 1=4,na n+1-(n+1)a n =2n 2+2n. (1)求证:数列{an n }是等差数列; (2)求数列{1a n}的前n 项和S n .答案1.B 解法一设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则 (3a 1+3d )2=9(2a 1+d ),4a 1+6d =4(2a 1+d ),即(a 1+d )2=2a 1+d ,d =2a 1,解得 a 1=0,d =0(舍去)或 a 1=49,d =89,则a 2=a 1+d=43,故选B . 解法二设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,由题意得 (3a 2)2=9(a 1+a 2),4a 1+6d =4(a 1+a 2),即a 22=a 1+a 2,a 2=3a 1,解得 a 2=43,a 1=49或 a 2=0,a 1=0(舍去),故选B . 2.C 解法一设羊、马、牛的主人赔偿粟的斗数分别为a 1,a 2,a 3,则这3个数依次成等比数列,公比q=2,于是得a 1+2a 1+4a 1=5,解得a 1=57,故a 3=207,a 3-a 1=207-57=157,故牛主人比羊主人多赔偿了157斗粟.解法二羊、马、牛的主人所应赔偿的比例是1∶2∶4,故牛主人应赔偿5×47=207斗粟,羊主人应赔偿5×17=57斗粟,故牛主人比羊主人多赔偿了157斗粟.3.C 设等比数列{a n }的公比为q ,若q=1,则S 2=2a 1,S 4=4a 1,此时,S 4=5S 2不成立,故公比q ≠1,则S n =a 1(1-q n )1-q,由S 4=5S 2得a 1(1-q 4)1-q=5a 1(1-q 2)1-q,即q 4-5q 2+4=0,解得q 2=1或q 2=4,所以q=-1或q=±2,又a 2·a 7a 42=a 1q ·a 1q 6(a 1q 3)2=q=-1或±2,故选C .4.D 解法一数列{a n }是公比q=2的等比数列,由a 6=a 2·a 10得a 1q 5=a 1q ·a 1q 9,∴a 1q 5=1,∴a 6=1,∴b 9=2a 7=2a 6·q=2×1×2=4,设等差数列{b n }的公差为d ,则S 17=17b 1+17×162d=17(b 1+8d )=17b 9=68,故选D .解法二数列{a n }是公比为2的等比数列,由等比数列的性质得a 6=a 2·a 10=a 62,∴a 6=1,∴b 9=2a 7=2a 6×2=4,∴等差数列{b n }的前17项和S 17=17(b 1+b 17)2=17b 9=68,故选D .5.a n =12n -1 ∵2a n ·a n+1+a n+1-a n =0,∴2+a n +1an ·a n +1-a nan ·a n +1=0,∴1an +1-1a n=2,由等差数列的定义可得{1a n}是以1a 1=1为首项,2为公差的等差数列,故1a n=1+2(n-1)=2n-1,∴a n =12n -1.6.11 解法一设等差数列{a n }的公差为d ,则由S 13=91,得13a 1+13×(13-1)2d=91,根据a 1=1,得d=1,所以a n =n ,所以S k =k (k +1)2,所以S k a k=k +12=6,所以k=11.解法二在等差数列{a n }中,S 13=91,根据等差数列的性质,可得13a 7=91,即a 7=7,又a 1=1,所以可得公差d=1,即a n =n ,所以S k =k (k +1)2,所以S k a k=k +12=6,所以k=11.7.(1)由题意知数列{a n 2}是以a 12=1为首项,2为公差的等差数列, 则a n 2=1+(n-1)×2=2n-1,(2分)所以数列{a n }的通项公式为a n = 2n -1或a n = 1,n =1,- 2n -1,n ≥2.(6分) (2)由(1)知a n 2(12)n =(2n-1)12,设数列{a n 2(12)n }的前n 项和为S n ,则S n =1×12+3×12+5×12+…+(2n-1)×12 ①,12S n=1×122+3×123+5×124+…+(2n-1)×12n +1 ②, (8分)①-②,得1 2S n=12+2(12+12+…+12)-(2n-1)×12=1 2+2×14(1-12n-1)1-12-(2n-1)×12=3 2-(2n+3)×12,所以S n=3-2n+32n.故数列{a n2(12)n}的前n项和为3-2n+32n.(12分)8.(1)因为a4,a6,a9成等比数列,所以a62=a4·a9,(2分) 所以(a1+5)2=(a1+3)·(a1+8),解得a1=1,(3分) 所以a n=n.(5分)(2)由(1)知,a n=n,所以b n=(-2)n+(-1)n·2n+1n(n+1)=(-2)n+(-1)n(1n+1n+1).(8分)所以数列{b n}的前2n项和T2n=(-2+22-23+24+…-22n-1+22n)+[-(1+12)+(12+13)-(13+14)+…+(12n+12n+1)]=-2[1-(-2)2n]1-(-2)+(-1-12+12+13-13-14+…+12n+12n+1)=2(4n-1)3+(-1+12n+1)=2(4n-1)3-2n2n+1.(12分)9.(1)设数列{a n}的公差为d.由log2a1,log2a3,log2a7成等差数列,得2log2a3=log2a1+log2a7,(2分) 即2log2(3+d)=log2(3-d)+log2(3+5d),(3分) 得log2(3+d)2=log2(3-d)(3+5d),得(3+d)2=(3-d)(3+5d),解得d=1或d=0(舍去).(5分) 所以数列{a n}的通项公式为a n=a2+(n-2)·d=3+(n-2)·1=n+1.(7分)(2)因为b n=1a n a n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2,(9分)所以S n=12-13+13-14+14-15+…+1n-1-1n+1n-1n+1+1n+1-1n+2=12-1n+2=n2(n+2).(12分)10.(1)解法一na n+1-(n+1)a n=2n2+2n的两边同时除以n(n+1),得a n+1n+1-a nn=2.又a11=4,所以数列{a nn}是首项为4,公差为2的等差数列.(6分)解法二因为a n+1n+1-a nn=na n+1-(n+1)a nn(n+1)=2n2+2nn2+n=2,a11=4,所以数列{a nn}是首项为4,公差为2的等差数列.(6分)(2)由(1),得a nn=a1+2(n-1),即a nn=2n+2,即a n=2n2+2n,故1a n =12n2+2n=12·1n(n+1)=12(1n-1n+1),(9分)所以S n=12[(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)]=1 2(1-1n+1)=n2(n+1).（12分）。

2019年高考数学一轮复习专题探究课1函数与导数中的高考热点问题理北师大版

一函数与导数中的高考热点问题(对应学生用书第44页)[命题解读] 函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，函数与导数是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有．函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a>2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g(a )＝ln a ＋a －1，则g(a )在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0. 于是，当0<a <1时，g(a )<0；当a >1时，g(a )>0. 因此，a 的取值范围是(0,1)．x 的符号问x ＞x ＜0，最终可转化为一个一元一次不等式或一元二次不等f x 的单调性，则转化为不等式x 或x 在单调区间上恒成立问题求解.] (2018·福州质检ln x ＋x 2－R ).【导学号：79140096】(1)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间； (2)求g (x )＝f (x )－2x 在区间[1，e]的最小值h (a )． [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋2x －a ＝2x 2－ax ＋ax，因为x ＝3是f (x )的极值点，所以f ′(3)＝18－3a ＋a 3＝0，解得a ＝9.所以f ′(x )＝2x 2－9x ＋9x ＝(2x －3)(x －3)x，所以当0＜x ＜32或x ＞3时，f ′(x )＞0；当32＜x ＜3时，f ′(x )＜0. 所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32和(3，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3. (2)由题知，g (x )＝f (x )－2x ＝a ln x ＋x 2－ax －2x . g ′(x )＝2x 2－ax ＋a x －2＝(2x －a )(x －1)x.①当a2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上为增函数，h (a )＝g (1)＝－a －1；②当1＜a 2＜e ，即2＜a ＜2e 时，g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，a 2上为减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤a2，e 上为增函数，h (a )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ； ③当a2≥e，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上为减函数，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e.综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1， a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2＜a ＜2e ，(1－e)a ＋e 2－2e ，a ≥2e.研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，为此，我们可以通过讨论函数的单调性来解决，求解时应注重等价转化与数形结合思想的应用，其主要考查方式有：(1)确定函数的零点、图像交点的个数；(2)由函数的零点、图像交点的情况求参数的取值范围．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝a e 2x＋(a －2)e x－x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围. [解] (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)．(ⅰ)若a ≤0，则f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递减． (ⅱ)若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝－ln a . 当x ∈(－∞，－ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，－ln a )单调递减，在(－ln a ，＋∞)单调递增． (2)(ⅰ)若a ≤0，由(1)知，f (x )至多有一个零点．(ⅱ)若a >0，由(1)知，当x ＝－ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (－ln a )＝1－1a＋ln a .①当a ＝1时，由于f (－ln a )＝0，故f (x )只有一个零点； ②当a ∈(1，＋∞)时，由于1－1a＋ln a ＞0，即f (－ln a )>0，故f (x )没有零点；③当a ∈(0,1)时，1－1a＋ln a ＜0，即f (－ln a )＜0.又f (－2)＝a e －4＋(a －2)e －2＋2>－2e －2＋2>0，故f (x )在(－∞，－ln a )有一个零点．设正整数n 0满足n 0＞ln ⎝⎛⎭⎪⎫3a－1，则f (n 0)＝e n 0(a e n 0＋a －2)－n 0＞e n 0－n 0＞2n 0－n 0＞0.由于ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a－1＞－ln a ，因此f (x )在(－ln a ，＋∞)有一个零点．综上，a 的取值范围为(0,1)．用导数研究函数的单调性，借助零点存在性定理判断；或用导数研究函数的单调性和极值，再用单调性和极值定位函数图像求解零点问题将零点问题转化为函数图像的交点问题，利用数形结合来解决[跟踪训练的底数．(1)若f (x )在x ＝e 处的切线的斜率为e 2，求a ； (2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝1x－3x 2＋4e x －a ，f ′(e)＝1e ＋e 2－a ＝e 2，∴a ＝1e.(2)由ln x －x 3＋2e x 2－ax ＝0，得ln x x－x 2＋2e x ＝a .记F (x )＝ln x x－x 2＋2e x ，则F ′(x )＝1－ln x x2－2(x －e)． x ∈(e，＋∞)，F ′(x )＜0，F (x )单调递减． x ∈(0，e)，F ′(x )＞0，F (x )单调递增，∴F (x )max ＝F (e)＝1e ＋e 2，而x →0时，F (x )→－∞，x →＋∞时，F (x )→－∞.故a ＜1e＋e 2.导数在不等式中的应用是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题，突出转化思想、函数思想的考查．常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)由不等式恒成立求参数范围问题；(3)不等式恒成立、能成立问题．(本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x2)e x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．[规范解答] (1)f′(x)＝(1－2x－x2)e x.令f′(x)＝0得x＝－1－2或x＝－1＋ 2. 2分当x∈(－∞，－1－2)时，f′(x)＜0；当x∈(－1－2，－1＋2)时，f′(x)＞0；当x∈(－1＋2，＋∞)时，f′(x)＜0. 4分所以f(x)在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)单调递减，在(－1－2，－1＋2)单调递增. 5分(2)f(x)＝(1＋x)(1－x)e x.当a≥1时，设函数h(x)＝(1－x)e x，h′(x)＝－x e x＜0(x>0)，因此h(x)在[0，＋∞)单调递减．而h(0)＝1，故h(x)≤1，所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.8分当0<a<1时，设函数g(x)＝e x－x－1，g′(x)＝e x－1＞0(x＞0)，所以g(x)在[0，＋∞)单调递增，而g(0)＝0，故e x≥x＋1.当0<x<1时，f(x)>(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，取x0＝5－4a－12，则x0∈(0,1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，故f(x0)＞ax0＋1.10分当a≤0时，取x0＝5－12，则x0∈(0,1)，f(x0)＞(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1. 11分综上，a的取值范围是[1，＋∞).12分[阅卷者说]求定义域求f x，令x＞0f x的增区间；令x＜0f x 的减区间.写出结论2.恒成立问题的三种解法分离参数，化为最值问题求解构x g x ，x ＝x －x ，求F xmin≥0.转变主元，选取适当的主元，可使问题简化. [跟踪训练(1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.【导学号：79140097】[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x－a x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0，f ′(x )没有零点；当a >0时，设u (x )＝e 2x，v (x )＝－a x，因为u (x )＝e 2x在(0，＋∞)上单调递增，v (x )＝－a x在(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′(a )>0，假设存在b 满足0<b <a 4且b <14时，f ′(b )<0，故当a >0时，f ′(x )存在唯一零点．(2)证明：由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)．由于2e 2x 0－ax 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a.故当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.。

2019高三数学文北师大版一轮热点探究训练：3 数列中的高考热点问题

热点探究训练(三) 数列中的高考热点问题(对应学生用书第233页)1．(2017·广州综合测试(一))已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n b n }的前n 项和T n . [解] (1)设数列{a n }的公比为q ，因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2.2分因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项，所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4. 即2(4q ＋2)＝4＋4q 2，化简得q 2－2q ＝0. 因为公比q ≠0，所以q ＝2.所以a n ＝a 2q n －2＝4×2n －2＝2n (n ∈N *).5分 (2)因为a n ＝2n ，所以b n ＝2log 2a n －1＝2n －1，所以a n b n ＝(2n －1)2n ，7分则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n ， ① 2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)2n ＋1. ② 由①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1 ＝2＋2×4(1－2n －1)1－2－(2n －1)2n ＋1＝－6－(2n －3)2n ＋1，所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1.12分2．(2018·郑州模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．【导学号：00090183】[解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；2分当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n .4分 a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .6分(2)由(1)知a n＝n，故b n＝2n＋(－1)n n.记数列{b n}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝2(1－22n)1－2＝22n＋1－2，8分B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n. 10分故数列{b n}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2. 12分3．(2016·四川高考)已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n＋1＝qS n＋1，其中q>0，n∈N*.(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{a n}的通项公式；(2)设双曲线x2－y2a2n＝1的离心率为e n，且e2＝2，求e21＋e22＋…＋e2n.[解](1)由已知S n＋1＝qS n＋1，得S n＋2＝qS n＋1＋1，两式相减得到a n＋2＝qa n＋1，n≥1.又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，故a n＋1＝qa n对所有n≥1都成立．所以，数列{a n}是首项为1，公比为q的等比数列．从而a n＝q n－1. 3分由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，所以a3＝2a2，故q＝2.所以a n＝2n－1(n∈N*). 5分(2)由(1)可知a n＝q n－1，所以双曲线x2－y2a2n＝1的离心率e n＝1＋a2n＝1＋q2(n－1). 8分由e2＝1＋q2＝2解得q＝3，所以e21＋e22＋…＋e2n＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)]＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]＝n ＋q 2n －1q 2－1＝n ＋12(3n －1).12分4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1－4a n ＋3，数列{b n }满足b n ＝1a n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{b n }的通项公式；(2)证明：1b 21＋1b 22＋…＋1b 2n <7. 【导学号：00090184】[解] (1)由题意得a n ＋1＋1＝2－4a n ＋3＝2a n ＋2a n ＋3， b n ＋1＝1a n ＋1＋1＝a n ＋32a n ＋2＝(a n ＋1)＋22(a n ＋1)＝1a n ＋1＋12＝b n ＋12.3分又b 1＝12，∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列，∴b n ＝n2. 5分 (2)证明：当n ＝1时，左边＝1b 21＝4<7不等式成立；6分当n ＝2时，左边＝1b 21＋1b 22＝4＋1＝5<7不等式成立；8分当n ≥3时，1b 2n＝4n 2<4n (n －1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，左边＝1b 21＋1b 22＋…＋1b 2n <4＋1＋412－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝5＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＝7－4n <7.10分 ∴1b 21＋1b 22＋…＋1b 2n<7.12分。

2019届理科一轮复习北师大版专题探究课1函数与导数中的高考热点问题教案.doc

于是，当 0<a<1 时， g(a)<0；当 a>1 时， g(a)>0. 因此， a 的取值范围是 (0,1)．
[ 规律方法 ] 1.研究函数的性质，必须在定义域内进行，因此利用导数研究函数
的性质，应遵循定义域优先的原则 . 2.讨论函数的单调性，求函数的单调区间、极值问题，最终归结到判断
f′ x 的
1 [ 解] (1)f (x)的定义域为 (0，＋ ∞ )，f′(x)＝ x－ a.
若 a≤ 0，则 f′(x)>0，所以 f(x)在(0，＋ ∞)上单调递增．
1 若 a>0，则当 x∈ 0，a 时， f′ (x)>0；
1 当 x∈ a，＋ ∞ 时， f′(x)<0.
1
1
所以 f(x)在 0，a 上单调递增，在 a，＋ ∞ 上单调递减．
18－3a＋a 所以 f′(3)＝ 3 ＝0，解得 a＝ 9.
2x2－9x＋9 2x－ 3 x－3
所以 f′ (x)＝
x＝
x
，
3 所以当 0＜x＜2或 x＞3 时， f′(x)＞0；
3 当2＜x＜3 时， f′(x)＜0.
3
3
所以 f(x)的单调递增区间为 0， 2 和(3，＋ ∞)，单调递减区间为 2， 3 .
利用导数研究函数的零点问题
研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，为此，我们可以通过讨论
函数的单调性来解决，求解时应注重等价转化与数形结合思想的应用，其主要考
查方式有： (1)确定函数的零点、图像交点的个数； (2)由函数的零点、图像交点
的情况求参数的取值范围． (2017 ·全国卷 Ⅰ)已知函数 f(x)＝ae2x＋ (a－2)ex－x. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围 . [ 解] (1)f (x)的定义域为 (－∞ ，＋ ∞ )，

高考领航北师大数学理总复习专题3 数列综合问题的解答含解析

1．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项． (1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对n ∈N ＋，均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋…＋c 2 012.解：(1)由已知有a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ， ∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )，解得d ＝0或d ＝2，又∵d ＞0，∴d ＝2. ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9， ∴等比数列{b n }的公比q ＝b 3b 2＝93＝3.∴b n ＝b 2q n －2＝3×3n －2＝3n －1. (2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n＝a n ＋1，①得当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n ，②①－②，得n ≥2时，c nb n＝a n ＋1－a n ＝2，∴c n ＝2b n ＝2×3n －1(n ≥2)．而n ＝1时，c 1b 1＝a 2，∴c 1＝3.∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3(n ＝1)，2b n ＝2×3n －1(n ≥2).∵c 1＋c 2＋…＋c 2 012＝3＋2×31＋2×32＋…＋2×32 011 ＝3＋6－2×32 0111－3＝3－3＋32 011＝32 011.2．(2014·山东济南三模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝3n ＋k . (1)求k 的值及数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＋12＝(4＋k )a n b n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1＝3n ＋k －3n －1－k ＝2·3n －1. 因为{a n }是等比数列，所以a 1＝2，a n ＝2·3n －1. a 1＝S 1＝3＋k ＝2，所以k ＝－1.(2)由a n ＋12＝(4＋k )a n b n ，可得b n ＝n 2·3n －1，b n ＝32·n 3n ， T n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋232＋333＋…＋n 3n .13T n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋232＋334＋…＋n 3n ＋1， 23T n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋133＋…＋13n －n 3n ＋1， T n ＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12·3n －n 3n ＋1.3．(2014·吉林长春模拟)已知函数f (x )满足ax ·f (x )＝b ＋f (x )(ab ≠0)，f (1)＝2且f (x ＋2)＝－f (2－x )对定义域中任意x 都成立． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2f (a n )2.求证：数列{a n }是等差数列；(3)若b n ＝a n2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n . 解：(1)由ax ·f (x )＝b ＋f (x )(ab ≠0)，得f (x )(ax －1)＝b . 若ax －1＝0，则b ＝0，不合题意，故ax －1≠0，∴f (x )＝bax －1. 由f (1)＝2＝b a －1，得2a －2＝b .①由f (x ＋2)＝－f (2－x )对定义域中任意x 都成立，得b a (x ＋2)－1＝－ba (2－x )－1，由此解得a ＝12.②把②代入①，可得b ＝－1. ∴f (x )＝－112x －1＝22－x (x ≠2)．(2)证明：∵f (a n )＝22－a n ，S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2f (a n )2，∴S n ＝14(a n ＋1)2，∴a 1＝14(a 1＋1)2， ∴a 1＝1；当n ≥2时，S n －1＝14(a n －1＋1)2，∴a n ＝S n －S n －1＝14(a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1)，得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. ∵a n ＞0，∴a n －a n －1－2＝0，即a n －a n －1＝2，∴数列{a n }是等差数列． (3)数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n －1.∴b n ＝2n －12n .T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ， ③同边同乘以12，得12T n ＝122＋323＋524＋…＋2n －12n ＋1，④③－④，得12T n ＝12＋222＋223＋…＋22n －2n －12n ＋1，∴12T n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋…＋12n －2n －12n ＋1－12＝2×12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－2n －12n ＋1－12＝32－2n ＋32n ＋1，∴T n ＝3－2n ＋32n .4．(2012·高考大纲全国卷)函数f (x )＝x 2－2x －3.定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4,5)、Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标． (1)证明：2≤x n ＜x n ＋1＜3； (2)求数列{x n }的通项公式．解：(1)用数学归纳法证明：2≤x n ＜x n ＋1＜3. (ⅰ)当n ＝1时，x 1＝2，直线PQ 1的方程为y －5＝f (2)－52－4(x －4)，令y ＝0，解得x 2＝114，所以2≤x 1＜x 2＜3. (ⅱ)假设当n ＝k 时，结论成立，即2≤x k ＜x k ＋1＜3.直线PQ k ＋1的方程为y －5＝f (x k ＋1)－5x k ＋1－4(x －4)，令y ＝0，解得x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1.由归纳假设知x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1＝4－52＋x k ＋1＜4－52＋3＝3；x k ＋2－x k ＋1＝(3－x k ＋1)(1＋x k ＋1)2＋x k ＋1＞0，即x k ＋1＜x k ＋2.所以2≤x k ＋1＜x k ＋2＜3，即当n ＝k ＋1时，结论成立．由(ⅰ)、(ⅱ)知对任意的正整数n,2≤x n ＜x n ＋1＜3. (2)证明：由(1)及题意得x n ＋1＝3＋4x n2＋x n .设b n ＝x n －3，则1b n ＋1＝5b n ＋1，1b n ＋1＋14＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n ＋14，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ＋14是首项为－34，公比为5的等比数列．因此1b n ＋14＝－34·5n －1，即b n ＝－43·5n －1＋1，所以数列{x n }的通项公式为x n ＝3－43·5n －1＋1.5．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝c －1a n.(1)设c ＝52，b n ＝1a 2－2，求数列{b n }的通项公式；(2)求使不等式a n ＜a n ＋1＜3成立的c 的取值范围．解：(1)a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n ，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n ＋1＝4b n ＋2.所以b n ＋1＋23＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋23.又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，b n ＋23＝－13×4n －1，即b n ＝－4n －13－23. (2)a 1＝1，a 2＝c －1，由a 2＞a 1，得c ＞2. 用数学归纳法证明：当c ＞2时，a n ＜a n ＋1. ①当n ＝1时，a 2＝c －1a 1＞a 1，命题成立；②假设当n ＝k 时，a k ＜a k ＋1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＝c －1a k ＋1＞c －1a k ＝a k ＋1.故由①②，知当c ＞2时，a n ＜a n ＋1. 当c ＞2时，因为c ＝a n ＋1＋1a n＞a n ＋1a n，所以a 2n －ca n ＋1＜0有解．所以c －c 2－42＜a n ＜c ＋c 2－42.所以令a ＝c ＋c 2－42，当2＜c ≤103时，a 在⎝ ⎛⎦⎥⎤2，103上单调递增，所以a n ＜a ≤3；当c ＞103时，a ＞3，且1≤a n ＜a ，a ＝c ＋c 2－42，1a ＝2c ＋c 2－4＝c －c 2－42，所以c ＝a ＋1a . 又c ＝a n ＋1＋1a n，所以a ＋1a ＝a n ＋1＋1a n，所以a －a n ＋1＝1a n－1a ＝1a na (a －a n )．又a n ·a ＞3，所以a －a n ＋1＝1a n a (a －a n )＜13(a －a n )＜132(a －a n －1)＜133(a －a n －2)＜…＜13n －1(a －a 2)＜13n (a －1)．所以当n ＞log 3a －1a －3时，a －a n ＋1＜a －3，所以a n ＋1＞3，与已知矛盾．所以c ＞103不符合要求．故c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤2，103.。