高一数学下期末综合测试卷
新高一数学下期末试卷(含答案)
新高一数学下期末试卷(含答案)新高一数学下期末试卷（含答案）一、选择题1.已知三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=b，则A选2.2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=5选3.3.已知三角形ABC中，A为60度，c=2，cosA=1/2，则ABC为有一个内角为30°的等腰三角形选D。
4.已知对任意实数x、y，不等式(x+y)/(1+xy)≥9恒成立，则实数a的最小值为2选D。
5.已知ABC为等边三角形，AB=2，设P，Q满足AP=λAB，AQ=(1-λ)AC（λ∈R），若BQ·CP=-2，则λ=1/2选A。
6.已知f(x)=sin(ωx+ϕ)+cos(ωx+ϕ)，ω>π/2，f(x)是奇函数，直线y=2与函数f(x)的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π/2，则f(x)在[π/3.π/8]上单调递减选B。
7.已知函数y=f(x)定义域是[-2,3]，则y=f(2x-1)的定义域是[-1,2]选B。
8.若α,β均为锐角，sinα=2/5，sin(α+β)=3/5，则cosβ=4/5或-3/5选C。
9.要得到函数y=2/3cos2x+1/3的图像，只需将函数y=2sin2x的图像向左平移π/4个单位选C。
10.已知sin(π/3-α)=-1/2，cos(2α+π/3)=2/3，则cosα=7/8选D。
分析】详解】1) 当 $a=1$ 时，$f(x)=-x^2+x+4$，$g(x)=|x+1|+|x-1|$。
因为 $f(x)$ 是一个开口向下的二次函数，所以其图像在顶点处取得最大值。
顶点横坐标为 $x=\frac{-b}{2a}=-\frac{1}{2}$，纵坐标为 $f(-\frac{1}{2})=\frac{15}{4}$。
而 $g(x)$ 的图像是由两个 V 形图像组成的，分别在 $x=-1$ 和 $x=1$ 处取得最小值$0$。
2024届湖南省宁乡县第一高级中学数学高一第二学期期末综合测试模拟试题含解析
2024届湖南省宁乡县第一高级中学数学高一第二学期期末综合测试模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数f （x ）＝Asin （ωx +φ）+B （A ＞0，ω＞0，|φ|2π＜）的部分图象如图所示，则f （x ）的解析式为（ ）A ．f （x ）＝sin （x 6π+）﹣1 B ．f （x ）＝2sin （x 6π+）﹣1 C ．f （x ）＝2sin （x 3π+）﹣1D ．f （x ）＝2sin （2x 3π+）+12．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于5km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东020，灯塔B 在观察站C 的南偏东040，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（ ） A ．52kmB ．3kmC ．5kmD ．10km3．设函数()2sin()f x x ωϕ=+,x ∈R ，其中0ω＞,ϕπ＜.若()26f π=，5()06f π=且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A ．34ω=,58πϕ=-B ．34ω=,38πϕ= C ．94ω=,8πϕ=-D ．94ω=,8πϕ=42,3,6，这个长方体的顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ） A ．6πB ．8πC ．12πD ．24π5．已知函数41()x f x e-=，1()ln(2)2g x x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ） A ．1ln 24- B ．1ln 24+ C ．2ln 213- D ．12ln 23+ 6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( ) A ．215πB ．320π C ．2115π-D ．3120π-7．若，则向量的坐标是（ ）A ．（3，－4）B ．（－3，4）C ．（3，4）D ．（－3，－4）8．已知向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ） A ．A ，B ，DB ．A ，B ，CC ．B ，C ，DD ．A ，C ，D9．若实数x ，y 满足211x y y x -≥⎧⎨≥+⎩，则z ＝x +y 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．在棱长为1的正方体中1111ABCD A B C D -，点P 在线段1AD 上运动，则下列命题错误的是 （ ）A ．异面直线1C P 和1CB 所成的角为定值 B ．直线CD 和平面1BPC 平行 C ．三棱锥1D BPC -的体积为定值 D ．直线CP 和平面11ABC D 所成的角为定值二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
人教版高一数学下学期期末考试卷含答案
人教版高一数学下学期期末考试卷含答案214人教版高一数学下学期期末考试卷第一卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.1920°转化为弧度数为A。
32π/3B。
16π/3C。
16/3D。
3提示：1°=π/180.2.根据一组数据判断是否线性相关时，应选用A。
散点图B。
茎叶图C。
频率分布直方图D。
频率分布折线图提示：散点图是用来观察变量间的相关性的。
3.函数y=sin(x+π/4)的一个单调增区间是A。
[-π,0]B。
[0,π/4]C。
[π/4,7π/4]D。
[7π/4,2π]提示：函数y=sin(x)的单调增区间是(2kπ-π/2,2kπ+π/2) (k∈Z)。
4.矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BC=5e1，DC=3e2，则OC等于A。
(5e1+3e2)/2B。
(5e1-3e2)/2C。
(-5e1+3e2)/2D。
-(5e1+3e2)/2提示：OC=AC=AD+DC=BC+DC=(5e1+3e2)/2.5.某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为36样本，则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是A。
6，12，18B。
7，11，19C。
6，13，17D。
7，12，176.函数y=x/2sin(x)+3cos(x/2)的图像的一条对称轴方程是A。
x=π/2B。
x=-πC。
x=-π/2D。
x=π提示：函数y=sin(x)的对称轴方程是x=kπ+π/2 (k∈Z)。
7.甲乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为70%，则甲乙两人下一盘棋，最可能出现的情况是A。
甲获胜B。
乙获胜C。
二人和棋D。
无法判断提示：由甲不输的概率为70%可得乙获胜的概率也为30%。
8.如图是计算1/11+1/12+。
+1/30的一个程序框图，其中在判断框内应填入的条件是A。
西藏自治区昌都市2024-2025学年高一数学下学期期末考试
西藏自治区昌都市2024-2025学年高一数学下学期期末考试第一单元考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、填空题(共9题，共18分)1、看图，写出学校场地类单词。
2、Do you want to be Robin's friend? 你想成为Robin的朋友吗？试着给Robin写封信吧！Dear Robin,I want to be your friend. I am a . I'm years old. I can .I can . But I can't . Can I be your friend? Please tell me！ Thank you.3、看图，把单词补充完整。
h t f m4、按照句子顺序给图片写序号。
①They'll visit our classroom．②They'll visit the art room．③They'll go to the hall．④They'll go to the library．⑤They'll meet the teachers in the meeting room．5、The dress is.Give it to.( she )6、Look at your bedroom. Let's tidy up. (is / it / it's)7、抄写单词并翻译quiet______8、翻译句子。
他们在谈论什么？______________________________9、请你根据要求写单词．1）class（复数） ______2）clean（单三形式） ______3）don't（单三形式） ______评卷人得分二、选择题(共19题，共38分)10、What do you often do in summer?A. I often go swimming.B. I often make a snowman.11、What can you do at home? I can ________.A. cookB. cookingC. cooks12、( )A. Wild geese will fly south in autumn.B. Wild geese will fly north in autumn.C. Wild geese will fly twice in winter.13、What’s your favourite food?A. Yes, I can.B. Beef. It’s healthy.C. I have Chinese and math.E. He’s tall and strongE. He’s tall and strong14、找出不同类的单词A. cameB. liveC. met15、选正确的答语Can we have a dog，Mum?A. Yes，he can’t see．B. No．She’s deaf．C. No，we can’t．E. No，I can’t．E. No，I can’t．16、单项选择The woman is ____ ．She can’t see anything．A. deafB. hungryC. blind17、单项选择You can ____ my good friend．A. areB. beC. is18、A. I go to school．B. No,I didn’t．C. What do you do at eight o’clock every weekday?E. I played the piano．E. I played the piano．19、根据句意选出对应的图片Sam’s T-shirts are clean．A.B.C.E.E.20、单项选择。
2024届炎德英才大联考高一数学第二学期期末综合测试试题含解析
2024届炎德英才大联考高一数学第二学期期末综合测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知tan 2α=，则22sin sin 23cos ααα+-的值为（ ） A ．25B ．1C ．45D ．852．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B ．23C ．33D ．233．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4813S S =，则816S S =( ) A ．19B ．14 C ．15D ．2154．已知圆锥的母线长为6，母线与轴的夹角为30°，则此圆锥的体积为（ ） A ．27πB ．93πC ．9πD ．33π5．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若7AB =，2DE =，则线段BD 的长为（ )A ．3B ．3.5C ．4D ．4.56．如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（ ）A ．定B ．有C ．收D ．获7．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin a b A =，则B 等于（ ）A ．75︒B ．60︒C ．45︒D ．308．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A ．当8n =时，该命题不成立 B ．当8n =时，该命题成立 C ．当6n =时，该命题不成立D ．当6n =时，该命题成立9．若(3,1),(1,),2a b t a b a =-=+⊥（），则t =（） A ．32B ．23C ．14D ．1310．在ABC ∆中，60A ︒∠=，43a =，42b =，则B 等于（ ）A ．45︒或135︒B ．135︒C ．45︒D ．以上答案都不对二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
高一(下学期)期末考试数学试卷
高一（下学期）期末考试数学试卷（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）A ．某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的比例选取职工代表B ．用抽签的方法产生随机数C ．福利彩票用摇奖机摇奖D ．规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖 2．若直线a 平行于平面α，则下列结论正确的是（ ） A ．a 平行于α内的有限条直线 B ．α内有无数条直线与a 平行 C ．直线a 上的点到平面α的距离相等 D ．α内存在无数条直线与a 成90°角3．设a ，b ，l 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，下列四个命题中错误的是（ ） A ．若//a α，a b ⊥，则b α⊥ B ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥C ．若a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβD ．若αβ⊥，l αβ=，A α∈，AB l ⊥，则AB β⊥4．小王于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2021年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2021年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ） A ．小王一家2021年用于饮食的支出费用跟2018年相同 B ．小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍 C ．小王一家2021年的家庭收人比2018年增加了1倍 D ．小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点F 是棱1BB 的中点，点P 在四边形11BCC B 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ）A ．若P 在线段1BC 上，则三棱锥1P AD F -的体积为定值B ．若P 在线段1BC 上，则DP 与1AD 所成角的取值范围为,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若//PD 平面1AD F ，则点PD ．若AP PC ⊥，则1A P 与平面11BCC B二、单选题6．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，⋂=c αβ，a α⊂，b β⊂，则“a ，b 相交“是“a ，c 相交”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165cm ，其中被抽取的男生平均身高为172cm ，则被抽取的女生平均身高为（ ） A ．154.5cmB ．158cmC ．160.5cmD ．159cm8．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（ ） A ．互为余角B ．相等C ．其和为周角D ．互为补角9．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（ ）A ．73.3，75，72B ．72，75，73.3C ．75，72，73.3D ．75，73.3，7210．对于数据：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同学得出了下列结论：甲：平均数为5；乙：没有众数；丙：中位数是3；丁：第75百分位数是7，正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲､乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（ ） A ．325B ．15C ．310 D ．3512．已知正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A．2BCD ．1三、填空题13．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别为棱11B C 、1CC 、11D C 的中点，P 是底面ABCD 上的一点，若1A P ∥平面GEF ，则下面的4个判断∶点P∶线段1A P ；∶11A P AC ⊥；∶1A P 与1B C 一定异面．其中正确判断的序号为__________．14．甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为14、15，获得二等奖的概率分别为12、35，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲、乙两人至少有1人获奖的概率为___________.15．数据1x ，2x ，…，8x 平均数为6，标准差为2，则数据126x -，226x -，…，826x -的方差为________. 16．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为__________.四、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AB BC AA AB ⊥=，G 是棱11A C 的中点．(1)证明：1BC AB ⊥；(2)证明：平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为： 甲：0,0,1,2,0,0,3,0,4,0；乙：2,0,2,0,2,0,2,0,2,0． （1）分别求两组数据的众数、中位数；（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能．19．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)2030，，[)3040，，，[]8090，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)4050，内的人数； （3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.20．某学校招聘在职教师，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率依次为113224，，，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为311422，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为2132，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为4354，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师．甲、乙两人通过各个环节相互独立． (1)求甲未能参与面试的概率；(2)记乙本次应聘通过的环节数为X ，求(3)P X =的值；(3)记甲、乙两人应聘成功的人数为Y ，求Y 的的分布列和数学期望21．如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面,ABC AB AC =，,M N 分别为,BC AB 的中点，(1)求证：MN //平面P AC (2)求证：平面PBC ⊥平面P AM22．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，其对角线AC 与BD 相交于点O ，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=，13AA =，2AB =.(1)证明：1A O ⊥平面ABCD ； (2)求三棱锥11C A BD -的体积.参考答案：1．BC【分析】由题意，根据简单随机抽样的定义，可得答案.【详解】对于A ，此为分层抽样；对于B ，此为随机数表法；对于C ，此为简单随机抽样；对于D ，此为系统抽样. 故选：BC. 2．BCD【分析】根据直线与平面平行的性质即可判断.【详解】因为直线a 平行于平面α，所以a 与平面α内的直线平行或异面，选项A 错误；选项B ，C ，D 正确.故选：BCD. 3．ACD【分析】选项ACD ，可借助正方体构造反例；选项B ，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥，可证明l m ⊥，l n ⊥，即得证.【详解】A 选项：取11//A C 平面ABCD ，1111AC B D ⊥，但是11B D 不垂直于平面ABCD ，命题A 错误． B 选项：设a αγ⋂=，b βγ=，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥．因为αγ⊥，βγ⊥，所以m α⊥，n β⊥，又l α⊆，l β⊆，所以l m ⊥，l n ⊥，所以l γ⊥．命题B 正确． C 选项：11//A B 平面ABCD ，//CD 平面11ABB A ，但平面ABCD 与平面11ABB A 不平行，命题C 错误． D 选项：平面ABCD ⊥平面11ABB A ，交线为AB ，1B ∈平面11ABB A ，1B C AB ⊥，但1B C 与平面ABCD 不垂直，命题D 错误． 故选：ACD4．BD【分析】由题意，根据扇形统计图的性质，可得答案.【详解】对于A ，小王一家2021年用于饮食的支出比例与跟2018年相同，但是由于2021年比2018年家庭收入多，∶小王一家2021年用于饮食的支出费用比2018年多，故A 错误；对于B ，设2018年收入为a ，∶相同的还款数额在2018年占各项支出的60%，在2021年占各项支出的40%，∶2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用为1.512%0.18a a ⨯=，小王一家2018年用于其他方面的支出费用为0.06a ，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍，故B 正确；对于C ，设2018年收入为a ，则2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，故C 错误； 对于D ，小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同，故D 正确． 故选：BD ． 5．ACD【分析】A. 如图，当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，分析得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN =D. 点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB 1,所以1A P 与平面11BCC B=所以该选项正确. 【详解】A. 如图，因为11//,BC AD AD ⊂平面1,AFD 1BC ⊄平面1,AFD 所以1//BC 平面1,AFD 所以当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，因为11//,BC AD 所以DP 与1AD 所成角就是DP 与1BC 所成的角（锐角或直角），当点P 在1,B C 时，由于∶1BDC 是等边三角形，所以这个角为3π，当1DP BC 时，这个角为2π，由图得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN ,由于//DM AF ,AF ⊂平面1AFD ,DM ⊄平面1AFD ,所以//DM 平面1AFD ，同理可得//MN 平面1AFD ，又,DM MN ⊂平面DMN ,DMMN M =,所以平面//DMN 平面1AFD ，所以//DP 平面1AFD ，MN ==P 选项正确；D.如图，由题得1A P 与平面11BCC B 所成角为11A PB ∠,1112tan A PB PB ∠=,即求1PB 的最小值，因为,PC AP PC AB ⊥⊥,,,AP AB A AP AB ⋂=⊂平面ABP ,所以PC ⊥平面ABP ,所以PC BP ⊥,所以点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB1,所以1A P 与平面11BCC B 所=所以该选项正确.故选：ACD 6．C【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即可.【详解】解：∶若a ，b 相交，a α⊂，b β⊂，则其交点在交线c 上，故a ，c 相交， ∶若a ，c 相交，可能a ，b 为相交直线或异面直线．综上所述：a ，b 相交是a ，c 相交的充分不必要条件． 故选：C ． 7．A【分析】由分层抽样求出100人中的男女生数，再利用平均数公式计算作答. 【详解】根据分层随机抽样原理，被抽取到的男生为60人，女生为40人， 设被抽取到的女生平均身高为cm x ，则6017240165100x⨯+=，解得154.5cm x =，所以被抽取的女生平均身高为154.5cm . 故选：A 8．D【分析】做出图像数形结合即可判断.【详解】如图，A 为二面角--l αβ内任意一点，AB α⊥，AC β⊥，过B 作BD l ⊥于D ， 连接CD ，因为AB α⊥，l α⊂，所以AB l ⊥因为AC β⊥，l β⊂，所以AC l ⊥，且AB AC A ⋂=， 所以l ⊥平面ABCD ，且CD ⊂面ABCD ，所以⊥l CD 则BDC ∠为二面角l αβ--的平面角，90ABD ACD ∠∠︒＝＝，BAC ∠为两条垂线AB 与AC 所成角，所以180A BDC ∠∠︒＋＝， 所以两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角. 故选：D. 9．B【解析】根据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解. 【详解】由频率分布直方图可知,平均数为450.00510450.00510550.01510650.02010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯750.03010850.02510950.0051072+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=众数为最高矩形底边的中点,即75中为数为:0.005100.015100.02010100.5x ⨯+⨯+⨯+⨯= 可得0.010x = 所以中为数为0.010701073.30.030+⨯≈ 综上可知,B 为正确选项 故选:B【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题. 10．B【分析】分别求出平均数，中位数，众数，第75百分位数即可得解. 【详解】解：平均数为2683346858+++++++=，故甲正确；众数为：3，6，8，故乙错误；将这组数据按照从小到大的顺序排列：2,3,3,4,6,6,8,8， 则中位数为4652+=，故丙错误； 875%6⨯=，则第75百分位数为6872+=，故丁正确， 所以正确的个数为2个. 故选：B. 11．C【分析】先分析总的选课情况数，然后再分析甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的情况数，然后两者相除即可求解出对应概率.【详解】甲、乙总的选课方法有：3355C C ⋅种，甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的选法有：5412C C ⋅种，（先选一门相同的课程有15C 种选法，若要保证仅有一门课程相同只需要其中一人从剩余4门课程中选取2门，另一人选取剩余的2门课程即可，故有24C 种选法）所以概率为12543355310C C P C C ==，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析两人的选课仅有1门相同的选法数，可通过先确定相同的选课，然后再分析四门课程中如何做到两人的选课不同，根据古典概型的概率计算方法完成求解. 12．D【详解】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．1//AC 平面BDE ，1AC ∴到平面BDE 的距离等于A 到平面BDE 的距离，由题计算得11111223232E ABD ABD V S CC -=⨯=⨯⨯⨯在BDE 中，BE DE BD ===BD边上的高2==，所以122BDE S =⨯=所以1133A BDE BDE V S h -==⨯，利用等体积法A BDE E ABD V V --=，得: 13⨯=解得: 1h = 考点：利用等体积法求距离 13．∶∶【分析】先证明平面1A BD ∥平面GEF ，可判断P 的轨迹是线段BD ，结合选项和几何性质一一判断即可． 【详解】分别连接11,,BD A B A D ，所以11BD B D ∥，又因为11B D ∥EG ，则BD EG ∥， 同理1A D EF ∥，1,BDA D D EGEF E ==，故平面1A BD ∥平面GEF ，又因为1A P ∥平面GEF ，且P 是底面ABCD 上的一点，所以点P 在BD 上．所以点P 的轨迹是一段长度为BD =，故∶正确；当P 为BD 中点时1A P BD ⊥，线段1A P ，故∶错； 因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1AC ⊥平面1A BD ，又1A P ⊂平面1A BD ， 则11A P AC ⊥，故∶正确；当P 与D 重合时，1A P 与1B C 平行，则∶错． 故答案为：∶∶14．1920【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲不中奖的概率为1111424--=，乙不中奖的概率为1311555--=，因此，甲、乙两人至少有1人获奖的概率为111914520-⨯=.故答案为：1920. 15．16【详解】试题分析：由题意知12868x x x x +++==，(862s x +-=，则12848x x x +++=，24s =，而()()()12826262624886688x x x y -+-++-⨯-⨯===，所以所求方差为()()()2222212812122122124168s x x x s ⎡⎤=-+-++-=⨯=⎣⎦'．故正确答案为16．考点：两组线性数据间的特征数的运算．【方法点晴】此题主要考查两组俱有线性关系的数据的特征数关系，当数据{}12,,,n x x x 与{}12,,,n y y y 中若有i i y ax b =+时，那么它们之间的平均数与方差（标准差）之间的关系是：y x =，222y x s a s =或是y x s as =，掌握此关系会给我们计算带来很大方便． 16．60°【分析】将所求异面直线平移到同一个三角形中，即可求得异面直线所成的角. 【详解】如图，取AC ，BD ，AD 的中点，分别为O ，M ，N ，则11,22ON CD MN AB ∥∥，所以ONM ∠或其补角即为所求的角.因为平面ABC ⊥平面ACD ，BO AC ⊥，平面ABC平面ACD AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥平面ACD ，又因为OD ⊂平面ACD ，所以BO OD ⊥. 设正方形边长为2，OB OD ==2BD =，则112OM BD ==. 所以=1ON MN OM ==.所以OMN 是等边三角形，60ONM ∠=︒. 所以直线AB 与CD 所成的角为60︒． 故答案为： 60° 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由线面垂直得到1AA BC ⊥，从而求出BC ⊥平面11ABB A ，得到1BC AB ⊥；（2）根据正方形得到11BA AB ⊥，结合第一问求出的1BC AB ⊥，得到1AB ⊥平面1A BC ，从而证明面面垂直. （1）∶1AA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ， ∶1AA BC ⊥． 又因为1,BC AB AA AB A ⊥=，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，所以BC ⊥平面11ABB A ． ∶1AB ⊂平面11ABB A ， ∶1BC AB ⊥． （2）∶1AA AB =，易知矩形11ABB A 为正方形， ∶11BA AB ⊥．由（1）知1BC AB ⊥，又由于11,,A B BC B A B BC =⊂平面1A BC ，∶1AB ⊥平面1A BC ． 又∶1AB ⊂平面1AB G ， ∶平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．（1）甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1；（2）甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定.【分析】（1）根据众数和中位数的公式直接计算，众数是指数据中出现次数最多的数据，中位数是按从小到大排列，若是奇数个，则正中间的数是中位数，若是偶数个数，则正中间两个数的平均数是中位数；（2）平均数指数据的平均水平，标准差指数据的稳定程度，离散水平.【详解】解：（1）由题知：甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1 （2）甲的平均数等于0012003040110+++++++++=乙的平均数等于2020202020110+++++++++=甲的方差等于2222222222(01)(01)(11)(21)(01)(01)(31)(01)(41)(01)210-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=乙的方差等于2222222222(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)110-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=1 因此，甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定！【点睛】本题考查样本的众数，中位数，标准差，重点考查定义和计算能力，属于基础题型. 19．（1）0.4；（2）20；（3）3:2.【分析】（1）根据频率=组距⨯高，可得分数小于70的概率为：1(0.040.02)10-+⨯；（2）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50)内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，分别求出男生、女生的人数，进而得到答案．【详解】解：（1）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1(0.040.02)100.4-+⨯= 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人， 故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50)内的频率为：1(0.040.020.020.01)100.050.05-+++⨯-=， 估计总体中分数在区间[40，50)内的人数为4000.0520⨯=人， （3）样本中分数不小于70的频率为：0.6， 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等． 故分数不小于70的男生的频率为：0.3， 由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，则男生人数为0.610060⨯=， 即女生的频率为：0.4，则女生人数为0.410040⨯=， 所以总体中男生和女生人数的比例约为：3:2． 20．(1)38；(2)13(3)80P X ==；(3)分布列见解析；期望为712． 【分析】(1)甲未能参与面试，则甲笔试最多通过一个环节，结合已知条件计算即可；(2)分析3X =时，分析乙笔试和面试分别通过的环节即可求解；(3)首先分别求出甲乙应聘的概率，然后利用独立事件的性质求解即可.【详解】(1)设事件A =“甲未能参与面试”，即甲笔试最多通过一个环节， 故1131131133()(1)(1)(1)(1)(1)2(1)(1)2242242248P A =---+⨯--⨯+--⨯=；(2)当3X =时，可知乙笔试通过两个环节且面试通过1个环节，或者乙笔试通过三个环节且面试都未通过， 3113114343(3)[(1)(1)2][(1)(1)]4224225454P X ==-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-+-⨯3114313(1)(1)4225480+⨯⨯⨯--=；(3)甲应聘成功的概率为1113113113215[(1)2(1)]2242242243224P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=， 乙应聘成功的概率为2113113113433[(1)2(1)]224224224548P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=，由题意可知，Y 的取值可能为0，1，2， 5395(0)(1)(1)248192P Y ==--=， 535341(1)(1)(1)24824896P Y ==⨯-+-⨯=535(2)24864P Y ==⨯=， 所以Y 的分布列如下表：所以数学期望7()12E Y =. 21．(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）由题意证得//MN AC ,结合线面平行的判定定理，即可证得//MN 平面PAC ；（2）由PA ⊥平面ABC ，证得PA BC ⊥，再由AB AC =，证得AM BC ⊥，根据线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面PAM ，进而得到平面PBC ⊥平面PAM . （1）证明：在ABC 中，因为,M N 分别为,BC AB 中点，可得//MN AC , 又因为MN ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以//MN 平面PAC . （2）证明：因为PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，可得PA BC ⊥， 又因为AB AC =，且M 为BC 中点，可得AM BC ⊥，又由PA AM A =且,PA AM ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面PAM ， 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAM . 22．(1)证明见解析 (2)【分析】（1）连接1A B ，1A D ，可证明1AO BD ⊥，再证明1A O OA ⊥，从而可证明结论. （2）由线面垂直的判断定理得AC ⊥平面1A BD ，由11//AC A C 得11A C ⊥平面1A BD ，再由棱锥的体积可得答案. （1）连接11,A D A B ，111,,AD AB A AB A AD A A =∠=∠为公共边，1111,∴≅∴=A AB A AD A D A B ，又O 为BD 的中点，1A O BD ∴⊥，在1A AB 中，由余弦定理可知1A B在1Rt AOB 中1AO =13,A A AO = 满足22211A O AO A A +=1A O OA ∴⊥，又AO BD O ⋂=，1A O ∴⊥平面ABCD .（2）由（1）知1A O ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 1A O AC ∴⊥且1BD AC BD AO O ⊥⋂=，， AC ∴⊥平面1A BD ，且11//AC A C ， 11A C ∴⊥平面1A BD ，1111232C A BD V -=⨯⨯。
四川省乐山市2024届数学高一下期末综合测试试题含解析
四川省乐山市2024届数学高一下期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知()3,3a =，()1,0b =，则()2a b b -=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．32．若[0,]x π∈，则函数()cos 3sin f x x x =-的单调递增区间为（ )A ．5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2π,π3C ．50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．若2a =，2b =，且()-⊥a b a ，则a 与b 的夹角是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 4．一个几何体的三视图分别是一个正方形，一个矩形，一个半圆，尺寸大小如图所示，则该几何体的体积是( )A ．2π B ．23π C ．πD ．2π5．已知()f x 为定义在R 上的函数，其图象关于y 轴对称，当0x ≥时，有(1)()f x f x +=-，且当[0,1)x ∈时，2()log (1)=+f x x ，若方程()0f x kx -=（0k >）恰有5个不同的实数解，则k 的取值范围是（ ）A ．11[,)74B ．11[,)64C ．11[,)65D ．11[,)756．若{}n a 是等差数列，首项10a >，201620190a a +>，201720180a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n =（ ） A ．2017B ．2018C ．4035D ．40347．把函数sin2)6y x π=+（的图象沿x 轴向右平移4π个单位，再把所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，可得函数()y g x = 的图象，则()g x 的解析式为（ ）A ．()sin(4)12g x x π=-B ．()sin(4)6g x x π=-C ．()sin(4)3g x x π=-D ．2()sin(4)3g x x π=- 8．使函数()()()3sin 2cos 2f x x x θθ=+++是偶函数，且在04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数的θ的一个值是( )A ．6π B ．3π C ．23π-D ．56π-9．直线()()21210a x ay a R +-+=∈的倾斜角不可能为（ ）A ．4π B ．3π C ．2π D ．56π 10．在中，内角，，的对边分别为，，.若，则A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
高一下册数学期末试卷(含答案)
高一数学下册期末试卷（含答案）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、若，则下列不等式成立的是( C )A. .B. .C. .D. .2、已知为等比数列，若，则公比的值为（ B ）A． B． C． D．3、设等差数列的前项和为，若，，则（ B ）A．63 B．45 C．36 D．274、在中，，，，则的解的个数是（C）A. 0个B. 1个C. 2个D. 不确定5、已知为等比数列，为方程的两根，则=（ A ）A．16 B． C．10 D．6、在中，则BC =（ A ）A. B. C. 2 D.7、已知为等差数列，为等比数列，则下列结论错误．．的是（ D ）A．一定是等比数列 B．一定是等比数列C．一定是等差数列 D．一定是等差数列8、已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若，则的形状为（D）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形9、利用基本不等式求最值，下列各式运用正确的是（D）A. B.C. D.10、在数列中，，则＝（A）A． B． C． D．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11、不等式的解集为________________.12、在中，，则_______________.13、已知等差数列的首项，公差，则前项和_________________，当=________________时，的值最小. ，5或6三、解答题：本大题共4小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14、（6分）解不等式解：，……1分，……2分，……3分……4分由标根法得：原不等式的解集为……6分（漏分母不为零，最多得4分）15、（6分）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：．问：在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？解：……1分……4分……5分所以当汽车平均速度为40（千米/小时）时，车流量最大为10（千辆/小时）.……6分16、（11分）已知、、为的三个内角，它们的对边分别为、、，且．（1）求；（2）若，求的值，并求的面积．解：（Ⅰ）.. ……2分又，. ……4分（没有说明范围，扣1分），. ……5分（Ⅱ）由余弦定理,得, ……7分即：，. ……9分. ……11分、17、（12分）设数列的前项和为，且；数列为等差数列，且，.（1）求数列、的通项公式；（2）若，为数列的前项和. 求.解：（1）数列为等差数列，公差，……1分可得……2分由，令，则，又，所以. ……3分当时，由，可得.即. ……5分所以是以为首项，为公比的等比数列，于是. ……6分（2）……7分∴、……8分∴. ……10分，从而.（写成也可）……12分第二部分能力检测(共50分)四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．18、若数列满足，且，则通项________________.19、如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个侧点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高=_________________．五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20、（12分）已知（1）求函数的解析式，并求图象的对称中心的横坐标；（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.解：（1）……2分……4分……5分令……6分，对称中心的横坐标为……7分（欠扣1分）（2）由、……8分则……9分所以函数……10分由恒成立，得，……12分（没有等号扣1分）21、（14分）某农场预算用5600元购买单价为50元（每吨）的钾肥和20元（每吨）的氮肥，希望使两种肥料的总数量（吨）尽可能的多，但氮肥数不少于钾肥数，且不多于钾肥数的1.5倍。
高一数学下学期期末试卷及参考答案
试题一、选择题：(共15个小题，每小题4分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1.已知全集U=R，A=，B={-|ln-<0}，则A∪B=()A.{-|﹣1≤-≤2}B.{-|﹣1≤-<2}C.{-|-<﹣1或-≥2}D.{-|02.已知，那么cosα=()A.B.C.D.3.已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足=+，则的值为()A.B.C.1D.24.△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=60°，则cosC=()A.B.C.D.5.已知△ABC是边长为1的等边三角形，则(﹣2)?(3﹣4)=()A.﹣B.﹣C.﹣6﹣D.﹣6+6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.277.已知角α是第二象限角，且|cos|=﹣cos，则角是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角8.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为()A.5B.4C.3D.29.对任意一个确定的二面角α﹣l﹣β，a和b是空间的两条异面直线，在下面给出的四个条件中，能使a和b所成的角也确定的是()A.a∥a且b∥βB.a∥a且b⊥βC.a?α且b⊥βD.a⊥α且b⊥β10.定义2×2矩阵=a1a4﹣a2a3，若f(-)=，则f(-)的图象向右平移个单位得到函数g(-)，则函数g(-)解析式为()A.g(-)=﹣2cos2-B.g(-)=﹣2sin2-C.D.11.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.7B.7C.7D.812.若sin(π+α)=，α是第三象限的角，则=()A.B.C.2D.﹣213.已知，记数列{an}的前n项和为Sn，则使Sn>0的n的最小值为()A.10B.11C.12D.1314.(1+tan18°)(1+tan27°)的值是()A.B.C.2D.2(tan18°+tan27°)15.数列{an}满足：且{an}是递增数列，则实数a的范围是()A.B.C.(1，3)D.(2，3)二、填空题(共5小题，每小题4分，共20分，将答案填在答题纸上)16.已知向量=(k，12)，=(4，5)，=(﹣k，10)，且A、B、C三点共线，则k=.17.已知向量、满足||=1，||=1，与的夹角为60°，则|+2|=.18.在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB=3，BC=2，AC=，则sin∠ABD等于.19.在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥面ABCD，若四边形ABCD为边长为2的正方形，SA=3，则此四棱锥外接球的表面积为.20.设数列{an}的通项为an=2n﹣7(n∈N-)，则|a1|+|a2|+…+|a15|=.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)21.已知平面向量=(1，-)，=(2-+3，﹣-)(-∈R).(1)若∥，求|﹣|(2)若与夹角为锐角，求-的取值范围.22.(文科)已知{an}是单调递增的等差数列，首项a1=3，前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，首项b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20.(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式.(Ⅱ)令Cn=nbn(n∈N+)，求{cn}的前n项和Tn.23.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB﹣sin(A﹣B)sinB+cos(A+C)=﹣.(Ⅰ)求cosA的值;(Ⅱ)若a=4，b=5，求向量在方向上的投影.24.已知如图：四边形ABCD是矩形，BC⊥平面ABE，且AE=2，EB=BC=2，点F 为CE上一点，且BF⊥平面ACE.(1)求证：AE∥平面BFD;(2)求三棱锥A﹣DBE的体积;(3)求二面角D﹣BE﹣A的大小.25.如图，函数f(-)=Asin(ω-+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|≤)的图象与坐标轴的三个交点为P，Q，R，且P(1，0)，Q(m，0)(m>0)，∠PQR=，M为QR的中点，|PM|=.(Ⅰ)求m的值及f(-)的解析式;(Ⅱ)设∠PRQ=θ，求tanθ.26.设数列{an}的前n项和为Sn，a1=10，an+1=9Sn+10.(Ⅰ)求证：{lgan}是等差数列;(Ⅱ)设Tn是数列{}的前n项和，求Tn;(Ⅲ)求使Tn>(m2﹣5m)对所有的n∈N-恒成立的整数m的取值集合参考答案及解析一、选择题：(共15个小题，每小题4分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1.已知全集U=R，A=，B={-|ln-<0}，则A∪B=()A.{-|﹣1≤-≤2}B.{-|﹣1≤-<2}C.{-|-<﹣1或-≥2}D.{-|0【考点】并集及其运算.【分析】求出A与B中不等式的解集，分别确定出A与B，找出两集合的并集即可.【解答】解：由A中不等式变形得：≤0，即(-+1)(-﹣2)<0，且-﹣2≠0，解得：﹣1≤-<2，即A={-|﹣1≤-<2}，由B中不等式变形得：ln-<0=ln1，得到0则A∪B={-|﹣1≤-<2}，故选：B.2.已知，那么cosα=()A.B.C.D.【考点】诱导公式的作用.【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值.【解答】解：sin(+α)=sin(2π++α)=sin(+α)=cosα=.故选C.3.已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足=+，则的值为()A.B.C.1D.2【考点】平面向量的基本定理及其意义.【分析】如图所示，由于=+，可得：PA是平行四边形PBAC的对角线，PA与BC的交点即为BC的中点D.即可得出.【解答】解：如图所示，∵=+，∴PA是平行四边形PBAC的对角线，PA与BC的交点即为BC的中点D.∴=1.故选：C.4.△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=60°，则cosC=()A.B.C.D.【考点】正弦定理.【分析】由已知及正弦定理可得sinC==，又AB【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠B=60°，∴由正弦定理可得：sinC===，又∵AB∴cosC==.故选：D.5.已知△ABC是边长为1的等边三角形，则(﹣2)?(3﹣4)=()A.﹣B.﹣C.﹣6﹣D.﹣6+【考点】平面向量数量积的运算.【分析】将式子展开计算.【解答】解：(﹣2)?(3﹣4)=3﹣4﹣6+8=3×1×1×cos120°﹣4×1×1×cos60°﹣6×12+8×1×1×cos60°=﹣﹣2﹣6+4=﹣.故选：B.6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27【考点】等差数列的性质.【分析】观察下标间的关系，知应用等差数列的性质求得.【解答】解：由等差数列性质知S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列，即9，27，S9﹣S6成等差，∴S9﹣S6=45∴a7+a8+a9=45故选B.7.已知角α是第二象限角，且|cos|=﹣cos，则角是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【考点】三角函数值的符号.【分析】根据α的范围判断出的范围，再由含有绝对值的式子得到角的余弦值的符号，根据“一全正二正弦三正切四余弦”再进一步判断的范围.【解答】解：由α是第二象限角知，是第一或第三象限角.又∵|cos|=﹣cos，∴cos<0，∴是第三象限角.故选C.8.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为()A.5B.4C.3D.2【考点】等差数列的通项公式.【分析】写出数列的第一、三、五、七、九项的和即5a1+(2d+4d+6d+8d)，写出数列的第二、四、六、八、十项的和即5a1+(d+3d+5d+7d+9d)，都用首项和公差表示，两式相减，得到结果.【解答】解：，故选C.9.对任意一个确定的二面角α﹣l﹣β，a和b是空间的两条异面直线，在下面给出的四个条件中，能使a和b所成的角也确定的是()A.a∥a且b∥βB.a∥a且b⊥βC.a?α且b⊥βD.a⊥α且b⊥β【考点】异面直线及其所成的角.【分析】作辅助线，利用二面角的定义和线线角的定义证明两角互补即可.【解答】解：如图，若a⊥α且b⊥β，过A分别作直线a、b的平行线，交两平面α、β分别为C、B设平面ABC与棱l交点为O，连接BO、CO，易知四边形ABOC为平面四边形，可得∠BOC与∠BAC互补∵α﹣l﹣β是大小确定的一个二面角，而∠BOC就是它的平面角，∴∠BOC是定值，∴∠BAC也是定值，即a，b所成的角为定值.故选D10.定义2×2矩阵=a1a4﹣a2a3，若f(-)=，则f(-)的图象向右平移个单位得到函数g(-)，则函数g(-)解析式为()A.g(-)=﹣2cos2-B.g(-)=﹣2sin2-C.D.【考点】函数y=Asin(ω-+φ)的图象变换;三角函数中的恒等变换应用.【分析】利用三角恒等变换化简函数f(-)的解析式，再利用函数y=Asin(ω-+φ)的图象变换规律，求得函数g(-)解析式.【解答】解：由题意可得f(-)==cos2-﹣sin2-﹣cos(+2-)=cos2-+sin2-=2cos(2-﹣)，则f(-)的图象向右平移个单位得到函数g(-)=2cos[2(-﹣)﹣]=2cos(2-﹣π)=﹣2cos2-，故选：A.11.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.7B.7C.7D.8【考点】由三视图求面积、体积.【分析】根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，去掉两个三棱锥剩余的部分，结合图中数据即可求出它的体积.【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，去掉两个三棱锥剩余的部分，如图所示;所以该几何体的体积为V=V正方体﹣﹣=23﹣-12×2﹣-1×2×2=7.故选：A.12.若sin(π+α)=，α是第三象限的角，则=()A.B.C.2D.﹣2【考点】运用诱导公式化简求值.【分析】已知等式利用诱导公式化简求出sinα的值，根据α为第三象限角，利用同角三角函数间基本关系求出cosα的值，原式利用诱导公式化简，整理后将各自的值代入计算即可求出值.【解答】解：∵sin(π+α)=﹣sinα=，即sinα=﹣，α是第三象限的角，∴cosα=﹣，则原式====﹣，故选：B.13.已知，记数列{an}的前n项和为Sn，则使Sn>0的n的最小值为()A.10B.11C.12D.13【考点】数列的求和.【分析】由，可得a1+a10=a2+a9=…=a5+a6=0，a11>0，则有S9<0，S10=0，S11>0可求【解答】解：由，可得a1+a10=a2+a9=…=a5+a6=0，a11>0∴S9<0，S10=0，S11>0使Sn>0的n的最小值为11故选：B14.(1+tan18°)(1+tan27°)的值是()A.B.C.2D.2(tan18°+tan27°)【考点】两角和与差的正切函数.【分析】要求的式子即1+tan18°+tan27°+tan18°tan27°，再把tan18°+tan27°=tan45°(1﹣tan18°tan27°)代入，化简可得结果.【解答】解：(1+tan18°)(1+tan27°)=1+tan18°+tan27°+tan18°tan27°=1+tan45°(1﹣tan18°tan27°)+tan18°tan27°=2，故选C.15.数列{an}满足：且{an}是递增数列，则实数a的范围是()A.B.C.(1，3)D.(2，3)【考点】数列的函数特性;分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数单调性的判断与证明.【分析】根据题意，首先可得an通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，可得;解可得答案.【解答】解：根据题意，an=f(n)=;要使{an}是递增数列，必有;解可得，2故选D.二、填空题(共5小题，每小题4分，共20分，将答案填在答题纸上)16.已知向量=(k，12)，=(4，5)，=(﹣k，10)，且A、B、C三点共线，则k=.【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示;三点共线.【分析】利用三点共线得到以三点中的一点为起点，另两点为终点的两个向量平行，利用向量平行的坐标形式的充要条件列出方程求出k.【解答】解：向量，∴又A、B、C三点共线故(4﹣k，﹣7)=λ(﹣2k，﹣2)∴k=故答案为17.已知向量、满足||=1，||=1，与的夹角为60°，则|+2|=.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】根据条件进行数量积的计算便可得出，从而便可求出，这样即可求出的值.【解答】解：根据条件，;∴;∴.故答案为：.18.在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB=3，BC=2，AC=，则sin∠ABD等于.【考点】正弦定理.【分析】利用余弦定理求得cos∠ABC=cos2θ的值，可得θ的值.【解答】解：∵△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB=3，BC=2，AC=，设∠ABD=θ，则∠ABC=2θ，由余弦定理可得cos2θ===，∴2θ=，∴θ=，故答案为：.19.在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥面ABCD，若四边形ABCD为边长为2的正方形，SA=3，则此四棱锥外接球的表面积为17π.【考点】球内接多面体.【分析】如图所示，连接AC，BD相交于点O1.取SC的中点，连接OO1.利用三角形的中位线定理可得OO1∥SA.由于SA⊥底面ABCD，可得OO1⊥底面ABCD.可得点O是四棱锥S﹣ABCD外接球的球心，SC是外接球的直径.【解答】解：如图所示连接AC，BD相交于点O1.取SC的中点，连接OO1.则OO1∥S A.∵SA⊥底面ABCD，∴OO1⊥底面ABCD.可得点O是四棱锥S﹣ABCD外接球的球心.因此SC是外接球的直径.∵SC2=SA2+AC2=9+8=17，∴4R2=17，∴四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为4πR2=π?17=17π.故答案为：17π20.设数列{an}的通项为an=2n﹣7(n∈N-)，则|a1|+|a2|+…+|a15|=153.【考点】等差数列的前n项和.【分析】先根据数列的通项公式大于等于0列出关于n的不等式，求出不等式的解集即可得到数列的前三项为负数，利用负数的绝对值等于它的相反数，求出前三项的绝对值，正数的绝对值等于本身把第四项及后面的各项化简，然后利用等差数列的前n项和的公式即可求出所求式子的值.【解答】解：由an=2n﹣7≥0，解得n≥，所以数列的前3项为负数，则|a1|+|a2|+…+|a15|=5+3+1+1+3+5+…+23=9+12×1+×2=153.故答案为：153三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)21.已知平面向量=(1，-)，=(2-+3，﹣-)(-∈R).(1)若∥，求|﹣|(2)若与夹角为锐角，求-的取值范围.【考点】平面向量数量积的运算;平面向量共线(平行)的坐标表示.【分析】(1)根据向量平行与坐标的关系列方程解出-，得出的坐标，再计算的坐标，再计算||;(2)令得出-的范围，再去掉同向的情况即可.【解答】解：(1)∵，∴﹣-﹣-(2-+3)=0，解得-=0或-=﹣2.当-=0时，=(1，0)，=(3，0)，∴=(﹣2，0)，∴||=2.当-=﹣2时，=(1，﹣2)，=(﹣1，2)，∴=(2，﹣4)，∴||=2.综上，||=2或2.(2)∵与夹角为锐角，∴，∴2-+3﹣-2>0，解得﹣1又当-=0时，，∴-的取值范围是(﹣1，0)∪(0，3).22.(文科)已知{an}是单调递增的等差数列，首项a1=3，前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，首项b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20.(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式.(Ⅱ)令Cn=nbn(n∈N+)，求{cn}的前n项和Tn.【考点】等差数列与等比数列的综合;数列的求和.【分析】(Ⅰ)设公差为d，公比为q，则a2b2=(3+d)q=12①，S3+b2=3a2+b2=3(3+d)+q=20②联立①②结合d>0可求d，q，利用等差数列，等比数列的通项公式可求an，bn(Ⅱ)由(I)可得，bn=2n﹣1，cn=n?2n﹣1，考虑利用错位相减求解数列的和即可【解答】解：(Ⅰ)设公差为d，公比为q，则a2b2=(3+d)q=12①S3+b2=3a2+b2=3(3+d)+q=20②联立①②可得，(3d+7)(d﹣3)=0∵{an}是单调递增的等差数列，d>0.则d=3，q=2，∴an=3+(n﹣1)×3=3n，bn=2n﹣1…(Ⅱ)bn=2n﹣1，cn=n?2n﹣1，∴Tn=c1+c2+…+cnTn=1?20+2?21+3?22+…+n?2n﹣12Tn=1?21+2?22+…+(n﹣1)?2n﹣1+n?2n…两式相减可得，﹣Tn=1?20+1?21+1?22+…+1?2n﹣1﹣n?2n∴﹣Tn==2n﹣1﹣n?2n∴Tn=(n﹣1)?2n+1…23.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB﹣sin(A﹣B)sinB+cos(A+C)=﹣.(Ⅰ)求cosA的值;(Ⅱ)若a=4，b=5，求向量在方向上的投影.【考点】两角和与差的余弦函数;向量数乘的运算及其几何意义;二倍角的正弦;二倍角的余弦;余弦定理.【分析】(Ⅰ)由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A 的余弦值，然后求sinA的值;(Ⅱ)利用，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c的大小.【解答】解：(Ⅰ)由可得，可得，即，即，(Ⅱ)由正弦定理，，所以=，由题意可知a>b，即A>B，所以B=，由余弦定理可知.解得c=1，c=﹣7(舍去).向量在方向上的投影：=ccosB=.24.已知如图：四边形ABCD是矩形，B C⊥平面ABE，且AE=2，EB=BC=2，点F 为CE上一点，且BF⊥平面ACE.(1)求证：AE∥平面BFD;(2)求三棱锥A﹣DBE的体积;(3)求二面角D﹣BE﹣A的大小.【考点】二面角的平面角及求法;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.【分析】(1)连接AC交BD于G，连结GF，则G为AC的中点，推导出BF⊥CE，FG为△ACE的中位线，由此能证明AE∥平面BFD.(2)推导出BF⊥AE，BC⊥AE，AD⊥平面ABE，从而AE⊥BE，由VA﹣DBE=VD﹣ABE，能求出三棱锥A﹣DBE的体积.(3)由AE⊥BE，AD⊥BE，得到∠DEA是二面角D﹣BE﹣A的平面角，由此能求出二面角D﹣BE﹣A的大小.【解答】证明：(1)连接AC交BD于G，连结GF，∵ABCD是矩形，∴G为AC的中点，…1分由BF⊥平面ACE得：BF⊥CE，由EB=BC知：点F为CE中点，…2分∴FG为△ACE的中位线，∴FG∥AE，…3分∵AE?平面BFD，FG?平面BFD，∴AE∥平面BFD.…4分解：(2)由BF⊥平面ACE得：BF⊥AE，由BC⊥平面ABE及BC∥AD，得：BC⊥AE，AD⊥平面ABE，∵BC∩BF=F，∴AE⊥平面BCE，则AE⊥BE，…6分∴VA﹣DBE=VD﹣ABE=，即三棱锥A﹣DBE的体积为.…8分(3)由(2)知：AE⊥BE，AD⊥BE，∴BE⊥平面ADE，则BE⊥DE，∴∠DEA是二面角D﹣BE﹣A的平面角，…10分在Rt△ADE中，DE==4，∴AD=DE，则∠DEA=30°，∴二面角D﹣BE﹣A的大小为30°.…12分.25.如图，函数f(-)=Asin(ω-+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|≤)的图象与坐标轴的三个交点为P，Q，R，且P(1，0)，Q(m，0)(m>0)，∠PQR=，M为QR的中点，|PM|=.(Ⅰ)求m的值及f(-)的解析式;(Ⅱ)设∠PRQ=θ，求tanθ.【考点】由y=Asin(ω-+φ)的部分图象确定其解析式;同角三角函数间的基本关系.【分析】(Ⅰ)由已知可得=，从而解得m的值，由图象可求T，由周期公式可求ω，把p(1，0)代入f(-)，结合|φ|≤，即可求得φ的值，把R(0，﹣4)代入f(-)=Asin(-﹣)，即可解得A的值，从而可求f(-)的解析式.(Ⅱ)由∠ORP=﹣θ，tan∠ORP=，根据tan(﹣θ)=即可解得tanθ的值.【解答】解：(Ⅰ)∵∠PQR=，∴OQ=OR，∵Q(m，0)，∴R(0，﹣m)，…又M为QR的中点，∴M(，﹣)，又|PM|=，=，m2﹣2m﹣8=0，m=4，m=﹣2(舍去)，…∴R(0，4)，Q(4，0)，=3，T=6，=6，，…把p(1，0)代入f(-)=Asin(-+φ)，Asin(+φ)=0，∵|φ|≤，∴φ=﹣.…把R(0，﹣4)代入f(-)=Asin(-﹣)，Asin(﹣)=﹣4，A=.…f(-)的解析式为f(-)=sin(-﹣).所以m的值为4，f(-)的解析式为f(-)=sin(-﹣).…(Ⅱ)在△OPR中，∠ORP=﹣θ，tan∠ORP=，∴tan(﹣θ)=，…∴=，解得tanθ=.…26.设数列{an}的前n项和为Sn，a1=10，an+1=9Sn+10.(Ⅰ)求证：{lgan}是等差数列;(Ⅱ)设Tn是数列{}的前n项和，求Tn;(Ⅲ)求使Tn>(m2﹣5m)对所有的n∈N-恒成立的整数m的取值集合.【考点】数列的求和;等差关系的确定.【分析】(I)根据等差数列的定义即可证明{lgan}是等差数列;(Ⅱ)求出{}的通项公式，利用裂项法即可求Tn;(Ⅲ)直接解不等式即可得到结论.【解答】解：(I)∵a1=10，an+1=9Sn+10.∴当n=1时，a2=9a1+10=100，故，当n≥1时，an+1=9Sn+10①，an+2=9Sn+1+10②，两式相减得an+2﹣an+1=9an+1，即an+2=10an+1，即，即{an}是首项a1=10，公比q=10的等比数列，则数列{an}的通项公式;则lgan=lg10n=n，则lgan﹣lgan﹣1=n﹣(n﹣1)=1，为常数，即{lgan}是等差数列;(Ⅱ)∵lgan=n，则=(﹣)，则Tn=3(1﹣+…+﹣)=3(1﹣)=3﹣，(Ⅲ)∵Tn=3﹣≥T1=，∴要使Tn>(m2﹣5m)对所有的n∈N-恒成立，则>(m2﹣5m)对所有的n∈N-恒成立，解得﹣1故整数m的取值集合{0，1，2，3，4，5}.。
高一下学期数学期末考试试题(含参考答案)
2x ；
④若 A
B
4 ，则 1 tan A 1 tan B
） C. ②③
2.
其中，正确的结论是（ A．①③ B ．①④
D
．②④
12. 已知函数 f x
A sin
x
A
0,
0,
2
，在一个周期内图像如图所示，
若
f x1
f x2 ，
且 x1 , x 2
12
,
5 6
，
x1
x2 ，则 f x1
x2
(
)
A．
3
B
．2
x 1
2. sin 75 sin15
cos75 cos15 的值为（ 1 2 1 2
D )
A． 1
B
．0
C
．
D
．
3 2
3. 已知直线 ax A． 1 B
y 1 a
．
0 与直线 x
C ．2
y
0 平行，则 a 的值是（
．
）
1
2
4. 已知向量 A．
a
B
1,2 , b
1,3 ，则 (
C.
a
b
． a // b
4 9 4 9
CB CB
2 3 2 3
CA CA
“勾股圆方图” ，
10. “勾股定理” 在西方被称为 “毕达哥拉斯定理” ，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅
用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与 中间的小正方向拼成一个边长为
2 的大正方形，若直角三角形中较小的锐角
C.
3
D
．
2
合肥一六八中学2023-2024学年高一下学期期末素养测试数学试卷(含答案解析)
高一期末素养测试数学试题（时长：120分钟 满分150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1. 设平面向量()3,6AB =−，点()1,2A −，则点B 坐标为（ ）A. ()2,4−B. ()2,4−C. ()4,8−D. ()4,8−2. 已知复数2i z =−+，则3iz−在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知事件,A B 互斥，它们都不发生的概率为16，且()()2P A P B =，则()P A =（ ） A518B.1318C. 59D. 494. 现有甲、乙两组数据．甲组数据有6个数，其平均数为3，方差为5；乙组数据有9个数，其平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（ ） A. 4.76B. 4.52C. 4.2D. 3.85. 如图，三棱柱111ABC A B C 中，,E F 分别为111,BB A C 中点，过,,A E F 作三棱柱的截面交11B C 于M ，且11B M MC λ=，则λ的值为（ ）A.13B.12C.23D. 16. 如图，设()0,πα∈，且π2α≠，当xOy α∠=时，定义平面坐标系xOy 为α的斜坐标系，在α的斜坐标系中，任意一点P 的斜坐标这样定义：设12,e e是分别与x 轴，y 轴正方向相同的单位向量，若12OP xe ye =+，记(),OP x y = ，则下列结论中正确的是（ ）的.A. 设()(),,,am n b s t =，若a b ⊥，则0ms nt +=B. 设(),a m n =，则a=C. 设()(),,,a m n b s t =.若//a b，则0mt ns −=D. 设()()1,2,2,1ab = ，若a与b的夹角为π3，则π3α= 7. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()2cos 1c b A +，则下列结论错误的是（ ）A. 2A B =B. 若a =，则ABC 为直角三角形C. 若ABC 为锐角三角形，则ca 的取值范围为 D. 若ABC 为锐角三角形，11tan tan B A−的最小值为1 8. 如图，在矩形ABCD 中，2,1,AB AD M ==为AB 的中点，将ADM △沿DM 翻折．在翻折过程中，当二面角A BC D −−的平面角最大时，其正弦值为（ ）A.12B.5C.D.5二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9. 已知复数z 满足1z =，则下列结论正确．．的是（ ） A. 1z z ⋅=B. 1z z+∈R C. 1z −的最大值为2D. 21z =10. 在ABC 中，由以下各条件分别能得出ABC 为等边三角形的有（ ）A. 已知2a b c +=且2A B C +=B. 已知sin A =且b c =C. 已知2a b c +=且2222a b c +=D. 已知cos cos a B b A=且60A =° 11. 已知正方形1111ABCD A B C D −的棱长为2，棱,AB BC 的中点分别为,E F ，点G 在底面111,A B C D 上，且平面//EFG 平面1ACD ，则下列说法正确的是（ ） A. 若存在λ，使得11A G GD λ=，则1λ= B. 若11G C D ∈，则//EG 平面11ADD A C. 三棱锥1G BC D −体积的最大值为3D. 二面角D EF G −− 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 定义：sin a b a b θ×=，其中θ为向量a 与b的夹角，若2,5,6a b a b ==⋅=− ，则a b × 等于__________．13. 已知ABC 为锐角三角形，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若π3A =，2c =，则ABC 面积的取值范围为______．14. 将1,2,3,,20,21 共21个正整数排成六行，按照第一行1个数，第二行2个数，．．．，第六行6个数的顺序排列，则每一行中最大的数都小于其后一行中最大的数的概率是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．15. 如图所示是在圆锥内部挖去一正四棱柱所形成的几何体，该正四棱柱上底面的四顶点在圆锥侧面上，15π，底面半径为3r =.（Ⅰ）若正四棱柱的底面边长为a =（Ⅱ）求该几何体内正四棱柱侧面积的最大值.16. 航天员安全返回，中国航天再创辉煌1去年6月4日，当地时间6时20分许，神舟十五号载人飞船成功着陆，费俊龙、邓清明、张陆等航天员安全顺利地出舱，身体状况良好．这标志着神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功．某学校高一年级利用高考放假期间开展组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：（1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人成绩，求10人中成绩不高于50分的人数； （2）求a 的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；（3）由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为23，乙复赛获优秀等级的概率为34，丙复赛获优秀等级的概率为12，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率．17. 已知ABC 内角,,A B C 所对的边分别为,,,3,22cos a b c ac b a B =−=． （1）求A ；（2）M 为ABC 外心，AM 的延长线交BC 于点D，且MD =ABC 的面积． 18. 如图，在四棱台11ABCD A B C D −中，底面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=°，1111AA BB CC ===，侧棱1BB 与底面ABC．若球O 与三棱台111ABC A B C 内切（即球与棱台各面均相切）．（1）求证：AC ⊥平面11B D DB ； （2）求二面角1B BC A −−正切值；（3）求四棱台1111ABCD A B C D −体积和球O 的表面积．19. 给定两组数据()12,,,n A x x x = 与()12,,,n B y y y = ，称()1,ni ii X AB x y==−∑为这两组数据之间的的的的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有n 个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为()1,2,,I n = ．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n 个古董的价值从高到低依次进行重新排序为12,,,n x x x ，其中i x 为该专家给真实价值排第i 位古董的位次编号，记()12,,,n A x x x = ，那么A 与I 的差异量()1,ni i X AI x i ==−∑可以有效反映一个专家的水平，该差异量(),X A I 越小说明专家的鉴宝能力越强．（1）当3n =时，求(),X A I 的所有可能取值； （2）当5n =时，求满足(),4X A I =的A 的个数；（3）现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I 的差异量为a ，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I 的差异量是否可能为6a +？请说明理由．（注：实数,a b 满足：+≤+a b a b ，当且仅当0a b ⋅≥时取“=”号）高一期末素养测试数学试题（时长：120分钟 满分150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1. 设平面向量()3,6AB =−，点()1,2A −，则点B的坐标为（ ）A. ()2,4−B. ()2,4−C. ()4,8−D. ()4,8−【答案】B 【解析】【分析】设B 点坐标为(,)x y ，则可得AB的坐标，根据题意，列出等式，即可得答案.【详解】设B 点坐标为(,)x y ，由()1,2A −，所以()6(1,23),AB x y =−+=− ，则1326x y −=− += ，解得24x y =− = ，所以B 的坐标为()2,4−. 故选：B.2. 已知复数2i z =−+，则3iz−在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】【分析】根据复数的四则运算法则计算即可得到答案. 【详解】2i (2i)(3i)55i 11i 3i 3i 3i (3i)1022z −−−−+−−====−−−−−+（）， 其对应的点为11(,)22−−，在第三象限. 故选：C.3. 已知事件,A B 互斥，它们都不发生的概率为16，且()()2P A P B =，则()P A =（ ） A.518B.1318C. 59D. 49【答案】D 【解析】【分析】根据互斥事件概率关系即可计算求解.【详解】由题可知，15()()()166P A B P A P B =+=−= ， 又()()2P A P B =，所以52()()6P B P B +=，解得5()18P B =，()59P A =， 所以()41()9P A P A =−=. 故选：D.4. 现有甲、乙两组数据．甲组数据有6个数，其平均数为3，方差为5；乙组数据有9个数，其平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（ ） A. 4.76 B. 4.52 C. 4.2 D. 3.8【答案】A 【解析】【分析】由分层抽样中数据方差的计算公式计算即可.【详解】设甲、乙组平均数分别为,x y ，方差分别为2212,S S ，两组数据混合成一组的平均数为w ，方差为2S ，则3x =，5y =，22125,3S S ==， 则69232135 4.26969555w x y =+=×+×==++， 222221269[()][()]0.4(5 1.44)0.6(30.64) 4.766969S S x w S y w =+−++−=×++×+=++ 故选：A .5. 如图，三棱柱111ABC A B C 中，,E F 分别为111,BB A C 中点，过,,A E F 作三棱柱的截面交11B C 于M ，且11B M MC λ=，则λ的值为（ ）A.13B.12C.23D. 1【答案】B 【解析】【分析】延长1AF CC ，交于点P ，连接PE 交11B C 于M ，连接PM ，取1CC 的中点Q ，连接EQ ，得到四边形AEMF 所求裁面，再利用平行的相似比得到M 为11B C 上靠近1B 的三等分点即可．详解】如图，延长1AF CC ，交于点P ，连接PE 交11B C 于M ， 连接FM ，则四边形AEMF 所求截面． 取1CC 的中点Q ，连接EQ . ∵111,//2FC AC FC AC =， ∴1FC 是△APC 的中位线， ∴1C 为PC 的中点．又Q E ，分别为11CC BB ，的中点，∴1//MC EQ，则11MC PC EQ PQ ==，即1112233MC EQ B C ==， ∴M 为11B C 上靠近1B 的三等分点，故12λ=． 故选：B.6. 如图，设()0,πα∈，且π2α≠，当xOy α∠=时，定义平面坐标系xOy 为α的斜坐标系，在α的斜坐标系中，任意一点P 的斜坐标这样定义：设12,e e是分别与x 轴，y 轴正方向相同的单位向量，若12OP xe ye =+，记(),OP x y = ，则下列结论中正确的是（ ）A. 设()(),,,am n b s t =，若a b ⊥，则0ms nt +=【B. 设(),a m n =，则a=C. 设()(),,,a m n b s t = .若//a b ，则0mt ns −=D. 设()()1,2,2,1ab = ，若a与b的夹角为π3，则π3α= 【答案】C 【解析】【分析】利用向量垂直的坐标表示可得A 错误；由向量模长的定义可得B 错误；由向量平行的坐标表示可得C 正确；由向量数量积的定义可得D 错误.【详解】A ：因为()(),,,am n b s t =，所以1212,a me ne b se te =+=+，又a b ⊥ ，所以0a b ⋅= ，即()()()()2212121122cos 0me ne se te mse mt ns e e nte ms nt mt ns α+⋅+=++⋅+=+++= ，所以()cos ms nt ms nt α+=−+， 因为1π2α≠，所以0ms nt +≠，故A 错误； B ：因为(),a m n =，所以12a me ne =+ ，所以12a me ne =+=，又()0,πα∈，且π2α≠，所以a ≠，故B 错误； C ：因为()(),,,am n b s t =，所以1212,a me ne b se te =+=+，又//a b ，则a b λ= ，即()1212me ne se te λ+=+ ，即m sn t λλ= =，所以0mt ns −=，故C 正确；D ：因为()()1,2,2,1a b =，所以1212,22a e e b e e =+=+ ，又a与b的夹角为π3， 所以()()22121212122?2π·45cos cos 354cos 22e e e e a b a b e e e e αα+++===+++，解得1cos 2α=−， 所以2π3α=，故D 错误； 故选：C.7. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()2cos 1c b A +，则下列结论错误的是（ ）A. 2A B =B.若a =，则ABC 为直角三角形C. 若ABC 为锐角三角形，则ca 的取值范围为 D. 若ABC 为锐角三角形，11tan tan B A−的最小值为1 【答案】D 【解析】【分析】A ：利用正弦定理和三角恒等变换即可判断；B ：利用正弦定理边化角，结合A 选项结论和三角恒等变换即可求出ABC 的三个内角，从而可判断其形状；C 和D ，根据ABC 是锐角三角形和选项A 结论求出B 的范围，利用函数单调性的方法可分别求两个式子的范围. 【详解】∵()2cos 1cb A +，由正弦定理可得()sin sin 2cos 1C B A =+，在ABC 中，()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，可得()sin sin 0A B B −=>，而A B −与B 不可能互补， ∴A B B −=，即2A B =，∴A 选项正确；选项B 中，a =，可得sin A B =，由A 选项可得sin2B B =，则2sin cos B B B =，在ABC 中，sin 0B >，可得cos B =，则,63ππB A ==，∴π2C =，即ABC 为直角三角形，∴B 选项正确；选项C 中，ABC 为锐角三角形中，()()2sin 2cos 1sin πsin sin 3sin 2cos cos 2sin cos sin sin sin 2sin 22sin cos B B A B c C B B B B B B a A A B B B B−−−+=====+12cos 2cos B B−．设cos t B =，∵ABC 为锐角三角形，∴π02π022π0π2B A B C A B <<<<<=−−<，可得π6π4B <<，∴cos B ∈，即t ∈， 令()12,2f t t t t =−∈，则函数()f t 单调递增，()f f t f <<，而ff ． ∴()f t ∈，∴c a ∈，∴C 正确； 选项D 中，∵ABC 为锐角三角形，由A 选项可得2A B =，∴π02π022π0π2B A B C A B<<<<<=−−<π4B <<，∴tan B ∈ ， ∴21111tan 1tan tan tan tan 2tan 2tan 2B B B A B B B −−=−=+．设tan s B =∈．设()122s g s s =+在单调递减，∴()()11g s g >=， ∴D 选项不正确： 故选：D ．8. 如图，在矩形ABCD 中，2,1,AB AD M ==为AB 的中点，将ADM △沿DM 翻折．在翻折过程中，当二面角A BC D −−的平面角最大时，其正弦值为（ ）A.12B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】过A 作DM 的垂线，垂足为E ，交CD 于F ，交BC 于G ，设A 在平面BCD 内的时影为O ，则O 在直线EG 上，过O 作BC 的垂线，垂足为H ，则AHO ∠为二面角A BC D −−的平面角，通过辅助角公式和正弦函数的值域，解不等式可得所求正切值的最大值，进一步即可求解．【详解】在图1中，过A 作DM 的垂线，垂足为E ，交CD 于F ，交BC 于G .在图2中，设A 在平面BCD O ，则O 在直线EG 上，过O 作BC 的垂线，垂足为H ，连接AH ，因为AO ⊥平面MBCD ，BC ⊂平面MBCD ， 所以BC AO ⊥，又因为BC OH ⊥，AO OH O ∩=，AO ⊂平面AOH ，OH ⊂平面AOH ， 所以BC⊥平面AOH ，因为AH ⊂平面AOH ， 所以BC AH ⊥， 因为OHBC ⊥，OH ⊂平面BCD ，AH ⊂平面BCA ，平面BCD 平面=BCA BC ，所以AHO ∠为二面角A BC D −−的平面角.设,(0π),AEO AE ∠θθ=<<=sin AO AE θθ=， 由45GAB ∠= ，可得)()11cos,21cos2 AG OG OHθθθ===+==−+．即有sintan(0π)13cos2AOAHOOHθθθ∠<<−，令sin,0π3costθθθ<<−，可得()sin cos3t tθθθϕ+=+≤其中cosϕϕ=，解得0t<≤，则1tan2AHO∠≤，等号成立当且仅当()sin1θϕ+=．∴当二面角A BC D−−的平面角最大时，其正切值为12故选：B．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9. 已知复数z满足1z=，则下列结论正确．．的是（）A. 1z z⋅= B.1zz+∈RC. 1z−的最大值为2 D. 21z=【答案】ABC【解析】【分析】根据共轭复数及乘法计算判断A,B选项，应用特殊值法判断D选项，结合模长公式判断C选项. 【详解】设iz=,所以22i1z==−,D选项错误；112z z−≤+=,C选项正确；设iz a b=+,因为1,z=221,1a b+=，所以()()22222·i i i=1z z a b a b a b a b=+−=−+=,A选项正确；1?i+i=2Rz zz z z z a b a b az z+=+=+=+−∈,B选项正确.故选：ABC.10. 在ABC中，由以下各条件分别能得出ABC为等边三角形的有（）A. 已知2a b c +=且2A B C +=B.已知sin A =且b c = C. 已知2a b c +=且2222a b c += D. 已知cos cos a B b A=且60A =° 【答案】AC 【解析】【分析】利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状. 【详解】对于A 、因为2A B C +=，所以3C π=，由余弦定理得，222222cos c a b ab C a b ab =+−=+−，又2a b c +=，所以2222a b a b ab + =+−，所以()230a b −=，所以a b =，所以3A B C π===， 所以ABC 为等边三角形..故A 正确； 对于B，因为sin A =，0A π<<，所以3A π=或23A π=，当3A π=时，b c =，所以3AB C π===，所以ABC 为等边三角形； 当23A π=时，b c =，所以ABC 为等腰三角形.故B 错误； 对于C ，因为2a b c +=且2222a b c+=，所以()22212a b a b +=+；所以()20a b −=，所以a b =， 又2a b c +=，所以a b c ==，所以ABC 为等边三角形.故C 正确； 对于D ，因为cos cos a B b A=；所以sin cos sin cos A BB A =，即sin cos sin cos A A B B =，所以sin2sin2A B =， 所以22A B =或22180A B +=°，所以A B =或90A B +=°，当A B =时，60A =°，所以60A B C ===°，所以ABC 为等边三角形；当90A B +=°时，60A =°，所以30B =°，90C=°，所以ABC 为直角三角形.故D 错误. 故答案为：AC.11. 已知正方形1111ABCD A B C D −的棱长为2，棱,AB BC 的中点分别为,E F ，点G 在底面111,A B C D 上，且平面//EFG 平面1ACD ，则下列说法正确的是（ ）A. 若存在λ，使得11A G GD λ=，则1λ=B 若11GCD ∈，则//EG 平面11ADD A C. 三棱锥1G BC D −体积的最大值为3.D. 二面角D EF G −−【答案】ABD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，由平面EFG //平面1ACD ，根据向量法得出点G 的轨迹，由向量共线可判定A ，根据线面平行的判定定理可判定B ，根据棱锥体积公式可得C ，由向量法求面面角可得D. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，依题意，()()()()()12,0,0,0,2,0,0,0,2,2,1,0,1,2,0A C D E F ，设()00,,2G x y ，则()()()()1002,2,0,2,0,2,1,1,0,2,1,2AC AD EF EG x y =−=−=−=−− ， 设平面1ACD 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则111n AC n AD ⊥ ⊥，所以1111111220220n AC x y n AD x z ⋅=−+= ⋅=−+= ，令11x =，则111y z ==，即()11,1,1n = ， 设平面EFG 的一个法向量()2222,,n x y z = ，则22n EFn EG⊥ ⊥ ，所以()()22222020202120n EF x y n EGx x y z ⋅=−+= ⋅=−++=，令21x =，则002231,2x y y z −−== 即00231,1,2x y n −− =，因为平面EFG //平面1ACD ，所以12//n n ，即00312x y −−=，所以001x y +=，选项A ：若存在λ使得11A G GD λ=，则点G 在线段11A D 上，所以00y =，即01x =，所以G 为11A D 的中点，即1λ=，故A 正确；选项B ：若11G C D ∈，则00x =，即01y =，所以G 为11C D 的中点，因为E 为AB 的中点，所以11//,AE D G AE D G =，故四边形1AEGD 为平行四边形，所以1//EG AD ，EG ⊄平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，所以EG //平面11ADD A ，故B 正确；选项C ：因为()()()1000,2,2,2,2,0,,,2DC DB DG x y ===，设平面1DBC 的一个法向量为()3333,,n x y z =，则313n DC n DB ⊥ ⊥，所以3133333220220n DC y z n DB x y ⋅=+= ⋅=+= ，令31y =，则331x z ==−， 即()31,1,1n =−−，设G 到平面1DBC的距离为d又1DBC为等边三角形且边长为，则(12DBC S所以11011221333G DBC DBC V S d x −=⋅⋅=×+ ，又001x ≤≤， 所以当01x =时，三棱锥1G BC D −体积的最大值为2，故C 错误；选项D ：因为1DD ⊥平面DEF ，所以平面DEF 的一个法向量为()10,0,2DD =，平面EFG //平面1ACD ，平面1ACD 的一个法向量为()11,1,1n =， 所以平面EFG 的一个法向量为()11,1,1n =，则111111cos,DD nDD nDD n⋅==⋅因为二面角D EF G−−为锐角，所以二面角D EF G−−，故D正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：利用空间向量解决立体几何中的动点问题及求角和距离是常用方法.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 定义：sina b a bθ×=，其中θ为向量a与b的夹角，若2,5,6a b a b==⋅=−，则a b×等于__________．【答案】8【解析】【分析】先由6a b⋅=−求出cosθ，再利用同角三角函数的关系求出sinθ，再利用新定义可求出a b×的值.【详解】因为2,5,6a b a b==⋅=−，所以25cos6θ×=−，得3cos5θ=−，因为[0,π]θ∈，所以4sin5θ=，所以4sin2585a b a bθ×==××=，故答案为：813. 已知ABC为锐角三角形，角,,A B C对边分别为,,a b c，若π3A=，2c=，则ABC面积的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】由正弦定理以及三角恒等变换可得1b+，结合三角形面积公式可得32a t nABCSC=+ABC为锐角三角形，π3A=可得出C的范围，进一步即可求解.的【详解】由正弦定理有sin sin sin c a bC A B==，即22πsin sin 3b CC = − ，所以2π2sin 31sin C bC−=+， 所以ABC面积的表达式为113sin 12222tan ABC S bc A C ==⋅+ ， 又已知ABC 为锐角三角形，所以π022ππ032C C<<<−<，解得ππ62C <<， 所以tan C的取值范围是 ∞，32tan C的取值范围是， 所以ABC面积的取值范围为.故答案为：.14. 将1,2,3,,20,21 共21个正整数排成六行，按照第一行1个数，第二行2个数，．．．，第六行6个数的顺序排列，则每一行中最大的数都小于其后一行中最大的数的概率是______． 【答案】4315【解析】【分析】通过分析最大数在第n 行的概率，得到规律，从而可求得结果.【详解】设()1,2,3,,k x kn =…是从上往下数第k 行的最大数， 设12n x x x <<…<的概率为n p ．最大数在第n 行的概率为：()2112n n n n =++．在排好第n 行后余下的()12n n −个数排在前()1n −行，符合要求的排列的概率为1n p −， 121n n p p n −∴=+，以此类推，()12222131!nn p p n n n =⋅⋅…⋅⋅=++．∴当6n =时，66247!315p ==． 故答案为：4315． 【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是求出最大数要第n 行的概率为21n p n =+，通过分析得到121n n p p n −=+，从而可求得结果. 四、解答题：本题共5小题，共77分．15. 如图所示是在圆锥内部挖去一正四棱柱所形成的几何体，该正四棱柱上底面的四顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，已知圆锥侧面积为15π，底面半径为3r =.（Ⅰ）若正四棱柱的底面边长为a =（Ⅱ）求该几何体内正四棱柱侧面积的最大值.【答案】（Ⅰ）16123π−；（Ⅱ）. 【解析】【分析】（Ⅰ）分别计算圆锥和正四棱柱的体积，再计算该几何体的体积；（Ⅱ）首先利用比例关系求得1312h +=，再利用基本不等式求得1h a 的最大值，即可得到正四棱柱侧面积的最大值【详解】解：设圆锥母线长为l ，高为h ，正四棱柱的高为1h（Ⅰ）由S rl π=圆锥侧，有315l ππ=，故5l =， 由222h r l +=，故4h ===，所以圆锥体积为2211341233V r h πππ==××=圆锥由a =2，由图可得11h r h r−=，所以11318433r h h r −−==×=， 故正四棱柱的体积为21816233V a h ==×=正四棱柱所以该几何体的体积为16123V V π−=−圆锥正四棱柱（Ⅱ）由图可得1h h=，即14h =，即1312h +=由13h +≥，当且仅当136h =时左式等号成立，有112h a ≤⇒≤，当且仅当12h =，a =故正四棱柱侧面积14S h a =≤侧，当且仅当12h =，a =所以该几何体内正四棱柱侧面积的最大值为.16. 航天员安全返回，中国航天再创辉煌1去年6月4日，当地时间6时20分许，神舟十五号载人飞船成功着陆，费俊龙、邓清明、张陆等航天员安全顺利地出舱，身体状况良好．这标志着神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功．某学校高一年级利用高考放假期间开展组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：（1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人成绩，求10人中成绩不高于50分的人数； （2）求a 的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；（3）由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为23，乙复赛获优秀等级的概率为34，丙复赛获优秀等级的概率为12，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率． 【答案】（1）4 （2）平均数为71，中位数为2203（3）1724【解析】【分析】（1）抽取的200名学生中, 分别求出不高于50分的人数，50分到60分的人数，再利用分层抽样的定义，求出从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人的成绩，不高于50分的人数；（2）由各个矩形面积和为1列方程求出a 的值，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值，利用直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数； （3）利用独立事件的概率公式求解即可. 【小问1详解】因为抽取的200名学生中, 不高于50分的人数为0.011020020××=（人）， 50分到60分的人数为0.0151020030××=（人）， 所以从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人的成绩，不高于50分的人数为201042030×=+（人）.【小问2详解】由()0.0050.010.0150.0150.025101a +++++×=，解得0.03a =， 平均数450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =×+×+×+×+×+×=，因为成绩不高于70分的频率为()0.010.0150.015100.4++×=，成绩不高于80分的频率为()0.010.0150.0150.03100.7+++×=， 所以中位数位于[]70,80内，则中位数为0.50.4220700.033−+=. 【小问3详解】三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率为，1111173423423423422423211323P =××+××+××+××=. 17. 已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,,3,22cos a b c ac b a B =−=． （1）求A ；（2）M 为ABC 外心，AM 的延长线交BC 于点D ，且MD =ABC 的面积． 【答案】（1）π3（2 【解析】【分析】（1）由正弦定理化简求出余弦值，结合角的范围即可求出角；（2）先根据正弦定理求出外接圆半径，再应用余弦定理求边长，最后面积公式计算即可得. 【小问1详解】3,6cos 2a b B c =+= ，在ABC 中，由正弦定理得sin 2sin cos 2sin B A B C +=，又()sin sin C A B =+，则()sin 2sin cos 2sin B A B A B +=+，即sin 2cos sin B A B =， ()0,πB ∈ ，即sin 0B ≠，1cos 2A ∴=，()0,πA ∈ ，π3A ∴=；【小问2详解】 由（1）得π3A =，设ABC 的外接圆M 的半径为R ，在ABC 中，由正弦定理得2sin aR A==R =，则BM CM R ===，在BMC △中，由余弦定理得2221cos 22BM CM BC BMC BM CM ∠+−==−⋅，2π3BMC ∠∴=，π6MBD ∠=，MD = ，∴在BDM 中，由正弦定理得sin sin 1BM BDM MBD MD∠∠=⋅=，π2BDM ∠∴=，即,MD BC ABC ⊥∴ 是等边三角形，ABC ∴ 的面积为2132×18. 如图，在四棱台1111ABCD A B C D −中，底面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=°，1111AA BB CC ===，侧棱1BB 与底面ABC ．若球O 与三棱台111ABC A B C -内切（即球与棱台各面均相切）．（1）求证：AC ⊥平面11B D DB ； （2）求二面角1B BC A −−的正切值；（3）求四棱台1111ABCD A B C D −的体积和球O 的表面积． 【答案】（1）证明见解析（2）（3）四棱台1111ABCD A B C D −O 的表面积为2π3．【解析】【分析】（1）只需证明AC BD ⊥和AC EF ⊥即可； （2）做出二面角的平面角再做计算.（3）将四棱台1111ABCD A B C D −还原为四棱锥P ABCD −，把三棱台111ABC A B C -的内切球转化为三棱锥−P ABC 的内切球问题. 【小问1详解】设11A C 与11B D 、AC 与BD 分别交点E ，F ，连接EF ，因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥．在等腰梯形11A C CA 中，因为E ，F 为底边中点，所以AC EF ⊥，又EF 与BD 相交，,BD EF ⊂平面11B D DB ，所以AC ⊥平面11B D DB ．小问2详解】由（1）可知平面ABCD ⊥平面11B D DB ，又平面ABCD ∩平面11B D DB BD =， 过点1B 作1B H BD ⊥于H ，则1B H ⊥平面ABCD ，因为BC ⊂平面ABCD ，所以1B H BC ⊥，再作HG BC ⊥于G ，又因为1B H HG H = ，1,B H HG ⊂平面1B HG ， 所以BC⊥平面1B HG ，因为1B G ⊂平面1B HG ，所以1B G BC ⊥，则1B GH ∠是二面角1B BC A −−的平面角．因为1B H ⊥平面ABCD ，故1B BH ∠是侧棱1BB 与底面ABC所成角，所以1sin B BH ∠．在1Rt B BH △，111sin B H BB B BH ∠11cos BH BB B BH =∠=， 在Rt BGH △，sin 30GH BH =°=在1Rt B GH，1tan B GH ∠=． 因此二面角1B BC A −−的正切值为【小问3详解】将四棱台1111ABCD A B C D −还原为四棱锥P ABCD −，由题意可知三棱台111ABC A B C -为正三棱台，所以三棱锥−P ABC 为正三棱锥，因此三棱台111ABC A B C -和三棱锥−P ABC 的内切球为同一个球，设1O ，2O 是111A B C △和ABC 的中心，【由（2）易知在160B BG °∠=，所以三棱锥−P ABC 为正四面体，所以2122r PO =， 因此平面1111D C B A 是四棱锥P ABCD −的中截面，则2AB =，111A B =， 故四棱台1111ABCD A B C D −的体积121133V h S S =××+=×球O 的表面积为2224π4ππ3S r ==．19. 给定两组数据()12,,,n A x x x = 与()12,,,n B y y y = ，称()1,ni ii X AB x y==−∑为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有n 个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为()1,2,,I n = ．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n 个古董的价值从高到低依次进行重新排序为12,,,n x x x ，其中i x 为该专家给真实价值排第i 位古董的位次编号，记()12,,,n A x x x = ，那么A 与I 的差异量()1,ni i X AI x i ==−∑可以有效反映一个专家的水平，该差异量(),X A I 越小说明专家的鉴宝能力越强．（1）当3n =时，求(),X A I 的所有可能取值； （2）当5n =时，求满足(),4X A I =的A 的个数；（3）现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I 的差异量为a ，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I 的差异量是否可能为6a +？请说明理由．（注：实数,a b 满足：+≤+a b a b ，当且仅当0a b ⋅≥时取“=”号） 【答案】（1）0，2，4（2）12 （3）不可能，理由见详解 【解析】【分析】（1）利用列举法求A 的所有可能性结果，结合(),X A I 的定义运算求解；（2）分析可知(),4X A I =只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，结合（1）中结论运算求解； （3）由题意可得：1n ii x i a =−=∑，14niii x y =−=∑，结合绝对值不等式的运算求解.【小问1详解】若3n =时，则()()()()()()1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1A =，且()1,2,3I =， 可得(),0,2,2,4,4,4X A I =，所以(),X A I 的所有可能取值为0，2，4. 【小问2详解】若对调两个位置的序号之差大于2，则(),4X A I >，可知(),4X A I =只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序， 若调整两次两个连续序号：则有()(){}()(){}()(){}1,2,3,4,1,2,4,5,2,3,4,5，共有3种可能；若连续三个序号之间调整顺序，连续三个序号有：{}{}{}1,2,3,2,3,4,3,4,5，共3组， 由（1）可知：每组均有3种可能满足(),4X A I =，可得共有339×=种可能； 所以A 的个数为3912+=. 【小问3详解】 不可能，理由如下：设专家甲的排序为12,,,n x x x ⋅⋅⋅，记()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅； 专家乙的排序为12,,,⋅⋅⋅n y y y ，记()12,,,n B y y y =⋅⋅⋅；由题意可得：()1,ni i X A I x i a ==−=∑，()1,4niii X A B x y ==−=∑，因为()()i i i i i i i i i i y i y x x i y x x i x i x y −=−+−≤−+−=−+−，结合i 的任意性可得11146n n ni i iii i i y i x i x ya a ==−≤−+−=+<+∑∑∑，所以专家乙的鉴定结果与真实价值I 的差异量不可能为6a +.【点睛】方法点睛：1，对于（2）：利用转化法，将问题转为（1）中已知结论； 2，对于（3）：结合绝对值不等式分析证明.的。
2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷
秘密★启用前【考试时间：2024年6月18日14：00-16：00】2023~2024学年度下期高中2023级期末联考数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名､座位号､准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上､试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知1cos 2α=，则cos2α=（ ）12 D.12−2.MN PQ MP −−=（ ）A.QNB.NQC.PMD.MP3.在ABC 中，3,4,5AB BC AC ===，则CB CA ⋅=（ ）A.-16B.16C.32D.-324.一个水平放置的平面图形OABC 按斜二测画法得到的直观图O A B C ′′′′如图所示.知24,O A C B O C A B ′===′′′′′′′，则平面图形OABC 的面积为（ ）A.3B.6C. 5.把函数()sin f x x =的图象向左平移π6个单位长度，再把横坐标变为原来的6π倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ） A.函数()y g x =的最小正周期6T = B.函数()y g x =在区间()2,8上单调递减C.函数()2y g x =+是奇函数 D.函数()2y g x =+在区间[]3,4上的最大值为126.某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发､渗透､流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm ）.24小时降雨量的等级划分如下： 24小时降雨量（精确到0.1）0.1~9.910.024.9∼25.049.9∼50.0~99.9降雨等级小雨中雨大雨暴雨在一次降雨过程中，用一个侧棱180mm AA =的三棱柱容器收集的24小时的雨水如图所示，当侧面11AA B B 水平放置时，水面恰好过1111,,,AC BC AC B C 的中点.则这24小时的降雨量的等级是（ ）A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨7.如图，圆锥PO 的底面直径和高均为12，过PO 上一点O ′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，我们称该圆柱为圆锥的内接圆柱.则该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值为（ ）A.12πB.24πC.36πD.72π8.在ABC 中，4AB AC BC ===，点P 满足BP tBC =，且1AP BC BC⋅=，则t =（ ） A.34 B.14 C.34− D.14−二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,m n 是两条不同的直线，α是平面，若m ∥,n αα⊂，则,m n 的关系可能为（ ）A.平行B.垂直C.相交D.异面10.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，下列结论正确的是（ ） A.若222sin sin sin sin sin A B C B C =+−，则角π3A =B.存在,,A B C ，使tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++>成立C.若sin2sin2A B =，则ABC 为等腰或直角三角形D.若30ab A ，则ABC 有两解 11.如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 为棱AB 上的动点，DF ⊥平面1,D EC F 为垂足，下列结论正确的是（ ）A.1FD FC =B.三棱锥1C DED −的体积为定值C.11ED A D ⊥D.1BC 与AC 所成的角为45三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知,a b为共线向量，且()()()3,1,,2ab x x =∈R ，则x =__________.13.在ABC 中，,D E 分别为,AC BC 的中点，AE 交BD 于点M .若2,4AB AC ==，π3BAC ∠=，则cos EMD ∠=__________.14.降维类比和升维类比主要应用于立体几何的学习，将空间三维问题降为平面二维或者直线一维问题就是降维类比.平面几何中多边形的外接圆，即找到一点，使得它到多边形各个顶点的距离相等.这个点就是外接圆的圆心，距离就是外接圆的半径.若这样的点存在，则这个多边形有外接圆，若这样的点不存在，则这个多边形没有外接圆.事实上我们知道，三角形一定有外接圆，如果只求外接圆的半径，我们可通过正弦定理来求，我们也可以关注九年义教初中《几何》第三册第94页例2.的结论：三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商.借助求三角形外接圆的方法解决问题：若等腰梯形ABCD 的上下底边长分别为6和8，高为1，这个等腰梯形的外接圆半径为__________；轴截面是旋转体的重要载体，圆台的轴截面中包含了旋转体中的所有元素：高､母线长､底面圆的半径，通过研究其轴截面，可将空间问题转化为平面问题.观察图象，通过类比，我们可以找到一般圆台的外接球问题的研究方法，正棱台可以看作由圆台切割得到.研究问题：如图，正三棱台的高为1，上､下底面边长分别为和一球面上，则该球的体积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知1111ABCD A B C D −是棱长为2的正方体.（1）求三棱锥11D A BC −的体积；（2）若N 是1D C 的中点，M 是1BC 的中点，证明：NM ∥平面ABCD .16.（15分）已知向量,a b 满足，4,a b == ，且a 在b 上的投影向量为b − . （1）求,a b 及a b ⋅ 的值；（2）若()()2a b a b λ−⊥+，求λ的值.17.（15分）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos πsin 2cos 6BC A=−，且sin 2sin b C B =. （1）求A 及c ；（2）若点D 在边BC 上，且3,BC BD AD ==ABC 的面积. 18.（17分）在平行四边形ABCD 中，2,45,,AB ADA E F == 分别为,AB AD 的中点，将三角形ADE 沿DE 翻折，使得二面角A ED C −−为直二面角后，得到四棱锥A EBCD −.（1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）求证：平面AED ⊥平面ACD ； （3）求EC 与平面ACD 所成角的正弦值. 19.（17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.如图1，三个内角都小于120 的ABC 内部有一点P ，连接,,PA PB PC ，求PA PB PC ++的最小值.我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段和的最小值.某数学研究小组先后尝试了翻折､旋转､平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的做法如图2，将APC 绕点C 顺时针旋转60 ，得到EDC ，连接,PD BE ，则BE 的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等分费马点P 的周角.同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量(),AB x y = ，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量()cos sin ,sin cos AQ x y x y θθθθ=−+.（1）已知平面内点()(1,2,12A B +−，把点B 绕点A 沿顺时针方向旋转π4后得到点P ，求点P 的坐标；（2）在ABC 中，30,12,5ACB BC AC ∠===，借助研究成果，直接写出PA PB PC ++的最小值；（3）已知点()()()1,0,1,0,0,2A B C −，求ABC 的费马点P 的坐标.。
高一数学下册期末试卷及答案
高一数学下册期末试卷及答案心无旁骛，全力以赴，争分夺秒，顽强拼搏脚踏实地，不骄不躁，长风破浪，直济沧海，我们，注定成功!下面给大家分享一些关于高一数学下册期末试卷及答案，希望对大家有所帮助。
一.选择题1.若函数f(x)是奇函数，且有三个零点x1、x2、x3，则x1+x2+x3的值为( )A.-1B.0C.3D.不确定[答案] B[解析] 因为f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，它有三个零点，即f(x)的图象与x轴有三个交点，故必有一个为原点另两个横坐标互为相反数.∴x1+x2+x3=0.2.已知f(x)=-x-x3，x∈[a，b]，且f(a)?f(b)<0，则f(x)=0在[a，b]内( )A.至少有一实数根B.至多有一实数根C.没有实数根D.有惟一实数根[答案] D[解析] ∵f(x)为单调减函数，x∈[a，b]且f(a)?f(b)<0，∴f(x)在[a，b]内有惟一实根x=0.3.(09?天津理)设函数f(x)=13x-lnx(x>0)则y=f(x)( )A.在区间1e，1，(1，e)内均有零点B.在区间1e，1，(1，e)内均无零点C.在区间1e，1内有零点;在区间(1，e)内无零点D.在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点[答案] D[解析] ∵f(x)=13x-lnx(x>0)，∴f(e)=13e-1<0，f(1)=13>0，f(1e)=13e+1>0，∴f(x)在(1，e)内有零点，在(1e，1)内无零点.故选D.4.(2010?天津文，4)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( )A.(-2，-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)[答案] C[解析] ∵f(0)=-1<0，f(1)=e-1>0，即f(0)f(1)<0，∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内.5.若方程x2-3x+mx+m=0的两根均在(0，+∞)内，则m的取值范围是( )A.m≤1B.0C.m>1D.0[答案] B[解析] 设方程x2+(m-3)x+m=0的两根为x1，x2，则有Δ=(m-3)2-4m≥0，且x1+x2=3-m>0，x1?x2=m>0，解得06.函数f(x)=(x-1)ln(x-2)x-3的零点有( )A.0个B.1个C.2个D.3个[答案] A[解析] 令f(x)=0得，(x-1)ln(x-2)x-3=0，∴x-1=0或ln(x-2)=0，∴x=1或x=3，∵x=1时，ln(x-2)无意义，x=3时，分母为零，∴1和3都不是f(x)的零点，∴f(x)无零点，故选A.7.函数y=3x-1x2的一个零点是( )A.-1B.1C.(-1,0)D.(1,0)[答案] B[点评] 要准确掌握概念，“零点”是一个数，不是一个点.8.函数f(x)=ax2+bx+c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为( )A.至多有一个B.有一个或两个C.有且仅有一个D.一个也没有[答案] C[解析] 若a=0，则b≠0，此时f(x)=bx+c为单调函数，∵f(1)>0，f(2)<0，∴f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点;若a≠0，则f(x)为开口向上或向下的抛物线，若在(1,2)上有两个零点或无零点，则必有f(1)?f(2)>0，∵f(1)>0，f(2)<0，∴在(1,2)上有且仅有一个零点，故选C.9.(哈师大附中2009～2010高一期末)函数f(x)=2x-log12x的零点所在的区间为( )A.0，14B.14，12C.12，1D.(1,2)[答案] B[解析] ∵f14=214-log1214=42-2<0，f12=2-1>0，f(x)在x>0时连续，∴选B.10.根据表格中的数据，可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为( )x -1 0 1 2 3ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)[答案] C[解析] 令f(x)=ex-x-2，则f(1)?f(2)=(e-3)(e2-4)<0，故选C.二、填空题11.方程2x=x3精确到0.1的一个近似解是________.[答案] 1.412.方程ex-x-2=0在实数范围内的解有________个.[答案] 2三、解答题13.借助计算器或计算机，用二分法求方程2x-x2=0在区间(-1,0)内的实数解(精确到0.01).[解析] 令f(x)=2x-x2，∵f(-1)=2-1-(-1)2=-12<0，f(0)=1>0，说明方程f(x)=0在区间(-1,0)内有一个零点.取区间(-1,0)的中点x1=-0.5，用计算器可算得f(-0.5)≈0.46>0.因为f(-1)?f(-0.5)<0，所以x0∈(-1，-0.5).再取(-1，-0.5)的中点x2=-0.75，用计算器可算得f(-0.75)≈-0.03>0.因为f(-1)?f(-0.75)<0，所以x0∈(-1，-0.75).同理，可得x0∈(-0.875，-0.75)，x0∈(-0.8125，-0.75)，x0∈(-0.78125，-0.75)，x0∈(-0.78125，-0.765625)，x0∈(-0.7734375，-0.765625).由于|(-0.765625)-(0.7734375)|<0.01，此时区间(-0.7734375，-0.765625)的两个端点精确到0.01的近似值都是-0.77，所以方程2x-x2=0精确到0.01的近似解约为-0.77.14.证明方程(x-2)(x-5)=1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2.[解析] 令f(x)=(x-2)(x-5)-1∵f(2)=f(5)=-1<0，且f(0)=9>0.f(6)=3>0.∴f(x)在(0,2)和(5,6)内都有零点，又f(x)为二次函数，故f(x)有两个相异实根，且一个大于5、一个小于2.15.求函数y=x3-2x2-x+2的零点，并画出它的简图.[解析] 因为x3-2x2-x+2=x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x2-1)=(x-2)(x-1)(x+1)，所以函数的零点为-1,1,2.3个零点把x轴分成4个区间：(-∞，-1]，[-1,1]，[1,2]，[2，+∞].在这4个区间内，取x的一些值(包括零点)，列出这个函数的对应值(取精确到0.01的近似值)表：x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 …y … -4.38 0 1.88 2 1.13 0 -0.63 0 2.63 …在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示.16.借助计算器或计算机用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1,0)内的近似解.(精确到0.1)[解析] 原方程为x3-4x2+x+5=0，令f(x)=x3-4x2+x+5.∵f(-1)=-1，f(0)=5，f(-1)?f(0)<0，∴函数f(x)在(-1,0)内有零点x0.取(-1,0)作为计算的初始区间用二分法逐步计算，列表如下端点或中点横坐标端点或中点的函数值定区间a0=-1，b0=0 f(-1)=-1，f(0)=5 [-1,0]x0=-1+02=-0.5f(x0)=3.375>0 [-1，-0.5]x1=-1+(-0.5)2=-0.75 f(x1)≈1.578>0 [-1，-0.75]x2=-1+(-0.75)2=-0.875 f(x2)≈0.393>0 [-1，-0.875]x3=-1-0.8752=-0.9375 f(x3)≈-0.277<0 [-0.9375，-0.875]∵|-0.875-(-0.9375)|=0.0625<0.1，∴原方程在(-1,0)内精确到0.1的近似解为-0.9.17.若函数f(x)=log3(ax2-x+a)有零点，求a的取值范围.[解析] ∵f(x)=log3(ax2-x+a)有零点，∴log3(ax2-x+a)=0有解.∴ax2-x+a=1有解.当a=0时，x=-1.当a≠0时，若ax2-x+a-1=0有解，则Δ=1-4a(a-1)≥0，即4a2-4a-1≤0，解得1-22≤a≤1+22且a≠0.综上所述，1-22≤a≤1+22.18.判断方程x3-x-1=0在区间[1,1.5]内有无实数解;如果有，求出一个近似解(精确到0.1).[解析] 设函数f(x)=x3-x-1，因为f(1)=-1<0，f(1.5)=0.875>0，且函数f(x)=x3-x-1的图象是连续的曲线，所以方程x3-x-1=0在区间[1,1.5]内有实数解.取区间(1,1.5)的中点x1=1.25，用计算器可算得f(1.25)=-0.30<0.因为f(1.25)?f(1.5)<0，所以x0∈(1.25,1.5).再取(1.25,1.5)的中点x2=1.375，用计算器可算得f(1.375)≈0.22>0.因为f(1.25)?f(1.375)<0，所以x0∈(1.25，1.375).同理，可得x0∈(1.3125,1.375)，x0∈(1.3125，1.34375).由于|1.34375-1.3125|<0.1，此时区间(1.3125，1.34375)的两个端点精确到0.1的近似值是1.3，所以方程x3-x-1=0在区间[1,1.5]精确到0.1的近似解约为1.3.。
高一数学下学期期末考试试题含解析 试题 32
智才艺州攀枝花市创界学校宝山区二零二零—二零二壹高一数学下学期期末考试试题〔含解析〕一、填空题tan(2)6y x π=+的最小正周期为__________．【答案】2π 【解析】函数tan 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π故答案为：2π 2()(4)2f x x m x =+-+为偶函数，那么实数m 的值是________.【答案】4 【解析】 【分析】 根据偶函数的定义知()()f x f x -=，即可求解.【详解】因为2()(4)2f x x m x =+-+为偶函数，所以22()(4)2()(4)2f x x m x f x x m x -=--+==+-+,故(4)4m m --=-，解得4m =. 故填4.【点睛】此题主要考察了偶函数的定义，利用定义求参数的取值，属于中档题.147258369中，元素4的代数余子式的值是________.【答案】6 【解析】 【分析】利用代数余子式的定义直接求解.【详解】三阶行列式147258369中，元素4的代数余子式的值是：328(1)(1824)639-=--=.故答案为：6.【点睛】此题主要考察了三阶行列式中元素的代数余子式的求法，属于中档题. 4.cot m α=〔02πα-<<〕，那么cos α=________.〔用m 表示〕【答案】【解析】 【分析】根据同角三角函数之间的关系，结合角所在的象限，即可求解. 【详解】因为cot m α=，02πα-<<所以cos sin m αα=，0m < 故22222cos cos sin 1cos m αααα==-，解得cos α=， 又02πα-<<，0m <，所以cos α=.故填【点睛】此题主要考察了同角三角函数之间的关系，三角函数在各象限的符号，属于中档题.arcsin 3arccos x x π+=，那么实数x 的值是_______.【答案】2【解析】 【分析】由arcsin arccos 2x x π+=得arccos arcsin 2x x π=-，代入方程arcsin 3arccos x x π+=即可求解. 【详解】arcsin arccos 2x x π+=,arccos arcsin 2x x π∴=-.arcsin 3arccos x x π+=,arcsin 3arcsin 2x x ππ⎛⎫∴+-= ⎪⎝⎭,arcsin 4x π∴=,即x =，故填2. 【点睛】此题主要考察了反三角函数的定义及运算性质，属于中档题.6.某银行一年期定期储蓄年利率为5%，假设存款到期不取出继续留存于银行，银行自 动将本金及80%的利息〔利息须交纳20%利息税，由银行代交〕自动转存一年期定期储蓄， 某人以一年期定期储蓄存入银行20万元，那么5年后，这笔钱款交纳利息税后的本利和为________元.〔准确到1元〕 【答案】218660 【解析】 【分析】 20万存款满一年到期后利息有200000 2.25%120%)⨯⨯-（，本息和一共200000 2.25%120%)200000200000(1 2.25%80%)⨯⨯-+=+⨯（，再过一年本息和2200000(1 2.25%80%)+⨯，⋯经过5年一共有本息5200000(1 2.25%80%)+⨯元，计算即可求出结果.【详解】20万存款满一年到期后利息有200000 2.25%120%)⨯⨯-（，本息和一共200000 2.25%120%)200000200000(1 2.25%80%)⨯⨯-+=+⨯（，再过一年本息和2200000(1 2.25%80%)+⨯，⋯经过5年一共有本息5200000(1 2.25%80%)+⨯元, 5200000(1.018)218659.76218660⨯=≈元.故填218660.【点睛】此题主要考察了银行存款的复利问题，由固定公式可用，本息和=本金1+⨯（利率(1)⨯-利息税)n ，利率是一年年利率，n 是存款年数，代入公式计算即可求出本息和，属于中档题.1()(1)k f x k x +=-()k ∈R 为幂函数，那么满足sin()sin k θθ=02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的θ的值为________. 【答案】3π【解析】 【分析】 根据幂函数定义知2k =，又sin2sin θθ=，由二倍角公式即可求解.【详解】因为1()(1)k f x k x +=-()k ∈R 为幂函数，所以1=1k -，即2k =,因为sin()sin k θθ=, 所以sin2sin θθ=，即2sin cos sin θθθ=，因为02πθ<<，所以1cos 2θ=，=3πθ.故填3π. 【点睛】此题主要考察了幂函数的定义，正弦的二倍角公式，属于中档题.3549x =，假设用含x 的形式表示5log 35，那么5log 35=________.【答案】22x- 【解析】 【分析】两边取以5为底的对数，可得55log 35log 49x =，化简可得5log 72xx=-，根据对数运算即可求出结果.【详解】因为3549x=所以两边取以5为底的对数，可得55log 35log 49x =， 即555(log 5log 7)2log 7x +=，所以5log 72xx=-， 552log 351log 7122x x x=+=+=--， 故填22x-. 【点睛】此题主要考察了对数的运算法那么，属于中档题.ABC ∆中，A 、B 、C 所对的边依次为a 、b 、c ，且22sin sin 22B C A BP c a ++=⋅+⋅， 假设用含a 、b 、c ，且不含A 、B 、C 的式子表示P ，那么P =_______.【答案】2a b c++ 【解析】 【分析】利用诱导公式，二倍角公式，余弦定理化简即可得解. 【详解】22sin sin 22B C A BPc a ++=⋅+⋅ 2a b c++=. 故答案为2a b c++. 【点睛】此题主要考察了诱导公式，二倍角的三角函数公式，余弦定理，属于中档题.(0,)2πθ∈，假设函数()f x 在R 上恒有17(3)(3)22f x f x -+=+，且422sin 11()log 13x x f x x x π-≤≤⎧=⎨<<⎩，那么函数()cos 1y f x θ=--在区间[5,14]-上零点的个数 是________. 【答案】15 【解析】 【分析】根据17(3)(3)22f x f x -+=+可得函数周期，作出函数一个周期上的图象，利用数形结合即可求解.【详解】函数()f x 在R 上恒有17(3)(3)22f x f x -+=+,1133422f x f x ⎛⎫⎛⎫∴-+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴函数周期为4.常数(0,)2πθ∈,cos 1(1,2)θ∴+∈,∴函数()cos 1y f x θ=--在区间[5,14]-上零点,即函数()([5,14])y f x x =∈-与直线1y =及直线2y =之间的直线的交点个数.由422sin 11()log 13x x f x xx π-≤≤⎧=⎨<<⎩，可得函数()f x 一个周期内的图象，做草图如下： 由图可知，在一个周期内，函数()cos 1y f x θ=--有3个零点，故函数()cos 1y f x θ=--在区间[5,14]-上有15个零点.故填15.【点睛】此题主要考察了函数零点的个数判断，涉及数形结合思想在解题中的运用，属于难题.P 关于直线的对称点在函数()f x 的图像上，那么称点P 、直线l 及函数()f x 组成系统(,,)T P l f ，函数1()mx g x x-=的反函数图像过点(3,1)，且第一象限内的点00(,)M x y 、直线:n y x =及函数()g x 组成系统(,,)T M n g ，那么代数式000011()()22x y x y ++的最小值为________. 【答案】94【解析】 【分析】 根据函数1()mx g x x-=的反函数图像过点(3,1)可求出m ,由00(,)M x y 、直线:n y x =及函数()g x 组成系统(,,)T M n g 可知00(,)M y x '在()g x 的图象上，4m =且0014x y +=，代入000011()()22x y x y ++化简为20020049144x x x x -+--，换元2004,t x x =-那么914t y t=+-，利用单调性求解. 【详解】因为函数1()mx g x x-=的反函数图像过点(3,1)， 所以(1)13g m =-=，即4m =，由00(,)M x y 、直线:n y x =及函数()g x 组成系统(,,)T M n g 知00(,)M y x '在()g x 上，所以0140,0x x y y +=>>，，代入000011()()22x y x y ++化简得0000000011114()()()()22242x x x y x y x x -++=++- 20020049144x x x x -=+--， 令2004,t x x =-由00140,0x x y y +=>>，知004x <<，故04t <≤ 那么91361()144t y t t t=+-=+-在(0,4]t ∈上单调递减， 所以当4t =即02x =时，min 94y =，故填94.【点睛】此题主要考察了对称问题，反函数概念，根据条件求最值，函数的单调性，换元法，综合性大，难度大，属于难题. 二、选择题 12.“2aπ=〞是“函数cos y x =的图像关于直线x a =对称〞的〔〕条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既不充分又非必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的断定，即可得出结果. 【详解】当2a π=时，2x π=是函数cos y x =的对称轴，所以“2a π=〞是“函数cos y x =的图像关于直线x a =对称〞的充分条件，当函数cos y x =的图像关于直线x a =对称时，,x a k k Z π==∈,推不出2a π=，所以“2a π=〞是“函数cos y x =的图像关于直线x a =对称〞的不必要条件，综上选A .【点睛】此题主要考察了充分条件、必要条件，余弦函数的对称轴，属于中档题.1251028b b ⎛⎫⎪⎝⎭，解为34212021x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，那么21b b -的值是〔〕 A.1 B.2C.3D.4【答案】C 【解析】 【分析】由题意得134205102121b ⨯+=，23420282121b ⨯+=，解方程即可得到所求值. 【详解】由题意得134205102121b ⨯+=，23420282121b ⨯+=，解得1225b b ==，，那么213b b -=，应选C.【点睛】此题主要考察了线性方程组的解法，以及增广矩阵的概念，考察运算才能，属于中档题.()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()5f x x x =--，那么不等式()(1)0f x f x --<的解集为〔〕 A.(1,2)- B.(1,3)-C.(2,3)-D.(2,4)-【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性分析可得函数的解析式，作出函数图象，结合不等式和二次函数的性质以及函数图象中的递减区间，分析可得答案. 【详解】根据题意，设0x >，那么0x -<，所以2()5f x x x -=-+，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以2()5()f x x x f x -=-+=-，所以2()5f x x x =-，即0x ≥时，当0x <时，2()5f x x x =--，那么()f x 的图象如图： 在区间55(,)22-上为减函数， 假设()(1)0f x f x --<，即(1)()f x f x ->，又由1x x -<，且(3)(2),(2)(3)f f f f -=-=，必有133x x ->-⎧⎨<⎩时，()(1)0f x f x --<，解得23x -<<，因此不等式的解集是(2,3)-，应选C.【点睛】此题主要考察了函数奇偶性的应用，利用函数的奇偶性求出函数的解析式，根据图象解不等式是此题的关键，属于难题.12()()()a f x f x bf x =(),a b ∈R ，那么称1()f x 与2()f x 经过变换(,)T a b 生成函数()f x ，1221()(1220)g x x x =-+-，1222()(10)gx x x =-+，设1()g x 与2()g x 经过变换(,)T m n生成函数()g x，(4)g =，(6)2)g =，那么()g x 的最大值为〔〕A.1B.4C.6D.9【答案】B 【解析】 【分析】根据变换(,)T m n 可生成函数21()()()g x mg x ng x =-112222(10)(1220)m x x n x x =-+--+-，再根据(4)g =，(6)2)g =可求出,m n，转化为求112222()(10)(1220)g x x x x x =-+--+-的最大值,化简()g x ==，利用单调性求解即可.【详解】由题意可知21()()()g x mg x ng x =-112222(10)(1220)m x x n x x =-+--+-,又(4)g =，(6)2)g =解得1m n ==, 所以112222()(10)(1220)g x x x x x =-+--+-又()g x ==，因为y =[2,10]x ∈上单调递减且为正值，y =[2,10]x ∈上单调递减且为正值，所以()g x ==在[2,10]x ∈上单调递减，所以当2x =时函数有最大值(2)4g =.应选B.【点睛】此题主要考察了函数的单调性，利用单调性求函数的最大值，涉及创设新情景及函数式的变形，属于难题 三、解答题α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点(,)m n ，0mn ≠，且cos()x βπ-=32ππβ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，求sin()αβ-〔用含m 、n 、x 的形式表示〕.【解析】 【分析】由任意角的三角函数定义求得sin ,cos αα，再由诱导公式及同角的三角函数根本关系式求得cos ,sin ββ，再由两角差的正弦求sin()αβ-.【详解】由题意，sin α=cos α=，又cos()x βπ-=，所以cos x β=-，32ππβ<<，那么sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-==【点睛】此题主要考察了任意角的三角函数定义，同角三角函数的关系，两角和差的正弦，属于中档题. 17.()2f x x k =+()k ∈R .〔1〕设1k=，求满足2()log (616)1xf x =-+的实数x 的值；〔2〕假设()f x 为R 上的奇函数，试求函数()y x x f x =+的反函数.【答案】〔1〕12x =；〔2〕1010x y x ≥=<⎪⎩.【解析】 【分析】 〔1〕把1k=代入函数解析式，代入方程2()log (616)1xf x =-+即可求解.〔2〕由函数奇偶性得k ，然后求得()y x x f x =+的解析式，分段求解反函数即可.【详解】〔1〕当1k =时，()21f x x =+，由2()log (616)1x f x =-+，得()221log 6161x x +=-+， 即()22log 616xx =-，解得12x =. 〔2〕()f x 为R 上的奇函数，0k ∴=，那么()2f x x =.∴222,0()22,0x x x y x x f x x x x x x x ⎧+=+=+=⎨-+<⎩,由22y x x =+，0x ≥，得1x =，0y ≥;由22y x x =-+，0x <，得1x =0y <.∴函数()y x x f x =+的反函数为11,0()10x f x x -=-<⎪⎩.【点睛】此题主要考察了函数的解析式及求法，考察了反函数的求法，属于中档题.2()x mx af x x++=(),m a ∈R . 〔1〕当2a =时，函数()f x 的图像经过点(1,1)a +，试求m 的值，并写出〔不必证明〕()f x 的单调递减区间；〔2〕设1a =-，()()0h x x f x +⋅=，()2cos()3g x x π=-，假设对于任意的[1,2]s ∈，总存在[0,]t π∈，使得()()h s g t =，务实数m 的取值范围.【答案】〔1〕递减区间为[和；〔2〕[2,1]m ∈--.【解析】 【分析】〔1〕将点(1,3)代入函数()f x 即可求出m ,根据函数的解析式写出单调递减区间即可〔2〕 当1a =-时，写出函数()h x ，由题意知()h s 的值域是()g t 值域的子集,即可求出. 【详解】〔1〕因为函数()f x 的图像经过点(1,1)a +，且2a =所以(1)123f m =++=，解得0m =.∴()f x的单调递减区间为[）和.〔2〕当1a =-时，1()f x x m x=-+，∴[0,]t π∈时，()[1,2]g t ∈-由对于任意的[1,2]s ∈，总存在[0,]t π∈，使得()()h s g t =知：()h s 的值域是()g t 值域的子集.因为2()1h x x mx =--+的对称轴为2m x =-,①当12m-≤时，即2m ≥-时， 只需满足(1)2(2)321h m h m =-≤⎧⎨=--≥-⎩解得21m -≤≤-. ②当122m<-<，即42m -<<-时， 因为(1)2h m =->，与()[1,2]h s ⊆-矛盾，故舍去. ③当22m-≥时，即4m ≤-时， (1)4h m =-≥与()[1,2]h s ⊆-矛盾，故舍去.综上，[2,1]m ∈--.【点睛】此题主要考察了函数的单调性，以及含参数二次函数值域的求法，涉及存在性问题，转化思想和分类讨论思想要求较高，属于难题.()2sin()f x x ωϕ=+0,22ππωϕ⎛⎫>-<<⎪⎝⎭的局部图象如下列图. 〔1〕求ω与ϕ的值； 〔2〕设ABC ∆的三个角A 、B 、C 所对的边依次为a 、b 、c ，假设5()1212A f π+=，且11113111aa=--，试求b c +的取值范围；〔3〕求函数131511()()()4622242224y f x f x f x πππ=+++++()x ∈R 的最大值. 【答案】〔1〕2ω=，3πϕ=-；〔2〕(2,4]b c +∈；〔3〕154. 【解析】 【分析】 〔1〕由图象有3254412ππ⋅=，可得ω的值，然后根据五点法作图可得52122ππϕ⨯+=，进而求出ϕ〔2〕根据55()2sin[2()]2cos 12122123A A f A πππ+=+-==,可得A ,然后由行列式求出a ,再由正弦定理b c +转化为sin )6b cB C B π+==+，根据B 的范围求出b c +的范围〔3〕将131511()()()4622242224y f x f x f x πππ=+++++()x ∈R 化简到最简形式，然后逐步换元，转化为利用导数求值问题. 【详解】〔1〕由函数图象可得3254412ππ⋅=，解得2ω=，再根据五点法作图可得52122ππϕ⨯+=，解得3πϕ=-，∴()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 〔2〕55()2sin[2()]2cos 12122123A A f A πππ+=+-==11113111aa=--，2a ∴=由正弦定理知sin sin sin b c a B C A ===，∴b B =，3c C =，20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴(2,4]b c +∈.〔3〕131511()()()4622242224y f x f x f x πππ=+++++ 令12t x π=+，因为x ∈R ，所以t R ∈，那么1sin 23sin sin 232333t t t πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 令3t πθ=-，因为t R ∈，所以R θ∈,那么15cos 2sin 22y θθθ=++ 令cos [1,1]m θ=∈-，那么21()2y f m m ==-±， ∴只需求出21()22f m m m =-的最大值，()2f m m '=，令()0f m '=，那么m =，∴当1,m ⎛∈- ⎝⎭时，()0f m '>，此时()f m单调递增，当m ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f m '<， 此时()f m 单调递减，∴15()max 4f m f ⎛== ⎝⎭.∴函数131511()()()4622242224y f x f x f x πππ=+++++()x ∈R 的最大值为154.【点睛】此题主要考察了利用三角函数的局部图象求解析式和三角函数的图象与性质，考察了转化思想和数形结合思想，属于难题.a 、b 、k ，假设22(1)(1)1a b k a b ab++≥⋅-⋅-成立，那么称a 、b 具有“性质k 〞.〔1〕试问：①()xx ∈R ，0是否具有“性质2〞；②tan y 〔124y ππ<<〕，0是否具有“性质4〞；〔2〕假设存在03[,2]4x ππ∈及01[,2]2t ∈，使得00001sin 22sin 0x x t m t ----≤成立，且0sin x ，1具有“性质2〞，务实数m 的取值范围；〔3〕设1x ，2x ，⋅⋅⋅，2019x 为2021个互不一样的实数，点(,)m n x x 〔{},1,2,,2019m n ∈⋅⋅⋅〕均不在函数1y x=的图象上，是否存在(),i j i j ≠，且{},1,2,,2019i j ∈⋅⋅⋅，使得i x 、j x 具有“性质2021〞，请说明理由.【答案】〔1〕①具有“性质2〞，②不具有“性质4〞；〔2〕52m ≥-；〔3〕存在. 【解析】 【分析】〔1〕①根据题意需要判断212||x x +≥的真假即可②根据题意判断21tan 4|tan |y y +≥是否成立即可得出结论；〔2〕根据具有性质2可求出0x 的范围，由存在性问题成立转化为00max (sin 22sin )x x -≤0max 01()t m t ++，根据函数的性质求最值即可求解. 【详解】〔1〕①因为212x x +≥，212x x +≥-成立,所以212||x x +≥，故()x x ∈R ，0具有“性质2〞②因为124y ππ<<，设tan ty =，那么316t <<设2()41f t t t =-+，对称轴为2t =，所以函数2()41f t t t =-+在3(6t ∈上单调递减，当1t →时，min ()20f t →-<， 所以当124y ππ<<时，21tan4tan 0y y +-≥不恒成立，即21tan 4|tan |y y +≥不成立，故tan y 〔124y ππ<<〕，0不具有“性质4〞.〔2〕因为0sin x ，1具有“性质2〞 所以22000(1sin)(1+12|sin 1||1sin |x x x +≥--）化简得2200(1sin)(1sin )x x +≥-解得034x ππ≤≤或者02x π=. 因为存在03[,2]4x ππ∈及01[,2]2t ∈，使得00001sin 22sin 0x x t m t ----≤成立，所以存在03[,]4x ππ∈{2}π及01[,2]2t ∈使00max (sin 22sin )x x -≤0max 01()t m t ++即可. 令00sin 22sin y x x =-，那么200002cos 22cos 2(2cos cos 1)y x x x x '=-=--，当03[,]4x ππ∈时，0y '>， 所以00sin 22sin y x x =-在03[,]4x ππ∈上是增函数， 所以0x π=时，0max 00(sin 22si )n x x =-，当02x π=时，00sin 22sin =0x x -，故03[,]4x ππ∈{2}π时，0max 00(sin 22si )n x x =- 因为1y x m x=++在1[,1]2上单调递减，在[1,2]上单调递增，所以0max 015()=2t m m t +++， 故只需满足502m ≤+即可，解得52m -≤. 〔3〕假设具有“性质2021〞，那么22(1)(1)20181ij i j i jx x x x x x ++≥⋅-⋅-，即证明在任意2021个互不一样的实数中，一定存在两个实数,i j x x ,满足：22(1)(1)20181i j i j i j x x x x x x ++≥⋅-⋅-.证明：由()()()22111122222221111|111j j j j jj i i jijijx x x x x x x x x x x x x x xxx x --+-⋅-==-++++++，令tan ix α=，由万能公式知2111sin 2,1222i i x x α⎡⎤=∈-⎢⎥+⎣⎦， 将11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦等分成2021个小区间，那么1220191i ,,11s n 2sin 2,sin 2222a a a 这2021个数必然有两个数落在同一个区间，令其为：11sin 2,sin 222ϕγ，即111sin 2sin 2222018ϕγ-≤， 也就是说，在1x ，2x ，⋅⋅⋅，2019x 这2021个数中，一定有两个数满足221112018i i i i x x x x -≤++， 即一定存在两个实数,i j x x ，满足22(1)(1)20181i j i j i jx x x x x x ++≥⋅-⋅-，从而得证.【点睛】此题主要考察了不等式的证明，根据存在性问题求参数的取值范围，三角函数的单调性，万能公式，考察了创新才能，属于难题.。
2022-2023学年山东省济宁市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年山东省济宁市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数z =i2−i在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，若P （﹣1，2）为角α终边上的一点，则cos α＝（ ） A ．−√55B ．√55C ．−2√55D ．2√553．若水平放置的平面四边形AOBC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中A ′C ′∥O ′B ′，B ′C ′⊥O ′B ′，A ′C ′＝1，O ′B ′＝2，则原四边形AOBC 的边BC 的长度为（ ）A ．2B ．2√2C ．3D ．44．cos70°cos170°﹣cos20°sin170°＝（ ） A ．−12B ．12C ．−√32D ．√325．已知一个圆锥的表面积为4π，其侧面展开图是一个圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A ．√2πB ．2√2πC ．√2π3D ．2√2π36．如图所示，要测量电视塔AB 的高度，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个观测基点C 与D ，在点C 测得塔顶A 的仰角为30°，在点D 测得塔顶A 的仰角为45°，且CD ＝30m ，∠BDC ＝60°，则电视塔AB 的高度为（ ）A ．25mB ．20mC ．15mD ．10m7．在三棱锥P ﹣ABC 中，AB =AC =√22BC ，△P AC 是边长为6的等边三角形，若平面P AC ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．72πB ．84πC ．108πD ．120π8．在△ABC 中，AB ＝AC ，边BC 上一点P 满足sin ∠P AB ＝2sin ∠P AC ，若AP →=xAB →+yAC →，则xy=（ ）A ．3B ．2C ．12D ．13二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高一下期末数学试卷康德
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. √2B. πC. -√3D. √-12. 已知函数f(x) = 2x - 1，若f(2) = 3，则x的值为（）A. 2B. 1C. 0D. -13. 在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，则∠C的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°4. 若a、b、c是等差数列，且a+b+c=12，a+c=8，则b的值为（）A. 4B. 6C. 8D. 105. 下列函数中，为奇函数的是（）A. y = x²B. y = |x|C. y = x³D. y = √x二、填空题（每题5分，共25分）6. 若等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项an = ________。
7. 已知等比数列{bn}的首项为3，公比为2，则第5项bn = ________。
8. 已知函数f(x) = x² - 4x + 3，则f(-1) = ________。
9. 若复数z = 2 + 3i，则|z| = ________。
10. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，则△ABC的周长为 ________。
三、解答题（每题15分，共45分）11. （1）已知函数f(x) = x² - 4x + 3，求f(x)的图像与x轴的交点坐标。
（2）已知函数f(x) = 2x - 1在区间[1,3]上的最大值为2，求函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值。
12. （1）已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，求前n项和Sn。
（2）已知数列{bn}的通项公式为bn = 2^n - 1，求前n项和Tn。
13. （1）已知复数z = 2 + 3i，求z的模|z|。
（2）已知复数z = a + bi，若|z| = √5，求a、b的值。
江苏南京金陵中学2024年高一下学期期末考试数学试题+答案
2023－2024学年第二学期高一年级期末测试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，复数z满足|z|＝1，则|z－i|的最大值为() A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】设复数z在复平面内所对的点为Z，由|z|＝1知，Z在以(0，0)为圆心，半径为1的圆上，|z－i|表示点Z与(0，1)的距离，∴|z－i|max＝1＋1＝2．故选B．2．已知数据3，7，a，6的平均数是4，则这组数据的标准差为()A．152B．294C．302D．292【答案】C【解析】由3＋7＋a＋64＝4，得a＝0，方差＝(3－4)2＋(7－4)2＋(0－4)2＋(6－4)24＝304，故标准差＝302．故选C．3．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则() A．A与B互斥B．B与C互为对立C．A与B相互独立D．A与C相互独立【答案】D【解析】显然选项A，选项B错误．对于选项C与D，先后抛掷两枚骰子出现点数的所有可能情况为36种，P(A)＝636＝16，P(B)＝336＝112，P(C)＝636＝16，P(AB)＝136，P(AC)＝136．由于P(AB)≠P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，所以A与B不独立，A与C相互独立，故选D．4．已知两个不重合的平面α，β和三条不重合的直线a，b，c，则下列四个命题中正确的是() A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a⊥b，b⊥c，则a∥cC．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，则α∥βD．a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b【答案】D【解析】a∥b，b⊂α时存在a⊂α的情形，所以选项A错误；当a∩c＝A，且b垂直于a，c 确定的平面时也满足a⊥b，b⊥c，所以选项B错误；对于C选项，当α∩β＝l时，存在a⊂α，b⊂α，且a∥l，b∥l的情形，此时符合a∥β，b∥β，故选项C错误；根据线面平行的性质定理，知选项D正确，故选D．5．已知sin(θ＋π6)＝2cosθ，则tan2θ＝()A ．33B ．3C ．－3D ．23【答案】C【解析】由sin(θ＋π6)＝2cos θ，得32sin θ＋12cos θ＝2cos θ，化简得32sin θ－32cos θ＝0，解得tan θ＝3，由二倍角公式得tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×31－(3)2＝－3，故选C ．6．已知非零向量a ，b 满足(a －b )⊥(a ＋2b )，且2|a |＝3|b |，则向量a ，b 的夹角的余弦值为()A ．－16B ．－38C ．16D ．38【答案】A【解析】∵向量a ，b 满足(a －b )⊥(a ＋2b )，∴(a －b )·(a ＋2b )＝0，即a 2＋a ·b －2b 2＝0，∴a ·b ＝2b 2－a 2＝2b 2－94b 2＝－14b 2，∴cos ＜a ，b ＞＝a ·b |a ||b |＝－14b 232b 2＝－16，故选A ．7．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1E ，F ，且EF ＝2，则三棱锥A －BEF 的体积是()A ．32B ．322D ．12【答案】A【解析】由于△BEF 的高＝BB 1＝3，所以△BEF 的面积S ＝12×2×3＝322，又A 到平面BEF 的距离即A 到平面BB 1D 1D 的距离，所以三棱锥A －BEF 的高＝12AC ＝322，所以三棱锥A －BEF 的体积＝13×322×322＝32，故选A ．8．如图是古希腊数学家波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形ABC 的斜边AB ，直角边BC ，AC ，N 为AC 的中点，点D 在以AC 为直径的半圆上，已知cos ∠DNC ＝725，cos ∠DAB ＝3365，则以直角边AC ，BC 为直径的两个半圆的面积之比为()A ．16：9B ．144：25C ．225：64D ．160：81ABCDN【答案】B【解析】由题意可知∠DNC ＝2∠DAN ，所以cos ∠DAN ＝1＋cos ∠DNC 2＝45，sin ∠DAN ＝1－cos ∠DNC 2＝35，因为cos ∠DAB ＝3365，所以sin ∠DAB ＝1－(3365)2＝5665，cos ∠CAB ＝cos(∠DAB －∠DAN )＝3365×45＋5665×35＝1213，tan ∠CAB ＝512，所以Rt △BCA中，AC BC ＝125，所以以直角边AC ，BC 为直径的两个半圆的面积之比为144：25，故选B ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知复数z 1，z 2，下列说法正确的是()A ．若z 1＝z 2－，则z 1－＝z 2B ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22C ．若z 2≠0，则(z 1z 2)－＝z 1－z 2－D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1－＝z 2·z 2－【答案】ACD【解析】若z 1＝z 2－，则z 1与z 2互为共轭复数，所以z 1－＝z 2，故选项A 正确；不妨取z 1＝1，z 2＝i ，则|z 1|＝|z 2|，而z 12＝1，z 22＝－1，所以z 12≠z 22，故选项B 错误；根据共轭复数的性质知，选项C 正确；若|z 1|＝|z 2|，又|z 1|2＝z 1·z 1－，|z 2|2＝z 2·z 2－，则z 1·z 1－＝z 2·z 2－，故选项D 正确．故选ACD ．10．已知向量a ＝(3，sin θ)，b ＝(cos θ，1)，0≤θ≤π，下列说法正确的是()A ．若a ⊥b ，则tan θ＝－3B ．a 与b 一定不是平行向量C ．|a ＋b |的最大值为22D ．若|a |＝6|b |，且b 在a 上的投影向量为－24a ，则a 与b 的夹角为5π6【答案】ABD【解析】对于选项A ，若a ⊥b ，则a ·b ＝3cos θ＋sin θ＝0，所以tan θ＝－3，故选项A 正确；对于选项B ，由于sin θcos θ＜3，所以sin θcos θ≠3，a 与b 一定不是平行向量，故选项B 正确；对于选项C ，因为a ＋b ＝(3＋cos θ，sin θ＋1)，所以|a ＋b |＝(3＋cos θ)2＋(sin θ＋1)2＝5＋4sin(θ＋π3)，所以当θ＝π6时|a ＋b |取得最大值，最大值为3，故选项C 错误；对于选项D ，b 在a 上的投影向量为a ·b |a |·a |a |＝a ·b|a |2·a ＝－24a ，所以a ·b |a |2＝－24，所以cos ＜a ，b ＞＝a ·b |a ||b |＝6×a ·b |a |2＝6×(－24)＝－32，又0≤＜a ，b ＞≤π，所以＜a ，b ＞＝5π6，故选项D 正确．故选ABD ．11．如图，四边形ABCD 是边长为2a 的正方形，点E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，将△ABE ，△ECF ，△FDA 分别沿AE ，EF ，FA 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，则()A ．AP ⊥EFB ．点P 在平面AEF 内的射影为△AEF 的外心C ．二面角A －EF －P 的正弦值为13D ．四面体P －AEF 的外接球的体积为6πa 3【答案】AD【解析】对于选项A ，∵AP ⊥PF ，AP ⊥PE ，∵PE ∩PF ＝P ，∴AP ⊥平面PEF ，∵EF ⊂平面PEF ，∴AP ⊥EF ，故选项A 正确；对于选项B ，设P 在底面AEF 上的射影为O ，又因为AP ⊥EF ，则AO ⊥EF ，同理可证EO ⊥AF ，FO ⊥AE ，即点P 在平面AEF 内的射影为ΔAEF 的垂心，又由△AEF 的形状得其垂心与外心不重合，所以选项B 错误；对于选项C ，设AO 与EF 交于点G ，易得∠PGA 为二面角A －EF －P 的平面角．在Rt △APG中，有cos ∠PGA ＝PG AG ＝13，故选项C 错误；对于选项D ，由于三棱锥P －AEF 的三条侧棱PA 、PE 、PF 两两互相垂直，且PA ＝2a ，PE ＝PF ＝a ．把该三棱锥补形为长方体，则其对角线长为22＋12＋12a ＝6a ，则其外接球的半径为62a ，则其外接球的体积V ＝43π×(62a )3＝6πa 3，故选项D 正确．故选AD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，A 1B 1＝1，AA 1＝2，则该棱台的体积为__________．【答案】766【解析】如图，将正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1补成正四棱锥，则AO＝2，SA ＝22，OO 1＝62，故V ＝13(S 1＋S 2＋S 1S 2)h ，V ＝13×(22＋12＋22×12)×62＝766．13．甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为23，34，25，那么三人中恰有两人合格的概率是_________．【答案】715【解析】由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，三个人中恰有2个合格，包括三种情况，这三种情况是互斥的，∴三人中恰有两人合格的概率13×34×25＋23×14×25＋23×34×35＝715．14．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在AB 边上，BE ＝2EA ，AD 与CE 交于点O ，若→AB ·→AC ＝6→AO ·→EC ，则AB AC的值是_________．【答案】3【解析】设→AO ＝λ→AD ，则→AO ＝λ2→AB ＋λ2→AC ＝3λ2→AE ＋λ2→AC ，由于C ，O ，E 三点共线，所以A B CDEO A EF PA B C D E ⇒F3λ2＋λ2＝1，解得λ＝12．所以→AO ＝14→AB ＋14→AC ，又→EC ＝→AC －→AE ＝→AC －13→AB ．由→AB ·→AC ＝6→AO ·→EC ，得→AB ·→AC ＝6(14→AB ＋14→AC )·(→AC －13→AB )，化简得3→AC 2＝→AB 2，所以AB AC＝3．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(13分)已知复数z ＝1－i ．(1)若z 1＝z3－4i，求z 1；(2)若|z 2|＝2，且z ·z 2是纯虚数，求z 2．解(1)∵复数z ＝1－i ，∴z 1＝z 3－4i ＝1－i 3－4i ＝(1－i)(3＋4i)(3－4i)(3＋4i)＝3＋4i －3i －4i 232－(4i)2＝7＋i 25＝725＋125i ．··············6分(2)设z 2＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，∵|z 2|＝a 2＋b 2＝2，∴a 2＋b 2＝4①．······················································8分又∵z ·z 2＝(1－i)(a ＋b i)＝(a ＋b )＋(b －a )i ，∴a ＋b ＝0，b －a ≠0②，······································································10分a ＝2b ＝－2a ＝－2b ＝2，∴z 2＝2－2i 或z 2＝－2＋2i ．····························································13分16．(15分)某学校承办了2024年某次大型体育比赛的志愿志选拔面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组[45，55)，第二组[5565)，第三组[65，75)，第四组[75，85)，第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．(1)求a 、b 的值，并估计这100名候选者面试成绩的中位数；(2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率．(要求列出样本空间进行计算)解(1)因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以(0.045＋0.020＋a )×10＝0.7，解得a ＝0.005，·····················································································2分所以前两组的频率之和为1－0.7＝0.3，即(a ＋b )×10＝0.3，所以b ＝0.025；··························································4分面试成绩的中位数为65＋0.20.45×10≈69.4．··················································7分(2)第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a ，b ，c ，d ，第五组志愿者人数为1，设为e ，····················································································9分则样本空间Ω＝{(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )．(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )}，样本空间共包含10个样本点．··············································11分设“从这5人中选出2人来自同一组”的事件记为A ，则A ＝{(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )},A 包含6个样本点，·········································································································13分故选出的两人来自同一组的概率为610＝35．·················································15分17．(15分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 为棱AC 的中点，AB ＝BC ，AC ＝2AA 1．(1)求证：B 1C //平面A 1BM ；(2)求证：AC 1⊥平面A 1BM ．解(1)连接AB 1，与A 1B 两线交于点O ，连接OM ，在△B 1AC 中M ，O 分别为AC ，AB 1的中点，所以OM //B 1C ，······················································································又OM ⊂平面A 1BM ，B 1C ⊄平面A 1BM ，所以B 1C //平面A 1BM ．·············································································(2)因为在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，BM ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BM ．又M 为棱AC 的中点，AB ＝BC ，所以BM ⊥AC ．因为AA 1∩AC ＝A ，AA 1，AC ⊂平面ACC 1A 1，所以BM ⊥平面ACC 1A 1，··········································································又AC 1⊂平面ACC 1A 1，所以BM ⊥AC 1．·······················································因为AC ＝2AA 1．不妨设AC ＝2，所以AA 1＝2，AM ＝1．在Rt △ACC 1和Rt △A 1AM 中，tan ∠AC 1C ＝tan ∠A 1MA ＝2，所以∠AC 1C ＝∠A 1MA ，即∠AC 1C ＋∠C 1AC ＝∠A 1MA ＋∠C 1AC ＝90°，所以A 1M ⊥AC 1，···················································································13分又BM ∩A 1M ＝M ，BM ，A 1M ⊂平面A 1BM ，A BC A 1B 1C 1MA B CA 1B 1C 1MO所以AC 1⊥平面A 1BM ．··········································································15分18．(17分)如图，已知△ABC 中，AC ＝4，∠BCA ＝90°，∠BAC ＝60°，M ，N 为线段AB 上两点，且∠MCN ＝30°．(1)若CM ⊥AB ，求→CM ·→CB 的值；(2)设∠ACM ＝θ，试将△MCN 的面积S 表示为θ的函数，并求其最大值．(3)若BN ＝68AM ，求cos ∠ACM 的值．解(1)△CAM 中，AC ＝4，CM ⊥AB ，∠MAC ＝∠BAC ＝60°，所以CM ＝AC ·sin60°＝23．所以→CM ·→CB ＝|→CM |·|→CB |·cos ∠BCM ＝|→CM |·→CM |＝12．······························4分(2)在△ACM 中，∠ACM ＝θ(0°≤θ≤60°)，AC ＝4，∠MAC ＝60°，所以CM sin60°＝AC sin (60°＋θ)，所以CM ＝23sin (θ＋60°)，·······································6分在△ACN 中，∠ACN ＝θ＋30°，AC ＝4，∠NAC ＝60°，所以CN sin60°＝AC sin (90°＋θ)，所以CN ＝23sin (θ＋90°)＝23cos θ，······························8分所以S ΔCMN ＝12CM ·CN ·sin30°＝3sin (θ＋60°)cos θ＝312sin θcos θ＋32cos 2θ＝6sin2θ2＋3cos2θ2＋32＝122sin (2θ＋60°)＋3，······························11分因为0°≤θ≤60°，所以60°≤2θ＋60°≤180°，所以当且仅当2θ＋60°＝180°，即θ＝60°时，△CMN 的面积取最大值为43．························································12分(3)当BN ＝68AM 时，S △CBN ＝68S △CAM ，即12·BC ·CN ·sin ∠BCN ＝68·12·AC ·CM ·sin ∠ACM ，即8CN ·sin ∠BCN ＝2CM ·sin ∠ACM ．设∠ACM ＝θ，由(2)得CM ＝23sin (θ＋60°)，CN ＝23cos θ，且∠BCN ＝60°－θ，所以42sin(60°－θ)sin(60°＋θ)＝sin θcos θ，·················································14分42[(32cos θ)2－(12sin θ)2]＝sin θcos θ，所以2sin 2θ＋sin θcos θ－32cos 2θ＝0，两边同除以cos2θ，得2tan2θ＋tanθ－32＝0，解得tanθ＝2，或tanθ＝－322(舍去)．·····················································16分此时cos∠ACM＝3 3．············································································17分19．(17分)已知如图一，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝为θ的二面角A'－BD－C．(1)(2)当θ＝π2时，求B到平面A'CD的距离；(3)①当cosθ＝13，求cos∠A'BC的值．②如图二，在三棱锥O－EFG中，已知∠OEF＝α，∠FEG＝β，∠OEG＝γ，二面角O－EF－G的大小为θ．试直接写出利用α，β，γ的三角函数表示cosθ的结论，不需要证明．解(1)过A'作A'H⊥BD于H，连接AH，CH．因为二面角A'－BD－C的大小为π2，所以平面A'BD⊥平面BCD，因为A'H⊥BD，平面A'BD∩平面BCD＝BD，A'H⊂平面A'BD，所以A'H⊥平面BCD，所以∠A'CH为A'C与平面BCD的所成角．·················································2分在Rt△BA'D中，A'B＝5，AD＝25，所以A'H＝5·25(5)2＋(25)2＝2．Rt△A'HB中，BH＝A'B2－A'H2＝52－22＝1．因为在Rt△DBC中，BC＝25，cos∠CBD＝25 5，所以在△HBC中，HC2＝BC2＋BH2－2BC·BH·cos∠CBD＝(25)2＋12－2·25·1·255＝13，FA'B C DHA'BCDH G所以HC ＝13．在Rt △A'CH 中，tan ∠A'CH ＝A'H HC ＝213＝21313．即A'C 与平面BCD 所成角的正切是21313．··················································5分(2)在(1)图中，A'C 2＝A'H 2＋HC 2＝4＋13＝17，在△A'DC 中，cos ∠A'DC ＝A'D 2＋DC 2－A'C 22·A'D ·DC ＝(25)2＋(5)2－172·25·5＝25．所以sin ∠A'DC ＝1－(25)2＝215，△A'DC 的面积S ＝12·A'D ·DC ·sin ∠A'DC ＝12·25·5·215＝21．因为A'H ⊥平面BCD ，所以三棱锥A'－BCD 的体积V ＝13·S △BCD ·A'H ＝13·12·25·5·2＝103．···················8分所以B 到平面A'CD 的距离的距离d ＝V 13S ＝10313·21＝102121．···························10分(3)①矩形ABCD 中找到A'H 的对应线段AH ，并设AH 的延长线交BC 于G ．在Rt △BHG 中，BH ＝1，tan ∠DBC ＝12，所以HG ＝12，BG ＝52．在三棱锥A'－BCD 中，由A'H ⊥BD ，GH ⊥BD ，所以∠A'HG 为二面角A'－BD －C 的平面角，·············································12分即cos ∠A'HG ＝13．在△A'HG 中，A'G 2＝AH 2＋HG 2－2·AH ·HG ·cos ∠A'HG＝22＋(12)2－2·2·12·13＝4312．在△A'BG 中，cos ∠A'BG ＝A'B 2＋BG 2－A'G 22·A'B ·BG ＝(5)2＋(52)2－43122·5·52＝815．·············15分②cos θ＝cos γ－cos α·cos βsin α·sin β．···································································17分ABCDH G。
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《金太阳作业网》编制12013年崇仁一中高一数学下期末综合测试卷（二）姓名：__________班级：__________考号：__________一、单项选择1. 若直线1:310l ax y ++=与2:2(1)10l x a y +++=互相平行,则a 的值是( )A.-3B.2C.-3或2D. 3或-22. 数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝5，b 1＝7，且a 20＋b 20＝60.则{a n ＋b n }的前20项的和为( )． A ．700 B ．710 C ．720 D ．7303. 已知变量x 、y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则3z x y =+的最大值为 （ ）A ．12B ．11C ．3D ．1-4. 若圆2221:240,()C x y ax a a R +++-=∈与2222:210,()C x y by b b R +--+=∈外切，则a b +的最大值为A. 23-B. 3-C. 3D. 235. 已知三角形ABC 的面积4222c b a s -+=，则C ∠的大小是（ ）A. 045B.030C.090D.01356. 已知不等式7|98|<+x 和不等式22>+bx ax 的解集相同，则实数a 、b 值分别为 A.－8、－10 B.－4、－9 C.－1、9 D.－1、27. 正项等比数列{}n a 满足142=a a ,133=S ,n n a b 3log =,则数列{}n b 的前10项和是（ ） A ．65 B ．－65 C ．25 D. －258. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是（ ） A．28+．30+C．56+D．60+29. 数列{}n a 是首项41=a 的等比数列，且14a ，5a ，32a -成等差数列，则其公比为( ) A ．1B ． 1-C ． 1或1-D ． 210. 已知正数x ，y） AB二、填空题11. 已知A(-4，-5)、B(6，-1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是12. 在等差数列{a n }中，若a 2，a 10是方程x 2＋12x －8＝0的两个根，那么a 6的值为__________． 13. 已知0,0x y >>且满足281x y+=,求x y +的最小值为 14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的 表面积为15. 如图，E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是图的 （要求：把可能的图的序号都．填上）.三、解答题16. 已知ABC △中，50a =，b =45A =︒，求B《金太阳作业网》编制317. 已知函数2()x f x ax b=+（a b ，为常数），且方程()120f x x -+=有两个实根为1234x x ==，．（1）求函数()f x 的解析式；（2）设1k >，解关于x 的不等式，：(1)()2k x kf x x+-<-．18. 在锐角ABC ∆中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边,a 、b 、c 成等比数列,且1sin sin 2=C A (1)求角B 的值; (2)若7=+c a ,求ABC ∆的面积.19. 已知圆C 与圆227100x y y +-+=相交，所得公共弦平行于已知直线2310x y --= ，又圆C 经过点A （-2，3），B （1，4），求圆C 的方程420. 已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，D 为BC 中点，E 为1CC 中点， 侧面11BCC B 为正方形. (1)证明：1//A C 平面1AB D ； （2）证明：1BE AB ⊥；21. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1n n S a λ=-（λ为常数，1,2,3,n =）.（Ⅰ）若232a a =，求λ的值；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{}n a 是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）当2λ=时，若数列{}n b 满足1,(1,2,3,)n n n b a b n +=+=，且132b =，令()1n n n na c ab =+. 求数列{}n c 的前n 项和n T .参考答案一、单项选择A CB D A B D BC B二、填空题11. (x-1)2+(y+3)2=29 12.－6 13. 18 14.193π 15.②③ 三、解答题 16.【答案】解：sin sin a bA B=，sin sin b A B a ===， 160B =︒或2120B =︒，由于1180A B +<︒，2180A B +<︒，因此所求160B =︒或2120B =︒．【解析】利用正弦定理，可得解。
17.【答案】解：（1）将1234x x ==，分别代入方程2120x x ax b -+=+得9931684a ba b⎧=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， 解得12a b =-⎧⎨=⎩，所以2()(2)2x f x x x =≠-． （2）不等式即为2(1)22x k x k x x +-<--，可化为2(1)02x k x k x-++<-， 即(2)(1)()0x x x k --->． ①当12k <<时，解集为(1)(2)x k ∈+，，∞；②当2k =时，不等式为2(2)(1)0x x -->解集为(12)(2)x ∈+，，∞；③当2k >时，解集为(12)()x k ∈+，，∞．18.【答案】(1)2b ac = ⇒ 21sin sin sin 2B A C ==又b 边不是最大的边,∴4B π= (2)2222cos b a c ac B ac =+-= ⇒ 2()2cos 37a c ac B ac +=+=⇒3ac ==⇒1sin 2ABC S ac B ∆==619.20.【答案】（1）连1A B 交1AB 于O ，因为D 为BC 中点，所以1//AC OD . 又1A C ⊄面1AB D ，OD ⊂面1AB D ,∴1//A C 平面1AB D .（2）因为11BCC B 为正方形，D 为BC 中点，E 为1CC 中点， 所以△1B BD ≅△BCE ， 所以1EBC BB D ∠=∠又因为01190BB D BDB ∠+∠=，所以0190EBC BDB ∠+∠=所以1BE B D ⊥,因为AB AC =，D 为BC 中点，所以AD BC ⊥ 又因为面ABC ⊥面11BCC B ，面ABC面11BCC B BC =，AD ⊆面ABC ,所以AD ⊥11BCC B ，所以AD ⊥BE . 又因为1ADB D D =，所以BE ⊥面1AB D ，所以1BE AB ⊥.21.【答案】解：（Ⅰ）因为1n n S a λ=-，所以111a a λ=-，2121a a a λ+=-，32131a a a a λ++=-由111a a λ=-可知：1λ¹.所以111a λ=-，22(1)a λλ=-，233(1)a λλ=-.《金太阳作业网》编制7因为232a a =， 所以2234(1)(1)λλλλ=--.所以0λ=或2λ=.（Ⅱ）假设存在实数λ，使得数列{}n a 是等差数列，则2132a a a =+.由（Ⅰ）可得：22321(1)1(1)λλλλλ=+---.所以2232221(1)(1)λλλλλ-+=--，即10=，矛盾.所以不存在实数λ，使得数列{}n a 是等差数列.（Ⅲ）当2λ=时，21n n S a =-.所以1121(2)n n S a n --=-≥，且11a =. 所以122n n n a a a -=-，即12(2)n n a a n -=≥.所以0(*)n a n ≠∈N ，且12(2)nn a n a -=≥. 所以，数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列.所以12(*)n n a n -=∈N .因为1,(1,2,3,)n n n b a b n +=+=，且132b =， 所以111221211n n n n n n n n b a b a a b a a a b -------=+=++==++++23321221(2)22n n n n --+=++++=≥.当1n =时，上式仍然成立.所以 21(*)2n n b n +=∈N . 因为()1n n n na c ab =+， 所以()()11112222121(21)212n n n n n n n c ----×==++++?.因为()111211212121(21)n n n n n---=-++++， 所以12n n T c c c =+++211111112212()1221212121212121n n n n n --=-+-++-=-=+++++++.。