高中数学学考复习 模块过关专题讲座练习 第十四讲 正余弦、正切的二倍角公式、简单的三角变换 新人教A
3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式上课课堂
(2)求对称轴，对称中心 (3)求该函数的单调区间
课程章节
17
[解] (1)f(x)＝ 22cos2x＋π4＋sin2 x ＝ 22cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－c2os 2x ＝12－12sin 2x， 故 f(x)的最小正周期为 π.
课程章节
18
asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)的应用
[例 3] (2013·西域模拟)已知函数 f(x)＝ 3sin2x＋sin xcos x，x∈π2，π.
(1)求f(x)的零点； (2)求f(x)的最大值和最小值．
课程章节
19
[自主解答] (1)令 f(x)＝0，得 sin x·( 3sin x＋cos x)＝0， 所以 sin x＝0 或 tan x＝－ 33. 由 sin x＝0，x∈π2，π，得 x＝π； 由 tan x＝－ 33，x∈π2，π，得 x＝56π. 综上，函数 f(x)的零点为56π或 π.
7
3
2、已知 sin
cos
1 3
,0
,
求sin 2和cos 2
课程章节
9
升、降幂公式
1、升幂公式： 1 sin 2 sin2 cos2 2sin cos
=（sin cos）2
1 cos 2 2cos2 升幂缩角
1 cos 2 2sin2
2、降幂公式：
cos2 1 cos 2
课程章节
15
例6．已知函数．
f (x) 1 2sin2(x π) 2sin(x π)cos(x π)
8
8
8
求：（I）函数的最小正周期；
（II）函数的单调增区间．
余弦值的二倍角公式
余弦值的二倍角公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：余弦值的二倍角公式是数学中常见的三角函数公式之一，它可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式，从而更方便地进行数学运算和推导。
在本文中，我们将详细介绍余弦值的二倍角公式的推导过程和应用情况。
我们来看一下余弦值的定义。
余弦值在三角函数中的定义是：在直角三角形中，余弦值是指直角边上的斜边与斜边之间的夹角的比值。
一般来说，余弦函数的定义域是整个实数集，值域是[-1,1]。
接下来，我们来推导余弦值的二倍角公式。
假设角θ的余弦值为cos(θ)，那么角2θ的余弦值可以表示为cos(2θ)。
根据三角函数的加法公式，我们可以得到：cos(2θ) = cos(θ + θ)根据余弦函数的加法公式，我们有：根据三角函数的定义，我们知道sin(θ) = √(1 - cos²(θ))，将其代入上式可得：cos(2θ) = cos(θ)cos(θ) - √(1 - cos²(θ))√(1 - cos²(θ))化简上式可得：这就是余弦值的二倍角公式。
通过这个公式，我们可以方便地求得角度为2θ的余弦值，而不必通过较为复杂的三角函数展开式来计算。
余弦值的二倍角公式在数学运算和推导中有着广泛的应用。
在求解一些复杂的三角函数方程时，我们可以利用二倍角公式将问题转化为更简单的形式，从而更方便地解决。
在物理学、工程学等领域，余弦值的二倍角公式也经常被使用，例如在分析交流电路中的电流、电压关系时，就会用到这个公式。
除了余弦值的二倍角公式外，还有许多其他的三角函数二倍角公式，如正弦值的二倍角公式、正切值的二倍角公式等，它们都是三角函数中的重要工具，能够帮助我们更高效地解决数学和物理问题。
在学习余弦值的二倍角公式时，我们需要掌握其推导过程和应用方法，熟练运用这个公式能够提高我们的数学解题能力和逻辑思维能力。
希望通过本文的介绍，读者对余弦值的二倍角公式有了更清晰的认识，能够在实际应用中灵活运用这一重要的数学工具。
余弦值的二倍角公式
余弦值的二倍角公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：余弦值的二倍角公式是数学中常见的一个重要定理，主要用于计算某角的余弦值的两倍角。
在三角函数中，余弦是一个基本的三角函数之一，它在三角学和几何学中起着重要的作用。
余弦值的二倍角公式是由三角函数的性质和三角恒等式推导而来的。
下面我们将详细介绍余弦值的二倍角公式及其推导过程。
让我们回顾一下余弦函数的定义。
在直角三角形中，余弦值可以表示为一个角的邻边与斜边的比值。
假设在一个直角三角形中，某角的余弦值为cos(α)，那么这个角的余弦值的两倍角即为cos(2α)。
余弦值的二倍角公式可以表示为：cos(2α) = cos²(α) - sin²(α)cos²(α)表示余弦值的平方，sin²(α)表示正弦值的平方。
现在我们来推导这个公式。
我们可以利用余弦函数和正弦函数的定义，得到：根据三角函数的加法公式，我们可以得到：化简上式，我们可以得到：这就是余弦值的二倍角公式。
通过这个公式，我们可以快速计算某角的余弦值的两倍角，而不必在直角三角形中重新计算。
在物理学和工程学等领域，余弦值的二倍角公式也具有重要的作用。
在信号处理中，如果需要对信号进行频谱分析，余弦值的二倍角公式可以帮助我们计算频谱成分的幅度和相位，从而更好地了解信号的特性。
余弦值的二倍角公式是一个重要的数学定理，它在数学领域和其他领域都有着广泛的应用。
通过深入理解这个公式的推导过程和应用方法，我们可以更好地运用它来解决问题，并丰富我们的数学知识。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！第二篇示例：余弦值的二倍角公式是数学中的一个重要公式，它可以帮助我们简化复杂的三角函数运算，并在解决一些三角函数相关问题时提供方便。
余弦值的二倍角公式的推导和应用涉及到一些基本的三角函数知识和数学推理，本文将详细介绍余弦值的二倍角公式以及其推导过程和应用。
我们来回顾一下余弦函数的定义。
在直角三角形中，假设有一个锐角为θ的角，那么余弦函数cosθ定义为：三角形的邻边与斜边的比值。
高考数学基础知识专题提升训练124---二倍角的正弦、余弦、正切公式
高考数学基础知识专题提升训练二倍角的正弦、余弦、正切公式课程标准核心素养能从两角差的余弦公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.通过对二倍角的正弦、余弦、正切公式的学习，提升“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.[对应学生用书P109] 知识点二倍角的正弦、余弦、正切公式[微体验]1．思考辨析(1)sin 2α＝2sin α.( )(2)2sin215°－1＝cos 30°＝32.( )(3)要使T2α有意义，需要α≠±π4＋kπ且α≠π2＋kπ(k∈Z)．( )答案(1)×(2)×(3)√2．若sin α＝35，则cos 2α＝________.解析 cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×925＝725. 答案7253．计算：sin 22°30′cos 22°30′＝________. 解析 sin 22°30′cos 22°30′＝12sin 45°＝24.答案244．若tan 2α＝43，则tan α＝________.解析 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝43，∴tan α＝12或tan α＝－2.答案 12或－2[对应学生用书P 110]探究一 给角求值(化简)问题(1)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝35，则cos 2θ＝________.(2)化简：1＋sin 10°－1－sin 10°＝________. 解析(1)∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝35，∴cos θ＝35. ∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725.(2)原式＝ (sin 5°＋cos 5°)2－(sin 5°－cos 5°)2 ＝s in 5°＋cos 5°－(cos 5°－sin 5°)＝2sin 5°. 答案 (1)－725(2)2sin 5° [方法总结]应用二倍角公式化简求值的三个关注点(1)当单角为非特殊角，而倍角为特殊角时，常利用倍角公式及其变形公式化为特殊角求值．(2)当式子中涉及的角较多，要先变角，化异角为同角． (3)对根式形式的化简，以去根号为目的，化简时注意角的范围． [跟踪训练] 下列各式中，值为32的有( ) A ．2sin 15°－cos 15° B ．co s 215°－sin 215° C ．2si n 230°－1D ．cos 215°＋sin 215°B [A 中，2sin 15°－cos 15°≠32.B 中，cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32.C 中，2sin 230°－1＝－cos 60°＝－12.D 中，cos 215°＋sin 215°＝1.]探究二 二倍角公式的灵活运用问题求下列各式的值： (1)－23＋43cos 2 15°＝________.(2)tan π12－1tan π12＝________.(3)cos 20°cos 40°cos 80°＝________.解析(1)原式＝23(2cos 215°－1)＝23cos 30°＝33.(2)原式＝tan 2π12－1tan π12＝－2⎝⎛⎭⎪⎫1－tan 2π122tan π12＝(－2)×1tan ⎝⎛⎭⎪⎫2×π12＝－2tanπ6＝－2 3. (3)原式＝sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°sin 20°＝12si n 40°cos 40°cos 80°sin 20°＝14sin 80°cos 80°sin 20°＝18sin 160°sin 20°＝18.答案 (1)33(2)－23(3)18[变式探究] 将本例(3)变为sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°，如何求值？ 解析 原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝sin 6°cos 6°cos 48°cos 24°cos 12°cos 6°＝sin 96°16cos 6° ＝cos 6°16cos 6°＝116. 答案116[方法总结]二倍角公式的灵活运用(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有：2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos2α－sin2α＝cos 2α，2tan α1－tan2α＝tan 2α.(2)公式的变形用：公式间有着密切的联系，这就要求思考时融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2,1＋cos 2α＝2cos2α，cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2.[对应学生用书P110]1．对“二倍角”应该有广义的理解运用二倍角公式，首先要准确把握“二倍角”这个概念，明确“倍角”的相对性，它指的是两个角的一个“倍数”关系，不仅仅指2α是α的二倍角，还可以指α2是α4的二倍角等．2．二倍角的余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos2α，②cos2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin2α，④sin2α＝1－cos 2α2.课时作业(四十五) 二倍角的正弦、余弦、正切公式[见课时作业(四十五)P 189]1．函数y ＝1－2cos 2x 的最小正周期是( ) A ．π4B ．π2C ．πD ．2πC [y ＝1－2cos 2x ＝－cos 2x ，其最小正周期是T ＝2π2＝π.]2．若sin α－cos α＝2，则sin 2α等于( ) A ．2 B ．12 C ．1D ．－1D [∵sin α－cos α＝2，∴－2sin αcos α＝1，即sin 2α＝－1.] 3．2－sin 22＋cos 4的值是( ) A ．sin 2 B ．－cos 2 C ．3cos 2D ．－3cos 2D [原式＝ 1＋cos 22＋2cos 22－1＝ 3cos 22＝－3cos 2.] 4．若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α等于( )A ．6425B ．4825C ．1D ．1625A [cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α.把tan α＝34代入得，原式＝1＋4×341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝42516＝6425.]5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2α的值等于() A ．79 B ．13 C ．－79D ．－13C [因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.] 6．计算：sin 4π12－cos 4π12＝________.解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π12＋cos 2π12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π12－cos 2π12＝sin 2π12－cos 2π12＝－cos π6＝－32. 答案 －327．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为________．解析 sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝725.答案 7258．α为第三象限角，则1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝________.解析 ∵α为第三象限角，∴cos α<0，sin α<0， ∴原式＝2cos 2αcos α－2sin 2αsin α＝－2cos αcos α－－2sin αsin α＝0.答案 09．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值． 解因为α为锐角，0<α<π2，所以π6<α＋π6<2π3.因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0， π2. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2×35×45＝2425，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝725. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π4－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π4＝17250.10．化简：(1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α(π<α<2π)．解原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α24cos2α2＝2cos α2⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.因为π<α<2π，所以π2<α2<π， 所以cosα2<0，所以原式＝cos α.1．已知s in 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．16 B ．13 C ．12D ．23A [方法一：cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2 ＝12(1－sin 2α)＝16. 方法二：cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22cos α－22sin α，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12(cos α－sin α)2＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin 2α)＝16.] 2．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于( ) A ．－53B ．－59C ．59D ．53A [由题意得(sin α＋cos α)2＝13，即1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23.∵α为第二象限角，∴cos α－sin α<0. 又∵sin α＋cos α>0，∴cos α<0，sin α>0，且|cos α|<|sin α|，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α<0，∴cos 2α＝－ 1－sin 22α ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝－ 1－49＝－53.] 3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2， π，sin α＝55，则tan 2α＝________.解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2， π，sin α＝55，∴cos α＝－255.∴tan α＝－12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43.答案 －434．已知α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________. 解析 因为α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35>0， 所以α＋π6为锐角，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6 ＝2×45×35＝2425. 又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＝2425. 答案 24255．(拓广探索)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x . (1)化简f (x )；(2)若f (α)＝17，2α是第一象限角，求sin 2α. 解(1)f (x )＝12cos 2x －32sin 2x －cos 2x ＋3sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＝17，2α是第一象限角，即2k π<2α<π2＋2k π(k ∈Z )， ∴2k π－π6<2α－π6<π3＋2k π(k ∈Z )， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＝437， ∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6·co s π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6·sin π6 ＝17×32＋437×12＝5314.。
二倍角的正弦余弦正切公式
正切二倍角公式是三角函数中一个重要的公式，用于将一个角的正切函数值转化为两个相同或相反角之间的正 切函数值。这个公式基于tan(α + π/4)的展开式，通过化简得到。在实际应用中，可以用于求解角度、计算斜 率以及解决各种实际问题。
02
二倍角公式的证明
基于正弦函数的二倍角公式证明
总结词
利用正弦函数的和差化积公式证明
基于正切函数的二倍角公式证明
总结词
利用正切函数的定义证明
详细描述
根据正切函数的定义，我们知道tan(a+b)=(sina+b)/(cosa+b)，令a=b，则 有tan(2a)=2tan/1-tan^2，即tan2a=2tan/1-tan^2。
03
二倍角公式的应用
在三角函数计算中的应用
三角函数的加减运算
二倍角公式可以用于简化三角函数的加减运算，例如sin(2A) = 2sin(A)cos(A)， cos(2A) = cos²(A) - sin²(A)。
三角函数的求值
二倍角公式可以用于求三角函数的具体数值，例如sin(45°) = √2/2，cos(60°) = 1/2。
在解三角形中的应用
解直角三角形
多倍角公式的推广
要点一
总结词
多倍角公式是二倍角公式的推广，可以视为将一个角度 分成多个相等的部分，每个部分都是原角度的1/n。其 证明方法与二倍角公式类似，通过三角恒等式进行证明 。
要点二
详细描述
多倍角公式是将一个角度分成多个相等的部分，每个部 分都是原角度的1/n。例如，sin(nA) = sin[(n-1)A + A] = sin[(n-1)A]cosA + cos[(n-1)A]sinA = nsinA (n-1)sin^2 A。类似地，我们可以通过三角恒等式证明 多倍角公式的正确性。
二倍角的正弦、余弦、正切公式(高中数学)
θ＝2 3， 23
所以sin
2θ＋cos
θ2＝4， 2 3
即 1＋2sin θ2cos θ2＝43，
所以 sin θ＝13，
所以 cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×132＝79.
答案：13
7 9
3.cos
1π2－sin
π 12cos
1π2＋sin
1π2的值为________．
解析：原式＝cos21π2－sin21π2
左边 －右边＝0，右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步 步寻找等式成立的条件．
1．若 α 为第三象限角，则
1＋cos 2α－ cos α
1－cos sin α
2α＝________．
解析：因为 α 为第三象限角，所以 cos α＜0，sin α＜0，
所以 1＋cos 2α－ 1－cos 2α＝ 2cos2α－ 2sin2α
＝ccooss 22αα＝1.
(2)证明：法一：左边＝csoinsπ4π4＋＋αα－csionsπ4π4－－αα＝
sinπ4＋αcosπ4－α－sinπ4－αcosπ4＋α cosπ4＋αcosπ4－α
＝cosisnπ4π4＋＋ααs－inπ4π4＋＋αα
＝12sinsinπ2＋2α2α＝2csions 22αα＝2tan 2α＝右边． 所以等式成立．
1．已知 x∈－π2，0，cos x＝45，则 tan 2x＝(
)
A．274
B．－274
C．274
D．－274
解析：选 D.由 cos x＝45，x∈－π2，0， 得 sin x＝－35， 所以 tan x＝－34， 所以 tan 2x＝1－2tatnanx2x＝12－×－－34342 ＝－274，故选 D.
§14二倍角的正弦、余弦、正切
同步教学
主讲：黄冈中学教师尹念军
一、一周内容概述
（一）、倍角公式
在和角公式中令β=α，则得到二倍角公式，即
由倍角的余弦公式结合平方关系sin2α＋cos2α=1可得升幂公式：cos2α=2cos2α－1或cos2α=1－2sin2α
变形可得降幂公式：
（二）、半角公式
（三）、和积互化公式
1、积化和差
2、和差化积
二、重难点知识归纳及讲解
（一）、理解倍角公式中“倍”的相对性
倍角公式不仅仅只限于2α是α的两倍，还可以用于诸如将4α作为2α的两倍，α作为的两倍，作为的两部，3α作为的两倍，作为的两倍等等.
例1、求值：
分析：逆用倍角公式
解：①原式=sin75°cos75°=sin150°=
②原式=cos215°－sin215°=cos30°=
（二）、倍角公式的应用
例2、已知，求cos2x的值.
分析一：因cos2x=cos2x－sin2x=(cosx＋sinx)(cosx－sinx).
故可先分别求出cosx－sinx与cosx＋sinx.
分析二：把作为整体，要求cos2x，转化为求
例3、化简
分析一：利用平方差公式
分析二：分子，分母同除以sin2α，运用半角公式
（三）、和积互化公式的应用
例4 、已知tanx=a，求的值.
分析：
分子中的3sinx可看成2sinx＋sinx，然后把sinx＋sin3x化为积.分母同样处理.。
二倍角的正弦、余弦和正切公式
4
2
4
3
2
6
2
6+2 3
＝ × ＋ × ＝
，
3
2
3
2
6
π
π
π
sin − ＝ sin cos － cos sin
2
4
2
4
2
4
3
2
6
2
6−2 3
＝ × － × ＝
，故C正确、D错误.
3
2
3
2
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
9. 已知 sin
cos
2
－
25
.
− －1，
9
7
2α＝2× －1＝－ .
25
25
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
12.
为
2
等腰三角形一个底角的余弦值为 ，则这个三角形顶角的正弦值
3
4 5
9
.
设 A 是等腰△ ABC 的顶角，则
sin B ＝ 1 − cos2 ＝ 1 −
2
cos B ＝ ，
cos20°
＝
sin20°+2sin40°
cos20°
考点二
例2
(1)
(1)
二倍角的正弦、余弦、正切公式的逆用和变形应用
π
5
cos cos π的值为(
12
12
π
5
cos cos π＝
12
高中新教材数学人课件必修时二倍角的正弦余弦正切公式
汇报人：XX 20XX-01-22
目录
• 引言 • 二倍角公式的推导 • 二倍角公式的应用 • 典型例题解析 • 课堂练习与互动 • 课后作业与拓展
01
引言
教材分析
本节课是高中数学新教材必修时的重要内容，主要学习二倍角的正弦、余弦、正切 公式。
例题二：求解二倍角的余弦值
题目
已知 cosα = -√3/2，α 为钝角，求 cos2α 的值。
解析
根据二倍角的余弦公式 cos2α = cos^2α - sin^2α，需要先求出 sinα 的值。由 sin^2α + cos^2α = 1 可 得 sinα = √(1 - cos^2α) = 1/2。因 此，cos2α = (-√3/2)^2 - (1/2)^2 = 1/2。
题目3
证明$tan 2gamma = frac{2tan gamma}{1 tan^2 gamma}$。
06
课后作业与拓展
作业一：完成教材上的习题
1 2
习题一
利用二倍角公式，求sin2α、cos2α、tan2α的表 达式。
习题二
已知sinαα的值。
正切二倍角公式推导
利用正弦二倍角公式和余弦二倍角公式，将tan(2α)表示为 sin(2α)/cos(2α)的形式。
将sin(2α)和cos(2α)的表达式代入，化简得到2tanα/(1 tan²α)，即为正切二倍角公式。
03
二倍角公式的应用
求解三角函数值
利用二倍角公式，可以将一些特殊角度（如30°、45°、60°等）的三角函数值转 化为基本角度（如15°、30°、45°等）的三角函数值进行计算。
正弦、余弦、正切的二倍角公式
的二倍角; 2
公式巩固训练
（1）sin = 2sin(
（2）cos 6 = cos2(
)cos( ); 1
)-si3n2(
2
) 3
= 2cos2( )-1 3
= 1-2sin2( ); 3
(3) sin( )
2 sin
c os
.
4
8
8
二倍角公式(正用)
sin2α 2sinαcosα
cos2α cos2α sin2α
24 24 12
12 12
62
练习2 化简：
1 (sin 5 cos 5 )(sin 5 cos 5 )
12
12
12
12
原式＝sin 2 5 cos2 5 cos 5 3
2 cos4 sin 4 12
12
62
22Βιβλιοθήκη 原式＝ ( cos 2sin
2
)(cos 2
sin 2
tan2α
2tanα 1 tan2α
根据公式口答下列各题：
(1)2sin15 cos15
(2)cos2π sin2π
6
6
(3)
1
2tan30 tan230
11
22 3
二倍角公式(逆用)
1、sin150 cos150
2、sin 2 cos2
8
8
3、 1
tan 22.5 tan2 22.5
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
问题一
利用 sin(+) cos(+)
tan( )
推出 sin2 cos2 tan2的公式吗？
3.1.3正弦余弦正切的二倍角公式
＝12sin
1 20°·2sin
1 100°·2sin
140°
＝18sin 20°sin 80°sin 40°
＝18cos 10°cos 50°cos 70°＝18y.
∵y≠0，∴x＝18.从而有 sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°
＝116.
必修4 第三章 三角恒等变换
栏目导引
＝12·sin
20°cos
20°cos 40°cos sin 20°
80°
＝14·sin
40°cos sin
40°cos 20°
80°
＝18·sin
80°cos 80° sin 20°
＝116·ssiinn12600°°＝116.
必修4 第三章 三角恒等变换
栏目导引
(2)原式＝cos2π8－sin2π8＝cos
必修4 第三章 三角恒等变换
栏目导引
∴cos π4－x＝1123， sin π4＋x＝sin π2－π4－x＝cos π4－x＝1123
119 ∴原式＝11629＝111596.
13
必修4 第三章 三角恒等变换
栏目导引
二倍角公式的应用——化简 化简：(1)cocsos107°0(°1＋1＋3ctoasn4100°°)；
＝116.
必修4 第三章 三角恒等变换
栏目导引
方法二：先将正弦变成余弦，再逆用二倍角公式
原式＝cos 80°·12·cos 40°·cos 20°
＝2sin
20°cos 20°cos 40°cos 4sin 20°
80°
＝sin
40°cos 40°cos 4sin 20°
80°
＝sin88s0in°c2o0s°80°
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
两边式子中角间的倍角关系，先用倍角公式统一角，再用
同角三角函数基本关系式等完成证明．
跟踪训练 2
化简：11＋ ＋ssiinn
2θ－cos 2θ＋cos
2θ 2θ.
解
方法一
原式＝11－ ＋ccooss
2θ＋sin 2θ＋sin
22θθ＝22csoins22θθ＋＋22ssiinn
θcos θcos
θ θ
二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．倍角公式
1
(1)S2α：sin 2α＝ 2sin αcos α
，sin
α 2cos
α2＝
2sin α
；
(2)C2α：cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α ；
2tan α (3)T2α：tan 2α＝ 1－tan2α .
2．倍角公式常用变形 (1)s2isnin2αα＝ cos α ，2sicnos2αα＝ sin α ；
跟 解踪原训式练＝3 scion已sπ24π知＋＋2sxixn＝π4－2sxin＝π4c＋o15s3x，4πc＋o0s<xxπ4<＋π4x，＝求2csoicnsoππ4s4＋＋2xxx.的值． ∵sinπ4－x＝cos4π＋x＝153，且 0<x<4π，
∴π4＋x∈π4，π2，
∴sinπ4＋x＝
1－cos2π4＋x＝1123，
(2)cos 3α＝cos(2α＋α)＝cos 2αcos α－sin 2αsin α ＝(2cos2α－1)cos α－2sin2αcos α ＝(2cos2α－1)cos α－2(1－cos2α)cos α ＝2cos3α－cos α－2cos α＋2cos3α ＝4cos3α－3cos α.
两角和与差的正弦余弦和正切公式及二倍角公式
(1)计算
sin110sin 20 cos2155 sin2155
的值为
(
)
A.- 1 B. 1 C. 3 D.- 3
2
2
2
2
(2)在△ABC中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,则cos C的值为 ( )
A.- 2 B. 2 C. 1 D.- 1
2
2
2
2
答案 (1)B (2)B
2
2
α= 4 3 ,
5
即 3 cos α+ 3 sin α= 4 3 ,
2
2
5
所以
3 sin
2
α+
1 2
cos
α=sin
α
6
=
4 5
,
所以sin α
7 6
=-sin
α
6
=-
4 5
.
夯基提能作业 栏目索引
第五节 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式及二倍角公式
解析
(1)
sin110sin 20 cos2155 sin2155
=
sin 70sin 20 cos 310
=
cos
20sin
20
=
1 2
sin
40
=
1
.
cos 50
sin 40 2
(2)由tan Atan B=tan A+tan B+1,
可得 tan A tan B =-1,
1 tan Atan B
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1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 3.有关公式的逆用、变形
数学二倍角的正弦余弦正切公式课件(新人教A版必修)
作业： P135练习：2，3，4，5.
思考1：两角和的正弦、余弦和正切公式都是恒等式，特别地，当β＝α时，这三个公式分别变为什么？
sin2α＝2sinαcosα；
cos2α＝cos2α－sin2α；
思考2：上述公式称为倍角公式，分别记作S2α，C2α，T2α，利用平方关系，二倍角的余弦公式还可作哪些变形？
cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
思考3：tanα与sin2α，cos2α之间是否存在某种关系？
思考4？
理论迁移
例1 已知 ， 求 ， ， 的值.
例2 在△ABC中,
求 的值.
例3 化简
tanx
例4 已知 ，且α∈(0，π)，求cos2α的值.
小结作业
1.角的倍半关系是相对而言的, 2α是α的两倍, 4α是2α的两倍, 是 的两倍等等，这里蕴含着换元的思想.
2.二倍角公式及其变形各有不同的特点和作用，解题时要注意公式的灵活运用，在求值问题中，要注意寻找已知与未知的联结点.
3.1.3 二倍角的正弦、 余弦、正切公式
问题提出
1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式分别是什么？
2. 是特殊角， 与 是倍半关系，利用上述公式可以求 的三角函数值.如果能推导一组反映倍半关系的三角函数公式，将是很有实际意义的.
探究（一）：二倍角基本公式
思考3：在二倍角的正弦、余弦和正切公式中，角α的取值范围分别如何？
思考4：如何推导sin3α，cos3α与α的三角函数关系？
探究（二）：二倍角公式的变通
思考1：1＋sin2α可化为什么？
1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
＝2sin（π4c＋osx（）π4·＋coxs（）π4＋x）＝2sin(π4＋x)．
∵sin(π4－x)＝cos(π4＋x)＝153，且 0＜x＜π4，
∴π4＋x∈(π4，π2)，
∴sin(π4＋x)＝ 1－cos2（π4＋x）＝1123， ∴原式＝2×1123＝2143.
[一点通] 这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对 题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数 名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条 件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论，即解题过程 既要结合已知条件，又要增强目标意识．
二倍角公式
名称
公式
二倍角的正弦 sin 2α＝ 2sin αcos α
cos 2α＝ cos2α－sin2α
二倍角的余弦 ＝ 2cos2α－1
＝ 1－2sin2α
2tan α 二倍角的正切 tan 2α＝ 1－tan2α
记法 S2α C2α
T2α
[例 1] 求下列各式的值：
(1)sin
π 12 cos
＝8sisnin12600°°＝18.
[例 2] 已知 sin(π4－x)＝153，0＜x＜π4，求cos（coπs4＋2xx）的值． [思路点拨] 注意角的关系(π4＋x)＋(π4－x)＝π2，注意诱导 公式的应用 cos 2x＝sin(π2＋2x)，利用倍角公式解题．
[精解详析]
原式＝scions（（π2π4＋＋2xx））
＝cos 10°＋
3sin
10°＝2（12cos
10°＋
3 2 sin
10°）
2
2
2 sin 40°
2 sin 40°
＝2 s2insi4n04°0°＝2 2
正弦、余弦、正切的二倍角公式
详细描述
为了证明正弦的二倍角公式，我们可以利用三角函数的和差化积公式。首先，将sin2A 表示为sin(A+A)，然后利用和差化积公式展开，得到2sinAcosA的结果。通过比较两
侧的表达式，我们可以证明正弦的二倍角公式sin2A=2sinAcosA是成立的。
02
余弦的二倍角公式
详细描述
正切的半角公式是将角度减半后，利用二倍 角公式计算正切值。具体公式为：tan(α/2)
= ±√[(1-cosα)/(1+cosα)] 或 tan(α/2) = ±√[(1+cosα)/(1-cosα)]。
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THANKS
03
正切的二倍角公式
公式推导
01 02
公式推导
利用三角函数的和差公式，将正切的二倍角公式推导出来。通过将正切 函数表示为余弦函数和正弦函数之比，利用三角函数的和差公式，推导 出正切的二倍角公式。
公式形式
正切的二倍角公式为tan(2α) = 2tan(α) / (1 - tan^2(α))。
03
推导过程
公式应用
总结词
列举几个常见的应用场景，说明余弦的二倍角公式的实际意义。
详细描述
余弦的二倍角公式在解决实际问题中有着广泛的应用，例如在求解三角形角度、 计算向量夹角、解决物理问题等场景中都会用到。通过余弦的二倍角公式，可以 方便地计算出二倍角的余弦值，进而得到其他三角函数值或角度值。
公式证明
要点一
总结词
给出余弦的二倍角公式的证明过程，展示公式的正确性和 可靠性。
要点二
详细描述
余弦的二倍角公式的证明过程可以通过三角函数的和差化积 公式进行推导。具体来说，利用三角函数的和差化积公式， 令$A = alpha$，$B = alpha$，可以得到$cos 2alpha = cos^2 alpha - sin^2 alpha$。进一步利用三角函数的基本 恒等式$cos^2 alpha + sin^2 alpha = 1$，可以证明余弦 的二倍角公式的正确性。
高考数学必修知识讲解二倍角的正弦、余弦、正切公式基础
二倍角的正弦、余弦和正切公式【学习目标】1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系.2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用．3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.【要点梳理】要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式1．二倍角的正弦、余弦、正切公式要点诠释：(1)公式成立的条件是：在公式中，角可以为任意角，但公式中，只有当及时才成立；(2)倍角公式不仅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. 如：；2．和角公式、倍角公式之间的内在联系在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：2sin 22sin cos ()S αααα=⋅22222cos 2cos sin ()2cos 112sin C αααααα=-=-=-222tan tan 2()1tan T αααα=-22,S C ααα2T α2k παπ≠+()42k k Z ππα≠+∈2αα4α2α2α4α3α32α2cos2sin2sin ααα=11sin2sincos ()222nn n n Z ααα++=∈βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,要点二：二倍角公式的逆用及变形1．公式的逆用；．．．2．公式的变形；降幂公式：升幂公式：要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型求值题、化简题、证明题1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等；2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接.【典型例题】类型一：二倍角公式的简单应用例1．化简下列各式：（1）；（2）；（3）．【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式．【答案】（1）（2）（3【解析】 （1）．（2）（3）．【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值，而是将所给式子作为一个整体变形，逐步向二倍角公式的展开形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔细体会本题中的解题思路．举一反三：2sin cos sin2ααα=1sin cos sin 22ααα=2222cos sin 2cos 112sin cos 2ααααα-=-=-=22tan tan 21tan ααα=-21sin 2(sin cos )ααα±=±221cos 21cos 2cos,sin 22αααα+-==221cos 22cos ,1cos 22sin αααα+=-=(),2()()ααββααβαβ=-+=++-4sincos22αα22sincos 88ππ-2tan 37.51tan 37.5︒-︒2sin α4sin cos22sincos2sin 2222ααααα=⋅=2222sincos cos sin cos 88884πππππ⎛⎫-=--=-= ⎪⎝⎭22tan 37.512sin 37.51tan 751tan 37.521tan 37.52︒︒=⋅=︒=-︒-︒【变式1】求值：（1）；（2）；（3）．【答案】（1；（2；（3）【解析】（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=．类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值例2． 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．【思路点拨】解这类题型有两种方法：方法一：适用，不断地使用二倍角的正弦公式．方法二：将正弦题目中的正弦形式全部转化为余弦形式，利用进行化简．【答案】【解析】方法一： ．∴方法二：原式．【总结升华】本题是二倍角公式应用的经典试题．方法一和方法二通过观察角度间的关系，发现其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现连用二倍角的正弦公式的形式．在此过程中还应该看到化简以后的分子分母中的角是互余（补）的关系，从而使最终的结果为实数．利用上述思想，我们还可以把问题推广到一般的情形：一般地，若，则．cos sin cos sin 12121212ππππ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22cos 18π-22tan 751tan 75-22cossin cos12126πππ-==cos(2cos84ππ⨯==tan150tan(18030)tan 30=-=-=sin 2sin 2cos ααα=sin 2cos 2sin ααα=116sin 20sin 50sin 70sin10sin 50sin 702cos10︒︒︒︒︒︒=︒sin 20cos 20sin 50sin 40sin 50sin 40cos 402cos104cos104cos10︒︒︒︒︒︒︒===︒︒︒sin 8018cos108︒==︒1sin10sin 30sin 50sin 7016︒︒︒︒=1cos 20cos 40cos802=︒︒︒2sin 20cos 20cos 40cos804sin 20︒︒︒︒=︒sin 40cos 40cos80sin 80cos801sin16014sin 202sin 2016sin 2016︒︒︒︒︒︒===⋅=︒︒︒sin 0α≠11sin 2cos cos 2cos 4cos 22sin n nn αααααα++=举一反三：【变式1】求值：sin10°cos40°sin70°．【解析】原式．类型三：利用二倍角公式化简三角函数式例3．化简下列各式：(1)【思路点拨】（1）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，再进行化简．（2）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，利用平方差公式进行化简．【答案】（1）（2）【解析】(1)(2)【总结升华】①余弦的二倍角公式的变形形式：．经常起到消除式子中1的作用．②由于，可进行无理式的化简和运算．例4．（2015秋 安徽阜阳期末）已知，且（1）求的值；（2）求的值．【思路点拨】（1）根据角的范围求出cos ，tan ，然后通过二倍角公式转化，分子分母同除cos2，代入tan ，即可求出值．（2）直接利用两角和的正切函数，展开代入tan 的值求解即可．【答案】（1）6；（2）7【解析】（1）由又，∴，∴2sin 20cos 20cos 40cos80cos 20cos 40cos802sin 20︒︒︒︒=︒︒︒=︒2sin 40cos 40cos802sin 80cos804sin 208sin 20︒︒︒︒︒==︒︒sin160sin 2018sin 208sin 208︒︒===︒︒4sin 1)2(2cos cos 12sin sin -+++θθθθtan θsin 2cos 2-.tan )cos 21(cos )cos 21(sin cos 2cos cos sin 2sin 2cos cos 12sin sin 2θθθθθθθθθθθθθθ=++=+⋅+=+++4sin 1-.2cos 2sin |2cos 2sin |)2cos 2(sin 2cos 2cos 2sin 22sin 222-=-=-=+⋅-=αααα22sin 22cos 1,cos22cos 1=-=+2)cos (sin sin21cos sin 22sin αααααα±=±⋅=，从而02πα<<3sin 5α=22sin sin 2cos 2ααα+5tan()4απ+αα22sin sin 2cos 2ααα+ααα3sin 5α=02πα<<4cos 5α=3tan 4α=22222sin sin 22sin 2sin cos cos 2cos sin αααααααα++⋅=-（2）举一反三：【变式1】（1的化简结果是 ．（2）已知，且α∈( ，π)，则 的值为 ．【答案】（1）（2）【解析】（1）原式 = = =（2）因为，且α∈( ，π)，所以，原式=．类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用【高清课堂：倍角、半角公式370633 例2】例5．求值：（1）已知，求．（2）已知，求．【思路点拨】观察所求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去求解．【答案】（1）（2）【解析】（1） = =322sin 2tan 463cos sin 1tan 1()4ααααα⨯====---53tan tan 15tan 144tan()75341tan 1tan tan 144απααπααπ++++====--⋅-3sin 5α=2π2sin 2cos ααsin 3cos3-32-|sin 3cos3|-sin 3cos3-3sin 5α=2π4cos 5α=-22sin cos 3532()cos 542ααα=⨯⨯-=-3sin(1225πθ-=cos()6πθ-sin()4m πα+=sin 2α725221m -cos(cos cos 266122πππθθθ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212sin 122πθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭91225-⨯=（2）= = =【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型，求解的要点是利用公式沟通已知条件和所求式子之间的联系，考查公式运用和变换的技巧．举一反三：【变式1】 已知，且，求，，的值．【答案】 【解析】由，得，即，∴由，得，∴．即．整理得．解得或（舍去）．∴．∴．【总结升华】解题过程中注意角的范围的判定．【变式2】（2016 天津红桥区模拟）已知是第二象限角，且，725sin 2cos(2)2παα=-+212sin 4πα⎡⎤⎛⎫--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦212sin 4πα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭221m -1sin cos 3αα+=0απ<<sin 2αcos 2αtan 2α89-1sin cos 3αα+=21(sin cos )9αα+=112sin cos 9αα+=8sin 22sin cos 9ααα==-1sin cos 3αα+=1cos sin 3αα=-221cos sin 3αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭22121sinsinsin 93ααα-=-+29sin 3sin 40αα--=sin α=sin α=22cos 212sin 12αα=-=-⨯=sin 2tan 2cos 2ααα==ααsin α=（1）求cos2的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2【解析】（1）因为是第二象限角，，所以，．（2）又是第二象限角，故．所以．类型五：二倍角公式的综合应用【高清课堂：倍角、半角公式370633 例3】例6．已知，求：（1）f (x )的最大值以及取得最大值的自变量的集合；（2）f (x )的单调区间．【思路点拨】用降幂公式把原式降幂，然后用辅助角公式化成的形式．【答案】（1） （2）单增区间 单减区间 【解析】（1）原式= =则当即时， （2）f (x )的单调递增区间为：，则f (x )的单调递减区间为：，则αsin()6πα+78-αsin α=2157cos 212sin12168αα=-=-⨯=-α1cos 4α==-11sin()(642πα+=-=22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++sin()A x k ωϕ++2+|,8x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭3,,88k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦5,,88k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦1sin 2cos 21x x +++sin 2cos 22x x ++)24x π++22,42x k πππ+=+|,8x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭max ()2f x =+222242k x k πππππ-≤+≤+3,,88x k k k z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦3222242k x k πππππ+≤+≤+【总结升华】本题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦公式及的性质等知识．要记住倍角公式两类重要变形并能熟练应用：（1）缩角升幂公式，．，．（2）扩角降幂公式，．例7．已知向量，，求函数．（1）求的最大值及相应的x 值；（2）若，求的值．【思路点拨】利用向量数量积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量数量积转化为三角函数中的“数量关系”，从而建立函数f(x)关系式．【答案】（1（2）【解析】（1）因为，，所以．因此，当，即时，．（2）由及得，两边平方得，即．因此，．举一反三：【变式1】（2015秋 朝阳区期中）已知函数．（1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）的单调递减区间．【答案】（1）2π；（2），k ∈Z ．【解析】（1）由已知可得：．5,,88x k k k z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦sin()y A x ωϕ=+21sin sin cos 22ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭21sin sin cos 22ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭21cos 2cos 2αα+=21cos 2sin 2αα-=21cos 2cos 2αα+=21cos 2sin 2αα-=(1sin 2,sin cos )x x x =+-a (1,sin cos )x x =+b ()f x =⋅a b ()f x 8()5f θ=cos 224πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭1+3()8x k k Z ππ=+∈1625(1sin 2,sin cos )x x x =+-a (1,sin cos )x x =+b 22()1sin 2sin cos 1sin 2cos 2214f x x x x x x x π⎛⎫=++-=+-=-+ ⎪⎝⎭2242x k πππ-=+3()8x k k Z ππ=+∈()f x 1+()1sin 2cos 2f θθθ=--8()5f θ=3sin 2cos 25θθ-=91sin 425θ-=16sin 425θ=16cos 22cos 4sin 44225ππθθθ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2()cos 2cos 222x x xf x =+4[2,2]33k k ππππ++()cos 12sin(16f x x x x π=++=++所以f （x ）的最小正周期为2π．（2）由，k ∈Z ，得，k ∈Z ．因此函数f （x ）的单调递减区间为，k ∈Z ．【变式2】已知向量m =（sinA ，cosA ），，m ·n =1，且A 为锐角．（1）求角A的大小；（2）求函数（x ∈R ）的值域．【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意，得，，．由A 为锐角得，．（2）由（1）知，所以．因为x ∈R ，所以sinx ∈[－1,1]．因此，当时，有最大值，当sin x=－1时，有最小值－3，所以所求函数的值域是．322262k x k πππππ+≤+≤+42233k x k ππππ+≤≤+4[2,233k k ππππ++1)=-n ()cos 24cos sin f x x A x =+3π33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦cos 1m n A A ⋅=-=2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭66A ππ-=3A π=1cos 2A =2213()cos 22sin 12sin 2sin 2sin 22f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=-⋅-+ ⎪⎝⎭1sin 2x =()f x 32()f x ()f x 33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。
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第十四讲 正余弦、正切的二倍角公式、简单的三角变换
一、知识回顾
知识点1：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+= 知识点2：()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-
22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα
=-=--=- 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=- 知识点3：ααα2tan 1tan 22tan -=（其中2,22k k π
π
απαπ≠+≠+()k z ∈）
二、 典型例题
例1、已知5sin 2,,1342π
π
αα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值．
例２、已知tan α2=求下列各式的值．
（1）ααα
αsin 2cos sin cos 2+- （2）αα2sin 2cos -
例3、求函数3cos sin 4cos 322-⋅+=x x x y 的周期，最大值和最小值．
例4、求证：（１）()()1
sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；
（２）sin sin 2sin cos 22θϕθϕ
θϕ+-+=．
三、课堂练习
1、已知)3,25(ππα∈，化简αsin 1-+αsin 1+= （ ）
A 、-2co s 2α
B 、2cos 2α
C 、-2sin 2α
D 、2sin 2α
2、=-π
18cos 22_________________;
3、si n22︒30’co s22︒30’=__________________;
4、=π
πππ12cos 24cos 48cos 48sin 8__________________.
5、=π
-ππ+π)125
cos 125)(sin 125cos 125(sin __________________;
6、已知),,2(,61
)4sin()4sin(ππ
ααπ
απ
∈=-+求α4sin 的值。
7、已知21
)2tan(=-βα，31
)2tan(-=-α
β，求)tan(βα+的值。
四、总结提升
1、熟记正弦、余弦和正切的二倍角公式，
2、加深认识三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法。
五、课后作业
1、已知),2(,135
sin ππ
αα∈=，求sin2α，cos2α，tan2α的值。
2、若tan α3=，求αα2sin 2cos 2+的值。
3、若x x x f 2cos cos 21)(-+=，求函数)(x f 的最大值与最小值。