2016-2017年河南省商丘一中高二(上)期中数学试卷和参考答案(文科)

2016-2017学年河南省商丘一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜02．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n．且S3=6，a3=0，则公差d等于（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣23．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B．C．2 D．15．（5分）变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（）A．B．C．5 D．6．（5分）已知F1、F2是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为9，则b的值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=0所截得的弦长为6，则的最小值为（）A．10 B．C．D．8．（5分）已知条件p：x2﹣3x﹣4≤0；条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣4，4]C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）9．（5分）若关于x的不等式ax2+ax+1≥0对任意的实数x恒成立，则a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[4，+∞）C．（0，4]D．[0，4]10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．11．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则a n=（）A．B．C．D．12．（5分）已知三角形ABC中，AB=AC，AC边上的中线长为3，当三角形ABC 的面积最大时，AB的长为（）A．B．3 C．2 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的相应位置.13．（5分）解不等式组：．14．（5分）实数x，y满足条件，若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2，则m的值为．15．（5分）设不等式ax2+bx+c＜0的解集是（﹣∞，1）∪（3，+∞），则不等式cx2+bx+a＞0的解集是．16．（5分）数列{a n}的通项公式，前n项和为S n，则S2012=．（a ＞b＞0）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知a，b，c分别为△ABC三内角A，B，C的对边，且满足b+ccosA=c+acosC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求△ABC的周长的最小值．18．（12分）已知p：∃x∈R，cos2x﹣sinx+2≤m；q：函数在[1，+∞）上单调递减．（I）若p∧q为真命题，求m的取值范围；（II）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．19．（12分）已知数列{a n}满足（a n+1﹣1）（a n﹣1）=3（a n﹣a n+1），a1=2，令．（Ⅰ）证明：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式．20．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．21．（12分）在公比为正数的等比数列{a n}中，a3﹣a1=，a2=﹣，数列{b n}=（n≥2），且S10=100．（b n＞0）的前n项和为S n满足S n﹣S n﹣1（I）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（II）求数列的前n项和为T n．22．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（I）求椭圆C的方程；（II）设过点A的动直线l与C交于P、Q两点，当时，求l的方程．2016-2017学年河南省商丘一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选：D．2．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n．且S3=6，a3=0，则公差d等于（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n．且S3=6，a3=0，∴S3=3a1+d=6，a3=a1+2d=0，解方程组可得a1=4，d=﹣2故选：D．3．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，，∴A、B不正确；，=﹣，∴C不正确，D正确．解法二：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴．故选：D．4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B．C．2 D．1【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．5．（5分）变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（）A．B．C．5 D．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=（x﹣2）2+y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D（2，0）的距离的平由图象知CD的距离最小，此时z最小．由得，即C（0，1），此时z=（x﹣2）2+y2=4+1=5，故选：C．6．（5分）已知F1、F2是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C 上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为9，则b的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据椭圆定义知PF1+PF2=2a，∵⊥，∴△PF1F2为直角三角形，∴（PF1）2+（PF2）2=（2c）2，又∵△PF1F2的面积为9，∴•PF1•PF2=9，∴（2a）2=（PF1+PF2）2=（PF1）2+（PF2）2+2PF1•PF2=4c2+36，∴b2=a2﹣c2=9，∴b=3，故选：C．7．（5分）若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=0所截得的弦长为6，则的最小值为（）A．10 B．C．D．【解答】解：圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=（x+2）2+（y﹣2）2=9是以（﹣2，2）为圆心，以3为半径的圆，又∵直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=0所截得的弦长为6，∴直线过圆心，∴a+b=1，∴=（）（a+b）=5++≥5+2=5+2，当且仅当a=﹣2，b=3﹣时取等号，∴的最小值的最小值为5+2，故选：C．8．（5分）已知条件p：x2﹣3x﹣4≤0；条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣4，4]C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）【解答】解：由x2﹣3x﹣4≤0解得﹣1≤x≤4，由x2﹣6x+9﹣m2≤0，可得[x﹣（3+m）][x﹣（3﹣m）]≤0，①当m=0时，①式的解集为{x|x=3}；当m＜0时，①式的解集为{x|3+m≤x≤3﹣m}；当m＞0时，①式的解集为{x|3﹣m≤x≤3+m}；若p是q的充分不必要条件，则集合{x|﹣1≤x≤4}是①式解集的真子集．可得或，解得m≤﹣4，或m≥4．经验证，当m=﹣4或m=4时，①式的解集均为{x|﹣1≤x≤7}，符合题意．故m的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．故选：D．9．（5分）若关于x的不等式ax2+ax+1≥0对任意的实数x恒成立，则a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[4，+∞）C．（0，4]D．[0，4]【解答】解：∵ax2+ax+1≥0对任意的实数x恒成立，∴当a=0时，1≥0对任意实数x都成立；当a≠0时，，解得：0＜a≤4．综上所述，0≤a≤4．故选：D．10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选：D．11．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则a n=（）A．B．C．D．【解答】解：设b n=nS n+（n+2）a n，∵数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a2=1，∴b1=4，b2=8，∴b n=b1+（n﹣1）×（8﹣4）=4n，即b n=nS n+（n+2）a n=4n当n≥2时，∴，即，∴是以为公比，1为首项的等比数列，∴，∴．故选：A．12．（5分）已知三角形ABC中，AB=AC，AC边上的中线长为3，当三角形ABC 的面积最大时，AB的长为（）A．B．3 C．2 D．3【解答】解：设AB=AC=2x，AD=x．设三角形的顶角θ，则由余弦定理得cosθ==，∴sinθ==，根据公式三角形面积S=absinθ=×2x•2x•=，∴当x2=5时，三角形面积有最大值．此时x=．AB的长：2．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的相应位置.13．（5分）解不等式组：．【解答】解：由|x﹣1|＜3解得﹣2＜x＜4，由＞1得﹣1=＞0，解得3＜x＜5，所以，不等式解集为（3，4）．14．（5分）实数x，y满足条件，若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2，则m的值为2．【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得即A（4﹣m，m），此时z=2×（4﹣m）+m=8﹣m，当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（m﹣1，m），此时z=2×（m﹣1）+m=3m﹣2，∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的差为2，∴8﹣m﹣3m+2=2，即m=2．故答案为：215．（5分）设不等式ax2+bx+c＜0的解集是（﹣∞，1）∪（3，+∞），则不等式cx2+bx+a＞0的解集是（，1）．【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＜0的解集为（﹣∞，1）∪（3，+∞），∴a＜0，且3，1为方程ax2+bx+c=0的两根；∴，解得c=3a，b=﹣4a；∴不等式cx2+bx+a＞0可化为3ax2﹣4ax+a＞0，即3x2﹣4x+1＜0，即（3x﹣1）（x﹣1）＜0，解得＜x＜1；∴不等式cx2+bx+a＞0的解集是（，1）．故答案为：（，1）．16．（5分）数列{a n}的通项公式，前n项和为S n，则S2012=1006．（a ＞b＞0）【解答】解：∵当n分别取1，2，3，4，5，6，…时，=0，﹣1，0，1，0，﹣1，0，1…，∴=0，﹣2，0，4，0，﹣6，0，8…；∴的每四项和为2，∴S2012==1006故答案为：1006三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知a，b，c分别为△ABC三内角A，B，C的对边，且满足b+ccosA=c+acosC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求△ABC的周长的最小值．【解答】（本题满分为10分）解：（Ⅰ）由正弦定理得：sinB+sinCcosA=sinC+sinAcosC，…（2分）又sinB=sin（A+C）=sinCcosA+sinAcosC，…（3分）∴2cosA=1，A为△ABC内角，∴．…（5分）（Ⅱ）在△ABC中，∴bc=4，…（7分）由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，周长，…（9分）当且仅当b=c=2时等号成立，故△ABC的周长的最小值为6．…（10分）18．（12分）已知p：∃x∈R，cos2x﹣sinx+2≤m；q：函数在[1，+∞）上单调递减．（I）若p∧q为真命题，求m的取值范围；（II）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．【解答】解：若p为真，令f（x）=cos2x﹣sinx+2，则m≥f（x）min，又f（x）=cos2x﹣sinx+2=cos2x﹣sinx+2=﹣2sin2x﹣sinx+3又﹣1≤sinx≤1，所以sinx=1时，f（x）min=0，所以m≥0…（5分）若q为真：函数在[1，+∞）上单调递减，则，所以m≤4…（6分）（1）若p∧q为真，则p，q均为真，所以m∈[0，4]…（8分）（2）若p∨q为真，p∧q为假，则p，q一真一假，即即m＞4…（10分）或即m＜0所以m的取值范围为（﹣∞，0）∪（4，+∞）…（12分）19．（12分）已知数列{a n}满足（a n+1﹣1）（a n﹣1）=3（a n﹣a n+1），a1=2，令．（Ⅰ）证明：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）（a n+1﹣1）（a n﹣1）=3[（a n﹣1）﹣（a n+1﹣1）]，两边同除：（a n﹣1）（a n﹣1），+1∴，即，∴{b n}是等差数列．…（6分）（Ⅱ）∵b1=1，∴，…（10分），∴．…（12分）20．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．21．（12分）在公比为正数的等比数列{a n}中，a3﹣a1=，a2=﹣，数列{b n}=（n≥2），且S10=100．（b n＞0）的前n项和为S n满足S n﹣S n﹣1（I）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（II）求数列的前n项和为T n．【解答】解：（I）设{a n}的公比为q（q＞0），则，∴3q2+8q﹣3=0，由q＞0，解得，，∴．∵=，又b n＞0，，∴，数列构成一个公差为1的等差数列，∵，∴S 1=1，∴，．当n=1，b1=S1=1，当n≥2，b n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1（n=1也满足）．（II），∴T n=++…+=．∴．22．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（I）求椭圆C的方程；（II）设过点A的动直线l与C交于P、Q两点，当时，求l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，，，又，∴a=2，则b2=a2﹣c2=1，∴C的方程；（Ⅱ）当直线l⊥x轴时不符合题意；当直线l斜率存在时，设直线l：y=kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0．，∴|PQ|==，又，得，解答：k=±1，∴直线l的方程为y=x﹣2或y=﹣x﹣2．。