第22讲 任意角的三角函数及诱导公式
三角函数诱导公式及推导
三角函数诱导公式及推导-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1三角函数诱导公式：所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。
常用公式：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）=sinα（k∈Z）cos（2kπ+α）=cosα（k∈Z）tan（2kπ+α）=tanα（k∈Z）cot（2kπ+α）=cotα（k∈Z）公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）= tanαcot（π+α）=cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）=－sinαcos（－α）= cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）= sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）=－sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）=－tanαcot（2π-α）=－cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）=cosαsin（π/2－α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2+α）=－cotαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2+α）=－tanαcot（π/2－α）=tanα推算公式：3π/2 ±α与α的三角函数值之间的关系：sin（3π/2+α）=－cosαsin（3π/2－α）=－cosαcos（3π/2+α）=sinαcos（3π/2－α）=－sinαtan（3π/2+α）=－cotαtan（3π/2－α）=cotαcot（3π/2+α）=－tanαcot（3π/2－α）=tanα诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
任意角和弧度制、任意角的三角函数及诱导公式
任意角和弧度制、任意角的三角函数及诱导公式一、任意角1、角的概念的推广：角可以看成是由一条射线（起始边）旋转到一个新的位置（终边）所形成的图形。
（1）按旋转方向不同分为正角（逆时针）、负角（顺时针）、零角．（2）角具有无界性；意思是说任意角的范围是（3）按终边位置不同分为象限角和轴线角．（约定以原点和x的正半轴组成的射线为起始边）（4）角具有周期性： 终边相同的角不一定相等；终边相同的角相差3600 的整数倍。
2、角与角的位置关系的判断（终边相同的角、对称关系的角）★与任意角 终边相同的所有的角构成一个集合，这个集合可表示为：【注意】（1）终边与终边共线(的终边在终边所在直线上) .（2）终边与终边关于轴对称.（3）终边与终边关于轴对称.（4）终边与终边关于原点对称.（5）终边在轴上的角可表示为：；终边在轴上的角可表示为：；终边在坐标轴上的角可表示为：.例1：与角的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿。
练习1（1）与1991°终边相同的最小正角是______,绝对值最小的角是_________．（2）－1120°角所在象限是（3）把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（4）终边在第二象限的角的集合可以表示为（5）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（ ）A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C（6）下列结论中正确的是( )A.小于90°的角是锐角B.第二象限的角是钝角C.相等的角终边一定相同D.终边相同的角一定相等（7）下列角中终边与330°相同的角是（ B ）A．30° B．-30° C．630° D．-630°例2：若是第二象限角，则是第_____象限角。
第4章 第22课 三角函数的诱导公式
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第四章 三角函数
知识梳理
1. 诱导公式
－α
π－α π＋α 2π－α π2－α π2＋α 32π－α 32π＋α
sin( ) －sin α sin α －sin α －sin α cos α cos α －cos α －cos α
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第四章 三角函数
5. 已知π6<α<23π，cosα＋π3＝m(m≠0)，求 tan23π－α的值．
【解答】因为23π－α＝π－α＋π3，所以 cos23π－α＝cosπ－α＋π3＝－cosα＋π3＝
cos120°＝tan(－60°)＋2sin90°cos(180°－60°)＝－tan60°－2cos60°＝－ 3－1. 2. (必修4P23习题11改编)已知tan(π＋θ)＝2，那么sinθ·sinπ2－θ＝____25____. 【解析】由题意得 tanθ＝2，所以 sinθsinπ2－θ＝sinθcosθ＝sinsi2nθθ＋·ccoossθ2θ＝tanta2θn＋θ 1
sin2α sin2α＋cos2α
＝
tan2α tan2α＋1
＝
4 14＋1
＝
1 5
，由于角α为第三象限
角，故sinα＝－
55，cosα－π2＝sinα＝－
5 5.
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第四章 三角函数
2. 若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是___④___．(填
任意角的三角函数及诱导公式
任意角的三角函数及诱导公式[核心速填]1．与角α终边相同的角的集合为 S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． 2．角度制与弧度制的换算3．弧度制下扇形的弧长和面积公式 (1)弧长公式：l ＝|α|r . (2)面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2. 4．任意角的三角函数(1)定义1：设任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)定义2：设任意角α的终边上任意一点P 的坐标为(x ，y )，r ＝|OP |＝x 2＋y 2，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)．5．同角三角函数基本关系式 sin 2α＋cos 2α＝1；sin αcos α＝tan α. 6．诱导公式记忆口诀 奇变偶不变，符号看象限．[体系构建][题型探究](1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.[解] (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝149π， ∴α＝－800°＝14π9＋(－3)×2π.∵α与角14π9终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z .又γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2＜2k π＋14π9＜π2，k ∈Z ，解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9. [规律方法] 1.灵活应用角度制或弧度制表示角 (1)注意同一表达式中角度与弧度不能混用．(2)角度制与弧度制的换算设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则 αrad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α·180π°，n °＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ·π180rad. 2．象限角的判定方法(1)根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．[跟踪训练]1．若α角与8π5角终边相同，则在[0,2π]内终边与α4角终边相同的角是________.【优质试题：84352139】2π5，9π10，7π5，19π10 [由题意，得α＝8π5＋2k π(k ∈Z )，α4＝2π5＋k π2(k ∈Z )． 又α4∈[0,2π]，所以k ＝0,1,2,3，α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.]线，其中弧、弧、弧的圆心依次是A 、B 、C ，如果AB ＝1，那么曲线CDEF 的长是________．图1-1(2)一扇形的圆心角为2弧度，记此扇形的周长为c ，面积为S ，则c －1S 的最大值为________．(1)4π (2)4 [(1)弧的长是120π×1180＝2π3，弧的长是：120π×2180＝4π3， 弧的长是：120π×3180＝2π，则曲线CDEF 的长是：2π3＋4π3＋2π＝4π.(2)设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角大小为2弧度， 则l ＝2r ，可求：c ＝l ＋2r ＝2r ＋2r ＝4r ， 扇形的面积为S ＝12lr ＝12r 2×2＝r 2，所以c －1S ＝4r －1r 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1r 2＋4r＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1r －22＋4≤4.r ＝12时等号成立，所以c －1S 的最大值为4.][规律方法] 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)；(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.[跟踪训练]2．如图1-2，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB 的面积.【优质试题：84352140】图1-2[解] ∵120°＝120180π＝23π，∴l ＝6×23π＝4π，∴的长为4π.∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示，作OD ⊥AB ，有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3. ∴S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3. ∴弓形ACB 的面积为12π－9 3.(1)若一个α角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a的值为( )A ．43B ．±4 3C ．－43或－433D. 3(2)已知角α的终边经过点P (12m ，－5m )(m ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值.【优质试题：84352141】(1)C [(1)因为α角的终边上有一点P (－4，a )，所以tan α＝－a4，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－a 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 42＋1＝34， 整理得3a 2＋16a ＋163＝0，(a ＋43)(3a ＋4)＝0，所以a ＝－43或－433.](2)r ＝(12m )2＋(－5m )2＝13|m |， 若m ＞0，则r ＝13m ，α为第四象限角，sin α＝y r ＝－5m 13m ＝－513， cos α＝x r ＝12m 13m ＝1213， tan α＝y x ＝－5m 12m ＝－512.若m ＜0，则r ＝－13m ，α为第二象限角， sin α＝y r ＝－5m －13m ＝513，cos α＝x r ＝12m －13m ＝－1213，tan α＝y x ＝－5m 12m ＝－512.[规律方法] 利用定义求三角函数值的两种方法(1)先由直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义，求出相应的三角函数值.(2)取角α的终边上任意一点P (a ，b )(原点除外)，则对应的角α的正弦值sin α＝b a 2＋b 2，余弦值cos α＝a a 2＋b 2，正切值tan α＝ba .当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.[跟踪训练]3．如果点P (sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限.【优质试题：84352142】[解] 因为点P (sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限， 所以sin θ·cos θ＜0,2cos θ＜0， 即⎩⎨⎧sin θ＞0，cos θ＜0，所以角θ在第二象限.(1)已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则sin θ－cos θ＝________.(2)已知f (α)＝sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)sin (－π＋α)·tan (－α＋3π).①化简f (α)；②若f (α)＝18，且π4＜α＜π2，求cos α－sin α的值； ③若α＝－47π4，求f (α)的值. 【优质试题：84352143】[思路探究] 先用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系求值． (1)13 [(1)由已知得－sin θ－2cos θ＝0，故tan θ＝－2， 则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝－2＋1－2－1＝13.](2)①f (α)＝sin 2α·cos α·tan α(－sin α)(－tan α)＝sin α·cos α.②由f (α)＝sin α·cos α＝18可知，(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34，又∵π4＜α＜π2，∴cos α＜sin α， 即cos α－sin α＜0， ∴cos α－sin α＝－32. ③∵α＝－474π＝－6×2π＋π4， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－474π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－474π·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－474π ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4＝cos π4·sin π4＝22×22＝12.母题探究：1.将本例(2)中“18”改为“－8”“π4＜α＜π2”改为“－π4＜α＜0”求cos α＋sin α.[解] 因为－π4＜α＜0，所以cos α＞0，sin α＜0且|cos α|＞|sin α|， 所以cos α＋sin α＞0，又(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18＝34，所以cos α＋sin α＝32. 2．将本例(2)中的用tan α表示1f (α)＋cos 2α.[解]1f (α)＋cos 2α＝1sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋1tan α＋1. [规律方法] 1.牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.2．诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z )的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．。
《任意角的三角函数、三角函数诱导公式》知识梳理与同步练习
《任意角的三角函数、三角函数诱导公式》知识梳理与同步练习一、任意角的三角函数【知识梳理】1.设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0y x xα=≠．2.三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．3.三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．4.同角三角函数的基本关系式：（平方关系式）()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；（商数关系式）()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．【典型例题】1.三角函数的定义：例1、已知sinαtanα≥0，则α的取值集合为．例2、角α的终边上有一点P（m，5），且)0(,13cos ≠=m m α，则sinα+cosα=______．例3、已知角θ的终边在直线y =33x 上，则sin θ=；θtan =例4、设θ∈（0，2π），点P （sin θ,cos2θ）在第三象限，则角θ的范围是．例5、求43π角的正弦、余弦和正切值．例6、已知角α的终边经过点P(4,－3)，求2sin α+cos α的值；2.三角函数线例1、sin（－1770°）·cos1500°＋cos（－690°）·sin780°＋tan405°=．例2、化简：ππππ37sin 3149cos 21613tan 3325cos 342222222m n n m --+=．例3、求下列三角函数值：（1）sin（－1080°）（2）tan 13π3（3）cos780°3、三角函数的基本关系一、选择题1、已知A 是三角形的一个内角，sin A ＋cos A =23,则这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．不等腰直角三角形D．等腰直角三角形2、若θθcos ,sin 是方程0242=++m mx x 的两根，则m 的值为A．51+B．51-C．51±D．51--3、已知sinαcosα=18,则cosα－sinα的值等于（）A．±34B．±23C．23D．－234、已知θ是第三象限角，且95cos sin 44=+θθ，则=θθcos sin （）A．32B．32-C．31D．31-二、填空题1、若15tan =α，则=αcos ；=αsin ．2、若3tan =α，则αααα3333cos 2sin cos 2sin -+的值为________________．3、已知2cos sin cos sin =-+αααα，则ααcos sin 的值为．4、已知524cos ,53sin +-=+-=m m m m θθ，则m=_________；=αtan ．三、解答题1、已知51sin =α，求ααtan ,cos 的值．2、已知22cos sin =+αα，求αα22cos 1sin 1+的值．3、已知51cos sin =+ββ，且πβ<<0．（1）求ββcos sin 、ββcos sin -的值；（2）求βsin 、βcos 、βtan 的值．二、三角函数诱导公式：【基础知识】1、三角函数诱导公式（2k πα+）的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）.2、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ．()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=．()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：正余弦互换，符号看象限．3、诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k π+α,02απ≤<；（2）转化为锐角三角函数。
(完整版)任意角的三角函数及诱导公式(学生版)
任意角的三角函数及诱导公式【知识梳理】 1．任意角 (1)角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成)(3600Z k k ∈⋅+α．(3)弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，rl=||α,l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角叫做弧度制．比值rl与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：π23600=弧度；π=0180弧度． ⑤弧长公式：r l ||α=，扇形面积公式：2||2121r lr S α==扇形. 2．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义：设(),P x y 为角α终边上异于原点一点，则角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α=cos α=tan y xα=特别地，当221x y +=时，sin ,cos y x αα==，()cos ,sin P αα(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为()cos ,sin αα，即()cos ,sin P αα，其中OM =αcos ，MP =αsin ，单位圆与x 轴的正半轴交于点)0,1(A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则AT =αtan .我们把有向线AT 、叫做α的余弦线、正弦线、正切线.(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) (Ⅳ)有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线4．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：()222222sincos 1 sin 1cos ,cos 1sin αααααα+==-=-．(2)商数关系：sin sin tan sin tan cos ,cos cos tan ααααααααα⎛⎫=== ⎪⎝⎭.对于角“)(2Z k ∈±α”的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．【课前小练】1.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若(4,y)P 是角θ终边上一点，且sin θ=，则y =_____________ 2.若4sin 5θ=，tan 0θ>，则cos ( )θ=A ．35 B ．35- C ．45D ． 45-3.已知51sin()25πα+=，那么cos α=（ ） A.25- B.15- C. 15 D. 25【例题解析】考点一 任意角的三角函数值例1 已知角α的终边过点(1P -，求这个角的三个三角函数值。
任意角的三角函数诱导公式
任意角的三角函数、诱导公式[基础归纳]1．设α是一个任意角，它的始边与x 轴的非负半轴重合，顶点在原点，终边与单位圆的交点为P(x ，y)．(1)y 叫做α的正弦，记作sin_α，即sin_α＝y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos_α＝x ； (3)y x 叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx (x ≠0)． 2．三角函数的定义域如表所示：三角函数 定义域 sin α R cos α Rtan α {α|α≠π2＋kπ，k ∈Z}3.三角函数的值在各象限的符号如图所示．4．终边相同的角的同一三角函数的值相等，即sin(α＋k·2π)＝sin_α cos(α＋k·2π)＝cos_α tan(α＋k·2π)＝tan_α (其中k ∈Z)．5．已知角α的终边位置，角α的三条三角函数线如图所示．sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT.6．熟记各特殊角的三个三角函数值 角度α 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°弧度α 0 π6 π4 π3 π2 π 3π22π sin α 0 12 22 321 0 －1 0 cos α 1 32 2212 0 －1 0 1 tan α 0 331 3 不存在 0 不存在 0 （1）．三角函数也是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从一个角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应，并且对任意一个角，在比值集合中都有唯一确定的象与之对应．三角函数的自变量是角α，比值是角α的函数．（2）．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x ，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值的大小只与角有关．知识要点二：三角函数值在各象限内的符号 （1）．三角函数值的符号是根据三角函数的定义，由各象限内点的坐标的符号得出的． （2）．对正弦、余弦、正切函数值的符号可用下列口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，该口诀表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值．知识要点三：诱导公式一的理解及其应用 （1）．公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等． （2）．公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α. （3）．公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值． 知识要点四：三角函数线（1）．三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负，三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．（2）．三角函数线的作用三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础．7．同角三角函数的基本关系式包括： 平方关系式：sin 2α＋cos 2α＝1；商数关系式：tan α＝sin αcos α.8．商数关系tan α＝sin αcos α成立的角α的范围是{α|α≠kπ＋π2，k ∈Z}．知识要点一：公式的推导（1）．设P(x ，y)是角α的终边与单位圆的交点，由三角函数的定义：x ＝cos α，y ＝sin α，yx＝tan α，及单位圆上的点到原点的距离为1，可知x 2＋y 2＝1，即cos 2α＋sin 2α＝1，且y x ＝sin αcos α＝tan α.（2）．由任意角的三角函数的定义也可求得． 设P(x ，y)为角α终边上的任一点，|OP|＝r.则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx.易知sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y 2r 2＝1，tan α＝y x ＝sin αcos α.知识要点二：公式应用时注意的问题 （1）．公式成立的条件sin 2α＋cos 2α＝1对一切α∈R 均成立，tan α＝sin αcos α仅在α≠kπ＋π2(k ∈Z)时成立．（2）．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．（3）．使用平方关系sin α＝±1－cos 2α， cos α＝±1－sin 2α，“±”由角α所在象限来确定． （4）．对于同角三角函数的基本关系式应注意变用及逆用．如：sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，1＝sin 2α＋cos 2α，si n α＝tan α·cos α，cos α＝sin αtan α，sin αcos α＝tanα 等．9．诱导公式二sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α. 10．诱导公式三sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α. 11．诱导公式四sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α， tan(π－α)＝－tan_α.即α＋k·2π(k ∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．12．诱导公式五 13．诱导公式六 sin(π2－α)＝cos_α，cos(π2－α)＝sin_α. sin(π2＋α)＝cos_α，cos(π2＋α)＝－sin_α. 即π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．知识要点一：公式的记忆方法六组诱导公式可用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀来记忆．其中α＋2kπ(k ∈Z)，π＋α，－α，π－α，π2－α，π2＋α可统一表示成kπ2±α(k ∈Z)的形式．当k 为奇数时，函数的名称要改变，由sin α变为cos α，cos α变为sin α；当k 为偶数时，函数的名称不变，这就是“奇变偶不变”的意思．还有，在记忆公式时要把α看成锐角(注意这里是为了记忆的方便，仅仅是看成锐角，而不是一定为锐角)，然后确定kπ2±α所在的象限，并结合函数的名称来确定符号，这就是“符号看象限”的意思．知识要点二：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数 利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：可以看出，这些步骤体现了把未知问题化归为已知问题的数学思想．可以简单记为“负化正，大化小，化成锐角才罢了”．[典例解析]第一部分：任意角的三角函数【例1】 已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a ≠0)，求sin α、cos α、tan α的值．思路点拨：先求出点P 到原点的距离，再利用任意角三角函数的定义，求sin α，cos α，tan α的值． 解：r ＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a|.若a>0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34.若a<0，则r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.变式训练11：角α的终边过点P(－8m ，－6cos 60°)且cos α＝－45，则m 的值是( )(A)12 (B)－12 (C)－32 (D)32 解析：P(－8m ，－3)，cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45.∴m ＝12. 故选A.【例2】 判定下列各式的符号： (1)tan 191°－cos 191°；(2)sin 2cos 3tan 4. 解：(1)∵191°是第三象限角， ∴tan 191°＞0，cos 191°＜0， ∴tan 191°－cos 191°＞0.(2)∵π2＜2＜π，π2＜3＜π，π＜4＜3π2，∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角． ∴sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0. ∴sin 2cos 3tan 4＜0.变式训练21：若θ是第二象限角，则sin (cos θ)cos (sin 2θ)的符号是什么？解：∵2kπ＋π2＜θ＜2kπ＋π(k ∈Z)，∴－1＜cos θ＜0,4kπ＋π＜2θ＜4kπ＋2π，－1＜sin 2θ＜0.∴sin(cos θ)＜0，cos(sin 2θ)＞0. ∴sin (cos θ)cos (sin 2θ)＜0.变式训练22：若sin 2α>0，且cos α<0，试确定α的终边所在象限． 解：∵sin 2α>0，∴2kπ<2α<2kπ＋π(k ∈Z)，∴kπ<α<π2＋kπ(k ∈Z)．当k 为偶数，设k ＝2m(m ∈Z)有：2mπ<α<2mπ＋π2(m ∈Z)；当k 为奇数，设k ＝2m ＋1(m ∈Z)有：2mπ＋π<α<2mπ＋3π2(m ∈Z)．∴α为第一或第三象限角．又∵cos α<0，∴α的终边在第三象限【例3】 求下列各式的值 (1)a 2sin(－1350°)＋b 2tan 405°－(a －b)2tan 765°－2abcos(－1080°)；(2)sin(－11π6)＋cos 125π·tan 4π.解：(1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－(a －b)2tan(2×360°＋45°)－2abcos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－(a －b)2tan 45°－2abcos 0°＝a 2＋b 2－(a －b)2－2ab ＝0.(2)原式＝sin(－2π＋π6)＋cos 125π·tan 0＝sin π6＝12.变式训练31：求值： (1)sin(－1320°)cos 1110°＋cos(－1020°)·sin 750°＋tan 495°；(2)cos(－233π)＋tan 174π；(3)已知tan α＝13，且0＜α＜π2，求sin (α－2π)·cos (2π＋α)tan (α－4π)的值．解：(1)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°＝32×32＋12×12－1＝0.(2)原式＝cos[π3＋(－4)×2π]＋tan(π4＋2×2π)＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(3)由tan α＝13可设α的终边上一点为(3x ，x)，x>0，∴sin α＝x 10x 2＝1010，cos α＝3x 10x 2＝31010，∴sin (α－2π)·cos (2π＋α)tan (α－4π)＝sin α·cos αtan α＝1010×3101013＝910.【例4】 求下列函数的定义域：(1)y ＝2cos x －1；(2)y ＝lg(3－4sin 2 x) 解：(1)如图(1)．∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.∴函数定义域为[－π3＋2kπ，π3＋2kπ](k ∈Z)．(2)如图(2)．∵3－4sin 2x>0，∴sin 2x<34， ∴－32<sin x<32.∴函数定义域为(－π3＋2kπ，π3＋2kπ)∪(2π3＋2kπ，4π3＋2kπ)(k ∈Z)，即(－π3＋kπ，π3＋kπ)(k ∈Z)．变式训练41：利用单位圆解不等式(组)(1)3tan α＋3>0；(2)⎩⎨⎧2sin x －2>02cos x ≤1.解：(1)原不等式可化为3tan α>－3，即tan α>－33， 则不等式的解的集合如图(阴影部分)所示，∴{α|kπ－π6<α<kπ＋π2，k ∈Z}．(2)原不等式组可化为⎩⎪⎨⎪⎧2sin x>2，cos x ≤12.即⎩⎨⎧sin x>22，cos x ≤12.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴{x|2kπ＋π3≤x<2kπ＋34π，k ∈Z}．【例5】 求函数y ＝cos x·tan x 的定义域． 解：要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≥0，tan x ≥0，x ≠π2＋kπ，或⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤0，tan x ≤0，x ≠π2＋kπ，⇒x ∈[2kπ，π2＋2kπ)∪(π2＋2kπ，π＋2kπ]，k ∈Z ，即定义域为[2kπ，π2＋2kπ)∪(π2＋2kπ，π＋2kπ]，k ∈Z.第二部分：同角的三角函数的基本关系【例1】 已知cos α＝－35，求sin α，tan α的值．解：∵cos α＜0且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限角． 当α为第二象限角时，sin α＝1－cos 2α＝ 1－(－35)2＝45，tan α＝sin αcos α＝－43.当α为第三象限角时，sin α＝－1－cos 2α＝－1－(－35)2＝－45，tan α＝sin αcos α＝43.【例2】 已知tan α＝3，求下列各式的值．(1)3cos α－sin α3cos α＋sin α；(2)2sin 2α－3sin αcos α.解：(1)原式＝3cos α－sin αcos α3cos α＋sin αcos α＝3－tan α3＋tan α＝3－33＋3＝(2)原式＝2sin 2α－3si n αcos αsin 2α＋cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos αcos 2αsin 2α＋cos 2αcos 2α＝2tan 2α－3tan αtan 2α＋1＝2×32－3×332＋1＝910.【例3】 已知0<α<π，sin α＋cos α＝15，求tan α的值．解：由sin α＋cos α＝15①两边平方易得sin αcos α＝－1225<0，又0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，则sin α－cos α>0， ∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×(－1225)＝75②由①②解得sin α＝45，cos α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝－43.变式训练31：已知－π2<x<0，sin x ＋cos x ＝15.求sin x －cos x 的值．解：法一：由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin xcos x ＋cos 2x ＝125，即2sin xcos x ＝－2425，∴(sin x －cos x)2＝1－2sin xcos x ＝4925.又∵－π2<x<0，∴sin x<0，cos x>0，∴sin x －cos x<0，∴sin x －cos x ＝－75.【例4】 化简：1cos α1＋tan 2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.解：原式＝1cos α1＋sin 2αcos 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α－(1－sin α)21－sin 2α＝|cos α|cos α＋1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α| ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2tan α(α为第一或第四象限角)，－1－2tan α(α为第二或第三象限角). 变式训练41：若tan θ＝2，则sin θ1＋sin θ－sin θ1－sin θ的值为________．解析：∵tan θ＝2，∴sin θ1＋sin θ－sin θ1－sin θ＝sin θ(1－sin θ)－sin θ(1＋sin θ)(1＋sin θ)(1－sin θ)＝－4.【例5】 求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α.证明：左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α ＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12 ＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋s in α＋cos α＝右边． ∴原式成立．变式训练51：证明：1－2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ1＋2sin θcos θ.证明：∵1－2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)－2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ＝(cos θ－sin θ)2cos 2θ－sin 2θ＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝cos 2θ－sin 2θ(cos θ＋sin θ)2＝cos 2θ－sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ)＋2sin θcos θ＝cos 2θ－sin 2θ1＋2sin θcos θ， ∴1－2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ1＋2sin θcos θ. 【例6】 若sin A ＝45，且A 是三角形的一个内角，求5sin A ＋815cos A －7的值．解：因为sin A ＝45，所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±35，当cos A ＝35时，5sin A ＋815cos A －7＝5×45＋815×35－7＝6；当cos A ＝－35时，5sin A ＋815cos A －7＝5×45＋815×(－35)－7＝12－16＝－34.故所求的值为6或－34.变式训练61：已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin Acos A ；(2)判断△ABC 是锐角三角形，还是钝角三角形？解：(1)因为sin A ＋cos A ＝15，所以两边平方得1＋2sin Acos A ＝125，sin Acos A ＝－1225.(2)由(1)sin Acos A ＝－1225<0，且0<A<π，可知cos A<0，所以A 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．第三部分：三角函数的诱导公式 【例1】 求下列三角函数式的值．(1)sin 1320°；(2)cos(－316π)；(3)tan(－945°)．解：(1)法一：sin 1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 法二：sin 1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32.(2)法一：cos(－31π6)＝cos 31π6＝cos(4π＋7π6)＝cos(π＋π6)＝－cos π6＝－32.变式训练11：计算下列各式的值： (1)sin 600°＋tan 240°；(2)sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°. 解：(1)sin 600°＋tan 240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＝sin 240°＋tan 60°＝－sin 60°＋tan 60°＝32.(2)sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin 2 15°＋cos 2 15°＝1.【例2】 已知cos(π＋α)＝－12，求sin(2π－α)的值．解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，∴α是第一或第四象限角． ①若α是第一象限角，则sin(2π－α)＝－sin α＝－1－cos 2α＝－32.②若α是第四象限角，则sin(2π－α)＝－sin α＝1－cos 2α＝32. 变式训练21：已知sin(π3－α)＝12，则cos(π6＋α)＝________.解析：∵(π3－α)＋(π6＋α)＝π2，∴cos(π6＋α)＝cos[π2－(π3－α)]＝sin(π3－α)＝12.【例3】 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)＝－tan α.证明：原式左边＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)·cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α·(－sin α)·cos αcos α·(－cos α)·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原式得证．变式训练31：已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，证明： (1)cos A ＋cos(B ＋C)＝0；(2)sin B ＋C 2＝cos A 2.证明：(1)∵A ＋B ＋C ＝π， ∴B ＋C ＝π－A ，∴cos A ＋cos(B ＋C)＝cos A ＋cos(π－A)＝cos A －cos A ＝0；(2)∵B ＋C 2＝π－A 2＝π2－A 2，∴sin B ＋C 2＝sin(π2－A 2)＝cos A 2.。
三角函数诱导公式图解
三角函数的诱导公式三角函数的基本公式公式一：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotα公式二：sin（π+α）=—sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαcot （π+α）=cotα公式三：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin （π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα公式四：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanαcot（2π－α）=－cotα公式五：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanα推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（3π/2+α）=－cos αcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=－cotαcot（3π/2+α）=－tanαsin（3π/2－α）=－cosαcos（3π/2－α）=－sinαtan（3π/2－α）=cot αcot（3π/2－α）=tanα三角函数的常见公式(1)(sinα)2+(cosα)2=1(2)1+(tanα)2=(secα)2(3)1+(cotα)2=(cscα)2正弦sin2a=2sina·cosa两角和公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sin αsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsin β诱导公式sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαsin(π/2-α)=cos αcos(π/2-α)=sinαsin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαsin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαsin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtana=sina/cosatan（π/2+α）=－cotαtan（π/2－α）=cotαtan（π－α）=－tanαtan（π+α）=tanα三角函数诱导公式公式一设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）=sinαcos（2kπ＋α）=cosαtan（2kπ＋α）=tanαcot（2kπ＋α）=cotα公式二设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin （π＋α）=-sinαcos（π＋α）=-cosαtan（π＋α）=tanαcot（π＋α）=cotα公式三任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）=-sinαcos（-α）=cosαtan（-α）=-tanαcot（-α）=-cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin （π-α）=sinαcos（π-α）=-cosαtan（π-α）=-tanαcot（π-α）=-cot α公式五利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin （2π-α）=-sinαcos（2π-α）=cosαtan（2π-α）=-tanαcot（2π-α）=-cotα公式六?3?±α及±α与α的三角函数值之间的关系：22?sin（+α）=cosα2?cos （+α）=-sinα2?tan（+α）=-cotα2?cot（+α）=-tanα2?sin（-α）=cos α2?cos（-α）=sinα2?tan（-α）=cotα2?cot（-α）=tanα23?sin（+α）=-cosα23?cos（+α）=sinα23?tan（+α）=-cotα23?cot（+α）=-tanα23?sin （-α）=-cosα23?cos（-α）=-sinα23?tan（-α）=cotα23?cot（-α）=tan α2(以上k∈z)。
三角函数诱导公式大全
三角函数诱导公式大全三角函数诱导公式三角函数诱导公式一：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα三角函数诱导公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα三角函数诱导公式三：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα三角函数诱导公式四：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)三角函数诱导公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα三角函数诱导公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)2诱导公式作用及用法一、三角函数诱导公式的作用：可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数。
任意角三角函数正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
任意角三角函数正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式正弦函数和余弦函数是任意角三角函数中两个最基本的函数。
它们的定义可以通过单位圆来得出，并且它们之间存在着重要的诱导公式。
首先，我们来看正弦函数的定义。
对于一个给定的角度θ，我们可以在单位圆上找到对应的点 P。
那么，我们定义正弦函数sin(θ) 为点P 的纵坐标值。
也就是说，sin(θ) = y / r，其中 y 是点 P 的纵坐标，r 是单位圆的半径。
接下来，我们来看余弦函数的定义。
与正弦函数类似，对于一个给定的角度θ，我们可以在单位圆上找到对应的点 P。
那么，我们定义余弦函数cos(θ) 为点 P 的横坐标值。
也就是说，cos(θ) = x / r，其中x 是点 P 的横坐标，r 是单位圆的半径。
正弦函数和余弦函数的定义可以用下图来表示：```θr * cos(θ) ， r----------------，--------------------r * sin(θ)```在上图中，θ 是角度，r 是单位圆的半径，P 是对应的点。
点 P 的横坐标为r * cos(θ)，纵坐标为r * sin(θ)。
接下来我们来讨论正弦函数和余弦函数的诱导公式。
诱导公式是指，如果我们知道一个角度的正弦值或余弦值，我们可以通过其他角度的正弦函数和余弦函数来计算。
首先，我们来看正弦函数的诱导公式。
对于任意角度θ，我们可以通过一个有用的等式来计算sin(θ)。
这个等式叫做“和差化积公式”或者“诱导公式”。
根据这个公式，我们有 sin(a + b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b)。
如果我们令a = θ 和b = 90°，那么我们可以得到sin(θ +90°) = sin(θ) * cos(90°) + cos(θ) * sin(90°)。
根据单位圆上的图像，我们知道cos(90°)=0，sin(90°)=1，所以这个等式简化为sin(θ + 90°) = cos(θ)。
三角函数诱导公式
三角函数诱导公式常用的三角函数诱导公式三角函数诱导公式一：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα三角函数诱导公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα三角函数诱导公式三：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα三角函数诱导公式四：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)三角函数诱导公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα三角函数诱导公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
任意角与诱导公式
一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1、任意角（1）角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角。
②按终边位置不同分为象限角和轴线角。
（2）终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k²360°(k∈Z)。
（3）弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l r，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径。
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值l r与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关。
④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度。
⑤弧长公式：l ＝|α|r 。
扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2。
2、任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x ，y)，它与原点的距离为r(r ＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。
3、三角函数线（1）设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影。
由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT 。
我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线。
一条规律 三角函数值在各象限的符号规律概括为：一正、二弦、三切、四余。
（2）终边落在x 轴上的角的集合{β|β＝k π，k ∈Z}；终边落在y 轴上的角的集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β| β＝π2＋k π，k ∈Z ；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪β＝k π2，k ∈Z 。
三角函数的诱导公式
三角函数的诱导公式常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）例如：sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。
任意角的三角函数与诱导公式
αA(1,0)O P(x,y)Y x学案：任意角的三角函数及诱导公式一、知识点梳理1. 单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆称为单位圆.2. 任意角的三角函数的定义如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,则OP 的长r=1，那么: (1) 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即（2） 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即（3）yx叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)y x x α=≠.说明: (1)当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan yxα=无意义,除此情况外，对于确定的值α，上述三个值都是唯一确定的实数. (2)当α是锐角时，此定义与初中定义相同；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.(3)正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数. 3. 三角函数的定义域,函数值的符号三角函数定义域第一象限第二象限第三象限第四象限角度制 弧度制 sin αcos α tan α二、例题演练例1. 确定下列三角函数值的符号(1)cos250︒; (2)sin()4π-; (3)tan(672)︒-; (4)tan3π.r y r x y ry ==αsin x rx==αcos例2. 求下列三角函数值:(1)'sin148010︒; (2)9cos 4π; (3)11tan()6π-.例3. 已知角α的终边上一点(3,)P m -，且2sin 4mα=，求αcos 的值.三：巩固练习1、已知角α的终边经过点p(—1,3),则ααcos sin +的值是（ ）A.213+ B.213- C.231- D.213+- 2、下列命题中，正确命题的个数是（ ） （1）终边相同的角的同名三角函数的值相同 （2）终边不同的角的同名三角函数的值不等 （3）若0sin >α则α是第一、二象限的角（4）若α是第二象限的角,且p(x,y)是其终边上一点，则22cos y x x +-=αA.1B.2C.3D.4 3、若0cos sin >θθ，则θ在（ ） A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第一、四象限 D.第二、四象限4、若),2,0(π∈x 函数x x y tan sin -+=的定义域是（ ）A.[0,π]B.[0,2π]C.[ππ2,23]D.(],2ππ5、设角α属于第二象限，且,2cos 2cos αα-=，则角2α属于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6、已知p(y ,3-)为角β的终边上的一点，且1313sin =β,则y 等于（ ）A.21±B.21C.21- D.2±7、已知α角的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则α的终边在（ ） A.第一象限角的平分线上 B.第四象限角的平分线上 C.第二、四象限角的平分线上 D.第一、三象限角的平分线上8在[0，2π]上满足21sin ≥x 的x 的取值范围是（ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ65,6 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ32,6 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,65 9、=-+)611tan(49cos ππ10、若角α的终边在直线x y 33=上，则___________cos _________sin ==αα 11、函数xx x y tan cos lg sin +=的定义域为12、已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα,2，则=--+-1cos cos 1cos cos sin sin ααααα13、已知角α的终边经过点()(),3,4o a a a p ≠-求ααcos sin 2+的值。
任意角的三角函数及其诱导公式
0 1 0 1 0 1 0 0 0
2）同终边角的同名三角函数值相等. Sin(2kπ+α)= Sinα
cos(2kπ+α)= cosα
tan(2kπ+α)= tanα 2kπ是三角函数的周期 诱导公式1
练习：确定下列函数值的符号
1）sin1900的符号是——？
2）cos(-3920)的符号是——？
Sinα=MP1,cosα=OM Sin(π/2+α)=NP2; cos(π/2+α)=ON Rt△OP1M≌Rt△P2ON
Sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)= -Sinα
π/2+α
P2 P1 α
∴ NP2=OM， ON=-MP1
N
O
M
函数名称变，符号看象限
思考：公式 Sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)= Sinα的证明方法 所有的诱导公式中的角α的取值范围是使 公式有意义的任意角，记忆公式时可将α看成 锐角，从而确定符号. π/2-α P2 P1 α
（2）已知
3 5 cos ，求 cos 的值． 6 3 6
3 3 （3）已知 cos 的值． ，求 3 cos 2 2
； 杏耀： ；
任意角的三角函数及其诱导公式
一、 任意角的 的三角函数.
角的 终 边 与 单 位 圆 相 交 点 于P(a , b ); b 则 si n b 1
P(a,b)
b 称为角 的正弦函数； 记作 b=sin ;
一般用x表示自变量，y表示函数； 所以正弦函数表示：y＝sin x （x R） 相类似余弦函数是y＝cos x；正弦函数是y＝tan x
任意角的三角函数及诱导公式
任意角的三角函数及诱导公式基本知识点：1.三角函数定义在α的终边上任取一点(,)P a b ,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .；利用单位圆定义任意角的三角函数，设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:(1)y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=； （2叫做α的余弦,记做cos α,（3叫做α的正切,记做tan α, 2.常用的同角三角函数的基本关系式1cos sin 22=+αα ααα222cos 1sec tan 1==+ αααcos sin tan =3.诱导公式：(1)ααπsin )2sin(=+k ， ααπc o s )2c o s(=+k ， ααπtan )2tan(=+k (2)ααπsin )sin(-=+， ααπcos )cos(-=+， ααπt a n )t a n(=+ (3)ααπsin )sin(=-， ααπcos )cos(-=-， ααπtan )tan(-=- (4) ααsin )sin(-=-， ααc o s )c o s(=-， ααt a n )t a n (-=- (5)ααπcos )2sin(=-, ααπsin )2cos(=-, ααπcot )2tan(=- (6)ααπcos )2sin(=+, ααπsin )2cos(-=+, ααπcot )2tan(-=+(7)ααπcos )23sin(-=+, ααπsin )23cos(=+, ααπcot )23tan(-=+典型例题练习：1. 已知0cot cot tan tan cos cos sin sin =+++αααααααα，确定)2tan(sin )sin(cos αα⋅的符号？2. 利用三角函数线比较下列各组数的大小： (1)32sin π与54sin π；(2)32tan π与54tan π；(3) 32cos π与54cos π3. 若20πα<<，证明：(1)1cos sin >+αα；(2)αααtan sin <<4. 化简：1sec 1sec 1sec 1sec )sin 1sin 1sin 1sin 1(+---+⋅+---+αααααααα5. 已知11tan tan -=-αα，求下列各式的值：(1)ααααcos sin cos 3sin +-； (2)2cos sin sin 2++ααα6. 化简下列各式：(1)400sin 12- (2)10sin 110sin 10cos 10sin 212---(3)ααααααcos sin 1cos sin 2cos sin 1+++++7. 证明：ααααααααcos sin 1)sin (cos 2cos 1sin sin 1cos ++-=+-+8. 已知ππ-<<-x 23，化简：22)2tan 1()2tan 1(x x -++9. 已知ααcos ,sin 是关于x 的方程02=+-a ax x 的两个根。
(完整版)任意角的三角函数及诱导公式(学生版)
任意角的三角函数及诱导公式【知识梳理】 1 •任意角 (1) 角的分类：① 按旋转方向不同分为正角、负角、零角.②按终边位置不同分为象限角和轴线角. _________ (2) 终边相同的角：终边与角相同的角可写成k 3600(k Z).(3) 弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.② 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数， 零角的弧度数为零，| |丄，1是— r以角 作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径.③ 用“弧度”做单位来度量角叫做弧度制.比值 -与所取的r 的大小无关，仅与角的大r小有关.④ 弧度与角度的换算： 3600 2弧度；1800 弧度. 1 1 2⑤ 弧长公式：丨| | r ，扇形面积公式： S 扇形lr | | r 2. 2 22 .任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义：(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 3 .三角函数线设角 的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 P ，过P作PM 垂直于x 轴于M •由三角函数的定义知，点P 的坐标为cos ,sin ,即P cos ,sin ,其中cos OM , sin MP ,单位圆与x 轴的正半轴交于点 A(1,0),单位圆在A 点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan AT .我们把有向线设P x,y 为角终边上异于原点一点，则角的正弦、余弦、正切分别是:sin特别地，当x 2 y 21时，siny,cos x , P cos ,sin三角函数线段OM 、MP 、AT 叫做 的余弦线、正弦线、正切线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线4•同角三角函数的基本关系式对于角“(k Z) ”的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变” •“符号看象限”是指“在的三角函数值前面加上当为锐角时，原函数值的符号”.【课前小练】1.已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4, y)是角终边上一点，且sin 2、5---- ，贝U y52.若sin 4,tan 0，则cos ( ) 52(1) 平方关系：sin(2) 商数关系：tan2^-2cos 1 sinsin 丄sin tan cos2 2 21 cos ,cos 1 sinsincos ,cos .tanA 3B . 34 D .4A.-C . 一5 1 )55553.已知sin(——那么cos()2 521 1 2A.B. —c.—D.—5555【例题解析】考点一任意角的三角函数值例i 已知角 的终边过点P 1,3，求这个角的三个三角函数值。
弧度制任意角三角函数及诱导公式
弧度制任意角三角函数及诱导公式一、弧度制弧度制是一种测量角度大小的方式，与我们常用的度数制不同。
在弧度制中，角度的大小由弧长来表示。
弧度制的优势在于能够更精确地描述角度的大小和计算三角函数的值。
弧长是指在圆的周长上所对应角度的长度，单位可以是任意长度单位，如米、厘米等。
弧度则是弧长在半径长度下的比例，它是一个无单位的数值。
具体来说，当角度为360度时，弧度为2π。
根据这个关系，可以设立一个比例：一个圆的弧度与其所对应的角度之比等于2π与360度之比。
推而广之，可以得到以下的换算关系：180°=π弧度1°≈π/180弧度。
二、任意角三角函数我们通常所说的三角函数（如正弦函数 sin(x)、余弦函数 cos(x)、正切函数 tan(x)等）都是基于直角三角形的定义而来的。
但是，在数学中，我们也可以将这些三角函数推广到任意角上。
对于任意角θ，其三角函数的定义如下：sin(θ) = y / rcos(θ) = x / rtan(θ) = y / x其中，x、y分别表示点P在单位圆上的坐标，r表示点P到圆心的距离。
任意角三角函数的计算可以利用单位圆上的点P的坐标来进行。
通常，我们可以利用三角恒等式来将任意角转化为在360度以内的角，然后再应用单位圆上的计算方法。
三、诱导公式在任意角三角函数的计算中，诱导公式起到了重要的作用。
诱导公式可以将其中一函数的一些特定角度的值转化为其他角度的值。
以下是一些重要的诱导公式：1.正弦函数的诱导公式：sin(π/2 - θ) = cos(θ)sin(π/2 + θ) = cos(θ)sin(π - θ) = sin(θ)sin(2π - θ) = -sin(θ)。
2.余弦函数的诱导公式：cos(π/2 - θ) = sin(θ)cos(π/2 + θ) = -sin(θ)cos(π - θ) = -cos(θ)cos(2π - θ) = cos(θ)。
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普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教B 版]高三新数学第一轮复习教案（讲座22）—任意角的三角函数及诱导公式一．课标要求：1．任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．三角函数（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（π/2±α, π±α的正弦、余弦、正切）。
二．命题走向从近几年的新课程高考考卷来看，试题内容主要考察三角函数的图形与性质，但解决这类问题的基础是任意角的三角函数及诱导公式，在处理一些复杂的三角问题时，同角的三角函数的基本关系式是解决问题的关键。
预测高考对本讲的考察是：1．题型是1道选择题和解答题中小过程；2．热点内容是三角函数知识的综合应用和实际应用，这也是新课标教材的热点内容。
三．要点精讲1．任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α。
旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。
为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。
如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。
2．终边相同的角、区间角与象限角角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。
那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。
终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2k π(k ∈Z)，即β∈{β|β=2k π+α，k ∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。
区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α|6π≤α≤65π}=[6π，65π]。
3．弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。
角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。
角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径。
角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=。
弧度与角度互换公式：1rad ＝π180°≈57.30°=57°18ˊ、1°＝180π≈0.01745（rad ）。
弧长公式：r l ||α=（α是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：2||2121r r l S α==。
4．三角函数定义在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r >.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .则sin MP b OP r α==；cos OM aOP rα==；tan MP bOM aα==。
利用单位圆定义任意角的三角函数，设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:sin y α=；(1)y 叫做α的正弦,记做sin α,即（2）x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=；（3）yx叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)yx xα=≠。
5．三角函数线三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。
利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。
以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）。
当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==。
我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有cos OM x α==同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标。
这样,无论那种情况都有sin MP y α==。
像M P O M 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段。
如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有tan y AT xα==我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。
6．同角三角函数关系式使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法。
几个常用关系式：sin α+cos α，sin α-cos α，sin α·cos α；(三式之间可以互相表示)同理可以由sin α－cos α或sin α·cos α推出其余两式。
②21sin 1sin2αα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭． ③当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有sin tan x x x <<。
7．诱导公式可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。
诱导公式一：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二： sin(180)α+= sin α-； c o s (180)α+=-cos α诱导公式三： sin()sin αα-=-； cos()cos αα-= 诱导公式四：sin(180)sin αα-=； cos(180)cos αα-=-诱导公式五：sin(360)sin αα-=-； cos(360)cos αα-=（1）要化的角的形式为180k α⋅±（k 为常整数）； （2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；（3）sin(k π+α)=(－1)k sin α；cos(k π+α)=(－1)k cos α(k ∈Z)； （4）sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
四．典例解析题型1：象限角例1．已知角︒=45α；（1）在区间]0,720[︒︒-内找出所有与角α有相同终边的角β；（2）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈︒+︒⨯==Z k k x x M ,451802|，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈︒+︒⨯==Z k k x x N ,451804|那么两集合的关系是什么？解析：（1）所有与角α有相同终边的角可表示为：)(36045Z k k ∈︒⨯+︒， 则令 ︒≤︒⨯+︒≤︒-036045720k ， 得 ︒-≤︒⨯≤︒-45360765k解得 36045360765-≤≤-k 从而2-=k 或1-=k代回︒-=675β或︒-=315β（2）因为{}Z k k x x M ∈︒⨯+==,45)12(|表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合{}Z k k x x N ∈︒⨯+==,45)1(|表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M N Ø。
点评：（1）从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角α有相同终边的角，然后列出一个关于k 的不等式，找出相应的整数k ，代回求出所求解；（2）可对整数k 的奇、偶数情况展开讨论。
例2．（2001全国理，1）若sin θcos θ＞0，则θ在（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四象限解析：答案：B ；∵sin θcos θ＞0，∴sin θ、cos θ同号。
当sin θ＞0，cos θ＞0时，θ在第一象限，当sin θ＜0，cos θ＜0时，θ在第三象限，因此，选B 。
例3．（2001春季北京、安徽，8）若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案：B解析：∵A 、B 是锐角三角形的两个内角，∴A ＋B ＞90°，∴B ＞90°－A ，∴cos B ＜sin A ，sin B ＞cos A ，故选B 。
例4．已知“α是第三象限角，则3α是第几象限角? 解法一：因为α是第三象限角，所以()Z k k k ∈+<<+ππαππ2322， ∴()Z k k k ∈+<<+2323332ππαππ，∴当k=3m （m ∈Z ）时，3α为第一象限角； 当k= 3m ＋1（m ∈Z ）时，3α为第三象限角，当k= 3m ＋2（m ∈Z ）时，3α为第四象限角，故3α为第一、三、四象限角。
解法二：把各象限均分3等份，再从x 轴的正向的上方起依次将各区域标上I 、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则α原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为3α的终边所在的区域。
由图可知，3α是第一、三、四象限角。
点评：已知角α的范围或所在的象限，求nα所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n 等份，再从x 轴的正向的上方起，依次将各区域标上I 、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则α原来是第几象限的符号所表示的区域即为nα(n ∈N *)的终边所在的区域。
题型2：三角函数定义例5．已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的四个三角函数值。
解析：因为过点(,2)(0)a a a ≠，所以|r a =，,2x a y a ==。
当0siny a r α>====时， 555c o s ===a a r x α，2tan =α。
当0sin5y a r α<====-时，，555cos -=-==a a r x α；2tan =α。
例6．已知角α的终边上一点()P m ，且sin 4α=，求cos ,sin αα的值。
解析：由题设知x =y m =，所以2222||(r OP m ==+，得r =从而sin4α=mr ==，解得0m =或21662m m =+⇒=当0m =时，r x == cos 1,tan 0x yr xαα==-==；当m =r x == cos 43x y r x αα====-；当m =r x == cos 43x y r x αα==-==题型3：诱导公式例7．（2001全国文，1）tan300°+0405sin 405cos 的值是（ ） A ．1＋3B ．1－3C ．－1－3D ．－1＋3解析：答案：B tan300°＋00405sin 405cos ＝tan(360°－60°)＋)45360sin()45360cos(0000++＝－tan60°＋0045sin 45cos ＝1－3。