高考一轮复习：复数

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高三数学高考第一轮复习计划(10篇)

高三数学高考第一轮复习计划（10篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高考数学一轮复习必考部分第十一篇复数算法推理与证明第4节综合法分析法反证法课件文北师大版

解析:至少有一个”的反面应是“一个都没有”.故应选B.
4.设a,b是两个实数,给出下列条件: ①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1. 其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是
(填序号).
解析:当 a= 2 ,b= 2 时,a+b= 4 >1,排除①;
33
3
证明:法一因为 a+b+c=1,
所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤
a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2=3(a2+b2+c2),所以 a2+b2+c2≥ 1 . 3
法二设 a= 1 +α,b= 1 +β,c= 1 +γ.则由 a+b+c=1 可知α+β+γ=0,
(2)试用反证法证明 1 >c. a
证明:(2)假设 1 <c,又 1 >0,
a
a
由 0<x<c 时,f(x)>0,
知 f( 1 )>0,与 f( 1 )=0 矛盾,
a
a
所以 1 ≥c, a
又因为 1 ≠c, a
所以 1 >c. a
备选例题
【例题】 (2014 高考北京卷)对于数对序列 P:(a1,b1),(a2,b2),…,(an,bn), 记 T1(P)=a1+b1,Tk(P)=bk+max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak}(2≤k≤n),其中 max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak}表示 Tk-1(P)和 a1+a2+…+ak 两个数中最大的数, (1)对于数对序列 P:(2,5),(4,1),求 T1(P),T2(P)的值;

高考数学一轮复习专题训练—复数

复数考纲要求1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．知识梳理1．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ⇔a ＝c 且b ＝d ((4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R)．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i 一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应平面向量OZ →. 3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R. z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i.z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图所示给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.1．i 的乘方具有周期性i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *. 2．(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i ＝－i.3．复数的模与共轭复数的关系 z ·z ＝|z |2＝|z |2. 4．两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点．( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√解析 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小．2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z 满足z ＋3i ＝a ＋a i ，若复数z 是纯虚数，则( ) A ．a ＝3 B ．a ＝0 C ．a ≠0 D ．a <0答案 B解析由z ＋3i ＝a ＋a i ，得z ＝a ＋(a －3)i.又因为复数z 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，a －3≠0，解得a ＝0.3．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 答案 2＋i解析因为z ＝4＋3i1＋2i＝4＋3i 1－2i 1＋2i 1－2i＝10－5i5＝2－i ，所以z ＝2＋i.4．(2020·北京卷)在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i·z ＝( ) A ．1＋2i B ．－2＋i C ．1－2i D ．－2－i答案 B解析 z ＝1＋2i ，∴i·z ＝i(1＋2i)＝－2＋i.故选B.5．(2019·全国Ⅲ卷改编)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B ．22C ． 2D ．2答案 C解析法一由(1＋i)z ＝2i ，得z ＝2i1＋i ＝1＋i ，所以|z |＝ 2.法二因为2i ＝(1＋i)2，所以由(1＋i)z ＝2i ＝(1＋i)2，得z ＝1＋i ，所以|z |＝ 2. 6．(2021·安庆一中月考)已知复数z ＝2i1－i3，则z 在复平面内对应的点所在的象限为第________象限．答案二解析 ∵z ＝2i1－i3＝－1－i 21－i3＝－11－i＝－12－i 2， ∴z ＝－12＋i2对应的点⎝⎛⎭⎫－12，12位于第二象限．考点一复数的相关概念1．(2020·浙江卷)已知a ∈R ，若a －1＋(a －2)i(i 为虚数单位)是实数，则a ＝( ) A ．1 B ．－1C ．2D ．－2答案 C解析由题可知复数的虚部为a －2，若该复数为实数，则a －2＝0，即a ＝2.故选C. 2．(2019·全国Ⅱ卷)设z ＝i(2＋i)，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1＋2iC ．1－2iD ．－1－2i答案 D解析 ∵z ＝i(2＋i)＝－1＋2i ，∴z ＝－1－2i.故选D. 3．(2020·全国Ⅰ卷)若z ＝1＋2i ＋i 3，则|z |＝( ) A ．0 B ．1C ． 2D ．2答案 C解析 ∵z ＝1＋2i ＋i 3＝1＋2i －i ＝1＋i ，∴|z |＝12＋12＝ 2.故选C.4．(2021·西安调研)下面关于复数z ＝－1＋i(其中i 为虚数单位)的结论正确的是( ) A.1z 对应的点在第一象限 B ．|z |<|z ＋1| C ．z 的虚部为i D ．z ＋z <0 答案 D解析∵z＝－1＋i，∴1z＝1－1＋i＝－1－i－1＋i－1－i＝－12－i2.则1z对应的点在第三象限，故A错误；|z|＝2，|z＋1|＝1，故B错误；z的虚部为1，故C错误；z＋z＝－2<0，故D正确．感悟升华 1.复数z＝a＋b i(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部．若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.2．复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋b i|，即|z|＝|a＋b i|＝a2＋b2.3．复数z＝a＋b i(a，b∈R)的共轭复数为z＝a－b i，则z·z＝|z|2＝|z|2，即|z|＝|z|＝z·z，若z∈R，则z＝z.利用上述结论，可快速、简洁地解决有关复数问题．考点二复数的几何意义【例1】(1)(2019·全国Ⅰ卷)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则() A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1(2)(2020·临沂质检)已知a1－i＝－1＋b i，其中a，b是实数，则复数a－b i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案(1)C(2)B解析(1)由已知条件，可设z＝x＋y i(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋y i－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.(2)由a1－i＝－1＋b i，得a ＝(－1＋b i)(1－i)＝(b －1)＋(b ＋1)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝0，a ＝b －1，即a ＝－2，b ＝－1， ∴复数a －b i ＝－2＋i 在复平面内对应点(－2,1)，位于第二象限．感悟升华 1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应Z (a ，b )一一对应OZ →＝(a ，b )．2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，可把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观．【训练1】 (1)若复数z ＝(2＋a i)(a －i)在复平面内对应的点在第三象限，其中a ∈R ，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－2，2) B ．(－2，0) C ．(0，2)D ．[0，2)(2)(2021·郑州模拟)已知复数z 1＝2－i2＋i 在复平面内对应的点为A ，复数z 2在复平面内对应的点为B ，若向量AB →与虚轴垂直，则z 2的虚部为________．答案 (1)B (2)－45解析 (1)z ＝(2＋a i)(a －i)＝3a ＋(a 2－2)i在复平面内对应的点在第三象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a <0，a 2－2<0，解得－2<a <0.(2)z 1＝2－i 2＋i ＝2－i 22＋i 2－i ＝35－45i ，所以A ⎝⎛⎭⎫35，－45，设复数z 2对应的点B (x 0，y 0)，则AB →＝⎝⎛⎭⎫x 0－35，y 0＋45，又向量AB →与虚轴垂直，∴y 0＋45＝0，故z 2的虚部y 0＝－45.考点三复数的运算【例2】 (1)(2020·全国Ⅰ卷)若z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝( ) A ．0B ．1C ． 2D ．2(2)在数学中，记表达式ad －bc 为由⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 所确定的二阶行列式．若在复数域内，z 1＝1＋i ，z 2＝2＋i 1－i ，z 3＝z 2，则当⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1 z 2z 3 z 4＝12－i 时，z 4的虚部为________．答案 (1)D (2)－2解析 (1)法一 z 2－2z ＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z 2－2z |＝|－2|＝2. 法二 |z 2－2z |＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)| ＝|1＋i||－1＋i|＝2. 故选D. (2)依题意，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1 z 2z 3 z 4＝z 1z 4－z 2z 3，因为z 3＝z 2，且z 2＝2＋i1－i ＝2＋i1＋i2＝1＋3i 2，所以z 2·z 3＝|z 2|2＝52，因此有(1＋i)z 4－52＝12－i ，即(1＋i)z 4＝3－i ，故z 4＝3－i 1＋i＝3－i1－i2＝1－2i.所以z 4的虚部是－2.感悟升华 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式． 2．记住以下结论，可提高运算速度： (1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i＝－i ；(4)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(5)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N)．【训练2】 (1)(2020·新高考山东卷)2－i1＋2i＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i(2)(2020·全国Ⅱ卷)设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝________. 答案 (1)D (2)2 3 解析 (1)2－i 1＋2i ＝2－i1－2i 1＋2i1－2i＝－5i5＝－i.故选D.(2)法一设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝3－a ＋(1－b )i ，则⎩⎨⎧ |z 1|2＝a 2＋b 2＝4，|z 2|2＝3－a 2＋1－b 2＝4，即⎩⎨⎧a 2＋b 2＝4，3a ＋b ＝2.∴|z 1－z 2|2＝(2a －3)2＋(2b －1)2 ＝4(a 2＋b 2)－4(3a ＋b )＋4＝12. 因此|z 1－z 2|＝2 3.法二设复数z 1，z 2对应的向量为a ，b ，则复数z 1＋z 2，z 1－z 2对应向量为a ＋b ，a －b ，依题意|a |＝|b |＝2，|a ＋b |＝2，又因为|a ＋b |2＋|a －b |2＝2|a |2＋2|b |2，所以|a －b |2＝12，故|z 1－z 2|＝|a －b |＝2 3.法三设z 1＋z 2＝z ＝3＋i ，则z 在复平面上对应的点为P (3，1)，所以|z 1＋z 2|＝|z |＝2，由平行四边形法则知OAPB 是边长为2，一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为|z 1－z 2|＝2×32×2＝2 3.A 级基础巩固一、选择题1．设z ＝－3＋2i ，则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 z ＝－3－2i ，故z 对应的点(－3，－2)位于第三象限． 2．(2020·全国Ⅲ卷)复数11－3i 的虚部是( ) A ．－310B ．－110C ．110D ．310答案 D解析 z ＝11－3i ＝1＋3i 1－3i 1＋3i ＝110＋310i ，虚部为310.故选D.3．(2020·全国Ⅱ卷)(1－i)4＝( ) A ．－4 B ．4C ．－4iD ．4i答案 A解析 (1－i)4＝(1－2i ＋i 2)2＝(－2i)2＝4i 2＝－4.4. (2021·全国大联考)如图，复数z 1，z 2在复平面上分别对应点A ，B ，则z 1·z 2＝( )A ．0B ．2＋iC ．－2－iD ．－1＋2i答案 C解析由复数几何意义，知z 1＝－1＋2i ，z 2＝i ， ∴z 1·z 2＝i(－1＋2i)＝－2－i.5．设复数z 满足|z －3|＝2，z 在复平面内对应的点为M (a ，b )，则M 不可能为( ) A ．(2，3) B ．(3,2) C ．(5,0) D ．(4,1) 答案 D解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z －3＝(a －3)＋b i ， ∴(a －3)2＋b 2＝4，验证点M (4,1)，不满足．6．(2021·河南部分重点高中联考)若复数a ＋|3－4i|2＋i (a ∈R)是纯虚数，则a ＝( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3答案 B解析 a ＋|3－4i|2＋i ＝a ＋52－i2＋i 2－i ＝a ＋2－i 为纯虚数．则a ＋2＝0，解得a ＝－2.7．设2＋ii ＋1－2i ＝a ＋b i( a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则b －a i ＝( )A ．－52－32iB ．52－32iC.52＋32i D ．－52＋32i答案 A解析因为2＋i i ＋1－2i ＝2＋i1－i i ＋11－i －2i ＝32－52i ＝a ＋b i ，所以a ＝32，b ＝－52，因此b －a i＝－52－32i.故选A.8.如图所示，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1·z 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析由图知OA →＝(－2，－1)，OB →＝(0,1)，所以z 1＝－2－i ，z 2＝i ，z 1·z 2＝1－2i ，所以复数z 1·z 2所对应的点为(1，－2)，该点在第四象限．二、填空题9．(2020·江苏卷)已知i 是虚数单位，则复数z ＝(1＋i)(2－i)的实部是________．答案 3解析 z ＝(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i ，所以复数z 的实部为3.10．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为________．答案－2＋i解析因为A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2，1)，所以向量OB →对应的复数为－2＋i.11．已知复数z ＝1＋2i 1＋i ＋2i z ，则|z |等于________．答案 22解析由z ＝1＋2i 1＋i＋2i z 得z ＝1＋2i 1＋i 1－2i ＝1＋2i 3－i＝1＋2i 3＋i 3－i 3＋i ＝1＋7i 10，故|z |＝11012＋72＝22. 12．已知i 为虚数单位，若复数z ＝1－a i 1＋i(a ∈R)的实部为－3，则|z |＝________，复数z 的共轭复数z ＝________.答案 5 －3＋4i解析因为z ＝1－a i 1＋i ＝1－a i 1－i 1＋i 1－i ＝1－a －a ＋1i 2的实部为－3，所以1－a 2＝－3，解得a ＝7. 所以z ＝－3－4i ，故|z |＝－32＋－42＝5，且共轭复数z ＝－3＋4i.B 级能力提升13．(2020·南宁模拟)已知z ＝3－i 1－i (其中i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 的虚部是( ) A ．－1B ．－2C ．1D ．2 答案 A解析 ∵z ＝3－i 1－i ＝3－i 1＋i 1－i 1＋i＝4＋2i 2＝2＋i ， ∴z ＝2－i ，∴z 的虚部为－1.14．(2021·哈尔滨调研)已知z 的共轭复数是z ，且|z |＝z ＋1－2i(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，因为|z |＝z ＋1－2i ，所以x 2＋y 2＝x －y i ＋1－2i ＝(x ＋1)－(y＋2)i ，所以⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝x ＋1，y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－2. 所以复数z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫32，－2，此点位于第四象限． 15.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 答案－1＋i解析原式＝⎣⎡⎦⎤1＋i 226＋2＋3i3＋2i 32＋22＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i. 16．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________．答案 3解析因为|z －2|＝x －22＋y 2＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝31＝ 3.。

2024年高考数学高频考点题型总结一轮复习复数(精练：基础+重难点)

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结第26练复数（精练）一、单选题1．（2022·全国·统考高考真题）(22i)(12i)+-=（）A ．24i -+B ．24i --C ．62i+D ．62i-【答案】D【分析】利用复数的乘法可求()()22i 12i +-.【详解】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D.2．（2021·全国·统考高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（）A ．62i -B ．42i -C ．62i+D ．42i+【答案】C【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i+=-+--=+故选：C.3．（2021·全国·高考真题）已知()21i 32i z -=+，则z =（）A ．31i2--B ．31i2-+C ．3i2-+D ．3i2--【答案】B【分析】由已知得32i2iz +=-，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】()21i 2i 32i z z -=-=+，()32i i 32i 23i 31i 2i 2i i 22z +⋅+-+====-+--⋅.故选：B.4．（2022·全国·统考高考真题）已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（）A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-【答案】A【分析】先算出z ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可【详解】12z i=-【A组在基础中考查功底】一、单选题根据复数模的几何意义可知，如图可知，i z +的最小值是点故选：B.26．（2022·全国·高三专题练习）设A ．13i22-C ．31i 22--【答案】C【分析】首先利用诱导公式将复数出其共轭复数；【详解】解：因为sin15z =+ 所以()22sin15i cos15z =+= 22sin 15cos 152sin15cos15=-+ cos30sin 30i =-+ 31i 22=-+所以2z 的共轭复数是3122--故选：C【B 组在综合中考查能力】一、单选题1．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知A ．3±B ．3【答案】C。

2020版高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明第2讲课后作业理(含解析)

第11章算法复数推理与证明第2讲A 组基础关1．(2018·榆林模拟)已知复数z 1＝6－8i ，z 2＝－i ，则z 1z 2＝( ) A ．8－6i B ．8＋6i C ．－8＋6i D ．－8－6i 答案 B解析 z 1z 2＝6－8i －i＝(6－8i)·i＝8＋6i.2．(2019·青岛模拟)在复平面内，复数z ＝4－7i2＋3i (i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B 解析 z ＝4－7i2＋3i＝4－7i2－3i13＝－13－26i 13＝－1－2i ，其共轭复数z ＝－1＋2i对应的点(－1,2)在第二象限．3．(2018·河南省天一大联考)已知复数z ＝2－3i ，若z 是复数z 的共轭复数，则z ·(z ＋1)＝( )A ．15－3iB ．15＋3iC ．－15＋3iD ．－15－3i答案 A解析依题意，z ·(z ＋1)＝(2－3i)(3＋3i)＝6＋6i －9i ＋9＝15－3i.4．(2019·广东测试)若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1 答案 C解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a －2＝0，a ≠0，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i ＝2－i 1－2i 1＋2i1－2i＝－3i3＝－i.故选C.5．已知m 为实数，i 为虚数单位，若m ＋(m 2－4)i>0，则m ＋2i2－2i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1 答案 A解析因为m ＋(m 2－4)i>0，所以m ＋(m 2－4)i 是实数，所以⎩⎨⎧m >0，m 2－4＝0，故m ＝2.所以m ＋2i 2－2i＝2＋2i 2－2i ＝1＋i1－i＝i. 6．(2018·成都市第二次诊断性检测)若虚数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则yx的最大值是( )A.32B.33C.12 D.3 答案 D解析因为(x －2)＋y i 是虚数，所以y ≠0，又因为|(x －2)＋y i|＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3.因为y x是复数x ＋y i 对应点的斜率，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝tan ∠AOB ＝3，所以y x 的最大值为 3.7．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4 答案 B解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )．对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，则b ＝0且a ≠0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题．对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0.当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∈/ R ，所以p 2为假命题．对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇒/a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题．对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B.8．(2017·天津高考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________．答案－2解析 ∵a ∈R ，a －i2＋i＝a －i2－i 2＋i 2－i ＝2a －1－a ＋2i 5＝2a －15－a ＋25i 为实数，∴－a ＋25＝0，∴a ＝－2.9．(2018·合肥模拟)设z 2＝z 1－i z 1(其中z 1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．答案 1解析设z 1＝a ＋b i ，z 2＝－1＋c i ，因为z 2＝z 1－i z 1，所以－1＋c i ＝(a ＋b i)－i(a －b i)＝(a －b )＋(b －a )i ，所以⎩⎨⎧a －b ＝－1，b －a ＝c ，所以c ＝1，所以z 2的虚部为1.10．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 20221＋i ，则复数z 在复平面内对应点的坐标为________．答案 (0,1)解析因为i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＋i 4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而2022＝4×505＋2，所以z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 20221＋i ＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i1＋i＝－1＋i1－i 1＋i1－i ＝2i2＝i ，对应的点为(0,1)．B 组能力关1．(2018·华南师大附中模拟)欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知e a i 为纯虚数，则复数sin2a ＋i1＋i在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析由题意得e a i＝cos a ＋isin a 是纯虚数，所以⎩⎨⎧cos a ＝0，sin a ≠0，所以sin2a ＝2sin a cos a ＝0，sin2a ＋i 1＋i ＝i 1＋i ＝i 1－i 2＝1＋i 2，其在复平面内对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12在第一象限． 2．对于复数z 1，z 2，若(z 1－i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭”复数，则复数32－12i的“错位共轭”复数为( )A ．－36－12iB ．－32＋32iC.36＋12i D.32＋32i 答案 D解析由(z －i)⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12i ＝1，可得z －i ＝132－12i ＝32＋12i ，所以z ＝32＋32i.故选D.3．(2019·西安模拟)已知方程x 2＋(4＋i)x ＋4＋a i ＝0(a ∈R )有实根b ，且z ＝a ＋b i ，则复数z 等于( )A ．2－2iB ．2＋2iC ．－2＋2iD ．－2－2i答案 A解析由题意得b 2＋(4＋i)b ＋4＋a i ＝0，整理得(b 2＋4b ＋4)＋(a ＋b )i ＝0，所以⎩⎨⎧ b ＋22＝0，a ＋b ＝0，所以⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2，所以z ＝2－2i.4．已知复数z 在复平面内对应的点在第三象限，则z 1＝z ＋|z |在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析令z ＝a ＋b i(a <0，b <0)，则|z |＝a 2＋b 2>|a |，z 1＝z ＋|z |＝(a 2＋b 2＋a )－b i ，又a 2＋b 2＋a >0，－b >0，所以z 1在复平面内对应的点在第一象限．5．已知复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i(a ∈R )的对应点在复平面的第二象限，则|1＋a i|的取值范围是________．答案 [1，5)解析复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限，所以⎩⎨⎧a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a <2.所以|1＋a i|＝1＋a 2∈[1，5)．6．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7解析由复数相等的充要条件，可得⎩⎨⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.。

高考数学一轮总复习第五章 5.5 复数

∴ －x＋y＝3，
x＝1，
解得
故 x＋y＝5.
2x－y＝－2，
y＝4，
3 课时作业
PART THREE
基础保分练
1.已知复数z1＝6－8i，z2＝－i，则
z1 z2
等于
A.－8－6i
B.－8＋6i
√C.8＋6i
D.8－6i
解析 ∵z1＝6－8i，z2＝－i，
∴zz12＝6－－8i i＝6－－i82ii＝8＋6i.
②对角线C→A所表示的复数；解 ∵C→A＝O→A－O→C，∴C→A所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i ③B点对应的复数. 解 O→B＝O→A＋A→B＝O→A＋O→C， ∴O→B所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即B点对应的复数为1＋6i.
思维升华
复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相论即可.
A.20
B.12
√C.2 5
D.2
解析设z＝＋bi，a，b∈R，
则由z2＝12＋16i，得a2－b2＋2abi＝12＋16i，
a2－b2＝12，
a＝4， a＝－4，
则
解得
或
2ab＝16，
b＝2
b＝－2，
即|z|＝ a2＋b2＝ 16＋4＝2 5.故选 C.
8.已知集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M 数m的值为_3_或__6___.
基础自测
JICHUZICE
题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x2＋x＋1＝0没有解.( × ) (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( × ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点.( √ ) (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离

专题16 复数(习题)-2021届沪教版高考数学一轮复习(上海专用)

2021届高考数学一轮复习专题16复数一、填空题1．（2020·上海松江·期末）已知复数z 满足，则2z i -（其中i 是虚数单位）的最小值为____________. 【答案】1 【解析】复数z 满足||1(z i =为虚数单位），设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．则|2||cos (sin 2)|1z i i θθθ-=+-，当且仅当时取等号．故答案为：1．2．（2020·上海高三其他）若复数z 满足i 12i01z+=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________ 【答案】1- 【解析】i 12i 01z +=即12(12)0,2iiz i z i i+-+===-，z 的虚部为1-故答案为1- 【点睛】本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力. 3．（2020·上海普陀·高三一模）设i 是虚数单位，若11z ai i=++是实数，则实数a = 【答案】12【解析】依题意，由于z 为实数，故110,22a a -==.4．（2020·上海市建平中学高三月考）已知x C ∈，且，则_____．【答案】4或-1【解析】由()()54321110x x x x x x -=-++++=,得1x =,或43210x x x x ++++=,进而得到答案．∵x C ∈，且()()54321110x x x x x x -=-++++=,故1x =,或43210x x x x ++++=，当1x =时,,当43210x x x x ++++=时，，故，或-1故答案为：4或-1．5．（2020·上海市建平中学高三月考）设复数z 满足||1z =，使得关于x 的方程有实根，则这样的复数z 的和为________ 【答案】32- 【解析】设z a bi =+，（且），将原方程变为，则2220ax ax ++=①且220bx bx -=②；再对b 分类讨论可得；设z a bi =+，（且）则原方程变为所以2220ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去；从而1a =-，此时1x =-，故1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得14a =-，b =所以14z =-±综上满足条件的所以复数的和为故答案为：32-6．（2019·上海市建平中学高三月考）设复数z 满足(4)32i z i -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为_______．【答案】-3 【解析】试题分析：由题意得：32436iz i i+=+=-+，其虚部为-3 7．（2019·上海市建平中学高三月考）已知复数z 满足(1i)1i z +=-，则Re()z =________ 【答案】0 【解析】因为，所以()Re 0z =. 故答案为0.8．（2020·上海普陀·三模）在复平面内，点()2,1A -对应的复数z ，则1z +=___________【解析】由题意2z i =-+，∴。

考向03 复数(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(全国通用)(原卷版)

考向03 复数【2022年全国甲卷】1. 若1z =-，则1zzz =-（）A. 1-+B. 1-C. 13-D. 13-【答案】C【解析】1(1113 4.z zz =--=--=+=113z zz ==-+-.故选：C 【2022年全国甲卷】2. 已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（）A. 1,2a b ==- B. 1,2a b =-= C. 1,2a b == D. 1,2a b =-=-【答案】A【解析】12i (12i)(1)(22)iz az b a b a b a ++=-+++=+++-由0z az b ++=,得10220a b a ++=⎧⎨-=⎩,即12a b =⎧⎨=-⎩.故选:A【2022年新高考1卷】3. 2. 若i(1)1z -=，则z z +=（）A. 2- B. 1- C. 1D. 2【答案】D【解析】由题设有21i1i i iz -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D 【2022年新高考2卷】4. 2. (22i)(12i)+-=（）A. 24i -+ B. 24i-- C. 62i+ D. 62i-【答案】D【解析】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D.【2022年浙江卷】2. 已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（）A. 1,3a b ==- B. 1,3a b =-= C. 1,3a b =-=- D. 1,3a b ==【答案】B【解析】3i 1i a b +=-+，而,a b 为实数，故1,3a b =-=，故选：B.【2022年北京卷】2. 若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（）A. 1 B. 5C. 7D. 25【答案】B【解析】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故|5|z ==．故选：B ．易错题【01】对服饰的相关概念理解不清易错题【02】对复数的模的定义理解不透易错题【03】复数相等的条件应用出错易错题【04】复数的模与绝对值混淆1．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则a b +=（）A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．已知复数z 满足21iz i-=+，则z =（）A ．132i + B ．132i - C ．32i + D ．32i -3．已知复数212iz i-=+，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（）A ．()0,1-B ．()0,1C ．()1,1-D ．()1,0-4．设i 是虚数单位，则2(1)i i--等于（）A ．0B ．4C ．2D 5．若z 为纯虚数，且2z =，则11z=+（）6．已知2(1)(1)z m m i =-++为纯虚数，则实数m 的值为（）A ．1B ．-1C ．11或- D ．-1或0一、单选题1．（2022·辽宁·育明高中一模）若复数53i--的实部与虚部分别为a ，b ，则点A (b ，a )必在下列哪个函数的图象上（）A ．2x y = B ．y ＝12x x+ C ．y x = D ．221y x =--2．（2021·云南昆明·三模（理））给出下列三个结论：①若复数()2()z a a ai a =-+∈R 是纯虚数，则1a =②若复数21iz i=+，则复数z 在复平面内对应的点在第二象限③若复数z 满足||1z =，则z 在复平面内所对应点的轨迹是圆其中所有正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．33．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）已知a 为正整数，且42i 25a +=，则a =（）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2022·江西南昌·三模（理））若复数z 的实部和虚部均为整数，则称复数z 为高斯整数，关于高斯整数，有下列命题：①整数都是高斯整数；②两个高斯整数的乘积也是高斯整数；③模为3的非纯虚数可能是高斯整数；④只存在有限个非零高斯整数z ，使1z也是高斯整数其中正确的命题有（）A ．①②④B ．①②③C ．①②D ．②③④5．（2022·浙江绍兴·模拟预测）人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等．16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了2i 1=-，17世纪法因数学家笛卡儿把i 称为“虚数”，用i(R)a b a b +∈、表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”．若复数z 满足方程2250z z ++=，则z =（）A ．12i -+B ．2i --C ．12i -±D ．2i-±二、多选题6．（2021·黑龙江·密山市第一中学模拟预测）已知123z i =+，()2z m i m R =-∈，则下列说法正确的有（）A ．若12z z 为实数，则23m =-；B ．12z z ⋅的共轭复数是()()2332m m i ++-；C ．12z z -的最小值是4；D ．满足11z z -=的复数z 在复平面上的对应点Z 的集合是以()2,3--为圆心，以1为半径的圆．7．（2021·重庆八中模拟预测）设复数z 的共辄复数为z ，i 为虚数单位，则下列命题正确的是（）A ．若0z z ⋅=，则0z =B ．若z z -∈R ，则z ∈R C ．若2cosisin 55ππz =+，则1z =D ．若i 1z -=，则z 的最大值为28．（2021·江苏泰州·模拟预测）设z 为复数，在复平面内z 、z 对应的点分别为P 、Q ，坐标原点为O ，则下列命题中正确的有（）A ．当z 为纯虚数时，,,P O Q 三点共线B ．当1z i =+时，POQ △为等腰直角三角形C ．对任意复数z ，OP OQ ≠D ．当z 为实数时，OP OQ=9．（2022·江苏苏州·模拟预测）下列命题正确的是（）A ．若A ，B ，C 为任意集合，则()()⋂⋂= A B C A B C B ．若a ，b ，c为任意向量，则()()⋅⋅=⋅⋅ a b c a b cC ．若1Z ，2Z ，3Z 为任意复数，则()()113123Z Z Z Z Z Z ⋅⋅=⋅⋅D ．若A ，B ，C 为任意事件，则()()()()⋃⋂=⋂+⋂P A B C P A C P B C 三、填空题10．（2022·浙江·三模）中国古代数学著作《九章算术》中记载了平方差公式，平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.若复数53i,43i a b =+=+（i 为虚数单位），则22a b -=__________．1．(2021年新高考1卷)已知2i z =-，则(i)z z +=A ．62i-B ．42i-C ．62i+D ．42i+2.(2021年新高考2卷) (22i)(12i)+-=（）A. 24i-+ B. 24i-- C. 62i+ D. 62i-3．(2021年高考全国甲卷理科)已知2(1)32i z i -=+，则z =( )A 312i --B ．312i -+C ．32i -+D ．32i --4．(2021年高考全国乙卷理科)设()()2346z z z z i ++-=+，则z =( )A ．12i-B ．12i+C ．1i+D ．1i-.5．(2021年高考浙江卷)已知a ∈R ，()1i i 3i a +=+（i 为虚数单位），则a =（）.A ． 1-B ． 1C ． 3-D ． 36．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)若z=1+i ，则|z 2–2z |=( )A ．0B ．1CD ．27．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)复数113i-虚部是( )A ．310-B ．110-C ．110D ．3108．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)若(1i)2i z +=，则z =( )A ．1i--B ．1+i-C ．1i-D ．1+i9．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设32z i =-+，则在复平面内z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)设复数z 满足i 1z -=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则( )A.22(1)1x y ++= B ．22(1)1x y -+= C ．22(1)1x y +-= D ．22(1)1x y ++=11．(2021年上海卷)已知121i,23i z z =+=+，12z z +=．12．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z，12i z z +=+，则12||z z -=__________．的1.【答案】D【解析】选D,由题意a=2,b=1,所以a+b=3.2．【答案】A 【解析】选A ，21+3=12i iz i -=+.3．【答案】D 【解析】选D ，2=112iz i-=-+，所以对应点坐标为（-1,0）.4．【答案】D【解析】选D,2(1)1i i i--=+=【解析】选A.由题意有2110m m -=+≠，所以m=1.一、单选题1．【答案】D 【解析】因为53i --＝()()()53i 3i 3i -+=---+＝－32＋12i ，所以a ＝－32，b ＝12，所以A 13(,22-，把点A 的坐标分别代入选项，只有D 选项满足.故选：D.2．【答案】C【解析】①因为复数()2()z a a ai a =-+∈R 是纯虚数，则200a a a ⎧-=⎨≠⎩，解得1a =，故正确；②复数()()()2121111i i i z i i i i -===+++-，则复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故错误；③因为复数z 满足||1z =，所以z 在复平面内所对应点的轨迹以原点为圆心，以1为半径的是圆，故正确；所以正确结论的个数是2个，故选：C 3．【答案】A【解析】因为a +，所以442i 25a +==，即245a +=，21a =，a 为正整数，所以1a =，故选：A 4．【答案】A【解析】①令i(a,b Z)z a b =+∈，当0b =时，z a =，即z 为整数，根据题意，z 是高斯整数，故①正确；②令1i(a,b Z)z a b =+∈，2i(c,d Z)z c d =+∈，则()12i z z ac bd ad bc ⋅=-++，则ac bd -为整数，ad bc +为整数，故12z z ⋅为高斯整数，故②正确；③令i(a 0,b 0)z a b =+≠≠，且3z =，故229a b +=，所以,a b 至少有一个数为非整数，故z 不是高斯整数，③错误；④令1i(a,b Z)z a b =+∈，且0z ≠，则22222211i i i a b a bz a b a b a b a b -===-++++，若1z为高斯整数，故2222,a ba b a b ++为整数，即存在有限个，例如i z =，故④正确.故选：A.5．【答案】C【解析】设i(,R)z a b a b =+∈，因2250z z ++=，则2(i)2(i)50a b a b ++++=，即22(25)2(1)i 0a b a b a -++++=，而,R a b ∈，则222502(1)0a b a b a ⎧-++=⎨+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=±⎩，所以12i z =-±.故选：C 二、多选题6．【答案】AC 【解析】1222223(23)()2(23)3(23)(23)=()()1z i i m i m m i m m iz m i m i m i m i m +++++--++===--+-+12z z为实数，230m ∴+=，23m =-，故A 正确；12(23)()(23)(32)z z i m i m m i ⋅=+-=++-，其共轭复数为()()2332m m i +--，故B 错误；12(2)4z z m i -=-+表示点(2,4)m -到原点的距离，12min minz z ∴-=，当2m =时，取最小值为4，故C 正确；设,,z x yi x y R =+∈，由11z z -=得(2)(3)1x y i -+-=，即222(2)(3)1x y -+-=，∴对应点Z 的集合是以()2,3为圆心，以1为半径的圆，故D 错误；故选：AC7．【答案】ABD【解析】若0z z ⋅=，即20z =，0z =，则0z =，A 正确；若z z -∈R ，即z 的虚部为0，则z ∈R ，B 正确；若2cosisin 55ππz =+1≠，C 错误；若i 1z -=，设i z x y =+（,x y ∈R ），即()2211x y +-=，则z 表示圆上的点到原点的距离，其最大值为2，D 正确，故选：ABD ．8．【答案】ABD【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，对A ：当z 为纯虚数时，()0z bi b =≠，z bi =-对应的点分别为(0,)P b 、(0,)Q b -，,,O P Q 均在y 轴上，所以,,P O Q 三点共线，故A 正确；对B: 当1z i =+时，1z i =-，所以(1,1)P ，(1,1)Q -，所以||||OP OQ ==||2PQ =，所以222||||||OP OQ PQ +=，所以POQ △为等腰直角三角形，故B 正确；对C ：(,)OP a b = ,(,)OQ a b =-,当0b =时，OP OQ = ，故C 错误；对D ：当z 为实数时，z z a ==，此时(,0)OP OQ a ==，故D 正确.故选：ABD 9．【答案】AC【解析】对于A ，集合运算有结合律，任意集合A ，B ，C 都有()()A B C A B C ⋂⋂= ，故A 正确；对于B ，向量的数量积不满足结合律，即()()⋅⋅≠⋅⋅a b c a b c 故B 错误；，对于C ，复数的乘法运算满足结合律，所以对任意复数1Z ，2Z ，3Z ，有()()113123Z Z Z Z Z Z ⋅⋅=⋅⋅，故C 正确；对于D ，若A B C ==，(())()()⋃⋂≠⋂+⋂P A B C P A C P B C ，故D 错误.故选：AC.三、填空题10．【答案】96i+【解析】()()()()2253i 43i 53i 43i 96i a b a b a b -=+-=++++--=+ ；故答案为：96i + .1．【答案】C 【解析】2(i)(2i)(2i i)(2i)(22i)44i 2i 2i 62i z z +=-++=-+=+--=+，故答案选C ．2.【答案】D【解析】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D.3．【答案】B【解析】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅．故选：B ．4．【答案】C【解析】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+．故选：C ．5．【答案】C【解析】由题意，得3i a i -+=+，复数相等定义，知3a =-，故选C ．6．【答案】D【解析】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-．故2222z z -=-=．故选：D ．7．【答案】D【解析】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i =-的虚部为310．故选：D ．8．【答案】D 【解析】根据复数运算法则，()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-，故选D ．另解：由常用结论22i=(1+i)，得2(1i)(1i)z +=+，则1i z =+，故选D ．【点评】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取复数运算法则，利用方程思想解题．当然若能熟知一些常用结论，可使解题快、准．9．【答案】C【解析】∵32z i =-+，∴32z i =--，对应坐标()3,2--，是第三象限．【点评】本题考查复数的共轭复数和复数在复平面内的对应点位置，渗透了直观想象和数学运算素养．采取定义法，利用数形结合思想解题．本题考点为共轭复数，为基础题目，难度偏易．忽视共轭复数的定义致错，复数与共轭复数间的关系为实部同而虚部异，它的实部和虚部分别对应复平面上点的横纵坐标．10．【答案】C【解析】设i z x y =+，则22i (1)i 1,(1)1z x y x y -=+-==∴+-=．11．【答案】34i+【解析】由题意得:1234iz z +=+12．【答案】【解析】方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=+++=+，1a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩，又12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=，222222()()2()4a cb d ac bd ac bd ∴+++=+++++=2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-====．故答案为：．方法二：如图所示，设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+,由已知122OZ OZ OP ==== ,∴平行四边形12OZ PZ 为菱形，且12,OPZ OPZ 都是正三角形，∴12Z 120OZ ∠=︒，222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-=∴1212z z Z Z -==．【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题．方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解。

2023版高考数学一轮总复习专题检测13数系的扩充与复数的引入

专题十三数系的扩充与复数的引入一、选择题1.(2022届T8联考,2)已知z=2i1−i -1+2i,则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 B 因为z=2i(1+i)(1-i)(1+i)-1+2i=i-1-1+2i=-2+3i,所以复数z 在复平面内对应的点Z(-2,3)位于第二象限,故选B.2.(2022届河南安阳月考,2)已知复数z=2+i+(1-i)x 是纯虚数,则实数x 的值为( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1答案 A ∵z=(2+x)+(1-x)i 是纯虚数,∴{2+x =0,1−x ≠0⇒x=-2,故选A.3.(2022届西南四省名校联考,2)已知复数z=21+i 3,则x 的虚部为( )A.-1B.-iC.1D.-2i 答案 A ∵z=21−i=2(1+i)2=1+i,∴x =1-i,则x 的虚部为-1.故选A.4.(2022届安徽八校联考,2)在复平面内,复数1−i 2i对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 C1−i2i =-12-12i,对应点为(-12,-12),在第三象限,故选C. 5.(2022届安徽六安质检,2)设复数z 的共轭复数为x ,若2z+x =32+2i,则z=( ) A.-1+2i B.1+2i C.1-2i D.12+2i答案 D 设z=a+bi(a,b∈R),则x =a-bi,所以2z+x =2a+2bi+a-bi=3a+bi=32+2i,故{3x =32,x =2,解得a=12,故z=12+2i,故选D. 6.(2022届朝阳期中,3)设m∈R,则“m=2”是“复数z=(m+2i)(1+i)为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C z=(m+2i)(1+i)=(m-2)+(m+2)i,由z 为纯虚数,得{x -2=0,x +2≠0,即m=2,即必要性成立;当m=2时,z=(2+2i)(1+i)=4i,为纯虚数,即充分性成立.故选C.7.(2022届北京一零一中学统考二,2)在复平面内,已知复数z 对应的点与复数1+i 对应的点关于实轴对称,则xi =( )A.1+iB.-1+iC.-1-iD.1-i 答案 C 由题意得z=1-i,从而x i =1−ii=-1-i.故选C.8.(2022届长沙长郡中学第一次月考,2)设复数z 满足z=2i-1+i ,则|z|=( ) A.1 B.√2 C.12 D.√22答案 B 因为z=2i-1+i =2i(i +1)(i -1)(i +1)=1-i,所以|z|=√2.故选B.9.(2022届湖北九师联盟10月质检,2)已知复数z=2−i1+i ,则下列说法正确的是( ) A.z 的模为√102B.z 的虚部为-32i C.z 的共轭复数为-12-32iD.z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限答案 A z=2−i 1+i =(2-i)(1-i)(1+i)(1-i)=1−3i 2=12-32i,所以z 的模为√(12)2+(-32)2=√102,故A 中说法正确;z 的虚部为-32,故B 中说法错误;z 的共轭复数为12+32i,故C 中说法错误;z 的共轭复数在复平面内对应的点为(12,32),在第一象限,故D 中说法错误.故选A.10.(2022届江苏如皋中学月考,5)已知复数z 满足|z-1|=|z-i|,则在复平面上z 对应的点的轨迹为( ) A.直线 B.线段 C.圆 D.等腰三角形答案 A 设复数z=x+yi(x,y∈R),根据复数的几何意义知:|z-1|表示复平面内的点Z(x,y)与点A(1,0)的距离,|z-i|表示复平面内的点Z(x,y)与点B(0,1)的距离,因为|z-1|=|z-i|,即点Z(x,y)到A,B 两点间的距离相等,所以点Z(x,y)在线段AB 的垂直平分线上,所以在复平面上z 对应的点的轨迹为直线.故选A.11.(2022届安徽安庆月考,2)设复数z 满足(1-i)z=4i(i 是虚数单位),则|z|=( ) A.1 B.√2 C.2 D.2√2答案 D ∵(1-i)z=4i(i 是虚数单位),∴(1+i)(1-i)z=4i(1+i),化简得z=2i-2,则|z|=√(-2)2+22=2√2,故选D.12.(2022届江西吉安月考,1)已知i 为虚数单位,则|1+i 3|等于( ) A.2 B.1 C.0 D.√2答案 D ∵1+i 3=1-i,∴|1+i 3|=√12+(−1)2=√2.故选D.13.(2022届山西长治质检,2)若复数z 满足zi=2+i(i 是虚数单位),则复数z 的虚部为( ) A.2i B.-2i C.2 D.-2 答案 D 由zi=2+i,得z=2+i i=-i(2+i)-i 2=1-2i,∴z 的虚部是-2.故选D.14.(2022届福建泉州科技中学月考,4)若z=1+i,则(x x )2020+(x x)2021的虚部为( )A.iB.-iC.1D.-1答案 D 因为z=1+i,所以x x =1+i 1−i =(1+i)(1+i)(1-i)(1+i)=i,x x =1−i 1+i =(1-i)(1-i)(1+i)(1-i)=-i,所以(x x )2020+(x x )2021=i 2020+(-i)2021=1-i,故其虚部为-1.15.(2022届昆明质检,2)设复数z 满足(1+i)z=m-i(m∈R),若z 为纯虚数,则m=( ) A.-1 B.1 C.2 D.-2 答案 B z=x -i 1+i=x -1-(x +1)i 2,若z 为纯虚数,则m-1=0且-(m+1)≠0,故m=1,故选B.16.(2022届广西调研,2)已知复数z=(1+i)(2-i),则z 的共轭复数x 为( ) A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i 答案 C ∵z=(1+i)(2-i)=2-i+2i-i 2=3+i,∴x =3-i.故选C.17.(2022届吉林名校期中,6)设z 是纯虚数,若1−ix +2是实数,则x =( ) A.-2i B.-i C.i D.2i答案 D ∵z 是纯虚数,∴设z=ai(a∈R,a≠0), ∵1−i2+x =(1-i)(2-x i)(2+x i)(2-x i)=2−x +(−2−x )i4+x 2是实数,∴-2-a=0,解得a=-2,∴z=-2i,∴x =2i.故选D.18.(2022届山西名校联盟调研,2)复数z=(√3-i)(1+i)2,则|z|=( ) A.4√2 B.4 C.2√3 D.2√2答案 B ∵z=(√3-i)(1+i)2=(√3-i)(2i)=2+2√3i,∴|z|=√22+(2√3)2=4.故选B.二、填空题19.(2022届北京十二中10月月考,11)已知复数z=2+i i(i 是虚数单位),则|z|= .答案 √5 解析 z=2+i i=(2+i)(-i)i·(-i)=1-2i,∴|z|=√12+(-2)2=√5.20.(2022届北京一七一中学10月月考,11)复数(1+i 1−i )2= . 答案 -1 解析 ∵1+i1−i =(1+i)2(1-i)(1+i)=2i2=i,∴(1+i 1−i )2=i 2=-1.21.(2022届北京师大附中期中,11)如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B 对应的复数分别是z 1,z 2,则z 1+z 2= .答案 2解析由题意知,z 1=i,z 2=2-i,则z 1+z 2=2.22.(2021上海,1,4分)已知z 1=1+i,z 2=2+3i,则z 1+z 2= . 答案 3+4i解析 z 1+z 2=(1+2)+(1+3)i=3+4i.。

2025届高考数学一轮复习——复数讲义

2025届高考数学一轮复习——复数讲义【高考考情分析】复数是高考的必考内容，多出现在选择题中，近几年多选题、填空题形式也有考查，试题较为简单，属于送分题，主要考查复数的概念和复数的四则运算.【基础知识复习】1.复数的有关概念（1）复数相等：i i a b c d a c +=+⇔=且b d =(,,,)a b c d ∈R .（2）共轭复数：i a b +与i c d +共轭a c ⇔=且b d =-(,,,)a b c d ∈R .（3）复数的模：复数i(,)z a b a b =+∈R 对应的向量OZ 的模叫做z 的模，记作||z 或|i |a b +，即|||i |z a b =+=2.复数的几何意义（1）复数i(,)z a b a b −−−−→=+∈←−−−−R 一一对应复平面内的点(,)Z a b . （2）复数i(,)z a b a b −−−−→=+∈←−−−−R 一一对应平面向量((0,0),(,))OZ O Z a b . 3.复数的加、减、乘、除运算法则设12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R ，则（1）加法：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++；（2）减法：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-；（3）乘法：12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd bc ad ⋅=+⋅+=-++；（4）除法：122222i (i)(i)i(i 0)i (i)(i)z a b a b c d ac bd bc ad c d z c d c d c d c d c d++-+-===++≠++-++. 4.复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何123,,z z z ∈C ，有1221z z z z +=+，123123()()z z z z z z ++=++.5.复数加、减法的几何意义（1）复数加法的几何意义若复数12,z z 对应的向量12,OZ OZ 不共线，则复数12z z +是以12,OZ OZ 为两邻边的平行四边形的对角线OZ 所对应的复数.（2）复数减法的几何意义复数12z z -是1221OZ OZ Z Z -=所对应的复数.6.复数乘法的运算律：对于任意123z z z ∈C ，，，有交换律：1221z z z z =；结合律：123123()()z z z z z z =；乘法对加法的分配律：1231213()z z z z z z z +=+.【重点难点复习】1.复数的模的运算性质（1）1212z z z z ⋅=⋅；（2）()112220z z z z z =≠；（3）()11n n z z n *=∈N .2.共轭复数的相关运算（1）z z z =⇔为实数，0z z +=且0z z ≠⇔为纯虚数；（2）2222||||zz z z a b ===+；（3）2z z a +=，2i z z b -=；（4）1212z z z z ±=±，1212z z z z ⋅=⋅，()112220z z z z z ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭. 【基本方法与技能复习】求解复数相关问题的技巧（1）复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数概念有关的问题时，需先把所给复数化为i()a b a b +∈，R 的形式，再根据题意列方程（组）求解.（2）求复数的模时，直接根据复数的模的公式和性质进行计算.（3）复数问题实数化是解决复数问题最基本也是最重要的方法.（4）在复数的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，把含有虚数单位i 的项看作一类同类项，不含i 的项看作另一类同类项；除法运算则需要分母实数化，解题中注意要把i 的幂化成最简形式.（5）由于复数、点、向量之间存在一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.【典型例题复习】1i =+，则z =( ) A.1i -- B.1i -+C.1i -D.1i + 2.【2024年新课标Ⅰ卷】已知1i z =--，则||z =( )3.【2023年新课标Ⅰ卷】已知1i 22i z -=+，则z z -=( ) A.i - B.i C.0 D.14.【2023年新课标Ⅰ卷】在复平面内，(13i)(3i)+-对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.【2022年新高考Ⅰ卷】若()i 11z -=，则z z +=( )A.-2B.-1C.1D.26.【2022年新高考Ⅰ卷】(22i)(12i)+-=( )A.24i -+B.24i --C.62i +D.62i - 答案以及解析1.答案：C1i =+，所以(1)(1i)z z =-+，即1i i z z z =-+-，即i 1i z =+，所以1i (1i)(i)1i i i(i)z ++-===--，故选C.1=+=11i 11i (1i)(1i)22z --==-+-11i 22=+=所以z =21i 1i=-+，故选C. 2.答案：C解析：|||1i |z =--==3.答案：A解析：因为1i(1i)(1i)2i1i22i2(1i)(1i)42z----====-++-，所以1i2z=，即iz z-=-.故选A.4.答案：A解析：(13i)(3i)3i9i368i+-=-++=+，在复平面内对应的点的坐标为(6,8)，位于第一象限，故选A.5.答案：D解析：因为i(1)1z-=，所以111iiz=-=+，所以1iz=-，所以(1i)(1i)2z z+=++-=.故选D.6.答案：D解析：(22i)(12i)24i2i462i+-=-++=-，故选D.。

2023年高考数学一轮复习第五章平面向量与复数3平面向量的数量积练习含解析

平面向量的数量积考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．知识梳理 1．向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角． 2．平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积，记作a ·b .3．平面向量数量积的几何意义设a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 与b 是方向相同的单位向量，AB →＝a ，CD →＝b ，过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1—→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1—→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．记为|a |cos θe . 4．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积 a·b ＝|a ||b |cos θa·b ＝x 1x 2＋y 1y 2模|a |＝a ·a|a |＝x 21＋y 21夹角cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件 a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 a∥b 的充要条件a ＝λb (λ∈R )x 1y 2－x 2y 1＝0|a ·b |与|a ||b |的关系|a ·b |≤|a ||b | (当且仅当a ∥b 时等号成立)|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21x 22＋y 22常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2； (2)(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 2．有关向量夹角的两个结论已知向量a ，b .(1)若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0；若a·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0. (2)若a 与b 的夹角为钝角，则a·b <0；若a·b <0，则a 与b 的夹角为钝角或π. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( × )(2)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角．( × )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( √ ) (4)(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × ) 教材改编题1．(多选)(2022·海南省临高二中模拟)设a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是( ) A ．0·a ＝0B ．a ·b ＝b ·c ，则a ＝cC ．a ·b ＝0⇒a ⊥bD ．(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2答案 CD2．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 33．已知向量a ，b 满足3|a |＝2|b |＝6，且(a －2b )⊥(2a ＋b )，则a ，b 夹角的余弦值为________．9解析设a ，b 的夹角为θ，依题意，(a －2b )·(2a ＋b )＝0，则2a 2－3a ·b －2b 2＝0，故2×4－3×2×3·cos θ－2×32＝0，则cos θ＝－59.题型一平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2021·北京)a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)，则(a ＋b )·c ＝_________；a ·b ＝________. 答案 0 3解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)， ∴a ＋b ＝(4,0)，∴(a ＋b )·c ＝4×0＋0×1＝0，a ·b ＝2×2＋1×(－1)＝3.(2)(2022·广州模拟)在平面四边形ABCD 中，已知AB →＝DC →，P 为CD 上一点，CP →＝3PD →，|AB →| ＝4，|AD →|＝3，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝23，则AP →·PB →＝________.答案－2 解析如图所示，∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∵CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝14AB →＋AD →，PB →＝AB →－AP →＝34AB →－AD →，又∵|AB →|＝4，|AD →|＝3，3则AB →·AD →＝4×3×23＝8，∴AP →·PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫34AB →－AD →＝12AB →·AD →－AD →2＋316AB →2＝12×8－9＋316×42＝－2. 教师备选1．(2019·全国Ⅱ)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →等于( ) A ．－3B ．－2C ．2D ．3 答案 C解析因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)，所以|BC →|＝12＋t －32＝1，解得t ＝3，所以BC →＝(1,0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.2．在边长为2的正三角形ABC 中，M 是BC 的中点，D 是线段AM 的中点．①若BD →＝xBA →＋yBC →，则x ＋y ＝________；②BD →·BM →＝________. 答案 341解析 ①∵M 是BC 的中点， ∴BM →＝12BC →，∵D 是AM 的中点，∴BD →＝12BA →＋12BM →＝12BA →＋14BC →，∴x ＝12，y ＝14，∴x ＋y ＝34.②∵△ABC 是边长为2的正三角形，M 是BC 的中点， ∴AM ⊥BC ，且BM ＝1，∴BD →·BM →＝|BD →||BM →|cos∠DBM ＝|BM →|2＝1.思维升华计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)利用坐标运算，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)已知向量a ＋b ＋c ＝0，|a |＝1，|b |＝|c |＝2，a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________. 答案－92解析由已知可得(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝9＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0，因此a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－92.(2)(2020·北京)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________. 答案5 －1解析建立如图所示的平面直角坐标系，∵AP →＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点．∴点P 的坐标为(2,1)，点D 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(2,0)， ∴|PD →|＝5，PB →＝(0，－1)，PD →＝(－2,1)， ∴PB →·PD →＝－1.题型二平面向量数量积的应用命题点1 向量的模例2 已知向量a ，b 满足|a |＝6，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |＝____________，|a －3b |＝________. 答案 219 6 3解析因为|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝6×4×12＝12，(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝36＋24＋16＝76， (a －3b )2＝a 2－6a·b ＋9b 2＝36－72＋144 ＝108，所以|a ＋b |＝219，|a －3b |＝6 3. 命题点2 向量的夹角例3 (2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935C.1735D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. 命题点3 向量的垂直例4 (2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(3,4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________. 答案 35解析方法一 a －λb ＝(1－3λ，3－4λ)， ∵(a －λb )⊥b ，∴(a －λb )·b ＝0，即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0， ∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝35.方法二由(a －λb )⊥b 可知，(a －λb )·b ＝0，即a ·b －λb 2＝0，从而λ＝a ·b b 2＝1，3·3，432＋42＝1525＝35. 教师备选1．已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 B解析设a 与b 的夹角为α， ∵(a －b )⊥b ， ∴(a －b )·b ＝0， ∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |， ∴cos α＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3.2．已知e 1，e 2是两个单位向量，且|e 1＋e 2|＝3，则|e 1－e 2|＝________. 答案 1解析由|e 1＋e 2|＝3，两边平方，得e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝3.又e 1，e 2是单位向量，所以2e 1·e 2＝1，所以|e 1－e 2|2＝e 21－2e 1·e 2＋e 22＝1，所以|e 1－e 2|＝1.思维升华 (1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解． (2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a·b|a ||b |，求解时应求出a ·b ，|a |，|b |的值或找出这三个量之间的关系；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |(其中a ≠0，b ≠0)．跟踪训练2 (1)已知单位向量a ，b 满足a ·b ＝0，若向量c ＝7a ＋2b ，则sin 〈a ，c 〉等于( ) A.73B.23C.79D.29答案 B解析方法一设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，则c ＝(7，2)，∴cos〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝73，∴sin〈a ，c 〉＝23. 方法二 a ·c ＝a ·(7a ＋2b ) ＝7a 2＋2a ·b ＝7， |c |＝7a ＋2b2＝7a 2＋2b 2＋214a ·b ＝7＋2＝3，∴cos〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝71×3＝73，∴sin〈a ，c 〉＝23. (2)(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1,0)，则( ) A ．|OP 1—→|＝|OP 2—→| B ．|AP 1—→|＝|AP 2—→| C.OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→ D.OA →·OP 1—→＝OP 2—→·OP 3—→ 答案 AC解析由题意可知，|OP 1—→|＝cos 2α＋sin 2α＝1， |OP 2—→|＝cos 2β＋－sin β2＝1，所以|OP 1—→|＝|OP 2—→|，故A 正确；取α＝π4，则P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，取β＝5π4，则P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，则|AP 1—→|≠|AP 2—→|，故B 错误；因为OA →·OP 3—→＝cos(α＋β)，OP 1—→·OP 2—→＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，所以OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→，故C 正确；因为OA →·OP 1—→＝cos α，OP 2—→·OP 3—→＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β) ＝cos(α＋2β)，取α＝π4，β＝π4，则OA —→·OP 1—→＝22，OP 2—→·OP 3—→＝cos 3π4＝－22，所以OA →·OP 1—→≠OP 2—→·OP 3—→，故D 错误．题型三平面向量的实际应用例5 (多选)(2022·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示)．假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，且F 1与F 2的夹角为θ，则以下结论正确的是( )A ．|F 1|的最小值为12|G |B ．θ的范围为[0，π]C ．当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |D ．当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |答案 ACD解析由题意知，F 1＋F 2＋G ＝0，可得F 1＋F 2＝－G ，两边同时平方得 |G |2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos θ ＝2|F 1|2＋2|F 1|2cos θ，所以|F 1|2＝|G |221＋cos θ.当θ＝0时，|F 1|min ＝12|G |；当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |；当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |，故A ，C ，D 正确；当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B 错误．教师备选若平面上的三个力F 1，F 2，F 3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F 1|＝1 N ，|F 2|＝6＋22N ，F 1与F 2的夹角为45°，求：(1)F 3的大小；(2)F 3与F 1夹角的大小．解 (1)∵三个力平衡， ∴F 1＋F 2＋F 3＝0，∴|F 3|＝|F 1＋F 2|＝|F 1|2＋2F 1·F 2＋|F 2|2＝12＋2×1×6＋22cos45°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222＝4＋23＝1＋ 3.(2)方法一设F 3与F 1的夹角为θ，则|F 2|＝|F 1|2＋|F 3|2＋2|F 1||F 3|cos θ，即6＋22＝12＋1＋32＋2×1×1＋3cos θ，解得cos θ＝－32， ∵θ∈[0，π]， ∴θ＝5π6.方法二设F 3与F 1的夹角为θ，由余弦定理得cos(π－θ)＝12＋1＋32－⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2222×1×1＋3＝32，∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6.思维升华用向量方法解决实际问题的步骤跟踪训练3 (2022·沈阳二中模拟)渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|ν1|＝10km/h ，水流速度的大小为|ν2|＝6km/h.设ν1与ν2的夹角为120°，北岸的点A ′在码头A 的正北方向，那么该游船航行到北岸的位置应( )A ．在A ′东侧B ．在A ′西侧C ．恰好与A ′重合D ．无法确定答案 A解析建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得ν1＝(－5，53)，ν2＝(6,0)，所以ν1＋ν2＝(1,53)，说明游船有x 轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A ′东侧．极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则有恒等式a ·b ＝14[]a ＋b2－a －b2.如图所示．(1)在平行四边形ABDC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，则a·b ＝14(|AD →|2－|BC →|2)．(2)在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，AM 为中线，则a·b ＝|AM →|2－14|BC →|2.例1 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 答案－16解析如图所示，由极化恒等式，易得AB →·AC →＝AM →2－MB →2＝32－52＝－16.例2 已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则PA →·PB →的最小值是________．答案 1解析如图所示，由极化恒等式易知，当OP 垂直于直线x －y ＋2＝0时，PA →·PB →有最小值，即PA →·PB →＝PO →2－OB →2＝(2)2－12＝1.例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A ．1B ．2C.2D.22答案 C解析如图所示，设OA →⊥OB →，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，M 为AB 的中点，由极化恒等式有(a －c )·(b －c )＝CA →·CB →＝|CM →|2－|AB →|24＝0，∴|CM →|2＝|AB →|24＝12，可知MC →是有固定起点，固定模长的动向量．点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，且点O 也在此圆上，所以|c |的最大值为圆的直径长，即为 2.课时精练1．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( ) A ．a ＋2b B ．2a ＋b C ．a －2b D ．2a －b 答案 D解析由题意得|a |＝|b |＝1，设a ，b 的夹角为θ＝60°，故a ·b ＝|a ||b |cos θ＝12.对A 项，(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2b 2＝12＋2＝52≠0；对B 项，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2 ＝2×12＋1＝2≠0；对C 项，(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2 ＝12－2＝－32≠0；对D 项，(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2×12－1＝0.2．(2022·石家庄模拟)已知向量a ＝(2，－2)，b ＝(2,1)，b ∥c ，a ·c ＝4，则|c |等于( ) A ．2 5 B ．4 C ．5 2 D ．4 2答案 A解析因为b ∥c ，所以c ＝λb ＝(2λ，λ)(λ∈R )，又a ·c ＝4λ－2λ＝2λ＝4，所以λ＝2，c ＝(4,2)，|c |＝42＋22＝2 5.3．(2022·沈阳模拟)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则a －b 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 D解析 |a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，等号左右同时平方，得|a ＋b |2＝|a －b |2＝4|a |2，即|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝4|a |2，所以a ·b ＝0且|b |2＝3|a |2，所以|a －b |＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝233|b |，所以cos 〈a －b ，b 〉＝a －b ·b|a －b ||b |＝－|b |2233|b |·|b |＝－32，因为〈a －b ，b 〉∈[0，π]，所以〈a －b ，b 〉＝5π6.4．已知a ＝(－2,1)，b ＝(k ，－3)，c ＝(1,2)，若(a －2b )⊥c ，则与b 共线的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫255，－55或⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，55B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，－55或⎝ ⎛⎭⎪⎫255，55C.⎝⎛⎭⎪⎫255，55 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，55答案 A解析由题意得a －2b ＝(－2－2k ,7)， ∵(a －2b )⊥c ， ∴(a －2b )·c ＝0，即(－2－2k ,7)·(1,2)＝0，－2－2k ＋14＝0，解得k ＝6， ∴b ＝(6，－3)， ∴e ＝±b62＋－32＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫255，－55.5．(多选)(2022·盐城模拟)下列关于向量a ，b ，c 的运算，一定成立的有( ) A ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c B ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ) C ．a ·b ≤|a |·|b | D ．|a －b |≤|a |＋|b | 答案 ACD解析根据数量积的分配律可知A 正确；选项B 中，左边为c 的共线向量，右边为a 的共线向量，故B 不正确；根据数量积的定义，可知a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉≤|a |·|b |，故C 正确；|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos〈a ，b 〉≤|a |2＋|b |2＋2|a ||b |＝(|a |＋|b |)2，故|a －b |≤|a |＋|b |，故D 正确．6．(多选)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(m －2，－n )，其中m ，n 均为正数，且(a －b )∥c ，则下列说法正确的是( ) A ．a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在b 上的投影向量为22b C ．2m ＋n ＝4 D ．mn 的最大值为2 答案 CD解析对于A ，向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，则a·b ＝2－1＝1>0，又a ，b 不共线，所以a ，b 的夹角为锐角，故A 错误；对于B ，向量a 在b 上的投影向量为a·b |b |·b |b |＝12b ，B 错误；对于C ，a －b ＝(1,2)，若(a －b )∥c ，则－n ＝2(m －2)，变形可得2m ＋n ＝4，C 正确；对于D ，由2m ＋n ＝4，且m ，n 均为正数，得mn ＝12(2m ·n )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋n 22＝2，当且仅当m ＝1，n ＝2时，等号成立，即mn 的最大值为2，D 正确．7．(2021·全国甲卷)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,0)，c ＝a ＋k b .若a ⊥c ，则k ＝________. 答案－103解析 c ＝(3,1)＋(k ,0)＝(3＋k ,1)，a ·c ＝3(3＋k )＋1×1＝10＋3k ＝0，得k ＝－103.8．(2020·全国Ⅰ)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 答案3解析将|a ＋b |＝1两边平方，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝1. ∵a 2＝b 2＝1，∴1＋2a ·b ＋1＝1，即2a ·b ＝－1. ∴|a －b |＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－－1＋1＝ 3.9．(2022·长沙模拟)在△ABC 中，BC 的中点为D ，设向量AB →＝a ，AC →＝b . (1)用a ，b 表示向量AD →；(2)若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，求AB →·AD →的值．解 (1)AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ，所以AD →＝12a ＋12b .(2)AB →·AD →＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b＝12a 2＋12a·b ＝12×32＋12×3×2×cos60°＝6，所以AB →·AD →＝6.10．(2022·湛江模拟)已知向量m ＝(3sin x ，cos x －1)，n ＝(cos x ，cos x ＋1)，若f (x )＝m·n .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在Rt△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若∠A ＝90°，f (C )＝0，c ＝3，CD 为∠BCA 的角平分线，E 为CD 的中点，求BE 的长．解 (1)f (x )＝m·n ＝3sin x ·cos x ＋cos 2x －1 ＝32sin2x ＋12cos2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－12.令2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)f (C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6－12＝0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12，又C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以C ＝π3.在△ACD 中，CD ＝233，在△BCE 中，BE ＝22＋⎝⎛⎭⎪⎫332－2×2×33×32＝213.11．(2022·黄冈质检)圆内接四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，BD 是圆的直径，则AC →·BD →等于( ) A ．12 B ．－12 C ．20 D ．－20答案 B解析如图所示，由题知∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AD ＝2，CD ＝4，∴AC →·BD →＝(AD →＋DC →)·BD → ＝AD →·BD →＋DC →·BD →＝|AD →||BD →|cos∠BDA －|DC →||BD →|cos∠BDC ＝|AD →|2－|DC →|2＝4－16＝－12.12．在△ABC 中，已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．三边均不相等的三角形答案 A解析 AB→|AB →|，AC→|AC →|分别为与AB →，AC →方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向量AB →|AB →|＋AC→|AC →|所在的直线为∠BAC 的平分线．因为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .又AB→|AB →|·AC→|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos∠BAC ＝12，所以cos∠BAC ＝12，∠BAC ＝60°.所以△ABC 为等边三角形．13.(2022·潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F 1，F 2，且F 1，F 2与水平夹角均为45°，|F 1|＝|F 2|＝102N ，则物体的重力大小为________N.答案 20解析如图所示，∵|F 1|＝|F 2|＝102N ， ∴|F 1＋F 2|＝102×2＝20N ， ∴物体的重力大小为20N.14．(2021·天津)在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE ⊥AB 且交AB 于点E ，DF ∥AB 且交AC 于点F ，则|2BE →＋DF →|的值为________；(DE →＋DF →)·DA →的最小值为________．答案 11120解析设BE ＝x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， ∵△ABC 为边长为1的等边三角形，DE ⊥AB ， ∴∠BDE ＝30°，BD ＝2x ，DE ＝3x ，DC ＝1－2x ，∵DF ∥AB ，∴△DFC 为边长为1－2x 的等边三角形，DE ⊥DF ，∴(2BE →＋DF →)2＝4BE →2＋4BE →·DF →＋DF →2＝4x 2＋4x (1－2x )×cos0°＋(1－2x )2＝1， ∴|2BE →＋DF →|＝1，∵(DE →＋DF →)·DA →＝(DE →＋DF →)·(DE →＋EA →)＝DE →2＋DF →·EA →＝(3x )2＋(1－2x )×(1－x )＝5x 2－3x ＋1＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3102＋1120， ∴当x ＝310时，(DE →＋DF →)·DA →的最小值为1120.15．(多选)定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论，正确的是( ) A ．a ⊗b ＝b ⊗aB ．λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )C ．(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗cD ．若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1 答案 AD解析当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a ·b ＝b ·a ＝b ⊗a ，故A 正确；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故B 错误；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a ·c ＋b ·c ，显然|a ＋b －c |≠a ·c ＋b ·c ，故C 错误；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a ·e |<|a |·|e |<|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故D 正确．16．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝ (cos B ，cos A )，m ·n ＝sin2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c . 解 (1)m ·n ＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )，在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ,0<C <π，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以m·n ＝sin C ，又m·n ＝sin2C ，所以sin2C ＝sin C ，cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，故C ＝π3. (2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b .21 因为CA →·(AB →－AC →)＝18，所以CA →·CB →＝18，即ab cos C ＝18，ab ＝36. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ，所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36，所以c ＝6.。

高考数学一轮总复习复数的几何意义与共轭复数

高考数学一轮总复习复数的几何意义与共轭复数高考数学一轮总复习：复数的几何意义与共轭复数复数是数学中一个重要的概念，对于高考数学来说，复数的几何意义和共轭复数是重要的知识点。

本文将介绍复数的概念、复数的几何意义以及共轭复数，并探讨它们在高考数学中的应用。

一、复数的概念复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i^2 = -1。

复数包括实数和纯虚数，实部为零时为纯虚数。

二、复数的几何意义复数可以用平面上的点来表示，实部和虚部分别对应点的横坐标和纵坐标。

例如，复数2+3i对应平面上的一个点，其横坐标为2，纵坐标为3，可以表示为(2,3)。

利用这种表示方法，我们可以将复数的加法、减法、乘法和除法转化为平面上点的运算。

两个复数的加法相当于将它们对应的点进行平移，减法相当于对点进行反向平移，乘法相当于对点进行旋转和缩放，除法相当于对点进行旋转和缩放再取倒数。

三、共轭复数给定复数z=a+bi，其共轭复数z*=a-bi。

共轭复数与原复数在平面上关于实轴对称，即对应的两个点关于实轴对称。

共轭复数有以下性质：1. 两个复数的和的共轭等于它们的共轭的和，即(z+w)* = z* + w*2. 两个复数的差的共轭等于它们的共轭的差，即(z-w)* = z* - w*3. 两个复数的积的共轭等于它们的共轭的积，即(zw)* = z*w*4. 一个复数的共轭的共轭等于它本身，即(z*)* = z共轭复数在复数的除法和复数方程的求解中起到重要的作用，能简化计算过程。

四、复数在高考数学中的应用1. 解方程：利用复数的概念和运算，我们可以解决一些在实数范围内无解的方程。

例如，方程x^2+1=0在实数范围内无解，但引入复数后，可得到两个解：x=±i。

2. 平面几何：复数可以表示平面上的点，通过复数的运算，可以进行平面几何的计算。

例如，两点间的距离可以用它们对应的复数表示，并使用模的概念计算。

专题09：复数知识点及典型例题(解析版)-2022年高考数学一轮复习课件+知识清单+练习题

A． 4 2i
12．A 【分析】
B． 4 2i
利用复数的加法法则直接计算即可.
C．1 4i
D．1 5i
【详解】
(3 4i) (1 2i) 3 1 4 2 i 4 2i .
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的加法运算，属于基础题.
13．如图，在复平面内，若复数 z1 ， z2 对应的向量分别是 OA ，OB ，则复数
zm zn zmn , (zm )n zmn , (z1z2 )n z1n z2n
15．复数 z 2 i1 2i 在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
15．A
【分析】
利用复数的乘法化简复数 z ，利用复数的乘法可得出结论.
【详解】
z 2 i1 2i 2 3i 2i2 4 3i ，
D．1 3i
7．A
【分析】
由图形得复数对应点的坐标，利用复数的运算法则求解.
【详解】
由题意可得
z
1i
，所以 z
4 =1 i+ 4
z
1i
1 i 21 i 3 i .
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的运算、几何意义，属于基础题.
8．在复平面内，若表示复数 z m2 1 1 i 的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是（） m
z 2i，
则 z 的虚部是 1．
故选： B ．
21．设复数
z
1 i2020 1i
（其中
i
为虚数单位），则
z
在复平面内对应的点所在象限为（
）
A．第四象限 21．A
B．第三象限
C．第二象限

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大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（新高考卷与新课标理科卷）专题02复数1．【2022年全国甲卷理科01】若z =−1+√3i ，则zzz ̅−1=（） A ．−1+√3iB ．−1−√3iC ．−13+√33iD ．−13−√33i【解析】z ̅=−1−√3i ，zz ̅=(−1+√3i)(−1−√3i)=1+3=4. z zz ̅−1=−1+√3i3=−13+√33i ，故选：C2．【2022年全国乙卷理科02】已知z =1−2i ，且z +az ̅+b =0，其中a ，b 为实数，则（） A ．a =1,b =−2B ．a =−1,b =2C ．a =1,b =2D ．a =−1,b =−2【解析】z ̅=1+2i ，z +az ̅+b =1−2i +a(1+2i)+b =(1+a +b)+(2a −2)i ，由z +az̅+b =0，得{1+a +b =02a −2=0，即{a =1b =−2，故选：A3．【2022年新高考1卷02】若i (1−z)=1，则z +z ̅=（） A ．−2B ．−1C ．1D ．2【解析】由题设有1−z =1i=i i2=−i ，故z =1+i ，故z +z ̅=(1+i)+(1−i)=2，故选：D4．【2022年新高考2卷02】(2+2i)(1−2i)=（） A ．−2+4i B ．−2−4i C ．6+2i D ．6−2i【解析】(2+2i)(1−2i)=2+4−4i +2i =6−2i ，故选：D.5．【2021年全国甲卷理科3】已知(1−i)2z =3+2i ，则z =（） A ．−1−32iB ．−1+32iC ．−32+iD ．−32−i【解析】(1−i)2z =−2iz =3+2i ，z =3+2i −2i=(3+2i)⋅i −2i⋅i=−2+3i 2=−1+32i . 故选：B.6．【2021年新高考1卷2】已知z =2−i ，则z(z ̅+i)=（） A ．6−2iB ．4−2iC ．6+2iD ．4+2i【解析】因为z =2−i ，故z ̅=2+i ，故z (z ̅+i )=(2−i )(2+2i )=4+4i −2i −2i 2=6+2i ，故选：C.7．【2021年全国乙卷理科1】设2(z +z ̅)+3(z −z ̅)=4+6i ，则z =（） A ．1−2iB ．1+2iC ．1+iD ．1−i【解析】设z =a +bi ，则z ̅=a −bi ，则2(z +z ̅)+3(z −z ̅)=4a +6bi =4+6i ，∴{4a =46b =6，解得a =b =1，因此，z =1+i . 故选：C.真题汇总8．【2021年新高考2卷1】复数2−i 1−3i在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】2−i 1−3i=(2−i)(1+3i)10=5+5i 10=1+i 2，所以该复数对应的点为(12,12)，该点在第一象限，故选：A.9．【2020年全国1卷理科01】若z=1+i ，则|z 2–2z|=（） A ．0 B ．1 C ．√2 D ．2【解析】由题意可得：z 2=(1+i )2=2i ，则z 2−2z =2i −2(1+i )=−2. 故|z 2−2z |=|−2|=2. 故选：D10．【2020年全国3卷理科02】复数11−3i的虚部是（）A ．−310 B ．−110 C ．110 D ．310【解析】因为z =11−3i=1+3i (1−3i)(1+3i)=110+310i ，所以复数z =11−3i的虚部为310. 故选：D.11．【2020年山东卷02】2−i1+2i =（） A ．1B ．−1C ．iD ．−i【解析】2−i 1+2i=(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i 5=−i ，故选：D12．【2020年海南卷02】2−i 1+2i=（）A ．1B ．−1C ．iD ．−i【解析】2−i 1+2i=(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i 5=−i ，故选：D13．【2019年新课标3理科02】若z （1+i ）＝2i ，则z ＝（） A ．﹣1﹣i B ．﹣1+i C ．1﹣iD ．1+i【解析】由z （1+i ）＝2i ，得z =2i 1+i=2i(1−i)2＝1+i ．故选：D ．14．【2019年全国新课标2理科02】设z ＝﹣3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】∵z ＝﹣3+2i ，∴z =−3−2i ，∴在复平面内z 对应的点为（﹣3，﹣2），在第三象限．故选：C ．15．【2019年新课标1理科02】设复数z 满足|z ﹣i|＝1，z 在复平面内对应的点为（x ，y ），则（） A ．（x+1）2+y 2＝1B ．（x ﹣1）2+y 2＝1C ．x 2+（y ﹣1）2＝1D ．x 2+（y+1）2＝1【解析】∵z 在复平面内对应的点为（x ，y ），∴z ＝x+yi ，∴z ﹣i ＝x+（y ﹣1）i ，∴|z ﹣i|=√x 2+(y −1)2=1， ∴x 2+（y ﹣1）2＝1，故选：C ．16．【2018年新课标1理科01】设z =1−i1+i +2i ，则|z|＝（） A ．0B ．12C ．1D ．√2【解析】z =1−i 1+i+2i =(1−i)(1−i)(1−i)(1+i)+2i ＝﹣i+2i ＝i ，则|z|＝1．故选：C ．17．【2018年新课标2理科01】1+2i 1−2i =（）A ．−45−35i B ．−45+35i C ．−35−45i D ．−35+45i【解析】1+2i 1−2i=(1+2i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−35+45i ．故选：D ．18．【2018年新课标3理科02】（1+i ）（2﹣i ）＝（） A ．﹣3﹣i B ．﹣3+i C ．3﹣i D ．3+i【解析】（1+i ）（2﹣i ）＝3+i ．故选：D ．19．【2017年新课标1理科03】设有下面四个命题 p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1=z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z∈R ．其中的真命题为（） A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4【解析】若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ，故命题p 1为真命题； p 2：复数z ＝i 满足z 2＝﹣1∈R ，则z ∉R ，故命题p 2为假命题；p 3：若复数z 1＝i ，z 2＝2i 满足z 1z 2∈R ，但z 1≠z 2，故命题p 3为假命题； p 4：若复数z ∈R ，则z =z ∈R ，故命题p 4为真命题．故选：B ．20．【2017年新课标2理科01】3+i 1+i=（）A ．1+2iB ．1﹣2iC ．2+iD ．2﹣i【解析】3+i 1+i=(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−2i 2=2﹣i ，故选：D ．21．【2017年新课标3理科02】设复数z 满足（1+i ）z ＝2i ，则|z|＝（） A ．12B ．√22C ．√2D ．2 【解析】∵（1+i ）z ＝2i ，∴（1﹣i ）（1+i ）z ＝2i （1﹣i ），z ＝i+1．则|z|=√2．故选：C ．22．【2016年新课标1理科02】设（1+i ）x ＝1+yi ，其中x ，y 是实数，则|x+yi|＝（） A ．1B ．√2C ．√3D ．2【解析】∵（1+i ）x ＝1+yi ，∴x+xi ＝1+yi ，即{x =1y =x ，解得{x =1y =1，即|x+yi|＝|1+i|=√2，故选：B ．23．【2016年新课标2理科01】已知z ＝（m+3）+（m ﹣1）i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（） A ．（﹣3，1）B ．（﹣1，3）C ．（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣3）【解析】z ＝(m +3)+(m ﹣1)i 在复平面内对应的点在第四象限，可得：{m +3＞0m −1＜0，解得﹣3＜m ＜1．故选：A ．24．【2016年新课标3理科02】若z ＝1+2i ，则4i z⋅z−1=（）A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i【解析】z ＝1+2i ，则zz−14i(1+2i)(1−2i)−1=4i 5−1=i ．故选：C ．25．【2015年新课标1理科01】设复数z 满足1+z 1−z=i ，则|z|＝（）A ．1B ．√2C ．√3D ．2【解析】∵复数z 满足1+z 1−z=i ，∴1+z ＝i ﹣zi ，∴z （1+i ）＝i ﹣1，∴z =i−1i+1=i ，∴|z|＝1，故选：A ．26．【2015年新课标2理科02】若a 为实数，且（2+ai ）（a ﹣2i ）＝﹣4i ，则a ＝（） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．2【解析】∵（2+ai ）（a ﹣2i ）＝﹣4i ，∴4a+（a 2﹣4）i ＝﹣4i ，4a ＝0，并且a 2﹣4＝﹣4，∴a ＝0；故选：B27．【2014年新课标1理科02】(1+i)3(1−i)2=（）A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i【解析】(1+i)3(1−i)2=2i(1+i)−2i=−（1+i ）＝﹣1﹣i ，故选：D ．28．【2014年新课标2理科02】设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2+i ，则z 1z 2＝（） A ．﹣5 B ．5C ．﹣4+iD ．﹣4﹣i【解析】z 1＝2+i 对应的点的坐标为（2，1），∵复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z 2＝﹣2+i ，则z 1z 2＝（2+i ）（﹣2+i ）＝i 2﹣4＝﹣1﹣4＝﹣5，故选：A ．29．【2013年新课标1理科02】若复数z 满足（3﹣4i ）z ＝|4+3i|，则z 的虚部为（） A ．﹣4 B ．−45C ．4D ．45【解析】∵复数z 满足（3﹣4i ）z ＝|4+3i|，∴z =|4+3i|3−4i=53−4i=5(3+4i)25=35+45i ，故z 的虚部等于45，故选：D30．【2013年新课标2理科02】设复数z满足（1﹣i）z＝2i，则z＝（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【解析】∵复数z满足z（1﹣i）＝2i，∴z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i，故选：A．31．【2020年全国2卷理科15】设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1+z2=√3+i，则|z1−z2|=__________.【解析】∵|z1|=|z2|=2，可设z1=2cosθ+2sinθ⋅i，z2=2cosα+2sinα⋅i，∴z1+z2=2(cosθ+cosα)+2(sinθ+sinα)⋅i=√3+i，∴{2(cosθ+cosα)=√32(sinθ+sinα)=1，两式平方作和得：4(2+2cosθcosα+2sinθsinα)=4，化简得：cosθcosα+sinθsinα=−12，∴|z1−z2|=|2(cosθ−cosα)+2(sinθ−sinα)⋅i|=√4(cosθ−cosα)2+4(sinθ−sinα)2=√8−8(cosθcosα+sinθsinα)=√8+4=2√3. 故答案为：2√3.1. 已知复数z满足(1−i)(1+z)=2−i，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵(1−i)(1+z)=2−i，∴z=2−i1−i −1=11−i，∴z=1(1+i)(1−i)(1+i)=12+12i，∴复数z在复平面内对应的点为(12，12)，故复数z在复平面内对应的点在第一象限，故选：A.2．已知z+iz−i=2i（i为虚数单位），则z̅=（）A．45+35iB．35−45iC．35+45iD．45−35i【解析】由题设z+i=2z i−2i2=2z i+2，则(2i−1)z=i−2，所以z=i−22i−1=(i−2)(2i+1)(2i−1)(2i+1)=4+3i5，故z̅=4−3i5. 故选：D3．已知复数a2−4+(a−2)i是纯虚数（i为虚数单位），则a=（）A．2或−2B．2C．−2D．0【解析】因为复数a2−4+(a−2)i是纯虚数，所以a2−4=0且a≠2，所以a=−2．故选：C.4．已知复数z=1+i，则|z2+z|=（）A．√10B．4C．3√2D．10【解析】复数z=1+i，则z2=(1+i)2=2i，故|z2+z|=|1+3i|=√12+32=√10，故选：A5．在复平面内，复数z=1−2ii对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】z=1−2ii =(1−2i)⋅(−i)i⋅(−i)=−2−i，所以复数z在复平面上的对应点为(−2,−1)，该点在第三象限. 故选：C 模拟好题6．已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(−1,2)，则1+3iz−i=（）A．−2−2i B．1−i C．2+2i D．1−2i【解析】由题意得z=−1+2i，所以1+3iz−i =(1+3i)(−1−i)(−1+i)(−1−i)=2−4i2=1−2i. 故选：D.7．设z1,z2为复数，z1,z2分别是z1,z2的共轭复数，满足z1⋅z2=|z1|2，则下列一定成立的是（）A．z1=z2B．z1=z2C．z2=0D．z2=z2【解析】设z1=a+bi(a,b∈R)，则z2=|a+bi|2a+bi =a2+b2a+bi=(a2+b2)(a−bi)a2+b2=a−bi，所以C错，z2=a+bi，当b≠0时，z1≠z2，z2≠z2，A错，D错，z1=a−bi=z2，B对，故选：B.8．已知i为虚数单位，a为实数，复数z=a−2i1−i在复平面内对应的点在y轴上，则a的值是（）A．-2B．−12C．12D．2【解析】由z=a−2i1−i =(a−2i)(1+i)(1−i)(1+i)=a+2+(a−2)i2=a+22+(a−2)i2，因为复数z在复平面内对应的点在y轴上，所以a+22=0,a−22≠0，则a=−2，故选：A9．已知复数z̅=1+3i，则1z=（）A．110+310i B．110−310i C．−110+310i D．−110−310i【解析】因为z̅=1+3i，所以z=1−3i，所似1z =11−3i=1+3i(1−3i)(1+3i)=1+3i10=110+310i．故选A．10．在复平面上表示复数z的点在直线x−y=0上，若z是实系数一元二次方程x2+mx+4=0的根，则m=（）A．√2或−√2B．√2或2√2C．2√2或−2√2D．−√2或−2√2【解析】设z=a+ai(a∈R)，则(a+ai)2+m(a+ai)+4=0，化简2a2i+ma+mai+4=0，即(ma+4)+(ma+2a2)i=0，所以{ma+4=0ma+2a2=0，解得m=2√2或−2√2，故选：C.11．已知复数z1,z2，则下列说法正确的是（）A．若|z1|=|z2|，则z1=±z2B．若z12=z22，则|z1|=|z2|C．若|z1|>|z2|，则z1>z2D．若(z1+z2)(z1−z2)=0，则z12=z22【解析】对于A，若z1=1+i,z2=√2i，则满足|z1|=|z2|=√2，而不满足z1=±z2，所以A错误，对于B，由z12=z22，得z12−z22=(z1+z2)(z1−z2)=0，所以z1+z2=0或z1−z2=0，所以z1=−z2或z1=z2，所以|z1|=|z2|，所以B正确，对于C，因为两个虚数的模可以比较大小，而两个虚数不能比较大小，所以C错误，对于D，由(z1+z2)(z1−z2)=0，得z12−z22=0，所以z12=z22，所以D正确，故选：BD12．在复数范围内，下列命题不正确的是（）A．若z是非零复数，则z−z不一定是纯虚数B．若复数z满足z2=−|z2|，则z是纯虚数C．若z12+z22=0，则z1=0且z2=0D．若z1，z2为两个复数，则z1−z2一定是实数【解析】对于A，设z=a+bi(a，b∈R)，z=a−bi，z−z=2bi，但有可能b=0，就不一定是纯虚数，故A正确；对于B，设z=a+bi(a，b∈R)，z2=a2−b2+2abi，|z2|=√(a2−b2)2+4a2b2=a2+b2，由条件可知z2=−|z2|，即a2−b2+2abi=−(a2+b2)，所以{a 2=−a22ab=0，因为a，b可同时为0，所以z不一定是纯虚数，故B错误；对于C，若z1=1，z2=i，z12+z22=0，故C错误；对于D，设z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R)，则z2=c−di，所以z1−z2=(a−c)+(b+d)i不一定是实数，故D不正确．故选：BCD．13．已知z1，z2均为复数，则下列结论中正确的有（）A．若|z1|=|z2|，则z1=±z2B．若z1=z2，则z1+z2是实数C．(z1−z2)2=|z1−z2|2D．若z1+z2=0，则z1z2是实数【解析】z1=1，z2=−i，|z1|=|z2|而z1≠±z2，A错．令z1=a+bi，则z2=a−bi，z1+z2=2a为实数，B对．z1=1，z2=i，(z1−z2)2=−2i，|z1−z2|2=2，则(z1−z2)2≠|z1−z2|2，C错．令z1=a+bi，则z2=−a−bi，z2=−a+bi，z1⋅z2=(a+bi)(−a+bi)=−a2−b2为实数，D对，故选：BD14．已知复数z满足方程(z2−4)(z2−4z+5)=0，则（）A．z可能为纯虚数B．方程各根之和为4 C．z可能为2−i D．方程各根之积为−20【解析】由(z2−4)(z2−4z+5)=0，得z2−4=0或z2−4z+5=0，即z2=4或(z−2)2=−1，解得：z=±2或z=2±i，显然A错误，C正确；各根之和为−2+2+(2+i)+(2−i)=4，B正确各根之积为−2×2×(2+i)(2−i)=−20，D正确，故选：BCD.15．复数z满足z=2−i（其中i为虚数单位），则|z|=__________．【解析】由已知可得|z|=√22+(−1)2=√5. 故答案为：√5.16．已知i为虚数单位，则复数z=|1+2i|2+i___________.【解析】z=|1+2i|2+i =√12+22⋅1(2+i)=√5⋅2−i(2+i)(2−i)=√5⋅2−i5=2√55−√55i，故答案为：2√55−√55i.17．已知复数z=1−√3i，则z⋅z＝________．【解析】z=√3i)(1−√3i)(1+√3i)−√3+i4，故z⋅z=−√3+i4⋅−√3−i4=3+116=14，故答案为：1418．若1−√3i （i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程x 2+bx +c =0的一个复数根，则c b =_________．【解析】∵实系数一元二次方程x 2+bx +c =0的一个虚根为1−√3i ，∴其共轭复数1+√3i 也是方程的根. 由根与系数的关系知，{(1−√3i)+(1+√3i)=−b (1−√3i)(1+√3i)=c，∴ b =−2，c =4. ∴c b =4−2=116，故答案为：11619．如果复数z 满足|z +1−i |=2，那么|z −2+i |的最大值是______ ．【解析】设复数z 在复平面中对应的点为Z ，∵|z +1−i |=2，则点Z 到点C (−1,1)的距离为2，即点Z 的轨迹为以C 为圆心，半径为2的圆，|z −2+i |表示点Z 到点A (2,−1)的距离，结合图形可得|ZA |≤|AC |+2=2+√13，故答案为：2+√13．20．i 是虚数单位，则1+i3+4i的虚部为__________．【解析】1+i3+4i =(1+i )(3−4i )(3+4i )(3−4i )=3−i−4i 232−16i 2=725−125i ，则虚部为−125. 故答案为：−125.21．已知i 是虚数单位，复数z 满足1+z 2i=−11+i ，则z =________．【解析】因为1+z 2i=−11+i，所以z =−2i1+i −1=−2i(1−i)(1+i(1−i)−1=−(i −i 2)−1=−2−i ．故答案为：−2−i ．22．已知i 为虚数单位，则复数z =−1+2i 1+i的实部为______．【解析】z =−1+2i 1+i=(2i−1)(1−i)(1+i)(1−i)=3i+12，所以实部为12. 故答案为：1223．设复数z =a +bi(a,b >0，a,b ∈R)，若复数z(1+i)对应的点在直线x +3y −2=0上，则2a +1b 的最小值为___________【解析】z(1+i)=(a +bi)(1+i)=(a −b)+(a +b)i ,故复数对应的点的坐标为(a −b,a +b) ，又因为点在直线x +3y −2=0，∴(a −b)+3(a +b)−2=0 ，整理得：2a +b =12a+1b=(2a+1b)(2a +b)=5+2b a+2a b≥5+2√2b a·2a b=9 ，当且仅当2b a =2a b时，即a =b 时等号成立，即2a +1b 的最小值为9，故答案为：924．若复数z =2i 1+i，则z 在复平面内对应的点在第______象限．【解析】因为z =2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i(1−i)2=1+i ，所以z 在复平面内对应的点(1,1)在第一象限. 故答案为：一。

高考数学一轮复习第五章平面向量、复数课时规范练27复数

课时规范练27 复数基础巩固组1.(2020江西九江高三二模)已知复数z 满足z (3-i)=10,则z=( )A.-3-i B .-3+i C .3-i D .3+i 2.(2019北京,理1)已知复数z=2+i,则z ·z =( )A.√3B.√5C.3D.53.(2020福建福州高三质量检测)设复数z 满足|z+1|=|z-i |,z 在复平面内对应的点为(x ,y ),则( )A.x=0 B .y=0 C .x-y=0D .x+y=04.(多选)对任意z 1,z 2,z ∈C ,下列结论成立的是( ) A.当m ,n ∈N *时,有z m z n =z m+nB.当z 1,z 2∈C 时,若z 12+z 22=0,则z 1=0且z 2=0C.互为共轭复数的两个复数的模相等,且|z |2=|z|2=z ·zD.z 1=z 2的充要条件是|z 1|=|z 2|5.(多选)已知i 为虚数单位,则下列结论正确的是( ) A.复数z=1+2i1-i 的虚部为32 B.复数z=2+5i -i 的共轭复数z =-5-2iC.复数z=12−12i 在复平面内对应的点位于第二象限 D.复数z 满足1z ∈R ,则z ∈R 6.复数z=1-2i,则z 2+3z -1=()A.2iB.-2C.-2iD.27.已知复数z=a+i(其中a ∈R ),则下面结论正确的是( )A.z =-a+iB.|z|≥1C.z 一定不是纯虚数D.z 在复平面内对应的点可能在第三象限8.(2020湖南怀化高三一模)已知i 是虚数单位,复数z=1-ii −12,则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限9.(2020江苏,2)已知i 是虚数单位,则复数z=(1+i)(2-i)的实部是 . 10.(2020辽宁沈阳期末)已知复数z 满足等式|z-i |=1,则|z-1|的最大值为 .综合提升组11.(2020浙江杭州高三质检)已知复数z 满足i =1-2zz -7,则|z|=( ) A.2B .√5C .2√2D .√1012.(多选)(2020江苏江都仙城中学高三月考)下面是关于复数z=2-1+i (i 为虚数单位)的命题,其中真命题有 ( )A.|z|=2B.z 2=2iC.z 的共轭复数为1+iD.若|z 0-z|=1,则|z 0|的最大值为√2+113.(2020湖南常德高三模拟)已知复数z 满足|z+i |=1,且|z|=2,则z=( ) A.1+i B .-1+iC .-2iD .2i14.(2020湖南衡阳高三一模)复数z 在复平面内所对应的点的坐标为(1,1),则|z |z的实部与虚部的和是( ) A.√2 B .0 C .√22D .√22−√22i15.(2020山东聊城二模)在复数范围内,实系数一元二次方程一定有根,已知方程x 2+ax+b=0(a ∈R ,b ∈R )的一个根为1+i(i 为虚数单位),则a1+i =( ) A.1-i B.-1+iC.2iD.2+i创新应用组16.(多选)(2020山东济南高三考前模拟)已知复数z=1+cos 2θ+isin 2θ-π2<θ<π2,则下列说法正确的是( )A.复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B.z 可能为实数C.|z|=2cos θD.1z 的实部为1217.国际数学教育大会(ICME)是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议,第十四届大会将在上海召开,其会标如图,包含着许多数学元素.主画面是非常优美的几何化的中心对称图形,由弦图、圆和螺线组成,主画面标明的ICME-14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744,也可以读出其二进制码(0)11111100100,换算成十进制的数是n ,则(1+i)2n = ,(1+i √2)n= .参考答案课时规范练27 复数1.D z=103-i =10(3+i )(3-i )(3+i )=3+i,故选D . 2.D ∵z=2+i,∴z =2-i .∴z ·z =(2+i)(2-i)=5. 故选D .3.D 复数z 满足|z+1|=|z-i |,∴√(x +1)2+y 2=√x 2+(y -1)2,化简得x+y=0,故选D .4.AC 由复数乘法的运算律知,A 正确;取z 1=1,z 2=i,满足z 12+z 22=0,但z 1=0且z 2=0不成立,故B 错误;由复数的模及共轭复数的概念知结论成立,故C 正确; 由z 1=z 2能推出|z 1|=|z 2|, 但|z 1|=|z 2|推不出z 1=z 2,因此z 1=z 2的必要不充分条件是|z 1|=|z 2|,故D 错误.故选AC .5.ABD 对于A,z=1+2i1-i =(1+2i )(1+i )(1-i )(1+i )=-12+32i,其虚部为32,故A 正确;对于B,z=2+5i-i =(2+5i)i =-5+2i,故z =-5-2i,故B 正确;对于C,z=12−12i 在复平面内对应点的坐标为12,-12,位于第四象限,故C 不正确;对于D,设z=a+b i(a ,b ∈R ),则1z =1a+bi =a -bia 2+b 2,又1z ∈R ,得b=0,所以z=a ∈R ,故D 正确.故选ABD.6.D ∵z=1-2i,∴z 2+3z -1=(1-2i )2+31-2i -1=-4i-2i =2,故选D .7.B z 的共轭复数为z =a-i,故A 错误;|z|=√a 2+1≥1,故B 正确;当a=0时,z=i 为纯虚数,故C 错误;因为z 的虚部为1,所以z 在复平面内对应的点不可能在第三象限,故D 错误.故选B .8.C∵z=1-i i −12=i -i 2i2−12=i+1-1−12=-32-i,∴复数z=1-i i −12在复平面内对应的点的坐标为-32,-1,位于第三象限,故选C .9.3 z=(1+i)(2-i)=3+i,实部是3. 10.√2+1 因为|z-i |=1,所以复数z 在复平面内对应的点是以(0,1)为圆心,1为半径的圆,如图所示,则|z-1|的最大值为圆心(0,1)到点A (1,0)的距离加1,即√(0-1)2+(1-0)2+1=√2+1. 11.D 由i =1-2zz -7,得z i -7i =1-2z ,即z=1+7i 2+i=(1+7i )(2-i )(2+i )(2-i )=9+13i 5=95+13i 5,所以|z|=√(95)2+(135)2=√10.故选D .12.BD 由题z=2-1+i =2(-1-i )(-1+i )(-1-i )=-2-2i2=-1-i,其共轭复数为-1+i,所以|z|=√2,z 2=1+i 2+2i =2i,若|z 0-z|=1,设z 0=a+b i,则(a+1)2+(b+1)2=1,即(a ,b )是圆(x+1)2+(y+1)2=1上的点,|z 0|=√a 2+b 2可以看成圆(x+1)2+(y+1)2=1上的点到原点的距离,最大值为√2+1,所以正确的命题为BD.13.C (方法1 赋值法)将A,B,C,D 四个选项中的值代入题目条件验算,可知C 选项为正确答案.(方法2)设z=a+b i(a ,b ∈R ), ∵|z+i |=1,|z|=2,∴{a 2+b 2=4,a 2+(b +1)2=1,∴{a =0,b =-2,∴z=-2i,故选C .14.B 由题意可得,z=1+i,z =1-i,则|z|=|z |=√2,∴|z |z =√21+i =√2(1-i )(1+i )(1-i )=√22−√22i,所以|z |z 的实部为√22,虚部为-√22,故实部和虚部的和为0,故选B . 15.B ∵x 1=1+i 是关于x 的实系数一元二次方程x 2+ax+b=0的一个根,∴x 2=1-i 也是此方程的一个根,∴a=-(x 1+x 2)=-(1+i +1-i)=-2. 所以a1+i =-21+i =-2(1-i )(1+i )(1-i )=-1+i .故选B .16.BCD 因为-π2<θ<π2,所以-π<2θ<π,所以-1<cos 2θ≤1,所以0<1+cos 2θ≤2,故A 错误;当sin 2θ=0,θ=0∈-π2,π2时,复数z 是实数,故B 正确;|z|=√(1+cos2θ)2+(sin2θ)2=√2+2cos2θ=2cos θ,故C 正确;1 z =11+cos2θ+isin2θ=1+cos2θ-isin2θ(1+cos2θ+isin2θ)(1+cos2θ-isin2θ)=1+cos2θ-isin2θ2+2cos2θ,则1z的实部是1+cos2θ2+2cos2θ=12,故D正确.故选BCD.17.-22 020-1∵11111100100=1×210+1×29+1×28+1×27+1×26+1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+0×20=2 020.∴(1+i)2n=(2i)2 020=-22 020.(√2)n=(√2)2020=(√2)2×1010=i1 010=-1.。

2023年高考数学一轮复习第五章平面向量与复数1平面向量的概念及线性运算练习含解析

平面向量的概念及线性运算考试要求 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ———→＝A 1A n —→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF →＝12(OA →＋OB →)．3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP →＝13(AB →＋AC →)．4．若OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 5．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关．( √ ) (2)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .( × )(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．( √ ) 教材改编题1．(多选)下列命题中，正确的是( ) A ．若a 与b 都是单位向量，则a ＝b B ．直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量C ．若用有向线段表示的向量AM →与AN →不相等，则点M 与N 不重合 D ．海拔、温度、角度都不是向量答案 CD解析 A 错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；B 错误，由于只有方向，没有大小，故x 轴、y 轴不是向量；C 正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；D 正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量．2．下列各式化简结果正确的是( ) A.AB →＋AC →＝BC → B.AM →＋MB →＋BO →＋OM →＝AM → C.AB →＋BC →－AC →＝0 D.AB →－AD →－DC →＝BC →3．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 答案－13解析由题意知存在k ∈R ，使得a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，λ＝－13.题型一向量的基本概念例1 (1)(多选)给出下列命题，不正确的有( ) A ．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形 C ．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥bD ．已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线答案 ACD解析 A 错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B 正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；C 错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；D 错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． (2)如图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →教师备选(多选)下列命题为真命题的是( )A ．若a 与b 为非零向量，且a ∥b ，则a ＋b 必与a 或b 平行B ．若e 为单位向量，且a ∥e ，则a ＝|a |eC ．两个非零向量a ，b ，若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线且反向D ．“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件答案 ACD思维升华平行向量有关概念的四个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． (4)a|a |是与a 同方向的单位向量．跟踪训练1 (1)(多选)下列命题正确的是( ) A ．零向量是唯一没有方向的向量 B ．零向量的长度等于0C ．若a ，b 都为非零向量，则使a |a |＋b|b |＝0成立的条件是a 与b 反向共线D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c 答案 BCD解析 A 项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误； B 项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B 正确；C 项，因为a |a |与b |b |都是单位向量，所以只有当a |a |与b|b |是相反向量，即a 与b 是反向共线时才成立，故C 正确；D 项，由向量相等的定义知D 正确．(2)对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，则a ∥b ，即充分性成立；若a ∥b ，则a ＝－b 不一定成立，即必要性不成立，即“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件．题型二平面向量的线性运算命题点1 向量加、减法的几何意义例 2 (2022·济南模拟)已知单位向量e 1，e 2，…，e 2023，则|e 1＋e 2＋…＋e 2023|的最大值是________，最小值是________．答案 2023 0解析当单位向量e 1，e 2，…，e 2023方向相同时， |e 1＋e 2＋…＋e 2023|取得最大值，|e 1＋e 2＋…＋e 2023|＝|e 1|＋|e 2|＋…＋|e 2023|＝2023；当单位向量e 1，e 2，…，e 2023首尾相连时，e 1＋e 2＋…＋e 2023＝0，所以|e 1＋e 2＋…＋e 2023|的最小值为0. 命题点2 向量的线性运算例3 (多选)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ，E 是BC 边上一点，且BC →＝3EC →，F 是AE 的中点，则下列关系式正确的是( )A.BC →＝－12AB →＋AD →B.AF →＝13AB →＋13AD →C.BF →＝－13AB →＋23AD →D.CF →＝－16AB →－23AD →答案 ABD解析因为BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝－12AB →＋AD →，所以选项A 正确；因为AF →＝12AE →＝12(AB →＋BE →)＝12⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋23BC →，而BC →＝－12AB →＋AD →，代入可得AF →＝13AB →＋13AD →，所以选项B 正确；因为BF →＝AF →－AB →，而AF →＝13AB →＋13AD →，代入得BF →＝－23AB →＋13AD →，所以选项C 不正确；因为CF →＝CD →＋DA →＋AF →＝－12AB →－AD →＋AF →，而AF →＝13AB →＋13AD →，代入得CF →＝－16AB →－23AD →，所以选项D 正确．命题点3 根据向量线性运算求参数例4 (2022·青岛模拟)已知平面四边形ABCD 满足AD →＝14BC →，平面内点E 满足BE →＝3CE →，CD与AE 交于点M ，若BM →＝xAB →＋yAD →，则x ＋y 等于( ) A.52 B ．－52C.43 D ．－43答案 C解析如图所示，易知BC ＝4AD ，CE ＝2AD ，BM →＝AM →－AB → ＝13AE →－AB →＝13(AB →＋BE →)－AB → ＝13(AB →＋6AD →)－AB → ＝－23AB →＋2AD →，∴x ＋y ＝43.教师备选1．(2022·太原模拟)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，若点O 满足AO →＝2OD →，则OC →等于( ) A.－13AB →＋23AC →B.23AB →－13AC →C.13AB →－23AC →D.－23AB →＋13AC →答案 A解析如图所示，∵D 为BC 的中点， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∵AO →＝2OD →，∴AO →＝23AD →＝13AB →＋13AC →，∴OC →＝AC →－AO →＝AC →－⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋13AC →＝－13AB →＋23AC →.2．(2022·长春调研)在△ABC 中，延长BC 至点M 使得BC ＝2CM ，连接AM ，点N 为AM 上一点且AN →＝13AM →，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ等于( )A.13B.12 C ．－12D ．－13答案 A解析由题意，知AN →＝13AM →＝13(AB →＋BM →)＝13AB →＋13×32BC →＝13AB →＋12(AC →－AB →) ＝－16AB →＋12AC →，又AN →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝－16，μ＝12，则λ＋μ＝13.思维升华平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义． (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练2 (1)点G 为△ABC 的重心，设BG →＝a ，GC →＝b ，则AB →等于( ) A ．b －2a B.32a －12b C.32a ＋12b D ．2a ＋b答案 A解析如图所示，由题意可知 12AB →＋BG →＝12GC →，故AB →＝GC →－2BG →＝b －2a .(2)(2022·大连模拟)在△ABC 中，AD →＝2DB →，AE →＝2EC →，P 为线段DE 上的动点，若AP →＝λAB →＋μAC →，λ，μ∈R ，则λ＋μ等于( )A ．1B.23C.32D ．2答案 B解析如图所示，由题意知， AE →＝23AC →，AD →＝23AB →，设DP →＝xDE →，所以AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋xDE → ＝AD →＋x (AE →－AD →) ＝xAE →＋(1－x )AD → ＝23xAC →＋23(1－x )AB →，所以μ＝23x ，λ＝23(1－x )，所以λ＋μ＝23x ＋23(1－x )＝23.题型三共线定理及其应用例5 设两向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ， CD →＝3(a －b )．∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a ，b 是不共线的两个向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1. 教师备选1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，且满足PA →＋PB →＋PC →＝2AB →，若S △ABC ＝6，则△PAB 的面积为( )A ．2B ．3C ．4D ．8答案 A解析 ∵PA →＋PB →＋PC →＝2AB →＝2(PB →－PA →)， ∴3PA →＝PB →－PC →＝CB →，∴PA →∥CB →，且两向量方向相同，∴S △ABC S △PAB ＝BC AP ＝|CB →||PA →|＝3，又S △ABC ＝6，∴S △PAB ＝63＝2.2．设两个非零向量a 与b 不共线，若a 与b 的起点相同，且a ，t b ，13(a ＋b )的终点在同一条直线上，则实数t 的值为________．答案 12解析 ∵a ，t b ，13(a ＋b )的终点在同一条直线上，且a 与b 的起点相同，∴a －t b 与a －13(a ＋b )共线，即a －t b 与23a －13b 共线，∴存在实数λ，使a －t b ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －13b ，又a ，b 为两个不共线的非零向量， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝23λ，t ＝13λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，t ＝12.思维升华利用共线向量定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据． (2)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(3)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.跟踪训练3 (1)若a ，b 是两个不共线的向量，已知MN →＝a －2b ，PN →＝2a ＋k b ，PQ →＝3a －b ，若M ，N ，Q 三点共线，则k 等于( ) A ．－1B ．1C.32D ．2答案 B解析由题意知，NQ →＝PQ →－PN →＝a －(k ＋1)b ，因为M ，N ，Q 三点共线，故存在实数λ，使得MN →＝λNQ →，即a －2b ＝λ[a －(k ＋1)b ]，解得λ＝1，k ＝1.(2)如图，已知A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)答案 B解析因为线段CO 与线段AB 交于点D ，所以O ，C ，D 三点共线，所以OC →与OD →共线，设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，可得OD →＝λm OA →＋μmOB →，因为A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，可得λ＋μ＝m >1，所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．课时精练1．(多选)下列选项中的式子，结果为零向量的是( ) A.AB →＋BC →＋CA → B.AB →＋MB →＋BO →＋OM → C.OA →＋OB →＋BO →＋CO → D.AB →－AC →＋BD →－CD → 答案 AD解析利用向量运算，易知A ，D 中的式子结果为零向量． 2．若a ，b 为非零向量，则“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 B 解析a |a |，b |b |分别表示与a ，b 同方向的单位向量，a |a |＝b |b |，则有a ，b 共线，而a ，b 共线，则a|a |，b|b |是相等向量或相反向量，所以“a|a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的充分不必要条件．3．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是一个非零向量，则下列结论不正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ＋b ＝aC ．a ＋b ＝bD ．|a ＋b |＝|a |＋|b |答案 B解析由题意得，a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝AC →＋CA →＝0，且b 是一个非零向量，所以a ∥b 成立，所以A 正确；由a ＋b ＝b ，所以B 不正确，C 正确；由|a ＋b |＝|b |，|a |＋|b |＝|b |，所以|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以D 正确．4．(2022·汕头模拟)下列命题中正确的是( ) A ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ使得a ＝λbB ．若a∥b ，b∥c ，则a∥cC ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0D ．|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b | 答案 D解析若a ∥b ，且b ＝0，则可有无数个实数λ使得a ＝λb ，故A 错误；若a ∥b ，b ∥c (b ≠0)，则a ∥c ，若b ＝0，则a ，c 不一定平行，故B 错误；若a·b ＝0，也可以为a ⊥b ，故C 错误；根据向量加法的三角形法则和向量减法的几何意义知， |a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |成立，故D 正确．5．在平行四边形ABCD 中，AC →与BD →交于点O ，E 是线段OD 的中点．若AC →＝a ，BD →＝b ，则AE →等于( ) A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b 答案 C解析如图所示，∵AC →＝a ，BD →＝b ， ∴AD →＝AO →＋OD → ＝12a ＋12b ， ∴AE →＝AD →－ED →＝12a ＋12b －14b ＝12a ＋14b .6．下列说法正确的是( ) A ．向量AB →与向量BA →的长度相等B ．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C ．向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反D ．向量的模是一个正实数答案 A解析 A 项，AB →与BA →的长度相等，方向相反，正确；B 项，两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；C 项，向量a 与b 平行时，若a 或b 为零向量，不满足条件，故错误；D 项，向量的模是一个非负实数，故错误.7.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若AF →＝xAB →＋34AD →，则x 等于( )A.34B.23C.12D.14答案 C解析连接AE (图略)，因为F 为DE 的中点，所以AF →＝12(AD →＋AE →)，而AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →，所以AF →＝12(AD →＋AE →)＝12⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋AB →＋12AD →＝12AB →＋34AD →，又AF →＝xAB →＋34AD →，所以x ＝12.8．(多选)已知4AB →－3AD →＝AC →，则下列结论正确的是( ) A ．A ，B ，C ，D 四点共线 B ．C ，B ，D 三点共线 C ．|AC →|＝|DB →| D ．|BC →|＝3|DB →| 答案 BD解析因为4AB →－3AD →＝AC →，所以3DB →＝BC →，因为DB →，BC →有公共端点B ，所以C ，B ，D 三点共线，且|BC →|＝3|DB →|，所以B ，D 正确，A 错误；由4AB →－3AD →＝AC →，得AC →＝3AB →－3AD →＋AB →＝3DB →＋AB →，所以|AC →|≠|DB →|，所以C 错误．9．(2022·太原模拟)已知不共线向量a ，b ，AB →＝t a －b (t ∈R )，AC →＝2a ＋3b ，若A ，B ，C 三点共线，则实数t ＝__________. 答案－23解析因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AB →＝kAC →，所以t a －b ＝k (2a ＋3b )＝2k a ＋3k b ，即(t －2k )a ＝(3k ＋1)b .因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧t －2k ＝0，3k ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13，t ＝－23.10．已知△ABC 的重心为G ，经过点G 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，若AD →＝λAB →，AE →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________.答案 3解析如图，设F 为BC 的中点，则AG →＝23AF →＝13(AB →＋AC →)，λμ∴AG →＝13λAD →＋13μAE →，又G ，D ，E 三点共线， ∴13λ＋13μ＝1，即1λ＋1μ＝3. 11．若正六边形ABCDEF 的边长为2，中心为O ，则|EB →＋OD →＋CA →|＝________. 答案 2 3解析正六边形ABCDEF 中，EB →＋OD →＋CA →＝EO →＋DC →＋OD →＋CA →＝ED →＋DA →＝EA →，在△AEF 中，∠AFE ＝120°，AF ＝EF ＝2， ∴|EA →|＝22＋22－2×2×2×cos120°＝23，即|EB →＋OD →＋CA →|＝2 3.12．在平行四边形ABCD 中，点M 为BC 边的中点，AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝________. 答案 53解析 AC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →＋μ(AD →－AB →)＝(λ－μ)AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μAD →，又因为AC →＝AB →＋AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.13．(多选)点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0，则△ABC 不可能是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形答案 AD解析因为点P 是△ABC 所在平面内一点，且|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0，所以|CB →|－|(PB →－PA →)＋(PC →－PA →)|＝0，即|CB →|＝|AB →＋AC →|，所以|AB →－AC →|＝|AC →＋AB →|，等式两边平方并化简得AC →·AB →＝0，所以AC →⊥AB →，∠BAC ＝90°，则△ABC 一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形．14．在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD →＝14AC →＋λAB →(λ∈R )，则λ＝________，AD 的长为________．答案 343 3解析 ∵B ，D ，C 三点共线， ∴14＋λ＝1，解得λ＝34. 如图，过D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN →＝14AC →，AM →＝34AB →，∵在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ， ∴四边形AMDN 是菱形， ∵AB ＝4，∴AN ＝AM ＝3， ∴AD ＝3 3.15．(2022·滁州模拟)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积为( ) A. 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．4 3答案 B解析设BC 的中点为D ，AC 的中点为M ，连接PD ，MD ，BM ，如图所示，则有PB →＋PC →＝2PD →. 由AB →＋PB →＋PC →＝0，得AB →＝－2PD →，又D 为BC 的中点，M 为AC 的中点，所以AB →＝－2DM →，则PD →＝DM →，则P ，D ，M 三点共线且D 为PM 的中点，又D 为BC 的中点，所以四边形CPBM 为平行四边形．又|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，所以|MC →|＝|BP →|＝2，则|AC →|＝4，且|BM →|＝|PC →|＝2，所以△AMB 为等边三角形，∠BAC ＝60°，则S △ABC ＝12×2×4×32＝2 3.16．若2OA →＋OB →＋3OC →＝0，S △AOC ，S △ABC 分别表示△AOC ，△ABC 的面积，则S △AOC ∶S △ABC ＝________. 答案 1∶6解析若2OA →＋OB →＋3OC →＝0，设OA ′——→＝2OA →，OC ′——→＝3OC →，可得O 为△A ′BC ′的重心，如图，设S △AOB ＝x ，S △BOC ＝y ，S △AOC ＝z ，则S △A ′OB ＝2x ，S △BOC ′＝3y ，S △A ′OC ′＝6z ，由2x ＝3y ＝6z ，可得S△AOC∶S△ABC＝z∶(x＋y＋z)＝1∶6.。

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 22 复数

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结22复数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值为5分，低难度考纲研读1.理解复数的基本概念2．理解复数相等的充要条件3．了解复数的代数表示法及其几何意义4．会进行复数代数形式的四则运算5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义一、基础小题1．(－1＋i)(2i＋1)＝()A．1－i B．1＋i C．－3－i D．－3＋i答案C解析由题意，得(－1＋i)(2i＋1)＝－2i－1－2＋i＝－3－i.故选C.2．复数z＝21＋i(i为虚数单位)在复平面上对应的点的坐标为()A．(1,1) B．(1，－1)C．(－1,1) D．(－1，－1)答案B解析 z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i ，故复数z ＝21＋i 在复平面内对应的点的坐标是(1，－1)．故选B.3．已知复数z ＝(1＋a i)(1－2i)(a ∈R )为纯虚数，则实数a ＝( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12 答案 D解析 z ＝(1＋2a )＋(a －2)i ，由已知得1＋2a ＝0且a －2≠0，解得a ＝－12.故选D. 4．若复数z ＝1－i ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1－z ＝( )A ．1 B. 2 C ．2 2 D ．4 答案 B解析由z ＝1－i ，得z 1－z ＝1－i i ＝－1－i ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1－z ＝|－1－i|＝ 2.5．已知复数z ＝i ＋i 2022，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵i ＋i 2022＝－1＋i ，∴i ＋i 2022在复平面内对应的点的坐标为(－1,1)，该点在第二象限．故选B.6．若复数z ＝i1＋i (i 为虚数单位)，则z z －＝( )A.12i B ．－14 C.14 D.12解析解法一：∵z ＝i 1＋i ＝i (1－i )2＝1＋i 2＝12＋12i ，∴z －＝12－12i ，∴z z －＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12i ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12i ＝12.故选D. 解法二：∵z ＝i 1＋i ，∴|z |＝1|1＋i|＝22，∴z z －＝|z |2＝12.故选D.7. 如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，若z 1＝zz 2，则z 的共轭复数z －＝( )A.12＋32iB.12－32I C ．－12＋32i D ．－12－32i 答案 A解析由题图可知z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋i ，所以z ＝z 1z 2＝1＋2i－1＋i ＝(1＋2i )(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝1－3i2，所以z －＝12＋32i.故选A.8．设复数z 满足|z －1＋i|＝1，z 在复平面内对应的点为P (x ，y )，则点P 的轨迹方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋y 2＝1C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝1解析由题意得z ＝x ＋y i ，则由|z －1＋i|＝1得|(x －1)＋(y ＋1)i|＝1，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，则(x －1)2＋(y ＋1)2＝1.故选D.9．(多选)设z 1，z 2，z 3为复数，z 1≠0，下列命题中正确的是( ) A ．若|z 2|＝|z 3|，则z 2＝±z 3 B ．若z 1z 2＝z 1z 3，则z 2＝z 3 C ．若z －2＝z 3，则|z 1z 2|＝|z 1z 3| D ．若z 1z 2＝|z 1|2，则z 1＝z 2 答案 BC解析由复数模的概念可知，|z 2|＝|z 3|不能得到z 2＝±z 3，例如z 2＝1＋i ，z 3＝1－i ，A 错误；由z 1z 2＝z 1z 3可得z 1(z 2－z 3)＝0，因为z 1≠0，所以z 2－z 3＝0，即z 2＝z 3，B 正确；因为|z 1z 2|＝|z 1||z 2|，|z 1z 3|＝|z 1||z 3|，而z －2＝z 3，所以|z －2|＝|z 3|＝|z 2|，所以|z 1z 2|＝|z 1z 3|，C 正确；取z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，显然满足z 1z 2＝|z 1|2，但z 1≠z 2，D 错误．故选BC.10．(多选)欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．下列结论正确的是( )答案 ACD⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22位于第一象限，正确；对于D ，e n πi ＝cos n π＋isin n π，当n 为奇数时，e n πi＝－1，|e n πi |＝1，当n 为偶数时，e n πi ＝1，|e n πi |＝1，故e n πi 的模为1，正确．故选ACD.二、高考小题11．(2022·北京高考)在复平面内，复数z 满足(1－i)z ＝2，则z ＝( ) A ．2＋i B ．2－i C ．1－i D ．1＋i 答案 D解析由题意可得，z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝1＋i.故选D. 12．(2022·新高考Ⅱ卷)复数2－i1－3i 在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析 2－i 1－3i＝(2－i )(1＋3i )10＝5＋5i 10＝1＋i2，所以该复数在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，该点在第一象限．故选A. 13．(2022·新高考Ⅰ卷)已知z ＝2－i ，则z (z －＋i)＝( ) A ．6－2i B ．4－2i C ．6＋2i D ．4＋2i 答案 C解析 z (z －＋i)＝(2－i)(2＋i ＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝4＋4i －2i －2i 2＝6＋2i.故选C. 14．(2022·浙江高考)已知a ∈R ，(1＋a i)i ＝3＋i(i 为虚数单位)，则a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．3 答案 C解析解法一：因为(1＋a i)i ＝－a ＋i ＝3＋i ，所以－a ＝3，解得a ＝－3.故选C. 解法二：因为(1＋a i)i ＝3＋i ，所以1＋a i ＝3＋ii＝1－3i ，所以a ＝－3.故选C. 15．(2022·全国甲卷)已知(1－i)2z ＝3＋2i ，则z ＝( ) A ．－1－32i B ．－1＋32i C ．－32＋i D ．－32－i 答案 B解析由(1－i)2z ＝3＋2i ，得z ＝3＋2i (1－i )2＝3＋2i －2i＝3i －22＝－1＋32i.故选B. 16．(2022·全国乙卷)设2(z ＋z －)＋3(z －z －)＝4＋6i ，则z ＝( ) A ．1－2i B ．1＋2i C ．1＋i D ．1－i答案 C解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i,2(z ＋z －)＋3(z －z －)＝4a ＋6b i ＝4＋6i ，所以a ＝1，b ＝1，所以z ＝1＋i.17．(2022·全国Ⅰ卷)若z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝( ) A ．0 B ．1 C. 2 D ．2 答案 D解析 z 2＝(1＋i)2＝2i ，则z 2－2z ＝2i －2(1＋i)＝－2，故|z 2－2z |＝|－2|＝2.故选D. 18．(2022·全国Ⅲ卷)复数11－3i 的虚部是( )A ．－310B ．－110 C.110 D.310 答案 D解析因为11－3i ＝1＋3i (1－3i )(1＋3i )＝110＋310i ，所以复数11－3i的虚部为310.故选D.19．(2022·天津高考)i 是虚数单位，复数9＋2i2＋i＝________. 答案 4－i 解析9＋2i 2＋i ＝(9＋2i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝20－5i5＝4－i. 20．(2022·全国Ⅱ卷)设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝________.答案 23解析解法一：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，∵|z 1|＝|z 2|＝2，∴a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝4，∵z 1＋z 2＝a ＋b i ＋c ＋d i ＝3＋i ，∴a ＋c ＝3，b ＋d ＝1，∴(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋c 2＋2ac ＋b 2＋d 2＋2bd ＝4，∴2ac ＋2bd ＝－4，∵z 1－z 2＝a ＋b i －(c ＋d i)＝a －c ＋(b －d )i ，∴|z 1－z 2|＝(a －c )2＋(b －d )2 ＝ a 2＋c 2－2ac ＋b 2＋d 2－2bd ＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2－(2ac ＋2bd )＝4＋4－(－4)＝2 3.解法二：∵|z 1|＝|z 2|＝2，可设z 1＝2cos θ＋2sin θ·i ，z 2＝2cos α＋2sin α·i ，∴z 1＋z 2＝2(cos θ＋cos α)＋2(sin θ＋sin α)i ＝3＋i ，∴⎩⎨⎧2(cos θ＋cos α)＝3，2(sin θ＋sin α)＝1.两式平方作和，得4(2＋2cos θcos α＋2sin θsin α)＝4，化简得cos θcos α＋sin θsin α＝－12.∴|z 1－z 2|＝|2(cos θ－cos α)＋2(sin θ－sin α)·i| ＝4(cos θ－cos α)2＋4(sin θ－sin α)2＝8－8(cos θcos α＋sin θsin α)＝8＋4＝2 3. 三、模拟小题21．(2022·山西五市联考)已知复数z 满足2z(1＋i )2＝1－i ，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析由题意得z ＝(1－i )(1＋i )22＝(1－i)i ＝1＋i ，即z 在复平面内所对应的点为(1,1)，在第一象限．故选A.22．(2022·福州三中高三质量检测二)已知复数z ＝(1＋2i)·i 2022，则z －＝( ) A ．－2－i B ．－2＋I C ．2－i D ．2＋i 答案 A解析 z ＝(1＋2i)·i2022＝(1＋2i)i ＝－2＋i ，所以z －＝－2－i.故选A.23．(2022·山东青岛自主检测)若复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z 1＝2－i ，则复数z 1z 2＝( )A ．－1B ．1C ．－35＋45i D.35－45i 答案 C解析依题意可得z 2＝－2－i ，所以z 1z 2＝2－i －2－i ＝(2－i )(－2＋i )5＝－35＋45i.故选C. 24．(2022·广东茂名五校第三次联合考试)已知(a ＋b i)(1－i)＝2＋i(a ，b ∈R )，则ab ＝( )A ．－34B ．－32 C.34 D.32 答案 C解析因为(a ＋b i)(1－i)＝(a ＋b )＋(b －a )i ，所以⎩⎨⎧a ＋b ＝2，b －a ＝1，解得a ＝12，b ＝32，从而ab ＝34.故选C.25．(多选)(2022·湖北高三月考)设z 1，z 2是复数，则( ) A.z 1－z 2＝z －1－z －2 B ．若z 1z 2∈R ，则z 1＝z －2 C ．若|z 1－z 2|＝0，则z －1＝z －2D ．若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0答案 AC解析设z 1＝a ＋b i ，z 2＝x ＋y i ，a ，b ，x ，y ∈R ，z 1－z 2＝(a －x )＋(b －y )i ＝(a －x )－(b －y )i ＝a －b i －(x －y i)＝z －1－z －2，A 成立；|z 1－z 2|＝|(a －x )＋(b －y )i|＝0，则(a －x )2＋(b －y )2＝0，所以a ＝x ，b ＝y ，从而z 1＝z 2，所以z －1＝z －2，C 成立；对于B ，取z 1＝i ，z 2＝2i ，满足z 1z 2∈R ，但结论不成立；对于D ，取z 1＝i ，z 2＝1，满足z 21＋z 22＝0，但结论不成立．故选AC.26．(多选)(2022·江苏淮安高三入学考试)已知复数z ＝(m 2－1)＋(m －3)(m －1)i(m ∈R )，则下列说法正确的是( )A ．若m ＝0，则共轭复数z －＝1－3i B ．若复数z ＝2，则m ＝3 C ．若复数z 为纯虚数，则m ＝±111 / 11 D ．若m ＝0，则4＋2z ＋z 2＝0答案 BD解析对于A ，m ＝0时，z ＝－1＋3i ，则z －＝－1－3i ，故A 错误；对于B ，若复数z ＝2，则满足⎩⎨⎧ m 2－1＝2，(m －3)(m －1)＝0，解得m ＝3，故B 正确；对于C ，若复数z 为纯虚数，则满足⎩⎨⎧m 2－1＝0，(m －3)(m －1)≠0，解得m ＝－1，故C 错误；对于D ，若m ＝0，则z ＝－1＋3i ，4＋2z ＋z 2＝4＋2(－1＋3i)＋(－1＋3i)2＝0，故D 正确．故选BD.。

第03讲复数(课件)-2024年高考数学一轮复习(新教材新高考)

2 + 2 = 4
所以
，解得 = 1, = ± 3，
− 2 2 + 2 = 4
当 = 1, = 3时， = 1 + 3i，
故 2 = 1 + 3i
2
= 1 + 2 3i + 3i2 = −2 + 2 3i，
3 = −2 + 2 3i 1 + 3i = −2 + 6i2 = −8；
3
A． 2
3
1
B． 2 i C．− 2 D．−
3 − i = 2i，其中为虚数单位，则的虚部为（ A ）
3
2
【解题方法总结】
无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括
实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和
虚部都认识清楚．
题型二：复数的运算
【例2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知复数 =

+
−
+
பைடு நூலகம்(

+
+
≠ )
题型三：复数的几何意义
3−i
【例3】（2023·河南郑州·三模）复平面内，复数1+i2023对应的点位于（
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
3−i
3−i
3−i
(3−i)(1+i)
【解析】由题得1+i2023 = 1+i3 = 1−i = (1−i)(1+i) = 2 + i，
别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出
发点．