华侨大学数学分析2009—2018(缺2017)年考研真题试题

u
sin xdx || cos1 cos u | 2 . 当 x 1 时, 因此,
1
1 x 2 x (1 x)2
当 x 1 , x 时 , x 严 格 单 调 减 且 趋 于 零 , 由 Dirichlet 判 别 法 知 积 分 1 x
4-2
x sin x dx 收敛, 从而 x sin x dx 也收敛.
2
2
2sin
1
cos x 1 x .
2( x 1 x )
2
因 | cos x 1 x | 1 且 lim 2sin
1
0 , 因此,
2
x
2( x 1 x )
lim (sin x 1 sin x ) 0 .
x
3. lim( x2 1)x2 . x x2 1
解. 原式 lim[(1
2
x2 1 2 x2
将 x0 k , y0 z0 4k 代 入 F (x, y, z) 0 得 k 1 从 而 得 x0 1, y0 z0 2 . 所求切平面方程为
lim x 0 , 因 此 ,
x0
lim f (x) lim x arctan 1 0 f (0) . 即 f (x) 在 x 0 处连续.
x0
x0
x
因
, lim
f (x)
f (0)
1 lim arctan
, lim
f (x)
f (0)
1 lim arctan
,
x0
x
x0
x 2 x0
) 2 ]x2 1 e2
x
x2 1
二. (15 分) 设函数 f (x) 在区间 I 上连续, 证明: 若对任何有理数 r I 有
f (r) 0 , 则在 I 上 f (x) 0 .
证明: (reductio ad absurdum) Assume Q I & f ( ) A 0 . Take 1 A .
2
3
n
3
ln 2 dx
4 ln 3 dx
n1
ln
n
dx
ln
2
ln
3
ln
n
ln(n!)
.
2
3
n
五. (10 分) 证明函数
f
(x)
x
arctan
1 x
0
x0 x0
在 x 0 处连续, 但在 x 0 处导数不存在.
证明: 当
0 | x | 时 , | arctan x | , 又 2
数学分析 B(参考答案)
一. (共 24 分, 每小题 8 分) 求下列极限.
(2)n 5n
1.
lim
n
(2)n1
5n1
;
解.
原式
lim
n
(2 / 5)n 1 (2)(2 / 5)n
5
1 5
2. lim (sin x 1 sin x ) ; x
解. sin
x 1 sin
x 2sin x 1 x cos x 1 x
1 1 x
0 1 x
当
x [0, ) 时 , | x sin x | x sin2 x 1 x 1 x cos 2x . 因
1 x 1 x
21 x 21 x
x cos 2x dx
收敛,
而
x
dx 发散, 因此,
|
x sin x |dx
发散.
即原积
0 2(1 x)
0 2(1 x)
0 1 x
分条件收敛.
4 x
x 2)3
4
dx
3
x2 (x 2)3
dx
2
1 (x 2)3 dx
dx x2
3
(
x
dx 2)2
2
dx (x 2)3
ln |
x2|
3 x2
2 (x 2)2
C
.
n1
2. ln[x] dx , 其中 n 为自然数. 1
解. 原式
3
ln[x] dx
4 ln[x] dx
n1
ln[x] dx
22 satisfies | r | . So f (r) 1 A 0 . It is a contradiction to f (r) 0 . Hence, f (x) 0 .
2
三. (10 分) 设 A , B 为非空有界数集, S A B . 证明： inf S min{inf A, inf B} .
x
x0
x2
lim f (x) f (0) lim f (x) f (0) , 因此 lim f (x) f (0) 不存在, 即 f (x) 在 x 0
x0
x
x0
x
x0
x
处导数不存在.
6. (15 分) 讨论积分 x sin x dx 为绝对收敛还是条件收敛.
0 1 x
解. u 1,|
x 4y 6z 0
的切平面. 解. 令 F (x, y, z, ) x2 2 y2 3z2 21 . 则曲面 F (x, y, z) 0 在点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 处的
切平面方程为 x0 (x x0 ) 2 y0 ( y y0 ) 3z0 (z z0 ) 0 则有关系式 x0 2 y0 3z0 k const 14 6
4-1
证明: 因 S 非空且有界, 因此 S 的上、下确界都存在. x S , 有 x A x B , 因 此 , x inf A x inf B , 从 而 有 x min{inf A, infB} , 故 而 有
inf S min{inf A, infB}. 又 x A 有 x S , 因此, x inf S , 从而 inf A inf S ;
同 理 有 inf B inf S , 故 而 得 min{inf A, infB} inf S . 由 所 证 结 论 可 得
inf S min{inf A, inf B} .
四. (共 18 分, 每小题 9 分) 计算下列积分.
x2 x
1.
dx ;
(x 2)3
解. 原式
x2 (
7. (10 分) 计算积分 zdxdy xdydz ydzdx , 其中 为柱面 x2 y2 1 被平
面 z 0 , z 3 所截部分的外侧.
解. 原式 3dxdydz 0dxdy 3dxdy 9 3 6 .
V
x2 y2 1
x2 y2 1
8. (10 分) 求曲面 x2 2 y2 3z2 21 的平行于平面
2 Because f is continuous, 0 , when | x | , | f (x) f ( ) | 1 A . So that, when
2 | x | , f (x) A 1 A 1 A 0 . By the density of rational numbers, r (r Q) , it