中考数学 第一部分 考点研究复习 第三章 函数 第15课时 二次函数的实际应用练习(含解析)

第三章函数第15课时二次函数的实际应用（建议答题时间：90分钟）基础过关1. (2016潍坊)旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x(元)是5的倍数．发现每天的运营规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费)(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？2. (2016杭州)把一个足球垂直于水平地面向上踢，时间为t(秒)时该足球距离地面的高度h(米)适用公式h＝20t－5t2(0≤t≤4)．(1)当t＝3时，求足球距离地面的高度；(2)当足球距离地面的高度为10米时，求t的值；(3)若存在实数t1和t2(t1≠t2)，当t＝t1或t2时，足球距离地面的高度都为m(米)，求m 的取值范围．3. (2016南京校级二模)把一根长80 cm的铁丝分成两个部分，分别围成两个正方形．(1)能否使所围的两个正方形的面积和为250 cm2，并说明理由；(2)能否使所围的两个正方形的面积和为180 cm2，并说明理由；(3)怎么分，使围成两个正方形的面积和最小？4. (2016盐城校级一模)小明为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小明一次性购买这种服装x(x为正整数)件，支付y元．(1)当x＝12时，小明购买的这种服装的单价为________元；(2)写出y关于x的函数表达式，并给出自变量x的取值范围；(3)小明一次性购买这种服装付了1050元，请问他购买了多少件这种服装？5. (2016泉州)某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销量y(千克/天)与售价x(元/千克)的关系，如图所示．(1)试求出y与x之间的一个函数关系式；(2)利用(1)的结论：①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润．②进口产品检验、运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月(30天)，若售价不低于30元/千克，则一次进货最多只能进多少千克？第5题图6. (2016武汉)某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件，已知产销两种产品的有关信息如下表：其中a为常数，且3≤a≤5.(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；(2)分别求出产销两种产品的最大年利润；(3)为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．满分冲关1. (2016青岛)如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案，按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y＝ax2＋bx(a≠0)表示．已知抛物线上B、C两点到地面的距离均为34 m ，到墙边OA 的距离分别为12 m ，32m. (1)求该抛物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；(2)若该墙的长度为10 m ，则最多可以连续绘制几个这样的抛物线型图案？第1题图2. (2016义乌)课本中有一个例题：有一个窗户形状如图①，上部是一个半圆，下部是一个矩形．如果制作窗框的材料总长为6 m ，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径为0.35 m时，透光面积的最大值约为1.05 m2. 我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图②，材料总长仍为6 m．利用图③，第2题图解答下列问题：(1)若AB为1 m，求此时窗户的透光面积；(2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．3. (2016黄冈)东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/kg)与时间t(天)之间的函数关系式为p＝⎩⎪⎨⎪⎧14t ＋30（1≤t≤24，t 为整数）－12t ＋48（25≤t≤48，t 为整数），且其日销售量y(kg)与时间t (天)的关系如下表：(1)已知y 与t 之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？(2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？(3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1 kg 水果就捐赠n 元利润(n ＜9)给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求n 的取值范围．答案基础过关1. 解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则0<x ≤100，由50x －1100>0，解得x >22，又∵x 是5的倍数，∴每辆车的日租金至少应为25元；(2)设每天的净收入为y 元，当0<x ≤100时，y 1＝50x －1100，∵y 1随x 的增大而增大，∴当x ＝100时，y 1的最大值为50×100－1100＝3900，当x >100时，y 2＝(50－x －1005)x －1100 ＝－15x 2＋70x －1100 ＝－15(x －175)2＋5025. 当x ＝175时，y 2的最大值是5025，∵5025>3900，∴当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．2. 解：(1)当t ＝3时，h ＝20t －5t 2＝20×3－5×9＝15(米)， ∴足球离地面的高度为15米；(2)∵h ＝10，∴20t －5t 2＝10， 即t 2－4t ＋2＝0，解得t ＝2＋2或t ＝2－2， ∴经过2＋2或2－2秒时，足球距离地面的高度为10米；(3)∵m ≥0，由题意得t 1和t 2是方程20t －5t 2＝m 的两个不相等的实数根， ∴b 2－4ac ＝(－20)2－20m ＞0， ∴m ＜20，∴m 的取值范围是0≤m ＜20.3. 解：(1)能．理由：设其中一个正方形的边长为x cm ，则另一个正方形的边长为80－4x 4＝(20－x ) cm ，由题意得：x 2＋(20－x )2＝250， 解得x 1＝5，x 2＝15，当x ＝5时，4x ＝20，4(20－x )＝60，当x＝15时，4x＝60，4(20－x)＝20，故能围成；(2)不能．理由：由题意得：x2＋(20－x)2＝180，整理得x2－20x＋110＝0，∵b2－4ac＝400－440＝－40＜0，∴此方程无解，即不能围成两个正方形的面积和为180 cm2；(3)设所围面积和为y cm2，y＝x2＋(20－x)2＝2x2－40x＋400＝2(x－10)2＋200，当x＝10时，y最小为200，4x＝40，4(20－x)＝40，∴分成40 cm与40 cm，使围成两个正方形的面积和最小为200 cm2.4. 解：(1)76；【解法提示】由题意得：当x＝12时，这种服装的单价为80－4＝76元．(2)①当0≤x≤10时，y＝80x，②∵单价不得低于50元，∴降价了30元，购买了25件，∴10＜x ≤25时，y ＝[80－2(x －10)]x ＝－2x 2＋100x ， ③当x ＞25时，y ＝50x ，综上所述y ＝⎩⎪⎨⎪⎧80x （0＜x≤10）－2x 2＋100x （10＜x≤25）50x （x ＞25）；(3)①－2x 2＋100x ＝1050，解得x 1＝15或x 2＝35， ∵10＜x ≤25，∴x ＝15.②50x ＝1050，解得x ＝21，21＜25，不合题意，舍去．∴小明购买了15件这种服装．5. 解：(1)设y ＝kx ＋b ，将图象中点(37，38)，(39，34)分别代入得：⎩⎪⎨⎪⎧37k ＋b ＝3839k ＋b ＝34， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2b ＝112， ∴y ＝－2x ＋112；(2)①W 利润＝(x －20)(－2x ＋112)＝－2(x －38)2＋648 ∴当x ＝38时，即每千克售价38元时，每天可以获得最大利润；②∵x≥30，y＝－2x＋112，∴0≤y≤52，∴一天最多销售52千克，∴52×(30－5)＝1300(千克)，∴一次进货最多只能1300千克．6. 解：(1)由题意得，y1＝(6－a)x－20(0＜x≤200)；y2＝(20－10)x－(40＋0.05x2)，即y2＝－0.05x2＋10x－40(0＜x≤80)；(2)∵y1＝(6－a)x－20，3≤a≤5，∴6－a>0，∴y1随x的增大而增大，当x＝200时，y1有最大值为：y1＝(6－a)×200－20＝1180－200a(万元)；∵y2＝－0.05x2＋10x－40，∴对称轴x＝－b2a＝100，∵a＝－0.05<0，0<x≤80，∴y 2随x 的增大而增大，∴当x ＝80时，y 2有最大值为：y 2＝－0.05×802＋10×80－40＝440(万元)； (3)设产销甲产品比产销乙产品利润多w 元，则w ＝1180－200a －440＝－200a ＋740.∵－200＜0，∴w 随a 的增大而减小．由－200a ＋740＝0，解得a ＝3.7.∵3≤a ≤5，∴当3≤a ＜3.7时，选择产销甲种产品；当3.7＜a ≤5时，选择产销乙种产品；当a ＝3.7时，选择产销甲种或乙种产品均可．满分冲关1. 解：(1)由题意知，抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)经过点B(12，34)、C(32，34)， 则⎩⎪⎨⎪⎧14a ＋12b ＝3494a ＋32b ＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2， ∴抛物线的解析式是y ＝－x 2＋2x.根据抛物线的对称性知，对称轴是直线x ＝－b 2a＝1， 当x ＝1时，y ＝1，∴顶点坐标是(1，1)．答：图案最高点到地面的距离是1 m ；(2)∵抛物线的对称轴是x ＝1，且与x 轴一个交点为原点，则另一个交点为(2，0)， ∴一个图案与地面两交点间的距离是2 m ，10÷2＝5，答：最多可以连续绘制5个这样的抛物线型图案．2. 解：(1)由已知得AD ＝6－1－1－1－122＝54m ， ∴S ＝1×54＝54m 2； (2)设AB ＝x m ，则AD ＝6－x －x －x －12x 2＝3－74x ， ∵3－74x ＞0，∴0＜x ＜127. 设窗户面积为S ，由已知得：S ＝AB·AD ＝x (3－74x ) ＝－74x 2＋3x ＝－74(x －67)2＋97， ∵当x ＝67时，且x ＝67在0＜x ＜127的范围内， ∴S 最大值＝97m 2＞1.05 m 2，∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大．3. 解：(1)设y ＝kt ＋b ，将(10，100)和(40，40)分别代入得：⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋b ＝10040k ＋b ＝40，解得k ＝－2，b ＝120， ∴y ＝－2t ＋120，当t ＝30时，y ＝－2×30＋120＝60；(2)设利润为W 元，则W ＝(p －20)·y ，当1≤t ≤24时，W ＝(14t ＋30－20)(－2t ＋120)＝－12t 2＋10t ＋1200＝－12(t －10)2＋1250；当t ＝10时，W 最大＝1250；当25≤t ≤48时，W ＝(－12t ＋48－20)(－2t ＋120)＝t 2－116t ＋3360＝(t －58)2－4， 当25≤t ≤48时，W 随t 的增大而减小，故t ＝25时，W 最大＝1085.综上所述，第10天的日销售利润最大为1250元；(3)设利润为W 元，则1≤t ≤24时，W ＝(14t ＋30－20－n )(－2t ＋120)＝－12t 2＋(10＋2n )t ＋1200－120n ， 该抛物线的对称轴为t ＝10＋2n ，依题意知，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，∴10＋2n≥24，解得n≥7.故7≤n＜9.。