第7讲 随机变量函数的分布 2016
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随机变量函数的 分布
WENKU DESIGN
离散型随机变量函数的概率分布
01
定义
离散型随机变量函数的概率分布 是指随机变量取各个可能值的概 率。
02
03
计算方法
应用
根据随机变量的定义和性质，计 算每个可能值的概率，并列出概 率分布表。
在概率论和统计学中，离散型随 机变量函数的概率分布是描述随 机变量取值规律的重要工具。
离散型随机变量函数的期望和方差
1 2 3
期望
离散型随机变量函数的期望是指所有可能取值的 概率加权和，即E(X)=∑xp(x)。
方差
离散型随机变量函数的方差是每个可能取值的概 率加权平方和的平均值，即D(X)=∑x^2p(x)E(X)^2。
应用
期望和方差是描述离散型随机变量函数取值稳定 性和分散程度的指标，在统计学、决策理论和风 险管理中具有重要应用。
随机变量函数的定义
随机变量函数是指将一个随机试验的 结果映射到一个实数域上的函数。
随机变量函数通常用大写字母表示， 如X(ω)，其中ω表示随机试验的结果。
随机变量函数的性质
确定性
对于每一个试验结果ω，随机变量函数都 有一个确定的函数值X(ω)。
VS
随机性
函数值X(ω)是随机的，即对于相同的试验 结果ω，每次试验都可能得到不同的函数 值。
随机变量函数的分布
https://
REPORTING
• 随机变量函数的基本概念 • 离散型随机变量函数的分布 • 连续型随机变量函数的分布 • 随机变量函数的变换 • 随机变量函数的应用
目录
PART 01
随机变量函数的基本概念
REPORTING
WENKU DESIGN
连续性
随机变量的分布函数
(2) F( ) = lim F(x) = 0 x F( ) = lim F(x) = 1 x
(3) F(x) 非降，即若 x1<x2，则F(x1) F(x2) ;
(4)
F(x)
右连续，即
lim
x x0
F
(
x)
F
(
x0
)
如果一个函数具有上述性质，则一定是某
个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(4)是
下面我们就来介绍对连续型随机变量 的描述方法.
一. 连续型随机变量、概率密度定义
设F（x）是随机变量X的分布函数，若存
在一个非负的函数f(x),对任何实数x，有
x
F (x) f (t)dt
，则称X为连续型随机
变量，同时称f(x)为X的概率密度函数，简称概
率密度。
y
f (x)
o
x
由定义知：1. 连续型随机变量的分布函数F(x)
b)
0, 其它
ab
则称X服从区间[ a, b ]上的均匀分布，记作：
X ～ U(a, b)
分布函数为:
0,
F
(
x)
x b
a a
,
x a, a x b,
1,
x b.
f(x)≥0,
f ( x )dx
b
1
dx 1
aba
满足概率密度性质。
解：以7:00为起点0，以分为单位
依题意， X ～ U ( 0, 30 )
f
(
x)
不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是r.v 的 分布函数.
随机变量函数的分布
二 、连续型随机变量函数的分布 2.分布函数法 一般地，若已知X的概率密度为 fX(x),求其函数 Y=g(X)的概率密度 fY(y)分两个步骤： 10 根据分布函数的定义求Y的分布函数FY(y); 20 由 fY(y) = F (y) 求出 fY (y)
例3 对一圆片直径进行测量, 其值在[5,6]上均匀分
定理 设X是一连续型随机变量，其密度函数f(x) ， （－∞<x< +∞ ）,又函数y = g(x)处处可导，且严格单 调，其反函数为x = h(y )，则Y = g(X)也是一连续型随 机变量，且密度函数为
h y f[ h ( y )], y f y Y , 其他 0
计算离散型随机变量函数的分布的方法： 首先将xi的取值代入函数关系，求出随机变量Y相应的取值
y g ( x )( i 1 ， 2 ， .) i i
如果yi(i=1,2,…)的值各不相等，则Y的概率分布为 Y P y1 p1 y2 p2 … … yi pi … …
如果 yi=g(xi)(i=1,2,…)中出现m(≥2)个相同的函数值，即存在
0 , y25 /4 F (y) * 25 /4y9 1, y9
F ( y ) P { Y y } P { X / 4 y }
2
P { X 4 y / }
4 y /
f ( x ) dx X
例3 对一圆片直径进行测量, 其值在[5,6]上均匀分
其中， m g ( in{ ), g ( )}, m g ( ax ), g ( )
注意 若f(x)在有限区间[a,b]外等于0,则只需设在[a,b] ( x ) 0 [ 或 g ( x ) 0 ]. 上有 g
《概率论》课程PPT ：随机变量函数的分布
的分布。
一般地，设y=g(x)是一元实函数，X是一个随机变量，若X的取 值在函数y=g(x)的定义域内，则Y=g(X)也为一随机变量。
密度函数
fX (x)
随机变量
X
分布函数
F X (x)
fY ( y)
Y g(X)
随机变量的函数
FY ( y)
离散随机变量的函数的分布
若X为离散型 随机变量, 其分布律为
-2
-1
-15/4
-11/4
5
7
1/12 1/12
3/12
2/12
1/12
2/12
2/12
两个独立随机变量的和的分布
如果X与Y相互独立
X Y
~ ~
PP((21))
X
Y
~
P(1
2 )
X ~ B(m, p)
Y
~ B(n,
p)
X
Y
~
B(m
n,
p)
例 证明：如果X与Y相互独立，且X~B（n,p），
解 由（X，Y）的联合分布列可得如下表格
(X ,Y ) (1, 2) (1, 1) (1,0) (1 , 2) (1 , 1) (3, 2)
2
2
概率
1/12
1/12
3/12
2/12
1/12
2/12
(3, 0)
2/12
X Y
-3
-2
-1
-3/2
-1/2
1
3
X Y
1
0
-1
5/2
3/2
X
9.5 10
10.5 11 求周长及面积的分布律．
随机变量及其分布函数
随机变量及其分布函数随机变量是描述随机事件的数学工具，它将随机事件映射到实数上。
我们可以将随机变量理解为一个函数，它将样本空间上的随机事件转化为一个实数。
随机变量的取值通常用大写字母来表示，例如X、Y、Z等，并且随机变量的取值可以是有限个或无限个。
随机变量的分布函数一个随机变量有着不同取值的可能性，而这些可能性可以用概率来描述。
针对一个随机变量而言，其取值在不同的范围内所对应的概率，就被称为该随机变量的分布函数。
分布函数通常用F(x)来表示，其中F是函数符号，x是随机变量的取值。
对于一个随机变量X，其分布函数定义为：F(x) = P(X≤x)其中P(X≤x)指的是随机变量X小于或等于x的概率。
因此，对于小于或等于x的所有可能取值，X的分布函数F(x)均可以计算出来。
随机变量的类型随机变量可以分为两类：离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量离散随机变量是只能取某些特定离散值的随机变量，它们通常意味着某个事件只能发生某些确定的次数。
例如，抛掷一颗骰子的结果就是一个典型的离散随机变量，因为其可能取的值只有1、2、3、4、5、6六种可能。
对于某个离散随机变量而言，它的分布函数是一个阶梯函数，在每个离散值处有一个跳跃，即：F(x) = P(X≤x) = ΣP(X=i)，i≤x其中ΣP(X=i)表示随机变量取i的概率，i≤x表示X取i的所有取值小于或等于x。
例如，对于一个只能取0或1的离散随机变量X，其分布函数F(x)可以表示为：F(x) = P(X≤0) + P(X=1) = P(X=0) + P(X=1)其中P(X=0)和P(X=1)表示X取0和1的概率，因此：F(0) = P(X=0)F(1) = P(X=0)+P(X=1)连续随机变量连续随机变量是指可以取到任意实数值的随机变量，通常用于描述某个事件的结果可以连续变化的场景。
例如，衡量人的身高或体重就是一种典型的连续随机变量。
对于某个连续随机变量而言，由于它可以取到任意实数值，因此其分布函数也是一个连续函数。
随机变量函数及其分布
应用
正态分布在统计学中具有重要地位，广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等领域。例如，在质量 控制中，正态分布可用于描述产品质量的波动情况；在金融领域，正态分布可用于描述股票价格的波动 等。
PART 04
随机变量函数数学期望与 方差
REPORTING
WENKU DESIGN
数学期望定义及性质
定义：数学期望是随机变量取值的平均 值，反映了随机变量取值的“中心位置 ”或“平均水平”。
https://
随机变量函数及其分 布
https://
REPORTING
• 随机变量与函数概述 • 离散型随机变量函数分布 • 连续型随机变量函数分布 • 随机变量函数数学期望与方差 • 多维随机变量函数分布 • 随机变量函数在实际问题中应用
目录
PART 01
随机变量与函数概述
REPORTING
随机变量的数学期望具有线性性质，即 多个随机变量的线性组合的数学期望等 于各随机变量数学期望的线性组合。
随机变量线性变换的数学期望等于该随 机变量数学期望的线性变换。
性质 常数的数学期望等于该常数本身。
方差定义及性质
性质
随机变量线性变换的方差等于该 随机变量方差的线性变换的平方 。
定义：方差是随机变量取值与其 数学期望之差的平方的平均值， 反映了随机变量取值的离散程度 。
随机过程在金融领域应用
股票价格预测
利用随机过程理论对股票价格进行建模和预测，包括布朗运动、 随机游走等模型。
风险管理
运用随机过程方法对金融风险进行管理和控制，如信用风险、市 场风险等。
金融衍生品定价
基于随机过程理论，对金融衍生品如期权、期货等进行定价和估 值。
THANKS
正态分布在统计学中具有重要地位，广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等领域。例如，在质量 控制中，正态分布可用于描述产品质量的波动情况；在金融领域，正态分布可用于描述股票价格的波动 等。
PART 04
随机变量函数数学期望与 方差
REPORTING
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数学期望定义及性质
定义：数学期望是随机变量取值的平均 值，反映了随机变量取值的“中心位置 ”或“平均水平”。
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随机变量函数及其分 布
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REPORTING
• 随机变量与函数概述 • 离散型随机变量函数分布 • 连续型随机变量函数分布 • 随机变量函数数学期望与方差 • 多维随机变量函数分布 • 随机变量函数在实际问题中应用
目录
PART 01
随机变量与函数概述
REPORTING
随机变量的数学期望具有线性性质，即 多个随机变量的线性组合的数学期望等 于各随机变量数学期望的线性组合。
随机变量线性变换的数学期望等于该随 机变量数学期望的线性变换。
性质 常数的数学期望等于该常数本身。
方差定义及性质
性质
随机变量线性变换的方差等于该 随机变量方差的线性变换的平方 。
定义：方差是随机变量取值与其 数学期望之差的平方的平均值， 反映了随机变量取值的离散程度 。
随机过程在金融领域应用
股票价格预测
利用随机过程理论对股票价格进行建模和预测，包括布朗运动、 随机游走等模型。
风险管理
运用随机过程方法对金融风险进行管理和控制，如信用风险、市 场风险等。
金融衍生品定价
基于随机过程理论，对金融衍生品如期权、期货等进行定价和估 值。
THANKS
随机变量的函数分布
解
因为v
g(θ)
A sin θ
在
π 2
,
π 2
上恒有
g(θ) Acosθ 0,
所以反函数为 θ h(v) arcsin v , A
h(v) 1 , A2 v2
15
又由Θ
~
U
π 2
,
π 2
,
知
Θ
的概率密度为
f
(θ
)
1 π
,
π θ π,
2
2
0, 其他.
由定理得V Asin Θ 的概率密度为
如何根据已知的随机变量 X 的分布求得随机 变量 Y f ( X ) 的分布?
2
例1 设 X 的分布律为
X 1 0 1 2 1111
p 4444 求 Y X 2 的分布律.
解 Y 的可能值为 (1)2 , 02 , 12 , 22;
即 0, 1, 4. P{Y 0} P{ X 2 0} P{ X 0}
1, 4
3
P{Y 1} P{X 2 1} P{(X 1) ( X 1)}
P{X 1} P{X 1} 1 1 1 , 44 2
P{Y 4} P{ X 2 4} P{ X 2} 1 , 4
故Y 的分布律为 Y p
014 111
424
由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.
数的概率密度的方法.
11
定 理 设随机变量 X 的具有概率密度 fX ( x), 其 中 x , 又设函数 g( x)处处可导, 且恒有 g( x)
0 (或恒有g( x) 0), 则称Y g(Y )是连续型随机
变量, 其概率密度为
fY
(
y)
f
随机变量函数分布
X i~ N (i, i2 ) (i 1 ,2 ,,n )
则对于不全为零的常数 a1,a2,有,an
n
n
a 1X 1 a 2X 2 a nX n~N ( a i i, a i2i2)
i 1
i 1
第三章 多维随机变量及其分布
§5 两个随机变量的函数的分布 7/15
§5 两个随机变量的函数的分布 1/15 随机变量的函数的分布 随机变量函数的取值范围 会求两个随机变量的和、商、 最大及最小值的分布
第三章 多维随机变量及其分布
§5 两个随机变量的函数的分布 2/15
设有两个部件 I、I I 其, 工作寿命分别为 X , Y 部件 I 坏了,换上备用部件 继I I 续工作
I
II
部件 I、I I 并联同时工作,仅当两个部件都 损坏时，整个系统才失效
I
II
部件 I、I I 串联同时工作,只要有一个部件 损坏，整个系统就失效
I
II
怎样确定上述各系统的寿命
第三章 多维随机变量及其分布
§5 两个随机变量的函数的分布 3/15
若 (X,Y)~ f(x,y),怎样求
X Y , m a x { X ,Y } , m in { X ,Y }
x z 10 20 z
0,
第三章 多维随其机变它量及其分布
§5 两个随机变量的函数的分布 8/15
设 X ,相Y 互独立且都服从参数为 的指数分布,
求 r.vZXY的概率密度.
由卷积公式有, Z的密度函数为
fZ(z) fX(x)fY(z x)d x
f (x) 1 ex , x 0
(瑞利Rayleigh分布)
0 , z第三0章 多维随机变量及其分布
随机变量函数的分布共64页文档
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
随机变量函数的分布
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出，ห้องสมุดไป่ตู้只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
随机变量的函数的分布
概率论与数理统计
2
❖ 一.离散型随机变量函数的分布
➢设X是离散型随机变量，X的分布律为
X x1 x2 … xn … pi p1 p2 … pn …
则Y = g(X)也是一个离散型随机变量，此时Y的分布律为
Y=g(X) g(x1) g(x2) … g(xn) …
pi
p1
p2
…
pn
…
当 g(x1), g(x2), … , g(xn)中有某些值相等时，则把那些相 等的值分别合并，并把对应的概率相加即可．
由题意可知，
3
31
1
P(Y 0) P( X 3)
f X ( x)dx
1
dx , 42
P(Y 1) P( X 3) 1 P( X 3) 1 1 1 . 22
概率论与数理统计
10
❖ 二.连续型随机变量函数的分布
1.分布函数法
➢ 例2.5.2 已知随机变量X服从区间(1，5)内的均匀分布即
➢ 解 可得到分布函数如下
0, FY ( y) ln y,
1,
y1 1 y e, ye
Y=eX 的概率密度函数为
fY
(
y)
FY
(
y)
1 y
,
0,
1 ye .
其他
概率论与数理统计
13
❖ 二.连续型随机变量函数的分布
1.分布函数法
➢ 例2.5.4 设随机变量X具有概率密度fX(x), -∞<x<+∞, 求 Y=X2的概率密度．
➢求连续型随机变量的函数的概率密度主要有两种方法， 即分布函数法和公式法．主要讲分布函数法.
1. 分布函数法
➢设连续型随机变量X的概率密度为 fX(x)，求 X的函数 Y = g(X) 的概率密度 fY(y) 的方法是： （1）先求Y 分布函数：
随机变量的分布函数课件
例3 一个靶子是半径为2m的圆盘, 设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘面积成正比, 并 设射击都能中靶, 以X表示弹着点与圆心的距离 .
试求随机变量X的分布函数 .
解 若 x 0 , 则{ X x}是不可能事件 ,
于是
F ( x ) P { X x } 0 ;
若 0 x 2 , 由题意, P {0 X x } kx2 , k是
F ( x ) P{ X x }
二、分布函数的性质
1 F ( x )是一个不减函数 . 2 0 F ( x) 1 , 且
F ( ) lim F ( x ) 0 ,
x
F ( ) lim F ( x ) 1 .
x
3 F ( x 0) F ( x ) , 即F ( x )是右连续的 .
(2)分布函数 F ( x ) 是 x 的一个普通实函数 .
实例
抛掷均匀硬币, 令
1, X 0,
出正面 , 出反面 .
求随机变量 X 的分布函数. 解
1 p{ X 1} p{ X 0} , 2
当x 0时 ,
0
1
x
F ( x ) P{ X x 0} 0 ;
若 x 2 , 由题意{ X x }是必然事件 , 于是
F ( x ) P { X x } 1 .
综上所述, 即得 X 的分布函数为 0, x0,
2 x F ( x) , 4 1 ,
0 x2, x2.
它的图形是一条连续曲线，如下图所示.
若记
t , 0t 2, f (t ) 2 0 , 其他 .
常数. 为了确定k的值 , 取 x 2 , 有
随机变量函数的分布解读
X Y 2 1 0
1
1
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
12 12 12
1
2
6
例2 设 X pk
1 1 6
1 2 6
2 3 6
求 Y X 2 5的分布律.
解 Y 的分布律为
Y 4
1
1
1
p
2
2
7
三、连续型随机变量函数的分布
例3 设 随 机 变 量X 的 概 率 密 度 为
f
X
(
x)
x 8
,
0 x 4,
0, 其 他.
求 随 机 变 量Y 2X 8 的 概 率 密 度.
解 先求随机变量Y X 2 分布函数,
FY ( y) P{Y y} P{X 2 y} P{ y X y}
y
y
FX ( y) FX ( y) f X ( x)d x f X ( x)d x.
再由分布函数求概率密度. fY ( y) FY ( y) fX ( y)( y) fX ( y)( y)
证明 X 的概率密度为
fX (x)
1
e
(
x μ)2 2σ2
,
x
.
2πσ
设 y g( x) ax b,
得 x h( y) y b , 知 h( y) 1 0.
a
a
14
由公式
fY
( y)
fX [h( y)]h( y) , y
0,
其它.
,
得 Y aX b 的概率密度为
fY ( y)
16
有一大群人,令 X 和 Y 分别表示一个人的 年龄和体重, Z 表示该人的血压,并且已知 Z 与 X , Y 的函数关系 Z g( X ,Y ), 如何通过 X ,Y 的 分布确定 Z 的分布.
随机变量及其分布课件
多维随机变量的数学期望与方差
数学期望
多维随机变量的期望值是每个随机变量期望值的 线性组合。
方差
多维随机变量的方差是每个随机变量方差和协方 差的组合。
协方差
衡量两个随机变量之间的线性相关程度。
Байду номын сангаас
PART 05
随机变量的变换
REPORTING
WENKU DESIGN
线性变换
1 2
线性变换公式
$Y = aX + b$，其中$a$和$b$是常数，$X$是 随机变量，$Y$是变换后的随机变量。
超几何分布
当从一个有限总体中不放回地抽取样本时，所得到的离散型随机变量服从超几何分布。
离散型随机变量的数学期望与方差
数学期望
离散型随机变量的数学期望是所有可能取值的概率加权和，表示随机变量取值的平均水平。
方差
离散型随机变量的方差是所有可能取值的概率加权平方和的平均值，表示随机变量取值分散程度的度 量。
随机事件的概率计算
在概率论中，随机事件的概率可以通过随机变量的取值来 计算，随机变量为随机事件的概率计算提供了具体的方法 和手段。
在统计学中的应用
01
样本数据的统计分析
在统计学中，随机变量被广泛用于样本数据的统计分析，如均值、方差、
协方差等统计量都是基于随机变量的计算。
02 03
参数估计与假设检验
线性变换的性质
线性变换保持了均值、方差和线性关系等统计特 性。
3
线性变换的应用
在回归分析、时间序列分析和实验设计中广泛使 用。
非线性变换
非线性变换公式
$Y = f(X)$，其中$f$是一个非线性函数，$X$是随机变量，$Y$ 是变换后的随机变量。
随机变量的函数分布定理
随机变量的函数分布定理在概率论中，随机变量的函数分布定理是一个非常重要的概念。
在本文中，我们将探讨随机变量的函数分布定理的基本概念、证明方法以及一些实际应用。
随机变量及函数首先，让我们来回顾一下随机变量的定义。
随机变量是一种将样本空间映射到实数空间的函数，常用符号表示为X。
当我们对随机变量X应用某个函数f时，得到的新变量Y=f(X)称为随机变量X的函数。
在概率论中，我们通常对函数Y的分布进行研究。
函数分布定理的引入随机变量的函数分布定理描述了当我们对一个随机变量应用某个函数时，新随机变量的分布会发生怎样的变化。
具体来说，如果X是一个随机变量，Y=f(X)是X的函数，那么Y的分布可以通过以下公式得到：$$ P(Y\\le y) = P(f(X)\\le y) = P(X\\le f^{-1}(y)) $$其中，f−1(y)表示函数f的逆函数。
换句话说，Y小于等于y的概率等于X小于等于f−1(y)的概率。
定理证明为了证明随机变量的函数分布定理，我们首先证明Y=f(X)的分布函数F Y(y)可以表示为：$$ F_Y(y) = P(Y\\le y) = P(X\\le f^{-1}(y)) = F_X(f^{-1}(y)) $$其中，F X(x)是随机变量X的分布函数。
由此可得，Y的分布函数F Y(y)可以通过X的分布函数和函数f的逆函数得到。
应用实例随机变量的函数分布定理在实际应用中有着广泛的应用。
例如，假设X是某个公司的股票价格随机变量，Y=ln(X)表示对数价格，则我们可以通过函数分布定理来推导出Y的分布。
这样的分析有助于我们更好地理解和预测股票价格的波动情况。
总结随机变量的函数分布定理为概率论领域提供了重要的理论基础，通过研究随机变量的函数分布，我们可以深入了解随机变量之间的关系，推导出新随机变量的分布规律。
在实际应用中，函数分布定理也为我们提供了一种有效的分析工具，帮助我们更好地理解和预测随机变量的行为。
随机变量函数分布
随机变量函数分布随机变量函数分布是概率论中的重要概念，它描述了一个随机变量经过函数转换后的分布情况。
在实际问题中，我们常常需要通过随机变量的函数来描述某种现象的规律或特性。
本文将介绍随机变量函数分布的基本概念和常见的分布形式。
一、随机变量函数分布的定义随机变量函数分布指的是一个随机变量经过某种函数转换后的概率分布情况。
在数学上，对于一个随机变量X和一个函数Y=f(X)，我们可以描述函数Y的概率分布，也就是Y的取值在各个区间内的概率。
通常情况下，我们可以通过概率密度函数或累积分布函数来描述随机变量函数分布。
二、常见的随机变量函数分布形式1. 线性变换最简单的随机变量函数分布形式就是线性变换。
设X是一个随机变量，Y=aX+b是X的线性变换，其中a和b为常数。
如果知道X的分布情况，就可以通过线性变换得到Y的分布。
具体地，如果X服从均匀分布，则Y也会服从均匀分布。
2. 指数变换指数变换是常用的随机变量函数形式之一。
如果X服从指数分布，经过指数变换Y=e^X后，Y会服从对数正态分布。
指数变换在描述某些事件的时间间隔时非常有用，比如描述两次地震事件之间的时间间隔。
3. 幂变换幂变换是一种常见的函数形式，如果X服从正态分布，Y=X^2后，Y会服从卡方分布。
幂变换在统计学中的应用非常广泛，比如方差分析和回归分析中就经常用到幂变换来处理数据。
三、实际应用举例在实际问题中，随机变量函数分布具有广泛的应用。
比如在金融领域中，可以通过随机变量函数分布来描述股票价格的涨跌情况，进而进行风险管理和投资决策。
在生物学领域中，可以通过随机变量函数分布来描述基因的变异情况，进而研究遗传特性。
总的来说，随机变量函数分布是概率论中一个重要的概念，它通过函数转换描述了随机变量的特性和规律。
通过研究随机变量函数分布，我们可以更好地理解现实世界中复杂的随机变量关系，从而进行更加精确的建模和分析。
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1 FX ( y b ) a
1 1 f Y ( y ) f X ( y b) a a
1 当a < 0 时， FY ( y ) P X ( y b) a
1 1 F ( y b) a
y2 其他
例9
设随机变量X 的密度函数为f X x， Y X， 试求随机变量 Y 的密度函数 fY y ．
解
设随机变量X 的分布函数为 FX y ，随机变量 Y 的分布函数为 FY y ,
FY y P Y y P X y
⑴ 若 y 0 ，则
故Y的概率密度
y F Y y
'
1 2
e
y 2
2 2
y
'
1 2
结 论
若X ~ N（， ），则 Y
2
X
~ N 0， 1.
例4
设X ~ N (0,1)，求Y X 2的概率密度 .
f（x） 1 2
x2 e 2
例2
已知 X 的概率分布为
P( X k ) pq k , 2
k 0,1,2,
其中p+q=1, 0 < p < 1, 求Y= sin X 的概率分布.
解
P(Y 0) P ( X 2m ) 2 m 0
pq
m 0 2m
p 1 q2
1 e 2 | a |
Y ~ N (a +b, a22).
( y ba ) 2 2 a 2 2
y
特别地 ，若 X ~ N ( , 2) , 则
X Y ~ N (0,1)
例8 解
X ~ E (2), Y= –3X+2 , 求 fY ( y ) .
解
X的概率密度为
y
y sin x
1 , 0 x ; f x 0 , 其它 .
y
o
arcsin y
arcsin y
x
y
y sin x
y
o
arcsin y
arcsin y
x
Y 的分布函数 FY y
1 当y 0时. FY y PY y Psin X y 0
dF y 2 再把 FY y 对 y 求导 y . dy
分布函数法
在将事件 g X y 化为关于 X的事件过程中如画出 y g x 的图形将是很有帮助的 .
例5
设随机变量 X在(0, )上服从均匀分布 , 求Y sin X
的概率密度 .
1 2
x2 e 2 dx
y
y
x2 e 2 dx
2
y
0
故当 y 0时, Y的概率密度为
( y) F 'Y ( y)
1 2
y y 2 e 2
1
,
又当 y 0时, ( y) F 'Y ( y) 0, 故Y X 2的概率密度为
1 y y1 2 2 e ,y0 y 2 y 0. 0,
x
Hale Waihona Puke f (u)du在实际中经常对某些随机变量的函数更感兴趣. 例如，
在一些试验中, 所关心的随机变量往往不能由直接测量得到, 而它却是某个能直接测量的随机变量的函数. 比如我们能测量 圆轴的直径d, 而关心的却是截面积A=d2/4. 这里, 随机变量 A是随机变量d的函数. 下面讨论如何由已知的随机变量X的概率分布去求得它的函 数Y=g(X)(g()是已知的连续函数)的概率分布.
例6
已知 X 的密度函数.为 f ( x),Y aX b,
X
a, b 为常数, 且 a 0, 求 fY ( y ).
解
FY ( y ) P(Y y )
P(aX b y )
1 当a > 0 时， FY ( y ) P X ( y b) a
Y X 的概率分布
2
Y P
0 1 10
1 3 10
4 3 10
25 4 3 10
结 论
X为离散型 , 其概率分布
X P X1 P 1 X
2
Xk Pk
P2
则Y g（X）的概率分布 :
(1) 当yi g ( xi )(i 1 、 2、 )各值 yi互不相等时 , Y的概率分布
FY y P Y y P X y P 0
⑵ 若 y 0 ，则
FY y PY y P X y
P y X y FX y FX y
综上所述，得随机变量Y 的分布函数为
FX y FX y y 0 FY y 0 y0
1 1 fY ( y ) f X ( y 2) | 3 | 3
y 2 2 1 2e 3 , 3 0,
y2 0 3 其他
2 2 ( 2 y ) e 3 , 3 0,
X
1 1 f Y ( y ) f X ( y b) a a
故
1 1 fY ( y ) f X ( y b) | a| a
例7
设 X ~ N ( ,2) , Y = a X +b, 则
1 1 fY ( y ) f X ( y b) |a| a
Y P y1 p1 y2 yk p2 p k
(2) 当 yi g ( xi ) (i 1 、 2、 ) 各值不是互不相等时 , 应把相应 的值分别合并 , 并相应地将其概率相加 , 例如 yi y j .则Y 的概率分布为
Y P y1 p1 y2 p2 yi yk ( pi p j ) pk
求（ 1 ）Y X 1的概率分布（ .2 ）Y X 2的概率分布 . 解 Y 可能的值： 2 , 1 , 0 , 1 , 3 2
由Y X 1 ，事件 X 1与事件 Y 2相等
P（Y 2 ） P（X 1 ） 1 5
1 同理 P（Y 1 ） P（X 0 ） . 10
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学(四)
—— 概率论与数理统计
脚本编写：孟益民
教案制作：孟益民
第二章 随机变量及其分布
本章学习要求： 理解随机变量的概念。 理解分布函数的概念和性质。 理解离散型随机变量及概率分布（分布律）的概念 和性质。 理解连续型随机变量及概率密度的概念和性质。
掌握（0-1）分布，二顶分布，泊松（Poisson）分
F lim F x 1 , F () lim F x 0 .
x x
2 F x1 F x2 x1 x2
4 F x0 0 F x0 F x 是右连续的
Px1 X x2 F x2 F x1
例3
设 X ~ N , 2 , 求 Y
X
的概率密度 .
解
设Y的分布函数为 Fy y ，于是
Fy y P（Y y） P（ P（X y） X
1 2
y） e
x 2
2 2
y
dx ，
y2 e 2
2y 1时, FY y PY y Psin X y 1
3 0 y 1时， FY y PY y Psin X y P"0 X arcsin y"" arcsin y x "
X为离散型
概率分布 分布律
P（X xk） pk , k 1， 2，
X P x1 p1 x2 p2 xk
pk
性质
1
pk 0 (k 1,2,) ,
2
p
k 1
k
1
分布函数
F x
xk x
P
k
X为连续型
概率密度 性质
f x
x
1. f ( x) 0 , ( x ) ;
2.
f x dx 1.
3. P( x1 X x2 )
x2
x1
f ( x)dx ;
4. 若 f ( x) 在点 x 连续，则有 F （x) f ( x) .
分布函数
F（x) P X x
称概率密度由上式所表 示的随机变量服从自由 度为1的 2分布
结 论
X 为连续型随机变量，其 概率密度为 f x ，
求Y g（X）的概率密度 y
1 先求出
其中 s 为使 g X y 成立的 X 值的集合 .
FY y PY y Pg X y P X s
P ( X (4m 3) ) 2 m 0
pq 4 m3
m 0
pq 3 1 q4
故 Y 的概率分布为 Y pi -1 0 1
pq 3 1 q4
p 1 q2
pq 1 q4
二、连续型情况 已知 X 的密度函数 f (x) 或分布函数 求 Y = g( X ) 的密度函数。 方法： （1） 从分布函数出发; （2）用公式直接求密度函数.
问题的提出
已知 r.v. X 的密度函数 f X ( x) 或分布律, 求随机因变量Y= g ( X )的密度函数 f Y ( y ) 或 分布律. 方法 将与Y 有关的事件转化成 X 的事件
1 1 f Y ( y ) f X ( y b) a a
1 当a < 0 时， FY ( y ) P X ( y b) a
1 1 F ( y b) a
y2 其他
例9
设随机变量X 的密度函数为f X x， Y X， 试求随机变量 Y 的密度函数 fY y ．
解
设随机变量X 的分布函数为 FX y ，随机变量 Y 的分布函数为 FY y ,
FY y P Y y P X y
⑴ 若 y 0 ，则
故Y的概率密度
y F Y y
'
1 2
e
y 2
2 2
y
'
1 2
结 论
若X ~ N（， ），则 Y
2
X
~ N 0， 1.
例4
设X ~ N (0,1)，求Y X 2的概率密度 .
f（x） 1 2
x2 e 2
例2
已知 X 的概率分布为
P( X k ) pq k , 2
k 0,1,2,
其中p+q=1, 0 < p < 1, 求Y= sin X 的概率分布.
解
P(Y 0) P ( X 2m ) 2 m 0
pq
m 0 2m
p 1 q2
1 e 2 | a |
Y ~ N (a +b, a22).
( y ba ) 2 2 a 2 2
y
特别地 ，若 X ~ N ( , 2) , 则
X Y ~ N (0,1)
例8 解
X ~ E (2), Y= –3X+2 , 求 fY ( y ) .
解
X的概率密度为
y
y sin x
1 , 0 x ; f x 0 , 其它 .
y
o
arcsin y
arcsin y
x
y
y sin x
y
o
arcsin y
arcsin y
x
Y 的分布函数 FY y
1 当y 0时. FY y PY y Psin X y 0
dF y 2 再把 FY y 对 y 求导 y . dy
分布函数法
在将事件 g X y 化为关于 X的事件过程中如画出 y g x 的图形将是很有帮助的 .
例5
设随机变量 X在(0, )上服从均匀分布 , 求Y sin X
的概率密度 .
1 2
x2 e 2 dx
y
y
x2 e 2 dx
2
y
0
故当 y 0时, Y的概率密度为
( y) F 'Y ( y)
1 2
y y 2 e 2
1
,
又当 y 0时, ( y) F 'Y ( y) 0, 故Y X 2的概率密度为
1 y y1 2 2 e ,y0 y 2 y 0. 0,
x
Hale Waihona Puke f (u)du在实际中经常对某些随机变量的函数更感兴趣. 例如，
在一些试验中, 所关心的随机变量往往不能由直接测量得到, 而它却是某个能直接测量的随机变量的函数. 比如我们能测量 圆轴的直径d, 而关心的却是截面积A=d2/4. 这里, 随机变量 A是随机变量d的函数. 下面讨论如何由已知的随机变量X的概率分布去求得它的函 数Y=g(X)(g()是已知的连续函数)的概率分布.
例6
已知 X 的密度函数.为 f ( x),Y aX b,
X
a, b 为常数, 且 a 0, 求 fY ( y ).
解
FY ( y ) P(Y y )
P(aX b y )
1 当a > 0 时， FY ( y ) P X ( y b) a
Y X 的概率分布
2
Y P
0 1 10
1 3 10
4 3 10
25 4 3 10
结 论
X为离散型 , 其概率分布
X P X1 P 1 X
2
Xk Pk
P2
则Y g（X）的概率分布 :
(1) 当yi g ( xi )(i 1 、 2、 )各值 yi互不相等时 , Y的概率分布
FY y P Y y P X y P 0
⑵ 若 y 0 ，则
FY y PY y P X y
P y X y FX y FX y
综上所述，得随机变量Y 的分布函数为
FX y FX y y 0 FY y 0 y0
1 1 fY ( y ) f X ( y 2) | 3 | 3
y 2 2 1 2e 3 , 3 0,
y2 0 3 其他
2 2 ( 2 y ) e 3 , 3 0,
X
1 1 f Y ( y ) f X ( y b) a a
故
1 1 fY ( y ) f X ( y b) | a| a
例7
设 X ~ N ( ,2) , Y = a X +b, 则
1 1 fY ( y ) f X ( y b) |a| a
Y P y1 p1 y2 yk p2 p k
(2) 当 yi g ( xi ) (i 1 、 2、 ) 各值不是互不相等时 , 应把相应 的值分别合并 , 并相应地将其概率相加 , 例如 yi y j .则Y 的概率分布为
Y P y1 p1 y2 p2 yi yk ( pi p j ) pk
求（ 1 ）Y X 1的概率分布（ .2 ）Y X 2的概率分布 . 解 Y 可能的值： 2 , 1 , 0 , 1 , 3 2
由Y X 1 ，事件 X 1与事件 Y 2相等
P（Y 2 ） P（X 1 ） 1 5
1 同理 P（Y 1 ） P（X 0 ） . 10
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学(四)
—— 概率论与数理统计
脚本编写：孟益民
教案制作：孟益民
第二章 随机变量及其分布
本章学习要求： 理解随机变量的概念。 理解分布函数的概念和性质。 理解离散型随机变量及概率分布（分布律）的概念 和性质。 理解连续型随机变量及概率密度的概念和性质。
掌握（0-1）分布，二顶分布，泊松（Poisson）分
F lim F x 1 , F () lim F x 0 .
x x
2 F x1 F x2 x1 x2
4 F x0 0 F x0 F x 是右连续的
Px1 X x2 F x2 F x1
例3
设 X ~ N , 2 , 求 Y
X
的概率密度 .
解
设Y的分布函数为 Fy y ，于是
Fy y P（Y y） P（ P（X y） X
1 2
y） e
x 2
2 2
y
dx ，
y2 e 2
2y 1时, FY y PY y Psin X y 1
3 0 y 1时， FY y PY y Psin X y P"0 X arcsin y"" arcsin y x "
X为离散型
概率分布 分布律
P（X xk） pk , k 1， 2，
X P x1 p1 x2 p2 xk
pk
性质
1
pk 0 (k 1,2,) ,
2
p
k 1
k
1
分布函数
F x
xk x
P
k
X为连续型
概率密度 性质
f x
x
1. f ( x) 0 , ( x ) ;
2.
f x dx 1.
3. P( x1 X x2 )
x2
x1
f ( x)dx ;
4. 若 f ( x) 在点 x 连续，则有 F （x) f ( x) .
分布函数
F（x) P X x
称概率密度由上式所表 示的随机变量服从自由 度为1的 2分布
结 论
X 为连续型随机变量，其 概率密度为 f x ，
求Y g（X）的概率密度 y
1 先求出
其中 s 为使 g X y 成立的 X 值的集合 .
FY y PY y Pg X y P X s
P ( X (4m 3) ) 2 m 0
pq 4 m3
m 0
pq 3 1 q4
故 Y 的概率分布为 Y pi -1 0 1
pq 3 1 q4
p 1 q2
pq 1 q4
二、连续型情况 已知 X 的密度函数 f (x) 或分布函数 求 Y = g( X ) 的密度函数。 方法： （1） 从分布函数出发; （2）用公式直接求密度函数.
问题的提出
已知 r.v. X 的密度函数 f X ( x) 或分布律, 求随机因变量Y= g ( X )的密度函数 f Y ( y ) 或 分布律. 方法 将与Y 有关的事件转化成 X 的事件