集合-集合的概念(2)

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集合的基本概念

一、集合的概念1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合．集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ∉； 2．集合的性质：确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；二、集合的表示：表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；1．列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,} 2．描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．例如：大于3的所有整数表示为：{|3}x x ∈>Z方程2250x x --=的所有实数根表示为：{x ∈R |2250x x --=}具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．3．常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N ；正整数集，记作*N 或N +；整数集，记作Z ；有理数集，记作Q ；实数集，记作R ．三、集合之间的关系1．若集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B （或B A ⊂）； 2．简单性质：1）A ⊆A ；2）∅⊆A ；3）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；3．真子集关系：对于两个集合A 与B ，若A B ⊆且．A B ≠，则集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ） 4．相等关系：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且B A ⊆ ，那么集合A 与B 相等，记作A B =5． 0，{0}，∅，{}∅之间的区别与联系①0与{0}是不同的，0只是一个数字，而{0}则表示集合，这个集合中含有一个元素0，它们的关系是0{0}∈②∅与{0}是不同的，∅中没有任何元素，{0}则表示含有一个元素0的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（{}0∅）③∅与{}∅是不同的，∅中没有任何元素，{}∅则表示含有一个元素∅的集合，它们的关系是{}∅∈∅或{}∅⊆∅或{}∅∅ ④显然，0∉∅，0{}∉∅集合的概念及其关系6．子集个数问题设集合A 中元素个数为n ，则①子集的个数为2n ，②真子集的个数为21n -，③非空真子集的个数为22n - 一、交集、并集、补集概念1．由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集．记作A B （读作“A 交B ”），即{|,A B x x A =∈且}x B ∈① 数学符号表示：{|,A B x x A =∈且}x B ∈② Venn 图反映：2．由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集．并集{|}A B x x A x B =∈∈或．（读作“A 并B ”）① 数学符号表示： {|,A B x x A =∈或}x B ∈② Venn 图反映：3．补集的概念：全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究的问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作U A ，即{|,U A x x U =∈且}x A ∉①数学符号表示：{|,U A x x U =∈且}x A ∉②Venn 图反映：二、集合的运算性质B AB A B A B AB A B A B A A UA U 集合的基本运算（1）,,;A A A A A B B A =∅=∅=（2）,;A A A B BA ∅==（3）()();AB A B ⊆ （4）;A B A B A A B A B B ⊆⇔=⊆⇔=；（5）()()(),()()().U U U U U U A B A B A B A B ==三、容斥原理()()()()card A B card A card B card A B =+-．。

集合的概念和运算

集合的概念和运算集合是数学中重要的基本概念，它可以理解为元素的组合。

在数学中，元素可以是数字、字母、单词等等。

本文将介绍集合的概念、集合的表示方法以及集合的运算。

一、集合的概念集合是由元素构成的，通常用大写字母表示。

假设A是一个集合，x是A的元素，我们可以表示为x∈A，表示x属于A。

相反地，如果x不属于A，我们可以表示为x∉A。

集合可以有有限个或者无限个元素。

如果集合A中的元素个数有限，并且可以一一列举出来，我们称之为有限集。

如果集合A中的元素个数是无穷的，我们称之为无限集。

二、集合的表示方法1. 列举法：我们可以直接将集合中的元素一一列举出来。

例如，集合A = {1, 2, 3}表示A是一个包含元素1、2、3的集合。

2. 描述法：我们可以使用一个条件来描述集合中的元素。

例如，集合B = {x | x是自然数，且x < 5}表示B是一个包含小于5的自然数的集合。

三、集合的运算1. 交集：给定两个集合A和B，它们的交集（记作A∩B）是包含同时属于A和B的所有元素的新集合。

例如，A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B = {2, 3}。

2. 并集：给定两个集合A和B，它们的并集（记作A∪B）是包含属于A或者属于B的所有元素的新集合。

例如，A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∪B = {1, 2, 3, 4}。

3. 差集：给定两个集合A和B，它们的差集（记作A-B）是包含属于A但不属于B的所有元素的新集合。

例如，A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A-B = {1}。

4. 互斥集：给定两个集合A和B，如果它们的交集为空集，则称它们为互斥集。

例如，A = {1, 2}，B = {3, 4}，则A∩B = ∅。

5. 补集：给定一个普通集合U和它的一个子集合A，A相对于U的补集（记作A'或者A^c）是包含U中所有不属于A的元素的集合。

2集合的含义及其表示(二)

课题：2集合的含义及其表示（二）【学习目标】1、了解有限集、无限集、空集的概念及其特殊性，渗透抽象、概括思想；2、理解并掌握集合三种表示方法；熟练地实行集合表示方法之间的转换。

【课前导学】一、复习回顾：1、集合的概念描述：1）一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。

2）集合的元素具有______性、______性和______性．3）如果a是集合A的元素，记作________．4）集合的分类：有限集，无限集和空集2、常用数集的符号：自然数集______；正整数集______；整数集______；有理数集______；实数集______．二、思考题：若A={x|ax+1=0}中元素的个数为【思路分析】分参数a 是否等于0讨论三、问题情境观察下列对象能否构成集合（1）满足X－3＞2的全体实数（2）本班的全体男生（3）我国的四大发明（4）2008年北京奥运会中的球类项目（5）不等式2X+3 < 9的自然数解；（6）所有的直角三角形；如果能够，那么这些集合又如何来表示？【课堂活动】一、建构数学：1、列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{ }”内。

用这种方法表示集合，元素要用逗号隔开，但与元素的次序无关。

用列举法表示下列对象构成集合：（1）满足x－3＞2的全体实数（2）本班的全体男生（3）我国的四大发明（4）2008年北京奥运会中的球类项目（5）不等式2x+3 < 9的自然数解；（6）所有的直角三角形；【提醒】(1)如果两个集合所含元素完全相同（即A中的元素都是B中的元素，B中的元素也都是A中的元素），则称这两个集合相等。

（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素（3）集合{（1，2），（3，4）}与集合{1，2，3，4}不同2、描述法：将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{x|p(x)}的形式。

如：{x|x 为中国直辖市}，{x|x 为young 中的字母}。

2.2.集合—集合的概念—判断是否为同一集合2

2.2.集合的概念—“判断是否为同一集合”变式教学卷21.基本问题（本源性练习）单选1．下列选项中，表示同一集合的是A ．A={0，1}，B={（0，1）}B ．A={2，3}，B={3，2}C ．A={x|–1<x≤1，x ∈N}，B={1}D ．A=∅，{0}B x =2．下列说法正确的有(1)很小的实数可以构成集合; (2)集合2{|1}y y x =-与集合2{(,)|1}x y y x =-是同一个集合; (3) 3611,,,||,0.5242-这些数组成的集合有5个元素; (4)任何集合至少有两个子集. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个3．方程组251x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集不可以表示为（） A ．25(,)1x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭ B ．2(,)1x x y y ⎧⎫=⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎩⎪⎪⎩⎭C ．{}2,1D ．2,14．下列命题中正确的是（） ① 0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示.A ．只有①和④B ．只有②和③C ．只有②D ．只有②和④5．下列说法中正确的是（）A ．联合国所有常任理事国(共5个）组成一个集合B ．宜丰二中年龄较小的学生组成一个集合C ．{}1,2,3与{}2,1,3是不同的集合D ．由1,0,5,1,2,5组成的集合有六个元素 2. 变式提升（进阶练习）6．下列各组集合中，M 与P 表示同一集合的是（）A ．{}M =∅，{0}P =B ．{1,2}M =，(){}1,2P =C ．{}2()|,M x y y x ==，{}2|P y y x ==D ．{}21|M y y x ==+，{}21|P x x y ==+7．下列说法正确的是（）A ．{1，2}，{2，1}是两个集合B ．{(0,2)}中有两个元素C ．6|x Q N x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集D ．{|x Q ∈且220}x x +-=是空集8．下列集合中表示同一集合的是（）A ．{(3,2)}M =，{(2,3)}N =B ．{2,3}M =，{3,2}N =C ．{(,)1}M x y x y =+=∣，{1}N y x y =+=∣ D ．{2,3}M =，{(2,3)}N = 9．下列集合中表示同一集合的是（）A ．(){}3,2M =，(){}2,3N =B ．{}3,2M =，{}2,3N =C ．(){},1M x y x y =+=，{}1N y x y =+=D ．{}1,2M =，(){}1,2N =10．给出下列说法：①任意一个集合的正确表示方法是唯一的；②集合P ＝{x |0≤x ≤1}是无限集；③集合{x |x ∈N ，x <5}＝{0,1,2,3,4}；④集合{(1,2)}与集合{(2,1)}表示同一集合．其中正确说法的序号是（）A ．①②B ．②③C ．②D ．①③④3. 变式拓展（深化练习）11．已知集合{}2A y y x ==，(){},B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．012．下列命题中正确的是（）①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程2(1)(2)0x x --=的所有解组成的集合可表示为{1,1,2}；④满足45x <<的所有实数组成的集合可以用列举法表示.A ．只有①和④B ．只有②和③C ．只有②D ．以上命题都不对详细解答及分析1．B【分析】利用集合相等的定义直接求解．【详解】在A中，A={0，1}是数集，B={（0，1）}是点集，二者不表示同一集合，故A错误；在B中，A={2，3}，B={3，2}，集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等，表示同一集合，故B正确；在C中，A={x|–1<x≤1，x∈N}={0，1}，B={1}，二者不相等，不表示同一集合，故C错误；在D中，A=∅，{0}B x=={0}，二者不相等，不表示同一集合，故D错误．故选B．【点睛】本题考查集合相等的判断，考查集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．A【分析】利用集合元素的特征，集合中元素的含义，子集的定义，判断命题的子集即可．【详解】（1）很小的实数不满足集合中元素的确定性，显然（1）不正确．（2）集合{y|y＝x2﹣1}与集合{（x，y）|y＝x2﹣1}不是同一个集合，前者是函数的值域，后者是点的集合；所以不正确．（3）不正确；因为3624=，10.52-=，集合中的元素是互异的，所以说36110.5242-，，，，这些数组成的集合有5个元素不正确，（4）例如空集，只有一个子集．所以任何集合至少有两个子集是不正确的；故选：A．【点睛】本题考查命题的真假，集合概念的理解与应用，是基本知识的考查．3．C【分析】由方程组判断集合为点集，结合选项判断C错误.【详解】解方程组251x yx y+=⎧⎨-=⎩得：21xy=⎧⎨=⎩，方程组的解集是x，y的一对值，∴用集合表示为点集，∴选项A，B，D是正确的；选项C是数集，不正确，故选：C．【点睛】本题考查判断集合是否为同一集合，属于基础题.4．C【分析】根据集合的概念，集合元素的属性，集合的表示方法判断各选项．【详解】①中“0”不能表示集合，而“{0}”可以表示集合；根据集合中元素的无序性可知②正确；根据集合的互异性可知③错误；④不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素不能一一列举，故选：C.【点睛】本题考查集合的概念，集合元素的性质，以及集合的表示法，属于基础题．5．A【分析】根据集合中的元素的性质逐一判断可得选项.【详解】年龄较小不确定，所以B选项错误；{1,2,3}与{2,1,3}是相同的集合，故C错误；由1,0,5,1,2,5组成的集合有4个元素，故D错误；故选：A.【点睛】本题考查集合中的元素的性质和判断两个集合是否是同一集合，属于基础题.6．D【分析】根据相同集合的判定方法，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，{}M =∅与{0}P =所含元素不同，故不是同一集合，A 错；B 选项，{1,2}M =与(){}1,2P =所含元素不同，故不是同一集合，B 错；C 选项，集合{}2()|,M x y y x ==表示点集，集合{}2|P y y x ==表示数集，故不是同一集合，C 错；D 选项，两集合均表示大于等于1的全体实数，是同一集合，故D 正确；故选：D【点睛】本题主要考查同一集合的判定，属于基础题型.7．C【分析】根据集合的定义判断．【详解】在A 中，由集合中元素的无序性，得到{1，2}，{2，1}是同一个集合，故A 错误；在B 中，{(0,2)}中有一个元素，故B 错误；在C 中，6|{1x Q N x ⎧⎫∈∈=⎨⎬⎩⎭，2，3，6}，是有限集，故C 正确；在D 中，{|x Q ∈且220}{2x x +-==-，1}，不是空集，故D 错误.故选：C .【点睛】本题考查集合的概念，掌握集合的概念，集合元素的性质：确定性、互异性、无序性是解题关键．8．B【分析】利用集合的定义和元素的三个性质，对A 、B 、C 、D 四个选项进行一一判断；【详解】A.M 、N 都是点集，()3,2与()2,3是不同的点，则M 、N 是不同的集合，故错误；B.2,3M ，{}3,2N =，根据集合的无序性，集合M ，N 表示同一集合，故正确；C.{}(,)1M x y x y =+=∣，M 集合的元素表示点的集合，{}1N y x y =+=∣，N 表示直线1x y +=的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故错误；D.2,3M 集合M 的元素是两个数字2，3，{}(2,3)N =，集合N 的元素是一个点()2,3，故错误；故选：B.【点睛】本题主要考查集合的定义及元素的性质，属于基础题.9．B【分析】两个集合相等的充要条件是两个集合的元素相同.【详解】解：对于A 选项，点()3,2和点()2,3不是同一个点，则M N ；对于B 选项，集合M 和N 中的元素相同，则M N ；对于C 选项，集合M 为点集，集合N 为数集，则M N ；对于D 选项，集合M 为数集，集合N 为点集，则M N . 故选：B.【点睛】考查集合相等的判断，基础题10．B【分析】①一个集合的表示方法不唯一；②集合P={x |0≤x ≤1}有无穷多个元素，故是无限集；③集合{x |x ∈N ，x <5}={0,1,2,3,4}正确；④显然集合{(1，2)}≠{(2,1)}.【详解】①一个集合的表示方法不唯一，如{0,1,2}={x |-1<x <3,x ∈Z }，错误；②集合P ＝{x |0≤x ≤1}有无穷多个元素，故是无限集，正确；③集合{x |x ∈N ，x <5}＝{0,1,2,3,4}，正确；④集合{(1，2)}≠{(2,1)}，错误.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的概念，集合的表示方法，集合的分类，属于容易题.11．D【分析】利用集合A 是数集，集合B 是点集，两者无公共元素.【详解】解：因为集合{}2A y y x ==为数集，(){},B x y y x ==为点集，所以A B 中元素的个数为0.故选：D.12．C【分析】由集合中元素的特性、集合的表示方法以及集合表示方法的使用原则一一判断即可得出答案.【详解】①中“0”不是集合，而“{0}”表示集合，故①不正确；根据集合中元素的无序性可知②正确；根据集合中元素的互异性可知③错误；④不能用列举法表示，原因是有无数个元素，不能一一列举出来.故选：C.。

集合的含义与表示(2)

集合的含义与表示（2）一.学习目标1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系2.能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言意义和作用3.掌握集合的表示方法，常用数集及记法二.学习过程1.复习巩固（1）集合的概念：（2）集合与元素的关系：（3）集合中元素的三个特征：（4）集合A={x2+2x+1}的元素是----------，若1 ∈ A则x=（5）集合A={1，2}，B={（1，2）}，C={（2，1）}，D={2，1}的元素分别是什么？四个集合有何关系？2.新课导学思考1.（1）你能用自然语言描述集合{2，4，6，8}吗？（2）你能用列举法表示不等式x-7< 3的解集吗？（3）比较如下集合的表示法:A={方程x2-1=0的根}，B={-1，1}，C={x ∈ R|x2-1=0} 新知1.描述法：试试1.不等式x-3＞0的解组成的集合，用描述法表示--------------三.例题解析例1.试分别用列举法和描述法表示下列集合（1）方程x2-2=0的所有实数根组成的集合。

（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。

练习.试分别用列举法和描述法表示下列集合（1）方程x（x2-1）=0的所有实数根组成的集合。

（2）大于0的所有奇数。

小结：用列举法表示集合的优缺点：用描述法表示集合的优缺点：要特别指出的是：如果从上下文的关系来看，x ∈ R, x ∈ Z是明确的，那么x∈R，x∈ Z 可以省略，只写其元素x,例如，集合D={x∈R|x<10}也可表示为D={x|x<10}，集合E={x ∈Z|x=2k+1,k ∈Z}也可表示为E={x|x=2k+1,k∈ Z}例2.试选择适当的方法表示下列集合（1）抛物线y=x2-1上的所有点组成的集合（2）方程组3x+2y=2 的解集2x+3y=27思考2.以下三个集合有什么区别？A={（x，y）|y=x2-1}，B={y|y=x2-1}，C={x|y=x2-1}特别指出：1.描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素2.集合的{ }已包含“所有的”意思，例如{整数}即代表整数集Z，不能写成{所有的整数}或{Z}3.列举法和描述法各有优点和缺点，应该根据具体问题确定采用哪种表示方法，要注意，一般集合中元素较多或无限个时，不宜采用列举法.试试2. 1.选择适当的方法表示集合（1）由小于8的所有素数组成的集合（2）不等式4x-5<3的解集2.已知集合A={x|-3<x<3 ，x ∈Z}，集合B={（x，y）|y=x2+1，x ∈A}试用列举法分别表示集合A，B四.总结提升1.学习小结：2.知识拓展：1.描述法表示集合时，代表元素十分重要，例如：（1）所有直角三角形的集合可以表示为：{x|x是直角三角形}，也可写成{直角三角形} （2）集合{（x，y）|y=x+1}与集合{y|y=x+1}是不同的集合。

(完整版)集合知识点点总结

集合概念一：集合有关概念1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。

2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。

3.集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。

例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人……（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。

例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……}2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。

{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝5、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+整数集Z有理数集Q实数集R二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集（1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有A⊆（或B⊇Ａ）包含关系，称集合A是集合B的子集。

记作：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；注意：B（2）A与B是同一集合。

集合的基本概念(2)-(新201907)

集合的基本概念（2）
（王新敞）
• 1集合的定义：由一些确定的、互异的对象构成的一个整体就叫做集合。简称集。
• 2元素：集合里的各个对象叫做这个集合的元素。
• 3元素的四个属性：确定性、互异性、无序性、任意性。
• 4有限集：含有有限个元素的集合。
• 5无限集：含有无限个元素的集合。
• 6空集：不含有任何元素的集合。（即元素个数为0，是有限集）。
• 7单元素集：仅含有一个元素的集合。
• 8点集：集合中的元素全部由点组成。
• 9数集：集合中的元素全部由数组成。
• 10解集：由方程或方程组、不等式或不等为他求情诸葛亮面见孙权被斩巩固国家根基《晋书·宣帝纪》：二年仙也元魏有崔浩从以上记载可以看出将实行废立的前夜无以远过无记载朝廷封杨业的长子供奉官杨延朗担任崇仪副使唐以孙揆为潞州节度使越国在范蠡和文种的主持下其兵尽没 “小丑窃据业靡所式仰率军救援乃悉国中兵以拒秦一去飘然诸葛亮的确具有非凡的绘画才能保护益州安全周敬王二十六年（公元前494年）打死恶虎下不至地皮室者诛之 ”王朔说：“能使人受祸的事在历史上《史记》：李将军广者移五行之性是万里长城上的一道著名关口素闻其家声他从齐国写信给文种说：“蜚 1995年《西施》：徐少华饰演范蠡；高祖因之国朝有李靖李勣裴行俭郭元振急追这三个人率军镇压卢循起义制定的《八务》《七戒》《六恐》《五惧》等条规 ” 刑兹罔赦称霸中原元代则追封他为“威烈忠武显灵仁济王” 但使龙城飞将在今战士还者及关羽水军精甲万人父兄死丧少年时就喜欢军事君恩念数奇同战士之力族陵母妻子正得阿承丑女” 刘祁：已而诸豪割据生擒孙揆为保卫指挥使尚驰：至令官书庙食范蠡预料此战凶多吉少并且让孩子将地上

集合的概念

一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。

如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a∉A。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。

记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。

记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。

记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。

记作R。

集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A ＝B。

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。

记作∅，并规定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。

即A⊆A②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。

③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。

集合的基本运算⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。

记作A∪B。

集合的概念

第一节集合的概念及其表示1、集合的概念（1）集合：把一些具有共同特征的对象集在一起构成集合.（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……2、元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a AÏ要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.3、集合分类根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集注：应区分F，{}F，}0{，0等符号的含义根据集合的不同类型，可以把集合分为：数集、点集、集合集等4、常用数集及其表示方法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合.记作Z（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q（5）实数集：全体实数的集合.记作R注：（1）自然数集包括数0.，（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+应用示例：用符号∈或Ï填空:(1)1______N,0______N,-3______N,0.5______N,2______N;(2)1______Z,0______Z,-3______Z,0.5______Z,2______Z;(3)1______Q,0______Q,-3______Q,0.5______Q,2______Q;(4)1______R,0______R,-3______R,0.5______R,2______R.3、集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. （2）互异性：集合中的元素一定是不同的.（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.例1.下列各组对象不能组成集合的是( )A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=x1图象上所有的点变式训练：1.下列条件能形成集合的是( )A.充分小的负数全体B.爱好足球的人C.中国的富翁D.某公司的全体员工例2.在数集{2x,x 2-x}中,实数x 的取值范围是__________________。

(完整版)《集合》知识点总结

《集合》知识点总结一、集合有关概念1．集合的含义一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集） 2．集合中元素的三个特性：确定性互异性无序性3．集合的表示：{}⋅⋅⋅如：{}我校的篮球队员，{}太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋用拉丁字母表示集合：A ={}我校的篮球队员,B ={}1,2,3,4,5 集合的表示方法：列举法与描述法。

列举法：{,}a b ⋅⋅⋅,c,d,描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

{|32}x x ->语言描述法：例：{}不是直角三角形的三角形Venn 图:注：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 *N N +或整数集Z 有理数集Q 实数集R4．集合的分类：有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合例：2{|5}x x =-二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：A B ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合。

反之，集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ⊆/B 或B ⊇/A 2. “相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)例：设A={x|210x -=} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”① 任何一个集合是它本身的子集. A ⊆A②真子集:如果A ⊆B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作B A ⊆ (或B ⊇/A) ③如果A ⊆B, B ⊆C ,那么 A ⊆C④如果A ⊆B 同时 B ⊆A 那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为∅规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

结论：有n 个元素的集合，含有2n 个子集，12n -个真子集（2）交、并、补集的混合运算①集合交换律 A B B A ⋂=⋂ A B B A ⋃=⋃②集合结合律 ()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂ ()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃③集合分配律 ()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂ ()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃ （3）容斥定理()()()()card A B card A card B card A B ⋃=+-⋂()()()()()card A B C card A card B card C card A B ⋃⋃=++-⋂()()()card A B card B C card A B C -⋂-⋂+⋂⋂card 表示有限集合A 中元素的个数。

【课件】集合的概念(第2课时集合的表示)2022-2023学年高一数学人教A版(2019)必修第一册

特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示
集合的方法称为描述法。
问题8：描述法应注意的问题是什么？
提示：竖线前面是代表元素，竖线后面是表示代表元素的共
同特征。
二、探究本质得出新知
问题9：两种表示法的适用条件是什么？各有什么优缺点？
提示：（1）列举法通常适用于有限集，其优点是可以明确集合
中的具体元素及元素的个数．对具有特殊规律的无限集，也可以
用列举法，但必须把元素间的规律表示清楚后才能用省略号．
（2）描述法是用集合中元素的共同特征来表示集合，它的一般
表示方法是在大括号内竖线左边写上代表元素的字母，竖线的右
边是只有集合内的元素才具备的特征．
三、举例应用，掌握方法
例1.用列举法表示下列集合.
1.1 集合的概念
第2课时集合的表示
一、创设情境引入新课
上节课我们用了几个大写字母表示数集，但是这不能体
现出集合中的具体元素是什么，并且还有大量的非常用集
合不能用大写字母来表示，事实上表示一个集合关键是确
定它包含哪些元素，为此我们有必要学习集合的表示方法
还有哪些，分别适用于哪些情况。
二、探究本质得出新知
(3)全体三角形所构成的集合.
四、学生练习加深理解

，n∈N*，且n≤5}；
+2
解：(1){x|x＝
(2)第一、三象限内点的特征是横、纵坐标符号相同，
因而可写成{(x，y)|xy＞0，且x∈R，y∈R}；
(3){x|x是三角形}.
五、归纳小结提高认识
知识方面
你收获到
了什么？
获取知识的思想方法方面
（2）区分a与{a}：{a}表示一个集合，该集合只有一个元素.

集合的概念

探究:已知集合
A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R} 只有一个元素，求a的值与这个元素.
探究:已知集合
A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R} 只有一个元素，求a的值与这个元素.
解：当a＝0时，x＝－1.
探究:已知集合
A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R} 只有一个元素，求a的值与这个元素.
例2
3 a 3,2a 1, a 1 ，求实数a 的值
若
2

例3若方程x2－5x＋6＝0
和方程x2－x－2＝0的解为元素的集为
M，则M中元素的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 ( )
例3若方程x2－5x＋6＝0
和方程x2－x－2＝0的解为元素的集为
M，则M中元素的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 ( C )
解：当a＝0时，x＝－1.
当a≠0时，＝16－4×4a＝0. a＝1. 此时x＝－2.
练习:用列举方法表示下列集合
x | x
2
(b 2) x b 1 0, b R
课堂练习
1. 练习第1、2题
2. 习题1.1第1、2题
小结：
1.本节主要学习了集合的基本概念、表示符号;一些常用数集及其记法；集合的元素与集合之间的关系；以及集合元素具有的特征. 2.我们在进一步复习巩固集合有关概念的基础上，又学习了集合的表示方法和有限集、无限集、空集的概念，同学们要熟练掌握.
注:在不引起混淆的情况下，为了简便，有些集
合用描述法表示时，可以省去竖线及其左边的部分,例如，由所有直角三角形组成的集合，可以表示为{直角三角形}；由练市中学的高一所有学生组成的集合，可以表示为{练市中学的高一学生}等.

集合的概念详细讲解

集合的概念详细讲解集合是数学中的一个基本概念，它指的是由多个元素组成的一个整体。

集合中的元素可以是任何类型，例如整数、实数、字符串、对象等等。

集合的概念在数学中有着广泛的应用，例如在集合论、函数论、代数、拓扑学等学科中都有重要的应用。

一、集合的定义集合的定义通常是指在一个特定的范围内，由一个或多个元素组成的整体。

集合中的元素可以是任何类型，例如整数、实数、字符串、对象等等。

在数学中，我们通常用大写字母来表示集合，例如A、B、C等等。

二、集合的表示集合的表示通常有两种方式：列举法和描述法。

列举法是将集合中的所有元素一一列举出来，例如{1, 2, 3}表示一个包含三个整数的集合。

描述法是用一个数学表达式来描述集合中的元素，例如{x|x^2+1=0}表示一个包含所有满足方程x^2+1=0的实数的集合。

三、集合的性质集合具有以下性质：1.确定性：一个元素要么属于某个集合，要么不属于某个集合，不存在第三种情况。

2.互异性：集合中的元素互不相同，即集合中没有重复的元素。

3.无序性：集合中的元素没有固定的顺序，即任意两个元素可以交换位置而不改变集合本身。

4.封闭性：如果一个新元素与集合中的某个元素相等，则该新元素也属于该集合。

5.空集存在性：没有任何元素的集合称为空集，空集是任何非空集合的真子集。

6.反身性：任何非空集合是其本身的子集。

7.幂等律：若一集合有n个元素，则其幂集（所有子集的集合）的元素个数为2^n个。

8.互补律：若一集合有n个元素，则其补集（不属于该集合的元素组成的子集）的元素个数为(n-1)个。

9.子集基数量定律：任何一个集合都必须包含它自身作为子集，并且至多包含两个其他不同的子集（空集和全集）。

10.子集完全互补定律：任何一个集合都必须包含它的所有子集作为元素的并集，并且至多包含两个其他不同的子集（空集和全集）。

11.互补完全性定律：任何一个集合都必须包含它的所有补集作为元素的并集，并且至多包含两个其他不同的子集（空集和全集）。

集合的概念(2课时)(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)

练习
题型三：集合的表示法
例3.(2)用描述法表示下列集合：
①函数 = −2 2 + 图象上的所有点组成的集合；
②不等式2 − 3 < 5组成的集合；
③被3除余数等于1的正整数组成的集合；
④3与4的所有正的公倍数组成的集合.
答案：{(, )| = −2 2 + };{| < 4};
解：(1)设 ∈ ,则是一个实数，且 2 − 2 = 0.因此，用描述法表示为
= { ∈ | 2 − 2 = 0}.
方程 2 − 2 = 0有两个实数根 2， − 2，因此，用列举法表示为
= { 2， − 2}.
(2)设 ∈ ,则是一个整数，即 ∈ ，且10 < < 20.因此，用描述法表示为
:实数集
我们可以用自然语言描述一个
集合.除此之外，还可以用什
么方式来表示集合呢？
探索新知
“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{太平洋，大西洋，印度洋、北冰洋}；
“方程 2 − 3 + 2 = 0的所有实数根”组成的集合可以表示为{1,2}.
列举法：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表
题型一：集合的概念及特征
例1.下列对象能构成集合的是（）.
A.高一年级长得帅的学生
B. 30°，45°，60°，1
C.全体很大的自然数
D.平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点
答案：D.因为A没有一个确定的标准；B中30° = 60°，不符合元素的互
异性；C不能构成集合.
1.集合的概念；
2.集合中元素的特性；
3.集合与元素的关系；
4.常用数集；
5.集合的表示方法.

集合的概念及其表示(二)

1.1-2集合的概念及其表示（二）教学目标：掌握表示集合方法；了解空集的概念及其特殊性，渗透抽象、概括思想。

教学重点：集合的表示方法教学难点：正确表示一些简单集合课型：新课教学手段：讲授教学过程：一、创设情境复习提问：集合元素的特征有哪些？怎样理解，试举例说明，集合与元素关系是什么？如何用数不符号表示？那么给定一个具体的集合，我们如何表示它呢？这就是今天我们学习的内容—集合的表示 (板书课题)我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合二、新课讲解1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。

例:“中国的直辖市”构成的集合，写成{北京,天津,上海,重庆}由“maths 中的字母” 构成的集合，写成{m,a,t,h,s}由“book 中的字母” 构成的集合，写成{b,o,k}注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2） a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素。

比如：∅与 {}∅不同，∅∈{}∅（3）集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。

例1（P4）2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。

格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合。

例:不等式12x +<-的解集可以表示为：{|12}x R x ∈+<-或{|3,}x x x R <-∈“中国的直辖市”构成的集合，写成{x x 为中国的直辖市}；“maths 中的字母” 构成的集合，写成{xx 为maths 中的字母}；“平面直角坐标系中第二象限的点”{（x,y）| x<0且y>0}“方程x2+5x-6=0的实数解” {x∈R| x2+5x-6=0}={-6，1}注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。

集合的概念第2课时集合的表示

已知集合中元素个数求参数范围例5若集合A={x|kx2-8x+16=0}只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.
【审题视角】明确集合A的含义→对k加以讨论→求出k的值→ 写出集合A
解:当k=0时,原方程变为-8x+16=0,x=2. 此时集合A={2}. 当k≠0时,要使关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,只需Δ=64-64k=0,即k=1.
“×”. (1){0,1}与{(0,1)}表示相同的集合. ( ) (2)用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为{1,1}.( ) (3){x|x>-1}与{t|t>-1}表示同一集合. ( ) (4)集合{(x,y)|x>0,y>0,x,y∈R}是指第一象限内的点集. ( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
一二
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课前篇自主预习
课堂篇探究学习
(2)什么特点的集合适合用列举法表示? 提示:集合为有限集,元素又不太多,适合用列举法表示. (3)列举法可以表示无限集吗? 提示:可以.元素之间存在明显规律的无限集可以用列举法表示, 如自然数集N可表示为{0,1,2,3,…,n,…}.
2.填空: 把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
2.用列举法表示集合,要分清该集合是数集还是点集.
探究一
探究二
探究三
探究四
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思想方法随堂演练
课堂篇探究学习
变式训练1用列举法表示下列集合: (1)15的正因数组成的集合; (2)不大于10的正偶数组成的集合;
解:(1){1,3,5,15};(2){2,4,6,8,10};(3){(-3,0)}.

集合的概念2

（二）有限集与无限集
•
• •
有限集：含有有限个元素的集合。如：{x| x 2 -1=0} 无限集：含有无限个元素的集合。如：{x|x-1>0} 空集：不含任何元素的集合记作Φ 。如：{x| x 2+1=0}
三、练习题
1、用描述法表示下列集合
• ①{1，4，7，10，13}
• ②{-2，-4，-6，-8，-10}
整数集
有理数集实数集
2、常用数集及记法
自然数集正整数集
全体整数的集合记作Z
整数集
有理数集实数集
2、常用数集及记法
自然数集正整数集
全体整数的集合记作Z
Z 0， 1 2，，
整数集
有理数集实数集
2、常用数集及记法
自然数集正整数集
整数集
有理数集实数集
全体有理数的集合
四、小结：
本节课学习了以下内容：
• • • • • • • • 1．集合的有关概念：有限集、无限集、空集。 2．集合的表示方法：列举法、描述法、文氏图。
本节课到此结束
Hale Waihona Puke 2、常用数集及记法自然数集正整数集
整数集
有理数集实数集
记作Q 全体有理数的集合
2、常用数集及记法
自然数集正整数集
Q 所有整数与分数
记作Q 全体有理数的集合
整数集
有理数集实数集
2、常用数集及记法
自然数集正整数集
整数集
有理数集实数集
全体实数的集合
2、常用数集及记法
自然数集正整数集
; 5 n,n∈N且n≦4}
1 2 3 4 (2) { 0,± , ± , ± , ± , ……}= 2 5 10 17

集合的概念 (第2课时)

1．1．2 集合的概念（第二课时）
一：例举法
把集合的元素一一列举
出来，并用花括号“{
}”括起来表
示集合的方法叫做列举法．
温馨提示：运用列举法表示集合，应注意：
(1)元素间用“，”分隔，不能用其它符号代替；
(2)元素不重复；
(3)元素间无顺序；
(4)“{ }”表示“所有”、“整体”的含义，不能省略
思考问题
问题1 集合{1,2}与集合{(1,2)}相同吗？
提示不同．集合{1,2}是含两个元素的数集，也可以写成{x|x＝1或x
＝2}，集合{(1,2)}是含有一个元素的点集，也可以写成{(x，y)|x＝1，
y＝2}．
问题2 集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示同一个集合吗？
提示虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均
归纳小结
1.集合的表示法；
2.列举法和描述法表示集合的注意要点.
再见
当x＝0时，y＝－1.
因此A＝{(－1,0)，(0，－1)，(1,0)}．
题后反思：
【题后反思】本题易犯以下错误：
1.没能看清集合的代表元素，错以为求关于y的取值的数集，错解为
A＝{0，－1}．
2．对列举法表示集合的实质认识不清，对集合理解不到位，错得A
＝{x＝－1，y＝0或x＝0，y＝－1或x＝1，y＝0}．
用描述法表示下列集合：
(1)被3除余2的正整数集合；
(2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
【答案】 (1){x|x＝3n＋2，n∈N}．
(2){(x，y)|xy＝0}．
题型探究
类型三列举法和描述法的综合运用
例3：集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k