有限元基础理论教程lecture.ppt

任意四结点四边形单元
四结点正方形单元
把局部坐标与整体坐标的变换式取为，
x N x N x N x N x 1 1 2 2 3 3 4 4
y N y N y N y N y 1 1 2 2 3 3 4 4
1 N 1 )( 1 ) 1 ( 4
1 N ( 1 )( 1 ) 3 4
N2 ... y N8 N2 ... x y
N i x [Bi] 0 N i y
0 N i y N i x
由于等参单元的形函数是局部坐标的函数，因此 应变矩阵[B]也是局部坐标的函数。形成等参单元 的单元刚度矩阵需要在整体坐标系中对局部坐标 的函数进行积分，包括以下三个基本步骤： 1）计算用局部坐标表示的形函数对整体坐标x、 y的偏导数； 2）将整体坐标系中的面积积分转换为在局部坐 标系中的面积积分； 3）用数值积分计算出单元刚度矩阵中的元素。
u N ,)ui i(
i 1
8
8
v Ni (,)vi
i 1
对于这样的八结点单元，我们可以通过划线法来 构造单元的形函数。把待构造的形函数表示为：
Ni
j 1 3
f j(i) (,) f j(i) (i ,i )
f j(i) (,) 是通过除结点i 之外所有结点的三条 (i) f , ) 0的左端项。 直线方程 j (
v b b b b b b b b
1 2 3 2 4 5 2 2 6 7 2 8
在单元的每条边上，位移是局部坐标的二次函 数，完全由边上的三个结点的位移值确定，满 足位移连续性条件。
实际单元上的位移用形函数表示为，
( 5 ) f , ) 1 2 (
( 5 ) f , ) 1 3 (
1 2 N ( 1 )( 1 ) 5 2
结点6、7、8的形函数如下， 1 1 2 2 N ( 1 )( 1 ) N ( 1 )( 1 ) 6 7 2 2
1）计算形函数对整体坐标的偏导数
形函数Ni 是局部坐标的函数，同时也可以看作 是整体坐标的函数，由复合函数求导法则可得： N i N i x N i y x y N i N i x N i y x y
命令输入窗口
ANSYS软件的菜单操都有相对应 的命令，用户可以在命令输入窗 口，直接输入这些命令。
建议使用文本编辑器编写命令流 文件，可以一次读入并执行。
若干命令行
APDL语言与参数化建模
• 在建模过程中，比较容易修改，能逐步调试， 适合建立复杂模型。 • 能够实现参数化建模，只要拓扑结构不变， 就可以采用不同的参数值完成建模。 • 对ANSYS数据库进行一些直接操作、导出 ANSYS模型中的数据。 • 将其它软件的计算结果导入ANSYS，利用 ANSYS的后处理功能。
1 2 N ( 1 )( 1 ) 8 2
1 ( 1 )( 1 )( ) ( i 1 ,2 ,3 ,4 ) i i i i 4 1 2 N ( , ) ( 1 )( 1 ) ( i 5 ,7 ) i i 2 1 2 ( 1 )( 1 ) ( i 6 ,8 ) i 2
u a a x a y a xy 1 2 3 4
v a a x a y a xy 5 6 7 8
u N u N u N u N u i i j j m m p p
v N v N v N v N v i i j j m m p p
对于包含n个结点的一维单元，采用Lagrange插值 多项式直接构造位移插值函数，结点参数是待求 的场函数的结点值，多项式定义如下。
( 1 ) f , ) 1 1 (
( 1 ) f , ) 1 2 (
( 1 ) f , ) 1 3 (
f j(i) (i ,i ) 是代入结点i坐标之后的多项式值。
1 N ( 1 )( 1 )( 1 ) 1 4
5 等参单元
5.1 四结点矩形单元 5.2 等参单元的基本概念 5.3四边形八结点等参单元 5.4等参单元的单元分析 5.5高斯积分 5.6六面体等参单元
5.1四结点矩形单元
对于几何形状为矩形的弹性力学平面问题，可以 采用如图所示的四结点矩形单元。该矩形单元在 x及y方向的边长分别为2a和2b，单元的位移插值 含数如下，
三结点三角形单元与四结点矩形单元比较
单 元 类 型 优 点 缺 点 三 结 点 三 角 形 单 适 应 复 杂 形 状 ， 计 算 精 度 低 元 单 元 大 小 过 渡 方 便 四 结 点 矩 形 单 元单 元 内 的 应 力 、 应 变 是 线 性 变 不 能 适 应 曲 线 边 界 和 非 正 交 化 的 ， 计 算 精 度 较 高 的 直 线 边 界
坐标变换式如下，
x y

8
8
i 1
N i ( , ) x i N i ( , ) y i
x a2 b c y d2 e f

i 1
单元263边在整体坐标下的参数方程：
可见单元的边是一条抛物线或退化为一条直线。
ANSYS提供的PLANE82单元就是四边形八节点 等参单元，局部坐标为s、t。可以退化为三角形 六节点单元。
x xc a
y yc b
1 li () 2
1 lm() 2 1 li () 2 1 lm() 2
1 l j () 2 1 l p () 2
x x x x 2 a j i m p
y x y y 2 b p i m j
x y y 1 x x y y 1 x c c c c N ( 1 )( 1 ) N ( 1 )( 1 ) p m 4 a b 4 a b
上述单元位移模式满足位移模式选择的基本要求： 1)反映了单元的刚体位移和常应变， 2)单元在公共边界上位移连续。
单元内部的位移是双线性函数，在单元边界上坐标x或y必 有一项取常数，单元边界上的位移是线性函数，所以满足 连续性条件。
4.5 参数化建模
• 日志文件
用户操作过程，包括几何建模、网格划分、求解 等，以命令流形式保存在日志文件中(*.log)。
将日志文件保存起来，在下一次使用 ANSYS 软 件分析同一个模型时，可以先执行日志文件，得 到前一次上机所完成的结果。 日志文件的缺点是保存了许多中间操作，不够简 洁。
列出日志文件后，可以把该文件重新命名后保存起来。 从File > Read Input from…菜单项读入保存起来的日志 文件。
i , i 是结点在局部坐标系中的取值
（5-7）
把（ 5-4 ）的位移模式和（ 5-7 ）的形态函数用于任意形状的 四边单元： 1）在四个结点处给出结点的位移； 2）在单元的四条边上，位移线性变化，保证了位移的连续性。
把局部坐标系中的正方形单元称为基本单元。
把整体坐标系中的任意四边形单元看作由基本单 元通过坐标变换得来的，称为实际单元。
N i i
i 1
n
N x ) l i(
( n 1 ) i
( x ) x j 1 ,j i x i j
x x1 N2 (x) x2 x1
n
x x j
当n=2时，
x x2 N1(x) x1 x2
为方便构造单元插值函数，引入单元自然坐标，
x xc L
四结点正方形单元的位移模式取与坐标变换式相 同的插值函数，
u N u N u N u N u 1 1 2 2 3 3 4 4
v N v N v N v N v 1 1 2 2 3 3 4 4
（5-4）
1 i 1 , 2 , 3 , 4 ) N 1 )( 1 ) ( i ( 0 0 4 0 i 0 i
x1 x2 xc 2
x2 x1 L 2
用单元自然坐标定义多项式，
，
l
(n 1 ) i
j ( ) j j 1 , j i i
n
当n=2时， 1 1
2 1
1 N2() 2
1 N1() 2
对于四结点矩形单元，引入自然坐标，用两个方向 上的插值多项式的乘积，可以构造出矩形单元的插 值函数。
1 N 1 )( 1 ) 2 ( 4
1 N 1 )( 1 ) 4 ( 4
将变换式用于任意形状的直边四边形单元： 1）在四个结点处给出结点的整体坐标， 2）在四条边上的整体坐标是线性变化的， 3 ）整体坐标系中任意形状的直边四边形单元， 变换成局部坐标系中的正方形单元。
PLANE82单元的位移模式：
5.4等参单元的单元分析
以平面问题的四边形八结点等参单元为例，介 绍构造等参单元的单元刚度矩阵的基本过程。 平面问题的单元刚度矩阵为，
T K [ B ] D ][ B ] tdxdy [ e
单元的应变为，
e { } [B ]{ }
单元的结点位移，
5.3 四边形八节点等参单元
为了更好地反映物体的应力变化，适应曲线边 界，在平面问题分析中经常使用四边形八节点 等参单元。如图5-4所示。
图5-4四边形八结点单元
图5-5 八结点基本单元Leabharlann 基本单元中取如下的位移模式：
2 2 2 2 u a a a a a a a a 1 2 3 4 5 6 7 8
结点2、3、4的形函数为：
1 N ( 1 )( 1 )( 1 ) 2 4 1 N ( 1 )( 1 )( 1 ) 3 4