【新教材】新人教A版 高中数学必修二 平面向量的应用举例 课件

1.如图 4-4-1Байду номын сангаас已知正六边形 P1P2P3P4P5P6，下列向量的数 量积中最大的是( A )
A.P→1P2·P→1P3 C.P→1P2·P→1P5
图 4-4-1 B.P→1P2·P→1P4 D.P→1P2·P→1P6
2.如图 4-4-2，已知在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠BAD＝ 60°，E 为 CD 的中点，则A→E·B→D＝( A )
答案：D
(5)在菱形 ABCD 中，对角线 AC＝4，E 为 CD 的中点，则
A→E·A→C＝( )
A.8
B.10
C.12
D.14
解析：方法一，(转化法)注意到菱形的对角线 AC⊥BD.故 用A→C，B→D表示A→E.
由题意，知A→E＝A→C＋C→E＝A→C＋12C→D＝A→C＋14(B→D－A→C)＝ 34A→C＋14B→D.
答案：A
图 D30
(4)(2015 年山东)已知菱形 ABCD 的边长为 a，∠ABC＝60°，
则B→D·C→D＝( )
A.－32a2
B.－34a2
C.34a2
D.32a2
解析：因为B→D·C→D＝B→D·B→A＝B→A＋B→C·B→A＝B→A2＋B→C·B→A＝ a2＋a2cos 60°＝32a2.故选 D.
图 D29
∴A→E＝(1,2)，B→D＝(－2,2). ∴A→E·B→D＝1×(－2)＋2×2＝2. 方法二，由题意，知A→E·B→D＝(A→D＋D→E)·(A→D－A→B) ＝A→D＋12A→B·(A→D－A→B) ＝A→D2－12A→D·A→B－12A→B2＝4－0－2＝2.
答案：2
考点 1 平面向量在平面几何中的应用 例 1：(1)(2017 年天津)在△ABC 中，∠A＝60°，AB＝3， AC＝2.若B→D＝2D→C，A→E＝λA→C－A→B(λ∈R)，且A→D·A→E＝－4，则 λ 的值为__________.
第4讲 平面向量的应用举例
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
1.向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及 数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长 度、夹角等问题. 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ为实数.
(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线 向量定理：
a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质： a⊥b⇔a·b＝0⇔___x_1_x_2＋__y_1_y_2_＝__0__. (3)求夹角问题，利用夹角公式：
cos θ＝|aa|·|bb|＝ x21x＋1xy212＋y1xy222＋y22(θ 为 a 与 b 的夹角).
2.平面向量与其他数学知识的交汇 平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角 函数、数列、解析几何等知识结合.当平面向量给出的形式中含 有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未 知数的关系式.在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角 函数、数列的综合问题.此类问题的解题思路是转化为代数运 算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的 充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质.
图 4-4-3
A.2116
B.32
C.2156
D.3
解析：建立如图 D30 所示的平面直角坐标系.
则 A0，－12，B 23，0，C0，32，D－ 23，0.
点 E 在 CD 上，则D→E＝λD→C0≤λ≤1.设 Ex，y，
则x＋
23，y＝λ
23，32.
即yx＝＋322λ3.＝ 23λ，
结合二次函数的性质可知，当 λ＝14时，A→E·B→E取得最小值2116. 故选 A.
考点 2 平面向量在解析几何中的应用 例 2：(1)(2017 年北京)已知点 P 在圆 x2＋y2＝1 上，点 A 的 坐标为(－2,0)，O 为原点，则A→O·A→P的最大值为________. 解析：设 Px0，y0，A→O·A→P＝2，0·x0＋2，y0＝2x0＋4. 由 x20＋y20＝1，得－1≤x0≤1. 所以 2x0＋4≤6，即A→O·A→P的最大值为 6. 答案：6
图 D31
答案：C
【规律方法】用向量方法解决平面几何问题的步骤： ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的 几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系； ③把运算结果“翻译”成几何关系. 建立平面几何与向量联系的主要途径是建立平面直角坐标 系，将问题坐标化，利用平面向量的坐标运算解决有关问题.
∴A→E·A→C＝34A→C＋14B→D·A→C＝34|A→C|2＋14B→D·A→C＝34|AC|2＝12. 故选 C.
方法二，(坐标化)如图 D31，建立平面直角坐标系，
则 A(－2,0)，C(2,0).
不妨设 D(0,2a)，则 E(1，a).
∴A→E＝(3，a)，A→C＝(4,0).
∴A→E·A→C＝(3，a)·(4,0)＝12.故选 C.
图 4-4-2
A.1
B. 3
C. 5
D. 7
3.(2014 年新课标Ⅰ)已知 A，B，C 是圆 O 上的三点，若A→O
＝12(A→B＋A→C)，则A→B与A→C的夹角为___9_0_°___.
4. 已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为CD的中点，
则A→E·B→D＝_______.
解析：方法一，如图 D29，以 A 为坐标原点，AB 所在的直 线为 x 轴，AD 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(2，0)，D(0,2)，E(1,2).
解析：设B→A＝a，B→C＝b， ∴D→E＝12A→C＝12(b－a).∴D→F＝32D→E＝34(b－a). ∴A→F＝A→D＋D→F＝－12a＋34(b－a)＝－54a＋34b. ∴A→F·B→C＝－54a·b＋34b2＝－58＋34＝18.故选 B. 答案：B
(3)(2018 年天津)如图 4-4-3，在平面四边形 ABCD 中，AB ⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点 E 为边 CD 上的动点，则A→E·B→E的最小值为( )