中学物理竞赛力学部分

2 2 d 2 xC d 2θ d 2ϕ dθ dϕ = −l cosθ + sin θ 2 + 2 cos ϕ + 2 sin ϕ 2 2 dt dt dt dt dt
（5）
7
2 2 d 2 yC d 2θ d 2ϕ dθ dϕ = l − sin θ + cos θ − 2 sin ϕ + 2 cos ϕ dt 2 dt 2 dt 2 dt dt
4
刚体定轴转动和刚体平面平行运动描述
题 9：玩具车的速度与加速度。一小孩自 B 点手拉绳的一端沿人行道的边缘以恒 定速度 u 行走，小车放在粗糙的水平街面上。求当绳与人行道成 角时，小 车的速度与加速度。设绳长为 l，绳始终处于拉直状态。 • 提示：小车只能沿绳的方向运动。
P
v = u cos(θ )
∆t → 0
∆ω
=
dω dt
角量和线量的关系
v = Rω
an = Rω 2 aτ = Rβ
相对运动 运动描述与参照系：对物体运动的描述与参照系有关 ——位移、速度、加速度的测量与参照系有关。
r r r r = r0 + r ′
图
相对运动
1
r v r v = v0 + v′ r r r a = a0 + a′
A θ R O r B
v
3
情况 1：线轴座逆时针方向转动。设转动角速度为 ω 。 ′ = rω B 点相对 O 的速度大小： vB ′ + vO B 点相对于地面的速度： vB = v B vB 沿绳子方向的分量与 v 相等： rω − vO sin θ = v 线轴与地面无滑动： vO = Rω Rv 可知，情况 1 出现的条件为： r > R sin θ r − R sin θ Rv 情况 2：线轴座顺时针方向转动。同理可得： vO = R sin θ − r 出现情况 2 的条件为： r < R sin θ 题 7 求重物上升的加速度。 以 O 点为参照系，绳子末端 A 作圆周运动，其加速度沿绳子方向的分量，即向心 加速度大小为 vO = v 2 sin 3 θ ′ = 0 aA|| h 以地面为参照系，A 的加速度 r r r r r r ′ ′ aA = aO + aA aA|| = aO|| + aA|| v sin θ 0 = − aB + h
2 2 aC = aCn + aCt =
74 2 ω l 8
（11）
a C 的方向与杆 CD 间的夹角 θ = arctan aCt = arctan 6 = 80.54° aCn
（12）
解法二：通过微商求 C 点加速度 以固定点 A 为原点作一直角坐标系 Axy，Ax 轴与 AD 重合，Ay 与 AD 垂直．任意时刻 t，连杆
v C = v B cos
2 vC CD
π 2 = ωl 4 2
（3）
此时杆 CD 绕 D 轴按顺时针方向转动，C 点的法向加速度
CB
B
由图可知 CD = 2 2l ，由（3）、（4）式得
aCn 2 2 = ω l 8
v
（5） 其方向沿 CD 方向． D A 下面来分析 C 点沿垂直于杆 CD 方向的加速度，即切向 加速度 a Ct ．因为 BC 是刚性杆，所以 C 点相对 B 点的运动只能是绕 B 的转动，C 点相对 B 点的速度方向必垂直于杆 BC．令 v CB 表示其速度的大小，根据速度合成 公式有
2 sin θ sin ϕ + 2 cos θ cos ϕ − 3cos θ − 3 2 cos ϕ − 2 = 0
v0 sin θ = vP cos θ vP = v0 tan θ
2
vP θ P θ R v0
情形 3：两直线相交点的运动等于各直线沿对方直线方向运动的合运动： 题 4 水平直杆 AB 在半径为 R 的固定圆圈上以匀速 v0 竖直下落，如图所示，试求套在该直 线和圆圈的交点处小环 M 的速度。 vM = v1 =
中学物理竞赛力学部分
质点运动学 r r r r 位置矢量 r = xi + yj + zk r r r r r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k r r r r r ∆r 位移 ∆r = rB − rA 平均速度 v = 平均速率 ∆t r r r ∆r d r ds 瞬时速度 v = lim = 瞬时速率 ∆t → 0 ∆t dt dt r r 运动学方程 r = r (t ) 平均加速度 r r ∆v a= ∆t 瞬时加速度
（6）
根据几何关系，有
CD sin α = AB sin θ + BC sin ϕ CD cos α + AB cosθ + BC cos ϕ = 3l
即
2 2 sin α = sin θ + 2 sin ϕ 2 2 cos α = 3 − cos θ − 2cosϕ
（7） （8）
将（7）、（8）式平方后相加且化简，得
ϕ和 的位形如图所示， 此时各杆的位置分别用 θ ，
y C B
ϕ
α 表示，且已知 AB = l ， BC = 2l ， CD = 2 2l ，
AD = 3l ，
A
θ
α
D
x
dθ = −ω ，C 点坐标表示为 dt xC = l cos θ + 2l cos ϕ yC = l sin θ + 2l sin ϕ
考虑相对运动，P 相对于 B 作圆周运动
P
∆θ
θ
C B B
at = dv '/ dt = d ( u sin θ ) / dt = u cos θ dθ / dt = u cos θ v '/ l = u 2 sin θ cos θ / l an = v '2 / l = ( u sin θ ) / l
v=
∆s ∆t
r r r r ∆v d v d 2 r a = lim = = ∆t → 0 ∆t dt dt 2
圆周运动与一般曲线运动 dv 切向加速度 at = 表示质点速率变化的快慢 dt 法向加速度 an = v2 ρ 表示质点速度方向变化的快慢。其中 ρ= ds 称为曲 dθ
线在该点的曲率半径 r 总加速度 a 的大小为
v′ 2
′ + v′ + 2v1 ′ v2 ′ cos θ vP = v1 = 1 2 v12 + v2 + 2v1 v2 cos θ sin θ
解题方法二：运动的合成（相对运动） 题 6 一个物体同时参与两种运动实质上是参照系的转换： 如图，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子 A 上。今以恒定速度 v 拉绳，当绳与竖直 方向夹角为 θ 时，求线轴中心 O 的运动速度 v。设线轴的外半径为 R，内半径为 r，线轴沿 水平面作无滑动滚动。
B
C
B α O ω
M
A R
题 11 （25 分） 图中所示为用三角形刚性细杆 AB、 BC、 CD 连成的平面连杆结构图。 AB 和 CD 杆可分别绕过 A、D 的垂直于纸面的固定轴转动，A、D 两点位于同一 水平线上。 BC 杆的两端分别与 AB 杆和 CD 杆相连， 可绕连接处转动 （类似铰链） 。 当 AB 杆绕 A 轴以恒定的角速度 ω 转到图中所示的位置 时，AB 杆处于竖直位置。BC 杆与 CD 杆都与水平方向 成 45°角，已知 AB 杆的长度为 l ，BC 杆和 CD 杆的长
曲率半径的物理求法
y
v2 v2 an = → ρ = ρ an
题 1 椭圆的曲率半径： 轨道方程：
O a Ax
B b
x y + 2 =1 2 a b x = a cos ωt y = b sin ωt
2
2
设运动方程为：
题 2 抛物线的曲率半径：
x = t y = Ax 2 设运动方程为： 2 y = At
2 2 a = an + at2 = u 2 sin θ / l
v v ’-u
P
θ
题 10： 如图所示，杆 OA 长为 R，可绕过 O 点的水平轴在竖直 平面内转动，其端点 A 系着一跨过定滑轮 B、C 的不可 伸长的轻绳， 绳的另一端系一物块 M。 滑轮的半径可忽 略，B 在 O 的正上方，OB 之间的距离为 H。某一时刻当 绳 BA 段与 OB 之间夹角为α时，杆的角速度为ω, 求此 时物块Μ的速率。 l 2 = H 2 + R 2 − 2 HR cos β 2ll& = 2 HR sin βω R sin β = l sin α v = l& = ω H sin α
a′ t
v0
P 点相当于地面的加速度： r r r r r r ′ aP = a′ + a0 = a′ = at′ + an aP = −
2 ′ an v0 =− cos θ R cos3 θ
R
θ O
aP
解题方法三：微积分 关键：找出各物体间位移间的关系，进而得到速度、加速度之间的关系。 以上例题可以用微积分的方法求解。
连体运动问题 解题方法一：运动的分解
O
情形 1：两物体通过刚性细杆或不可伸长的绳子相连，他们在连线方向的位移、速度和加速 度相等。
v2 α
1 v1 cos α = v2 cos β
v
β
情形 2：两刚性物体接触点的速度沿法向分量相等。 题 3 如图示，一半径为 R 的半圆柱体沿水平方向以速度 v0 作匀速运动。求杆与半圆柱体的 接触点 P 的角位置为 θ 时竖直杆运动的速度。
2 0 3