华东师大版初中数学九年级上册第22章一元二次方程一元二次方程小结

合集下载

华师大版-数学-九年级上册-第二十二章一元二次方程

第二十二章一元二次方程错误！嵌入对象无效。

应知一、基本概念一元二次方程：两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0（a ≠0）。

一元二次方程的根：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．【注意】由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的解，还要检验这些根是否符合题意，符合题意的才真正是实际问题的解．二、基本法则1. 解一元二次方程的方法直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

配方法：配方法是将一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0（a ≠0）变形为()nm x 2=+的形式，然后求解的方法。

其理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a ±=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x2. 解一元二次方程的步骤①因式分解法解一元二次方程的步骤：首先把方程右边化为为零，左边通过因式分解化为两个一次因式乘积，由于两个一次因式相乘为零，第一个因式为零或第二个因式为零，可各解得一个根。

第22章一元二次方程复习和小结-九年级数学上册(华东师大版)

2.一元二次方程的一般形式 ax2 + bx + c = 0 ( a≠0)
3.使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
第22章一元二次方程
二、一元二次方程的解法解法一：直接开平方法 ➢ 变形：将方程化为含未知数的完全平方式＝非负常数的形式； ➢ 开方：利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程； ➢ 求解：解一元一次方程，得出方程的根．
， x1x2=
2a 2 a
，
因为
x1
-
x1x2
+
x2
=
1
-
a，所以
3a 1 a
2a a
2
1
a，即 a 1 a
1
a，
解得 a1 = 1，a2 = - 1.当 a = 1 时，原方程有两个相等的
实数根，不合题意，舍去.所以 a = -1.
第22章一元二次方程
5
∵5k + 20＜0，∴Δ＜0，∴没有实数根.
第22章一元二次方程
5.已知一元二次方程：①x2 + 2x + 3 =0，②x2 - 2x - 3 = 0，下列说法正确
的是( B ) A.①②都有实数解
B.①无实数解，②有实数解
C.①②都无实数解 D.①有实数解，②无实数解
【解析】选 B.一元二次方程①的判别式的值为 Δ = b2 - 4ac = 4 - 12= - 8 ＜0，所以方程无实数根；一元二次方程②的判别式的值为 Δ = b2 - 4ac = 4 + 12 = 16＞0，所以方程有两个不相等的实数根.
15 ，x2
3 3
15
（5）3x

华东师大版九上数学第22章一元二次方程

华东师大版九上数学第22章一元二次方程1. 一元二次方程：1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程．2) 一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ．它的特征：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零．2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项．2. 一元二次方程的解法：1) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法．直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程．根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b <0时，方程没有实数根．2) 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±．配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式．3) 公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 4) 因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法．分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式．3. 一元二次方程根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆．1) 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；2) 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；3) 当△<0时，一元二次方程没有实数根．4. 韦达定理：如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，ac x x 21．也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．5. 一元二次方程的二次函数的关系：其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当y =0的时候就构成了一元二次方程了．那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X 轴的交点，也就是该方程的解了．。

华东师大版九年级数学上册第22章知识点小结与复习

例1 抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标为__(_1_,2_)___．
【解析】
方法一：配方，得y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，则
顶点坐标为(1,2)．
方法二代入公式
x
b 2a
2 21
1，y
4ac b2 4a
413 22 41
2
，
则顶点坐标为(1,2)．
方法归纳解决此类题目可以先把二次函数y＝ax2＋bx ＋c配方为顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，得到：对称轴是直线x＝h，最值为y＝k，顶点坐标为(h，k)；也可以直接利用公式求解.
＋bx＋c的图像和 ax2＋bx＋c=0的
x轴交点
根
有两个交点
有两个相异的实数根
有两个重合的交点
有两个相等的实数根
一元二次方程 ax2＋bx＋c=0根的判别式（b2-4ac）
b2-4ac > 0
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
6.二次函数的应用
1．二次函数的应用包括以下两个方面 (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最
C.
y
3 4
x
D.y=-3x2
考点三二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与系数a，b，c的关系
例3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，
下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；
④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是( D )
A．1
B．2
C．3
D．4
x2-1 2
(2x-30)2=
3 x2+60x-450. 2

2019年秋九年级数学上册第22章一元二次方程章末考点与小结习题课件新版华东师大版PPT

◆知识网络 ◆考点突破 ◆考前过三关（ ◎第一关 ◎第二关 ◎第三1关）
◆知识网络 ◆考点突破 ◆考前过三关（ ◎第一关 ◎第二关 ◎第三2关）
◆知识网络 ◆考点突破 ◆考前过三关（ ◎第一关 ◎第二关 ◎第三3关）
◆知识网络 ◆考点突破 ◆考前过三关（ ◎第一关 ◎第二关 ◎第三4关）
◆知识网络 ◆考点突破 ◆考前过三关（ ◎第一关 ◎第二关 ◎第三5关）
◆知识网络 ◆考点突破 ◆考前过三关（ ◎第一关 ◎第二关 ◎第三6关）
◆知识网络 ◆考点突破 ◆考前过三关（ ◎第一关 ◎第二关 ◎第三7关）
◆知识网络 ◆考点突破 ◆考前过三关（ ◎第一关 ◎第二关 ◎第三8关）
◆知识网络 ◆考点突破 ◆考前过三关（ ◎第一关 ◎第二关 ◎第三21关）
◆知识网络 ◆考点突破 ◆考前过三关（ ◎第一关 ◎第二关 ◎第三三关（ ◎第一关 ◎第二关 ◎第三23关）
◆知识网络 ◆考点突破 ◆考前过三关（ ◎第一关 ◎第二关 ◎第三24关）
◆知识网络 ◆考点突破 ◆考前过三关（ ◎第一关 ◎第二关 ◎第三13关）
◆知识网络 ◆考点突破 ◆考前过三关（ ◎第一关 ◎第二关 ◎第三14关）
◆知识网络 ◆考点突破 ◆考前过三关（ ◎第一关 ◎第二关 ◎第三15关）
◆知识网络 ◆考点突破 ◆考前过三关（ ◎第一关 ◎第二关 ◎第三16关）
◆知识网络 ◆考点突破 ◆考前过三关（ ◎第一关 ◎第二关 ◎第三25关）
◆知识网络 ◆考点突破 ◆考前过三关（ ◎第一关 ◎第二关 ◎第三17关）
◆知识网络 ◆考点突破 ◆考前过三关（ ◎第一关 ◎第二关 ◎第三18关）
◆知识网络 ◆考点突破 ◆考前过三关（ ◎第一关 ◎第二关 ◎第三19关）

九年级数学第二十二章一元二次方程华东师大版

第二十二章一元二次方程一、知识结构二、学习一元二次方程这章内容作用．一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中代数中占有重要的地位，在学习一元二次方程及有关的知识之前，我们已经掌握了实数与代数式的运算、一元一次方程、分式方程和一次方程组，掌握了这些内容，为学习一元二次方程奠定了基础，而且通过一元二次方程的学习，又对以前学过的数学知识加以巩固，同时一元二次方程也为今后学习指数方程、对数方程、函数等等打下基础，掌握了一元二次方程之后，对学习其它学科知识也有重要的意义．三、知识要点：1．关于一元二次方程：①元的个数是一个，方程是整式方程；②含有未知数的最高次项的次数是二次；③若方程有实数根，则解的个数一定是两个．2．关于配方法解一元二次方程：①首先将二次项系数变为1；②方程两边各加上一次项系数一半的平方，这是配方法的关键的一步，方程左边配成完全平方式，当右边是非负实数时，用开平方法即可求得方程的解．3．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：x=(b2-4ac0)4．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式：Δ=b2－4ac，其作用如下：(1)=b2-4ac>0方程有两个不相等的实数根(2)=b2-4ac=0方程有两个相等的实数根(3)=b2-4ac<0方程没有实数根5．列方程解应用题：（列举几种类型仅供参考）①有关数字问题；②有关增长率问题；③有关几何图形面积问题；④有关溶液、浓度、求容器体积问题；⑤有关行程问题、工作量问题．四、实践与探索：设x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根，x1+x2=-，x1 x2=，其作用如下：①能运用它由已知方程的一个根，求出另一个根及未知数的系数；②可以利用它求出两根的平方和、立方和、两根倒数和的平方等等；③利用x1+x2和x1·x2的关系可以解特殊的二元二次方程组；④利用根与系数关系判定两根的符号及方程各项系数的符号；⑤利用根与系数的关系，可以造出新的一元二次方程ax2+bx+c=a(x－x1)(x－x2)五、本章主要数学思想、方法．在数学中，使一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象的思想称为转化的思想，有未知向已知的转化，复杂问题向简单问题的转化，实际问题向数学问题的转化，数与形的转化，一般与特殊的转化，不同的数学问题之间的转化等等．解决一些数学问题实质就是一个不断转化的过程．这样一些数学思想与数学方法与解题技巧在本章教学中有较多的体现．为了实现这些转化引入了许多数学方法．如本章中的降次法、换元法、配方法等．这里特别要指出的是，怎样转换？转换的结果如何？从而概括总结出一般规律，在学习这些重要方法时可以充分领略数学思想的风采，突出数学思想，提高数学素质，提高数学能力。

华东师大版中学数学九年级上第22章一元二次方程22

第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法第1课时直接开平方法和因式分解法教学反思教学目标1.理解直接开平方法和因式分解法，掌握用两种方法解一元二次方程的一般步骤 .2.能灵活运用因式分解法解简单的一元二次方程.3.了解转化、降次思想在解方程中的运用.教学重难点重点：理解直接开平方法和因式分解法.难点：会根据方程的特点灵活选用方法解一元二次方程.教学过程复习巩固1.平方根的概念如果一个数x的平方等于a. 那么这个数x叫做a的平方根，即x2 ＝a,x叫做a的平方根.2.因式分解把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解.导入新课【问题1】活动1（学生交流，教师点评）解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1)x2＝4；(2) x2＝0；(3) x2+1＝0.【解】(1)根据平方根的意义，得x1＝2, x2＝-2.(2)根据平方根的意义，得x1＝x2＝0.(3)根据题意，得x2＝-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.教师总结并引出课题：22.2一元二次方程的解法第1课时直接开平方法和因式分解法探究新知探究点一直接开平方法一般地，对于形如x 2＝a (a ≥0)的方程，根据平方根的意义，可解得 x 1＝√a ， x 2＝−√a ，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 【归纳】一般的，对于方程x 2＝p ,（1）当p >0 时，根据平方根的意义，方程x 2 ＝p 有两个不相等的实数根1x =，2x =（2）当p ＝0 时，方程x 2＝p 有两个相等的实数根x 1＝x 2＝0；（3）当p <0 时,因为对任何实数x ，都有x 2≥0，所以方程x 2＝p 无实数根. 【问题2】活动2（师生互动）例1 利用直接开平方法解下列方程: (1) x 2＝25； (2) x 2-900＝0.【解】（1）直接开平方，得5,x =±即125 5.x x ==-，（2）移项，得x 2＝900. 直接开平方，得x ＝±30，即x 1＝30, x 2＝-30. 即学即练对照例1中解方程的方法，你认为怎样解方程(x +2)2＝25？【解】（x +2)2＝25（1），25,x +=±所以x +2＝5或x +2＝-5（2）. 所以方程（x +2）2＝25的两个根为123,7.x x ==-【题后总结】(学生总结，老师点评)上面的解法中，由方程（1）得到（2），实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.例2 解下列方程：（1）(x +2)2＝7 ；（2）(2x+3)2＝16；【探索思路】(引发学生思考)（1）只要将（x +2）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.（2）解题方法同第（1）小题. 【解】（1）由题意知x +2是7的平方根，教学反思∴x+2＝即x+2或x+2＝∴12x=-，22x=-.（2）由题意知2x+3是16的平方根，∴2x+3 ＝±4.即2x+3 ＝4或2x+3 ＝-4∴x1＝12，x2＝72-.【总结】采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为x2＝p或(mx+n)2＝p(p≥0)的形式的方程，可得x＝或mx+n＝.【问题3】活动3（师生互动）探究点二用因式分解法解一元二次方程解方程270x x-=.小亮是这么解的：把方程两边同除以x，得x-7＝0,所以x＝7.小亮的解法对吗？为什么？【答案】小亮把方程两边同除以x，而x有可能等于零，所以小亮的解法不对.【归纳】1.因式分解法：通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.2.因式分解法的基本步骤（1）移项：将方程的右边化为0;（2）化积：将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积;（3）转化：将方程转化为两个一元一次方程;（4）求解：解两个一元一次方程，写出方程的解.例3用因式分解法解下列方程（1）3x2-6x＝9; （2）4x2-121＝0.【解】(1)化为一般式为x2-2x-3＝0.因式分解，得( x+1 )( x-3)＝0.从而10x+=或x-3＝0，教学反思所以x1＝-1，x2＝3.(2)因式分解，得( 2x + 11 )( 2x-11 ) ＝0. 从而2x + 11＝0或2x-11＝0，所以x1＝112，x2＝112.【题后总结】(学生总结，老师点评)用因式分解法解一元二次方程时，我们先将左边化为两个一次因式的乘积，右边是0的形式，然后由乘积等于0，得到两个因式中至少有一个等于0，从而将一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程来解例4用直接开平方法或因式分解法解下列方程：(1)(x+1)2＝2；(2)(2x+1)2＝2x+1；(3)-x2＝4x；(4)12(x+5)2＝9.【探索思路】(引发学生思考)观察方程的特点，确定解方程的方法及一般步骤. 【解】(1)直接开平方，得x+1＝故x11，x2＝1.(2)移项，得(2x+1)2-(2x+1)＝0.方程左边分解因式，得(2x+1)(2x+1-1)＝0，所以2x+1＝0或2x+1-1＝0，得x1＝-12，x2＝0.(3)方程可变形为x2+4x＝0.方程左边分解因式，得x(x+4)＝0，所以x＝0或x+4＝0，得x1＝0，x2＝-4.(4)方程两边同时乘2，得(x+5)2＝18，直接开平方，得x+5＝±所以x1＝5，x2＝-5.【题后总结】(学生总结，老师点评)(1)用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：①观察方程两边是否符合x2＝b(b≥0)或(mx+a)2＝b(m≠0，b≥0)的形式；②直接开平方，得到两个一元一次方程；③解这两个一元一次方程，得到原方程的两个根.(2)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，将方程的右边化为0；②将方程的左边分解成两个一次因式的积的形式；③令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得到原方程的根.课堂练习1.一元二次方程x2-16＝0的根是()A.x＝2B.x＝4C.x1＝2，x2＝-2D.x1＝4，x2＝-4教学反思2. 一元二次方程（x−3）（x−5）＝0的两根分别为（）A.x1＝3，x2＝−5B.x1＝−3，x2＝−5C.x1＝−3，x2＝5D.x1＝3，x2＝53.方程x2＝√3x的解是（）A.x＝0B.x＝√3C.x1＝0，x2＝√3D.x1＝√3，x2＝−√34.方程x2−2x＝0的根是（）A.x1＝x2＝0B.x1＝x2＝2C.x1＝0，x2＝2D.x1＝0，x2＝−25.解下列方程：(1)4x2＝25；(2)x(x+2)＝x+2.6.解下列方程：(1)3(x+1)2＝13；(2)(x+1)2-4＝0.参考答案1.D2.D【解析】∵（x−3）（x−5）＝0，∴x−3＝0或x−5＝0，∴x1＝3，x2＝5.3.C【解析】原方程可化为x2−√3x＝0，∴x（x−√3）＝0，∴x1＝0，x2＝√3.4.C【解析】x2−2x＝0，方程左边分解因式，得x（x−2）＝0，解得x1＝0，x2＝2.5.【解】(1)方程可化为x2＝254.直接开平方，得x＝±52，所以x1＝52，x2＝-52.(2)移项，得x(x+2)-(x+2)＝0.方程左边分解因式，得(x+2)(x-1)＝0，所以x+2＝0或x-1＝0，得x1＝-2或x2＝1.6.【解】（1）方程两边都除以3，得(x+1)2＝19，直接开平方，得x+1＝±13，即x+1＝13或x+1＝-13，∴x 1＝23-，x 2＝43-.（2）移项，得 (x +1)2＝4，直接开平方，得x +1＝±2，即x +1＝2或x +1＝-2， ∴x 1＝1，x 2＝-3.课堂小结(学生总结，老师点评)直接开平方法212(0)x a a x x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩定义依据：平方根的定义形式：方程＝≥的根为＝因式分解法0,00ab a b ⎧⎪⎨⎪⎩定义依据：若＝则＝或＝方法：提公因式、完全平方公式、平方差公式布置作业教材第23页练习题，第25页练习题板书设计课题第22章一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法第1课时直接开平方法和因式分解法【问题1】【问题2】例1 一、直接开平方法解一元二次方程例2【问题3】例3 二、因式分解法解一元二次方程例4教学反思。

九年级数学上册第22章一元二次方程单元小结与复习课件(新版)华东师大版

第22章单元小结与复习| ：丫本章知识梳理厂概念：形如ctx 2+ bx + c =0( 7^0)的整式方程配方法——配成完全平方的形式 ■解法，公式法——釦,2二-仏密-4吆(员_4«^0)因式分解法 ---- 若a • b 二0,贝U a 二0或b 二0 f 丄上＞0o 方程有两个不相等的实数根根的判别式［ 9 d =0u ＞方程有两个相等的实数根打(△二 b -4ac) 1根］ M ＜0o 方程没有实数根才艮与系数的关系：兀］+卷=-—,^i • x 2 =—J CL d「列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、列、解、检、答一元二次方程核心考点聚焦考点1 一元二次方程的有关概念关于北的一兀—次方程（。

-1）/+% + a -1= 0的一个根是0,则实数。

的值为（A ）A. -1B.OC. 1D. - 1 或1分析:把x =0代入方程，得\a \ -1 =0,a = ± 1.*.* a - 1 工0,・ \ （I ~—• 1 . !考点2 —元二次方程的解法4=0,配方后得到的方程是（D ）A. （x-2）2 =0B.（北―2）2 二6C. （x -2）2 二4D.（X -2尸二8（2）方程久（％-2）+%-2二0的解是（D ）A. x = 2D.街二2 二—13+再3-仔(3)方程x -3% + 1 -0的解是 ________考点3根的判别式、根与系数的关系(1)若关于兀的一兀二次方程/ + 4% +«=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是«<4 ；考点4 —元二次方程的应用某项工程,甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍.（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？分析:（1）设甲队单独完成需要久个月，则乙队单独完成需要（兀-5）个月，根据题意列出关系式，求出兀的值即可；解：（1）设甲队单独完成需要兀个月，则乙队单独敬需要仏_5）个月,由题魯x（ % - 5）二6（% + 兀一5），解得衍二15*2二2（不合题意，舍去）.贝% - 5 = 10.(2)如果甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元,在保证工程质量的前提下,为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？(甲、乙两队的施工时问按月取整数)(2)设甲队施工y个月，则乙队施工亠y个月，根据工程款不超过1500万元,列岀一元一次不等式，解不等式求最大值即可.(2)设甲队施工y 个月，则乙队施工宁y 个月，由题意，得 100y +(100 +50)£wl500,解得 yW 答：(1)甲队单独完成这项工程需要15个月，则乙队单独完成这项工程需要10个月；(2)完成这项工程，甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元. 施工时间按月取整数,•••yw60 T◎单元过关自测一、选择题1.下歹！1关于兀的方程：①+/）北+c二0；②3（咒-9）2 -（% + 1）2 =1；③/ + 丄+5=0；④%$ — 2 + 5x3—6=0；X⑤3/二3（咒-2）匕⑥12咒-10二0.其中一元二次方程的个数是（A ）A.lB.2C.3D.42.（2017新疆）已知关于久的方程/ + % 二0的一个根为2,则另一个根是（A ）A. -3B. -2C.3D.63.已知一兀二次方程的两根分别是2和- 3,则这个一元二次方程是（D ）A. x2 -6% + 8 =0B. %2 +2% - 3 =0C.%2— x—6 = 0D.%2+ x - 6 = 04.若方程x -41； - 1 =0的两根分别是咒i，兀2,则分+%2的值为A.6B. —6C.18(C )D. -185.(2017咸宁)已知a、b、c为常数，点P(a,c)在第二象限，则关于先的方程ax2^bx+c= 0根的情况是A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法判断(B )6.解方程（rr-1）2 -5（^-1） +4=0时，我们可以将兀-1看成一个整体，设％ - 1二了,则原方程可化为y -5y + 4 = 0,解得力=l,y2 =4.当y = 1 时，即兀- 1 = 1，解得咒=2；当歹二4时，即x -1 =4,解得尤二5,所以原方程的解为Xi二2 ,%2二5.则利用这种方法求得方程（2久+5尸- 4（ 2咒+ 5） + 3二0 的解为（D ）A. =1 = 3 B •光［=一2,咒2 = 3C •%］二一3,先° 二一1 D«x］二一1 x二一2二、填空题7.（2017荷泽）关于先的一元二次方程1）/ +6x+k2 -k=0的一个根是0,则A：的值为0 .8.若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程-7%+ 12 = 0的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为—•9.某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛.设比赛组织者应邀请%个队参赛，则兀满足的方程为x(x -1) =2 x5210. 有一块长20cm 、宽10cm 的长方形铁片，如果在铁皮的四个角上裁去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面积为96cn?的无盖的盒子,则这个盒子的容积为192 cm 3. 【解析】设裁去的小正方形的边长为咒cm,则(20 - 2x)(10-2x)二96,这个盒子的容积是96 x2二192(cm').11 •关于x的一兀二次方程kx2 + 3% + 2二0有两个不相疋＜2且等的实数根，则k的取值范围是____________ .12.若关于x的一元二次方程mx2 -2x -1二0无实数根，则一次函数y = (m + l)%-7n的图象不经过第三象限三、解答题13.解下列方程：(1)2x2一4% + 1=0；解:旺=2 ；雄,“2(2)x(2%+ 1) = -解：曲=y =3.14.（2017 鄂州）关于％的方程/ - （2k-\）x +k2 -2k+3=0有两个不相等的实数根.（1）求实数的取值范围；解:（1）•・•方程有两个不相等的实数根，・•・△ = [ 一（2吃一1）]2 一4（班2 -2k+3）=4Jl-ll >0,解得(2)设方程的两个实数根分别为叼、衍，存不存在这样的实数仁使得* I - l^2 I =6?若存在，求出这样的人值;若不存在，说明理由. ________________(2)存在,理由如下：・•• （2比一1）2 -4（氐2 —2氐+3） =5,解得直=4・W15.冬至过后,昼夜温差逐渐加大，山城的市民们已然感受到了深冬的寒意•在还未普遍使用地暖供暖设备的山城，小型电取暖器仍然深受市民的青睐. 某电器专卖店销售壁挂式电暖器和卤素/石英式取暖器（俗称“小太阳”），其中壁挂式电暖器的售价比“小太阳”售价的5倍还多100元,2017年12月份壁挂式电暖器和“小太阳”共销售500台, 壁挂式电暖器与“小太阳”销量之比是4： 1,销售总收入为58.6万元.（1）分别求出每台壁挂式电暖器和“小太阳”的售价；解:（1）设每台小太阳为兀元，则每台壁挂式电暖器的售价为（5兀+100）元,2017年12月份共销售500台，壁挂式电暖器与“小太阳”销量之比是4： 1,••・壁挂式电暖器与“小太阳”销量分别为400台和100台,根据题意,得400 (5x +100) + 100x = 586000,解得x=260,r. 5x +100 =1400(元).(2)随着元旦、春节的来临和气温的回升，销售进入淡季,2018年1月份，壁挂式电暖器的售价比2017年12月下调了4尬％ ,根据经验销售量将比2017年12月下滑6肌％，而“小太阳”的销售量和售价都维持不变，预计销售总收入将下降到16.04万元，求肌的值.(2)根据题意，得400(1 -6m%) X 1400 x (1 -4m% ) +100 x 260 = 160400, 解得皿］=10,加2孝(不合题意，舍去).答：(1 )每台壁挂式电暖器和“小太阳”的售价分别为1400元,260元;(2)加的值为10.(2)若两个不等实数/n、7i满足条件肿-二0山丄一2几一1二0 ,则m + n的值是_ 6 .分析:(1 )/1 = 16 -4a >0,解得 a <4； (2)由题意知,肌、"是关于%的方程X* 2 -2x -1 =0的两个根，贝I」2 2 2m + n = 2 , mn = 一1,「・«r+rT：=(rM+7i)〜-2mn = 6・。

华东师大版初三数学上册一元二次方程知识点

华东师大版初三数学上册一元二次方程知识点只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，整理了一元二次方程知识点，具体内容请看下文。

知识点
1.一元二次方程得一般形式特点为方程右边是0，方程左边是关于x的二次整式。

2.“a≠0”是一元二次方程的一个重要组成部分，也是它的一个判断标准之一，但b、c可以为0。

若没有出现bx，则b=0;没有出现c，则c=0。

3.可以通过“去分母，去括号，移项，合并同类项”等步骤得到一元二次方程得一般形式。

【一元一次方程的解】
1.一元二次方程的解(根)的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。

又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根。

2.一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解。

这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量。

ax12+bx1+c=0(a≠0)，ax22+bx2+c=0(a≠0)
3.对一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)来说当判别式
△=b2-4ac>0时方程有两个解△=b2-4ac=0时方程有一个解△=b2-4ac
一元二次方程知识点的全部内容就是这些，预祝大家在新学期可以更好的学习。

华师大版数学九年级上册第22章《一元二次方程》说课稿

华师大版数学九年级上册第22章《一元二次方程》说课稿一. 教材分析华师大版数学九年级上册第22章《一元二次方程》是整个初中数学的重要内容，它既是对前面知识的综合运用，又是为高中数学打基础。

本章通过引入一元二次方程，让学生了解并掌握一元二次方程的解法、性质及应用。

教材从实际问题出发，引导学生认识一元二次方程，并通过自主探究、合作交流的方式，让学生掌握一元二次方程的解法，进而解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对代数知识有一定的了解。

但是，对于一元二次方程的理解和应用，还需要加强。

因此，在教学过程中，要充分考虑学生的认知水平，引导学生从实际问题中提出一元二次方程，并通过合作交流，探讨解决问题的方法。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握一元二次方程的解法，了解一元二次方程的性质，能运用一元二次方程解决实际问题。

2.过程与方法：通过自主探究、合作交流，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探究、积极合作的精神。

四. 说教学重难点1.重点：一元二次方程的解法及其应用。

2.难点：一元二次方程的解法，特别是因式分解法和求根公式的运用。

五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中提出一元二次方程，激发学生的学习兴趣。

2.运用多媒体教学手段，展示一元二次方程的解法过程，增强学生的直观感受。

3.小组合作交流，让学生在讨论中思考，在交流中学习。

六. 说教学过程1.引入新课：通过展示实际问题，引导学生提出一元二次方程，激发学生的学习兴趣。

2.自主探究：让学生自主探究一元二次方程的解法，总结解题规律。

3.合作交流：学生进行小组合作交流，分享解题方法，讨论解决问题的策略。

4.课堂讲解：对一元二次方程的解法进行讲解，重点讲解因式分解法和求根公式的运用。

5.巩固练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，运用一元二次方程解决实际问题。

九年级数学上册第22章一元二次方程章末复习新版华东师大版

16(2（ x1)）2 9 0
解:原方程变形为: (2 x)2 9
16
直接开平方得:
2 x 3
4
x1
5 4
x2
11 4
（2） x(x 2) 1 0
解:原方程变形为:
x2 2x 1 0
(x 1)2 0
x1 x2 1
3. 配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法
第22章
章末复习
知识梳理
一元二次方程的概念及解法
一
元
二
根的判别式与系数的关系
次
方
程
一元二次方程的实际应用
1、一元二次方程的概念:等号两边都是整式 ,只含有一个未知数（一元）,并且未知数的最高次数是 2 （二次）的方程,叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2是二次项,a 是二次项系数,bx是一次项,b是一次项系数,c是常数项。
(1)3x(x 2) 5(x 2)
解：移项，得
3x(x 2) 5(x 2)
=0
提公因式得
(3x 5)(x 2) 0
3x 5 0或x 2 0
x1
5 3
x2 2
（2） x(3x 2) 6(3x 2) 0
解:提公因式得:
(3x 2)(x 6) 0
3x 2 0或x 6 0
x1
2 3
x2 6
➢平方差公式与完全平方公式
x2 a形2 如0
运用平方差公式得:
(x a)(x a) 0
x a 0或x a 0
x1 a x2 a
x2 2a形x如 a2 0