数[1].式.方程.不等式[1].3.6
二次函数与一元二次方程、不等式 课件(2)
实根
没有实数根
b
(a>0)的根
x1,x2
2a
(x1<x2)
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{x|x<x
_______1
或x>x2} {x|x≠x
_________
__________
________
1} {x|x∈R}
{x|x1
_______
______
数. （若二次项系数带参数，考虑参数等于零、不等于零）
2、解决恒成立问题，一定要搞清谁是主元，谁是参数，一
般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参
数.
[跟踪训练二]
1.
已知不等式 x 2 x a 0 的解集为 x|x 3 或 x 2 ，
则实数 a __________.
次不等式之间的联系；
2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；
3.数学运算：解一元二次不等式；
4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；
5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二
次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联
系。
自主预习，回答问题
• 阅读课本50-52页，思考并完成以下问题
• 1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.
（3） − 2 + 4 − 4 < 0
1
（4） 2 − + 4 ≤ 0
答案：（1） | < −, 或 >
（3） | ≠
（2） | ≤ −, 或 ≥
九年级上册数学目录
九年级上册数学目录九年级上册数学目录
章节一：基本概念
1.1 数的概念
1.2 实数的分类
1.3 因式分解
1.4 复数
1.5 对数
章节二：代数运算
2.1 算术运算
2.2 扩展费马定理
2.3 快速百位数加法
2.4 代数式的简化
2.5 代数表达式的相等性
2.6 坐标和图形的表示
2.7 分类方程的特殊解
章节三：方程与不等式
3.1 一元一次方程
3.2 一元二次方程
3.3 一元n次方程
3.4 含有括号的多项式方程
3.5 不等式与不等式组
3.6 绝对值不等式
章节四：几何
4.1 几何图形的表示
4.2 平面几何图形
4.3 平面中几何图形的旋转4.4 直线的特征
4.5 平面几何图形的测量
4.6 平面几何图形的特殊性质4.7 平行四边形
4.8 正多边形
4.9 球面几何
章节五：数列
5.1 数列的定义
5.2 等差数列
5.3 等比数列
5.4 数列的特殊性质
5.5 求未知数列
5.6 递推公式
章节六：概率
6.1 概率的定义
6.2 概率分布6.3 条件概率6.4 独立事件6.5 联合概率6.6 概率的应用。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式.1等式性质与不等式性质第课时不等式性质学案含解析第一册
第2课时不等式性质必备知识·探新知基础知识知识点不等式的性质性质1a>b⇔__b〈a__；（对称性)性质2a〉b，b〉c⇒__a>c__；（传递性）性质3a>b⇒__a＋c〉b＋c__；(同加保序性）推论：a＋b>c⇒__a〉c－b__;（移项法则）性质4a〉b，c〉0⇒__ac>bc__，(乘正保序性)a〉b,c〈0⇒ac 〈bc；（乘负反序性）性质5a〉b，c〉d⇒__a＋c〉b＋d__；(同向相加保序性）性质6a>b〉0，c〉d>0⇒__ac〉bd__；（正数同向相乘保序性)性质7a>b>0⇒__a n〉b n__（n∈N,n≥2）．（非负乘方保序性）思考：（1）性质3的推论实际就是解不等式中的什么法则？(2)性质4就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗?为什么？（3）使用性质6,7时，要注意什么条件？提示：(1）移项法则．（2）不对．要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向．（3)各个数均为正数．基础自测1．判断正误(对的打“√"，错的打“×”)（1)若a〉b,则ac2>bc2。
(×)(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．(×)(3）设a，b∈R,且a〉b，则a3>b3。
（√）(4）若a＋c〉b＋d，则a>b，c〉d.（×)［解析］（1)由不等式的性质，ac2>bc2⇒a>b;反之,c＝0时，a>b ac2〉bc2。
(2)相乘需要看是否错误!而相加与正、负和零均无关系．（3)符合不等式的可乘方性．（4)取a＝4，c＝5，b＝6,d＝2,满足a＋c>b＋d，但不满足a〉b，故此说法错误．2．设b<a,d〈c,则下列不等式中一定成立的是（C）A．a－c〉b－d B．ac>bdC．a＋c〉b＋d D．a＋d〉b＋c3．已知a〈0，－1〈b<0，那么下列不等式成立的是(D) A．a〉ab〉ab2B．ab2>ab〉aC．ab>a>ab2D．ab〉ab2>a［解析]由－1〈b〈0，可得b〈b2<1,又a〈0,∴ab>ab2>a，故选D．4．用不等号“〉”或“〈"填空：（1）如果a>b,c〈d，那么a－c__〉__b－d；(2)如果a〉b〉0，c<d〈0，那么ac__〈__bd；(3）如果a>b〉0,那么错误!__〈__错误!；(4)如果a>b>c〉0，那么错误!__<__错误!.[解析］（1)∵c<d，∴－c〉－d，∵a〉b，∴a－c〉b－d. (2）∵c<d〈0，∴－c〉－d〉0.∵a>b〉0，∴－ac〉－bd,∴ac<bd。
各种常用不等式汇总
各种常用不等式汇总文章目录•一、一般不等式•o1、一元二次不等式o2、正弦余弦不等式o3、均值不等式o4、绝对值不等式o5、排序不等式o6、权方和不等式•二、人名不等式•o1、柯西不等式o2、卡尔松不等式o3、琴声不等式o4、杨氏不等式o5、赫尔德不等式o6、闵可夫斯基不等式o7、伯努利不等式一、一般不等式经常会用到的不等式一般有前面三个是下面均值不等式的特殊情况。
一般情况下a=b时，才取到等号1、一元二次不等式首先回顾一下一元二次方程的求根公式一元二次不等式的解以及图像2、正弦余弦不等式3、均值不等式均值不等式中一般包含四个公式：调和平均数公式、算数平均数公式、平方平均数公式、几何平均数公式，下面一一介绍。
•调和平均数又称倒数平均数，是总体各统计变量倒数的算术平均数的倒数。
调和平均数是平均数的一种。
但统计调和平均数，与数学调和平均数不同，它是变量倒数的算术平均数的倒数。
由于它是根据变量的倒数计算的，所以又称倒数平均数。
调和平均数也有简单调和平均数和加权调和平均数两种。
•算术平均数又称均值，是统计学中最基本、最常用的一种平均指标，分为简单算术平均数、加权算术平均数。
它主要适用于数值型数据，不适用于品质数据。
根据表现形式的不同，算术平均数有不同的计算形式和计算公式。
•一组数据的平方的平均数的算术平方根。
英文缩写为RMS。
它是2次方的广义平均数的表达式，也可称为2次幂平均数。
英文名一般缩写成RMS。
•几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根，分为简单几何平均数与加权几何平均数。
1）几何平均数受极端值的影响较算术平均数小；2）如果变量值有负值，计算出的几何平均数就会成为负数或虚数；3）它仅适用于具有等比或近似等比关系的数据；4）几何平均数的对数是各变量值对数的算术平均数。
它们的公式如下：调和平均数≤ 几何平均数≤ 算术平均数≤ 平方平均数（方均根）4、绝对值不等式5、排序不等式反序和≤乱序和≤顺序和6、权方和不等式权方和不等式是一个数学中重要的不等式。
2025年高考一轮复习-2.1.1-不等关系与不等式【课件】
[解] (1)∵x∈R，m∈R， ∴(x2－x＋1)－(－2m2－2mx) ＝x2＋(2m－1)x＋(2m2＋1) ＝x2＋(2m－1)x＋2m2－12－2m2－12＋2m2＋1 ＝x＋2m2－12＋m2＋m＋34 ＝x＋2m2－12＋m＋122＋12>0. ∴x2－x＋1>－2m2－2mx.
(2)方法一：aa22－＋bb22－aa－＋bb ＝a＋ba2－a2＋b2b－2aa＋－bba2＋b2 ＝a－ba[2a＋＋bb22a－＋ab2＋b2] ＝a＋2abbaa－2＋bb2. 因为 a>b>0. 所以 a＋b>0，a－b>0,2ab>0.
b.
类型三 不等式的实际应用
[例 3] 某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲 车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受 7.5 折优惠．” 乙车队说：“你们属团体票，按原价的 8 折优惠．”这两车队的 收费标准、车型都是一样的，试根据此单位去的人数，比较两车 队的收费哪家更优惠．
[思路分析] 依据题意表示出两车队的收费，然后比较大 小．
A．30x－60≥400 B．30x＋60≥400 C．30x－60≤400 D．30x＋60≤400
解析：x 月后他至少有 400 元，可表示成 30x＋60≥400.
2．若 x≠－2 且 y≠1，则 M＝x2＋y2＋4x－2y 的值与－5 的
大小关系是( A )
A．M>－5
B．M<－5
C．M≥－5
2．常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字 大于，高 语言 于，超过
小于，低 于，少于
小于等于， 大于等于，至
至多，不超 少，不低于
过
符号
语言
>
数学六上下知识点总结
数学六上下知识点总结一、数与式1.1 整数整数包括自然数、0和负整数。
自然数：1, 2, 3, 4, …负整数：-1, -2, -3, -4, …1.2 整数的加法和减法同号两个数相加，保持符号，绝对值相加。
异号两个数相加，绝对值大的减去绝对值小的，符号取较大绝对值的符号。
1.3 整数的乘法同号两个数相乘，绝对值相乘，符号相同。
异号两个数相乘，绝对值相乘，符号为负。
1.4 整数的除法除数不为0时，同号两个数相除，商为正；异号两个数相除，商为负。
1.5 数的乘方a的n次幂，表示为a^n，其中a为底数，n为指数。
1.6 数学语言和符号例如：用数学符号表示公式。
1.7 代数表达用字母表示数，便于研究问题。
1.8 代数式、方程和不等式代数式：由数字、代数符号和运算符号组成的式子。
方程：含有一个或多个未知数的等式。
不等式：表示两个数大小关系的式子。
1.9 实际问题中的代数式和方程解决实际问题时，需建立代数式或方程，然后求解。
二、图形的认识2.1 点、线、面和体点：没有长度、宽度和高度，只有位置。
线：只有长度，没有宽度，由点构成。
面：有长和宽，由线构成。
体：有高、宽和长，有一定的体积。
2.2 简单的图形直线、封闭曲线、多边形、圆等。
2.3 规则图形的认识正方形、长方形、三角形、圆形等。
2.4 对称图形关于某一条线对称的图形。
2.5 用三角尺、圆规作图采用各种工具制作图形。
2.6 计算图形的面积根据图形类型，采用相应公式计算面积。
2.7 计算图形的周长根据图形类型，采用相应公式计算周长。
2.8 计算图形的体积计算长方体、正方体等图形的体积。
2.9 完型图形和几何体通过填充几何体来观察其体积。
三、分数3.1 分数概念分数表示部分与整体的关系。
3.2 分数的基本性质分子、分母的概念，分数的大小比较。
3.3 分数的加减分数相加时，分母相同的分数，分子相加即可；分母不同的分数，要先通分。
分数相减时，分母相同的分数，分子相减即可；分母不同的分数，要先通分。
小学六年级数学讲义：不等式
不等式知识要点不等式的基本概念：用不等号连接的式子叫不等式。
不等号包括：“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“≠”。
例如：－5＜－2，a＋3＞－1＋4，x＋1≤0，a2＋1＞0，|x|≥0，3a≠5a等都是不等式。
注意：不等式3≥2成立；而不等式3≥3也成立，因为3＝3成立，所以不等式3≥3成立。
不等式的基本性质：基本性质1：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变。
基本性质2：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
基本性质3：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
如果a＞b，并且c＜0，那么ac＜bc(或a b c c<)如果a＜b，并且c＜0，那么ac＞bc(或a b c c>)注意：⑴在不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，要改变不等号的方向。
⑵在不等式两边不能乘以0，因为乘以0后不等式将变为等式，以不等式3＞2为例，在不等式3＞2两边都乘同一个数a时，有下面三种情形：①如果a＞0时，那么3a＞2a；②如果a＝0时，那么3a＝2a；③如果a＜0时，那么3a＜2a。
不等式具有互逆性和传递性：不等式的互逆性：如果a＞0，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b。
不等式的传递性：如果a＞b，b＞c，那么a＞c。
一元一次不等式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为ax＜b或ax＞b的形式，其中x是未知数a、b，是已知数，并且a≠0，这样的不等式叫一元一次不等式。
ax＜b或ax＞b(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式。
一元一次不等式的解法：思路：采用解一元一次方程的解题步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项(化成ax＜b或ax＞b形式)→系数化为1(化成bxa>或bxa<的形式)。
不等式的解通常用解集的形式表示，解集是能使不等式成立的所有未知数的集合，一般不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解。
八上代数知识点总结
八上代数知识点总结第一章代数式与方程1.1 代数式的概念代数式是由数字、字母和运算符号组成的式子。
其中有字母的式子叫代数式。
代数式中的字母表示数，这个数可以是任意的，因此代数式表示的是一类数。
代数式是数学中的一个重要概念，它是使数学运算变得简便、通用的一个中心概念。
1.2 乘法公式乘法公式是一种特殊乘法法则，用字母表示着与数量关系的代数式。
乘法公式包括前联系乘法公式、分配律乘法公式、完全平方公式。
1.3 方程的概念代数式中含有未知数的等式叫方程。
方程是数学中的一个重要概念，它是用来研究未知数之间的数量关系的一个数学工具。
方程就是两个代数式相等的语句，方程中含有未知数。
方程是一种数学语言，它是表示两个量相等或两个代数式相等的数学关系。
方程的解叫方程根。
1.4 一元一次方程一元一次方程是对称数学问题的数量关系，具有很好的性质。
一元一次方程既有代数式的形式，又有两边相等的几何意义。
由于一元一次方程是数学中的一类非常重要的代数式，所以必须认真对待，掌握其相关的知识和技能。
第二章一元一次方程2.1 解一元一次方程的基本思路解一元一次方程的基本思路就是在若干次有效的方程变形中逐次减少方程中未知数的数量，直至变成未知数出现在等式左边的情况!。
全篇都围绕着如何解一元一次方程体现了变形“曲线教学”的基本理念。
2.2 化简方程化简方程，既是为了消减进行解方程的复杂程度，又是为了更深入地理解方程的解出现的位置。
化简方程实际上是在消除方程中的冗余部分，使最终不必要的部分都集中后更加直观的观察方程的根所在。
2.3 判断等式成立的条件只要样本所满足的等式成立的条件与原样本结构的关系和样本的特定性有关系关系着，就说明了在样本满足获得的条件的基础上一定要完成符合样本本身特点的前提下。
因此，如果不具备样本的特点就很难得出样本确实等式成立的个性化依据，也就是综合了样本等式能否成立的原因。
2.4 解一元一次方程解一元一次方程是含有未知数的一个等式，其特征是方程左右两边只有一个未知数。
七年级数学第9章不等式与不等式组(整章知识详解)
X>-3
2、不等式组
X<2 X<5
的非负整数解是__0_,1____
方法：先求不等式(组)的解集，再确定整数解问题
七年级数学第9章不等式与不等式组
考点三:不等式（组）的特殊解
3.(烟台)不等式4－3x≥2x－6的非负整数
解是___0_,1__,2.
x 3≥0,
4.
（苏州）不等式组
x
2
考点四：求字母的取值范围
1. 如- -果- -不- - 等- - -式- -xxm5 有解，那么m的取值范围是
_m__<_5___.若 无解 ， 则m的 取值 范 围是_m__≥_5___.
2.如
果
不
等
式
组xx
m m
1的 2
解
集
是x
-
1，
则m的 取 值 范 围 是______.
.
不等式组的解集是x>m+2，有因解集是x>-1
所以 m+2= -1，即 m = -3
（较小）
(1)若不等式组
xm1 （较大无） 解，则
x 2 m 1
m的取值范围为___m_____3_______
2m 2 m 1
(2)若不等式组
xБайду номын сангаас（1 较小的）解集为x>3，
x3 （较大）
3
的所有整数
解有（ B ）个
A、2
．
B、3
C、4
D、5
方法:先求不等式(组)的解集，再确定整数解的问题
（2 x-6）<3-x
①
求不等式组
数学总结—公式大全
数学总结—公式大全1.代数方面的公式1.1 一次方程：ax + b = 0，其中a≠0。
1.2 二次方程：ax² + bx + c = 0，其中a≠0。
1.3 一元二次不等式：ax² + bx + c > 0或ax² + bx + c < 0。
1.4勾股定理：a²+b²=c²，其中a、b为直角三角形的两条直角边，c 为斜边。
1.5 二项式定理：(a + b)ⁿ = C(n,0)aⁿ + C(n,1)aⁿ⁻¹b + ... +C(n,n-1)abⁿ⁻¹ + C(n,n)bⁿ，其中C(n,k)表示组合数。
1.6四则运算规则：加法：a+b=b+a，乘法：a×b=b×a。
2.几何方面的公式2.1 三角形面积公式：S = 1/2bh，其中S表示三角形的面积，b表示底边的长度，h表示高。
2.2直角三角形三边关系：a²+b²=c²，其中a、b为直角三角形的两条直角边，c为斜边。
2.3 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应的内角，R为三角形外接圆的半径。
2.4 余弦定理：c² = a² + b² - 2abcosC，其中a、b、c为三角形的边长，C为对应的内角。
2.5 面积公式：三角形面积S = 1/2absinC，其中a、b为三角形的两条边，C为对应的夹角。
2.6弧长公式：L=rθ，其中L表示弧长，r表示弧的半径，θ表示圆心角的度数。
3.微积分方面的公式3.1 导数定义：f'(x) = lim (f(x + h) - f(x))/h，其中f'(x)表示函数f(x)在x处的导数。
3.2导数的基本运算法则：常数法则、乘法法则、除法法则、链式法则等。
3.3反函数导数：(f⁻¹)'(y)=1/f'(x)，其中f⁻¹表示f的反函数。
不等式公式大全
不等式公式大全不等式在数学中占据着重要的地位，它不仅是解决实际问题的数学工具，也是许多数学问题的基础。
本文将为大家详细介绍不等式的基本概念、性质和常见的不等式公式，希望能帮助大家更好地理解和运用不等式。
一、不等式的基本概念。
1. 不等式的定义。
不等式是指两个数或两个代数式之间大小关系的一种表示方法。
通常用符号“<”、“>”、“≤”、“≥”等表示。
2. 不等式的解。
解不等式就是找出使不等式成立的未知数的取值范围。
对于一元一次不等式，可以通过移项、合并同类项等方法求解；对于一元二次不等式，可以通过配方法或者判别式法求解。
二、不等式的性质。
1. 不等式的传递性。
若a>b，b>c，则有a>c。
这是不等式的一个基本性质，也是我们在解不等式问题时常常会用到的性质。
2. 不等式的加减性。
若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
这说明不等式两边同时加（减）一个数，不等式的大小关系不变。
3. 不等式的乘除性。
若a>b且c>0，则ac>bc；若a>b且c<0，则ac<bc。
这说明不等式两边同时乘（除）一个正数，不等式的大小关系不变；而同时乘（除）一个负数，不等式的大小关系则会颠倒。
三、不等式公式大全。
1. 一元一次不等式。
一元一次不等式的一般形式为ax+b>c，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
解一元一次不等式的关键是通过移项和合并同类项将x的系数提取出来，然后根据系数的正负情况确定不等式的解集。
2. 一元二次不等式。
一元二次不等式的一般形式为ax^2+bx+c>0（或<0），其中a、b、c为已知数，x为未知数。
解一元二次不等式的关键是通过配方法或者判别式法将不等式化为二次函数的解析式，然后根据二次函数的图像确定不等式的解集。
3. 绝对值不等式。
绝对值不等式的一般形式为|ax+b|>c（或< c），其中a、b、c为已知数，x为未知数。
初三数学总复习数学《方程(组)及不等式(组)教案
12-13下学期初三数学总复习《方程（组）与不等式（组）》主备人：汤恒星本章教学分析一、本章教学目标1、方程（组）、一次方程（组）、一次不等式（组）、分式方程的概念及解法2、用方程（组）解决实际问题二、本章教学重难点重点：目标1,2难点：目标2三、学情分析初三复习阶段，学生对本部分内容有接触，但是遗忘比较多，教师在复习的过程中应加强基本技能的训练，适当加以示范。
四、课时安排（共计10 课时）第1节：2课时第2节：2课时第3节：2课时第4节：2课时测评及讲解：2课时五、章节测试命题人安排：汤恒星第一节 一次方程（组）及其应用（2课时）教学目标：1．方程、一元一次方程、方程的解、一元一次方程的解法；2．二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程的解、二元一次方程的解法、利用方程解决生活中的实际问题3. 用一元一次方程和二元一次方程组解决实际问题；4 数学思想方法：消元教学重难点：教学重点：一元一次方程解法、二元一次方程组的解法、用一元一次方程和二元一次方程组解决实际问题难点：用一元一次方程和二元一次方程组解决实际问题教学过程：一、知识点（1） 方程：含有未知数的等式（2） 等式性质：1、等式两边分别加上或减去一个数字或式子，结果仍然是等式；2、等式两边分别乘以或除以一个不为0的数，结果仍然是等式；（3） 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值（4） 一元一次方程的解法：去分母、去括号、移项、合并、系数化为1（5） 二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程为二元一次方程（6） 二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组（7） 二元一次方程组的解：一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程组的解，即二元一次方程组中方程的公共解。
（8） 二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：多适用于方程组中有一个未知数的系数是1或-1的情形；（2）加减消元法：多适用于方程组中的两个方程中相同未知数的系数相同或互为相反数的情形（9） 列方程（组）解应用题的一般步骤二、例题精讲例1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+65115y x y x ⎩⎨⎧-=+=+2102y x y x ⎩⎨⎧==+158xy y x ⎩⎨⎧=+=31y x xA. B. C. D.例2．在 中，用x 的代数式表示y ，则y=______________．例3．（1）解方程.x x +--=21152156（2）解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+27271523y x y x 例4．已知a 、b 、c 满足⎩⎨⎧=+-=-+02052c b a c b a ，则a ：b ：c= ． 例5．已知x =-2是关于x 的方程()x m x m -=-284的解，求m 的值．例6．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A 度，那么这个月这户只需交 10 元用电费，如果超过 A 度，则这个月除了仍要交 10 元用电费外，超过部分还要按每度 0.5 元交费．①该厂某户居民 2 月份用电 90 度，超过了规定的 A 度，则超过部分应该交电费多少元（用 A 表示）？ ．②右表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况：根据右表数据，求电厂规定A 度为 ．三、当堂检测1.若关于x 的方程x k =-153的解是x =-3，则k =_________． 2．解下列方程（组）： （1）x x -+=-2114135；（2）⎩⎨⎧=+=+832152y x y x 3．当x =-2时，代数式x bx +-22的值是12，求当x =2时，这个代数式的值．4．应用方程解下列问题：初一（4）班课外乒乓球组买了两副乒乓球板，若每人付9元，则多了5元，后来组长收了每人8元，自己多付了2元，问两副乒乓球板价值多少？四、小结（1）方程的相关概念（2）一次方程（组）的解法（3）用一次方程（组）解应用题五、作业：试题研究教学反思：032=-+y x第二节 一元二次方程及其应用（第2课时）教学目标：1．一元二次方程的相关概念及解法；2. 根的判别式、根与系数的关系3. 用一元二次方程解决实际问题教学重难点：教学重点：一元二次方程的相关概念及解法、根的判别式、根与系数的关系、用一元二次方程解决实际问题难点：根的判别式、根与系数的关系、用一元二次方程解决实际问题教学过程：五、 知识点1. 一元二次方程的概念及一般形式：ax 2+bx +c =0 (a ≠0)2. 一元二次方程的解法：①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法3．求根公式：当b 2-4ac ≥0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)的两根为4．根的判别式： 当b 2-4ac ＞0时，方程有 实数根．当b 2-4ac=0时， 方程有 实数根．当b 2-4ac ＜0时，方程 实数根．5.（1）增长率问题；（2）利润问题二、例题精讲例1．选用合适的方法解下列方程：(1) (x-15)2-225=0； (2) 3x 2－4x －1＝0（用公式法）；(3) 4x 2－8x ＋1＝0（用配方法）； （4）x 2+22x=0 例2 ．已知一元二次方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值．例3．用22cm 长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？三、当堂检测一、填空1．下列是关于x 的一元二次方程的有_______ ①02x 3x12=-+ aac b b x 242-±-=②01x 2=+③)3x 4)(1x ()1x 2(2--=- ④06x 5x k 22=++ ⑤021x x 2432=-- ⑥0x 22x 32=-+2．一元二次方程3x 2=2x 的解是 ．3．一元二次方程(m-2)x 2+3x+m 2-4=0有一解为0，则m 的值是 ．4．已知m 是方程x 2-x-2=0的一个根，那么代数式m 2-m = ．5．关于x 的一元二次方程kx 2+2x －1=0有两个不相等的实数根, 则k 的取值范围是__________．6．如果关于的一元二次方程的两根分别为3和4，那么这个一元二次方程可以是 ．三、解下方程：(1)(x+5)(x-5)=7 (2)x(x-1)=3-3x(3)x 2-4x-4=0 (4)x 2+x-1=0四、小结（1）一元二次方程的相关概念及解法；（2）根的判别式及根与系数关系；（3）用一次方程（组）解应用题五、作业：试题研究 教学反思：第三节 分式方程及其应用（2课时）教学目标：1、分式方程的相关概念及解法2. 了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根．3. 列分式方程解决实际问题教学重点：目标1,2,3难点：目标2,3教学过程：一、知识点1.分式方程：分母中含有1个未知数的方程叫做分式方程2.解分式方程的步骤：去分母转化为整式方程，解整式方程，再将整式方程的解代入最公分母中，判断整式方程的解是否为分式方程的增根二、例题精讲例1：（1）013522=--+xx x x （2）41622222-=-+-+-x x x x x 例2 若分式方程xx k x --=+-2321有增根，则k 为（ ） A. 2 B.1 C. 3 D.-2三、当堂检测1.解分式方程． (1)22011x x x -=+- (2) x2)3(x 22x x -=--；(3) 11322x x x -=--- (4)11-x 1x 1x 22=+-- 2. 一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是( )A. B.C. D.四、小结（1）解分式方程要注意检验（2）增根是把分式方程转化为整式方程的解五、作业：试题研究教学反思：第四节 一元一次不等式（组）及其应用（2课时） 教学目标：1、 不等式（组）的定义及解法2、 不等式的性质3、 不等式的解集在数轴上表示4、 用不等式解应用题教学重难点：教学重点：目标1,2,3难点：目标4教学过程：一、知识点1.定义：用不等号连接起来的式子2.解集：一个含有未知数的不等式的所有的解的集合3.解集在数轴上表示：（略）4.性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变，即若,b a <则c b c a ±<±（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个整数，不等号的方向不变，即若,b a <且0c >，则bc ac <（或cb c a <） （3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个整数，不等号的方向不变，即若,b a <且0c <，则bc ac >（或c b c a >） 二、例题精讲例1.如图所示，O 是原点，实数a 、b 、c 在数轴上对应的点分别为A 、B 、C ，则下列结论错误的是（ ）A. 0b a >-B. 0ab <C. 0b a <+D.例2. 不等式112x ->的解集是（ ） Ａ．12x >- Ｂ．2x >- Ｃ．2x <- Ｄ．12x <- 例3. 把不等式组21123x x +>-⎧⎨+⎩≤的解集表示在数轴上，下列选项正确A ．B ．C ．D ．BA O C 0)c a(b >-1 0 1- 10 1- 1 0 1- 10 1-例4. 不等式组221x x -⎧⎨-<⎩≤的整数解共有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个例6.若关于x 的不等式x －m ≥－1的解集如图所示，则m 等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 例7.解不等式组：（1）21113x x x +<⎧⎪⎨-≥⎪⎩ （2）⎪⎩⎪⎨⎧+<+->+)6(3)4(4,5351x x x x 【当堂检测】1.苹果的进价是每千克3.8元，销售中估计有5%的苹果正常损耗．为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克 元．2. 解不等式723<-x ，将解集在数轴上表示出来，并写出它的正整数解．3. 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-<+--+≥+224313322x x x x ，并把它的解集在数轴上表示出来．4. 我市某镇组织20辆汽车装运完A 、B 、C 三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：（1）设装运y ，求y 与x 之间的函数关系式；（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值．四、小结（1）解不等式时左右两边同时乘以负数时，不等号方向要改变（2）列不等式解应用题是要主要“至少、最多、不低于、不大于、高于”等字样的理解五、作业：试题研究教学反思：欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。
2021年新教材人教A版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式 教学课件
B
)
3.设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(
A.6
B.4 2
C.2 6
D.8
解析 ∵a＋b＝3，
＋
∴2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a b＝2 8＝4 2，
3
当且仅当 a＝b＝2时，“＝”成立.
答案 B
)
4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形
的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费
C.a2－b2<0
D.a＋b<0
解析
)
本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，
排除A，B，C，故选D.
答案 D
3.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(
A.M＞N
B.M＝N
C.M＜N
D.与x有关
12 3
解析 M－N＝x ＋x＋1＝(x＋ ) ＋ ＞0.
知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建
应用基本不等式的条件.
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求
最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的
p
结果往往是错误的，这时通常可以借助函数 y＝x＋x(p>0)的单
调性求得函数的最值.
4.求解应用题的方法与步骤：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1等式性质与不等式性质
2.2基本不等式 P24
2.3二次函数与一元二次方程、不等式 P53
学习目标
1.理解不等式的概念.
2.了解不等式（组）的实际背景.
3.掌握不等式的性质.
高三最难数学公式汇总
高三最难数学公式汇总高三数学公式1乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b||a|+|b||a-b||a|+|b||a|b=-bab|a-b||a|-|b|-|a|a|a|一元二次方程的解-b+(b2-4ac)/2a-b-(b2-4ac)/2a根与系数的关系x1+x2=-b/ax1x2=c/a注：韦达定理判别式b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根b2-4ac0注：方程有两个不等的实根b2-4ac0注：方程没有实根，有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-sinbcosacos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinbtan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga)ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga)倍角公式tan2a=2tana/(1-tan2a)ctg2a=(ctg2a-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(a/2)=((1-cosa)/2)sin(a/2)=-((1-cosa)/2)cos(a/2)=((1+cosa)/2)cos(a/2)=-((1+cosa)/2)tan(a/2)=((1-cosa)/((1+cosa))tan(a/2)=-((1-cosa)/((1+cosa))ctg(a/2)=((1+cosa)/((1-cosa))ctg(a/2)=-((1+cosa)/((1-cosa))和差化积2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b)2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b)sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)tana+tanb=sin(a+b)/cosacosbtana-tanb=sin(a-b)/cosacosbctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb-ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9++n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15++(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14++(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82++n2 =n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+n3=n2(n+1)2/41_+2_+3_+4_+5_+6_++n(n+1) =n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sina=b/sinb=c/sinc=2r注：其中r表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosb注：角b是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a，b)是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+dx+ey+f=0注：d2+e2-4f0抛物线标准方程y2=2pxy2=-2p_=2pyx2=-2py直棱柱侧面积s=c_斜棱柱侧面积s=c_正棱锥侧面积s=1/2c_正棱台侧面积s=1/2(c+c)h圆台侧面积s=1/2(c+c)l=pi(r+r)l球的表面积s=4pi_2圆柱侧面积s=c_=2pi_圆锥侧面积s=1/2__=pi__弧长公式l=a_a是圆心角的弧度数r0扇形面积公式s=1/2__锥体体积公式v=1/3__圆锥体体积公式v=1/3_i_2h斜棱柱体积v=sl注：其中，s是直截面面积，l是侧棱长柱体体积公式v=s_圆柱体v=pi_2h高三数学公式2平面解析几何包含一下几部分：一直角坐标1.1有向线段1.2直线上的点的直角坐标1.3几个基本公式1.4平面上的点的直角坐标1.5射影的基本原理1.6几个基本公式二曲线与议程2.1曲线的直解坐标方程的定义2.2已各曲线，求它的方程2.3已知曲线的方程，描绘曲线2.4曲线的交点三直线3.1直线的倾斜角和斜率3.2直线的方程Y=kx+b3.3直线到点的有向距离3.4二元一次不等式表示的平面区域3.5两条直线的相关位置3.6二元二方程表示两条直线的条件3.7三条直线的相关位置3.8直线系高三数学公式3等比数列求和公式算法想了解无穷递减等比数列求和的算法，需要先介绍一下等比数列求和公式设一个等比数列的首项是a1,公比是q，数列前n项和是Sn，当公比不为1时Sn=a1+a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)将这个式子两边同时乘以公比q，得qSn=a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)+a1q^n两式相减，得(1-q)Sn=a1-a1q^n所以，当公比不为1时，等比数列的求和公式为Sn=[a1(1-q^n)]/(1-q)对于一个无穷递减数列，数列的公比小于1,当上式得n趋向于正无穷大时，分子括号中的值趋近于1，取极限即得无穷递减数列求和公式S=a/(1-q)高三数学公式4π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
初中数学“方程与不等式”学习研究与教学策略
初中数学“方程与不等式”学习研究与教学策略“方程与不等式”是初中数学教学中的重要内容，相等关系和不等关系都是现实生活中的重要的数量关系，具有极其广泛的应用。
从数学学科看，方程是代数学的核心内容，正是对于方程的研究推动了整个代数学的发展。
一、“方程与不等式”的主要内容及其地位作用（一）主要内容等式的基本性质和不等式的基本性质是解方程（组）和解不等式（组）的依据。
每一个知识都是从有关概念学习开始，到方程（组）或不等式（组）的解法及方程（组）或一元一次不等式的应用。
（二）地位作用方程和不等式的应用十分广泛。
一元一次方程是最简单的代数方程，也是学习其他方程和方程组的基础。
解二元一次方程组就是通过消元转化为一元一次方程来求解，一元二次方程是通过降次转化为一元一次方程。
学习一元一次不等式的概念和解法时，都可与一元一次方程的有关内容相类比，可使一元一次方程、一元一次不等式的教学相辅相成，并使一元一次不等式的教学变得较为容易。
列方程解应用题是初中数学教学中的重要内容，也是学生学习中困难较多的内容。
之所以重要，是因为通过列方程解应用题的教学可以培养学生分析问题和解决问题的能力。
而由于应用题可以千变万化，往往不能套用一些现成的模式，需要具备较强的审题能力、分析问题的能力、熟练的解方程的能力，以及对求出的根正确判断取舍的能力，所以学生学习这部分内容时有很多困难。
（三）重点、难点教学重点：1. 等式的基本性质；不等式的基本性质；2. 方程（组）的解法和列方程（组）解应用题；3. 不等式的解法和列一元一次不等式解应用题。
教学难点：1. 列方程（组）解应用题；2. 列一元一次不等式解应用题。
熟练的解方程关键是正确了解方程的有关概念，正确运用等式的基本性质。
正确列出方程关键在于正确分析应用题中的已知数和未知数以及它们之间的关系，能够找到表示应用题全部含义的相等关系。
二、教学策略（一）课标要求1.模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。
上海高一数学全部知识点
上海高一数学全部知识点高一数学是学生在中学阶段的关键时期，也是学习数学的重要阶段。
在这个阶段，学生需要掌握一系列的数学知识，作为建立后续学习的基础。
本文将对上海高一数学的全部知识点进行详细介绍。
1. 数与式1.1 实数的概念和性质1.2 实数间的运算1.3 包含根式的运算1.4 分数的计算与运用2. 函数与方程2.1 函数与映射2.2 一次函数2.3 二次函数2.4 指数函数与对数函数2.5 幂函数与根函数2.6 三角函数2.7 图像的平移、翻折与旋转2.8 方程与不等式2.9 解方程与解不等式3. 三角函数3.1 弧度与角度的转换3.2 三角函数的定义与性质3.3 三角函数的图像与性质3.4 三角函数的加减关系3.5 三角函数的恒等变换3.6 三角函数的解题应用4. 平面向量4.1 向量的概念与性质4.2 向量的表示与运算4.3 向量的数量积4.4 向量的坐标表示4.5 平面向量的运用5. 解析几何5.1 坐标系与坐标变换5.2 直线与圆的方程5.3 直线与圆的相交关系5.4 二次曲线的方程5.5 解析几何的应用问题6. 概率与统计6.1 随机事件与样本空间6.2 事件的概率6.3 几何概型与组合概型6.4 随机变量与概率分布6.5 统计图与统计量6.6 参数估计与假设检验7. 导数与微分7.1 函数的极限与连续性7.2 导数的概念与性质7.3 导数的计算与应用7.4 函数的微分与局部线性化8. 积分与应用8.1 不定积分与定积分8.2 积分的计算与应用8.3 定积分的几何应用以上是上海高一数学的全部知识点。
掌握这些知识，学生可以打下坚实的数学基础，为进一步学习和应用数学奠定基础。
在学习过程中，需要不断进行练习与巩固，加强对每个知识点的理解与掌握，同时注重数学思维的培养与发展。
希望广大高一学生能够克服困难，善于思考，努力提高数学水平，为将来的学习和发展打下良好的基础。
最新届中考数学方程(组)与不等式(组)复习知识点总结及经典考题选编
中考数学方程(组)与不等式（组）复习知识点总结一、方程【知识梳理】1、知识结构方程分式方程的应用分式方程的解法分式方程的概念分式方程的关系根的判别式，根与系数一元二次方程的解法念一元二次方程的有关概一元二次方程二元一次方程组的应用二元一次方程组的解法二元一次方程组一元一次方程的应用一元一次方程的解法一元一次方程整式方程2、知识扫描(1)只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元一次方程。
(2)含有2个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1次，这样的方程叫二元一次方程.(3)含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.(4)二元一次方程组的解法有法和法.(5)只含有1 个未知数，并且未知数的最高次数是2且系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程，其一般形式为)0(02a cbx ax。
(6)解一元二次方程的方法有：①直接开平方法；②配方法；③公式法；④因式分解法例：（1）042x（2）0342x x（3）4722x x （4）0232x x(7)一元二次方程的根的判别式：ac b42叫做一元二次方程的根的判别式。
对于一元二次方程)0(02a cbx ax当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根；反之也成立。
(8)一元二次方程的根与系数的关系：如果)0(02acbx ax的两个根是21,x x 那么ab x x 21，ac x x 21(9)一元二次方程)0(02a cbx ax的求根公式：)04(2422ac baacb bx(10)分母中含有未知数的方程叫分式方程.(11)解分式方程的基本思想是将分式方程通过去分母转化为整式方程.◆解分式方程的步骤◆1、去分母，化分式方程为整式方程；◆2、解这个整式方程；◆3、验根。
注意：(1)解分式方程的基本思想是“转化”，即把分式方程化为我们熟悉的整式方程，转化的途径是“去分母”，即方程两边都乘以最简公分母．(2)因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程必须检验，检验是解分式方程必要的步骤．二、不等式【知识梳理】1、知识结构解法性质概念不等式2、知识扫描(1) 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为 0 的不等式，叫做一元一次不等式。
高中数学第二章等式与不等式2.1.1等式的性质与方程的解集新人教B新人教B高一第一册数学教案
2．1.1 等式的性质与方程的解集考点学习目标核心素养等式的性质掌握等式的性质，会用十字相乘法分解因式数学运算会利用等式的性质解一元一次方程，数学运算方程的解集会用因式分解法解一元二次方程问题导学预习教材P43－P46的内容，思考以下问题：1．等式的性质有哪些？2．恒等式的概念是什么？3．十字相乘法的内容是什么？4．方程的解集的概念是什么？1．等式的性质(1)等式的两边同时加上(减去)同一个数或代数式，等式仍成立；(2)等式的两边同时乘以(除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．[注意] 等式性质成立的条件，特别是性质(2)中的“不为零”．2．恒等式一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．3．方程的解集一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ＝b ，则a －c ＝b －c .( )(2)若a ＝b ，则a c ＝bc .( )(3)若a c ＝bc，则a ＝b .( )(4)x 3＋1＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)．( ) (5)x 2＋5x ＋6＝(x ＋2)(x ＋3)．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√下列各式由左边到右边的变形为因式分解的是( ) A ．a 2－b 2＋1＝(a ＋b )(a －b )＋1 B ．m 2－4m ＋4＝(m －2)2C ．(x ＋3)(x －3)＝x 2－9D ．t 2＋3t －16＝(t ＋4)(t －4)＋3t 答案：B已知x 2＋kxy ＋64y 2是一个完全式，则k 的值是( ) A ．8 B ．±8 C ．16 D ．±16答案：D方程2x ＋13－3x ＋42＝12的解集为________．解析：由2x ＋13－3x ＋42＝12，得2(2x ＋1)－3(3x ＋4)＝3，即－5x －10＝3，所以x ＝－135.所以方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－135.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－135方程x 2＋2x －15＝0的解集为________． 解析：x 2＋2x －15＝(x －3)(x ＋5)＝0， 所以x ＝3或x ＝－5.所以方程的解集为{3，－5}． 答案：{3，－5}利用十字相乘法分解单变量多项式角度一 x 2＋(p ＋q )x ＋pq 型式子的因式分解分解因式： (1)x 2－3x ＋2； (2)x 2＋4x －12.【解】 (1)如图，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图中的两个x 用1来表示(如图)．(2)由图，得所以x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6).x 2＋(p ＋q )x ＋pq 此类二次三项式的特点是：(1)二次项系数是1； (2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．其分解因式为：x 2＋(p ＋q )x ＋pq ＝(x ＋p )(x ＋q )． 角度二 ax 2＋bx ＋c 型式子的因式分解分解因式： (1)6x 2＋5x ＋1； (2)6x 2＋11x －7； (3)42x 2－33x ＋6； (4)2x 4－5x 2＋3. 【解】 (1)由图，得所以6x 2＋5x ＋1＝(2x ＋1)(3x ＋1)． (2)由图，得所以6x 2＋11x －7＝(2x －1)(3x ＋7)． (3)由图，得所以42x 2－33x ＋6＝(6x －3)(7x －2)． (4)由图，得所以2x 4－5x 2＋3＝(x 2－1)(2x2－3)＝2(x ＋1)(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋62⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －62.对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1×a2，常数项c 分解成c1×c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c 的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上图中上一行，a2，c2位于下一行．把下列各式分解因式：(1)x2－3x＋2＝________；(2)x2＋37x＋36＝________；(3)(a－b)2＋11(a－b)＋28＝________；(4)4m2－12m＋9＝________.解析：(1)x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．(2)x2＋37x＋36＝(x＋1)(x＋36)．(3)(a－b)2＋11(a－b)＋28＝[(a－b)＋4][(a－b)＋7]＝(a－b＋4)(a－b＋7)．(4)4m2－12m＋9＝(2m－3)2.答案：(1)(x－1)(x－2)(2)(x＋1)(x＋36)(3)(a－b＋4)(a－b＋7)(4)(2m－3)2利用十字相乘法分解双变量多项式角度一x2＋(p＋q)xy＋pqy2型式子的因式分解把下列各式因式分解：(1)a2－2ab－8b2；(2)x＋5xy－6y(x>0，y>0)；(3)(x＋y)2－z(x＋y)－6z2；(4)m4＋m2n2－6n4.【解】(1)(a＋2b)(a－4b)；(2)(x＋6y)(x－y)；(3)(x＋y＋2z)(x＋y－3z)；(4)(m＋2n)(m－2n)(m2＋3n2)．x2＋(p＋q)xy＋pqy2这类二次齐次式的特点是：(1)x2的系数为1；(2)y2的系数为两个数的积(pq)；(3)xy的系数为这两个数之和(p＋q)．x2＋(p＋q)xy＋pqy2＝x2＋pxy＋qxy＋pqy2＝x(x＋py)＋qy(x ＋py)＝(x＋py)(x＋qy)．角度二ax2＋bxy＋cy2型式子的因式分解把下列各式因式分解：(1)6m2－5mn－6n2；(2)20x2＋7xy－6y2；(3)2x4＋x2y2－3y4；(4)6(x＋y)＋7z（x＋y）＋2z(x>0，y>0，z>0)．【解】 (1)(3m ＋2n )(2m －3n )． (2)(4x ＋3y )(5x －2y )． (3)(x ＋y )(x －y )(2x 2＋3y 2)．(4)(3x ＋y ＋2z )(2x ＋y ＋z )．对ax 2＋bxy ＋cy 2因式分解时，若将y 2也视为常数，则与ax 2＋bx ＋c 的分解方法是一致的．1．分解下列各因式：(1)x 2－xy －2y 2－2x ＋7y －3； (2)ab －2a －b ＋2.解：(1)(x －2y )(x ＋y )－2x ＋7y －3＝(x －2y ＋1)·(x ＋y －3)；(2)(b －2)(a －1)．2．分解因式：x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2＋m .解：x 2＋(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)＝(x ＋m )(x ＋m ＋1)． 一元一次方程的解集用适当的方法求下列方程的解集： (1)x0.7－0.17－0.2x0.03＝1；(2)x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －12（x －1）＝2（x －1）3.【解】 (1)原方程可化为107x －1003(0.17－0.2x )＝1，即107x －17－20x 3＝1，去分母，得30x －7(17－20x )＝21， 去括号，得30x －119＋140x ＝21， 移项，得30x ＋140x ＝21＋119， 合并同类项，得170x ＝140， 系数化为1，得x ＝1417.所以该方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1417.(2)去小括号，得x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x ＋12＝2x －23，去括号，得x －12x ＋14x －14＝2x －23，去分母，得12x －6x ＋3x －3＝8x －8， 移项，得12x －6x ＋3x －8x ＝－8＋3， 合并同类项，得x ＝－5. 所以该方程的解集为{－5}．解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到，要根据方程的形式灵活安排求解步骤．(1)在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数．注意根据分数的基本性质，分子、分母必须同时扩大同样的倍数．(2)当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数及符号．1．求下列方程的解集： (1)4－3(10－y )＝5y ； (2)2x －13＝2x ＋16－1.解：(1)去括号，得4－30＋3y ＝5y .移项，得3y －5y ＝30－4. 合并同类项，得－2y ＝26.系数化为1，得y ＝－13. 所以该方程的解集为{－13}．(2)去分母，得2(2x －1)＝(2x ＋1)－6. 去括号，得4x －2＝2x ＋1－6. 移项，得4x －2x ＝1－6＋2. 合并同类项，得2x ＝－3. 系数化为1，得x ＝－32.所以该方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－32.2．如果方程x －43－8＝－x ＋22的解集与方程4x －(3a ＋1)＝6x＋2a －1的解集相同，求式子a －1a的值．解：解方程x －43－8＝－x ＋22，去分母，得2(x －4)－48＝－3(x ＋2)， 去括号，得2x －8－48＝－3x －6， 移项、合并同类项，得5x ＝50，系数化为1，得x ＝10.把x ＝10代入方程4x －(3a ＋1)＝6x ＋2a －1， 得4×10－(3a ＋1)＝6×10＋2a －1，解得a ＝－4. 当a ＝－4时，a －1a ＝－4－1－4＝－154.因式分解法解一元二次方程用因式分解法求下列方程的解集． (1)6x (x ＋1)＝5(x ＋1)； (2)(2x －1)2－(x ＋1)2＝0； (3)(x ＋3)(x ＋1)＝6x ＋2.【解】 (1)分解因式，得(6x －5)(x ＋1)＝0， 所以6x －5＝0或x ＋1＝0，所以x 1＝56，x 2＝－1.所以方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫56，－1.(2)分解因式，得[(2x －1)＋(x ＋1)][(2x －1)－(x ＋1)]＝0， 所以3x (x －2)＝0，所以x 1＝0，x 2＝2. 所以方程的解集为{0，2}．(3)整理，得x 2－2x ＋1＝0.即(x －1)2＝0，所以x 1＝x 2＝1. 所以方程的解集为{1}．用因式分解法解一元二次方程的步骤(1)将方程右边化为0；(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积；(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．[提醒] ①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应当移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根；②对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式．用因式分解法求下列方程的解集：(1)x ⎝⎛⎭⎪⎫x －12＝x ； (2)(x －3)2＋2x －6＝0；(3)9(2x ＋3)2－4(2x －5)2＝0.解：(1)x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－1＝0， 即x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝0， 所以x 1＝0，x 2＝32， 所以该方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，32. (2)(x －3)2＋2(x －3)＝0，(x －3)(x －3＋2)＝0，所以x －3＝0或x －1＝0，所以x 1＝3，x 2＝1，所以该方程的解集为{3，1}．(3)[3(2x ＋3)＋2(2x －5)][3(2x ＋3)－2(2x －5)]＝0， 所以(10x －1)(2x ＋19)＝0，所以10x －1＝0或2x ＋19＝0，所以x 1＝110，x 2＝－192.所以该方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫110，－192.1．分解因式x 3－x ，结果为( )A ．x (x 2－1)B ．x (x －1)2C ．x (x ＋1)2D ．x (x ＋1)(x －1)解析：选D.x 3－x ＝x (x 2－1)＝x (x ＋1)(x －1)．2．已知a ＋b ＝3，ab ＝2，计算：a 2b ＋ab 2等于() A ．5 B ．6C ．9D ．1解析：选B.a 2b ＋ab 2＝ab (a ＋b )＝2×3＝6.3．分解因式a 2＋8ab －33b 2得( )A ．(a ＋11)(a －3)B ．(a ＋11b )(a －3b )C ．(a －11b )(a －3b )D ．(a －11b )(a ＋3b )解析：选B.a 2＋8ab －33b 2＝(a －3b )(a ＋11b )．4．方程3x (x －2)＝2－x 的解集为________．解析：因为3x (x －2)＝2－x ，所以3x (x －2)－(2－x )＝0，即3x (x －2)＋(x －2)＝0，所以(x －2)(3x ＋1)＝0，所以x ＝2或x ＝－13， 所以方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，－13. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，－13 5．把下列各式分解因式：(1)x 2＋15x ＋56；(2)6x 2＋7x －3；(3)x 2－6xy －7y 2；(4)8x 2＋26xy ＋15y 2.解：(1)x 2＋15x ＋56＝(x ＋7)(x ＋8)；(2)6x 2＋7x －3＝(2x ＋3)(3x －1)；(3)x 2－6xy －7y 2＝(x －7y )(x ＋y )；(4)8x 2＋26xy ＋15y 2＝(2x ＋5y )(4x ＋3y )．[A 基础达标]1．多项式2x 2－xy －15y 2的一个因式为( )A ．2x －5yB ．x －3yC ．x ＋3yD ．x －5y 解析：选B.2x 2－xy －15y 2＝(x －3y )(2x ＋5y )．2．(a ＋b )2＋8(a ＋b )－20分解因式得( )A ．(a ＋b ＋10)(a ＋b －2)B ．(a ＋b ＋5)(a ＋b －4)C ．(a ＋b ＋2)(a ＋b －10)D ．(a ＋b ＋4)(a ＋b －5)解析：选A.(a ＋b )2＋8(a ＋b )－20＝[(a ＋b )－2][(a ＋b )＋10]＝(a ＋b －2)(a ＋b ＋10)．3．若多项式x 2－3x ＋a 可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值是( )A ．a ＝10，b ＝2B ．a ＝10，b ＝－2C ．a ＝－10，b ＝－2D ．a ＝－10，b ＝2解析：选C.因为(x －5)(x －b )＝x 2－(5＋b )x ＋5b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－（5＋b ）＝－35b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2a ＝－10. 4．方程2x －(x ＋10)＝5x ＋2(x ＋1)的解集为( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫43B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43 C ．{－2} D ．{2}解析：选C.因为2x －(x ＋10)＝5x ＋2(x ＋1)，所以2x －x －10＝5x ＋2x ＋2，即－6x ＝12，所以x ＝－2.5．下列说法正确的是( )A ．解方程3x (x ＋2)＝5(x ＋2)时，可以在方程两边同时除以(x ＋2)，得3x ＝5，故x ＝53B ．解方程(x ＋2)(x ＋3)＝3×4时，对比方程两边知x ＋2＝3，x ＋3＝4，故x ＝1C ．解方程(3y ＋2)2＝4(y －3)2时，只要将两边开平方，方程就变形为3y ＋2＝2(y －3)，从而解得y ＝－8D ．若一元二次方程的常数为0，则0必为它的一个根答案：D6．若x 2＋mx －10＝(x ＋a )(x ＋b )，其中a ，b 为整数，则m 取值的集合为________．解析：因为x 2＋mx －10＝(x ＋a )(x ＋b )＝x 2＋(a ＋b )x ＋ab ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝a ＋b ab ＝－10. 又因为a ，b 为整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－10或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝5， 所以m ＝±9或±3，所以m 取值的集合为{－9，－3，3，9}．答案：{－9，－3，3，9}7．已知y ＝1是方程2－13(m －y )＝2y 的解，则关于x 的方程m (x －3)－2＝m (2x －5)的解集为________．解析：因为y ＝1是方程2－13(m －y )＝2y 的解，所以2－13(m －1)＝2，即m ＝1.所以方程m (x －3)－2＝m (2x －5)⇒(x －3)－2＝2x －5， 解得x ＝0.所以方程的解集为{0}．答案：{0}8．若实数a ，b 满足(4a ＋4b )(4a ＋4b －2)－8＝0，则a ＋b ＝________.解析：设a ＋b ＝x ，则原方程可化为4x (4x －2)－8＝0，整理，得(2x ＋1)(x －1)＝0，解得x 1＝－12，x 2＝1，则a ＋b ＝－12或1. 答案：－12或1 9．把下列各式分解因式：(1)6x 2＋7x －3；(2)12x 2＋25x ＋12；(3)42x 2－5x －2；(4)72x 2＋7x －2.解：(1)(2x ＋3)(3x －1)；(2)(3x ＋4)(4x ＋3)；(3)(6x ＋1)(7x －2)；(4)(9x ＋2)(8x －1)．10．把下列各式分解因式：(1)x 2－y 2－x ＋3y －2；(2)6xy ＋4x ＋3y ＋2；(3)x 2－(a ＋b )x ＋ab ；(4)(x ＋y )2－(3＋a )|x ＋y |＋3a .解：(1)(x ＋y )(x －y )－x ＋3y －2＝(x ＋y －2)(x －y ＋1)；(2)(2x ＋1)(3y ＋2)；(3)(x －a )(x －b )；(4)(|x ＋y |－3)(|x ＋y |－a )．[B 能力提升]11．规定一种运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 21 5＝8，运算得5x －2＝8，解得x ＝2.按照这种运算的规定，那么⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2x 2 x ＝5时，x 的值为________．解析：由题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2x 2 x ＝x 2－4x ＝5，即x 2－4x －5＝0，解得x ＝5或x ＝－1.答案：5或－112．小奇设计了一个魔术盒，当任意实数对(a ，b )进入其中时，会得到一个新的实数a 2－3b －5，例如把(1，－2)放入其中，就会得到12－3×(－2)－5＝2.现将实数对(m ，3m )放入其中，得到实数5，则m ＝________.解析：因为将实数对(m ，3m )放入其中，得到实数5， 所以m 2－9m －5＝5，解得m ＝10或－1.答案：10或－113．用因式分解法求下列方程的解集：(1)x 2－10x ＋9＝0；(2)2(x －3)＝3x (x －3)；(3)4(3x －2)(x ＋1)＝3x ＋3；(4)2(2x －3)2－3(2x －3)＝0；(5)2x 2－16＝x 2＋5x ＋8；(6)(3x －1)2＋3(3x －1)＋2＝0.解：(1)(x －1)(x －9)＝0，所以x 1＝1，x 2＝9；所以该方程的解集为{1，9}．(2)整理，得(x －3)(2－3x )＝0，所以x －3＝0或2－3x ＝0，所以x 1＝3，x 2＝23； 所以该方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，23. (3)4(3x －2)(x ＋1)－3(x ＋1)＝0，所以(x ＋1)(12x －11)＝0，所以x 1＝－1，x 2＝1112； 所以该方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1112. (4)(2x －3)[2(2x －3)－3]＝0，(2x －3)(4x －9)＝0，所以x 1＝32，x 2＝94； 所以该方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，94. (5)2x 2－x 2－5x －16－8＝0， x 2－5x －24＝0，(x －8)(x ＋3)＝0，所以x 1＝8，x 2＝－3；所以该方程的解集为{8，－3}．(6)[(3x －1)＋1][(3x －1)＋2]＝0，3x (3x ＋1)＝0，所以x 1＝0，x 2＝－13； 所以该方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－13. 14．阅读材料，解答问题．为解方程(x 2－1)2－3(x 2－1)＝0，我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1＝y ，则(x 2－1)2＝y 2，原方程化为y2－3y＝0，解得y1＝0，y2＝3.当y＝0时，x2－1＝0，所以x2＝1，x＝±1；当y＝3时，x2－1＝3，所以x2＝4，x＝±2.所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.[问题]解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0.解：设x2＋3＝y，原方程可化为y2－4y＝0，即y(y－4)＝0，所以y1＝0，y2＝4.当y＝0时，x2＋3＝0，此时方程无解；当y＝4时，x2＋3＝4，所以x＝±1，所以x1＝1，x2＝－1.所以该方程的解集为{－1，1}．[C 拓展探究]15．已知方程(2 018x)2－2 017×2 019x－1＝0的较大根为m，方程x2＋2 018x－2 019＝0的较小根为n.求m－n的值．解：将方程(2 018x)2－2 017×2 019x－1＝0化为(2 0182x＋1)(x－1)＝0，所以x1＝－12 0182，x2＝1，所以m＝1.同理，由方程x2＋2 018x－2 019＝0可得(x＋2 019)(x－1)＝0，所以x1＝－2 019，x2＝1，所以n＝－2 019，所以m－n＝2 020.。
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初三数学总复习 2008.3.6——数与式、方程(组)、不等式(组)数与式、方程与不等式这部分内容是初中数学的基础知识，是中考直接得分的手段，是完成其它题目的基础，是提高成绩的契机. 在2006、2007两年的北京市中考题中直接考察这部分知识的题目分别占了48分和51分，约占全卷分数的40%. 因此，复习时要充分重视. 一、复习建议1、在课标及考试说明的要求下全面复习，控制难度，强调落实.2、对一些基本问题强调解题的程序.3、注意对数学思想方法的复习.数学方法：待定系数法、配方法、换元法. 数学思想：数形结合、分类讨论.二、具体知识点注：中考计算器不允许带入考场. (一) 数与式 1、实数⑴ 有理数基本要求：理解有理数的意义.略高要求：会比较有理数的大小.例1、(总复习P3例2) a 是有理数，下列说法对吗？若不对，应附加什么条件？①a -是负数；②a 2是偶数；③a 是正数；④32>a a ；⑤a a >+3；⑥44>+a例2、(总复习P4例5)比较下列实数的大小：⑴2819-与149-；⑵53与7⑵ 无理数基本要求：了解无理数的概念.略高要求：会用有理数估计一个无理数的大致范围.例3、(总复习P3例1) 在14.3，17-，0)23(-，2π，︒-30cos ，︒45tan ，722，0.8080080008…（数字8后面的“0”的个数逐次多一个），15-，4中，哪些是有理数？哪些是无理数？例4、(2007山东烟台) 如图，在数轴上点A 和点B 之间表示整数的点有 个．例5、(总复习P7第6题) a ，则下列结论正确的是（ ） A. 4.5<a<5.0 B. 5.0<a<5.5 C. 5.5<a<6.0 D. 6.0<a<6.5ba⑶ 平方根及算术平方根基本要求：了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根.略高要求：会用平方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根. ⑷ 立方根基本要求：了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根.略高要求：会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求立方根. 例6、(2007山东泰安课改) 下列运算正确的是（ ）A．2=±B ．2142-⎛⎫=- ⎪⎝⎭C2=- D ．|2|2--=例7、(学、探、诊P3第8题) -8的平方根之和为 . ⑸ 实数基本要求：了解实数的概念.略高要求：会进行简单的实数运算. ⑹ 数轴基本要求：能用数轴上的点表示有理数；知道实数与数轴上的点的一一对应关系.略高要求：会借助数轴比较有理数的大小.例8、(总复习P5例7) 实数a 、b 在数轴上分别对应的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）Ａ. b a b a b a ->>>+ Ｂ. b a b b a a ->>+> Ｃ. b a b a b a +>>>- Ｄ. b b a a b a >+>>-⑺ 相反数基本要求：会用有理数表示具有相反意义的量，借助数轴理解相反数的意义，会求有理数、无理数的相反数.略高要求：掌握相反数的性质.例9、(2007内蒙赤峰课改的相反数是（ ）A ．5B ．5-C ．5±D ．25例10、(总复习P7第11题) 已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，那么2222--++a b b a ba= .⑻ 绝对值基本要求：借助数轴理解绝对值的意义，会求有理数、无理数的绝对值.较高要求：会利用绝对值的知识解决化简问题和非负数问题.例11、(2007北京) 若22(1)0m n ++-=，则2m n +的值为（ ）A ．4-B ．1-C ．0D ．4例12、已知y x 、是实数，且满足096432=+-++y y x ，若y x a x y =-3，则实数a 的值是_______________.例13、(2007湖南长沙课改) 如图，点A B ，在数轴上对应的实数分别为m n ，，则A B ，间的距离是 ．（用含m n ，的式子表示） 答案：n m -*例14、(2007广东茂名课改) 若实数a b ，满足0a b a b+=，则_____=ab ab．答案：-1⑼ 有理数运算基本要求：理解乘方的意义.略高要求：掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主．．．．．）. 较高要求：能运用有理数及其运算解决简单的实际问题. 例15、(2006北京课标卷) 计算：10)21()2006(312-+---+例16、(2007北京)11(π1)2cos 454-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭°例17、(2007福建龙岩)tan 601)1+-+-例18、(2007北京) 在五环图案内，分别填写五个数a b c d e ，，，，，其中a b ，，)d e ，，是两个连续奇数()d e <，且满足a b c ++=．请你在0到20之间选择另一组符号条件的例19、(2007湖南怀化)2008年8月第29届奥运会将在北京开幕，5个城市的国标标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么北京时间2008年8月8日20时应是 （ ）答案：BＡ．伦敦时间2008年8月8日11时 Ｂ．巴黎时间2008年8月8日13时 Ｃ．纽约时间2008年8月8日5时Ｄ．汉城时间2008年8月8日19时⑽ 有理数的运算律基本要求：理解有理数的运算律.北京 汉城巴黎伦敦 纽约略高要求：能运用有理数的运算律简化运算. ⑾ 近似数、有效数字和科学记数法基本要求：了解近似数和有效数字的概念；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）.略高要求：在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算；能按问题的要求对结果取近似值；能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断. 例20、(2007北京) 国家游泳中心——“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积约为260 000平方米，将260 000用科学记数法表示应为（ ）A ．60.2610⨯B ．42610⨯C ．62.610⨯D ．52.610⨯例21、(2007湖南怀化) 怀化市2006年的国民生产总值约为333.9亿元，预计2007年比上一年增长10%，用科学计数法表示2007年怀化市的国民生产总值应是（结果保留3个有效数字）（ ） 答案：AＡ. 103.6710⨯元Ｂ. 103.67310⨯元 Ｃ. 113.6710⨯元 Ｄ. 83.6710⨯元例22、(2007山东东营) 2007年4月，全国铁路进行了第六次大提速，提速后的线路时速达200千米．共改造约6000千米的提速线路，总投资约296亿元人民币，那么，平均每千米提速线路的投资约 亿元人民币（用科学记数法，保留两个有效数字）．答案：24.910-⨯2、整式和分式⑴ 代数式基本要求：理解用字母表示数的意义.略高要求：会列代数式表示简单的数量关系；能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义. 例23、(学、探、诊P8第9题) 写出代数式4a 可表示的实际意义是 . 例24、(2007四川眉山)某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费a 元，之后的每一分钟收费b 元．如果某人打该长途电话被收费8元钱，则此人打长途电话的时间是( )． A ．ba -8分钟 B ．ba +8分钟 C ．bba +-8分钟 D ．bba --8分钟⑵ 代数式的值基本要求：了解代数式的值的概念.略高要求：会求代数式的值；能根据代数式的值或特征推断代数式反映的规律. 较高要求：能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算；能通过代数式的适当变形求代数式的值. 例25、(总复习例11) 按图摆放餐桌和椅子，一张餐桌可以坐6人，两张餐桌可以坐10人，三张餐桌可以坐14人，…，按此规律推断，n 张餐桌可坐的人数为 ．例26、(2007浙江临安) 已知：2222233+=⨯，2333388+=⨯，244441515+=⨯，255552424+=⨯，…，若21010+=⨯b b aa符合前面式子的规律，则a + b = . 109例27、(2007广西河池非课改) 填在下面三个田字格内的数有相同的规律，根据此规律，C = ． 答案：C= B(5+A) =108例28、(2006北京课标卷) 用“☆”定义新运算： 对于任意实数a 、b ， 都有a ☆b =b 2＋1. 例如7☆4=42＋1=17，那么5☆3= 10 ；当m 为实数时，m ☆(m ☆2)= 26 . 例29、(2007广东梅州)将4个数a b c d ，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a b cd，定义a b cdad bc =-，上述记号就叫做2阶行列式．若1111x x xx +--+6=，则x =______．答案：⑶ 整式基本要求：了解整式的概念，理解单项式的系数与次数、多项式的次数、项与项数的概念，明确它们之间的关系.例30、⑴ (学、探、诊P6第9题) 单项式27-x yπ的系数是 ，次数是 .⑵ 多项式4322312512+-+-a b a b a b a 是 次 项式，它的项是 ．⑷ 整式的加、减运算基本要求：理解整式加、减运算的法则.略高要求：会进行简单的整式加、减运算.较高要求：能合理运用整式的概念及其加减运算对多项式进行变形，进一步解决有关问题. 例31、(学、探、诊P7第18题) 小明和小颖一起到文具店买笔记本，看到货架上摆着的笔记本的价格从低到高依次相差0.5元.⑴小明同学买了3本价格相邻的笔记本，3本笔记本价格最低的是a 元钱一本，问小明需要付多少钱？⑵小颖也想买3本价格相邻的笔记本，且3本笔记本价格最高的一本是a 元钱，问小颖所付的钱比小明的少多少元？⑸ 幂的运算基本要求：了解整数指数幂的意义和基本性质.略高要求：能合理运用幂的性质解决简单问题. 例32、(北京总复习P18例4) 计算：⑴2)5(-- ⑵25-- ⑶32.0-例33、(总复习P11例1) 下列运算中，计算结果正确的个数是（ ）CBA 55675320531⑴ 1234a a a =⋅ ⑵ 236a a a =÷ ⑶ 1055a a a =+ ⑷ 923)(a a = ⑸ 422)(ab ab =-⑹ 整式的乘法基本要求：理解整式乘法的运算法则，会四个以内．．．．单项式的乘法运算、一个单项式与一个多项式的乘法运算、两个一次式．．．．．的乘法运算. 略高要求：会简单的整式乘法与加法的混合运算.较高要求：能灵活选用恰当的方法进行相应的代数式的变形. 例34、(总复习P11例3) 计算：⑴2335)3()41(21a b a b a -⋅-⋅；⑵22324)2(3)2(x xy x x x y x ⋅--⋅-例35、(总复习P11例4) 计算：)5)(1(2)13)(2(82-+-+--x x x x x 例36、(2007湖北荆门) 如图，阴影部分的面积是（ ）答案：AA.112xy B.132xy C. 6xy D. 3xy⑺ 平方差公式和完全平方公式基本要求：会推导平方差公式、完全平方公式，了解其几何背景. 略高要求：能运用平方差公式、完全平方公式进行简单计算.较高要求：能根据需要进行相应的代数式的变形.例37、(2007甘肃白银等7市) 从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）答案：DＡ.222()a b a b -=- Ｂ.222()2a b a ab b +=++ Ｃ.222()2a b a ab b -=-+ Ｄ.22()()a b a b a b -=+-例38、(总复习P11例4) 计算：22)2()1)(1(++-+--+b a b a b a ； ⑻ 因式分解基本要求：了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系.略高要求：会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过两次．．．．．．．．．．）进行因式分解（指数是正整数）. 较高要求：能运用因式分解的知识进行代数式的变形，解决有关问题. 例39、(总复习P12例5) 把下列各式分解因式：甲乙⑴)(8)(62a b a b a -+- ⑵4)(4)(2++-+y x y x ⑶222)4(16+-x x ⑷4412+-x⑼ 分式的概念基本要求：了解分式的概念，能确定分式有意义的条件.略高要求：能确定使分式的值为零的条件. 例40、(总复习P12例6)⑴当x 取何值时，分式6532+--x x x 无意义?⑵当x 取何值时，分式12922---x x x 有意义？值为零？⑽ 分式的性质基本要求：理解分式的基本性质，并能进行简单的变形.略高要求：能用分式的基本性质进行约分和通分.例41、(学、探、诊P8第3题) 下列等式中不成立的是（ ）A.22-=--x y x y x yB.222-+=--x xy yx y x yC.2=--xy y x xyx yD.22--=y x y x x yxy⑾ 分式的运算基本要求：理解分式的加、减、乘、除运算法则.略高要求：会进行简单的分式加、减、乘、除运算.较高要求：能灵活选用恰当方法解决与分式有关的问题. 例42、(2007四川泸州)先将式子2211(1)x xx-+÷化简，然后请你自选一个理想的x 值求出原式的值.例43、有关代数式的变形、求值问题.⑴(2006北京课标卷) 已知2x －3=0，求代数式x (x 2－x )＋x 2(5－x )－9的值.⑵(2007北京) 已知240x -=，求代数式22(1)()7x x x x x x +-+--的值. ⑶已知实数x 、y 满足x +y =3，xy =1. 求222()-+x y x y的值. 答案：57⑷(总复习P13例9) 已知4-=+y x ，12-=xy ，求1111+++++y x x y 的值.⑸(总复习P13例10) 已知321=+xx ，求441xx +的值.⑹已知：2268250+--+=a b a b ，求-b a ab的值. 答案：712⑺《学、探、诊》P5第7题，P6第17题，P8第5、6、7题，P9第13题.3、二次根式 ⑴ 二次根式及其性质基本要求：了解二次根式的概念，会确定二次根式有意义的条件.略高要求：会利用二次根式的性质进行化简；能根据二次根式的性质对代数式作简单变形，在特定条件下，确定字母的值.例44、(2007安徽芜湖) 函数3y x =-中自变量x 的取值范围是（ ）A ． x ≥1-B ． x ≠3C ． x ≥1-且x ≠3D ． 1x <-⑵ 二次根式的化简和运算基本要求：理解二次根式的加、减、乘、除运算法则.略高要求：会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（不要求分母有理化．．．．．．．．）. 例45、(总复习P18例3) 计算：⑴)125.037531()32213125.02(+-+-⑵19202)625()625()2332(+⋅-+-(二) 方程与不等式 1、方程 ⑴ 方程基本要求：知道方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.略高要求：能够根据具体问题中的数量关系，列出方程. ⑵ 方程的解基本要求：了解方程的解的概念.略高要求：会用观察、画图或计算器等手段估计方程的解.较高要求：能运用方程的解的概念解决有关问题. 例1、(总复习P25例6)⑴若x=2是关于x 的方程2x+3k -1=0的解，则k 的值是 .⑵已知关于x 的方程4x -m=2(x -2m) 与2(3x+4m)=3m+2(x -1)的解相同，求m 的值及相同的解.⑶当k 取什么整数时，关于x 的方程x 4kx 11633---=的解是正整数？⑶ 一元一次方程基本要求：了解一元一次方程的有关概念.略高要求：会根据具体问题列出一元一次方程.例2、(总复习P23例1) 已知方程m 1(m 2)x (m 1)7----=是关于x 的一元一次方程.⑴求m 的值；⑵写出这个一元一次方程.⑷ 一元一次方程的解法基本要求：理解一元一次方程解法中各个步骤的依据.略高要求：能熟练掌握一元一次方程的解法；会求含有字母系数（无需讨论．．．．）的一元一次方程的解. 较高要求：会列一元一次方程解决实际问题. 例3、(总复习P23例2) 解方程2x 12x 56x 71234-+--=-例4、(2007辽宁大连)星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩，从家出发2小时到达目的地，游玩3小时后按原路以原速返回，小强离家4小时40分钟后，妈妈驾车沿相同路线迎接小强，如图，是他们离家的路程y(千米)与时间x(时)的函数图象. 已知小强骑车的速度为15千米/时，妈妈驾车的速度为60千米/时. ⑴小强家与游玩地的距离是多少？ ⑵妈妈出发多长时间与小强相遇？例5、(2007海南中考调研)在“五一”黄金周期间，小明、小亮等同学随家长一同到热带海洋世界游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（图12），试根据图中的信息，解答下列问题⑴小明他们一共去了几个成人，几个学生？⑵请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由.答案：⑴设小明他们一共去了x 个成人，则去了学生(12-x)人，依题意，得爸爸，等一下，让我算一算，换一种方式买票是否可以省钱.票 价 成人:每张35元 学生:按成人票5折优惠 团体票(16人以 上,含16人):按 成人票6折优惠.大人门票是每张35元,学生门票是对折优惠. 我们一共12人,共需350元.)35x+0.5×35(12-x)=350 x=8答：小明他们一共去了8个成人，去了学生4人.⑵若按16个游客购买团体票，需付门票款为35×0.6×16=336(元)∵336＜350 ∴按16人的团体购票更省钱.⑸ 二元一次方程（组）基本要求：了解二元一次方程（组）的有关概念.略高要求：能根据具体问题列出二元一次方程（组）. ⑹ 二元一次方程组的解法基本要求：知道代入消元法、加减消元法的意义.略高要求：掌握代入消元法和加减消元法；能根据二元一次方程组的特征，选择适当的方法解二元一次方程组. 较高要求：会列二元一次方程组解决实际问题. 例6、(总复习P23例3) 解方程组例7、为了改善住房条件，小亮的父母考察了某小区的A 、B 两套楼房，A 套楼房在第3层楼，B 套楼房在第5层楼，B 套楼房的面积比A 套楼房的面积大24平方米，两套楼房的总房价相同，第3层楼和第5层楼每平方米的价格分别是平均价格的1.1倍和0.9倍.为了计算两套楼房的面积，小亮设A 套楼房的面积为x 平方米，B 套楼房的面积为y 平方米，根据以上信息得出了下列方程组，其中正确的是（ ）答案：D A.0.9 1.1,24x y y x =⎧⎨-=⎩ B. 1.10.9,24x y x y =⎧⎨-=⎩ C.0.9 1.1,24x y x y =⎧⎨-=⎩ D. 1.10.9,24x y y x =⎧⎨-=⎩⑺ 分式方程及其解法基本要求：了解分式方程的概念，理解解法中各个步骤的依据.略高要求：会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个．．．．．．．．．．．）；会对分式方程的解进行检验.较高要求：会列分式方程解决实际问题. 例8、(总复习P24例5) 解方程 例9、(2006北京课标卷) 解分式方程：21211=++-x x x例10、(2007湖北襄樊课改)某市教育局向一贫困山区县赠送3600个学生用的科学计算器以满足学生学习的需要．现用A 、B 两种不同的包装箱进行包装，单独用B 型包装箱比单独用A 型包装箱少用15个，已知每个B 型包装箱装计算器的个数是A型包装箱1.5倍.求A 、B 两种包装箱各能装计算器多少个？答案：设每个A 型包装箱能够装x 部计算器，则B 型包装箱能装x 5.1部计算器．155.136003600=-xx80=x经检验80=x是原方程的根. ∴1205.1=x答：A型包装箱能装80个计算器，B型包装箱能装120个计算器．⑻一元二次方程基本要求：了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程根的意义.略高要求：能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由已知方程的根求待定系数的值.⑼一元二次方程的解法基本要求：理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据.略高要求：会选择适当的方法解一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判断根的情况.较高要求：能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况；能由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式作简单的变形；会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理.例11、(总复习P24例4) 解方程例12、(07甘肃兰州) 阅读材料：为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1看作一个整体，然后设x2－1＝y，那么原方程可化为y2－5y＋4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2－1＝1，∴x2＝2，∴x＝±2；当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x＝±5，故原方程的解为x1＝2，x2＝2-，x3＝5，x4＝5-．解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；(2)请利用以上知识解方程x4－x2－6＝0．答案：(1)换元法(2) x1，x2＝例13、(2007福建龙岩)“便民”水泥代销点销售某种水泥，每吨进价为250元．如果每吨销售价定为290元时，平均每天可售出16吨．⑴若代销点采取降低促销的方式，试建立每吨的销售利润y（元）与每吨降低x（元）之间的函数关系式．⑵若每吨售价每降低5元，则平均每天能多售出4吨．问：每吨水泥的实际售价定为多少元时，每天的销售利润平均可达720元．答案：⑴29025040y x x=--=-⑵4(40)167205x x⎛⎫-+=⎪⎝⎭解得1210x x==2901028-=答：每吨水泥的实际售价应定为280元时，每天的销售利润平均可达720元．例14、(学、探、诊P17第15题，总复习P27例12) 增长率问题例15、(2006北京课标卷) 若关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m =0有实数根，则m 的取值范围是 .例16、(2007北京)若关于x 的一元二次方程220x x k +-=没有实数根，则k 的取值范围是 .例17、(总复习P26例8) 不解方程，判断关于x 的方程22x 2(x k )k 3--+=-根的情况. 例18、(2007湖北罗田一中) 设关于x 的方程09)2(2=+++a x a ax 有两个不相等的实数根1x 、2x ，且1x <<12x ，那么实数a 的取值范围是 . 0112<<-a 2、不等式⑴ 不等式（组）基本要求：能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义.略高要求：能根据具体问题中的数量关系列出不等式（组）.⑵ 不等式的性质基本要求：理解不等式的基本性质.略高要求：会利用不等式性质比较两个实数的大小.例19、(2007福建长泰一中)如果a ＞b ，且c 为实数，那么下列不等式一定成立的是（ ）A. ac ＞bcB. ac ＜bcC. ac 2＞bc 2D. ac 2≥bc 2 答案：D⑶ 解不等式（组）基本要求：了解一元一次不等式（组）的解的意义，会在数轴上表示（确定）其解集.略高要求：会解一元一次不等式和由两个．．．一元一次不等式组成的不等式组，并会根据条件求整数解.较高要求：能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式（组）解决简单问题. 例20、(总复习P31-32例2、例3、例4、例5) 解不等式（组），求整数解.例21、(2007福建长泰一中)若不等式组x 84x 1x m +<-⎧⎨>⎩的解集是x ＞3，则m 的取值范围是（ ） 答案：CA. m ＞3B. m ≥3C. m ≤3D. m ＜3例22、已知：A=222+-a a ，B=2，C=422+-a a ，其中1>a .⑴求证：A -B>0；⑵试比较A 、B 、C 的大小关系，并说明理由. 答案：A>C>B例23、(2007湖南长沙)某班到毕业时共结余经费1800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为纪念品．已知每件文化衫比每本相册贵9元，用200元恰好可以买到2件文化衫和5本相册．⑴求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元？⑵有几购买文化衫和相册的方案？哪种方案用于购买老师纪念品的资金更充足？。